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1 AULA: 17.08.09 ÁLGEBRA LINEAR – José Américo ENGENHARIA DE PRODUÇÃO - UEZO CONTEÚDO BÁSICO I. Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes II. Espaços vetoriais e bases III. Transformações lineares, autovalores e autovetores IV. Aplicações em programação linear REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO Boldrini, - Álgebra Linear Editora Steinbruch, Alfredo – Álgebra Linear Editora MacGraw Hill Kolman, J. – Álgebra Linear e Aplicações Editora LTC, 1982 Hoffman & Kunze – Álgebra Linear Editora LTC, 1976

Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 17.08.09 ÁLGEBRA LINEAR – José Américo ENGENHARIA DE PRODUÇÃO - UEZO CONTEÚDO BÁSICO

I. Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes II. Espaços vetoriais e bases III. Transformações lineares, autovalores e autovetores IV. Aplicações em programação linear

REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO

� Boldrini, - Álgebra Linear Editora

� Steinbruch, Alfredo – Álgebra Linear Editora MacGraw Hill

� Kolman, J. – Álgebra Linear e Aplicações Editora LTC, 1982

� Hoffman & Kunze – Álgebra Linear Editora LTC, 1976

Page 2: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 18.08.09

MATRIZES

Revisão sobre matrizes, operações e propriedades

Uma matriz é um arranjo de objetos (números, vetores, funções etc.) dispostos em linhas e colunas.

A representação clássica para matrizes é a seguinte:

� � � ��� � �

Onde,

��� são os elementos ( que em geral serão números reais );

m = número de linhas;

n = número de colunas;

Note que

� � 1, 2, … ,� � � � � � 1, 2, … , � �

A ordem de uma matriz é o número de linhas pelo de colunas, ou seja: m x n. Exemplo 1

Construir a matriz � � � �� � � � � tal que � � � � 3� � ��

� � ���� ������ ������ ��� � � � 2 � 1 5 2 8 5 �

Se � " � , dizemos que � � � �� � � � é uma matriz retangular

Se � � �, então diz-se que A é um matriz quadrada.

Dizemos que duas matrizes � � � �� � � � e # � � $� � � � são iguais se somente se

%& ' � ( , ) & � '

Page 3: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 18.08.09

Exemplo 2

Sejam as matrizes

A � � �1 x� � 1 4 1 � x � e B � � Y� 0 X� 3 � Se A e B são iguais, determine 23 4 56�

5� � �1 7 5� � 1 ; 5� � �1 3� � 0 7 23 � 16 23 4 16 � 0 7 3� � 1 ; 3� � �1 3� � 4 7 3 � 9 2 7 3� � 2 ; 3: � �2 1 � 3 � 3 7 3; � �2

I. 25� 4 3�6� 7 2� 4 16� 7 �� 4 2� 4 1 � 2� II. 25� 4 3�6� 7 2� 4 16� 7 �� � 2� 4 1 � �2� III.

Dizemos que uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.

Uma matriz quadrada é diagonal se somente se %& ' � ( , ) & " ' e os a= = não são todos nulos.

EXEMPLO 3

� � F1 0 00 0 00 0 � 1G

MATRIZ IDENTIDADE

É uma matriz quadrada tal que %& ' � ( , ) & " ' e %& & � H

Geralmente, usa-se a notação abaixo:

I� � matriz Identidade de ordem �

Page 4: Álgebra Linear - Notas de Aula

4

AULA: 18.08.09

EXEMPLO 4

I� � � 1 0 00 1 00 1 0 �

EXEMPLO 5

Considere o polinômio dado por ƒ236 � 3� � 53 4 6 e seja a matriz

� � O�1 1 0 1 P 2 x 2

Determine:

a) ƒ2�6 b) ƒ2��6

Solução:

a) ƒ2�6 � �� � 5� 4 6

�� � � . � � � �1 1 7 0 1 � � Q �1 Q 1 0 1 �

� 1 4 0 �1 4 1 0 4 0 0 4 1 � 7 � 1 0 0 1� 2x2

�5� � �5 � �1 1 0 1 � 7 � 5 � 5 0 � 5 � 2x2

6 . I� � 6. � 1 0 0 1 � 7 � 6 0 0 6 �

ƒ2�6 � � 1 0 0 1 � 4 � 5 � 5 0 � 5 � 4 � 6 0 0 6 � � � 12 � 5 0 2 �

Multiplica pela matriz identidade de mesma ordem

Page 5: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 18.08.09

Solução: b) ƒ2��6 2��6� � R 2�16� S� � �� ��� � O 1 0 0 1 P 2x2

5� � ��5 5 0 5 � 2x2

6. I� � � 6 0 0 6 �

ƒ2��6 � � 1 0 0 1 � 4 � �5 5 0 5 � 4 � 6 0 0 6 � � � 2 5 0 12 �

AULA: 24.08.09

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Sejam � � � �� � � � e # � � $� � � � duas matrizes de mesma ordem e seja T � UV .

Definimos:

1. A adição de A e B, pela expressão � 4 # � � �� � � 4 � $� � � �

2. A multiplicação por escalar T � � � T �� � � �

3. A Subtração � � # � � 4 2�#6 � � �� � � � � $� � � �

Page 6: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 24.08.09

EXEMPLOS

1. Sejam � � O �1 3 5 7 P e # � O 2 �4 �1 �3 P. Pede-se:

a) � 4 #,�2# � # � �

b) Determine uma matriz X tal que � 4 X � � � #

Solução:

a) � 4 # � O 1 �1 4 4 P �2# � O �4 8 2 6 P

# � � � O 3 �7 �6 �10 P

b) X � �� # � �

7 � 1 �7 Y� � �10 � � � 1 3 5 7 � 7 � 2 �5 Y��� Y�Z� �

c) Determinar as matrizes x e y, tais que [ 3 4 5 � � 4 #23 � 5 � # � �� 33 � 2# 7 3 � �� B

X � \ :� Y] � Y� � �2 ^ X � \ :� Y] � Y� � �2 ^ , daí

_ � ` 1 �1 4 4 a � \ :� Y] � Y� � �2 ^ 7 \ Y� � ; � �: � 6 ^

Page 7: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 24.08.09

PROPRIEDADES

1. � 4 # � # 4 �

2. � 4 2# 4 b6 � 2� 4 #6 4 b

3. T 2#�6 � 2T#6 �

4. (T 4 #6 � � T 4 #�

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Sejam � � � �� � � � c e # � � $ � �� c .A matriz produto de A por B , indicada por AB é dada por

Na prática, multiplicam-se as linhas de A pelas colunas de B e soma-se para obter cada elemento

EXEMPLO

2. Dados � � � �1 3 5 2 4 � 3 � e # � O 2 1 0 �1 4 5 P

Calcular:

a) �. #

b) #. �

Solução:

a) �. # � � �1 3 5 2 4 � 3 � O 2 1 0 �1 4 5 P

a) �deeef2�16. 2 4 3 . 2�16 2�16. 1 4 3 . 4 2�16. 0 4 3. 5 5. 2 4 22�16 5. 1 4 2. 4 5. 0 4 2. 5 4. 2 4 2�362�16 4 .1 4 2�36 . 4 4 . 0 4 2�36. 5

ghhhi

� � �5 11 15 8 13 10 11 �8 15 �

Page 8: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 24.08.09

b) #. � � O 2 1 0 �1 4 5 P � �1 3 5 2 4 � 3 �

b) � F 22�16 4 1.5 4 0.4 2.3 4 1.2 4 02�36 2�162�16 4 4.5 4 5.4 2�16. 3 4 4.2 4 52�36 G

� O 3 8 41 �10 P

Note que �# " #�

Conclusão: A multiplicação não é uma operação comutativa.

MATRIZ TRANSPOSTA

Dada uma matriz � � � �� �� �

EXEMPLO 3

Dado � � � �1 3 5 2 4 � 3 � , determine At

temos:

At � O �1 5 4 3 2 � 3 P

PROPRIEDADES

1. 2�j6j � �

2. 2� 4 # 6j � �j 4 #j

3. 2� � #6j � �j � #j

4. 2�. #6j � #j . �j

Page 9: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 24.08.09

MATRIZ QUADRADA

É toda matriz quadrada tal que os elementos acima da diagonal principal ou abaixo são nulos.

DETERMINANTE

Definimos o determinante de uma Mariz quadrada � � � �� � � � , e indicamos por det A ou 2� 6 ao número real tal que:

1) Det O a bc d P � ad � bc

2) Det � a�� a�� a��a�� a�� a�� a�� a�� a�� �

deeef a�� a�� a�� | a�� a�� a�� a�� a�� | a�� a�� a�� a�� a�� | a�� a��

ghhhi

� � � 4 4 4

REGRA DE LAPLACE

Det deeef a�� a�� a�� a�� a�� a�� a�� a�� a��

ghhhi

� a�� det � a�� a�� a�� a�� � � a�� det � a�� a�� a�� a�� � 4 a�� det � a�� a�� a�� a�� �

EXEMPLO 5

Calcule:

a) det deeef�1 2 5 0 1 3 3 �2 4

ghhhi �

deeef�1 2 5 | �1 2 0 1 3 | 0 1 3 �2 4 | 3 �2

ghhhi � �4 4 18 4 0 � 0 � 6 � 15 � �7

Page 10: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 24.08.09

EXEMPLO 6

Encontre o valor de X tal que:

det deeef X 1 �1 2 �1 2 X �3 �2

ghhhi � 6

deeef X 1 �1 | X 1 2 �1 2 | 2 �1 X �3 �2 | X �3

ghhhi � 6

� 2X 4 3X 4 6 4 4 4 9X � X � 6 7 13X � �4 7 X � � 413

AULA: 25.08.09

PROPRIEDADES

1. det 2�. #6 � det � . det #

2. det 2� 6j � det �

3. o�p U � 1 , q�o� U é � ��pr�s �o��p�o�o� o� qro�� �

4. Se � é uma matriz quadrada diagonal, ou seja,

A � F a�� 0 t 00 a�� t 0u u v u 0 0 t aw wG

Então, det � � a�� . a��t aw w ( produto dos elementos da diagonal )

5. ( Generalização de 1) det � 2 a� . a�t aw 6 � det A� . det A�t det Aw

Page 11: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 25.08.09

MATRIZ INVERSA

Diz-se que uma matriz quadrada A possui inversa # 2 qx �Y�6 se somente se: �. # � #. � � U�

Cálculo da Inversa:

Propriedade: � � R�� �S possui inversa se somente se � " 0

EXEMPLO 1

Seja � � � a b c d � � ad � bc " 0

Considere X � y x y z w | tal que �3 � 3� � U�

Determine x, y, z e w.

Temos:

� � F a b 7 c d 7 G y x y Q Qz w | � O 1 00 1 P

[ �o 4 $s � 1 �5 4 $} � 0� e [ ~3 4 os � 0 ~5 4 o} � 1�

[ �3 4 $s � 1 2o6 ~3 4 os � 0 2�$6�

� �o3 4 $os � o�~$3 � $os � 0 � 2�o � $~63 � o 7 3 � o�o � $~

Substituindo-se, temos: ~o�o � $~ 4 os � 0 7 3 � �~�o � $~

Logo,

3 � oo�p � � s � �~o�p�

Page 12: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 25.08.09

Agora,

� �5 4 $} � 0 2o6 ~5 4 o} � 1 2�$6 �

[ �o5 4 $o} � 0 �~$5 � $o} � �$ � 2�o � $~65 � �$ 7 5 � �$o�p�

Conclusão:

X � 1o�p� � yx y z w|

Note que, para matrizes de grande porte, esse processo é lento e demorado. Por isso, vamos utilizar o

método das operações elementares (OE).

As OE são realizadas apenas sobre as linhas da matriz.

As operações permitidas são:

OE1: Permutar Linhas

�� � ��

OE2: Multiplicar uma linha por um número real não-nulo.

�� � T��

OE3: Permutar uma linha pela soma dessa linha com o múltiplo de outra

�� � �� 4 T��

Usando a técnica das OE para inversão de matrizes, devemos observar os seguintes passos:

1. Verificar se o�p� " 0

2. Colocar, lado a lado, a matriz � e a matriz U� e utilizar as OE até que

RA | InS 7 OE RIn | AY�S

Page 13: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 25.08.09 EXEMPLO 2

Dado � � � �1 3 2 1 � determine �Y� usando OE

Temos:

��1 3 | 1 0 2 1 | 0 1 � �� � 2�16 ��

� 1 �3 | �1 0 2 1 | 0 1 � �� � �� � 2��

� 1 �3 | �1 0 0 7 | 2 1 � �� � ��Z

\ 1 �3 | �1 0 0 1 | �Z �Z^ �� � �� 4 3��

F 1 0 | � �Z �Z 0 1 | �Z �Z G �� � �� 4 3��

Logo, �Y� � F� �Z �Z �Z �Z G

Page 14: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 25.08.09

EXEMPLO 3

Determine a inversa da matriz

� �deeef�1 2 �2 3 �1 6 1 �3 3

ghhhi

Temos:

� �deeef �1 2 �2 | 1 0 0 3 �1 6 | 0 1 0 1 �3 3 | 0 0 1

ghhhi �� � 2�16 ��

� �deeef 1 � 2 2 | �1 0 0 3 �1 6 | 0 1 0 1 �3 3 | 0 0 1

ghhhi �� � 2�16 ��

� �deeef 1 �2 2 | �1 0 0 3 �1 6 | 0 1 0 1 �3 3 | 0 0 1

ghhhi �� � �� � 3�� �� � �� � ��

� �deeef 1 �2 2 | �1 0 0 0 5 0 | 3 1 0 0 �1 1 | 1 0 1

ghhhi �� � 15 �� �� � 2�16��

� �deeeef 1 �2 2 | �1 0 0 0 1 0 | 35 15 0 0 1 �1 | �1 0 �1

ghhhhi �� � �� 4 2�� �� � �� � ��

� �deeeeef 1 0 2 | 15 25 0 0 1 0 | 35 15 0 0 0 1 | � 85 �15 �1

gh

hhhhi �� � 2�16��

Page 15: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 25.08.09

� �deeeeef 1 0 2 | 15 25 0 0 1 0 | 35 15 0 0 0 1 | 85 15 1

ghhhhhi �� � �� � 2��

� �deeef 1 0 0 | �3 0 2 0 1 0 | 35 15 0 0 0 1 | 85 15 1 ghh

hi �� � �� � 2��

Logo,

�Y� �deeef�3 0 235 15 085 15 1ghh

hi

EXERCÍCIO:

Determine a inversa se possível

a)

deeef �3 1 4 5 �2 �1 6 0 �7

ghhhi

b)

deeeeef�2 1 0 4 1 �3 1 �2 �1 5 2 6 3 �6 0 �5

ghhhhhi

Page 16: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 31.08.09

SISTEMAS LINEARES A história da matemática relata que os problemas do cotidiano sempre nos levaram a criar modelos matemáticos para explicar os fenômenos envolvidos no processo. Atualmente, várias áreas do conhecimento ( Engenharia, Física, Medicina, etc. ) usam sistemas lineares para resolver problemas oriundos da realidade. Por exemplo, sabemos que o hidrogênio (H�6 reage com o oxigênio (O�6 para produzir (H�O6. A pergunta é: “quanto de H� e O� precisamos?” Tal pergunta corresponde à relação xH� 4 yO� 7 zH�O Como não há modificação na quantidade de átomos, obtemos que há igualdade entre esse número

no início e no fim da reação, ou seja:

23 � 2s 2 ��r� q ��6 25 � s 2 ��r� q ��6

Daí obtemos o sistema linear

2U6 [ 23 � 2s � 0 25 � s � 0�

Para compreender tal reação devemos encontrar um termo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente

as equações do sistema 2U6.

Em sistemas de pequeno porte 2 3 x 3; 4 x 46 há métodos diretos de busca da solução. Porém,

para sistemas mais complexos 2200 x 300; 1024 x 1780; �p~6 é necessário desenvolver ferramentas mais

eficientes para resolve-los ( ou apenas saber se possuem solução ).

DEFINIÇÃO 1: um sistema linear de � equações e � incógnitas é uma expressão do tipo:

2U6 ����� a��x� 4 a��x�t4 a�wxw � b� a��x� 4 a��x�t 4 a�wxw � b� u u u u a��x� 4 a��x�t4 a�wxw � b�

Em termos matriciais podemos representar 2U6 na forma �x � #,

Onde:

R � S � � �� �� � é a matriz dos coeficientes

R # S � � #� �� � � é a matriz coluna dos termos independentes

3 � R 3 �S � é a matriz das incógnitas

Page 17: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 31.08.09

Uma outra matriz associada ao sistema 2U6 é a matriz ampliada 2��6 definida por

�� � R� u #S � � 2 � �6

DEFINIÇÃO 2: Uma solução de 2U6 é uma ênupla 2X� , X� t ,X 6 que satisfaz simultaneamente às m

equações.

DEFINIÇÃO 3: Dois sistemas A�x� � B� e A�x� � B� são equivalentes, se somente se, possuem a mesma

solução.

EXEMPLO 1

Seja o sistema

[ 23 4 5 � 3 3 � 5 � 5 � 33 � 8 7 3 � 83 5 � 83 � 5 7 5 � �7 3

Agora, na forma matricial

� 2 1 1 �1� � � X Y � � y 3 5 |

A matriz ampliada 2��6 será:

� 2 1 | 3 1 �1 | 5 � �� � �� �� � ��

Usando OE, temos:

` 1 �1 | 52 1 | 3 a �� � �� � 2��

` 1 �1 | 50 3 | �7 a �� � �� ��

Page 18: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 31.08.09

\ 1 �1 | 5 0 1 | � Z� ^ �� � �� 4 ��

F 1 0 | ]� 0 1 | � Z� G

Assim, o sistema equivalente é

� 3 � ]� 5 � � Z� �

DEFINIÇÃO 4: Dada uma matriz A� � w , dizemos que B� � w é linha reduzida equivalente à matriz A, se

somente se, B for obtida de A por um n finito de operações elementares ( OE ).

DEFINIÇÃO 5: Dada uma matriz A� � w , dizemos que B� � w é linha reduzida na forma escada equivalente à

A, se somente se,

1. O primeiro elemento não-nulo da primeira linha não-nula é 1

2. Coluna que contém o primeiro elemento não-nulo de cada linha possui todos os outros elementos

iguais a zero.

3. Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas

4. ( Escada ) o número de zeros à frente do primeiro elemento não-nulo aumenta até que só restam

zeros

Page 19: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 31.08.09

EXEMPLO 2

�1 00 10 0� forma escada!

P=2

�1 0 0 00 �1 0 00 0 0 1� não é escada!

�0 2 11 0 30 0 0� não é escada!

�0 1 �3 0 20 0 0 1 20 0 0 0 0� forma escada!

DEFINIÇÃO 6: Seja B� � w a matriz linha reduzida à forma escada de A� � w . Então o posto 2�6 da matriz A

é o numero de linhas não-nulas de B. A nulidade ( de grau de liberdade – GL ) é o número 2� � �6

AULA: 01.09.09

TEOREMA 1: Considere um sistema linear de m equações e n incógnitas. Esse sistema poderá ser:

a. Compatível, se somente se P�� � P�� , ou seja, possui solução se somente se o ponto da matriz

ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.

b. Compatível e determinado, se somente se, P�� � P�� � n , ou seja, nesse caso possui solução

única.

c. Incompatível, se somente se, P�� " P�� , ou seja, não possui solução.

d. Compatível e indeterminado, se somente se P�� � P�� � P � �

Aqui o sistema possui infinitas soluções e as soluções são dadas em função do número de variáveis

livres ou grau de liberdade ( GL ) dado por:

�� � � � � 2 q�o� � é q �ú��rq o� ��~ó���p�� 6

Page 20: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 01.09.09

Exemplo 1: Retornando ao exemplo da reação

xH� 4 yO� 7 zH�O

Já vimos que o sistema obtido é

  23 � 2s � 0 25 � s � 0�

Passando à forma matricial, a matriz ampliada será:

� 2 0 �2 | 0 0 2 �1 | 0�

� 2 0 �2 | 0 0 2 �1 | 0� �� � �� �� �� � �� ��

\ 1 0 �1 u 0 0 1 � �� u 0^ �� � �� �� �� � �� ��

P�� � 2 � P�� 7 compatível

Como, � � 2 � 3, então temos

�� � � � � 7 3 � 2 � 1 ( variável livre ) � � 1

Logo, retornando ao sistema inicial temos:

¤ x � z � 0 y � �� z � 0 � 7 � 3 � s ; 3 � ¥� 5 � � � s �

Assim uma solução particular, para s � 2 , temos:

3 � 2 � 5 � 1

Page 21: Álgebra Linear - Notas de Aula

21

AULA: 01.09.09

deeef 1 0 0 0 | �3 0 1 0 0 | �1 0 0 0 0 | 1

ghhhi

Mc

Ma

P�� � 3 2 número de linhas não nulas 6 ; P�� � 2 2 número de linhas não nulas 6

EXEMPLO 2

Determine o posto e a nulidade ( se houver ) da matriz:

deeef 1 2 1 0 �1 0 3 5 1 �2 1 1

ghhhi

Solução:

deeef 1 2 1 0 �1 0 3 5 1 �2 1 1

ghhhi �� � �� 4 �� �� � �� � ��

deeef 1 2 1 0 0 2 4 5 0 �4 0 1

ghhhi

�� � 12 �� �� � �14 ��

deeeef 1 2 1 0 0 1 2 52 0 1 0 �14

ghhhhi �� � �� � 2 �� �� � �� � ��

Page 22: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 01.09.09

deeeeef 1 0 �3 �5 0 1 2 52 0 0 �2 �114

ghhhhhi �� � �12 ��

deeeef 1 0 �3 �5 0 1 2 ;� 0 0 1 � ��]

ghhhhi → Pa � 3 ;

�� � � � � 7 4 � 3 � 1 2 q�o� � é �º o� ~q�x��� 6

MÉTODO DA ELIMINAÇÃO GAUSSIANA OU MÉTODO DE GAUSS

Consiste em, utilizar OE para transformar a matriz ampliada em matriz triangular superior.

A → OE1 A1 → OE2 A2 → OE3 t → OEn An ; onde An é triangular superior.

Depois o sistema será resolvido por substituição.

EXEMPLO 3

1º 2�6   3 4 5 � 2 53 � 45 � 1�

Page 23: Álgebra Linear - Notas de Aula

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AULA: 01.09.09

Temos:

� 1 1 | 2 5 �4 | 1 � �� � �� � 5 ��

� 1 1 | 2 0 �9 | �9 � �� � �19 ��

� 1 1 | 2 0 1 | 1 � → [ 3 4 5 � 2 5 � 1� → 3 � 1

Logo, S ( 1, 1 )

AULA: 08.09.09

EXERCICIOS – LISTA 1. e

deeef 2 1 �3 | 5 3 �2 2 | 5 5 �3 �1 | 16

ghhhi �� � �� � �� �� � �� � ��

deeef 2 1 �3 | 5 1 �3 1 | 0 3 �4 2 | 11

ghhhi

�� � �� �� � ��

deeef 1 �3 1 | 0 2 1 �3 | 5 3 �4 2 | 11

ghhhi �� � �� � 2 �� �� � �� � 3 ��

deeef 1 �3 1 | 0 0 7 �5 | 5 0 5 �1 | 11

ghhhi

�� � �Z �� �� � �; ��

Page 24: Álgebra Linear - Notas de Aula

24

AULA: 08.09.09

deeeef 1 �3 1 | 0 0 1 � ;Z | ;Z 0 1 � �; | ��;

ghhhhi �� � �� � ��

deeeef 1 �3 1 | 0 0 1 � ;Z | ;Z 0 0 � �]�; | ;��;

ghhhhi �� � �; �] ��

deeeef 1 �3 1 | 0 0 1 � ;Z | ;Z 0 0 1 | �ª«

ghhhhi →

����� 3 � 35 4 s � 0 5 � ;Z s � ;Z s � �ª«

� P�� � 3 P�� � 3 Solução única!

OBSERVAÇÃO

É possível, em muitos casos, que a solução obtida não coincida com a efetiva do problema. Isso

ocorre porque a sequência de OE escolhidas pode não ser a sequência “ótima”. Às vezes é preciso refazer as

OE para tentar chegar à matriz solução.

Vejamos a solução do exercício 1.e usando a Regra de Cramer:

¬ �deeef 2 1 �3 | 2 1 3 �2 2 | 3 �2 5 �3 �1 | 5 �3 ghh

hi � 4 4 10 4 27 4 3 4 12 � 30 � 26

Agora,

¬ � deeef 5 1 �3 | 5 1 5 �2 2 | 5 �2 16 �3 �1 | 16 �3 ghh

hi � 10 4 32 4 45 4 5 4 30 � 96 � 26

Page 25: Álgebra Linear - Notas de Aula

25

AULA: 08.09.09

¬­ �deeef 2 5 �3 | 2 5 3 5 2 | 3 5 5 16 �1 | 5 16 ghh

hi � �10 4 50 � 144 4 15 � 64 4 74 � �78

¬® � deeef 2 1 5 | 2 1 3 �2 5 | 3 �2 5 �3 16 | 5 �3 ghh

hi � �52

Logo,

����� 3 � ¯°̄ � �ª�ª � 1 5 � ¯±̄ � YZ]�ª � �3 s � ¯²̄ � Y;��ª � �2

� → ( 1, -3 , -2 )

Testando a solução:

2216 � 3 � 32�26 � 5 7 2 � 3 4 6 � 5 3216 � 22�36 4 22�26 � 5 7 3 4 6 � 4 � 5

5216 � 32�36 � 12�26 � 16 7 5 4 9 4 2 � 16

EXERCÍCIO – LISTA

1. J

deeef 1 5 4 �13 | 3 3 �1 2 5 | 2 2 2 3 �4 | 1 ghh

hi �� � �� � 3 �� �� � �� � 2 ��

deeef 1 5 4 �13 | 3 0 �16 �10 44 | �7 0 �8 �5 22 | �5

ghhhi �� � 2 �� � ��

Page 26: Álgebra Linear - Notas de Aula

26

AULA: 08.09.09

deeef 1 5 4 �13 | 3 0 �16 �10 44 | �7 0 0 0 88 | �3 ghh

hi

�� � � ��ª �� �� � �]] ��

deeeef 1 5 4 13 | 3 0 1 ;] ��: | � Z�ª 0 0 0 1 | � ��� ghh

hhi

P�� � 3 � P�� �� � � � � 7 4 � 3 � 1 2 ³�r�á³�� ��³r�! 6 compatível e indeterminado!

Note que:

} � � �]]

Logo,

5 4 ;] s 4 ��: ¶� �]] · � � Z�ª e 3 4 55 4 4s � 13 ¶� �]] · � 3

Onde Z � IR

3.b

  3 4 5 � 5 3 � ¸5 � 5�

Então:

� 1 1 5 1 k 5 � �� � �� � ��

� 1 1 5 0 k � 1 0 � → � 1 1 | 5 0 1 | 0 �

1) Solução única � ¸ � 1 � 1 7 ¸ � 2 P�� � 2 � P��

2) Se ¸ � 1 � 0 7 ¸ � 1 � várias soluções P�� � 1 � P�� �� � 1

Page 27: Álgebra Linear - Notas de Aula

27

AULA: 15.09.09

ESPAÇOS VETORIAIS

Sejam º " 0 munido das operações de soma e multiplicação por escalar, assim definidas:

Soma: º x º 7 º 2x, ³6 7 x 4 ³

Multiplicação: IR x º 7 º 2T, ³6 7 T³

DEFINIÇÃO

Dizemos que V é um espaço vetorial (EV) sobre IR, se somente se, satisfaz às seguintes

propriedades:

1. x 4 2³ 4 }6 � 2x 4 ³6 4 }

2. x 4 ³ � ³ 4 x

3. ¼ 0 � ³ | 0 4 ³ � ³ 4 0 � ³

4. ¼ � ³ � ³ | ³ 4 2�³6 � 2�³6 4 ³ � 0

5. T 2³ 4 x6 � T ³ 4 T x

6. 2T 4 ½6³ � � ³ 4 ½ ³

7. 2T ½6³ � � 2½ ³6 � ½ 2T ³6

8. 1³ � ³

EXEMPLO 1

Seja ³ � UV� � 23, 56/3, 5 � UV � , mostre que UV� é um EV sobre UV .

Sejam x � 23� , 5�6, ³ � 23� , 5�6 , } � 23�, 5�6 �� UV� � T , ½ � UV

Page 28: Álgebra Linear - Notas de Aula

28

AULA: 15.09.09 Temos: 1. x 4 2³ 4 }6 � 23� , 5�6 4 23� 4 3� , 5� 4 5�6 � 23� 4 23� 4 3�6 ,� 5� 4 2 5� 4 5�6 6 2UV 7 ���q~��p�³�6 � 23� 4 �3� 6 4 3� � ,� 25� 4 � 5�6 4 5� � 6 � 23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6 4 23� , 5� � 6

� 2x 4 ³6 4 }

2. x 4 �³� � 23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6� � 23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6� � ³ 4 x

3. Seja 07 � 20, 06. Daí: � 07 4 ³ � 20 4 �3� ,� 0 4 5� 6 � 2 �3� ,� 5� 6 � ³ 4. seja ³ � 23� , 5�6. Então: �³ � 2�3� , �5�6. Daí, � ³ 4 2�³6 � 23� 4 2�3� 6, 5� 4 2� 5�6 6 � 20, 06 � 07 5. T 2³ 4 x6 � T �23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6�� � 2T �23� 4 �3� 6,� �T 2 5� 4 � 5�6 6�� � 2T��3� , �T 5� 6 4� 2�T3� , � α5�6 �� � T�� 23� , � 5� 6 4� �T 23� , � 5�6 �� � T ³ 4 T x 6. 2T 4 ½6³ � 2T 4 ½623� , 5�6 � 22T 4 ½6�3� , 2T 4 ½65�6 � 2T�� 3� 4 ½ 3� , �T �5� 4 ½� �5�6 � �T� 23� , 5�6 4 ½ 23� , 5�6 � � ³ 4 ½ ³ 7. 2T ½6³ � 2T ½623� , 5�6 � 2 2T ½6�3� , 2T ½65�6 � 2 �T 2½��3� 6 , �T 2½�5�6 6 � � 2½ ³6 8. 1³ � ³ � 21�3� , 15�6 � 23� , 5�6 � ³

Page 29: Álgebra Linear - Notas de Aula

29

AULA: 15.09.09 Logo, UV� é um EV sobre UV Abaixo listaremos alguns dos EV mais utilizados:

1. UV � 23� , 3� t 3 6 ; 3� � UV �

2. M� � w 2UV6 � ��A= À � � � w ; A= À � UV � �

3. P w � 2�Á 4 �� t 4 t� tw ; a= � UV � � DEFINIÇÃO 2 Seja V um EV sobre UV e seja W C V. Dizemos que W é um subespaço de V se somente se: 1. 0 � W 2. º 4 T � Â; )T � UV

Cuidado! w y x ³³7 4 }7 � 23, 56 " 23 , 96 } � 23 , 56 � UV�/ 5 � 3�� não é SV.

EXEMPLO 1

Seja P � � 2�Á 4 �� t 4 �� t� ; a= � UV � � mostre que P � à P w . Temos:

1. 0 Ä 0 4 0 t 4 0 t� � P �

2. Sejam º � �Á 4 �� t 4 �� t� e  � $Á 4 $� t 4 $� t� em P �

1 2

2

1

³7 � 21 , 16 }7 � 21 , 16 5 � 3�

Page 30: Álgebra Linear - Notas de Aula

30

AULA: 15.09.09 Temos: º 4 T  � 2 �Á 4 �� t 4 �� t� 6 4 2 T $Á 4 α$� t 4 α$� t� )

� 2 �Á 4 T $Á 6 2 �� 4 α$� 6 p 4 2 �� 4 α$� 6 t�

� ~Á 4 ~� p 4 ~� p� 4 P �

Logo,

P � � P w

AULA: 21.09.09

FALTA CONTEÚDO

AULA: 22.09.09

FALTA CONTEÚDO

AULA: 28.09.09

FALTA CONTEÚDO

Page 31: Álgebra Linear - Notas de Aula

31

AULA: 29.09.09

EXEMPLO 3

a) ½ � 1 , 1 � p , 1 4 p�� é base de P�?

b) Seja Å 2p6 � 2�p� � � 3p 4 5 , determine RP2t6S Æ

Solução:

a) temos que ½ é linearmente independente ( LI ) e gera P2 .

�Á 4 �� t 4 �� t� � R AÁ A� A�S deeef 1 t t� ghhhi

γ � 1 , p , p�� é base canônica de P2 7 dim P2 � 3 OBSERVAÇÃO

Se dim V � � , então qualquer conjunto de � vetores (LI) forma uma base B.

Vamos tentar mostrar que ½ é ( LI ). Considere a combinação linear:

� 216 4 $ 21 � p 6 4 ~ 2 1 4 p�6 Ä 0 , ) p

� 4 $ � $ p 4 ~ 4 ~ p� Ä 0 , ) p

2� 4 $ 4 ~ 6 � $ p 4 ~ p� Ä 0 , ) p

�� 4 $ 4 ~ � � 0 �� $ � � 0 7 $ � 0 � ~ � � 0 7 ~ � 0 7 � � 0

Logo,

½ é ( LI ), de modo que forma base P2

Solução:

c) Å 2p6 � 2�p� � � 3p 4 5 ,

Devemos encontrar a, b, c � IR tais que Å 2p6 Ä � .1 4 $ 2 1 � p 6 4 ~ 2 1 4 p� 6, ) p

Page 32: Álgebra Linear - Notas de Aula

32

AULA: 29.09.09

2� 4 $ 4 ~ 6 � $ p 4 ~ p� Ä 2 p� � 3p 4 5

  a 4 b 4 c � 5 7 a � 0 – b � �3 7 b � 3 �

Daí,

RP2t6S Æ � � 0 3 2 �

EXEMPLO 4

Considere ainda º � Å� determine se ½ � 2 , 1 4 p � p� , 3 4 2p�� é base de Å� . Encontre RP2t6S Æ para Å 2p6 � 2�p� � � 3p 4 5

Solução:

Temos que mostrar que ½ é ( LI )

� 226 4 $ 21 4 p � p� 6 4 ~ 2 3 4 2p�6 Ä 0 , ) p 2� 4 $ 4 $ p � $ p� 4 3 ~ 4 2 ~ p� Ä 0 , ) p

22� 4 $ 4 3 ~ 6 4 $ p 4 2 �$ 4 2 ~ 6 p� Ä 0 �2 � 4 $ 4 3 ~ � � 0 7 � � 0 2 3 6 � $ � � 0 ( 1 ) � $ 4 2 ~ � � 0 7 ~ � 0 2 2 6

Agora temos, �2 � 4 $ 4 3 ~ � � 5 � $ � � �3

�� $ 4 2 ~ � � 2 7 ~ � � ��

7 � � 194

~ � 2

Page 33: Álgebra Linear - Notas de Aula

33

β’ β

β

β’ β

AULA: 29.09.09

Logo,

R2�p� � � 3p 4 5S Æ � deeeeef 194 �3 � 12

ghhhhhi

MUDANÇA DE BASE

Em vários problemas práticos, a modelagem nos leva a situações onde o modelo apresentado é

complexo e sua resolução demanda grande esforço computacional.

Para diminuir a complexidade do problema e otimizar o processo de resolução, é aconselhável

utilizar uma mudança de base , permitindo assim uma resolução equivalente e mais rápida.

Vejamos como isso se processa.

Seja V um espaço vetorial º � � , ½ � º� , º� t º � � ½Í � Â� ,Â� t  � Bases de V.

Considere v � V. Pelo Teorema 1, podemos escrever

2U6 ����� w� � a��v� 4 a��v� t 4 aw �vw w� � a��v� 4 a��v� t 4 aw �vwu u u u ww � a�wv� 4 a�wv� t 4 aw wvw

Reduzindo 2U6 à forma matricial, obtemos:

� 2 1 1 �1� � deeef w� w�u ww ghh

hi � deeeefa�� a�� t aw � a�� a�� t aw �u u ua�w a�w t aw w ghh

hhi deeef v� v�u vw ghhhi

Rw S β’ � RI S RvS

RI S �deeeefa11 a12 t a1 n a2 1 a22 t a 2 n u u uan 1 an 2 t an n ghh

hhi é a matriz da base β para β’.