Prof. GISELI VERGINIA SONEGOOrientador: Prof. Dr. ELENI BISOGNIN

AS CONTRIBUIES DA ETNOMODELAGEM MATEMTICA NO ESTUDO DA GEOMETRIA ESPACIALMESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FSICA E DE MATEMTICALink para a dissertao (PDF): http://sites.unifra.br/Portals/13/Resumos_Dissertacoes/dissertacao_giseli_sonego.pdf

Neste trabalho, o propsito utilizar a metodologia da Modelagem Matemtica, desenvolvendo conceitos relacionados com Geometria Espacial, enquanto explorado o tema plantio do arroz. Sendo assim, procurou-se fazer uma conexo entre a Modelagem Matemtica e a Etnomatemtica, pelo fato de trabalhar essa disciplina utilizando conhecimentos relacionados com as atividades econmicas e culturais da comunidade.

As atividades foram desenvolvidas com 27 alunos da 3 srie do Ensino Mdio, da Escola Estadual de Educao Bsica Joo XXIII, na cidade de So Joo do Polsine, no Rio Grande do Sul.

Para o desenvolvimento das atividades, utilizaram-se como referencial as etapas da Modelagem sugeridas por Bassanezi (2002),que norteiam o trabalho proposto para os encaminhamentos em sala de aula.

ATIVIDADES DE EXPLORAO DO TEMA

Foi solicitado aos 27 alunos que se dividissem em cinco grupos para efetuar o levantamento de dados sobre o tema escolhido. Devido a amplitude do tema, a professora dividiu-o em partes, e cada grupo ficou responsvel por pesquisar um desses assuntos, a saber: financiamento de implementos agrcolas para o plantio ou colheita de arroz; plantao, colheita e processo de beneficiamento; secagem e armazenamento; transporte e comercializao; e planejamento de uma lavoura de arroz. Essa etapa da Modelagem, que a explorao do tema, teve o objetivo de capturar informaes e envolver os alunos, para que se familiarizassem com o assunto.

A obteno de dados foi realizada em jornais, revistas especializadas ligadas rea, livros, internet, visitas cooperativa de beneficiamento de arroz e fbrica de implementos agrcolas, ambas localizadas no municpio, conversas informais com profissionais da rea, entrevista com o gerente do Banco do Brasil e SICREDI (Sistema de Crdito Cooperativo) e entrevista com profissionais da EMATER e Secretaria da Agricultura.

Visita fabrica de implementos agrcolas

Visita cooperativa Visita ao engenho de arroz

Encontro para orientao

LEVANTAMENTO E RESOLUO DAS SITUAES-PROBLEMA RELACIONADAS AO TEMA

As atividades e as situaes-problema descritas abordam principalmente os conceitos de reas e volumes dos principais slidos geomtricos como prisma, cilindro, pirmide e cone, estudados no 3 ano do Ensino Mdio.

SITUAO-PROBLEMA 1:

Se um reboque tem 4,5 m de comprimento, 2,2 m de largura e 70 cm de altura, quanta madeira necessria para constru-lo?

Aluno: - Devemos saber quanta madeira necessria para a base e para as laterais.A professora desenhou no quadro um reboque, desta forma:

Representao de um reboqueA professora aproveitou para chamar ateno sobre a unidade de medida, que deve sempre ser a mesma, portanto as medidas foram expressas em metros.Professora: - Para saber quanto de madeira necessitamos, devemos calcular o qu?Um aluno, disse: - A rea da superfcie total, menos a tampa.Professora: - isso mesmo. Ento, vamos imaginar um reboque aberto ( com as guardas laterais abertas), isto , planificar o reboque:

Planificao do reboque4,5 m

Professora: - Como cada parte do reboque?Aluno: - Um retngulo.Professora: - Ento, como podemos calcular a rea total?Aluno: - Devemos calcular a rea de cada retngulo e somar.Conhecendo as medidas das arestas, os alunos efetuaram o clculo.

Clculo realizado por um grupo de alunos.

SITUAO-PROBLEMA 2:Um dos alunos informou que o reboque de seu pai havia estragado e para us-lo na colheita do arroz ele teve a idia de colocar uma ripa (travessa) de madeira para ficar firme, por isso j desenhou o reboque com a travessa mostrado no desenho. A professora indagou porque ele colocou a ripa atravessada. Qual a medida (comprimento) dessa ripa?

Desenho feito por um grupo de alunos.

A forma triangular d melhor firmeza estrutura, evitando que se deforme com a ao do tempo, por isso nas porteiras e nas construes de casas, por exemplo, usa-se o tringulo nas estruturas.Professora: - Ento onde melhor o agricultor colocar a ripa para o reboque ficar firme?Eles responderam: - Atravessada.Professora: - Ento vamos tentar ilustrar a questo.

Ilustrao da diagonal da face de um reboque. Divididos em grupos, os alunos foram desafiados a resolver o problema. A posio da ripa gerou discusso nos grupos e a professora aproveitou o momento para comentar sobre a rigidez do tringulo, que a nica figura rgida do plano.

Professora: - Como vamos calcular o comprimento da ripa?Eles responderam: - Pitgoras.

A professora continuou dizendo: - Vejam no slido de acrlico, nessa face, a linha (como se fosse a ripa) atravessa a face e une dois vrtices no consecutivos. Isso se chama diagonal da face. Ela divide a face, que retangular, em dois tringulos retngulos, ento a linha (no nosso exemplo, a ripa) a hipotenusa.Diagonal da face do paraleleppedo

Com essa explicao, os alunos calcularam o comprimento da diagonal utilizando o Teorema de Pitgoras. Representando por d a diagonal da face, os alunos obtiveram:

d2 = (2,2)2 + (4,5)2 = 4,84 + 20,25 = 25,09

d

5 m

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Eles verificaram que a travessa deveria medir aproximadamente 5 m.

Alm da travessa na base, a professora chamou a ateno para o fato de que o pai do aluno havia colocado uma travessa unindo dois vrtices no consecutivos. O esboo do reboque mostra a travessa colocada.Ilustrao das diagonais do reboque.

Professora: - Que tamanho tem essa ripa?Professora: - Como j calculamos a diagonal da face, essa outra ripa se chama diagonal do slido ou do reboque no caso.A professora tambm mostrou, nos paraleleppedos de acrlico, que a diagonal da face, a altura e a diagonal do slido formam um tringulo retngulo.Slidos de acrlico mostrando as diagonais.

No foi difcil aos alunos conclurem que poderiam usar o Teorema de Pitgoras novamente. Indicaram a diagonal (ripa) por D e fizeram o clculo obtendo.Isto , o comprimento da ripa de aproximadamente 5 m.

D2 = (5)2 + (0,7)2 = 25 + 0,49 = 25,49

A professora indagou aos alunos como calcular a diagonal no caso de um cubo.

Foi representado no quadro a diagonal do cubo, e a professora lembrou que, nesse caso, as arestas do cubo tm o mesmo comprimento. O comprimento da aresta foi indicado por a, e a diagonal da base foi calculada usando o Teorema de Pitgoras.Representao do cubo com as diagonais.

d2 = (a)2 + (a)2 = 2(a)2 e, portanto,

d = a

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Para determinar o modelo matemtico que representa a medida da diagonal do cubo, utilizou-se a diagonal da base.

D2 = (d)2 + (a)2 = 2 (a)2 + (a)2 = 3 (a)2

Portanto: D = 3

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D2 = (d)2 + (a)2 = 2 (a)2 + (a)2 = 3 (a)2

Portanto: D = 3

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SITUAO-PROBLEMA 3:

Aluno: - Quanto de arroz cabe nesse reboque?Para responder a questo foi necessrio retomar o conceito de volume.Inicialmente, a professora desenhou, no quadro, um cubo cuja aresta media 1 cm e salientou que a rea da base desse cubo era de 1 cm2 e o volume era de 1 cm3. Em seguida, desenhou um paraleleppedo formado por 24 cubinhos de 1 cm de aresta, portanto o volume do paraleleppedo composto de 24 cubinhos mede 24 cm3. Paraleleppedo com 24 cubos

Retomada a idia de volume com material concreto, a professora concluiu, junto com os alunos, que, para se obter o volume do paraleleppedo, basta multiplicar a medida da rea da base pela medida da altura.Assim: V = Ab x h em que Ab a rea da base e h a altura do paraleleppedo. Depois de os alunos terem compreendido a maneira de calcular volume, voltou-se questo inicial, que era saber qual o volume de arroz que comporta um reboque com 4,5 m de comprimento, 2,2 m de largura e 70 cm de altura. Modelo real:

Conhecidas as dimenses de um reboque, que se assemelha a um paraleleppedo, os alunos obtiveram seu volume: V = 4,5 x 2,2 x 0,7 = 6,93 m3A professora indagou qual a unidade mais utilizada para medir a quantidade de arroz. Alguns alunos responderam que era o kg e que outra unidade muito utilizada pelos agricultores era a saca de 50 kg. Professora: - Que relao h entre o metro cbico e o quilograma?Os alunos comearam a discutir sobre a transformao de unidades at que um deles salientou que um decmetro cbico era equivalente a 1 kg, assim, por meio dessa equivalncia, poderiam saber quantos kg de arroz o reboque comportava.

1dm3 = 1 kg

Alguns alunos, em grupos, discutiram a situao e indicaram:Alunos: - Em 1m3 cabem 600 kg de arroz com casca.Professora: - Como vocs chegaram a essa concluso? Os alunos responderam que sabiam que 1m3 equivalia a 12 sacos de arroz com casca e cada saco de arroz pesava 50 kg, ento 1m3 equivalia a 600 kg.Como o volume do reboque de 6, 93 m3, os alunos concluram que poderiam colocar, 6,93 x 600 = 4158 kg nesse reboque.

Para calcular o nmero de sacas, eles dividiram o total de quilogramas por 50, obtendo 83 sacas. Portanto, nesse reboque cabem 83 sacas de arroz de 50 quilogramas.As discusses com a participao dos alunos, que surgiram nessa aula, foram muito interessantes. Eles chegaram concluso de que a relao que eles conheciam para transformar unidades e volume, capacidade e massa tinha uma aplicabilidade. Como alguns alunos so agricultores, eles mesmos validaram essa questo, afirmando que num reboque cabem aproximadamente 83 sacas de arroz de 50 kg.A partir dessa questo, pde-se descobrir o peso especfico do arroz com casca, que de 600 kg/m3, ou seja, 0,6 t/ m3. Esse valor foi confirmado na fbrica de mquinas agrcolas visitada e na Internet.

Tendo determinado o volume do paraleleppedo, foi trabalhado, com auxlio do material concreto, o clculo do volume dos demais prismas. Para a deduo do clculo, a professora utilizou o Princpio de Cavalieri. Essa experincia foi feita no laboratrio.

A professora pegou um prisma de base quadrangular e encheu-o de gua, em seguida pegou outro prisma de base triangular, com mesma rea da base do anterior e transferiu a gua contida para esse prisma. A seguir, a professora repetiu esse processo com diversos prismas e tambm com cilindros de mesma rea da base e mesma altura. Verificou-se que a gua encheu totalmente todos os prismas e cilindros nessas condies, com isso, concluiu-se que o volume dos prismas e do cilindro de mesma base e mesma altura so iguais.

Atravs dessa experincia, os alunos constataram que o volume de qualquer prisma ou cilindro que possui a mesma rea da base e mesma altura so equivalentes. Como os alunos j haviam compreendido anteriormente que o clculo do volume do paraleleppedo se obtm pelo produto da rea da base pela altura, verificaram que, para os demais prismas e cilindros, o clculo realizado da mesma maneira, ou seja, V = Ab . h.

Um aluno fez um comentrio sobre a forma como seu pai armazena o arroz. Com isso, surgiu a seguinte situao originando o problema 4.

SITUAO- PROBLEMA 4:Aluno: - Meu pai armazenou no galpo l de casa, todo arroz que ele colheu. So mais ou menos 2.700 sacas, que foram colocadas em pilhas. Ele me perguntou se eu sabia calcular a largura da pilha para colocar todas as sacas.Professora: - Voc conseguiu fazer esse clculo?Aluno: - Eu tentei, medi o comprimento do galpo e calculei mais ou menos a altura. Ele tem 8 m de comprimento e 4 m de altura, mas no descobri a soluo.A professora colocou o problema para toda a turma resolver, os alunos, em grupos, tentaram solucionar o problema.Consideraram inicialmente que 1m3 equivale a 12 sacas, portanto, como o agricultor havia colhido 2.700 sacas, eles concluram que o volume era de 2.700/ 12, isto , 225 m3. Conhecendo-se o volume e as dimenses do galpo, um grupo fez o seguinte clculo.

Concluram que a pilha pode medir 7 metros.

Um segundo grupo comparou o volume de 1 m3 com o nmero de sacos de arroz e tambm concluiu que a largura da pilha pode ser de 7 m.Clculo realizado por um grupo de alunos.

Resolvido esse problema, cada grupo analisou a pesquisa feita e buscou as formas dos implementos agrcolas encontrados. Cada grupo elaborou uma situao-problema:Clculo realizado por um grupo de alunos.

Na pesquisa realizada pelo grupo de alunos que planejou uma lavoura de 10 hectares, eles comentaram que o custo do cultivo de uma lavoura de arroz muito alto, e um dos itens que encarece a produo o combustvel, pois utilizado na plantao, aplicao de insumos, colheita e tambm no transporte do arroz. Uma maneira de os agricultores baixarem os custos de produo estocar combustvel em tonis, ento a maioria das famlias possui seus reservatrios de leo (que normalmente tem a forma cilndrica) como mostrado na figura a seguir.Reservatrio de leo.Um dos componentes do grupo colocou a seguinte questo:

SITUAO- PROBLEMA 5:Aluno: - L em casa, meu pai tem um reservatrio de leo, que tem a forma de um cilindro. Ele possui 3 m de raio e 2 m de altura. possvel saber quantos litros de leo esse reservatrio comporta?Todos os alunos da classe buscaram uma soluo para o problema. Essa era uma questo que interessava maioria dos alunos, pois seus pais armazenavam leo em reservatrios semelhantes.Primeiramente, eles desenharam um tonel, que tem a forma de um cilindro de 3 m de raio e 2 m de altura. Desenho de um tonel de forma cilndrica.

2 m

3 m

A professora indagou aos alunos:Professora: - Como podemos calcular o volume do cilindro?Um aluno lembrou a experincia feita no laboratrio e comentou que o volume do prisma calculado multiplicando a rea da base pela altura do prisma.

Nesse momento, a professora aproveitou para explicar que o volume do cilindro se calcula da mesma maneira que o volume do prisma, lembrando o Princpio de Cavalieri.Professora: - Como a forma da base desse reservatrio de leo?Aluno: - um crculo. Professora: - Como se calcula a rea do crculo?Aluno: - Eu lembro que r2 .Professora: - Ento como se calcula o volume do cilindro?Aluno: - Se o volume calculado do mesmo modo do prisma, ento o volume a rea da base multiplicada pela altura do tonel, V = r2 h.

Professora: - No nosso caso, temos um tonel de 3 m de raio e 2 m de altura. Se considerarmos = 3,14 ento o volume do tonel ser:

V = 3,14. 32. 2 = 56,52 m3 .

Professora: - Achamos o volume em metros cbicos, mas o problema pede para calcular em litros. Como vamos fazer essa transformao?

Um aluno respondeu:Aluno: - Vamos usar a relao:

V = 56,52 m3 = 56520 dm3 = 56520 lAssim, chegaram concluso de que esse reservatrio comportava 56.520 litros de leo diesel.

A questo seguinte, proposta por um dos alunos, foi apresentada ao restante da turma, utilizando-se os dados pesquisados pelo grupo.

SITUAO- PROBLEMA 6 :O pai de Daniel quer construir em seu galpo um reservatrio de leo diesel de forma cilndrica com a capacidade de 5 mil litros e quer saber quanto metal necessrio. Ele informou que possui um espao disponvel no galpo de 5 m para colocar o reservatrio deitado. O primeiro passo para solucionar o problema foi fazer um desenho representativo do reservatrio. Os alunos representaram o reservatrio na forma de um cilindro.Desenho do reservatrio na forma de um cilindro.

Para saber quanto material seria necessrio para construir o reservatrio, os alunos reportaram-se situao j trabalhada referente construo do reboque para o transporte do arroz.

A professora orientou-os a planificar o cilindro. Cada grupo realizou a planificao. Um aluno integrante do grupo, que pesquisou sobre este tema colocou que, se o volume do reservatrio era de 5000 l, ento, utilizando a equivalncia, Para calcular o material necessrio para a construo, a professora orientou os alunos para calcular a rea de cada uma das partes da planificao.Planificao do cilindro feito por um grupo de alunos.

1 dm3 = 1 l , teria

V = 5000 l = 5000 dm3 = 5 m3

A professora explicou que, quando um cilindro planificado, a lateral um retngulo e, portanto, a sua rea pode ser calculada multiplicando-se a medida da base pela medida da altura. Como a base do retngulo coincide com o comprimento da circunferncia da base do cilindro, a rea da base do cilindro o comprimento da circunferncia, e h a altura do cilindro.Planificao de um cilindro.

Sl = 2

rh, onde 2

r

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A superfcie total a soma da superfcie lateral com as superfcies das bases. Assim:St = Sl + 2SbEste o modelo matemtico que permite calcular a rea da superfcie de um cilindro.

St = 2

rh + 2

r2

St = 2

r ( h + r)

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Com essas explicaes, os alunos iniciaram a resoluo do problema.

Eles colocaram que a rea do crculo era r2, mas desconheciam o valor do raio.

A professora lembrou que eles conheciam o volume do reservatrio, e que o pai de Daniel dispunha somente de 5 m para colocar o tonel deitado, portanto, com essas informaes, era possvel calcular o raio.

Foram muitas as tentativas, at que um aluno perguntou: - Professora, sabemos o volume, que 5 m3. A altura 5 m. Ser que no d para descobrir o valor do raio com esses dados?

Professora: - Como voc faria?

Aluno: - Sei que o volume a rea da base multiplicado pela altura. Complementou ainda: - A rea da base r2, e a altura o espao que o pai de Daniel dispe porque ele vai colocar o tonel, que mede 5 m, deitado. Ento, posso calcular o raio, assim:e, extraindo a raiz quadrada, o raio mede 0,56 m.O aluno fez o clculo usando a calculadora. A descoberta do valor do raio fez com que os alunos calculassem a rea da superfcie.

Professoras: agora podem calcular a rea do crculo, . 0,318. Como temos dois crculos, a rea . 0,318 . 2 = 1,96 m2. O problema como calcular a rea do retngulo.

5 =

r2. 5 ou r2 = 1/ 3,14

0, 318

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Nesse momento, a professora mostrou um cilindro formado por uma folha de papel e perguntou: - Quanto mede o lado do retngulo?

Aluno: - Deve ser igual ao comprimento da circunferncia.Professora: - E quanto mede o comprimento da circunferncia?

A professora recordou que o comprimento da circunferncia 2 r, portanto a rea do retngulo

A = 2 . 0,56.5 = 17,5 m2

Assim, o pai do Daniel precisava de 1,96 + 17,5 = 19,46 m2 de material para construir o reservatrio de leo.Os clculos a seguir mostram como os alunos resolveram o problema:- Soluo do problema obtida por um dos grupos.

Um outro grupo apresentou soluo semelhante.

Soluo do problema obtida por um dos grupos.

A professora voltou a indagar: - Que outros implementos agrcolas, apresentados na explorao do tema, chamaram a ateno de vocs?

Uma aluna respondeu que o graneleiro lhe havia chamado a ateno e uma outra menina disse que havia sido a moega.

A moega, que um reservatrio para armazenar gros, muito utilizada pelos agricultores da regio. Ela tem a forma de uma pirmide invertida, construda embaixo da terra.

Os alunos responderam que eram semelhantes e que lembravam uma pirmide.Professora: - O graneleiro e a moega tm a mesma forma?

SITUAO- PROBLEMA 7 :

As duas questes seguintes foram trazidas para a aula por um aluno e surgiram no momento em que seu pai precisava construir, em sua propriedade, um reservatrio para armazenar arroz. Ele pediu a seu filho que o ajudasse a calcular, pois queria ter uma estimativa de quantos tijolos necessitava comprar e queria saber tambm quanto caberia de arroz nessa referida moega. Com as medidas fornecidas pelo pai do menino, a professora esboou no quadro o desenho da moega. O paraleleppedo da parte de cima mede 3 m de comprimento, 3 m de largura e 0,4 m de altura. A altura total da moega de 1,9 m.

Desenho representativo da moega. 1,9 m0,4 mA seguir so relatados qual o raciocnio utilizado pelos alunos para a resoluo do problema e os questionamentos feitos pela professora aos alunos.

Professora: - Para saber quantos tijolos so necessrios, que clculo devemos fazer?

Um aluno respondeu: - Precisamos saber a superfcie total.

A professora indagou: - Que figura essa? (Indicando a moega).

Aluno: - Em cima um prisma e em baixo uma pirmide.

Professora: - E ento como iremos calcular?

Aluno: - Calculamos a superfcie lateral do prisma e a superfcie lateral da pirmide e somamos.

Professora: - Muito bem, ento vamos l.

A superfcie da parte de cima, que um prisma, foi calculada pelos alunos da seguinte forma:

rea da superfcie lateral do paraleleppedo: 4 x 3 x 0,4 = 4,8 m2

Como a parte de baixo uma pirmide de base quadrangular e as faces laterais so triangulares, os alunos calcularam a rea de uma das faces e multiplicaram por 4.

Assim, obtiveram a rea lateral da pirmide Al = (3 x 1,5)/2 x 4 = 9 m2

Para calcular a superfcie total da moega, os alunos somaram a superfcie lateral do prisma com a superfcie lateral da pirmide, j calculadas anteriormente, obtendo 13,8 m2.A professora perguntou: - E agora, como vamos saber quantos tijolos sero necessrios?

Aluno: - Precisamos saber de que tamanho o tijolo.

Professora: - Muito bem, isso mesmo, ento precisamos calcular a superfcie de um tijolo.

O aluno Marcos trouxe um tijolo sala para obter as medidas.Medindo o tijolo na sala de aula.

Professora: - O tijolo vai ser colocado com a face maior ou menor?

Aluno: - Vai ser assentado no lado maior.

Para calcular a superfcie lateral maior do tijolo, que tem faces retangulares, s multiplicar o comprimento pela largura. Assim:Superfcie = 23cm x 11cm = 253 cm2 = 0,0253 m2

Professora: - Para saber quantos tijolos so necessrios, o que se deve fazer?

Aluna: - Basta dividir a superfcie total da moega pela rea da superfcie maior do tijolo.TIJOLO:23 cm

5 cm11 cmDesenhos representativos de um tijolo.

Em seguida, os alunos determinaram o nmero de tijolos que seriam utilizados para a construo da moega, obtendo 545,45 tijolos ou 546.

Na aula seguinte, as situaes-problema foram desenvolvidas com o objetivo de estudar o volume da pirmide.

Para dar inicio aula, a professora relembrou, junto com os alunos, o clculo do volume do prisma.

Disse a professora: - Agora, vamos ao laboratrio para observarmos experimentalmente como se calcula o volume da pirmide.No laboratrio, a professora foi explicando aos alunos e questionando-os.

A professora tomou um prisma (slidos de acrlico) de base quadrangular (paraleleppedo retngulo) e uma pirmide de base retangular de mesma altura do prisma e mesma rea da base e perguntou aos alunos:

Se eu encher de gua esta pirmide e coloc-la dentro do prisma, quantas vezes a quantidade de gua contida nessa pirmide cabe dentro do prisma, ou seja, quantas vezes o volume dessa pirmide maior que o volume do prisma?

Alguns alunos responderam: - 2 vezes; e outros: - 3 vezes.Bom, disse a professora, ento vamos ver, vamos encher de gua e ver quantas vezes cabe realmente.

Dando seqncia, a professora indagou aos alunos: - Que relao h entre o volume do prisma e o volume da pirmide?

Relembrando a experincia com a gua, eles responderam: - O prisma 3 vezes a pirmide.

Professora: - Que concluso vocs chegaram?Aluno: - Acho que o volume da pirmide igual ao volume do prisma dividido por 3.

Professora: - Muito bem. Como podemos representar isso que o colega falou?

Dando seqncia, a professora indagou aos alunos: - Que relao h entre o volume do prisma e o volume da pirmide?

Relembrando a experincia com a gua, eles responderam: - O prisma 3 vezes a pirmide.

Professora: - Que concluso vocs chegaram?Aluno: - Acho que o volume da pirmide igual ao volume do prisma dividido por 3.

Professora: - Muito bem. Como podemos representar isso que o colega falou?

Os alunos escreveram:

Vpirmide = 1/3 Vprisma

Essa concluso foi retomada pela professora para que todos tivessem clareza do clculo efetuado.Voltando para o problema do aluno, a professora falou: - Agora j podemos ajud-lo mais um pouco. Seu pai tambm quer saber quantos sacos de arroz cabem nesse reservatrio?

Para responder a essa questo, foi necessrio retomar o conceito de volume do prisma e da pirmide.

Analisando o desenho da moega, verificou-se que a parte de cima tem a forma de um prisma de base quadrada e, em baixo, uma pirmide.

O modo como os alunos resolveram foi o seguinte:

Resoluo do problema por um dos grupos.Logo na moega que o pai do aluno deseja construir, cabero aproximadamente 97 sacos de arroz.

SITUAO- PROBLEMA 8:

Um outro equipamento, muito utilizado pelos agricultores no transporte do arroz e lembrado por uma aluna, foi o graneleiro. Esse equipamento tem a forma polidrica, semelhante a um tronco de pirmide invertida na parte de baixo e, em cima, um prisma.Modelo real:Graneleiro.

A professora pediu aos alunos que medissem um graneleiro, e trouxessem essas medidas para a aula, a fim de que pudessem elaborar algumas questes sobre esse implemento agrcola utilizado na lavoura de arroz.Em seguida, com as medidas do graneleiro em mos, foi possvel levantar a seguinte questo pelos alunos:

Qual a capacidade desse graneleiro?

A professora indagou: - Que figura essa? Alunos: - A parte de cima um prisma e em baixo parecida com a pirmide.Professora: - Como iremos calcular a capacidade do graneleiro?Alunos: - Da mesma forma como calculamos o volume da moega. Alunos: - Calculamos o volume do prisma, o volume da pirmide e somamos.Como os alunos j possuam as medidas do graneleiro, fizeram o desenho com as medidas.1 m2,4 m2 mDesenho do graneleiro com suas medidas.

Como os alunos sabiam calcular o volume do prisma e da pirmide, realizaram o clculo do volume da seguinte forma:Vtotal = Vprisma + VpirmideVprisma = Sb x h = 2 x 2,40 x 1 = 4,8 m3Vpirmide =1/3. Sb.h = (2 x 2,4 x 1)/3 = 1,6 m3

Portanto, o volume V = 6,4 m3 o volume total do graneleiro em metros cbicos.

Professora: - Se quisermos saber quantos quilogramas de arroz cabem no graneleiro, como devemos proceder?

Alunos s multiplicar 6,4 por 600.

Professora isso mesmo, pois j sabemos que 1 m3 = 600 kg. Ento, 6,4 m3= 6,4 x 600 = 3840 kg.

Portanto, neste graneleiro, cabem 6,4 m3 de arroz a granel, ou seja, 3840 kg, aproximadamente, 4 toneladas.

SITUAO- PROBLEMA 9 :

Um aluno lembrou outro instrumento utilizado pelos agricultores, o pluvimetro, que um instrumento em forma de pirmide quadrangular regular, utilizado para verificar o ndice pluviomtrico da regio. O desenvolvimento da planta e a produo de gros dependem da temperatura e da quantidade de chuva, por isso, comum os agricultores possurem, em suas propriedades, um pluvimetro.O aluno informou que, em sua casa, havia um pluvimetro, porm, num dia de chuva, ele recolheu a gua num recipiente na forma de um cubo e gostaria de saber quanta gua esse cubo armazenou.

A professora pediu para trazer o cubo e o pluvimetro para a sala de aula e foram medidos os dois instrumentos. Ao colocar a gua no pluvimetro, na forma de uma pirmide, a altura atingiu 8 cm. Os alunos mediram o aptema da pirmide determinada pelo nvel da gua e verificaram que a medida era de 10 cm.

Desenho de um pluvimetro.

Para resolver o problema a professora iniciou dizendo: - O que precisamos calcular?

Um aluno respondeu: - O volume da pirmide formada pela gua.

Professora: - Como vamos fazer isso?Como todos ficaram calados, a professora prosseguiu: - Necessitamos calcular a medida do aptema da base dessa pirmide, pois precisamos saber a medida da rea da base.

Ao analisar o desenho, os alunos conseguiram calcular o valor do aptema da base, usando o Teorema de Pitgoras. r2 + 82 =102 e portanto r = 6 cmA seguir, a professora questionou: - Analisando o desenho, podemos descobrir qual a medida da aresta da base dessa pirmide? : - Professora, 12 cm. Tringulo retngulo.

Professora: - Como voc descobriu?

Aluno: - A base do pluvimetro quadrada, e o aptema da base mede 6 cm.

Professora: - Podemos calcular o volume de gua da pirmide com esses dados? Como vamos calcular a rea da base?

Aluno: - Professora, como a base um quadrado de aresta 12, s multiplicar um lado vezes o outro, ou seja, 12x12.

Com esses dados, os alunos calcularam o volume da pirmide formada pelo nvel da gua no pluvimetro

Vp = 1/3 x Sb x h = 1/3. 122. 8 cm3 = 384 cm3

Continuando a questo, a professora colocou o seguinte problema: - Colocando a gua armazenada no recipiente onde foi recolhida, possvel determinar a altura da gua nesse recipiente na forma de um cubo?Professora: - Vamos chamar de x a altura, atingida pela gua quando colocada no cubo de aresta medindo 10 cm. A professora seguiu, dizendo: - Como o volume da gua independe do recipiente onde est armazenado, de que forma iremos calcular a altura(x) atingida pela gua no cubo?

Aluno: - Como no cubo todas as arestas tm a mesma medida, para calcular o volume, s multiplicar a medida do comprimento pela largura e pela altura.Fazendo o clculo: 10.10.x = 384 x = 3,84 cm

Ao efetuar o clculo, podemos concluir que a altura da gua, quando colocada num cubo de 10 cm de aresta, de 3,84 cm.

Essas questes postas pelos alunos e a busca de soluo foram etapas desenvolvidas com muita motivao e interesse pelos alunos. Nesse momento, foi possvel perceber a eficcia da metodologia da Modelagem para ensinar Matemtica a partir de situaes vivenciadas pelos alunos.

Durante a visita fbrica de implementos agrcolas, os alunos tiveram a oportunidade de visualizar como so realizados os clculos para a fabricao de um silo e de outros maquinrios utilizados na agricultura. Dessa visita surgiu outra questo:

SITUAO- PROBLEMA 10 :Quanto de metal necessrio para construir um silo? Silo.

Professora: - Para calcular a rea da superfcie lateral do silo, facilita o entendimento se o visualizarmos planificado. Como sua forma a de um cilindro, vamos planificar um cilindro.Para iniciar a resoluo desse problema, a professora perguntou aos alunos: -

O que, matematicamente, estamos necessitando resolver?

Analisando a foto do silo, os alunos perceberam que a forma do silo um cilindro, e a parte de cima um cone.

Ento um aluno respondeu: - A rea lateral do cilindro e do cone.

Professora: - Como podemos calcular a rea lateral do cilindro? E do cone?

h2 r

Professora: - Que figura v-se na lateral do cilindro planificado?Aluno: - Forma um retngulo.Professora: - Ento, como se calcula a rea de um retngulo?Aluno: - s multiplicar a base pela altura.Professora: - Mas, quanto mede a base desse retngulo?Aluno: - 2 r, porque o comprimento da circunferncia do cilindro.

A professora lembrou aos alunos que, na visita cooperativa, o funcionrio havia informado as dimenses do silo. Os alunos confirmaram que o raio do silo era de aproximadamente 2,36 m e a altura 4,73 m.Planificao do cilindro.

Assim, Acilindro = 2 r.h = 2. 3,14. 2,36. 4,73Acilindro = 70,10 m2

Professora: - At agora foi calculada a rea lateral do silo (cilindro). O que falta ainda calcular?Aluno: - O coberto.

Professora: - Como o coberto de um silo?Aluno: - um cone. Professora: - Como o coberto de um silo?

Aluno: - um cone.

A planificao do cone formada por um setor circular cujo raio igual geratriz e por um crculo de raio r igual ao raio da base do cone.Planificao do cone.Desenho de um cone com seus elementos.

Aluno: - Professora, ento o telhado do silo no um cone completo, porque ele s tem a parte do setor circular.

Professora: - realmente como vimos nas visitas cooperativa e na fbrica de implementos, o telhado de um silo um cone, mas sem a base.

Professora: - Para calcular a rea da superfcie lateral do cone (telhado do silo), vamos tambm visualiz-lo planificado.Setor circular.

A base do setor circular o comprimento da circunferncia que forma a base do cone. Ento a rea lateral do cone determinada pela rea do setor circular.Para determinar a rea do setor circular, a professora chamou a ateno para o fato de que, se o crculo de raio g fosse completo, o comprimento da circunferncia seria 2 g, e a rea correspondente seria g2.

Como temos s um setor circular, podemos determinar sua rea fazendo uma regra de trs, isto , observando que

Asetor/

g2 = 2

r/2

g

Ento: Asetor =

g2. 2

r/2

g =

rg

_1289589208.unknown

Portanto, a rea lateral do cone a rea do setor circular conforme a figura.Com as dimenses do silo fornecidas pela fbrica, temos: r = 2,36 m e h = 2m, ento pelo teorema de Pitgoras, resulta:g2 = h2 +r2 = 22 +(2,36)2 = 9,5696ou g = 3,06 mrea lateral do cone com seus elementos.

Alateral cone =

rg

_1289589208.unknown

Portanto, a rea lateral do cone que compe a parte de cima do silo e a rea lateral do silo calculada somando-se a rea lateral do cilindro com a rea lateral do cone:Ou seja, necessitamos de aproximadamente 92,99 m2 de metal para construir o silo em questo.

Alcone = 3,14. 2,36. 3.09 = 22,89 99 m2,

Asilo = Aci +Alc = 70,10 + 22,89 = 92,99 m2

Nessa questo vrios alunos tiveram dificuldade em solucionar, somente foi possvel resolv-la com a interveno da professora.

Em seguida, a professora solicitou que cada grupo recortasse um retngulo de papel, de qualquer tamanho, unisse as bordas nos dois sentidos e perguntou aos alunos: - Em qualquer um dos sentidos que enrolarmos a folha (retngulo) de papel, que figura forma?

Alunos: - Um cilindro.

Professora: - Imaginemos que cada um desses cilindros formados pela unio das bordas ilustre as laterais de um silo, qual dos cilindros tem maior volume, ou seja, em qual deles cabe mais arroz?

Os grupos calcularam o volume de cada cilindro que construram.

Primeiramente, mediram o retngulo que recortaram, e cada retngulo originou duas possibilidades de cilindros. Veja o clculo realizado por trs grupos:

Cada grupo calculou a razo entre os volumes e a razo entre as alturas e concluram, nessa tarefa, que a razo entre os volumes igual razo inversa entre as alturas, ou seja, o cilindro (silo) de menor altura tem o maior volume, comportando, portanto, mais arroz que o silo de maior altura.

A professora sugeriu aos alunos que comparassem as medidas da altura e do dimetro da base dos cilindros que haviam construdo.

Aps, a professora indagou aos alunos: - Qual dos cilindros tem maior volume?

Depois de muita discusso e comparaes, concluram que o cilindro tem maior volume quando a altura prxima do dimetro da base.

Essa concluso foi feita aps analisar vrios cilindros, aumentando a base e diminuindo a altura.

A professora indagou: - As dimenses do silo que visitamos tm essa relao?

Os alunos lembraram que o funcionrio havia lhes informado que o raio da base do silo media 2,36 m, e a altura era 4,73 m. Logo, com essas dimenses, o volume do silo era mximo.

Tambm se pde concluir, por meio dessa atividade, que a forma ideal de um silo estabelecida pela economia de material para a fabricao, capacidade de armazenamento e a durabilidade do gro.

Teve-se aqui um momento precioso que possibilitou desenvolver no aluno a capacidade de observao e anlise para a tomada de deciso sobre a questo levantada.

A situao-problema seguinte foi proposta pelos alunos e tambm surgiu a partir da visita fbrica de mquinas agrcolas. Nessa visita, o funcionrio mostrou aos alunos como funcionava uma semeadura.

Semeadeira.

SITUAO- PROBLEMA 11 :

Observando a semeadeira, um aluno indagou: - Qual a quantidade de material (chapa de ferro) necessria para construir esta semeadeira?

O funcionrio respondeu que a capacidade da semeadeira era de 1.000 kg, mas, para saber a quantidade de material, precisava fazer as contas.

Em sala de aula, a professora perguntou: - O que precisamos calcular para saber quanto de material necessrio para construir uma semeadeira?

Um aluno respondeu: - A rea da semeadeira, ou seja, a rea lateral do cone.

Como a capacidade da semeadeira de 1.000 kg, primeiramente os alunos passaram para metros cbicos, atravs da regra de trs, utilizando novamente a relao:

Para determinar o volume do cone, a professora utilizou a mesma estratgia para determinar o volume da pirmide.

Foram comparados um cilindro e um cone de mesma base e mesma altura. Os alunos colocaram gua no cone e depois transferiram para o cilindro.

Desse modo, concluram que, no cilindro, cabia trs vezes mais gua.

A professora fez uma sntese do resultado da experincia. Se o volume do cilindro de raio r e altura h

r2h, ento o volume do cone V = 1/3

r2h.

Como, em geral, uma semeadeira possui 1 metro de altura, temos:

1,66 = 1/3. 3,14. r2.1

Logo, r = 1,26 m

r

r

g

h

_1289589208.unknown

Desenho representativo de uma semeadeira.Conhecendo o raio da base do cone, foi possvel calcular a superfcie lateral

r2h, ento o volume do cone V = 1/3

r2h.

Como, em geral, uma semeadeira possui 1 metro de altura, temos:

1,66 = 1/3. 3,14. r2.1

Logo, r = 1,26 m

r

r

g

h

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Como os alunos j haviam trabalhado com um problema semelhante a professora recordou que a superfcie lateral de um cone circular reto com raio da base medindo r e geratriz g equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco mede 2 r. Portanto, Alateral cone = .r. g

Para visualizar essa equivalncia, cortamos sua superfcie lateral sobre uma geratriz e, por fim, planificamos a regio obtida.Desenho da superfcie lateral da semeadeira.

A professora desenhou no quadro um cone, representando a semeadeira.

O raio da base da semeadeira foi calculado, e sua medida 1,26 m. Para determinar a geratriz, os alunos usaram o Teorema de Pitgoras. Tringulo retngulo.r

h

g

g2 = r2 + h2 = (1,26)2 + 12

g = 1,5876 m ou aproximadamente 1,59 m.

Tendo calculado a medida da geratriz, os alunos calcularam a rea lateral do cone. Al =3,14 .1,26.1,59 = 6,29 m2

Ento, para fabricar uma semeadeira com capacidade para 1.000 kg, a fbrica precisar de aproximadamente 6,29 m2 de metal.Por meio dessas situaes-problema foi possvel realizar o estudo do prisma, cilindro, cone e pirmide. Para a compreenso desse contedo, a Modelagem Matemtica foi uma metodologia que se mostrou eficiente, alm disso, o tema escolhido foi adequado para a turma em questo.

CONSTRUO DE MAQUETES PELOS ALUNOSNessa atividade, a professora solicitou que cada grupo de alunos construsse uma maquete de um implemento agrcola utilizado na lavoura de arroz e utilizasse uma escala para fazer a equivalncia das medidas, com escala horizontal e escala vertical.

O objetivo de propor essa atividade aos alunos foi proporcionar o desenvolvimento da percepo tridimensional dos objetos construdos, oferecendo aos estudantes um recurso didtico poderoso e relativamente simples de se construir.

Outro objetivo foi utilizar o material concreto como forma de auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, mostrando que a Geometria pode ser trabalhada de maneira construtiva, atrativa e motivadora.

Todos os grupos entregaram, alm da maquete, um trabalho por escrito, orientado pela professora, que deveria conter: capa, introduo, desenvolvimento e concluso. No desenvolvimento, os alunos teriam que elaborar pelo menos uma situao-problema referente ao implemento escolhido para a confeco da maquete.

Maquete uma semeadeira um equipamento utilizado para semear o arroz. a semeadeira utilizada comomodelo real nesse trabalho possui a forma de um tronco de cone e feita demetal.A maquete tambm foi construda em metal, na escala 1: 8 cm Maquete do grupo 5: semeadeira.

Maquete do silo A maquete do silo foi muito bem construda pelo grupo, muito criativa, foi quase toda feita em metal. Alm de fazer a maquete do silo, eles fizeram a maquete de toda a estrutura que compe o silo, como o elevador e os condutores, conforme mostrado na figura.Segundo o relato dos prprios alunos, foi muito difcil fazer a cobertura do silo, pois um cone, e a planificao do cone d um setor circular. Eles tiveram que fazer o molde planificado do cone em papel, mas, segundo eles,no dava certo e foi difcil de encaixar a base do cone na base cilindro.Depois de fazer o molde em papel, eles recortaram o molde em uma chapa metlica e soldaram.Maquete do grupo 4: silo metlico.

Aps serem concludos os trabalhos com os alunos, utilizando-se a Modelagem Matemtica, pde-se constatar que a construo do conhecimento ocorreu de forma efetiva. Isso se evidenciou no momento em que os alunos utilizaram as informaes que recolheram na explorao do tema e nas visitas a campo e as transformaram em conhecimento para a resoluo das situaes-problema. Percebe-se que esses alunos conseguiram vincular o conhecimento adquirido no dia-a-dia com a Matemtica estudada em sala de aula. Um dos indcios foi o comentrio de um dos alunos:

- Este trabalho possibilitou uma aproximao entre a matemtica terica e a prtica, mostrando que ela est mais presente no nosso dia-a-dia do que podemos imaginar.CONSIDERAES FINAIS

Algumas contribuies foram observadas com o uso da Modelagem Matemtica em relao s aulas tradicionais, no que diz respeito ao entendimento dos conceitos de Geometria Espacial, tais como:

Proporcionou ao aluno o contato com a representao dos slidos geomtricos manipulveis que se encontram no meio em que eles vivem. Facilitou a visualizao da utilidade dos contedos estudados em sala de aula, possibilitando aos alunos fazer a conexo da Matemtica com a realidade vivida por eles no seu dia-a-dia. Propiciou aos alunos a compreenso e resoluo de situaes-problema reais, de seu interesse. Facilitou a troca de informaes entre os alunos, que se ajudaram mutuamente, com a interveno da professora, quando necessrio, proporcionando um trabalho pedaggico cooperativo.

O professor deixou de ser o detentor do conhecimento e passou a ser o orientador, motivador do melhor caminho a seguir para a construo do conhecimento pelos prprios alunos, podendo, atravs dessa prtica cooperativa, aprender junto com eles.

No sculo XVII o matemtico Italiano Bonaventura Cavalieri estabelece um princpio bsico para o clculo de volumes, que diz que dois slidos que tiverem a rea da base igual e, sempre que seccionados por um mesmo plano vo gerar reas iguais, tero o mesmo volume. Princpio de Cavalieri

4 cm8 cmA = 32 cm2Desenhos da atividade realizada por um grupo de alunos.

C = 2

r V =

r2h

8 = 2

r V = 64/

r = 4/

_1289589208.unknown

C = 2

r V =

r2h

4 = 2

r V = 32/

r = 2/

_1289589208.unknown

A = 24 cm2

4 cm6 cmDesenhos da atividade realizada por um grupo de alunos.

C = 2

r V =

r2h

6 = 2

r V = 36/

r = 3/

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C = 2

r V =

r2h

4 = 2

r V = 24/

r = 2/

_1289589208.unknown

A = 6000 cm2 20 cm30 cmDesenhos da atividade realizada por um grupo de alunos

C = 2

r V =

r2h

30 = 2

r V = 4500/

r = 15/

C = 2

r V =

r2h

20= 2

r V = 3000/

r = 10/

_1289589208.unknown