AFOGADOS ALUNO MATEMÁTICA final - RedeCompras · C A SADERNO DE TIVIDADES UPLEMENTARES 5 11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma formiguinha vai caminhar de A até C passando

WBA

9 35

Matemática

CADERNO DE ATIVIDADES SUPLEMENTARESPARA O ENSINO MÉDIO

CADERNO DE ATIVIDADES SUPLEMENTARESPARA O ENSINO MÉDIO

Afogados da Ingazeira – PE

Eduardo Henrique Accioly GOVERNADOR DO ESTADO DE PERNAMBUCO

Danilo Jorge de Barros CabralSECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO

Nilton da Mota Silveira FilhoCHEFE DE GABINETE

Margareth Costa ZaponiSECRETÁRIA EXECUTIVA DE GESTÃO DE REDE

Aída Maria Monteiro da SilvaSECRETÁRIA EXECUTIVA DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO

Cantaluce Mércia Ferreira Paiva de Barros LimaGerente de Políticas Educacionais do Ensino Médio

Campos

Idealização:

Cecília Maria Peçanha Esteves PatriotaGESTORA DA GERÊNCIA REGIONAL

Olegária Maria de OliveiraGERENTE DA UNIDADE DE DESENVOLVIMENTO DE ENSINO – UDE

Organização:

Eliana Nogueira Brito Saturnini

Nadja Patrícia da SilvaTÉCNICAS DE ENSINO

Apoio da Equipe:

José de Arimatheia de Santana

Elisângela BastosTÉCNICAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA DA GERÊNCIA

DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS DO ENSINO MÉDIO

Revisão:

Janaína Ângela da Silva - GPEM | SEDE

Elisângela Bastos - GPEM | SEDE

Caro (a) aluno (a),

Esta coletânea de atividades matemáticas é mais um suporte didático que tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem sobre os conteúdos expostos e propostos na Base Curricular Comum (BCC), Orientações Teórico-Metodológicas (OTM), Matriz de Referência do SAEPE e Matriz de Referência do ENEM. Ela apresenta sugestões de atividades que favorecem uma reflexão sobre problemas matemáticos, servindo também de ferramenta para resolução de problemas de natureza diversa.

Enfim, este é um material que se apresenta como um instrumento, um estímulo para a participação dos estudantes em práticas sociais de resolução de problemas como também para dar continuidade aos estudos posteriores e exercer plenamente a cidadania.

Bom trabalho!

Caro (a) aluno (a),

Esta coletânea de atividades matemáticas é mais um suporte didático que tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem sobre os conteúdos expostos e propostos na Base Curricular Comum (BCC), Orientações Teórico-Metodológicas (OTM), Matriz de Referência do SAEPE e Matriz de Referência do ENEM. Ela apresenta sugestões de atividades que favorecem uma reflexão sobre problemas matemáticos, servindo também de ferramenta para resolução de problemas de natureza diversa.

Enfim, este é um material que se apresenta como um instrumento, um estímulo para a participação dos estudantes em práticas sociais de resolução de problemas como também para dar continuidade aos estudos posteriores e exercer plenamente a cidadania.

Bom trabalho!

ADERNO DE TIVIDADES U PLEMENTARESC A S

3

01. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Se é a fração irredutível equivalente ao

valor de p + q é igual a:

A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42 02. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? A) 132 B) 144 C) 146 D) 148 E) 152 03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Em um hotel há 100 pessoas. Trinta comem porco, 60 comem galinha e 80 comem alface. Qual é o maior número possível de pessoas que não comem nenhum desses dois tipos de carne? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

04. (Olimpíada Brasileira de Matemática) A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação ( ) ( ) 021452 22 =−−− xx é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 05. (Olimpíada Brasileira de Matemática - 2002) Quantos são os possíveis valores inteiros

de x para que 1999

++

xx seja um número inteiro?

A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 40

06. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? A) R$ 220,00 B) R$ 204,00 C) R$ 196,00 D) R$ 188,00 E) R$ 180,00

EIXO: NÚMEROS E OPERAÇÕES

NSIN O ÉDIOE M

4

07. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Sejam x e y números racionais. Sabendo que 5 2006

4 2006x

y−−

também é um número racional, quanto vale o produto xy?

A) 20 B) Pode ser igual a 20, mas também pode assumir outros valores. C) 1 D) 6 E) Não se pode determinar. 08. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Iniciando com o par (2048, 1024), podemos aplicar quantas vezes quisermos a operação que transforma o par (a, b) no par

3 3,4 4

a b a b+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, então, dentre os seguintes pares:

1. (1664, 1408) 2. (1540, 1532) 3. (1792, 1282) 4. (1537, 1535) 5. (1546, 1526)

A) Todos podem ser obtidos. B) Apenas o par 4 não pode ser obtido. C) Apenas o par 3 não pode ser obtido. D) Existem exatamente dois pares que não podem ser obtidos. E) Existem mais de dois pares que não podem ser obtidos.

09. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres. Delas, 3% usam apenas um brinco; das restantes, metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual o número total de brincos usados por todas as mulheres? A) 776 B) 788 C) 800 D) 812 E) 824

10. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Qual é o menor número inteiro positivo N tal que

são números inteiros?

A) 420 B) 350 C) 210 D) 300 E) 280


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11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma formiguinha vai caminhar de A até C

passando por B, podendo passar apenas uma vez por esses pontos e

12. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Dados a e b números reais seja a �b = a2 − ab + b2 . Quanto vale 1� 0 ? A) 1 B) 0 C) 2 D) -2 E) -1 13. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite. Na casa de João, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente. Com os tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas? A) 43 B) 53 C) 56 D) 57 E) 60

14. (Olimpíada Brasileira de Matemática) O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32 sacos de areia, quantos tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar? A) 132 B) 144 C) 146 D) 148 E) 152

15. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Há 1002 balas de banana e 1002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Se q é a probabilidade das duas balas serem de sabores diferentes e p é a probabilidade das duas balas serem do mesmo sabor, qual o valor de q−p? A) 0 B) 1/2004 C) 1/2003 D) 2/2003 E) 1/1001

pelos caminhos indicados na figura. Qual o número de maneiras diferentes que ela

pode escolher para ir de A até C ? A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

NSIN O ÉDIOE M

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01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Sendo a ≠ b e b ≠ 0, sabe-se que as raízes da equação 02 =++ baxx são exatamente a e b. Então, a – b é igual a: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

02. O gráfico de 2 5 9y x x= − + é rodado 180o em torno da origem. Qual é a equação da nova curva obtida? A) 2 5 9y x x= + + B) 2 5 9y x x= − − C) 2 5 9y x x= − + − D) 2 5 9y x x= − − + E) 2 5 9y x x= − − −

03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto completa em 2006?

A) 55 B) 56 C) 60 D) 62 E) 108

04. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Os dois números reais a e b são não nulos e satisfazem ab = a – b. Assinale a alternativa que exibe um dos possíveis valores de a b abb a

+ − .

A) –2 B) 12

− C) 13

D) 12

E) 2

05. A soma dos valores reais de x tais que x2 + x + 1 = 156/(x2 + x) é:

A) 13 B) 6 C) –1 D) –2 E) –6

06. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Se x é real positivo e 1 + (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 1812, então o valor de x(x + 3) é:

A) 180 B) 150 C) 120 D) 182 E) 75

07. (Olimpíada Brasileira de Mat.) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, então 22

2

2

2

++xy

yx vale:

A) 25 B)

425 C)

45 D)

21 E) 1

EIXO: ÁLGEBRA E FUNÇÕES


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08. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Os valores de x, y e z que satisfazem às equações

51=+

yx , 11

=+z

y e 21=+

xz são tais que zyx 23 ++ é igual a:

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 09. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico. Há duas opções de transporte. A primeira opção é alugar "vans": cada van pode levar até 6 crianças e seu aluguel custa R$60,00. A segunda opção é contratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e cobra R$237,00 mais R$120,00 por ônibus utilizado. A escola deve preferir a empresa que utiliza ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças. O valor de N é: A) 28 B) 31 C) 32 D) 33 E) 36

10. Sabendo-se que 0,333... 1/3 , qual é a fração irredutível equivalente a 0,1333…? A) 1/13 B) 1/15 C) 1/30 D) 2/5 E) 1333/10000

11. No último campeonato de futebol do bairro em que moro participaram 6 equipes. Cada equipe disputou com cada uma das outras exatamente uma partida. Abaixo, a tabela de classificação do campeonato, onde • V é o número de vitórias de uma equipe. • E o número de empates. • D o número de derrotas. • GP é o número de gols feitos por um time. • GC é o número de gols sofridos. a) Quantas partidas foram disputadas? b) A tabela está incompleta. Determine a quantidade de vitórias da equipe F, a quantidade de derrotas da equipe D e a quantidade de gols feitos pela equipe F, representados por x , y e z na tabela. 12. Se 3 e 1/ 3 são as raízes da equação ax²-6x+c=0 , qual o valor de a + c ?

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A) 1 B) 0 C) – 9/5 D) 18/5 E)-5

13. A figura mostra a marca de uma empresa, formada por dois círculos concêntricos e outros quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois círculos concêntricos. O raio do círculo menor mede 1cm. Qual é, em centímetros, o raio do círculo maior?


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PRODUTOS NOTÁVEIS

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9

(a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8

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01. O retângulo ao lado está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1. Qual é o lado do quadrado I?

I

H

D

C

G

F

E B A

02. No quadrilátero convexo ABCD, ∠A + ∠B = 120°, AD = BC = 5 e AB = 8. Externamente ao lado CD, construímos o triângulo equilátero CDE. Calcule a área do triângulo ABE. A) 20√3 cm2. B) 14 √3 cm2. C) 16√3 cm2.

D) 13 √3 cm2. E) 12√3 cm2.

03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?

16

12 27

A

B C

D

04. No triângulo ABC, AB = 5 e BC = 6. Qual é a área do triângulo ABC, sabendo que o

ângulo C tem a maior medida possível?

A) 15 B) 75 C) 2/77 D) 113 E) 2/115

EIXO: GRANDEZAS E MEDIDAS

A) 28

B) 14

C) 16

D) 22

E) 18

A) 80

B) 84

C) 86

D) 88

E) 91


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05. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto?

A) B) C) D) E)

06. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu comprimento total é igual a:

A) 31 B) 88 C) 90 D) 97 E) 105

07. (Exame Nacional do Ensino Médio - 2005)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão e igual a: A) 1,8 m B) 1,9 m C) 2,0 m D) 2,1 m E) 2,2 m

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08. Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 1 m de lado para recortar quadrados de 30 cm de lado. Ao sair da máquina, da chapa original sobra uma parte que é reaproveitada posteriormente. Quantos cm2 de chapa são reaproveitados?

09. Dispondo de uma folha de cartolina medindo 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha (ver figura abaixo), Qual será o volume dessa caixa, em cm3? A) 4.300 m3 B) 3.800 m3 C) 3.808 m3 D) 3.288 m3 E) 2.994 m3

10. Determine quantos metros quadrados de papelão são necessários para se construírem 500 caixas de sapatos com as dimensões indicadas na figura.

A) 113,20 cm2 B) 111,20 cm2 C) 115,20 cm2

D) 114,20 cm2 E) 116,20 cm2

11. Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10 m de largura e 14 m de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e cimento de 3 cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizado nesse revestimento? A) 4,3 m3 B) 4,4 m3 C) 4,6 m3 D) 4,2 m3 E) 2,4 m3

A) 1 900cm2

B) 1 960cm2

C) 1 800cm2

D) 1 909cm2

E) 1 980cm2


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12. Uma laje é um bloco retangular de concreto de 6 m de comprimento por 4 m de largura. Sabendo que a espessura da laje é de 12 cm, calcule o volume de concreto usado nessa laje. A) 2,88 m3 B)2,8 m3 C) 2,80 m3 D) 2, 82 m3 E) 2, 86 m3 13. Quantos metros quadrados de azulejo serão necessários para revestir uma piscina retangular de 8 m de comprimento, 5 m de largura e 1,60 m de profundidade. A) 81,60m2 B) 81 m2 C) 80,60 m2 D) 80 m2 E)82 m2

14. A piscina de um clube tem 1,80 m de profundidade, 14 m de largura e 20 m de comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la. A) 500 000l B) 504 000l C) 540 000l D) 450 000l E) 454 000l 15. Um caleidoscópio de madeira tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Quantos cm2 de madeira foram usados para fazer o caleidoscópio? (Use .J3 = 1,7.) 12cm

6cm 12cm

A) 396 cm2 B) 246,6 cm2 C) 72 cm2 D) 240,6 cm2 E) 390 cm2 16. Deseja-se colar papel em toda a superfície de um objeto de madeira que tem a forma e as dimensões indicados na figura. Quantos cm2 de papel serão utilizados? 2cm

A) 259 cm2 B) 269,2 cm2 C) 259,2 cm2

D) 269 cm2 E) 279 cm2

2cm

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17. Considere os prismas retos e regulares indicados abaixo.

fig.1 fig.2 De cada um deles, a área lateral e a área total da fig.1e da fig.2, respectivamente: A) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e

fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 8 (9 +√3) cm2

B) fig. 1: a área lateral= 72cm2 e a área total= 768 cm2 e

fig. 2: a área lateral =640cm2 e a área total = 8 (9 +√3) cm2

C) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 8 (9 +√3) cm2 cm2 e fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 768 cm2

D) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = (9 +√3) cm2

E) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e

fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 8 (3 +√3) cm2

18. Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto com 6 cm de altura e cuja base é um hexágono regular com 2 cm de aresta.

a=2cm A) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12 (6 + √3) cm2

B) a área da base=√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12 (6 + √3) cm2

C) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total= (6 + √3) cm2

D) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=2 (6 + √3) cm2

E) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12√3) cm2

6cm

h=6cm


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19. O suporte de um abajur tem a forma de um prisma triangular regular. A aresta da base do prisma mede 20 cm e a altura, 50 cm. Sabendo que o suporte deve ser revestido de vidro, determine a área, em m2, da superfície desse material que será utilizado na construção de 30 abajures. (Faça√3 = 1.7.)

A) 10 m2 B) 11 m2 C) 10,02 m2 D) 11,2 m2 E) 10,2 m2 20. Um arquiteto fez o projeto para construir uma coluna de concreto que vai sustentar uma ponte. A coluna tem a forma de um prisma hexagonal regular de aresta da base 2 m e altura 8 m. Qual a área lateral que se deve utilizar em madeira para a construção da coluna e o volume de concreto necessário para encher a fôrma da coluna, respectivamente?

2m

A) 96m2 e 48√3m3 B) 96m2 e 48√3m3 C) 98m2 e 46√3m3

D) 86m2 e √3m3 E) 66m2 e 48√3m3

21. O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas na figura abaixo: A) 288 m3 B) 384 m3 C) 480 m3 D) 380 m3 E) 450 m3

20 cm

50 cm

8m

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22. O sólido da figura seguinte é composto de 2 cubos de arestas 2 cm e 1 cm. Nessas condições, o volume do sólido é:

A) 6 cm3 B) 9 cm3 C) 10 cm3 D) 12 cm3 E) 17 cm3

23. Qual é o volume de concreto que deverá ser utilizado para construir uma escada com 12 degraus, conforme o modelo indicado na figura?

A) 1,92 m3 B) 1,95 m3 C) 1.96 m3 D) 1,98 m3 E) 2,00 m3 24. Uma caixa-d'água cúbica tem 3 m de aresta interior. Sabendo que 1 dm3 = 1e, calcule a capacidade, em litros, dessa caixa.

A) 37 000l B) 17 000l C) 27 000 l D) 47 000l E) 21 000l

25. Determine quantos cm2 de madeira são necessários para fabricar uma caixa de forma cúbica com as dimensões indicadas na figura.

A) 2 904cm2 B) 2 900 cm2 C) 2 908 cm2 D) 2 902 cm2 E) 2 903 cm2

22cm

22cm 22cm


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26. As medidas internas de uma caixa-d'água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua capacidade é de: a) 8400 litros b) 84 litros c) 840 litros d) 8,4 litros e) n.d.a. 27. Qual é o volume de areia necessário para encher completamente um dos cones da ampulheta cujas dimensões estão indicados na figura?

28. Num recipiente aberto em forma de cubo cuja aresta mede 10 cm, existem 500 cm3 de água. No interior do recipiente é colocada uma esfera que se ajusta perfeitamente a ele. (Temos, então, a figura de uma esfera inscrita num cubo.) Pergunta-se se haverá derramamento da água.

A) não B) sim, 23 cm3 C) sim, 22 cm3 D) sim, 24 cm3 E) n.d.a

29. Um reservatório de forma esférica (figura abaixo) tem 9 m de raio. Para encher totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de quantos m3/h?

A) 1 522 m3 /h B) 1 626 m3 /h C) 152.6 m3 /h

D) 1 528 m3 /h E) 1 523 m3 /h

20 cm

10cm

A) 167,46 cm3 (aproximadamente)

B) 168,46 cm3 (aproximadamente)

C) 167,66 cm3 (aproximadamente)

D) 157,46 cm3 (aproximadamente)

E) 166,46 cm3 (aproximadamente)

NSIN O ÉDIOE M

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30. Calcule, aproximadamente, a capacidade em ml do recipiente indicado na figura. Adote

∏ = 3,14.

6cm

A) 3 333,52 ml B) 3 234,54 ml C) 3 335,60 ml

D) 3 334,68 ml E) 3 345,66 ml

31. Determine, aproximadamente, quantos cm² de alumínio são necessários para fabricar uma lata de cerveja de forma cilíndrica, com 6,5 cm de diâmetro nas bases e 11,5 cm de altura. Adote II = 3, 14, 32. Consideremos um tanque cilíndrico com 1,6 m de diâmetro e 5 m de altura feito para armazenar azeite. Se apenas 60% do seu volume está ocupado por azeite, qual a quantidade de litros de azeite que há no tanque?

33. Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8 cm de diâmetro e 15 cm de altura. Quantos ml de cerveja cabem nessa lata?

St = 2∏r (h + r)

V = Sb . h V = ∏r2h


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34. O reservatório, "tubinho de tinta", de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Se você gasta 5II mm³ de tinta por dia, determine quantos dias a tinta de sua esferográfica durará,

35. O tonel representado na figura está ocupado em 80% da sua capacidade. Determine a quantidade de água nele contida.

36. Um cano de drenagem é um tubo cilíndrico com 100 cm de comprimento. Os diâmetros interior e exterior são 26 cm e 32 cm, respectivamente, Calcule o volume de barro necessário para a fabricação desse cano,

37. Uma lata de leite em pó, em forma de um cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3 cm de raio na base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da primeira lata, possui um volume de: (A) duas vezes maior. (B) quatro vezes maior. (C) três vezes maior. (D) sete vezes maior. (E) oito vezes maior.

V = Sb . h V = ∏r2h

V = Sb . h V = ∏r2h

V = Sb . h V = ∏r2h

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20

38. De uma chapa de aço retangular foram recortadas figuras circulares, conforme nos mostra a figura abaixo. As medidas estão na figura. Calcule a área da parte que sobra da placa original. A) 11,32m2 B) 10,36m2 C) 12,32m2 D) 14,32m2 E) 10,32m2

39. Quantos cm2 de alumínio são utilizados para se fazer uma arruela cujas medidas estão colocadas na figura abaixo? A) 44,20 cm2 B) 48,10 cm2 C) 46,90 cm2 D) 47,10 cm2 E) 48,10 cm2 40. Determine a área da superfície total da figura. (Adote ∏ = 3,14.)

A) 99,16 cm2 B) 86,23 cm2 C) 89,13 cm2 D) 86,15 cm2 E) 99,13 cm2

12m

1 cm

4 cm


21

41. (FAAP-SP) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de centro O e a parte hachurada é limitada por quartos de circunferências centradas nos vértices e passando por O. Calcule a área da figura hachurada.

A) a/6(4- ) B) a2/4(4- ) C) a2/2(2- ) D) a/2(4- ) E) a2/2(3- )

42. Calcule a área da figura hachurada da figura. (Adote = 3,14.)

A) 20,3 B) 22,4 C) 24,5 D) 32,3 E) 26,2 43. (Cesgranrio) De um bloco cúbico de isopor, de aresta 3 m, recorta-se o sólido em de H mostrado na figura. Calcule o volume na figura desse sólido.

A) 21 m2 B)22 m3 C) 24 m3 D) 32 m3 E) 26 m3

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22

44. A área total do sólido figura abaixo, é:

A) 240 B) 242 C) 244 D) 246 E) 248

45. Um cubo de madeira de aresta 20cm possui uma cavidade em forma de bloco retangular de base quadrada de lado 8cm e profundidade 12cm. O volume deste sólido é:

46. (PUC-SP) Quantos litros comporta, aproximadamente, uma caixa-d'água cilíndrica com 2 metros de diâmetro e 70 cm de altura? A) 1 250 B) 2 200 C) 2450 D) 3 140 E) 3 700 47. (UFU-MG) Um tanque de gasolina tem forma cilíndrica. O raio da circunferência da base é 3,0 m e o comprimento do tanque é 6,0 m. Colocando-se líquido até os 8/9 de sua capacidade, pode-se afirmar que nesse tanque há: (Use = 3,14.) A) 150 720l B) 50 240l C) 15 072l D) 15 024l E) 1 507,2l 48. (Osec-SP) Se a altura de um cilindro circular reto é igual ao diâmetro da base, então a razão entre a área total e a área lateral do cilindro é: A) 3 B) 3/2 C) 2∏ D) 2 E) 1

A) 8 000cm3

B) 8 768cm3

C) 7 200cm3

D) 7 232cm3

E) 8 232cm3


23

49. (Mack-SP) Um cilindro tem área total de 16 m2. Se o raio mede um terço da altura, a área lateral do cilindro é: A) 6 m2 B) 12 m2. C) 16 m2. D) 20 m2. E) 24 m2.

50. O volume do sólido representado pela figura é:

51. (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a forma de um cilindro circular reto, são necessárias cinco horas. Se o raio da base é 3 m e a altura, 10m, o reservatório recebe água à razão de: A) 18 m3 por hora. B) 30 m3 por hora. C) 6 m3 por hora.

D) 20 m3 por hora. E) n.d.a.

52. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por: A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

53. (PUC-SP) Uma pipa de vinho, cuja forma é de um cilindro circular reto, tem o raio da base igual a 4/ √ m e a altura 3 m. Se apenas 30% do seu volume está ocupado por vinho, então a quantidade de vinho existente na pipa, em litros, é: A) 1 440 B) 4 800 C) 16 000 D) 14 400 E) 15 000 54. Um lápis tem 8 mm de diâmetro e 8 cm de comprimento. O volume de uma caixa onde cabem 20 lápis iguais a esse é, aproximadamente: A) 80 cm3 B) 90 cm3 C) 100 cm3 D) 50 cm3 E) n.d.a.

A) 8 B) 4 C) 5 D) 3 E) n. d. a.

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24

55. Uma seringa cilíndrica tem 2 cm de diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o êmbolo se afasta 3 cm da extremidade da seringa próxima à agulha, qual o volume, em ml, de remédio líquido que a seringa pode conter? A) 10 B) 9,42 C) 8,42 D) 8 E) n.d.a 56. O volume de sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica (casquinha), sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura é 10 cm? A) 30 cm3 ou 94,20 cm3 B) 33 cm3 ou 94,20 cm3 C) 30 cm3 ou 90,20 cm3

D) 30 cm3 ou 98,20 cm3 E) 34 cm3 ou 94,20 cm3

57. O volume de um cone circular reto é 18 cm3. A altura do cone é igual ao diâmetro da base, Quanto mede a altura desse cone? A) 3cm B) 6cm C) 2cm D) 5cm E) 1cm 58. Um copo tem a forma de um tronco de cone. Suas bases têm diâmetros de 8 cm e 6 cm, enquanto sua altura é de 10 cm. Qual é o volume máximo de água, em ml, que esse copo pode conter? (Note que as medidas dadas são internas.)

A) v = 390 /3ml ou 407,26 ml (aproximadamente)

B) v = 360 /3ml ou 397,26 ml (aproximadamente)

C) v = 350 /3ml ou 367,26 ml (aproximadamente)

D) v = 380 /3ml ou 397,26 ml (aproximadamente)

E) v = 370 /3ml ou 387,26 ml (aproximadamente) 59. (UFPE) Considere um triângulo equilátero de lado l como na figura. Unindo-se os pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um desses quatro triângulos é igual a:

A) 5l/2

B) l

C) 3l

D) l/2

E) 3l/2


25

60. (Unesp) Considere um quadrado ABCD, cuja medida dos lados é 1 dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e equidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA. Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é:

A) 2/3 dm

B) 2/5dm

C) 3/5 dm

D) 1/2 dm

E) 4/7 dm

61. (ITA-SP) Por um ponto A de uma circunferência traça-se o segmento AA” perpendicular a um diâmetro desta circunferência. Sabendo-se que o ponto A” determina no diâmetro segmentos de 4 cm e 9 cm, podemos afirmar que a medida do segmento AA” é: A) 4 cm B) 6 cm C) 12 cm D) √13 cm E) 13 cm

62. Calcule a medida dos segmentos a e b na figura.

1 1

63. (Fuvest-SP) Considere o triângulo representado na malha quadriculada. A área do triângulo, em cm2, é:

A) 4

B) √6

C) 12

D) √13

E) 13

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

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26

64. (Unicamp-SP) O retângulo de uma bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é pintada de verde, mede 2 m de comprimento por 1,40 m de largura. Os vértices do losango, cuja parte externa ao círculo é pintada de amarelo, distam 17 cm dos lados do retângulo e o raio do círculo mede 35 cm. Para calcular a área do círculo use a fórmula A = ∏r2 e, para facilitar os cálculos, tome como 22/7.

• Qual é a área da região pintada de verde? • Qual é a porcentagem da área da região pintada de amarelo, em 'relação à área total

da bandeira? Dê sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula. A) Área verde= 19 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=17%

B) Área verde= 18 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=16%

C) Área verde= 19 209, Área amarela=6 948 e porcentagem=15%

D) Área verde= 17 203, Área amarela=4 948 e porcentagem=13%

E) Área verde= 19 202, Área amarela=5 948 e porcentagem=19%

65. (Mack-SP) Na figura, a área do quadrado de centro O é: A) 10 B) 16 C) 25 D) 100 E) 2500 66. (Mack-SP) A diagonal AD do quadrado ABCD mede √2cm. Se o diâmetro de cada uma das semicircunferências na figura abaixo é igual à metade do lado do quadrado, a área da região assinalada é:

X X }3

0

X2

A) 1

B) 1/

C) ∏/8

D) 2

E)


27

67. (UFJF-MG) Na figura abaixo, o apótema do hexágono regular inscrito no circulo mede √3 cm. A área da região sombreada na figura é, em cm2:

68. (CES-MS) Na figura abaixo, os segmentos AS, SC, CD, DE e AF têm as medidas indicadas em centímetros. O arco ÉF é uma semicircunferência.

A área da figura é, em centímetros quadrados, igual a A) 9 B) 9 + /2 C) 9 + D) 9 + 4 E) 4 + 2 69. (Unicamp-SP) Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada um desses quadrados mede x cm de comprimento. Calcule a área do retângulo inicial e Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1 725 cm2, respectivamente. A) área do retângulo inicial= 2 625 cm2 e x=15

B) área do retângulo inicial= 2 425 cm2 e x=12

C) área do retângulo inicial= 2 525 cm2 e x=15

D) área do retângulo inicial= 2 325 cm2 e x=13

E) área do retângulo inicial= 2 605 cm2 e x=14

A) 2 (2 - 3√3)

B) 6√3

C) - 3√3

D) 3(2 - 3./3)

E) 4 - √3

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28

70. (Cesgranrio-RJ) Os triângulos 1 e 2 da figura são retângulos isósceles. Então, a razão da área de 1 para a de 2 é:

a) √3 b) √2 c) 2 d) √5/2 e) 3/2 71. André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular de raio 100m. Para percorrer aproximadamente 42km , o número de voltas que André precisa dar está entre: A) 1 e 10 B) 10 e 50 C) 50 e 100 D) 100 e 500 E) 500 e 1000 72. Entre 1986 e 1989, a moeda do nosso país era o cruzado (Cz$). De lá para cá, tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro novo e, hoje, temos o real. Para comparar valores do tempo do cruzado e de hoje, os economistas calcularam que 1 real equivale a 2.750.000.000 cruzados. Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas de 1cruzado cada uma. Se uma pilha de 100 notas de 1cruzado tem 1,5cm de altura, qual seria a altura do salário do João? A) 26,4km B) 264km C) 26 400km D) 264000km E) 2640000km


29

01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um quadrado ABCD possui lado 40 cm. Uma circunferência contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD. O raio desta circunferência é: A) 20cm B) 22cm C) 24cm D) 25cm E) 28cm

02. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dos pentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser costurados. Cada costura une dois lados de duas dessas peças. Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma bola de futebol? A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180

03. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do lado AC. Se ∠AOI = 45°, quanto mede, em graus, o ângulo ∠ACB? 04. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) No triângulo ABC, AB = 20, AC = 21 e BC = 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD = 8 e EC = 9. A medida do ângulo

ˆDAE , em graus, é igual a:

A) 30 B) 40 C) 45 D) 60 E) 75 05. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática-2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD.

Além disso, α e β são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão αβ

?

A) 53

B) 54

C) 1 D) 45

E) 35

EIXO: GEOMETRIA

NSIN O ÉDIOE M

30

06. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática - 2008) Na figura a seguir, o pentágono regular ABCDE e o triângulo EFG estão inscritos na circunferência Co, e M é ponto médio de BC. Para qual valor de α , em graus, os triângulos EFG e HIG são semelhantes?

A

B

C

E

D

G

F

HI

MCo

α

A) B) C) D) E)

07. ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:

A) 38° B) 40° C) 42° D) 44° E) 46°

08. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) Esmeralda e Jade correm em sentidos opostos em uma pista circular, começando em pontos diametralmente opostos. O primeiro cruzamento entre elas ocorre depois de Esmeralda ter percorrido 200 metros. O segundo cruzamento ocorre após Jade ter percorrido 350 metros entre o primeiro e o segundo ponto de encontro. As velocidades das moças são constantes. Qual é o tamanho da pista, em metros? A) 750 m B) 550m C) 350m D) 200 m E) 1500 m 09. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos equiláteros. Se F e G são os pontos médios de EA e AC,

respectivamente, a razão BDFG

é:

C

A

B

D

E

G

F

°= 36α °= 38α °= 40α °= 42α°= 36α

A) 12

B) 1

C) 32

D) 2

E) Depende das medidas dos lados de ABC.


31

10. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) No triângulo ABC tem-se AB = 4, AC = 3 e o ângulo BÂC mede 60o. Seja D o ponto de intersecção entre a reta perpendicular a AB passando por B e a reta perpendicular a AC passando por C. Determine a distância entre os ortocentros dos triângulos ABC e BCD.

A) 3392 B) 3/4 C)5/6 D) 6/8 E) 9/7

11. Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está destacada a sua interseção com um plano. Qual?

A) B) C) D) E)

12. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática - 2008) O número inteiro positivo a e o número

a1

localizam-se na reta da seguinte maneira:

Qual é a soma desses dois números?

A) 819

B) 809

C) 981

D) 9

82 E) 9

13. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) Considere o conjunto A dos pares ordenados (x;y) de reais não negativos tais que x + y = 2. Se a probabilidade de um elemento de A escolhido aleatoriamente está a uma distância da origem menor ou igual a 5

3 é p, quanto

vale 2535p2?

A) 3024 B) 3020 C) 3026 D) 4024 E) 4026

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32

14. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Se 00 < x < 900 e 41cos =x então x está entre:

A) 00 e 300 B) 300 e 450 C) 450 e 600

D) 600 e 750 E) 750 e 900

15. (Olimpíada Brasileira de Matemática) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus?

16. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Determine em qual dos horários abaixo o ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio é o menor.

A) 02h30 B) 06h20 C) 05h40 D) 08h50 E) 09h55

17. (Exame Nacional do Ensino Médio - 2005) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será A) o triplo.

B) o dobro.

C) igual.

D) a metade.

E) a terça parte.

x

y

A) 270 B) 300 C) 330 D) 360 E) 390


33

18. Juliano encaixou duas rodas dentadas iguais, cada uma com uma bandeirinha igual desenhada, como mostra a figura ao lado.

Então ele girou a roda da esquerda um pouco. Qual das alternativas abaixo pode representar a posição final das rodas?

A) B)

C) D)

E) 19. Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância entre o terceiro e o sexto poste é de 3,3 m. Qual é a distância entre o primeiro e o último poste? A) 8,4m B) 12,1m C) 9,9m D) 13,2m E) 9,075m

20. Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20cm de lado. Estas caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em caixotes de madeira de 80cm de largura por 120cm de comprimento por 60cm de altura. Qual o número máximo de latas de palmito em cada caixote? A) 576 B) 4608 C) 2304 D) 720 E) 144

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34

21. Um atleta corre 5000m por semana em uma quadra de esportes, que tem uma pista curta e outra longa. Em uma semana ele treinou seis dias, sendo que a cada dia correu uma vez na pista longa e duas na pista curta. Na semana seguinte ele treinou sete dias, sendo que a cada dia correu uma vez em cada pista. Podemos, então, afirmar que: A) a pista longa é três vezes maior que a curta.

B) a pista longa é quatro vezes maior que a curta.

C) a pista longa é cinco vezes maior que a curta.

D) a pista longa é 600m mais longa que a curta.

E) a pista longa é 500m mais longa que a curta.

22. Os vértices de um cubo são numerados com os números de 1 a 8 , de tal modo que uma das faces tem os vértices {1, 2, 6, 7} e as outras cinco têm vértices {1, 4, 6, 8}, {1, 2, 5, 8}, {2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} e {3, 4, 5, 8}. Qual o número do vértice que está mais distante daquele de número 6? A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

23. Na figura ao lado ABCD é um retângulo e ABE e CDF são triângulos retângulos. A área do triângulo ABE é 150cm2 e os segmentos AE e DF medem, respectivamente, 15 cm e 24cm . Qual o comprimento do segmento CF? A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

24. A figura ao lado foi montada com 12 azulejos quadrados de lados iguais a 10cm . Qual é a área da região hachurada?

A) 200 cm2

B) 260 cm2

C) 255 cm2

D) 240 cm2

E) 265 cm2


35

25. Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a altura de 8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de gude e o nível da água atingiu a boca do copo, sem derramamento. Qual é o volume, em cm3, de todas as n bolas de gude juntas? A) 32 B) 48 C) 64 D) 80 E) 96 26. (SAEB/ 2009) Duas pessoas, partindo de um mesmo local, caminham em direções ortogonais. Uma pessoa caminhou 12 metros para o sul, a outra, 5 metros para o leste. Qual a distância que separa essas duas pessoas? (A) 7m (B) 13m (C) 17m (D) 60m (E) 119m

27. (SAEB/2009) Ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro de base circular, qual é a planificação do molde desse copo?

28. (SAEB/2009) Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um poliedro, somente uma vez, um deficiente visual percebe que passou por 8 vértices e 12 arestas. O número de faces desse poliedro é, então, igual a: (A) 20 (B) 12 (C) 8 (D) 6 (E) 4 29. (SAEB) Para se deslocar de sua casa até a sua escola, Pedro percorre o trajeto representado na figura abaixo. Sabendo que tg (60°) = 3 , a distância total, em km, que Pedro percorre no seu trajeto de casa para a escola é de

(A) 4 + √

(B) 4 + √3

(C) 4 + √

(D) 4√3

(E) 4 + 4√3

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36

FÓRMULAS DE GEOMETRIA ESPACIAL

PRISMAS

A A h

A A h

A A h

A A A V A h

B L

B L

B L

T L B B

Q Q

H H

Δ Δ= =

=

= + =

ll

l l

ll

2

2

2

34

3

4

6 34

6

2

=

= =

.

.

. .

. .

PARALELEPÍPEDO CUBO

A a b AA ab bc ac AV a b c A

D a b c V

d D

B F

T L

T

face cubo

= =

= + + =

= =

= + + =

= =

.

. .

l

l

l

l

l l

2

2

2

2 2 2 3

2 2 2 46

2 3

PIRÂMIDES

AL = p.ap ap2 = h 2 + K2

AT = AL + AB a2 = ap2 +

V = . a2 = h 2 + R2


37

TETRAEDRO

A a V a

A a A a

h a O b s K h d o

triâ n g u lo eq u ilá tero

F

T L

= =

= =

=

2 3

22

34

21 2

3 3 34

63

: =

.

CILINDRO

V A h r h A rA rhA r rhA rhEquilátero h r

B B

L

T

S

= = ==

= +=

→ =

. π ππ

π π

2 2

2

22 22

2

CONE

V A h r h A r

A rg A rhA r rg g r hEquilátero g r

BB

L S

T

= = =

= =

= + = +→ =

.3 3

2

22

2 2 2 2

π π

π

π π

NSIN O ÉDIOE M

38

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

FÓRMULAS DA ADIÇÃO

FÓRMULAS DA MULTIPLICAÇÃO

1)(cos)( 5)

todopara válidaRelação )(

1)(cos 4)

2 todopara válidaRelação

)cos(1)sec( 3)

todopara válidaRelação )()cos()(cot 2)

2 todopara válidaRelação

)cos()()( 1)

22 =+

≠=

+≠=

≠=

+≠=

xxsen

kxxsen

xec

kxx

x

kxxsenxxg

kxxxsenxtg

π

ππ

π

ππ

)(1)(.2)2( 14)

)(sen)(cos)2cos( 13))cos().sen(.2)2sen( 12)

2

22

xtgxtgxtg

xxxxxx

−=

−=

=

quadrante. primeiro ao pertencesoma cuja positivos, arcos para as verdadeirsão acima fórmulas As

2)(p/

2bp/

2p/

)().(1

)()()( 11)

2)(p/

2bp/

2p/

)().(1

)()()( 10)

)sen().sen()cos().cos()cos( 9))sen().sen()cos().cos()cos( 8))cos().sen()cos().sen()sen( 7))cos().sen()cos().sen()sen( 6)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+≠−

+≠

+≠

+−

=−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+≠+

+≠

+≠

−+

=+

+=−−=+−=−+=+

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

kba

k

ka

btgatgbtgatgbatg

kba

k

ka

btgatgbtgatgbatg

babababababaabbabaabbaba


39

FÓRMULAS DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

2sen.

2sen.2)cos()cos( 18)

2cos.

2cos.2)cos()cos( 17)

2cos.

2sen.2sen(y)-sen(x) 16)

2cos.

2sen.2)sen()sen( 15)

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

yxyxyx

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01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está em um ponto A de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atingir um ponto B dessa mesma reta que está a 5 metros de distância de A, com exatamente 9 pulos. De quantas maneiras ele pode fazer isso? A) 16 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48

02. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 03. Uma pêra tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pêra para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).

A) 15 litros B) 45 litros C) 75 litros D) 80 litros E) 30 litros

04. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Rafael tem 10 cartões. Cada um tem escrito um dos números 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 48, 53, 68, e todos os dez números aparecem. Qual o menor número de cartões que Rafael pode escolher de modo que a soma dos números nos cartões escolhidos seja exatamente 100?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) não é possível obter soma 100 com esses cartões.

05. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo baralharam as 52 cartas de um baralho e distribuíram 13 cartas para cada um. Arnaldo ficou surpreso: “Que estranho, não tenho nenhuma carta de espadas.” Qual a probabilidade de Bernardo também não ter cartas de espadas?

A) !52!26

!39

B) !39!13

!26

C) !52!26!39!39

D) !39!13!26!26

E) !52

!13!39

EIXO: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO


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06. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120 07. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Um número de quatro dígitos é dito paladino se é múltiplo de 9 e nenhum de seus dígitos é nulo. Quantos números paladinos existem?

A) 1284 B) 1024 C) 849 D) 1109 E) 729

08. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Considere 10 pessoas, todas de alturas diferentes, as quais devem ficar em fila de tal modo que, a partir da pessoa mais alta, as alturas devem decrescer para ambos os lados da fila (se a pessoa mais alta for a primeira ou a última da fila, todas as pessoas a partir dela devem estar em ordem decrescente de altura). Obedecendo essas condições, de quantos modos essas pessoas podem ficar em fila?

A) 256 B) 768 C) 1260 D) 512 E) 2560

09. Em um certo país há 21 cidades e o governo pretende construir n estradas (todas de mão dupla), sendo que cada estrada liga exatamente duas das cidades do país. Qual o menor valor de n para que, independente de como as estradas sejam construídas, seja possível viajar entre quaisquer duas cidades (passando, possivelmente, por cidades intermediárias)? A) 191 B) 168 C) 160 D) 112 E) 166

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10. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática-2008) Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. A média aritmética dos 5 maiores é 68 e a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de todos os números é:

A) 500 B) 504 C) 112 D) 56 E) 70 11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) De quantas maneiras podemos colocar em cada espaço abaixo, um entre os algarismos 4, 5, 6, 7, 8, 9, de modo que todos os seis algarismos apareçam e formem, em cada membro, números de dois algarismos que satisfazem a dupla desigualdade?

_ _ > _ _ > _ _ A) 100 B) 120 C) 240 D) 480 E) 720

12. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma colônia de amebas tem inicialmente uma ameba amarela e uma ameba vermelha. Todo dia, uma única ameba se divide em duas amebas idênticas. Cada ameba na colônia tem a mesma probabilidade de se dividir, não importando sua idade ou cor. Qual é a probabilidade de que, após 2006 dias, a colônia tenha exatamente uma ameba amarela?

A) 2006

12

B) 1

2006

C) 1

2007

D) 1

2006 2007⋅

E) 20062007


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13. O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2001.

A

B

jul

a go

s et

out

nov

d ez

100120140160180200

Com base nesse gráfico, podemos afirmar que:

A) houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da

empresa B.

B) no mês de julho, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses.

C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses

consecutivos.

D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.

E) a diferença entre os faturamentos totais do semestre excedeu os 20 milhões de

reais.

14. (Exame Nacional do Ensino Médio 2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos de poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representadas as porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental.

X Y Z

MIL

HÔ

ES

DE R

EA

IS

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Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de combate à poluição em cada uma delas seria, respectivamente:

(A) manejamento de lixo, esgotamento sanitário, controle emissão de gases

(B) controle de despejo industrial, manejamento de lixo, controle emissão de gases

(C) manejamento de lixo, esgotamento sanitário, controle de despejo industrial

(D) controle emissão de gases, controle de despejo industrial, esgotamento sanitário

(E) controle de despejo industrial, manejamento de lixo, esgotamento sanitário

15. (ENEM 2005) Foram publicados recentemente trabalhos relatando o uso de fungos como controle biológico de mosquitos transmissores da malária. Observou-se o percentual de sobrevivência dos mosquitos Anopheles SP. Após exposição ou não a superfícies cobertas com fungos sabidamente pesticidas, ao longo de duas semanas. Os dados obtidos estão presentes no gráfico abaixo. No grupo exposto aos fungos, o período em que houve 50% de sobrevivência ocorreu entre os dias:

(A) 2 e 4

(B) 4 e 6

(C) 6 e 8

(D) 8 e 10

(E) 10 e 12


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16. (ENEM 2005) Em um estudo feito pelo Instituto Florestal, foi possível acompanhar a evolução de ecossistemas paulistas desde 1962. Desse estudo publicou-se o Inventário Florestal de São Paulo, que mostrou resultados de décadas de transformações da Mata Atlântica. Examinando o gráfico da área de vegetação natural remanescente (em mil km2) pode-se inferir que: (A) a Mata Atlântica teve sua área devastada em 50% entre 1963 e 1973.

(B) a vegetação natural da Mata Atlântica aumentou antes da década de 60, mas reduziu

nas décadas posteriores.

(C) a devastação da Mata Atlântica remanescente vem sendo contida desde a década de

60.

(D) em 2000-2001, a área de Mata Atlântica preservada em relação ao período de 1990-

1992 foi de 34,6%.

(E) a área preservada da Mata Atlântica nos anos 2000 e 2001 é maior do que a registrada

no período de 1990-1992.

(Fonte: Pesquisa. 91, São Paulo:FAPESP, set/2003, p. 48.)

Área de vegetação natural

(em mil km2)

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17. (ENEM 2008) A passagem de uma quantidade adequada de corrente elétrica pelo filamento de uma lâmpada deixa-o incandescente, produzindo luz. O gráfico abaixo mostra como a intensidade da luz emitida pela lâmpada está distribuída no espectro eletromagnético, estendendo-se desde a região do ultravioleta (UV) até a região do infravermelho.

A eficiência luminosa de uma lâmpada pode ser definida como a razão entre a quantidade de energia emitida na forma de luz visível e a quantidade total de energia gasta para o seu funcionamento. Admitindo-se que essas duas quantidades possam ser estimadas, respectivamente, pela área abaixo da parte da curva correspondente à faixa de luz visível e pela área abaixo de toda a curva, a eficiência luminosa dessa lâmpada seria de aproximadamente:

A) 10% B) 15% C) 25% D) 50% E) 75% 18. Você conhece software Google Earth? Este software combina os sofisticados recursos de pesquisa do Google com imagens de satélite, mapas, terrenos e edificações em 3D para colocar informações geográficas do mundo todo à sua disposição. Comente sobre a relação que existe da localização de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas com a localização geográfica das cidades, ou seja, latitude e longitude. Faça também um comentário sobre o que é o GPS, Sistema de Posicionamento Global, que é muito utilizado na aviação, viagens marítimas e que hoje em dia começa a ser utilizado também em automóveis de passeio para fornecer, através de mapas, a melhor rota para que um motorista possa se deslocar de um lugar a seu destino.

Sobre as coordenadas geográficas, mostre que elas sempre são mostradas à esquerda e na parte inferior da imagem do local, como na figura abaixo. Explique o que é latitude e longitude.


47

Localize a sua escola, copie a imagem e cole em um software gráfico e em seguida monte duas linhas perpendiculares e imprima a imagem com o sistema de eixos conforme a figura abaixo.

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Construa uma tabela com as coordenadas das bases móveis que vocês podem definir em conjunto.

Coordenadas no sistema de cartesiano

Sua escola

Primeira base móvel

Segunda base móvel

Terceira base móvel

Como calcular a distância entre as bases móveis e a base fixa? Acessem o sítio http://www.ucs.br/ccet/deme/naem/seminarioiii/Geom/topicos_em_geometria.html e leiam os itens Sistema Cartesiano Ortogonal, Eixos Coordenados, Plano Cartesiano e Distância entre dois Pontos. Acessem o sítio: http://rived.proinfo.mec.gov.br/atividades/matematica/-batalha/barcos3.html para que possam exercitar mais um pouco sobre distância entre dois pontos. Esta animação simula um jogo bem divertido. A animação trata de uma perseguição de um navio pirata a navios comerciais. A animação ocorre em um sistema de coordenadas cartesianas e para proteger o barco comercial, o aluno deverá calcular a distância entre os dois barcos para poder dar um tiro de canhão. A animação tem diversos níveis:

Nível 1 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.

Nível 2 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.

Nível 3 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.

Nível 4 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.

Níveis 5 a 7 – Aparecerão três barcos, um pirata e dois “comerciais”. O barco pirata está perseguindo um barco comercial e o outro barco comercial virá proteger o outro comercial. Você deverá calcular a distância do barco que está protegendo o barco comercial do barco pirata, utilizando o Teorema de Pitágoras.


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O método para calcular a distância entre os barcos, das figuras abaixo, é o mesmo para cada uma delas?

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19. Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro entre os pontos de coordenadas (2,3) e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser retilínea. Qual é a equação da reta que representa essa estrada de ferro? (A) y = 2x + 3

(B) 4x = 7 y

(C) y = 2x -1

(D) y = + 2

(E) y = + 5

20. Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo.

980, onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de r1 e r2 é o par ordenado (A) (8,17).

(B) (9,16).

(C) (7,18).

(D) (11,14).

(E) (12,13).


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21. Um cientista verifica que quando a pressão de um gás é de 1 atm, o volume é de 20 cm3 e, quando a pressão é de 7 atm, o volume é de 8 cm3, Calcule a taxa média de volume representada pela declividade entre P1 (1. 20) e P2 (7, 8). A) m = -2

B) m = -3

C) m = -1

D) m = 2

E) m = 1

22. Quando a quantidade x de artigos que uma companhia vende aumenta de 200 para 300, o custo de produção y diminui de R$ 100,00 para R$ 80,00, Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos: A) m = -1/2

B) m = -1/3

C) m=-1/5

D) m =1/ 2

E) m = 1

23. O crescimento y de uma cultura biológica passa de 8 cm2 para 10 cm2, enquanto o tempo x aumenta de 1 para 2 horas. Se a taxa média de crescimento é representada pelo coeficiente angular da reta que passa por esses dois pontos, determine essa taxa média de crescimento. A) 2cm2/h B) 3cm2/h C) 4cm2/h D) 6cm2/h E) 1cm2/h 24. Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada, usando-se apenas as 6 cores de tinta que ele possui? (A) 6

(B) 15

(C) 20

(D) 30

(E) 60


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BIBLIOGRAFIA

BCHX, de POPPE, L. M. B. e TAVARES, R. N. O. – Prelúdio à análise combinatória. São Paulo: Nacional, 1975.

Brasil, MEC, SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática 3º e 4º ciclos, 1998.

Brasil, MEC, PREMEN – Universidade Federal do Ceará, 1975

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros

Curriculares Nacionais do Ensino Médio + (PCNEM+) – Ciências da Natureza ,Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC- SEMTEC, 2002.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares

para o Ensino Médio- Ciências da Natureza ,Matemática e suas tecnologias.Brasília: MEC-SEB,2006.

PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Base Curricular Comum para as Redes Públicas

de Ensino de Pernambuco - Matemática. Recife: SE, 2008.

PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Orientações Teórico Metodológicas do Ensino

Médio - Matemática. Recife: SE, 2008.

Imenes, Luiz Márcio & Lellis, Marcelo – Matemática Para Todos - Editora Scipione, 2002.

Smole, Kátia Cristina Stocco. Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. Matemática – volumes 1,2 e3 –Ensino Médio- 3ª edição reformulada-São Paulo: Saraiva, 2003.

Vasconcellos, M. J. C. e Escordamaglio, M. T. – PROJETO ESCOLA E CIDADANIA PARA

TODOS. São Paulo – Editora do Brasil, 2004.

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25. A tabela abaixo mostra a distribuição dos gastos médios, per capita, com saúde, segundo os grupos de idade.

Qual dos gráficos representa a distribuição dada pela tabela acima?

WBA

9 35

WBA

9 35

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AFOGADOS ALUNO MATEMÁTICA final - RedeCompras · C A SADERNO DE TIVIDADES UPLEMENTARES 5 11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma formiguinha vai caminhar de A até C passando