1

FICHA FORMATIVA

PARA ELABORAR A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO:

A relação entre o lado e o perímetro de um triângulo equilátero

Lado (cm)

0 1 2 3 4

Perímetro (cm)

0 3 6 9 12

1. Introduzir o comprimento dos lados do triângulo, nas

células.

2. Coloca o cursor na célula B1e escreve = A1*3 na célula .

3. Selecciona a célula B1 e desloca o rato, pressionando o seu lado direito, na vertical. Vais obter o cálculo dos restantes perímetros.

4. Selecciona as duas colunas e opta pelo gráfico de linhas. Nota: Para o zero do gráfico coincidir com o zero dos eixos tens de verificar se não está seleccionado a opção eixo dos yy cruza entre as categorias.

2

TAREFA 1:

Os tarifários das redes móveis...

O Sr. Francisco pretende comprar um telemóvel. Consultou o site de internet de três empresas de telecomunicações e obteve as seguintes informações ( os preços são por minuto).

OPTIMUS:

Rede Optimus € 0,204

Rede Fixa € 0,204

Outras redes € 0,408

VODAFONE:

Rede Vodafone 20,5 cênt. Rede Fixa 51 cênt. Outras Redes 65 cênt.

TMN:

Rede TMN € 0,151. Rede Fixa € 0,263 Outras Redes € 0,451.

Utiliza a FOLHA DE CÁLCULO na resolução das situações seguintes e elabora um texto para apresentares

as tuas conclusões.

ACTIVIDADE 1:

Imagina que o Sr. Francisco opta por uma das redes e telefona para um amigo, durante vinte minutos, que possui um telemóvel da mesma rede. Verifica o seguinte:

O que acontece com o preço à medida que o tempo decorre? Que relação existe entre o preço e o tempo de chamada? Que aspecto possui os gráficos que representam estas situações? Qual a situação mais vantajosa para o Sr. Francisco?

ACTIVIDADE 2:

Imagina agora que a conversa de vinte minutos se processa para um amigo que possui um telefone de rede fixa e para outro cujo telemóvel é de outra rede. Que alterações se verificaram nas representação gráficas destas situações? Será que a rede que oferece uma proposta mais vantajosa ainda é a mesma?

TAREFA2: Nesta actividade vais resolver problemas com a FOLHA DE CÁLCULO.

1. O Sr. Francisco quer instalar um telefone fixo no seu apartamento novo. Consultou duas empresas de telecomunicações que lhe forneceram as seguintes condições: Empresa A -Assinatura mensal de 15 euros e 25 cêntimos por impulso Empresa B -Assinatura mensal de 10 euros e 40 cêntimos por impulso. NOTA: 1 impulso corresponde a 1 minuto Elabora um texto explicando ao Sr. Francisco a melhor opção. Existe algum caso em que é indiferente escolher os tarifários das empresas A ou B? Sugestão: Considera duas funções que representem os tarifários A e B.

TAREFA 3:

O João e o Rui resolveram efectuar uma corrida para comparar as suas performances no atletismo. A

velocidade do João é de 2,5 metros por segundo e a do Rui é de 1 metro por segundo. No início da corrida o

João ofereceu ao Rui uma vantagem de 45 metros.

Determina a distância e o tempo necessário para o João ultrapassar o Rui.

TAREFA 4:

Elabora um gráfico que relacione a distância com o tempo para descrever a seguinte história. Explica o

raciocínio que efectuaste para o elaborares. (especialmente nas situações em que existe alteração de

inclinação do gráfico).

O João vai chegar tarde à escola. Para evitar esta situação resolveu apressar-se a efectuar os 500 metros que o separam da escola. Durante os primeiros cinco minutos a velocidade do João era elevada, mas nos três minutos seguintes foi mais reduzida. No oitavo minuto, este estava demasiado cansado e resolveu parar até ao décimo minuto. Nesta altura, verificou que não possuía o livro de Matemática e resolveu voltar a casa. O percurso de retorno foi efectuado durante 6 minutos e o João utilizou sempre uma velocidade constante. Quando chegou a casa deparou-se com a sua mãe e solicitou-lhe uma boleia até à escola. Desta vez, o João necessitou apenas de quatro minutos para chegar à escola, tendo a sua mãe utilizado sempre uma velocidade constante.

3

4

TESTE DE AVALIAÇÃO- FUNÇÕES

PARTE I

A maratona.... Os estudantes do 8º ano da Escola Secundária Dr. Manuel Fernandes realizaram uma maratona para angariar fundos destinados à Fundação Gil. A distância a percorrer era de 10 km. Para determinar a duração da prova, os alunos determinaram a velocidade de cada participante.

Os resultados obtidos para o José, a Inês e a Ana foram os seguintes:

Aluno Velocidade Ana 2 m/s Inês 1,5 m/s José 1 m/s

1. Estabelece uma correspondência entre o desempenho de cada aluno e a respectiva representação gráfica.

Explica, num pequeno texto, a tua resposta. (NÃO TE ESQUEÇAS DE INDICAR A EXPRESSÃO ANALÍTICA PARA CADA UMA DAS SITUAÇÕES) A maratona

0

5000

10000

15000

20000

25000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1000

0

1100

0

Tempo ( segundos)

Dis

tânc

ia p

erco

rrid

a (m

etro

s)

atleta Aatleta Batleta C

2. Qual foi o vencedor da competição? Justifica a tua resposta.

5

PARTE II

O João vive em Abrantes e costuma visitar a sua avó que vive numa aldeia perto desta cidade. Como o

percurso é relativamente curto, costuma utilizar a bicicleta para o efectuar.

O gráfico seguinte representa uma das viagens de ida e volta executada pelo João. Observa-o e tenta contar

uma história, envolvendo a relação entre o tempo e a velocidade.

O passeio do João

0

5

10

15

012

:0012

:1512

:3012

:4513

:0013

:1513

:3013

:4514

:0014

:1514

:3014

:4515

:00

tempo (horas)

velo

cida

de (m

etro

s po

r se

gund

o)

6

FICHA FORMATIVA

SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS:

No nosso dia – a - dia quando falamos em sequências referimo-nos a algo que tenha seguimento, continuação com ordem, ou seja, Sequência de números é um conjunto de números ordenados de uma determinada forma. Os números que formam a sequência designam-se por termos da sequência. Já conheces alguns exemplos de sequências: Números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..... Números pares: 2, 4, 6, 8, 10,.... Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, .... Potências de 2: 2, 4, 8, 16, 32,....

Se considerarmos a sequência de múltiplos de 6, verificamos que existe uma correspondência entre os números naturais e os termos desta sequência:

× 6 1 2 3 4 5 6 ...

6 12 18 24 30 36 ....

Assim, 6n é a expressão geral geradora de todos os termos da sequência. Para efectuar a representação gráfica da correspondência entre os números naturais e os termos das sequências, utilizando o Microsoft Excel, temos de ter o cuidado de formatar o gráfico de forma a obtermos um de pontos, pois os elementos do domínio são sempre os números naturais.

6n

01020304050607080

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ordem

term

os

7

TAREFA 5: Explorando sequências...

NÚMEROS POLIGONAIS:

Os pitagóricos desejavam compreender a natureza íntima dos números. Elaboraram os números figurados que são números expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. De todos os números figurados, os mais estudados têm sido os números poligonais: - triangulares, , pentagonais, hexagonais, etc.

Números triangulares: Como podes prever o próximos números triangulares? Que padrões observas? Descreve-os. Números quadrados:

1 4 9 16 Como podes prever o próximo números quadrados? Que padrões observas? Descreve-os. Números hexagonais.

1, 6, 15, 28, 45, ... . Como podes prever o próximos números hexagonais? Que padrões observas? Descreve-os. Que relação existe entre os números triangulares e hexagonais?

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

Uma das sequências mais famosas é a sequência de Fibonacci. Leonardo de Pisa (Fibonacci) analisou no seu livro Liber Abaci (1202) o seguinte problema: “ Um homem pôs um par de coelhos num ambiente fechado. Quantos pares de coelhos podem ser gerados por esse par, num ano, se de um modo natural, em cada mês, ocorrer a produção de um par e cada par começar a gerar coelhos quando completa dois meses de vida?” Assumindo que todos os coelhos são imortais, o número ao fim de cada mês segue a sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13......

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Como podes obter cada termo da sequência a partir dos termos anteriores?

Potências de bases 2 e 11... 1= 10 11 = 111 121= 112 1331 = 113 .............. 1= 20 2 = 21 4= 22 8 = 23 .............. Determina os três termos seguintes e tenta encontrar a expressão geral destas duas sequências.

9

TAREFA 6- Triângulo de Pascal

Um pouco de história....

BLAISE PASCAL (1623-1662) Foi filósofo, escritor, matemático e físico francês. Nasceu a 19 de Agosto

de 1623 e faleceu em 19 de Agosto de 1662 (dia em que completava 39 anos!).

Em 1640, editou o seu primeiro livro: “Ensaio sobre as cónicas”, que mais tarde foi

considerado um dos seus trabalhos mais criativos. Interessava-se sempre por coisas novas e

alheias ao espírito do Homem da Ciência, nomeadamente, os seus interesses no domínio da

Matemática que mudavam constantemente.

Em 1641, com 18 anos, dedicou-se ao planeamento de uma máquina de calcular, visto que

achava bastante “chato” a realização de grandes somas de números enquanto passava o seu tempo no

escritório do seu pai. Construiu e vendeu nos anos seguintes perto de 40 máquinas. Ainda hoje é possível

ver o primeiro destes engenhos no Conservatório de Artes e Medidas de Paris.

O triângulo de Pascal surgiu na China em 1300 AC. e este matemático

estudou-o e demonstrou, no “ tratado do triângulo aritmético” publicado em

1654, diversas propriedades do triângulo que ficou conhecido com o seu nome.

10

Explorando o Triângulo de Pascal...

1. Constrói, utilizando a folha de cálculo, as linhas acima referenciadas do triângulo de Pascal e elabora mais algumas. Explica as estratégias que utilizaste.

2. Tenta identificar algumas das sequências anteriormente estudadas.

11

TAREFA 7 : Dobragens de uma folha…

Se pegarmos numa folha de papel e a dobrarmos ao meio, ficaremos com 2 folhas com metade da área

inicial. Se voltarmos a dobrar ao meio passaremos a ter 4 folhas com 41 da área inicial. Por cada dobragem

que fizermos, a pilha duplica em número de folhas, e área de cada folha reduz-se para metade.

Considera que a folha inicial possui área 1.

O que acontece com a área dessa folha à medida que se efectuam diversas dobragens? E com o n º de

folhas?

Relaciona graficamente a sequência do n º de folhas com a da área de cada folha. O que observas?

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TAREFA 8: Regras das Potências

1. Recorda as regras do cálculo com potências e aplica-as sempre que possível às seguintes expressões: 2. Nota que nos dois últimos casos da questão anterior tanto podes aplicar a regra do quociente de potências com a mesma base como a do quociente de potências com o mesmo expoente. .Que resultados obténs aplicando as duas regras?

.Experimenta com outros exemplos idênticos aos anteriores. O que poderás concluir acerca do valor de a0?

3. Considera agora a sequência:

81 27 9 3

.

Qual é a lei de formação dos termos desta sequência?

.És capaz de representar os termos indicados sob a forma de potências de base 3 ?

.Procura uma expressão geradora que represente todos os termos da sequência.

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TAREFA 9: A viagem de finalistas

Lê com atenção as seguintes situações. Resolve-as e elabora, para cada uma delas, um texto contendo o raciocínio que utilizaste. O Sr. Paulo, gerente de uma agência de viagens, recebeu uma solicitação para organizar a viagem de

finalistas de uma escola para as ilhas Canárias. Depois de várias consultas chegou à conclusão que essa

viagem terá uma despesa fixa de 2000 euros, mais 100 euros por aluno, já incluindo todas as despesas. O Sr.

Paulo prevê fixar o preço por pessoa em 160 euros.

1.1. Qual o menor número de alunos que terão que ir à visita para que a agência tenha lucro?

1.2. Quantos alunos têm que ir nessa viagem para que o Sr. Paulo tenha um lucro de 4500 euros?

TAREFA10: A média de dois números A média de dois números é 5. Quais são os números?

TAREFA11: A área máxima

Um agricultor tem 100 metros de rede para vedar um terreno rectangular. Determina área máxima desse terreno e as suas dimensões.

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TAREFA 12 – Estudo da função produto

Nota:

O gráfico da função y = 2x+4:

y=2x+4

-10

-5

0

5

10

15

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Se observares o gráfico verificas que a recta intersecta o eixo do xx no ponto de coordenadas (-2,0) e o eixo

dos yy no ponto (0,4).

Se quiseres obteres analiticamente estes valores, tens de proceder da seguinte forma:

Para obter o valor (-2,0):

2x+4=0

x=-4/2

x=-2

, ou seja, vais determinar o valor de x quando y=0.

Para obter o valor (0,4):

Substituis o x por 0, ou seja, x=0 e efectuas os cálculos: 2×0+4 = 4

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ACTIVIDADE 1:

Considera as funções y = x+1 y = -2x+1.

Representa-as graficamente e elabora um texto, explicando o que observas.

ACTIVIDADE 2:

Elabora o gráfico da função y = (x+1) (-2x+1) O que observas? Que alterações ocorreram?

TAREFA 13: Diferença de quadrados

1- Resolve e compara resultados: 4 × 4 = 8 × 8 = 12 × 12 = 5 × 3 = 7 × 9 = 13 × 11 = 2- Tenta encontrar outros pares de números que verifiquem estas regularidades Se 256 × 256 = 65536 então 257 × 255 = ??? 3.Determina o par de número que verifica a seguinte igualdade: 16 × 16 = 256 ? × ? = 255 3.Tenta encontrar uma regra geral. Será que esta regra é sempre válida

16

Tarefa 14: Estudando funções quadráticas

1.Elabora os gráficos das seguintes funções:

y= x2 y=- x2 y= 2x2 y= - 2x2

O que observas? Que alterações ocorrem?

2. Elabora os gráficos das funções seguintes funções:

y=x2 y= 4 y=-4

O que observas? Que intersecções ocorrem?

3. Elabora os gráficos das funções seguintes funções:

y=(x-4)2 y= - (x-4)2 y=-4

O que observas? Que intersecções ocorrem?

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UM PLANO GERAL PARA OS TEUS RELATÓRIOS

RELATÓRIOS: PARA QUÊ ?

O relatório que irás elaborar destina-se a:

1. Contribuir para aprofundar a tua compreensão dos assuntos tratados.

2. Dar-te uma oportunidade para reflectires sobre o teu trabalho e de o valorizares ao fazeres a sua apresentação.

3. Permitir-te apresentar os teus raciocínios e as tuas descobertas.

4. Obter um registo sobre as tuas opiniões, as dificuldades que encontraste, as estratégias que utilizaste e os resultados que

obtiveste, de forma a compreender melhor os efeitos da metodologia de trabalho adoptada nas aulas.

5. Apelar ao teu sentido crítico para uma correcta avaliação do trabalho desenvolvido nas aulas, com vista

ao seu futuro aperfeiçoamento.

RELATÓRIOS: COMO ?

Poderás servir-te do seguinte guião para elaborares os teus relatórios. Eventualmente poderás desviar-te do

guião se preferires outra forma mais pessoal de apresentação do teu trabalho.

Em linhas gerais, um relatório deverá conter uma descrição tão completa e tão clara quanto possível de um

trabalho realizado por ti.

1ª Parte: A IMPRESSÃO GERAL (a) Descreve as tuas impressões gerais sobre a tarefa que te foi apresentada como base de trabalho. Se

percebeste o contexto da tarefa, se te agradou ou não, se te sugeriu alguma coisa, enfim, dá as tuas opiniões

...

2ª Parte: A EXPLORAÇÃO

(b) Descreve a tua "forma de ataque" à tarefa que te foi apresentado. O que começaste por fazer? Quais

foram as tuas primeiras decisões? Foi difícil começar?

(c) Relata os sucessivos passos do teu trabalho nas respostas às questões que foram surgindo, explicando

os teus raciocínios, as tuas estratégias de resolução e os resultados que obtiveste.

(Se puderes, ilustra os teus relatos com materiais que tenhas produzido).

3ª Parte: O BALANÇO (d) Faz uma síntese do que aprendeste durante o trabalho. Apresenta as tuas descobertas mais significativas.

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(e) Faz um comentário sobre os aspectos que achaste mais interessantes sobre a tarefa proposta, sobre o

trabalho realizado e sobre as maiores dificuldades que encontraste.

AVALIAÇÃO DOS RELATÓRIOS

Os relatórios elaborados constituirão elementos de avaliação e, como tal, serão valorizados de acordo com os

seguintes critérios:

Clareza na apresentação;

Detalhe na exposição;

Organização do trabalho;

Correcção das respostas;

Justificação das respostas;

Clareza na explicação dos raciocínios desenvolvidos;

Originalidade das respostas;

Discussão de questões que possam estar subjacentes na tarefa proposta, mas cuja exploração não é obrigatória.

A avaliação dos relatórios será qualitativa e de acordo com os 4 parâmetros seguintes:

Muito Bom

Bom

Suficiente

Insuficiente

ANEXO 1

19

ANEXO 1

20