MINISTRIO DA CINCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS

INPE-5615-PUD/064

INTRODUO MECNICA ORBITAL

2a ED.

Hlio Koiti Kuga Kondapalli Rama Rao

Valdemir Carrara

INPE So Jos dos Campos

2008

NDICE 1 INTRODUO 2 CAMPO CENTRAL

2.1 LEIS DE NEWTON 2.2 LEI DA GRAVITAO UNIVERSAL 2.3 FORA CENTRAL 2.4 INTEGRAL DO MOMENTO ANGULAR 2.5 VELOCIDADE AREOLAR 2.6 TRAJETRIAS DEVIDO FORA CENTRAL 2.7 INTEGRAL DA ENERGIA 2.8 EQUAO DE BINET 2.9 EXERCCIOS

3 LEIS DE KEPLER

3.1 AS 3 LEIS DE KEPLER 3.2 PROPRIEDADES DA ELIPSE 3.3 INTERPRETAO DAS LEIS DE KEPLER 3.4 EXERCCIOS

4 PROBLEMA DOS DOIS CORPOS

4.1 REDUO DO PROBLEMA DOS DOIS CORPOS 4.2 SOLUO DO PROBLEMA DOS DOIS CORPOS

4.2.1 INTEGRAL DAS REAS 4.2.2 INTEGRAL DA ENERGIA 4.2.3 SOLUO 4.2.4 ENERGIA DA RBITA ELPTICA 4.2.5 EQUAO DA "VIS-VIVA"

4.3 MOVIMENTO ELPTICO 4.3.1 COORDENADAS CARTESIANAS DE POSIO 4.3.2 RELAO ENTRE f E u 4.3.3 EQUAO DE KEPLER 4.3.4 COORDENADAS CARTESIANAS DE VELOCIDADE

4.4 RBITA CIRCULAR 4.5 EXERCCIOS

5 POSICIONAMENTO DE SATLITES-PROBLEMA DIRETO

5.1 ELEMENTOS KEPLERIANOS 5.2 TRANSFORMAO DE COORDENADAS 5.3 RESUMO DA TRANSFORMAO 5.4 EXERCCIOS

6 POSICIONAMENTO DE SATLITES-PROBLEMA INVERSO

6.1 SEMI-EIXO MAIOR a 6.2 EXCENTRICIDADE e 6.3 ANOMALIA MDIA M 6.4 INCLINAO i

6.5 ASCENSO RETA DO NODO ASCENDENTE 6.6 ARGUMENTO DO PERIGEU 6.7 EXERCCIOS

7 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES

7.1 INTRODUO 7.2 SISTEMAS PRINCIPAIS

7.2.1 SISTEMA HORIZONTAL (TOPOCNTRICO) 7.2.2 SISTEMA HORRIO (TOPOCNTRICO OU GEOCNTRICO) 7.2.3 SISTEMA EQUATORIAL (GEOCNTRICO) 7.2.4 SISTEMA ECLPTICO

7.3 COORDENADAS CARTESIANAS GEOCNTRICAS 7.3.1 SISTEMA CARTESIANO TERRESTRE 7.3.2 SISTEMA CARTESIANO CELESTE

7.4 COORDENADAS CARTESIANAS TOPOCNTRICAS 7.4.1 SISTEMA TOPOCNTRICO ASTRONMICO 7.4.2 SISTEMA TOPOCNTRICO GEODSICO

7.5 MOVIMENTO APARENTE DO SOL 7.6 EXERCCIOS

8 TRANSFORMAES DE COORDENADAS

8.1 INTRODUO 8.2 TRANSFORMAO NO PLANO 8.3 TRANSFORMAO NO ESPAO 8.4 PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE TRANSFORMAO 8.5 EXEMPLOS DE TRANSFORMAES 8.6 EXERCCIOS

9 SISTEMAS DE TEMPO

9.1 INTRODUO 9.2 TEMPO UNIVERSAL 9.3 TEMPO SIDERAL 9.4 DATA JULIANA 9.5 CLCULO DO TEMPO SIDERAL DE GREENWICH 9.6 EXERCCIOS

CAPTULO 1

INTRODUO

A mecnica celeste, segundo Laplace, um conjunto de teorias que contm os resultados das leis de gravitao universal sobre o equilbrio e o movimento dos corpos slidos e fluidos que compem o sistema solar e sistemas semelhantes distribudos no universo.

Atualmente, o conceito estende-se ao estudo dos fenmenos puramente mecnicos que ocorrem no universo, e dos problemas matemticos que sugerem os mtodos utilizados em seu estudo, seja de corpos celestes (planetas ao redor do Sol, as estrelas na galxia), ou mesmo de sondas e satlites artificiais.

O presente trabalho apresenta uma introduo teoria de mecnica orbital. O principal objetivo o estudo da teoria da gravitao universal, a lei do inverso do quadrado das distncias, e suas implicaes no movimento de satlites artificiais terrestres. O trabalho essencialmente orientado para aplicaes prticas, com uso extensivo da mecnica newtoniana. A preciso atual da maioria dos instrumentos de medida utilizados em mecnica orbital dispensa o uso da teoria da relatividade de forma a simplificar a matemtica utilizada bem como possibilitar o uso das hipteses newtonianas.

O trabalho assume tambm que o leitor tenha conhecimentos bsicos de clculo diferencial e integral, lgebra vetorial, e familiaridade com o uso de computadores.

CAPTULO 2

CAMPO CENTRAL 2.1 LEIS DE NEWTON

Recapitula-se aqui as trs leis fundamentais de Newton, que foram publicadas em seu tratado "Philosophia e Naturalis Principia Mathematica", em 1687.

Todo corpo permanece em repouso ou em movimento uniforme, quando a fora exercida sobre ele nula, =F 0

A taxa de mudana do momento linear (ou quantidade de movimento)

proporcional fora e na mesma direo da fora:

( )d mdt

=v

F (2.1)

onde m a massa do corpo, v o vetor velocidade do corpo, e F a fora exercida no corpo. No caso de m ser constante, vm:

m=F a

com /d dt=a v , onde a a acelerao do corpo.

A toda ao corresponde uma reao igual e oposta (Lei da ao e reao):

A B= F F . 2.2 LEI DA GRAVITAO UNIVERSAL Duas partculas A e B se atraem com uma fora diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas:

2A B AB

A

m mG

r r=

rF (2.2)

onde G a constante de gravitao universal valendo 1110676 , Nm2/kg2, mA e mB so as massas dos dois corpos, r a distncia entre eles, e ABr o vetor distncia que une os

corpos. A lei se aplica em princpio, a sistemas de partculas, no a corpos de dimenses finitas. Porm, a lei ainda pode ser aplicada ao assumir-se que corpos com simetria esfrica se atraem como se suas massas estivessem concentradas em seus centros.

2.3 FORA CENTRAL

Uma fora dita "central" quando a fora resultante que causa o movimento acelerado de uma partcula passa atravs de um ponto fixo, conforme a Figura 2.1. O ponto fixo o centro da fora. Devido a essa caracterstica a fora pode ser representada por:

( )Fr

=r

F r , (2.3)

onde )(F r o mdulo da fora que funo do vetor distncia r.

Trajetria

O

F

Ponto fixo

r

Fig. 2.1 Trajetria da fora central 2.4 INTEGRAL DO MOMENTO ANGULAR

Sob a ao de uma fora central, existem quantidades que se conservam, isto , existem as integrais primeiras do movimento. Tais integrais permitem simplificar e mesmo auxiliar a resoluo das equaes de movimento.

Mostrar-se- que o momento angular uma das quantidades conservadas. Seja a definio do momento angular:

i i i

i

m= H r v (2.4)

onde H o vetor momento angular, representa o produto vetorial, e iP O= r , com O sendo o ponto fixo.

Derivando-se H em relao ao tempo tm-se:

( )i ii i i i

i i

i i i i i

i i

d mm

dt

m

= +

= +

vH r v r

v v r F

onde a primeira parcela do lado direito nula devido ao produto vetorial de vetores paralelos. Lembrando ainda que no caso de fora central vale a Equao 2.3, chega-se a:

( ) ii i ii ir

= =r

H r F r 0 , (2.5)

pois novamente tm-se um produto vetorial de vetores paralelos. Desta forma conclui-se que:

=H C , (2.6) onde C um vetor constante. Existem dois casos possveis a serem analisados. O primeiro caso quando a constante C o vetor nulo 0:

= =C 0 r v 0 . Neste caso ou r paralelo a v e o movimento retilneo, ou v nulo e r constante. Este um caso sem interesse.

O segundo caso quando a constante C no nula. Neste caso, r v 0 e o movimento "plano". Veja a Figura 2.2.

O

H

r

v

Fig. 2.2 Movimento plano da fora central

Em resumo, o momento angular de uma partcula que se move sob a ao de uma

fora central permanece constante em magnitude e direo. 2.5 VELOCIDADE AREOLAR

A velocidade areolar ou taxa areolar a taxa na qual uma determinada rea varrida durante a trajetria do raio vetor. A Figura 2.3 mostra o conceito.

r

r + dr dr

dA

P

P

Fig. 2.3 Velocidade areolar

Na Figura 2.3, dA a frao de rea, e dr a frao de arco percorrida. Lembrando

que a b a rea do paralelogramo delimitada pelos vetores a e b, tm-se que:

1

2A r r ,

ou seja:

1

2

A

t t

rr .

No limite para 0t tm-se:

1

2A = r v . (2.7)

Recapitulando que o momento angular dado por m= H r v , constante, e

comparando com a Equao 2.7, chega-se a:

2Am

=H

. (2.8)

Conclui-se portanto que o momento angular proporcional taxa areolar e, por

conseqncia, a taxa areolar constante sob a ao de uma fora central. 2.6 TRAJETRIAS DEVIDO FORA CENTRAL

Seja o movimento plano conforme mostrado na Figura 2.4, onde x e y so o sistema de eixos cartesianos no plano do movimento, re o versor radial, te o versor transversal

perpendicular a re , e f o ngulo polar entre o eixo x e o corpo em movimento. Nota-se

que te no tangente trajetria, mas sim perpendicular a r.

r

O

r f

t

x

y

Fig. 2.4 Movimento plano

De maneira geral, a velocidade do corpo no plano pode ser descrita por suas componentes radial e transversal na forma:

r tr e r f e= +v . (2.9)

A acelerao do corpo obtida derivando-se a velocidade em relao ao tempo:

r r t t tr e r e r f e r f e r f e= = + + + +a v

,

e lembrando a regra de Poisson para a derivada de versor:

,ef

,ekfe

,ef

,ekfe

r

tt

t

rr

==

==

chega-se a:

( ) ( )2 2r tr r f e r f r f e= + +a . (2.10)

Sejam as coordenadas cartesianas do movimento plano dadas por:

.fry

,frx

sencos

==

Ento as componentes de velocidade so:

cos sen ,

sen cos .

x r f r f f

y r f r f f

=

= +

Lembrando a expresso para o momento angular m= H r v , tm-se:

( )0

0

x y

x y xy xy k

i j k

= = r v ,

onde k o versor do eixo z. Logo, H k=H , e por substituio das componentes cartesianas vm:

( ) ( )cos sen cos sen cos senH r f r f r f f r f r f r f fm

= + .

Simplificando, chega-se a 2/ cteH m r f= = , ou seja:

2 cteH mr f= = . (2.11)

Lembrando a Equao 2.8 da velocidade areolar, / 2H m A= , tm-se tambm:

22 cteA r f= = . (2.12) Desta forma, derivando H em relao ao tempo na Equao 2.1 vm:

,d

dt=

H0

ou

( ) ( )2 220,

dm r f m r r f r fdt

= +

=

,

donde se conclui que:

22 0r r f r f+ = . (2.13)

Finalmente, as componentes da acelerao, conforme a Equao 2.10 ficam:

( )

( )( )

2

2 ,

,

,

t t

r r

r f r f e

r r f e

F

m r

= +

=

=

=

a

0

a

r r0

onde at a componente transversal, e ar a componente radial.

Portanto, as seguintes concluses podem ser extradas no caso da fora central: H constante, a taxa areolar A constante, e o movimento puramente plano. A expresso final para a acelerao devido fora central :

( ) ( )2 rF

r r f em r

= =r r

a . (2.14)

2.7 INTEGRAL DA ENERGIA

Se um sistema conservativo, ento a energia do sistema se conserva. Se o trabalho s depende dos extremos de integrao, i.e., independe do caminho, o sistema conservativo. Se o sistema conservativo a fora deriva de um potencial. As asseres acima podem ser encontradas em livros bsicos de Fsica.

Analisar-se- o caso da fora central. A fora central tem como equao caracterstica ( ) /F r=F r r . Logo, pela definio de trabalho vm:

( )

( )

2

1

2

1

2

12

1

,

,

.

r

r

r

r

W d

F dr

F dr

=

=

=

F r

rr r

r

onde " " representa o produto escalar. Por exemplo, no caso da fora gravitacional

( ) 2/F GM m r=r , e o trabalho vale:

2

1

212

r

r

W GM m r dr= ,

que s depende dos extremos r1 e r2. Logo pode-se concluir que uma fora central sob a ao de um campo central faz parte de um sistema conservativo. A conseqncia imediata que a fora deriva de um potencial U e pode portanto ser representada por:

UU

= =

F

r, (2.15)

onde a representao do gradiente.

Em resumo, para um campo central, a energia se conserva, e o potencial s depende da posio. 2.8 EQUAO DE BINET

A equao de Binet importante pois fornece a trajetria de um corpo num campo

de fora central. Define-se primeiro o operador d/dt, lembrando que fmrH 2= a magnitude do momento angular. O desdobramento dessa equao leva a:

2

2

,

,

dfH mr

dt

mrdt df

H

=

=

de onde se extrai o operador:

2

d H d

dt mr df= . (2.16)

Sua segunda derivada simplesmente a aplicao do operador sobre ele mesmo:

2

2 2 2

d H d H d

dt mr df mr df

=

. (2.17)

Portanto, para se calcular a acelerao radial 22 dtrd , aplica-se este operador para chegar a:

2

2 2 2

d r H d H dr

dt mr df mr df

=

, (2.18)

e lembrando que ( )2r r f F m = r , ou seja

( )

( )

22

2

2

2 3

,

,

Fdr dfr

dt dt m

FH

m r m

= +

= +

r

r

igualam-se ambas as expresses para a acelerao:

( )

( )

2

2 3 2 2

2 2

,

1 1.

FH H d H dr

m r m mr df mr df

FH d H dr

mr mr H df mr df m

+ =

=

r

r

Usa-se agora a seguinte transformao de variveis para simplificar a expresso:

2

2

1 ,

1,

.

u r

du drr

drr

du

=

=

=

Tal transformao produz o seguinte desenvolvimento:

( )2 22

1,

FH u u d H dr du

m m H df mr du df m

=

r (2.19)

e finalmente, a forma da equao de Binet:

( )2 2 22 2

.FH u d u

um df m

+ =

r (2.20)

Esta equao diz que para qualquer fora central F(r), pode-se determinar a

trajetria de um corpo sujeito a essa fora central. 2.9 EXERCCIOS 1. Calcular o mdulo das foras de atrao do Sol, Lua e Marte sobre a Terra. Utilize os

seguintes dados:

Distncia Lua-Terra = 60,2 Rt Distncia Sol-Terra = 6106149 , Km

Distncia Terra-Marte = 61070 Km Raio da Terra Rt = 6378 Km Massa da Terra = 2410975 , Kg Massa do Sol = 332958 Massa da Terra Massa de Marte = 10, Massa da Terra

Massa da Lua = 2210347 , Kg

2. Demonstre que o sistema de equaes formado pelas integrais primeiras da rea e da energia formam um sistema equivalente ao das equaes diferenciais do movimento, isto :

se 2 constanter C = = , e ( )21 constante,2m U r E = =r ento:

( ) ( )2m r r f r = ,

onde dU

fdr

= =f .

CAPTULO 3

LEIS DE KEPLER O astrnomo dinamarqus Tycho Brahe (1546-1601) deu uma grande contribuio quando montou um gigantesco catlogo de observaes dos planetas. A caracterstica mais importante de tais observaes era a preciso. A preciso era suficiente para discriminar entre hipteses verdadeiras ou falsas sobre as vrias teorias especulativas existentes na poca. O prprio Tycho Brahe no conseguiu formular um modelo que ajustasse as observaes, contendo o movimento dos planetas ao redor do Sol. O principal problema era o planeta Marte. rbitas circulares no ajustavam o movimento de Marte (Marte tem um rbita elptica com excentricidade 0,1).

Kepler (1571-1630) pegou as observaes de Tycho Brahe e aps anos de tentativas de ajuste, conseguiu conceituar o movimento de Marte. Seu tratado "Astronomia Nova" discute o movimento de Marte, bem como formula as famosas leis de Kepler. 3.1 AS 3 LEIS DE KEPLER 1 lei: "Lei das rbitas elpticas". As rbitas dos planetas so elipses com o Sol como foco.

Generalizando, a rbita de um corpo num campo de fora central uma cnica (elipse, hiprbole, parbola) com o foco no centro de atrao.

2 lei: "Lei das reas". O raio vetor de cada planeta com relao ao Sol como origem, varre

reas iguais em tempos iguais. Esta de fato uma propriedade de sees cnicas, expressa por cte=A , onde A a rea.

3 lei: "Lei harmnica". A relao dos quadrados dos perodos entre 2 planetas igual

relao do cubo do semi-eixo maior de suas rbitas. Assim, seja o planeta pi com

perodo Ti e semi-eixo maior ai. Vale ento ( ) ( ) cte321221 == aaTT . 3.2 PROPRIEDADES DA ELIPSE

Elipse um lugar geomtrico de um ponto que se move de forma a que sua distncia a partir de um ponto fixo, o foco, mantm uma relao constante (

( )211 cos

a er

e f

=

+, (3.5)

1 cos

p

e f=

+, (3.6)

onde p recebe a denominao de "semi-latus rectum".

S

r

f

Q

Q

B

B

A A

S

M P

C

diretriz

Fig. 3.1 Parmetros da elipse

3.3 INTERPRETAO DAS LEIS DE KEPLER 3.3.1 1 LEI

A 1 lei diz que o movimento planetrio elptico. Dada a equao da elipse:

( )211 cos

a er

e f

=

+,

e lembrando a Equao de Binet 2.20:

( ) ( )222 2 2

1/1F d rH

m m r r df

= +

r,

deriva-se 1/r atravs da equao da elipse:

( )( )

( )( )

2

2

2 2

1/ sen,

1

1/ cos,

1

d r e f

df a e

d r e f

df a e

=

=

para se chegar a:

( )( )

2

2 2

1/1 1

1

d r

r df a e+ =

.

A partir do fato de que s existe acelerao radial num campo central, i.e.,

( ) ( ) /F r=F r r r , chega-se seguinte expresso:

( )( )

2

2 2

1

1

H

mr ra e=

rF r . (3.7)

Logo se conclui que a fora est dirigida para o Sol, e inversamente proporcional

ao quadrado da distncia Sol-planeta. Fica evidente que esta expresso redunda na lei de Newton da gravitao universal, na forma:

( ) 2m

r r=

rF r ,

onde

( )2

2 21

H

m a e =

.

3.3.2 2 LEI

De fato, j havamos obtido que / cte / 2da dt H m= = . Dado que a taxa areolar A = (rea da elipse) / Perodo, tm-se que

abA

T

= , (3.8)

ou seja, a 2 lei decorre das leis de campo central. 3.3.3 3 LEI

A 3 lei de fato apenas uma derivao da 2 lei. Quadrando a taxa areolar tm-se:

( )

2 2 2 2 2

2 4 2 2

2 2

/

1 /

/ 4

A a b T

a e T

H m

=

=

=

Isolando o termo vem:

( )2

2 2

2 3

2

1

4

cte

H

m a e

a

T

=

=

=

Logo chega-se a concluso que:

3

2cte .

a

T=

3.4 EXERCCIOS 1. Calcule o semi-eixo maior de um satlite geocntrico, estacionrio em relao a um

ponto na superfcie da Terra. Supor o centro da Terra como o ponto fixo da fora

central. Usar 5109863 = . Km3/s2.

2. Provar que o semi-latus rectum p vale ( )21p a e= , onde a o semi-eixo maior e e a excentricidade.

3. Provar que a equao da elipse em coordenadas polares pode ser dada por:

( )211 cos

a er

e f

=

+

4. Se a equao de um satlite terrestre dada por:

2 2

2 21

9 4t t

x y

R R+ =

onde tR o raio da Terra, 5109863 = . Km3/s2, e x e y so os eixos simtricos da

elipse, e dada que a energia da rbita vale a/E 2= , obter: a) Distncia da Terra a partir do eixo y, b) Semi-eixo maior, excentricidade da rbita e semi-latus rectum, c) Perodo da rbita, d) Velocidade tangencial do satlite quando a anomalia verdadeira (ngulo polar f) 60, e) Analise se o satlite foi lanado numa rbita possvel.

CAPTULO 4

PROBLEMA DOS DOIS CORPOS

Considere-se um satlite artificial em rbita kepleriana ao redor da Terra. Suponha que a massa da Terra esteja concentrada em seu centro. O problema a ser estudado o de determinar a trajetria de um ponto material (satlite) de massa m sujeito ao de uma fora dirigida ao centro da Terra. 4.1 REDUO DO PROBLEMA DOS DOIS CORPOS

Seja o sistema de referncia "inercial" Oxyz, com a Terra sendo o ponto P1 de massa m1 e raio vetor r1, e com o satlite sendo P2 de massa m2 e raio vetor r2, conforme a Figura 4.1.

O

x

r1

z

y

r2 = r1 + r

r

P1

P2

Fig. 4.1 - Sistema de coordenadas no problema dos dois corpos

De acordo com a lei de gravitao universal de Newton, a fora que mj exerce sobre

mi dada por:

3,i jij i j

P PGmm

r

= F (4.1)

com ji e r = r . Pela 2 lei de Newton tem-se:

,1 2 1 21 1 2m m P P

m Gr r

= r (4.2)

.1 2 2 12 2 2m m P P

m Gr r

= r (4.3)

Basicamente, a reduo do problema dos dois corpos consiste em determinar o

movimento de P2 em relao a P1. As aceleraes podem ser escritas na forma:

3,1 2Gm

r= +

rr (4.4)

3.2 1Gm

r=

rr (4.5)

Como o sistema de coordenadas inercial pode-se escrever tambm que:

= 2 1r r r , (4.6)

de modo que:

( )2 3 .1G m m r= +

rr (4.7)

Esta a equao diferencial do movimento de um corpo em relao ao outro. Na

teoria de satlites artificiais, identifica-se que:

,mm

,mm

Sat

Terra1

==

2

e como 21 mm >>> temos ( )1 2 TerraG m m Gm + = . Portanto, a expresso final da acelerao simplificada para:

3,GM

r=

rr (4.8)

onde M a massa da Terra, e G a constante gravitacional universal. O valor da constante

geo-gravitacional 14109863 , m3/s2. 4.2 SOLUO DO PROBLEMA DOS DOIS CORPOS

Notou-se que a reduo do problema dos dois corpos leva a uma expresso para a acelerao, com caracterstica de fora central:

3,GM

r=

rr

ou

2.

GM m

r r=

rF

Portanto, o movimento de satlites ao redor da Terra pode ser interpretado como uma trajetria sob a ao de um campo central, onde o ponto fixo o centro da Terra. Por conseguinte, valem todas as teorias j vistas sobre o campo central.

Existem duas integrais primeiras que auxiliaro na soluo do problema dos dois corpos: Integral das reas, e Integral da energia.

4.2.1 INTEGRAL DAS REAS

Esta integral j foi obtida anteriormente. Recapitula-se que a trajetria de partculas sob a influncia de um campo central gera um movimento plano:

ctem

= =H

r r .

Mostrou-se que esta expresso equivalente a:

2 2 cteH

r f Am

= = = .

4.2.2 INTEGRAL DA ENERGIA

A integral da energia, pode ser derivada a partir da seguinte expresso:

3r =

rr r r . (4.9)

Lembrando que:

pois 2r = r r , e substituindo tais relaes na Equao 4.9 tm-se:

22

3

22

3

1 1,

2 2

.

d dr

dt r dt

dr

r

=

=

r

r

Uma vez que se faa seguinte transformao de variveis 2ru = e portanto 323 ru / = , a integral fica:

2

1/2

3 3/22 2 /

dr duu r

r u

= = = .

Logo a integrao fornece 2 2 / 2r E= +r , onde 2E uma constante de integrao. Lembrando que 2 2v=r onde v a magnitude da velocidade, a equao final fica:

( )2

2

1 1,

2 2

1,

2

d d

dt dt

dr

dt

= =

=

r r r r r

r r

2,2

vE

r

= (4.10)

onde E a energia (constante) da rbita. 4.2.3 SOLUO

Com o conhecimento das integrais primeiras do movimento orbital, qual sejam, integral da rea e integral da energia, possvel obter a soluo do movimento orbital plano. Inicia-se a partir do quadrado da velocidade:

r tr e rf e= +v ,

2 2 2 2v r r f= = +v v .

Lembrando da integral da rea, 2 /r f h H m= = , tm-se:

2

2

2 2

2 2

22 2

2 2 2

,

,

.

dr df H dfv

df dt m dt

dr H H H

df mr m mr

H dr H

mr df m r

= +

= +

= +

Porm, pela integral da energia, ( )2 2 /v E r= + , tm-se:

( )22 2

2 2 22 / .

H dr HE r

mr df m r

+ = +

Da, isolando o termo em df/dr , obtm-se:

22 2 2

2 22 2 ,

dr mr HE

df H r m r

= +

(4.11)

1/22 2

2 22 2 .

dr mr HE

df H r m r

= +

(4.12)

Agora, a soluo poder ser obtida ao se notar a transformao de variveis que

simplifica a equao diferencial. Definindo:

( )21

/u

r H m

= , (4.13)

tem-se que:

( )2

2

1/ 1,

.

d rdu dr

df df r df

dr dur

df df

= =

=

Lembrando a Equao 4.1, tem-se o seguinte desenvolvimento:

( ) ( )

22 2 24

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 ,

2 2 ,

2 2 1.

/ /

du mr Hr E

df H r m r

du m HE

df H r m r

E

rH m H m r

= +

= +

= +

Mas pela Equao 4.13, u2 vale:

( ) ( )

22

2 42

1 2

/ /u

r r H m H m

= + ,

que substituda na equao diferencial para du/df resulta:

( ) ( )

2 22

2 4

2

/ /

du Eu

df H m H m

= +

,

( ) ( )

2 22

2 4

2

/ /

du Eu

df H m H m

+ = +

.

Nota-se que os termos do lado direito so constantes, de forma que conveniente

redefini-los para:

( ) ( )

22

2 4

2

/ /

E

H m H m

+ , (4.14)

de modo que a equao diferencial a ser integrada simplesmente:

( )1/22 2du udf

= , (4.15)

ou seja:

( )1/22 2du

dfu

=

. (4.16)

A integral indefinida do lado esquerdo tem a seguinte soluo:

( )-1

1/22 2sen

du u

u

=

.

Logo, a Equao diferencial 4.16 tm como soluo final:

( )-1sen /u = , (4.17) onde uma constante de integrao. Colocar-se- a soluo em termos do co-seno por convenincia, por exemplo, fazendo 90= o :

u=cos , (4.18)

onde o = . A substituio das definies de u e , Equaes 4.13 e 4.14, junto com h=H/m (momento angular especfico), leva a:

1/22

2 2 4

1 2cos / /

Eu

r h h h

= = +

,

1/22

2 2

1/22

2 2

1 12 cos ,

1 2 cos ,

Er h h h

hE

h h

= + +

= + +

e finalmente:

( )1/22 22

1 2 / 1 cos1

/

Eh

r h

+ + = . (4.19)

Percebe-se que esta equao a prpria equao da elipse disfarada.

Recapitulando a equao da elipse:

1 1 cose f

r p

+= ,

pode-se extrair as seguintes igualdades:

1/22

22 1 ,

he E

= +

(4.20)

2

,h

p

= (4.21)

onde e a excentricidade da elipse, e p o "semi-latus rectum". Identifica-se ainda

fcoscos = , onde f o ngulo polar desde o perigeu.

O valor e sinal da energia E define o tipo de cnica:

Energia Excentricidade Cnica 0e hiprbole

Observou-se que em rbitas elpticas, o "semi-latus rectum" p vale ( )21p a e= . Portanto ( )2 21 /a e h = . Pela integral das reas / 2H m h A= = , ou seja:

( )1/22 22 12 2

a eabA

T T

= = .

Portanto, vale:

( )( )

2 4 2 2 32

22

4 1 /4

1

a e T a

Ta e

= =

,

que novamente a j familiar expresso da 3 lei de Kepler. 4.2.4 ENERGIA DA RBITA ELPTICA

O valor da energia para rbitas elpticas pode agora ser deduzido a partir da expresso para a excentricidade. Dada a Equao 4.20, obtm-se:

22

2

21 ,

1 2 .

Ehe

pE

= +

= +

Isolando E chega-se a:

22

2

1,

2

( 1),

2 (1 )

eE

p

e

a e

=

=

e portanto:

2E

a

= . (4.22)

4.2.5 EQUAO DA "VIS-VIVA"

A chamada equao da "vis-viva" (energia viva) uma expresso que permite clculo imediato da velocidade orbital. Ela deduzida a partir do conhecimento do valor da energia orbital. Obteve-se anteriormente que:

2 / 2 /v r E = . Agora, com o valor da energia calculada pela Equao 4.22 chega-se a:

2 2 ,2

2 1,

vr a

r a

=

=

(4.23)

que a equao da "vis-viva". 4.3 MOVIMENTO ELPTICO

Mostra-se aqui as relaes geomtricas do movimento elptico. Seja a Figura 4.2, com as seguintes definies: f a anomalia verdadeira, u a anomalia excntrica, rp o periapse, perihlio, ou perigeu; ra o apoapse, aflio, ou apogeu; a o semi-eixo maior, b o semi-eixo menor, e p o "semi-latus rectum".

Como arr ap 2=+ e crr pa 2= tem-se:

/ a p

a p

r re c a

r r

= =

+. (4.24)

A partir da equao da elipse / (1 cos )r p e f= + deduz-se que quando 0=f o satlite est no ponto da trajetria mais prxima da Terra (perigeu) onde prr = , e quando

180=f o satlite est mais distante (apogeu), onde arr = . Da vm que o "semi-latus rectum" vale:

(1 ) (1 )p ap r e r e= + = . (4.25)

S

r

f

B

Q

S

P

C

u

y

x

rp ra a

a a a

p

b

a e

P

Fig. 4.2 - Elipse do movimento orbital

4.3.1 COORDENADAS CARTESIANAS DE POSIO

A partir da Figura 4.2 pode-se calcular as coordenadas cartesianas de posio referidas ao sistema Oxy, com a origem O no foco da elipse, o eixo Ox apontando para o perigeu, e o eixo Oy a 90 de Ox no sentido anti-horrio. A coordenada x vale:

cos cosx r f a u c= = , (4.26) (cos )a u e= . (4.27)

Em seguida, calcula-se o raio em termos da anomalia excntrica u. A partir da equao da elipse / (1 cos )r p e f= + tem-se que:

cos ,

,

p r e r f

r ex

= +

= +

2

2 2

(1 ) (cos ),

cos ,

a e r e a u e

r a ae a e u ae

= +

= +

ou seja,

(1 cos )r a e u= . (4.28)

Para a coordenada y parte-se de 222 xry = , e da:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

(1 cos ) (cos ) ,

(1 2 cos cos cos 2 cos ),

(1 ) (1 cos ).

y a e u a u e

a e u e u u e u e

a e u

=

= + +

=

Logo,

2 1/ 2sen sen (1 )y r f a u e= = . (4.29) 4.3.2 RELAO ENTRE f E u

Dado cos (cos )x r f a u e= = , e (1 cos )r a e u= , tm-se:

coscos /

1 cos

u ef x r

e u

= =

.

Mas, lembrando a relao trigonomtrica do arco metade

2 1 costan ( / 2)1 cos

ff

f

=

+,

vem:

2 1 (cos ) / (1 cos )tan ( / 2) ,1 (cos ) / (1 cos )

1 cos cos,

1 cos cos

(1 )(1 cos ),

(1 )(1 cos )

u e e uf

u e e u

e u u e

e u u e

e u

e u

=

+

+=

+

+ =

+

,

e portanto

2 21tan ( / 2) tan ( / 2)1

ef u

e

+=

. (4.30)

4.3.3 EQUAO DE KEPLER

A equao de Kepler fornece uma relao entre a anomalia excntrica e o tempo. Atravs dela possvel localizar onde o satlite se encontra em determinado instante. A deduo da equao de Kepler se inicia com a equao da elipse:

2 2

1 1 cos,

1 cos.

(1 ) (1 )

e f

r p

e f

a e a e

+=

= +

Derivando r/1 em relao a f vem:

2

(1/ ) sen

(1 )

d r e f

df a e

=

,

e como

2

(1 / ) 1d r dr

df r df= ,

vem

22 (1 )

sen

a er df dr

e f

= . (4.31)

Lembrando que:

(1 cos )r a e u= , sendr a e u du= , (4.32)

e lembrando a Equao 4.29, com r/yf =sen , tem-se:

2 1/ 2

2 1/ 2

sen (1 )sen ,

(1 cos )

sen (1 ).

1 cos

a u ef

a e u

u e

e u

=

=

Substituindo este resultado na Equao 4.31, junto com 4.32 chega-se a:

2

2

2 1/2

2 2 1/2

(1 ) 1 cossen ,

sen (1 )

(1 ) (1 cos ) .

a e e ur df ae u du

e u e

a e e u du

=

=

Dividindo ambos os membros por dt, e lembrando da integral da rea,

2 1/ 2( ) ,df

r h pdt

= =

vem

1/2 2 2 1/2

1/2 2 2 1/2

1/22 2 2 1/2

1/2 2

3 1/2

( ) (1 ) (1 cos ) ,

( ) (1 ) (1 cos ) ,

(1 ) (1 ) (1 cos ) ,

( ) (1 cos ) ,

( / ) (1 cos ) .

dup a e e u

dt

p dt a e e u du

a e dt a e e u du

a dt a e u du

a dt e u du

=

=

=

=

=

Supondo a constante de integrao T, de tal modo que para t = T (passagem pelo

perigeu), u=0, a integrao da equao fornece:

( ) ( )

[ ]

1/23

0

0

/ ( ) 1 cos ) ,

sen ,

sen .

u

u

a t T e u du

u e u

u e u

=

=

=

Agora, definindo-se a velocidade angular ( )1/23/n a= , tambm chamada de movimento mdio ("mean mean motion"), por ser a velocidade angular mdia do movimento orbital, tem-se:

( ) senn t T u e u = . (4.33) O lado esquerdo da equao um ngulo M denominado de anomalia mdia:

( )M n t T= . (4.34)

Portanto a forma final da equao de Kepler :

senM u e u= . (4.35)

importante lembrar que dada a anomalia verdadeira f, pode-se calcular a anomalia excntrica u e da, pela equao de Kepler, calcular a anomalia mdia. O caminho contrrio tambm vlido. A equao de Kepler uma equao transcendental que pode ser resolvida de vrias maneiras. A mais comum a utilizao do mtodo de Newton-Raphson, com o auxlio de computador. 4.3.4 COORDENADAS CARTESIANAS DE VELOCIDADE

Anteriormente obteve-se as coordenadas cartesianas de posio pelas seguintes expresses:

cos (cos )x r f a u e= = , 2 1/ 2sen sen (1 )y r f a u e= = ,

2(1 )(1 cos )

1 cos

a er a e u

e f

= =

+.

Para se obter as coordenadas de velocidade, basta deriv-las em relao ao tempo:

senx a u u= ,

2 1/2cos (1 )y a u e u= , 2 2 2v x y= + .

A variao temporal da anomalia excntrica u pode ser obtida a partir da equao

de Kepler:

( ) senM n t T u e u= = . Derivando-se em relao ao tempo, obtm-se:

(1 cos )n u e u= , donde se conclui que:

1 cos

nu

e u=

. (4.36)

Lembrando que / 1 cosr a e u= , vem:

na

ur

= , (4.37)

2

senna

x ur

= , (4.38)

2

2 1/2cos (1 )na

y u er

= . (4.39)

4.4 RBITA CIRCULAR

Uma rbita circular um caso particular da rbita elptica. Na rbita circular a excentricidade nula, e, como conseqncia, no h como identificar o perigeu. Impondo a condio de que a excentricidade seja nula na equao de Kepler, percebe-se que a anomalia mdia coincide com a anomalia excntrica em rbitas circulares, isto , M = u. Da mesma forma, a equao 4.30 mostra que a anomalia excntrica fica igual anomalia verdadeira nesta rbita, e assim M = u = f. A equao 4.28 indica, por sua vez, que na rbita circular o raio r constante e igual ao semi-eixo maior a em qualquer local dela.

A velocidade, calculada por meio da equao da vis-viva (4.23), resulta, na rbita

circular, um valor tambm constante que independe da posio:

va

= .

Decorre disto que a fora gravitacional tambm constante em toda a rbita e perpendicular velocidade. Investiga-se agora a relao entre o mdulo da velocidade em rbitas que se tocam no perigeu ou no apogeu, como mostrado na Figura 4.3. As rbitas H e L so circulares, enquanto que E uma rbita elptica cujo raio do perigeu coincide com o raio da rbita baixa L e cujo raio do apogeu igual ao raio da rbita alta H. Da equao da vis-viva tira-se que as velocidades no perigeu e apogeu da rbita elptica so dadas respectivamente por:

1

1p e

ev

a e

+=

e

1

1a e

ev

a e

=

+

Por outro lado, da imposio dos pontos de contacto na rbita, tira-se que ah = ra = ae (1 + e). Igualmente, al = rp = ae (1 e), de onde tem-se: al < ae < ah.

E

L

H

ah = ra al = rp

vl

vp

va

vh

Fig. 4.3 Geometria com trs rbitas co-planares.

Com base na expresso da velocidade para a rbita circular, as velocidades nas rbitas L e H em funo dos elementos da rbita elptica ficam, respectivamente:

1

1l ev

a e

=

e

1

1h ev

a e

=

+

Por meio destas expresses percebe-se que a velocidade no perigeu vp a maior delas. A velocidade na rbita L pode ser posta em funo da velocidade no perigeu, resultando:

1p

l p

vv v

e=