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CÔNICAS

MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq

2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq2

ROTEIRO

Módulo 2 – CÔNICAS

• Conceito

• Parábola

• Lugar Geométrico

• Elementos

• Translação

• Rotação

• Elipse

• Hipérbole

• Aplicações

• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill


ROTEIRO


• Conceito

• Parábola


• Elementos

• Translação

• Rotação

• Elipse

• Hipérbole

• Aplicações



CONCEITO

Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte).

Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas.


ROTEIRO


• Conceito

• Parábola


• Elementos

• Rotação

• Translação

• Elipse

• Hipérbole

• Aplicações



PARÁBOLA - ELEMENTOS

Parábola:• Lugar geométrico dos pontos do plano que são

equidistantes de F e d


PARÁBOLA - EQUAÇÃO

• Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;

• De acordo com a figura: F(0,p/2), P(x’,y’) e P’(x’, - p/2) ;

• Da definição de parábola:

• Logo:

'2'2 pyx

'PPFP


EQUAÇÃO GERAL – 1

PROBLEMA:

Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano.

Determine: a equação representativa.

SOLUÇÃO: “Idéia”:

i.Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii.Rotacionar eixos;

iii.Transladar origem.

Estas operações colocarão a parábola na forma canônica!



i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;

ii. Rotacionar eixos;

iii. Transladar origem.

i.y'

x'

'2'2 pyx






ii. Substituindo

em'''

'''

yx

xy

''2'' 2 pxy

'2'2 pyx

x'

y'

x''

y''






iii. Substituindo

em 0

0

''

''

yyy

xxx

020 2 xxpyy

''2'' 2 pxy

x'

y'

x''

y''


APLICAÇÕES – 1.1

PROBLEMA:





SOLUÇÃO:


ii.Rotacionar eixos == Não necessário! Ok!!!


Observe que o problema poderia ser colocado de outra maneira:




ii. Transladar origem.

A partir da figura: p = 12

Logo, sendo '2'2 pyx

'24'2 yx




ii. Transladar origem.

A partir da figura:

Logo, sendo

2

2

0

0

y

x

2242 2 yx

0

0

'

'

yyy

xxx



PROBLEMA:





SOLUÇÃO:



iii.Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!




ii. Rotacionar eixos.


Logo, sendo '2'2 pyx

'16'2 yx





A partir da figura:

Logo, sendo: '16'2 yx

yy

xx

'

'

yx 162



PROBLEMA:





SOLUÇÃO:








iii. Transladar origem


Logo, sendo y'

x'

'2'2 pyx

'4'2 yx






A partir da figura:

Logo, sendo y'

x'

'''

'''

xy

yx

'4'2 yx

''4'' 2 xy






A partir da figura:

Logo, sendo y'

x'

''4'' 2 xy

1

1

0

0

y

x

141 2 xy


ROTEIRO


• Conceito

• Parábola

• Elipse


• Elementos

• Rotação

• Translação

• Hipérbole

• Aplicações



ELIPSE - ELEMENTOS

Elipse:• Lugar geométrico cuja soma das distâncias a F1 e F2 é

CONSTANTE e vale 2a (sendo 2a>2c)


ELIPSE - ELEMENTOS

EXCENTRICIDADE:

• Quanto maior a excentricidade, mais achatada é a elipse, ou seja, maior a distância focal;

a

c 10


ELIPSE - EQUAÇÃO


• De acordo com a figura:

• Da definição de ELIPSE:

• Logo:

1''2

2

2

2

b

y

a

x

aPFPF 221

0,,0,,',' 21 cFcFyxP

y'

x'



PROBLEMA:

Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano.




SOLUÇÃO:

i.Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;


iii.Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!





A partir da figura: a=4 e b=2

Logo, sendo 1''2

2

2

2

b

y

a

x

14

'

16

' 22

yx

y'

y=x'





A partir da figura:

Logo, sendo y'

y=x'

xy

yx

'

'

14

'

16

' 22

yx

1416

22

xy



PROBLEMA:

Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano.




SOLUÇÃO:

i.Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;





i. Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;



A partir da figura: a=3 e b=2

Logo, sendo 1''2

2

2

2

b

y

a

x y'

x'

14

'

9

' 22

yx






A partir da figura:

Logo, sendo

'''

'''

xy

yx

y'

x'

14

'

9

' 22

yx

14

''

9

'' 22

xy






A partir da figura:

Logo, sendo y'

x'

14

''

9

'' 22

xy

4

3

0

0

y

x

1

4

3

9

4 22

xy


ROTEIRO


• Conceito

• Parábola

• Elipse

• Hipérbole


• Elementos

• Rotação

• Translação

• Aplicações



HIPÉRBOLE - ELEMENTOS

Hipérbole:• Lugar geométrico cuja diferença em valor absoluto das

distâncias a F1 e F2 é CONSTANTE e vale 2a


HIPÉRBOLE - ELEMENTOS

EXCENTRICIDADE:

• Há uma proporcionalidade entre a excentricidade e a ABERTURA da hipérbole, ou seja, quanto maior a excentricidade, maior é a abertura da hipérbole.

• (Aluno) Plotar uma hipérbole com diferentes excentricidades!

a

c 1


HIPÉRBOLE - EQUAÇÃO


• De acordo com a figura:

• Da definição de HIPÉRBOLE:

• Logo:

1''2

2

2

2

b

y

a

x

aPFPF 221

0,,0,,',' 21 cFcFyxP

x'

y'



PROBLEMA:

Dado: desenho de uma HIPÉRBOLE no plano cartesiano.




SOLUÇÃO:

i.Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;





i. Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;



A partir da figura:

Logo, sendo 1''2

2

2

2

b

y

a

x

14

'

12

' 22

yx

x'

y'

122 a

9222 acb






A partir da figura:

Logo, sendo

'''

'''

xy

yx

x'

y'

14

'

12

' 22

yx

14

''

12

'' 22

xy






A partir da figura:

Logo, sendo

1

3

0

0

y

x

x'

y'

14

''

12

'' 22

xy

1

4

3

12

1 22

xy


ROTEIRO


• Conceito

• Parábola

• Elipse

• Hipérbole


• Elementos

• Rotação

• Translação

• Aplicações



APLICAÇÕES

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