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ANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADE
R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O
M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A
E – m a il g a b a r ito c e r to @ h o tm a il .c o m
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Dedico este trabalho a meu Pai
Antonio dos Santos
1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1. Binômio de Newton
Chamamos binômio de newton a expressão (x + a)n. O desenvolvimento desse binômio é dado por:
1.1] Triângulo de Pascal O Triângulo de Pascal é um método prático de determinar os valores dos números binomiais da forma :
O triângulo segue uma lógica de formação dos números binomiais 0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
6
0
6
1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
7
0
7
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
0
n n
n
Calculando cada número binomial na formação acima teremos: Observe que existe uma lógica de preenchimento.
A soma de dois números vizinhos é igual ao número abaixo do segundo número somado.
( )x an
x an
x an
x an
nx a
n n n n n+ =
+
+
+ +
− −
0 1 2
0 1 1 2 2 0. . . . . . ... . .
( )n
p
n
p n p
=
−
!!. !
2
1.2] Desenvolvimento do Binômio de Newton.
1.2.1] Desenvolva (x+2)5
Solução:
( )x x x x x x x+ =
+
+
+
+
+
=− − − − −2
5
02
5
12
5
22
5
32
5
42
5
52
5 5 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 5. . . . . . . . . . . .
= + + + + + =x x x x x5 4 3 25 2 10 4 10 8 5 16 32. . . . . .
= + + + + +x x x x x5 4 3 210 40 80 80 32.
1.2.2] Desenvolvimento de (2x + 3)4
1.2.3] Desenvolvimento de (3x - 1)6
1.2.4] Desenvolvimento de (1 + i)4 onde i é complexo.
1.2.5] Desenvolvimento de (1 - 2x)3
1.2.6] Desenvolvimento de (-2x - 3)4
1.2.7] Desenvolvimento de x −
3
2
5
1.2.8] Desenvolvimento de x
xy3
2
4
+
1.2.9] Desenvolvimento de 21 6
xx
−
1.2.10] Desenvolvimento de xx
−
1 4
3
1.3] Termo geral do desenvolvimento do Binômio de Newton.
Percebemos que em qualquer desenvolvimento do binômio tipo (x + a)n, teremos sempre n+1 parcelas formadas por três fatores, compondo, um número binomial, uma potência de x e uma potência de a. Assim podemos prever uma determinada parcela ou termo do desenvolvimento do binômio, poupando o trabalho de calcular todos os termos do mesmo. Aplicando a fórmula abaixo encontraremos o k-ésimo termo do desenvolvimento, onde p = k - 1 e n o expoente do binômio.
Tkn
pxn p ap=
⋅ − ⋅ , onde p = k-1
1.3.1] Determine o 8° termo do binômio ( )x +2 10
Solução: queremos o 8° termo logo k =8 então p = k - 1⇒ p = 7 n = 10 Substituindo esses valores na fórmula do Termo geral teremos:
( )T x x x8
10
73 27 10
7 10 73 27 10 9 8 7
7 33 128=
⋅ ⋅ ⇒
−⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒
!!. !
. . . !!. !
⇒ ⋅ ⋅ ⇒ =120 3 128 8 15360 3x T x
1.3.2] Determine o termo em x10 no desenvolvimento de (2x2 - 5)8:
1.3.3] Determine o termo independente em xx
2 1 5+
1.3.4] (MED. ABC) Calcule o 5° termo de (x - 3)6.
1.3.5] (UF-MG) Determine o 6° termo de 2 22
10x
x+
1.3.6] (UF-PA) Qual o valor do termo médio de (2x + 3y)8
1.3.7] (U Estadual - CE) Determine o coeficiente de x4 de (2x + 1)8
1.3.8] (PUC-RS) O Coeficiente de x2 no desenvolvimento de 21 6
xx
−
1.3.9] (PUC-RS) No desenvolvimento de (x + a)10, ordenado segundo as
potências decrescentes de x, o 5° termo é igual a 1058
6⋅ x , se a>0
então o valor de a será igual a:
4
1.3.10] (UF-AM) O Termo independente de x no desenvolvimento do
binômio xx
4 1 10−
é igual a:
1.3.11] (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão xx
xx
+
−
1 16
. obtém-
se como termo independente de x o valor igual a:
1.3.12] (Proposto) Qual a condição que n deve suportar para que no
desenvolvimento de xx
n+
12
tenha um termo independente de x.
2. Princípios de Contagem
O princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, estabelece que: O número de maneiras distintas de ocorrer um evento composto de n etapas independentes é dado pelo produto das quantidades de cada evento considerado. Exemplo: Uma lanchonete serve 3 tipos diferentes de sanduíches e 4 tipos diferentes de refrigerantes. De quantos modos uma pessoa pode fazer um lanche, utilizando no pedido um sanduíche e um refrigerante? Pelo princípio multiplicativo temos: Evento sanduíche = 3 Evento refrigerante = 4 logo o total de pares (sanduíche, refrigerante) será dado por: Total de modos = 3 x 4 = 12 modos diferentes de fazer o lanche.
PERMUTAÇÃO - fórmula Pn n==== !
Permutar significa trocar. Na permutação, a troca de posição dos elementos no grupamento, cria uma nova situação. Exemplos. Seja o número 3567, se trocarmos de posição os algarismos das extremidades teremos o número 7563. Como 3567 é diferente de 7563, estamos diante de uma permutação. A fórmula da permutação demonstra a quantidade de grupos distintos que se pode formar.
Pn n==== ! onde n é a quantidade de elementos a serem permutados. No nosso exemplo, n = 4, logo Pn = 4! = 4.3.2.1 = 24 grupos distintos. Aplicando o princípio multiplicativo chegaríamos ao mesmo resultado.
5
O grupo é formado por 4 posições. P1 P2 P3 P4
Na posição P1 pode ser colocado qualquer dos 4 algarismos (3,5,6 ou 7), portanto o número de eventos dessa posição é 4 Na posição P2, temos à disposição 3 algarismos (pois um já ocupa a posiçãp P1), portanto o número de eventos dessa posição é 3. Na posição P3, temos à disposição 2 algarismos (pois dois já ocupam a P1 e a P2), portanto o número de eventos dessa posição (P3) é igual a 2. Resta apenas a posição P1, com 1 algarismo à sua disposição. Assim, pelo princípio multiplicativo podemos demonstrar que o total de permutações possíveis com elementos distintos será:
4
P4
x x x3 2 1
P3P2P1
o que resulta em 24 modos.
ARRANJO - fórmula : (((( ))))An p
nn p,
!!
====−−−−
O Arranjo tem o mesmo significado da permutação, porém o número de elementos no grupo pode ser menor do que a quantidade de elementos a serem permutados. No exemplo da permutação, permutamos os 4 algarismos (6,5,3,7), em grupos de 4. Já no Arranjo a permutação pode ser feita, formando grupos com menor número de algarismos. Nesse caso n representa o número de algarismos à disposição e p, representa o número de elementos no grupo formado.
(((( ))))An p
nn p,
!!
====−−−−
Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar utilizando 6,5,3,7 ? Aplicando a fórmula teremos:
(((( )))) (((( ))))An p
nn p,
!!
!!
. . !!
.====−−−−
====−−−−
==== ==== ====4
4 24 3 2
24 3 12
Vejamos pelo princípio multiplicativo. O grupo é formado por 2 posições. P1 P2
Na posição P1 pode ser colocado qualquer dos 4 algarismos (3,5,6 ou 7), portanto o número de eventos dessa posição é 4 Na posição P2, temos à disposição 3 algarismos (pois um já ocupa a posiçãp P1), portanto o número de eventos dessa posição é 3.
6
Assim, pelo princípio multiplicativo podemos demonstrar que o total de Arranjos possíveis com elementos distintos será:
4 x 3
P2P1
o que resulta em 12 modos.
COMBINAÇÃO - fórmula: (((( ))))Cn p
np n p,
!!. !
====−−−−
Existem situações onde a ordem dos elementos não vai fazer diferença. Exemplos: A ordem das pessoas numa comissão, não difere a comissão. Joao, Maria e José fazem parte de um grupo ou comissão. Se invertermos as posições dessas pessoas, não vai alterar a composição da comissão!. O princípio multiplicativo não se aplica nos casos de combinação.
Elementos repetidos nos eventos Quando houver elementos repetidos nas situações teremos que dividir os resultados pelo fatorial das quantidades repetidas.
2.1.1] PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Pnx y z n
x y z, , ,... !
!. !. !....====
onde a, b, c... são as quantidades repetidas. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra BARBARIDADE? Solução: Na palavra BARBARIDADE temos: 11 letras, n = 11 2 letras (B) repetidas, a = 2 3 letras (A) repetidas, b = 3 2 letras (R) repetidas, c = 2 2 letras (D) repetidas, d = 2 Aplicando a fórmula acima teremos:
P112 3 2 2 11
2 3 2 21110 9 8 7 6 5 4 3 21
21213 2121831600, , , !
!. !. !. !. . . . . . . . . .
. . . . . . . .==== ==== ====
7
2.1.2] ARRANJO COM ELEMENTOS REPETIDOS
(((( ))))An
a b c na b c n p
, , .. !!. !. !... !
====−−−−
Seguindo o mesmo raciocínio da permutação com elementos repetidos.
2.1.3] COMBINAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
(((( ))))Cn
a b c na b c p n p
, , .. !!. !. !.. . ! !
====−−−−
EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.1.4] Uma lanchonete serve 3 tipos diferentes de sanduíches e 4 tipos de refrigerantes. Quantos modos uma pessoa pode fazer o pedido, de um sanduíche e um refrigerante.
2.1.5] Numa escola, haverá um campeonato de futebol de salão do qual tomarão parte 5 classes. Apenas as duas primeiras colocadas participarão das olimpíadas escolares. Quantas possibilidades existem para os dois primeiros lugares, sabendo-se que:
qualquer uma das 5 classes pode ocupar o primeiro lugar tendo uma classe ocupado o primeiro lugar, restam 4 classes para ocupar o segundo.
2.1.6] Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6.
2.1.7] Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6
2.1.8] Quantas chapas de carro com 3 letras e 4 algarismos (nessa ordem, considerando o alfabeto com 26 letras) podemos formar?
2.1.9] Chamamos ANAGRAMA de uma palavra a todo arranjo que podemos formar com as mesmas letras da palavra primitiva. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LIVRO ?
2.1.10] Luís e Jaime vão disputar um torneio de tênis. O primeiro a vencer 2 jogos consecutivos ou o primeiro a vencer um total de 3 partidas vencerá o torneio. Construa a árvore com todas as possibilidades de desenvolvimento desse torneio.
2.1.11] No início de um jogo, Fernando tem R$850,00. A cada jogada, se Fernando vencer, ganha R$10,00, e se perder, paga R$10,00. Determine os possíveis valores que Fernando terá ao final de três jogadas.
2.1.12] De quantas maneiras podem ser escolhidas, no tabuleiro de xadrez, uma casa preta e uma casa branca:
quaisquer que não estejam na mesma vertical nem na mesma horizontal?
8
2.1.13] Uma prova consta de 10 questões do tipo (v) ou (f). De quantos modos um aluno poderá responder todos os testes?
2.1.14] Em um ônibus há 5 lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantos modos elas podem se sentar?
2.1.15] Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escrever com 4 algarismos ímpares distintos?
2.1.16] Existem duas estradas que ligam as cidades A e B e 3 estradas que ligam B a C. De quantos modos distintos é possível ir de A a C, passando por B?
2.1.17] Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 podem ser formados números de 4 algarismos?
2.1.18] Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 podem ser formados números de 4 algarismos distintos?
2.1.19] Quantos números de telefone com 7 algarismos e prefixo 237 podem ser formados?
2.1.20] Quantos anagramas da palavra SABUGO, começam com a sílaba SA?
2.1.21] Calcule quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar no Sistema Decimal de numeração. Dentre eles, quantos são maiores que 5000?
2.1.22] Dispondo de seis cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com três listras verticais de cores diferentes?
2.1.23] Uma comissão de uma câmara de vereadores é composta por um presidente, um secretário e um vereador convidado. Considerando que essa câmara possui 18 vereadores, de quantos modos pode-se escolher a comissão?
2.1.24] Numa estante estão disposto 8 livros distintos, sendo 3 de matemática, 2 de física e 3 de química. Determine de quantas formas distintas podemos dispor os livros, de tal maneira que os de Matemática fiquem sempre juntos.
2.1.25] Numa estante estão disposto 8 livros distintos, sendo 3 de matemática, 2 de física e 3 de química. Determine de quantas formas distintas podemos dispor os livros, de tal maneira que os de uma mesma matéria fiquem sempre juntos.
2.1.26] Quantos números com 3 algarismos distintos são maiores que 500 e menores que 700?
2.1.27] Forme números obtidos pela permutação dos algarismos 2,3,4,8,9 e disponha-os em ordem crescente. Que lugar ocupa o número 43892?
9
2.1.28] Quantos segredos diferentes pode ter um cofre que possui dois discos sendo um com 26 letras e um outro numerado de 1 a 9. O segredo consiste em 4 letras distintas e 2 números distintos, nessa ordem.
2.1.29] Quantos anagramas onde as vogais permanecem juntas, tem a palavra VESTIBULAR?
2.1.30] Quantos anagramas tem a palavra ARARA?
2.1.31] Qual a quantidade de números de 3 algarismos que tenham, pelo menos, dois algarismos repetidos?
2.1.32] Calcule o número de anagramas da palavar BORRACHA?
2.1.33] Quantas comissões podemos formar com 3 alunos a partir de um grupo de 5?
2.1.34] Qual o número de comissões que podemos formar com 2 professores de 3 alunos a partir de um grupo de 5 professores e 8 alunos?
2.1.35] Qual o número de diagonais de um polígono convexo de 9 lados?
2.1.36] Dados 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma outra reta paralela à primeira. Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses pontos?
2.1.37] Numa classe com 20 alunos, um professor deseja formar grupos
de 5 alunos. Quantos grupos poderá formar?
2.1.38] Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos?
2.1.39] Quantos triângulos podem ser formados unindo os pontos das retas abaixo?
2.1.40] De quantas formas um jogador pode receber 5 cartas distribuídas
ao acaso num baralho comum de 52 cartas?
2.1.41] Com 5 frutas deseja-se fazer vitaminas com 3. Quantas vitaminas poderá ser colocada no cardápio?
2.1.42] Quantos triângulos podem ser formados juntando-se os pontos de um icoságono?
2.1.43] De quantos modos podemos atingir B partindo de A, passando por cada ponto do campo, utilizando somente movimento à direita e movimento para baixo?
10
A
B
2.1.44] (UF-RS) A solucão da equação 2 4 4 5. , ! ,Ax Cx x= − é:
2.1.45] (CESCEA-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados com os digitos 1,2,3,4,5, e 6?
2.1.46] (UF-CE)A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos, 1,2,4,5,7,8 e 9 é:
2.1.47] (FGV-SP) Quantos números maiores que 400, pares, de três algarismos, que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7 8.
2.1.48] (UF-CE) Considere os números inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:
2.1.49] (SANTA CASA-SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem.
2.1.50] (MACK-SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que 90000 e que são divisíveis por 5 é:
2.1.51] (USP) O total de números múltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos, 1,2,3,4,5 e 6 é:
2.1.52] (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 colunas e 4 linhas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças podem ser colocadas?
2.1.53] (UNESP-SP) Um examinador dispõe de 6 questões de álgebra e 4 de geometria para montar uma prova de 4 questões. Quantas provas diferentes ele pode montar usando 2 questões de álgebra e 2 de geometria?
2.1.54] Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
2.1.55] Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?
11
2.1.56] Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independentemente da posição do assento. Combinando assento e encosto, quantas posições diferentes esse banco pose assumir?
2.1.57] Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?
2.1.58] Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?
2.1.59] Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios?
2.1.60] Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?
2.1.61] Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões "standard", "luxo" e "superluxo", quantas são as alternativas do comprador?
2.1.62] De quantas formas podemos responder 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: "sim" ou "não"?
2.1.63] Uma prova consta de 20 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder a prova?
2.1.64] Uma loteria apresenta 10 jogos, cada um com 4 possíveis resultados. Usando a aproximação 210 ≅≅≅≅ 103, qual é o número total de resultados possíveis?
2.1.65] Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits?
2.1.66] Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?
12
3. Noções de Probabilidade
3.1] Noções de Probabilidade Qual a probabilidade de ocorrer o número 4 no lançamento de um dado?
Para responder a esta pergunta devemos antes considerar alguns pontos: Primeiro, devemos considerar a quantidade de eventos que pode ocorrer no lançamento do dado. A essa quantidade chamamos de Quantidade do Espaço Amostral representada aqui por n(E). No caso, o dado pode ocorrer: E = {1,2,3,4,5,6}, assim n(E) = 6 A ocorrência é o número 4 e a essa quantidade denominamos n(A) = 1, pois a quantidade de elementos na ocorrência é igual a 1.
Assim a probabilidade será dada por: P An An E
( )( )( )
= =16
Vejamos alguns exemplos:
3.1.1] Qual a probabilidade de, jogando um dado de 6 faces, obtermos um número maior que 4?
Solução: n(E) = 6, pois temos 6 faces no dado n(A) = 2, pois os números possíveis serão o 5 ou 6.
Assim: P An An E
( )( )( )
= = =26
13
13
3.1.2] Dispondo de um baralho completo, qual a probabilidade de retirar, ao acaso, uma carta de ouro?
Solução: Para resolvermos problemas de probabilidade envolvendo cartas é preciso conhecer algumas particularidades desse jogo. Um baralho, completo possui 52 cartas, divididas em 4 naipes. Os naipes são: ouro, paus, espada, copas. Cada naipe possui 13 cartas, onde 9 são números e 3 figuras (Valete, Dama e Rei) e um Ás.
NUMEROS FIGURASouro ♦♦♦♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D J K Apaus ♣♣♣♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D J K Acopas ♥♥♥♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D J K Aespada ♠♠♠♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D J K A
Assim, o n(E) = 52 e n(A) = 13, pois temos 13 cartas de ouro!
P An An E
( )( )( )
= = =1352
14
podemos expressar esse resultado em termos percentuais P A( ) , %= =0 25 25
14
3.2] PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR Sabemos que a probabilidade de ocorrer um evento A é dado por:
P An An E
( )( )( )
=
A probabilidade de não ocorrer o evento A é dado por
P An An E
( )( )( )
=
De fato , sendo A , o complementar de A , podemos escrever que
n A n A n E( ) ( ) ( )+ = , dividindo ambos os termos por n(E) teremos:
n An E
n An E
n En E
P A P A( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )+ = ⇒ + =1
Dessa forma podemos conhecer da probabilidade da não ocorrência de um evento A, pela sua ocorrência. Vejamos um exemplo.
3.2.1] Qual a probabilidade de não ocorrer o número 4 no lançamento de um dado?
Solução: Sabemos que para ocorrer o número 4 temos:
P An An E
( )( )( )
= =16
logo para não ocorrer :
P(A) P(A) 1+ =
P A A( ) ( ) P= −1
P(A) 1 P(A) P(A) 1 16
= − ⇒ = − ⇒
P(A) 56
=
15
3.3] REGRA DA SOMA. Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)∪ ∩ , é obvio que se não houver elementos na intersecção A e B são mutuamente exclusivos e nesse caso teremos P(A B) = P(A) + P(B)∪ Vejamos alguns exemplos que ilustram essa aplicação:
3.3.1] Numa urna, existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Uma bola é tirada ao acaso. Qual a probabilidade de se retirar um número par ou maior que 4.
Solução: Espaço Amostral: E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} n(E) = 10 Evento A: (ser número Par) A = {2,4,6,8,10} n(A) = 5 Evento B: (ser maior que 4) B = {5,6,7,8,9,10} n(B) = 6 Evento (A ∩ B): (ser número par maior que 4) (A ∩ B) = {6,8,10} n(A ∩ B) = 3 A probabilidade P(A ∪ B) será dada por P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P A B( )∪ = + −5
106
103
10
P A B( )∪ =8
10
16
3.4] REGRA DO PRODUTO Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral E, a probabilidade de ocorrer B, tendo ocorrido A é dada por:
P B AP A B
P A( / )
( )( )
=∩
, chamamos P B A( / ) a probabilidade condicional de
B em relação a A. Se A e B são independentes, então P B A P B( / ) ( )= Vejamos alguns exemplos
3.4.1] Numa urna temos 100 bolas numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola sorteada é par. Vamos calcular a probabilidade de ser um múltiplo de 10.
Solução: n(A) = 50 (pois de 1 a 100 temos 50 números pares) n(B) = 10 (pois de 1 a 100 temos 10 números múltiplos de 10) n(A∩B) = 10 (pois temos 10 números pares e múltiplos de 10) Assim a probabilidade de ser um múltiplo de 10, sabendo-se que a bola sorteada é par será :
P B AP A B
P A( / )
( )( )
=∩
= =
1010050
100
15
17
3.4.2] Uma urna contém 7 cartões numerados de 1 a 7. Qual a probabilidade de retirarmos o cartão 1 e, sem sua reposição, o cartão 3 em seguida.
Solução: A probabilidade de retirar o cartão 1 na primeira retirada é:
P An An E
( )( )( )
= =17
Como não houve reposição do cartão retirado o espaço amostral ficou reduzido a 6 cartões, logo a probabilidade de ocorrência do número 3 na segunda retirada é:
P B An Bn E
( / )( )( )
= =1
16
Como devem ocorrer os dois eventos P(A∩B) temos
P(A∩B) = P(A) . P(B/A) = 17
16
142
⋅ =
3.4.3] Um dado é lançado 3 vezes. Qual a probabilidade de ocorrer 6 em todos os lançamentos.
Solução: A probabilidade de ocorrer 6 em qualquer um dos lançamentos é
igual a P An An E
( )( )( )
= =16
, pois não houve alteração no dado nem na
mecânica de lançamento. Logo a probabilidade será dada por:
P A B C( )∩ ∩ = ⋅ ⋅ =16
16
16
1216
3.4.4] Uma pessoa recebe 5 cartas, uma após a outra, de um baralho comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de Espadas.
Solução:
Lembrando que no baralho temos 13 cartas de espadas (♠) e que a distribuição das cartas foi feita sem a reposição, alterando desta forma o espaço amostral (E) das retiradas subsequentes temos:
P A B C D E( )∩ ∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1352
1251
1150
1049
948
3366640
18
3.4.5] Qual a probabilidade de ocorrer o número 2 somente na terceira jogada de um dado?
Solução: A probabilidade da ocorrência do evento (número 2) é igual a:
P An An E
( )( )( )
= =16
A probabilidade da não ocorrência do número 2 pode ser encontrada utilizando o conceito de probabilidade complementar dada por: logo para não ocorrer :
P(A) P(A) 1+ =
P A A( ) ( ) P= −1
P(A) 1 P(A) P(A) 1 16
= − ⇒ = − ⇒
P(A) 56
=
Assim a probabilidade pedida será dada por:
P(~ ~ )2 2 256
56
16
25216
∩ ∩ = ⋅ ⋅ =
19
3.5] LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE Existem eventos em que o número de situações de ocorrência estará associado a um número binomial. Vejamos um exemplo:
3.5.1] Jogando-se um dado 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer o número 1 duas vezes?
Solução explicada: Observe que não está sendo pedida uma "ordem" de ocorrência do número 1 nesses lançamentos. Desta forma o número 1 pode aparecer "duas vezes" em qualquer lançamento. Vejamos as possíveis configurações de ocorrência nesses lançamentos.
O número de situações de ocorrência do número 1 é igual ao número de possibilidades de se escolherem duas dentre as cinco casas disponíveis para colocar o número 1, ou seja, estamos diante de uma Combinação onde n=5 e p=2, assim:
( )C
np n p
n
pnp,!
!. !=
−=
=
=
5
210
Observando uma das situações que satisfazem o problema concluímos que a probabilidade procurada será:
P5
2 35
216
56
=
⋅ ⋅
pois,
5
2
, é o fator que determina o número de ocorrências do evento.
16
2
, é o fator que representa a probabilidade do evento.
56
3
, é o fator que representa probabilidade complementar do evento.
20
3.6] Exercícios de probabilidade.
3.6.1] Lançando-se um dado ideal, qual a probabilidade de se obter um número menor que 4?
3.6.2] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ser uma dama?
3.6.3] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ser uma dama ou um rei?
3.6.4] Uma urna contém 6 bolas brancas, 2 azuis e 4 amarelas. Qual a probabilidade de sortear-se uma bola que não seja branca?
3.6.5] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número ímpar?
3.6.6] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número múltiplo de 3?
3.6.7] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número divisível por 2 e 3?
3.6.8] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número primo?
3.6.9] Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4 algarismos distintos. Qual é a probabilidade de uma pessoa, possuidora dos bilhetes 1387 e 7502, ser premiada, sendo que nenhum bilhete tem como algarismo inicial o zero?
3.6.10] Lançando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de ocorrerem números iguais?
3.6.11] Jogando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um resultado par na soma das faces?
3.6.12] Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros, de 1 a 100. Qual é a probabilidade do número ser múltiplo de 11?
3.6.13] Dentre 5 pessoas, será escolhida, por sorteio, uma comissão de 3 membros. Qual a probabilidade de que uma determinada pessoa venha a figurar na comissão?
3.6.14] Se num grupo de 15 homens e 5 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade de que ela seja formada por 2 homens e 1 mulher?
3.6.15] Numa urna são depositadas 9 etiquetas numeradas de 1 a 9. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos?
21
3.6.16] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4,5 e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número maior que 5000.
3.6.17] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4,5 e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número ímpar.
3.6.18] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4,5 e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número par.
3.6.19] Numa escola de 1200 alunos, 550 gostam de rock, 230 apenas de samba, e 120 de samba e rock. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ele gostar de samba ou rock?
3.6.20] Numa urna, existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a 6 e as vermelhas de 7 a 10. Retirando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca ou de seu número ser maior que 7?
3.6.21] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ela ser de ouros ou ser rei.
3.6.22] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ela ser preta ou ser figura?
3.6.23] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ela não ser figura ou ser um ás?
3.6.24] Uma caixa contém 1000 bolas numeradas de 1 a 1000. Qual a probabilidade de se tirar, ao acaso, uma bola contendo um número par ou um número de 2 algarismos?
3.6.25] Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três clubes. Escolhida, ao acaso, uma das pessoas presentes, qual a probabilidade de ela pertencem somente ao clube C?
3.6.26] Numa urna temos bolas brancas, amarelas, vermelhas e pretas. O número de bolas amarelas é o dobro do número de bolas brancas e o de bolas vermelhas, o triplo. Qual a probabilidade de ocorrer uma bola preta, sabendo-se que o número de pretas é o dobro de amarelas?
3.6.27] Uma estação metereológica informa: "Hoje a probabilidade de não chover é 55%, a probabilidade de fazer frio é 35% e a probabilidade de chover ou fazer frio é 80%. Qual a probabilidade de não chover e não fazer frio?
3.6.28] No problema anterior, qual a probabilidade de chover?
22
3.6.29] Um homem tem em sua mão 4 cartas de espadas de um baralho comum de 52 cartas. Se ele receber mais 3 cartas, qual a probabilidade de ao menos uma das cartas recebidas ser também de espadas?
3.6.30] Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Qual a probabilidade de as duas peças serem usadas?
3.6.31] Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Qual a probabilidade de a primeira ser nova e a segunda usada?
3.6.32] Uma moeda é "viciada", de modo que a probabilidade de ocorrer cara é metade da probabilidade de ocorrer coroa. Em três lançamentos sucessivos desta moeda, calcule a probabilidade de ocorrerem 3 faces iguais.
3.6.33] A probabilidade de um certo homem viver mais de 25 anos é 3/7 e de sua mulher é 4/5, calcule a probabilidade de, daqui a 25 anos, somente o homem estar vivo.
3.6.34] Numa urna há 16 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma após a outra. Qual a probabilidade de serem ambas vermelhas?
3.6.35] Numa urna há 16 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma após a outra. Qual a probabilidade de uma ser azul e uma ser branca, independentemente da ordem.
3.6.36] Lançando-se um dado e uma moeda, qual a probabilidade de se obter um número maior que dois no dado e cara na moeda?
3.6.37] Jogando 4 dados, qual a probabilidade de se obter 24 pontos na soma das 4 faces?
3.6.38] Sabendo-se que ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas ela era de copas, qual a probabilidade de ela seja menor que 3 (considere o ás com valor 1).
3.6.39] Qual a probabilidade de que jogando-se um dado n vezes, saia pelo menos uma vez o número 6.
3.6.40] Uma prova é composta de 50 testes de múltipla escolha, cada um com 5 alternativas, sendo apenas uma correta. Qual a probabilidade de que um aluno apenas chutando, acerte todas as questões.
3.6.41] A probabilidade de A e B acertarem o alvo é de 2/5 e 1/3 respc. Qual a probabilidade de que o alvo seja atingido por apenas uma pessoa?
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