A MODELAGEM MATEMTICA PARA O ESTUDO DE FUNES NO CONTEXTO DA EDUCAO AMBIENTAL

Mestranda: Ktia Luciane Souza da Rocha Orientadora: Eleni BisogninLink para dissertao (PDF): http://sites.unifra.br/Portals/13/Resumos_Dissertacoes/dissertacao_katia.pdf

Proposta do trabalho Metodologia do Trabalho Pesquisa exploratria ATIVIDADE 1 Quantidade de hectares de terra plantados com eucaliptos no BrasilATIVIDADE 2 Qual a altura mxima que um eucalipto atinge? Qual a altura mnima para o primeiro corte? ATIVIDADE 3 Consumo de madeira de floresta natural no BrasilATIVIDADE 4 Levantamento das vantagens e desvantagens da instalao de um a indstria de produo de celulose na regio. ATIVIDADE 5 Plantio de Eucaliptos e Pinus, no Brasil. ATIVIDADE 6 Questes econmicas impulsionadas por esse plantio.Consideraes Finais

SUMRIO

O propsito deste trabalho foi de analisarquais as contribuies que a metodologia da Modelagem Matemtica, aliada Educao Ambiental, pode oferecer para o estudo de funes para alunos de 8 srie do ensino fundamental enquanto se explora o tema cultivo de eucaliptos

DAmbrsio (1996) prope que a questo fundamental para melhor ensinar Matemtica partir do contexto sociocultural do aluno, situando-o num ambiente que lhe familiar, fornecendo-lhe instrumentos que lhe permitam ser um indivduo atuante e guiado pelo movimento sociocultural vivenciado.

So Gabriel est localizada no Pampa Gacho, na regio da fronteira-oeste do Rio Grande do Sul

So Gabriel est localizada no Pampa Gacho, na regio da fronteira-oeste do Rio Grande do Sul

Metodologia do Trabalho Esta experincia foi realizada com alunos de 8 srie do Ensino Fundamental.Os alunos trabalharam em grupos de acordo com suas afinidades.Foram utilizadas 24 horas aula, aproximadamente 2 meses.

A metodologia utilizada em sala de aula foi a Modelagem Matemtica

PESQUISA EXPLORATRIAFoto1:Visita fazenda de plantao de eucaliptos

Foto2:Visita fazenda de plantao de eucaliptos

Aps a visita fazenda para vivenciar como ocorria o plantio de eucaliptos e como se davam os cuidados com o ambiente cultivado, foram iniciadas as primeiras investigaes sobre o plantio de eucaliptos no Bioma Pampa.

Com as informaes obtidas, a professora e os alunos construram os grficos para ter uma melhor percepo de quanto representa essa rea cultivada com eucaliptos, representa em relao ao todo.

O grfico mostra a porcentagem do territrio ocupado pelo Bioma Pampa em relao ao territrio do Rio Grande do Sul.

Neste grfico feito um comparativo entre a rea cultivada com eucaliptos e o territrio do municpio de So Gabriel (5.020 km2).Da rea pertencente empresa responsvel pelo plantio de eucaliptos, 84,3 km2 correspondente a 48% do total, j est cultivada com eucaliptos no territrio de So Gabriel.

Com o objetivo de obter mais informaes sobre o tema escolhido, programou-se uma palestra com um Engenheiro Florestal para falar sobre a importncia do plantio de eucaliptos na regio e quais os benefcios e consequncias oriundas desse plantio.

A palestra ocorreu no dia 10 de novembro de 2008, sob o ttulo: Conhecendo o Eucalyptus spp. Dentre as diversas questes abordadas, foi relatada a origem Australiana dessa rvore extica e como foram os primeiros anos de seu plantio, desde que foram introduzidas no Brasil, mais precisamente no Rio Grande do Sul, em 1968.

Palestra informativaFoto3: palestra sobre o plantio de eucaliptos

O palestrante falou sobre a importncia do plantio dessa espcie para a regio fronteira-oeste do estado do Rio Grande do Sul e quais os principais produtos cuja matria prima oriunda do eucalipto.

Foi destacado que: a partir da fibra obtm-se a celulose para a fabricao de papel, tecidos sintticos, cpsulas de remdios; da madeira fabricam-se mveis, postes, pisos; das folhas obtm-se o leo utilizado para a fabricao de produtos de higiene, limpeza, alimentcios e remdios; do plen das flores obtm-se ainda o mel de alto valor nutritivo.

Tambm foi abordada a questo relativa a quanto tempo necessrio, aps o plantio, para que o eucalipto seja aproveitado pela indstria, alm de salientar os aspectos econmicos para a regio. Por ltimo, o palestrante analisou as consequncias ruins para o Bioma Pampa e para a fauna e flora pampiana.

A partir da palestra informativa, os alunos, em sala de aula, foram orientados pela professora a pesquisar nos sites da Associao Brasileira de Produtores de Florestas Plantadas (ABRAF), Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuria (EMBRAPA), Associao Brasileira de Celulose e Papel (BRACELPA), entre outros, para realizar um levantamento de dados sobre a quantidade de hectares de terra plantados com eucaliptos no Brasil.ATIVIDADE 1

Tabela 1: Quantidade de hectares plantadas no Brasil, desde 2000Fonte: ABRAF, 2008A partir dos dados coletados, solicitou-se aos alunos que os organizassem numa tabela, onde estivessem relacionados o ano de plantio e a quantidade de hectares plantada no perodo.

Ano de plantio200020012002200320042005Quantidade de hectares120.081155.450182.794206.123235.420267.354

A explorao dos dados foi feita a partir de alguns questionamentos, tais como:

-A quantidade de hectares plantada vem aumentando proporcionalmente a cada ano?

-Vem diminuindo a cada ano?

Observando a tabela de valores os alunos perceberam que a quantidade de hectares plantada estava aumentando ano a ano.

Ano de plantio200020012002200320042005Quantidade de hectares120.081155.450182.794206.123235.420267.354

Na seqncia, solicitou-se aos alunos que, considerando o perodo de tempo no eixo x e a quantidade de hectares plantados no eixo y, marcassem no plano cartesiano, os pontos da tabela e desenhassem o grfico representativo da situao.

Grfico da equao y = 28.560 x + b para diferentes valores de bAps a construo da tabela, os alunos construram o grfico representativo da situao,

O mesmo procedimento foi feito aumentando-se e diminuindo-se o valor do coeficiente a.

Grf1

123137123137123137

161697251697651697

2002573802571180257

2388175088171708817

2773776373772237377

3159377659372765937

Quantidade de hectares

Perodo desde 2000

Quantidade de Hectares

Plantio de Eucaliptos no Brasil

Coeficiente a

Ano do PlantioQuantidade de hectares

0123,137123137123137

1161,697251697651697

2200,2573802571180257

3238,8175088171708817

4277,3776373772237377

5315,9377659372765937

Coeficiente a

000

000

000

000

000

000

Quantidade de hectares

Perodo desde 2000

Quantidade de Hectares

Plantio de Eucaliptos no Brasil

coeficiente b

Ano do PlantioQuantidade de hectares

0123,137223137523137

1151,697251697551697

2180,257280257580257

3208,817308817608817

4237,377337377637377

5265,937365937665937

coeficiente b

123137223137523137

151697251697551697

180257280257580257

208817308817608817

237377337377637377

265937365937665937

Quantidade de hectares

Perodo desde 2000

Quantidade de Hectares

Plantio de Eucaliptos no Brasil

Plan2

Plan3

Plan4

Plan5

Plan6

Plan7

Esta atividade foi elaborada com o auxlio do Excel para que os alunos percebessem que quando se muda o valor de b na equao da reta y=ax+b, o grfico traado se afasta ou se aproxima do eixo das abscissas, conforme o caso. E, quando se altera o valor de a, o que muda no grfico traado o ngulo de elevao da reta em relao ao eixo das abscissas.

ATIVIDADE 2Na visita fazenda de propriedade de uma das empresas que cultivam eucaliptos, no municpio de So Gabriel, os alunos indagaram: Qual a altura mxima que um eucalipto atinge? Qual a altura mnima para o primeiro corte?

Os tcnicos informaram que as sementes so plantadas num viveiro florestal e as mudas so transplantadas aproximadamente aos 90 dias, com altura aproximada de 40 centmetros e que, a partir da, o crescimento varia de acordo com o solo, com o clima, com o relevo, com a adubao e uso de inseticidas e herbicidas.

Na conversa com os tcnicos, os alunos descobriram tambm que um eucalipto sofre o primeiro corte aos sete anos, para fins comerciais de fabricao de celulose, e que nessa idade o eucalipto est com aproximadamente 30 metros.

A altura mxima que um eucalipto pode atingir varivel de regio para regio.Sua altura mdia de aproximadamente 50 metros.

Os alunos organizaram-se em grupos para analisarem o crescimento do eucalipto nos 7 primeiros anos. De posse dos dados, a professora orientou-os a tabel-los.E para melhor analisar os dados, sugeriu que construssem o grfico.

Altura de uma rvore de EucaliptoFonte: Aracruz

Tempo de Vida ( em anos)Altura(em metros)00,416213318422525628730

Crescimento de uma rvore de eucaliptoUtilizando o Excel os alunos buscaram uma aproximao dos dados tabelados, obtendo a equao y = 4,3 x + 2,9 que um modelo que descreve a situao.

Pretendia-se, por meio do modelo, descobrir a altura de uma rvore de eucalipto com 50 anos, mas verificou-se que o modelo no era adequado, visto que aps 50 anos a altura seria muito grande. Por meio do modelo linear encontrado a altura de uma rvore de eucalipto, com esse tempo de vida, ultrapassaria 215 metros, quando na verdade essa altura atinge, em mdia, 50 metros.

Optou-se, ento, revisar o que havia sido construdo e buscar dados reais para construir um novo modelo que melhor descrevesse o crescimento de um eucalipto.

. Desta anlise feita ficou claro para os alunos que um eucalipto com 100 anos de idade no ultrapassa a 60 metros de altura. Foi trabalhada ento com os alunos, a noo de assntota, uma vez que com o decorrer do tempo a altura do eucalipto se aproximava de 51 metros, mas no ultrapassava esse valor.

A validao do modelo deu-se confrontando as informaes obtidas nas conversas com seus familiares e tcnicos da indstria, com os dados obtidos por meio do modelo matemtico.

Levantamento das vantagens e desvantagens da instalao de uma indstria de produo de celulose na regio. VANTAGEM - Muitas das respostas dos alunos apontaram inicialmente as vantagens da vinda da indstria, pois assim seus familiares tiveram a oportunidade de trabalhar. DESVANTAGENS Passado alguns meses do plantio de eucaliptos, a maioria dos trabalhadores foi dispensada, pois nesse momento no mais necessrio a mo de obra de vrios trabalhadores, diminuindo os empregados mantidos no setor.

Outro ponto levantado por alguns alunos foi em relao ao aproveitamento do solo. O modo como os eucaliptos foram plantados na regio no permite a plantao de outra cultura o que dificulta o sustento das famlias.

Uma informao obtida pelos alunos durante a pesquisa exploratria referente ao plantio de eucaliptos, foi sobre o consumo de madeira de floresta natural no Brasil. Percebendo o interesse dos alunos a professora solicitou que pesquisassem esse assunto.ATIVIDADE 3

No site da Associao Brasileira de Florestas Plantadas (ABRAF) os alunos obtiveram os seguintes dados sobre o consumo de madeira de florestas naturaisConsumo de Madeira de Floresta Natural- 1000 m3

Fonte: ABRAF, 2008

AnoQuantidadede Madeira(1000 m3)

1989128.6701990107.673199192.615199293.876199385.159199483.179199577.744199672.474199767.228

A partir dos dados dispostos na tabela questionou-se: a relao entre o consumo de madeira de floresta natural e o ano correspondente uma funo? Por qu?

Os alunos responderam afirmativamente ao questionamento e justificaram ser uma funo, pois medida que aumentava o tempo, diminua a quantidade de madeira e a cada ano corresponde um valor diferente

ATIVIDADE 4 A partir da palestra proferida na etapa da explorao do tema, descobriu-se que desde 1950 as empresas vm produzindo celulose de eucaliptos como alternativa celulose de Pinus. Em 1961, uma das empresas passou a produzir papel exclusivamente a partir da celulose de eucalipto e, trs anos depois, comeou a exportar celulose

Assim, o Brasil passava da condio de importador para exportador. Com um ciclo de corte mdio de sete anos, o eucalipto tornou-se a melhor opo para a produo de papel de imprimir e escrever, papel para a imprensa e papel sanitrio.

A tabela a seguir mostra o nmero de toneladas de celulose produzidas a cada ano, a partir de 1995 at 2007.

Ano( a partir de 1995)Celulose produzida(toneladas)14.90025.60136.10046.68757.27067.86378.41289.10099.7001010.3401110.7001211.4001311.998

A partir da tabela, foram ajustados os valores pela professora para que os alunos pudessem interpretar os dados por meio de um modelo linear e os representassem num grfico.

Foi solicitado aos alunos que construssem uma tabela com os novos valores representados,marcassem no plano cartesiano esses valores e construssem um novo grfico.

Os alunos conseguiram construir uma tabela indicando na coluna esquerda o ano e na coluna direita, a quantidade de toneladas de celulose produzida. Um dos grupos construiu a seguinte tabela:

O mesmo grupo construiu o grfico correspondente.

A professora indagou: possvel descobrir quantas toneladas de celulose sero produzidas em 2010? em 2030?em 2040?

A maioria dos alunos partiu de imediato para a construo da equao matemtica, indicando a quantidade de toneladas produzidas por y e os anos solicitados por x, a partir da tabela e do grfico construdos anteriormente.Esta foi uma tarefa difcil para os alunos.

ATIVIDADE 5Na palestra inicial do desenvolvimento deste trabalho, foi abordada a questo do Plantio de Eucaliptos e Pinus, no Brasil.

EucaliptosPinus

Os dados trazidos pelo palestrante desde o ano 2000 foram mostrados por meio de um grfico, na figura abaixo, indicando a quantidade de hectares plantados destas espcies no Brasil.

Este questionamento gerou discusso na sala, pois cada um tinha uma observao diferente. Salienta-se a anlise de um dos grupos que observou que o Plantio de Pinus no foi significativo, pois o grfico representativo do total de rvores plantadas est muito prximo do grfico que representa o Plantio de Eucaliptos.Foi solicitado aos alunos que pesquisassem sobre as vantagens e desvantagens do plantio de eucaliptos e destacassem as principais ideias para posterior apresentao e discusso em sala de aula.

Os grupos pesquisaram no site da ABRAF (2008) e destacaram os seguintes pargrafos:

A sociedade necessita cada vez mais de produtos de base florestal para a sua sobrevivncia e conforto. As florestas nativas antes abundantes em todo o mundo, esto cada vez mais escassas e ameaadas de desaparecerem. O pouco que resta indispensvel para manuteno da biodiversidade e de diversos servios ambientais.

Continuando a pesquisa...So inmeras as formas de contabilizar as riquezas geradas nas comunidades prximas ao cultivo do eucalipto. Entre elas, empregos diretos e indiretos, recolhimento de impostos, ...4.bp.blogspot.com/.../s400/CHARGE+EUCALIPTO.bm

O eucalipto tambm remove gs carbnico (CO2) da atmosfera, contribuindo para minimizar o efeito estufa e melhorando o microclima local. Por fim, o eucalipto protege os solos contra processos erosivos, conferindo-lhes caractersticas de permeabilidade, aumentando a taxa de infiltrao das guas pluviais e regularizando o regime hidrolgico nas reas plantadas.

Em tempos de mudanas climticas, as rvores tm, ento, um papel estratgico no equilbrio ambiental. Elas so naturalmente envolvidas na reduo do gs carbnico atmosfrico, principal responsvel pelo aquecimento global (efeito estufa). Alm disso, as rvores tambm contribuem para a proteo dos recursos hdricos e para o combate desertificao.

Do eucalipto tambm se obtm leos usados em produtos de limpeza, alimentcios, perfumes e remdios. H, ainda, o mel, bastante apreciado, produzido a partir do plen de suas flores. A contribuio do eucalipto para o desenvolvimento sustentvel do Brasil crescente. As atividades ligadas ao setor florestal j respondem por boa parcela do nosso PIB e geram milhes de empregos diretos.

Essa atividade teve como propsito incentivar os alunos a pesquisarem sobre o tema e destacar aspectos que acharam importantes no texto. A apresentao oral foi um momento difcil para eles, mas conseguiram expressar suas idias. Tinha-se como objetivo propiciar aos alunos uma oportunidade de se expressarem com clareza e ter capacidade de resumirem as principais idias.

A apresentao dos pargrafos pelos alunos serviu de motivao outras atividades tais como a elaborao de redaes nas aulas de Portugus.

Nesta aula, a professora retomou as discusses sobre as informaes contidas no grfico apresentado pelo palestrante e sugeriu aos alunos que dispusessem os dados do grfico em uma tabela, indicando o ano de plantio por x e a quantidade de rvores plantadas por y.

Ela desafiou-os a encontrar uma funo que descrevesse a evoluo da quantidade de hectares de florestas plantadas de pinus e de eucaliptos. possvel prever a quantidade de hectares plantados em 2010, e20152020?

Como os dados fornecidos pelo palestrante no descreviam uma reta os alunos calcularam a mdia aritmtica dos valores e reescreveram a tabela acrescentando essa mdia ano a ano, conforme se pode observar na tabela construda pelos alunos

Ano de Plantio (x)Pinus (Hectares)Eucaliptos (Hectares)200022.155119.081200122.058148.736200221.961178.391200321.864208.046200421.767237.701200521.670267.356200621.573297.011200721.476326.666200821.379356.321200921.282385.976201021.185415.631

Assim, o grupo 1 optou por escrever a tabela completando at o ano de 2010, para responder a questo sobre a previso de hectares que seriam plantadas de Pinus e de Eucaliptos, neste anoSobre as equaes que descrevem a evoluo do plantio, os alunos desse grupo sugeriram y = 22.155 97x e y = 119.081 + 29.655x para as plantaes de Pinus e Eucaliptos, respectivamente.

A professora indagou: Por que o coeficiente a da primeira equao da reta negativo?Esse grupo de alunos era mais atento e responderam que era porque a plantao de pinus estava diminuindo. Observou-se nesse momento que os alunos foram capazes de transferir um conhecimento j obtido para uma nova situao.

Para a previso da quantidade de hectares plantados para os anos de 2015 e 2020, o grupo optou por substituir os valores de x na equao e encontraram os valores de 20.700 e 20.215 hectares previstos com a plantao de Pinus, respectivamente.

Para o plantio de Eucaliptos, o grupo encontrou os valores de 563.906 hectares para o ano de 2015 e 712.181 hectares para o ano de 2020.

Aps a construo da tabela, a professora sugeriu aos alunos que construssem o grfico representativo da situao, incluindo os anos de 2010, 2015 e 2020. O grfico abaixo foi elaborado pelos alunos desse grupo.

Grf1

22155119081

22058148736

21961178391

21864208046

21767237701

21670267356

21573297011

21476326666

21379356321

21282385976

21185415631

21088445286

20991474941

20894504596

20797534251

20700563906

20603593561

20506623216

20409652871

20312682526

20215712181

Pinus

Eucaliptos

"x, Perodo (anos)"

"y, Hectares/Ano"

Plan1

PinusEucaliptos

2001 - 2000-119360369

2002 - 2001-26013344

2003 -2002351223329

2004 -2003-306424297

2005 - 2004286236934

Media-96.829654.6

PinusEucaliptos

2000022155119081

2001122058148736

2002221961178391

2003321864208046

2004421767237701

2005521670267356

2006621573297011

2007721476326666

2008821379356321

2009921282385976

20101021185415631

20111121088445286

20121220991474941

20131320894504596

20141420797534251

20151520700563906

20161620603593561y = 119.081 + 29.655 x

20171720506623216

20181820409652871y= 22.155 - 97 x

20191920312682526

20202020215712181

Plan1

Pinus

Eucaliptos

"x, Perodo (anos)"

"y, Hectares/Ano"

Plan2

Plan3

ATIVIDADE 6 A partir das discusses oriundas das atividades anteriores sobre as vantagens e desvantagens da plantao de eucaliptos na regio, emergiu o debate referente s questes econmicas impulsionadas por esse plantio.

Para responder a essa indagao os alunos foram orientados a lerem os artigos referentes ao assunto, nos sites das empresas responsveis pelo plantio e cultivo de eucaliptos no pas e trazerem, para a sala de aula, dados que pudessem ser debatidos e posteriormente analisados, sob o ponto de vista matemtico.Os alunos estavam interessados em saber se havia ganhos para o Brasil com a silvicultura.

A maioria dos alunos focou suas buscas nas exportaes de produtos oriundos de florestas plantadas. Vrios produtos foram citados como fundamentais para o setor florestal, mas optou-se em analisar aqueles cujas informaes eram detalhadas sob o ponto de vista quantitativo, permitindo assim uma anlise matemtica mais eficiente. So apresentadas a seguir algumas questes que foram trazidas pelos alunos e debatidas em sala de aula.

Grupo 1 Trouxe informaes a respeito da venda de madeira de florestas plantadas. Segundo as pesquisas que fizeram no site da Associao Brasileira de Florestas Plantadas ABRAFLOR -, o setor florestal aparece em 3 lugar na lista de exportaes em 2007, graas venda de madeira oriunda de florestas plantadas.

A ABRAFLOR afirma que o Brasil exportou, em 2007, US$ 587 milhes, em produtos madeireiros oriundos de florestas plantadas, tais como assoalhos, molduras, pisos, decks, portas, aplainados, mveis, etc., registrando um aumento de 26% em relao ao ano anterior. Com esta informao, os alunos partiram para a coleta de dados a respeito de quanto o Brasil vem exportando em produtos oriundos de florestas plantadas na ltima dcada

De posse dos dados, foram orientados a organiz-los em uma tabela relacionando o ano com a quantidade de milhes de dlares exportados. Essa atividade foi realizada na sala de informtica e os alunos utilizaram o programa Excel, como uma ferramenta de auxlio ao trabalho proposto.

Dados obtidos e tabelados por um dos grupos Importao de Produtos de Florestas Plantadas em milhes de dlares

AnoValores em Milhes de Dlares Exportaes19972.31819982.38319992.82220002.69720012.77120023.27420033.94720044.22620054.38620065.658

Os alunos observaram que havia uma diferena no grfico, com relao aos anteriores. Como o objetivo da atividade era explorar a funo determinada pelos dados obtidos, a professora fez algumas indagaes:Professora: Que curva os pontos do grfico sugerem? que curva Alunos: Lembra uma parbola, mas no muito bem ... Professora: Ser possvel encontrarmos uma funo cujo grfico se aproxima dessa curva?

A professora ajudou-os a utilizar o Excel para fazer os ajustes necessrios e encontraram a equao y = 33x2 + 2x + 2318 como um modelo matemtico capaz de ilustrar o comportamento dos dados referentes s exportaes dos produtos oriundos de florestas plantadas no Brasil.

Assim, a professora questionou sobre quais foram as mudanas percebidas no grfico construdo a partir da funo dada, quando comparado com o grfico construdo a partir dos dados coletados. Os alunos referiram-se apenas ao alinhamento dos pontos.

Solicitou-se aos alunos que usassem a funo y = 33x2+ 26x + 2318 e organizassem uma nova tabela indicando o perodo desde 1997 at 2006 e quais os valores em milhes de dlares obtidos ano a ano.

AnoValor das Exportaes - Milhes de Dlares199733. (0)2 + 26. (0)+ 2.318 = 2.318199833. (1)2 + 26. (1) + 2.318 = 2.377199933. (2)2 + 26. (2) + 2.318 =2.502200033. (3)2 + 26. (3) + 2.318 =2.693200133. (4)2 + 26. (4) + 2.318 =2.950200233. (5)2 + 26. (5) + 2.318 =3.273200333. (6)2 + 26. (6) + 2.318 =3.662200433. (7)2 + 26. (7) + 2.318 =4.117200533. (8)2 + 26. (8) + 2.318 =4.638200633. (9)2 + 26. (9) + 2.318 =5.225

Qual o valor de y quando x = 0? Comparando a funo y = 33 x2 + 26x + 2318 com a funo quadrtica y = a x2 + b x + c qual o valor de a, de b e de c? Que significado geomtrico tem os coeficientes?Analisando com os alunos os dados da tabela, a professora questionou-os sobre valor de y para os diferentes valores de x:

Na sequncia, ainda questionou: Professora: Com relao ao coeficiente c, onde ele est localizado no grfico? Aluno: No eixo y. Professora: Sim, tem-se o valor de c no eixo y, quando x = 0. Professora: Qual foi o menor valor de exportao neste perodo? Aluno: Em 1997. Professora: Quanto? Aluno: 2.318 milhes de dlares...professora agora apareceu de novo o valor de c.

Alguns alunos perceberam que o significado do coeficiente c estava relacionado com o valor de y quando x = 0. Essa concluso foi colocada pela professora para todos os alunos Em seguida, a professora os incentivou a relacionarem o coeficiente a com a curva sugerida pelo grfico, para que percebessem que a concavidade estava voltada para cima.

Professora: A parbola est voltada para cima ou para baixo?Aluno: Para cima.Professora: E qual o valor do coeficiente a da equao?Aluno: O valor 33.Professora: e 33 maior que zero, ou seja positivo. Ento podemos afirmar que quando o coeficiente a da equao for maior que zero a parbola estar voltada para cima.Aluno: e vai estar voltada para baixo quando o coeficiente a for negativo?Professora: Vamos analisar alguns grficos para concluir.

A professora apresentou para os alunos vrios exemplos, com diferentes valores do coeficiente a para que os alunos percebessem o efeito geomtrico produzido pelos diferentes coeficientes, considerando valores positivos e negativos.

Grf1

196392784-784-392-196

169338676-676-338-169

144288576-576-288-144

121242484-484-242-121

100200400-400-200-100

81162324-324-162-81

64128256-256-128-64

4998196-196-98-49

3672144-144-72-36

2550100-100-50-25

163264-64-32-16

91836-36-18-9

4816-16-8-4

124-4-2-1

000000

124-4-2-1

4816-16-8-4

91836-36-18-9

163264-64-32-16

2550100-100-50-25

troca de sinal

-7-32-50-17-81

-6-21-36-8-64

-5-12-24-1-49

-4-5-144-36

-30-67-25

-2308-16

-1447-9

0364-4

106-1-1

2-54-80

3-120-17-1

4-21-6-28-4

5-32-14-41-9

6-45-24-56-16

7-60-36-73-25

8-77-50-92-36

9-96-66-113-49

10-117-84-136-64

troca de sinal

razes

-732458117

-62132648

-51221491

-451236-4

-30525-7

-2-3016-8

-1-4-39-7

0-3-44-4

10-311

25008

3125117

42112428

53221941

645321656

760452573

877603692

9967749113

101179664136

razes

quadrtica

-14196392784-784-392-196

-13169338676-676-338-169

-12144288576-576-288-144

-11121242484-484-242-121

-10100200400-400-200-100

-981162324-324-162-81

-864128256-256-128-64

-74998196-196-98-49

-63672144-144-72-36

-52550100-100-50-25

-4163264-64-32-16

-391836-36-18-9

-24816-16-8-4

-1124-4-2-1

0000000

1124-4-2-1

24816-16-8-4

391836-36-18-9

4163264-64-32-16

52550100-100-50-25

quadrtica

Plan2

Plan3

Foi dado um tempo para os alunos analisarem os grficos e perceberem a diferena quando o valor do coeficiente a variava.

No final, a professora fez um esquema no quadro destacando que, se o coeficiente a positivo a parbola est voltada para cima e se a for negativo, a parbola est voltada para baixo.

Em seguida, foram analisados os grficos para valores de a entre 0 e 1 e para os valores maiores do que 1. O uso do Excel ajudou os alunos a estabelecerem as diferenas e tirarem as concluses. Aqueles que duvidavam das concluses podiam comprovar fazendo o grfico da funo

Na sequncia, a professora retomou o grfico referente equao y = 33x 2 + 26x + 2318 e explorou com os alunos o valor do discriminante da equao. A professora lanou a seguinte pergunta aos alunos: o grfico intercepta o eixo x? Os alunos disseram no haver interseco com o eixo x. A professora perguntou: por que no? Os alunos no souberam responder. Logo aps, a professora perguntou tambm sobre a interseco com o eixo y.

Com o intuito de melhor compreender o significado das interseces do grfico com o eixo x e com o eixo y, foram analisados vrios grficos. Primeiramente foi traado o grfico da funo y = x2 + 2 x 3. Para essa funo, foi destacado que o grfico intercepta o eixo dos x em dois pontos x1 = -3 e x2 = 1, que so razes da equao y = x2 + 2 x 3.

Na anlise, foram colocadas vrias questes:Professora: como podemos descobrir as razes?Aluno: calculando o discriminante.Professora: muito bem, ento calculem o discriminante de y = x2 + 2 x 3.Aluno: deu 16.Professora: o que podemos afirmar sobre as razes dessa equao a partir do discriminante?Aluno: ...se ele maior que zero, as razes so diferentes.

A professora usou outros exemplos para que os alunos percebessem a relao entre o valor do discriminante e a existncia das razes.

Foram analisados os grficos de vrias funes quadrticas para distinguir qual equao do tipo ax2 + b x + c = 0 possui duas razes reais distintas, uma raiz dupla e quando a equao no possui razes reais.

Apresentou informaes relacionadas quantidade de produtos que o Brasil ainda compra do exterior. exemplo do grupo 1, os alunos construram uma tabela e representaram graficamente os dados obtidos.Grupo 2

Importao de Produtos de Florestas Plantadas em milhes de dlares

Fonte: BRACELPA - 2008.

AnoValores em Milhes de Dlares - Importaes 19971.21919981.16819991.0992000899200174920027362003645200462420058402006990

Na anlise do grfico, os alunos perceberam que os dados marcados anunciavam uma funo quadrtica, pois havia uma curva que sugeria uma parbola. Assim, a professora fez os ajustes necessrios e obter a funo y = 30x2 - 260 x + 1219

Grf1

1219

1168

1099

899

749

736

645

624

840

990

Ano desde 1997

Quantidade em milhes de dlares

Exportao de Carvo Vegetal

AnoQuantidade

012350

118379

211257

310351

48000

58200

69095

79554

89988

910038

1012082.7

1112979.7

015349

113367

211741

310471

49557

58999

68797

78951

89461

910327

1011549

1113127

Exportao de Carvo Vegetal

Evol. Exportaes de Produtos

Perodo desde 1992

Quantidade em Toneladas

Exportao de Carvo Vegetal no Brasil

Evol. Importaes de Produtos

AnoRepresentao no GrficoValores em Milhes de Dlares - Exportaes

199702377

199812383

199922422

200032697

200142871

200253274

200363747

200474226

200584688

200695158

Aula 4y= 33x2 +26x +2318

AnoRepresentao no GrficoValores em Milhes de Dlares - Exportaes

199702318

199812377

199922502

200032693

200142950

200253273

200363662

200474117

200584638

200695225

Evol. Importaes de Produtos

Tempo em Anos desde 1997

Valores em Milhes de Dlares

Evoluo das Exportaes de Produtos de Florestas Plantadas

Saldo da ev. Florestas Exp. Imp

Perodo desde 1997

Milhes US$

Evoluo da Exportao de Produtos de Florestas Plantadas

AnoRepresentao no GrficoValores em Milhes de Dlares - Importaes

199701,219

199811,168

199921,099

20003899

20014749

20025736

20036645

20047624

20058840

20069990

AnoRepresentao no GrficoValores em Milhes de Dlares - ImportaesAula 4

199701219

19981989

19992819

20003709

20014659

20025669

20036739

20047869

200581059

200691309

Ano desde 1997

Quantidade em milhes de dlares

Evoluo da Importao de Produtos de Florestas Plantadas

Perodo desde 1997

Milhes de US$

Evoluo da Importao de Produtos de Florestas Plantadas

AnoSaldo entre as Exportaes e Importaes de Produtos

01282

11260

21868

32089

41974

52163

63155

73414

83682

93960

Aula 4

01062

11378

21694

32010

42326

52642

62958

73274

83590

93906

Ano desde 1997

Quantidade em milhes de dlares

Saldo entre as Exportaes e Importaes de Produtos de Florestas Plantadas

Perodo desde 1997

Milhes de Dlares

Saldo entre as Exportaes e Importaes de Produtos de Florestas Plantadas

Foi solicitado, ento, que os alunos, a partir da funo y = 30x2 - 260x + 1219, organizassem uma nova tabela indicando o perodo desde 1997 at 2006 e quais os valores em milhes de dlares referentes ano a ano.

AnoImportao em Milhes de Dlares199730.(0)2 -260. (0) + 1.219 = 1219 199830.(1)2 -260. (1) + 1.219 = 989199930.(2)2 -260. (2) + 1.219 = 819200030.(3)2 -260. (3) + 1.219 = 709200130.(4)2 -260. (4) + 1.219 = 659200230.(5)2 -260. (5) + 1.219 = 669200330.(6)2 -260. (6) + 1.219 = 739200430.(7)2 -260. (7) + 1.219 = 869200530.(8)2 -260. (8) + 1.219 = 1.059200630.(9)2 -260. (9) + 1.219 = 1.309

1309105986973966965970981998912190200400600800100012001400012345678910Perodo desde 1997Milhes de US$ Tambm foi solicitado que um novo grfico fosse traado a partir da tabela e questionou-se sobre as mudanas percebidas quando comparado com grfico anterior.

Os alunos apontaram que a diferena entre os dois grficos estava no seu desenho, pois agora os pontos estavam bem alinhados e que, novamente com os ajustes, os valores haviam mudado sensivelmente. Referiram que a quantidade inicial das importaes em 1997 foi de 1.219 milhes de dlares e que isso representava o coeficiente c da funo.

A professora questionou tambm sobre quais os perodos de crescimento e decrescimento nas importaes de produtos de florestas plantadas desde 1997. Os alunos analisaram corretamente e afirmaram que de 1997 a 2001 houve uma diminuio nas importaes de produtos de florestas plantadas, voltando a crescer a partir de 2001 at 2006

... e os questionamentos continuaram:Professora: Qual foi o ano em que as importaes foram menores neste perodo? Aluno: No ano de 2001.Professora: Quanto?Aluno: 659 milhes de dlares.Professora: O que representa o nmero 659, no grfico?

A inteno com este questionamento era de que os alunos percebessem que o nmero 659 representava o vrtice da parbola. Ento foi sugerido que fizessem os clculos lembrando que o vrtice da parbola o ponto.

e outros escreveram na forma decimal, obtendo V = (4,3 ; 655,7), com o uso de arredondamentos em uma casa decimal, conforme figura .

O grupo 2 fez os clculos e representaram primeiramente no caderno:

Logo aps, questionou-se sobre qual seria o conjunto imagem desta funo. Para esse questionamento, lembrou-se aos alunos que, se a funo apresenta o coeficiente a maior que zero, ela apresenta um ponto mnimo.

Na continuidade do dilogo a professora pergunta: o que podemos afirmar a partir de 2001? Os alunos observaram que a partir do ano de 2001 as importaes oriundas de produtos de florestas plantadas aumentaram.

qual o valor de x no ponto de interseco com o eixo y? No grfico os alunos apontaram o ano de 1997 com 1.219 milhes de dlares

Assim, partiu-se para a anlise do grfico, explorando-se os coeficientes da equao da parbola. Com relao aos valores do coeficiente a, afirmaram ser positivo, pois a concavidade da parbola estava voltada para cima, mas com relao ao coeficiente b, no chegaram a nenhuma concluso

No foi explorado o significado do coeficiente b da equao y = a x2 + b x + c por tratar-se de alunos de oitava srie. Um aluno do grupo indagou: se o valor de a for negativo, as razes so as mesmas? A professora ento os orientou a fazerem os clculos para verificarem a situao.

Ento os alunos do grupo 3 fizeram os clculos e desenharam o grfico

Confrontando os valores das razes da equao y = 30 x2 260 x + 1219 = 0 com as razes de y = 30x2 260 x + 1219 = 0, os alunos concluram que, ao variar o sinal do coeficiente a, as razes da equao tambm variam..Essas atividades foram realizadas utilizando somente lpis e papel

Consideraes Finais Esta pesquisa objetivou investigar a contribuio da Modelagem Matemtica para o estudo de funes, tendo como tema integrador o plantio de eucaliptos.

Constatou-se que o Plantio de Eucaliptos na regio, nos ltimos anos, provoca inquietaes na sociedade local, tanto no que diz respeito s questes ambientais, quanto sociais e econmicas.

Por meio de um problema real local, no caso as incertezas quanto aos benefcios que o Plantio de Eucalipto pode trazer para a regio fronteira-oeste do Rio Grande do Sul, os alunos tiveram a oportunidade de aprender Matemtica e ao mesmo tempo conhecer questes que permeiam a sua realidade.

Das observaes registradas e da anlise das atividades desenvolvidas pelos alunos pode-se concluir que o uso da Modelagem Matemtica, relacionando problemas oriundos da vivncia dos alunos, teve resultados mais positivos do que as abordagens convencionais.

A compreenso dos fenmenos relacionados ao cotidiano possibilitou a construo de modelos que aliaram conhecimentos multidisciplinares com os contedos matemticos ajudando-os na compreenso destes fenmenos de uma maneira crtica e integradora.

A dinmica do trabalho em grupo se mostrou relevante, pois atravs das experincias individuais, aliadas s pesquisas realizadas pelos grupos, aprofundou-se o conhecimento dos alunos sobre a problemtica levantada no incio do trabalho.

Comprovou-se que: Grupos de trabalhos se fazem necessrios para uma dinmica mais participativa, onde o aluno passa da passividade das aulas explicativas, onde ele mero espectador e depositrio de informaes, para uma dinmica integrativa e criativa. (CALDEIRA, 2009, p.4)

Assim, considera-se que esta dissertao trouxe contribuies para a discusso do uso da Modelagem Matemtica no ensino de funes, tendo como espao de investigao os problemas ligados problemtica do plantio de eucaliptos na regio fronteira-oeste do Rio Grande do Sul.

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