Análise de Pórticos Com Incorporação de Condesação Estática Por Raphael Ribeiro Santos

7/25/2019 Anlise de Prticos Com Incorporao de Condesao Esttica Por Raphael Ribeiro Santos

1/167

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

COLEGIADO DE ENGENHARIA CIVIL

RAPHAEL RIBEIRO SANTOS

ANLISE DE PRTICOS COM INCORPORAO DE CONDENSAOESTTICA

FEIRA DE SANTANA - BA2010


2/167


ANLISE DE PRTICOS COM INCORPORAO DE CONDENSAO ESTTICA

Monografia apresentada disciplina TEC

174 PROJETO FINAL II, como parte dos

requisitos necessrios para a obteno de

seus crditos.

Orientador: Prof. Dr. Jos Mrio Feitosa

Lima

Co-orientador:Prof. Dr. Koji de Jesus

Nagahama

FEIRA DE SANTANA - BA2010


3/167


ANLISE MATRICIAL DE PRTICOS COM INCORPORAO DE CONDENSAOESTTICA

Monografia apresentada disciplina TEC

174 PROJETO FINAL II, como parte dosrequisitos necessrios para a obteno de

seus crditos.

Feira de Santana, 13 de agosto de 2010.

___________________________________________________

Orientador: Prof. Dr. Jos Mrio Feitosa LimaUniversidade Estadual de Feira de Santana

___________________________________________________

Co-orientador: Prof. Dr. Koji de Jesus Nagahama

Universidade Estadual de Feira de Santana

__________________________________________________

Prof. Dr. Anderson de Souza Matos GadaUniversidade Estadual de Feira de Santana

__________________________________________________

Prof. Dr. Paulo Roberto Lopes LimaUniversidade Estadual de Feira de Santana


4/167

Dedico este trabalho a toda a minha

famlia


5/167

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer primeiramente a Deus, por est sempre presente na

minha vida, dando-me sade, paz, sabedoria, guiando-me pelos caminhos certos.

minha Famlia, aos meus pais Raimundo Reis e Iara Ribeiro, a minha irm

Nathalya por todo carinho, confiana e esforo para que pudesse chegar at aqui.

A minha namorada, amiga e companheira Isys por sempre acreditar em mim e

estar ao meu lado.

A panelinha por todos os momentos vividos juntos e a ajuda que recebi ao

longo desse curso. Aos meus velhos amigos que estiveram ao meu lado sempre me apoiando,

a vocs o meu muito obrigado.

Ao meu amigo e Professor Jos Mrio Feitosa Lima, por ter me ajudado ao

longo desse curso sempre acreditando no meu potencial e me incentivando a me tornar um

engenheiro melhor.

Ao meu Professor e co-orientador Koji de Jesus Nagahama por ter me ajudado

a escrever este trabalho.

A todos os professores que repassaram seus conhecimentos com total

dedicao durante todo meu processo de formao acadmica.A Universidade Estadual de Feira de Santana por me proporcionar toda uma

infra-estrutura para os meus estudos e tambm a todos aqueles que direta ou indiretamente me

ajudaram ao longo desta caminhada.

OBRIGADO!!!


6/167

RESUMO

O projeto estrutural parte de uma concepo terica da estrutura e termina com

a documentao que possibilita a sua construo. So inmeras e muito complexas as etapasde um projeto estrutural sendo a anlise estrutural a fase em que se realiza o estudo do

comportamento da estrutura, com a determinao de esforos internos e externos, tenses

correspondentes, bem como de seus deslocamentos e deformaes. No Brasil existe uma

carncia de programas educacionais (com cdigo aberto) para anlise estrutural. Em geral, o

aluno recm formado passa diretamente dos fundamentos tericos para a utilizao de

programas comerciais, na maioria das vezes sem conhecer sua estrutura interna. Este trabalho

tem por objetivo aplicar o Mtodo da Rigidez na anlise matricial de prticos espaciaisincluindo a possibilidade de condensao esttica dos deslocamentos, gerando assim uma

ferramenta computacional para essa anlise. Tal ferramenta foi implementada em linguagem

FORTRAN 77. Por fim apresentada a validao dos resultados por meio de problemas cujas

solues analticas so conhecidas, ou ainda para outros problemas que dispunham de

solues numricas apresentadas na literatura.

Palavras-chave: Prtico Espacial; Condensao Esttica; Mtodo da Rigidez.


7/167

ABSTRACT

The structural design include since theoretical conception of structure to

documents that permit its construction. There are many stages of a structural project and they

are complex too much so that the structural analysis is the phase where the study of behavior

of structure is done, with the determination of intense and extern efforts, correspondents

tensions, as well the displacements and deformation. In Brazil there is a lack of education

programs (Open source) to structural analysis. In general, the newly formed student passes

from theoretical fundaments to uses of commercial programs many times without know its

internal structure. This work aims to do build the application of Method of Rigid in matrix

analysis 3D frame including the possibility of static condensation of displacements

establishing a computational tool for this analysis. This tool has been implemented in

FORTRAN 77 language. The validation of results is presented through problems where

analytic solutions are known or to other different problems that had numerical solutions found

in literature.

Keywords: Space Frames; Static Condensation; Method of Rigid.


8/167

LISTA DE SMBOLOS E VARIVEIS

FTOOL - Two-dimensional Frame Analysis Tool

PUC-Rio - Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro

Tecgraf/PUC-Rio - Tecnologia em Computao Grfica /Pontifcia Universidade Catlica do

Rio de Janeiro

CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico

GL - graus de liberdade

X - Coordenada global na direo de X

Y - Coordenada global na direo de YZ - Coordenada global na direo de Z

x - Coordenada local na direo de x

y - Coordenada local na direo de y

z - Coordenada local na direo de z

Fx - Vetor Fora na direo de x

Fy - Vetor Fora na direo de y

Fz - Vetor Fora na direo de zMx - Vetor Fora Momento na direo de x

My - Vetor Fora Momento na direo de y

Mz - Vetor Fora Momento na direo de z

jD Deslocamento j segundo o sistema de referncia global

i

kd Deslocamento k no elemento i segundo o sistema de referncia local

x

j - Deslocamento horizontal do n j

y

j Deslocamento vertical do n j

j - Rotao do n j

AAo atuante na mola

DDeslocamento da mola

S - Rigidez da mola

[S] - Matriz de Rigidez da estrutura no restringida;

{D} - Vetor de Deslocamentos nodais da estrutura;{A} Vetor de Aes nodais da estrutura.
http://www.tecgraf.puc-rio.br/http://www.tecgraf.puc-rio.br/


9/167

[SMD] - Matriz de Rigidez do elemento no sistema global

[RT] - Matriz de Rotao do elemento, que depende de sua orientao;

[RT] Transposta da Matriz de Rotao do elemento;

[SM] - Matriz de Rigidez do elemento no sistema local.

{AC} - Vetor de cargas combinadas

{Ag} - Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema global de

coordenadas;

{AL} - Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema local de

coordenadas;

}{A RL - vetor das reaes na estrutura restringida

{AR} - Vetor de reaes na estrutura real;

{ARL} - Vetor de reaes na estrutura restringida;

{AM} - Aes de extremidade de membro na estrutura real;

{AML} - Aes de extremidade de membro na estrutura restringida.

iIdentificador do elemento

J - N inicial

K - N finalL - Comprimento do elemento

I - Momento de inrcia da seo transversal

Ax - rea da seo transversal

Ix - Momento de inrcia na direo de x

Iy - Momento de inrcia na direo de y

Iz - Momento de inrcia na direo de z

G - Mdulo de elasticidade transversal

Jw - Deslocamento w na extremidade esquerda

NGL - Nmero de graus de liberdade por n

NN - Nmero do n

W - ndice que indica deslocamento

Kcc - Sub-matriz dos graus de liberdade que sero condensados

Kpp - Sub-matriz dos graus de liberdade que permanecero

- Sub-matriz dos graus de liberdade que sofrem influncia da condensao esttica

dc - Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que sero condensados

dp - Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que permanecero


10/167

rc - Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que sero condensados

rp - Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que permanecero

Cx - Co-seno diretor do membro na direo x

Cy - Co-seno diretor do membro na direo y

Cz - Co-seno diretor do membro na direo z

E - Mdulo de elasticidade

- Coeficiente De Poisson

R= Matriz de Rotao

- ngulo existente entre os eixos principais de inrcia no sistema local e o eixo vertical do

sistema global da estrutura

RT - Matriz de Transformao de Rotao
http://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poissonhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poisson


11/167

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Estrutura unidimensional - viga e pilares. Fonte: Figueiredo (2010). ...................21

Figura 2.2: Estrutura laminar - Laje. Fonte: Figueiredo (2010). ..............................................22

Figura 2.3: Estrutura tridimensional - blocos de fundao. Fonte: Figueiredo (2010). ...........22

Figura 2.4: Exemplos de estruturas reticuladas planas. Fonte: Gere e Weaver (1987). ...........24

Figura 2.5: Exemplos de estruturas reticuladas espaciais. Fonte: Gere e Weaver (1987)........24

Figura 2.6: Sistema global e local de coordenadas de um prtico plano. Fonte: Rovere (2005).

..................................................................................................................................................25

Figura 2.7: Deslocamentos globais e locais..............................................................................31

Figura 2.8: Prtico plano. .........................................................................................................32

Figura 2.9: Quatro nveis de abstrao para uma estrutura na anlise estrutural. Fonte: Martha(2000). ......................................................................................................................................33

Figura 2.10: Estrutura real e o seu modelo estrutural...............................................................34

Figura 2.11: Parmetros nodais utilizados na discretizao pelo Mtodo da Rigidez. Fonte:Martha (2000). ..........................................................................................................................35

Figura 3.1: Mola linearmente elstica ......................................................................................37

Figura 3.2: Elemento de viga com 2 graus de liberdade por n...............................................41

Figura 3.3: Imposio dos deslocamentos unitrios D1 e D2....................................................42

Figura 3.4: Imposio dos deslocamentos D3 e D4...................................................................42

Figura 3.5: Regra da correspondncia ......................................................................................45

Figura 3.6: Viga contnua .........................................................................................................45

Figura 3.7: Graus de liberdade da estrutura..............................................................................46

Figura 3.8: Elementos de viga utilizados na modelagemgraus de liberdade dos elementos 46

Figura 3.9: Matriz de rigidez de trelia gerada a partir da matriz de rigidez de prtico. .........48

Figura 3.10: Descontinuidades parciais. Fonte: Gere e Weaver (1987)...................................48

Figura 3.11: Viga com rotula aplicada a direita. ......................................................................50


12/167

Figura 3.12: Digrama de bloco para a anlise de estruturas reticuladas...................................54

Figura 3.13: Aes de extremidade para membros restringidos. Fonte: Gere e Weaver (1987)...................................................................................................................................................56

Figura 3.14: Rotao de um membro de prtico espacial em torno do eixo x. Fonte: Gere eWeaver (1987). .........................................................................................................................57

Figura 3.15: Membro de prtico espacial inclinado. Fonte: Gere e Weaver (1987). ...............58

Figura 4.1: Exemplo 1. Fonte: Vasconcellos Filho (1986). .....................................................62

Figura 4.2: Exemplo 2.Fonte: Gere e Weaver (1987). .............................................................64

Figura 4.3: Numerao de ns e de membros do exemplo 2. Fonte: Gere e Weaver (1987)...65

Figura 4.4: Numerao de Ns. Fonte: Guerra (2009). ............................................................68

Figura 4.5: Numerao de membros (Pilares). Fonte: Guerra (2009)......................................69

Figura 4.6: Numerao de Membros (Vigas). Fonte: Guerra (2009). ......................................69

Figura 4.7: Exemplo 4. Fonte: Gere e Weaver (1987). ............................................................71

Figura 4.8a: Exemplo 5 (trelia plana). Fonte: Gere e Weaver (1987) ....................................73

Figura 4.8b: Exemplo 5 (trelia plana). Fonte: Gere e Weaver (1987) ....................................73

Figura B.1: Rotao de eixos para um membro de prtico espacial. Fonte: Gere e Weaver(1987) .......................................................................................................................................85


13/167

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Estruturas ReticuladasCaractersticas Gerais. Fonte: Rovere (2005)................27

Tabela 3.1: Regra da correspondncia: GL da estrutura correspondente ao GL dos elementos..................................................................................................................................................46

Tabela 4.1: Exemplo 1-dados ...................................................................................................61

Tabela 4.2: Exemplo 1Deslocamentos nodais. .....................................................................62

Tabela 4.3: Exemplo 1Reaes de apoio..............................................................................63

Tabela 4.4: Exemplo 1Aes de extremidade de membro...................................................63

Tabela 4.5: Exemplo 2dados ................................................................................................65

Tabela 4.6: Exemplo 2Deslocamentos nodais. .....................................................................66

Tabela 4.7: Exemplo 2Reaes de apoio..............................................................................66

Tabela 4.8: Exemplo 2Aes de extremidade de membro...................................................67

Tabela 4.9: Exemplo 3 - Dados ................................................................................................69

Tabela 4.10: Comparao de resultados para as Vigas ............................................................70

Tabela 4.11: Comparao de resultados para os Pilares...........................................................70

Tabela 4.12: Foras axiais dos membros..................................................................................72

Tabela 4.13: Exemplo 5dados ..............................................................................................74

Tabela 4.14: Informao dos ns para a trelia ........................................................................74

Tabela 4.15: Informao dos membros para a trelia...............................................................74

Tabela 4.16: Aes aplicadas nos ns ......................................................................................75

Tabela 4.17: Exemplo 5Deslocamentos nodais. ...................................................................75

Tabela 4.18: Exemplo 5Reaes de apoio............................................................................76

Tabela 4.19: Exemplo 5aes de extremidade de membro. .................................................76

Tabela D.1: Principais variveis utilizadas no programa .......................................................125


14/167

LISTA DE QUADROS

Quadro 3.1: Simbologias BsicasDiagrama de Blocos ........................................................53


15/167

SUMRIO

1 INTRODUO ...................................................................................................................171.1 CONSIDERAES PRELIMINARES .........................................................................17

1.2 RELEVNCIA E JUSTIFICATIVA DO ESTUDO......................................................18

1.3 OBJETIVO DO ESTUDO..............................................................................................191.3.1 Objetivo Geral ..........................................................................................................191.3.2 Objetivos Especficos ...............................................................................................19

1.4 METODOLOGIA...........................................................................................................19

1.5 ESTRUTURAO E ORGANIZAO DO TRABALHO .........................................20

2 REVISO BIBLIOGRFICA ...........................................................................................21

2.1 MODELAGEM ..............................................................................................................21

2.2 ESTRUTURAS RETICULADAS..................................................................................222.2.1 Diviso da Estrutura em Elementos .........................................................................222.2.2 Tipos de Estruturas Reticuladas ...............................................................................232.2.3 Sistema de Coordenadas...........................................................................................252.2.4 Graus de Liberdade ..................................................................................................262.2.5 CaractersticasGraus de Liberdade no Sistema Local..........................................272.2.6 Condies de Equilibro ............................................................................................302.2.7 Condies de Compatibilidade de Deslocamentos ..................................................31

2.3 ANLISE ESTRUTURAL ............................................................................................332.3.1 Modelo Estrutural.....................................................................................................332.3.2 Modelo Discreto.......................................................................................................35

3 ANLISE MATRICIAL DE PORTICOS ESPACIAIS A PARTIR DO METDO DARIGIDEZ.................................................................................................................................37

3.1 RESUMO DO MTODO DA RIGIDEZ .......................................................................37

3.2RIGIDEZES DE MEMBRO PRISMTICO DE PRTICOS ESPACIAIS...................41

3.3 REGRA DA CORRESPONDNCIA ............................................................................443.3.1 Introduo.................................................................................................................443.3.2 Exemplo - Elementos de viga ..................................................................................45

3.4 CONDENSAO ESTTICA......................................................................................483.4.1 Introduo.................................................................................................................483.4.2 Formulao da Condensao Esttica Linear...........................................................493.4.3 Exemplo ...................................................................................................................50

3.5 FORMULAO COMPUTACIONAL.........................................................................523.5.1 Diagrama de Blocos .................................................................................................53


16/167

3.5.2 Operaes .................................................................................................................543.5.2.1 Entrada de dados................................................................................................553.5.2.2 Clculos Preliminares ........................................................................................553.5.2.3 Montagem da Matriz de Rigidez .......................................................................573.5.2.4 Montagem do Vetor de Carga ...........................................................................593.5.2.5 Condies de Contorno .....................................................................................593.5.2.6 Clculo dos Resultados......................................................................................603.5.2.7 Sada de Dados ..................................................................................................60

4 ESTUDO DE CASOS..........................................................................................................61

4.1 EXEMPLO 1...................................................................................................................61

4.2 EXEMPLO 2...................................................................................................................64

4.3 EXEMPLO 3...................................................................................................................684.4 EXEMPLO 4...................................................................................................................71

4.5 EXEMPLO 5...................................................................................................................72

5 CONSIDERAES FINAIS..............................................................................................78

REFERNCIAS .....................................................................................................................79

APNDICE A FORMATO PADRO DO ARQUIVO DE ENTRADA.........................80

APNDICE B CLCULO DO NGULO .....................................................................84

B.1 CLCULO DO NGULO .........................................................................................85

APNDICE C MANUAL DE UTILIZAO DO SOFTWARE ...................................89

APNDICE D LISTAGEM DO PROGRAMA..............................................................123

D.1 INTRODUO...........................................................................................................124

D.2 SPACE FRAME ..........................................................................................................124D.2.1 Descrio do Programa .........................................................................................124D.2.2 Variveis do Programa ..........................................................................................125D.2.3 Listagem ................................................................................................................128D.2.4 Exemplo de Utilizao ..........................................................................................160


17/167

17

1 INTRODUO

1.1 CONSIDERAES PRELIMINARES

De acordo com Martha (2000), desde a dcada de 1960 o computador tem sido

utilizado na anlise estrutural, embora inicialmente somente pelos institutos de pesquisa e

universidades. Segundo Rovere (2003), o avano computacional das ltimas dcadas

possibilitou o desenvolvimento de programas computacionais para anlise estrutural de

estruturas contnuas e reticuladas. Neste sentido, foram desenvolvidos programas comerciais

como ANSYS, SAP 2000, ABAQUS e MSC NASTRAN, com base no mtodo dos

elementos finitos. Ressalta-se, no entanto, que somente nas ltimas dcadas foramincorporados nesses programas rotinas de pr e ps-processamento para gerao automtica

de malhas e contorno de tenses.

A anlise de estruturas pode ser vista atualmente como uma simulao

computacional do comportamento de estruturas. Martha (2000) afirma que no se concebe

atualmente executar as tarefas de anlise estrutural, mesmo para o caso de estruturas

reticuladas, sem o uso de computador e de computao grfica.

Segundo Rovere (2003), existe, no entanto, uma carncia de programas

educacionais para anlise estrutural. O aluno de graduao passa diretamente dos

fundamentos tericos para a utilizao desses programas comerciais, sem conhecer, na

maioria, das vezes sua estrutura interna. Pode-se citar, como um dos poucos exemplos de

programa educacional para anlise estrutural no Brasil, o programa FTOOL (Two-

dimensional Frame Analysis Tool), para estruturas reticuladas planas desenvolvido

inicialmente atravs de um projeto de pesquisa integrado, coordenado por Marcelo

Gattass,professor do Departamento de Informtica da PUC-Rio e diretor do Grupo de

Tecnologia em Computao Grfica (Tecgraf/PUC-Rio). Esse projeto teve o apoio do CNPq

(Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico). Atualmente o professor

responsvel por esse programa Luiz Fernando Martha (2000), do Departamento de

Engenharia Civil da PUC-Rio.


18/167

18

1.2 RELEVNCIA E JUSTIFICATIVA DO ESTUDO

Segundo Martha (2000), a Engenharia Estrutural trata do planejamento,

projeto, construo e manuteno de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabalho e

lazer. O projeto estrutural tem como objetivo a concepo de uma estrutura que atenda sua

funo primria, sem colapsar e deformar, ou vibrar, excessivamente, satisfazendo questes

de segurana, condies de utilizao, condies econmicas, esttica, questes ambientais,

condies construtivas e restries legais. O resultado final do projeto estrutural a

especificao da estrutura de forma completa, isto , abrangendo todos os seus aspectos

gerais, tais como locao, e todos os detalhes necessrios para a sua construo. Portanto, o

projeto estrutural parte de uma concepo geral da estrutura e termina com a documentaoque possibilita a sua construo. So inmeras e muito complexas as etapas de um projeto

estrutural. Entre essas cita-se a previso do comportamento da estrutura de tal forma que a

mesma possa atender satisfatoriamente s condies de segurana e de utilizao para as quais

foi concebida.

A anlise estrutural a fase do projeto estrutural em que se realiza o estudo do

comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por diversos parmetros,tais como campos de tenses, deformaes e deslocamentos da estrutura. De uma maneira

geral, a anlise estrutural tem como objetivo a determinao de esforos internos e externos,

tenses correspondentes, deslocamentos e deformaes da estrutura que est sendo projetada.

Segundo Gere e Weaver (1987), na resoluo de problemas sem auxlio de

ferramentas computacionais, pode-se gerar matrizes de forma conveniente sem perda de

eficincia. Contudo, as estruturas grandes e complexas exigem a soluo de um imenso

nmero de equaes, sendo necessria para a sua soluo a utilizao de computadores. Num

programa computacional necessrio manipular toda a informao sobre a estrutura e suas

cargas de uma maneira organizada. Deste modo, deve-se desenvolver um procedimento

formalizado que permita a um computador processar grande quantidade de informao por

um procedimento de rotina.

De acordo com Gere e Weaver (1987), a condensao esttica ou

descontinuidade nos membros depende da natureza geral da estrutura reticulada, em vigas,

por exemplo, s so de importncia descontinuidades de esforo cortante e momento fletor.


19/167

19

Essa ferramenta possibilita o programa de prtico espacial simular qualquer tipo de estrutura

reticulada, contemplando portando o estudo e anlise de trelias, prticos com tirantes e

grelhas.

1.3 OBJETIVO DO ESTUDO

1.3.1 Objetivo Geral

Disponibilizar uma ferramenta computacional para dar suporte ao ensino e

anlise de estruturas reticuladas.

1.3.2 Objetivos Especficos

a) Apresentar uma formulao terico-computacional para a anlise de

prticos espaciais, baseando-se no Mtodo da Rigidez;

b) Determinar, atravs do software desenvolvido, os deslocamentos(translaes e rotaes), reaes de apoio e aes de extremidade de

membros de prticos espaciais;

c) Aplicar o Mtodo da Rigidez na anlise matricial de prticos espaciais,

incorporando condensao esttica.

1.4 METODOLOGIA

Com base no objetivo de apresentar uma ferramenta computacional para a

anlise de estruturas reticuladas, definiu-se os seguintes passos: (i) Inicialmente feita uma

reviso bibliogrfica para a compreenso da importncia e domnio do objeto de estudo. Neste

sentido, so apresentados os tipos de estruturas reticuladas e suas caracteristicas, introduzindo

conceitos fundamentais.(ii) Posteriormente sodiscutidas as vrias fases de um programa

computacional para a anlise de estruturas pelo mtodo da rigidez. (iii) Por fim, apresenta-se a

formulao inerente condensao esttica.


20/167

20

A ferramenta computacional baseada no Mtodo da Rigidez, e

implementada atravs da linguagem de programao FORTRAN 77. A escolha desta

linguagem deve-se, principalmente a fcil implementao e sua ampla utilizao nos meios

acadmicos e cientficos.

Para validao dos resultados foram utilizados problemas com solues

conhecidas, ou ainda outros com solues numricas geradas atravs de programas

comerciais.

1.5 ESTRUTURAO E ORGANIZAO DO TRABALHO

O trabalho est dividido em 5 captulos, sendo este primeiro o que contm as

consideraes iniciais, a justificativa, relevncia do trabalho, os objetivos bem como a

definio do escopo e organizao deste.

No Captulo 2 feita uma reviso bibliogrfica onde so abordadas aconcepo estrutural de prticos e os seus correspondentes modelos de representao.

Um resumo do mtodo da rigidez mostrando diagrama de bloco para a anlise

de prticos espaciais apresentado no capitulo 3 ao tempo que se define condensao esttica

apresentando sua correspondente formulao.

A verificao do programa aqui gerado realizada no capitulo 4 atravs da

comparao dos resultados com os obtidos atravs da literatura disponvel que utilizam

tcnicas convencionais.

O Captulo 5 apresenta as concluses finais e sugestes para a continuidade

deste trabalho.


21/167

2 REVISO BIBLIOGR

2.1 MODELAGEM

Segundo S

chamadas estruturas ou

interligados, deformveis

primeira etapa da anlise e

Nesse sentido, as estrutu

elementos. Com relao

unidimensionais, laminares

De um mod

estas ligadas entre si e ao

ou seja, deve ser capaz

transmiti-las at seus apoi

equilibrante (SSSEKIND

A estrutura

s outras duas. So em g

supera em pelo menos trs

as vigas e pilares (vide figu

Figura 2.1: Estrutur

A estrutura

terceira. Tm-se como exe

bem menor do que suas o

FICA

riano (1993), a anlise estrutural trata d

istemas estruturais, formados de compon

capazes de receber e transmitir esforos.

strutural consiste em estabelecer omodelo es

ras podem ser tratadas globalmente, ou

a suas dimenses, as estruturas podem

e tridimensionais.

o geral, as estruturas so compostas de uma

eio exterior. O conjunto formado por estas

de receber as solicitaes externas, absor

s, onde estas solicitaes externas encontrar

, 1981).

dita unidimensional quando uma dimenso

ral denominadas barras, cujo eixo, que p

vezes a maior dimenso da seo transversal

ra 2.1).

a unidimensional - viga e pilares. Fonte: Fig

laminar quando duas dimenses predo

plo as chapas, as lajes, as placas e as cascas

utras dimenses (vide figura 2.2).

21

comportamento das

entes adequadamente

ara Rovere (2005), a

trutural a ser adotado.

ivididas em diversos

ser classificadas em

ou mais peas, sendo

eas deve ser estvel,

-las internamente e

o seu sistema esttico

predomina em relao

de ser reto ou curvo,

tm-se como exemplo

eiredo (2010).

minam em relao

, nas quais a espessura


22/167

22

Figura 2.2: Estrutura laminar - Laje. Fonte: Figueiredo (2010).

Por fim, a estrutura tridimensional quando nenhuma dimenso

predominante. o caso de blocos de fundao e alguns tipos de barragens (vide figura 2.3).

Figura 2.3: Estrutura tridimensional - blocos de fundao. Fonte: Figueiredo (2010).

2.2 ESTRUTURAS RETICULADAS

2.2.1 Diviso da Estrutura em Elementos

Segundo Gere e Weaver (1987), cada estrutura reticulada composta

constituda por membros ligados entre si por pontos nodais, denominados ns. Portanto, ns

de uma estrutura reticulada so os pontos de interseo dos membros, assim como os pontos

de apoio e extremidades livres da estrutura.

De acordo com Rovere (2005), as aes e deslocamentos de uma estrutura sosintetizados nos ns, resultando em um sistema de equaes algbricas de equilbrio, de foras


23/167

23

ou momentos, associados a esses ns. Ainda segundo esse autor, uma estrutura com N ns,

tendo M graus de liberdade (GL) em cada n, resultar em um sistema de NM equaes

algbricas, incluindo-se as direes restringidas por vnculos.

2.2.2 Tipos de Estruturas Reticuladas

Conforme Sssekind (1981), a maioria das estruturas constituda por barras,

sendo denominadas de estruturas reticuladas.

O estudo esttico das barras pode ser feito considerando-a representada peloseu eixo (lugar geomtrico dos centros de gravidade de suas sees transversais). Caso o eixo

das diversas barras que compe a estrutura estejam contidos em um mesmo plano tratar-se-

de uma estrutura plana, caso contrrio, tratar-se- de uma estrutura espacial (SSSEKIND,

1981).

As estruturas reticuladas podem ser classificadas em:

Vigas Trelia

o Planao Espacial

Prticoo Planoo Espacial

Arcos Grelha

Cabos, escoras e/ou tirantes

As vigas so estruturas compostas de barras retas ou curvas que esto contidos

em um plano em que a flexo preponderante. (vide figura 2.4.a). Uma trelia plana

idealizada como um sistema de membros existentes num plano e ligados entre si por rotulas,

formando malhas triangulares. Todas as foras aplicadas so consideradas como atuando no

plano da estrutura, e todos os binrios externos tm seus vetores-momento normais ao plano.

As cargas podem consistir em foras concentradas aplicadas nos ns, assim como cargas que

atuam nos prprios membros (vide figura 2.4.b). Um prtico plano constitudo por membros

existentes em nico plano tendo eixos de simetria nesse plano. As foras que atuam num


24/167

prtico e os deslocamento

que atuam no prtico tm

arcos so elementos lin

preponderantes, agindo ou

aes esto contidas em se

Figura 2.4: Exemplos

A grelha

plano em que todas as for

vetores no plano da grelha

exceto que os membros p

trelia tridimensional pod

membro deve ter seu veto-

que um membro de uma

(GERE e WEAVER 1987)

Figura 2.5: Exemplos d

do prtico esto no mesmo plano da estru

seus vetores-momento normais ao plano (

ares curvos em que as foras normais

no simultaneamente com esforos solicit

plano.

de estruturas reticuladas planas. Fonte: Gere

ma estrutura constituda de barras retas, to

as so normais ao plano da estrutura e todo

(vide figura 2.5.a). Trelia espacial idnti

dem ter qualquer direo no espao. As f

m ter direes arbitrarias, mas qualquer

momento perpendicular ao eixo da barra. A

trelia incapaz de suportar um momento t

.

e estruturas reticuladas espaciais. Fonte: Ger

24

ura; todos os binrios

vide figura 2.4.c). Os

de compresso so

antes de flexo, cujas

e Weaver (1987).

as contidas em nico

s os binrios tm seus

a a uma trelia plana,

ras que atuam numa

inrio que atue num

razo desta exigncia

rsor, vide figura 2.5.b

e Weaver (1987).


25/167

O tirante e

trao so preponderantes.

normais de compresso s

Os prticos

no h restries na posi

membros individuais de u

torsores, binrios fletores

foras cortantes em amb

(GERE e WEAVER 1987)

2.2.3 Sistema de C

A estrutura

Z) e os elementos em rel

perpendiculares entre si e

No sistema local, o eixo lcentride da seo, e o s

elemento (Em geral o eixo

figura 2.6).

Figura 2.6: Sistema global

cabo so elementos unidimensionais em qu

A escora um elemento unidimensional reti

preponderantes.

espaciais so o tipo mais geral de estruturas

o dos ns, direes dos membros ou di

prtico espacial podem suportar foras a

m ambas as direes principais da seo t

s as direes principais da seo transver

.

ordenadas

definida em relao a um sistema global

ao a um sistema local (x, y, z). Os trs

ormam um sistema destrgiro (satisfazem a

ocal x coincide com o eixo longitudinal dntido positivo deste eixo definido pela i

vertical da seo denominado eixo y e o

e local de coordenadas de um prtico plano.

25

e as foras normais de

lneo em que as foras

reticuladas, visto que

ees das cargas. Os

iais internas, binrios

ransversal, bem como

sal, vide figura 2.5.c

e coordenadas (X, Y,

eixos cartesianos so

regra da mo direita).

barra, passando pelo ncidncia dos ns no

orizontal eixo z (vide

Fonte: Rovere (2005).


26/167

26

2.2.4 Graus de Liberdade

O excesso de aes desconhecidas relativamente s que podem ser encontradas

pelo equilbrio esttico designado por redundante esttico. O nmero de tais redundantes

representa o grau de indeterminao esttica da estrutura.

No mtodo da rigidez, os deslocamentos nodais da estrutura so as quantidades

desconhecidas. Por isso, o segundo tipo de indeterminao conhecida como indeterminao

cinemtica, torna-se importante. Quando a estrutura est submetida a aes, cada n ter

deslocamentos sob a forma de translao e rotaes, dependendo da configurao da

estrutura; estes deslocamentos nodais desconhecidos so as quantidades cinemticasindeterminadas, sendo por vezes designados redundantes cinemticas. O seu nmero

representa o grau de indeterminao cinemtica da estrutura.


27/167

27

2.2.5 CaractersticasGraus de Liberdade no Sistema Local

A tabela a seguir apresenta as principais caractersticas consideradas na modelagem de elementos estruturais reticulados. Percebe-se que o prtico espacial a estrutura reticulada mais abrangente e complexa entre os reticulados apresentados.

Tabela 2.1: Estruturas ReticuladasCaractersticas Gerais. Fonte: Rovere (2005).

Viga 2 GL por n:translaoparalela a y erotao emtorno de z

estrutura plana em que o eixolongitudinal das barras (x) estcontido no eixo XY e sempreparalelo ao eixo X. O eixo y da seotransversal das barras deve ser umeixo de simetria de maneira a garantirque as barras no sofram toro; oseixos da seo transversal seroassim eixos principais de inrcia e ocentro de gravidade coincidir com ocentro de toro da seo.

as barrasso emgeralrigidamenteligadasentre si.

as foras aplicadaspodem serconcentradas oudistribudas esituam-se no planoXY (que coincidecom o plano xydas barras). Osbinrios aplicadosdevem ter seusvetores-momento(seta dupla)normais ao planoXY (paralelos aoeixo Z).

atendidas as condies acima, oselementos de viga se deformarono plano xy, no sofrendo toronem flexo fora do plano. Asdeformaes por flexopredominam e no caso de vigaslongas, em que a relao altura daseo(h) / comprimento do vo (l)for pequena, pode-se desprezar oefeito da fora cortante. Asdeformaes axiais no seroconsideradas.

a viga estar submetida a esforo cortantee momento fletor; no ser considerado oesforo axial. No caso da viga estarsubmetida a esforo axial significativo,esta deve ser tratada como prtico plano

Grelha 3 GL/n:translaoparalela a z erotao emtorno de x ede y

estrutura plana (plano XY) compostade barras contnuas que seinterceptam mutuamente.

ao contrrio doprtico plano,todas as forasatuamnormalmente aoplano XY e todosos binrios tmseus vetores (setadupla) no plano dagrelha (XY).

predominante por flexo(deformaes por toro e porcisalhamento so secundrias).Considera-se que cada barra temdois eixos de simetria na seotransversal, um est no plano XYe o outro paralelo a direo Z. Istoimplica em que os esforos demomento toror e fletor ajamindependentemente e tambmimplica que as barras se deformempor flexo na direo Z.

de flexo, toro e cortante.

continua


28/167

28

continuao

Trelia Plana 2 GL/ n :translaoparalela a x ea y

estrutura plana em que o eixolongitudinal das barras (x) estcontido no plano XY e pode ter umaorientao arbitrria em relao aoeixo X.

as barrassoarticuladas,ou seja,ligadasentre si por

rtulas.

as foras aplicadaspodem serconcentradas oudistribudas esituam-se no planoXY. Os binrios

aplicados devemter seus vetores -momento (setadupla) normais aoplano XY(paralelos ao eixoZ). Pode haverforas aplicadasdiretamente nosns ou nas barras,mas no podehaver binriosaplicadosdiretamente nosns (apenas nasbarras).

as deformaes axiaispredominam; pode haver tambmdeformao por flexo, mas a decisalhamento ser sempredesprezada.

se s houver foras aplicadas diretamentenos ns e foras axiais ao longo das barras,as barras estaro submetidas apenas aesforo axial. Se houver forastransversais e binrios ao longo das barrashaver esforo cortante e momento fletor

tambm (obtidos considerando-se as barrascomo vigas bi-apoiadas).

Trelia Espacial (3 GL/ n:translaoparalela a x,y, z

idntica trelia plana, exceto que asbarras podem ter qualquer direo noespao.

as barrasso ligadasentre si porrtulas.

as deformaes axiaispredominam; pode haver tambmdeformao por flexo, mas a decisalhamento ser sempre

desprezada.

se s houver foras aplicadas diretamentenos ns e foras axiais ao longo das barras,as barras estaro submetidas apenas aesforo axial. Se houver foras

transversais e binrios ao longo das barrashaver esforo cortante e momento fletortambm (obtidos considerando-se as barrascomo vigas bi-apoiadas).

Continua


29/167

29

continuao

Prtico Plano 3 GL/ n:translaoparalela a x ea y e rotaoem torno de z

estrutura plana constituda de barrasprismticas, situadas no plano XY,com orientao arbitrria em relaoao eixo X. Assim como nas vigas,considera-se que o eixo vertical (y)da seo transversal das barras um

eixo de simetria e, portanto, y e z soeixos principais de inrcia.


como nas vigas, asforas atuam noplano XY ebinrios atuamperpendicularmenteao plano XY

(direo Z).

de flexo, axial e cortante. as deformaes por flexo predominam eocorrem no plano XY. Consideram-se asbarras longas; desprezam-se, portanto, asdeformaes por cisalhamento Asdeformaes por flexo e axial soconsideradas independentemente uma da

outra (nas estruturas lineares no haverinterao entre esforo axial e flexo).

Prtico Espacial 6 GL/ n:translaoparalela a x,y, e z erotao emtorno de x, y,z

tipo de estrutura mais geral, no hrestrio na posio dos ns, barrasou direes das cargas. No entantoconsidera-se que a seo transversaltem dois eixos de simetria (eixosprincipais) de forma a no ocorrerinterao entre flexo e toro.


por flexo, axial e por toro; nocaso de barras longas pode-sedesprezar a deformao porcisalhamento.

axial, de toro, esforo cortante nas duasdirees principais e tambm de flexo nasduas direes principais.


30/167

30

2.2.6 Condies de Equilibro

Para um determinado carregamento aplicado todas as estruturas devem ser

capazes de alcanar um estado de equilbrio estvel. Esta condio de equilbrio deve ser

satisfeita pela estrutura como um todo ou por qualquer poro isolada desta.

Em um corpo livre submetido a diferentes aes, a resultante de todas as aes

pode ser uma fora, um binrio, ou ambos. Se o corpo livre est em equilbrio esttico, a fora

e momento resultante so ambos zero. Um vetor no espao tridimensional pode ser

decomposto em trs componentes segundo direes mutuamente ortogonais, tais como as

direes X, Y e Z. Se o vetor-fora resultante nulo, ento suas componentes tambm devemser iguais a zero, podendo-se, portanto, adotar as seguintes equaes de equilbrio esttico:

0F0F0F zyx (2.1.a)

Nestas equaes xF , yF e zF so as somas algbricas das

componentes segundo as direes X, Y, e Z, respectivamente, de todos os vetores-fora

atuando no corpo livre. De modo idntico, se o vetor-momento resultante igual a zero, as

equaes de equilbrio esttico so

0M0M0M zyx (2.1.b)

onde xM , yM e zM so as somas algbricas dos momentos em relao aos eixos X,

Y, e Z, respectivamente, de todos os binrios e foras que atuam no corpo livre.

As seis equaes 2.1 representam as equaes de equilbrio esttico para aes

em trs dimenses. Podem ser aplicadas a qualquer corpo livre, bem como estrutura

completa, uma parte da estrutura, um nico membro, ou um n da estrutura (GERE e

WEAVER, 1987).


31/167

31

2.2.7 Condies de Compatibilidade de Deslocamentos

Segundo Gere e Weaver (1987) em uma anlise de determinada estrutura, alm

das condies de equilbrio, deve-se atender as condies de compatibilidade. De acordo com

Martha (1993), compatibilidade significa que os deslocamentos e deformaes das vrias

partes da estrutura so consistentes. Isso expressa exigncia de que todas as partes da

estrutura deformada devem permanecer ajustadas, unidas, ligadas, durante todos os estgios

de carregamento. Em outras palavras, conforme observa Gere e Weaver(1987)estas condies

asseguram a continuidade dos deslocamentos ao longo da estrutura.

No caso dos elementos estruturais constitudos por barras, a hiptese dedeformao da barra mantendo a seo transversal plana, implica na existncia de

compatibilidade no interior das mesmas. Assim, deve-se garantir a compatibilidade nas

junes das barras e, desta forma, garantir a compatibilidade no interior de toda a estrutura.

Para exemplificar as relaes que garantem a compatibilidade nodal considere

a estrutura da figura 2.7.

Figura 2.7: Deslocamentos globais e locais.

As condies de compatibilidade nos ns das barras podem ser expressas por:

636

26

535

25

434

24

323

16

222

15

121

14

Ddd

Ddd

Ddd

Ddd

Ddd

Ddd

(2.2)


32/167

32

onde

jD o deslocamento j segundo o sistema de referncia global

i

kd o deslocamento k no elemento i segundo o sistema de referncia local

Estas condies partem do principio de que as junes entre as barras so

totalmente rgidas, isto , tanto a translao quanto a rotao so iguais nas duas extremidades

da junta. Estas condies so chamadas de condies internas de compatibilidade de

deslocamentos (MARTHA, 1993).

Alm das condies de compatibilidade interna, os deslocamentos tambm

devem ser compatveis com as condies de apoio da estrutura. Estas so as condies

externas de compatibilidade de deslocamentos. No caso da estrutura dafigura2. 7, em conjunto

com a figura 2.8, tais condies resultam em:

Figura 2.8: Prtico plano.

0Dd

0Dd

0Dd

0Dd

0Dd

0Dd

12

3

3

11

3

2

10

3

1

9

1

3

8

1

2

7

1

1

(2.3)


33/167

2.3 ANLISE ESTRUTU

Segundo Ge

so considerados as teoria

dois mtodos complement

e, conseqentemente, clc

matricial torna possvel

eficientes de descrever as

programadas para um com

A anlise eestrutura que est sendo

abstrao o do mundo fs

Figura 2.9: Quatro nveis

2.3.1 Modelo Estru

Conforme

modelo analtico que util

modelo chamado de mod

hipteses feitas para descrcriao do modelo estrutu

anlise estrutural. Essa tar

da sua importncia.

Na concep

da estrutura real em que

Feodosiev (1977), as hipt

AL

re e Weaver (1987) os mtodos de anlise de

mais fundamentais e universais entre toda

res so especialmente apropriados para um

lo utilizando computadores. Ainda segund

m tratamento unificado do tema, alm d

rias etapas na anlise, de modo que essas

utador.

trutural moderna trabalha com quatro nvenalisada, tal como indicado na figura 2.9.

ico, isto , representa-se a estrutura real tal c

e abstrao para uma estrutura na anlise est

(2000).

ural

artha (2000), o segundo nvel de abstrao d

izado para representar matematicamente a es

lo estrutural, ou modelo matemtico, e inco

ver o comportamento da estrutura para as dral de uma estrutura real uma das tarefa

fa pode ser bastante complexa, dependendo

o do modelo estrutural feita uma idealiza

e adota uma srie de hipteses simplifica

ses bsicas so:

33

flexibilidade e rigidez

as disponveis. Esses

formulao matricial

esse autor, a anlise

proporcionar meios

sejam mais facilmente

s de abstrao para a O primeiro nvel de

mo construda.

rutural. Fonte: Martha

a anlise estrutural o

trutura analisada. Esse

pora todas as teorias e

iversas solicitaes. A mais importantes da

do tipo de estrutura e

o do comportamento

oras. De acordo com


34/167

34

Os materiais sero supostos contnuos (ausncia de imperfeies,

bolhas etc.), homogneos (iguais propriedades em todos os seus

pontos), e istropos (iguais propriedades em todas as direes);

eixo longitudinal, sobre o plano neutro, no tem deformao;

Todas as sees normais permanecem planas e normais ao eixo

encurvado aps a deformao (hiptese das sees planas);

Qualquer deformao da seo normal no seu prprio plano

desprezada;

material est no regime elstico linear;

As deformaes e as rotaes so consideradas pequenas perante a

unidade.

A Figura 2.10 mostra um exemplo de um modelo estruturalbidimensional para o prtico de um galpo industrial.

Figura 2.10: Estrutura real e o seu modelo estrutural.

Observa-se na figura 2.10 que os elementos estruturais do galpo (vigas e

colunas) aparecem representados por linhas. A informao tridimensional das barras fica

representada por propriedades globais de suas sees transversais, tais como rea e momento


35/167

de inrcia. Portanto, no cas

uma tarefa simples: os ei

2.3.2 Modelo Discr

De acordo

anlise estrutural o do m

de clculo dos mtodos de

Em geral,

parmetros para representcomportamento analtico d

em que solues analticas

adotados. A passagem d

discretizao. Martha(200

dependem do mtodo utiliz

Na soluoreticuladas, a soluo discr

(pontos de encontro das

denominados deslocabilid

deslocamentos horizontais

ns, yC e y

D , e as rotaes

Figura 2.11: Parmetros

o de estruturas reticuladas, a considerao d

os das barras definem os elementos do mod

to

com Martha (2000), o terceiro nvel de

odelo discreto. Esse modelo concebido de

anlise.

os mtodos de anlise utilizam um conj

r o comportamento de uma estrutura. Nesso modelo estrutural substitudo por um co

contnuas so representadas pelos valores di

o modelo matemtico para o modelo di

) afirma que os tipos de parmetros adotad

ado.

pelo Mtodo da Rigidez ou dos Deslocaeta representada por valores de deslocame

arras), tal como indicado na figura 2.11.

ades. No exemplo da figura2. 11, as de

dos ns superiores, xC e x

D , os desloca

dos ns livres ao giro, B, C e D.

odais utilizados na discretizao pelo Mtod

Martha (2000).

35

geometria do modelo

lo estrutural.

bstrao utilizado na

ntro das metodologias

nto de variveis ou

nvel de abstrao, o mportamento discreto,

cretos dos parmetros

screto denominada

os no modelo discreto

entos, para estruturas tos e rotaes nos ns

Esses parmetros so

slocabilidades so os

entos verticais desses

o da Rigidez. Fonte:


36/167

36

Na figura 2.11, a configurao deformada da estrutura (elstica mostrada em

escala ampliada) representa a soluo contnua do modelo matemtico. Os valores das

deslocabilidades nodais representam a soluo discreta do problema. Nesse tipo de

metodologia baseada em deslocamentos, a soluo contnua pode ser obtida por interpolao

dos valores discretos dos deslocamentos e rotaes nodais, considerando tambm o efeito da

carga distribuda na barra horizontal.


37/167

3 ANLISE MATRICIARIGIDEZ

3.1 RESUMO DO MTO

O mtodo d

programaes automticas,

As incgnitas primrias no

resoluo de um sistema d

princpio da superposio.

nmero, grau de indetermi

No mtodo

alterando a estrutura real

sejam inicialmente nulos e

denomina-se sistema princi

Segundo Ge

deslocamentos desempen

conveniente de exprimir es

equaes podem ser obtida

A ao A c

extremidade da mola. A

deslocamento do seguinte

DSA

Nesta equa

para produzir um desloca

DE PORTICOS ESPACIAIS A PARTI

O DA RIGIDEZ

a rigidez, ou mtodo dos deslocamentos, am

considerado o mais importante mtodo d

mtodo da rigidez so deslocamentos, que s

equaes lineares algbricas de equilbrio,

Esses deslocamentos so denominados gr

ao cinemtica (SORIANO e LIMA 2006).

da rigidez, uma estrutura cinematicamente

de modo que os deslocamentos desconhec

em seguida assumam valores unitrios. Es

pal (GERE e WEAVER 1987).

re e Weaver (1987), as relaes que existe

am um papel importante na anlise e

sas relaes por meio de equaes de a

s considerando a mola linearmente elstica

Figura 3.1: Mola linearmente elstica

mprimir a mola produzindo desse modo u

relao entre A e D pode ser expressa

odo:

o, S a rigidez da mola, a qual definida c

mento unitrio. A rigidez expressa em

37

DO METDO DA

plamente utilizado em

anlise de estruturas.

o obtidos por meio de

eduzidas utilizando o

us de liberdade e seu

determinada obtida

idos da estrutura real

a estrutura restringida

m entre as aes e os

strutural. Um modo

e deslocamento. Tais

ostrada na figura 3.1.

m deslocamento D da

por uma equao de

(3.1)

omo a ao necessria

nidades de fora por


38/167

38

unidade de comprimento.A relao citada acima valida para qualquer estrutura linearmente

elstica submetida a uma nica ao (GERE e WEAVER, 1987).

Estendendo a anlise, para as demais estruturas reticuladas, as equaes de

equilbrio da estrutura no sistema global de referncia podem ser escritas ento, sob a forma

matricial (GERE e WEAVER 1987):

{A}=[S].{D} (3.2)

onde

[S] Matriz de Rigidez da estrutura no restringida;

{D} Vetor de Deslocamentos nodais da estrutura;

{A} Vetor de Aes nodais da estrutura.

A matriz de rigidez da estrutura no restringida [S] formada a partir da matriz

de rigidez de cada elemento, no sistema global, somando-se os coeficientes correspondentes

aos mesmos graus de liberdade:

][S=[S] MD (3.3)

onde

[SMD] Matriz de Rigidez do elemento no sistema global, sendo que a matriz de cada

elemento no sistema global obtida da seguinte forma:

]].[R]'.[S[R=][S TMTMD (3.4)

onde

[RT] Matriz de Rotao do elemento, que depende de sua orientao;

[RT]Transposta da Matriz de Rotao do elemento;[SM] Matriz de Rigidez do elemento no sistema local.


39/167

39

Se uma estrutura tem N ns, e cada n tem M graus de liberdade, a equao

(3.2) resultante ter NM equaes. A matriz de rotao [RT] est definida adiante atravs da

equao (3.27 e 3.25).

O vetor de cargas combinadas {AC} formado pela soma dos efeitos do vetor

de cargas aplicadas diretamente nos ns, {A}, com os efeitos do vetor de cargas nodais

equivalente a aes aplicadas nos elementos sendo o ultimo, obtido invertendo-se as reaes

de cada elemento:

}{A-{A}=}{A RLC ; (3.5)

sendo

}{A=}{A gRL e }]'.{A[R=}{A LTg (3.6)

onde

{ARL} Vetor de reaes na estrutura restringida;

{Ag} Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema global de

coordenadas;

{AL} Vetor de reaes de engastamento perfeito do elemento no sistema local de

coordenadas;

[RT]Transposta da Matriz de Rotao do elemento;

O vetor das reaes na estrutura restringida }{A RL a soma dos coeficientes

(que correspondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura) dos elementos que concorrem

no mesmo n.

Em seguida deve-se impor as condies de contorno, encontrando-se o sistema

de equaes de equilbrio para a estrutura restringida anulando os graus de liberdade

restringidos na estrutura real:

{A}=[S].{D}+}{A RL (3.7)


40/167

40

Para finalizar os clculos, resolve-se o sistema de equaes (3.7) e obtm-se o

vetor de deslocamentos:

}{A-{A}=[S].{D} RL (3.8)

}A-.{A[S]={D} RL-1 (3.9)

No presente trabalho foi adotado, para a resoluo do sistema de equaes, o

Mtodo de Eliminao de Gauss, que permite a anlise de um nmero ilimitado de graus de

liberdade. No entanto, o programa gerado com base nessa formulao foi limitado a 3000

graus de liberdade.

A partir dos deslocamentos calculados com (3.9) determinam-se as reaes de

apoio AR (foras e binrios nas direes de X, Y e Z), as quais so calculadas utilizando a

equao (3.10).

}D{]S[}{A}{A RDRLR (3.10)

onde

{AR} Vetor de reaes na estrutura real;

A matriz SRD uma sub-matriz retangular de S que contm aes

correspondentes s restries dos apoios, devidas aos valores unitrios dos deslocamentos

correspondentes aos graus de liberdade.

Finalmente, as aes de extremidade de membro para cada membro so

calculadas substituindo a matriz de rigidez de membro [SM]i para os eixos de membro e a

forma apropriada da matriz de transformao de rotao [RT] ital qual se apresenta na equao

(3.11).

iiTiMiMLiM .[D]][R][S}{A=}{A (3.11)


41/167

onde

{AM} Aes de extremi

{AML} Aes de extrem

3.2RIGIDEZES DE MEM

Seja o elem

Figura 3.2, cujo sistema lo

Figura 3.2:

O elementoainda para esse elemento

vetor de deslocamentos no

do elemento no sistema loc

4

3

2

1

M

D

D

D

D

=}{D

41

31

21

11

M

S

S

S

S

=}{S

Para se obte

extremidades do elemento

1D1 (Figura 3.3a); imp

ade de membro na estrutura real;

idade de membro na estrutura restringida.

RO PRISMTICO DE PRTICOS ESPA

nto de viga com 2 graus de liberdade por

al coincide com o sistema global.

Elemento de viga com 2 graus de liberdade

(i) (Figura 3.2) delimitado pelo n inicial Jcomprimento Le o momento de inrcia da

dais do elemento dado pela equao (3.12

al expressa pela equao (3.13):

444442

343332

242322

141312

SSS

SSS

SSS

SSS

r os coeficientes da matriz de rigidez, SMij, in

e libera-se o valor unitrio de um dos desl

-se em seguida D2 = 1 (Figura 3.3b).

41

IAIS

n como mostrado na

por n

e n final K, define-se seo transversal I. O

) e a matriz de rigidez

(3.12)

(3.13)

icialmente fixam-se as

camentos, a exemplo


42/167

Figura 3.

Prossegue-s

figura 3.4.

Figu

Todos os c

Foras ou podem ser enco

simtrica).

Impe-se ini

LEI4

S22 e

Por equilbri

e0M J

32

4S

Analogame

equilbrio obtm-se os coe

: Imposio dos deslocamentos unitrios D1

assim com os deslocamentos D3 e D4(D3 =

ra 3.4: Imposio dos deslocamentos D3 e D4

eficientes de rigidez SMij podem ser calcul

ntrados por equilbrio, sabendo-se que Sij =

cialmente D2 =1 e, pelo Mtodo das Foras,

LEI2

42

o tem-se que

0Fy

2L

EI6L

L

EI2I

e 212 L

EI6S

te, ao se impor D4 = 1 tem-se que4

S44

icientes

42

e D2

1 e D4 = 1), conforme

dos pelo Mtodo das

Sji (matriz de rigidez

m-se que

LEI

eLEI2

S24 e, por


43/167

43

23443 L

EI6SS e

21441 L

EI6SS

Lembrando da simetria obtm-se que:

23223 L

EI6SS e

21221 L

EI6SS

Da Figura 3.3a, obtm-se por equilbrio os coeficientes

221 LEI6

S , 241 LEI6

S

0M j , 22231 LEI12

LL

EI6

L

EI6S

0FY , 23111 LEI12

SS

Da Figura 3.4a obtm-se por equilbrio os coeficientes

223 LEI6

S 243 L

EI6S

3221331 L

EI12L

L

EI6

L

EI6SS

31333 L

EI12SS

Portanto a matriz de rigidez do elemento de viga no sistema local

L

EI4

L

EI6

L

EI2

L

EI6L

EI6

L

EI12

L

EI6

L

EI12L

EI2

L

EI6

L

EI4

L

EI6L

EI6

L

EI12

L

EI6

L

EI12

S

22

2323

22

2323

4X4M


44/167

44

Esta matriz de rigidez singular, e conseqentemente no inversvel.

necessrio restringir o elemento para resolver o seu sistema de equaes de equilbrio. Os

coeficientes da diagonal de [SM] so sempre positivos. Para este elemento (viga) a matriz de

rigidez no sistema local coincide com o global.

De maneira anloga obtm-se os coeficientes para um elemento de prtico

espacial, conforme mostrado atravs da matriz abaixo extrada de Gere e Weaver (1987).

L

EI4000

L

EI60

L

EI2000

L

EI60

0L

EI40

L

EI6000

L

EI20

L

EI600

00L

GI00000

L

GI000

0L

EI60

L

EI12000

L

EI60

L

EI1200

L

EI6000

L

EI120

L

EI6000

L

EI120

00000L

EA0000

L

EAL

EI2000

L

EI60

L

EI4000

L

EI60

0L

EI20

L

EI6000

L

EI40

L

EI600

00L

GI00000

L

GI000

0LEI60

LEI12000

LEI60

LEI1200 L

EI6000

L

EI120

L

EI6000

L

EI120

00000L

EA00000

L

EA

S

Z2

ZZ2

Z

Y2

YY2

Y

XX

2

Y

3

Y

2

Y

3

Y

2Z

3Z

2Z

3Z

XX

Z2

ZZ2

Z

Y2

YY2

Y

XX

2Y

3Y

2Y

3Y

2Z

3Z

2Z

3Z

XX

M

Onde Ax a rea da seo transversal, Ix, Iy e Iz os momentos de inrcia na

direo de x, y e z respectivamente e G o mdulo de elasticidade transversal.

3.3 REGRA DA CORRESPONDNCIA

3.3.1 Introduo

Segundo Rovere (2005), a regra da correspondncia relaciona a numerao dos

deslocamentos das extremidades dos elementos ({uG}), com a numerao dos deslocamentos

nodais da estrutura ({D}). Em cada elemento (i) os deslocamentos so numerados de 1 a 2

NGL/n (NGL/n = nmero de graus de liberdade por n):


45/167

Com o fim

necessrio relacionar os

de um sistema apropriado

de graus de liberdade ao

numeradas antes das rota

numerados os deslocamerespectivamente.

NGLjw

sendo

Jw Deslocamento w na e

NGL Nmero de graus

NN Nmero do n

W ndice que indica des

De forma an

3.3.2 Exemplo - El

Seja a viga

por n igual a dois.

Figura 3.5: Regra da correspondncia

e se ter uma notao aplicvel ao desenvol

eslocamentos de extremidade aos deslocam

e indexao. Um sistema que torna isso pos

nmero do n, uma vez que as transla

es, segue em todos os casos a orienta

tos na direo de X, Y e Z para as t

)WNGL(NN

xtremidade esquerda

e liberdade por n

locamento

loga feita para a extremidade k do elemen

mentos de viga

ontnua mostrada na figura 3.6, cujo nmer

Figura 3.6: Viga contnua

45

imento de programas,

ntos dos ns por meio

vel associa o nmero

s em particular esto

o dos eixos, sendo

anslaes e rotaes

(3.14)

to i.

de graus de liberdade


46/167

A figura 3.7

referencial global. J na fi

local.

F

Figura 3.8: Elementos de

Analisando

graus de liberdade no siste

na tabela 3.1 e nas matrize

Tabela 3.1: Regra da corr

Elementoj K

(1)1 2

(2)2 3

(3)3 4

(4)4 5

ug

2J -1 1 3 5 7 12J 2 4 6 8 2

2K-1 3 5 7 9 3

2K 4 6 8 10 4

1 2 3 4 3 4 5 6

1 X X X X 3

[SG]1= 2 [SG]

2= X X X X 4

3 X X X X 5

4 X X X X 6

mostra a numerao dos graus de liberdade

ura 3.8 os graus de liberdade so mostrados

igura 3.7: Graus de liberdade da estrutura

viga utilizados na modelagemgraus de lib

as figuras 3.7 e 3.8 determina-se a regra d

a de referencia local para o sistema de refer

abaixo:

spondncia: GL da estrutura correspondente

(1)1 2

(2)2 3

(3)3 4

(4)4 5

1 3 5 72 4 6 83 5 7 9

4 6 8 10

1 2 4 3 4 5 6

1 X X X X 3

[SG]1= 2 [SG]

2= X X X X 4

3 X X X X 5

4 X X X X 6

46

de cada n segundo o

segundo o referencial

rdade dos elementos

correspondncia dos

encia global, mostrada

ao GL dos elementos

Elementoj K

(1)1 2

(2)2 3

(3)3 4

(4)4 5

ug

2J -1 1 3 5 7 12J 2 4 6 8 2

2K-1 3 5 7 9 3

2K 4 6 8 10 4

1 2 3 4 3 5 6

1 X X X 3

[SG]1= 2 [SG]

2= X X X 4

3 X X X 5

4 X X X 6


47/167

47

5 6 7 8 7 8 9 10

5 7

[SG]3= 6 [SG]

4= 8

7 9

8 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 X X 0 0 0 0 3 X X 0 0 0 0 4

0 0 X X X+ X+ 0 0 5

0 0 X X X+ X+ 0 0 6

0 0 0 0 + + 7

0 0 0 0 + + 8

0 0 0 0 0 0 90 0 0 0 0 0 10

Segundo Rovere (2005), os coeficientes da matriz de rigidez da estrutura no

restringida so formados a partir dos coeficientes das matrizes de rigidez no sistema global de

cada elemento, usando-se a regra da correspondncia e somando-se os coeficientes que

correspondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura nos ns onde concorrem os

elementos.

Na anlise de prticos espaciais, o sistema de numerao a ser adotado para

membros e ns o mesmo que foi discutido anteriormente, sendo consideradas todas asdeformaes axiais, por flexo e por toro. Os deslocamentos desconhecidos nos ns so de

seis tipos, nomeadamente as componentes de translao de n em X, Y e Z, bem como as

rotaes segundo X, Y e Z(GERE e WEAVER, 1987).


48/167

48

3.4 CONDENSAO ESTTICA

3.4.1 Introduo

A condensao esttica um procedimento que permite a liberao de graus de

liberdade, tornando possvel, a partir da matriz de rigidez de elemento de prtico, por

exemplo, analisar estruturas reticuladas com comportamento de trelias, como exemplo

extremo (vide figura 3.9), ao passo que se pode liberar graus de liberdade.

Figura 3.9: Matriz de rigidez de trelia gerada a partir da matriz de rigidez de prtico.

Os smbolos nas figuras 3.10 (a, b, c, d) indicam a impossibilidade de

transmitir esforo cortante, momento fletor, fora axial e toro respectivamente. Destas

impossibilidades de transmitir aes resultam descontinuidades nos deslocamentos de

translao ou rotao. A condensao esttica permite a anlise de estruturas que possuem tais

descontinuidades, uma vez que as matrizes de rigidez dos elementos afetados pela

descontinuidade possuem mais graus de liberdade por n do que uma viga e menos do que um

prtico, fato extremamente complexo de se realizar apenas tentando compatibilizar matrizes

de rigidez de elementos distintos.

Figura 3.10: Descontinuidades parciais. Fonte: Gere e Weaver (1987).


49/167

49

3.4.2 Formulao da Condensao Esttica Linear

Segundo Assan (1999) para realizar a condensao esttica, considera-se o

sistema de equaes de equilbrio montado da seguinte maneira:

p

c

p

c

pppc

cpcc

r

r

d

d

KK

KK(3.15)

onde

ccK Sub-matriz dos graus de liberdade que sero condensados

ppK Sub-matriz dos graus de liberdade que permanecero

cpK pcK Sub-matriz dos graus de liberdade que sofrem influncia da condensao esttica

cd Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que sero condensados

pd Sub-vetor dos deslocamentos associado aos graus de liberdade que permanecero

cr Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que sero condensados

pr Sub-vetor das cargas nodais associada aos graus de liberdade que permanecero

Da parte superior do sistema de equaes (3.15), tem-se que:

cpcpccc rdKdK (3.16)

pcp

1

ccc

1

ccc dKKrKd (3.17)

Operando com a parte inferior do sistema, obtm-se:

ppppcpc rdKdK (3.18)


50/167

50

Substituindo na equao (3.18) o vetor dc dado em (3.17), resulta o seguinte

sistema de equaes:

c1ccpcppcp1ccpcpp rKKrdKKKK

que pode ser reduzido a:

pppp rdK (3.19)

sendo:

cp1

ccpcpppp KKKKK (3.20)

a matriz de rigidez condensada

c1

ccpcpp rKKrr (3.21)

o vetor de cargas nodais equivalentes condensado.

Nesse ponto cabe ressaltar que os valores de deslocamentos nos ns eliminados

do sistema podem ser obtidos posteriormente pela equao (3.15).

3.4.3 Exemplo

O exemplo mostrado a seguir mostra o processo para obteno da matriz derigidez condensada. A viga mostrada na figura 3.11 tem um comprimento L igual a 4m,

modulo de deformao longitudinal E igual a 20 GPa e inrcia I igual a 4105,4 m. A carga

que atua uniformemente distribuda ao longo viga cujo seu valor igual a 10 kN.

Figura 3.11: Viga com rotula aplicada a direita.


51/167

51

LEI4

LEI6

LEI2

LEI6

LEI6

LEI12

LEI6

LEI12

LEI2LEI6LEI4LEI6

LEI6

LEI12

LEI6

LEI12

S

z2

zz2

z

2z

3z

2z

3z

z2

zz2

z

2z

3z

2z

3z

M

A matriz de rigidez de membro de viga apresentada no item 3.2 mostrada

acima, substituindo os dados da questo obtm-se:

1 2 3 41 1687500 3375000 -1687500 33750002 3375000 9000000 -3375000 45000003 -1687500 -3375000 1687500 -33750004 3375000 4500000 -3375000 9000000

Para a resoluo do problema deve-se inicialmente reordenar a matriz de

rigidez do elemento at se obter a forma apresentada na equao 3.15, onde os termos da

matriz associados ao grau de liberdade liberado devem estar posicionados na primeira linha eprimeira coluna da matriz. A reordenao da matriz realizada com um grau de liberdade de

cada vez respeitado a ordem da numerao sendo que para o grau seguinte a matriz a se

reordenada e o resultado obtido pela primeira reordenao. A matriz reordenada mostrada

abaixo.

4 1 2 34 9000000 3375000 4500000 -33750001 3375000 1687500 3375000 -1687500

2 4500000 3375000 9000000 -33750003 -3375000 -1687500 -3375000 1687500

Identificando os termos da equao 3.15 tem-se:

9000000K cc

16875003375000-168750-

3375000-9000000337500

1687500-33750001687500

Kpp


52/167

52

3375000-45000003375000Kcp

3375000-

4500000

3375000

Kpc

Calculando a inversa da Sub-matriz dos graus de liberdade que sero

condensados ccK tem-se:

07-1,11EK cc

Substituindo os termos na equao 3.20 tem-se:cp

1ccpcpppp KKKKK

(3.20)

3375000-4500000337500007-1,11E3375000-

4500000

3375000

16875003375000-168750-

3375000-9000000337500

1687500-33750001687500

Kpp

Resolvendo a equao obtm a matriz de rigidez condensada mostrada abaixo.

1 2 31 421875 1687500 -4218752 1687500 6750000 -16875003 -421875 -1687500 421875

3.5 FORMULAO COMPUTACIONAL

Resume-se em quatro etapas bsicas o desenvolvimento de um programa de

anlise estrutural:

Dados do problema - entender as relaes existentes entre os dados que

so relevantes para o problema, criando uma estrutura lgica dos dados;

Clculos preliminares - decidir que transformaes sero efetuadas

sobre os dados no algoritmo para resolver o problema;


53/167

Codi

Ling

Dep

prog

3.5.1 Diagrama de

Com base n

rigidez construiu-se um p

3.12. Cada smbolo most

operao que deve ser exec

Quadro

ficao - Escrita do cdigo fonte do progra

uagem de Programao;

rao - Verificao do comportamento e c

rama satisfaz as especificaes do problema.

locos

formulao matricial apresentada anteriorm

rograma seguindo o diagrama de bloco es

rado no quadro 3.1 representa uma instr

utada pelo computador.

3.1: Simbologias BsicasDiagrama de Blo

53

a com o uso de uma

orreo - avaliar se o

ente para o mtodo da

uematizado na figura

o, sendo esta uma

cos


54/167

Figura 3.12: D

3.5.2 Operaes

O diagrama

operaes necessrias para

igrama de bloco para a anlise de estruturas r

de bloco mostrado na figura 3.12 estab

anlise de um prtico. A seguir so descritas

54

eticuladas

elece a seqncia de

as operaes bsicas.


55/167

55

3.5.2.1 Entrada de dados

A operao de entrada de dados l, armazena e escreve os dados da estrutura.

No APNDICE A mostra um arquivo no formato padro, apresentando um roteiro com as

principais informaes que sero lidas sendo descrito com detalhes no item 3.2 do

APNDICE C.

3.5.2.2 Clculos Preliminares

Nessa operao o comprimento L de cada barra, visto anteriormente, pode ser

calculado atravs da seguinte equao:

2jk2

jk2

jk ZZYYXXL (3.22)

Os co-senos diretores do membro Cx, Cy e Cz, podem ser calculados a partir

das coordenadas das extremidades dos membros (ns j e k, conforme figura 3.2):

L

ZZC

L

YYC

L

XX

C

jkz

jky

jk

x

(3.23)

O Mdulo de elasticidade transversal, ou Mdulo Transversal, representado

pela letra G, definido em funo do mdulo de elasticidade (E) e do coeficiente de Poisson

(v) atravs da equao (3.24).

12

EG (3.24)

A figura 3.10 mostra as aes de extremidades consideradas em elementos que

esto engastados, sujeitos a varias condies de carga. Os momentos so positivos no sentido

anti-horrio respeitando a regra da mo direita, e as foras sendo orientadas com o eixo y.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ghttp://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poissonhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poissonhttp://pt.wikipedia.org/wiki/G


56/167

56

Todas as frmulas dadas na figura 3.13 podem ser deduzidas integrando a

equao diferencial para flexo de uma viga. O mtodo da flexibilidade tambm pode ser

empregado para a obteno das frmulas.

Figura 3.13: Aes de extremidade para membros restringidos. Fonte: Gere e Weaver (1987).


57/167

Para o clc

localmente. A matriz R

ortogonais das component

estrutura.

2

z

2

x

zyx

2

z

2

x

zyx

x

CC

cosCsenCC

CC

senCcosCC

C

R

Esta matriz

membro e do ngulo q

inrcia no sistema local e o

Figura 3.14: Rotao de

3.5.2.3 Montagem

A matriz d

membro de um prtico esp

prtico espacial pode ter s

figura 3.15. Nestes casos,matriz correspondente s r

ulo das aes de extremidade as cargas

ostrada abaixo pode ser usada para relacio

s de um vetor carga na direo dos eixos

2

z

2

x

xzy2

z

2

x

2

z

2

x

xzy2

z

2

x

zy

CC

cosCsenCCsenCC

CC

senCcosCCcosCC

CC

de rotao est expressa em funo dos

ue corresponde ao ngulo existente entre

eixo vertical do sistema global da estrutura (

m membro de prtico espacial em torno doWeaver (1987).

a Matriz de Rigidez

rigidez SM mostrada no item 3.3 corres

acial segundo os eixos locais. Porm, em ge

us eixos principais em direes oblquas, t

matriz SM dever ser transformada na matriigidezes do membro utilizando como eixos

57

devem ser aplicadas

nar os dois conjuntos

locais e dos eixos da

(3.25)

co-senos diretores do

s eixos principais de

ver figura 3.14).

ixo x. Fonte: Gere e

onde s rigidezes do

al, um membro de um

l como indicado na

z SMD, sendo esta uma de referncia os eixos


58/167

da estrutura (GERE e W

matriz de rigidez de mem

condensao esttica dos

matriz que ser transforma

Figura 3.15: Membr

A matriz K uma matriz de transforma

[R=][S TMD

sendo RT:

0

0

0R

R T

AVER, 1987). Porm, em todos os casos

ro segundo os eixos locais nos eixos da est

lementos, sendo portando ppK , matriz de

a.

de prtico espacial inclinado. Fonte: Gere e

pp

(12 X 12) ser transformada na matriz SM o de rotao segundo a equao (3.26):

]].[R]'.[K Tpp

R0

0R

0000

58

ntes de transformar a

utura, deve ser feita a

rigidez condensada, a

Weaver (1987).

(12 X 12) atravs de

(3.26)

(3.27)


59/167

59

3.5.2.4 Montagem do Vetor de Carga

Aps a determinao da matriz de rigidez do n, a etapa seguinte consiste em

considerar as cargas sobre a estrutura, como se mencionou anteriormente no resumo do

mtodo da rigidez. conveniente trabalhar inicialmente, e em separado, as cargas nodais e as

cargas de membro. A razo para assim proceder que as cargas nodais no precisam de

transformao para serem usadas na soluo, mas as cargas sobre os membros sero levadas

em considerao calculando as aes de engastamento que produzem.

Estas aes de engastamento podem ento ser transformadas em cargas nodais

equivalentes e combinadas com as cargas nodais reais sobre a estrutura para produzir o vetorde cargas combinadas AC conforme a equao (3.4). A formao do vetor de cargas nodais

equivalentes feita pela equao (3.5).

Em resumo, v-se que o vetor de cargas combinadas AC composto como se

segue apresentado na equao 3.4.

}{A-{A}=}{A RLC (3.4)

3.5.2.5 Condies de Contorno

As condies de contorno do problema devem ser impostas sobre o sistema de

equaes definido na equao (3.8). Essas condies so os vnculos que podem ser impostos

ao sistema de duas formas: (i) A primeira alternativa para esse problema eliminar do sistema

de equaes a linha e a coluna do grau de liberdade restringido, sendo feito portando umreordenamento dos graus de liberdade do sistema. (ii) A segunda alternativa consiste em

impor o valor zero ao des

Documents

Análise de Pórticos Com Incorporação de Condesação Estática Por Raphael Ribeiro Santos