6979634-Engenhariacivilapostilaconcretoarmado_1

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Julho - 2002

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples

2

NDICE 1.1 - INTRODUO....................................................................................................3 1.2 TIPOS DE ESTRUTURAS .................................................................................3 1.3 ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............................................4 1.4 DIAGRAMAS DE ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............5 1.5 COEFICIENTE DE SEGURANA (k) ..............................................................6 1.6 EQUAO GERAL DA FLEXO ....................................................................6 1.7 TENSO ADMISSVEL ....................................................................................6 1.8 MDULO DE RESISTNCIA FLEXO ......................................................6 1.9 DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL...................................7 1.9.1 INTRODUO ................................................................................................7 1.9.2 TIPOS DE SEO TRANSVERSAL .............................................................8 1.9.2.1 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL QUADRADA .................................8 1.9.2.2 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CIRCULAR....................................9 1.9.2.3 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL RETANGULAR.............................9 1.9.2.4 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TUBULAR...................................11 1.9.2.5 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CAIXO ......................................12 1.9.2.6 VIGAS DE SO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS INDUSTRIAIS ...........................................................................................................14 1.10 CLCULO DA MXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA EM UMA ESTRUTURA SUJEITA FLEXO .............................................................14 1.10.1 INTRODUO ............................................................................................14 1.10.2 CLCULO DO MXIMO VALOR DE P ..................................................15 1.10.2.1 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL QUADRADA .............................................................................................................15 1.10.2.2 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CIRCULAR ................................................................................................................16 1.10.1.3 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL RETANGULAR .........................................................................................................16 1.10.2.4 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TUBULAR .................................................................................................................17 1.10.2.5 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CAIXO.....................................................................................................................17 1.10.2.6 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TIPO PERFIL INDUSTRIAL ..............................................................................................18 1.11 TABELAS PARA SELEO DE PERFIS INDUSTRIAIS ..........................20 1.12 EXERCCIOS RESOLVIDOS........................................................................29 1.13 EXERCCIOS PRTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS ...........................39 1.14 EXERCCIOS PROPOSTOS ..........................................................................51 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS.....................................................91 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................92


3

DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS SUJEITAS A ESFOROS DE FLEXO

1.1 -INTRODUO

Neste captulo estudado o dimensionamento de estruturas sujeitas a esforo de

flexo, considerando-se para tal estudo, diversos tipos de estruturas e sees transversais.

1.2 TIPOS DE ESTRUTURAS

A) VIGAS ENGASTADAS: So vigas que possuem uma de suas extremidades

livre e a outra fixa.

Figura 1.1 Exemplo de viga engastada.

B) VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS: Possuem apoios em suas extremidades,

sendo um dos apoios fixo e o outro mvel, para garantir a estaticidade da estrutura.

Figura 1.2 Exemplo de viga simplesmente apoiada.

Equaes da esttica:

3 Equaes - = 0VF , 0HF e = 0M .

3 Incgnitas RAV, RAH e RB .

P

B A

P


4

C) VIGAS SIMPLES COM BALANO NAS EXTREMIDADES: So vigas

simplesmente apoiadas, porm com suas extremidades deslocadas em relao aos apoios.

Figura 1.3 Exemplo de viga simples com balanos.

1.3 ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

A) ESFORO CORTANTE: Carga que tende a provocar cisalhamento da

estrutura e conseqente flexo da mesma pois o comprimento da barra no desprezado. O

esforo cortante representado neste curso por Q, e, pode ser, positivo ou negativo,

dependendo da conveno de sinais adotada.

Figura 1.4 Conveno de sinais para o esforo cortante.

Quando a carga aplicada de cima para baixo, o esforo cortante negativo.

Quando a carga aplicada de baixo para cima, o esforo cortante positivo.

B) MOMENTO FLETOR: Pode ser definido como o momento resultante de todas

as foras que so aplicadas na estrutura. Quando se trata de flexo, possvel conhecer o

valor do momento fletor em cada ponto da estrutura. O momento fletor tambm pode ser

positivo ou negativo.

Q-

B A

Q+ Q-

Q+

Viga Horizontal Viga Vertical

P

B A

P P


5

Figura 1.5 momento fletor positivo ou negativo.

Quando as fibras inferiores da estrutura so comprimidas, o momento fletor

negativo.

Quando as fibras inferiores da estrutura so tracionadas, o momento fletor

positivo.

1.4 DIAGRAMAS DE ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

Os diagramas de esforo cortante e momento fletor permitem ao projetista analisar

qual o ponto crtico da estrutura, ou seja, qual a regio que a viga pode se romper.

Figura 1.6 Exemplo de diagramas de esforo cortante e momento fletor.

P

L

-P

0

0

-P.L

Ponto crtico

Trao Compresso


6

1.5 COEFICIENTE DE SEGURANA (k)

Fator de correo com a finalidade de aumentar as dimenses da estrutura

garantindo desse modo maior segurana ao projeto.

1.6 EQUAO GERAL DA FLEXO

A equao matemtica que dimensiona uma estrutura sujeita a esforo de flexo

dada por:

x

Fmx

wM

=s . (1.1)

1.7 TENSO ADMISSVEL

A tenso admissvel obtida dividindo-se a tenso de escoamento do material

utilizado no projeto pelo coeficiente de segurana empregado, pode ser calculada do

seguinte modo:

kess = . (1.2)

1.8 MDULO DE RESISTNCIA FLEXO (wX)

Representa em termos numricos como determinado tipo de seo reage ao esforo,

ou seja, representa a resistncia da seo em relao ao esforo de flexo. Para cada tipo de

seo transversal estudada tem-se uma equao diferente para se calcular o valor de wx.


7

Tabela 1.1 Mdulo de resistncia flexo em relao ao eixo x.

TIPO DA SEO TRANSVERSAL MDULO DE RESISTNCIA (WX)

QUADRADA

6

3lwx = (1.3)

RETANGULAR

CIRCULAR

TUBULAR

BALCO OU CAIXO

1.9 DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL

1.9.1 INTRODUO

O objetivo desta seo apresentar a formulao matemtica utilizada para o

dimensionamento da seo transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na

construo de estruturas mecnicas.

b b

a

a

h

b

d

l

D

d

)4.1(6

2bhwX =

)5.1(32

3dwX

p=

)7.1(6

44

aba

wX-

=

)6.1(32

)( 44

DdD

wX-

=p


8

1.9.2 TIPOS DE SEO TRANSVERSAL

Os principais tipos de seo transversal estudadas na presente seo so: quadrada,

circular, retangular, tubular e caixo, tambm so estudados os perfis industriais tipo I, U,

L (abas iguais) e L (abas desiguais).

1.9.2.1 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL QUADRADA

A partir das Equaes (1.1), (1.2) e (1.3), pode-se chegar a uma equao geral que

fornece como resultado o valor numrico do comprimento l que representa a dimenso do

lado da seo transversal quadrada.

Substituindo-se a Equao (1.2) na Equao (1.1), tem-se que:

wxMf

kmxe =

s. (1.8)

A Equao (1.8) utilizada para todos os tipos de seo transversal utilizadas na

presente seo.

Para vigas de seo quadrada, basta substituir a Equao (1.3) na Equao (1.8),

chegando-se a:

6

3lMf

kmxe =

s. (1.9)

Rearranjando-se os termos, a Equao (1.9) pode ser escrita do seguinte modo:

3

6l

Mfk

mxe =s

. (1.10)

Resolvendo-se a Equao (1.10) com relao a l, chega-se a uma soluo geral

representada pela Equao (1.11), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seo

transversal quadrada.

36

e

mxkMfls

= . (1.11)


9

1.9.2.2 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CIRCULAR

A partir das Equaes (1.4) e (1.8), pode-se chegar a uma equao geral que

fornece como resultado o valor numrico do comprimento d que representa a dimenso do

dimetro da circunferncia que forma a viga.

Substituindo-se a Equao (1.4) na Equao (1.8),pode-se escrever que:

32

3dMf

kmxe

ps

= . (1.12)


3

32d

Mfk

mxe

ps

= . (1.13)

Resolvendo-se a Equao (1.13) com relao a d, chega-se a uma soluo geral


transversal circular.

332

e

mxkMfdps

= . (1.14)

1.9.2.3 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL RETANGULAR


fornece como resultado numrico os valores de b e h, que representam as dimenses de

base e altura da viga de seo retangular.

Substituindo-se a Equao (1.5) na Equao (1.8), pode-se escrever que:

6

2bhMf

kmxe =

s. (1.15)

Pode-se notar claramente na anlise da Equao (1.15), que na soluo de vigas de

seo transversal retangular, existem duas incgnitas, b e h, portanto, interessante

assumir uma nova equao que fornea a relao entre b e h, fazendo desse modo com que


10

uma das incgnitas seja camuflada em meio a soluo do problema. Assim, define-se a

varivel x como a relao entre h e b, como pode-se observar na Equao (1.16):

bh

x = . (1.16)

Da pode-se escrever que:

xbh = . (1.17)


6)( 2xbb

Mfk

mxe =s

. (1.18)


22

6bbx

Mfk

mxe =s

. (1.19)

Resolvendo-se a Equao (1.19) com relao a b, chega-se a uma soluo geral


transversal retangular.

32

6

e

mx

xkMf

bs

= , (1.20)

onde x representa a relao entre h e b fornecida no problema.

Uma vez conhecido o valor de b, o valor numrico de h pode ser calculado a partir

da Equao (1.17) como citado anteriormente.

Portanto, as Equaes (1.20) e (1.17) so utilizadas para o dimensionamento de

vigas de seo transversal retangular.


11

1.9.2.4 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TUBULAR


fornece como resultado numrico os valores de D e d, que representam as dimenses de

dimetro externo e dimetro interno de uma viga de seo transversal tubular.


DdD

Mfk

mxe

32)( 44 -

=p

s. (1.21)

Novamente pode-se perceber que se tem na soluo do problema duas incgnitas D

e d, portanto, a varivel y definida como a relao entre d e D, como pode-se observar na

Equao (1.22):

Dd

y = . (1.22)


yDd = . (1.23)


DyDD

Mfk

mxe

32)( 4-

=p

s. (1.24)


444

32DyD

DMfk

mxe

pps

-= . (1.25)


)1(32

44 yDDMf

kmxe

-=

ps

. (1.26)

Assim:

)1(32

43 yDMf

kmxe

-=

ps

. (1.27)


12

Resolvendo-se a Equao (1.27) com relao a D, chega-se a uma soluo geral


transversal tubular.

34 )1(

32ykMf

De

mx

-=

ps, (1.28)

onde y representa a relao entre d e D fornecida no problema.

Uma vez conhecido o valor de D, o valor numrico de d pode ser calculado a partir



vigas de seo transversal tubular.

1.9.2.5 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CAIXO


fornece como resultado numrico os valores de a e b, que representam as dimenses de

dimetro dos lados, externo e interno, de uma viga de seo transversal caixo.


aba

Mfk

mxe

6

44 -=

s. (1.29)

Novamente pode-se perceber que se tem na soluo do problema duas incgnitas a

e b, portanto, a varivel z definida como a relao entre b e a, como pode-se observar na

Equao (1.30):

ab

z = . (1.30)


zab = . (1.31)


13


azaa

Mfk

mxe

6)( 44 -

=s

. (1.32)


44 )(6

zaaaMf

kmxe

-=

s. (1.33)


)1(6

44 zaaMf

kmxe

-=

s. (1.34)

Assim:

)1(6

43 zaaMf

kmxe

-=

s. (1.35)

Resolvendo-se a Equao (1.35) com relao a a, chega-se a uma soluo geral


transversal caixo.

34 )1(

6zkMf

ae

mx

-=

s, (1.36)

onde z representa a relao entre b e a fornecida no problema.

Uma vez conhecido o valor de a, o valor numrico de b pode ser calculado a partir



vigas de seo transversal caixo.


14

1.9.2.6 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS

INDUSTRIAIS

Ao contrrio do se possa parecer, a soluo de problemas de dimensionamento de

vigas com seo transversal formada por perfis industriais mais simples que a soluo

apresentada para os casos anteriores.

A partir da Equao (1.8), pode-se determinar o valor do mdulo de resistncia em

relao ao eixo x (wx), resultando em:

e

mxx

kMfw

s= . (1.37)

A Equao (1.37) pode ser utilizada sempre que se necessitar selecionar um perfil

industrial.

Para perfis dos tipos I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais), uma vez calculado o

valor de (wx) atravs da Equao (1.37), o perfil pode ser selecionado na tabela

correspondente ao perfil desejado. Vale ressaltar que se no for utilizado fator de

segurana, ou seja, valor de k igual a 1 (k=1), a seleo do perfil deve ser realizada

considerando-se um valor maior que o (wx) que foi calculado, ou seja, na tabela seleciona-

se o valor de (wx) imediatamente superior ao calculado, uma vez que o mesmo representa a

condio limite para o dimensionamento da estrutura.

1.10 CLCULO DA MXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA

EM UMA ESTRUTURA SUJEITA FLEXO

1.10.1 INTRODUO

O objetivo desta seo apresentar a formulao matemtica utilizada para o

clculo da mxima carga P que pode ser aplicada em uma estrutura sujeita flexo,

constituda por uma seo transversal equivalente s estudadas na seo anterior.


15

1.10.2 CLCULO DO MXIMO VALOR DE P

A seguir so apresentadas as equaes gerais para o clculo do mximo valor de P

para alguns tipos de seo transversal j estudadas.

1.10.2.1 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL

QUADRADA

A partir da Equao (1.10), isola-se a varivel Mfmx, resultando em:

kl

Mf emx 6

3s= . (1.38)

Como se desconhece o valor de P, no possvel se conhecer o valor numrico de

Mfmx, portanto, conveniente que para o valor de Mfmx seja adotada a relao apresentada

na Equao (1.39):

PnMf mx= , (1.39)

onde n o valor numrico obtido no diagrama de momento fletor para a estrutura.

Assim, substituindo-se a Equao (1.39) na Equao (1.38), tem-se:

kl

Pn e6

3s= . (1.40)

Resolvendo-se a Equao (1.40) com relao a P, chega-se a uma Equao geral

que pode ser utilizada para a determinao da carga mxima, sempre que a viga possuir

seo transversal quadrada.

knl

P e6

3s= . (1.41)

Portanto, a Equao (1.41) geral para vigas de seo transversal quadrada.


16


CIRCULAR


kd

Mf emx 32

3ps= . (1.42)


kd

Pn e32

3ps= . (1.43)



seo transversal circular.

knd

P e32

3ps= . (1.44)

Portanto, a Equao (1.44) geral para vigas de seo transversal circular.


RETANGULAR


khb

Mf emx 6

2s= . (1.45)


khb

Pn e6

2s= . (1.46)



seo transversal retangular.


17

knhb

P e6

2s= . (1.47)

Portanto, a Equao (1.47) geral para vigas de seo transversal retangular.


TUBULAR


DkdD

Mf emx 32)( 44 -

=ps

. (1.48)


DkdD

Pn e32

)( 44 -=

ps. (1.49)



seo transversal tubular.

DkndD

P e32

)( 44 -=

ps. (1.50)

Portanto, a Equao (1.50) geral para vigas de seo transversal tubular.


CAIXO


kaba

Mf emx 6)( 44 -

=s

. (1.51)


kaba

Pn e6

)( 44 -=

s. (1.52)


18



seo transversal caixo.

nkaba

P e6

)( 44 -=

s. (1.53)

Portanto, a Equao (1.53) geral para vigas de seo transversal caixo.

1.10.2.5 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TIPO

PERFIL INDUSTRIAL


kW

Mf Xemxs

= . (1.54)


kW

Pn Xes

= . (1.55)



seo transversal tipo perfil industrial.

nkw

P xes

= . (1.56)

Portanto, a Equao (1.56) utilizada para a determinao do valor de P em vigas

com seo de perfil industrial, lembrando-se que o valor de (wx) obtido em tabelas, de

acordo com o perfil utilizado.


19

Tabela 1.2 Formulrio para dimensionamento flexo.

SEO DIMENSIONAMENTO CLCULO DE P

QUADRADA 3

6

e

mxkMfls

= knl

P e6

3s=

CIRCULAR 3

32

e

mxkMfdps

= kn

dP e

32

3ps=

RETANGULAR 3

2

6

e

mx

xkMf

bs

=

xbh =

knhb

P e6

2s=

TUBULAR 3

4 )1(32

ykMf

De

mx

-=

ps

yDd =

DkndD

P e32

)( 44 -=

ps

CAIXO 3

4 )1(6

zkMf

ae

mx

-=

s

zab =

nkaba

P e6

)( 44 -=

s

PERFIL INDUSTRIAL

e

mxx

kMfw

s=

nkw

P xes

=


20

1.11 - TABELAS PARA SELEO DE PERFIS INDUSTRIAIS

Tabela 1.3 Perfis H Padro Americano.


21

Tabela 1.4 Perfis I Padro Americano.


22

Tabela 1.5 Perfis I Padro Americano.


23

Tabela 1.6 Perfis U Padro Americano.


24

Tabela 1.7 Perfis U Padro Americano.


25

Tabela 1.8 Perfis L (Abas Iguais) - Padro Americano.


26

Tabela 1.9 Perfis L (Abas Desiguais) - Padro Americano.


27

Tabela 1.10 Perfis L (Abas Desiguais).


28

Tabela 1.11 Propriedades dos Materiais.

TENSES

Material Tenso de Escoamento [MPa] Tenso de Ruptura

[MPa]

Ao Carbono

ABNT 1010 L 220 320

ABNT 1010 T 380 420

ABNT 1020 L 280 360

ABNT 1020 T 480 500

ABNT 1030 L 300 480

ABNT 1030 T 500 550

ABNT 1040 L 360 600

ABNT 1040 T 600 700

ABNT 1050 L 400 650

ABNT 1050 T 700 750

Ao Liga

ABNT 4140 L 650 780

ABNT 4140 T 700 1000

ABNT 8620 - L 440 700

ABNT 8620 T 700 780

Materiais no Ferrosos

Alumnio 30-120 70-230

Duralumnio 14 100-420 200-500

Cobre Telrio 60-320 230-350

Bronze de Nquel 120-650 300-750

Magnsio 140-200 210-300

Titnio 520 60

Zinco - 290


29

3

220

=

=

k

MPaes

1.12 EXERCCIOS RESOLVIDOS

1) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relao flexo,

considerando que a mesma possui seo transversal quadrada.

Dados:

4m

3kN

l

l

Mf

Q

-3 kN

-12 kNm

mm,lm,l

:totanPor

l

:Assim

kMfl

:queescreversepodeDa

NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

3999099390

102203120006

6

1200012

10220220

36

3

26

==

=

=

-

==

==

s

s


30

2

360

=

=

k

MPaes

mm,dm,d

:totanPor

d

:Assim

kMfd


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

0478078040

103602840032

32

840048

10360360

36

3

26

==

=

=

-

==

==

sp

s


considerando que a mesma possui seo transversal circular.

Dados:

1m

7kN

d

Mf

Q

4kN

0,7m 0,4m

5kN 6kN

-7,4 kNm

-8,4 kNm

-6,8 kNm

-2 kN

-7 kN


31


considerando que a mesma possui seo transversal retangular.

Dados:

0,5m 1m

4kN 3kN

0,5m

b

h

Q

-3,75kN

0,25kN 3,25kN

Mf

1,875 kN.m 1,625 kN.m

mm,h,h

bxh:pordadohdevalorO

mm,bm,b

:totanPor

d

:Assim

xkMf

b


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

265542183

4218018420

103603318756

6

18758751

10360360

362

32

26

===

==

=

=

-

==

==

s

s

3

3360

==

==

bh

x

kMPaes


32

80

3360

,Dd

y

kMPae

==

==s


considerando que a mesma possui seo transversal tubular.

Dados:

2m

15kN/m

Q

-15kN

15kN

Mf

mm,D,,D

dyD:pordadoDdevalorO

mm,dm,d

:totanPor

),(d

:Assim

)y(kMf

d


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

03825410280

54102102540

801103603750032

132

750057

10360360

346

34

26

==

=

==

-

=

-=

-

==

==

p

sp

s

D

d

,5kN.m


33


considerando que a mesma possui seo transversal caixo.

Dados:

b b

a

a 1m

7kN

Q

-9,6kN

6,4kN

Mf

5kN/m 5kN/m

1m 1m 1m

5kNm

2,4kN

-4,6kN

11,7kNm

mm,b,,b

azb:pordadobdevalorO

mm,am,a

:totanPor

),(a

:Assim

)z(kMf

a


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

8555089360

0893093080

601103003117006

16

11700711

10300300

346

34

26

==

=

==

-

=

-=

-

==

==

s

s

60

3300

,ab

z

kMPae

==

==s


34

mmx,I:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado

aoeriorsupnteimediatamewseescolhe

seguranadefatorutilizousenoComo

adequadoperfiloseencontratabelaNa

cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNm,Mf:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

x

x

x

x

x

e

mxx

mx

e

716101

958

8655

000055860

10180100561

1005605610

10180180

3

3

3

6

26

-

=

-

-

=

=

=

=

-

==

==

s

s

6) Selecionar o perfil industrial tipo I adequado para atuar com segurana na

estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=s

1,2m 0,9m 0,8m

3kNm 7kN

7kN

Mf

Q

-8,38kN

1,62kN

7kN

-10,056kNm -8,598kNm

-3kNm


35

7) Selecionar o perfil industrial tipo U adequado para atuar com segurana na

estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=s

mm,xU:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado




cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw



m/NMPa

:Soluo

x

x

x

x

x

e

mxx

mx

e

848152

771

443

00004340

1018078251

782581257

10180180

3

3

3

6

26

-

=

-

-

=

=

=

=

-

==

==

s

s

0,75m 1,25m

5kNm

10kN

3,75kN

-6,25kN

Mf

Q

2,8125kNm

8,8125kNm


36

8) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas iguais adequado para atuar com

segurana na estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=s

Q

Mf

7kN

2,5kNm

1m 0,5m 0,5m

4kN 8kN

3,5kNm

-1kN

-5kN

mm,x,L:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado




cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw



m/NMPa

:Soluo

x

x

x

x

x

e

mxx

mx

e

61016101

958

4419

000019440

1018035001

350053

10180180

3

3

3

6

26

-

=

-

-

=

=

=

=

-

==

==

s

s


37

9) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas desiguais adequado para atuar com

segurana na estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=s

Q

Mf

0,5m

-3kNm

23kN

15kNm

-8kN -3kN

13kN

1m 7kNm

8kN

3kN 10kN

0,5m 1m

8,5kNm

desiguaisabasmm,x,L

:oselecionadPerfil

cmw

:assim,calculado




cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNmMf:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

x

x

x

x

x

e

mxx

mx

e

61014152

102

3383

000083330

10180150001

1500015

10180180

3

3

3

6

26

-

=

-

-

=

=

=

=

-

==

==

s

s


38

10) Para a estrutura representada a seguir, determine qual o mximo valor de P

que pode ser aplicado.

Dados:

3P

1,5m 1,5m

Q

Mf

1,5P

-1,5P

2,25P

mmdmmD

tubularSeo

,kMPae

85100

61280

==

==s

N,P:totanPor

,,,),,(

P

:Assim

knD)dD(

P


P,Mf:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

e

973649

61252103208501010280

32

252

10280280

446

44

26

=

-

=

-

=

-

=

==

p

ps

s


39

mm,x,I:oselecionadPerfil

cm,w

:Assim,calculado


,seguranadefatorutilizousenoComo


cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

x

x

x

x

x

e

mxx

mx

e

6676101

449

1136

000036110

1018065001

650056

10180180

3

3

3

6

26

-

=

-

-

=

=

=

-

==

==

s

s

1.13 EXERCCIOS PRTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS

11) Para a estrutura representada abaixo, dimensionar a viga superior quanto a

flexo, sabendo-se que a mesma possui perfil industrial I com tenso de escoamento igual

a:

1,3m

1,3m

10KN

MPae 180=s

10kN

Mf

Q

5kN

-5kN

6,5kNm


40

12) Dimensionar a viga da empilhadeira para que suporte com segurana o

carregamento representado na figura.

Dados: Material Ao Liga ABNT 4140-L; MPae 650=s ; k = 1,5; h = 0,2916b.

25KN

Q

Mf

9,375KN.m

12,5KN

8,33KN/m

Diagramas

Seo retangular

h

b

1,5m


41

mm,h,,h

bxh:pordadohdevalorO

mm,bm,b:totanPor

,,

b

:Assim

xkMf

b


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

5633111529160

111511510

10650291605193756

6

93753759

10650650

362

3 2

26

==

=

==

=

=

-

==

==

s

s


42

13) Para a estrutura representada a seguir, dimensionar a viga superior quanto

flexo, sabendo-se que a mesma possui seo transversal caixo.

Dados:

mm,b,,b

azb:pordadobdevalorO

mm,am,a

:totanPor

),(,

a

:Assim

)z(kMf

a


NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

81874412570

44125125440

1030070152300006

16

3000030

10300300

364

34

26

==

=

==

-

=

-=

-

==

==

s

s1,5m 2m

15kN

Cilindro hidrulico

-30kNm

15kN

1,5m 2m

15kN

-20kN

Mf

Q

70

52300

,ab

z

,kMPae

==

==s


43

14) O rob industrial mostrado na figura mantido na posio estacionria

indicada, considerando que ele seja rotulado em A e conectado a um cilindro hidrulico

BD, dimensione a viga ABC admitindo que o brao e a garra tenham um peso uniforme

de 0,3 kN/m e suportam uma carga de 3 kN em C. Considerar seo tubular.

Dados:

mm,d,,d

Dyd:pordadoddevalorO

mm,Dm,D

:totanPor

),(D

:Assim

)y(kMf

D


NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

390811280

811211280

101208012500032

132

50005

10120120

364

34

26

==

=

==

-

=

-=

-

==

==

p

sp

s

80

2120

,Dd

y

kMPae

==

==s

1,25m 0,25m 0,1m

4kN 0,48kN

0,8m 0,25m 0,1m 0,45m

-3kNm -5kNm

-20,86kN

4,48kN 4kN

Mf

Q


44

15) A ferramenta representada a seguir utilizada para a fixao de elementos

de cabea sextavada. Dimensionar a haste da ferramenta considerando que a mesma

possui seo transversal circular.

Dados:

mm,dm,d

:totanPor

d

:Assim

kMfd


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

2720020270

1022029032

32

90090

10220220

36

3

26

==

=

=

-

==

==

p

sp

s

2

220

=

=

k

MPaes

0,3m

0,3kN

0,3m

0,3kN

Mf

Q

-0,09kN

-0,3kN


45

16) A viga mostrada na figura utilizada na linha de produo de uma fbrica

para elevao de carga da esteira inferior para a esteira superior. Selecionar o perfil tipo

I adequado para operar com segurana no sistema representado.

Dados:

MPae 180=s

mmx,I:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado


,seguranadefatorutilizousenoComo


cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

x

x

x

x

x

e

mxx

mx

e

716101

958

4154

000054410

1018099751

99759759

10180180

3

3

3

6

26

-

=

-

-

=

=

=

=

-

==

==

s

s

1,5m 2 m 3,5m

4kN 4kN

3,5m 2 m 1,5m

4kN 4kN

2,85kN

-1,15kN

-5,15kN

Q

9,975kNm 7,675kNm

Mf


46

17) Dimensionar o eixo representado na figura com relao flexo,

considerando que o mesmo possui seo circular.

Dados:

mm,dm,d

:totanPor

d

:Assim

kMfd


NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

8575075850

102802600032

32

60006

10280280

36

3

26

==

=

=

-

==

==

p

sp

s

2

280

=

=

k

MPaes

0,8m 0,25 m

24kN

24kN

0,25 m 0,8m d

Q

Mf

6kNm

7,5kN

-24kN


47

18) Dimensionar o eixo representado na figura com relao flexo,

considerando que o mesmo possui seo tubular.

Dados:

mm,d,,d

Dyd:pordadoddevalorO

mm,Dm,D

:totanPor

),(,

D

:Assim

)y(kMf

D


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

12211628750

1628028160

1030075015130032

132

30030

10300300

364

34

26

==

=

==

-

=

-=

-

==

==

p

sp

s0,35m 0,35m 0,2m 0,6 m

0,35kN 0,5kN 0,15kN

0,3674kN

0,0174kN

-0,4826kN

0,15kN

0,13903kNm

-0,3kNm

Mf

Q

D

d 0,35m 0,35m 0,6 m 0,2m

0,35kN 0,5kN 0,15kN

0,1286kNm

750

51300

,Dd

y

,kMPae

==

==s


48

19) O mecanismo representado a seguir acionado hidraulicamente e utilizado

para elevao de cargas em uma industria. Dimensionar a viga ABCD considerando que

a mesma possui seo transversal quadrada.

Dados:

52360,k

MPae=

=s

mm,lm,l

:totanPor

,l

:Assim

kMfl


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Soluo

e

mx

mx

e

7442042740

103605218756

6

18758751

10360360

36

3

26

==

=

=

-

==

==

s

s

Vista superior

Cilindro hidrulico 30kN

5kN/m

2m 0,5m 0,5m

-0,625kNm

1,875kNm

-2,5kN

2,5kN

-5kN

5kN

Q

Mf

-0,625kNm

A B C

D


49

20) O eixo mostrado na figura a seguir apoiado em mancais radiais lisos nos

pontos A e B. Devido transmisso de potncia para o eixo, as correias das polias esto

sujeitas s tenses indicadas. Determinar o dimetro do eixo.

Dados:

52220,k

MPae=

=s

0,95kN

Mf

0,15m

Q

0,475kN

-0,475kN

0,075kNm

-0,5kN

0,15kN

0,25m 0,25m 0,5m 0,15m

0,5kN

Q

Mf

0,11875kNm

0,55kN 0,4kN 0,2kN

0,3kN

Plano vertical

Plano horizontal

A

B


50

mm,dm,d

:totanPor

,,d

:Assim

kMfd


Nm,Mf

,Mf

:MftetanresulfletorMomento

m/NMPa

:Soluo

e

mx

R

R

R

e

3325025330

10220524514032

32

145140

7575118

10220220

36

3

22

26

==

=

=

-

=

+=

==

p

sp

s


51

1.14 EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo


Dados:

5KN

1m

Mf

Q

-5KNm

-5KN

l

l ,

2

280

==

k

MPaes


52



Dados:

1m 1m

2KN 4KN

Q

-4KN -6KN

-6KNm

-10KNm

l

l

3

300

==

k

MPaes


53



Dados:

Mf

Q

l

2m

3KN

-3kN

-6kNm

l

3

360

==

k

MPaes


54



Dados:

8KN

5KN

1m 1m l

-2KNm

-5KNm

-5KN

3KN

Mf

Q

l

2

220

==

k

MPaes


55



Dados:

d

2130

==

kMPaes

1m

10kN/m

Q

Mf

-7,5kN

10,31kNm

7,5kN

1m

1,5m


56



Dados:

d

12kN

5110,k

MPae=

=s

10kN

4,66kN

-7,34kN

2,66kN

-2,66kNm

4,66kNm

Q

Mf

1m 1m 1m


57



Dados:

d 1m

15kN

2,8kNm

Mf

Q

3

650

==

k

MPaes

12,2kNm

-15kNm

10kN 20kN

-15kN

17,8kN

7,8kN

-12,2kN

1m 1m 1,2m


58



Dados:

d

1m

2kN

Mf

Q

2

50

==

k

MPaes

4kN 2kN

2kN 2kN

-2kN -2kN

-2kNm -2kNm

1m 1m 1m


59



Dados:

h

b

0,5m

-2kN

Mf

Q

81

2360

,bh

x

kMPae

==

==s

3kNm

6kN

8kN

1,5m


60



Dados:

h

b

2,5m

8,75kN

5,46kNm

Mf

Q

2

31130

==

==

bh

x

,kMPaes

-8,75kN

7kN/m


61



Dados:

h

b

1m

20kN/m

-7,5kNm

Mf

Q

2,635kNm

15kN

-9,73kN

10,27kN

15kN

0,8m 0,5m

3

5240

==

==

bh

x

,kMPaes


62



Dados:

h

b

1m

15kNm

-7,5kNm

Mf

Q

42

2220

,bh

x

kMPae

==

==s

-4kNm

8kN/m

-8kN

-1,75kN

15kN

1m 2m


63



Dados:

D

d 1m

5kN

4,5kNm

Mf

Q

50

2250

,Dd

y

,kMPae

==

==s

0,5kNm

4kNm

0,5kN

-4,5kN

1m


64



Dados:

D

d 1m

6,428kN

2kNm

Mf

Q

550

3130

,Dd

y

kMPae

==

==s

3kNm

6,57kNm 6,428kNm

-6,57kN

-0,572kN

7kN 6kN

1m 1,5m


65



Dados:

D

d 1m

7kN

3kNm

Mf

Q

70

5280

,Dd

y

,kMPae

==

==s

4,25kNm

-1,5kNm

1,25kN

-5,75kN

3kN

3kN/m

1m 1m


66



Dados:

D

d 1m

-4kNm

Mf

Q

80

31360

,Dd

y

,kMPae

==

==s

4kN/m

10kN 10kN

10kN

-10kN

4kN/m

-14kNm

1m 2m


67


transversal caixo.

Dados:

b b

a

a

2m

20kN

20kNm

Mf

Q

70

51360

,ab

z

,kMPae

==

==s

10kN

-10kN

2m


68


transversal caixo.

Dados:

b b

a

a 1m

-7kN

-3,5kNm

Mf

Q

80

2450

,ab

z

kMPae

==

==s

7kN/m


69


transversal caixo.

Dados:

b b

a

a 2m

8kN/m

4kNm

Mf

Q

70

52360

,ab

z

,kMPae

==

==s

8kN

-8kN


70


transversal caixo.

Dados:

b b

a

a 1m

2kNm

Mf

Q

50

53280

,ab

z

,kMPae

==

==s

4,5kNm

6,5kNm

-2kNm -2kNm

15kN 4kN/m

-4kN -6,5kN

8,5kN 4kN

4kN/m

1m 1m 1m


71

21) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil I adequado para que a

estrutura suporte o carregamento com segurana.

Dados:

1m

4kN/m

5,625kNm

Mf

Q

MPae 180=s

5kN/m

-5kN

1kN

1,5m


72

22) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil U adequado para que a

estrutura suporte o carregamento com segurana.

Dados:

1m

8kN

-7kNm

Mf

Q

MPae 180=s

7kN

1kN

-7kN

1m

-6kNm


73

23) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas iguais adequado

para que a estrutura suporte o carregamento com segurana.

Dados:

1m

3kN

4kNm

Mf

Q

MPae 180=s

7kN 4kN

-4kN -0,25kN

-7,25kN

3kN

1m 0,4m 0,4m

-4,1kNm -3kNm


74

24) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas desiguais

adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurana.

Dados:

0,8m

8kN

5kNm

Mf

Q

MPae 180=s

-5kNm -11,4kNm

0,12kNm

7kN/m

-8kN

12,7kN

-1,3kN

2m


75

25) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode

ser aplicado.

Dados:

1m

4P

Mf

Q

mmlquadradaSeo

k

MPae

85

2

280

=

=

=s

3P

-1,8P -0,8P

2,2P

1,8P

-0,4P

1m 0,5m


76


ser aplicado.

Dados:

1m

Mf

Q

mmdcircularSeo

k

MPae

70

2

300

=

=

=s

-P

-P

P


77


ser aplicado.

Dados:

1m

Mf

Q

mmhmmb

gulartanreSeo

,kMPae

12090

52360

==

==s

-3P

-4P

-P

-P

P 2P

1m


78


ser aplicado.

Dados:

1m

3P

Mf

Q

mmdmmDtubularSeo

,kMPae

6580

51280

==

==s

3P

-3P

3P 3P

1m 3m


79


ser aplicado.

Dados:

1m

P

Mf

Q

mmbmmacaixoSeo

kMPae

6080

3450

==

==s

2P 3P

6P

P 3P

1,5P

4,5P

10,5P

1m 1,5m


80


ser aplicado.

Dados:

1m

2P

Mf

Q

3452

2180

cm,w

ItipoPerfil

kMPa

x

e

=

==s

2P

2P

-2P

2P

1m 1m


81


ser aplicado.

Dados:

0,7m

1,3P

Mf

Q

3982

51180

cm,w

UtipoPerfil

,kMPa

x

e

=

==s

2,1P

3P

-2P

-P

P

3P

0,8m 0,6m


82


ser aplicado.

Dados:

3P

Mf

Q

338

2180

cmw

desiguaisabasLtipoPerfil

kMPa

x

e

=

==s

1m 1m 0,5m

4P

2,2P

-0,8P -1,8P

1,8P

-0,4P


83

33) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui

seo transversal retangular.

Dados:

1,5m

3kN

4,5kNm

Mf

Q

2

300

==

k

MPaes

?materialmenosconsomeQual)C

,bh

x)B

bh

x)A

:Calcular

50

2

==

==

-3kN

6kN

1,5m


84

MPae 180=s

34) A viga mostra na figura utilizada no ptio de uma estrada de ferro para

carregar e descarregar vages. Se a carga mxima de elevao P=15kN, selecione o perfil

I para suportar com segurana esta carga.

Dados:

5m

-7,5kN

37,5kNm

Mf

Q

7,5kN

15kN

5m

15kN

10m


85

35) A viga de ao mostrada na figura tem uma tenso de flexo admissvel

MPaadm 140=s . Determine a carga mxima que a viga pode suportar com segurana.

Dados:

2m

P

Mf

Q

mmaquadradaSeo

60=

-2P

P

-P

2m


86

36) Determine o menor dimetro admissvel para o eixo que est sujeito s foras

concentradas mostradas na figura. Os mancais A e B suportam apenas foras verticais, e a

tenso de escoamento MPae 280=s , com k=2.

0,1m

0,5kN

0,0033kNm

Mf

Q

-0,05kNm

0,3kN

0,033kN

-0,267kN

0,5kN

0,2m 0,1m

0,5kN

0,3kN


87


seo transversal tubular.

Dados:

1m

-5kN

7kNm

Mf

Q

80

52300

,Dd

y

,kMPae

==

==s

7kN

7kN

12kN

-0,5kNm

1,5m


88


seo transversal circular.

Dados:

2m

12kN

-12kNm

Mf

Q

751360,k

MPae=

=s

6kN

-6kN

2m


89


seo transversal caixo.

Dados:

1m 8kN

-8kNm

Mf

Q

650

2280

,ab

z

kMPae

==

==s

8kN

8kN

-8kN

1m 3m


90


seo transversal quadrada.

Dados:

1m

10kN

-7kNm

Mf

Q

3

450

==

k

MPaes

-41kNm

7kN

-17kN

-7kN

2m


91

Respostas dos Exerccios Propostos

1) l = 59,84mm 2) l = 84,34mm 3) l = 66,94mm 4) l = 64,84mm 5) d = 117,36mm 6) d = 192,47mm 7) d = 89,02mm 8) d = 93,41mm 9) b = 31,36mm, h = 56,46mm 10) b = 43,42mm, h = 86,85mm 11) b = 67,86mm, h = 203,58mm 12) b = 41,41mm, h = 99,39mm 13) D = 129mm, d = 64,5mm 14) D = 119mm, d = 65,45mm 15) D = 121mm, d = 84,7mm 16) D = 95,54mm, d = 76,43mm 17) a = 89,97mm, b = 60,88mm 18) a = 54,07mm, b = 43,25mm 19) a = 60,30mm, b = 42,21mm 20) a = 80,41mm, b = 40,20mm 21) Perfil I 101,6 x 67,6mm 22) Perfil U 152,4 x 48,8mm 23) Perfil L abas iguais - 101,6 x 101,6mm 24) Perfil L abas desiguais 152,4 x 101,6mm 25) P = 7960N 26) P = 5050N 27) P = 7776N 28) P = 1765N 29) P = 7960N 30) P = 833N 31) P = 2358N 32) P = 1900N 33) A) b = 35,56mm, h = 71,12mm; B) b = 44,81mm, h = 89,62mm; C) A 34) Perfil I 203,2 x 101,6mm 35) P = 2520N 36) d = 15,37mm 37) D = 100,21mm, d = 80,17mm 38) d = 84,06mm 39) a = 74,73mm, b = 48,57mm 40) l = 117,92mm


92

Referncias Bibliogrficas

1 Beer. Ferdinand. P, Johnston. Russel. E, Resistncia dos Materiais McGraw-

Hill New York 1992.

2 Hall. Allen. S, Holowenko. Alfred. R, Machine Design Shaums Outlines,

McGraw Hill New York 1962.

3 Hibbeler. R. C, Resistncia dos Materiais, Livros Tcnicos e Cientficos

Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.

4 Hibbeler. R. C, Mecnica Esttica, Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A,

Rio de Janeiro 1998.

5 Jackson. J. J, Wirtz. H. G, Statics and Strength of Materials , Shaums

Outlines, McGraw Hill New York 1983.

6 Meriam. J. L, Kraige. L. G, Mecnica Esttica, Livros Tcnicos e Cientficos

Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.

7 Melconian. S, Mecnica Tcnica e Resistncia dos materiais, Editora rica,

So Paulo 1999.

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