Cap2 - Parte 5 - Medidas Para Dados Agrupados

Medidas Estatísticas Medidas Estatísticas

Para Para

Dados AgrupadosDados Agrupados

Prof. Gercino Monteiro FilhoProf. Gercino Monteiro Filho

ComentárioComentárioA era da informática chegou e com A era da informática chegou e com mudanças também na forma de processar mudanças também na forma de processar dados numéricos em que no outrora, para dados numéricos em que no outrora, para encontrar parâmetros estatísticos recorria a encontrar parâmetros estatísticos recorria a tabular os dados e fazer os cálculos com o tabular os dados e fazer os cálculos com o auxilio destas tabelas para simplificar longas auxilio destas tabelas para simplificar longas operações e assim este procedimento que operações e assim este procedimento que será visto nestes tópicos não é mais será visto nestes tópicos não é mais utilizado, e o presente capítulo é de somente utilizado, e o presente capítulo é de somente leitura pois deixou de ser útil.leitura pois deixou de ser útil.

ComentárioComentárioAlguns autores continua a descrevê-lo Alguns autores continua a descrevê-lo somente para participação em concursos somente para participação em concursos públicos que nos últimos anos também está públicos que nos últimos anos também está deixando de ser cobrado.deixando de ser cobrado.

Os exemplos que serão aqui ilustrado são Os exemplos que serão aqui ilustrado são todos citados e explicados a origem no todos citados e explicados a origem no Capítulo Apresentação de Dados.Capítulo Apresentação de Dados.

MédiaMédia

Quando se tem dados agrupados, para calcular a média Quando se tem dados agrupados, para calcular a média usa a fórmula ponderada pela freqüência a saber:usa a fórmula ponderada pela freqüência a saber:

classedamédiopontooéx

classesdenúmerooék

ffffnOnde

n

xfxfxfxfx

k

kk

.

...:

.......

321

332211

++++=

++++=

Média – Exemplo 1Média – Exemplo 1Encontre a idade média das crianças com diarréia Encontre a idade média das crianças com diarréia crônica dos dados abaixo.crônica dos dados abaixo.

Tabela 2 - Goiânia – Número de crianças com diarréia crônica por idade – 2002

Idade (Meses) Número de crianças

69 20 — 0 ׀

26 40 — 20 ׀

13 60 — 40 ׀

9 80 — 60 ׀

6 100 — 80 ׀

7 140 —100 ׀

Total 130 Fonte: Dr. Paulo Costa

Média – Exemplo 1 - SoluçãoMédia – Exemplo 1 - SoluçãoOs pontos médios de cada classe e suas respectivas freqüências Os pontos médios de cada classe e suas respectivas freqüências são:são:

A média é:A média é:

6910

2

20011 ==+= fex

26;30

2

402022 ==+= fx

13;50

2

604033 ==+= fx

9;70

2

806044 ==+= fx

6;90

2

1008055 ==+= fx

7;120

2

14010066 ==+= fx

77,31

130

4130

130

120.790.670.950.1330.2610.69 ==+++++=x



69 20 — 0 ׀

26 40 — 20 ׀

13 60 — 40 ׀

9 80 — 60 ׀

6 100 — 80 ׀

7 140 —100 ׀


Média – Exemplo 2Média – Exemplo 2

Encontre a média do número de dias de vômito das Encontre a média do número de dias de vômito das crianças com diarréia crônica dos dados abaixo.crianças com diarréia crônica dos dados abaixo.

Tabela 1 Goiânia – Número de crianças com diarréia crônica de acordo com a quantia de dias pelos quais teve vômitos – 2002

Número de dias de vômito

Número de crianças

0 36

1 22

2 54

3 15

4 1

5 1

6 1

Total 130

Fonte: Dr. Paulo Costa

Média – Exemplo 1 - SoluçãoMédia – Exemplo 1 - Solução

Por se tratar de uma variável restrita, com Por se tratar de uma variável restrita, com apresentação pontual, vem:apresentação pontual, vem:

130

6.15.14.13.152.541.220.36 ++++++=x

46,1

130

190 ==x

vômitodedias46,1:.spRe

MedianaMediana

Fórmula de Cálculo

hf

Fn

lmant

d ×−

+= 2

=====

.metadeelementoosituadoestáondeaquelaéClasse

;ClassedaAmplitadeh

;ClassedesimplesFrequênciaf

;AnteriorClassedaAcumuladaFrequênciaF

;ElementosdeTotaln

;ClassedeInferiorLimitel

ant

MedianaMediana

Na fórmula anterior fala-se em Freqüência Na fórmula anterior fala-se em Freqüência

Acumulada que é a quantidade de elementos Acumulada que é a quantidade de elementos

pelos quais tiveram valores inferior a algum pelos quais tiveram valores inferior a algum

número pré-estabelecido, sendo que para a sua número pré-estabelecido, sendo que para a sua

obtenção para uso da fórmula acima e de outras obtenção para uso da fórmula acima e de outras

que virão se faz necessariamente em cima do que virão se faz necessariamente em cima do

limite superior de classe, e cuja construção se limite superior de classe, e cuja construção se

faz na mesma tabela de origem.faz na mesma tabela de origem.

Mediana - ExemploMediana - Exemplo

Encontre a idade mediana das crianças com diarréia Encontre a idade mediana das crianças com diarréia crônica dos dados abaixo.crônica dos dados abaixo.



69 20 — 0 ׀

26 40 — 20 ׀

13 60 — 40 ׀

9 80 — 60 ׀

6 100 — 80 ׀

7 140 —100 ׀


Mediana – Exemplo - SoluçãoMediana – Exemplo - SoluçãoEm primeiro lugar se faz necessário construir a distribuição de Em primeiro lugar se faz necessário construir a distribuição de freqüência acumulada junto com a simples tal qual: freqüência acumulada junto com a simples tal qual:


Idade (Meses) Número de crianças F

69 = 0+69 69 20 — 0 ׀

95 = 69+26 26 40 —׀ 20

108 = 95+13 13 60 — 40 ׀

117 = 108+9 9 80 — 60 ׀

123 = 117+6 6 100 — 80 ׀

130 = 123+7 7 140 —100 ׀

Total 130 130 Fonte: Dr. Paulo Costa

Mediana – Exemplo - SoluçãoMediana – Exemplo - Solução

Elemento metade:Elemento metade:

Na Acumulada localiza-o e está na classe:Na Acumulada localiza-o e está na classe:

Assim: l = 0 ; Fant = 0 ; Assim: l = 0 ; Fant = 0 ;

f = 69 ; h = 20-0=20f = 69 ; h = 20-0=20

LogoLogo

Resposta: Md = 18,84mesesResposta: Md = 18,84meses

65

2

130

2

n ==

20 — 0 ׀

84,1820.69

65020.

69

02

130

0md =+=−

+=

ModaModaHistórico em dados agrupadosHistórico em dados agrupados

O inicio do cálculo da moda se deveu através de um modelo O inicio do cálculo da moda se deveu através de um modelo

matemático cognominado de MODA BRUTA, porem este matemático cognominado de MODA BRUTA, porem este

modelo era muito falho pois a moda era simplesmente o Ponto modelo era muito falho pois a moda era simplesmente o Ponto

Médio da ClasseMédio da Classe

Até que surgiu o matemático de nome KING e propôs um Até que surgiu o matemático de nome KING e propôs um

segundo modelo que levou o seu nome, e durante um período segundo modelo que levou o seu nome, e durante um período

longo passou a usar este modelo;longo passou a usar este modelo;

Mesmo assim percebia que este modelo não era o ideal e Mesmo assim percebia que este modelo não era o ideal e

apareceu um outro modelo e criou o processo de CZUBER, a apareceu um outro modelo e criou o processo de CZUBER, a

partir deste momento a moda passou a ser calculada por este partir deste momento a moda passou a ser calculada por este

modelo até a era atual quando necessita calcular em uma modelo até a era atual quando necessita calcular em uma

Distribuição de Freqüência, coisa rara com a era da Distribuição de Freqüência, coisa rara com a era da

informática.informática.

Moda – Fórmula de CzuberModa – Fórmula de Czuber

Fórmula de Czuber

h.lM21

1o ∆+∆

∆+=

==∆=∆=

frequênciamaiorpossuiqueaéClasse

;ClassedeAmplitudeh

;PosteriordaaeClassedaFrequênciadeDiferença

;AnteriordaaeClassedaFrequênciadeDiferença


1

1

Moda – ExemploModa – ExemploEncontre a idade mediana das crianças com Encontre a idade mediana das crianças com diarréia crônica dos dados abaixo.diarréia crônica dos dados abaixo.



69 20 — 0 ׀

26 40 — 20 ׀

13 60 — 40 ׀

9 80 — 60 ׀

6 100 — 80 ׀

7 140 —100 ׀


Moda – ExemploModa – Exemplo

Assim:Assim:

Vem:Vem:

Classe de maior freqüência: 0 ʜ— 20

=−==−=∆

=−=∆=

20020h;432669

;69069;0l

2

1

20.

112

69020.

4369

690Mo +=

++=

32,1232,120Mo =+= meses32,12:.spRe

SeparatrizesSeparatrizesNo caso da i-ézima Separatriz, qualquer que seja, usa a No caso da i-ézima Separatriz, qualquer que seja, usa a fórmula:fórmula:

h.f

FposlSep ant−

+=

======

lativaRePosiçãopos

;ClassedeAmplitudeh

;SimplesFrequênciaf

;AcumuladaFrequênciaF


;ocuradaPrSep

ant

Separatrizes - PosiçãoSeparatrizes - Posição

Por posição de uma separatriz compreende Por posição de uma separatriz compreende como sendo a colocação que ela situa se como sendo a colocação que ela situa se comparado com a freqüência total, e é dado comparado com a freqüência total, e é dado por:por:

Porcentagem relativa, que chega a:Porcentagem relativa, que chega a:

Quatil i Decil i Centil i

4

n.ipos =

10

n.ipos = 100

n.ipos =

Separatrizes - ExemploSeparatrizes - Exemplo

Da distribuição, encontre cada uma das Separatrizes.Da distribuição, encontre cada uma das Separatrizes.



69 20 — 0 ׀

26 40 — 20 ׀

13 60 — 40 ׀

9 80 — 60 ׀

6 100 — 80 ׀

7 140 —100 ׀


Exemplo – Exemplo – Terceiro QuartilTerceiro Quartil

Para a sua solução, necessita da Acumulada que é:Para a sua solução, necessita da Acumulada que é:


Idade (Meses) Número de crianças F

69 = 0+69 69 20 — 0 ׀

95 = 69+26 26 40 —׀ 20

108 = 95+13 13 60 — 40 ׀

117 = 108+9 9 80 — 60 ׀

123 = 117+6 6 100 — 80 ׀

130 = 123+7 7 140 —100 ׀

Total 130 130 Fonte: Dr. Paulo Costa

Exemplo – Exemplo – Terceiro QuartilTerceiro QuartilNeste caso: i = 3, assim:Neste caso: i = 3, assim:

Na tabela acumulada, tem que está na terceira Na tabela acumulada, tem que está na terceira classe:classe:

Assim:Assim:

Vem:Vem:

5,97

4

130.3pos ==

204060h;13f

;95F;40l ant

=−====

85,4320.

13

955,9740Q 3 =−+= Resp.: 43,85 meses

Exemplo – Exemplo – 47º. Centil47º. CentilNeste caso: i = 47, assim:Neste caso: i = 47, assim:

Na tabela acumulada, tem que está na primeira Na tabela acumulada, tem que está na primeira classe:classe:

Assim:Assim:

1,61

100

130.47pos ==

20020h;69f

;0F;40l ant

=−====

71,1720.

69

01,610P47 =−+=

Resp.: 17,71 meses

VariânciaVariância

Em dados agrupados usa o modelo ponderado Em dados agrupados usa o modelo ponderado

pela freqüência ao qual simplificando chega a:pela freqüência ao qual simplificando chega a:

Se população Se Amostra

2

ii2ii2

n

x.f

n

x.f

−=σ ∑∑

( )

−

−= ∑ ∑

n

x.fx.f.

1n

1s

2

ii2ii

2

ClassedeFrequênciaf i = ClassedeMédioPontox i =

Variância - ExemploVariância - Exemplo

Da distribuição, encontre a variância da idade das Da distribuição, encontre a variância da idade das crianças.crianças.



69 20 — 0 ׀

26 40 — 20 ׀

13 60 — 40 ׀

9 80 — 60 ׀

6 100 — 80 ׀

7 140 —100 ׀


Variância - ExemploVariância - Exemplo

Como é uma amostra, usa a fórmula:Como é uma amostra, usa a fórmula:

Efetuando as somas, vem:Efetuando as somas, vem:

( )

−

−= ∑ ∑

n

x.fx.f.

1n

1s

2

ii2ii

2

120.790.650.950.1330.2610.69x.f ii +++++=∑

2222222ii 120.790.650.950.1330.2610.69x.f +++++=∑

1304x.f ii =∑

300256x.f 2ii =∑

Variância - ExemploVariância - ExemploSubstituindo:Substituindo:

Efetuando chega a:Efetuando chega a:

( )

−

−=

130

1304300256.

1130

1s

22

71,969s 2 = Resp. : 969,71

Medidas Estatísticas Medidas Estatísticas Para Para

Dados AgrupadosDados Agrupados

FimFim

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