amostragem

Captulo 4 Modulao de Pulsos - Pgina 1

Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar

Captulo 4

Modulao de Pulsos

4.1. Teoria da Amostragem Sob certas condies, um sinal contnuo no tempo pode ser completamente representado e recuperado atravs do conhecimento de suas amostras igualmente espaadas no tempo. Ex.: Vantagens: - Sinal representado por um nmero finito de valores - Possibilidade de armazenamento e processamento digital Seja ( )f t a funo a ser amostrada: A fim de obter 0( )f t , amostra de ( )f t no instante 0t , multiplica-se ( )f t por um impulso em 0t t= e integra-se o resultado.. Assim: Propriedade da Amostragem da Funo Impulso

0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f td+

- - =

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

Amostragem

f(0)

f(T)

f(2T)

f(3T) f(4T)

f(5T)

f(6T)

f(7T)

f(8T)

f(9T)

f(10T)

f(t)

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

t0

f(t0)



4.1.1. Amostragem com Trem de Impulsos

Seja a funo a ser amostrada ( )f t : Dado um perodo de amostragem T. Definimos ( )p t : Trem de Impulsos

( )( )n

p t t nTd+

=-

= - Multiplicando ( )f t por ( )p t : O sinal ( )pf t obtido (sinal discreto no tempo) contm a informao sobre as amostras do sinal original nos tempos nT .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p

pn

pn

f t f t p t

f t f t t nT

f t f nT t nT

d

d

+

-

+

-

=

= -

= -

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

X ( )f t

( )p t

( ) ( ) ( )pf t f t p t=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)



Anlise Espectral Seja ( )f t e seu espectro: E o Trem de Impulsos:

{ } ( )( ) ( )n

P p t t nTw d+

=-

= = -

F F

O Trem de Impulsos um sinal peridico com perodo T, logo sua transformada pode ser calculada por:

( )0( ) 2 .nn

F F nw p d w w+

=-

= -

onde: Coeficientes da Srie de Fourier 0

0

0

1( ). .

t T jn tn t

F f t e dtT

w+ -= e 0 2Tp

w =

No caso:

2 20

2 2

01 1 1( ). . ( ). .T T

T T

jn tnF t e dt t e dtT T T

wd d-- -

= = = Logo:

{ } ( )1( ) ( ) 2 . sn

P p t nT

w p d w w+

=-

= = -F

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

F ?

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

F

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

F(w)

wm

-wm

A



onde: 2

s Tp

w = : Frequncia de Amostragem

Logo:

( )( )n

p t t nTd+

=-

= - F ( )2( ) sn

P nTp

w d w w+

=-

= - Deste modo , teremos o espectro do sinal amostrado:

( ) ( ) ( )pf t f t p t= F { }1

( ) ( )* ( )2p

F F Pw w wp

=

( )

( )

1 2( ) ( )*

2

1( ) ( )*

p sn

p sn

F F nT

F F nT

pw w d w w

p

w w d w w

+

=-

+

=-

= -

= -

1( ) ( )p s

n

F F nT

w w w+

=-

= -

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

F

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ws 2ws

-ws -2ws

P(w) 2p/T 2p/T 2p/T

w

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

F

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

w

Fp(w)

wm-wm

A/T

ws 2ws-2ws -ws



Portanto, o espectro de um sinal amostrado uma repetio do espectro do sinal original nas frequncias mltiplas da frequncia de amostragem. Resumo: Para que no ocorra Superposio dos Espectros necessrio que: (pelo grfico)

s m mw w w- Logo:

2s mw w ou 2s mf f

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ws 2ws

-ws -2ws

P(w) 2p/T 2p/T 2p/T

w

F

F

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

F

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

w

Fp(w )

wm-w m

A/T

ws 2w s-2w s -w s

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

F(w )

wm -w m

A



Teorema da Amostragem

Em 1928, Nyquist estudou a amostragem de sinais nas Sries de Fourier, porm apenas em 1949 com Shannon, que seu princpio foi incorporado Teoria das Comunicaes. Seja um sinal ( )f t limitado em frequncia tal que ( ) 0F w = para mw w> . Ento ( )f t unicamente determinado por suas amostras ( )f nT , 0, 1, 2,...n = se:

2s mw w

onde 2

s Tp

w =

Em outras palavras: A frequncia de amostragem deve ser, no mnimo, igual ao dobro da mxima frequncia existente no sinal. A frequncia 2s mw w= chamada Frequncia de Nyquist ou Taxa de Nyquist.

comum usarmos um filtro PB de frequncia de corte 2

sc

ww = na entrada dos sistemas de

aquisio de dados, para garantirmos que o Teorema da Amostragem seja obedecido. O sinal contnuo ( )f t pode ser recuperado a partir do sinal amostrado ( )pf t , filtrando-se este ltimo atravs de um filtro Passa-Baixas ideal de ganho T e de frequncia de corte

m c s mw w w w< < - . Este filtro chamado de Filtro PB de reconstruo.

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

w

Fp(w )

wm-w m

A/T

ws 2w s-2w s -w s

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

F(w )

wm -w m

A

w wc -wc

|H(w)| T

Filtro PB



O que ocorre caso o Teorema da Amostragem no seja cumprido? 2s mw w<

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

w

Fp(w)

wm -wm

A/T

ws 2ws-

ws-2ws w

s-wm

Ocorre o Recobrimento dos Espectros, tambm chamado de Superposio ou Efeito Aliasing. Devido esta superposio dos espectros, o sinal original no pode ser mais recuperado por filtragem Perda da Informao! Dado o sinal discreto na figura abaixo, qual o sinal contnuo que deu origem? (desenhe as possibilidades no grfico abaixo)

0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5fp(t)

t T 2T 3T

4T

Se o teorema da amostragem no for cumprido, h infinitos sinais que poderiam originar ( )pf t , no sendo possvel recuperar o sinal contnuo original.



Exemplos:

1) Sinal de Voz: O grfico abaixo mostra o espectro de um sinal de voz (som a).

Note que grande parte da energia deste sinal est concentrada de 15 a 10kHz.

Devido a esta caracterstica considera-se para aplicaes de telefonia (canal telefnico) que o sinal de voz esteja concentrado na faixa de 300Hz a 3400Hz. Esta faixa corresponde a 68% da Energia e 85% da inteligibilidade da voz.

A fim de processarmos digitalmente o sinal de voz, devemos amostra-lo a uma frequncia de

pelo menos: 2 3400 6,8kHz = . Na prtica utiliza-se como frequncia de amostragem em telefonia 8sf kHz= , a fim de evitar aliasing e facilitar a recuperao por filtragem PB.

2) Sinal de udio: O Sinal de udio possui

largura de banda maior que a voz humana, conforme pode ser visto no espectro abaixo:

Note que o sinal de udio possui o espectro muito mais homogneo e com maior quantidade de altas frequncias que o sinal de voz. O ouvido humano sensvel at frequncias prximas a 20kHz. Logo para o processamento (e armazenagem) de sinal de udio com qualidade necessrio utilizar no mnimo 40sf kHz= . Aplicaes como CD de udio, utiliza 44,1sf kHz= .

3) Vdeo Suponha que desejamos amostrar um sinal de vdeo de modo a obter um quadro de tamanho 640480 (VGA) e uma taxa de quadros de 30fps (frames por segundo), logo necessitaremos de uma frequncia de amostragem de: 30 / 640 480 /sf quadros s amostras quadro= ou

9,126sf MHz=



o Generalizao do Teorema da Amostragem O Teorema da Amostragem os diz: Seja um sinal ( )f t limitado em frequncia tal que ( ) 0F w = para mw w> . Ento ( )f t unicamente determinado por suas amostras ( )f nT , 0, 1, 2,...n = se:

2s mw w

onde 2

s Tp

w =

Porm,caso estejamos tratando de um sinal do tipo Passa-Faixas de largura de banda W

A mxima frequncia existente no sinal c mw w+

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

F

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

w

Fp(w )

wm-w m

A/T

ws 2w s-2w s -w s

0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f(t)

F

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

F(w )

wm -w m

A

-1 0 1 2 3 4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fDSB-SC(t)

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

w

FDSB-SC(w)

F(0)/2

F

W



O Teorema da Amostragem continua valendo caso quisermos recuperar o sinal original atravs de filtragem Passa-Baixas do sinal amostrado, isto : . 2( )s c mw w w +

No entanto, se utilizarmos para recuperar o sinal um filtro Passa-Faixas, necessitamos utilizar uma frequncia de amostragem 2s Ww , onde W a largura de banda do sinal. Ex.:



4.1.2. Amostragem Natural com Trem de Pulsos

Na prtica difcil obter um trem de impulsos. Logo se utiliza trem de pulsos para fazer a amostragem. Trem de Pulsos: Lembrando:

{ } ( )( ) 2 . .n sn

p t F nt p d w w+

=-

= -F 2s Tp

w =

Esta Srie de Fourier foi calculada anteriormente: 00

1( ).

2s

t T jn t sn t

nAF p t e dt Sa

T Tw

tw tt+ - = =

Usando o trem de pulsos como amostrador, temos: Calculo do Espectro

{ }1( ) ( )* ( )2p

F F Pt tw w wp=

( )1( ) ( )*2 .2 2

sp s

n

nAF F Sa n

Ttw tt

w w p d w wp

+

=-

= -

( )( ) .2

sp s

n

nAF Sa F n

Ttw tt

w w w+

=-

= -

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pt(t)

A

t T

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

w

Ptau(w)

ws2ws-ws

3ws

F

X ( )f t

( )p tt

( ) ( ) ( )pf t f t p tt t=

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpt(t)

Constante dependente de n



Resumo:

Logo: Teorema de Shannon continua valendo.

2s mw w para no haver recobrimento de espectros. Zoom:

F

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

F(w)

wm -wm

A

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

f(t)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pt(t)

A

t T

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

w

Ptau(w)

ws2ws-ws

3ws

F

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpt(t)

F

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpt(w)

ws2ws

3ws-ws

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpt(w)

ws 2ws-ws

wm-wm



4.1.3. Amostragem Instantnea por Trem de Pulsos

Neste tipo a amostragem ocorre em um nico instante de tempo. Notao: ( )pf t Amostragem por Trem de Impulsos

( )pf tt Amostragem Natural por Trem de Pulsos

( )pif tt Amostragem Instantnea por Trem de Pulsos Anlise: Como podemos obter a funo Trem de Pulsos a partir da Trem de Impulsos atravs da convoluo com a Funo Porta: ( ) ( )* ( )p t p t g tt t=

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fpit(t)f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

-2 -1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

gt(t)

t/2 -t/2

A

*

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pt(t)

A

t T

=



Logo podemos pensar que ( )pif tt pode ser gerado como a convoluo:

( ) ( )* ( )pi pf t f t g tt t=

Lembrando que a Transformada de Fourier da Funo porta a Sampling: { }( ) .2

g t A Satwt

t =

F

E a Propriedade da Convoluo no Domnio do Tempo:

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )pi p pi pf t f t g t F F Gt t t tw w w= = F

Temos que:

{ } ( )1( ) .2pi sn

f t F n A SaTt

wtw w t

+

=-

= -

F

Logo: ( )( ) 2pi snA

F Sa F nTtt wt

w w w+

=-

= -

Cuidar, pois ( )piF t w diferente de: ( )( ) .2s

p sn

nAF Sa F n

Ttw tt

w w w+

=-

= -

-2 -1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

gt(t)

t/2 -t/2

A

*

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fp(t)

3T 2T

T -T

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fpit(t)

T

2T 3T

-T t/2 -t/2 =

Funo de w

Constante dependente de n



Resumo: Amostragem por Trem de Impulsos: Amostragem Natural por Trem de Pulsos: Amostragem Instantnea por Trem de Pulsos: Zoom: Note que h distoro dos espectros! Pois cada ponto do espectro fica multiplicado pela funo Sampling.

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpt(t)

F

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpt(w)

ws2ws

3ws-ws

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)

F

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

w

Fp(w )

wm-w m

A/T

ws 2w s-2w s -w s

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpit(w)

ws-ws 2ws

3ws

-5 0 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

fpit(t)

T

2T 3T

-T t/2 -t/2 F

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpit(w)

ws-ws 2wswm-wm



Observao: No sistema com amostragem instantnea por pulsos NUNCA se consegue reconstruo sem erro do sinal devido distoro imposta pela Funo Sampling. A esse efeito chamamos de Distoro sen(x)/x Ex.: Vejamos esta distoro mais claramente no exemplo onde ( ) ( )

mF gww w=

Formas de Minimizar a Distoro sen(x)/x

a) Diminuindo t : ( )( )2pi sn

AF Sa F n

Ttt wt

w w w+

=-

= -

Reduz a distoro!

-5 0 5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpit(w)

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

F(w)

wm -wm

Distoro

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

t1

t2

t2



Problemas: - Diminui-se a energia do sinal, logo diminui a relao Sinal-Ruido. - Projeto do Filtro Passa-Baixas mais crtico.

Para Tt = :

- Ponto de maior distoro. - Maior energia do Sinal reconstrudo. - Filtro PB mais fcil, as rplicas do espectro ficam sobre os zeros da Sampling.

Este o tipo de amostragem mais utilizado na prtica.

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

t2

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

t1

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

t=T

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

w

t=T

ws

2ws

-ws

-2ws

F



b) Aumentar a Frequncia de Amostragem

Para Tt = : - Reduz a Distoro sen(x)/x - Reduz a complexidade do Filtro PB Problemas: - Necessita processador mais rpido. - Maior quantidade de memria para armazenamento c) Alterar a Resposta em Frequncia do filtro PB de reconstruo: Filtro com reposta em frequncia:

1 2( )sin

2 2

GSa

wt

wwt wt

= =

at a frequncia / 2sw

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

t=T

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

w

t=T

ws

2ws

-ws

-2ws

F

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

w

ws 2ws -ws -2ws

F

PB ( )G w ( )pif tt ( )f t

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

w

G(w)

ws/2-ws/2



4.2. Sistemas de Modulao de Pulsos

Modulao Contnua: Portadora um sinal sinusoidal Ex.: AM, FM e PM

Modulao por Pulsos Portadora um trem de pulsos Informao a ser transmitida composta pelas amostras obtidas pela amostragem com trem de impulsos (amostragem ideal) do sinal f(t). A informao deve modificar alguma caracterstica da portadora:

Modulao Analgica A informao varia alguma grandeza analgica do pulso: ex.: amplitude (PAM), largura (PWM) ou posio (PPM) do pulso.

Modulao Digital (Codificao) A informao gera um sinal codificado digital Ex.: PCM, DPCM, DM, ADPCM,...

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pt(t)

A

t T

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

fp(t)



4.2.1. Modulao em Amplitude de Pulso (PAM)

A amplitude de um trem de pulsos varia linearmente com a amplitude das amostras do sinal

modulador (informao). a aplicao direta da Amostragem por Trem de Pulsos. Lembrando: Para Amostragem Natural.

1( ) ( ). ( ) ( ) ( )* ( )

2PAM PAMt f t p t F Pt tj w w wp

= F =F

( ) ( ). ( )PAMn

t f t g t nTtj+

=-

= -

( ) . ( )2

sPAM s

n

nASa F n

Tw tt

w w w+

=-

F = -

Obs.: O teorema da amostragem deve ser respeitado. 2s mw w

F

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

F(w)

wm -wm

A

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

f(t)

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pt(t)

A

t T

F

F

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

w

Ptau(w)

ws2ws-ws

3ws

( )Pt w

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpt(t) ( )PAM tj

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpt(w)

ws2ws

3ws-ws

( )PAM wF

B



Modulao em Sistemas PAM a) Amostragem Natural com Trem de Pulsos Circuito: Chave seletora. Ex.: CD4053 Obs.: Para trabalhar com multiplexadores digitais (CD4053), necessrio que o sinal f(t) nunca seja negativo, logo pode haver a necessidade de adicionarmos um nvel DC ao sinal de entrada. Ex.: b) Amostragem Instantnea com Trem de Pulsos Ex.: Circuito de Sample&hold Amostragem e Reteno

( )f t

( )p tt

( )PAM tj

1 2

0

VCC

0

( )f t ( )PAM tj

( )p tt

0

C

3

2

411

1

+

-

V+

V-

OUT3

2

411

1

+

-

V+

V-

OUT

0

( )f t

( )PAM tj t1

t2 t3

0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

t

fPAM(t)

t1 t2 t3



Demodulao em Sistemas PAM

A recuperao do sinal de informao feita basicamente atravs de uma filtragem Passa-Baixas do sinal ( )PAM tj Filtrando PB o sinal:

( ) . ( )2

sPAM s

n

nASa F n

Tw tt

w w w+

=-

F = -

com filtro de frequncia de corte cw tal que m c s mw w w w - Apenas a rplica do espectro em n=0 passa pelo filtro, temos ento o sinal reconstrudo:

( ) ( )A

Y FTt

w w=

Obs.: Se a largura dos pulsos t for muito pequena em relao ao perodo T, o sinal reconstrudo ter um valor mdio baixo, o que gera uma baixa relao Sinal-Rudo. Obs.2: Como impossvel implementarmos um filtro PB ideal (corte abrupto), torna-se necessria a alocao de uma Banda de Guarda, isto , devemos definir a frequncia de amostragem sw um valor MAIOR que o limite 2 mw , a fim de facilitar o projeto do filtro.

F

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpt(t) ( )PAM tj

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpt(w )

ws 2ws-

ws

wm-wm

( )PAMj w

Banda de Guarda



Multiplexao por Diviso em Frequncia (FDM)

Podemos transmitir vrios sinais simultaneamente em um canal, atravs da modulao de cada sinal em uma frequncia diferente, desde que no haja superposio dos espectros. Transmissor: 3 sinais diferentes Para Banda de Guarda igual a zero, a largura de banda de n sinais modulados AM DSB-SC FDM ser: .2. mW n w= Receptor:

mw

( )1F w

mw

mw

( )2F w

( )3F w

Modulador 1cw

Modulador 2cw

Modulador 3cw

+

w

w

w

1cw

2cw

3cw Banda de Guarda

( )FDM wF

w

Filtro PF 1cw

Filtro PF 2cw

Filtro PF 3cw

w

w

w

1cw

2cw

3cw

Demodulador 1cw

Demodulador 2cw

Demodulador 3cw

1( )f t

2 ( )f t

3( )f t



Multiplexao por Diviso no Tempo (TDM)

Atravs do uso da Multiplexao por Diviso no Tempo podemos transmitir vrios sinais simultaneamente, amostrando-os intercaladamente.

Ex.: nmero de sinais n=3, onde cada sinal amostrado a uma frequncia 2

s Tp

w =

A Frequncia de amostragem do sinal ( )TDM tj s snw w = Obs.:

- Foi apresentado na figura o amostrador Natural mas tambm pode-se usar o amostrador instantneo.

- Para facilitar a recuperao dos sinais, os pulsos so separados por um Tempo de Guarda (tg).

- Um conjunto de uma amostra de cada sinal multiplexado chamado de quadro. - A taxa de amostragem mnima determinada pelo sinal com maior largura de banda.

0

1

2

t

f1(t)

0

1

2

t

f2(t)

0

1

2

t

f3(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

t

fTDM(t)

T

T'=T/3 tg

Quadro



Transmissor O Transmissor formado por um circuito multiplexador, que nada mais do que uma chave que seleciona um sinal a cada instante de tempo.

Receptor O Receptor composto por um circuito demultiplexador seguidos de filtros passa-baixas de reconstruo. Obs.: Os circuitos multiplexador (transmissor) e demultiplexador (receptor) necessitam estar em perfeito sincronismo. Uso de um canal de sincronismo (disperdcio de canal) ou uso de sincronizao por quadro, atravs de uma sinalizao diferenciada. Exemplo Prtico:

CD4051

C B AD

clockenPenT

f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)f5(t)f6(t)f7(t)f8(t)

CBA

in0

in7

.

.

.

CD4051

out

CBA D

clock

inh

enPenT

geradorde sinais gerador

de sinais

21

Contador Contador

74LS161 74LS161

Vdd Vdd

veecanal de dados

canal de sincronismo

Transmissor Receptor

f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)f5(t)f6(t)f7(t)f8(t)

C B A

in0

in7

.

.

.

out

inhvee

2k7

in1in2

2k7

Clear Clear

Vdd

1

2 3

n

n-1

( )TDM tj 1( )f t

2 ( )f t

( )nf t

PB

PB

PB ...

Clock

Amostragem 1

2 3

n

n-1

( )TDM tj 1( )f t

2 ( )f t

( )nf t

Clock



Largura de Banda 1) Para Sinais PAM Idealmente a largura de faixa do sinal infinita. Porm a informao necessria reconstruo de

( )f t apenas mw ! Se quisermos recuperar os pulsos, necessria uma largura de banda muito maior que mw . 2) Para Sinais TDM Considerando o sinal ( )TDM tj como as amostras de um nico sinal contnuo ( )h t , amostrado a frequncia s snw w =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

t

fTDM(t) f1(t)

f2(t)f3(t) h(t)

Logo: Qual a largura de banda do sinal ( )h t , se cada sinal ( )nf t possui largura de banda mw ? Se estivermos amostrando taxa de Nyquist: 2s mw w= , como s snw w = , logo: 2s mnw w =

Assim a largura de banda do sinal equivalente ( )h t : .m mnw w =

F

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

fpt(t) ( )PAM tj

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w

Fpt(w)

ws2ws

3ws-ws

( )PAM wF

Filtro PB

( )TDM tj ( )h t



Concluses: - A Largura de Banda necessria a transmisso do sinal ( )TDM tj . mW n w= onde mw a maior frequncia dos sinais ( )nf t

Comparao: FDM versus TDM

FDM: Sinais separados em frequncia e misturados no tempo TDM: Sinais separados no tempo e misturados em frequncia Ex.:

a) Modulando n sinais ( )nf t de largura de banda mw , usando AM DSB-SC, qual a largura de banda do sinal FDM resultante?

Resposta: .2. mW n w=

b) Modulando o sinal ( )TDM tj em AM DSB-SC, qual a largura de banda do sinal AM resultante? Lembrando que a largura de banda de ( )h t . mn w .

Resposta: 2. . mW n w=

Concluso: A transmisso de n sinais usando AM em FDM, e o sinal TDM modulado em AM ocupam a mesma largura de banda!

( )PAM wF

-20 -15 -10 5 0

0

w

- w c 5 10 15 20

-0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

w

F p t ( w )

w c

/ ( )TDM AM wF

w

( )FDM wF



Vantagens do Sistema TDM

- Implementao mais simples, pois necessita de circuitos idnticos para cada canal. So sistema FDM as portadoras e os filtros PF so diferentes para cada canal, necessitando serem sintonizados independentemente.

- TDM imune interferncia entre canais (diafonia), que surge em sistemas FDM devido

no-linearidade dos amplificadores de transmisso. No sistema TDM os sinais dos diferentes canais no so aplicados simultaneamente ao sistema, mas sim em diferentes intervalos de tempo, reduzindo a interferncia entre os canais.

Exerccio: 1) 10 sinais cossenoidais, com frequncias variando de 1kHz a 4kHz so amostrados por um processo TDM. Deseja-se na recepo uma banda de guarda de 10kHz para auxiliar na demodulao de cada canal. Qual deve ser a frequncia da portadora responsvel pela amostragem? Soluo: para 1 canal temos: Logo necessitamos de uma frequncia de amostragem de 2s mf f BG= + Para n canais:

( )( )

.

2

10 2 4 10 180

s s

s m

s

f n f

f n f BG

f k k kHz

=

= +

= + =

sf mf BG



4.2.2. Modulao por Largura de Pulso (PWM)

A largura (durao) dos pulsos varia linearmente com a informao:

0( ) . ( )t K f tt t= + ( )tt : Largura instantnea do pulso

K : Constante do circuito modulador. Transforma variaes de Volts em variaes de segundos. Unidade: [s/V] Se: ( )( ) .cos mf t a tw= Temos:

( )0( ) . .cos mt K a tt t w= +

( )00

.( ) 1 .cos m

K at tt t w

t

= +

Definimos ento o ndice de Modulao PWM: 0

.a Km

t= onde 0 1m

( )0( ) 1 .cos mt m tt t w = +

-1

0

1

t

f(t)

0

0.5

1

t

pt(t)

0 2 4 6 8 100

0.5

1

t

fPWM(t)

T 2T

t(t)

t0



( )0( ) 1 .cos mt m tt t w = + Para:

( ) 0cos 1 ( ) .m maxt t a Kw t t t= = + = ( ) 0cos 1 ( ) .m mint t a Kw t t t= - = - =

Se permitirmos largura d pulso uma excurso mxima total dada por:

max Tt = e 0mint =

Temos que 0 2T

t = Isto , o ciclo de trabalho ideal de 50% (onda quadrada)

Anlise Espectral Sabemos que a decomposio em Srie Trigonomtrica de Fourier de um Trem de Pulsos par de

largura t e frequncia 02Tp

w = dada por:

( )0 01

2 1( ) sin .cos

2n

nA Ap t n t

T ntw tt

wp

=

= +

No nosso caso, t funo do tempo 0( ) . ( )t K f tt t= + Logo:

( )( )1

( )( ) 2 1( ) ( ) sin .cos

2s

t PWM sn

n tA t Ap t t n t

T ntw tt

j wp

=

= = +

Para sinal de informao cossenoidal: ( )( ) .cos mf t a tw= Temos que: ( )0( ) 1 .cos mt m tt t w = + Logo:

( ) ( )( )0 0

1

1 .cos 1 .cos2 1( ) sin .cos

2m s m

PWM sn

A m t n m tAt n t

T n

t w w t wj w

p

=

+ + = +

( ) ( ) ( )0 0 0 01

2 1( ) cos sin cos .cos

2 2s s

PWM m m sn

A mA n mnAt t t n t

T T nt t w t w t

j w w wp

=

= + + +

Analisando cada termo:

0ATt

: Valor mdio do sinal (componente DC)

( )0 cos mmA

tT

tw : Raia espectral correspondente informao

( )( ) ( )1 sin cos .cosm sa b t n tn w w+ : Funo de Bessel nas frequncias mltiplas de sw , Espectro

semelhante ao de um sinal FM amostrado, ponderado por 1n

.



Logo o espectro ser: Largura de Banda do Sinal PWM: Considerando que a largura de banda do trem de pulsos seja definida pela frequncia do primeiro zero da sampling.

Os zeros da sampling esto localizados em: .2

kwt

p=

Logo a frequncia do 1o zero (k=1) : 2 1

W ou Bp

wt t

= = =

Para o Sinal PWM a maior largura de faixa ser definida pelo menor t .

Isto : 0 0. (1 )min a K mt t t= - = -

Logo: 0

1(1 )

Bmt

=-

Obs.: m=0, sem sinal a=0, 0

1B

t= , onda quadrada.

m=1, 10

B = = , sinal varia desde Tt = a 0t = (Impulso!)

mw w

sw 2 sw 3 sw

( )PWM wF

mw

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

1.5

t

pt(t)

A

t T

-10 -5 0 5 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

w

Ptau(w)

ws2ws-ws

3ws

F

W



Modulador PWM

-1

0

1t

f(t)

00.5

1

t

pt(t)

0

1

2

t

ft(t)

-10123

t

f(t)+ft(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

t

fPWM(t)

Vref

Circuito mais simples:

Gerador de Triangular

+

Comparador ( )f t

refV

( )PWM tj

0 2 4 6 8 10-1

0

1

t

f(t) e ft(t)

0 2 4 6 8 100

0.5

1

t

fPWM(t)

( )f t

( )triangularf t

( )PWM tj0

LM311

7

2

3 1

84

6

5

OUT

+

- G

V+

V-

B/SB

VCCR

390

VCC



Demodulador PWM

- Demodulao Direta:

Observando o espctro do sinal PWM: Logo: Basta filtrar passa baixas. No entanto note que h interferncias de outras raias, causando distoro do sinal reconstrudo.

- Como diminuir a influncia das bandas laterais superiores?

Soluo: Aumentar sw Problema: Aumenta a largura de banda ocupada pelo sinal PWM !

Temos aqui um compromisso entre sw e distoro. Existem aproximaes empricas para avaliarmos a distoro em funo de sw . Para 0 1m< < e ciclo de trabalho de 50%, temos:

Distoro de 1% : ( )3.5 2.5s m mw w + Distoro de 2% : ( )2.9 2.2s m mw w + Distoro de 5% : ( )2.2 2s m mw w + Distoro de 10% : ( )2s m mw w +

Obs.: Se utilizarmos a Taxa de Nyquist 2s mw w= teremos distoro maior que 10%!

mw w

sw 2 sw 3 sw

( )PWM wF

mw

Filtro PB



- Demodulao Indireta: Consiste em converter o sinal PWM em um sinal PAM atravs de amostragem e reteno. Gerador de Rampa: Ceifador:

Gerador de Rampa

Mono-estvel com retardo

+ Ceifador Sample &

Hold Filtro PB

( )PWM tj

( )f t

Vref +-

3

21

411

R

0Vin

Vo

0

C

+

-

3

21

411

RVi

T

Vo

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

tVin

Vo

Vref



Exerccios:

1) Um trem de pulsos, simtrico de 50kHz e amplitude 10V, modulado em PWM por um sinal contnuo de 5V. O circuito possui a constante 1 VsK

m= . Esboce a forma de onda do sinal modulado, cotando no tempo, considerando que a borda de subida fixa no tempo.

2)Um sinal cossenoidal de 10kHz modula em PWM um trem de pulsos simtrico de 40kHz, em um circuito cuja constante 2 VsK

m= a) Determinar a largura de faixa ocupada pelo sinal modulado

b) Determinar a ordem de grandeza da distoro no sinal demodulado.



4.2.3. Modulao por Posio de Pulso (PPM)

A informao varia a posio dos pulsos.

-1

0

1

t

f(t)

0

0.5

1

t

pt(t)

0 2 4 6 8 100

0.5

1

t

fPPM(t)

T 2T

d(t)

t0

0( ) . ( )t K f td d= +

( )td : Posio instantnea do Pulso

0d : Posio do pulso quando f(t)=0

K : Constante do modulador, transforma variaes de volts em variaes de segundos. [ ]/s V Se: ( )( ) .cos mf t a tw= Temos:

( )0( ) . .cos mt K a td d w= +

( )00

.( ) 1 .cos m

K at td d w

d

= +

Definimos ento o ndice de Modulao PPM: 0

.a Km

d=

( )0( ) 1 .cos mt m td d w = +



Quais os limites do ndice de modulao PPM? (0,1]m ? Se 0m = , isto f(t)=0, sem sinal de informao ndice de modulao mnimo min 0m = . Para:

( ) [ ]0 max maxcos 1 ( ) 1 .1mt t mw d d d= = + = ( ) [ ]0 max mincos 1 ( ) 1 ( 1)mt t mw d d d= - = + - =

Analisando graficamente:

0min 2

td =

0max 2

Tt

d = -

Logo: Pela posio mnima:

[ ] 0min 0 max1 ( 1) 2mt

d d= + - =

0max

0

12

mtd

= -

Definindo a posio 0d como o meio do perodo: 0 2T

d = Temos: 0max 1m Tt

= -

Pela posio mxima:

[ ] 0max 0 max1 .1 2m Tt

d d= + = - de onde se conclui que : 0max 1m Tt

= -

Logo: o ndice de modulao restrito a 00 1mTt

-

Para m=0 sem sinal Para m=1 ???? 0 0t = Impulsos!

A fim de facilitar a recepo, costuma-se deixar um tempo de guarda nos limites de ( )td de 02

ts

Neste caso fcil demonstrar que: 00 1 2mTt

-

0t t

0t

maxd

mind

T

0

2t

maxd mind T T

0

2t



Anlise Espectral De maneira anloga a feita para a o PWM pode-se concluir que para um sinal de informao:

( )( ) .cos mf t a tw= . O espectro do PPM similar ao do PWM porm com a componente em mw bastante atenuada, dificultando sua filtragem. A largura de faixa depende da largura dos pulsos 0t e da mxima proximidade entre dois pulsos.

Para um sistema com tempo de guarda 02

t, temos que a largura de banda :

0

1B

t=

Modulador PPM A modulao PPM baseia-se em um modulador PWM e um mono-estvel sensvel a borda de descida. Para este integrado (74LS121) podemos definir a largura dos pulsos por 0 0.69RCt =

Modulador PWM 74LS121

5 14 11 10

R C

0

VCC

6 3 4 7

( )f t ( )PPM tj ( )PWM tj

( )PPM tj

( )PWM tj

mw w

sw 2 sw 3 sw

( )PPM wF

mw



Demodulador PPM A demodulao PPM baseia-se na converso do sinal PPM em PWM e posterior demodulao PWM. Para tanto necessria a informao de referncia (sincronismo com o transmissor).

A sincronizao pode ser feita atravs da insero de pulsos de referncia no prprio sinal PPM, facilitando a recepo. Como conseqncia temos o aumento da potncia transmitida.

ddt

Retificador + Flip-Flop

Demodulador PWM

( )PPM tj

( )p tt ( )f t

00.5

1

t

pt(t)

00.5

1

t

fPPM(t)

-1

0

1

00.5

1

00.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

d(pt(t))/dt

retif.

soma

fPWM(t)

( )PWM tj

( )PPM tj

( )PWM tj



Comentrios: Como a amplitude constante, os sistemas PWM e PPM so mais imunes a rudos do que os sistemas PAM, s custas de uma maior largura de banda. Como a largura dos pulsos em sistemas PPM menor que no sistema PWM, a potncia necessria ao envio do sinal PPM menor que a potncia necessria ao PWM. O sistema PWM em telecomunicaes utilizado apenas na gerao do sistema PPM, porm a tcnica PWM muito til no controle de velocidades de motores, tenses de fontes de alimentao, controle de potncia em aquecedores e chuveiros, etc, devido ao valor mdio ser facilmente controlvel por um sinal digital PWM. Ex.:

VCC

Rb

0

VPWM

0

RL



4.2.4. Modulao por Codificao de Pulsos (PCM)

- Nos sistemas anteriores, cada amostra do sinal de informao f(t), corresponde a um

pulso (modulado em amplitude, largura ou posio), isto , modulao analgica de um pulso.

- No sistema PCM, cada amostra quantizada (truncada ou arredondada) e transmitida

atravs de um cdigo formado por um conjunto de pulsos idnticos. Esquema geral:

O sinal de informao f(t) amostrado Cada amostra quantizada para o nvel de quantizao mais prximo A amostra quantizada codificada atravs de um cdigo de pulsos (representao binria) Exemplo: Amostragem 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T V. Amostrado 0.6052 0.8873 0.9384 0.7412 0.3621 -0.0715 -0.4138 -0.5498 -0.4337 -0.1046 0.3269 V. Quantizado 0.5 1 1 0.75 0.25 0 -0.5 -0.5 -0.5 0 0.25

Cdigo 5 7 7 6 4 3 1 1 1 3 4 Binrio 101 111 111 110 100 011 001 001 001 011 100

Obs.: Poderia ser usada qualquer outra representao do cdigo, por exemplo Gray, BCD, 2 entre 5, etc... Sinal PCM:

Amostrador Quantizador Codificador ( )f t ( )PCM tj

T 2T 3T 4T 5T 6T

( )PCM tj

( )f nT ( )f nT

Faixa Dinmica [-1 a 1]

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

t

f(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T

Amplitude[V]

0

1

2

3

4

5

6

7

Cdigo

f(nT)

f(nT) ^



Seja: N = Nmero de Nveis de Quantizao b = Nmero de Bits Logo podemos escrever para a codificao binria:

2bN = ou 2logb N= Ex.: 3b = bits tem-se 32 8N = = nveis Para termos 512N = nveis necessrio 2log 512 9b = = bits

Modulador PCM A modulao PCM baseada na converso Analgico-Digital e posterior transformao Paralelo em Srie para transmisso. O amostrador geralmente, constitudo de um circuito de Amostragem e Reteno (Sample & Hold)

Demodulador PCM O demodulador PCM baseado na paralelelizao dos dados de entrada de modo a serem entregues a um conversor Digital-Analgico seguido de filtragem passa-baixas. Notar que esta etapa que ocorre a distoro sen(x)/x.

Serial/Paralelo

Conversor D/A

Filtro PB

( )PCM tj ( )f t

Conversor A/D

Paralelo/Serial Amostrador ( )PCM tj ( )f t



Teoria da quantizao

Quantizao: Nome dado ao processo pelo qual um sinal amostrado aproximado a tenses convenientes. Etapas:

- Determinao dos nveis de quantizao. (projeto) Consiste em dividir a faixa dinmica do sinal em vrios nveis.

- Arredondamento da quantizao. (utilizao) Consiste em atribuir a cada amostra do sinal, o nvel de quantizao que mais se aproxima a sua amplitude.

a) Quantizao Uniforme

A faixa dinmica dividida em nveis de quantizao igualmente espaados. O quantizador pode ser visto como um operador no linear: { } ( ) ( )f nT Q f nT= Podemos definir o erro de quantizao como a diferena entre a amostra real e a quantizada:

( ) ( ) ( )e nT f nT f nT= -

Assim, podemos modelar estatisticamente o erro de quantizao ( )e nT , tambm conhecido como rudo de quantizao:

Amostrador ( )f t

( )f nT ( )f nT +

( )e nT



Quantizao Uniforme: D : denominado de passo de quantizao, e ajusta a escala.

Pelo esquema acima pode-se notar que os valores do erro de quantizao ( )e nT ficam limitado :

( )2 2

e nTD D

-

Por estudos estatsticos deste erro, concluiu-se que o erro de quantizao possui uma funo distribuio de probabilidade uniforme:

( )f nT

( )f nT 7 / 2D 5 / 2D3 / 2D / 2D

/ 2-D 3 / 2- D 5 / 2- D 7 / 2- D9 / 2- D

D

2D

3D

4D

-D

2- D

3- D

4- D

/ 2-D / 2D

1/ D

( )p e

e



Logo, podemos calcular:

Valor mdio (valor esperado) do Erro de Quantizao: { } . ( ).E x x p x dxm+

-= =

{ }/ 22 2 2/ 2

1

/ 2/ 2

1 1. ( ). . 0

2 2 4 4ee

E e e p e de e demD

+ +D

D- -D-D

D D= = = = = - = D D

Varincia do Erro de Quantizao: { }2 2( )E xs m= -

{ }/ 23 3 3 2/ 22 2 2 1

/ 2/ 2

1 1( ) ( 0) . .

3 3 8 8 12e ee

E e e des mD

D

D-D-D

D -D D= - = - = = - = D D

Analisando a expresso de clculo do desvio padro / 22 2

/ 2

1.e e des

D

-D=

D , pode-se perceber que a mesma definio do valor mdio quadrtico de um sinal. Logo a varincia do erro de quantizao pode ser vista como uma medida da potncia deste erro. Isto :

2

12eP

D=

Lembrando que a Relao Sinal-Rudo medida em dB definida por: 10.log sn

PSNR

P

=

Podemos definir a Relao Sinal-Rudo de quantizao: 10.log sqe

PSNR

P

=

Ex.1: Seja o sinal ( ) .cos( )mf t a tw= cuja potncia pode ser calculada por: 2

2sa

P =

A faixa dinmica deste sinal [-a,a], e suponha que usemos b bits para quantizar este sinal. Logo podemos calcular o passo de quantizao como:

( 1)2 .22

bb

aa - -D = =

Assim, podemos calcular a relao Sinal-Rudo de Quantizao para este sinal por:

( )( )

2 2

22 ( 1)

2( 1)

/ 2 610.log 10.log

/12 .2

10.log 6.2 10log(6) 20( 1).log(2)

6.02 1.76

q b

bq

q

a aSNR

a

SNR b

SNR b

- -

-

= = D

= = + -

= +

Logo aumentando o nmero de bits aumenta a relao sinal rudo.

/ 2-D / 2D

1/ D

( )p e

e



Ex.2: Para sinais naturais (Voz ou Msica), difcil garantir que a faixa dinmica projetada vai ser realmente respeitada. Logo, h a possibilidade do sinal sair fora desta faixa, saturando o quantizador. Quando a saturao acontece, a frmula da SNRq no mais vlida. Estudos foram feitos de onde resultou que, considerando que 0.01% das amostras saiam fora dos valores mximos da faixa dinmica, dado por 1.2b-D , podemos estimar a potncia do sinal de udio como:

2

11 . .24

bsP

- = D

Logo, nestas condies podemos calcular a SNRq como:

( )

21

2 2( 1)

2 2

2( 1)

1.2

12 .2410.log 10.log .16

12

1210.log 10.log 2 1.25 20( 1) log(2)

166.02 7.27

bb

q

bq

q

SNR

SNR b

SNR b

--

-

D D = = D D = + = - + -

= -

Aqui tambm, a cada bit adicionado aumenta-se a Relao Sinal-Rudo de quantizao de 6 dB. Para uma boa definio usa-se hoje em dia:

- Sinais de voz: 8 bits - Sinais de udio de alta qualidade (CD): 16 bits - Vdeo Monocromtico: 8 bits - Vdeo colorido (RGB): 24 bits (8 bits por componente)



Concluses:

- O rudo de quantizao depende do nmero de bits (ou do nmero de nveis de quantizao). Quanto maior o nmero de bits melhor a relao Sinal-Rudo de quantizao, porm necessita enviar um nmero maior de pulsos em um mesmo intervalo de tempo T de amostragem, isto leva a um aumento da largura de banda

necessria transmisso! Lembrando: 0

1B

t=

Problema: Como aumentar a SNRq sem aumentar o nmero de bits???

b) Quantizao No-Uniforme

A quantizao no-uniforme surgiu como uma soluo, para o aumento da SNRq sem aumentar o nmero de bits, aplicada telefonia (sinais de voz). Em sinais de voz a probabilidade de ocorrncia de amostras de baixa amplitude muito maior que a probabilidade de amostras de grande amplitude. Lembrando que se o sinal de baixa amplitude e o rudo de amplitude constante a relao sinal rudo baixa. Logo se quantizarmos mais precisamente as baixas amplitudes e mais grosseiramente as altas amplitudes a SNRq mdia do sinal ir aumentar! Este processo se baseia na redistribuio dos nveis de quantizao sem alterar a quantidade de bits (no altera a largura de banda), e chamado de compresso-expanso.

T 2T 3T 4T 5T 6T

( )PCM tj

T 2T 3T 4T 5T 6T

( )PCM tj



Leis de Compresso

Lei m

definida por: ( )( )

log 1log 1

xY

mm

+=

+ onde 0 1x

onde: Y: Amplitude do sinal de sada

X: Amplitude do sinal de entrada normalizado. max

( )( )f t

xf t

=

O parmetro m determina o grau de compresso, e ajustado para obter um bom desempenho na SNRq. Esta lei utilizada como padro nos EUA com m=255.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Lei m

m=255

Lei A

10

1 log( )1 log( ) 1

11 log( )

Axx

A AY

Axx

A A

+= + +

Nota-se que a lei perfeitamente linear para baixos valores de 1

xA

.

Esta lei utilizada como padro europeu e adotada pelo Brasil com A=87,6. O ITU recomenda o uso da lei A como padro para comunicaes internacionais, com o uso de conversores A/m e m/A para os pases que adotaram a lei m.



Na prtica no se utiliza a equao definida anteriormente, mas sim uma aproximao da mesma por 8 segmentos de reta (3 bits).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

7/8

6/8

5/8

4/8

3/8

2/8

1/8

Lei A

1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2

Cada segmento dividido uniformemente em 16 nveis (4 bits): Usa-se ainda, 1 bit para indicar o sinal (positivo ou negativo). Logo, cada amostra quantizada com 8 bits:

1/8 1/4

00 01 10 11

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

posio segmento polaridade



TDM de sinais PCM

Objetivo: Transmisso de vrios sinais PCM sobre uma mesma linha, separados no tempo. Definindo: n = nmero de sinais b = nmero de bits de quantizao de cada amostra fs = frequncia de amostragem de cada sinal Exemplo 1) Para n=3 sinais e b=3 bits

1

s

Tf

= : Perodo de amostragem de cada sinal

1o Sinal: 101 110 001 ... 2o Sinal: 110 100 ... 3o Sinal: 111 011 ... Definindo: Taxa de Bits (Bit Rate) Quantidade de bits que trafega pelo canal por unidade de tempo.

. . sBR n b f= Unidade: [bit/s] Outras unidades: 1kbps = 1k bit/s = 1.000 bit/s 1Mbps= 1M bit/s = 1.000k bits/s = 1.000.000 bits/s 1Gbps= 1 G bit/s = 1.000M bit/s=1.000.000.000 bits/s No exemplo: usando 1sf kHz= temos 3 3 1 9 /BR k k bit s= = Exemplo 2) Qual a taxa de bits necessria transmisso de um sinal TDM/PCM composto por 10 canais de voz amostrados a 8kHz, quantizados a 8 bits e que utiliza um bit de sincronismo por quadro?

.10 8 1 81

n bitsbits

quadro= + = a 8000

quadross

Logo: 81 8000 648.000 648bit quadros bit bit

BR kquadro s s s

= = =

T 2T

/ ( )TDM PCM tj

1o Quadro 2o Quadro

1o 1o 2o 2o 3o 3o 1o



Sistemas Utilizados PCM30: Adotado na Europa e Brasil em conjunto com a Lei A

125 8sT s f kHzm= = n=32 e b=8 O PCM30 permite o envio de 30 sinais telefnicos sobre 2 pares de fios (ida e volta). Sinal [0] :

- Palavra de sincronismo (alinhamento de quadro) - Palavra de servio (indicando falhas no sistema)

Sinal[16] : - Sinalizao Taxa necessria transmisso do PCM30:

32 8 8000 2048 / 2 /BR k bit s M bit s= = @ PCM24: Adotado nos EUA, Canad, Japo em conjunto com a Lei m.

125 8sT s f kHzm= = n=24 e b=8 Mais um bit adicional por quadro para sincronismo. Taxa necessria transmisso do PCM24:

(24 8 1) 8000 1544 /BR k bit s= + = Exerccio: Dispondo de um canal de capacidade de 696k bit/s , calcule o maior nmero de bits possvel aquisio do sinal de voz, sabendo que devem trafegar 15 sinais de voz amostrados a 8kHz neste canal. 696000 15 8000b= logo 5.8b = bits posso usar at 5 bits.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

T 8 bits

1 Quadro

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

T 8 bits

1 Quadro

0 1 2

1 bit



Vantagens do Sistema PCM

- Rudos aditivos tm pouca influncia no sistema PCM, uma vez que no estamos interessados em medir alguma caracterstica do pulso (amplitude, largura ou posio), mas sim apenas se ele est presente ou no.

- O sinal PCM pode ser transmitido a longas distncias sem sofrer influncia de rudo ou distoro introduzidos pelo canal de transmisso, desde que haja regeneradores (ex. comparador com histerese) distribudos ao longo da linha de transmisso.

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

1.5f

PCM(t)+ruido

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

1.5

Transmissor

Regenerador

Receptor 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Regenerador



- Os circuitos utilizados so todos digitais os quais so estveis, no necessitam de ajustes,

so fceis de integrar e de custos cada vez menores.

- Os sinais, por serem digitais, podem ser armazenados (memria) e/ou processados

digitalmente (microprocessadores).

Desvantagens do Sistema PCM - Rudo de quantizao inerente ao sistema PCM

- A cada amostra um conjunto de b pulsos (bits) necessita ser transmitido, logo necessita um tempo maior do que a transmisso de um nico pulso por amostra (PAM, PPM, PWM).

- Cada pulso possui uma pequena largura, de modo que a banda necessria transmisso

aumentar proporcionalmente ao nmero de bits utilizados.

Necessita largura de banda: 10

1B

t=

Necessita largura de banda 2 10

12

/ 2B B

t= =

T 2T 3T

1( )PCM tj

T 2T 3T

2 ( )PCM tj

0t

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