OTIMIZAÇÃO NA ENGENHARIAA PROCURA DAS MELHORES SOLUÇÕES.

Prof. Edgar Alberto de Brito

Apresentação 07Introdução a Engenharia Elétrica

Prólogo!

O trabalho de um engenheiro é incessante a procura de soluções para melhorar processos, custos, consumo, aumentar rendimentos, etc.

O bom profissional jamais estará satisfeito com o seu trabalho enquanto não conseguir melhorar até quanto lhe for possível.

O procedimento utilizado para uma solução que forneça esse objetivo é a OTIMIZAÇÃO.

O que vamos ver...

Procura das melhores soluções.

A melhor solução.

Modelos de otimização.

Exemplos .

Problemas a resolver.

O que é otimização?

É um processo de procura por uma solução que forneça o máximo benefício; ou seja a busca da condição ótima!!

Nem sempre o ótimo é alcançado, embora seja sempre uma meta

Em resumo: “encontrar uma solução ótima significa muitas vezes encontrar a melhor solução possível...”

Buscar da condição ótima...

Em várias situações encontrar a melhor solução significa a mais favorável de um parâmetro , que pode aparecer de formas diferentes.

Ex.:

Melhorar a potência de um motor, por um mínimo de consumo...

Nesse caso a idéia é de maximizar pelo mínimo possível (!)

Síntese

Em termos gerais:

“...o problema de otimização pode ser interpretado como a busca por valores de variáveis que resultem na maximização ou

minimização de determinadas funções dentro de um determinado domínio, normalmente definido através de restrições tecnológicas,

físicas ou normativas...”

Considerações

Vital na engenharia. (nunca acaba!)

Problemas na engenharia quase sempre abordam o confronto técnico x econômico, e ainda políticos – sociais.

Processos de otimização são basicamente matemáticos, sendo aplicados a parâmetros específicos.

Nem sempre a vida real são soluções matemáticas aplicadas.

A melhor solução (geral).

Intuitiva e subjetiva. Exemplos:

Melhor disposição de livros numa prateleira.

Melhor arranjo físico dos móveis numa sala (com maior espaço livre)

Melhor caminho para se chegar a um local, pelas ruas da cidade.

Ajustar a temperatura da água do chuveiro num dia muito frio para tomar banho.

Etc....

Melhor solução para engenheiros...

Identificar o emprego sistemático de técnicas específicas. Exemplos:

Uso de materiais (mais adequados).

Circuitos elétricos (menor gasto de energia).

Processos químicos (melhores condições de transferências de calor e massa).

Conservação de energia (maximizar a produção com menor consumo)

Estratégias a serem adotadasDentre os inúmeros problemas práticos tratáveis

através de otimização, podemos citar brevemente:

Determinação do melhor projeto possível para um circuito, antena, ou motor elétrico;

Derivação do melhor ajuste possível para os controles de um determinado processo industrial;

Estabelecimento de rotas de mínimo custo para a entrega de produtos a clientes;

Geração da melhor estratégia de tráfego de informação, visando maximizar o fluxo global de informação em uma rede de computadores;

Algumas possíveis aplicações de técnicas de otimização:

Redução do peso (ou custo) de uma estrutura, ou aumento de eficiência de elementos estruturais;

Redução das perdas (problema de corte e empacotamento);

• Determinação da melhor rota para transporte de passageiros ou mercadorias (mais barata ou mais rapida);

Um problema de distribuição de mercadorias:

Qual caminhão?

Por onde chegar ao cliente?

Que clientes atender primeiro?

Determinação da melhor mistura de determinados componentes (menor custo ou maior eficiência);

Aumento da produtividade em processos de fabricação;

Um problema de manufatura

Em que ordem produzir?

Como montar?

Comprar as peças de qual fornecedor?

Aumento da eficiência na alocação de recursos;

Um problema de alocação de antenas de TV, celular

Quantas são necessárias para um melhor recobrimento da região?

Que locais?

Qual distância entre elas?

Modelos de otimização

Pode-se identificar dois modelos:

Modelo Otimizante (homeostáticos): permite a determinação direta da condição ótima. Característica de entrada e processamento direto para a melhor condição. Ex: dirigir um veículo, panela de pressão, geladeira,

Modelo de Entrada-Saída: as variáveis do sistema sáosubstituídas por valores numéricos apropriados. Simulações matemáticas são exemplos desse modelo.

Métodos de Otimização

Evolução

Intuição

Tentativa

Gráfico

Analítico.

Otimização por evolução

Um sistema ou produto é aperfeiçoado através de alterações e melhorias na sua concepção, processo de fabricação ou mesmo no aspecto estético.

Exemplo: evolução do automóvel de passeio

Otimização por intuição

Decisões são tomadas baseadas apenas no julgamento próprio, muitas vezes sem uma justificativa com base científica.

Otimização por tentativa

Parte de um esboço preliminar, por tentativas através de refinamentos e novas definições, chega-se a um resultado final melhor.

Otimização por técnica gráfica

Consiste na utilização de esquemas ou desenhos na procura da melhor solução para o problema em análise.

É excelente auxiliar na definição de formas, tamanhos, proporções, etc.

Exemplo: desenho arquitetônico com disposição de móveis

Otimização por método analítico

Baseia-se no desenvolvimento matemático

O desenvolvimento dos computadores é um fator que muito contribui para esse método de otimização. Pode ser subdividido em:

Otimização com uma variável ;

Otimização com duas ou mais variáveis.

M.A. – Otimização com umavariável

Y = f (x)

O processo de otimização resume-se a encontrar o valor limite de y, ou seja, o máximo valor de alguma quantidade desejável ou o mínimo valor de uma característica indesejável.

Exemplos de otimização com uma variável:

Rapidez e quantidade de um trabalho realizado

Preço de um produto e receita resultante de sua venda

Temperatura ambiente e sensação de conforto Térmico

Sintonização de uma estação de rádio

Deseja-se construir uma caixa com uma folha de papelão tamanho A4 (210 x 297 mm), que possibilite armazenar o maior volume possível:

Um problema típico:

Nitidez

Distancia das lentes

Melhor imagem

Melhor distância

Projeção de imagens

Otimização com duas ou mais variáveis

Duas variáveis:

Custo de desenvolvimento e custo de aplicação de um modelo

Sintonia de canais de tv – melhor som e imagem

Carro A Carro B Carro C

Critérios Pesos Nota PN Nota PN Nota PN

Autonomia 1 4 4 4 4 3 3Capacidade de Carga 2 3 6 3 6 2 4Consumo 3 1 3 4 12 3 9Custo de Aquisição 3 2 6 2 6 2 6Desempenho 1 3 3 3 3 4 4Estética 1 3 3 4 3 3 3Manutenção 2 2 4 1 2 4 8

Totalização 29 36 37

Exemplo:Escolha de um automóvel para compra:

Notas: (0) ruim; (1) fraco; (2) regular; (3) bom; (4) ótimo

Objetivo: determinar dieta diária com menor custo possível que cumpra requisitos nutritivos.

Requisitos nutritivos diários:

– exatamente 3000 calorias;

– pelo menos 100 gramas de proteínas.

Problema da Dieta

Alimentos disponíveis A, B e C, com preços e composição nutritiva dados na tabela

Alimento Calorias/unid Proteínas (grama/unid)

Custo (R$/unid)

A 100 20 10

B 100 50 10

C 300 50 20

Observações:

• Problema clássico da Teoria da Complexidade Computacional ;

• Numero de possibilidades: (n-1)! trajetórias validas, para n cidades

(em caso de simetria, este numero cai pela metade).

Problema do caixeiro viajante.

“Suponha que um caixeiro viajante tenha de visitar n cidades diferentes, iniciando e encerrando sua viagem na primeira cidade. Suponha, também, que não importa a ordem com que as cidades são visitadas e que de cada uma delas pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total”.

Exemplo de um TSP com 4 -cidades

As trajetórias (ciclos) possíveis são:

A solução ótima é a trajetória B

Aumentando a complexidadeSuponha que se opte por resolver o problema do Caixeiro Viajante testando-se todas as alternativas (ciclos) possíveis.

Num problema com 20 cidades ha, aproximadamente, 6.08x1016 alternativas. Testando 1 milhão de alternativas por segundo, o tempo total seria mais de 1900 anos!

Objetivo: visitar todas as arestas de um grafo (ou todas as ruas de uma dada região), retornando ao ponto de partida

Problema do Carteiro Chinês

(Obs: vertices = esquinas; arestas = ruas)

Origem: problema das Pontes de Konigsberg (Euler, 1736)

Exercício: sem tirar o lápis do papel, reproduzir o desenho abaixo, retornando ao ponto inicial e sem repetir arestas:

Objetivo:

Dado um conjunto de itens a serem armazenados, cada qual com um determinado volume (ou peso) e um determinado valor, efetuar a seleção dos itens de modo a maximizar o valor total armazenado sem exceder a capacidade da mochila (ou container, ou caminhao,..).

Problema da Mochila

Problema de Corte Industrias de papel, tecido, vidro, barras de aço , entre

outras, fabricam seus produtos em pecas de tamanho fixo (tamanho padrão). Estas pecas são depois divididas em tamanhos menores a serem definidos de acordo com a necessidade do cliente.

O problema do corte consiste em determinar como cortar o menor numero de pecas de tamanho padrão, de modo a atender a demanda.

Problema resolvido anteriormente para a caixa de papelão!

Coisas mais avançadas...

A área de otimização (também conhecida como programação matemática) pode ser dividida de acordo com as características dos problemas que se deseja resolver.

Programação linear;

Programação não linear: Otimização irrestrita;

Otimização com restrições;

Programação matemática

A área de programação matemática, apesar do nome, não necessariamente envolve a programação de computadores:

Programação: planejamento de atividades;

Matemática: o problema é representado por um modelo matemático composto por (uma ou mais) funções objetivo e restrições dependentes das variáveis de decisão.

Programação linear

Quando tanto o objetivo quanto as restrições do problema podem ser representados como funções lineares, temos um problema de programação linear.

Problemas de transporte e roteamento;

Problemas de alocação ótima de atividades;

Problemas de definição de misturas ótimas –custo versus desempenho;

Problemas de planejamento de produção;

Problemas de warehousing;

Otimização do uso da energia.

Problema Proposto

• Pegar as contas de energia dos últimos 5 anos .• Construir uma tabela com : (I) cosumo (KWh) x mês , e (II) Consumo x

Custo (R$) para cada conjunto de anos (12 meses).• Plotar os gráficos (I) e (II) mostrando a evolução temporal em cada ano.

(Barras, pontos de dispersão, curvas de tendências, etc.)• Identificar a sazonalidade do consumo indicando os máximos e mínimos

de consumo e custos.• Identificar as causas dessas variações.• Montar uma tabela com possíveis cenários onde serão levadas as

seguintes considerações, (estabeleça um critério • Previsão de consumo futuro e valor a ser pago pela energia

consumida para um aumento de tarifa de R$ 0,48 por KWh para a partir de agosto de 2013 com acréscimo de R$ 1,50 para cada 100 kWh .

• Tabela otimizada para que os custos sejam reduzidos em 15% caso o mês ultrapasse os valores limites.