Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Primeira Avaliação a Distância de Álgebra Linear I - 02/03/2015

Gabarito 1ª Questão. ( )0.2

(a) ( )0.1 Determine a inversa de

−=

41

23A

(b) ( )0.1 Use a inversa da matriz, do item (a), para resolver o sistema

=+=−

24

623

yx

yx.

Solução. (a) Temos que .014det ≠=A

Portanto, A é inversível e .31

24

14

1

143

141

71

72

1

=

−=

−−A

(b) Esse sistema é equivalente a ,bAv = de modo que

== − bAv 1 20

2

2

6

143

141

71

72

=⇒

=

−

x e .0=y

2ª Questão. ( )0.2 Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:

a) ( )0.1 22))(( BABABA −=+− quaisquer que sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Solução. A igualdade é falsa. Observe que:

22 BBAABA)BA)(BA( −−+=+− , logo a igualdade acima será válida se BAAB = , o que nem sempre é verdadeiro. Mas para mostrar que uma afirmação é

falsa, é suficiente exibir pelo menos um exemplo onde esta afirmação falha, ou seja,

apresentar um contra exemplo. Então, considere

−=

=

13

01

10

11BeA .

Verificamos que =

≠

−=+−

00

20

30

43))(( BABA .BA 22 −

b) ( )5.0 Sejam A , B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Se B é inversível e

CBAB = , então CA = . Solução. A afirmação é verdadeira. Neste caso, não é suficiente apresentar um exemplo que verifique, pois para mostrar que a implicação é verdadeira, precisamos mostrar que é válida para quaisquer matrizes A , B e C nas condições acima.

Seja 1−B a inversa de B, .).().()()( 1111 CABBCBBABCBBABCBAB =⇒=⇒=⇒= −−−−

c) ( )5.0 )det()det()det( BABA +=+ quaisquer que sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Solução. A afirmação é falsa.

Sejam

=

10

10A e

−−

=10

01B .

−=+

00

11BA , 0)det( =+ BA e .110)det()det( =+=+ BA

3ª Questão. ( )5.1

Aplique operações elementares para determinar a inversa da matriz

−=

224

301

200

A .

Solução.

↔

−=

100224

010301

001200

)(AI ↔

−001200

100224

010301

↔

−−−001200

1401020

010301

↔

−

001200

20510

010301

21 ↔

−

00100

20510

010301

21

21 .

00100

2010

01001

21

21

25

23

−−

−

Como A é equivalente a I, A é inversível e

= −−

−

−

00

2

01

21

21

25

23

1A .

4ª Questão. ( )0.1 Verifique se o subconjunto { }1/),,( 3 ==ℜ∈= zeyxzyxS é um

subespaço vetorial do .3ℜ Justifique sua resposta.

Solução. Observe que os vetores ( )1,3,3− e ( )1,3,3 são elementos de S. No entanto a adição destes vetores nos fornece o vetor (6,0,2), que não é um elemento de S. Logo a adição não é fechada em S, o que implica que S não é um subespaço

vetorial do .3ℜ

5ª Questão. ( )0.1

Mostre que o subconjunto ( ){ }zyxzyxS +=ℜ∈= |,, 3 é um subespaço do espaço

vetorial de 3ℜ relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Solução. S é subespaço. S não é vazio, (0,0,0) pertence à S, pois, 0 = 0 + 0. E as duas condições abaixo são satisfeitas.

(i) Se (a, b, c) e (e, f, g) são elementos de S ⇒ a = b + c e e = f + g ⇒ a + e = (b + c) + (f + g) = (b + f) + (c + g) ⇒ (a, b, c) + (e, f, g) = (a + e, b + f, c + g) é um elemento de S. (ii) Se (a, b, c) é um elemento de S e α um escalar, a = b + c e α.a = α.b + α.c, ou seja, (αa, αb, αc) é um elemento de S.

6ª Questão. ( )5.1 Determine o valor de k de modo que o vetor ( )3,,0 ku = em 3ℜ seja

combinação linear dos vetores ( )0,2,3−=v e ( )1,2,1 −=w ?

Solução. Faça ( ) aku == 3,,0 ( ) b+− 0,2,3 ( ) ( )bbaba −+−+=− ,22,31,2,1

Forme o sistema

=−=+−

=+

3

22

03

b

kba

ba

.

Da primeira e da terceira equação, 1=a e .3−=b Substituindo na segunda equação obtemos 8−=k .

7ª Questão. ( )0.1 Mostre que os vetores ( )1,1=u e ( )1,0=v geram o .2ℜ

Solução. Seja ( )yx, um vetor qualquer do .2ℜ Observe que ( ) ( ) ( )( )1,01,1, xyxyx −+= .

Ou seja, qualquer vetor do 2ℜ é combinação linear dos vetores dados. Logo, os vetores

u e v geram o 2ℜ .