Aluna do MestradoAluna do Mestrado Giseli Sonego

Professora da Escola Professora da Escola Estadual João XXIII

Santa Maria - RS

RELAÇÃO TEORIA-PRÁTICA NO ENSINO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÃO

QUADRÁTICA

Centro Universitário Franciscano Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino

de Física e de Matemática FRANCISCANO

CENTRO UNIVERSITÁRIO

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO

Um dos grandes desafios de nossa profissão é

relacionar a teoria com a prática. A necessidade de se

“entender” e “ser capaz” de usar a Matemática na

vida diária e nos locais de trabalho é uma exigência

atual.

Para que o aluno aprenda Matemática com

significado é fundamental trabalhá-la por meio de

situações-problema, próprias da vivência do aluno,

fazendo-o pensar, analisar, julgar e decidir pela

melhor solução. É preciso que o aluno sinta a

importância de saber o conteúdo Matemático para a

sua vida.

De acordo com os Parâmetros Curriculares

Nacionais:

“É preciso que o aluno perceba a Matemática

como um sistema de códigos e regras que tornam

uma linguagem de comunicação de idéias e permita

modelar a realidade e interpretá-la.”

Compreender o processo de maximização de áreas

de retângulos através da análise gráfica de uma

função quadrática.

Utilizar material concreto como ferramenta auxiliar

na determinação de área máxima de retângulos de

perímetro constante.

Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática

na interpretação e intervenção do mundo real.

OBJETIVOS DA PRÁTICA DOCENTEOBJETIVOS DA PRÁTICA DOCENTE

Sou licenciada em Matemática pela Universidade

Federal de Santa Maria, UFSM, e concluí o curso de

Especialização, também pela UFSM, no ano de 2000.

Iniciei minha vida profissional em 1992 numa escola

estadual no município de São Pedro do Sul,

posteriormente exerci por 3 anos minhas atividades

docentes em Restinga Seca e atualmente sou

professora concursada e faço parte do corpo docente

da Escola Estadual de Educação Básica João XXIII, em

São João do Polêsine.

TRAJETÓRIA PROFISSIONALTRAJETÓRIA PROFISSIONAL

RELATO DA EXPERIÊNCIARELATO DA EXPERIÊNCIA

Esta experiência foi realizada no 2º semestre de 2006, com uma turma de 28 alunos do 1º ano do Ensino Médio. O conteúdo desenvolvido foi sobre função quadrática, mais especificamente valor máximo e mínimo da função.

Como podemos construir um retângulo com um cordão de 80 cm, de modo que tenha área máxima?

Para a resolução desse problema foi proposto aos alunos que desenhassem os possíveis retângulos que tinham como perímetro 80 cm.

Foi proposto aos alunos o seguinte Foi proposto aos alunos o seguinte problema:problema:

Os alunos desenharam os seguintes retângulos:Os alunos desenharam os seguintes retângulos:

Clique aquiClique aqui

Área= 300 cm2

10 c

m

30 cm

Área = 175cm2

35 cm

5 cm

Área= 300 cm2

10 c

m

30 cm

Área = 175cm2

35 cm

5 cm

Área= 300 cm2

10 c

m

30 cm

Área = 400 cm2

20 c

m

20 cm

Área = 175cm2

35 cm

5 cm

Área= 300 cm2

10 c

m

30 cm

Área = 400 cm2

20 c

m

20 cm

Área = 336 cm2

28 cm

12 c

m

Área = 175cm2

35 cm

5 cm

Área= 300 cm2

10 c

m

30 cm

25 cm

15 c

m

Área = 400 cm2

20 c

m

20 cm

Área = 336 cm2

28 cm

12 c

m

Área = 375cm2

Após os alunos desenharem e manipularem os diversos retângulos indaguei qual deles tinha área máxima.

Qual desses retângulos tem a maior área?

?

É possível obter uma É possível obter uma

relação entre o perímetro e os relação entre o perímetro e os

lados do retângulo para lados do retângulo para

obter-se os possíveis valores obter-se os possíveis valores

dos lados?dos lados?

É possível obter uma É possível obter uma

relação entre o perímetro e os relação entre o perímetro e os

lados do retângulo para lados do retângulo para

obter-se os possíveis valores obter-se os possíveis valores

dos lados?dos lados?

Indaguei ainda aos alunos:Indaguei ainda aos alunos:

Para responder a esta questão foi desenhado no quadro um retângulo de lados x e y tal que o perímetro fosse 80 cm.

x

y

Perímetro:

2x + 2y = 80 cm

ou y = 40 – x

Entre todos os valores Entre todos os valores

que que xx pode assumir, pode assumir,

como podemos como podemos

descobrir o valor que descobrir o valor que

torna a área máxima?torna a área máxima?

Analisando a relação entre os lados do retângulo perguntei:Analisando a relação entre os lados do retângulo perguntei:

Concluímos que xx não poderia assumir o valor zero nem o valor

40, pois nesse caso o retângulo não poderia ser desenhado,

portanto o intervalo I de variação de x, só poderia ser;

I = (0,40)I = (0,40)

Lancei um novo desafio

Entre todos os valores que xx pode assumir, como podemos descobrir o valor que torna a área máxima?

Portanto a área é determinada por

A = (40 – x).x ou,

A= - x² + 40x

y = 40 -x

x

Para responder a questão, o primeiro passo Para responder a questão, o primeiro passo

foi calcular a área do retângulo.foi calcular a área do retângulo.

Área: A = x . y

Como o perímetro mede 80 cm, isto é,

80=2x+2y ,, obtemos para y: obtemos para y:

Considerando as coordenadas do vértice (Xv, Yv) de uma

função quadrática da forma y=ax2 + bx + c obtemos:

Xv = - b/2a =-40/-2 =20 logo, Xv =20 cm ;

A área máxima é dada pelo valor da ordenada do vértice,

isto é:

Yv = -Δ /4 a =-1600/-4 =400 logo, A max = 400 cm².

Considerando a função A = -x² + 40xA = -x² + 40x, vamos determinar

o valor de xx tal que a área do retângulo seja máxima:

Conclusão:Conclusão:

Se x = 20, então A = 40 -20 = 20

O retângulo que terá a O retângulo que terá a

maior área será o de ladosmaior área será o de lados

X=20 cm e y=20 cm, e a área X=20 cm e y=20 cm, e a área

máxima será de 400 cm².máxima será de 400 cm².

Será que existe uma relação entre a área do

retângulo e a função quadrática?

Voltei a desafiá-los:

Consideremos novamente a função quadráticaA = - x² + 40x

x

y

Construindo o gráfico da função analisei com os alunos que o máximo da função área ocorre exatamente no vértice.

20

20V=(20,20)

Analisando os valores obtidos, concluímos que o

retângulo de perímetro 80cm e que possui área

máxima é um QUADRADO de 20cm de lado e cuja área

mede 400 cm².

A IMPORTÂNCIA DA ANÁLISE GRÁFICA

A análise do gráfico foi a etapa mais importante, pois por

meio do gráfico foi possível os alunos visualizarem em que ponto a área assumiu seu maior valor.

Primeiramente chamei atenção para o fato da parábola estar voltada para “baixo”“baixo” pois o coeficiente do termo x²x² é negativo.

Salientei também que a parábola intercepta o eixo xx em x= 0x= 0 e x= 40x= 40, que são as raízes da equação A =- x² + 40xA =- x² + 40x..

Por meio da análise do gráfico ficou mais claro para os alunos o fato de xx não poder assumir valores “zero”“zero” e “40”“40”, pois neste caso a área AA seria “zero”.“zero”.

Por último analisei com os alunos o valor de xx que maximizava a área.

Logo após começamos a verificar no nosso cotidiano,

como podemos aplicar esse conhecimento. Pedi aos alunos que

observassem como é a forma das casas populares. Eles

constataram que elas tem geralmente a forma aproximada de um

quadrado o que permite um maior aproveitamento da área

construída.

Também fomos verificar se nos canteiros de hortas

caberiam mais mudas se eles tivessem a forma de um quadrado

ou de um retângulo.

Todos concluíram que os canteiros deveriam ser

quadrados, porém eles não possuem essa forma devido ao difícil

manejo para alcançar o centro do canteiro.

Através do processo pedagógico desenvolvido

pude perceber que consegui provocar o raciocínio

dos alunos, levando-os a analisar e refletir sobre o

tema e dar significado prático, pois o pensamento

matemático que os alunos precisam desenvolver

na escola é constituído por raciocínio rigoroso ou

formal, que viabiliza processos informais, de

aplicabilidade em situações concretas.

CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS