AMEI Escolar

Matemática

8º Ano

Estatística: Organização e

Tratamento de Dados

Organização, representação e interpretação de dados

Quando falamos em estatística e em estudo estatístico, há uma série

de expressões que vêm associados. São estas:

população – conjunto de pessoas, objectos ou acontecimentos

sobre os quais incide um estudo estatístico;

amostra – parte representativa da população, sobre a qual

incide o estudo;

censo ou recenseamento – estudo estatístico realizado sobre a

totalidade da população;

sondagem – estudo estatístico realizado a partir de uma

amostra;

variável estatística – características que os elementos da

população podem ou não ter e que é alvo de investigação num

estudo estatístico.

As variáveis estatísticas podem ser classificadas em variáveis

quantitativas e variáveis qualitativas. As variáveis quantitativas

Conteúdos desta unidade:

Organização,

representação e

interpretação de

dados;

Medidas de tendência

central;

Medidas de

localização.

Exemplos:

“A Joana realizou um estudo estatístico na sua escola sobre a cor favorita dos

alunos do 8º ano. Primeiro, interrogou para o estudo 2 alunos de cada uma das

turmas de 8º ano da sua escola e anotou os dados obtidos. Seguidamente,

interrogou, na totalidade, todos os alunos do 8º ano da sua escola e voltou a

anotar os dados obtidos.”

Neste caso:

- a população são os alunos do 8º ano da escola da Joana;

- a amostra é o conjunto de todos os 2 alunos escolhidos de cada turma;

- quando a Joana interrogou apenas os 2 alunos de cada turma realizou uma

sondagem;

- quando a Joana interrogou todos os alunos do 8º ano realizou um censo;

- a variável estatística é a cor favorita dos alunos do 8º ano.

representam informação que é susceptível de medida e as variáveis

qualitativas representam informação que identifica alguma

qualidade ou categoria, logo, não são susceptíveis de medida. Dentro

das variáveis quantitativas podemos encontrar:

variáveis quantitativas discretas – representam informação

que apenas pode tomar um número finito (ou infinito

numerável) de valores distintos;

variáveis quantitativa contínua – representam informação

que pode tomar todos os valores no seu intervalo de variação.

Existem mais dois conceitos relacionados com os estudos

estatísticos: frequência absoluta e frequência relativa. A frequência

absoluta representa-se por e é o número de vezes que um

acontecimento se repete. A frequência relativa representa-se por

e é o quociente entre a frequência absoluta de um acontecimento e o

número total de observações (N). A soma das frequências relativas é

sempre 1. Podemos multiplicar a frequência relativa de um

acontecimento por 100 e obtemos a frequência relativa em

percentagem.

variáveis estatísticas

variáveis quantitativas

variáveis quantitativas

discretas

variáveis quantitativas

contínuasvariáveis

qualitativas

Exercício resolvido:

Classifica as seguintes variáveis estatísticas:

- cor favorita dos alunos do 8º ano: variável qualitativa

- idade dos alunos do 7º ano: variável quantitativa discreta

- altura dos alunos do 9º ano: variável quantitativa contínua

Tabelas e gráficos

Uma tabela de frequências é uma tabela onde se indica uma ou

duas frequências.

Os gráficos constituem uma forma prática e eficiente de transmitir

informação. Dos gráficos mais utilizados destacam-se os gráficos de

barras, histogramas, gráficos circulares e pictogramas. Observa a

tabela para ficares a conhecer melhor estes e outros gráficos.

GRÁFICO EXEMPLO REGRAS DE CONSTRUÇÃO

Gráfico de

barras

- só uma das dimensões das barras

varia (geralmente a altura);

- a dimensão que varia corresponde à

frequência da variável estatística;

- as barras devem estar separadas por

espaços iguais;

- o gráfico deve ter um título

adequado.

Exercício resolvido:

A turma do 8ºA tem 25 alunos. 10 alunos preferem gelado de chocolate, 10 alunos

preferem o de morango e 5 alunos preferem o de nata. Calcula:

- a frequência absoluta do acontecimento “gostar de gelado de chocolate”: 10

- a frequência relativa do acontecimento “gostar de gelado de nata”:

ou

.

Exemplo – Tabela de Frequências:

Clube de futebol favorito do 8º B

Clube Frequência absoluta Frequência relativa Frequência relativa

(percentagens)

Sporting 5

Benfica 6

Porto 9

TOTAL 20 1 100%

Gráfico

circular

- a amplitude de cada sector é

proporcional à frequência que

representa;

- os sectores circulares devem ser

identificados, podendo recorrer-se a

uma legenda;

- podem usar-se cores diferentes para

os diferentes sectores;

- o gráfico deve ter um título

adequado.

Pictograma

- indicar no gráfico o significado de

cada símbolo utilizado;

- utilizar símbolos ou figuras

sugestivas de acordo com a variável

estatística a representar;

- utilizar sempre o mesmo símbolo ou

símbolos;

- os símbolos devem ser apresentados

em linhas ou colunas e com

espaçamento uniforme entre eles;

- as diferentes frequências são

representadas por um maior ou menor

número de símbolos e nunca por

símbolos de tamanhos diferentes. Se

for necessário poderão ser utilizadas

fracções dos símbolos;

- o gráfico deve ter título adequado.

Diagrama de

caule-e-

folhas

- deve começar-se por traçar um

segmento de recta que servirá de

separador entre o caule e as folhas;

- os dados devem ser ordenados;

- números que diferem apenas no

algarismo da menor ordem (algarismo

mais à direita) devem ser

representados na mesma linha; no

início de cada linha (caule) deverão

ser colocados os algarismos comuns a

todos esses números;

- em cada linha os algarismos de

menor ordem (folhas) devem ser

colocados por ordem do menor para o

maior;

- o gráfico deve ter título adequado.

Histograma

- os dados devem ser agrupados em

classes;

- os intervalos das classes

representam-se no eixo horizontal;

- as frequências das classes

representam-se no eixo vertical;

- as barras são desenhadas

verticalmente para cada uma das

classes não existindo qualquer espaço

entre elas;

- a área de cada uma das barras é

proporcional à frequência da

respectiva classe;

- o gráfico deve ter título adequado.

Polígono de

frequências

- em cada uma das barras marcam-se

os pontos médios do lados superiores;

- unem-se ponto médios consecutivos

através de segmentos de recta;

- para finalizar o polígono de

frequências consideram-se duas

classes de frequência zero, uma

imediatamente à esquerda de todas as

classes existentes e outra

imediatamente à direita e unem-se,

através de um segmento de recta, os

pontos médios dessas classes aos

pontos médios subjacentes.

Medidas de tendência central

Habitualmente, quando estamos perante um conjunto de dados

estatísticos, interessa-nos saber se estes têm tendência a concentrar-

se em torno de algum valor médio ou central. As medidas estatísticas

que nos dão essa indicação são a média, a moda e a mediana e

designam-se por medidas de tendência central.

A moda é a única das três que pode ser determinada para variáveis

qualitativas. A moda de uma distribuição é a observação que mais

vezes se repete. Se não houver nenhuma observação que se repita

mais vezes que as restantes então diz-se que a distribuição é amodal.

No caso de haver duas modas diz-se que a distribuição é bimodal. Se

houver três ou mais modas, diz-se que a distribuição é plurimodal.

A média ( ) apenas pode ser calculada para variáveis quantitativas.

Dado um conjunto de dados numéricos, calcula-se a média somando

todos os dados e dividindo o resultado pelo número total de

observações.

A mediana ( ) também pode ser calculada apenas para variáveis

quantitativas. Dada uma sequência ordenada (por ordem crescente ou

decrescente) dos dados observados, a mediana é o valor que ocupa a

posição intermédia. Se o número de dados for par, a mediana é a

média aritmética dos dois valores centrais.

Medidas de localização

A média, moda e mediana não são por vezes suficientes para retirar

conclusões sobre uma dada amostra. Para além destas medidas

existem outras medidas importantes que nos permitem descrever

melhor a distribuição de um conjunto de dados. São elas as medidas

de localização.

Numa distribuição existem três quartis, o primeiro quartil ( ), o

segundo quartil ( ), que coincide com a mediana, e o terceiro

quartil ( ). Dada uma sequência ordenada (por ordem crescente ou

decrescente) dos dados em estudo, o segundo quartil (mediana) é o

Exercício resolvido:

Na turma do 8ªC existem 20 alunos cuja idade se distribuem da seguinte

maneira.

11 anos 5

12 anos 10

13 anos 5

Calcule a média, a moda e a mediana destes dados.

moda = 12 anos

valor que ocupa a posição intermédia. Se o número de dados for par,

o segundo quartil (mediana) é a média aritmética dos dois valores

centrais. Uma vez determinada a mediana ( ) a distribuição fica

dividida a meio. Para calcularmos o primeiro quartil ( )

determinamos a mediana da primeira metade da distribuição. Para

calcularmos o terceiro quartil ( ) determinamos a mediana da

segunda metade da distribuição.

Todas as distribuições têm dois extremos, o extremo máximo, que é

a maior das observações feitas, e o extremo mínimo, que é a menor

das observações feitas. A amplitude (A) é a diferença entre o

máximo e o mínimo de uma distribuição. A amplitude interquartis

(AIQ) é a diferença entre o valor do terceiro e do primeiro quartis.

O diagrama de extremos e quartis (ou caixa de bigodes) é uma

forma esquemática de representar os extremos, mediana e quartis de

uma distribuição. Para construir um diagrama de extremos e quartis é

necessário conhecer os seguintes valores:

extremos (máximo e mínimo);

mediana;

1.º quartil ( );

3.º quartil ( ).

O conjunto dos valores da amostra compreendidos entre o 1.º e o 3.º

quartis são representados por um rectângulo (a largura do rectângulo

não dá qualquer informção). No rectângulo marca-se o valor da

mediana com uma barra. De seguida, marcam-se duas linhas que

unem os meios dos lados do rectângulo com os extremos da amostra.

Exercício resolvido:

2 4 1 5 7 10 8 9 3 6

Observa os dados obtidos num estudo e coloca-os num diagrama de extremos e

quartis.