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A MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO
AMBIENTAL
Mestranda: Kátia Luciane Souza da RochaOrientadora: Eleni Bisognin
Proposta do trabalho
Metodologia do Trabalho
Pesquisa exploratória
ATIVIDADE 1 Quantidade de hectares de terra plantados com eucaliptos no Brasil
ATIVIDADE 2 Qual a altura máxima que um eucalipto atinge?
Qual a altura mínima para o primeiro corte?
ATIVIDADE 3 Consumo de madeira de floresta natural no Brasil
ATIVIDADE 4 Levantamento das vantagens e desvantagens da instalação de um
a indústria de produção de celulose na região.
ATIVIDADE 5 Plantio de Eucaliptos e Pinus, no Brasil.
ATIVIDADE 6 Questões econômicas impulsionadas por esse plantio.
Considerações Finais
SUMÁRIO
O propósito deste trabalho foi de analisar
quais as contribuições que a metodologia da
Modelagem Matemática, aliada à Educação
Ambiental, pode oferecer para o estudo de
funções para alunos de 8ª série do ensino
fundamental enquanto se explora o tema
“cultivo de eucaliptos”
D’Ambrósio (1996) propõe que a questão
fundamental para melhor ensinar Matemática é
partir do contexto sociocultural do aluno,
situando-o num ambiente que lhe é familiar,
fornecendo-lhe instrumentos que lhe permitam
ser um indivíduo atuante e guiado pelo
movimento sociocultural vivenciado.
São Gabriel está localizada no Pampa Gaúcho, na região da
fronteira-oeste do Rio Grande do Sul
São Gabriel está localizada no Pampa Gaúcho, na região da
fronteira-oeste do Rio Grande do Sul
Metodologia do Trabalho• Esta experiência foi realizada com
alunos de 8ª série do Ensino Fundamental.
• Os alunos trabalharam em grupos de acordo com suas afinidades.
• Foram utilizadas 24 horas aula, aproximadamente 2 meses.
ETAPAS DA MODELAGEM SEGUNDO BASSANEZI (2002)ETAPAS DA MODELAGEM SEGUNDO BASSANEZI (2002)
Escolha do TemaEscolha do Tema
Pesquisa ExploratóriaPesquisa Exploratória
Levantamento dos problemasLevantamento dos problemas
Resolução dos problemas e desenvolvimento da Matemática
relacionada ao tema.
Resolução dos problemas e desenvolvimento da Matemática
relacionada ao tema.
Análise crítica da(s) solução (ões)Análise crítica da(s) solução (ões)
A metodologia utilizada em sala de aula foi a
Modelagem Matemática
PESQUISA EXPLORATÓRIA
Foto1:Visita à fazenda de plantação de eucaliptos
Foto2:Visita à fazenda de plantação de eucaliptos
Após a visita à fazenda para vivenciar como ocorria
o plantio de eucaliptos e como se davam os
cuidados com o ambiente cultivado, foram iniciadas
as primeiras investigações sobre
o plantio de eucaliptos no Bioma Pampa.
Com as informações obtidas, a professora e
os alunos construíram os gráficos para ter
uma melhor percepção de quanto representa
essa área cultivada com eucaliptos,
representa em relação ao todo.
O gráfico mostra a porcentagem do território ocupado pelo Bioma Pampa em relação ao território do Rio Grande do Sul.
Biomas do Rio Grande do Sul
37%
63%
Outros Biomas Bioma Pampa
Neste gráfico é feito um comparativo entre a área cultivada com
eucaliptos e o território do município de São Gabriel (5.020 km2).
Da área pertencente à
empresa responsável pelo
plantio de eucaliptos, 84,3
km2 correspondente a 48%
do total, já está cultivada
com eucaliptos no território
de São Gabriel.
Território da Empresa Visitada no Município de São Gabriel
52%48%
Área disponível para o plantio
Área já cultivada por eucaliptos
Com o objetivo de obter mais informações
sobre o tema escolhido, programou-se uma
palestra com um Engenheiro Florestal para
falar sobre a importância do plantio de
eucaliptos na região e quais os benefícios e
consequências oriundas desse plantio.
A palestra ocorreu no dia 10 de novembro de 2008, sob o
título: “Conhecendo o Eucalyptus spp”.
Dentre as diversas questões abordadas, foi relatada a
origem Australiana dessa árvore exótica e como foram
os primeiros anos de seu plantio, desde que foram
introduzidas no Brasil, mais precisamente no Rio
Grande do Sul, em 1968.
Palestra informativa
Foto3: palestra sobre o plantio de eucaliptos
O palestrante falou sobre a
importância do plantio dessa
espécie para a região fronteira-
oeste do estado do Rio Grande do
Sul e quais os principais produtos
cuja matéria prima é oriunda do
eucalipto.
Foi destacado que:
• a partir da fibra obtém-se a celulose para a fabricação de
papel, tecidos sintéticos, cápsulas de remédios;
• da madeira fabricam-se móveis, postes, pisos;
• das folhas obtém-se o óleo utilizado para a fabricação de
produtos de higiene, limpeza, alimentícios e remédios;
• do pólen das flores obtém-se ainda o mel de alto valor
nutritivo.
Também foi abordada a questão relativa a quanto
tempo é necessário, após o plantio, para que o eucalipto
seja aproveitado pela indústria, além de salientar os
aspectos econômicos para a região.
Por último, o palestrante analisou as consequências
ruins para o Bioma Pampa e para a fauna e flora
pampiana.
A partir da palestra informativa, os alunos, em sala de
aula, foram orientados pela professora a pesquisar nos
sites da Associação Brasileira de Produtores de
Florestas Plantadas (ABRAF), Empresa Brasileira de
Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA), Associação
Brasileira de Celulose e Papel (BRACELPA), entre
outros, para realizar um levantamento de dados sobre a
quantidade de hectares de terra plantados com
eucaliptos no Brasil.
ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1
Ano de plantio 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Quantidade de hectares
120.081
155.450
182.794
206.123
235.420
267.354
Tabela 1: Quantidade de hectares plantadas no Brasil, desde 2000
Fonte: ABRAF, 2008
A partir dos dados coletados, solicitou-se aos alunos que
os organizassem numa tabela, onde estivessem
relacionados o ano de plantio e a quantidade de hectares
plantada no período.
A exploração dos dados foi feita a partir de alguns
questionamentos, tais como:
-A quantidade de hectares plantada vem aumentando
proporcionalmente a cada ano?
-Vem diminuindo a cada ano?
Observando a tabela de valores os alunos perceberam
que a quantidade de hectares plantada estava
aumentando ano a ano.
Ano de plantio 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Quantidade de hectares
120.081
155.450
182.794
206.123
235.420
267.354
Na seqüência, solicitou-
se aos alunos que,
considerando o período
de tempo no eixo “x” e a
quantidade de hectares
plantados no eixo “y”,
marcassem no plano
cartesiano, os pontos
da tabela e
desenhassem o gráfico
representativo da
situação.
Plantio de Eucaliptos no Brasil
665937
123.137151.697
180.257208.817 237.377
265.937251697223137
280257308817
337377 365937
523137
637377608817
580257
551697
y = 28560x + 123137
y = 28560x + 223137
y = 28560x + 523137
0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
350.000
400.000
450.000
500.000
550.000
600.000
650.000
700.000
0 1 2 3 4 5 6
Período desde 2000
Qu
anti
dad
e d
e H
ecta
res
Gráfico da equação y = 28.560 x + b para diferentes valores de “b”
Após a construção da tabela, os alunos construíram o gráfico
representativo da situação,
O mesmo procedimento foi feito aumentando-se e diminuindo-se o
valor do coeficiente “a”.
Plantio de Eucaliptos no Brasil
315.937277.377238.817200.257161.697
765937637377
508817380257
251697
651697
1180257
1708817
123137
y = 38560x + 123137
y = 128560x + 123137
y = 528560x + 123137
0100.000200.000300.000400.000500.000600.000700.000800.000900.000
1.000.0001.100.0001.200.0001.300.0001.400.0001.500.0001.600.0001.700.0001.800.0001.900.000
0 1 2 3 4 5 6
Período desde 2000
Qu
anti
dad
e d
e H
ecta
res
Esta atividade foi elaborada com o auxílio do Excel
para que os alunos percebessem que quando se muda o
valor de “b” na equação da reta y=ax+b, o gráfico traçado
se afasta ou se aproxima do eixo das abscissas, conforme
o caso. E, quando se altera o valor de “a”, o que muda no
gráfico traçado é o ângulo de elevação da reta em relação
ao eixo das abscissas.
ATIVIDADE 2ATIVIDADE 2
Na visita à fazenda de propriedade de uma das
empresas que cultivam eucaliptos, no município de
São Gabriel, os alunos indagaram:
Qual a altura máxima que um eucalipto atinge?
Qual a altura mínima para o primeiro corte?
Os técnicos informaram que
as sementes são plantadas num
viveiro florestal e as mudas são
transplantadas aproximadamente
aos 90 dias, com altura
aproximada de 40 centímetros e
que, a partir daí, o crescimento
varia de acordo com o solo, com o
clima, com o relevo, com a
adubação e uso de inseticidas e
herbicidas.
Na conversa com os técnicos, os alunos descobriram
também que um eucalipto sofre o primeiro corte aos
sete anos, para fins comerciais de fabricação de
celulose, e que nessa idade o eucalipto está com
aproximadamente 30 metros.
A altura máxima que um eucalipto
pode atingir é variável de região para
região.
Sua altura média é de aproximadamente
50 metros.
Os alunos organizaram-se em grupos para
analisarem o crescimento do eucalipto nos 7 primeiros
anos. De posse dos dados, a professora orientou-os a
tabelá-los.
E para melhor analisar os dados, sugeriu que construíssem o gráfico.
Tempo de Vida ( em anos)
Altura(em metros)
0 0,4
1 6
2 13
3 18
4 22
5 25
6 28
7 30
Altura de uma árvore de Eucalipto
Fonte: Aracruz
Ciclo de Crescimento de uma árvore de Eucalipto
0,4
6
13
18
22
25
2830
02468
101214161820222426283032
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Idade em anos
Crescimento de uma árvore de eucalipto
Utilizando o Excel os
alunos buscaram uma
aproximação dos dados
tabelados, obtendo a
equação
y = 4,3 x + 2,9
que é um modelo que
descreve a situação.
Pretendia-se, por meio do modelo, descobrir a
altura de uma árvore de eucalipto com 50 anos,
mas verificou-se que o modelo não era adequado,
visto que após 50 anos a altura seria muito
grande. Por meio do modelo linear encontrado a
altura de uma árvore de eucalipto, com esse
tempo de vida, ultrapassaria 215 metros, quando
na verdade essa altura atinge, em média, 50
metros.
Optou-se, então, revisar o
que havia sido construído e
buscar dados reais para
construir um novo modelo
que melhor descrevesse o
crescimento de um eucalipto.
Ciclo de Crescimento de uma árvore de Eucalipto
10
16
20222426
37
4143
4547
48 49 50 51
30
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo em anos
Alt
ura
em
met
ros
.
Desta análise feita ficou
claro para os alunos que um
eucalipto com 100 anos de
idade não ultrapassa a 60
metros de altura. Foi
trabalhada então com os
alunos, a noção de assíntota,
uma vez que com o decorrer
do tempo a altura do
eucalipto se aproximava de
51 metros, mas não
ultrapassava esse valor.
Ciclo de Crescimento de uma árvore de Eucalipto
10
16
20222426
37
4143
4547
48 49 50 51
30
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tempo em anos
Alt
ura
em
met
ros
A validação do modelo deu-se
confrontando as informações obtidas nas
conversas com seus familiares e técnicos da
indústria, com os dados obtidos por meio do
modelo matemático.
Levantamento das vantagens e desvantagens da instalação de uma indústria de produção de celulose na
região.
VANTAGEM - Muitas das respostas dos alunos apontaram
inicialmente as vantagens da vinda da indústria, pois assim seus
familiares tiveram a oportunidade de trabalhar.
DESVANTAGENS
Passado alguns meses do plantio de eucaliptos, a maioria dos
trabalhadores foi dispensada, pois nesse momento não é mais
necessário a mão de obra de vários trabalhadores, diminuindo os
empregados mantidos no setor.
Outro ponto levantado por alguns alunos foi em relação ao
aproveitamento do solo. O modo como os eucaliptos foram
plantados na região não permite a plantação de outra cultura o
que dificulta o sustento das famílias.
Uma informação obtida pelos alunos
durante a pesquisa exploratória referente
ao plantio de eucaliptos, foi sobre o
consumo de madeira de floresta natural
no Brasil. Percebendo o interesse dos
alunos a professora solicitou que
pesquisassem esse assunto.
ATIVIDADE 3ATIVIDADE 3
No site da Associação Brasileira de Florestas Plantadas (ABRAF) os alunos obtiveram os seguintes dados sobre o consumo de madeira de florestas naturais
Consumo de Madeira de Floresta Natural- 1000 m3
Ano Quantidadede Madeira
(1000 m3)
1989 128.670
1990 107.673
1991 92.615
1992 93.876
1993 85.159
1994 83.179
1995 77.744
1996 72.474
1997 67.228Fonte: ABRAF, 2008
A partir dos dados dispostos na tabela
questionou-se:
• a relação entre o consumo de madeira
de floresta natural e o ano
correspondente é uma função? Por quê?
Os alunos responderam afirmativamente ao
questionamento e justificaram ser uma
função, pois à medida que aumentava o
tempo, diminuía a quantidade de madeira e a
cada ano corresponde um valor diferente
ATIVIDADE 4ATIVIDADE 4
A partir da palestra proferida na etapa da
exploração do tema, descobriu-se que desde 1950 as
empresas vêm produzindo celulose de eucaliptos como
alternativa à celulose de Pinus.
Em 1961, uma das empresas passou a produzir papel
exclusivamente a partir da celulose de eucalipto e, três
anos depois, começou a exportar celulose
Assim, o Brasil passava da condição de
importador para exportador. Com um ciclo de
corte médio de sete anos, o eucalipto tornou-
se a melhor opção para a produção de papel
de imprimir e escrever, papel para a imprensa
e papel sanitário.
Ano( a partir de
1995)
Celulose produzida(toneladas)
1 4.900
2 5.601
3 6.100
4 6.687
5 7.270
6 7.863
7 8.412
8 9.100
9 9.700
10 10.340
11 10.700
12 11.400
13 11.998
A tabela a seguir mostra o número de toneladas de celulose produzidas a cada ano, a partir de 1995 até 2007.
49005490
60806670
72607850
84409030
962010210
1080011390
11980
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Período desde 1995
To
ne
lad
as
A partir da tabela, foram “ajustados” os valores pela professora para que os alunos pudessem interpretar os dados por meio de um modelo linear e os representassem num gráfico.
Foi solicitado aos alunos que construíssem uma tabela com os novos valores representados,marcassem no plano cartesiano esses valores e construíssem um novo gráfico.
Os alunos conseguiram construir uma tabela indicando na coluna à esquerda o ano e na coluna à direita, a quantidade de toneladas de celulose produzida. Um dos grupos construiu a seguinte tabela:
O mesmo grupo construiu o gráfico correspondente.
A professora indagou: é possível descobrir
quantas toneladas de celulose serão
produzidas em 2010?
em 2030?
em 2040?
A maioria dos alunos partiu de imediato para a
construção da equação matemática, indicando a
quantidade de toneladas produzidas por y e os anos
solicitados por x, a partir da tabela e do gráfico
construídos anteriormente.
Esta foi uma tarefa difícil para os alunos.
ATIVIDADE 5ATIVIDADE 5
Na palestra inicial do desenvolvimento deste trabalho,
foi abordada a questão do Plantio de Eucaliptos e
Pinus, no Brasil.
Eucaliptos Pinus
Os dados trazidos pelo palestrante desde o ano 2000 foram
mostrados por meio de um gráfico, na figura abaixo, indicando a
quantidade de hectares plantados destas espécies no Brasil.
Este questionamento gerou discussão na sala, pois
cada um tinha uma observação diferente. Salienta-se a
análise de um dos grupos que observou que o Plantio de
Pinus não foi significativo, pois o gráfico representativo do
total de árvores plantadas está muito próximo do gráfico
que representa o Plantio de Eucaliptos.
Foi solicitado aos alunos que pesquisassem
sobre as vantagens e desvantagens do plantio de
eucaliptos e destacassem as principais ideias para
posterior apresentação e discussão em sala de aula.
Os grupos pesquisaram no site da ABRAF (2008) e destacaram os seguintes parágrafos:
“A sociedade necessita cada vez mais de produtos de
base florestal para a sua sobrevivência e conforto. As
florestas nativas antes abundantes em todo o mundo,
estão cada vez mais escassas e ameaçadas de
desaparecerem. O pouco que resta é indispensável
para manutenção da biodiversidade e de diversos
serviços ambientais.”
Continuando a pesquisa...
São inúmeras as formas de contabilizar as riquezas
geradas nas comunidades próximas ao cultivo do
eucalipto. Entre elas, empregos diretos e indiretos,
recolhimento de impostos, ...
4.bp.blogspot.com/.../s400/CHARGE+EUCALIPTO.bm
“O eucalipto também remove gás carbônico (CO2) da atmosfera, contribuindo para minimizar o efeito estufa e melhorando o microclima local. Por fim, o eucalipto protege os solos contra processos erosivos, conferindo-lhes características de permeabilidade, aumentando a taxa de infiltração das águas pluviais e regularizando o regime hidrológico nas áreas plantadas”.
“Em tempos de mudanças climáticas, as
árvores têm, então, um papel estratégico no
equilíbrio ambiental. Elas são naturalmente
envolvidas na redução do gás carbônico
atmosférico, principal responsável pelo
aquecimento global (efeito estufa). Além disso,
as árvores também contribuem para a proteção
dos recursos hídricos e para o combate à
desertificação.
“ Do eucalipto também se obtém óleos usados em produtos
de limpeza, alimentícios, perfumes e remédios. Há, ainda, o
mel, bastante apreciado, produzido a partir do pólen de suas
flores.
A contribuição do
eucalipto para o
desenvolvimento
sustentável do Brasil é
crescente. As atividades
ligadas ao setor florestal
já respondem por boa
parcela do nosso PIB e
geram milhões de
empregos diretos.”
Essa atividade teve como propósito incentivar os
alunos a pesquisarem sobre o tema e destacar
aspectos que acharam importantes no texto. A
apresentação oral foi um momento difícil para eles,
mas conseguiram expressar suas idéias. Tinha-se
como objetivo propiciar aos alunos uma oportunidade
de se expressarem com clareza e ter capacidade de
resumirem as principais idéias.
A apresentação dos parágrafos pelos alunos serviu de
motivação à outras atividades tais como a elaboração
de redações nas aulas de Português.
Nesta aula, a professora retomou as discussões sobre as
informações contidas no gráfico apresentado pelo
palestrante e sugeriu aos alunos que dispusessem os
dados do gráfico em uma tabela, indicando o ano de plantio
por “x” e a quantidade de árvores plantadas por “y”.
Ela desafiou-os a encontrar uma função que
descrevesse a evolução da quantidade de hectares
de florestas plantadas de pinus e de eucaliptos. É
possível prever a quantidade de hectares plantados
em 2010, e
2015
2020?
Ano de Plantio (x) Pinus (Hectares)
Eucaliptos (Hectares)
2000 22.155 119.081
2001 22.058 148.736
2002 21.961 178.391
2003 21.864 208.046
2004 21.767 237.701
2005 21.670 267.356
2006 21.573 297.011
2007 21.476 326.666
2008 21.379 356.321
2009 21.282 385.976
2010 21.185 415.631
Como os dados fornecidos pelo palestrante não descreviam uma reta os alunos calcularam a média aritmética dos valores e reescreveram a tabela acrescentando essa média ano a ano, conforme se pode observar na tabela construída pelos alunos
Assim, o grupo 1 optou por escrever a tabela
completando até o ano de 2010, para responder a
questão sobre a previsão de hectares que seriam
plantadas de Pinus e de Eucaliptos, neste ano
Sobre as equações que descrevem a evolução
do plantio, os alunos desse grupo sugeriram
y = 22.155 – 97x e y = 119.081 + 29.655x para
as plantações de Pinus e Eucaliptos,
respectivamente.
A professora indagou: Por que o coeficiente “a” da
primeira equação da reta é negativo?
Esse grupo de alunos era mais atento e
responderam que era porque a plantação de
pinus estava diminuindo. Observou-se nesse
momento que os alunos foram capazes de
transferir um conhecimento já obtido para uma
nova situação.
Para a previsão da quantidade de hectares plantados
para os anos de 2015 e 2020, o grupo optou por
substituir os valores de x na equação e encontraram os
valores de 20.700 e 20.215 hectares previstos com a
plantação de Pinus, respectivamente.
Para o plantio de Eucaliptos, o grupo
encontrou os valores de 563.906
hectares para o ano de 2015 e 712.181
hectares para o ano de 2020.
0; 22155 10; 21185 15; 20700 20; 202150; 119081
10; 415631
15; 563906
20; 712181
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
500000
550000
600000
650000
700000
750000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
"y, H
ecta
res/A
no
"
"x, Período (anos)"
Pinus Eucaliptos
Após a construção da tabela, a professora sugeriu aos alunos que construíssem o gráfico representativo da situação, incluindo os anos de 2010, 2015 e 2020. O gráfico abaixo foi elaborado pelos alunos desse grupo.
ATIVIDADE 6ATIVIDADE 6
A partir das discussões oriundas das atividades
anteriores sobre as vantagens e desvantagens da
plantação de eucaliptos na região, emergiu o debate
referente às questões econômicas impulsionadas por
esse plantio.
Para responder a essa indagação os alunos foram
orientados a lerem os artigos referentes ao
assunto, nos sites das empresas responsáveis
pelo plantio e cultivo de eucaliptos no país e
trazerem, para a sala de aula, dados que
pudessem ser debatidos e posteriormente
analisados, sob o ponto de vista matemático.
Os alunos estavam interessados em saber se havia
ganhos para o Brasil com a silvicultura.
A maioria dos alunos focou suas buscas nas
exportações de produtos oriundos de florestas plantadas.
Vários produtos foram citados como fundamentais para o
setor florestal, mas optou-se em analisar aqueles cujas
informações eram detalhadas sob o ponto de vista
quantitativo, permitindo assim uma análise matemática
mais eficiente.
São apresentadas a seguir algumas questões que foram trazidas pelos alunos e debatidas em sala de aula.
Grupo 1
Trouxe informações a respeito da venda de
madeira de florestas plantadas. Segundo as
pesquisas que fizeram no site da Associação
Brasileira de Florestas Plantadas – ABRAFLOR -, o
setor florestal aparece em 3º lugar na lista de
exportações em 2007, graças à venda de madeira
oriunda de florestas plantadas.
A ABRAFLOR afirma que o Brasil exportou, em 2007,
US$ 587 milhões, em produtos madeireiros oriundos de
florestas plantadas, tais como assoalhos, molduras,
pisos, decks, portas, aplainados, móveis, etc.,
registrando um aumento de 26% em relação ao ano
anterior.
Com esta informação, os alunos partiram para a
coleta de dados a respeito de quanto o Brasil vem
exportando em produtos oriundos de florestas plantadas
na última década
De posse dos dados, foram orientados a
organizá-los em uma tabela relacionando o ano com
a quantidade de milhões de dólares exportados.
Essa atividade foi realizada na sala de informática e
os alunos utilizaram o programa Excel, como uma
ferramenta de auxílio ao trabalho proposto.
Ano Valores em Milhões de Dólares – Exportações
1997 2.318
1998 2.383
1999 2.822
2000 2.697
2001 2.771
2002 3.274
2003 3.947
2004 4.226
2005 4.386
2006 5.658
Dados obtidos e tabelados por um dos grupos
Importação de Produtos de Florestas Plantadas em milhões de dólares Importação de Produtos de Florestas Plantadas em milhões de dólares
Os alunos observaram que havia uma diferença no gráfico, com relação aos anteriores. Como o objetivo da atividade era explorar a função determinada pelos dados obtidos, a professora fez algumas indagações:
Professora: Que curva os pontos do gráfico sugerem? que curva
Alunos: Lembra uma parábola, mas não muito bem ...
Professora: Será possível encontrarmos uma função cujo gráfico se aproxima dessa curva?
A professora ajudou-os a utilizar o Excel para fazer os ajustes
necessários e encontraram a equação y = 33x2 + 2x + 2318 como um
modelo matemático capaz de ilustrar o comportamento dos dados
referentes às exportações dos produtos oriundos de florestas plantadas
no Brasil.
29503273
3662
4117
4638
5225
2318 23772502
2693
0
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período desde 1997
Assim, a professora questionou sobre quais foram
as mudanças percebidas no gráfico construído a
partir da função dada, quando comparado com o
gráfico construído a partir dos dados coletados. Os
alunos referiram-se apenas ao alinhamento dos
pontos.
Solicitou-se aos alunos que usassem a
função y = 33x2+ 26x + 2318 e organizassem
uma nova tabela indicando o período desde
1997 até 2006 e quais os valores em milhões
de dólares obtidos ano a ano.
Ano Valor das Exportações - Milhões de Dólares
1997 33. (0)2 + 26. (0)+ 2.318 = 2.318
1998 33. (1)2 + 26. (1) + 2.318 = 2.377
1999 33. (2)2 + 26. (2) + 2.318 =2.502
2000 33. (3)2 + 26. (3) + 2.318 =2.693
2001 33. (4)2 + 26. (4) + 2.318 =2.950
2002 33. (5)2 + 26. (5) + 2.318 =3.273
2003 33. (6)2 + 26. (6) + 2.318 =3.662
2004 33. (7)2 + 26. (7) + 2.318 =4.117
2005 33. (8)2 + 26. (8) + 2.318 =4.638
2006 33. (9)2 + 26. (9) + 2.318 =5.225
a) Qual o valor de “y” quando x = 0?
b) Comparando a função y = 33 x2 + 26x + 2318 com a
função quadrática y = a x2 + b x + c qual o valor de “a”, de
“b” e de “c”?
c) Que significado geométrico tem os coeficientes?
Analisando com os alunos os dados da tabela, a professora
questionou-os sobre valor de “y” para os diferentes valores
de “x”:
Na sequência, ainda questionou:
Professora: Com relação ao coeficiente “c”, onde ele
está localizado no gráfico?
Aluno: No eixo “y”.
Professora: Sim, tem-se o valor de “c” no eixo y, quando
x = 0.
Professora: Qual foi o menor valor de exportação neste
período?
Aluno: Em 1997.
Professora: Quanto?
Aluno: 2.318 milhões de dólares...professora agora
apareceu “de novo” o valor de “c”.
Alguns alunos perceberam que o significado do
coeficiente “c” estava relacionado com o valor de “y”
quando x = 0. Essa conclusão foi colocada pela
professora para todos os alunos
Em seguida, a professora os incentivou a
relacionarem o coeficiente “a” com a curva sugerida
pelo gráfico, para que percebessem que a concavidade
estava voltada para cima.
Professora: A parábola está voltada para cima ou para baixo?
Aluno: Para cima.
Professora: E qual o valor do coeficiente “a” da equação?
Aluno: O valor é 33.
Professora: e 33 é maior que zero, ou seja é positivo. Então
podemos afirmar que quando o coeficiente “a” da equação for
maior que zero a parábola estará voltada para cima.
Aluno: e vai estar voltada para baixo quando o coeficiente “a” for
negativo?
Professora: Vamos analisar alguns gráficos para concluir.
A professora apresentou para os alunos vários
exemplos, com diferentes valores do coeficiente “a”
para que os alunos percebessem o efeito
geométrico produzido pelos diferentes coeficientes,
considerando valores positivos e negativos.
y = x2 - 0x + 0
y = 2x2 - 0x + 0 y = 4x2 - 0x + 0
y = -x2 + 0x - 0
y = -2x2 + 0x - 0y = -4x2 + 0x - 0 -30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Foi dado um tempo para os alunos analisarem os
gráficos e perceberem a diferença quando o valor do
coeficiente “a” variava.
No final, a professora fez um esquema no quadro
destacando que, se o coeficiente “a” é positivo a
parábola está voltada para cima e se “a” for negativo, a
parábola está voltada para baixo.
Em seguida, foram analisados os gráficos para
valores de “a” entre 0 e 1 e para os valores maiores do
que 1.
O uso do Excel ajudou os alunos a estabelecerem as
diferenças e tirarem as conclusões. Aqueles que
duvidavam das conclusões podiam comprovar fazendo o
gráfico da função
Na sequência, a professora retomou o gráfico
referente à equação y = 33x 2 + 26x + 2318 e explorou
com os alunos o valor do discriminante da equação. A
professora lançou a seguinte pergunta aos alunos: o
gráfico intercepta o eixo x?
Os alunos disseram não haver intersecção
com o eixo “x”. A professora perguntou: por
que não? Os alunos não souberam
responder. Logo após, a professora
perguntou também sobre a intersecção com
o eixo “y”.
Com o intuito de melhor compreender o significado das
intersecções do gráfico com o eixo “x” e com o eixo “y”,
foram analisados vários gráficos. Primeiramente foi
traçado o gráfico da função y = x2 + 2 x – 3.
Para essa função, foi destacado que o gráfico
intercepta o eixo dos “x” em dois pontos x1 = -3 e x2 = 1,
que são raízes da equação y = x2 + 2 x – 3.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Na análise, foram colocadas várias questões:
Professora: como podemos descobrir as raízes?
Aluno: calculando o discriminante.
Professora: muito bem, então calculem o discriminante de y = x2 + 2 x – 3.
Aluno: deu 16.
Professora: o que podemos afirmar sobre as raízes dessa equação a
partir do discriminante?
Aluno: ...se ele é maior que zero, as raízes são diferentes.
A professora usou outros exemplos para que os
alunos percebessem a relação entre o valor do
discriminante e a existência das raízes.
Foram analisados os gráficos de várias funções
quadráticas para distinguir qual equação do tipo ax2 + b x
+ c = 0 possui duas raízes reais distintas, uma raiz dupla
e quando a equação não possui raízes reais.
Apresentou informações relacionadas à quantidade de
produtos que o Brasil ainda compra do exterior. À
exemplo do grupo 1, os alunos construíram uma tabela e
representaram graficamente os dados obtidos.
Grupo 2
Importação de Produtos de Florestas Plantadas em milhões de dólares
Ano Valores em Milhões de Dólares - Importações
1997 1.219
1998 1.168
1999 1.099
2000 899
2001 749
2002 736
2003 645
2004 624
2005 840
2006 990
Fonte: BRACELPA - 2008.
1.2191.168
1.099
899
749 736645 624
840
990
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1.000
1.100
1.200
1.300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Qu
anti
dad
e em
milh
ões
de
dó
lare
s
Ano desde 1997
Na análise do gráfico, os alunos perceberam que os dados
marcados “anunciavam” uma função quadrática, pois havia uma
curva que sugeria uma parábola. Assim, a professora fez os
ajustes necessários e obter a função y = 30x2 - 260 x + 1219
Ano Importação em Milhões de Dólares
1997 30.(0)2 -260. (0) + 1.219 = 1219
1998 30.(1)2 -260. (1) + 1.219 = 989
1999 30.(2)2 -260. (2) + 1.219 = 819
2000 30.(3)2 -260. (3) + 1.219 = 709
2001 30.(4)2 -260. (4) + 1.219 = 659
2002 30.(5)2 -260. (5) + 1.219 = 669
2003 30.(6)2 -260. (6) + 1.219 = 739
2004 30.(7)2 -260. (7) + 1.219 = 869
2005 30.(8)2 -260. (8) + 1.219 = 1.059
2006 30.(9)2 -260. (9) + 1.219 = 1.309
Foi solicitado, então, que os alunos, a partir da função
y = 30x2 - 260x + 1219, organizassem uma nova tabela
indicando o período desde 1997 até 2006 e quais os
valores em milhões de dólares referentes ano a ano.
1309
1059
869
739669659
709
819
989
1219
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Período desde 1997
Milhões de US$
Também foi solicitado que um novo gráfico fosse traçado a
partir da tabela e questionou-se sobre as mudanças percebidas
quando comparado com gráfico anterior.
Os alunos apontaram que a diferença entre os dois
gráficos estava no seu desenho, pois agora os pontos
estavam bem alinhados e que, novamente com os
ajustes, os valores haviam mudado sensivelmente.
Referiram que a quantidade inicial das importações em
1997 foi de 1.219 milhões de dólares e que isso
representava o coeficiente “c” da função.
A professora questionou também sobre quais os
períodos de crescimento e decrescimento nas
importações de produtos de florestas plantadas desde
1997. Os alunos analisaram corretamente e afirmaram
que de 1997 a 2001 houve uma diminuição nas
importações de produtos de florestas plantadas,
voltando a crescer a partir de 2001 até 2006
... e os questionamentos continuaram:
Professora: Qual foi o ano em que as importações foram
menores neste período?
Aluno: No ano de 2001.
Professora: Quanto?
Aluno: 659 milhões de dólares.
Professora: O que representa o número 659, no gráfico?
aa
bV
4,
2
A intenção com este questionamento era de que os
alunos percebessem que o número 659 representava o
vértice da parábola. Então foi sugerido que fizessem os
cálculos lembrando que o vértice da parábola é o ponto.
Com os cálculos feitos alguns alunos obtiveram o ponto
V =
3
1967,
3
13
e outros escreveram na forma decimal, obtendo
V = (4,3 ; 655,7), com o uso de
arredondamentos em uma casa decimal,
conforme figura .
O grupo 2 fez os cálculos e representaram primeiramente no caderno:
Logo após, questionou-se sobre qual seria o
conjunto imagem desta função.
Para esse questionamento, lembrou-se aos alunos
que, se a função apresenta o coeficiente “a” maior que
zero, ela apresenta um ponto mínimo.
3
1967
Então a imagem será formada por todos os valores
pertencentes ao conjunto dos números reais maiores ou
iguais ao yv, no caso
O conjunto imagem foi expresso por:
Im (f) =
3
1967/ yy
ou Im (f) = 7,655/ yy
Na continuidade do diálogo a professora pergunta:
• o que podemos afirmar a partir de 2001?
Os alunos observaram que a partir do ano de 2001 as
importações oriundas de produtos de florestas plantadas
aumentaram.
•qual o valor de x no ponto de intersecção com o eixo y?
No gráfico os alunos apontaram o ano de 1997 com 1.219
milhões de dólares
Assim, partiu-se para a análise do gráfico,
explorando-se os coeficientes da equação da parábola.
Com relação aos valores do coeficiente “a”, afirmaram
ser positivo, pois a concavidade da parábola estava
voltada para cima, mas com relação ao coeficiente “b”,
não chegaram a nenhuma conclusão
Não foi explorado o significado do coeficiente “b” da
equação y = a x2 + b x + c por tratar-se de alunos de
oitava série.
Um aluno do grupo indagou: se o valor de “a” for
negativo, as raízes são as mesmas? A professora então
os orientou a fazerem os cálculos para verificarem a
situação.
Então os alunos do grupo 3 fizeram os cálculos e desenharam o gráfico
Confrontando os valores das raízes da equação
y = – 30 x2 – 260 x + 1219 = 0 com as raízes de y = 30x2 –
260 x + 1219 = 0, os alunos concluíram que, ao variar o
sinal do coeficiente “a”, as raízes da equação também
variam..
Essas atividades foram realizadas utilizando somente lápis e papel
Considerações Finais
Esta pesquisa objetivou investigar a contribuição da
Modelagem Matemática para o estudo de funções, tendo como
tema integrador o plantio de eucaliptos.
Constatou-se que o Plantio de Eucaliptos na região, nos
últimos anos, provoca inquietações na sociedade local, tanto no
que diz respeito às questões ambientais, quanto sociais e
econômicas.
Por meio de um problema real local, no caso as incertezas
quanto aos benefícios que o Plantio de Eucalipto pode trazer
para a região fronteira-oeste do Rio Grande do Sul, os alunos
tiveram a oportunidade de aprender Matemática e ao mesmo
tempo conhecer questões que permeiam a sua realidade.
Das observações registradas e da análise das atividades
desenvolvidas pelos alunos pode-se concluir que o uso da
Modelagem Matemática, relacionando problemas oriundos da
vivência dos alunos, teve resultados mais positivos do que as
abordagens convencionais.
A compreensão dos fenômenos relacionados ao cotidiano
possibilitou a construção de modelos que aliaram conhecimentos
multidisciplinares com os conteúdos matemáticos ajudando-os na
compreensão destes fenômenos de uma maneira crítica e
integradora.
A dinâmica do trabalho em grupo se mostrou relevante, pois
através das experiências individuais, aliadas às pesquisas
realizadas pelos grupos, aprofundou-se o conhecimento dos
alunos sobre a problemática levantada no início do trabalho.
Comprovou-se que:
Grupos de trabalhos se fazem necessários para
uma dinâmica mais participativa, onde o aluno
passa da passividade das aulas explicativas, onde
ele é mero espectador e “depositário” de
informações, para uma dinâmica integrativa e
criativa. (CALDEIRA, 2009, p.4)
Assim, considera-se que esta dissertação trouxe
contribuições para a discussão do uso da
Modelagem Matemática no ensino de funções,
tendo como espaço de investigação os problemas
ligados à problemática do plantio de eucaliptos na
região fronteira-oeste do Rio Grande do Sul.
