Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Julho - 2002
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NDICE 1.1 - INTRODUO....................................................................................................3 1.2 TIPOS DE ESTRUTURAS .................................................................................3 1.3 ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............................................4 1.4 DIAGRAMAS DE ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............5 1.5 COEFICIENTE DE SEGURANA (k) ..............................................................6 1.6 EQUAO GERAL DA FLEXO ....................................................................6 1.7 TENSO ADMISSVEL ....................................................................................6 1.8 MDULO DE RESISTNCIA FLEXO ......................................................6 1.9 DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL...................................7 1.9.1 INTRODUO ................................................................................................7 1.9.2 TIPOS DE SEO TRANSVERSAL .............................................................8 1.9.2.1 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL QUADRADA .................................8 1.9.2.2 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CIRCULAR....................................9 1.9.2.3 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL RETANGULAR.............................9 1.9.2.4 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TUBULAR...................................11 1.9.2.5 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CAIXO ......................................12 1.9.2.6 VIGAS DE SO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS INDUSTRIAIS ...........................................................................................................14 1.10 CLCULO DA MXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA EM UMA ESTRUTURA SUJEITA FLEXO .............................................................14 1.10.1 INTRODUO ............................................................................................14 1.10.2 CLCULO DO MXIMO VALOR DE P ..................................................15 1.10.2.1 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL QUADRADA .............................................................................................................15 1.10.2.2 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CIRCULAR ................................................................................................................16 1.10.1.3 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL RETANGULAR .........................................................................................................16 1.10.2.4 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TUBULAR .................................................................................................................17 1.10.2.5 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CAIXO.....................................................................................................................17 1.10.2.6 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TIPO PERFIL INDUSTRIAL ..............................................................................................18 1.11 TABELAS PARA SELEO DE PERFIS INDUSTRIAIS ..........................20 1.12 EXERCCIOS RESOLVIDOS........................................................................29 1.13 EXERCCIOS PRTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS ...........................39 1.14 EXERCCIOS PROPOSTOS ..........................................................................51 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS.....................................................91 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................92
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DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS SUJEITAS A ESFOROS DE FLEXO
1.1 -INTRODUO
Neste captulo estudado o dimensionamento de estruturas sujeitas a esforo de
flexo, considerando-se para tal estudo, diversos tipos de estruturas e sees transversais.
1.2 TIPOS DE ESTRUTURAS
A) VIGAS ENGASTADAS: So vigas que possuem uma de suas extremidades
livre e a outra fixa.
Figura 1.1 Exemplo de viga engastada.
B) VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS: Possuem apoios em suas extremidades,
sendo um dos apoios fixo e o outro mvel, para garantir a estaticidade da estrutura.
Figura 1.2 Exemplo de viga simplesmente apoiada.
Equaes da esttica:
3 Equaes - = 0VF , 0HF e = 0M .
3 Incgnitas RAV, RAH e RB .
P
B A
P
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C) VIGAS SIMPLES COM BALANO NAS EXTREMIDADES: So vigas
simplesmente apoiadas, porm com suas extremidades deslocadas em relao aos apoios.
Figura 1.3 Exemplo de viga simples com balanos.
1.3 ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR
A) ESFORO CORTANTE: Carga que tende a provocar cisalhamento da
estrutura e conseqente flexo da mesma pois o comprimento da barra no desprezado. O
esforo cortante representado neste curso por Q, e, pode ser, positivo ou negativo,
dependendo da conveno de sinais adotada.
Figura 1.4 Conveno de sinais para o esforo cortante.
Quando a carga aplicada de cima para baixo, o esforo cortante negativo.
Quando a carga aplicada de baixo para cima, o esforo cortante positivo.
B) MOMENTO FLETOR: Pode ser definido como o momento resultante de todas
as foras que so aplicadas na estrutura. Quando se trata de flexo, possvel conhecer o
valor do momento fletor em cada ponto da estrutura. O momento fletor tambm pode ser
positivo ou negativo.
Q-
B A
Q+ Q-
Q+
Viga Horizontal Viga Vertical
P
B A
P P
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Figura 1.5 momento fletor positivo ou negativo.
Quando as fibras inferiores da estrutura so comprimidas, o momento fletor
negativo.
Quando as fibras inferiores da estrutura so tracionadas, o momento fletor
positivo.
1.4 DIAGRAMAS DE ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Os diagramas de esforo cortante e momento fletor permitem ao projetista analisar
qual o ponto crtico da estrutura, ou seja, qual a regio que a viga pode se romper.
Figura 1.6 Exemplo de diagramas de esforo cortante e momento fletor.
P
L
-P
0
0
-P.L
Ponto crtico
Trao Compresso
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1.5 COEFICIENTE DE SEGURANA (k)
Fator de correo com a finalidade de aumentar as dimenses da estrutura
garantindo desse modo maior segurana ao projeto.
1.6 EQUAO GERAL DA FLEXO
A equao matemtica que dimensiona uma estrutura sujeita a esforo de flexo
dada por:
x
Fmx
wM
=s . (1.1)
1.7 TENSO ADMISSVEL
A tenso admissvel obtida dividindo-se a tenso de escoamento do material
utilizado no projeto pelo coeficiente de segurana empregado, pode ser calculada do
seguinte modo:
kess = . (1.2)
1.8 MDULO DE RESISTNCIA FLEXO (wX)
Representa em termos numricos como determinado tipo de seo reage ao esforo,
ou seja, representa a resistncia da seo em relao ao esforo de flexo. Para cada tipo de
seo transversal estudada tem-se uma equao diferente para se calcular o valor de wx.
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Tabela 1.1 Mdulo de resistncia flexo em relao ao eixo x.
TIPO DA SEO TRANSVERSAL MDULO DE RESISTNCIA (WX)
QUADRADA
6
3lwx = (1.3)
RETANGULAR
CIRCULAR
TUBULAR
BALCO OU CAIXO
1.9 DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL
1.9.1 INTRODUO
O objetivo desta seo apresentar a formulao matemtica utilizada para o
dimensionamento da seo transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na
construo de estruturas mecnicas.
b b
a
a
h
b
d
l
D
d
)4.1(6
2bhwX =
)5.1(32
3dwX
p=
)7.1(6
44
aba
wX-
=
)6.1(32
)( 44
DdD
wX-
=p
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1.9.2 TIPOS DE SEO TRANSVERSAL
Os principais tipos de seo transversal estudadas na presente seo so: quadrada,
circular, retangular, tubular e caixo, tambm so estudados os perfis industriais tipo I, U,
L (abas iguais) e L (abas desiguais).
1.9.2.1 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL QUADRADA
A partir das Equaes (1.1), (1.2) e (1.3), pode-se chegar a uma equao geral que
fornece como resultado o valor numrico do comprimento l que representa a dimenso do
lado da seo transversal quadrada.
Substituindo-se a Equao (1.2) na Equao (1.1), tem-se que:
wxMf
kmxe =
s. (1.8)
A Equao (1.8) utilizada para todos os tipos de seo transversal utilizadas na
presente seo.
Para vigas de seo quadrada, basta substituir a Equao (1.3) na Equao (1.8),
chegando-se a:
6
3lMf
kmxe =
s. (1.9)
Rearranjando-se os termos, a Equao (1.9) pode ser escrita do seguinte modo:
3
6l
Mfk
mxe =s
. (1.10)
Resolvendo-se a Equao (1.10) com relao a l, chega-se a uma soluo geral
representada pela Equao (1.11), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seo
transversal quadrada.
36
e
mxkMfls
= . (1.11)
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1.9.2.2 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CIRCULAR
A partir das Equaes (1.4) e (1.8), pode-se chegar a uma equao geral que
fornece como resultado o valor numrico do comprimento d que representa a dimenso do
dimetro da circunferncia que forma a viga.
Substituindo-se a Equao (1.4) na Equao (1.8),pode-se escrever que:
32
3dMf
kmxe
ps
= . (1.12)
Rearranjando-se os termos, a Equao (1.12) pode ser escrita do seguinte modo:
3
32d
Mfk
mxe
ps
= . (1.13)
Resolvendo-se a Equao (1.13) com relao a d, chega-se a uma soluo geral
representada pela Equao (1.14), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seo
transversal circular.
332
e
mxkMfdps
= . (1.14)
1.9.2.3 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL RETANGULAR
A partir das Equaes (1.5) e (1.8), pode-se chegar a uma equao geral que
fornece como resultado numrico os valores de b e h, que representam as dimenses de
base e altura da viga de seo retangular.
Substituindo-se a Equao (1.5) na Equao (1.8), pode-se escrever que:
6
2bhMf
kmxe =
s. (1.15)
Pode-se notar claramente na anlise da Equao (1.15), que na soluo de vigas de
seo transversal retangular, existem duas incgnitas, b e h, portanto, interessante
assumir uma nova equao que fornea a relao entre b e h, fazendo desse modo com que
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uma das incgnitas seja camuflada em meio a soluo do problema. Assim, define-se a
varivel x como a relao entre h e b, como pode-se observar na Equao (1.16):
bh
x = . (1.16)
Da pode-se escrever que:
xbh = . (1.17)
Substituindo-se a Equao (1.17) na Equao (1.15), tem-se que:
6)( 2xbb
Mfk
mxe =s
. (1.18)
Rearranjando-se os termos, a Equao (1.18) pode ser escrita do seguinte modo:
22
6bbx
Mfk
mxe =s
. (1.19)
Resolvendo-se a Equao (1.19) com relao a b, chega-se a uma soluo geral
representada pela Equao (1.20), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seo
transversal retangular.
32
6
e
mx
xkMf
bs
= , (1.20)
onde x representa a relao entre h e b fornecida no problema.
Uma vez conhecido o valor de b, o valor numrico de h pode ser calculado a partir
da Equao (1.17) como citado anteriormente.
Portanto, as Equaes (1.20) e (1.17) so utilizadas para o dimensionamento de
vigas de seo transversal retangular.
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1.9.2.4 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TUBULAR
A partir das Equaes (1.6) e (1.8), pode-se chegar a uma equao geral que
fornece como resultado numrico os valores de D e d, que representam as dimenses de
dimetro externo e dimetro interno de uma viga de seo transversal tubular.
Substituindo-se a Equao (1.6) na Equao (1.8), pode-se escrever que:
DdD
Mfk
mxe
32)( 44 -
=p
s. (1.21)
Novamente pode-se perceber que se tem na soluo do problema duas incgnitas D
e d, portanto, a varivel y definida como a relao entre d e D, como pode-se observar na
Equao (1.22):
Dd
y = . (1.22)
Da pode-se escrever que:
yDd = . (1.23)
Substituindo-se a Equao (1.23) na Equao (1.21), tem-se que:
DyDD
Mfk
mxe
32)( 4-
=p
s. (1.24)
Rearranjando-se os termos, a Equao (1.24) pode ser escrita do seguinte modo:
444
32DyD
DMfk
mxe
pps
-= . (1.25)
Da pode-se escrever que:
)1(32
44 yDDMf
kmxe
-=
ps
. (1.26)
Assim:
)1(32
43 yDMf
kmxe
-=
ps
. (1.27)
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Resolvendo-se a Equao (1.27) com relao a D, chega-se a uma soluo geral
representada pela Equao (1.28), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seo
transversal tubular.
34 )1(
32ykMf
De
mx
-=
ps, (1.28)
onde y representa a relao entre d e D fornecida no problema.
Uma vez conhecido o valor de D, o valor numrico de d pode ser calculado a partir
da Equao (1.23) como citado anteriormente.
Portanto, as Equaes (1.28) e (1.23) so utilizadas para o dimensionamento de
vigas de seo transversal tubular.
1.9.2.5 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL CAIXO
A partir das Equaes (1.7) e (1.8), pode-se chegar a uma equao geral que
fornece como resultado numrico os valores de a e b, que representam as dimenses de
dimetro dos lados, externo e interno, de uma viga de seo transversal caixo.
Substituindo-se a Equao (1.7) na Equao (1.8), pode-se escrever que:
aba
Mfk
mxe
6
44 -=
s. (1.29)
Novamente pode-se perceber que se tem na soluo do problema duas incgnitas a
e b, portanto, a varivel z definida como a relao entre b e a, como pode-se observar na
Equao (1.30):
ab
z = . (1.30)
Da pode-se escrever que:
zab = . (1.31)
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Substituindo-se a Equao (1.31) na Equao (1.29), tem-se que:
azaa
Mfk
mxe
6)( 44 -
=s
. (1.32)
Rearranjando-se os termos, a Equao (1.32) pode ser escrita do seguinte modo:
44 )(6
zaaaMf
kmxe
-=
s. (1.33)
Da pode-se escrever que:
)1(6
44 zaaMf
kmxe
-=
s. (1.34)
Assim:
)1(6
43 zaaMf
kmxe
-=
s. (1.35)
Resolvendo-se a Equao (1.35) com relao a a, chega-se a uma soluo geral
representada pela Equao (1.36), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seo
transversal caixo.
34 )1(
6zkMf
ae
mx
-=
s, (1.36)
onde z representa a relao entre b e a fornecida no problema.
Uma vez conhecido o valor de a, o valor numrico de b pode ser calculado a partir
da Equao (1.31) como citado anteriormente.
Portanto, as Equaes (1.36) e (1.31) so utilizadas para o dimensionamento de
vigas de seo transversal caixo.
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1.9.2.6 VIGAS DE SEO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS
INDUSTRIAIS
Ao contrrio do se possa parecer, a soluo de problemas de dimensionamento de
vigas com seo transversal formada por perfis industriais mais simples que a soluo
apresentada para os casos anteriores.
A partir da Equao (1.8), pode-se determinar o valor do mdulo de resistncia em
relao ao eixo x (wx), resultando em:
e
mxx
kMfw
s= . (1.37)
A Equao (1.37) pode ser utilizada sempre que se necessitar selecionar um perfil
industrial.
Para perfis dos tipos I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais), uma vez calculado o
valor de (wx) atravs da Equao (1.37), o perfil pode ser selecionado na tabela
correspondente ao perfil desejado. Vale ressaltar que se no for utilizado fator de
segurana, ou seja, valor de k igual a 1 (k=1), a seleo do perfil deve ser realizada
considerando-se um valor maior que o (wx) que foi calculado, ou seja, na tabela seleciona-
se o valor de (wx) imediatamente superior ao calculado, uma vez que o mesmo representa a
condio limite para o dimensionamento da estrutura.
1.10 CLCULO DA MXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA
EM UMA ESTRUTURA SUJEITA FLEXO
1.10.1 INTRODUO
O objetivo desta seo apresentar a formulao matemtica utilizada para o
clculo da mxima carga P que pode ser aplicada em uma estrutura sujeita flexo,
constituda por uma seo transversal equivalente s estudadas na seo anterior.
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1.10.2 CLCULO DO MXIMO VALOR DE P
A seguir so apresentadas as equaes gerais para o clculo do mximo valor de P
para alguns tipos de seo transversal j estudadas.
1.10.2.1 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL
QUADRADA
A partir da Equao (1.10), isola-se a varivel Mfmx, resultando em:
kl
Mf emx 6
3s= . (1.38)
Como se desconhece o valor de P, no possvel se conhecer o valor numrico de
Mfmx, portanto, conveniente que para o valor de Mfmx seja adotada a relao apresentada
na Equao (1.39):
PnMf mx= , (1.39)
onde n o valor numrico obtido no diagrama de momento fletor para a estrutura.
Assim, substituindo-se a Equao (1.39) na Equao (1.38), tem-se:
kl
Pn e6
3s= . (1.40)
Resolvendo-se a Equao (1.40) com relao a P, chega-se a uma Equao geral
que pode ser utilizada para a determinao da carga mxima, sempre que a viga possuir
seo transversal quadrada.
knl
P e6
3s= . (1.41)
Portanto, a Equao (1.41) geral para vigas de seo transversal quadrada.
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16
1.10.2.2 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL
CIRCULAR
A partir da Equao (1.13), isola-se a varivel Mfmx, resultando em:
kd
Mf emx 32
3ps= . (1.42)
Assim, substituindo-se a Equao (1.39) na Equao (1.42), tem-se:
kd
Pn e32
3ps= . (1.43)
Resolvendo-se a Equao (1.43) com relao a P, chega-se a uma Equao geral
que pode ser utilizada para a determinao da carga mxima, sempre que a viga possuir
seo transversal circular.
knd
P e32
3ps= . (1.44)
Portanto, a Equao (1.44) geral para vigas de seo transversal circular.
1.10.2.3 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL
RETANGULAR
A partir da Equao (1.15), isola-se a varivel Mfmx, resultando em:
khb
Mf emx 6
2s= . (1.45)
Assim, substituindo-se a Equao (1.39) na Equao (1.45), tem-se:
khb
Pn e6
2s= . (1.46)
Resolvendo-se a Equao (1.46) com relao a P, chega-se a uma Equao geral
que pode ser utilizada para a determinao da carga mxima, sempre que a viga possuir
seo transversal retangular.
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17
knhb
P e6
2s= . (1.47)
Portanto, a Equao (1.47) geral para vigas de seo transversal retangular.
1.10.2.4 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL
TUBULAR
A partir da Equao (1.21), isola-se a varivel Mfmx, resultando em:
DkdD
Mf emx 32)( 44 -
=ps
. (1.48)
Assim, substituindo-se a Equao (1.39) na Equao (1.48), tem-se:
DkdD
Pn e32
)( 44 -=
ps. (1.49)
Resolvendo-se a Equao (1.49) com relao a P, chega-se a uma Equao geral
que pode ser utilizada para a determinao da carga mxima, sempre que a viga possuir
seo transversal tubular.
DkndD
P e32
)( 44 -=
ps. (1.50)
Portanto, a Equao (1.50) geral para vigas de seo transversal tubular.
1.10.2.5 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL
CAIXO
A partir da Equao (1.29), isola-se a varivel Mfmx, resultando em:
kaba
Mf emx 6)( 44 -
=s
. (1.51)
Assim, substituindo-se a Equao (1.39) na Equao (1.51), tem-se:
kaba
Pn e6
)( 44 -=
s. (1.52)
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Resolvendo-se a Equao (1.52) com relao a P, chega-se a uma Equao geral
que pode ser utilizada para a determinao da carga mxima, sempre que a viga possuir
seo transversal caixo.
nkaba
P e6
)( 44 -=
s. (1.53)
Portanto, a Equao (1.53) geral para vigas de seo transversal caixo.
1.10.2.5 CLCULO DE P EM VIGAS DE SEO TRANSVERSAL TIPO
PERFIL INDUSTRIAL
A partir da Equao (1.37), isola-se a varivel Mfmx, resultando em:
kW
Mf Xemxs
= . (1.54)
Assim, substituindo-se a Equao (1.39) na Equao (1.54), tem-se:
kW
Pn Xes
= . (1.55)
Resolvendo-se a Equao (1.55) com relao a P, chega-se a uma Equao geral
que pode ser utilizada para a determinao da carga mxima, sempre que a viga possuir
seo transversal tipo perfil industrial.
nkw
P xes
= . (1.56)
Portanto, a Equao (1.56) utilizada para a determinao do valor de P em vigas
com seo de perfil industrial, lembrando-se que o valor de (wx) obtido em tabelas, de
acordo com o perfil utilizado.
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19
Tabela 1.2 Formulrio para dimensionamento flexo.
SEO DIMENSIONAMENTO CLCULO DE P
QUADRADA 3
6
e
mxkMfls
= knl
P e6
3s=
CIRCULAR 3
32
e
mxkMfdps
= kn
dP e
32
3ps=
RETANGULAR 3
2
6
e
mx
xkMf
bs
=
xbh =
knhb
P e6
2s=
TUBULAR 3
4 )1(32
ykMf
De
mx
-=
ps
yDd =
DkndD
P e32
)( 44 -=
ps
CAIXO 3
4 )1(6
zkMf
ae
mx
-=
s
zab =
nkaba
P e6
)( 44 -=
s
PERFIL INDUSTRIAL
e
mxx
kMfw
s=
nkw
P xes
=
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20
1.11 - TABELAS PARA SELEO DE PERFIS INDUSTRIAIS
Tabela 1.3 Perfis H Padro Americano.
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21
Tabela 1.4 Perfis I Padro Americano.
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22
Tabela 1.5 Perfis I Padro Americano.
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23
Tabela 1.6 Perfis U Padro Americano.
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24
Tabela 1.7 Perfis U Padro Americano.
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25
Tabela 1.8 Perfis L (Abas Iguais) - Padro Americano.
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26
Tabela 1.9 Perfis L (Abas Desiguais) - Padro Americano.
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27
Tabela 1.10 Perfis L (Abas Desiguais).
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28
Tabela 1.11 Propriedades dos Materiais.
TENSES
Material Tenso de Escoamento [MPa] Tenso de Ruptura
[MPa]
Ao Carbono
ABNT 1010 L 220 320
ABNT 1010 T 380 420
ABNT 1020 L 280 360
ABNT 1020 T 480 500
ABNT 1030 L 300 480
ABNT 1030 T 500 550
ABNT 1040 L 360 600
ABNT 1040 T 600 700
ABNT 1050 L 400 650
ABNT 1050 T 700 750
Ao Liga
ABNT 4140 L 650 780
ABNT 4140 T 700 1000
ABNT 8620 - L 440 700
ABNT 8620 T 700 780
Materiais no Ferrosos
Alumnio 30-120 70-230
Duralumnio 14 100-420 200-500
Cobre Telrio 60-320 230-350
Bronze de Nquel 120-650 300-750
Magnsio 140-200 210-300
Titnio 520 60
Zinco - 290
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29
3
220
=
=
k
MPaes
1.12 EXERCCIOS RESOLVIDOS
1) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relao flexo,
considerando que a mesma possui seo transversal quadrada.
Dados:
4m
3kN
l
l
Mf
Q
-3 kN
-12 kNm
mm,lm,l
:totanPor
l
:Assim
kMfl
:queescreversepodeDa
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
3999099390
102203120006
6
1200012
10220220
36
3
26
==
=
=
-
==
==
s
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
30
2
360
=
=
k
MPaes
mm,dm,d
:totanPor
d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
0478078040
103602840032
32
840048
10360360
36
3
26
==
=
=
-
==
==
sp
s
2) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relao flexo,
considerando que a mesma possui seo transversal circular.
Dados:
1m
7kN
d
Mf
Q
4kN
0,7m 0,4m
5kN 6kN
-7,4 kNm
-8,4 kNm
-6,8 kNm
-2 kN
-7 kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
31
3) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relao flexo,
considerando que a mesma possui seo transversal retangular.
Dados:
0,5m 1m
4kN 3kN
0,5m
b
h
Q
-3,75kN
0,25kN 3,25kN
Mf
1,875 kN.m 1,625 kN.m
mm,h,h
bxh:pordadohdevalorO
mm,bm,b
:totanPor
d
:Assim
xkMf
b
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
265542183
4218018420
103603318756
6
18758751
10360360
362
32
26
===
==
=
=
-
==
==
s
s
3
3360
==
==
bh
x
kMPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
32
80
3360
,Dd
y
kMPae
==
==s
4) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relao flexo,
considerando que a mesma possui seo transversal tubular.
Dados:
2m
15kN/m
Q
-15kN
15kN
Mf
mm,D,,D
dyD:pordadoDdevalorO
mm,dm,d
:totanPor
),(d
:Assim
)y(kMf
d
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
03825410280
54102102540
801103603750032
132
750057
10360360
346
34
26
==
=
==
-
=
-=
-
==
==
p
sp
s
D
d
,5kN.m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
33
5) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relao flexo,
considerando que a mesma possui seo transversal caixo.
Dados:
b b
a
a 1m
7kN
Q
-9,6kN
6,4kN
Mf
5kN/m 5kN/m
1m 1m 1m
5kNm
2,4kN
-4,6kN
11,7kNm
mm,b,,b
azb:pordadobdevalorO
mm,am,a
:totanPor
),(a
:Assim
)z(kMf
a
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
8555089360
0893093080
601103003117006
16
11700711
10300300
346
34
26
==
=
==
-
=
-=
-
==
==
s
s
60
3300
,ab
z
kMPae
==
==s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
34
mmx,I:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
seguranadefatorutilizousenoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
x
x
x
x
x
e
mxx
mx
e
716101
958
8655
000055860
10180100561
1005605610
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
=
=
-
==
==
s
s
6) Selecionar o perfil industrial tipo I adequado para atuar com segurana na
estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=s
1,2m 0,9m 0,8m
3kNm 7kN
7kN
Mf
Q
-8,38kN
1,62kN
7kN
-10,056kNm -8,598kNm
-3kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
35
7) Selecionar o perfil industrial tipo U adequado para atuar com segurana na
estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=s
mm,xU:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
seguranadefatorutilizousenoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
x
x
x
x
x
e
mxx
mx
e
848152
771
443
00004340
1018078251
782581257
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
=
=
-
==
==
s
s
0,75m 1,25m
5kNm
10kN
3,75kN
-6,25kN
Mf
Q
2,8125kNm
8,8125kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
36
8) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas iguais adequado para atuar com
segurana na estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=s
Q
Mf
7kN
2,5kNm
1m 0,5m 0,5m
4kN 8kN
3,5kNm
-1kN
-5kN
mm,x,L:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
seguranadefatorutilizousenoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
x
x
x
x
x
e
mxx
mx
e
61016101
958
4419
000019440
1018035001
350053
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
=
=
-
==
==
s
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
37
9) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas desiguais adequado para atuar com
segurana na estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=s
Q
Mf
0,5m
-3kNm
23kN
15kNm
-8kN -3kN
13kN
1m 7kNm
8kN
3kN 10kN
0,5m 1m
8,5kNm
desiguaisabasmm,x,L
:oselecionadPerfil
cmw
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
seguranadefatorutilizousenoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDa
NmkNmMf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
x
x
x
x
x
e
mxx
mx
e
61014152
102
3383
000083330
10180150001
1500015
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
=
=
-
==
==
s
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
38
10) Para a estrutura representada a seguir, determine qual o mximo valor de P
que pode ser aplicado.
Dados:
3P
1,5m 1,5m
Q
Mf
1,5P
-1,5P
2,25P
mmdmmD
tubularSeo
,kMPae
85100
61280
==
==s
N,P:totanPor
,,,),,(
P
:Assim
knD)dD(
P
:queescreversepodeDa
P,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
e
973649
61252103208501010280
32
252
10280280
446
44
26
=
-
=
-
=
-
=
==
p
ps
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
39
mm,x,I:oselecionadPerfil
cm,w
:Assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
,seguranadefatorutilizousenoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
x
x
x
x
x
e
mxx
mx
e
6676101
449
1136
000036110
1018065001
650056
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
=
-
==
==
s
s
1.13 EXERCCIOS PRTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS
11) Para a estrutura representada abaixo, dimensionar a viga superior quanto a
flexo, sabendo-se que a mesma possui perfil industrial I com tenso de escoamento igual
a:
1,3m
1,3m
10KN
MPae 180=s
10kN
Mf
Q
5kN
-5kN
6,5kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
40
12) Dimensionar a viga da empilhadeira para que suporte com segurana o
carregamento representado na figura.
Dados: Material Ao Liga ABNT 4140-L; MPae 650=s ; k = 1,5; h = 0,2916b.
25KN
Q
Mf
9,375KN.m
12,5KN
8,33KN/m
Diagramas
Seo retangular
h
b
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
41
mm,h,,h
bxh:pordadohdevalorO
mm,bm,b:totanPor
,,
b
:Assim
xkMf
b
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
5633111529160
111511510
10650291605193756
6
93753759
10650650
362
3 2
26
==
=
==
=
=
-
==
==
s
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
42
13) Para a estrutura representada a seguir, dimensionar a viga superior quanto
flexo, sabendo-se que a mesma possui seo transversal caixo.
Dados:
mm,b,,b
azb:pordadobdevalorO
mm,am,a
:totanPor
),(,
a
:Assim
)z(kMf
a
:queescreversepodeDa
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
81874412570
44125125440
1030070152300006
16
3000030
10300300
364
34
26
==
=
==
-
=
-=
-
==
==
s
s1,5m 2m
15kN
Cilindro hidrulico
-30kNm
15kN
1,5m 2m
15kN
-20kN
Mf
Q
70
52300
,ab
z
,kMPae
==
==s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
43
14) O rob industrial mostrado na figura mantido na posio estacionria
indicada, considerando que ele seja rotulado em A e conectado a um cilindro hidrulico
BD, dimensione a viga ABC admitindo que o brao e a garra tenham um peso uniforme
de 0,3 kN/m e suportam uma carga de 3 kN em C. Considerar seo tubular.
Dados:
mm,d,,d
Dyd:pordadoddevalorO
mm,Dm,D
:totanPor
),(D
:Assim
)y(kMf
D
:queescreversepodeDa
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
390811280
811211280
101208012500032
132
50005
10120120
364
34
26
==
=
==
-
=
-=
-
==
==
p
sp
s
80
2120
,Dd
y
kMPae
==
==s
1,25m 0,25m 0,1m
4kN 0,48kN
0,8m 0,25m 0,1m 0,45m
-3kNm -5kNm
-20,86kN
4,48kN 4kN
Mf
Q
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
44
15) A ferramenta representada a seguir utilizada para a fixao de elementos
de cabea sextavada. Dimensionar a haste da ferramenta considerando que a mesma
possui seo transversal circular.
Dados:
mm,dm,d
:totanPor
d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
2720020270
1022029032
32
90090
10220220
36
3
26
==
=
=
-
==
==
p
sp
s
2
220
=
=
k
MPaes
0,3m
0,3kN
0,3m
0,3kN
Mf
Q
-0,09kN
-0,3kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
45
16) A viga mostrada na figura utilizada na linha de produo de uma fbrica
para elevao de carga da esteira inferior para a esteira superior. Selecionar o perfil tipo
I adequado para operar com segurana no sistema representado.
Dados:
MPae 180=s
mmx,I:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
,seguranadefatorutilizousenoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
x
x
x
x
x
e
mxx
mx
e
716101
958
4154
000054410
1018099751
99759759
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
=
=
-
==
==
s
s
1,5m 2 m 3,5m
4kN 4kN
3,5m 2 m 1,5m
4kN 4kN
2,85kN
-1,15kN
-5,15kN
Q
9,975kNm 7,675kNm
Mf
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
46
17) Dimensionar o eixo representado na figura com relao flexo,
considerando que o mesmo possui seo circular.
Dados:
mm,dm,d
:totanPor
d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDa
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
8575075850
102802600032
32
60006
10280280
36
3
26
==
=
=
-
==
==
p
sp
s
2
280
=
=
k
MPaes
0,8m 0,25 m
24kN
24kN
0,25 m 0,8m d
Q
Mf
6kNm
7,5kN
-24kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
47
18) Dimensionar o eixo representado na figura com relao flexo,
considerando que o mesmo possui seo tubular.
Dados:
mm,d,,d
Dyd:pordadoddevalorO
mm,Dm,D
:totanPor
),(,
D
:Assim
)y(kMf
D
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
12211628750
1628028160
1030075015130032
132
30030
10300300
364
34
26
==
=
==
-
=
-=
-
==
==
p
sp
s0,35m 0,35m 0,2m 0,6 m
0,35kN 0,5kN 0,15kN
0,3674kN
0,0174kN
-0,4826kN
0,15kN
0,13903kNm
-0,3kNm
Mf
Q
D
d 0,35m 0,35m 0,6 m 0,2m
0,35kN 0,5kN 0,15kN
0,1286kNm
750
51300
,Dd
y
,kMPae
==
==s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
48
19) O mecanismo representado a seguir acionado hidraulicamente e utilizado
para elevao de cargas em uma industria. Dimensionar a viga ABCD considerando que
a mesma possui seo transversal quadrada.
Dados:
52360,k
MPae=
=s
mm,lm,l
:totanPor
,l
:Assim
kMfl
:queescreversepodeDa
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Soluo
e
mx
mx
e
7442042740
103605218756
6
18758751
10360360
36
3
26
==
=
=
-
==
==
s
s
Vista superior
Cilindro hidrulico 30kN
5kN/m
2m 0,5m 0,5m
-0,625kNm
1,875kNm
-2,5kN
2,5kN
-5kN
5kN
Q
Mf
-0,625kNm
A B C
D
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
49
20) O eixo mostrado na figura a seguir apoiado em mancais radiais lisos nos
pontos A e B. Devido transmisso de potncia para o eixo, as correias das polias esto
sujeitas s tenses indicadas. Determinar o dimetro do eixo.
Dados:
52220,k
MPae=
=s
0,95kN
Mf
0,15m
Q
0,475kN
-0,475kN
0,075kNm
-0,5kN
0,15kN
0,25m 0,25m 0,5m 0,15m
0,5kN
Q
Mf
0,11875kNm
0,55kN 0,4kN 0,2kN
0,3kN
Plano vertical
Plano horizontal
A
B
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
50
mm,dm,d
:totanPor
,,d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDa
Nm,Mf
,Mf
:MftetanresulfletorMomento
m/NMPa
:Soluo
e
mx
R
R
R
e
3325025330
10220524514032
32
145140
7575118
10220220
36
3
22
26
==
=
=
-
=
+=
==
p
sp
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
51
1.14 EXERCCIOS PROPOSTOS
1) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal quadrada.
Dados:
5KN
1m
Mf
Q
-5KNm
-5KN
l
l ,
2
280
==
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
52
2) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal quadrada.
Dados:
1m 1m
2KN 4KN
Q
-4KN -6KN
-6KNm
-10KNm
l
l
3
300
==
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
53
3) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal quadrada.
Dados:
Mf
Q
l
2m
3KN
-3kN
-6kNm
l
3
360
==
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
54
4) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal quadrada.
Dados:
8KN
5KN
1m 1m l
-2KNm
-5KNm
-5KN
3KN
Mf
Q
l
2
220
==
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
55
5) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal circular.
Dados:
d
2130
==
kMPaes
1m
10kN/m
Q
Mf
-7,5kN
10,31kNm
7,5kN
1m
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
56
6) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal circular.
Dados:
d
12kN
5110,k
MPae=
=s
10kN
4,66kN
-7,34kN
2,66kN
-2,66kNm
4,66kNm
Q
Mf
1m 1m 1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
57
7) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal circular.
Dados:
d 1m
15kN
2,8kNm
Mf
Q
3
650
==
k
MPaes
12,2kNm
-15kNm
10kN 20kN
-15kN
17,8kN
7,8kN
-12,2kN
1m 1m 1,2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
58
8) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal circular.
Dados:
d
1m
2kN
Mf
Q
2
50
==
k
MPaes
4kN 2kN
2kN 2kN
-2kN -2kN
-2kNm -2kNm
1m 1m 1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
59
9) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal retangular.
Dados:
h
b
0,5m
-2kN
Mf
Q
81
2360
,bh
x
kMPae
==
==s
3kNm
6kN
8kN
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
60
10) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal retangular.
Dados:
h
b
2,5m
8,75kN
5,46kNm
Mf
Q
2
31130
==
==
bh
x
,kMPaes
-8,75kN
7kN/m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
61
11) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal retangular.
Dados:
h
b
1m
20kN/m
-7,5kNm
Mf
Q
2,635kNm
15kN
-9,73kN
10,27kN
15kN
0,8m 0,5m
3
5240
==
==
bh
x
,kMPaes
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62
12) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal retangular.
Dados:
h
b
1m
15kNm
-7,5kNm
Mf
Q
42
2220
,bh
x
kMPae
==
==s
-4kNm
8kN/m
-8kN
-1,75kN
15kN
1m 2m
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63
13) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
5kN
4,5kNm
Mf
Q
50
2250
,Dd
y
,kMPae
==
==s
0,5kNm
4kNm
0,5kN
-4,5kN
1m
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64
14) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
6,428kN
2kNm
Mf
Q
550
3130
,Dd
y
kMPae
==
==s
3kNm
6,57kNm 6,428kNm
-6,57kN
-0,572kN
7kN 6kN
1m 1,5m
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65
15) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
7kN
3kNm
Mf
Q
70
5280
,Dd
y
,kMPae
==
==s
4,25kNm
-1,5kNm
1,25kN
-5,75kN
3kN
3kN/m
1m 1m
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66
16) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
-4kNm
Mf
Q
80
31360
,Dd
y
,kMPae
==
==s
4kN/m
10kN 10kN
10kN
-10kN
4kN/m
-14kNm
1m 2m
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67
17) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal caixo.
Dados:
b b
a
a
2m
20kN
20kNm
Mf
Q
70
51360
,ab
z
,kMPae
==
==s
10kN
-10kN
2m
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68
18) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal caixo.
Dados:
b b
a
a 1m
-7kN
-3,5kNm
Mf
Q
80
2450
,ab
z
kMPae
==
==s
7kN/m
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69
19) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal caixo.
Dados:
b b
a
a 2m
8kN/m
4kNm
Mf
Q
70
52360
,ab
z
,kMPae
==
==s
8kN
-8kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexo Simples
70
20) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seo
transversal caixo.
Dados:
b b
a
a 1m
2kNm
Mf
Q
50
53280
,ab
z
,kMPae
==
==s
4,5kNm
6,5kNm
-2kNm -2kNm
15kN 4kN/m
-4kN -6,5kN
8,5kN 4kN
4kN/m
1m 1m 1m
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71
21) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil I adequado para que a
estrutura suporte o carregamento com segurana.
Dados:
1m
4kN/m
5,625kNm
Mf
Q
MPae 180=s
5kN/m
-5kN
1kN
1,5m
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72
22) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil U adequado para que a
estrutura suporte o carregamento com segurana.
Dados:
1m
8kN
-7kNm
Mf
Q
MPae 180=s
7kN
1kN
-7kN
1m
-6kNm
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73
23) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas iguais adequado
para que a estrutura suporte o carregamento com segurana.
Dados:
1m
3kN
4kNm
Mf
Q
MPae 180=s
7kN 4kN
-4kN -0,25kN
-7,25kN
3kN
1m 0,4m 0,4m
-4,1kNm -3kNm
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74
24) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas desiguais
adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurana.
Dados:
0,8m
8kN
5kNm
Mf
Q
MPae 180=s
-5kNm -11,4kNm
0,12kNm
7kN/m
-8kN
12,7kN
-1,3kN
2m
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75
25) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
4P
Mf
Q
mmlquadradaSeo
k
MPae
85
2
280
=
=
=s
3P
-1,8P -0,8P
2,2P
1,8P
-0,4P
1m 0,5m
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76
26) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
Mf
Q
mmdcircularSeo
k
MPae
70
2
300
=
=
=s
-P
-P
P
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77
27) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
Mf
Q
mmhmmb
gulartanreSeo
,kMPae
12090
52360
==
==s
-3P
-4P
-P
-P
P 2P
1m
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78
28) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
3P
Mf
Q
mmdmmDtubularSeo
,kMPae
6580
51280
==
==s
3P
-3P
3P 3P
1m 3m
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79
29) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
P
Mf
Q
mmbmmacaixoSeo
kMPae
6080
3450
==
==s
2P 3P
6P
P 3P
1,5P
4,5P
10,5P
1m 1,5m
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80
30) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
2P
Mf
Q
3452
2180
cm,w
ItipoPerfil
kMPa
x
e
=
==s
2P
2P
-2P
2P
1m 1m
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81
31) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
0,7m
1,3P
Mf
Q
3982
51180
cm,w
UtipoPerfil
,kMPa
x
e
=
==s
2,1P
3P
-2P
-P
P
3P
0,8m 0,6m
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82
32) Para a estrutura representada a seguir, calcular o mximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
3P
Mf
Q
338
2180
cmw
desiguaisabasLtipoPerfil
kMPa
x
e
=
==s
1m 1m 0,5m
4P
2,2P
-0,8P -1,8P
1,8P
-0,4P
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83
33) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seo transversal retangular.
Dados:
1,5m
3kN
4,5kNm
Mf
Q
2
300
==
k
MPaes
?materialmenosconsomeQual)C
,bh
x)B
bh
x)A
:Calcular
50
2
==
==
-3kN
6kN
1,5m
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84
MPae 180=s
34) A viga mostra na figura utilizada no ptio de uma estrada de ferro para
carregar e descarregar vages. Se a carga mxima de elevao P=15kN, selecione o perfil
I para suportar com segurana esta carga.
Dados:
5m
-7,5kN
37,5kNm
Mf
Q
7,5kN
15kN
5m
15kN
10m
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85
35) A viga de ao mostrada na figura tem uma tenso de flexo admissvel
MPaadm 140=s . Determine a carga mxima que a viga pode suportar com segurana.
Dados:
2m
P
Mf
Q
mmaquadradaSeo
60=
-2P
P
-P
2m
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86
36) Determine o menor dimetro admissvel para o eixo que est sujeito s foras
concentradas mostradas na figura. Os mancais A e B suportam apenas foras verticais, e a
tenso de escoamento MPae 280=s , com k=2.
0,1m
0,5kN
0,0033kNm
Mf
Q
-0,05kNm
0,3kN
0,033kN
-0,267kN
0,5kN
0,2m 0,1m
0,5kN
0,3kN
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87
37) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seo transversal tubular.
Dados:
1m
-5kN
7kNm
Mf
Q
80
52300
,Dd
y
,kMPae
==
==s
7kN
7kN
12kN
-0,5kNm
1,5m
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88
38) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seo transversal circular.
Dados:
2m
12kN
-12kNm
Mf
Q
751360,k
MPae=
=s
6kN
-6kN
2m
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89
39) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seo transversal caixo.
Dados:
1m 8kN
-8kNm
Mf
Q
650
2280
,ab
z
kMPae
==
==s
8kN
8kN
-8kN
1m 3m
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90
40) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seo transversal quadrada.
Dados:
1m
10kN
-7kNm
Mf
Q
3
450
==
k
MPaes
-41kNm
7kN
-17kN
-7kN
2m
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91
Respostas dos Exerccios Propostos
1) l = 59,84mm 2) l = 84,34mm 3) l = 66,94mm 4) l = 64,84mm 5) d = 117,36mm 6) d = 192,47mm 7) d = 89,02mm 8) d = 93,41mm 9) b = 31,36mm, h = 56,46mm 10) b = 43,42mm, h = 86,85mm 11) b = 67,86mm, h = 203,58mm 12) b = 41,41mm, h = 99,39mm 13) D = 129mm, d = 64,5mm 14) D = 119mm, d = 65,45mm 15) D = 121mm, d = 84,7mm 16) D = 95,54mm, d = 76,43mm 17) a = 89,97mm, b = 60,88mm 18) a = 54,07mm, b = 43,25mm 19) a = 60,30mm, b = 42,21mm 20) a = 80,41mm, b = 40,20mm 21) Perfil I 101,6 x 67,6mm 22) Perfil U 152,4 x 48,8mm 23) Perfil L abas iguais - 101,6 x 101,6mm 24) Perfil L abas desiguais 152,4 x 101,6mm 25) P = 7960N 26) P = 5050N 27) P = 7776N 28) P = 1765N 29) P = 7960N 30) P = 833N 31) P = 2358N 32) P = 1900N 33) A) b = 35,56mm, h = 71,12mm; B) b = 44,81mm, h = 89,62mm; C) A 34) Perfil I 203,2 x 101,6mm 35) P = 2520N 36) d = 15,37mm 37) D = 100,21mm, d = 80,17mm 38) d = 84,06mm 39) a = 74,73mm, b = 48,57mm 40) l = 117,92mm
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92
Referncias Bibliogrficas
1 Beer. Ferdinand. P, Johnston. Russel. E, Resistncia dos Materiais McGraw-
Hill New York 1992.
2 Hall. Allen. S, Holowenko. Alfred. R, Machine Design Shaums Outlines,
McGraw Hill New York 1962.
3 Hibbeler. R. C, Resistncia dos Materiais, Livros Tcnicos e Cientficos
Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.
4 Hibbeler. R. C, Mecnica Esttica, Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A,
Rio de Janeiro 1998.
5 Jackson. J. J, Wirtz. H. G, Statics and Strength of Materials , Shaums
Outlines, McGraw Hill New York 1983.
6 Meriam. J. L, Kraige. L. G, Mecnica Esttica, Livros Tcnicos e Cientficos
Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.
7 Melconian. S, Mecnica Tcnica e Resistncia dos materiais, Editora rica,
So Paulo 1999.
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