Universidade Federal da Bahia - UFBAInstituto de Cincias Ambientais e Desenvolvimento SustentvelBarreiras - BAAnlise estatstica descritiva: Dados agrupados em classesProf. Marcelo de PaulaResumo: Nesse texto acadmico apresentamos a metodologia para oagrupamento de dados quantitativos (discretos ou contnuos) em / classes bem comoseu tratamento estatstico, cuja representao mais simples a distribuio de fre-quncia. A distribuio de frequncia a distribuio dos dados em classes ou catego-rias, onde o nmero de elementos pertencentes a cada classe representa a frequnciada classe. Aconselha-se a trabalhar com dados agrupados em classes sempre quandoestamos trabalhando diretamente com a populao ou quando a amostra for conside-rada grande. Para a anlise exploratria dos dados agrupados em classes abordamosas principais medidas descritivas, a saber: Medidas de tendncia central: Mdia, moda bruta, moda de Czuber e Mediana; Medidas de disperso: Amplitude, varincia, desvio-padro, coef. de variao; Medidas separatrizes (Quantis): Tercil, quartil, decil e percentil; Medidas de assimetria: Coecientes de Pearson e via momentos; Medias de curtose: Coeciente percentlico e via momentos;1 IntroduoPara ilustrar a medotologia estatstica usada para dados agrupados emclasses, apresentamos a seguir um estudo de caso real em que fazemos passo a passoa construo de cada uma das medidas descritivas acima mencionadas.Estudo de caso: Foram coletadas 270 amostras de solo na fazenda Pontada Serra, Caic - RN, em que, para cada amostra, mediu-se o teor de chumbo (emppm). Os dados esto descritos na Tabela (1).1Tabela (1). Teores de chumbo (ppm) em amostras de solocoletadas na fazenda Ponta da Serra - Caic-RN.63 71 69 83 81 70 47 69 57 122 67 24 60 124 8773 55 80 86 68 53 84 128 51 89 62 61 90 74 51124 102 43 108 47 94 99 86 82 99 45 66 115 59 7438 75 99 82 38 96 97 61 79 137 47 127 123 83 6657 136 66 71 81 41 63 81 40 82 110 49 37 92 6057 27 109 69 98 92 74 109 81 68 70 72 26 74 8097 71 86 85 47 95 67 82 110 74 44 93 65 123 7253 95 92 51 37 103 48 92 62 94 48 89 73 23 5885 52 60 82 104 83 65 26 113 44 80 53 80 81 86112 133 86 99 107 56 93 77 109 94 24 43 68 59 9181 43 84 85 101 67 124 79 74 105 77 54 74 70 5915 57 60 39 68 63 77 39 28 105 117 131 72 84 8584 89 52 83 71 69 55 94 101 35 109 104 107 95 7388 75 66 70 57 34 32 52 108 72 116 66 38 86 4862 78 105 65 71 90 101 67 76 84 102 114 82 64 11084 59 47 77 53 81 101 43 56 15 35 105 106 62 8461 47 92 59 91 88 24 78 110 68 64 111 47 40 5183 78 103 141 72 54 86 54 59 155 63 95 100 92 84(1)Os dados coletados pelo pesquisador na forma em que se encontram, como naTabela (1), so denominados dados brutos, ou seja, sem nenhum tratamento estats-tico. Normalmente estes dados fornecem pouca ou nenhuma informao ao leitor,sendo necessrio uma organizao am de aumentar sua capacidade de informao.A mais simples organizao numrica a ordenao dos dados em ordem crescenteou decrescente. Dados apresentados dessa forma (ordenados) so chamados de ROL.A Tabela (2) apresenta o ROL de dados referentes aos teores de chumbo (em ppm)em amostras de solo coletadas na Fazenda Ponta da Serra - Caic-RN.2Tabela (2). ROL de dados referentes aos teores de chumbo (em ppm) em amostrasde solo coletadas na Fazenda Ponta da Serra - Caic-RN.15 38 47 54 60 65 69 73 79 82 86 92 98 105 11415 39 47 54 60 65 69 74 79 83 86 92 99 105 11523 39 48 55 60 66 70 74 80 83 86 92 99 106 11624 40 48 55 60 66 70 74 80 83 86 92 99 107 11724 40 48 56 61 66 70 74 80 83 86 92 99 107 12224 41 49 56 61 66 70 74 80 83 86 93 100 108 12326 43 51 57 61 66 71 74 81 84 86 93 101 108 12326 43 51 57 62 67 71 74 81 84 87 94 101 109 12427 43 51 57 62 67 71 75 81 84 88 94 101 109 12428 43 51 57 62 67 71 75 81 84 88 94 101 109 12432 44 52 57 62 67 71 76 81 84 89 94 102 109 12734 44 52 58 63 68 72 77 81 84 89 95 102 110 12835 45 52 59 63 68 72 77 81 84 89 95 103 110 13135 47 53 59 63 68 72 77 82 84 90 95 103 110 13337 47 53 59 63 68 72 77 82 85 90 95 104 110 13637 47 53 59 64 68 72 78 82 85 91 96 104 111 13738 47 53 59 64 69 73 78 82 85 91 97 105 112 14138 47 54 59 65 69 73 78 82 85 92 97 105 113 155(2)Como podemos observar na Tabela (2) a simples organizao dos dados(ROL) aumenta muito capacidade de informao destes, pois, enquanto a Tabela(1) nos informava apenas que tnhamos 270 valores de teor de chumbo, a Tabela (2)nos apresenta o menor e o maior valor de teor de chumbo, dando uma idia geral davariao dos teores de chumbo (em ppm) das amostras de solo coletadas na FazendaPonta da Serra. O menor teor de chumbo encontrado foi de 15 ppm e o maior teorde chumbo encontrado foi de 155 ppm. Portanto, houve uma variao nas amostrasde 140 ppm.2 Apresentao tabular2.1 Distribuies de frequnciasAps esta primeira organizao dos dados, ou seja, aps a ordenao dosdados, podemos ainda agrup-los em classes de menor tamanho, am de aumentar suaa capacidade de informao. Distribuindo os dados observados em classes e contandoo nmero de indivduos contidos em cada classe, obtemos a frequncia absoluta decada classe. A disposio tabular dos dados agrupados em classes, juntamente com asfrequncias correspondentes denominamos distribuio de frequncia. Para identicaruma classe, deve-se conhecer os valores dos limites inferior e superior da classe, que3delimitam o intervalo de classe. A construo das classes pode ser feita de maneirasubjetiva, como por exemplo, por meio do conhecimento do pesquisador a respeito dacaracterstica em estudo, ou utilizando algum critrio de categorizao. Apresentamosnessa Seo trs critrios adotados para o procedimento de categorizao de variveisquantitativas contnuas ou discretas.2.2 Construo de uma distribuio de frequnciaPara montar uma distribuio de frequncias necessrio que primeiramentese determine o nmero de classes (/) em que os dados sero agrupados. Por questesde ordem prtica e esttica alguns autores sugerem utilizar de 5 a 20 classes. Hvrias indicaes do nmero de classes a ser utilizado, em funo do nmero de dados(:), dentre elas podemos destacar:Caso 1. Quando o nmero de dados : _ 100./ =_:Caso 2. Quando o nmero de dados :100./ = 5 log(:)Caso 3. Critrio de SCOTT (1979), baseado na normalidade dos dados:/ = 3_:3. 49:sendo : a amplitude total;: : o desvio-padro amostral;: : o nmero de observaes.Em nosso exemplo temos o nmero de observaes igual a : = 270 e, portanto,devemos usar o segundo caso, a saber/ = 5 log(:) = 5 log (270) = 12. 16/ ~= 12 classes.Aps determinado o nmero de classes (/) em que os dados sero agrupados,deve-se ento determinar o intervalo de classe (/), que dado pela seguinte expresso:4/ =/ 1sendo/ : a amplitude da classe; : a amplitude total;/ : o nmero de classes;Em nosso exemplo temos/ =/ 1 =14012 1 = 12. 73 ppm./ ~= 13 ppm.Conhecida a amplitude de classes (/), determina-se ento os intervalos declasse. Os limites inferior e superior de cada classe devem ser determinados a partirdo limite inferior da primeira classe (111) de modo que o menor valor observado estejalocalizado no ponto mdio da primeira classe, que dado por:1`1 = 111 +1o12sendo1`1 : o ponto mdio da primeira classe;111 : o limite inferior da classe;1o1 : o limite superior da classe;Assim, o limite inferior da primeira classe (111) ser:111 = Amin /2Em nosso exemplo do teor de chumbo encontrado nas amostras coletadastemos111= Amin /2 = 15 132= 15 6. 5 = 8. 5.111= 8. 5 ppm.E os demais limites so obtidos somando-se / ao limite anterior. Para montara distribuio de frequncia, basta apresentar as classes obtidas na forma tabular econtar quantos indivduos existe cada classe. Apresentando os dados na forma dedistribuio de frequncia, sintetiza-se a informao contida nos mesmos, alm defacilitar sua visualizao. A apresentao dos dados em forma de distribuio defrequncia facilita ainda o clculo de vrias medidas estatsticas de interesse, alm depermitir a apresentao grca dos mesmos. A Tabela (3) apresenta a distribuio de5frequncias do teor de chumpo (em ppm) das amostras coletadas na Fazenda Pontada Serra (dados agrupados em 12 classes).Tabela (3). Distribuio de frequncias do teor de chumpo(em ppm) das amostras coletadas na Fazenda Ponta da Serra.Limite Limite Frequencia absolutaInferior (LI) Superior (LS),i1aclasse: 8. 5 ppm 21. 5 ppm 22aclasse: 21. 5 ppm 34. 5 ppm 103aclasse: 34. 5 ppm 47. 5 ppm 264aclasse: 47. 5 ppm 60. 5 ppm 385aclasse: 60. 5 ppm 73. 5 ppm 516aclasse: 73. 5 ppm 86. 5 ppm 607aclasse: 86. 5 ppm 99. 5 ppm 348aclasse: 99. 5 ppm 112. 5 ppm 309aclasse: 112. 5 ppm 125. 5 ppm 1110aclasse: 125. 5 ppm 138. 5 ppm 611aclasse: 138. 5 ppm 151. 5 ppm 112aclasse: 151. 5 ppm 164. 5 ppm 1

270(3)Frequncia absolutaA frequncia absoluta (,i) nada mais que o nmero de elementos per-tencentes a i-sima classe, i = 1. 2. .... /. Podemos observar que a soma de todas asfrequncias absolutas igual ao nmero de observaes do conjunto de dados, ou seja,k

i=1,i = :, sendo : o nmero total de observaes.Na Tabela (3) onde apresen-tamos um exemplo de distribuio de frequncias, em 12 classes, do teor de chumboencontrado nas amostras temos12

i=1,i= ,1 +,2 +,3 +,4 +,5 +,6 +,7 +,8 +,9 +,10 +,11 +,1212

i=1,i= 2 + 10 + 26 + 38 + 51 + 60 + 34 + 30 + 11 + 6 + 1 + 112

i=1,i= 270 = : (quantidade total de amostras).63 Medidas de posio ou tendncia centralAo examinar uma distribuio amostral simtrica ou pelo menos aproxi-madamente simtrica, nota-se que geralmente que os dados so mais frequentes pertode um valor central e so mais raros ao afastar-se deste. A obteno deste valorcentral de importncia fundamental para a pesquisa.Nessa Seo veremos as medidas de posio ou tendncia central para o casoem que o dados esto agrupados em classes. Para isso necessrio introduzir oconceito da Hiptese Tabular Bsica (HTB).3.1 Hiptese tabular bsicaPara ns de anlises matemticas todas as observaes contidas num in-tervalo de classe so consideradas iguais ao ponto mdio da classe.Essa hiptese conhecida como hiptese tabular bsica (HTB). Os clculos das medidas de posioou de disperso amostral usando os pontos mdios das classes como representantes detodos os seus elementos contm menor preciso do que aqueles realizados utilizandoos dados brutos ou elaborados.No entanto, estes erros, como j constatado por muitos pesquisadores emestatstica, podem ser considerados desprezveis e, portanto, devem ser ignorados. Avantagem de se utilizar a distribuio de frequncia refere-se simplicao estru-tural dos dados sem grandes perdas de preciso, bem como o aumento da facilidadede clculos devido a estas simplicaes, alm de fornecer uma idia da forma dadistribuio da varivel por meio da representao grca.Para o clculo das medidas de tendncia central para dados agrupados emclasses tais como a mdia, a moda e a mediana, necessrio acrescentar algumascolunas a mais na Tabela (3) conforme mostra a Tabela (4):7Tabela (4). Dados do teor de chumpo (em ppm) agrupados em classes.Limite Limite Frequencia absolutaInferior (LI) Superior (LS),iAi,iAi1i1:i%8. 5 21. 5 2 15 30 2 0. 7421. 5 34. 5 10 28 280 12 4. 4434. 5 47. 5 26 41 1066 38 14. 0747. 5 60. 5 38 54 2052 76 28. 1560. 5 73. 5 51 67 3417 127 47. 0773. 5 86. 5 60 80 4800 187 69. 2686. 5 99. 5 34 93 3162 221 81. 8599. 5 112. 5 30 106 3180 251 92. 96112. 5 125. 5 11 119 1309 262 97. 04125. 5 138. 5 6 132 792 268 99. 26138. 5 151. 5 1 145 145 269 99. 63151. 5 164. 5 1 158 158 270 100

270 20.391(4)Frequncia acumulada absolutaMuitas vezes o nosso interesse no reside na quantidade de observaesque existe numa determinada classe, mas sim em saber a quantidade de observaesacima ou abaixo de um determinado ponto na distribuio. Deste modo, a soma dasfrequncias de todos os valores abaixo do limite superior de uma determinada classe denida como frequncia acumulada at o ponto de interesse. Desta forma temos:1i =t

i=1,i, t _ /;sendo,i : a frequncia absoluta da i-sima classe, i = 1. 2. .... t, t _ /;t

i=1,i : o somatrio de todas as frequncias absolutas at a classe t emquesto (t _ /).Podemos observar que1i1i1 = ,i, i = 2. 3. .... /, ou aindat

i=1,i t1

i=1,i = ,i, t _ /.Por exemplo, podemos observar na Tabela (4) que a frequncia absoluta dasegunda classe (,2 = 10) igual a frequncia acumulada da segunda classe (12 = 12)menos a frequncia acumulada da primeira classe (11 = 2). A frequncia absoluta daterceira classe (,3 = 26) igual a frequncia acumulada da terceira classe (13 = 38)8menos a frequncia acumulada da segunda classe (12 = 12), e assim por diante paraas demais classes.Frequncia acumulada relativa percentualA frequncia acumulada relativa percentual da i-sima classe, i = 1. 2. .... /, dada por:1:i% = 1:i100%, t _ /;Podemos observar que1:i%1:i1% = ,:i%, i = 2. 3. .... /, ou aindat

i=1,:i% t1

i=1,:i% = ,:i%, t _ /.3.2 MdiaA mdia a principal medida de posio, sendo utilizada principalmentequando os dados apresentam distribuio simtrica ou aproximadamente simtrica,como acontece com a maioria das situaes prticas. Deve-se diferenciar, por meiode notao apropriada mdia populacional da amostral.A populao refere-se a todos os elementos de interesse do pesquisador paraa qual ca praticamente impossvel tomar as informaes elemento a elemento. Aamostra por sua vez refere-se a um subconjunto de elementos desta populao eobtida de acordo com alguns critrios, de tal forma que haja uma representatividadeda populao da qual foi extrada, e para qual se deseja extrapolar as informaes(inferncias estatsticas).No exemplo anterior da plantao de milho, a populao refere-se a todos os10.000ha plantados e uma amostra poderia ser de 20ha distribudos ao acaso pelaregio plantada. Ser utilizada para diferenciar a mdia da amostra e da populaoa seguinte notao:Mdia populacional: Mdia amostral:j =k

i=1fiXik

i=1fiA =k

i=1fiXik

i=1fiem que:Ai : o ponto mdio da i-sima classe, i = 1. 2. .... /.,i : o frequncia absoluta da i-sima classe, i = 1. 2. .... /.Ento no exemplo do teor de chumbo temos:9A =k

i=1,iAik

i=1,i= 20.391270= 75. 52 ppm.Interpretao: A quantidade mdia do teor de chumbo nas amostras desolo coletadas na fazenda Ponta da Serra - Caic-RN de 75. 52 ppm, ou ainda, ovalor mdio do qual os teores de chumbo se concentram de 75. 52 ppm.3.3 MedianaNo caso de dados agrupados a mediana pode ser calculada de acordo com aseguinte expresso:`c = 11Me +_______12k

i=1,i1ant,Me_______/Onde:11Me : o limite inferior da classe que contem a mediana;1ant : a frequncia acumulada anterior classe que contem a mediana;,Me : a frequncia absoluta da classe mediana;/ : a altura (amplitude) da classe mediana;Ento no exemplo do teor de chumbo, a partir da Tabela (4), temos:`c = 11Me +_______12k

i=1,i1ant,Me_______/ = 73. 5 +_2702 12760_13`c = 75. 23 ppm.Interpretao: 50% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixode 75. 23 ppm. Equivalentemente 50% das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 75. 23 ppm.103.4 Moda brutaSeja um conjunto de dados agrupados em / classes, ento sua moda bruta dada por:`ob = 11Mo + /2onde:11MO : o limite inferior da classe modal;/ : a amplitude da classe modal;Ento no exemplo do teor de chumbo, a partir da Tabela (4), temos que amoda bruta dada por`ob= 11Mo + /2 = 73. 5 + 132= 81`ob= 81 ppm.Interpretao: O valor bruto mais frequente do teor de chumbo nas amostrasde solo coletadas na fazenda Ponta da Serra - Caic-RN de 81 ppm.3.5 Moda de CzuberA moda denida para dados qualitativos ou para quantitativos discretoscomo sendo o valor de maior frequncia na amostra. Para dados quantitativos contn-uos a moda o valor de maior densidade. Portanto para dados quantitativos contnuoso estimador da moda baseado na distribuio de frequncias. Esse estimador buscaencontrar o ponto de mximo do polgono de frequncias.O estimador da moda para dados quantitativos contnuos denido a partirda distribuio de frequncia por meio de um mtodo geomtrico, a partir do his-tograma de frequncias (Mtodo de Czuber). Este mtodo baseado na inunciaque as classes adjacentes exercem sobre a moda, deslocando-a no sentido da classe demaior frequncia, o qual conduz a seguinte expresso:`o = 11Mo +

1

1 + 2 /Onde:11Mo : o limite inferior da classe modal (classe mais frequente);

1 : a diferena entre a classe modal e a classe anterior;

2 : a diferena entre a classe modal e a classe posterior;/ : a altura (amplitude) da classe modal;Ento no exemplo do teor de chumbo, a partir da Tabela (4), temos que amoda de Czuber dada por11`o = 11Mo +

1

1 + 2 / = 73. 5 +_99 + 26_13`o = 76. 84 ppm.Interpretao: O valor mais frequente do teor de chumbo nas amostras desolo coletadas na fazenda Ponta da Serra - Caic-RN de 76. 84 ppm.Observao: Quando a classe modal a primeira classe ento no h classeanterior e, portanto, 1 a prpria frequncia absoluta da primeira classe ,1, pois afrequncia absoluta da classe anterior zero j que ela nao existe, ou seja

1 = ,10 = ,1.Analogamente, quando a classe modal a ltima classe ento no h classeposterior e, portanto, 2 a prpria frequncia absoluta da ltima classe ,k, pois afrequncia absoluta da classe posterior zero j que ela nao existe, ou seja

2 = ,k0 = ,k.A Figura (5) mostra geometricamente a obteno da Moda para dados agru-pados em classes pelo mtodo de Czuber.Figura (5). Obteno da Moda pelo mtodo de Czuber.(5)12No histograma acima, marca-se, na classe modal, os vrtices A, B, C e D.Traa-se as retas AC e BD. No ponto de interseco destas retas (ponto E) traa-seuma perpendicular ao eixo das classes, localizando o ponto Mo, valor da moda.Oponto Mo divide o intervalo da classe modal (que mede /) em duas partes, cujoscomprimentos so proporcionais a 1 e 2. Notamos pela Figura (5) que 1 adiferena entre a frequncia da classe modal e da classe imediatamente anterior, e 2 a diferena entre as frequncias da classe modal e da imediatamente posterior.Por E traa-se a reta FG, paralela ao eixo das classes, obtendo assim, ossegmentos EF e EG, que representam as alturas dos tringulos ABE e CDE. Sendo11Mo o limite inferior da classe modal, 1oMo o limite superior e x a distncia entre11Mo e a moda (Mo), verica-se na Figura (5) que:`o = 11Mo +r (6)Como os tringulos ABE e CDE so semelhantes (pois possuem dois ngulosiguais) segue que:EFAB = EGCD =r

1 = / r

2Resolvendo a equao em funo de r obtemosr2= 1 (/ r)r2= 1/ 1rr2 + 1r = 1/r (1 + 2) = 1/r =

1/

1 + 2Desse forma temos quer =

1

1 + 2 / (7)Substituindo (7) em (6) obtemos nalmente a expresso para a Moda pelomtodo de Czuber`o = 11Mo +r`o = 11Mo +

1

1 + 2 /O estimador da moda pode tambm ser considerado como o valor mdio daclasse modal (moda bruta), como apresentado por diversos autores. A justicativa 13dada pela hiptese tabular bsica, que diz que todos os valores de uma classe so iguaisao seu ponto mdio. Como neste caso a classe modal a de maior frequncia, a moda considerada como igual a este ponto mdio.Nesse material o mtodo geomtricoanteriormente apresentado considerado, por ser considerado mais eciente.Fato: Se a distribuio de frequncias for perfeitamente simtrica entotemos que 1 = 2, e o valor modal para este caso particular se resume na modabruta, ou seja,`o = 11Mo + /2Demonstrao: como 1 = 2 ento segue que`o = 11Mo +

1

1 + 2 /= 11Mo +

1

1 + 1 /= 11Mo + 121 /`o = 11Mo + /2 conveniente comentar que as calculadoras eletrnicas no fornecem os cl-culos da mediana e da moda, o que para grandes conjuntos de dados, seus clculosexatos podem ser extremamente laborioso. A moda de Czuber mais apurada parao conjunto de dados, ou seja, mais renada no que diz respeito ao valor modal emrelao a moda bruta. Na prtica, quando o conjunto de dados muito grande entoa moda de Czuber a e moda bruta so bem prximas.4 Medidas de dispersoPara avaliar o grau de variabilidade ou disperso dos valores de um conjuntode dados agrupados em classes, usaremos as medidas de disperso j estudadas parao caso de dados no agrupados. Essas medidas nos proporcionaro um conhecimentomais completo do fenmeno a ser analisado, permitindo estabelecer comparaes entrefenmenos da mesma natureza e mostrando at que ponto os valores se distribuemacima ou abaixo da medida de tendncia central. Nesse trabalho apresentamos aseguir a varincia e o desvio-padro. Para o clculo das medidas de disperso taiscomo a varincia e o desvio-padro necessrio acrescentar algumas colunas na Tabela(4) conforme mostra a Tabela (8):14Tabela (8). Dados do teor de chumpo (em ppm) agrupados em classes.Limite Limite Frequencia absolutaInferior (LI) Superior (LS),iAi,iAi1i1:i% ,iA2i8. 5 21. 5 2 15 30 2 0. 74 45021. 5 34. 5 10 28 280 12 4. 44 7.84034. 5 47. 5 26 41 1066 38 14. 07 43.70647. 5 60. 5 38 54 2052 76 28. 15 110.80860. 5 73. 5 51 67 3417 127 47. 07 228.93973. 5 86. 5 60 80 4800 187 69. 26 384.00086. 5 99. 5 34 93 3162 221 81. 85 294.06699. 5 112. 5 30 106 3180 251 92. 96 337.080112. 5 125. 5 11 119 1309 262 97. 04 155.771125. 5 138. 5 6 132 792 268 99. 26 104.544138. 5 151. 5 1 145 145 269 99. 63 21.025151. 5 164. 5 1 158 158 270 100 24.964

270 20.391 1.713.193(8)4.1 VarinciaPara o caso de dados agrupados em classes a varincia populacional e amostralso dadas respectivamente por:Varincia populacional: Varincia amostral:o2=1N__k

i=1,iA2i 1N_k

i=1,iAi_2__:2=1n1__k

i=1,iA2i 1n_k

i=1,iAi_2__em que:Ai : o ponto mdio da i-sima classe i = 1. 2. .... /.,i : o frequncia absoluta da i-sima classe i = 1. 2. .... /.Ento no exemplo do teor de chumbo, a varincia amostral dada por:2=1: 1__k

i=1,iA2i 1:_k

i=1,iAi_2__=1270 1_1.713.193 (20.391)2270_:2= 643. 94 ppm2.154.2 Desvio-padroPara o caso de dados agrupados em classes o desvio-padro populacional eamostral so dados respectivamente por:Desvio-padro populacional: Desvio-padro amostral:o =_o2: =_:2=_1N__k

i=1,iA2i 1N_k

i=1,iAi_2__=_1n1__k

i=1,iA2i 1n_k

i=1,iAi_2__em que:Ai : o ponto mdio da i-sima classe i = 1. 2. .... /.,i : o frequncia absoluta da i-sima classe i = 1. 2. .... /.Ento no exemplo do teor de chumbo, o desvio-padro amostral dada por:: = _:2 =_643. 94 ppm2: = 25. 38 ppm.4.3 Coeciente de variaoO coeciente de variao o quociente percentual entre o desvio-padro e amdia do conjunto de dados, sendo expresso porC\ =:A 100%.Em nosso exemplo do teor de chumbo das amostras coletadas, temosC\ =25. 3875. 52 100%C\ = 33. 61%.5 Medidas separatrizes (quantis)Medidas separatrizes (ou quantis) so medidas que dividem o conjunto dedados ordenados (ROL) em partes iguais em termos de quantidade de observaes.Na estatstica descritiva usa-se frequentemente o Tercil, Quartil, o Decil e o Percentil.165.1 TercilOs tercis separam um conjunto de dados ordenados (ROL) em tres partesiguais. A Figura abaixo mostra gracamente a diviso do conjunto de dados por meiode dos tercis.1112130 1,3 2,3 3,3Assim:11 : o primeiro tercil, deixa 1,3 (33. 33%) dos elementos abaixo dele;12 : o segundo tercil, deixa 2,3 (66. 67%) dos elementos abaixo dele;13 : o terceiro tercil, deixa 3,3 (100%) dos elementos abaixo dele;A expresso abaixo nos fornece o valor do i-simo tercil (1i), i = 1. 2. 3,para dados agrupados em classes.1i = 11Ti +_______i3k

i=1,i1ant,Ti_______/,em que11Ti : o limite inferior da classe que contm o 1i, i = 1. 2. 3;1ant : a frequncia acumulada anterior classe que contm o 1i, i = 1. 2. 3;,Ti : a frequncia da classe que contm o 1i, i = 1. 2. 3;/ : a altura (amplitude) da classe que contm o 1i, i = 1. 2. 3;Clculo do primeiro tercil (11) - Exemplo do teor de chumbo das amostras.11= 11T1 +_______13k

i=1,i1ant,T1_______/ = 60. 5 +_13 270 7651_1311= 64. 07 ppm.Interpretao:1,3 das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de64. 07 ppm ou equivalentemente 2,3 das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 64. 07 ppm.Clculo do segundo tercil (12) - Exemplo do teor de chumbo das amostras.1712= 11T2 +_______23k

i=1,i1ant,T2_______/ = 73. 5 +_23 270 12760_1312= 84. 98 ppm.Interpretao:2,3 das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de84. 98 ppm ou equivalentemente 1,3 das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 84. 98 ppm.Clculo do terceiro tercil (13) - Exemplo do teor de chumbo das amostras.13= 11T3 +_______33k

i=1,i1ant,T3_______/ = 151. 5 +_33 270 2691_1313= 164. 5 ppm.Interpretao: 3,3 (100%) das amostras apresentaram um teor de chumboabaixo de 164. 5 ppm.Observao: O ltimo tercil sempre vai assumir um valor igual ao limite superiorda ltima classe (1ok).5.2 QuartilOs quartis separam um conjunto de dados ordenados (ROL) em quatropartes iguais. A Figura abaixo mostra gracamente a diviso do conjunto de dadospor meio de dos quartis.Q1Q2Q3Q40% 25% 50% 75% 100%assim:Q1 : o primeiro quartil, deixa 25% dos elementos abaixo dele;Q2 : o segundo quartil, deixa 50% dos elementos abaixo dele;Q3 : o terceiro quartil, deixa 75% dos elementos abaixo dele;Q4 : o quarto quartil, deixa 100% dos elementos abaixo dele;A expresso abaixo nos fornece o valor do i-simo quartil (Qi), i = 1. 2. 3. 4,para dados agrupados em classes.18Qi = 11Qi +_______i4k

i=1,i1ant,Qi_______/Onde:11Qi : o limite inferior da classe que contm o Qi, i = 1. 2. 3. 4;1ant : a frequncia acumulada anterior classe que contm o Qi, i = 1. 2. 3. 4;,Qi : a frequncia da classe que contm o Qi, i = 1. 2. 3. 4;/ : a altura (amplitude) da classe que contm o Qi, i = 1. 2. 3. 4;Observao: A expresso algbrica que nos fornece o clculo do segundo quartil(Q2) coincide com a expresso da mediana, pois ambas as medidas, `c e Q2 nosfornece 50% dos dados abaixo de si mesma. Portanto, quando nos referimos aosegundo quartil da distribuio estamos nos referindo a mediana da distribuio.Vamos determinar o Q1. Q2. Q3 e Q4 no exemplo do teor de chumbo.Clculo do primeiro quartil (Q1) - Exemplo do teor de chumbo das amostras.Q1= 11Q1 +_______14k

i=1,i1ant,Q1_______/ = 47. 5 +_14 270 3838_13Q1= 57. 59 ppm.Interpretao: 25% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de57. 59 ppm ou equivalentemente 75% das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 57. 59 ppm.Clculo do segundo quartil (Q2) - Exemplo do teor de chumbo das amostras.Q2= 11Q2 +_______24k

i=1,i1ant,Q2_______/ = 73. 5 +_24 270 12760_13Q2= 75. 23 ppm.Interpretao: 50% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de75. 23 ppm ou equivalentemente 50% das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 75. 23 ppm.19Podemos notar que o valor obtido de Q2 o mesmo valor obtido da mediana `c.Clculo do terceiro quartil (Q3) - Exemplo do teor de chumbo das amostras.Q3= 11Q3 +_______34k

i=1,i1ant,Q3_______/ = 86. 5 +_34 270 18734_13Q3= 92. 43 ppm.Interpretao: 75% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de92. 43 ppm ou equivalentemente 25% das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 92. 43 ppm.Clculo do quarto quartil (Q4) - Exemplo do teor de chumbo das amostras.Q4= 11Q4 +_______44k

i=1,i1ant,Q4_______/ = 151. 5 +_44 270 2691_13Q4= 164. 5 ppm.Interpretao: 100% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de164. 5 ppm.Observao:O ltimo quartil sempre vai assumir um valor igual ao limite su-perior da ltima classe (1ok).5.3 DecilSo valores que dividem uma srie de dados ordenados em dez partes iguais.A Figura abaixo mostra gracamente a diviso do conjunto de dados por meio de dosdecis.1112131415161718191100% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%assim:2011 : o primeiro decil, deixa 10% dos elementos abaixo dele;12 : o segundo decil, deixa 20% dos elementos abaixo dele;13 : o terceiro decil, deixa 30% dos elementos abaixo dele;...............110 : o dcimo decil, deixa 100% dos elementos abaixo dele;O i-simo decil, i = 1. 2. ..... 10, de um conjunto de observaes organizadasna forma de uma distribuio de frequncias expresso por:1i = 11Di +______i10 n

i=1,i1ant,Di______/Onde:11Di : o limite inferior da classe que contm o 1i;1ant : a frequncia acumulada anterior classe que contm o 1i;,Di : a frequncia da classe que contm o 1i;/ : a altura (amplitude) da classe que contm o 1i;No exemplo do teor de chumbo nas amostras temos:11 = 42 ppm. Interpretao: 10% das amostras apresentaram um teor de chumboabaixo de 42 ppm, ou equivalentemente 90% das amostras apresentaram um teor dechumbo acima de 42 ppm.12 = 52. 97 ppm. Interpretao: 20% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 52. 97 ppm, ou equivalentemente 80% das amostras apresentaramum teor de chumbo acima de 52. 97 ppm.13 = 61. 77 ppm. Interpretao: 30% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 61. 77 ppm, ou equivalentemente 70% das amostras apresentaramum teor de chumbo acima de 61. 77 ppm.14 = 68. 66 ppm. Interpretao: 40% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 68. 66 ppm, ou equivalentemente 60% das amostras apresentaramum teor de chumbo acima de 68. 66 ppm.15 = 75. 23 ppm. Interpretao: 50% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 75. 23 ppm, ou equivalentemente 50% das amostras apresentaramum teor de chumbo acima de 75. 23 ppm.16 = 81. 08 ppm. Interpretao: 60% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 81. 08 ppm, ou equivalentemente 40% das amostras apresentaramum teor de chumbo acima de 81. 08 ppm.17 = 87. 26 ppm. Interpretao: 70% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 87. 26 ppm, ou equivalentemente 30% das amostras apresentaramum teor de chumbo acima de 87. 26 ppm.18 = 97. 59 ppm. Interpretao: 80% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 97. 59 ppm, ou equivalentemente 20% das amostras apresentaram21um teor de chumbo acima de 97. 59 ppm.19 = 109. 03 ppm. Interpretao:90% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 109. 03 ppm, ou equivalentemente 10% das amostras apresentaramum teor de chumbo acima de 109. 03 ppm.110 = 164. 5 ppm.Interpretao: 100% das amostras apresentaram um teor dechumbo abaixo de 164. 5 ppm.5.4 PercentilSo valores que dividem uma srie de dados ordenados em 100 partes iguais.A Figura abaixo mostra gracamente a diviso do conjunto de dados por meio de dospercentis.111213 150151 19819911000% 1% 2% 3%50% 51%98% 99% 100%assim:11 : o primeiro percentil, deixa 1% dos elementos abaixo dele;12 : o segundo percentil, deixa 2% dos elementos abaixo dele;13 : o terceiro percentil, deixa 3% dos elementos abaixo dele;...............110 : o centsimo percentil, deixa 100% dos elementos abaixo dele;O i-simo percentil, i = 1. 2. ..... 100, de um conjunto de observaes organi-zadas na forma de uma distribuio de frequncias pode ser obtido por:1i = 11Pi +______i100 n

i=1,i1ant,Pi______/Onde:11Pi : o limite inferior da classe que contm o 1i;1ant : a frequncia acumulada anterior classe que contm o 1i;,Pi : a frequncia da classe que contm o 1i;/ : a altura (amplitude) da classe que contm o 1i;No exemplo do teor de chumbo nas amostras vamos determinar os percentis133, 184, e 199:Clculo do trigsimo terceiro percentil (133) - Exemplo do teor de chumbodas amostras.22133= 11P33 +_______33100k

i=1,i1ant,P33_______/ = 60. 5 +_ 33100 270 7651_13133= 63. 84 ppm.Interpretao: 33% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de63. 84 ppm, ou equivalentemente 67% das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 63. 84 ppm.Clculo do octogsimo quarto terceiro percentil (184) - Exemplo do teorde chumbo das amostras.184= 11P84 +_______84100k

i=1,i1ant,P84_______/ = 99. 5 +_ 84100 270 22130_13184= 102. 01 ppm.Interpretao: 84% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de102. 01 ppm, ou equivalentemente 16% das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 102. 01 ppm.Clculo do nonagsimo nono percentil (199) - Exemplo do teor de chumbodas amostras.199= 11P99 +_______84100k

i=1,i1ant,P99_______/ = 99. 5 +_ 99100 270 2626_13199= 136. 98 ppm.Interpretao: 99% das amostras apresentaram um teor de chumbo abaixo de136. 98 ppm, ou equivalentemente 1% das amostras apresentaram um teor de chumboacima de 136. 98 ppm.Observao: Podemos vericar no exemplo do teor de chumbo nas amostrasque23`c = Q2 = 15 = 150 = 75. 23 ppm.e que13 = Q4 = 110 = 1100 = 1ok = 164. 5 ppm.6 Medidas de assimetriaComo foi visto anteriormente, vrias medidas sintetizadoras da amostra soapresentadas, destacando-se as medidas de tendncia central e as medidas de disper-so, cada qual com suas particularidades e caractersticas. So apresentadas, tambm,formas grcas para avaliao da natureza da distribuio dos dados.Neste ltimocaso por uma inspeo emprica o pesquisador podia inferir que tipo de distribuioos dados de sua pesquisa apresentavam. Naquele instante deu-se nfase a simetria dadistribuio, ou seja, se a forma da distribuio apresentava uma concentrao maiordos valores em torno do valor central e se medida que se afastassem em ambasas direes deste centro, o comportamento se mantinha semelhante, reduzindo-se asfrequncias. Uma forma de se estimar o grau de assimetria pode ser dada pelo coe-ciente de assimetria. Nesse trabalho apresentamos os trs coecientes de assimetriamais usados: Primeiro coeciente de assimetria de Pearson; Segundo coeciente de assimetria de Pearson; Coeciente de assimetria via mtodo dos momentos;Para todos os coecientes de assimetria acima citados vale a interpretao daTabela (9) que apresenta a classicao das distribuies quanto a assimetria.Tabela (9). Classicao das distribuies quanto a assimetria.Co = 0 Distribuio simtrica perfeita.Co0 Distribuio assimtrica direita (assimtrica positiva).Co < 0 Distribuio assimtrica esquerda (assimtrica negativa).(9)A Figura (10) apresenta os tipos de distribuies quanto ao coeciente deassimetria.24Figura (10). Tipos de distribuies quanto ao coeciente de assimetria.Simtrica perfeita Assimtrica direita Assimtrica esquerdaCo = 0 Co0 Co < 0(10)Nas situaes reais da pesquisa, esta informao de grande valia, uma vez,que os processos de deciso e estimao so baseados em distribuies simtricas.Como os dados destas pesquisas referem-se a amostras de uma populao, dicilmenteo coeciente de assimetria ser exatamente igual zero, mesmo quando proveniente deuma distribuio sabidamente simtrica. Em geral temos distribuies aproximada-mente simtricas. Por essa razo, vrios autores adotam escalas para o coeciente deassimetria, tais como a escala abaixo: Se Co< 0. 10 ento temos uma distribuio assimtrica negativa ou as-simtrica esquerda. Se 0. 10 < Co < 0. 10 ento temos uma distribuio aproximadamente simtrica. Se Co0. 10 ento temos uma distribuio assimtrica positiva ou assimtrica direita.6.1 Primeiro coeciente de assimetria de PearsonO primeiro coeciente de assimetria de Pearson expresso por:Co1 = A `o:em que:A : a mdia do conjunto de dados;`o : a moda de Czuber do conjundo de dados;: : o desvio-padro do conjunto de dados;Podemos observar que tal medida considera apenas a distncia entre a mdiae a moda. Em nosso exemplo do teor de chumbo encontrado nas amostras de solocoletadas na Fazenda Ponta da Serra, temos25Co1=A `o:= 75. 52 76. 8425. 23Co1= 0. 0520Interpretao: De acordo com o primeiro coeciente de assimetria de Pearson,como temos 0. 10 < Co= 0. 0520 < 0. 10 podemos armar que temos umadistribuio aproximadamente simtrica.6.2 Segundo coeciente de assimetria de PearsonO segundo coeciente de assimetria de Pearson expresso por:Co2 = 3_A `c_:em que:A : a mdia do conjunto de dados;`c : a mediana do conjundo de dados;: : o desvio-padro do conjunto de dados;Podemos observar que tal medida considera apenas a distncia entre a mdiae a mediana. Em nosso exemplo do teor de chumbo encontrado nas amostras de solocoletadas na Fazenda Ponta da Serra, temosCo2=3_A `c_:= 3 (75. 52 75. 23)25. 23Co2= 0. 0343Interpretao: De acordo com o segundo coeciente de assimetria de Pearson,como temos 0. 10 < Co = 0. 0343 < 0. 10 podemos armar que temos uma dis-tribuio aproximadamente simtrica.6.3 MomentosMomento de ordem r de um conjunto quantitativo de dadosConsidere um conjunto de dados quantitativos (discreto ou contnuo) dadopor A1. A2. .... An ento seu r-simo momento dado por`r=n

i=1Ari:= Ar1 +Ar2 +... +Ar3:, : = 1. 2. 3. ...26 Se : = 1 temos que o primeiro momento igual a mdia dos dados, ou seja,`1= A.Momento de ordem r em relao a uma origem C de um conjuntoquantitativo de dadosConsidere um conjunto de dados quantitativos (discreto ou contnuo) dadopor A1. A2. .... An ento seu r-simo momento em relao a uma origem C dadopor`r(C) =n

i=1(AiC)r:= (A1C)r+ (A2C)r+... + (AnC)r:, : = 1. 2. 3. ...Momento de ordem r em relao a mdia de um conjunto quanti-tativo de dadosConsidere um conjunto de dados quantitativos (discreto ou contnuo) dadopor A1. A2. .... An ento seu r-simo momento em relao a mdia dado por`r(X) =n

i=1_AiA_r:=_A1A_r+_A2A_r+... +_AnA_r:, : = 1. 2. 3. ... Se : = 1, temos que `1(X) = 0, conforme visto nas propriedades da mdia. Se : = 2, temos que `2(X) = o2, ou seja, o segundo momento de um conjunto dedados quantitativos em relao a sua mdia a prpria varincia populacionaldos dados.Momento de ordemr em relao a mdia considerando um conjuntoquantitativo de dados agrupados em k classesConsidere um conjunto de dados quantitativos (discreto ou contnuo) agrupa-dos em classes, tal que o ponto mdio de cada classe dado por A1. A2. .... Ak tenha suarespectiva frequncia absoluta ,1. ,2. .... ,k.Ento seu r-simo momento em relaoa mdia dado por`r(X) =k

i=1,i_AiA_rk

i=1,i= ,1_A1A_r+,2_A2A_r+... +,k_AkA_rk

i=1,i, : = 1. 2. 3. ...27 Se : = 2, temos que `2(X) = o2, ou seja, o segundo momento de um conjunto dedados quantitativos em relao a sua mdia a prpria varincia populacionaldos dados.Para o clculo dos coecientes de assimetria e curtose, para dados agrupadosem classes, via mtodos dos momentos, que sero vistos a seguir, precisaremos res-pectivamente dos momentos 3 e 4 em relao a mdia. Portanto, para o clculo dasmedidas de assimetria e curtose, precisamos acrescentar colunas na Tabela (8) paradeterminar, primeiramente, os momentos de ordem 3 e ordem 4, respectivamente,conforme mostra a Tabela (11):Tabela (11). Dados do teor de chumpo (em ppm) agrupados em classes.Classes ,iAi,iAi1i1:i% ,iA2i,i_AiA_3,i_AiA_48. 5 21. 5 2 15 30 2 0. 74 450 443.329. 63 26.830.308. 9221. 5 34. 5 10 28 280 12 4. 44 7.840 1.073.073. 07 50.992.432. 2934. 5 47. 5 26 41 1066 38 14. 07 43.706 1.069.512. 12 36.919.558. 2747. 5 60. 5 38 54 2052 76 28. 15 110.808 378.713. 16 8.149.907. 2260. 5 73. 5 51 67 3417 127 47. 07 228.939 31.541. 98 268.737. 6773. 5 86. 5 60 80 4800 187 69. 26 384.000 5.394. 92 24.169. 2686. 5 99. 5 34 93 3162 221 81. 85 294.066 181.594. 71 3.174.275. 6099. 5 112. 5 30 106 3180 251 92. 96 337.080 849.505. 40 25.892.924. 52112. 5 125. 5 11 119 1309 262 97. 04 155.771 904.193. 31 39.314.325. 30125. 5 138. 5 6 132 792 268 99. 26 104.544 1.081.023. 95 61.056.232. 51138. 5 151. 5 1 145 145 269 99. 63 21.025 335.412. 64 23.304.470. 46151. 5 164. 5 1 158 158 270 100 24.964 561.107. 35 46.280.134. 14

270 20.391 1.713.193 922.062. 3 322.207.476(11)6.4 Coeciente de assimetria via mtodo dos momentosO coeciente de assimetria via mtodo dos momentos dado porCo =`3X(:2)1;5.em que: `3X : o terceiro momento em relao a mdia considerando dados agrupadosem classes, expresso por28`3X =k

i=1,i_AiA_3k

i=1,i. :2: a varincia amostral dos dados agrupados em classes.Em nosso exemplo do teor de chumbo encontrado nas amostras de solo cole-tadas na Fazenda Ponta da Serra, temos que o terceiro momento em relao a mdia dado por`3X=k

i=1,i_AiA_3k

i=1,i= 922062. 3270`3X= 3415. 046.Aps o clculo do terceiro momento em relao a mdia (`3X) considerandodados agrupados em classes, usamos tal medida para determinar o coeciente deassimetria via mtodos dos momentos da seguinte forma:Co =`3X(:2)1;5 = 3415. 046643. 941;5Co = 0. 2090.Interpretao: De acordo com o segundo coeciente de assimetria via mto-dos dos momentos, como temos Co = 0. 20900. 10 ento temos uma distribuioassimtrica positiva ou assimtrica direita.7 Medidas de curtose (achatamento)Uma outra medida para vericar a natureza da distribuio, denominadade curtose. Esta uma medida do grau de achatamento da distribuio quando com-parada ao de uma distribuio conhecida como distribuio normal que ser vista maisadiante. Apresentamos a seguir duas das principais medidas de curtose: o coecientepercentlico de curtose e o coeciente de curtose via mtodos dos momentos.297.1 Coeciente percentlico de curtoseO coeciente percentlico de curtose dado por:C1P =Q3Q12 (1911),em que:Q1 : o primeiro quartil da distribuio;Q3 : o terceiro quartil da distribuio;11 : o primeiro percentil da distribuio;19 : o nono percentil da distribuio;A classicao para esse coeciente a seguinte: Se C1P < 0. 263 : a distribuio leptocrtica; Se C1P = 0. 263 : a distribuio mesocrtica; Se C1P0. 263 : a distribuio platicrtica;Em nosso exemplo do teor de chumbo encontrado nas amostras de solo co-letadas na Fazenda Ponta da Serra, temos que o coeciente percentlico de curtose dado porC1P=Q3Q12 (1911) =92. 43 57. 592 (109. 03 42)C1P= 0. 2599.Interpretao: De acordo com o coeciente percentlico de curtose temosC1P < 0. 263, ento trata-se de uma distribuio leptocrtica.8 Coeciente de curtose via mtodos dos momen-tosO coeciente de curtose via mtodos dos momentos expresso por:C1 = `4X(:2)2.em que `4X : o quarto momento em relao a mdia considerando dados agrupadosem classes, expresso por30`4X =k

i=1,i_AiA_4k

i=1,i :2: a varincia amostral dos dados agrupados em classes.A Tabela (12) apresenta a classicao das distribuies quanto ao coecientede curtose.Tabela (12). Classicao das distribuies quanto ao coeciente de curtose.C1 = 3 Distribuio mesocrtica (Distribuio Normal).C1 < 3 Distribuio leptocrtica (mais "aniladas" que a Normal).C13 Distribuio platicrtica (mais "achatadas" que a Normal).(12)A Figura (13) apresenta os tipos de distribuies quanto ao coeciente decurtose.Figura (13). Tipos de distribuies quanto ao coeciente de curtose.Distribuio leptocrtica Distribuio mesocrtica Distribuio platicrticaC/ < 3 C/ = 3 C/3(13)Na prtica, dicilmente encontraremos um coeciente de curtose exatamenteigual a C1 = 3. O mais comum encontrarmos conjunto de dados aproximadamentemesocrtico (aproximadamente normal). Ento, assim como no caso do coecientede assimetria, adotamos a seguinte escala de interpretao: Se C1 < 2. 5 ento temos uma distribuio leptocurtica (mais anilada que adistribuio normal).31 Se 2. 5 < C1 < 3. 5 ento temos uma distribuio mesocurtica (aproximada-mente normal). Se C13. 5 ento temos uma distribuio platicurtica (mais achatada que adistribuio normal).Em nosso exemplo do teor de chumbo encontrado nas amostras de solo cole-tadas na Fazenda Ponta da Serra, temos que o quarto momento em relao a media dado por`4X=k

i=1,i_AiA_4k

i=1,i= 322.207.476270`4X= 1.193.361.Aps o clculo do quarto momento em relao a mdia (`4X) considerandodados agrupados em classes, usamos tal medida para determinar o coeciente decurtose via mtodos dos momentos da seguinte forma:C1 =`4X(:2)2 = 1.193.361643. 942C1 = 2. 8779.Interpretao: De acordo com o segundo coeciente de curtose via mtodosdos momentos, como temos 2. 5 < C1 = 2. 8779 < 3. 5 ento temos uma distribuiomesocrtica (aproximadamente normal).9 Referncias bibliogrcas1. BUSSAB, Wilton O., MORETTIN, Pedro A. Estatstica Bsica. So Paulo:Editora Saraiva, 5ed, 2002.2. DEVORE, J. L. Probabilidade e estatstica para engenharia e cincias. Editora:Thompson.3. FREUND John E.; SIMON , Gary A . Estatstica Aplicada. 9. ed. PortoAlegre: Bookman, 2000.4. JAMES, B. Probabilidade: um curso em nvel intermedirio. IMPA (2002).325. MEYER, P.L. Probabilidade, aplicaes estatstica. Traduo de Ruy C. B.Loureno Filho, (ENCE/IBGE), Rio de Janeiro, R.J., 1984.6. MURRAY, R. S. Probabilidade e estatstica. Editora: Makron Books.7. TOLEDO, Geraldo Luciano, OVALLE, Ivo Izidoro. Estatstica Bsica. 2ed.So Paulo: Editora Atlas, 1994.8. TRIOLA, M. F. Introduo e estatstica. Editora LTC, 10aedio.9. VIEIRA, Snia. Introduo Estatstica. Rio de Janeiro: Editora CampusLtda, 1981.33