Abdalla - Notas de Aula - Física (Ciências Moleculares)

Contedo

I Fsica Clssica 3

1 Fundamentos da Fsica 5

1.0.1 Medida de Eratstenes do tamanho da Terra. Distn-

cias Terra-Lua e Terra-Sol feitas por Aristarco. . . . . . 9

1.1 Aristteles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Os cus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Medidas de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 O conceito de tempo ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 O Espao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.1 Relaes entre grandezas fsicas. . . . . . . . . . . . . 32

1.5 O Nascimento da Cincia Moderna . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Leis da Natureza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7 A Cincia Grega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Mecnica 53

2.0.1 Reflexes sobre o movimento . . . . . . . . . . . . 53

2.0.2 Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1 Nmeros reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Nmeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 CONTEDO

2.1.2 Nmeros reais e sua relao com os naturais. . . . . . . 7

2.1.3 Nmeros inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.4 Nmeros racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.5 Representao decimal dos nmeros reais. . . . . . . . 15

2.1.6 Reinterpretando o sinal negativo. . . . . . . . . . . . . 17

2.1.7 Mdulo de um nmero real. . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.8 Distncia entre dois pontos da reta espacial . . . . . . 21

2.1.9 Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Posio de um corpo pontual em uma reta espacial . . . . . . 25

2.2.1 Unidades de comprimento. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Mltiplos e submltiplos de unidades de medida . . . . 29

2.2.3 Reta espacial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4 Relao entre origem e posio. . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.5 Distncia entre dois pontos da reta espacial . . . . . . 37

2.2.6 Deslocamentos entre duas posies. . . . . . . . . . . . 39

2.2.7 Preciso dos instrumentos de medida de posio e erro

experimental. O exemplo da rgua e o problema do

corpo pontual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.8 Posicionamento em linhas no retilneas. . . . . . . . . 45

2.3 A flexa do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1 Unidades de tempo e os calendrios. . . . . . . . . . . 48

2.3.2 A Flexa temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.3 Relao entre origem e instante, intervalos de tempo e

fluxo temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3.4 Preciso dos instrumentos de medida temporal . . . . . 59

2.4 Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

CONTEDO 3

2.4.1 Plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.2 Conceito intuitivo de funo. . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4.3 Exemplos de funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4.4 Taxa de variao de uma funo . . . . . . . . . . . . . 79

2.4.5 Clculo Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.4.6 Regras de derivao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.4.7 Interpretao geomtrica da taxa de variao e da de-

rivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4.8 Clculo integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.5 Posio como funo do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5.1 Tempo como parmetro, posio como funo. . . . . . 98

2.5.2 Anlise dimensional da funo s(t) . . . . . . . . . . . 100

2.5.3 Posio inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.5.4 Velocidade mdia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.5.5 Velocidade instantnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.5.6 Acelerao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.5.7 Comentrios sobre o movimento retilneo uniforme. . . 118

2.5.8 Comentrios sobre movimento retilneo uniformemente

variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.6 Comentrios sobre movimento de arraste. . . . . . . . . . . . . 138

2.7 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.7.1 Retas, semirretas e segmentos de reta no plano carte-

siano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.7.2 Distncia entre dois pontos do plano cartesiano. . . . . 145

2.7.3 Definio de vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4 CONTEDO

2.7.4 Transporte do vetor e representao do vetor em coor-

denadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.7.5 Soma vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.7.6 Substrao vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.7.7 Produto por escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2.7.8 Diviso por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.7.9 Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2.7.10 Decomposio de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.8 Posio de um corpo pontual em um plano espacial. . . . . . 172

2.8.1 Plano Espacial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2.8.2 Grandezas escalares e vetoriais. . . . . . . . . . . . . . 174

2.8.3 Distncia entre duas posies no plano espacial . . . . 175


2.9 Funes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

2.9.1 Conceito de funo aplicado ao vetor. . . . . . . . . . . 177

2.9.2 Exemplos de funes vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . 179

2.9.3 Clculo Diferencial Vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . 185

2.9.4 Regras de derivao vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . 188

2.9.5 Interpretao geomtrica da derivada vetorial. . . . . . 191

2.10 Vetor posio como funo do tempo. . . . . . . . . . . . . . . 191


2.10.2 Anlise dimensional da funo s (t) . . . . . . . . . . . 1942.10.3 Posio inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

2.10.4 Velocidade vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2.10.5 Acelerao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199


CONTEDO 5


variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209


2.12 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

2.12.1 Retas, semirretas e segmentos de reta no plano carte-

siano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

2.12.2 Distncia entre dois pontos do plano cartesiano. . . . . 230

2.12.3 Definio de vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2.12.4 Transporte do vetor e representao do vetor em coor-

denadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2.12.5 Soma vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

2.12.6 Substrao vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

2.12.7 Produto por escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

2.12.8 Diviso por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

2.12.9 Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

2.12.10Decomposio de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

2.13 Posio de um corpo pontual em um plano espacial. . . . . . 257

2.13.1 Plano Espacial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

2.13.2 Grandezas escalares e vetoriais. . . . . . . . . . . . . . 259

2.13.3 Distncia entre duas posies no plano espacial . . . . 260


2.14 Funes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

2.14.1 Conceito de funo aplicado ao vetor. . . . . . . . . . . 262

2.14.2 Exemplos de funes vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . 264

2.14.3 Clculo Diferencial Vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . 270

2.14.4 Regras de derivao vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . 273

6 CONTEDO

2.14.5 Interpretao geomtrica da derivada vetorial. . . . . . 276

2.15 Vetor posio como funo do tempo. . . . . . . . . . . . . . . 276


2.15.2 Anlise dimensional da funo s (t) . . . . . . . . . . . 2792.15.3 Posio inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

2.15.4 Velocidade vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

2.15.5 Acelerao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284



variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294


2.16.1 Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

2.16.2 Leis de conservao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

2.17 Leis de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

3 Mecnica dos Corpos Rgidos e dos Fluidos 321

3.1 Mecnica dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4 Termodinmica 341

4.1 Equilbrio trmico e temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . 346

4.2 Primeira lei da termodinmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

5 Gravitao 373

5.1 A Mecnica de Newton e a Gravitao Universal . . . . . . . . 373

5.1.1 Referenciais acelerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

5.2 Tycho Brahe e as Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

5.2.1 Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

CONTEDO 1

5.3 Isaac Newton e a Mecnica Clssica . . . . . . . . . . . . . . . 380

5.3.1 As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

5.3.2 Lei da Gravitao Universal . . . . . . . . . . . . . . . 386

5.4 O Universo Mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

2 CONTEDO

Parte I

Fsica Clssica

Captulo 1

Fundamentos da Fsica

Grandezas fsicas. Caracterizao do mundo fsico. O que se mede.

Caracterizar o mundo fsico significa dizer de modo explcito e detalhado

aquilo que observamos, aquilo que vemos e que desejamos reproduzir outras

vezes. Este um problema complexo na ausncia da caracterizao mate-

mtica, o que foi a origem da maior parte dos erros dos antigos ao tentar

descrever a natureza. Foi deste modo que a descrio matemtica se tornou

a base de todo o sucesso da fsica moderna.

Podemos caracterizar o mundo fsico por uma descrio simples do que

vemos, e como os antigos gregos o faziam. Podemos dizer que o cu

azul, a montanha alta, os pssaros voam. Podemos dizer que jogamos uma

pedra e ela cai, que a gua escorre pelo leito do rio. Quanto causa da

queda, poderamos dizer que uma pedra cai porque seu lugar natural no

centro da Terra, ou no centro do mundo. Assim era a descrio da fsica por

Aristteles[1]. Podemos, enfim, dizer que empurramos um mvel e que ele se

move, s vezes de modo fcil, ou com pouca fora, s vezes de modo difcil,

parecendo at que o mvel est preso no cho. Esta uma caracterizao

que dizemos holstica, do mundo natural.

6 Fundamentos da Fsica

A definio de holismo segundo o Michaelis : Compreenso da realidade

em totalidades integradas onde cada elemento de um campo considerado

reflete e contm todas as dimenses do campo, conforme a indicao de um

holograma, evidenciando que a parte est no todo, assim como o todo est

na parte, numa inter-relao constante, dinmica e paradoxal.

Holismo significa portanto a compreenso como um todo. Veremos mais

adiante que a grande revoluo da cincia moderna se baseia em caracteri-

zarmos as partes de um fenmeno para se compreender o significado delas,

para depois se compreender como as partes se relacionam com o todo, como

formam o todo. Apesar de toda crtica que se pode fazer em relao a tal

procedimento, foi assim que a cincia moderna evoluiu. Veremos, um pouco

mais adiante, como os antigos viam a cincia.

A caracterizao mais precisa do mundo fsico se d pela medida que

podemos ter daquilo que observamos. Certas afirmaes sobre o cu, assunto

com que iniciamos, so de fato muito complexas, e s foram compreendidas

depois do eletromagnetismo de Maxwell. Primeiramente, compreendeu-se o

que bsico na fsica do cu. Depois, o papel do eletromagnetismo, e a luz

como fenmeno eletromagntico, as cores como definidas pela freqncia da

luz, e finalmente a cor do cu como resultado da interao da luz com a

matria, portanto um caminho extremamente longo e complexo.

A altura da montanha mais simples. Ela simplesmente uma medida

de distncia, da base ao topo. Mas no to simples assim. Afinal, medir

distncias pode ser simplesmente contar quantos passos se pode dar de um

ponto a outro. Poderamos dizer que caminhamos para o topo e contamos

o nmero de passos. No entanto, queremos a altura da montanha como se

retirssemos a montanha de seu lugar, fossemos at o ponto onde estaria o

7pico, estendssemos uma linha at o cho e medssemos o comprimento total

da linha, do ponto onde estaria o cume at o cho. Deste modo, at mesmo

para fazer uma medida simples, precisamos de um procedimento. Para medir

a altura da montanha, utilizamos a geometria. A geometria utilizada foi

estudada por Euclides mais de dois mil anos atrs[2].

Aqui temos uma primeira medida fsica de grande importncia, qual seja,

a medida de distncia. Medir distncias significa comparar tamanhos, sendo

que um deles utilizado como o padro de comprimento. Isto conhecido

desde a antiguidade. Os problemas mais simples diziam respeito a medidas

de terrenos. Quer-se saber se um terreno grande ou pequeno para que se

possa utiliz-lo de modo eficiente. Para isto, dado o formato do terreno,

queremos uma medida de sua rea. Esta uma outra grandeza fsica bem

definida matematicamente, e os antigos gregos e egpcios sabiam fazer esta

medida.

Sabemos como calcular a rea de um quadrado, o produto de dois de seus

lados. A rea de um tringulo tambm sabemos determinar: a metade de

um lado multiplicado pela distncia do vrtice oposto aquele mesmo lado.

Ento percebe-se que se pode dividir uma rea que possui uma forma to

complexa quanto se queira, em uma soma de tringulos. Ento s somar as

reas de todos os tringulos que compem a rea original e temos o resultado

desejado.

Da a medirmos volumes arbitrrios no ser muito difcil. Basta lembrar

que o volume em uma pirmide tetradrica de base com rea B e altura h,

obtido multiplicando a rea da sua base pela sua altura e dividindo por

trs. Subdividindo um volume qualquer em pirmides pequenas, podemos

calcular o volume original.


Este o princpio do clculo integral, que s seria descoberto, de modo

formal, por Leibnitz e por Newton, no sculo XVII. No entanto, rudimentos

do procedimento podem ser utilizados j nos problemas acima. Ainda mais,

os problemas acima exemplificam como podemos resolver um problema com-

plexo dividindo-o em partes mais simples.

Discutir: tamanho de terrenos, distncias lineares, volumes. Exemplos.

Medida da altura de uma montanha. A medida da altura de um objeto de

dimenses muito grandes, como uma montanha, ou um edifcio, um exemplo

de medida indireta muito simples, que de outro modo, seria muito difcil de se

efetuar de modo direto. Suponhamos que temos um edifcio muito alto. Ao

invs de medirmos a sua altura h diretamente, podemos usar geometria. Uma

medida direta seria estender uma corda ao lado de uma das paredes verticais

deste edifcio. A corda deveria ser muito grande, ou por vezes no podemos

entrar no edifcio. Ento fazemos toda medida permanecendo externamente

a ele. Primeiramente medimos a distncia de um ponto de observao at o

prdio em questo, digamos que obtemos um valor x. Depois, medimos, a

partir deste ponto, o ngulo entre uma linha horizontal imaginria e outra

que liga o ponto de observao ao ponto mais alto deste edifcio. Digamos

que o ngulo entre essas duas retas. A trigonometria nos d que tg =

h/x. Sabendo-se x, que medimos diretamente, e , que tambm medimos

com um teodolito,1 saberemos a altura h. Assim, para o edificio Itlia,

se nos colocarmos a 30 metros de distncia, e medirmos o ngulo, vamos

verificar que ele mede cerca de 78,8o, ou 78 graus e 48 minutos, e olhando em

uma tabela (ou calculadora) veremos que a tangente deste ngulo igual a

1O teodolito um instrumento ptico de medida utilizado na topografia, na geodsiae na agrimensura para realizar medidas de ngulos verticais e horizontais, usado em redesde triangulao. Ver wikipedia.

95.03. Assim,h = 151m. claro que teremos outras dificuldades, dependendo

do que queremos medir. Por exemplo, podemos medir a altura do prdio

Martinelli, um dos primeiros edifcios altos da cidade de So Paulo. Sabemos

que ele mede 130m. No entanto, localizado em um declive, devemos tomar

cuidado nas medidas, para que no estejamos abaixo do nvel inferior (trreo)

do edifcio. Um pouco mais de geometria pode ser necessrio.

1.0.1 Medida de Eratstenes do tamanho da Terra. Dis-tncias Terra-Lua e Terra-Sol feitas por Aristarco.

Aristteles j falava, quatro sculos antes de Cristo, sobre medidas do raio da

Terra. Eratstenes, (aprox. 284 - 192 A.C.), o bibliotecrio de Alexandria,

foi o primeiro a estimar o raio da Terra com preciso, por volta do terceiro

sculo antes de Cristo. Este foi o primeiro passo para uma viso quantitativa

do Universo, pois passamos a ter uma idia da dimenso do nosso mundo.

Este clculo simples. Ele observou a sombra de um gnomon2 em Alexan-

dria, em um certo dia em que o Sol estava a pino em Siena (hoje conhecida

como Aswan), uma outra cidade egpcia, a uma distncia de cerca de 5000

estdios. Os raios de luz que chegam do Sol nessas duas cidades so quase

paralelos (veja a Fig.1.1). Quando a luz do Sol incide verticalmente em Siena

(os objetos deixam de ter sombra), em Alexandria os raios solares fazem um

ngulo com a vara do gnomon. Observe que este ngulo tambm a

abertura angular das duas cidades medidas a partir do centro da Terra. O

ngulo medido foi de 150

do crculo mximo,de 360o, ou seja, 715, o que levou

Eratstenes a estimar a circunferncia da Terra em 250 000 estdios. Como

a circunferncia da Terra igual a 2piRT , sendo RT o raio da Terra, Erats-

2Uma vara vertical usada como relgio solar.


Figura 1.1: Figura em que temos os dois feixes de luz que chegam as cidadesde Alexandrina e Siena e o ngulo medido por Eratstenes.

tenes obteve uma estimativa para o raio da Terra atravs da medida deste

ngulo. Vejamos a importncia de termos padres de medidas reconhecidos

mundialmente: hoje no sabemos ao certo o valor do estdio, mas estima-se

que 1estdio = 160m e que o valor obtido por Eratstenes para o raio da

Terra esteja apenas 5% abaixo do valor exato. Ataualmente sabemos que o

raio da Terra varia de 6.378 km no Equador a 6.356 km nos polos[3]. Como

os valores acima, usados por Eratstenes, so estimativas j devidamente

arredondadas, podemos dizer que o valor obtido foi excelente.

As observaes de Aristarco de Samos so as mais interessantes. Aristarco

tambm conhecido por ter sido quem props o sistema heliocntrico bem

antes de Coprnico. Aristarco fez medidas muito apreciveis. Para medir a

distncia relativa at o Sol e at a Lua, ele observou a Lua quando ela estava

exatamente com aparncia de meia Lua. Esta observao, sem instrumentos,

, na prtica, extremamente difcil. Medindo o ngulo entre a direo da Lua

e a do Sol, ele pode estimar tais distncias relativas.

Pelas observaes de Aristarco, o ngulo de 87o, quando o correto de

89o 51. O valor relativo entre a distncia Terra-Sol e a distncia Terra-Lua

obtida por Aristarco foi de 19, enquanto o valor correto de 400. Embora

haja um erro de um fator de 20, consideramos que para uma observao sem

qualquer instrumento, a olho nu, o resultado desta estimativa, para a poca,

plenamente satisfatrio.

Aristarco usou duas outras observaes mais simples. A primeira que

durante um eclipse solar, a Lua cobre exatamente o Sol. Em outras palavras,

11

mesmo sem observar um eclipse solar, verificamos que o ngulo subentendido

pelo Sol ou pela Lua o mesmo, qual seja, 0,5o. Assim, a relao entre o

dimetro do Sol e o da Lua dado pela relao entre suas distncias at ns,

ou seja, 19 para Aristarco, e 400 para ns. Falta-nos ainda um dado para

completar o quebra-cabea. Este dado suplementar fornecido pelo eclipse

lunar, quando se verifica, conforme feito por Aristarco, que o dimetro da

Lua corresponde metade do tamanho do cone de sombra (veja Fig. ??).

Assim, Aristarco tinha as relaes

x

2d=x+ 20R

19d=x+R

D,

enquanto ns teramos

x

2d=x+ 401R

400d=x+R

D.

Aristarco resolveu as equaes, com x = 40R/17, obtendo d = 0,35D e,

portanto, Rsol = 6,6RT . Se fizermos o clculo sem o erro original devido

medida imprecisa de ngulo, obtemos x = 2R,D = 3d, eRsol = 130RT . Para

comparao com valores observados hoje, temos D = 3, 67d e Rsol = 109RT ,

de modo que a idia foi brilhante. Note-se ainda que, para o dimetro da

Lua, obtemos, aproximadamente, 1/3 do dimetro da Terra, que corresponde

realidade. Se usarmos o fato, j bem conhecido, que o tamanho aparente

da Lua corresponde a um ngulo de 12, obtemos a distncia Terra-Lua,

sin1

2

o

= sinpi

360' pi

360=

23RT

DTL

Portanto,

DTL ' 75RT ,


ou seja, a distncia Terra-Lua corresponde, aproximadamente, a 75 vezes o

raio da Terra. Os valores atuais so

RT ' 6378 kmRL ' 1740 kmDTL ' 3,84 105 km ' 60RT .

Note que, para a poca, os valores so excelentes, se levarmos em conta

que no havia qualquer sofisticao alm de medidas de ngulos e distncias,

e conhecimento de geometria.

1.1 Aristteles.

Aristteles foi uma mente prodigiosa. Nasceu em Estagira, a leste da atual

Thessalnica, em 384 Antes de Cristo, vindo a falecer em 322. Escreveu sobre

quase todos os aspectos do conhecimento. Sua lgica permanece vlida hoje.

Foi uma das pessoas mais influentes da histria da civilizao. Sua filosofia

foi o marco fundamental da igreja catlica durante mais de um milnio.

No campo da fsica, todavia, seus escritos acabaram por retardar, em

certa medida, o desenvolvimento ulterior da cincia. A conceituao grega

do mundo era baseada, conforme j vimos, em um iderio holista. A princ-

pio isto no mau ou errado, mas a tentativa de se compreender o mundo

de forma total extremamente difcil, e em algum ponto torna impossvel

o desenvolvimento de idias. De alguma forma devemos compreender os

fenmenos em suas partes, para melhor compreender o todo. O mtodo aris-

totlico iniciava-se pela observao do particular, naquilo que ele considerava

a essncia das coisas. Da tirava concluses. Mas o particular, para Arist-

1.1 Aristteles. 13

teles, continha toda a complexidade de sistema como um todo. Ento temos

complicadores neste ponto de vista. Vejamos como, em detalhe.

Aristteles e sua escola tentavam, por exemplo, compreender o movi-

mento. Olhavam para o movimento real, como uma carroa em movimento.

Se olharmos o movimento de uma carroa, veremos que h um enorme n-

mero de variveis envolvidas. Pior ainda uma carroa antiga. Havia atrito

em toda parte: as rodas atritam com a carroa por um lado, e com o cho

de outro. O cavalo pisa em falso em um terreno difcil, perdendo energia

com a terra em que pisa devido irregularidade do terreno, ou at devido

possvel presena de lama no cho. O arreio no firme, ou puxa para um

dos lados. Assim, um dos lados se move mais que outro, muitas vezes rodopia

um pouco, s vezes escorrega em um barranco. A impresso que no h

como haver movimento sem que se faa um grande esforo. De fato, esta foi

a concluso de Aristteles: para haver movimento deve haver alguma ao.

Outra concluso similar que os corpos devem ter posies ditas naturais,

onde eles devem naturalmente existir.

Tal linha de pensamento leva a muitas conseqncias erroneas. Este

um dos perigos que se corre quando no se tem a experimentao como guia

do desenvolvimento cientfico: uma linha de pensamento, uma vez errnea,

leva a concluses cada vez mais distantes daquilo que correto. O erro

est em se tomar um sistema to complexo como algo que possa ser descrito

em termos de leis simples. A comparao com a realidade se faz de modo

apenas quantitativo, no permitindo aquilatar de modo preciso onde est o

erro ou o acerto de uma concluso. De fato, a corroa necessita de uma

fora para iniciar o movimento, mas a causa simples, estando contida em

todo atrito de um sistema to complexo (no sentido de ser cheio de detalhes)


e fortemente rudimentar, j que as peas que compem o sistema no o

fazem para simplificar o movimento e, de algum modo ajud-lo, mas acaba

atrapalhando-o.

Apesar das crticas freqentes a Aristteles encontradas em livros de f-

sica, devemos contextualiz-las para uma melhor compreenso. Como dito

acima, Aristteles foi um dos homens mais influentes da histria humana.

Foi um dos maiores pensadores. Fsica, no entanto, algo muito difcil, e

sua total compreenso necessitou de uma evoluo histrica milenar, ape-

nas podendo alar vo aps a descoberta do mtodo cientfico. Na poca

de Aristteles o pensamento humano apenas se iniciava em sua vertente l-

gica, e o conhecimento enquanto informao ainda era irrisrio. Em vista

disto, as noes de fsica eram ainda ingnuas. As maiores contribuies da

poca se deram na matemtica, principalmente dentro do contexto de geo-

metria, a geometria euclidiana. A lgica aristotlica vlida, hoje e sempre.

Conheceram-se tambm os cus e seus movimentos inerentes. No foi pouco.

Este conjunto de conhecimentos, passados depois aos rabes, compilados du-

rante sculos de evoluo no oriente prximo deram a base necessria para

a posterior evoluo atravs da revoluo de Coprnico, das observaes de

Tycho Brahe, das Leis de Kepler, do mtodo cientfico de Descartes, da fsica

de Galileu e das Leis de Newton, alm de outras contribuies importantes.

Foi uma longa histria.

1.2 Os cus

Olhar para os cus sempre foi uma grande fonte de inspirao. A busca da

compreenso do cosmos motivou geraes de pesquisadores em todas as reas

do conhecimento. O ser humano, tornado consciente, passa a viver o mito

1.2 Os cus 15

do heri e a planejar a compreenso de si mesmo e de seu mundo exterior,

principalmente atravs da cincia, almejando poder descrever a criao do

mundo, suas leis e conseqncias. assim que a preocupao humana, desde

os antigos, tomou forma em objetos longnquos, primeiramente no macro-

cosmo. No havia, na poca, como se preocupar com o microcosmo por falta

da tcnica adequada. Foi somente ao final do sculo XVIII que este caminho

em direo ao micro comeou a ser trilhado e posteriormente pavimentado.

Eram duas as vertentes da cincia dos cus na antigidade. Por um lado,

os msticos, os astrlogos e os sacerdotes se preocupavam com questes de

princpios, com os deuses, com a orgem, formando o imaginrio mitolgico

e religioso. Por outro lado, havia preocupaes quotidianas com as medidas

de tempo. Afinal, o homem depende muito, principalmente no incio da

civilizao, do ciclo anual que rege as colheitas, do vero e do inverno. A

medida do tempo tambm era parte do cotidiano, assim como o hoje, j

que todos ns temos um relgio disposio para nos localizarmos nesta

to transcendente direo que a temporal. As medidas de tempo, assim

como as observaes astrolgicas, levaram a uma astronomia, enquanto as

preocupaes msticas e mitolgicas foram o princpio de uma cosmologia.

O olhar para os cus motivou teorias. difcil saber como formado o

cosmo, em vista de sua distncia. No entanto a maravilha de um cu estre-

lado leva a profundas cogitaes, principalmente em vista de seus complexos

movimentos, cuja compreenso no apenas leva a concluses a respeito do

que seja o universo, mas tambm permite uma medida prtica do passar do

tempo, com previso do clima, das colheitas, e, portanto, importante para a

vida civilizada. Veremos mais a respeito destes complexos problemas quando

encararmos o tempo.


1.2.1 Medidas de tempo.

Na verdade, apenas conseguimos medir, diretamente, tempo e espao. Da,

derivam outros conceitos, mais abstratos. Suponhamos que nossos objetos

estejam em movimento. O que movimento?

Em primeiro lugar, simplifiquemos os nossos conceitos. Ao invs de falar-

mos de corpo, falemos de um ponto. Um corpo pode ser descrito como um

conjunto de pontos no espao. Se o corpo for rgido, as distncias relativas,

no interior do corpo, so sempre as mesmas. Se no o for, haver dificuldades

adicionais, como por exemplo se estudarmos lquidos, ou pastas.

Com a medida de distncia, podemos inferir a posio de um ponto no

espao. Esta afirmao uma das essncias da descrio cinemtica de um

corpo, e vir a ser de fundamental importncia na descrio dinmica. A

cinemtica o estudo do movimento per si, sem que nos preocupemos com

sua causa. Corresponde descrio do movimento.

1.3 O conceito de tempo ...

Desde que o Homem se percebeu como inteligncia, ele olhou para os Cus

e perguntou-se sobre a origem de todas as coisas, inclusive de si mesmo.

Viu-se tambm compelido a olhar para os Cus como modo de previso de

fenmenos.

Os Cus nos do razes de sobra para que o examinemos. H uma ver-

tente prtica no quotidiano do Homem, qual seja, a da marcao do tempo,

previso das colheitas, antecipao meteorolgica. O ciclo de veres e de in-

vernos era de vital importncia para o Homem antigo e uma eventual perda

de tal antecipao pode levar morte de uma sociedade pela fome.

1.3 O conceito de tempo ... 17

H, no entanto, uma segunda vertente, independente e aparentemente

longnqua da primeira, mas, ainda assim, indissocivel dela, posto que ser

o outro lado da inquirio cientfica. Refere-se esta Mitologia e pergunta

sobre a origem do Universo e do Homem. Esta vertente mstica seria a ori-

gem da pergunta cientfica sobre a origem do Cosmos, sobre a compreenso

do incio do Mundo e fazia parte, na poca, da Religiosidade e da Mitolo-

gia. Os Mitos de Criao falam do tempo de uma forma bastante direta

e tm uma imagem direta nas diversas interpretaes de tempo da Fsica.

Assim, Caos e Noite geraram rebo (escurido). Depois vieram ter (luz)

e Hemera (dia). Hemera e Eros criaram Pontus (Mar) e Gaia (Terra) que

gerou o Cu (Urano). Esta a fase anloga ao tempo catico, sem incio ou

fim, sem interpretao direta. Gaia e Urano geraram os doze Tits, entre

eles Cronos e Rhea, trs ciclopes e trs gigantes. Farta do apetite sexual de

Urano, Gaia pediu ajuda aos filhos. Cronos decidiu-se a ajud-la. Esperou

Urano com uma foice, com a qual o castrou, jogando os testculos ao mar,

de onde nasce Afrodite. Do sangue, nasceram as Ernias, entidades que se

encarregam das vinganas. Urano amaldioou o filho, vaticinando que os fi-

lhos de Cronos o trairiam. Cronos casou-se com Rhea. Comia seus filhos por

temor de que eles cumprissem a maldio de Cronos. Cronos personifica o

tempo, aquele que cria para posteriormente destruir. Representar o tempo

da Relatividade Geral, assim como o tempo das religies monotestas, com

um incio, com uma criao a partir de algo desconhecido, catico. De seus

filhos, Rhea salvou Zeus dando a Cronos uma pedra embrulhada como se

fora o novo filho. Cronos comeu a pedra pensando ser a criana. Zeus foi

criado s escondidas, no Monte Ida, em Creta. Zeus retorna, exila Cronos e

os Tits no Trtaro, casa-se com Hera. Zeus gerou filhos e filhas, deuses e


mortais, abrindo a poca dos deuses Olmpicos. a era do tempo clssico, o

tempo sem incio ou fim, como o tempo de Newton, absoluto. As Religies

monotestas tiveram, tambm, suas sugestes quanto criao do Universo

e do Homem, espelhadas, por exemplo, na arte renascentista. Esta viso

de tempo, advinda dos gregos, bastante ilustrativa e muito caracterstica

do pensamento filosfico grego, onde o psquico e o cientfico se juntam de

modo profundo. O tempo , de fato, simultaneamente, substncia psico-

lgica intrnseca ao homem, que pensa dentro do tempo, e algo cientfico,

aparentemente independente do observador humano, presente em qualquer

experincia fsica realista.

Ser interessante observarmos, ao final, que, depois de uma separao

entre o tempo psicolgico, desprezado pela cincia por sculos, e o tempo

fsico, realista, presente objetivamente, chegaremos a uma situao onde a

prpria existncia objetiva do tempo fica colocada em questo. Vejamos

como isto ocorre.

A metafsica do tempo j foi estudada em profundidade por grandes men-

tes. Entre os Pitagricos, e para Plato, h uma imagem divina para a origem

do tempo. Nesta medida, teria havido a criao do tempo em moldes pa-

recidos com a idia bblica. Conforme o dito pitagrico, ...Ele resolveu ter

uma imagem mvel da realidade, ento colocou ordem nos cus, fez desta

uma imagem eterna mas no mvel, de acordo com os nmeros, enquanto a

eternidade restava em sua unidade, a esta imagem que damos o nome de

tempo. Para Aristteles, tempo movimento que admite enumerao.

Em uma interessantssima srie de dilogos pblicos na dcada de 80 entre

o fsico David Bohm e o pensador indiano Jiddu Krishnamurti, a questo do

tempo foi discutida de modo bastante particular, qual seja, no que tange


ao tempo psicolgico. Na opinio do pensador, o Homem deve, de alguma

forma, deixar o tempo para sair de seus conflitos e ter um novo comeo.

Algumas correntes psicolgicas falam de um inconsciente irracional fora do

tempo, atemporal. As duas opinies, de origens diferentes, parecem convergir

no que diz respeito ao tempo psicolgico que poderia correr de modo diferente

para cada ser diferente. Perguntaramos ento se o tempo poderia ser algo

to sutil, abstrato, a ponto de fugir de nossa interpretao e de ser diverso

daquele tempo clssico, medido por um relgio independente do observador.

Dividamos nossa discusso em partes, analisando em primeiro lugar como

a Cincia viu a evoluo do conceito de tempo at seus ltimos desenvolvi-

mentos.

Os primeiros conhecimentos cientficos, no que tange ao Cosmo, vieram

dos filsofos gregos. Na Antigidade, a Terra era tida como plana, como

entre os babilnios, ou mesmo entre os primeiros gregos que pensavam que

Apolo levava o Sol diariamente em sua carruagem, de leste para oeste. H

indcios, entre os gregos, j na poca de Homero, do conhecimento de dias

extremamente longos, o que d uma indicao da esfericidade da Terra. Pos-

teriormente, segundo Herdoto, os fencios, ao circunavegarem a frica, vi-

ram o Sol sua direita ao caminharem em direo ao poente, o que indica,

conforme a interpretao de Terra esfrica, que eles estavam abaixo da li-

nha do equador. As primeiras interpretaes mais diretas e incisivas sobre

a esfericidade da Terra deram-se com os pitagricos. Ainda entre os gregos,

formou-se a idia de que a Terra, redonda, seria o centro do Universo, as es-

trelas se moveriam em uma esfera exterior, a esfera celeste, com perodo fixo

. Os movimentos foram conhecidos atravs da sombra de uma vara vertical

fixa ao solo, vara esta denominada gnomon. O movimento da sombra indica


no apenas o horrio durante o dia, mas o movimento do sol durante o ano.

O conhecimento mais detalhado e cientfico do Cosmos evoluiu bastante.

As medidas de tempo atravs da observao da sombra do gnomon e o co-

nhecimento das estaes do ano permitiram as primeiras medidas de tempo.

Os babilnios introduziram um ano de 360 dias, corrigidos para 365 pelos

egpcios. O calendrio Juliano foi introduzido por Jlio Csar com a ajuda

de astrnomos egpcios e apresentava a novidade do ano bissexto, onde havia

um ano de 366 dias a cada quatro anos. Tal calendrio durou cerca de 1500

anos.

O calendrio foi de grande importncia histrica em nossa compreenso

da fsica e da medida do tempo. No o foi de modo intrnseco, mas sua com-

preenso levou a descobertas muito importantes. Por volta do sculo XVI, a

data da Pscoa havia se adiantado no calendrio Juliano. Esta data defi-

nida atravs de uma combinao dos calendrios lunar e solar. O calendrio

solar melhor para as colheitas, pois segue o curso natural das estaes do

ano, mas o calendrio lunar de mais fcil apreciao pelo homem. O do-

mingo de Pscoa definido como o primeiro domingo depois da primeira lua

cheia aps o equincio de primavera do hemisfrio norte. Portanto, depende

de fenmenos solares e lunares. claro que o perodo solar no necessari-

amente comensurvel com o perodo de 365 dias e um quarto definido pelo

calendrio Juliano; uma reviso era necessria. Nicolau Coprnico, astr-

nomo polons nascido em 1473 e falecido em 1643, fez esta reviso. Apesar

de anteriormente a ele sbios gregos, indianos e rabes terem proposto um

sistema heliocntrico, tal hiptese ganhou fora com o calendrio proposto

por Coprnico. Coprnico usou o heliocentrismo apenas como mtodo de

trabalho, mas posteriormente esta hiptese foi vista como realidade fsica.


O calendrio de Coprnico foi institudo pelo papa Gregrio XIII em 1582,

tendo sido ento chamado de calendrio Gregoriano . A grande vantagem

desta nova era, no que tange marcao de tempo, no foi o calendrio em

si, mas o fato de que o sistema heliocntrico, com observaes posteriores

do dinamarqus Tycho Brahe, foram utilizadas por Johannes Kepler para

formular as trs Leis de Kepler do movimento planetrio. Subseqentemente,

Descartes e Galileo formularam o mtodo cientfico, utilizado por Galileo e

por Newton para descrever a Mecnica. Dentro da Mecnica temos o conceito

clssico de Tempo.

O Tempo clssico o tempo absoluto, um fluir perptuo de algo que

no sabemos definir, mas que bem podemos intuir. O Tempo Newtoniano

clssico o tempo de Zeus, um perptuo movimento observado pelos deuses

de seu assento olmpico. a passagem inexorvel associada ao movimento

eterno das coisas. Foi tambm a definio do determinismo clssico, com a

previso de todos os fenmenos, desde que saibamos a configurao atual do

mundo. Conforme Laplace, se um ser for capaz de saber todos os detalhes

do Universo hoje, assim como as leis da Mecnica, todo o futuro estar, para

aquele ser, determinado.

No entanto, a viso determinista da fsica sofre um impacto brutal vindo

de uma outra teoria fsica bem conhecida, o eletromagnetismo. Conhecidos

desde a Antigidade, os fenmenos eltricos e magnticos foram, no sculo

XIX, reunidos em uma s teoria por James Clerk Maxwell, corroborada pela

experincia e que trazia em seu bojo algo preocupante, do ponto de vista

clssico: a velocidade da luz a mesma para todos os observadores, ou seja,

se eu correr atrs da luz jamais a alcanarei, e se for em direo a ela, no a

encontrarei mais rpido. Albert Einstein teve a grande idia de interpretar o


resultado dizendo que o tempo e o espao esto reunidos de forma inseparvel,

ou seja, o mundo fsico um contnuo quadri-dimensional espao-tempo.

Era a teoria da Relatividade Especial, formulada no anus mirabilis de 1905,

quando Einstein escreveu trs trabalhos que revolucionaram a fsica.

Com o conhecimento das leis do eletromagnetismo vieram os primeiros

abalos da fsica clssica: o eletromagnetismo parecia incompatvel com o con-

ceito de tempo absoluto, especialmente com as concluses tiradas da experi-

ncia de Michelson e Morley e com a confirmao das equaes de Maxwell

atravs das ondas Hertzianas (as ondas eletromagnticas). De fato, concluiu-

se ento que as verdadeiras leis de transformao so as de Lorentz, que se

tornaram uma das pedras angulares da nova fsica por se iniciar. O signi-

ficado fsico era grande. Em primeiro lugar, o tempo j no era absoluto,

e observadores em movimento tinham escalas de tempo diferentes, uns com

respeito aos outros. Objetos fsicos tambm se comportavam de modo estra-

nho, passando a se comprimir ao se moverem com velocidades muito grandes.

Esta a nova fsica da Teoria da Relatividade, e de um modo muito simples,

uma das mais conhecidas novidades que o tempo no se move da mesma

maneira para os vrios observadores .

De modo concomitante, outros problemas, ainda tidos como pequenos,

ainda escapavam a uma soluo. O que no se sabia que, no final do

sculo XIX, se comeava a avistar a pequena ponta de um enorme iceberg

em rota de coliso com a titnica fsica clssica. Se nos for permitido um

desvio de assunto, podemos dizer que se via uma falsa calma da passagem

do sculo, calmaria esta representada pela era Vitoriana, mas que continha

uma monumental tempestade que varreria toda a face da terra, mudando

de modo completo e sem volta os contornos planetrios, com uma mudana


fundamental na viso de mundo e na interpretao filosfica.

Mas, no que diz respeito ao tempo, uma revoluo maior ainda estava por

acontecer. Durante alguns anos, Einstein estudou como estender os resulta-

dos obtidos para o caso de haver foras gravitacionais, o que conseguiu ao

formular a Teoria da Relatividade Geral que foi bem estabelecida do ponto de

vista observacional pelas suas previses sobre a rbita do planeta Mercrio

e principalmente pelo desvio de luz das estrelas pelo Sol, observado em um

eclipse solar na cidade de Sobral, no Cear, em 1919.

O resultado positivo da Relatividade Geral para o movimento planetrio

permitiu que se pudesse aplicar a teoria para se descrever o Cosmo. Procurou-

se ento uma chamada soluo cosmolgica da Teoria. O que se procurava,

na Relatividade Geral, seria uma chamada mtrica, ou seja, uma rgua e um

relgio especficos para a descrio do Cosmos. Tal problema foi resolvido

supondo-se um chamado princpio cosmolgico, que diz que no h lugares

privilegiados no Universo. A soluo para a mtrica aquela de Friedmann-

Lematre-Robertson-Walker, e descreve um espao em evoluo, com uma

rgua que se alonga com o tempo. Ou seja, o Universo expande-se continua-

mente!

Einstein no se satisfez com a soluo, pois esperava um Universo es-

ttico. Tentou modificar suas equaes introduzindo a chamada constante

cosmolgica, que posteriormente qualificou como o maior erro de sua vida .

A soluo cosmolgica acima foi confirmada pelas observaes do astrnomo

Edwin Hubble cerca de 80 anos atrs.

Como o Universo encontrava-se em expanso, olhando-se para trs pode-

mos antever um instante em que todo o Universo estaria concentrado em um

s ponto: seria o instante inicial do Universo, a criao do prprio espao-


tempo, o instante da criao do Universo! a prpria criao do tempo, o

tempo de Cronos, o tempo de Agostinho, o instante anterior ao qual no havia

tempo! interessante a argumentao de Santo Agostinho. Argumentava-se

na poca, que a criao, sendo perfeita, deveria ter ocorrido antes, e Deus

no poderia ter simplesmente esperado. A resposta do Santo que o tempo

no existia antes da criao. Sendo eterna, a divindade transcende o prprio

tempo, e para Ele tudo presente, no existindo ordem temporal. Assim,

no sculo IV, Agostinho usou conceitos que amadureceram apenas com o

advento da Teoria da Relatividade no sculo XX.

Assim, aps o tempo de Zeus, o tempo clssico, Olmpico, compreende-

mos o tempo criado, o tempo de Cronos. O tempo da Relatividade Geral

aproxima-se da noo de criao, da idia de ciclo, tal como espelhada na

Arte Catlica da Capela Sistina. Contrape-se ao tempo de Zeus, que, sem

incio ou fim, concorda melhor com as idias clssicas de determinismo.

No entanto, outra revoluo cientfica se d no incio do sculo XX, que

far mudar nossas concepes de espao-tempo. Trata-se da Mecnica Qun-

tica. A Mecnica Quntica nasceu com a tentativa de explicar os fenmenos

associados ao muito pequeno, s partculas elementares, mbito no qual a

Teoria Clssica, abarcando a Mecnica Clssica e o Eletromagnetismo, tem

dificuldades intrnsecas insuperveis. A Teoria Quntica evoluiu, para ex-

plicar todos os tipos de fenmenos associados ao muito pequeno, para uma

concepo totalmente nova na explicao dos fenmenos fsicos, com a in-

cluso do observador que passa a ser parte do fenmeno a ser estudado.

Tal concepo totalmente estranha Fsica Clssica, onde o observador

completamente externo e estranho ao fenmeno estudado, devendo assim

permanecer de modo a no borrar os resultados experimentais. Na Mecnica


Quntica isto impossvel! Os fenmenos, na ausncia de observador, so

probabilsticos, e uma das possibilidades s ocorre na presena do observador,

ou, melhor ainda, no caso de uma observao.

A Mecnica Quntica tem um formalismo muito rico e pode ser descrita

de diversas maneiras diferentes. Em particular, h uma maneira elegante e

instrutiva de se definir a Mecnica Quntica. Como tudo so probabilidades

em Mecnica Quntica , a trajetria de um ponto pode ser qualquer uma,

e a trajetria real ser uma mdia ponderada, sendo a ponderao definida

atravs de uma constante fundamental introduzida por Max Planck quando

do primeiro trabalho histrico que trouxe a Teoria Quntica para a Fsica.

A Mecnica Quntica entra na histria do Universo em dois pontos im-

portantes. O primeiro diz respeito evoluo csmica dentro do mbito da

Relatividade Geral atravs da Teoria das Partculas Elementares. Isto de-

corre do fato de que quanto mais prximas as partculas (o que ocorre no

Universo primordial devido contrao do espao) mais quente o Universo e

a descrio das partculas ser eminentemente quntica.

Mostra-se que a histria csmica tem fases e pode, de modo simplificado,

ser descrita em termos de trs pocas fundamentais. A primeira, chamada

de fase de radiao, contm uma sopa quentssima de partculas a uma tem-

peratura to alta que as diferentes interaes elementares se confundem. No

final desta fase, certas marcas foram deixadas nos cus e somos capazes de

corroborar certas facetas das teorias das partculas elementares. Posterior-

mente, temos a fase da matria, mais fria, onde as estruturas cosmolgicas

(aglomerados de galxias, galxias, estrelas) foram formadas. Finalmente,

temos a fase moderna, de expanso acelerada atravs da energia escura.

A Mecnica Quntica foi essencial para esta descrio e para as previ-


ses que levaram os fsicos a afianar a teoria padro do incio do Universo.

A esta descrio chamaremos de descrio de Cronos, sendo a mesma da

Relatividade Geral vista anteriormente, mas muito mais sofisticada.

No entanto, h outra faceta da descrio do Universo que ser ainda mais

elaborada e chega a ser quase mitolgica, na medida em que no h, dentro

da tecnologia atual, possibilidade de corroborar os detalhes desta teoria. O

fato que a Teoria da Relatividade e a Mecnica Quntica pareciam, at um

quarto de sculo atrs, misteriosamente imiscveis. A descoberta da Teoria

das Cordas, imicialmente em um contexto de fsica das interaes fortes (fora

nuclear) foi singularmente interessante. A teoria foi reinterpretada em termos

da Relatividade Geral e se descobriu que ela descrevia a Teoria Quntica da

Gravitao, ou seja, a Relatividade Geral Quntica, pela primeira vez depois

de trs quartos de sculo!

A Teoria das Cordas (de fato, Teoria das Supercordas ) tem caractersticas

peculiares. Em particular, ela est definida em um espao-tempo com vrias

dimenses: a Teoria das supercordas est definida em 9 dimenses de espao

e um tempo. Assim sendo, como na Arte e na fico, temos um Universo

multidimensional! Em particular, como na Mecnica Quntica temos criao

de partculas e antipartculas e vrias trajetrias multiprovveis, podemos ter

vrios Universos com tempos independentes e no relacionados.

Assim, temos no somente um Universo multidimensional, mas uma infi-

nidade de Universos com tempos e espaos diferentes e independentes. Nosso

conceito de tempo se esvai e relativiza-se, pois diferentes observadores em

diferentes Universos no podem se comunicar visto que seus tempos so in-

compatveis. Temos, ento, um tempo catico, antes de Cronos! O tempo

de Cronos no passa de uma plida faceta de tempo, entre tantos e tantos


tempos que populam o Multiverso, agora bem mais maisculo. O Multiverso

contm uma infinitude de diferentes Universos alguns chamamos de pntanos

ou brejos, onde a vida no possvel, e outros que chamamos de paisagens,

onde a vida possvel.

Caso esta teoria seja realmente correta em seus detalhes, talvez tenham

razo Edward Witten e David Gross que afirmam: Maybe space-time is do-

omed, ou seja, talvez os conceitos de espao e de tempo estejam fadados

runa.

Discusses envolvendo a Mecnica Quntica so extremamente comple-

xas e de difcil interpretao. Na Teoria Quntica da Gravitao tal como

proposta pela Teoria das Cordas, o tempo uma das variveis fsicas e, da

maneira como o conhecemos, s existe como um epifenmeno. Desta maneira,

retornamos s dvidas dos filsofos do sculo XVIII, como David Hume que

colocava em dvida a prpria causalidade. Esta interpretao emprica da

realidade deve ser comparada seriamente com a teoria quntica: embora

a mecnica quntica seja descrita por equaes diferenciais bem definidas,

com previses exatas, estas previses referem-se a uma densidade de proba-

bilidade, e apenas depois da feita uma medida podemos dizer o resultado

do experimento. Assim, uma realidade fsica fica por debaixo de um vu, e

no temos uma idia precisa de seu significado. Conforme dizia Niels Bohr

quando falando sobre a realidade do mundo quntico, no h um mundo

quntico. H apenas uma descrio abstrata da mecnica quntica. er-

rado pensar que a meta da fsica seja descobrir como a Natureza. Fsica

concerne ao que sabemos dizer sobre a Natureza.

Assim, especialmente quando chegamos ao mago do espao-tempo, po-

demos afirmar que de fato no sabemos, ao certo, o que o tempo. Esta


uma das mais fascinantes questes da fsica, e talvez jamais possamos, den-

tro desta gerao, ter uma resposta definitiva e final. No entanto, podera-

mos dizer que estes conceitos esto em um domnio meta-cientfico, tal como

a questo da efetividade da matemtica como descrio da natureza. So

questes que talvez no possam ser respondidas dentro da Cincia, podemos

apenas intuir sobre sua veracidade e corroborar sua acurcia na descrio dos

fenmenos naturais. Certamente outras questes se colocam com to grande

veemncia, como a possibilidade de se viajar no tempo, ou, no caso de outros

espaos-tempos termos que interpretar o significado destes diferentes espaos

e tempos para os diferentes mundos.

claro que estas questes so, no momento, mais da metafsica que pro-

priamente da fsica. Voltamos a ter opinies, e no s provas e demonstraes,

quanto ao que concerne a assuntos de tamanho vulto. A questo nem mesmo

quando conseguiremos compreender estes mistrios, mas at mesmo se a

civilizao humana capaz de resolv-los atravs da capacidade intelectual

do Homem Moderno, ou se outra civilizao intrinsecamente mais adiantada

seria necessria para faz-lo.

Medidas prticas

Na prtica, a medida do tempo tambm evoluiu, e muito. Conforme vimos,

na Antiguidade media-se o tempo com o viajar dos astros nos cus. Mais

atual o uso de relgios. Os relgios baseados em gua, onde o passar do

tempo associado ao fluir da gua, tambm bastante antigo, os primeiros

tendo sido utilizados provavelmente ao redor do sculo XVI antes de Cristo.

Tais relgios dgua foram descobertos em vrias regies do planeta, inde-

pendentemente. Isto significa que a medida de tempo j era intuda vrios


sculos atraz. claro que o envelhecimento, o passar das estaes o cresci-

mento das plantas, dos animais e dos seres humanos j nos do uma idia do

que seja a passagem do tempo. No entanto, sua medida algo que vai alm

da intuio. Assim, foram marcados os dias, fazendo-se marcao em ossos,

o que configura um calendrio rudimentar. A medida de tempos menores foi

feita com varas para medio da posio do Sol e com relgios de gua.

Os relgios dgua baseiam-se no simples fato de que um lquido demora

algum tempo para vazar em uma panela com um buraco no fundo, ou seja,

o lquido viscoso. Os relgios dgua foram conhecidos mundialmente em

vrias pocas diferentes, tendo sido descobertos, em diferentes civilizaes,

como os babilneos, 2 milnios antes de Cristo, os egpcios, 1500 anos antes

de Cristo, ou os persas, 5 sculos antes de Cristo. Usavam-se relgios dgua

para se medir com precio o comprimento do dia, o que dava uma melhor

idia da proximidade de solstcios e equincios, sendo uma maneira de se

saber a poca do ano atravs do comprimento do dia.

Mas o melhor modo de se medir o tempo, atravs de eventos que sejam

realmente cclicos, ou ainda, que se passem em intervalos de tempo iguais.

Um exemplo tpico um pndulo. Supomos que cada oscilao do pndulo

corresponda a uma unidade de tempo. No entanto, devemos estar certos de

que cada oscilao se d em um mesmo tempo. Isto no sempre verdadeiro.

Se o comprimento do pndulo mudar, muda tambm a unidade de tempo. No

caso do relgio dgua, pode-se perguntar se uma quantidade de gua que sai

no incio o far em um intervalo de tempo igual a uma quantidade que saia

no final. Estas questes so altamente no triviais, e dependem de termos

uma soluo completa para o problema. Vemos neste caso que tambm aqui

se aplica o mtodo ientfico: supe-se que se possa assim fazer uma certa


medida, depois, com os intervalos de tempo assim medidos, verifica-se se o

resultado compatvel com as hipteses envolvidas.

Os relgios antigos, que comearam a ser construdos no sculo XV,

baseavam-se em uma mola que se enrolava para mover o cursor. Este tipo

de relgio posterior ao relgio de pndulo, baseado em um peso, portanto

diretamente gravidade.

Mais atualmente, os relgios se sofisticaram muito. Os relgios do sculo

XX passaram a utilizar melhores materiais. O relgio de pulso tem pouco

mais de 100 anos, graas a Santos Dumont, que queria ter as mos livres ao

consultar o tempo.

A partir da dcada de 50 passou a haver relgios eltricos, posterior-

mente os digitais. Relgios atmicos, baseados em frequncias atmicas,

com enorme preciso, so responsveis por controlar a passagem do tempo.

Mais

1.4 O Espao

Outro conceito de vital importncia para a fsica o espao.

Como descrevemos um movimento uma questo primordial. Saber o

movimento de um objeto significa saber onde um determinado ponto est a

cada instante. Isto significa achar a equao horria do movimento.

No completamente simples efetuar este procedimento em palavras.

Podemos dizer, quando um carro est em uma estrada, qual sua posio a

cada instante. Teremos ento uma tabela de distncia com a hora do dia.

Isto feito em uma tabela de horrio de nibus, por exemplo. Ou ainda, em

uma estao de trens. O que fazer em um caso genrico. Por exemplo, se

quisermos saber como anda uma bala de canho, ou um avio, ou ainda, um

1.4 O Espao 31

planeta em torno de uma estrela.

Casos mais complexos necessitam de uma matemtica um pouco mais

sofisticada. o momento em que se introduz o conceito de sistema de co-

ordenadas. Assim, mede-se a posio de um ponto atravs da construo

de um chamado sistema de eixos. Usualmente tomam-se trs eixos triorto-

gonais, que se encontram em um ponto arbitrrio. A posio de um dado

ponto definida pela projeo da posio de sua posio sobre cada um dos

eixos. Assim, a posio do ponto dada pela trinca de nmeros (x, y, z), ou

ainda (x1, x2, x3). Na verdade, esta trinca de nmeros forma um elemento

matemtico bem definido, um vetor.

Supomos, na fsica clssica, que o espao seja definido por sua geometria,

a parte da matemtica estudada por Euclides, cerca de 300 anos antes de

Cristo. Podemos nos perguntar se a geometria euclidiana define univoca-

mente nosso espao. A resposta de fato negativa. uma hiptese o fato do

espao ser euclidiano, e esta hiptese deve ser testada por experincias. A

fsica clssica repousa sobre a hiptese de que a geometria subjacente seja a

geometria euclidiana, e nosso espao regida pela mesma. No entanto, hoje

sabemos que a teoria da relatividade no tem a mesma hiptese. Isto significa

que a natureza emerge, em condies especiais, sendo descrita por hipteses

diferentes, de modo que temos que testar nossas condies. Fenmenos da

vida diria, com pequenas velocidades, de nosso mundo macroscpico, so

bem descritos pela fsica clssica, e pela geometria euclidiana. Isto significa

que, no momento, suporemos que o espao seja univocamente descrito pela

geometria euclidiana.

O que geralmente procuramos na fsica a equao horria: uma funo

da posio do corpo em termos do tempo. Como a posio um vetor,


podemos afirmar que a equao horria um vetor, funo do tempo, ~x(t).

A velocidade a variao da posio com a mudana do tempo. Conforme

definiremos mais tarde, a velocidade a derivada da posio, ~v(t) = d~xdt

(t).

A acelerao tambm definida de modo geomtrico atravs da variao da

velocidade no tempo, ou seja, ~a(t) = d~vdt

(t).

A massa de um corpo ser definida atravs das leis de Newton.

1.4.1 Relaes entre grandezas fsicas.

H relaes simples entre grandezas fsicas, como, por exemplo, entre a velo-

cidade e a acelerao de um corpo. So relaes que decorrem da cinemtica

definidora das grandezas. No entanto, pode haver relaes mais profundas,

que nos levaro s Leis da Natureza. Uma Lei da Natureza uma relao

que s podemos explicar atravs da prpria natureza, que a tem como correta

desde que explique os fenmenos naturais. neste ponto que entra o mtodo

cientfico.

1.5 O Nascimento da Cincia Moderna

A cincia no pode se desenvolver at o incio da Idade Moderna da maneira

como vemos nos dias de hoje pela falta de um ingrediente essencial: o mtodo

cientfico.

Os gregos foram bons observadores. Vimos que descobriram fatos com-

plexos, inventaram a matemtica e a lgica. No mbito especfico da Fsica,

jamais passaram de fatos elementares. A causa de tudo isto no mais nem

menos que a ausncia do mtodo de avano da cincia. Foi muito parecido

com o que aconteceu no Oriente, mesmo em tempos mais modernos.

1.5 O Nascimento da Cincia Moderna 33

A matemtica avanou muito entre rabes e indianos. Toda a lgebra

(cujo nome vem do rabe) floresceu no Oriente Mdio. Vrias invenes vie-

ram da China, onde o conhecimento avanou tambm na direo do homem,

na filosofia, nas plantas, nas tcnicas. Conforme nos conta Abdus Salam

em sua aula quando ganhou o prmio Nobel, Michael, o escocs, foi buscar

conhecimento em Toledo, na Espanha, entre os rabes, em 1217. Na poca,

eram tambm famosos os mdicos islmicos Al-Razi e Avicenna, e Aristteles

fora re-introduzido na Europa atravs de tradues do rabe.

Foi o mtodo cientfico que propiciou o grande avano material do Oci-

dente moderno. Quando se estuda um fenmeno qualquer, ao se tentar

compreend-lo, devemos comear por algo inteligvel, cognoscvel de modo

simples ao nosso intelecto. Isto um procedimento que quase nunca sim-

ples. Suponhamos que vamos descrever um movimento. Se comearmos pelo

movimento de uma carroa, ou de uma pedra ao ser jogada no cho, rolando

subseqentemente, veremos que o problema extremamente complexo. Se

for o movimento de um pio, teremos grande dificuldade at mesmo para

saber que movimento descrevemos, pois h, de fato, vrios. Afinal, um pio

no cai enquanto gira e muitas vezes tem um movimento dito de precesso

em torno de seu eixo, um bamboleio, e, ao diminuir sua rotao, cai de modo

quase misterioso. Da mesma maneira, uma pedra rola de modo diferente

cada vez que a jogamos no cho, dependendo de detalhes de como ela foi

jogada.

quase impossvel aprender algo sobre movimento dentro de condies

to complexas. No entanto era assim no incio. A fsica, desde os gregos,

era bastante holstica. A essncia de cada fenmeno no era separada, e

questes envolvendo vrias componentes tornam-se complexas demais para


uma compreenso total ao mesmo tempo. E assim continuou a ser a cincia

nas vrias regies do mundo.

Um dos primeiros usos modernos do mtodo foi feito por Kepler, no que

podemos chamar de antecedente ao mtodo. Kepler tomou os dados puros

de Tycho Brahe e procurou formular leis simples que os descrevessem. o

que chamaramos hoje de fenomenologia. No era ainda, todavia, o mtodo

cientfico de Bacon, Galileo e Descartes. Este nasceria do uso sistemtico de

modelos simplificados. A experincia da queda dos corpos um exemplo.

Compara-se a queda de duas pedras, por exemplo, e no uma pedra e uma

folha, que cairiam de modo diferente, tendo em vista que suas estruturas

so enormemente diferentes. Assim, de modo simples, podemos dizer que os

corpos caem, na terra, com a mesma acelerao, desde que abandonemos a

resistncia do ar, importante na queda de uma folha. Este procedimento nos

d uma explicao da essncia da queda dos corpos. o mtodo cientfico

em ao.

O Mtodo Cientfico

Consideraremos agora a revoluo cientfica de Galileu e Descartes. O m-

todo cientfico pode ser explicado de maneira simples atravs do uso sistem-

tico da matemtica na cincias e atravs dos preceitos deixados por Descartes

[?], em nmero de quatro, que so:

1. Jamais aceitar como exata coisa alguma que no se conhecesse evi-

dncia como tal. Assim, a verdade deve ser absolutamente comprovada,

evitando-se precipitao e hipteses falsas, duvidosas ou ambguas. No

mtodo cientfico no h lugar para preconceitos, mas s verdades in-

contestes podem ser admitidas como tal.

1.5 O Nascimento da Cincia Moderna 35

2. Dividir cada dificuldade a ser examinada em tantas partes quanto pos-

svel e necessrio para resolv-las. Isto significa que estudamos cada

faceta de um problema em separado, at compreendermos totalmente

como aquela particular faceta faz parte da totalidade. Este foi um passo

essencial, pois permitiu deduzir as leis da Mecnica aperfeioando-as

aos poucos, at que se fizessem perfeitas aos problemas prticos. Este

passo jamais foi dado pelos gregos.

3. Por em ordem os pensamentos, comeando pelos assuntos mais simples

de serem conhecidos, para atingir, paulatinamente, gradativamente, o

conhecimento dos mais complexos, e supondo ainda uma ordem entre os

que no se precedem normalmente uns aos outros. Esta regra completa

a anterior.

4. Fazer, para cada caso, enumeraes to exatas e revises to gerais que

se esteja certo de nada haver esquecido.

Com o mtodo cientfico em mos, levando em conta as observaes deta-

lhadas anteriores ao sculo XVII, foi possvel a Isaac Newton realizar a grande

revoluo cientfica dentro da cincia. O trabalho de Newton tornou-se a base

slida da fsica clssica. Com as leis de Newton, puderam-se confirmar as

leis de Kepler de modo dedutivo. Este foi o grande sucesso de Newton.

As idias de Bacon, Galileo e Descartes evoluram bastante desde o sculo

XVII. Numa linguagem moderna, o mtodo cientfico consiste em sete etapas:

1. Considere uma questo sobre a Natureza

2. Recolha as evidncias experimentais pertinentes

3. Formule hipteses explicativas.


4. Deduza suas implicaes.

5. Teste experimentalmente as implicaes.

6. Aceite, rejeite ou modifique as hipteses com base nos resultados expe-

rimentais.

7. Defina as situaes de aplicabilidade das hipteses.

A concluso destas etapas pode ser rpida, alguns dias, ou muito lentas,

um sculo. Atualmente, exige-se tambm que estas etapas sejam reproduzi-

das por pesquisadores e laboratrios independentes.

O mtodo cientfico em geral aplicado conjuntamente com o chamado

princpio da Navalha de Occam, que estabelece a parcimnia de postulados,

tambm chamado de princpio da simplicidade. Segundo o princpio da

Navalha de Occam, se houver duas explicaes possveis para um mesmo

fato, deve-se preferir a mais simples. um princpio heurstico, usado como

guia na formulao de teorias, e no um princpio cientfico fundamental.

Newton tinha sua prpria verso da Navalha de Occam, segundo a qual no

se deve admitir nenhuma outra causa dos fenmenos naturais alm daquelas

suficientes para explic-los.

A importncia do mtodo tanto maior quanto maior seu sucesso. As

aplicaes tcnicas da cincia foram de enorme sucesso, j que as explicaes

simples permitiram a construo de aparelhos simples que usavam as leis mais

importantes. As foras e suas aes permitiram uma compreenso maior das

construes empreendidas. Possibilitou-se posteriormente a construo de

novas mquinas, havendo um enriquecimento da sociedade. Bem mais tarde,

com a compreenso maior de fenmenos eltricos e magnticos, chegou-se

1.6 Leis da Natureza. 37

formulao do eletromagnetismo, cuja tecnologia decorrente modifica a vida

at os dias de hoje.

Com o mtodo cientfico passamos, portanto, descrio da fsica como

cincia moderna, e partimos em direo a um grande progresso. O iluminismo

ganha foras e a cincia tem um progresso jamais visto antes na histria da

humanidade, e a partir deste ponto, at hoje, o desenvolvimento tcnico e

cientfico , a cada dia, maior e mais presente.

1.6 Leis da Natureza.

Leis da natureza so princpios tericos que devem ser verdadeiros para uma

srie de observaes que concernem Natureza. De modo geral, dentro da

fsica, uma Lei da Natureza o que acreditamos descrever a Natureza atravs

de leis matemticas. Temos confiana, hoje, no fato de que a Natureza

comporta-se de modo condizente com leis matemticas. A descrio dos

antigos gregos continha muito pouco de matemtico. Era uma descrio

holstica, com princpios gerais do tipo a posio natural de um corpo

no centro da Terra e que hoje no faz sentido se no houver uma razo

matematicamente bem definida para tanto.

Nossa confiana na descrio matemtica vem da experincia, que tem

sempre corroborado o mtodo cientfico e os resultados advindos da descrio

matemtica da Natureza. Da decorre o que chamamos Leis da Natureza, ou

no caso dos objetos fsicos, temos as Leis da Fsica.

Vimos que, no incio, tinha-se uma compreenso mitolgica do mundo.

A criao era divina, os fenmenos eram ligados diretamente vontade de

algum, seja de um criador incriado, no caso das religies monotestas, seja

de deuses no politesmo, ou mesmo de outros seres, supra humanos ou heris,


dotados de vontade. O Universo era divinizado, movido por vontades com

moldes humanos. Os mito continham a descrio geral da Natureza.

Neste processo, no entanto, o Homem teve um papel central como figura

mestre dos moldes da psique, cujo padro foi central na descrio dos mitos.

Para os gregos, Prometeu trouxe o fogo, trazendo a idia dos promrdios

da civilizao, sendo o fogo o marco civilizatrio. As religies monotestas

descrevem a criao do Homem de modo que o criado j tinha uma viso de

mundo, um papel cultural.

As Leis da Natureza, para os fsicos, devem ser leis gerais, que podem ser

testadas por experimentos em que se fazem previses atravs destas leis, e se

verifica se as previses so, de fato, corroboradas no experimento. No caso de

o serem, dizemos que a lei vlida naquele domnio, seno, ela no o . Em

princpio jamais sabemos se uma lei pode ser universalmente vlida, afinal,

no se pode prever que uma lei deve valer sob quaisquer condies. Podemos

apenas e to somente testar as leis, de modo a termos cada vez mais confiana

na referida lei. Prever sua validade geral seria equivalente a termos leis que

transcendem a nossa experincia. Hoje este assunto tange metafsica, j que

nosso conhecimento por vezes chega a questes que concernem ao Universo

como um todo e at mesmo fora dele, o que jamais poderemos testar. Nestes

casos, a rigor, no podemos fazer previses cientficas.

1.7 A Cincia Grega

A cincia, no tempo dos gregos, era, de fato, parte da filosofia. Os gregos

eram profundos conhecedores de filosofia e grandes pensadores. Plato fun-

dou sua Academia, onde a discusso era a regra fundamental. A liberdade de

pensamento e de expresso contrastou com a escola pitagrica, onde havia

1.7 A Cincia Grega 39

muito conhecimento, mas as regras eram tais que no podia haver discor-

dncias em relao s doutrinas vigentes na prpria escola. Plato no era

na verdade um homem dedicado s cincias naturais. Discutiu o esprito e

as idias. Sua filosofia sobreviveu e passou por transformaes muito mais

tarde, que levaram, em particular, ao neoplatonismo. Destaca-se o nome de

Plotinus, e a influncia sobre a filosofia catlica, como em Santo Agostinho

ou na cultura islmica e na vertente sufista. Aristteles foi discpulo de Pla-

to. Homem genial, chegou a estudar, ou opinar, sobre todo o conhecimento

da poca. Sua lgica sobrevive at hoje, sendo, de fato, eterna. Sua fsica,

em termos modernos, no correta. Como isto aconteceu?

Aristteles em particular, mas os gregos em geral, no conheciam o m-

todo cientfico. Sua pesquisa, apesar de elementos de observao, no era

escrutinada pela experincia. Mas h outro ponto tambm. Com a deca-

dncia geral de pocas posteriores, a cincia no evoluiu, e os chamados

peripatticos, seguidores de Aristteles, simplesmente estudaram suas obras,

sem uma viso crtica, nem uma tentativa de progresso. Suas idias passaram

a ser religiosas, e qualquer argumento se baseava na autoridade, e no na l-

gica, na razo, ou no fator observacional. Portanto a filosofia de Aristteles,

infelizmente, ficou sendo algo estanque, fixo, e os erros se mantiveram como

de incio. Aristteles quase chegou lei de inrcia. No captulo 8 de seu livro

IV de Fsica, ele argumenta:

The second reason is this: all movement is either compulsory or according

to nature, and if there is compulsory movement there must also be natural

(for compulsory movement is contrary to nature, and movement contrary to

nature is posterior to that according to nature, so that if each of the natural

bodies has not a natural movement, none of the other movements can exist);


but how can there be natural movement if there is no difference throughout

the void or the infinite? For in so far as it is infinite, there will be no up or

down or middle, and in so far as it is a void, up differs no whit from down;

for as there is no difference in what is nothing, there is none in the void (for

the void seems to be a non-existent and a privation of being), but natural

locomotion seems to be differentiated, so that the things that exist by nature

must be differentiated. Either, then, nothing has a natural locomotion, or

else there is no void.

Hoje podemos argumentar da mesma maneira e chegar Lei da inrcia,

no entanto Aristteles chega concluso de que o vcuo no existe. Foi um

erro? De fato, o que h na cincia hoje que um erro ser corrigido por um

pesquisador subseqente. No entanto, como durante toda a Idade Mdia os

argumentos se baseavam na autoridade, nenhum erro poderia ser corrigido

(Toms de Aquino fala de Aristteles como o Filsofo).

Galileu baseou-se em fatos observacionais. Em primeiro lugar, fez a hi-

ptese simples de que no h diferena entre o que acontece no cu e o que

acontece na Terra: a fsica uma cincia ubqua, universal, sempre vlida,

descrevendo todos os processos naturais. Assim, os cus no tm um con-

texto especial. O movimento dos planetas, igualmente, deve ser regido pelas

leis da fsica. Ento como pode um planeta girar eternamente em torno de

outro astro? O movimento eterno deve ter uma origem bem definida, a lei da

inrcia, dizendo que um movimento, uma vez originado, sem qualquer agente

externo que o influencie, continua para sempre. O movimento no vcuo um

destes: como argumentou Aristteles, no havendo qualquer obstculo pela

frente o movimento deve continuar eternamente. Como ele no acreditava

na concluso, negou a existncia do vcuo. Podemos acreditar no vcuo, at


mesmo por no haver prova em contrrio, portanto explicamos o movimento

planetrio e chegamos a uma nova lei da natureza, a Lei da Inrcia. Em ter-

mos de nossa formulao de um ponto em movimento, temos que, no vcuo,

o movimento tal que a velocidade constante.

Na maior generalidade, a idia de mundo na viso aristotlica estava de

acordo com a viso catlica: a Terra era o centro do Universo, o homem

superior mulher, os cus, morada de Deus, era perfeito. No esteio destas

idias, a descrio do movimento viria como a busca do lugar natural das

coisas: os objetos caem porque visam estar no centro do mundo. A descrio

astronmica de Ptolomeu corroborava estas teorias. De fato, como a viso do

observador astronmico era de uma pessoa centrada na Terra, fazia sentido

supor que este observador via o mundo a seu redor. Era, portanto, difcil

mudar estas teorias. Isto aconteceu atravs de uma questo aparentemente

trivial, centrada em preocupaes da prpria igreja catlica da poca: a data

da pscoa.

Por outro lado, j no incio da Idade Moderna muito estava mudando.

Tycho Brahe, alm de suas observaes sobre os planetas, tambm observou

a exploso de uma supernova. Segundo a opinio vigente na poca, o cu

deveria ser imutvel, e a exploso deveria ser prxima. Mas Tycho observou

que a paralaxe no era suficiente, e a exploso de fato ocorrera muito longe,

ou seja, na regio das chamadas estrelas fixas. Foi mais um ponto em que as

idias tinham que mudar.

O papel da experincia na compreenso da Natureza

A observao inerente relao do Homem com a Natureza. Compreender

a Natureza significa dar uma forma aos fenmenos de modo que eles sejam


compreensveis ao pensamento humano. Para isto, qualquer teoria tem que

se relacionar diretamente com a experincia.

As primeiras experincias que nos levam a reflexes profundas foram pro-

vavelmente ligadas s observaes dos cus. Desde que o Homem se conhece,

ele provavelmente se pergunta sobre o Universo, e a observao dos cus pode

dar uma centelha de luz sobre o problema. Os cus nos do indicaes for-

midveis sobre a regularidade do Universo. O movimento do Sol pode ser

bem apreciado quando colocamos uma longa vara verticalmente no cho e

observamos o movimento da sua sombra. Precebemos, primeiramente, que o

Sol no apenas segue de leste para oeste no movimento dirio, mas tambm

muda sua inclinao de modo previsvel ao longo do ano. Ele se movimenta

maximamente para o Sul, no hemisfrio Norte e para o Norte no hemisfrio

Sul nos respectivos meses de outono e inverno ( claro que o homem primitivo,

do hemisfrio norte, seguia apenas um destes casos!). Assim, foi conhecido o

movimento anual do Sol. Mais ainda, o movimento das estrelas foi visto com

detalhe, e a durao do dia estelar mais precisa que a do dia solar.

Estes fatos levaram a uma idealizao da estrutura do Universo de modo

a termos uma teoria sobre sua estrutura, teoria esta que se desenvolveu bem

mais tarde, com outros problemas que foram sucessivamente sendo estuda-

dos e resolvidos. O fato da Terra ser redonda no foi um fato trivialmente

aceito. H indcios do conhecimento de dias mais longos em altas latitudes

(talvez mesmo em Homero). Segundo Herdoto, os fencios circumnavega-

ram a frica vendo o Sol direita ao irem para Oeste, o que no era fato no

hemisfrio Norte, indicando estarem em um ponto de observao diferente,

provavelmente em um local com esfericidade. A idia de Terra redonda pro-

vavelmente nasceu no sculo quinto A.C. com os Pitagricos. Os Pitagricos


foram os que primeiro trouxeram a matemtica para o mundo do pensamento.

A medida do raio da Terra foi feita por por Eratstenes. Com o Sol a pino

em Siena (atual Aswan, no Egito) ele mediu a sombra em Alexandria (a 5000

estdios) verificando que havia uma diferena angular de cerca de 7 graus.

Eratstenes achou 250.000 estdios Resultado correto em 5%, dependendo

de que medida exata corresponde o estdio (excelente!).

Observaes simples levaram s vrias mudanas de calendrio, e da

a questes importantes para o desenvolvimento da mecnica. De fato, a

hiptese heliocntrica de Coprnico nasceu da necessidade de se explicar o

movimento dos planetas para se chegar ao novo calendrio.

Outras observaes de vulto foram necessrias para que a fsica evoluisse.

O nobre dinamarqus Tycho Brahe recebeu uma ilha para fazer observaes

astronmicas. Suas observaes referentes ao planeta Marte foram to pre-

cisas que levaram Johannes Kepler a formular, em particular, a lei das reas,

e, de modo geral, as chamadas Leis de Kepler do movimento planetrio.

O maior fsico experimental da histria foi Michael Faraday (1791-1867).

Quase no teve educao formal. Aprendeu muito lendo em seu trabalho,

como ajudante de livreiro. Ainda jovem, assistiu s aulas pblicas do famoso

qumico Humpry Davy. Depois disto, trabalhou como assistente de Davy

no laboratrio. Fez grandes descoberts na qumica e na fsica e idealizou as

linhas de fora, um conceito que leva idia de campo.

O papel da matemtica na compreenso da Natureza

A geometria foi essencial nas primeiras medidas do Universo. Quando Era-

tstenes mediu o raio da Terra utilizou trigonometria e quando Aristarco fez

as medidas da distncia da Terra Lua, ou da Terra ao Sol, usou tambm a


geometria exaustivamente.

Usando os dados obtidos por Tycho Brahe e idias de beleza, Johannes

Kepler (*1571 +1630) formulou as 3 leis que levam seu nome:

1. As rbitas so elpticas. Kepler usou principalmente os dados de Tycho

Brahe relativos ao movimento de Marte. Verificou que uma rbita cir-

cular no poderia descrever os dados obtidos por Brahe. Como Kepler

sempre procurou uma lei matematicamente bem definida, que pudesse

descrever a fsica atravs de uma linguagem matemtica, o elemento

mais simples que Kepler pensou em utilizar foi a elipse. Para Kepler,

a geometria o arqutipo da beleza do mundo.

2. As reas em relao ao sol so varridas de modo constante. Kepler

utilizou novamente os dados de Brahe.

3. O quadrado do perodo proporcional ao cubo do raio de revoluo.

Wolfgang Pauli estudou o procedimento que levou Johannes Kepler a

formular estas leis desta maneira. Sua concluso era que basicamente Kepler

agiu por um instinto, qual seja, de que a matemtica era algo vital para

a formulao das leis. A concluso era que pura lgica no pode levar do

emprico s leis naturais. Uma relao entre as imagens existentes no interior

da psique humana com objetos externos e sua existncia deve ser a base da

compreenso da natureza. Tais imagens primrias so o que o prprio Kepler

denominou archetipalis (arquetpicas).

Como operadores de ordenamento e formadores de imagens, arqutipos

trabalham como uma ponte entre idias e so um pressuposto para as teorias

cientficas da natureza. Na Idade Mdia tnhamos uma Era pr-cientfica,

com uma descrio mgica e simblica da Natureza, como o foi a alquemia.


Kepler teria representado uma transio da conceituao mgica para as

teorias realmente cientficas da Natureza.

Kepler era fascinado pela idia pitagrica de msica das esferas. Ele

dizia: Geometria est archetypus pulchritudinis Mundi, ou seja, a geometria

o arqutipo da beleza do Mundo.

Johannes Kepler dizia sobre a interpretao:

A geometria coeterna com a mente divina antes da criao. o prprio

Deus (o que est em Deus seno o prprio Deus?) e deu a Deus os modelos

da criao do Mundo ... O Sol em meio s estrelas moventes, ele prprio

imvel, mas fonte de movimento, tem a imagem do Pai, do Criador.

Esta ltima interpretao levou Kepler a procurar uma lei que reunisse

em algo nico um fato geral a todos os planetas, mas que envolvesse o prprio

Sol. Assim nasceu a terceira lei, a mesma para todos os planetas em torno

do Sol.

A despeito das interpretaes bastante religiosas de Kepler, ele foi um dos

primeiros a utilizar de modo magistral o mtodo cientfico. Usou os dados

de Kepler relativos a Marte com a hiptese de figuras geomtricas simples

para chegar s rbitas elpticas. Fez o mesmo com a lei das reas. Baseado

no divino usou os dados para formular a terceira lei.

De acordo com Kepler, a alma individual, que ele chama de vis formatrix

ou matrix formativa tem a habilidade fundamental de reagir, com a ajuda

do instinctus a certas propores harmoniosas que correspondem s divises

racionais do crculo. Em msica, isto corresponderia eufonia.

Ren Descartes foi um filsofo francs, nascido em 1596, tendo vivido a

maior parte de sua vida na Holanda, faleceu em 1650. Alm da filosofia,

estudou geometria e, com Fermat, mesclou-a com uma descrio numrica,


o que ficou conhecido como geometria cartesiana. A Geometria fica deste

modo compreendida em termos de equaes algbricas. Posteriormente, tais

conceitos foram utilizados para a dinmica de pontos submetidos a uma

fora externa. Utilizaremos a geometria cartesiana ao detalhe na descrio

do movimento dos corpos.

Galileo Galilei (*1564 +1642) foi um fsico italiano, o maior nome cient-

fico de sua poca, tendo melhorado o telescpio e, com sua ajuda, desvendado

vrios mistrios acerca do cu. Teve o maior papel na revoluo cientfica,

defendeu o heliocentrismo e combateu doutrinas cientficas enraizadas na

tradio, sem vnculos com a realidade cientfica.

Comeou a formular a mecnica: so leis com forma matemtica bem

definida. Formulou a Lei da inrcia, que diz que corpos livres de foras

movem-se com velocidade constante. Deve- se notar bem que este conceito

(fora) no era definido na poca, esta formulao , de fato, uma formulao

em linguagem moderna, com conceitos modernos e mais precisos. Tambm

nos referimos a Galileo quando falamos da Lei de transformao entre obser-

vadores diferentes,

x = x vt , t = t (1.1)

onde um observadorO move-se com velocidade v em relao a um observadorO, e os observadores medem, respectivamente, posies e tempos x, t e x,t.

Alm disto, Galileo verificou que a acelerao da gravidade a mesma

para todos os corpos. Isto ser de fundamental importncia no contexto da

teoria Geral da Relatividade, alm de ser um conceito til na formulao das

equaes do movimento planetrio.

Foi Isaac Newton (*1642 +1727) quem deu o maior impulso s teorias


fsicas. Foi ele, de fato, quem introduziu os conceitos de fora e de massa.

Escreveu a renomada equao de fora, F = ma. Mas o mais incrvel que

nenhum dos termos que comparecem nesta equao era conhecido na poca.

A massa poderia ser intuda. A acelerao um conceito que necessita do

clculo integral, pois corresponde taxa de variao da velocidade com o

tempo. Newton (mas tambm Leibnitz) desenvolveram o prprio clculo

integral e diferencial. Finalmente, precisou definir a fora. Caracterizou a

fora atravs da lei de ao e reao, que se faz de acordo com a Lei da

inrcia. Postulou a Lei da Gravitao universal para dizer qual o princcpio

dinmico. Em outros casos fsicos, devemos introduzir, caso a caso, quem

a fora.

No caso da gravitao, conseguiu deduzir as Leis de Kepler a partir de

suas equaes.

Os Conceitos de tempo absoluto e posio levam s trajetrias, j que a

posio de um objeto qualquer est submetida a equaes que a definem em

um tempo qualquer. Estas equaes diferenciais descrevem o movimento dos

chamados pontos materiais. Com o uso da geometria cartesiana podemos

escrever equaes diferenciais cuja soluo descreve o movimento do ponto

material. Somos ento levados ao determinismo, isto dadas as condies

iniciais podemos prever a evoluo de qualquer objeto.

Pier

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Abdalla - Notas de Aula - Física (Ciências Moleculares)