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ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRES
METÁLICAS ESTAIADAS
RENATO CÉSAR GAVAZZA MENIN
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
FACULDADE DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIAFACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRESMETÁLICAS ESTAIADAS
ENGo CIVIL RENATO CÉSAR GAVAZZA MENIN
ORIENTADOR: JOSÉ LUIS VITAL DE BRITOCOORIENTADOR: ATHAIL RANGEL PULINO FILHO
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS ECONSTRUÇÃO CIVIL
PUBLICAÇÃO: E.DM–009A/2002
BRASÍLIA / DF: ABRIL DE 2002.
ii
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIAFACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRESMETÁLICAS ESTAIADAS
ENGo CIVIL RENATO CÉSAR GAVAZZA MENIN
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE
BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO
GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL.
APROVADA POR:
________________________________________________JOSÉ LUIS VITAL DE BRITO, Doutor (UnB)(ORIENTADOR)
________________________________________________ATHAIL RANGEL PULINO FILHO, Doutor (UnB)(COORIENTADOR)
________________________________________________LINEU JOSÉ PEDROSO, Dr.Ing (UnB)(EXAMINADOR INTERNO)
________________________________________________ACIR MÉRCIO LOREDO SOUZA, PhD (UFRGS)(EXAMINADOR EXTERNO)
DATA: BRASÍLIA/DF, 8 de Abril de 2002
iii
FICHA CATALOGRÁFICA.
MENIN, RENATO CÉSAR GAVAZZA
Análise Estática e Dinâmica de Torres Metálicas Estaiadas [Distrito Federal]2002.xx, 118 p., 297mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas, 2002).Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília.Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.
1. Torres Estaiadas 2. Análise Estrutural3. Análise Dinâmica 4. Não Linearidade.I. ENC/FT/UnB II. Título (série)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA.
MENIN, R.C.G. (2002). Análise Estática e Dinâmica de Torres Metálicas Estaiadas,
Publicação E.DM–009A/2002, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade
de Brasília, Brasília, DF, xx, 118 p..
CESSÃO DE DIREITOS
NOME DO AUTOR: Renato César Gavazza Menin
TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Análise Estática e Dinâmica de Torres
Metálicas Estaiadas
GRAU: Mestre em Estruturas e Construção Civil ANO: 2002
É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação
de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação
de mestrado pode se reproduzida sem a autorização por escrito do autor.
_______________________________________________
Renato César Gavazza MeninSHIN, QI 10, Conjunto 01, Casa 07 – Lago NorteCEP: 71525-010 – Brasília/DF, Brasil.
iv
DEDICATÓRIA
Gostaria de dedicar este trabalho aos meus pais César e Sonia,
ao meu irmão Eduardo, à minha avó Antonia, à Karine e à Ilma,
que estiveram sempre ao meu lado nos bons e maus momentos,
me dando o apoio e compreensão necessários para que eu
pudesse chegar ao fim de mais uma difícil jornada.
v
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer primeiramente aos professores da Pós-Graduação em Estruturas da
UnB: Luciano Mendes Bezerra, Lineu José Pedroso, Paul Willian Partridge, Graciela Doz de
Carvalho, Willian Mathias Taylor e Eldon Londe Mello, que muito me incentivaram nesses
dois anos vividos na comunidade da UnB, despertando o meu interesse pela pesquisa.
Em especial gostaria de agradecer à dedicação, amizade e paciência demonstradas pelos
professores José Luis Vital de Brito e Athail Rangel Pulino Filho, que assumiram a orientação
deste trabalho, conduzindo-o de forma segura e tranqüila, mesmo nos momentos mais difíceis,
sendo de fundamental importância para a sua conclusão.
Finalmente, gostaria também de agradecer à amizade e compreensão dos meus colegas de
mestrado e doutorado: Jonathan, Neres, Nélvio, Márcio, Milton, Miguel, Andréia, Gustavo,
Ricardo, Glauceny, Jonas, Frederico, Carlos Magno, Cleyton, Ludimar, Patrícia, Danielle,
Donaldson, Nilo, Alessandro, Felipe, Sthefan, Alexandre, Diogo, Luiz Otávio, Aarão,
Arlindo, Carla, Renata, Patrícia, Gláucio, João Pedro, Nielsen, Petrúcio e Vladimir. Em
especial gostaria de agradecer ao Marlos José Ribeiro Guimarães, pela grande amizade e
ajuda, sempre dando conselhos construtivos para o melhor andamento e estruturação do
trabalho, bem como retirando uma grande quantidade de dúvidas de ordem prática à respeito
de torres em geral, além de disponibilizar uma grande quantidade de textos e materiais de
referência sobre o assunto.
vi
ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRES
METÁLICAS ESTAIADAS
RESUMO
Este trabalho descreve um estudo do comportamento de torres metálicas estaiadas submetidas
à carregamentos de vento, considerando-se fatores construtivos e de estabilidade.
Inicialmente é feito um estudo estático do principal carregamento, representado pelo vento,
segundo o procedimento descrito na norma NBR 6123 (1988), utilizando-se modelos
matemáticos lineares e não lineares que permitem alongamentos nos elementos de cabo para a
introdução das forças de pré-tensionamento.
Na análise modal, as freqüências e os modos naturais de vibração da estrutura são
determinados a partir de uma expressão linearizada da equação de equilíbrio dinâmico,
admitindo-se pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio estático.
Completando o estudo, é empregado o método de simulação de Monte Carlo, para o
desenvolvimento de uma análise dinâmica do vento que permita computar o efeito da parcela
flutuante do vento (rajadas) e com isso obter uma avaliação mais realista do comportamento e
do desempenho estrutural.
vii
STATIC AND DYNAMIC ANALYSIS
OF GUYED METALLIC TOWERS
ABSTRACT
The research described here considers the behavior of guyed metallic towers subjected to
wind loads, taking into consideration stability and constructive factors. Initially, a static
analysis of the wind load is carried out, according to the procedure described in the Brazilian
Wind Code - NBR 6123 (1988). The towers are modeled using linear and nonlinear
approaches, admiting stretching of cables to describe the initial tension.
In the modal analysis, the natural frequencies and modal shapes are calculated by linearization
of the dynamic equilibrium equation, admiting small oscilations around the static equilibrium
configuration.
Besides the static and modal analysis, a dynamic wind analysis is also performed, making use
of the simulation method of Monte Carlo, which permits the computation of the fluctuating
portion of the wind (gusts). This tecnique allows a more realistic evaluation of the structural
response of towers.
viii
ÍNDICE
Capítulo Página
1. INTRODUÇÃO
1.1 GENERALIDADES 1
1.2 MOTIVAÇÃO 1
1.3 NATUREZA DO TRABALHO 2
1.4 OBJETIVOS 3
1.5 CONTEÚDO 3
2. TIPOLOGIA ESTRUTURAL
2.1 TIPOS DE TORRES DE SUSTENTAÇÃO 5
2.2 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DAS TORRES ESTAIADAS QUADRADAS 7
2.3 CABOS DE ESTAIS 12
2.4 TIPOS DE ANTENAS 14
3. MODELOS MATEMÁTICOS
3.1 ANÁLISE ESTÁTICA 15
3.1.1 Modelo Não Linear para Cabo Tensionado 16
3.1.1.1 Deformação Longitudinal 16
3.1.1.2 Energia Potencial Total 19
3.1.1.3 Gradiente da Energia Potencial Total 19
3.1.2 Modelo Linear para Cabo Tensionado 23
3.1.2.1 Deformação Longitudinal 23
3.1.2.2 Energia Potencial Total 24
3.1.2.3 Gradiente da Energia Potencial Total 24
3.1.3 Modelo Linear Clássico de Treliça Espacial 27
3.1.3.1 Energia Potencial Total 27
3.1.3.2 Gradiente da Energia Potencial Total 27
ix
3.2 ANÁLISE MODAL 29
3.2.1 Equação de Equilíbrio Dinâmico 29
3.2.2 Problema de Autovalores e Autovetores 30
3.2.3 Matriz Hessiana do Elemento 32
3.2.4 Normalização dos Autovetores 36
3.3 ANÁLISE DINÂMICA 37
3.3.1 Integração da Equação de Movimento 37
3.3.2 Matriz de Amortecimento 39
3.3.3 Matriz de Massa Consistente 40
3.3.4 Esforços Internos 41
4. ANÁLISE ESTÁTICA DO VENTO SEGUNDO NBR 6123
4.1 FORÇA DE ARRASTO 42
4.2 PERFIL CONTÍNUO E DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA DE ARRASTO 43
4.3 DETERMINAÇÃO DE FORÇAS ESTÁTICAS 48
4.4 TEORIA ELÁSTICA DE DIMENSIONAMENTO 48
4.5 DIMENSIONAMENTO DOS PERFIS 50
4.6 DIMENSIONAMENTO DOS CABOS 53
5. ANÁLISE DINÂMICA DO VENTO – MÉTODO DE MONTE CARLO
5.1 HISTÓRICO DO ESTUDO DOS EFEITOS DINÂMICOS DO VENTO 55
5.2 MÉTODO DE MONTE CARLO 57
5.2.1 Resumo do Processo 57
5.2.2 Vento Médio e Rajadas 58
5.2.3 Espectro de Velocidades Flutuantes 60
5.2.4 Espectro de Pressões Flutuantes 62
5.2.5 Decomposição da Pressão Flutuante 63
5.2.6 Correlação Espacial de Velocidades e Pressões Flutuantes 68
5.2.7 Análise no Tempo e Resposta Característica 70
5.3 ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXTREMOS 71
x
6. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS
6.1 PROGRAMA GTEQ 73
6.2 PROGRAMA AETEQ 75
6.3 PROGRAMA FMVTEQ 79
6.4 PROGRAMA ADTEQ 81
6.5 PROGRAMA RAJADA 84
7. EXEMPLOS NUMÉRICOS
7.1 ANÁLISE ESTÁTICA 86
7.2 ANÁLISE MODAL 93
7.3 ANÁLISE DINÂMICA 95
8. CONCLUSÕES
8.1 CONCLUSÕES FINAIS 100
8.2 SUGESTÕES 102
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103
APÊNDICES:
A – BANCOS DE DADOS DE PERFIS E DE CABOS 105
B – BITOLAS DOS PERFIS 106
C – PRÉ-TENSIONAMENTOS NOS CABOS 108
D – ESFORÇOS NOS PERFIS ESTRUTURAIS 109
E – ESFORÇOS NOS ELEMENTOS DE CABO 114
F – REAÇÕES DE APOIO 115
G – RESULTADOS DA ANÁLISE MODAL 117
H – ANÁLISE DINÂMICA NA TORRE DE 10 METROS 118
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela Página
2.1 – Especificações das terminações com grampos 13
4.1 – Fatores de redução φf 54
7.1 – Características geométricas das torres 87
7.2 – Parâmetros de vento conforme NBR 6123 88
7.3 – Discretização da torre de 10 m para NEC = 1, 2 ou 4 88
7.4 – Cargas nos cabos (KN) para NEC = 1, 2 ou 4 88
7.5 – Número de iterações e tempo de processamento das torres 89
7.6 – Deslocamento médio do topo das torres (cm) 91
7.7 – Rotações na antena mais alta das torres (graus) 92
7.8 – Freqüências naturais das torres (Hz) 93
7.9 – Componentes harmônicas para analise dinâmica da torre de 10 metros 95
7.10 – Deslocamentos de referência máximos por bloco 97
7.11 – Parâmetros estatísticos utilizados na distribuição de Gumbel 97
A.1 – Banco de dados de perfis 105
A.2 – Banco de dados de cabos 105
B.1 – Bitolas dos perfis na torre de 10 metros 106
B.2 – Bitolas dos perfis na torre de 30 metros 106
B.3 – Bitolas dos perfis na torre de 50 metros 106
B.4 – Bitolas dos perfis na torre de 70 metros 107
B.5 – Bitolas dos perfis na torre de 90 metros 107
C.1 – Pré-tensionamentos nos cabos 108
D.1 – Esforços nos perfis da torre de 10 metros 109
D.2 – Esforços nos perfis da torre de 30 metros 110
D.3 – Esforços nos perfis da torre de 50 metros 111
D.4 – Esforços nos perfis da torre de 70 metros 112
D.5 – Esforços nos perfis da torre de 90 metros 113
xii
E.1 – Esforços nos elementos de cabo 114
F.1 – Reações de apoio na torre de 10 metros 115
F.2 – Reações de apoio na torre de 30 metros 115
F.3 – Reações de apoio na torre de 50 metros 116
F.4 – Reações de apoio na torre de 70 metros 116
F.5 – Reações de apoio na torre de 90 metros 116
G.1 – Freqüências e períodos das torres 117
H.1 – Esforços nos elementos de cabo 118
H.2 – Esforços nos elementos de perfis 118
xiii
LISTA DE FIGURAS
Figura Página
2.1 – Torres de sustentação 5
2.2 – Torre metálica estaiada quadrada 7
2.3 – Disposição de barras em uma seção 8
2.4 – Dispositivo anti-torção e detalhe da extremidade 9
2.5 – Região de ancoragem de cabos na torre 10
2.6 – Ancoragem normal e em anti-torçor 11
2.7 – Cabo de aço de sete fios 12
2.8 – Terminação de cabo com laço, sapatilho e grampos 13
3.1 – Modelo não linear de elemento de cabo no espaço e sua representação vetorial 16
3.2 – Deslocamentos de um elemento de cabo no espaço 20
3.3 – Representação vetorial do modelo linear de elemento de cabo 23
4.1 – Decomposição horizontal da força de arrasto Fa 42
4.2 – Força de Arrasto à partir do perfil contínuo 43
4.3 – Decomposição vertical para as forças de arrasto 46
4.4 – Comprimento dos elementos para o cálculo do índice de esbeltez 53
5.1 – Espectro da velocidade longitudinal do vento (Van der Hoven) 59
5.2 – Equivalência entre vento horário e vento médio em t segundos 60
5.3 – Espectro de vento e espectro reduzido 62
5.4 – Decomposição espectral da pressão flutuante 64
5.5 – Perfil de pressões do vento 67
5.6 – Rajada equivalente (retangular e triangular) 69
5.7 – Coeficiente de decaimento linear da pressão flutuante (cdl) 70
6.1 – Fluxograma do programa GTEQ 73
6.2 – Fluxograma do programa AETEQ 76
6.3 – Fluxograma do programa FMVTEQ 79
6.4 – Fluxograma do programa ADTEQ 82
xiv
6.5 – Fluxograma do método de Newmark 83
6.6 – Fluxograma do programa RAJADA 84
7.1 – Torres de 10 e 30 metros de altura 86
7.2 – Torres de 50, 70 e 90 metros de altura 86
7.3 – Análise comparativa do número de iterações e tempo de processamento 89
7.4 – Número de iterações em função do modelo matemático 90
7.5 – Análise comparativa no tempo de processamento das torres 90
7.6 – Deslocamento de topo 91
7.7 – Análise comparativa das rotações 92
7.8 – Freqüências naturais das torres (Hz) 94
7.9 – Número de varreduras no procedimento Jacobi Generalizado 94
7.10 – Deslocamento x Tempo na combinação característica 98
7.11 – Faixas de freqüências naturais e do Espectro de Potência 99
xv
LISTA DE SÍMBOLOS
aij : Matriz dos autovetores do sistema não normalizados.
aj : Vetor modal j não normalizado.
Ag : Área bruta da seção transversal dos perfis estruturais.
An : Área líquida da seção transversal dos perfis estruturais.
b;Fr;p : Parâmetros meteorológicos conforme NBR 6123.
c : Vetor que representa o tensionamento do elemento de cabo.
C : Matriz de amortecimento do sistema.
Ca : Coeficiente de arrasto.
Car : Coeficiente aerodinâmico.
Cc : Índice de esbeltez limite entre flambagem elástica e inelástica - AISC.
Cdl : Coeficiente de decaimento linear usado no método de Monte Carlo.
Ck : Coeficiente de área da componente harmônica.
ck : Coeficiente de área relativo da componente harmônica.
Coh : Coeficiente de correlação espacial.
cos η : Cosseno diretor do elemento de cabo associado à direção X.
cos γ : Cosseno diretor do elemento de cabo associado à direção Y.
cos ξ : Cosseno diretor do elemento de cabo associado à direção Z.
d : Matriz dos modos de vibração da estrutura.
dn : Faixa de freqüência utilizada no método de Monte Carlo.
E : Módulo de elasticidade do material.
f : Vetor das forças nodais externas – análise estática.
Fa : Força de Arrasto.
Fai : Força de arrasto na extremidade inferior do módulo.
Fas : Força de arrasto na extremidade superior do módulo.
admF : Força admissível à compressão nos perfis estruturais.
1tadmF : Força admissível à tração – ruptura da seção líquida.
2tadmF : Força admissível à tração – escoamento da seção bruta.
FS : Fator de segurança utilizado no dimensionamento das peças.
Fu : Tensão última do material.
Fy : Tensão de escoamento do material.
xvi
g(x) : Vetor gradiente da Energia Potencial Total do sistema.
LG ; : Matrizes auxiliares utilizadas no cálculo da matriz Hessiana.
H(x*) : Matriz Hessiana do sistema.
ha : Altura de aplicação da força de arrasto.
K : Parâmetro utilizado no cálculo do comprimento de flambagem.
K1;K2 : Parâmetros do perfil contínuo de vento.
Km : Matriz de rigidez do elemento de treliça em relação aos eixos de membro.
KS : Matriz de rigidez do elemento de treliça em relação aos eixos da estrutura.
l : Vetor que representa o comprimento inicial do elemento de cabo.
l’ : Vetor que representa a configuração deformada do elemento de cabo.
Lt : Comprimento do elemento de cabo com efeito térmico.
l1(z) : Largura da edificação na cota z.
m : Número de funções harmônicas utilizadas no método de Monte Carlo.
M : Matriz de massa consistente do sistema.
Mk : Momento de tombamento produzido pela força de arrasto de cada módulo k.
Mn : Matriz de massa modal.
ndf : Número de graus de liberdade total da estrutura.
p : Vetor que representa os deslocamentos nodais da extremidade inicial do cabo.
p3 : Pressão de pico em 3 segundos.
P600 : Pressão média do vento em 10 minutos.
)(' tp : Pressão flutuante ao longo de tempo;
)(' tp : Valor médio da pressão flutuante.
)('2 tp : Valor quadrado médio da pressão flutuante.
P : Vetor de forças variáveis ao longo do tempo na equação de movimento.
Ppf : Porcentagem da parcela flutuante do vento.
q : Vetor que representa os deslocamentos nodais da extremidade final do cabo.
q(z) : variação da pressão dinâmica do vento ao longo da altura da estrutura.
Qi : Função das forças generalizadas.
r : raio de giração do perfil estrutural.
rmín : raio de giração mínimo do perfil estrutural.
R : Matriz de rotação de eixos.
Sd : Capacidade resistente do cabo segundo o critério das tensões admissíveis.
Sn : Capacidade resistente nominal do cabo conforme informado pelo fabricante.
xvii
S(n) : Densidade espectral de potência em função da freqüência n da excitação.
S1 : Fator topográfica segundo NBR 6123.
S2 : Fator que considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação da
velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimensões da edificação.
S3 : Fator estatístico segundo NBR 6123.
T : Energia Cinética do sistema.
T1 : Tensão nos cabos devido a cargas permanentes e pré-tensionamento.
T2 : Tensão nos cabos devido a cargas permanentes, pré-tensionamento e cargas de vento.
tmáx : Intervalo de tempo utilizado na análise dinâmica.
u : Vetor dos cossenos diretores do elemento de cabo na configuração indeformada.
u* : Velocidade de fricção (função da rugosidade do terreno).
U0 : Velocidade média do vento no método de Monte Carlo.
Uz : Velocidade médio do vento na altura z.
V : Volume do elemento de cabo ou treliça.
V0 : Velocidade básica do vento
V3 : Velocidade de pico em 3 segundos.
V600 : Velocidade média do vento em 10 minutos.
Vk : Velocidade característica do vento.
W : Potência do espectro.
x : Vetor contendo os deslocamentos nodais do sistema.
xc : Valor característica da análise combinada.
x* : Vetor que representa um estado de equilíbrio estável da estrutura.
x : Moda – utilizado na distribuição de Gumbel (Tipo 1).
x& : Vetor contendo as velocidades das coordenadas nodais do sistema.
x&& : Vetor contendo as acelerações das coordenadas nodais do sistema.
Yi : Termo auxiliar utilizado no cálculo da matriz G .
z : Vetor auxiliar para o cálculo da deformação no elemento de cabo.
α : Coeficiente de dilatação térmica.
α~ : Medida da dispersão na distribuição de Gumbel (Tipo 1).
αc : Área da seção transversal do elemento de cabo.
β1;β2 : Coeficientes do método de Newmark.
δ : Vetor utilizado no cálculo da deformação no elemento de cabo.
xviii
ε : Deformação longitudinal do elemento de cabo.
φ : Índice de área exposta.
φd : Fator de redução devido ao tipo de terminação do cabo.
φf : Fator de redução devido à utilização de defletores.
φij : Matriz dos autovetores normalizados.
γ : Constante de Euler.
γt : Efeito térmico (γt = α.∆T).
λ : Índice de esbeltez do perfis estrutural.
λc : Vetor que representa a distância entre nós na configuração indeformada do cabo
tensionado.
λt : Vetor que representa a configuração indeformada do cabo com efeito térmico.
µ : Módulo do vetor c.
µt : Módulo do vetor γt.l.
π : Energia de deformação do elemento de cabo ou treliça.
θk : Ângulo de defasagem ( 0 ≤ θk ≤ 2π ).
ρ : Massa específica do elemento.
σ : Desvio padrão.
σ2 : Variância.
σ(ε) : Tensão no elemento de cabo.
σadm : Tensão admissível - critério das tensões admissíveis.
σlim : Tensão limite para um determinado tipo de solicitação (σlim = σadm . FS).
σsolic : Tensão solicitante devida à cargas em serviço - critério das tensões admissíveis.
ω : freqüências naturais circulares (rad/seg).
ω2 : autovalores do sistema.
ζn : razão de amortecimento do modo n.
∆L : Variação real do comprimento do elemento no modelo linear de cabo.
∆t : Passo de tempo utilizado no método de Newmark.
∆T : Variação de Temperatura.
∆zok : Extensão da rajada triangular equivalente.
Γ : Vetor auxiliar para o cálculo da aceleração no instante t+∆t.
Π0 : Energia Potencial Inicial do sistema.
Π(x) : Energia Potencial Total do sistema.
xix
ÁÁ ÁÁ : Denota norma do vetor.
∇ : Denota a primeira derivada em relação aos deslocamentos nodais.
( )’ : Denota a primeira derivada em relação aos deslocamentos nodais, assim como ∇.
( )” : Denota segunda derivada me relação aos deslocamentos nodais.
( )T : Denota a transposta do vetor.
( ¡ ) : Denota a primeira derivada em relação ao tempo.
( ¡ ¡ ) : Denota a segunda derivada em relação ao tempo.
ttt xxx &&& ;; : deslocamentos, velocidades e acelerações no tempo t.
tttttt xxx ∆+∆+∆+ &&& ;; : deslocamentos, velocidades e acelerações no tempo t+∆t.
ptt
ptt
ptt xxx ∆+∆+∆+ &&& ;; : deslocamentos, velocidades e acelerações preditos no tempo t+∆t.
xx
LISTA DE ABREVIAÇÕES
A1 : Análise Estática 1 – sem vento.
A2 : Análise Estática 2 – com vento.
AT1 : Barras do dispositivo anti-torção situadas no plano horizontal.
AT2 : Barras do dispositivo anti-torção situadas no plano inclinado.
CRE-EHS : Carga de ruptura efetiva do cabo tipo Extra High Strength.
CRE-HS : Carga de ruptura efetiva do cabo tipo High Strength.
CRE-SM : Carga de ruptura efetiva do cabo tipo Siemens-Martins.
D : Barras diagonais na face da torre.
DAT : Número de dispositivos anti-torção da estrutura.
H : Barras horizontais na face da torre.
LMOD : Comprimento do módulo.
LT : Largura da seção transversal da torre no plano horizontal.
M : Barras dos montantes da torre.
M1 : Modelo matemático 1 – não linear de cabo e não linear de treliça (Pulino,
1991).
M2 : Modelo matemático 2 – linear de cabo e linear de treliça (Pulino, 1998).
M3 : Modelo matemático 3 – não linear de cabo (Pulino, 1991) e linear clássico de
treliça (Gere e Weaver, 1987).
NCE : Número de elementos de cabo da estrutura.
NEC : Número de elementos de cabo por estai.
NMOD : Número de módulos da estrutura.
NN : Número de nós da estrutura.
NS : Número de seções por módulo.
NTE : Número de elementos de treliça da estrutura.
T : Barras de travamento horizontais.
TEA : Torre Estaiada Classe A.
TEB : Torre Estaiada Classe B.
TEC : Torre Estaiada Classe C.
VLC : Vão livre entre cabos.
VLTT : Vão livre no topo da torre.
1
1 - INTRODUÇÃO
1.1 GENERALIDADES
Nos últimos anos ocorreram grandes avanços na área de telecomunicações, acompanhados
por inúmeros investimentos feitos no setor por parte dos governos ou mesmo da iniciativa
privada, resultando em um aumento da utilização destes serviços e na ampliação da sua
velocidade de expansão, diversidade e alcance.
Entre os grandes avanços no setor pode-se destacar: a Internet, TV a cabo, a diversificação
dos sistemas de telefonia fixa, o sistema móvel celular, as transmissões via cabo ótico, as
rádios comunitárias, as transmissões via-satélite, dentre outros. Neste contexto, o presente
trabalho concentra as atenções nos sistemas de rádio difusão, em especial na área que
compreende as transmissões de rádio e televisão, no qual o Brasil recebeu grande destaque à
nível mundial no ano de 1998, devido à privatização da TELEBRAS.
Investimentos desta natureza implicam na expansão de sistemas existentes ou mesmo na
implantação de novos sistemas, que por sua vez, implicam no aparecimento de novos
produtos que se adaptem às exigências tecnológicas e necessidades de mercado, de modo a se
tornar um produto mais competitivo, que atenda critérios de segurança, durabilidade e
funcionalidade e que acima de tudo seja economicamente viável.
1.2 MOTIVAÇÃO
A expansão no sistema de telecomunicações, em especial os sistemas de rádio difusão, tem
levado à instalação de uma quantidade considerável de torres, desde as zonas pouco povoadas
até os grandes centros urbanos, aproveitando-se muitas vezes as coberturas dos edifícios como
base de sustentação.
A motivação deste trabalho vem do fato de ter sido observado que, embora o número de torres
tenha aumentado bastante, ainda existem enormes dificuldades na concepção, cálculo, projeto,
fabricação, instalação e reforço de torres e de elementos estruturais dos sistemas de radio
difusão, não existindo muitos textos em português disponíveis sobre o assunto.
2
Este trabalho foi então desenvolvido no sentido de contribuir com o aperfeiçoamento do
projeto destas estruturas, quer por implementar uma análise que raramente é utilizada, ou
ainda por estudar tipologias e tendências de comportamentos, mostrando a dimensão e as
dificuldades em se manipular as variáveis relevantes ao se efetuar a análise proposta.
Vale ressaltar que, este estudo não tem o intuito de ser conclusivo a ponto de definir
parâmetros absolutos para reger a concepção dos modelos estruturais, nem mesmo de
questionar a eficácia das diretrizes ou normas técnicas existentes, buscando apenas conhecer
um pouco mais este tipo de estrutura e eventualmente servir como mais um material de
referência à técnicos e projetistas, os quais, mesmo não dispondo de bibliografia técnica
específica, têm a obrigação de estabelecer critérios seguros de projeto.
1.3 NATUREZA DO TRABALHO
Embora exista uma grande variedade de torres de sustentação de antenas, neste trabalho é
feito apenas o estudo de torres metálicas estaiadas, que recentemente têm sido largamente
empregadas em todo o território nacional.
Inicialmente é efetuada uma análise estática deste tipo de torre, submetendo-a ao
carregamento de vento proposto na NBR 6123 (1988), levando-se em conta fatores
construtivos e de estabilidade. Na discretização das estruturas são empregados elementos
finitos retos (cabos ou treliças), considerando-se apenas a rigidez axial e utilizando uma
formulação que admite alongamentos nos elementos de cabo para a introdução das forças de
pré-tensionamento, segundo três modelos matemáticos distintos:
• Modelo não linear de cabo e não linear de treliça (Pulino, 1991);
• Modelo linear de cabo e linear de treliça (Pulino, 1998);
• Modelo não linear de cabo (Pulino, 1991) e linear clássico de treliça (Gere e
Weaver, 1987).
Estes modelos descrevem basicamente a obtenção da função Energia Potencial Total do
sistema, sendo a posição de equilíbrio estático estável obtida minimizando-se esta função
através de um algoritmo Quasi-Newton.
3
Em seguida, as freqüências e os modos naturais de vibração da estrutura são determinados a
partir de uma expressão linearizada da equação de equilíbrio dinâmico, admitindo-se
pequenas oscilações em torno da configuração de equilíbrio estático, e utilizando-se um
algoritmo do tipo Jacobi Generalizado.
Por último é feita a análise dinâmica da estrutura sob a ação do vento com o método de Monte
Carlo, utilizado por Franco (1993) e Guimarães (2000), no qual o vento é subdividido em
duas parcelas, sendo uma constante (vento médio) e a outra variável ao longo do tempo
(rajadas). A resposta dinâmica da estrutura é obtida pela integração explícita da equação de
equilíbrio dinâmico ao longo do tempo através do método de Newmark (1959).
1.4 OBJETIVOS
Os principais objetivos deste trabalho são:
• Estudar o comportamento de torres metálicas estaiadas submetidas ao carregamento
estático de vento proposto na NBR 6123, segundo cada um dos três modelos
matemáticos comentados anteriormente;
• Determinar as freqüências e os modos naturais de vibração das torres estudadas na
análise estática;
• Avaliar a resposta destas estruturas na direção do vento, submetidas à carregamentos
flutuantes (rajadas) com as pressões flutuantes obtidas a partir do espectro de vento
local por meio dos métodos de simulação de Monte Carlo.
1.5 CONTEÚDO
Nesta seção, descreve-se de maneira geral o conteúdo de cada um dos capítulos que compõem
o restante deste trabalho.
No Capítulo 2 comenta-se sobre os principais tipos de torres de sustentação de antenas
utilizados no mercado, centrando a atenção nas torres metálicas estaiadas com seção
transversal quadrada, descrevendo-se as principais características dos mastros centrais, cabos
e antenas.
4
O Capítulo 3 é destinado a explicar de forma detalhada os modelos matemáticos utilizados.
Inicialmente é descrito cada um dos modelos matemáticos utilizados na análise estática e em
seguida são apresentadas as formulações para as análises modal e dinâmica.
O carregamento estático do vento conforme a NBR 6123 (1988) é comentado no Capítulo 4,
juntamente com o dimensionamento dos cabos e o critério das tensões admissíveis utilizado
para o dimensionamento dos perfis.
O método de Monte Carlo é descrito no Capítulo 5, iniciando-se com um histórico do estudo
dos efeitos dinâmicos do vento e em seguida entrando na apresentação do método
propriamente dito. No final do capítulo é dada uma breve explicação sobre os parâmetros
estatísticos utilizados na distribuição de Gumbel (Tipo 1).
No capítulo 6 são apresentados cada um dos programas computacionais desenvolvidos para se
fazer as análises propostas. Os programas são apresentados individualmente na forma de
fluxogramas, acompanhados de explicações dos principais blocos que os constituem.
Os exemplos numéricos estudados são descritos no Capítulo 7, subdividindo-os em função do
tipo de análise (estática, modal ou dinâmica), sendo acompanhados por explicações e gráficos
comparativos dos resultados, indicando-se as semelhanças ou diferenças observadas.
No capítulo 8 são apresentadas as conclusões finais e sugestões para trabalhos futuros. No
final do trabalho existem ainda vários apêndices, apresentados na forma de tabelas, contendo
informações necessárias para a realização das análises, bem como mostrando os principais
resultados das analises efetuadas.
5
2 - TIPOLOGIA ESTRUTURAL
2.1 TIPOS DE TORRES DE SUSTENTAÇÃO
As torres utilizadas para a sustentação de antenas variam principalmente quanto à geometria,
ao modelo e ao material utilizado, porém, de uma forma geral, pode-se constatar sete formas
básicas: Torres Estaiadas Quadradas, Torres Estaiadas Triangulares, Torres Autoportantes
Quadradas, Torres Autoportantes Triangulares, Postes de Concreto ou Metálicos e Torres
Tubulares (Concreto).
a) b) c) d)
Figura 2.1 – Torres de sustentação
As torres estaiadas (Figura 2.1-a) são constituídas por um corpo metálico esbelto e modulado,
chamado de mastro, fixo por estais ao longo de sua extensão. Este corpo metálico é formado
por módulos com cerca de 5 m cada, contendo montantes, diagonais, horizontais e barras de
travamentos, com ligações aparafusadas ou soldadas, possuindo seção transversal quadrada ou
triangular. Os estais são constituídos por cordoalhas de aço fixadas ao longo do mastro da
estrutura e às fundações laterais de ancoragem. Estas torres são as mais econômicas e fáceis
de montar, porém, exigem um terreno relativamente grande para sua instalação, na ordem de
dez vezes a área daquele utilizado em uma estrutura autoportante de mesma altura.
6
As torres autoportantes (Figura 2.1-b) se compõem de um corpo metálico formado por uma
parte reta superior destinada a fixar as antenas e uma parte inferior tronco-piramidal. São
formadas por módulos e compostas por montantes, diagonais, horizontais, barras de
contraventamento e travamento. As ligações são aparafusadas e feitas por meio de chapas de
ligação. Podem ter seções transversais quadradas ou triangulares e possuir os seguintes
acessórios: tubulões de topo, plataformas de topo, plataformas externa e interna (de trabalho
ou descanso), escada, suportes de antena, etc. Podem ser constituídas por perfis laminados
e/ou chapa dobrada.
Os postes metálicos e de concreto (Figura 2.1-c) são pré-fabricados e largamente utilizados
até alturas de cerca de 40 m. Os módulos são ligados através de flanges, permitindo que sua
montagem se dê de forma extremamente rápida. Possuem seções circulares ou hexagonais,
com diâmetros máximos de cerca de 50 cm.
As torres tubulares de concreto (Figura 2.1-d) são estruturas com seção transversal em forma
de anel circular, com diâmetros externos acima de 4 m e paredes com cerca de 15 cm de
espessura. Possuem escada helicoidal e patamares internos. Utilizam o sistema de formas
deslizantes. Sua instalação é um pouco trabalhosa e é utilizada quando se requer uma rigidez
elevada para a estrutura.
Neste trabalho, concentra-se o estudo nas torres metálicas estaiadas de seção transversal
quadrada, constituídas por perfis laminados com ligações aparafusadas. Este tipo de estrutura
vem sendo largamente utilizado tanto em regiões pouco urbanizadas como em centros
densamente povoados, com as instalações feitas no próprio terreno (solo ou rocha) ou no alto
de edificações já existentes.
A Figura 2.2 apresenta a tipologia básica destas estruturas, sendo mostrada uma torre estaiada
com mastro central constituído por quatro módulos numerados de cima para baixo, contendo
dez seções cada, ao qual são ancorados os cabos ou estais. Próximo ao topo da estrutura
existe um conjunto de barras que se projetam para fora, chamado de dispositivo anti-torção.
Entre o dispositivo anti-torção e o topo da estrutura existe uma região sem pontos de
ancoragem de cabos, destinada a colocação de antenas e sendo conhecida por vão livre no
topo da torre. Nesta figura, é mostrado também o vão livre entre cabos, correspondendo à
distância vertical ao longo da torre entre dois pontos de ancoragem sucessivos.
7
Estais
Vão livre
Anti-Torção
Mód
ulo
1M
ódul
o 2
Mód
ulo
3M
ódul
o 4
entre cabos
Vão livre notopo da torre
Mastro
Figura 2.2 – Torre metálica estaiada quadrada
2.2 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DAS TORRES ESTAIADAS QUADRADAS:
Não existe um material único de referência para caracterizar ou mesmo padronizar todos os
elementos e modelos de torres metálicas estaiadas, até mesmo pelo fato destas torres serem
projetadas, inúmeras vezes, de modo a atender necessidades específicas. As características
das torres metálicas estaiadas de seção transversal quadrada descritas neste capítulo foram
baseadas em: experiência prática de projetistas; catálogos comerciais de fabricantes de torres;
procedimento do sistema Telebrás 240-410-600 Padrão (1996); norma canadense de torres
CSA S37-94; e norma americana de cabos estruturais – ASCE 19-96.
O mastro central das torres estaiadas é constituído de módulos, com comprimentos que, em
geral, variam de cinco a seis metros, com exceção de torres com altura inferior à dez metros,
para os quais se utilizam módulos com menor comprimento. Estes módulos são montados
individualmente na fábrica e no local da instalação é feita apenas a união dos mesmos através
de chapas de aço aparafusadas nas extremidades dos montantes. Os módulos, por sua vez, são
subdivididos em seções compostas por barras (perfis estruturais) com ligações aparafusadas
que, de acordo com o seu posicionamento e função são chamadas de: montantes, horizontais,
diagonais e barras de travamento interno. Existem algumas configurações mais usuais para o
posicionamento das barras principais, sendo uma delas apresentada na Figura 2.3:
8
Figura 2.3 – Disposição de barras em um seção
Na Figura 2.3, não são mostradas as barras de travamento interno, uma vez que as mesmas
são colocadas apenas nas extremidades de módulo em forma de “X”, em um plano horizontal
em relação à torre e portanto não podem ser vistas na figura acima que mostra uma visão
frontal de uma das faces da torre.
Os perfis estruturais mais comumente utilizados são as cantoneiras simples com abas iguais
de aço ASTM A36, conhecido comercialmente no Brasil como MR250, com tensão de
escoamento de 250 MPa, tensão de ruptura entre 400 e 500 MPa e módulo de elasticidade de
aproximadamente 201000 MPa.
É importante ressaltar que, conforme comentado anteriormente, as barras de um mesmo
módulo são classificadas conforme o tipo e posicionamento em: montantes, horizontais,
diagonais e travamentos internos, sendo que cada um destes constitui o que se convencionou
chamar de “site” das barras. Portanto, todas as barras horizontais de um mesmo módulo
constituem um primeiro site, os montantes constituem um segundo site e assim por diante, de
modo que cada módulo possuirá quatro sites distintos, à não ser que ele possua dispositivo
anti-torção, para o qual serão incluídos dois sites extras, conforme será comentado
posteriormente. Na etapa de dimensionamento, determina-se o maior esforço de tração e de
compressão por site, sendo todas as barras de um mesmo site dimensionadas para estes
esforços solicitantes. Consequentemente, todas as barras pertencentes ao mesmo módulo e de
um mesmo site possuirão a mesma seção transversal.
9
Em torres metálicas estaiadas, deve-se instalar próximo ao topo da estrutura um dispositivo
especial que através da utilização de cabos adicionais num mesmo nível e afastados dos
montantes formando braços de alavancas adequados, absorvam os esforços de torção, sendo
portanto conhecidos por dispositivos anti-torção. No caso de torres com mais de 60 metros de
altura é recomendado a utilização de dois dispositivos anti-torção, sendo um próximo ao topo
e o outro à meia altura da estrutura.
O dispositivo anti-torção é usualmente constituído por um conjunto de quatro barras por face
da torre, sendo duas delas em posição horizontal e absorvendo esforços de tração e as duas
outras em posição inclinada sendo submetidas à esforços de compressão, o que justifica a
adoção de dois sites distintos conforme comentado anteriormente. Na Figura 2.4 é mostrado
um dispositivo anti-torção acompanhado de um detalhe da sua extremidade.
Figura 2.4 – Dispositivo anti-torção e detalhe da extremidade
Na Figura 2.4, não são mostradas as duas barras em posição inclinada, por se tratar de uma
vista em planta, sendo estas barras encobertas pelas barras horizontais do anti-torçor. Estas
barras inclinadas são aparafusadas nas barras horizontais do anti-torçor na extremidade
superior e nos montantes na extremidade inferior. A ligação da extremidade do dispositivo é
geralmente feita com uma barra de aço soldada nas cantoneiras horizontais do anti-torçor.
10
Entre o topo da estrutura e o dispositivo anti-torção, existe uma região sem pontos de
ancoragem de cabos, cujo comprimento varia de 50 cm à 300 cm. Este é o chamado vão livre
no topo da estrutura, sendo destinado à colocação das antenas. Abaixo desta região, os cabos
são ancorados ao longo do mastro da torre, sendo recomendado que o vão livre na vertical
entre dois pontos de ancoragem sucessivos esteja entre 8 e 12 metros, com exceção de torres
com altura inferior à 10 metros, para as quais é utilizada uma distância menor.
Nas regiões onde ocorrem pontos de ancoragem de cabos, as barras horizontais apresentam
prolongamentos conhecidos vulgarmente como “orelhas” para que possa ser colocado um
pino de fixação do sapatilho que permita o encaixe do cabo. Na Figura 2.5 é mostrada a
região de ancoragem de cabos na torre.
Figura 2.5 – Região de ancoragem de cabos na torre
Pela Figura 2.5, pode-se ver que em cada altura de ancoragem chegam quatro cabos distintos
em direções inclinadas de 45 graus em relação às faces da torre sendo os mesmos ancorados
nas “orelhas” das barras horizontais na extremidade superior e em pontos de fundações
laterais na extremidade inferior. No caso da existência de dispositivos anti-torção no ponto de
ancoragem (ver Figura 2.4), existem oito cabos e não apenas quatro como descrito
anteriormente. Neste caso, em cada extremidade do anti-torçor são ancorados dois cabos. A
Figura 2.6 apresentada à seguir, mostra uma vista em planta de uma torre metálica estaiada,
sendo indicados separadamente os cabos ancorados em dispositivos anti-torção (8 cabos) e em
ancoragens normais (4 cabos).
11
Cabo 2 Cabo 3
Cabo 4
Cabo
5Cabo 6Cabo 7Cabo 8
Cabo 1
Cabo 1
Cabo 2
Cabo 3
Cabo 4
Mastro da Torre
Face 1
Face 2
Face 3
Face 4
Ancoragem em Anti-Torçor Ancoragem Normal
Ponto deFundação
Figura 2.6 – Ancoragem normal e em anti-torçor
Não existe uma regra para a determinação do número de pontos de fundação lateral
destinados à ancoragem de cabos em nenhuma das normas e procedimentos comentados
anteriormente. Porém, existe uma recomendação prática que sugere, que não se use mais de
três pontos de fundação lateral por montante, e que sejam ancorados até três cabos por ponto
de fundação ou no máximo quatro quando se tratar de cabos de dispositivo anti-torção. Esta
recomendação é baseada na experiência em torres já projetadas, além de possibilitar a redução
de custos financeiros com as fundações.
A distância do ponto de fundação mais afastado da torre é determinada em função da altura da
torre, de modo que o ângulo entre o cabo e o plano horizontal que representa o terreno seja de
aproximadamente 60 graus. Os demais pontos de fundação são determinados dividindo-se a
distância do ponto de fundação mais afastado em intervalos iguais.
Uma vez determinado o número de pontos de ancoragem ao longo da torre e o número de
fundações laterais, os cabos são distribuídos entre os pontos de fundação, iniciando-se com os
cabos ancorados nas alturas mais baixas e com os pontos de fundação mais próximos da torre.
As fundações laterais de ancoragens de cabos e as fundações do mastro da torre devem ter a
sua superfície superior projetada acima do terreno no mínimo 20 centímetros, devendo ser
inclinada e desempenada a fim de evitar o acúmulo de água na base, conforme recomendação
do procedimento Telebrás.
12
2.3 CABOS DE ESTAIS
O procedimento Telebrás e os catálogos de fabricantes recomendam a utilização de cabos de
aço de sete fios (1+6) com alma de aço e protegidos contra corrosão com capa protetora de
zinco. Os cabos devem ser do tipo HS (High Strength) ou EHS (Extra High Strength) com
diâmetro máximo de 16 mm. A Figura 2.7 mostra a seção transversal destes cabos:
7 fios(1 + 6)
Alma deAço
Figura 2.7 – Cabo de aço de sete fios
Os cabos de aço estão sujeitos à dois tipos de deformação longitudinal: a elástica e a
estrutural. A deformação elástica é diretamente proporcional à carga aplicada e ao
comprimento do cabo de aço e inversamente proporcional ao seu módulo de elasticidade e
área metálica, ocorrendo também nos perfis estruturais. A deformação estrutural, por sua vez,
ocorre apenas nos cabos, sendo permanente e começando logo que é aplicada uma carga no
cabo. Esta deformação é causada pelo ajustamento dos fios do cabo, ou seja, pelo
acomodamento das pernas em relação à alma do mesmo.
A maior parte da deformação estrutural ocorre nos primeiros dias ou semanas de serviço do
cabo, dependendo da carga aplicada e pode ser quase totalmente removida por uma operação
que se convencionou chamar de pré-estiramento que consiste em submeter o cabo à uma força
de tração de acordo com um programa de carregamento pré-determinado. A norma americana
de cabos ASCE 19-96 especifica que todos os cabos estruturais devem ser submetidos à uma
força de pré-estiramento não inferior à 50% da capacidade resistente nominal do cabo.
Além do pré-estiramento do cabo que é feito no local de fabricação do mesmo, os cabos de
estais são submetidos à uma força de pré-tensionamento no local onde será implantada a torre.
13
De acordo com a norma canadense de torres CSA S37-94, o pré-tensionamento dos cabos na
região da ancoragem na fundação lateral é normalmente definido como sendo em torno de
10% da capacidade resistente nominal do cabo, admitindo-se pré-tensionamentos entre os
limites de 8 e 15%.
Nos pontos de ancoragens de cabos nas torres e nas fundações laterais, devem-se utilizar as
“terminações de cabos”, que são dispositivos fixados nas extremidades dos mesmos, de modo
a transferir a tensão do cabo para o ponto de ancoragem. Existem vários tipos de terminação
utilizados no mercado, tais como: soquetes, terminais prensados, laços com sapatilho fixos
por grampos, etc.
No caso do presente trabalho, o tipo de terminação utilizado foi o laço feito com o próprio
cabo ao redor do sapatilho e fixo com grampos. Os sapatilhos são peças metálicas utilizadas
para evitar a deformação e o desgaste excessivo do cabo na região dos olhais onde é feito o
laço. Os grampos (clips) são peças feitas de aço e fixadas ao longo do cabo de modo a evitar
que o laço se abra. A Figura 2.8 mostra este tipo de terminação:
Figura 2.8 – Terminação de cabo com laço, sapatilho e grampos
No tipo de terminação mostrado na Figura 2.8, o número de grampos, o espaçamento entre
eles ao longo do cabo e o torque aplicado nos mesmos é determinado em função da bitola do
cabo, seguindo-se as recomendações dos fabricantes conforme apresentado na Tabela 2.1:
Tabela 2.1 – Especificações das terminações com grampos
Bitola do Cabo No de Grampos Espaçamento (mm) Torque (N.m)3/16" 2 29 8.01/4" 2 38 20.0
5/16" 2 48 40.03/8" 2 57 40.0
7/16" 2 67 75.01/2" 3 76 75.0
9/16" 3 95 115.0
14
2.4 TIPOS DE ANTENAS
As antenas utilizadas em torres metálicas estaiadas apresentam uma grande variação quanto à
geometria, posições na estrutura, parâmetros aerodinâmicos, estruturas de apoio, etc.
Geralmente são definidas quanto ao tipo, cota de instalação e direcionamento, com base em
seu diagrama de irradiação que pode ser encontrado nos catálogos comerciais de fabricantes.
Nestes catálogos são apresentadas as especificações de carregamento a considerar para uma
determinada direção de vento, as dimensões e a forma de fixação das antenas e dos suportes,
os elementos componentes e o peso do conjunto (antena e suporte).
O procedimento Telebrás classifica as torres estaiadas em três categorias da seguinte forma:
1-Torre Estaiada Classe A (TEA) – Para suporte de antenas na freqüência SHF; 2-Torre
Estaiada Classe B (TEB) – Para suporte de antenas na freqüência UHF; e 3-Torre Estaiada
Classe C (TEC) – Para suporte de antenas na freqüência VHF.
Na classificação acima, SHF é a faixa de freqüência que vai de 3000 à 30000 MHz e utiliza as
antenas parabólicas cheias, UHF é a faixa de freqüência que varia de 300 à 3000 MHz e
utiliza as antenas helicoidais, log-periódicas, parabólicas vazadas e yagi, e VHF é a faixa de
freqüência que varia de 30 à 300 MHz utilizando as antenas yagi e log-periódicas.
No presente trabalho, foi admitido que as torres apresentavam antenas do tipo yagi, uma vez
que este é o tipo mais utilizado no mercado para o caso de torres estaiadas, além de permitir a
transmissão de sinais nas freqüências UHF e VHF. Na determinação da área exposta de
antenas para cálculo da força de vento, foi admitido que as antenas se encontram no primeiro
módulo (módulo do topo da torre), com área exposta igual à 7.5% da área de contorno do
módulo e coeficiente aerodinâmico igual a 1.2.
O procedimento Telebrás especifica limites para a rotação no plano horizontal e para a
deflexão em relação ao eixo vertical (medida como sendo o ângulo entre a vertical e a
tangente à posição deformada da estrutura), na altura da antena mais alta, conforme a
categoria da torre. Estes valores limites são de 1o 40’ 00’ para torres do tipo TEB e 4o 00’ 00”
para torres do tipo TEC. Neste trabalho foi admitido que a antena mais alta se encontra
sempre na extremidade superior da terceira seção à partir do topo da estrutura.
15
3 - MODELOS MATEMÁTICOS
3.1 ANÁLISE ESTÁTICA
No presente capítulo serão apresentados os modelos matemáticos utilizados na análise estática
de torres metálicas estaiadas quando submetidas à ações externas devidas ao vento. Na
discretização das estruturas foram empregados elementos finitos de dois nós (cabos ou
treliças), sendo considerada apenas a rigidez axial. Os elementos são considerados retos entre
coordenadas nodais e as forças externas atuam somente nos nós da estrutura. Para fazer as
análises foram utilizadas combinações dos três modelos matemáticos descritos abaixo:
• Modelo não linear de elemento de cabo tensionado no espaço (Pulino, 1991);
• Modelo linear de elemento de cabo tensionado no espaço (Pulino, 1998);
• Modelo linear clássico de elemento de treliça no espaço (Gere e Weaver, 1987).
As duas primeiras formulações admitem alongamentos nos elementos de cabo para a
introdução das forças de tensionamento, podendo também ser usadas para modelar os
elementos de treliça (cantoneiras simples que compõem o corpo da torre), bastando definir o
tensionamento do elemento como sendo nulo. Estes dois modelos também permitem
considerar o efeito térmico causado por um aumento ou diminuição de temperatura (∆T). O
terceiro modelo deve ser utilizado apenas para os elementos de treliça que compõem o corpo
da torre uma vez que não permite o pré-tensionamento necessário na modelagem dos cabos.
Os modelos matemáticos comentados acima descrevem basicamente, a obtenção da função
Energia Potencial Total para um arranjo de cabos ou treliças utilizados na discretização das
torres. As configurações que representam uma posição de equilíbrio estático estável são
obtidas como pontos de mínimo local da função Energia Potencial Total, utilizando-se um
algoritmo do tipo Quasi-Newton.
Nas seções subsequentes serão apresentados individualmente cada um dos três modelos
matemáticos comentados acima.
16
3.1.1 Modelo Não Linear para Cabo Tensionado
No presente capítulo será apresentado um modelo não linear que admite deslocamentos e
deformações finitas para discretizar elementos de cabos tensionados. Nesta formulação são
assumidas as seguintes considerações básicas:
• Os elementos de cabos são considerados retos entre coordenadas nodais.
• As forças externas atuam somente nos nós dos cabos.
• Só é considerada a rigidez axial dos elementos.
• O material dos cabos será considerado de comportamento linear.
3.1.1.1 Deformação Longitudinal
A Figura 3.1 mostra um elemento de cabo no espaço com sua respectiva representação
vetorial. Nesta figura a configuração indeformada do elemento é representada pelo segmento
AB, o tensionamento pelo segmento BC e o efeito térmico por BD, de modo que o cabo
indeformado após sofrer o efeito térmico é representado pelo segmento AD. Já a
configuração deformada do elemento, ou seja, após sofrer o efeito dos carregamentos nodais
externos, é representada pelo segmento A’C’. Os deslocamentos nodais AA’ e CC’ são
indicados pelos vetores p e q respectivamente.
A
D
B
C
A'
C '
ElementoDeformado
Tensionamentodo Cabo
EfeitoTérmico
Elemento Indeformadocom efeito térmico
-γt.l
λt
c
q
p
l'
X
Z
Y
Figura 3.1 – Modelo não linear de elemento de cabo no espaço e sua representação vetorial
17
Sendo:
λc : vetor que representa a distância entre nós (segmento AC);
l : vetor que representa o comprimento inicial do cabo (segmento AB);
γt.l = α.∆T.l : efeito térmico, sendo α o coeficiente de dilatação térmica;
λt : vetor que representa a configuração indeformada com efeito térmico;
l’ : vetor com a configuração deformada;
p,q : deslocamentos nodais nas extremidades inicial e final;
µ = c : módulo do vetor c;
µt = lt .γ : módulo do vetor γt.l.
Pode-se verificar a partir da Figura 3.1 que:
p + l’ = λ t - γtl + c + q (3.1)
l’ = λ t - γtl + c + q - p (3.2)
Fazendo:
z = q - p + c - γtl (3.3)
Tem-se:
l’ = λ t + z (3.4)
A deformação longitudinal do elemento pode então ser dada por:
ε = t
tlλ
λ−' (3.5)
Lembrando que:
).()(' zzl tT
t ++= λλ (3.6)
Sendo:
λt = (λc-c+γtl) = Ltu ⇒ tttt LuLuL ===λ (3.7)
Onde: u = vetor dos cossenos diretores do elemento de cabo na configuração indeformada.
Lt = comprimento do elemento de cabo com efeito térmico.
18
Portanto, substituindo-se (3.7) em (3.6):
).()(' zuLzuLl tT
t ++=
zzuLzzuLuuLl Tt
TTt
Tt +++= 2' (3.8)
Sabendo que:
u = (cosη,cosγ,cosξ) (3.9)
Então:
uTu = cos2η + cos2γ + cos2ξ = 1 e LtuTz = zTLtu (3.10)
Substituindo (3.10) em (3.8):
zzuzLLl TTtt ++= .2' 2 (3.11)
Substituindo-se (3.7) e (3.11) em (3.5):
ε = t
tTT
tt
LLzzuzLL −++ .22
ε = 1)2(1 11 −++ −− zLuzL tT
t (3.12)
Fazendo:
δ = )2( 11 zLuzL tT
t−− + (3.13)
Tem-se que a deformação longitudinal de um elemento de cabo será:
ε = 11 −+δ (3.14)
19
3.1.1.2 Energia Potencial Total
A energia de deformação de um elemento de cabo com deformação constante é dada por:
π = dVdV∫ ∫
ε
εεσ0
).( (3.15)
onde:
εεσ .)( E= : tensão no elemento de cabo;
E : modulo de elasticidade do material;
ε : deformação longitudinal;
V : volume do elemento de cabo.
Para um cabo com seção constante (αc) e comprimento Lt:
π = Lt. αc ∫ε
εεσ0
)( d (3.16)
A Energia Potencial Total para um conjunto de “n” elementos de cabo será então:
∑=
Π+−=Πn
i
T xfx1
0)( π (3.17)
sendo:
π : energia de deformação de cada elemento de cabo;
f : vetor que contém as forças nodais externas;
x : vetor com deslocamentos nodais livres do sistema;
0Π : Energia Potencial Inicial do sistema.
3.1.1.3 Gradiente da Energia Potencial Total
Uma vez escrita a Energia Potencial Total do sistema como função dos deslocamentos livres,
as possíveis configurações de equilíbrio estático podem ser encontradas através de técnicas de
otimização, uma vez que estas posições correspondem a pontos de mínimo local da função
)(xΠ .
20
O gradiente da função Energia Potencial Total de um arranjo de cabos tensionados é dado
pela derivada em relação aos xi deslocamentos livres do sistema como:
∑=
−∇=∂Π∂=Π∇
n
ii
fx
xx1
)()( π (3.18)
Precisa-se, então, calcular o gradiente da energia de deformação de um elemento de cabo:
∫∇=∇ε
εεσαπ0
)(. dLtc
εεσαπ ∇=∇ ).(.tc L (3.19)
Para estabelecer o gradiente da energia de deformação da Equação (3.19), será necessário
determinar o gradiente da deformação ( ε∇ ) de um elemento de cabo. Como cada elemento
de cabo tem no máximo seis graus de liberdade (três translações por nó), conforme pode ser
visto na Figura 3.2, a deformação longitudinal será função desses seis deslocamentos (xk, k =
1,2,..,6).
x1
x2
x3
x4x6
x5
nó inicial
nó final
Figura 3.2 – Deslocamentos de um elemento de cabo no espaço
Conforme demostrado na equação (3.14):
ε = 11 −+δ
21
Consequentemente:
KK xx ∂
∂+=∂∂=∇ − δδεε .)1(
21 2/1 (3.20)
Lembrando das equações (3.13), (3.3) e (3.9) que:
δ= zzLuzLzLuzL Tt
Ttt
Tt
2111 2)2( −−−− +=+
z = q - p + c - γtl = [ (x4-x1+(µ-µt)cosη) , (x5-x2+(µ-µt)cosγ) , (x6-x3+(µ-µt)cosξ) ]
u = (cosη , cosγ , cosξ )
Fazendo k = 1:
)(.)(..21
2
1
1
1
zzx
Luzx
Lx
Tt
Tt ∂
∂+∂∂=
∂∂ −−δ (3.21)
Mas:
zTu = (x4-x1+(µ-µt)cosη)cosη + (x5-x2+(µ-µt)cosγ)cosγ + (x6-x3+(µ-µt)cosξ) cosξ
zTz = (x4-x1+(µ-µt)cosη)2 + (x5-x2+(µ-µt)cosγ)2 + (x6-x3+(µ-µt)cosξ)2
Portanto:
ηcos)(1
−=∂∂ uzx
T (3.22)
)cos)((2)( 141
ηµµ tT xxzz
x−+−−=
∂∂ (3.23)
Substituindo as Equações (3.22) e (3.23) na Equação (3.21):
]cos)(.([cos.2 1411
1
ηµµηδttt xxLL
x−+−+−=
∂∂ −− (3.24)
22
Logo:
)]cos)(.([cos)1( 1412/11
1
ηµµηδεttt xxLL
x−+−++−=
∂∂ −−− (3.25)
Procedendo de forma análoga para k = 2,3,4,5 e 6:
)]cos)(.([cos)1( 2512/11
2
γµµγδεttt xxLL
x−+−++−=
∂∂ −−− (3.26)
)]cos)(.([cos)1( 3612/11
3
ξµµξδεttt xxLL
x−+−++−=
∂∂ −−− (3.27)
14 xx ∂
∂−=∂∂ εε (3.28)
25 xx ∂
∂−=∂∂ εε (3.29)
36 xx ∂
∂−=∂∂ εε (3.30)
O gradiente da energia de deformação será:
)]cos)(.([cos)1( 1412/1
1
ηµµηδεαπttc xxLE
x−+−++−=
∂∂ −− (3.31)
)]cos)(.([cos)1( 2512/1
2
γµµγδεαπttc xxLE
x−+−++−=
∂∂ −− (3.32)
)]cos)(.([cos)1( 3612/1
3
ξµµξδεαπttc xxLE
x−+−++−=
∂∂ −− (3.33)
23
14 xx ∂
∂−=∂∂ ππ (3.34)
25 xx ∂
∂−=∂∂ ππ (3.35)
36 xx ∂
∂−=∂∂ ππ (3.36)
3.1.2 Modelo Linear para Cabo Tensionado
Será apresentado agora um modelo linear para discretizar elementos de cabos tensionados,
admitindo-se deslocamentos e deformações infinitesimais. Nesta formulação são assumidas as
mesmas quatro considerações básicas do modelo não linear descrito anteriormente.
3.1.2.1 Deformação Longitudinal
Conforme visto na Figura 3.1 e nas equações (3.3) e (3.4) para o modelo não linear:
l’ = λ t + z e z = q - p + c - γtl
Estas relações podem ser mostradas através da Figura 3.3:
l'
c
-γt.l
λt
q
-p
z
λt
l'
z
δ ∆L
YX
Z
Figura 3.3 – Representação vetorial do modelo linear de elemento de cabo
24
A deformação longitudinal do elemento pode ser representada por:
tLL∆=ε (3.37)
onde:
L∆ : variação do comprimento no cabo;
tL : comprimento indeformado do cabo com efeito térmico.
Por se tratar de deslocamentos e deformações infinitesimais, a variação no comprimento do
cabo ( L∆ ) pode ser aproximada pela projeção (δ) do vetor z na direção do cabo na
configuração indeformada ( tλ ). Logo:
uz T=δ (3.38)
Consequentemente:
tt LL
L δε =∆= (3.39)
3.1.2.2 Energia Potencial Total
Para um cabo com seção constante (αc) e comprimento (Lt), a energia potencial pode ser
representada da mesma maneira que no modelo não linear, ou seja, pela equação (3.16):
π = Lt. αc ∫ε
εεσ0
)( d
3.1.2.3 Gradiente da Energia Potencial Total
Para a determinação de um ponto de mínima energia potencial total é necessário calcular o
gradiente desta função em relação aos deslocamentos livres.
25
Pela equação (3.19):
εεσαπ ∇=∇ ).(.tc L
Admitindo que :
tL
δε =
Então ε∇ pode ser dado por:
ktk xLx ∂
∂=∂∂=∇ δεε .1 (3.40)
Porém, como da Equação (3.38):
uz T=δ
sendo:
z = q - p + c - γtl = [ (x4-x1+(µ-µt)cosη) , (x5-x2+(µ-µt)cos γ) , (x6-x3+(µ-µt)cosξ) ]
u = (cosη , cos γ, cosξ )
Então:
zTu = (x4-x1+(µ-µt)cosη) cosη + (x5-x2+(µ-µt)cos γ) cos γ + (x6-x3+(µ-µt)cosξ) cosξ
Fazendo k = 1:
ηδ cos)(11
−=∂∂=
∂∂ uz
xxT (3.41)
Substituindo (3.41) em (3.40) no caso de k =1:
ηε cos1
1 tLx−=
∂∂ (3.42)
26
De forma análoga para k = 2,3,4,5 e 6:
γε cos1
2 tLx−=
∂∂ (3.43)
ξε cos1
3 tLx−=
∂∂ (3.44)
14 xx ∂
∂−=∂∂ εε (3.45)
25 xx ∂
∂−=∂∂ εε (3.46)
36 xx ∂
∂−=∂∂ εε (3.47)
O gradiente da energia potencial de deformação será então:
ηεαπ cos1
Ex c−=
∂∂ (3.48)
γεαπ cos2
Ex c−=
∂∂ (3.49)
ξεαπ cos3
Ex c−=
∂∂ (3.50)
14 xx ∂
∂−=∂∂ ππ (3.51)
25 xx ∂
∂−=∂∂ ππ (3.52)
36 xx ∂
∂−=∂∂ ππ (3.53)
27
3.1.3 Modelo Linear Clássico de Treliça Espacial:
Será apresentado agora um modelo linear clássico para discretizar elementos de treliça no
espaço, admitindo-se deslocamentos e deformações infinitesimais. Nesta formulação são
assumidas as mesmas quatro considerações básicas do modelo não linear para cabo
tensionado descrito anteriormente.
3.1.3.1 Energia Potencial Total
A energia de deformação de um elemento de treliça é dado por:
π = xKx ST
21 (3.54)
onde:
π : energia de deformação de um elemento de treliça;
x : vetor com deslocamentos nodais livres do sistema;
SK : matriz de rigidez do elemento de treliça em relação aos eixos da estrutura.
A Energia Potencial Total para um conjunto de “n” elementos de treliça será então:
∑=
Π+−=Πn
i
T xfx1
0)( π (3.55)
sendo:
π : energia de deformação de cada elemento de treliça;
f : vetor que contém as forças nodais externas;
x : vetor com deslocamentos nodais livres do sistema;
0Π : Energia Potencial Inicial do sistema.
3.1.3.2 Gradiente da Energia Potencial Total
O gradiente da função Energia Potencial Total de um conjunto de “n” elementos de treliça é
dado pela derivada em relação aos xi deslocamentos livres do sistema como:
∑=
−∇=∂Π∂=Π∇
n
ii
fx
xx1
)()( π (3.56)
28
O gradiente da energia de deformação de um elemento de treliça espacial, em função dos seis
deslocamentos nodais, será calculado à partir de (3.54):
xKx
xS
i
=∂
∂ )(π (3.57)
A matriz de rigidez do elemento de treliça em relação aos eixos da estrutura é obtida
rotacionando-se a matriz de rigidez em relação aos eixos do membro de modo que:
RKRK mT
S = (3.58)
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
=
22
22
22
22
22
22
.
CzCyCzCxCzCzCyCzCxCzCzCyCyCxCyCzCyCyCxCyCzCxCyCxCxCzCxCyCxCx
CzCyCzCxCzCzCyCzCxCzCzCyCyCxCyCzCyCyCxCyCzCxCyCxCxCzCxCyCxCx
LAEK S (3.59)
onde:
E : módulo de elasticidade do material;
A : área da seção transversal;
L : comprimento do elemento de treliça;
R : matriz de rotação para transformar de eixos de membro para eixos da estrutura;
Km : matriz de rigidez em relação aos eixos de membro;
Cx,Cy,Cz : cossenos diretores
29
3.2 ANÁLISE MODAL
Descreve-se um modelo matemático para o cálculo de freqüências e modos naturais de
vibração de torres metálicas estaiadas. O cálculo do problema de autovalores e autovetores é
desenvolvido para um estado de pequenas oscilações em torno de uma configuração de
equilíbrio estático estável da estrutura.
O problema de autovalores e autovetores é resolvido pela linearização, na equação de
movimento, do vetor gradiente da Energia Potencial Total através do truncamento da
expansão em série de Taylor. Nesta formulação, o gradiente da Energia Potencial Total é
determinado utilizando-se o modelo não linear para cabos tensionados comentado
anteriormente.
3.2.1 Equação de Equilíbrio Dinâmico
A equação de Lagrange que descreve o equilíbrio dinâmico de um sistema com “n”
deslocamentos nodais livres é dada, segundo Clough e Penzien (1993), por:
iiii
Qxx
TxT
dtd =
∂∏∂+
∂∂−
∂∂!
(3.60)
onde:
T : Energia Cinética do Sistema;
∏ : Energia Potencial Total do Sistema;
Qi : Função das forças generalizadas que contém as forças não conservativas e de
amortecimento.
No caso de sistemas submetidos a oscilações de pequena amplitude, os termos da equação de
Lagrange podem ser escritos como:
T = 21 xMxT !! (3.61)
0=∂∂
ixT (3.62)
30
xMxT
dtd
i
!!!
=
∂∂ (3.63)
)(xgxi
=∏∇=∂∏∂ (3.64)
Qi = Pi - C ix! (3.65)
Substituindo-se as equações (3.62), (3.63), (3.64) e (3.65) na equação (3.60) obtém-se a
equação (3.66). Esta equação é não-linear, fundamentalmente devido às características do
vetor gradiente g(x) da Energia Potencial Total da estrutura:
PxgxCxM =++ )(!!! (3.66)
onde:
M : matriz de massa consistente do sistema;
C : matriz de amortecimento do sistema;
g(x) : vetor gradiente da Energia Potencial Total da estrutura;
P : vetor das forças nodais externas;
x!! : vetor das acelerações das coordenadas livres da estrutura;
x! : vetor das velocidades das coordenadas livres da estrutura.
3.2.2 Problema de Autovalores e Autovetores
A equação de equilíbrio dinâmico (3.66) na ausência de amortecimento (C) e de forças
externas (P), pode ser escrita como:
0)( =+ xgxM !! (3.67)
O vetor gradiente g(x), que é uma função não linear dos deslocamentos nodais “x”, pode ser
expandido em série de Taylor no intervalo de convergência x* - y < x < x* + y , sendo y > 0 e
x* o vetor que representa um estado de equilíbrio estável da estrutura.
31
g(x) = ( ) ...)(!2
)(")(!1
)(' 2**
**
* +−+−+ xxxgxxxgxg (3.68)
Como g(x) é a primeira derivada da Energia Potencial Total em relação aos deslocamentos
livres da estrutura, o valor de g(x*) na expansão em série de Taylor é g(x*) = 0, uma vez que
x* é um vetor que representa um ponto de equilíbrio estável da estrutura. Logo a equação
(3.68) resulta em:
g(x) = ...)(!2
)(")(!1
)(' 2**
**
+−+− xxxgxxxg
ou, fazendo uma mudança de notação:
[ ] ...)(2
)()()()( 2*** +−
∏∇∇∇+−∏∇∇=∏∇ xxxxxxx (3.69)
Truncando-se os termos superiores da série de Taylor a partir do segundo termo da equação
acima (admitindo-se pequenas oscilações em torno do equilíbrio estático), a equação pode ser
escrita como:
[ ]( )** )()( xxxx −∏∇∇≅∏∇ (3.70)
O lado direito da equação (3.70) nada mais é do que a segunda derivada da Energia Potencial
Total em relação aos deslocamentos livres da estrutura. Substituindo-se as equações (3.18) e
(3.19) na equação (3.70) obtêm-se:
[ ] )()()( *xxfLx ctc −−∇∇≅∏∇ ∑ εεσα (3.71)
O gradiente dos termos entre colchetes corresponde a segunda derivada da Energia Potencial
Total do sistema, sendo representada pela matriz Hessiana – H(x*). Então:
∇Π (x) ≅ [ H(x*) ] (x – x*) (3.72)
32
Chamando:
d = x – x* (3.73a)
xd !! = (3.73b)
xd !!!! = (3.73c)
e substituindo-se as equações acima na equação (3.67) obtêm-se :
[ ] 0)( * =+ dxHdM !! (3.74)
A equação diferencial (3.74) é um problema típico de autovalores e autovetores com solução
da forma:
ω2 Md = [ H(x*) ] d (3.75)
onde:
ω2 : autovalores do sistema;
ω : freqüências naturais de vibração da estrutura (rad/seg);
d : modos de vibração da estrutura.
3.2.3 Matriz Hessiana do Elemento
A matriz Hessiana H(x*), utilizada na equação (3.75), é dada por:
[ ]TxxH )()( ** ∏∇∇= (3.76)
Substituindo-se as equações (3.18) e (3.19) do gradiente da Energia Potencial Total na
equação (3.76), têm-se:
[ ]TfxH −∇∇= ∑ π)( * (3.77a)
ou
( )[ ] [ ]{ }TTtc LxH εεσεεσα ∇∇+∇∇= )()()( * (3.77b)
33
considerando-se o comportamento linear do material , a equação (3.77b) resulta em:
[ ] [ ]{ }TTtc EELxH εεεεα ∇∇+∇∇= .)()( * (3.78)
Portanto, a equação geral da matriz Hessiana para um elemento de cabo ou treliça, será:
[ ]{ }TTtc ELxH εεεεα ∇∇+∇∇= .)()( * (3.79)
Chamando de G e L as matrizes:
TG )( εε ∇∇= (3.80)
[ ]TL ε∇∇= (3.81)
A equação (3.79) da matriz Hessiana para o elemento de cabo ou treliça será:
{ }LGELxH tc ..)( * εα += (3.82)
Nas equações (3.80) e (3.81) as matrizes G e L são quadradas e estão em função dos 6 (seis)
deslocamentos nodais livres do elemento. Estas matrizes estão definidas por:
Matriz G :
Chamando:
i
i x∂∂=Υ ε (i = a,b,c) (3.83)
a matriz G toma a forma:
G =
ΥΥΥΥΥΥ−ΥΥ−ΥΥ−ΥΥΥΥΥΥΥ−Υ−ΥΥ−ΥΥΥΥΥΥΥ−ΥΥ−Υ−Υ−ΥΥ−ΥΥ−ΥΥΥΥΥΥΥ−Υ−ΥΥ−ΥΥΥΥΥΥΥ−ΥΥ−Υ−ΥΥΥΥΥ
22
22
22
22
22
22
ccbcaccbca
cbbbacbbba
cabaacabaa
ccbcaccbca
cbbbacbbba
cabaacabaa
(3.84)
34
podendo ser facilmente calculada pela multiplicação das derivadas da energia de deformação
de cada elemento à partir das equações (3.25) à (3.30).
Matriz L :
[ ]TL ε∇∇= =
∂∂
∂∂∂∂
6
2
1
:
x
x
x
∂∂
∂∂
∂∂
621
..xxxεεε (3.85)
Utilizando-se as equações (3.25) à (3.30) e chamando:
lij =
∂∂
∂∂
ji xxε ( i = 1...6 ; j = 1...6 ) (3.86)
a matriz L da equação (3.85) resulta quadrada e simétrica da forma:
L =
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
26252423222
161514131211
llllllllllllllllllllllllllllllllllll
l
(3.87)
Os termos da matriz L são definidos por:
( ) ( )( )[ ] ( )( )2
2/1
141
1
2/3
111coscos)1(
21
ttt
t LxxL
xLl
−−
− ++−+−+∂∂+= δηµµηδδ (3.88)
( ) ( )( )[ ] ( )( )2
2/1
251
2
2/3
221coscos)1(
21
ttt
t LxxL
xLl
−−
− ++−+−+∂∂+= δγµµγδδ (3.89)
( ) ( )( )[ ] ( )( )2
2/1
361
3
2/3
331coscos)1(
21
ttt
t LxxL
xLl
−−
− ++−+−+∂∂+= δξµµξδδ (3.90)
35
( ) ( )( )[ ] ( )( )2
2/1
141
4
2/3
441coscos)1(
21
ttt
t LxxL
xLl
−−
− ++−+−+∂∂+−= δηµµηδδ (3.91)
( ) ( )( )[ ] ( )( )2
2/1
251
5
2/3
551coscos)1(
21
ttt
t LxxL
xLl
−−
− ++−+−+∂∂+−= δγµµγδδ (3.92)
( ) ( )( )[ ] ( )( )2
2/1
361
6
2/3
661coscos)1(
21
ttt
t LxxL
xLl
−−
− ++−+−+∂∂+−= δξµµξδδ (3.93)
( ) ( )( )[ ]γµµγδδ coscos)1(21
251
1
2/3
12 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+= −
−
(3.94)
( ) ( )( )[ ]ξµµξδδ coscos)1(21
361
1
2/3
13 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+= −
−
(3.95)
( ) ( )( )[ ]ξµµξδδ coscos)1(21
361
2
2/3
23 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+= −
−
(3.96)
( ) ( )( )[ ]ηµµηδδ coscos)1(21
141
2
2/3
24 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+−= −
−
(3.97)
( ) ( )( )[ ]ηµµηδδ coscos)1(21
141
3
2/3
34 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+−= −
−
(3.98)
( ) ( )( )[ ]γµµγδδ coscos)1(21
251
3
2/3
35 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+−= −
−
(3.99)
( ) ( )( )[ ]γµµγδδ coscos)1(21
251
4
2/3
45 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+−= −
−
(3.100)
( ) ( )( )[ ]ξµµξδδ coscos)1(21
361
4
2/3
46 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+−= −
−
(3.101)
36
( ) ( )( )[ ]ξµµξδδ coscos)1(21
361
5
2/3
56 ttt
xxLxL
l −+−+∂∂+−= −
−
(3.102)
1114 ll −= 2225 ll −= 3336 ll −= (3.103)
1215 ll −= 1316 ll −= 2326 ll −= (3.104)
As derivadas de δ podem ser expressas por:
( ) ( ) ( )( )[ ]ηµµηδ coscos2 1411
1ttt xxLL
x−+−+−=
∂∂ −− (3.105)
( ) ( ) ( )( )[ ]γµµγδ coscos2 2511
2ttt xxLL
x−+−+−=
∂∂ −− (3.106)
( ) ( ) ( )( )[ ]ξµµξδ coscos2 3611
3ttt xxLL
x−+−+−=
∂∂ −− (3.107)
14 xx ∂
∂−=∂∂ δδ
25 xx ∂∂−=
∂∂ δδ
36 xx ∂∂−=
∂∂ δδ (3.108)
3.2.4 Normalização dos Autovetores
A normalização dos autovetores da estrutura está baseado na proposta feita por Paz
(1997) da forma:
j
Tj
ijij
Maa
a=φ (3.109)
onde:
aij : matriz dos autovetores não normalizados;
φij : matriz dos autovetores normalizados;
aj : vetor modal j não normalizado;
M : matriz de massa consistente da estrutura.
37
3.3 ANÁLISE DINÂMICA
Este capítulo descreve um modelo matemático para a análise dinâmica de torres metálicas
estaiadas sujeitas à vibrações forçadas provocadas por carregamentos de vento. Esta
formulação é baseada na integração, na variável tempo, da equação de equilíbrio dinâmico,
utilizando um algoritmo do tipo Newmark.
3.3.1 Integração da Equação de Movimento
A equação de equilíbrio dinâmico (3.66)
PxgxCxM =++ )(&&&
com condições iniciais conhecidas para ( )0x , ( )0x& e ( )0x&& é integrada no tempo utilizando-se
um algoritmo preditor-corretor baseado no método de Newmark (1959).
Segundo o método de Newmark, as expressões para o deslocamento e velocidade no tempo
t+∆t são expressas por:
+
−∆+∆+= ∆+∆+ ttttttt xxtxtxx &&&&& 11
2
21 ββ (3.110)
( )[ ]tttttt xxtxx ∆+∆+ +−∆+= &&&&&& 221 ββ (3.111)
O algoritmo preditor-corretor de integração pode ser montado a partir da equação de
equilíbrio dinâmico, no tempo t+∆t, da seguinte forma:
)( ttPgxCxM ptt
ptttt ∆+=++ ∆+∆+∆+ &&& (3.112)
sendo pttg ∆+ o gradiente, no tempo t+∆t, da Energia Potencial Total calculado com
deslocamentos px preditos. De forma similar, as forças de amortecimento no tempo t+∆t são
calculadas com um vetor de velocidades px& também predito.
38
Os valores preditos para os deslocamentos e velocidades no tempo t+∆t são expressos por:
−∆+∆+=∆+ ttt
ptt xtxtxx &&& 1
2
21 β (3.113)
( )[ ]ttp
tt xtxx &&&& 21 β−∆+=∆+ (3.114)
Após o cálculo dos deslocamentos e velocidades preditos, a aceleração no tempo t+∆t pode
então ser determinada através da equação (3.112) e em seguida corrigem-se os valores dos
deslocamentos e velocidades através das equações (3.110) e (3.111). Com os valores dos
deslocamentos e velocidades corrigidos pode-se então calcular a aceleração corrigida através
da equação (3.112) novamente.
Neste modelo foram adotados os valores =2β ½ conforme recomendação de Newmark
(1959) e =1β ¼ o que representa uma aceleração constante no intervalo de tempo ∆t igual à
média entre a aceleração no tempo inicial e no tempo final. O intervalo de tempo ∆t utilizado
neste algoritmo em geral deve ser pequeno, a fim de garantir a estabilidade numérica do
método, sendo aconselhável utilizar ∆t ≤ Tn/5 sendo Tn o menor período de vibração natural
da estrutura (Bathe e Wilson, 1976; Newmark, 1959).
A descrição do algoritmo utilizado na análise dinâmica de torres metálicas estaiadas via
integração no tempo é apresentada a seguir:
Passo1: Com os valores iniciais conhecidos de ( )0x , ( )0x& e ( )0P no tempo t = 0,
calcula-se a aceleração inicial:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]01 000 xgxCPMx −−= − &&& (3.115)
Passo2: Cálculo dos valores dos deslocamentos e velocidades preditos no tempo t+∆t,
conforme equações (3.113) e (3.114):
−∆+∆+=∆+ ttt
ptt xtxtxx &&& 1
2
21 β
( )[ ]ttp
tt xtxx &&&& 21 β−∆+=∆+
39
Passo3: Cálculo da aceleração no tempo t+∆t com os valores preditos de deslocamentos
e velocidades:
[ ])()(1 ptt
ptttt xgxCttPMx ∆+∆+
−∆+ −−∆+= &&& (3.116)
Passo4: Determinação dos valores corrigidos para os deslocamentos e velocidades no
tempo t+∆t:
ttp
tttt xtxx ∆+∆+∆+ ∆+= &&12 β (3.117)
ttp
tttt xtxx ∆+∆+∆+ ∆+= &&& 2β (3.118)
Passo5: Determinação da aceleração no tempo t+∆t com os valores corrigidos de
deslocamentos e velocidades:
[ ])()(1tttttt xgxCttPMx ∆+∆+
−∆+ −−∆+= &&& (3.119)
Passo6: Comparação dos valores das acelerações obtidas nos Passos 3 e 5. Se for maior
que um determinado valor estipulado, volta-se ao passo 4 com os valores de
aceleração encontrados no Passo 5. Caso contrário começa-se um novo passo
de tempo.
3.3.2 Matriz de Amortecimento
O amortecimento considerado neste trabalho baseou-se na formulação apresentada por
Clough e Penzien (1993), na qual a contribuição de cada modo de vibração, na matriz de
amortecimento do sistema, é proporcional à razão de amortecimento crítico. A matriz de
amortecimento “C” da estrutura é dada por:
MM
MCN
n
Tnn
n
nn
= ∑
=1
2φφ
ωζ (3.120)
40
onde:
C : matriz de amortecimento da estrutura;
M : matriz de massa consistente da estrutura;
Mn = φnTMφn : matriz de massa modal;
ωn : freqüência natural do modo “n” (rad/seg);
ζn : razão de amortecimento do modo “n”;
φn : vetor modal “n” normalizado.
A matriz de massa modal Mn é igual a 1 quando os modos de vibração da estrutura estão
normalizados de acordo com a equação (3.109) e portanto:
Mn = φnTMφn = 1 (3.121)
A razão de amortecimento foi adotada como sendo igual 0.008 para todos os modos de
vibração, conforme recomendado na NBR 6123 (1988) para o caso de torres e chaminés de
aço com seção uniforme.
3.3.3 Matriz de Massa Consistente
A matriz de massa consistente de um elemento de cabo ou treliça no espaço foi baseada na
formulação apresentada por Pulino (1991) e Prado (1996), sendo expressa por:
=
200100
020010
002001
100200
010020
001002
6AL
M elemento ρ (3.122)
onde:elementoM : matriz de massa consistente do elemento;
ρ : massa específica do elemento;
A : área da seção transversal;
L : comprimento do elemento.
41
Uma vez determinadas as matrizes de massa consistentes de cada elemento, a matriz de massa
consistente da estrutura pode ser obtida simplesmente adicionando as contribuições das
matrizes de massa de elemento nos locais apropriados na matriz de massa da estrutura.
3.3.4 Esforços Internos
Após a determinação dos deslocamentos, velocidades e acelerações nodais pode-se calcular os
esforços internos em cada elemento de cabo ou treliça. No caso específico dos elementos de
cabo, os esforços axiais foram calculados tomando o cuidado de assegurar que durante a
análise dinâmica nenhum elemento de cabo suporte forças de compressão. Caso ocorra a
situação em que a deformação no elemento de cabo seja de compressão (ε < 0), desconsidera-
se a sua contribuição (ε = 0) na função Energia Potencial Total.
As tensões podem então ser calculadas em função da deformação longitudinal do elemento,
obtida em cada instante de tempo por intermédio da relação εσ .E= .
42
4 - ANÁLISE ESTÁTICA DO VENTO SEGUNDO NBR 6123
4.1 FORÇA DE ARRASTO:
As forças que aparecem em uma estrutura decorrentes da incidência do vento, comumente
conhecidas por forças aerodinâmicas, produzirão uma componente na direção do vento
chamada Força de Arrasto – Fa, que de uma forma geral pode ser expressa por: Fa = Ca.q.A,
onde estão presentes um parâmetro aerodinâmico (Ca), um parâmetro meteorológico (q) e um
parâmetro geométrico (A).
Para a determinação do Coeficiente de Arrasto (Ca) em torres reticuladas, a norma NBR 6123
(1988) apresenta um gráfico, no qual este coeficiente varia de acordo com o Índice de Área
Exposta - φ. Este índice é definido como sendo a razão entre a área frontal efetiva de uma
das faces do reticulado e a superfície limitada pelo contorno do mesmo.
O parâmetro meteorológico (q), representa a variação da pressão dinâmica devida ao vento
com a altura em relação ao terreno, sendo obtido a partir do perfil de velocidades médias e
que para o presente trabalho será feito utilizando-se o perfil contínuo, conforme apresentado
por Blessmann (1988).
A forma de decomposição horizontal da Força de Arrasto – Fa é apresentada na NBR 6123
(1988), sendo esquematizada na Figura 4.1, no caso de torres metálicas com seção transversal
quadrada submetidas à um carregamento de vento incidindo à 90 graus em uma das faces:
Vento na Face
0,25 0,25
0,25
yx
0,25
Fa
Figura 4.1 – Decomposição horizontal da força de arrasto Fa
43
4.2 PERFIL CONTÍNUO E DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA DE ARRASTO
Neste caso, a Força de Arrasto – Fa é calculada para um diferencial do perfil contínuo df e
integrada dentro do limite desejado. Admite-se inicialmente na dedução, uma edificação com
área toda cheia sendo finalmente corrigida em função do Índice de Área Exposta - φ.
Conforme a Figura 4.2 apresentada a seguir, a força de arrasto para uma faixa de largura l1(z)
e altura dz é dada por:
dfa = Ca.q(z).l1(z).dz (4.1)
e para a região situada entre o topo da edificação h e a altura hi, a força Fa será dada por:
Fa = ∫h
hi
dfa (4.2)
hiq(z)
df dfa
ha
Fa
Ma
c1
c2
2θ
θ θ
1l (z)dz
zh
Figura 4.2 – Força de arrasto à partir do perfil contínuo
Substituindo (4.1) em (4.2) obtém-se:
Fa = Ca . ∫h
hi
dzzlzq ).().( 1 (4.3)
Pelo Teorema de Varignon:
Fa.ha = ∫h
hi
dfaz. (4.4)
44
Isolando ha e considerando o valor de Fa expresso pela equação (4.3) determina-se:
ha =
∫
∫
∫
∫∫== h
h
h
hh
ha
h
ha
h
h
i
i
i
ii
dzzlzq
dzzzlzq
dzzlzqC
dzzzlzqC
Fa
dfaz
).().(
.).().(
).().(.
.).().(..
1
1
1
1
(4.5)
O momento de tombamento para a altura hi será:
Mai = Fa.(ha – hi) (4.6)
Para edificações não paralelepipédicas, l1(z) pode ser escrita como:
l1(z) = c1 – 2.z.tgθ (4.7)
Segundo a NBR 6123 (1988) e considerando-se a velocidade média do vento como uma
velocidade característica – Vk, a função q(z) em kgf/m2 pode ser obtida por:
q(z) = ( ) ( )
16...
16...
16
22
2310
23210
2 SSSVSSSVVk == (4.8)
sendo que o fator topográfico S1 leva em consideração as variações no relevo do terreno, S2
representa uma velocidade adimensional normalizada em V0 e varia de acordo com uma lei
potencial e o fator estatístico S3 considera o grau de segurança requerido e a vida útil da
estrutura. A velocidade básica do vento V0 é definida como sendo a velocidade de uma
rajada de três segundos, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do
terreno, em campo aberto e plano (Categoria II).
Fazendo:
K1 = (V0.S1.S3)2 / 16 (4.9)
e sabendo-se que numa altura z dada em metros, a norma de vento define S2 por:
S2 = b. Fr. (z/10)p (4.10)
45
sendo os valores dos parâmetros b, Fr e p para diversos intervalos de tempo e para as cinco
categorias de rugosidade do terreno utilizados conforme tabela extraída da própria norma.
Substituindo-se as equações (4.9) e (4.10) na equação (4.8) obtém-se:
q(z) = K1 . 2
2S = K1 . pp zFrb 2
2
.10.
(4.11)
Introduzindo o parâmetro K2 como sendo:
K2 = K1 . 2
10.
p
Frb (4.12)
Pode-se obter q(z) como:
q(z) = K2 . z2p (4.13)
Substituindo as equações (4.7) e (4.13) na equação (4.3), tem-se:
Fa = K2.Ca .
−
+−−
+++++ ).(
2.2.2).(
1.2222212121 p
ipp
ip hh
ptghh
pc θ (4.14)
Agora, substituindo as equações (4.7) e (4.13) na equação (4.5) resulta:
ha = ( ) ( )( ) ( )222212121
323222221
22.2
12
32.2
22++++
++++
−+
−−+
−+
−−+
pi
ppi
p
pi
ppi
p
hhptghh
pc
hhptghh
pc
θ
θ
(4.15)
As equações (4.15), (4.14) e (4.6) resolvem o problema da relação entre o perfil vertical de
velocidades médias e o carregamento da estrutura na direção do vento. Adequando a força de
arrasto – Fa para o caso de torres metálicas quadradas (reticulado espacial), onde a área
frontal efetiva do reticulado é sempre menor que a área frontal da superfície de contorno o
que será considerado por seção da torre, deve-se multiplicar o valor de Fa pelo Índice de Área
Exposta φ. Assim, a equação (4.14) para torres reticuladas espaciais resulta:
Fa = K2.Ca .
−
+−−
+++++ ).(
2.2.2).(
1.2222212121 p
ipp
ip hh
ptghh
pc θ .φ (4.16)
46
Como a altura “ha” de incidência de “Fa” não coincide com as cotas dos módulos das torres,
deve-se decompor as forças “Fa” de cada módulo, afim de obter a parcela do carregamento
nodal para cada seção da estrutura. O procedimento apresentado a seguir foi também
utilizado por Guimarães (2000).
Seja i um índice das seções variando de 1 até o número de seções NS. As Forças de Arrasto
Fai com as respectivas alturas hai e os momentos de tombamento Mai foram calculados
seguindo a formulação apresentada acima. Considerando hii com sendo o valor da cota
inferior de cada módulo da torre, conforme Figura 4.3 (onde está exemplificada uma torre
com 5 seções), temos:
Mak = ( )∑=
−k
ikii hihaFa
1
(4.17)
e
Mk = Fak.(hak – hik) (4.18)
Sendo Mk um momento de tombamento produzido somente pela força de arrasto de cada
módulo k. Este valor é utilizado na decomposição da respectiva força, em uma parcela
atuando na parte superior Fais e outra na parte inferior Faii do respectivo módulo.
Sec 2
Sec 1
hi2h3
h2
h1
hi1
Ma2
Ma1
Ma3
Ma4
hi3h4
h5hi4
Sec 3
Sec 4
Sec 5hi5
Ma5
Fa1
Fa3sM2Fa2i
Fa2s Fa2
M1
F3
F2
F1
Fa1i
Fa1s
Fa4sM3Fa3iF4
Fa5s
M4Fa4iF5
M5Fa5i
Fb
Fa3
Fa4
Fa5
ha1
ha2
ha3
ha4
ha5
Figura 4.3 – Decomposição vertical para as forças de arrasto
47
Assim, fazendo o equilíbrio estático de momentos deste módulo, tem-se:
∑ =−−−⇒= 0).().(0)( iiiiiii hihaFahihsFahiM (4.19)
que nos fornece:
Fais = ii
iii
hihhihaFa
−− )(
(4.20)
e no plano horizontal inferior de cada módulo:
∑ =+⇒= iii FasFaiFaF 0 (4.21)
que fornecerá:
Faii = Fai - Fais (4.22)
possibilitando assim, a decomposição vertical das forças de arrasto.
Finalmente, a força no topo de um módulo i será dada pela soma das parcelas correspondentes
à força superior do respectivo módulo Fais e a força no nível inferior do módulo posicionado
acima Fai-1i.
Fi = Fais + Fai-1i (4.23)
Após a determinação da força de arrasto no topo de cada módulo através da decomposição
vertical do perfil contínuo conforme apresentado na equação (4.23), esta força será dividida
em quatro partes e cada uma destas parcelas será aplicada nos 4 nós da extremidade superior
do módulo conforme esquematizado na Figura 4.1.
É importante ressaltar que o coeficiente de arrasto Ca não é constante ao longo da torre, sendo
o seu valor calculado individualmente para cada um dos módulos em função do índice de área
exposto (φ) do respectivo módulo.
48
4.3 DETERMINAÇÃO DE FORÇAS ESTÁTICAS
A norma brasileira de vento apresenta o gráfico das Isopletas da velocidade básica do vento
V0 em todo o território nacional, com intervalos de 5 m/s. Portanto, na determinação de
esforços provenientes da ação do vento, deve-se primeiramente conhecer onde será instalada a
estrutura, possibilitando assim a determinação da velocidade básica do vento ao qual a
estrutura vai ser submetida.
Posteriormente, é definida a geometria para a estrutura (altura total, número de módulos,
pontos de ancoragem e inclinação de cabos e a quantidade e posições de dispositivos anti-
torção); as geometrias para os módulos, através da definição do número de seções por
módulo, posições e bitolas dos perfis (montantes, diagonais, etc) e as bitolas e pré-
tensionamentos dos cabos; e finalmente, o carregamento e os acessórios a considerar.
Assim, é possível a determinação das pressões causadas pelo vento ao longo da estrutura a
partir do perfil contínuo de vento e, portanto, o cálculo das forças de arrasto resultantes por
módulo da torre, determinando suas distribuições e pontos de aplicação. Obtém-se então as
cargas nodais e, finalmente, é possível analisar a estrutura através da obtenção de
deslocamentos, reações de apoio e ações de extremidade de membros.
No presente trabalho, a velocidade básica do vento foi considerada igual a 45 m/s, o fator
topográfico S1 igual a 1.0 que corresponde a um terreno plano ou levemente acidentado e o
fator estatístico S3 igual a 1.1 relativo às edificações cuja ruína total ou parcial podem afetar a
segurança ou a possibilidade de socorro a pessoas após uma tempestade destrutiva.
4.4 TEORIA ELÁSTICA DE DIMENSIONAMENTO
A Teoria Elástica de Dimensionamento considera o limite de escoamento como início de
ruptura do material e a segurança é garantida utilizando-se no cálculo tensões admissíveis
obtidas dividindo-se tensões limites dos materiais por coeficientes de segurança adequados.
Esta teoria é chamada elástica porque todos os cálculos se fazem dentro do regime elástico,
sendo caracterizada por quatro pontos:
49
• O estado limite de resistência é o início da plastificação da seção, no ponto de
maior tensão;
• O cálculo dos esforços solicitantes é feito em regime elástico, não sendo
considerada a redistribuição de esforços causados pela plastificação de uma ou
mais seções na estrutura;
• As cargas atuantes são consideradas com seus valores reais sem majoração (cargas
em serviço);
• A margem de segurança da estrutura fica embutida na tensão admissível adotada
para cada tipo de solicitação.
O dimensionamento de cada elemento estrutural é considerado satisfatório quando a tensão
solicitante causada por cargas em serviço é inferior à tensão admissível obtida dividindo-se a
tensão limite do material para um determinado tipo de solicitação pelo coeficiente de
segurança adequado, conforme equação (4.24):
FSadmsoliclimσ
σσ =< (4.24)
Esta tensão limite que aparece na equação acima representa um limite de desempenho do
elemento estrutural para uma determinada solicitação. Por exemplo, a tensão admissível no
caso de peças tracionadas será o menor valor entre: 0.60.Fy (escoamento da seção bruta, FS =
1/0.6 = 1.667) e 0.5.Fu (ruptura da seção líquida, FS = 1/0.5 = 2.0), sendo Fy e Fu as tensões
de escoamento e última do material.
Embora a Teoria Plástica de Dimensionamento (Estado Limite Último) seja mais utilizada na
prática, neste trabalho foi adotado o critério das tensões admissíveis porque um dos modelos
matemáticos utilizados na análise estática é baseado em uma formulação não linear que
permite grandes deslocamentos e deformações. O motivo para tal escolha é devido ao fato
que ao se multiplicar o carregamento “P” por um certo número (fator de majoração de
carregamento), o novo ponto de equilíbrio pode estar muito longe do ponto de equilíbrio
obtido com as cargas em serviço, podendo inclusive mudar de sinal, por exemplo, de tração
para compressão ou vice-versa. Portanto a idéia de multiplicar o carregamento, só pode estar
associada implicitamente, com a análise linear de estruturas, onde multiplicando-se o
carregamento por um certo número, os esforços são multiplicados por esse mesmo número.
50
4.5 DIMENSIONAMENTO DOS PERFIS
O dimensionamento dos perfis (cantoneiras simples) que compõem o mastro central da torre
baseou-se no critério das tensões admissíveis conforme norma do AISC: Manual of Steel
Construction - Allowable Stress Design (1989).
Como é próprio do modelo de treliça espacial, onde cada nó possui apenas três graus de
liberdade, sendo estes as translações em relação aos eixos ortogonais, na fase da resolução da
estrutura submetida à carregamentos nodais, surgem apenas esforços axiais no elemento. Se
forem consideradas as cargas de peso próprio distribuídas primeiro nos elementos antes de
transferidas aos nós, aparecerão esforços cisalhantes e momentos fletores nas barras, sendo
interessante verificá-las quando possuírem grandes comprimentos.
Considerando apenas os esforços axiais que são predominantes nas barras de torres, o critério
das tensões admissíveis recomenda que no dimensionamento à tração, seja verificada uma
peça quanto à ruptura da seção líquida que pode ocasionar o colapso da peça e quanto ao
escoamento da seção bruta que pode implicar em deformações exageradas, conforme
equações (4.25) e (4.26) respectivamente:
nut
adm AFF 50.01 = (4.25)
gyt
adm AFF 60.02 = (4.26)
sendo:
uF : tensão última do material;
yF : tensão de escoamento do material;
nA : área líquida da seção transversal (descontando-se as áreas de furos);
gA : área bruta da seção transversal.
O esforço resistente à tração admissível é considerado como sendo o menor dos dois valores
obtidos através das equações (4.25) e (4.26). No presente trabalho considerou-se a área
líquida como sendo igual à 75% da área bruta, ou seja, 25% para furos de parafusos.
51
Nas peças tracionadas, o índice de esbeltez, que é definido como sendo a relação entre o
comprimento da peça e o raio de giração da seção transversal, não tem importância
fundamental, uma vez que o esforço tende a retificar as hastes. As normas porém fixam
limites superiores para estes índices, visando reduzir efeitos vibratórios provocados por
impactos, ventos, etc. Segundo o critério das tensões admissíveis apresentado na norma do
AISC comentada acima, o índice de esbeltez em peças tracionadas não deve ultrapassar 300.
No caso de peças submetidas à esforços de compressão, o critério das tensões admissíveis
determina que a capacidade resistente à compressão seja definida por:
No caso de cCrKl ≤/ :
( )
3
3
2
2
2
8//
83
35
2)/(1
cc
gyc
adm
CrKl
CrKl
AFC
rKlQF
−
+
−
= (4.27)
No caso de cCrKl >/ :
2
2
)/(23.12rKlAE
F gadm
π= (4.28)
Sendo:
Kl/r : índice de esbeltez máximo da peça;
E : módulo de elasticidade do material;
yF : tensão de escoamento do material;
gA : área bruta da seção transversal;
Q : fator de redução para levar em conta a flambagem local da peça;
Cc : índice de esbeltez limite entre flambagem elástica e inelástica.
y
c FQEC
.2 2π= (4.29)
52
O fator de redução “Q” para levar em conta a flambagem local da peça será igual a 1 no caso
de cantoneiras simples que atendam a seguinte relação:
yFtb /76/ ≤ (4.30)
sendo:
b : comprimento total da aba na cantoneira;
t : espessura da cantoneira;
yF : tensão de escoamento do material em ksi.
No caso específico deste trabalho foi empregado o aço ASTM A36 com tensão de escoamento
igual a 36 ksi e todos os perfis utilizados atendem a relação apresentada na equação (4.30).
Portanto o fator de redução “Q” pode ser considerado igual a 1.
Ao contrário dos esforços de tração, os esforços de compressão tendem a aumentar os efeitos
de curvaturas iniciais e numa situação extrema, podem levar à perda da estabilidade.
Consequentemente, as normas fixam limites superiores para o índice de esbeltez com a
finalidade de evitar a grande flexibilidade das peças excessivamente esbeltas. No caso
específico da norma do AISC, este limite é fixado em 200.
Porém, no presente trabalho, foram adotados os limites de índice de esbeltez recomendados na
norma canadense de torres CSA-S37 (1994), cujos valores são apresentados abaixo:
a) Peças Comprimidas:
• Montantes: 120;
• Demais peças principais (horizontais, diagonais e travamentos): 200;
• Peças secundárias: 240.
b) Peças Tracionadas: 300.
Os índices de esbeltez das peças neste trabalho foram calculados utilizando-se a fórmula
(4.31) conforme recomendação da própria norma canadense de torres CSA-S37 (1994):
mínr
KL=λ (4.31)
53
sendo:
K = 1.0 : parâmetro que define o comprimento efetivo de flambagem;
L : comprimento do membro conforme Figura 4.4;
rmín : raio de giração mínimo da peça.
Figura 4.4 – Comprimento dos elementos para cálculo do índice de esbeltez
4.6 DIMENSIONAMENTO DOS CABOS
O dimensionamento dos cabos ou estais que compõem a torre foi feito conforme a norma
americana para cabos estruturais: ASCE 19-96 – Structural Applications of Steel Cables for
Buildings. Segundo esta norma, as tensões nos cabos devem ser verificadas para as seguintes
combinações de cargas:
2.2T1 (4.32)
2.0T2 (4.33)
sendo:
T1 : tensão nos cabos devido a cargas permanentes e pré-tensionamento dos cabos;
T2 : tensão nos cabos devido a cargas permanentes, pré-tensionamento dos cabos e
cargas de vento.
A capacidade resistente dos cabos é determinada pelo menor dos dois valores calculados pela
equação (4.34) apresentada à seguir:
Sd = Sn.φf ou Sd = Sn.φd (4.34)
54
sendo:
Sd : capacidade resistente do cabo;
Sn : capacidade resistente nominal do cabo (conforme informado pelo fabricante);
φf : fator de redução devido ao tipo de terminação do cabo;
φd : fator de redução devido à utilização de defletores.
Segundo a norma ASCE 19-96, o coeficiente φd deve ser considerado igual a 1.0 no caso de
não existirem defletores. Os defletores são peças metálicas encaixadas nos cabos e utilizadas
para fazer uma mudança na direção do cabo, sendo também conhecidos como selas. No caso
de torres metálicas estaiadas, os cabos não sofrem nenhuma mudança de direção ao longo de
seu comprimento e portanto não são utilizados defletores. Consequentemente, a capacidade
resistente dos cabos em torres metálicas estaiadas depende apenas do tipo de terminação
utilizado no cabo.
A terminação do cabo é um dispositivo fixado à extremidade do mesmo, utilizado para
transferir a tensão do cabo para os seus pontos de ancoragem. Os fatores de redução da
resistência devido ao tipo de terminação (φf) são apresentados para alguns tipos de terminação
mais usuais na Tabela 4.1:
Tabela 4.1 – Fatores de redução φf
φφφφf1,00
Soquete Forjado (swaged socket) 1,00Soquete de Cunha (wedge socket) 0,75
0,80
Tipo de Terminação do CaboSoquete Corrido (poured socket)
Grampos (clips)
O dimensionamento de cabos estruturais apresentado na norma ASCE 19-96 não pode ser
enquadrado como Critério das Tensões Admissíveis nem como Estado Limite Último. Os
fatores aplicados à tensões nos cabos podem ser considerados como fatores de segurança em
relação a capacidade resistente dos cabos e de certa forma eles são análogos ao fator de
majoração da carga (γf) e o fator de minoração da resistência (φ) encontrados no
dimensionamento através do Estado Limite Último. Entretanto, devido ao fato da curva
tensão-deformação de cabos não apresentar um patamar de escoamento como as de aços
estruturais, os fatores de majoração de esforços e minoração da resistência estão relacionados
com a capacidade resistente (muito próximo da resistência última) do cabo em contraste ao
Estado Limite Último no qual eles estão relacionados com a tensão de escoamento.
55
5 - ANÁLISE DINÂMICA DO VENTO – MÉTODO DE MONTE CARLO
5.1 HISTÓRICO DO ESTUDO DOS EFEITOS DINÂMICOS DO VENTO:
Vários métodos foram desenvolvidos anteriormente ao Método de Monte Carlo, aplicado
neste trabalho, na tentativa de analisar estruturas submetidas a carregamentos induzidos pelo
vento. Um dos primeiros métodos desenvolvidos para determinar os efeitos dinâmicos dos
carregamentos de vento foi apresentado por Rausch (1933), sendo incorporado à norma alemã
da época (década de 1930). Posteriormente, foi apresentado um método probabilístico por
Davenport (1963), onde inclusive se baseou o método proposto pela norma brasileira de
ventos NBR 6123 (1988).
Rausch propôs um gráfico representativo da variação da pressão dinâmica do vento ao longo
do tempo, baseado nos poucos registros de rajadas de vento existentes na época. Conforme
Rausch, quando surge uma rajada de vento, a pressão dinâmica média cresce subitamente,
permanece constante num pequeno intervalo de tempo e volta, em seguida, ao valor médio
inicial, o que ocorrerá também com outras rajadas ao longo do tempo. Rausch afirma que o
vento não pode ser considerado como originando uma força periódica capaz de causar
ressonância, tratando-se porém, de uma série de cargas e descargas, com valores e durações
variáveis, separadas por intervalos de tempo desiguais.
Rausch estuda primeiramente os efeitos de uma única rajada, baseando-se no caso
fundamental de vibração harmônica do sistema massa-mola-amortecedor, onde constata-se
que quanto mais rígida for uma estrutura, menor será o efeito dinâmico causado por uma
rajada. Posteriormente, são estudadas as incidências de outras rajadas e a forma de
superposição dos efeitos destas, considerando-se rajadas senoidais sucessivas. Nessa época, o
problema de vibrações excessivas causadas pelo vento por várias rajadas era abordado num
regime supostamente periódico, pensando somente num fenômeno determinístico e não
aleatório.
Na década de 60, Davenport (1963) introduziu na engenharia estrutural um método
probabilístico, baseado nos conceitos de admitância mecânica e espectro de energia, já
utilizados na engenharia mecânica, elétrica e de comunicações.
56
Davenport estudou os turbilhões que produzem cargas para uma determinada freqüência,
partindo de três hipóteses para chegar à resposta da estrutura: 1- a estrutura é elástica e a
resposta pode ser expressa conforme a equação de equilíbrio dinâmico; 2- a força média é a
mesma para escoamento turbulento e suave com mesma velocidade média; 3- flutuações na
velocidade e na força estão ligadas por uma transformação linear. Havendo uma relação linear
entre velocidade, força e resposta, e sendo gaussiana a distribuição de velocidades, segue que
também as distribuições da força e da resposta serão gaussianas e os espectros de resposta
poderão ser obtidos por meio de duas funções de admitância, que são funções que relacionam
as dimensões da construção e a dos turbilhões incidentes (admitância aerodinâmica) e a razão
entre a resposta permanente e a excitação (admitância mecânica).
Mais recentemente, outros autores também têm se dedicado ao estudo dos carregamentos
induzidos pelo vento. Por exemplo: Simiu (1974) propõe expressões para a variação do
espectro de vento com a altura; Solari (1982) estudou a resposta na direção do vento para
forças induzidas pela turbulência atmosférica; Ahmad et al (1984) estudaram analítica e
experimentalmente torres autoportantes de aço e de concreto por meio de ensaios em túnel de
vento; Solari (1986) propõe fórmulas para o espectro de potência a partir dos estudos de
turbulência atmosférica; Reed (1987) estudou vários parâmetros envolvidos nos projetos
relativos aos efeitos do vento; Solari (1988) estudou as flutuações de velocidade estimando as
respostas dinâmicas das estruturas na direção do vento através da técnica do espectro de
resposta; etc.
A norma brasileira, ainda que baseada no processo de Davenport, difere dele na determinação
dos parâmetros que definem a ação estática do vento, além de destacar que a vibração da
estrutura, em seus modos naturais, dá-se em torno da posição deformada definida pelas
pressões causadas pela componente estática do vento (velocidade média). Admitem-se as
seguintes hipóteses fundamentais: 1) as componentes da velocidade do vento são processos
estacionários com média zero; 2) na determinação da resposta estrutural na direção da
velocidade média do vento, só é considerada a influência da componente flutuante nesta
direção; 3) a estrutura é discretizada em várias partes sendo que, em um dado instante, a ação
total do vento, na direção da velocidade média em cada parte é composta de duas parcelas de
ações: uma média e uma flutuante. Maiores detalhes podem ser vistos em Blessmann (1998).
57
Situações como a presença de obstáculos naturais de grande porte nas imediações à barlavento
de uma estrutura influenciando o espectro de energia de rajadas incidentes, ou ainda a indução
de perturbações importantes no escoamento causadas pelas dimensões e/ou formas da
edificação, podem requerer uma avaliação mais precisa o que pode ser conseguido em um
ensaio no túnel de vento. Neste caso, o modelo deve ser representativo quanto às suas
características geométricas, estruturais, condições de relevo e ser submetido a um escoamento
semelhante à situação real.
5.2 MÉTODO DE MONTE CARLO
5.2.1 Resumo do Processo
O método de Monte Carlo está relacionado com o ramo da matemática que diz respeito aos
experimentos com números aleatórios. A simulação do fenômeno de interesse é obtida
submetendo seqüências de números aleatórios disponíveis a transformações apropriadas. As
novas seqüências assim determinadas podem ser vistas como dados, isto é, como amostras do
processo aleatório as quais são representativas das propriedades estatísticas do fenômeno
envolvido.
Esta técnica foi utilizada por Franco (1993) e Guimarães (2000) e consiste basicamente na
simulação computacional das pressões flutuantes do vento que atuam em uma determinada
estrutura.
Partindo de um dado espectro do vento, a pressão flutuante é decomposta em m funções
harmônicas, sendo uma delas ressonante. Um modelo aproximado é proposto para representar
as correlações espaciais vertical e horizontal para as pressões flutuantes em função das
freqüências das rajadas utilizando-se o conceito de dimensão de rajada.
É gerado um número de registros em função do tempo pela variação aleatória dos ângulos de
fase das m funções. A análise estatística da resposta é realizada e a resposta característica,
correspondente a uma probabilidade de 95% de ocorrência, associada a uma coordenada
relevante é calculada.
58
Finalmente, a estrutura é excitada pela combinação aleatória das forças harmônicas cuja
resposta máxima é a mais próxima da resposta característica. Obtém-se assim, com boa
aproximação, os valores característicos para todos os deslocamentos e forças nos elementos.
A análise por simulação pelo método de Monte Carlo foi escolhida por se constituir em uma
ferramenta eficiente, como mostrou Franco em sua aplicação no projeto do edifício Centro
Empresarial Nações Unidas em São Paulo-SP (Marginal Pinheiros/Brooklin), além de
possibilitar o estudo de problemas não lineares, como os que ocorrem, por exemplo, em
estruturas muito flexíveis.
5.2.2 Vento Médio e Rajadas
O Espectro de Potência, também chamado de Densidade Espectral de Potência ou Densidade
Espectral de Variância, indica uma distribuição da energia nas diversas freqüências, ou ainda,
da densidade de energia contida num processo aleatório. A densidade espectral para uma
determinada freqüência “n” é designada por S(n) sendo que a integral S(n)dn no intervalo de
“-∞” a “+∞” é numericamente igual à variância 2σ :
∫+∞
∞−
= dnnS )(2σ (5.1)
A densidade espectral Si(n) numa direção “i” tem por unidade [velocidade2]/freqüência e um
gráfico com o aspecto da Figura 5.1 que mostra o já clássico espectro de potência da
componente longitudinal da velocidade do vento, que foi determinado a 100 metros de altura
por Van der Hoven, em Brookhaven (Long Island – USA) e apresenta duas regiões bem
distintas.
A primeira região, à esquerda, é a macrometeorológica, na qual os períodos das flutuações são
superiores a uma hora, possuindo um pico anual, um pico centrado em torno de quatro dias
que corresponde ao movimento dos grandes sistemas de pressão e um pico atenuado
correspondendo às variações diárias e semi-diárias. Já a segunda região, à direita, é a região
micrometeorológica, onde estão as variações correspondentes às rajadas de vento, sendo que
59
as mais importantes estão situadas entre dez minutos e um segundo, apresentando um pico
num período de aproximadamente um minuto.
Figura 5.1 – Espectro da velocidade longitudinal do vento (Van der Hoven)
Esta separação do espectro permite tratar o vento como sendo composto de duas partes: vento
médio na região macrometeorológica e rajadas na região micrometeorológica.
Entre estas duas regiões, estende-se uma zona de pouca energia centrada em cerca de meia
hora que permite a distinção nítida entre o vento médio e as rajadas. Esta região intermediária
de pouca energia, justifica a adoção de um intervalo de tempo que varia entre 10 minutos e 1
hora para a determinação da velocidade média usada para fins de projeto estrutural.
Entretanto, em alguns países, dentre os quais está o Brasil, as condições de leitura e registro
tornam mais conveniente adotar como referência, intervalos de tempo muito curtos (2 à 5
segundos). Nestes intervalos de 3 segundos são definidos os valores de pico da velocidade na
NBR 6123 (1988).
Partindo destes valores que são praticamente instantâneos, é possível determinar a velocidade
média avaliada em um intervalo de tempo de, por exemplo, 10 minutos, conforme o gráfico
da Figura 5.2. Assim, é possível obter-se uma razão entre a pressão de pico e a pressão média,
ou em outras palavras, calcular a porcentagem entre a pressão média e a pressão máxima
flutuante para o pico total de pressão. Nesses termos, a razão entre pressão média
(considerada quando t=10 minutos) e de pico (t=3 segundos) será dada por:
60
( ) 48,069,0)2/1()2/1( 2
2
3
6002
3
2600
23
2600
3
600 ==
===
VV
VV
VV
pp
ρρ (5.2)
significando que 48% da pressão total é constante e, portanto, 52% representam rajadas
(pressões flutuantes).
1.0 10.0 100.0 1000.0 10000.0t (s)
1.01.11.21.31.41.51.61.7
U3600
TU
Figura 5.2 – Equivalência entre vento horário e vento médio em t segundos
5.2.3 Espectro de Velocidades Flutuantes
Os primeiros autores que mediram espectros de potência de vento, não consideravam sua
dependência com a altura z. Várias expressões empíricas foram propostas para o espectro de
potência reduzido como uma função da freqüência e da velocidade média do vento Uo em
uma cota de 10 m em terreno aberto e plano. Citam-se algumas expressões propostas que
representam razoavelmente os dados experimentais disponíveis:
Davenport:
0
3/42
2
2*
1200;
)1(4
)(U
nxxx
unSn
=+
= (5.3)
Lumley and Panowsky:
0
3/52*
990;
14)(
Unx
xx
unnS =
+= (5.4)
61
Harris:
0
6/522*
1800;
)2(4)(
Unx
xx
unnS =
+= (5.5)
Posteriormente, outros autores verificaram que o espectro de velocidades depende da altura z.
Kaimal et al (1972), propuseram a seguinte expressão:
ZUznf
ff
unznS =
+= ;
)501(200),(
3/52*
(5.6)
Comparando a expressão de Kaimal com a de Davenport para vários valores de z, pode ser
visto que na faixa de freqüência acima de 0,1 Hz, onde se situa a freqüência natural das
edificações usualmente encontradas, a expressão de Davenport produz maiores valores
espectrais que a de Kaimal para alturas até a ordem de 100 metros. Com o propósito de
simplificar e trabalhar a favor da segurança, foi adotado o espectro proposto pelo National
Building Code of Canada (1985), que consiste na expressão de Davenport ligeiramente
modificada. Assim adota-se a seguinte expressão para o espectro de potência:
0
3/42
2
2*
1220;
)1(4)(
Unx
xx
unnS =
+= (5.7)
A potência elementar dW, conforme esquematizada na Figura 5.3, associada com um
intervalo elementar de freqüência dn é dada por:
dnnzSdW ),(= (5.8)
Quando da utilização de uma escala logarítmica, é mais conveniente trabalhar com o espectro
reduzido Sr(z,n), sendo *u a chamada velocidade de fricção (função da rugosidade do
terreno):
2*
2*
1),()(ln),(
udWdn
nunzSnndnzSr == (5.9)
62
S(z,n) Sr(z,n)
dW
dn d(ln(n))ln(n)
dW/(u*)2
n
Figura 5.3 - Espectro de vento e espectro reduzido
5.2.4 Espectro de Pressões Flutuantes
A hipótese usual, também adotada por Davenport (1963) e Simiu (1974), válida para baixa
intensidade de turbulência, admite que o espectro de pressões flutuantes ),(' nzS p pode ser
escrito em função do espectro de velocidades:
),()(),( 2' nzSUcnzS zarp ρ= (5.10)
sendo ρ a densidade do ar, arc o coeficiente aerodinâmico no ponto considerado e Uz a
velocidade média na altura z.
Consequentemente pode-se dizer com suficiente precisão que:
2' )()];,([),( zp cUPnzSPnzS ρ== (5.11)
significando que em todos os pontos da estrutura, o espectro de pressões flutuantes ),(' nzS p
pode ser considerado como sendo proporcional ao espectro de velocidades ),( nzS .
63
5.2.5 Decomposição da Pressão Flutuante
Segundo hipóteses adotadas no método de simulação de Monte Carlo, a pressão flutuante p’(t)
em todos os pontos da estrutura corresponde a 52% da pressão total, constituindo um processo
aleatório, estacionário, ergódico e gaussiano com média zero, podendo ser representado
através de uma integral de Fourier:
∫+∞
∞−
−= dnntnnCtp )](2cos[)()(' θπ (5.12)
com
)()()( 22 nBnAnC += (5.13)
)()(tan)( 1
nAnBn −=θ (5.14)
∫∞
∞−
= ntdttpnA π2cos)(')( (5.15)
∫∞
∞−
= ntdtsinnpnB π2)(')( (5.16)
Considerando que o processo seja ergódico, pode-se definir entre outros os seguintes
parâmetros estatísticos:
Valor Médio da Pressão Flutuante:
∫∞→=T
T dttpT
tp0
)('1lim)(' (5.17)
Valor Quadrado Médio da Pressão Flutuante:
[ ]∫∞→=T
T dttpT
tp0
22 )('1lim)(' (5.18)
Variância da Pressão Flutuante:
[ ]∫ −= ∞→
T
T dttptpT 0
22 )(')('1limσ (5.19)
64
Como o processo tem média zero, então:
0)(' =tp (5.20)
Consequentemente, a variância 2σ será igual ao valor quadrado médio )('2 tp :
[ ]∫ −= ∞→
T
T dttpT 0
22 0)('1limσ
[ ]∫ == ∞→
T
T tpdttpT 0
222 )(')('1limσ (5.21)
Ao invés de utilizar um número infinito de funções harmônicas para representar p’(t)
conforme a equação (5.12), pode-se representar p’(t) de forma aproximada por um número
finito de m funções harmônicas convenientemente escolhidas de forma que seus períodos se
distribuam uniformemente sobre o intervalo de tempo de interesse, que vai de 600 a 0.5
segundos ou menos.
Franco (1993) propõe o uso de no mínimo 11 funções harmônicas (m≥11) sendo o período de
uma delas coincidente com o período fundamental da estrutura e as outras terão períodos que
serão múltiplos e submúltiplos do período fundamental. Em escala logarítmica, isso resulta
em espaçamentos iguais entre as componentes, conforme pode ser visto na Figura 5.4:
S (n)
r = T /T
r
k k128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.1251234567891011 k
Res
sonâ
ncia
(m)
Figura 5.4 – Decomposição espectral da pressão flutuante
65
Portanto, a equação (5.12) pode ser representada de forma adequada por:
∑=
−≅m
KKKK tnCtp
1
)2cos(.)(' θπ (5.22)
ou mudando-se a notação:
∑=
−≅m
KK
KrK t
rTCtp
1)2cos(.)(' θπ (5.23)
rkkr −= 2 (5.24)
O valor quadrado médio de p’(t) mostrado na equação (5.21) definido em um intervalo de
tempo T suficientemente longo pode ser representado por:
[ ]∫+
−
=2/
2/
22 )('1)('T
T
dttpT
tp (5.25)
Substituindo-se a equação (5.22) na equação (5.25) obtém-se:
∫ ∑+
− =
−=
2/
2/
2
1
2 )2cos(.1)('T
T
m
KKKK dttnC
Ttp θπ
Lembrando que:
π
ω2
KKn = ⇒ KK nπω 2=
Então:
[ ]∫+
−
+−+−=2/
2/
2222111
2 ...)cos()cos(1)('T
T
dttCtCT
tp θωθω
[ ]∫+
−
+−+−−+−=2/
2/22
22222112111
221
2 ...)(cos)cos()cos(2)(cos1)('T
T
dttCttCCtCT
tp θωθωθωθω
66
Como a integral: ∫ = 0cos.cos btat para a ≠ b em um intervalo simétrico, a equação
anterior pode ser representada por:
[ ]∫+
−
+−+−=2/
2/22
22211
221
2 ...)(cos)(cos1)('T
T
dttCtCT
tp θωθω
Lembrando que:
2
)2cos(1).(cos2 tt ωω +=
Pode-se escrever:
∫+
−
+
−++
−+=
2/
2/
2222
1121
2 ...2
)2cos(12
)2cos(11)('T
T
dttCtCT
tp θωθω
( )
+
−+
=
+
−
+
−
...12sen41
211)('
2/
2/1
1
2/
2/
21
2T
T
T
T
ttCT
tp θωω
+
++
+= ...
221)(' 2
221
21
2 constTCconstTCT
tp
Lembrando que T é um intervalo suficientemente longo, a equação acima resulta em:
∑=
=++=m
K
KCCCtp
1
222
212
2...
22)(' (5.26)
Como o valor quadrado médio é igual a variância pode-se igualar as equações (5.26) e (5.1),
obtendo-se:
∫∑+∞
∞−=
= dnnSCm
K
K )(21
2
(5.27)
onde S(n) é a função de densidade espectral de p’(t) e S(n)dn representa a contribuição
elementar associada com o intervalo de freqüência dn.
67
Portanto:
∫=K
K dnnSC )(2 (5.28)
sendo os valores de Ck calculados por integração da função de densidade espectral de
potência sobre os m intervalos de freqüência escolhidos. Isto pode ser feito usando o espectro
natural S(n) e a escala de freqüência natural como na equação (5.28). Contudo o espectro
reduzido Sr(n) associado a uma escala logarítmica de freqüências produzirá os mesmos
resultados, a menos de uma constante.
As amplitudes das m funções harmônicas de p’(t) podem ser expressas pela equação:
''
1
' pcpC
Cp Km
KK
KK ==
∑=
(5.29)
Os ângulos de fase são indeterminados e as m funções harmônicas serão superpostas de
acordo com combinações aleatórias destes ângulos. A decomposição da pressão flutuante
conforme a formulação acima pode ser vista na Figura 5.5:
Vento Médio (48%) Rajadas (52%)
Ressonância
Figura 5.5 – Perfil de pressões do vento
68
5.2.6 Correlação Espacial de Velocidades e Pressões Flutuantes
Considere-se dois pontos 1 e 2 da superfície exposta da estrutura, com coordenadas verticais
z1 e z2 e coordenadas horizontais y1 e y2, a distância r entre eles será dada por:
212
212 )()( zzyyr −+−= (5.30)
sendo que quanto maior for o valor de r, menor será a correlação das flutuações de
velocidade entre os pontos 1 e 2. Uma medida dessa correlação é o coeficiente de correlação
cruzada de banda estreita Coh(r,nk), também chamado coeficiente de coerência, o qual é
função da freqüência nk da flutuação considerada e da distância r, cuja expressão é dada por:
−+−−=
0
212
2212
2 )()(exp),(
UyyCzzCn
nrCoh YZKK
(5.31)
Em aplicações práticas, Cz varia de 7 a 10 e Cy de 12 a 16, sendo recomendados os valores
Cz=7 e Cy=12. Em estruturas predominantemente verticais, como as torres, é suficiente
considerar apenas a correlação vertical, resultando deste modo (com z2-z1 = r =∆z):
∆−=∆
0
7exp),(
Unz
nzCoh kk (5.32)
onde pode ser observado que o coeficiente de correlação varia de 1 (∆z=0) a 0 (∆z→∞). Sua
representação gráfica (Figura 5.6) sugere o conceito de dimensão da rajada, ou dos turbilhões,
que significa uma dimensão de uma rajada perfeitamente correlacionada que induz o mesmo
efeito sobre a estrutura. Essa equivalência é obtida com boa aproximação equacionando as
resultantes das pressões p’, cujo coeficiente de correlação é:
∆−=
∆−=∆
0
2
0
14exp
7exp),)('(
Unz
Unz
nzpCoh kkk (5.33)
69
sendo a altura ∆z0k da rajada equivalente dada por:
k
kk n
Uzd
Unz
z7
)(14
exp2 0
000 =∆
∆−=∆ ∫
∞
(5.34)
Estas considerações mostram que a rajada de freqüência nk cujos coeficientes de correlação
são representados pela dupla curva exponencial como mostra a Figura 5.6, podem ser
aproximados pela rajada equivalente de altura ∆zok = Uo/7nk, ou como é utilizado no presente
trabalho, pela rajada definida por dois triângulos que implicam em uma correlação linear
decrescente de 1 a 0 em uma zona de comprimento total de 2∆zok = 2Uo/7nk. Portanto, quanto
menor for a freqüência da componente de pressão flutuante, maior será a altura da sua zona.
Figura 5.6 - Rajada equivalente (retangular e triangular)
Nas aplicações do conceito de rajada equivalente, seu centro de rajada deve ser definido
deterministicamente. Isto pode ser feito, a princípio, admitindo que as rajadas são
estacionárias e calculando para cada uma das m funções, a posição que maximiza a resposta
relevante na estrutura (deslocamento, velocidade, aceleração ou ações de extremidade). Na
prática contudo, é suficiente supor que todas as rajadas elementares têm o mesmo centro e
determinar a posição mais desfavorável do centro de rajada ressonante. Neste trabalho adota-
se o centro de rajadas como estando inicialmente entre 75% e 85% da altura da estrutura,
tomando posteriormente, a cota superior da seção onde este valor incide.
Uo/7
n kCentro deRajada
∆z
∆z
2Uo/7
n k
1
70
As pressões flutuantes obtidas conforme a Figura 5.5 devem ser multiplicadas pelo coeficiente
de decaimento linear da rajada conforme está esquematizado na Figura 5.7, cujo valor varia
de 1 a 0.
Centro deRajada
k =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
cdl =
Figura 5.7 – Coeficiente de decaimento linear da pressão flutuante (cdl)
5.2.7 Análise no Tempo e Resposta Característica
Até aqui, foi mostrado que no centro da rajada supostamente estacionária a pressão máxima é
a soma da componente constante P que corresponde ao vento médio e da componente
flutuante p’. Esta última pode ser decomposta em m funções cossenoidais de amplitudes (ck .
p’), onde a soma dos coeficientes ck é 1. Esta aproximação poderá ser aperfeiçoada pelo
aumento de m observando-se as seguintes condições: a) m ≥ 11; b) o período de uma das m
funções deve coincidir com o período fundamental da estrutura; c) os períodos das outras
funções devem ser múltiplos e submúltiplos do período fundamental.
Em pontos situados acima ou abaixo do centro de rajada as amplitudes das m funções
harmônicas decrescem linearmente e eventualmente desaparecem. A natureza aleatória do
processo fica caracterizada pela combinação aleatória dos ângulos de fase o que determinará a
71
defasagem entre as m funções harmônicas ocorrendo simultaneamente. Consequentemente, a
força devida à pressão flutuante em um determinado ponto será dado por:
( )( )∑=
−=m
KKKKpfa tccdlPFtp
1
cos....)(' θω (5.35)
sendo:
aF : força de arrasto determinada na análise estática;
pfP : porcentagem da parcela flutuante (0.52);
cdl : coeficiente de decaimento linear no ponto (0 ≤ cdl ≤1).
É agora possível excitar a estrutura simultaneamente pelas m funções com ângulos de fase
aleatórios. Para cada combinação de valores de θk haverá uma análise no tempo
correspondente à duração da rajada que se supõe ser da ordem de 400 a 600 segundos. O valor
máximo da coordenada generalizada relevante (que no caso do presente trabalho será o
deslocamento do topo da estrutura na direção do vento) será determinado em cada caso. O
valor característico da resposta associada com esta coordenada será avaliado por meio de uma
análise estatística assumindo a distribuição de extremos do Tipo I (Gumbel) com 5% de
possibilidade de ser superada. Neste trabalho foram realizadas 20 análises no domínio do
tempo.
Finalmente é necessário encontrar os valores característicos da resposta relevante. Para este
propósito, é suficiente escolher entre as combinações de carga aleatórias aquela cuja resposta
é a mais próxima da resposta característica encontrada na análise estatística. Excitando a
estrutura com este carregamento característico, encontram-se os valores característicos de
resposta para toda a estrutura completando-se a análise dinâmica com excelente precisão.
5.3 ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXTREMOS
Uma vez obtidos os resultados para a análise dinâmica no domínio do tempo para cada bloco
de números aleatórios, correspondentes aos ângulos de fase das rajadas, necessita-se
determinar um valor que corresponderá a um determinado índice de probabilidade de
ocorrência, sendo este índice de 95%, o qual limita em apenas 5% a probabilidade deste valor
72
ser superado. Neste trabalho utilizou-se a distribuição de Gumbel, que segue aqui
devidamente ordenada, onde p corresponde ao índice 0.95.
Na distribuição de extremos de Gumbel, também denominada de Tipo I (máximos), admite-se
uma curva exponencial dupla para a distribuição de probabilidades, de onde vem a expressão:
))pln(ln(−−=w (5.36)
Esta distribuição é caracterizada pela medida de dispersão α~ e pela moda x , sendo γ, µ e σ
respectivamente a constante de Euler, a média e o desvio padrão. Assim:
6
~σπα = (5.37)
5772157,0;~ =−= γαγµx (5.38)
O valor característico desejado xc pode então ser encontrado, após definida uma probabilidade
p de ocorrência (0,95) pela seguinte equação:
α~wxxc += (5.39)
73
6 - PROGRAMAS COMPUTACIONAIS
Para fazer as análises estática, modal e dinâmica de torres metálicas estaiadas foram
desenvolvidos quatro programas computacionais em linguagem Pascal utilizando o
compilador Free-Pascal, além de usar um programa em linguagem Fortran desenvolvido por
Guimarães (2000) para o cálculo das forças provocadas por cada uma das funções harmônicas
que constituem a parcela flutuante do vento. Serão apresentados à seguir cada um destes
programas na forma de fluxogramas acompanhados de explicações referentes à cada um dos
blocos que os constituem.
6.1 PROGRAMA GTEQ
O programa GTEQ – Gerador de Torres Estaiadas Quadradas é responsável pela geração da
geometria de torres estaiadas com seção transversal quadrada, fornecendo automaticamente os
nós (joints), conectividades dos elementos, restrições, bitolas, tensionamentos nos elementos
de cabo, assim como propriedades mecânicas e parâmetros de vento em formato compatível
com o programa de análise estática (AETEQ). Este programa também gera um arquivo do
tipo “script” para visualização da estrutura no AutoCad. A Figura 6.1 apresenta o fluxograma
referente ao programa GTEQ:
ENTRADA DE DADOS
GERAÇÃO DE NÓS
GERAÇÃO DE ELEMENTOS
BITOLAS
TENSIONAMENTO DOS CABOS
IMPRESSÃO
INÍCIO
FIM
Figura 6.1 – Fluxograma do programa GTEQ
74
ENTRADA DE DADOS: Neste bloco é feito a leitura do arquivo de entrada de dados e a
inicialização dos arquivos de saída de resultados do programa, preparando-se as variáveis para
o processo. Os dados de entrada lidos de um arquivo texto contém basicamente parâmetros
geométricos necessários para a geração da torre, tais como: número de nós, vão livre no topo
da torre e entre pontos de ancoragem de cabos, número de módulos e de seções, etc.
GERAÇÃO DE NÓS: Inicialmente, são gerados os nós pertencentes ao mastro da torre
partindo-se dos nós do topo e gerando-se os demais de cima para baixo e por seção. Logo
após, são gerados os nós dos dispositivos anti-torção, seguidos pelos nós das fundações
laterais de ancoragem de cabos. Nesta etapa também é feita a associação do cabo com os seus
pontos de ancoragem na torre e na fundação lateral seguindo as recomendações de ordem
prática comentadas no Capítulo 2.
GERAÇÃO DE ELEMENTOS: A geração de elementos é iniciada com as barras do mastro
da torre, de cima para baixo e por seção, na seguinte ordem: travamentos internos (somente
nas extremidades de módulo), horizontais, montantes e por último as diagonais. Terminado a
geração destes elementos é feita a geração das barras do dispositivo anti-torção e no final, são
gerados os elementos de cabo, lembrando que em pontos de ancoragem comuns são gerados
quatro cabos e nas ancoragens em dispositivos anti-torção geram-se oito elementos de cabo.
Neste programa, cada cabo é discretizado por um único elemento que vai do ponto de
ancoragem na torre ao ponto de ancoragem na fundação.
BITOLAS: Nesta etapa é sugerido um pré-dimensionamento das bitolas dos perfis e dos
cabos em função da altura da torre, do tipo de elemento e do módulo onde ele se encontra.
Este pré-dimensionamento é baseado em recomendações práticas e nos resultados obtidos nas
torres analisadas com o programa de análise estática (AETEQ). É importante ressaltar que em
uma mesma torre, todos os elementos de cabo tem a mesma bitola.
TENSIONAMENTO DOS CABOS: O tensionamento dos elementos de cabo, dado pelo
vetor c da Figura 3.1 é determinado de forma aproximada neste bloco em função das bitolas
sugeridas na etapa anterior, conforme a altura da torre e o ponto de ancoragem do cabo, de
modo a atender o critério da norma canadense de torres CSA S37-94, segundo o qual a força
de pré-tensionamento deve estar em torno de 10% da capacidade nominal do cabo. O
tensionamento final só será determinado de forma definitiva após a análise estática.
75
IMPRESSÃO: Neste bloco são gerados dois arquivos de saída, sendo o primeiro do tipo
“script” para a visualização gráfica da estrutura no AutoCad e o segundo do tipo “texto”
contendo as características geométricas da torre, propriedades mecânicas dos materiais e
alguns parâmetros de vento, já em formato compatível para ser utilizado como arquivo de
entrada de dados no programa de análise estática (AETEQ).
À partir do programa GTEQ, foi desenvolvido o programa GTEQM – Gerador de Torres
Estaiadas Quadradas Modificado que permite a discretização dos estais com mais de um
elemento por cabo. O fluxograma deste programa é semelhante ao do GTEQ, diferindo do
primeiro apenas pelo fato de serem gerados nós intermediários ao longo dos cabos e do cabo
ser discretizado por mais de um elemento, conforme uma variável denominada NEC que é
lida na entrada de dados e define o número de elementos no qual o cabo vai ser discretizado.
No programa GTEQM, o tensionamento do cabo deverá ser dado somente no elemento
situado na extremidade inferior do mesmo e mantido nulo nos demais elementos.
6.2 PROGRAMA AETEQ
O programa AETEQ – Análise Estática de Torres Estaiadas Quadradas permite a realização
de dois tipos de análise:
1 – Análise Estática sem Vento: utilizada para determinar as forças de pré-
tensionamento dos cabos, que devem ser de aproximadamente 10% da capacidade resistente
nominal do cabo, sendo admitido valores entre os limites de 8 e 15%, conforme a norma
canadense de torres CSA S37-94.
2 – Análise Estática com Vento: utilizada para determinar as tensões, deformações e
deslocamentos nos elementos de cabo ou barra que compõem a torre, quando a mesma é
submetida ao carregamento de vento proposto na NBR-6123.
Este programa permite a utilização de três modelos matemáticos distintos para discretizar os
elementos de cabo ou barra que compõem a torre: 1 – Modelo não linear de cabo e não linear
de treliça (Pulino, 1991); 2 – Modelo linear de cabo e linear de treliça (Pulino, 1998); ou 3 –
Modelo não linear de cabo (Pulino, 1991) e linear clássico de treliça (Gere e Weaver, 1987).
76
O programa determina a posição de equilíbrio estático da estrutura através da minimização da
Energia Potencial Total do sistema, utilizando um algoritmo do tipo Quasi-Newton e em
seguida verifica a capacidade resistente dos elementos de treliça conforme critério das
Tensões Admissíveis – AISC e dos elementos de cabo conforme a norma americana de cabos
estruturais do ASCE. O programa lê as propriedades geométricas e mecânicas dos elementos
de cabo e de treliça diretamente de um banco de dados de cabos (Cabo.aco) e de um banco de
dados de perfis (Perfil.aco). Por último, é feito a verificação da rotação limite da antena mais
alta conforme definido no procedimento Telebrás.
Em seguida, será apresentado o fluxograma do programa AETEQ na Figura 6.2,
acompanhado de explicações dos blocos que o compõem:
QUASI-NEWTON
VENTO (ANÁLISE 2)
PESO PRÓPRIO
PROGRAMA PRINCIPAL
SETUP
INÍCIO
ROTATION (ANÁLISE 2)
IMPRESSÃO
REACTION
CABLE DESIGN
TRUSS DESIGN
FIM
Figura 6.2 – Fluxograma do programa AETEQ
PROGRAMA PRINCIPAL: Neste bloco é feito a leitura dos nomes dos arquivos de entrada
de dados e de saída de resultados do programa, a escolha do tipo de análise estática à ser
realizado (1 – análise sem vento ou 2 – análise com vento) e o modelo matemático utilizado
na discretização da estrutura (1 – não linear de cabo e treliça, 2 – linear de cabo e treliça, ou 3
– não linear de cabo e linear clássico de treliça), conforme descrito anteriormente. Além disso,
preparam-se as variáveis para a leitura e processamento de dados.
77
SETUP: Inicialmente, é feito a leitura do banco de dados de cabos (Cabo.aco) e do banco de
dados de perfis (Perfil.aco), para a obtenção das propriedades geométricas e mecânicas dos
elementos utilizados na discretização da torre. Em seguida, abre-se o arquivo de entrada de
dados, gerado pelo programa GTEQ, que contém os dados necessários para a análise da
estrutura, tais como: número de nós e de elementos, coordenadas nodais, conectividades,
carregamentos nodais, parâmetros de vento, etc. Por último, é feito a reordenação dos graus
de liberdade da estrutura, começando com os graus de liberdade livres (1,2,...,n) seguidos
pelos restringidos (n+1,n+2,...,ndf), sendo n e ndf o número de graus de liberdade livres e o
número de graus de liberdade total da estrutura respectivamente.
PESO PRÓPRIO: O peso por unidade de comprimento de cada elemento lido do banco de
dados é multiplicado pelo comprimento do mesmo, obtendo-se o peso total do elemento e em
seguida este peso é dividido em duas partes iguais, sendo cada uma delas aplicada nos dois
nós de extremidade na direção vertical.
VENTO: Este bloco calcula a carga de vento por módulo da torre em função da classe do
trecho analisado (A, B, ou C), conforme recomendado na norma NBR- 6123 e depois
subdivide esta força em duas parcelas, sendo uma na extremidade superior e a outra na
extremidade inferior do módulo de acordo com o procedimento usado por Guimarães (2000).
No caso de análise estática sem vento, este bloco não será utilizado.
QUASI-NEWTON: As configurações de equilíbrio estático podem ser obtidas através de
técnicas de otimização (programação matemática), uma vez que essas configurações
representam pontos de mínimo local da função Energia Potencial Total. Neste programa, foi
utilizado um algoritmo do tipo Quasi-Newton, onde uma aproximação para a inversa da
matriz Hessiana é construída com base no comportamento da função Energia Potencial Total
e de seu gradiente, calculados conforme o modelo matemático (1, 2, ou 3) escolhido no
primeiro bloco.
TRUSS DESIGN: Calcula os máximos esforços de tração e de compressão por site e em
seguida determina as capacidades resistentes à tração e compressão por site com base no
critério das Tensões Admissíveis – AISC, além de verificar os índices de esbeltez limites
propostos na norma canadense de torres CSA S37-94.
78
CABLE DESIGN: Calcula os máximos esforços atuantes nos elementos de cabo por site,
sendo o site definido como o conjunto de cabos com mesma altura de ancoragem ao longo do
mastro da torre. Uma vez determinados estes esforços máximos, os mesmos são multiplicados
pelos fatores de segurança (2.0 ou 2.2), conforme se trate de análise com ou sem vento
respectivamente e em seguida comparam-se estes valores com a capacidade resistente por site,
calculada conforme a norma americana de cabos estruturais ASCE 19-96.
ROTATION: A deflexão vertical da antena mais alta é calculada e em seguida comparada
com os limites propostos no procedimento Telebrás para torres das classes TEB e TEC. Neste
bloco é admitido que a antena mais alta se encontra sempre na extremidade superior da
terceira seção à partir do topo da estrutura. No caso de análise estática sem vento este bloco
não será utilizado.
REACTION: Calcula as reações de apoio no mastro central da torre e nas fundações laterais
de ancoragem de cabos. É importante ressaltar que, ao se utilizar uma formulação matemática
via energia de deformação dos elementos que constituem a estrutura, a reação de apoio para
um nó com grau de liberdade restringido em uma determinada direção no espaço
corresponderá ao valor do gradiente da Energia Potencial Total nesta direção.
IMPRESSÃO: Neste bloco são impressos dois arquivos de saída de dados. O primeiro com o
nome “desloc.dat”, contendo somente os deslocamentos nodais da estrutura, já em formato
compatível para ser utilizado nos programas de análise modal (FMVTEQ) e dinâmica
(ADTEQ). O segundo arquivo corresponde ao memorial de cálculo da estrutura, onde são
apresentados os resultados mais importantes da análise estática como: deslocamentos nodais,
coordenadas da estrutura deformada, tensões e deformações nos elementos de cabo e de
treliça, cargas nodais decorrentes da atuação do vento, esforços de compressão e de tração
máximos e capacidade resistente nos elementos de treliça por site e os esforços máximos e
capacidade resistente em elementos de cabo por site, reações de apoio e verificação da rotação
da antena mais alta conforme procedimento Telebrás.
O programa de análise estática AETEQ trabalha com eixos ortogonais X, Y e Z pré-definidos,
de modo que o eixo Y será sempre o eixo vertical da estrutura enquanto os eixos X e Z
definem o plano horizontal no qual se situam as barras horizontais e de travamento interno. O
vento é definido como sendo frontal e atuando sempre na direção positiva de Z.
79
6.3 PROGRAMA FMVTEQ
O programa FMVTEQ – Freqüências e Modos de Vibração de Torres Estaiadas Quadradas é
utilizado para calcular os autovalores e os autovetores da estrutura e com isso possibilitar a
determinação das freqüências naturais de vibração de torres estaiadas, assim como os modos
de vibração associados a cada uma destas freqüências. O cálculo é desenvolvido para um
estado de pequenas oscilações em torno de uma configuração de equilíbrio estático estável da
estrutura.
No programa é utilizado o modelo não linear de cabo e não linear de treliça (Pulino, 1991), no
qual a segunda derivada da função Energia Potencial Total é descrita pela matriz Hessiana.
As propriedades geométricas e mecânicas dos elementos de cabo e de treliça são obtidas
diretamente de um banco de dados de cabos (Cabo.aco) e de um banco de dados de perfis
(Perfil.aco). O problema de autovalores e autovetores é resolvido utilizando-se um algoritmo
do tipo Jacobi Generalizado.
No final do programa é calculada a matriz de amortecimento da estrutura que será impressa
no arquivo “mdamp.tmp” para ser utilizada posteriormente no programa de análise dinâmica
(ADTEQ). À seguir, será apresentado o fluxograma do programa FMVTEQ na Figura 6.3,
acompanhado de explicações dos blocos que o compõem.
JACOBI
MONTAGEM
PROGRAMA PRINCIPAL
ENTRADA DE DADOS
INÍCIO
IMPRESSÃO
AMORTECIMENTO
ORDENAÇÃO
NORMALIZAÇÃO
FIM
Figura 6.3 – Fluxograma do programa FMVTEQ
80
PROGRAMA PRINCIPAL: Neste bloco é feito a leitura dos nomes dos arquivos de entrada
de dados e de saída de resultados e a inicialização dos mesmos, preparando-se as variáveis
para a leitura e processamento de dados.
ENTRADA DE DADOS: Inicialmente, é feito a leitura do banco de dados de cabos
(Cabo.aco) e do banco de dados de perfis (Perfil.aco), para a obtenção das propriedades
geométricas e mecânicas dos elementos utilizados na discretização da torre. Em seguida,
abre-se o arquivo de entrada de dados contendo informações necessárias para a análise da
estrutura, tais como: número de nós e de elementos, coordenadas nodais, conectividades,
restrições, etc. Por último, é feito a reordenação dos graus de liberdade da estrutura,
começando com os graus de liberdade livres (1,2,...,n) seguidos pelos restringidos
(n+1,n+2,...,ndf), sendo n e ndf o número de graus de liberdade livres e o número de graus de
liberdade total da estrutura respectivamente. Neste mesmo bloco também é feito a leitura do
arquivo gerado pelo programa de análise estática (AETEQ), contendo os deslocamentos
nodais da estrutura.
MONTAGEM: Montam-se as matrizes de massa consistente conforme a equação (3.122) e
hessiana conforme a equação (3.82) para cada um dos elementos de cabo ou treliça que
compõem a torre. Uma vez determinadas estas matrizes, as matrizes de massa consistente e
hessiana da estrutura são obtidas simplesmente adicionando os coeficientes das matrizes do
elemento nos locais apropriados nas respectivas matrizes da estrutura.
JACOBI: Este bloco utiliza o método de Jacobi Generalizado para a determinação dos
autovalores e os autovetores do sistema, no qual a matriz de transformação é determinada de
modo a zerar simultaneamente os elementos situados fora das diagonais principais nas
matrizes de massa e hessiana da estrutura. Vale lembrar que as matrizes hessiana e de massa
do sistema são simétricas e positivas definidas e, portanto, neste procedimento são usados
apenas os elementos situados na diagonal principal e os acima da diagonal principal. Este
algoritmo é baseado no procedimento proposto por Bathe e Wilson (1976).
NORMALIZAÇÃO: Os autovetores do sistema são normalizados conforme a equação
(3.109), de modo que a matriz de massa modal Mn tenha um valor unitário e facilite os
cálculos utilizados na determinação da matriz da amortecimento do sistema.
81
ORDENAÇÃO: Neste bloco é feito a ordenação dos autovalores em ordem crescente e o
cálculo das freqüências circulares da estrutura (rad/seg), à partir dos autovalores, lembrando
que estas freqüências correspondem à raiz quadrada do autovalor.
IMPRESSÃO: Gera um arquivo de saída de dados contendo as freqüências circulares
(rad/seg), as freqüências naturais (Hz), os períodos (seg) e os modos de vibração das torres
metálicas estaiadas analisadas.
AMORTECIMENTO: Calcula a matriz de amortecimento do sistema conforme a equação
(3.120) e imprime a mesma no arquivo “mdamp.tmp” para ser utilizada no programa de
análise dinâmica (ADTEQ). É importante ressaltar que esta matriz não é usada por nenhum
bloco deste programa.
6.4 PROGRAMA ADTEQ
O programa ADTEQ – Análise Dinâmica de Torres Estaiadas Quadradas faz a análise
dinâmica do vento atuante em torres metálicas estaiadas com seção transversal quadrada,
através do método de Monte Carlo, sendo a parcela estática do vento determinada
previamente pelo programa de análise estática (AETEQ) e as parcelas flutuantes do vento
obtidas com o programa "RAJADA", desenvolvido por Guimarães (2000). Neste programa,
a equação de movimento é integrada explicitamente ao longo do tempo utilizando o método
proposto por Newmark (1959), admitindo-se aceleração constante no intervalo de tempo
analisado (∆t), igual a média entre a aceleração no tempo inicial e no tempo final.
O programa RAJADA calcula apenas as amplitudes das forças decorrentes das parcelas
flutuantes do vento, sendo as suas variações ao longo do tempo determinadas no próprio
programa ADTEQ, em função dos ângulos de defasagem e das freqüências circulares de cada
uma das funções harmônicas que compõem as rajadas.
Neste programa, foi utilizado o modelo matemático não linear de cabo e não linear de treliça
(Pulino, 1991) na discretização dos elementos que compõem a estrutura. Em seguida será
apresentado o fluxograma do programa ADTEQ na Figura 6.4 e explicações referentes aos
blocos que o compõem:
82
DECOMPOSIÇÃO
AMORTECIMENTO
PESO PRÓPRIO
PROGRAMA PRINCIPAL
SETUP
INÍCIO
CABLEMAXCARGA
IMPRESSÃO
TRUSSMAXCARGA
NEWMARK
FIM
Figura 6.4 – Fluxograma do programa ADTEQ
PROGRAMA PRINCIPAL: Neste bloco é feito a leitura dos nomes dos arquivos de entrada
de dados e de saída de resultados e a inicialização dos mesmos, preparando-se as variáveis
para a leitura e processamento de dados.
SETUP: Faz a leitura do banco de dados de cabos (Cabo.aco) e do banco de dados de perfis
(Perfil.aco), para a obtenção das propriedades geométricas e mecânicas dos elementos
utilizados na discretização da torre. Em seguida, são feitas as leituras do arquivo de entrada
de dados e do arquivo contendo os deslocamentos nodais da estrutura, sendo este último
gerado pelo programa de análise estática (AETEQ). Posteriormente, é feito a reordenação dos
graus de liberdade da estrutura, começando com os graus de liberdade livres (1,2,...,n)
seguidos pelos restringidos (n+1,n+2,...,ndf), sendo n e ndf o número de graus de liberdade
livres e o número de graus de liberdade total da estrutura respectivamente. Neste bloco
também é feito o cálculo da matriz de massa do sistema da mesma maneira descrita no
programa FMVTEQ.
PESO PRÓPRIO: O peso por unidade de comprimento de cada elemento lido do banco de
dados é multiplicado pelo comprimento do mesmo, obtendo-se o peso total do elemento e em
seguida este peso é dividido em duas partes iguais, sendo cada uma delas aplicada nos dois
nós de extremidade na direção vertical.
83
AMORTECIMENTO: Neste bloco é feito a leitura do arquivo contendo a matriz de
amortecimento do sistema, gerado pelo programa de análise modal (FMVTEQ).
DECOMPOSIÇÃO: A Matriz de massa da estrutura é decomposta na forma M = L * U, para
ser utilizada no cálculo das acelerações nodais, sendo L uma matriz triangular inferior e U
uma matriz triangular superior. Nesta etapa, ainda é feito a verificação se a matriz de massa é
positiva definida. Em caso negativo, o programa imprime na tela do computador uma
mensagem mostrando que a matriz não é positiva definida e automaticamente interrompe a
execução.
NEWMARK: Esta rotina faz a integração da equação de movimento ao longo do tempo de
interesse, utilizando um esquema preditor-corretor conforme sugerido por Newmark (1959).
Este esquema é feito seguindo-se os passos 1 a 6 comentados no Capítulo 3.3, sendo mostrado
na forma de fluxograma na Figura 6.5.
PREDITOR
GRADIENT
FORCET
VECDAMP
ACELERAÇÃO PREDITA
ACELERAÇÃO CORRIGIDA
CORRETOR
VECDAMP
GRADIENT
ACEL < ERRO
PASSO DE TEMPO
NÃO SIM
Figura 6.5 – Fluxograma do método de Newmark
TRUSSMAXCARGA: Calcula para cada passo de tempo (∆t) as máximas cargas de tração e
de compressão nos elementos de treliça por site e em seguida armazena em vetores extras as
máximas cargas de tração e de compressão por site ao longo de todo o tempo analisado (tmáx).
84
CABLEMAXCARGA: Calcula para cada passo de tempo (∆t) as máximas cargas atuantes
nos elementos de cabo por site e em seguida, de maneira similar ao bloco anterior, armazena
em um vetor extra as máximas cargas por site ao longo de todo o tempo analisado (tmáx).
IMPRESSÃO: Nesta etapa são impressos os deslocamentos, velocidades e acelerações nodais
da estrutura, assim como os máximos esforços atuantes nos elementos de cabo e treliça por
site e o valor máximo do deslocamento de referência, utilizado para fazer a análise
combinatória dos 20 blocos de carregamentos e determinar qual deles representa a
combinação característica.
6.5 PROGRAMA RAJADA
O programa RAJADA, desenvolvido por Guimarães (2000), realiza todos os cálculos
necessários para determinar a amplitude dos carregamentos nodais provenientes das
componentes flutuantes do vento, denominadas rajadas, de acordo com o procedimento para
análise dinâmica apresentado no método de Monte Carlo. O fluxograma do programa é
apresentado na Figura 6.6, acompanhado de explicações dos blocos que o compõem.
IMPRESSÃO
ANÁLISE DINÂMICA
PROGRAMA PRINCIPAL
ENTRADA DE DADOS
INÍCIO
BLOCOS ALEATÓRIOS
FATOR DE RAJADA
ESPECTRO
PERÍODOS
FIM
ANÁLISE DINÂMICA:
FORÇA FLUTUANTE
Figura 6.6 – Fluxograma do programa RAJADA
PROGRAMA PRINCIPAL: Neste bloco é feito a leitura dos nomes dos arquivos de entrada
de dados e de saída de resultados e a inicialização dos mesmos, preparando-se as variáveis
para a leitura e processamento de dados.
85
ENTRADA DE DADOS: Faz a leitura de dados necessários para a determinação da parcela
flutuante do vento, tais como: velocidade básica do vento, altura do centro da rajada,
parâmetros da expressão de Davenport, período fundamental da estrutura, forças de arrasto
por módulo da torre, etc.
ANÁLISE DINÂMICA: Este bloco é o responsável pela obtenção da parcela flutuante do
vento, podendo ser dividido em 5 partes distintas conforme esquematizado na Figura 6.6:
1. PERÍODOS: Nesta etapa, o programa toma o período fundamental da estrutura e calcula
os múltiplos e submúltiplos de um fator 2, conforme o item 5.2.5, lembrando que os
submúltiplos devem ir até o limite inferior especificado e os múltiplos devem alcançar o
limite superior. Caso o número m de funções harmônicas seja menor que 11, o programa
toma um submúltiplo aquém do menor valor e um múltiplo além do maior valor
encontrado inicialmente, até que o número m seja maior ou igual a 11.
2. ESPECTRO: Fornece as ordenadas do espectro e calcula as áreas de cada intervalo.
Estas áreas são determinadas pela Regra de Simpson e são tomadas com os intervalos
médios com centro nas ordenadas do espectro já calculadas. Com base nestas áreas,
também são calculados os coeficientes de área para cada uma das funções harmônicas
conforme a equação (5.28).
3. BLOCOS ALEATÓRIOS: Nesta fase, são gerados 20 conjuntos de números aleatórios,
lembrando que cada conjunto contém m números aleatórios (θk) situados entre 0 e 2π.
4. FATOR DE RAJADA: Calcula os coeficientes de decaimento linear supondo uma rajada
equivalente triangular conforme esquematizada na Figura 5.6.
5. FORÇA FLUTUANTE: Calcula os carregamento nodais aplicados na estrutura, através
da multiplicação dos seguintes termos: as forças de arrasto; a porcentagem de pressões
flutuantes (52%); os coeficientes de área (ck); e finalmente, o coeficiente de decaimento
linear.
IMPRESSÃO: Neste bloco é feito a impressão das forças devidas à parcela flutuante do
vento por função harmônica, já em formato compatível com o programa ADTEQ.
86
7 - EXEMPLOS NUMÉRICOS
7.1 ANÁLISE ESTÁTICA
Na análise estática foram estudadas cinco torres metálicas estaiadas com alturas de 10, 30, 50,
70 e 90 metros, sendo cada uma destas torres analisadas inicialmente sem carregamento de
vento, para a determinação das forças de pré-tensionamento dos cabos e posteriormente com o
carregamento estático de vento proposto na norma NBR 6123, segundo cada um dos três
modelos matemáticos descritos anteriormente. Na Figura 7.1, são mostradas as torres de 10 e
30 metros de altura e na Figura 7.2, as torres de 50, 70 e 90 metros. As torres foram
apresentadas em duas figuras distintas devido à grande diferença de altura entre as mesmas, o
que tornou inadequado a representação de todas em uma mesma escala.
Torre: 10 metros Torre: 30 metros
Figura 7.1 – Torres de 10 e 30 metros de altura
Torre: 70 metrosTorre: 50 metros Torre: 90 metros
Figura 7.2 – Torres de 50, 70 e 90 metros de altura
87
Nas Figuras 7.1 e 7.2, os mastros centrais foram representados com regiões em preto ou em
vermelho, de modo a facilitar a visualização dos diferentes módulos que constituem as
estruturas. As principais características geométricas das torres serão apresentadas na Tabela
7.1, à seguir:
Tabela 7.1 – Características geométricas das torres
Torre 10 Torre 30 Torre 50 Torre 70 Torre 90NN 172 252 416 584 624
NTE 504 748 1236 1740 1862NCE 16 16 28 40 44DAT 1 1 1 2 2
LMOD (m) 2.50 5.00 5.00 5.00 6.00VLTT (m) 0.75 1.50 1.50 1.50 1.80VLC (m) 3.00 8.50 8.00 8.50 9.60LT (m) 0.40 0.50 0.50 0.70 0.70NMOD 4 6 10 14 15
NS 10 10 10 10 10Cabo (φ) 1/4" 5/16" 5/16" 3/8" 7/16"
Nesta tabela, NN, NTE, NCE e DAT representam respectivamente o número de nós, de
elementos de treliça, de elementos de cabo e de dispositivos anti-torção. Já LMOD, VLTT,
VLC e LT fornecem os comprimentos medidos em metros, do módulo da torre, do vão livre
no topo da torre, do vão livre entre cabos e da seção transversal na horizontal. O número de
módulos e o número de seções por módulo são indicados por NMOD e NS. Na última linha
são apresentadas as bitolas dos cabos em polegadas.
Todas estas torres foram dimensionadas utilizando-se cantoneiras simples de abas iguais
constituídas de aço ASTM A36 e cabos de aço pré-estirados de 7 fios do tipo EHS, cujas
propriedades mecânicas e geométricas podem ser obtidas do banco de dados de perfis
(Perfil.aço) e do banco de dados de cabos (Cabo.aco), apresentados no Apêndice A.
As bitolas dos perfis utilizados nos mastros centrais das torres são apresentadas, em função do
módulo e do tipo de peça (travamentos, horizontais, montantes, diagonais e anti-torção), para
cada uma das torres no Apêndice B. Já as características relacionadas com o pré-
tensionamento dos cabos, obtidas através da análise estática sem vento, tais como: o
comprimento de tensionamento (vetor c da Figura 3.1), a força de pré-tensão inicial e a
porcentagem desta força em relação à capacidade resistente do cabo, serão mostradas no
Apêndice C, juntamente com as alturas de ancoragem de cada um dos sites.
88
Nas torres estudadas, não foram consideradas variações térmicas (∆T= 0) e nas análises foram
admitidos os parâmetros de vento especificados na Tabela 7.2:
Tabela 7.2 – Parâmetros de vento conforme NBR 6123
Velocidade Básica do Vento (V0) 45 m/sFator Topográfico (S1) 1.0Fator Estatístico (S3) 1.1Categoria do Terreno II
A primeira análise realizada, baseou-se no estudo da torre de 10 metros de altura,
discretizando-a inicialmente com um único elemento por cabo (NEC = 1), sendo gerada pelo
programa GTEQ e em seguida com mais de um elemento por cabo (NEC = 2 ou 4), obtidas
através do programa GTEQM. A tabela 7.3 apresenta algumas características destas torres,
bem como alguns resultados relacionados ao número de iterações do procedimento Quasi-
Newton e tempo de processamento em minutos e segundos, utilizando-se um processador
Pentium-III 450 MHz.
Tabela 7.3 – Discretização da torre de 10 m para NEC = 1,2 ou 4
NEC NN NCE Iteracões Tempo Iterações Tempo1 172 16 201 00' : 25" 337 00' : 41"2 188 32 571 01' : 27" 627 01' : 35"4 220 64 832 02' : 51" 849 02' : 55"
Análise 1 Análise 2
Na tabela acima, foram apresentados resultados para a análise sem vento (Análise 1) e para a
análise com vento (Análise 2). Já na Tabela 7.4, são mostradas as cargas atuantes nos cabos
por site para cada uma das análises comentadas anteriormente
Tabela 7.4 – Cargas nos cabos (KN) para NEC = 1, 2 ou 4
Site NEC = 1 NEC = 2 NEC = 4 NEC = 1 NEC = 2 NEC = 41 3.08 3.07 - 3.08 3.07 - 3.08 3.63 3.63 - 3.64 3.63 - 3.642 3.07 3.07 3.07 - 3.08 3.86 3.86 - 3.87 3.86 - 3.873 2.96 2.96 2.95 - 2.96 3.59 3.59 3.59 - 3.60
Análise 1 Análise 2
À partir da Tabela 7.3, foi construído o gráfico da Figura 7.3, no qual é feito uma análise
comparativa do número de iterações e tempo de processamento, tomando como referência os
resultados obtidos para a torre discretizada com apenas um elemento por cabo (NEC = 1):
89
1.00 1.00 1.00 1.00
2.841.86
3.482.32
4.142.52
6.84
4.27
0.001.002.003.004.005.006.007.008.00
IteraçõesA1
IteraçõesA2
Tempo A1 Tempo A2
NEC = 1 NEC = 2 NEC = 4
Figura 7.3 – Análise comparativa do número de iterações e tempo de processamento
Com base no número de iterações e tempo de processamento apresentados na Figura 7.3 e nas
cargas atuantes nos cabos indicadas na Tabela 7.4, pode-se ver claramente que a discretização
com mais de um elemento por cabo não traz nenhum benefício, servindo apenas para
confirmar a validade dos resultados obtidos com NEC = 1. Portanto, as demais torres com
alturas de 30, 50, 70 e 90 metros estudadas no presente trabalho foram discretizadas com
apenas um único elemento por cabo.
À seguir, serão descritos alguns dos principais resultados da análise estática das torres para
cada um dos três modelos matemáticos utilizados, procurando-se sempre que possível
apresentar gráficos comparativos entre cada um dos modelos, bem como indicando as
semelhanças ou diferenças entre os resultados obtidos para as diversas alturas de torres.
Inicia-se a apresentação dos resultados com o número de iterações realizadas pelo
procedimento Quasi-Newton para encontrar a posição de equilíbrio estático estável, e o tempo
de processamento (minutos e segundos), conforme descritos na Tabela 7.5.
Tabela 7.5 – Número de iterações e tempo de processamento das torres
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3Análise 1 201 209 209 00' : 25" 00' : 25" 00' : 28"Análise 2 307 338 333 00' : 43" 00' : 43" 00' : 47"Análise 1 322 322 321 01' : 27" 01' : 26" 01' : 35"Análise 2 640 636 632 02' : 55" 02' : 52" 03' : 11"Análise 1 545 566 566 06' : 36" 06' : 47" 07' : 27"Análise 2 1048 1165 1124 12' : 48" 14' : 04" 15' : 01"Análise 1 730 741 739 17' : 37" 17' : 55" 21' : 05"Análise 2 1596 1602 1619 38' : 59" 46' : 03" 46' : 44"Análise 1 810 816 812 22' : 39" 22' : 42" 23' : 45"Análise 2 1641 1641 1628 46' : 03" 54' : 03" 59' : 44"
Número de Iterações Tempo de ProcessamentoTipo de Análise
Torre 90
Torre 10
Torre 30
Torre 50
Torre 70
90
Com os resultados apresentadas na Tabela 7.5, montou-se o gráfico da Figura 7.4, onde se
pode ver claramente que o número de iterações sofreu uma variação bastante reduzida entre
os diversos modelos matemáticos. Nesta mesma figura também se pode verificar o grande
aumento do número de iterações na Análise 2 (com vento) ao ser comparado com a Análise 1
(sem vento), chegando mesmo a dobrar de valor. Ocorre também um grande aumento no
número de iterações com o aumento da altura da torre.
Número de Iterações
0
500
1000
1500
2000
Torre 10 Torre 30 Torre 50 Torre 70 Torre 90
Análise 1 - M1
Análise 2 - M1
Análise 1 - M2
Análise 2 - M2
Análise 1 - M3
Análise 2 - M3
Figura 7.4 – Número de Iterações em função do modelo matemático
Embora o número de iterações tenha sofrido pequenas variações entre os diversos modelos
matemáticos, o mesmo não aconteceu com o tempo de processamento, que chegou a sofrer
variações de até 30%. Na Figura 7.5 é apresentado um gráfico comparativo do tempo de
processamento entre os diversos modelos, tomando como referência o modelo 1 (não linear -
Pulino, 1991). Neste gráfico, os termos A1 e A2 referem-se a análise sem vento e análise
com vento respectivamente.
Tempo de Processamento
0.000.200.400.600.801.001.201.40
T10 A1
T30 A1
T50 A1
T70 A1
T90 A1
T10 A2
T30 A2
T50 A2
T70 A2
T90 A2
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Figura 7.5 – Análise comparativa no tempo de processamento das torres
91
Na Figura 7.5, verifica-se que o tempo de processamento para os modelos 2 e 3 sofre um
aumento mais intenso à medida que se aumenta a altura da torre e que o modelo matemático 3
foi o que, em geral, apresentou o maior tempo de processamento.
Um outro resultado da análise estática que será apresentado é o deslocamento médio dos
quatro nós do topo da torre, na direção do vento. Estes deslocamentos são apresentados na
Tabela 7.6, em função da altura da torre e do modelo matemático empregado.
Tabela 7.6 – Deslocamento médio do topo das torres (cm)
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3Torre 10 0.437 0.438 0.436Torre 30 2.651 2.686 2.665Torre 50 5.161 5.316 5.265Torre 70 9.194 9.437 9.352Torre 90 9.211 9.499 9.428
Na Figura 7.6, é apresentado um gráfico com os deslocamentos de topo para as diversas torres
analisadas, podendo-se constatar o grande aumento no deslocamento com o aumento da altura
da torre, o que já era esperado. A variação dos deslocamentos entre os modelos matemáticos
foi muito reduzida, ficando sempre inferior à 3%, podendo-se observar que o modelo 2
apresentou maiores resultados em todos os casos analisados.
Deslocamento de Topo
0.000
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
Torre 10 Torre 30 Torre 50 Torre 70 Torre 90
Des
loca
men
tos
(cm
)
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Figura 7.6 – Deslocamento de topo
As rotações verticais calculadas de acordo com o Procedimento Telebrás, cujos limites estão
especificados na seção 2.4, admitindo-se que a antena mais alta se encontra na extremidade
superior da terceira seção, conforme descrito anteriormente, são indicadas na Tabela 7.7:
92
Tabela 7.7 – Rotações na antena mais alta das torres (graus)
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3Torre 10 0.004 0.004 0.004Torre 30 0.129 0.123 0.123Torre 50 0.250 0.234 0.234Torre 70 0.403 0.377 0.376Torre 90 0.420 0.393 0.392
Na Figura 7.7 é mostrada uma análise comparativa das rotações, tomando-se como referência
o modelo 1, sendo verificado que os modelos 2 e 3, em geral, apresentam rotações menores
que o modelo 1, e que esta diferença é maior para as torres mais altas. O modelo 3, foi o que
apresentou os menores resultados, com reduções de até 7% quando comparado ao modelo 1.
Rotações - Procedimento Telebrás
0.880
0.9000.920
0.940
0.960
0.9801.000
1.020
Torre 10 Torre 30 Torre 50 Torre 70 Torre 90
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Figura 7.7 – Análise comparativa das rotações
Os esforços atuantes nos perfis estruturais que constituem o mastro central das torres são
apresentados em forma de tabelas no Apêndice D, em função da altura da torre e do modelo
matemático utilizado. De maneira geral, pode-se observar que a variação entre os modelos
matemáticos foi muito reduzida, porém se tornou maior com o aumento da altura da torre,
chegando a atingir valores da ordem de 1.5% para a torre de 10 metros, 3% para a torre de 30
metros, 5% para a torre de 50 metros e 6% para as torres de 70 e 90 metros. Em todas as
torres analisadas, constatou-se que o modelo 1 foi o que apresentou os maiores resultados e os
modelos 2 e 3 apresentaram valores muito próximos um do outro.
No Apêndice E, são mostrados os esforços atuantes no elementos de cabo, na forma de tabela,
em função da altura da torre, do modelo matemático utilizado e do site dos cabos, sendo
constatado que a diferença entre os modelos matemáticos foi sempre inferior à 1%.
93
Os últimos resultados da análise estática das torres descritos neste trabalho, serão as reações
de apoio nos montantes do mastro central e nas fundações laterais de ancoragem de cabos,
sendo apresentados no Apêndice F. Observa-se que a variação dos resultados entre os
modelos matemáticos é sempre inferior à 2% e que estas diferenças são maiores para as torres
mais altas. Também pode ser constatado que ocorre um aumento das reações verticais nos
montantes situados à sotavento e uma diminuição nos montantes à barlavento.
7.2 ANÁLISE MODAL
A análise modal se baseou no estudo das mesmas cinco torres analisadas na parte estática,
com alturas de 10, 30, 50, 70 e 90 metros, utilizando-se o modelo não linear de cabo e não
linear de treliça (Pulino, 1991), conforme comentado no Capítulo 3.2. Os autovalores e os
autovetores foram determinados através de um algoritmo Jacobi Generalizado, sendo as
primeiras freqüências e períodos naturais apresentados no Apêndice G e de uma forma mais
resumida na Tabela 7.8, em função da altura da torre.
Tabela 7.8 – Freqüências naturais das torres (Hz)
Modo Torre 10 Torre 30 Torre 50 Torre 70 Torre 901 14.756 5.221 3.4315 2.5181 2.43632 14.756 5.221 3.4315 2.5181 2.43633 26.6863 7.2172 4.1884 3.3067 3.00954 26.6863 7.2172 4.1884 3.3067 3.00955 29.0143 9.8356 5.8881 4.0074 3.46296 53.9047 10.7578 5.8881 4.0074 3.46297 53.9047 10.7578 5.9619 5.0747 4.40828 67.6175 17.7726 8.4812 5.8535 4.4082
As freqüências indicadas na Tabela 7.8, são também apresentadas de forma gráfica na Figura
7.8, onde pode-se constatar claramente a diminuição das freqüências com o aumento da altura
da torre, evidenciando, conforme já era esperado, a redução da rigidez com o aumento da
altura. Pode também ser observado que as primeiras freqüências ocorrem geralmente, em
pares de valores praticamente iguais, sendo estes resultados causados pelo fato das torres
apresentarem dois eixos horizontais de simetria (eixos X e Z). Este fato fica claro ao se
observar os modos de vibração, sendo verificado que eles estão associados aos deslocamentos
horizontais, que ocorrem hora predominantemente na direção X e hora predominantemente na
direção Z.
94
Análise Modal
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5 6 7 8
Torre 10
Torre 30
Torre 50
Torre 70
Torre 90
Figura 7.8 – Freqüências naturais das torres (Hz)
No procedimento Jacobi Generalizado, os elementos situados acima da diagonal principal das
matrizes hessiana e de massa foram testados linha a linha, sendo a matriz de transformação de
Jacobi aplicada às duas matrizes no caso do termo analisado de pelo menos uma das matrizes
ser maior que uma determinada tolerância. Uma vez testados todos os elementos acima da
diagonal principal, completa-se um ciclo ou varredura. O procedimento é então reiniciado e
testam-se os termos novamente, fazendo-se tantas varreduras quanto forem necessárias para
que todos os termos de ambas as matrizes atendam a tolerância especificada. Na Figura 7.9 é
indicado o número de varreduras realizadas pelo programa FMVTEQ em cada uma das torres
analisadas.
Número de Varreduras - Jacobi Generalizado
26 2429 28 28
05
101520253035
Torre 10 Torre 30 Torre 50 Torre 70 Torre 90
Figura 7.9 – Número de varreduras no procedimento Jacobi Generalizado
95
7.3 ANÁLISE DINÂMICA
Na análise dinâmica de torres metálicas estaiadas foi estudado o efeito causado pelas rajadas
de vento na torre de 10 metros de altura, submetendo-a ao carregamento de vento proposto no
método de Monte Carlo e integrando a equação de movimento ao longo do tempo através do
algoritmo descrito por Newmark (1959).
A parcela flutuante do vento foi decomposta em 15 funções harmônicas (m=15),
convenientemente escolhidas de modo que seus períodos se distribuíssem uniformemente ao
longo do intervalo de 600 à 0.5 segundos, de acordo com a recomendação de Franco (1993),
sendo que uma delas deve possuir um período Tr igual ao período fundamental da estrutura e
as demais com períodos múltiplos e submúltiplos de Tr por um fator 2, conforme pode ser
visto na Tabela 7.9.
Nesta mesma tabela, também são mostradas as freqüências circulares e naturais associadas à
cada uma das funções harmônicas obtidas a partir do espectro de potência proposto no
National Building Code of Canada (1985), bem como outros parâmetros gerados pelo
programa RAJADA, para a determinação da amplitude das forças provocadas pela parcela
flutuante do vento, tais como: a área do espectro associada à cada intervalo, os coeficientes de
área e a extensão da rajada triangular equivalente.
Tabela 7.9 – Componentes harmônicas para análise dinâmica da torre de 10 metros
m T (s) ω (rad/s) f (Hz) Área Ck ck ∆zok (cm)1 0.0678 92.6724 14.7493 0.03869 0.2782 0.0247 30.07412 0.1356 46.3362 7.3746 0.06142 0.3505 0.0311 60.14833 0.2712 23.1681 3.6873 0.09750 0.4416 0.0392 120.29664 0.5424 11.5840 1.8437 0.15474 0.5563 0.0494 240.59315 1.0848 5.7920 0.9218 0.24544 0.7006 0.0622 481.18636 2.1696 2.8960 0.4609 0.38842 0.8814 0.0783 962.37267 4.3392 1.4480 0.2305 0.60909 1.1037 0.0980 1924.74518 8.6784 0.7240 0.1152 0.92207 1.3580 0.1206 3849.49039 17.3568 0.3620 0.0576 1.23425 1.5711 0.1395 7698.980610 34.7136 0.1810 0.0288 1.18962 1.5425 0.1370 15397.961111 69.4272 0.0905 0.0144 0.67056 1.1581 0.1028 30795.922312 138.8544 0.0453 0.0072 0.23485 0.6854 0.0609 61591.844613 277.7088 0.0226 0.0036 0.06511 0.3609 0.0320 123183.689114 555.4176 0.0113 0.0018 0.01673 0.1829 0.0162 246367.378315 1110.8352 0.0057 0.0009 0.00421 0.0918 0.0081 492734.7566Σ - - - 5.93272 11.2629 1.0000 -
96
Na integração da equação de movimento, foi utilizado um passo de tempo (∆t) igual a
0.00004 segundos, de modo a atender a recomendação proposta por Newmark (1959), que
sugere a utilização de um incremento de tempo menor ou igual à Tn/5, à fim de garantir a
estabilidade numérica do método, sendo Tn o menor período natural de vibração da estrutura.
O período Tn da torre de 10 metros de altura foi obtido através do programa FMVTEQ e vale
0.00020 segundos.
Seguindo-se as recomendações de Newmark (1959) de utilizar um passo de tempo ∆t ≤ Tn/5,
o algoritmo convergiu normalmente, precisando fazer de 3 à 8 iterações por passo de tempo.
Utilizando-se um passo de tempo menor, o número de iterações em um mesmo passo de
tempo diminui, porém o tempo total de análise aumenta bastante. Por outro lado, ao se
utilizar um passo de tempo maior, ocorre um aumento no número de iterações por passo de
tempo e um aumento do tempo total de processamento ou mesmo a não convergência do
algoritmo. Portanto, o algoritmo empregado no programa AETEQ funcionou exatamente da
maneira prevista por Newmark, sendo adotado o passo de tempo que conduziu à uma
minimização do tempo total de processamento.
Em virtude deste passo de tempo extremamente reduzido e da necessidade de realizar pelo
menos 20 análises na simulação de Monte Carlo, definidas pelos blocos de defasagens
gerados aleatoriamente, a análise dinâmica foi efetuada para um intervalo de tempo (tmáx) de
2.0 segundos, não atendendo à recomendação de Franco (1993) que propõe a utilização de um
tempo de análise da ordem de 400 à 600 segundos. Este intervalo de tempo de apenas 2.0
segundos, foi definido em função do tempo necessário para o processamento da análise,
verificando-se que para este intervalo de tempo, cada uma das análises levou em média 3
horas e 15 minutos em um processador Pentium III – 800 MHz.
Após a geração dos 20 conjuntos de blocos aleatórios contendo 15 ângulos de fase (φk) por
conjunto e admitindo que o centro da rajada estava situado à 75% da altura da torre, procedeu-
se a análise dinâmica submetendo-se a torre simultaneamente ao vento médio (48% das cargas
definidas na fase estática) e ao carregamento devido às rajadas. O deslocamento de referência
escolhido foi o deslocamento horizontal na direção Z do nó 1, situado no topo da estrutura,
sendo apresentado na Tabela 7.10 os maiores valores deste deslocamento ao longo do tempo,
bem como o tempo quando o mesmo ocorreu para cada um dos blocos de números aleatórios.
97
Tabela 7.10 – Deslocamentos de referência máximos por bloco
Bloco Desloc (mm) Tempo (seg)1 4.105 1.982642 3.970 1.880763 3.456 1.976804 3.159 1.899485 3.746 1.818646 3.308 1.717167 3.791 1.291408 4.034 1.849729 3.310 1.9172410 3.368 1.9008011 3.851 1.9768812 3.508 1.4390813 3.352 1.8491214 4.097 1.6439615 3.672 1.2193216 3.851 1.4579617 4.042 1.6638018 3.359 1.1328419 4.036 1.8439620 3.904 1.99920
Com base nos deslocamentos apresentados na Tabela 7.10, foi possível realizar uma análise
estatística buscando um valor mais provável para uma probabilidade de ocorrência de 95%,
utilizando-se a curva de distribuição de Gumbel (Tipo 1), cujos parâmetros estatísticos são
mostrados na Tabela 7.11:
Tabela 7.11 – Parâmetros estatísticos utilizados na distribuição de Gumbel
média (µ) 3.696desvio padrão (σ) 0.314probabilidade (p) 0.950
w 2.970dispersão 4.081
moda 3.555valor caract. (xc) 4.282
Sendo o valor característico aproximadamente 4.282 mm, a resposta do bloco 1, cujo valor é
4.105, é aquela dentre as respostas máximas da estrutura, a que mais se aproxima deste valor,
sendo tomada então como combinação característica das rajadas. Uma vez determinada a
combinação característica para um tempo de análise de 2.0 segundos, a estrutura foi então
excitada com os carregamentos desta combinação, porem o tempo de análise foi estendido
para tmáx = 10 seg, de modo a obter uma melhor caracterização do comportamento estrutural.
98
Na Figura 7.10 é mostrado a variação do deslocamento de topo ao longo dos 10.0 segundos de
análise referentes ao bloco 1, constatando-se que durante este intervalo o deslocamento
máximo foi de 4.652 mm, ocorrendo no instante de tempo de 3.13516 segundos.
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
Tempo (seg)
Des
loca
men
tos
(mm
)
Figura 7.10 – Deslocamento x Tempo na combinação característica
No Apêndice H, são apresentados os esforços máximos ao longo do tempo, tanto nos
elementos de perfis quanto nos elementos de cabo, em função do site ao qual eles pertencem,
considerando-se o tempo de análise tmáx = 10.0 segundos.
Neste mesmo apêndice, são também mostrados os esforços obtidos através do modelo
matemático não linear de cabo e não linear de treliça realizado na análise estática, podendo-se
observar que no caso dos elementos de cabo, a análise dinâmica levou a esforços até 3%
menores que os obtidos na análise estática. Já nos elementos de perfis, esta redução chegou à
ser de até 6.30% nos sites com esforços atuantes mais elevados, representados pelos
montantes, ao passo que nos sites submetidos à menores esforços, houveram aumentos de até
8% em alguns sites e reduções de até 51% em outros sites.
No caso dos elementos de perfis submetidos à menores esforços, embora esta diferença em
termos percentuais pareça elevada, é mostrado nas últimas duas colunas da Tabela H.2 que
esta diferença é sempre inferior à 0.225 KN ou aproximadamente 23 Kgf, sendo este valor
bastante pequeno ao ser comparado com os esforços atuantes nos montantes que chegaram a
atingir 13.22 KN.
99
No presente trabalho, foi constatado que ao contrário dos exemplos analisados por Franco
(1993) e Guimarães (2000), nos quais a freqüência natural das estruturas se encontrava
próxima ao meio do espectro de potência, no caso específico desta torre analisada, a sua
freqüência natural se encontra na extremidade do espectro (m = 1), conforme pode ser visto na
Figura 7.11, de modo que as componentes de freqüência do espectro devido às rajadas se
encontram fora da faixa de freqüências naturais da estrutura.
f1 = f2 = 14.75 Hz
m 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
f3 = f4 = 26.68 Hz
f5 = 29.01 Hz
freqüências (Hz)
Faixa de freqüências das rajadas Faixa de freqüências naturais
Sr(z,n)
Figura 7.11 – Faixas de freqüências naturais e do Espectro de Potência
Este comportamento comentado no parágrafo anterior e mostrado na Figura 7.11, pode
resultar em uma resposta da torre ao carregamento dinâmico, similar à um carregamento
estático, sendo provável que os deslocamentos e esforços que seriam obtidos ao se efetuar a
análise dinâmica para um intervalo de tempo de até 600 segundos, conforme recomenda
Franco (1993), não sofreriam muitas alterações em relação aos obtidos para a análise
dinâmica efetuada neste trabalho que foi de apenas 10.0 segundos.
100
8 - CONCLUSÕES
8.1 CONCLUSÕES FINAIS
Na análise estática, verificou-se que não há necessidade de discretização dos estais com mais
de um elemento ao longo do seu comprimento, já que isto acarreta um aumento no número de
iterações de até quatro vezes e um aumento no tempo de processamento de até 6 vezes, sendo
os esforços resultantes nos cabos praticamente os mesmos.
O número de iterações sofreu uma pequena variação entre os três modelos matemáticos,
ocorrendo um grande aumento neste número na análise com o carregamento de vento
proposto na NBR 6123 (1988), ao ser comparado com a análise sem vento, utilizada apenas
para determinar as forças de pré-tensionamento iniciais nos cabos. Constatou-se também que
o número de iterações aumentou bastante nas torres mais altas, devido provavelmente à
diminuição da rigidez da estrutura e ao aumento no número de graus de liberdade do sistema.
O tempo de processamento, ao contrário do número de iterações, apresentou variações de até
30% entre os modelos matemáticos, e de maneira geral, o modelo não linear de cabo e não
linear de treliça apresentou os menores tempos, ao passo que, a utilização do modelo não
linear de cabo e linear clássico de treliça resultou nos maiores tempos de processamento.
As rotações na antena mais alta, conforme descrito no procedimento Telebrás, sofreram
variações de até 7% entre os modelos, verificando-se que os maiores valores foram obtidos
para o modelo não linear de cabo e não linear de treliça e os menores valores foram obtidos
para o modelo não linear de cabo e linear clássico de treliça. Em todos os casos as rotações
não ultrapassaram os limites especificados para as torres classe TEB ou TEC.
As variações nos deslocamentos, reações de apoio e esforços nos elementos de cabo ou treliça
também foram pequenas, ficando sempre inferiores à 6%. No caso específico dos esforços
nos elementos de perfis, observa-se que o modelo não linear de cabo e não linear de treliça
apresentou resultados quase sempre superiores aos outros dois modelos e que esta diferença
cresceu com o aumento da altura da torre.
101
Pode-se então concluir da análise estática que os modelos lineares e não lineares, de maneira
geral, conduzem a resultados muito próximos e portanto a formulação não linear não se
mostrou necessariamente obrigatória no estudo das torres estaiadas analisadas neste trabalho,
uma vez que os deslocamentos não são tão expressivos à ponto de exigir que as equações de
equilíbrio estático tenham que ser obtidas a partir da geometria da estrutura deformada (não
linearidade geométrica), como acontece em outros tipos de estruturas que utilizam cabos, tais
como: cabos-treliça, redes de cabos tensionados e tensoestruturas em geral. Este
comportamento das torres se deve, em grande parte, às elevadas forças de pré-tensionamento
iniciais exigidas para evitar o afrouxamento dos elementos de cabos.
O algoritmo proposto por Newmark para a integração da equação de movimento ao longo do
tempo não se mostrou muito adequado para o estudo das torres metálicas estaiadas analisadas
neste trabalho devido às suas restrições no passo de tempo, tornando o seu processamento
muito demorado para o tempo de análise exigido na simulação de Monte Carlo. No caso de
torres mais elevadas e flexíveis, deve-se utilizar outros métodos, cujas limitações no passo de
tempo não sejam tão rigorosas quanto às exigidas por Newmark.
Em relação à analise dinâmica, no caso específico da torre analisada neste trabalho, as
componentes de freqüências da parcela flutuante do vento se encontram fora da faixa de
freqüências naturais da estrutura, sendo provável que isto provoque uma resposta estrutural
similar à que seria obtida para um carregamento estático. Portanto, é bastante provável que os
deslocamentos e esforços não sofram alterações grandes em relação aos obtidos para a análise
com tmáx = 10.0 segundos, ao se efetuar a análise para o intervalo de tempo da ordem de 400 à
600 segundos, conforme recomendação de Franco (1993).
Embora tenha ocorrido um aumento no deslocamento de topo de aproximadamente 6.8 % em
relação ao obtido na análise estática, de maneira geral, a análise dinâmica resultou em
esforços menores que os obtidos na fase estática. Esta redução foi mais significativa nos
montantes, nos quais os esforços sofreram diminuições de até 6.30%, ao passo que nos
demais sites onde os esforços atuantes são relativamente pequenos, ocorreram aumentos de
até 8% em alguns sites e reduções de até 51% em outros. Embora esta diferença em termos
percentuais pareça alta, a variação dos esforços atuantes foi sempre inferior à 0.225 KN, valor
que pode ser considerado pequeno ao ser comparado com os esforços nos elementos mais
carregados como é o caso dos montantes, nos quais as solicitações atingem valores de até
102
13.22 KN. Já nos elementos de cabo, a análise dinâmica apresentou esforços até 3% menores
que os obtidos na análise estática.
8.2 SUGESTÕES
Apresentam-se algumas sugestões para trabalhos futuros a fim de abordar aspectos não
estudados no presente trabalho.
1) Análise das estruturas em chapas dobradas e seções tubulares.
2) Busca de uma distribuição de pontos de ancoragem de cabos e disposição de barras
nas seções que levem à uma estrutura mais econômica e rígida.
3) Estudar o efeito dinâmico do vento em torres metálicas estaiadas mais elevadas,
não abordadas no presente trabalho devido à limitações do tempo de
processamento em função do passo de tempo extremamente reduzido no método
de Newmark. Para efetuar estes estudos, sugere-se desenvolver um algoritmo
utilizando outros métodos, como é o caso do método da superposição modal, ou
mesmo usando programas comerciais como SAP ou ANSYS.
4) Aplicações dos tipos de análise feitos neste trabalho às torres estaiadas com seção
transversal triangular, torres autoportantes (triangulares ou quadradas), postes
(metálicos ou de concreto) e torres autoportantes tubulares de concreto.
5) Construção de protótipos e modelos experimentais a fim de verificar os
coeficientes de amortecimento adotados e aferir os resultados numéricos obtidos
com os modelos utilizados.
6) Tentar melhorar a estruturação do algoritmo Quasi-Newton para minimização da
Energia Potencial Total, induzindo um adequado controle matemático ou
numérico, à fim de melhorar a sua estabilidade e redução do tempo de
processamento.
7) Comparar os resultados das análise estática e dinâmica obtidos neste trabalho com
os da análise dinâmica devida à turbulência atmosférica - modelo discreto,
proposto pela norma brasileira de ventos, ou usar metodologias mais recentes, que
incorporem os efeitos dinâmicos do vento de maneira mais precisa, tal como a
apresentada por Davenport (1995).
103
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Ahmad, M.B., Pande, K.P. & Krishna, P., “Self-Supporting Towers Under Wind Loads”,Journal of the Structural Engineering, ASCE, Vol. 110, N. 2, 1984.
American Institute of Steel Construction – AISC, “Manual of Steel Construction – AllowableStress Design”, 9th Edition, Chigago, 1989.
American Society of Civil Engineers – ASCE 19-96, “Scructural Applications of Steel Cablesfor Buildings”. New York, 1996.
American Society of Civil Engineers – ASCE 10-97, “Design of Latticed Steel TransmissionStructures”. Virginia, 1997.
Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT, “NBR-6123: Forças Devidas ao Ventoem Edificações”. Rio de Janeiro, 1988.
Bathe, K.J. e Wilson, E., “Numerical Methods in Finite Element Analisys”, Prentice Hall Inc.,New Jersey, 1976.
Blessmann, J. , “Forças Devidas ao Vento em Edificações Altas”. Caderno de Engenharia CE-27, CPGEC-UFRGS, 1988.
Blessmann, J. , “Introdução ao Estudo das Ações Dinâmicas do Vento”, Editora daUniversidade UFRGS, 1998.
Brebbia, C.A. e Ferrante, J., “Computational Methods for the Solution of EngineeringProblems”, 3rd Edition, Pentech Press. London, 1978.
Canadian Standards Association – CSA S37-94, “Antennas, Towers, and Antenna-SupportingStructures. Ontario, 1994.
Catalogo CIMAF – “Cabos de Aço e Superlaços”, São Paulo, 2000.
Clough, R.W. & Penzien, J., “Dynamics of Structures”, 2nd Edition, McGraw – Hill Inc.,1993.
Davenport, A.G., “Buffeting of Structures by Gusts”, Symposium N.16, Wind Effects onBuildings and Structures, Teddington/ England, v.01, Paper 09,357-391, 1963.
Davenport, A.G., “How can we simplify and generalize wind loads?”, Journal of WindEngineering and Industrial Aerodynamics, 54/55, 657-669, 1995.
Franco, M., “Direct Along Wind Analysis of Tall Structures”, BT/PEF/9303. São Paulo,1993.
Gere, J. & Weaver, W., “Análise de Estruturas Reticuladas”, Editora Guanabara, Rio deJaneiro, 1987.
104
Guimarães, M.J.R., “Análise Estática e Dinâmica de Torres Metálicas Autoportantes”. Tesede Dissertação de Mestrado DM-001A/00, Brasília: ENC/FT/UnB, 2000.
Kaimal, I.C. et al, “Spectral Characteristics of Surface-Layer Turbulence”. Journal of theRoyal Meteorological Society, N 98, 563-589, 1972
Luenberger, D.G., “Linear and Nonlinear Programming”, 2nd Edition, Addison WesleyPublishing Company, Massachusetts, 1984.
Morris, N.F., “Dynamic Analysis of Cable–Stiffened Structures”, Journal of the StructuralDivision – ASCE Vol. 100 No. ST5 (May), 1974.
National Building Code of Canada - Canadian Structural Design Manual. Supplement N.4,Ottawa, 1985.
Newmark, N.M., “A Method of Computation for Structural Dynamics”, Journal of theEngineering Division – ASCE Vol. 85 EM3 (July): 67-94, 1959.
Paz, M., “Structural Dynamics - Theory and Computation”, 4th Edition. Kluwer AcademicPublishers. Boston, 1997
Prado, Z.J.N., “Resposta Dinâmica de Estruturas Tensionadas com Consideração da Estruturade Apoio”. Tese de Dissertação de Mestrado E.DM-002A/96, Brasília: ENC/FT/UnB.
Procedimento Telebrás 240-410-600 (Padrão) - “Procedimentos de Projeto para TorresMetálicas Auto-Suportadas, Estaiadas e Postes Metálicos”, Emissão 02, 1996.
Pulino, A.R.F., “Contribuição ao Estudo das Coberturas Pênseis”, Tese de DoutoradoFEM040/91. Campinas: FEM – Unicamp, 1991.
Pulino, A.R.F., Notas de aula não publicadas. Brasília, 1998.
Rausch, E. “Einwirkung von Windstössen auf hohe Bauwerke. Zeitschrifi des VereinesDeustscher Ingenieure”, n.17, 1933.
Reed, D.A., “Use of Field Parameters in Wind Engineering Design”. Journal of StructuralEngineering, ASCE, Vol. 113 N.7, 1987.
Simiu, E., “Wind Spectra and Dynamic Alongwind Response”, Journal of Structural Division– Proceedings of American Society of Civil Engineers, Vol.100, N.ST9, 1974.
Solari, G., “Alongwind Response Estimation: Closed Form Solution”. Journal of theStructural Division, ASCE, Vol. 108, N.ST1, 1982.
Solari, G., “Turbulence Modeling for Gust Loading”. Journal of the Structural Engineering,ASCE, Vol. 113, N.7, 1986.
Solari, G., “Equivalent Wind Spectrum Technique: Theory and Applications”. Journal of theStructural Engineering, ASCE, Vol. 114, N.6, 1988.
105
A – BANCOS DE DADOS DE PERFIS E DE CABOS
Neste apêndice será apresentado o banco de dados de perfis (Perfil.aco) na Tabela A.1 e o
banco de dados de cabos (Cabo.aco) na Tabela A.2:
Tabela A.1 – Banco de dados de perfis
BIT PERFIL ABA(cm)
ESPESSURA(cm)
ÁREA(cm2)
PESO(KN/cm)
Rmín(cm)
1 5/8x5/8x1/8 1.60 0.31750 0.96 6.96E-05 0.302 7/8x7/8x1/8 2.20 0.31750 1.35 1.02E-04 0.483 1.1/4x1.1/4x1/8 3.20 0.31750 1.93 1.47E-04 0.634 1.1/2x1.1/2x1/8 3.80 0.31750 2.32 1.79E-04 0.765 1.1/2x1.1/2x3/16 3.80 0.47625 3.42 2.63E-04 0.736 1.1/2x1.1/2x1/4 3.80 0.63500 4.45 3.41E-04 0.737 1.3/4x1.3/4x1/4 4.40 0.63500 5.22 4.04E-04 0.868 2x2x1/4 5.10 0.63500 6.06 4.66E-04 0.999 2x2x5/16 5.10 0.79375 7.41 5.71E-04 0.99
10 2x2x3/8 5.10 0.95250 8.77 6.85E-04 0.9911 2.1/2x2.1/2x5/16 6.40 0.79375 9.48 7.25E-04 1.2412 2.1/2x2.1/2x3/8 6.40 0.95250 11.16 8.62E-04 1.2213 3x3x5/16 7.60 0.79375 11.48 8.92E-04 1.5014 3x3x3/8 7.60 0.95250 13.61 1.05E-03 1.4715 3x3x7/16 7.60 1.11125 15.68 1.22E-03 1.4716 3x3x1/2 7.60 1.27000 17.74 1.37E-03 1.4717 4x4x3/8 10.20 0.95250 18.45 1.43E-03 2.0018 4x4x7/16 10.20 1.11125 21.35 1.65E-03 1.9819 5x5x3/8 12.70 0.95250 23.29 1.79E-03 2.5120 5x5x1/2 12.70 1.27000 30.65 2.36E-03 2.4921 6x6x3/8 15.20 1.95250 28.13 2.18E-03 3.0222 6x6x7/16 15.20 1.11125 32.65 2.51E-03 3.0223 6x6x1/2 15.20 1.27000 37.10 2.86E-03 3.0024 6x6x9/16 15.20 1.42875 41.48 3.19E-03 3.0025 6x6x5/8 15.20 1.58750 45.87 3.53E-03 2.9726 6x6x11/16 15.20 1.74625 50.19 3.86E-03 2.9727 6x6x13/16 15.20 2.06375 58.65 4.52E-03 2.9728 6x6x7/8 15.20 2.22250 62.77 4.83E-03 2.9729 8x8x11/16 20.30 1.74625 67.94 5.22E-03 4.0130 8x8x13/16 20.30 2.06375 79.61 6.13E-03 3.9931 8x8x15/16 20.30 2.38125 91.10 7.02E-03 3.9632 8x8x1 20.30 2.54000 96.77 7.44E-03 3.96
Tabela A.2 – Banco de dados de cabos
BIT CORDOALHA PESO (KN/cm)
ÁREA (cm2)
CRE-SM (KN)
CRE-HS (KN)
CRE-EHS (KN)
1 Cordoalha 3/16" 1.058E-05 0.1352 8.448 12.691 17.7382 Cordoalha 1/4" 1.764E-05 0.2403 14.004 21.119 29.5673 Cordoalha 5/16" 2.989E-05 0.3755 23.785 35.564 49.7944 Cordoalha 3/8" 3.979E-05 0.5407 30.899 48.010 68.4635 Cordoalha 7/16" 5.811E-05 0.7360 41.562 64.455 92.4636 Cordoalha 1/2" 7.536E-05 0.9613 53.792 83.574 119.5807 Cordoalha 9/16" 9.780E-05 1.2166 69.786 108.907 155.585
106
B – BITOLAS DOS PERFIS
As bitolas dos perfis utilizados no mastro central das torres são mostradas por módulo e em
função do tipo de peça (T– Travamentos, H– Horizontais, M– Montantes, D– Diagonais, e
AT– Anti-Torção).
Nas tabelas apresentadas à seguir, as barras do dispositivo anti-torção são indicadas por AT1 e
AT2. As barras AT1 representam as barras do anti-torçor situadas no plano horizontal e as
barras AT2 representam as barras do anti-torçor situadas no plano inclinado, conforme
comentado no Capítulo 2.
As bitolas dos perfis apresentadas nas tabelas abaixo correspondem às bitolas indicadas no
banco de dados de perfis (Tabela A.1).
Tabela B.1 – Bitolas dos perfis na torre de 10 metrosModulo T H M D AT1 AT2
1 1 1 3 1 1 22 1 1 3 13 1 1 3 14 1 1 3 1
Tabela B.2 – Bitolas dos perfis na torre de 30 metrosModulo T H M D AT1 AT2
1 2 2 5 2 2 32 2 2 5 23 2 2 5 24 2 2 5 25 2 2 5 26 2 2 5 2
Tabela B.3 – Bitolas dos perfis na torre de 50 metrosModulo T H M D AT1 AT2
1 2 2 6 2 2 32 2 2 6 23 2 2 6 24 2 2 6 25 2 2 6 26 2 2 6 27 2 2 6 28 2 2 6 29 2 2 6 210 2 2 7 2
107
Tabela B.4 – Bitolas dos perfis na torre de 70 metrosModulo T H M D AT1 AT2
1 2 3 7 4 3 62 2 3 7 33 2 3 7 34 2 3 7 35 2 3 7 36 2 3 7 37 2 3 8 38 2 3 9 4 3 69 2 3 9 310 2 3 9 311 2 3 9 312 2 3 9 313 2 3 10 314 2 3 10 3
Tabela B.5 – Bitolas dos perfis na torre de 90 metrosModulo T H M D AT1 AT2
1 2 3 7 5 3 62 2 3 7 33 2 3 7 34 2 3 7 35 2 3 7 36 2 3 7 37 2 3 9 5 3 68 2 3 9 39 2 3 10 310 2 3 10 311 2 3 10 312 2 3 11 313 2 3 11 314 2 3 12 315 2 3 12 3
108
C – PRÉ-TENSIONAMENTOS NOS CABOS
Na Tabela C.1 serão apresentados: as alturas de ancoragem dos cabos, o comprimento de
tensionamento (vetor c da Figura 3.1), as forças de pré-tensão iniciais e as porcentagens
destas forças em relação à carga de ruptura nominal do cabo.
Tabela C.1 – Pré-tensionamento nos cabos
Site Altura (m) Tensionamento (cm) Carga (KN) PCR (%)
1 9.25 1.10 3.077 10.392 6.25 0.80 3.067 10.383 3.25 0.55 2.960 10.00
1 28.50 4.00 5.899 11.852 20.00 3.10 5.939 11.933 11.50 2.20 5.713 11.47
1 48.50 8.50 7.262 14.602 40.50 7.50 7.340 14.743 32.50 6.50 7.389 14.854 24.50 4.40 7.125 14.305 16.50 3.30 7.252 14.576 8.50 2.20 6.978 14.02
1 68.50 11.00 9.104 13.302 60.00 10.00 9.173 13.403 51.50 8.40 9.202 13.434 43.00 7.30 9.280 13.555 34.50 6.10 9.075 13.266 26.00 4.35 9.153 13.377 17.50 3.15 9.261 13.538 9.00 1.90 8.536 12.47
1 88.20 12.50 10.309 11.152 78.60 11.50 10.378 11.223 69.00 10.80 10.848 11.734 59.40 8.90 10.672 11.545 49.80 7.75 10.702 11.576 40.20 6.50 10.702 11.577 30.60 4.65 10.682 11.558 21.00 3.40 10.770 11.659 11.40 2.20 10.368 11.22
Torre: 90 metros
Torre: 10 metros
Torre: 30 metros
Torre: 50 metros
Torre: 70 metros
109
D – ESFORÇOS NOS PERFIS ESTRUTURAIS
Neste apêndice, serão apresentados os esforços nos perfis estruturais que constituem o mastro
central das torres, segundo cada um dos modelos matemáticos descritos anteriormente.
Os esforços são mostrados na forma de tabelas, sendo indicadas as máximas forças de tração e
de compressão para cada um dos sites, acompanhadas de uma identificação do site que inclui
o módulo onde ele está localizado e o tipo de peça.
Tabela D.1 – Esforços nos perfis da torre de 10 metros
Site Mod Tipo Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
1 1 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1 H 3.234 -2.528 3.234 -2.528 3.234 -2.5283 1 M 0.588 -7.575 0.588 -7.556 0.588 -7.5564 1 D 1.264 -1.078 1.264 -1.068 1.264 -1.0685 2 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0006 2 H 1.774 -0.461 1.774 -0.461 1.774 -0.4617 2 M 0.000 -9.418 0.000 -9.408 0.000 -9.4088 2 D 0.657 -0.657 0.657 -0.657 0.657 -0.6579 3 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
10 3 H 2.166 -0.382 2.166 -0.382 2.166 -0.38211 3 M 0.000 -10.280 0.000 -10.270 0.000 -10.27012 3 D 0.706 -0.696 0.696 -0.696 0.696 -0.69613 4 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00014 4 H 0.343 -0.343 0.343 -0.343 0.343 -0.34315 4 M 0.000 -13.220 0.000 -13.230 0.000 -13.22016 4 D 0.598 -0.598 0.598 -0.598 0.598 -0.59817 1 AT1 6.772 0.000 6.772 0.000 6.772 0.00018 1 AT2 0.000 -6.331 0.000 -6.331 0.000 -6.331
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Identificação
110
Tabela D.2 – Esforços nos perfis da torre de 30 metros
Site Mod Tipo Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
1 1 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1 H 5.106 -3.626 5.116 -3.606 5.106 -3.6063 1 M 2.587 -22.344 2.587 -22.119 2.587 -22.0994 1 D 3.636 -3.352 3.646 -3.361 3.626 -3.3325 2 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.0006 2 H 1.245 -1.264 1.245 -1.245 1.245 -1.2457 2 M 1.068 -22.364 0.843 -22.148 0.823 -22.1288 2 D 1.460 -1.450 1.421 -1.421 1.421 -1.4219 3 T 1.558 0.000 1.558 0.000 1.568 0.000
10 3 H 3.214 -0.098 3.205 -0.078 3.195 -0.06911 3 M 0.000 -21.550 0.000 -21.413 0.000 -21.42312 3 D 0.245 -0.225 0.206 -0.206 0.206 -0.20613 4 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00014 4 H 5.302 -1.039 5.292 -1.029 5.282 -1.02915 4 M 0.000 -24.980 0.000 -24.863 0.000 -24.84316 4 D 2.940 -2.911 2.901 -2.901 2.901 -2.90117 5 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00018 5 H 0.980 -1.000 0.980 -0.980 0.980 -0.98019 5 M 0.000 -20.786 0.000 -20.835 0.000 -20.84520 5 D 0.147 -0.118 0.118 -0.118 0.118 -0.11821 6 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00022 6 H 0.882 -0.892 0.882 -0.882 0.882 -0.88223 6 M 0.000 -35.192 0.000 -35.290 0.000 -35.28024 6 D 2.401 -2.372 2.372 -2.372 2.372 -2.37225 1 AT1 10.143 0.000 10.163 0.000 10.153 0.00026 1 AT2 0.000 -10.133 0.000 -10.143 0.000 -10.133
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Identificação
111
Tabela D.3 – Esforços nos perfis da torre de 50 metros
Site Mod Tipo Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
1 1 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1 H 6.262 -4.439 6.282 -4.410 6.282 -4.4103 1 M 2.842 -27.695 2.852 -27.391 2.852 -27.3524 1 D 4.410 -4.047 4.469 -4.106 4.439 -4.0675 2 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.0006 2 H 4.518 -1.401 4.479 -1.372 4.488 -1.3727 2 M 1.499 -30.939 1.166 -30.468 1.127 -30.4298 2 D 3.058 -3.067 2.960 -2.989 2.960 -2.9999 3 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.000
10 3 H 1.205 -1.225 1.196 -1.196 1.196 -1.19611 3 M 0.000 -31.007 0.000 -30.517 0.000 -30.48812 3 D 0.500 -0.480 0.441 -0.441 0.431 -0.43113 4 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00014 4 H 5.645 -1.196 5.586 -1.176 5.596 -1.17615 4 M 0.000 -32.987 0.000 -32.634 0.000 -32.62416 4 D 3.861 -3.832 3.753 -3.753 3.744 -3.75317 5 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00018 5 H 1.147 -1.166 1.137 -1.137 1.137 -1.13719 5 M 0.000 -33.046 0.000 -32.693 0.000 -32.68320 5 D 0.911 -0.872 0.833 -0.833 0.833 -0.83321 6 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00022 6 H 4.028 -1.127 4.008 -1.107 4.028 -1.10723 6 M 0.000 -36.838 0.000 -36.779 0.000 -36.77924 6 D 4.057 -3.979 3.959 -3.920 3.959 -3.92025 7 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00026 7 H 5.194 -1.098 5.194 -1.068 5.204 -1.06827 7 M 0.000 -44.374 0.000 -44.080 0.000 -44.08028 7 D 2.822 -2.754 2.695 -2.695 2.685 -2.68529 8 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00030 8 H 1.019 -1.058 1.029 -1.029 1.029 -1.02931 8 M 0.000 -41.180 0.000 -40.954 0.000 -40.92532 8 D 0.353 -0.255 0.294 -0.294 0.284 -0.28433 9 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00034 9 H 5.625 -1.009 5.664 -0.980 5.664 -0.98035 9 M 0.000 -50.000 0.000 -49.804 0.000 -49.76436 9 D 3.126 -3.018 3.067 -3.067 3.067 -3.06737 10 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00038 10 H 0.872 -0.921 0.892 -0.892 0.892 -0.89239 10 M 0.000 -55.135 0.000 -55.811 0.000 -55.80140 10 D 1.539 -1.431 1.509 -1.509 1.509 -1.50941 1 AT1 12.466 0.000 12.524 0.000 12.505 0.00042 1 AT2 0.000 -12.417 0.000 -12.456 0.000 -12.436
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Identificação
112
Tabela D.4 – Esforços nos perfis da torre de 70 metros
Site Mod Tipo Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
1 1 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1 H 10.937 -8.212 11.005 -8.154 10.986 -8.1543 1 M 5.606 -38.779 5.116 -38.396 5.027 -38.3284 1 D 8.359 -7.683 8.536 -7.850 8.467 -7.7815 2 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.0006 2 H 2.097 -2.127 2.097 -2.087 2.097 -2.0877 2 M 5.557 -38.828 5.067 -38.436 4.988 -38.3578 2 D 0.921 -0.902 0.970 -0.970 0.960 -0.9609 3 T 1.676 0.000 1.676 0.000 1.676 0.000
10 3 H 4.929 -0.167 4.910 -0.137 4.900 -0.11811 3 M 2.881 -53.410 1.039 -51.675 0.911 -51.57712 3 D 1.049 -1.049 0.833 -0.833 0.833 -0.83313 4 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00014 4 H 5.263 -1.823 5.204 -1.774 5.233 -1.77415 4 M 2.842 -57.261 0.990 -55.693 0.872 -55.58616 4 D 3.655 -3.655 3.528 -3.528 3.528 -3.52817 5 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00018 5 H 1.764 -1.813 1.754 -1.754 1.754 -1.75419 5 M 0.000 -57.291 0.000 -55.733 0.000 -55.62520 5 D 2.607 -2.558 2.342 -2.342 2.323 -2.32321 6 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00022 6 H 6.076 -1.793 6.047 -1.754 6.066 -1.75423 6 M 0.000 -45.658 0.000 -45.109 0.000 -45.11924 6 D 6.968 -6.929 6.654 -6.654 6.635 -6.63525 7 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00026 7 H 1.744 -1.774 1.744 -1.744 1.744 -1.74427 7 M 0.000 -73.157 0.000 -71.795 0.000 -71.68728 7 D 4.743 -4.704 4.518 -4.518 4.498 -4.49829 8 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00030 8 H 15.807 -8.379 15.817 -8.310 15.778 -8.27131 8 M 0.000 -78.126 0.000 -76.763 0.000 -76.64632 8 D 10.084 -14.533 9.957 -14.396 9.859 -14.29833 9 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00034 9 H 4.616 -1.852 4.626 -1.803 4.645 -1.80335 9 M 0.000 -75.117 0.000 -75.137 0.000 -75.14636 9 D 3.842 -3.753 3.636 -3.636 3.646 -3.64637 10 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00038 10 H 1.656 -1.715 1.646 -1.646 1.646 -1.64639 10 M 0.000 -75.225 0.000 -75.195 0.000 -75.20540 10 D 0.490 -0.372 0.431 -0.431 0.421 -0.42141 11 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00042 11 H 6.468 -1.646 6.478 -1.588 6.488 -1.58843 11 M 0.000 -78.890 0.000 -78.851 0.000 -78.92944 11 D 4.449 -4.341 4.332 -4.332 4.322 -4.32245 12 T 0.000 -0.029 0.000 0.000 0.000 0.00046 12 H 1.519 -1.597 1.529 -1.529 1.529 -1.52947 12 M 0.000 -84.466 0.000 -84.319 0.000 -84.28048 12 D 2.009 -1.872 1.872 -1.872 1.862 -1.86249 13 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00050 13 H 7.321 -1.509 7.350 -1.470 7.350 -1.47051 13 M 0.000 -93.619 0.000 -93.414 0.000 -93.37452 13 D 5.586 -5.468 5.478 -5.478 5.478 -5.47853 14 T 0.000 -0.029 0.000 0.000 0.000 0.00054 14 H 1.284 -1.352 1.313 -1.313 1.313 -1.31355 14 M 0.000 -108.672 0.000 -109.280 0.000 -109.28056 14 D 2.901 -2.764 2.901 -2.901 2.901 -2.90157 1 AT1 21.570 0.000 21.746 0.000 21.717 0.00058 1 AT2 0.000 -20.502 0.000 -20.609 0.000 -20.59059 8 AT1 26.225 0.000 26.195 0.000 26.137 0.00060 8 AT2 0.000 -23.451 0.000 -23.461 0.000 -23.412
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Identificação
113
Tabela D.5 – Esforços nos perfis da torre de 90 metros
Site Mod Tipo Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
1 1 T 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1 H 10.917 -7.791 10.976 -7.722 10.966 -7.7223 1 M 6.762 -44.894 6.096 -44.335 6.037 -44.2764 1 D 8.889 -8.065 9.065 -8.222 9.006 -8.1635 2 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.0006 2 H 6.811 -2.577 6.703 -2.528 6.723 -2.5287 2 M 6.674 -52.459 6.017 -51.254 5.949 -51.1958 2 D 5.380 -5.370 5.135 -5.155 5.145 -5.1559 3 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.000
10 3 H 2.185 -2.234 2.176 -2.176 2.176 -2.17611 3 M 0.000 -52.538 0.000 -51.313 0.000 -51.24412 3 D 0.676 -0.647 0.588 -0.588 0.588 -0.58813 4 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00014 4 H 8.212 -2.195 8.124 -2.136 8.144 -2.13615 4 M 0.000 -55.429 0.000 -54.272 0.000 -54.25316 4 D 6.429 -6.390 6.233 -6.233 6.223 -6.22317 5 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00018 5 H 2.117 -2.166 2.107 -2.107 2.107 -2.10719 5 M 0.000 -55.488 0.000 -54.331 0.000 -54.31220 5 D 2.626 -2.558 2.372 -2.372 2.372 -2.37221 6 T 0.000 -0.010 0.000 0.000 0.000 0.00022 6 H 6.282 -2.097 6.272 -2.068 6.292 -2.06823 6 M 0.000 -55.262 0.000 -54.214 0.000 -54.20424 6 D 8.105 -8.026 7.811 -7.801 7.811 -7.79125 7 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00026 7 H 16.219 -7.791 16.278 -7.722 16.258 -7.69327 7 M 0.000 -86.260 0.000 -84.770 0.000 -84.70128 7 D 10.525 -19.326 10.486 -19.277 10.408 -19.19829 8 T 0.000 -0.029 0.000 0.000 0.000 0.00030 8 H 2.176 -2.244 2.195 -2.205 2.195 -2.19531 8 M 0.000 -76.685 0.000 -75.235 0.000 -75.26432 8 D 1.009 -0.882 0.774 -0.774 0.784 -0.78433 9 T 0.000 -0.020 0.000 0.000 0.000 0.00034 9 H 8.114 -2.146 8.105 -2.087 8.114 -2.08735 9 M 0.000 -88.739 0.000 -88.200 0.000 -88.22036 9 D 4.694 -4.557 4.763 -4.763 4.753 -4.75337 10 T 0.000 -0.029 0.000 0.000 0.000 0.00038 10 H 6.047 -2.127 6.027 -2.029 6.056 -2.02939 10 M 0.000 -98.931 0.000 -97.961 0.000 -97.93140 10 D 4.841 -4.724 4.606 -4.645 4.616 -4.65541 11 T 0.000 -0.039 0.000 0.000 0.000 0.00042 11 H 1.970 -2.078 1.970 -1.970 1.970 -1.97043 11 M 0.000 -99.117 0.000 -98.098 0.000 -98.06944 11 D 0.823 -0.637 0.578 -0.578 0.568 -0.56845 12 T 0.000 -0.039 0.000 0.000 0.000 0.00046 12 H 8.124 -2.038 8.085 -1.940 8.095 -1.94047 12 M 0.000 -102.508 0.000 -102.518 0.000 -102.54748 12 D 6.047 -5.851 5.694 -5.694 5.684 -5.68449 13 T 0.000 -0.039 0.000 0.000 0.000 0.00050 13 H 1.950 -2.068 1.970 -1.970 1.970 -1.97051 13 M 0.000 -108.613 0.000 -108.055 0.000 -108.01652 13 D 2.421 -2.185 2.195 -2.195 2.185 -2.18553 14 T 0.000 -0.039 0.000 0.000 0.000 0.00054 14 H 9.094 -1.950 9.114 -1.882 9.114 -1.88255 14 M 0.000 -116.189 0.000 -115.591 0.000 -115.56256 14 D 7.330 -7.105 7.154 -7.105 7.144 -7.09557 15 T 0.000 -0.039 0.000 0.000 0.000 0.00058 15 H 1.646 -1.764 1.686 -1.686 1.686 -1.68659 15 M 0.000 -134.397 0.000 -135.603 0.000 -135.58360 15 D 3.675 -3.420 3.616 -3.616 3.616 -3.61661 1 AT1 21.364 0.000 21.521 0.000 21.501 0.00062 1 AT2 0.000 -20.551 0.000 -20.639 0.000 -20.61963 7 AT1 26.078 0.000 26.176 0.000 26.146 0.00064 7 AT2 0.000 -24.598 0.000 -24.686 0.000 -24.657
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Identificação
114
E – ESFORÇOS NOS ELEMENTOS DE CABO
Na Tabela E.1, são mostradas as cargas máximas atuantes em cada um dos sites de cabos,
quando submetidos ao carregamento estático do vento segundo a NBR 6123, em função do
modelo matemático utilizado. Nesta tabela, são descritas as cargas atuantes, bem como as
cargas com fator de segurança, sendo FS = 2.0 conforme comentado no Capítulo 4. Na
identificação de cada um dos sites, é mostrado a altura de ancoragem dos cabos e o tipo de
elemento (C), indicando se tratar de elemento de cabo.
Tabela E.1 – Esforços nos elementos de cabo
Site Tipo Altura (m)
Carga (KN)
Carga FS (KN)
Carga (KN)
Carga FS (KN)
Carga (KN)
Carga FS (KN)
1 C 9.25 3.626 7.262 3.626 7.262 3.626 7.2622 C 6.25 3.861 7.722 3.861 7.722 3.861 7.7133 C 3.25 3.587 7.174 3.587 7.174 3.587 7.174
1 C 28.50 7.771 15.553 7.791 15.582 7.781 15.5622 C 20.00 9.624 19.247 9.594 19.179 9.584 19.1593 C 11.50 9.153 18.306 9.124 18.257 9.124 18.238
1 C 48.50 9.388 18.787 9.447 18.894 9.428 18.8652 C 40.50 11.162 22.324 11.133 22.266 11.113 22.2363 C 32.50 12.191 24.382 12.113 24.216 12.083 24.1774 C 24.50 11.495 23.001 11.427 22.854 11.407 22.8145 C 16.50 11.368 22.736 11.358 22.707 11.339 22.6776 C 8.50 9.310 18.630 9.369 18.738 9.359 18.728
1 C 68.50 12.907 25.813 13.005 25.999 12.975 25.9412 C 60.00 15.729 31.468 15.670 31.331 15.631 31.2723 C 51.50 16.297 32.595 16.141 32.291 16.121 32.2424 C 43.00 16.474 32.938 16.356 32.712 16.327 32.6445 C 34.50 15.239 30.468 15.249 30.488 15.210 30.4196 C 26.00 14.445 28.890 14.465 28.930 14.445 28.8907 C 17.50 15.200 30.400 15.219 30.429 15.190 30.3808 C 9.00 12.524 25.059 12.583 25.166 12.573 25.137
1 C 88.20 14.426 28.851 14.533 29.067 14.514 29.0282 C 78.60 17.522 35.035 17.444 34.878 17.415 34.8293 C 69.00 19.531 39.063 19.355 38.710 19.326 38.6514 C 59.40 17.963 35.927 17.875 35.760 17.856 35.7115 C 49.80 17.042 34.075 17.101 34.192 17.072 34.1436 C 40.20 17.728 35.447 17.767 35.525 17.728 35.4667 C 30.60 17.660 35.309 17.581 35.162 17.562 35.1238 C 21.00 18.267 36.534 18.189 36.378 18.169 36.3299 C 11.40 15.474 30.948 15.523 31.046 15.513 31.027
Torre 50
Torre 70
Torre 90
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Identificação
Torre 10
Torre 30
115
F – REAÇÕES DE APOIO
Neste apêndice, serão apresentadas as reações de apoio nos montantes do mastro central da
torre e nas fundações laterais de ancoragem de cabos. As reações são apresentadas em
tabelas, indicando-se os nós onde existem restrições e os valores destas reações nas direções
X, Y e Z para cada um dos modelos matemáticos, lembrando que a direção Y corresponde ao
eixo vertical da torre.
Nestas tabelas, os quatro primeiros nós correspondem sempre aos nós da extremidade inferior
dos montantes, à partir da face 1 da torre e girando-se em sentido anti-horário (ver Figura
2.6). Os demais nós correspondem aos nós das fundações laterais de ancoragem de cabos,
iniciando-se com as fundações mais afastadas da torre e girando-se em sentido anti-horário.
Tabela F.1 – Reações de apoio na torre de 10 metros
Nó Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN)161 0.000 6.105 0.000 0.000 6.096 0.000 0.000 6.105 0.000162 0.000 6.115 -0.500 0.000 6.115 -0.510 0.000 6.115 -0.510163 0.010 13.220 0.000 0.000 13.230 0.000 0.000 13.220 0.000164 0.000 13.210 -0.490 0.000 13.210 -0.500 0.000 13.210 -0.500169 -6.409 -11.005 -6.419 -6.399 -11.005 -6.409 -6.399 -10.996 -6.409170 6.399 -11.005 -6.419 6.399 -11.005 -6.409 6.399 -10.996 -6.409171 4.234 -7.428 4.224 4.243 -7.428 4.234 4.243 -7.438 4.234172 -4.243 -7.428 4.224 -4.243 -7.428 4.234 -4.243 -7.438 4.234
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
Tabela F.2 – Reações de apoio na torre de 30 metros
Nó Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN)241 0.010 4.479 0.000 0.000 4.390 0.000 0.000 4.400 0.000242 0.000 4.469 -1.617 0.000 4.371 -1.676 0.000 4.390 -1.676243 0.020 35.153 0.020 0.000 35.290 0.000 0.000 35.280 0.000244 -0.020 35.182 -1.597 0.000 35.309 -1.676 0.000 35.300 -1.676249 -14.916 -25.774 -14.965 -14.906 -25.784 -14.916 -14.886 -25.745 -14.925250 14.906 -25.774 -14.955 14.906 -25.784 -14.916 14.876 -25.745 -14.925251 5.302 -10.398 5.282 5.321 -10.417 5.312 5.351 -10.466 5.331252 -5.312 -10.398 5.282 -5.331 -10.417 5.321 -5.361 -10.466 5.331
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
116
Tabela F.3 – Reações de apoio na torre de 50 metros
Nó Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN)401 0.020 30.821 -0.010 0.020 30.194 0.000 0.020 30.223 0.000402 0.010 30.850 -0.902 0.000 30.223 -1.039 0.000 30.253 -1.039403 0.000 55.105 0.039 -0.010 55.821 0.000 -0.010 55.811 0.000404 -0.029 55.076 -0.921 0.000 55.791 -1.068 0.000 55.782 -1.068409 -16.562 -34.320 -16.631 -16.562 -34.359 -16.572 -16.533 -34.271 -16.591410 16.562 -34.320 -16.631 16.562 -34.359 -16.572 16.533 -34.280 -16.591411 6.370 -14.112 6.341 6.390 -14.132 6.390 6.439 -14.230 6.409412 -6.370 -14.102 6.341 -6.390 -14.132 6.390 -6.439 -14.230 6.409413 -14.857 -23.461 -14.906 -14.867 -23.442 -14.867 -14.847 -23.393 -14.886414 14.857 -23.461 -14.906 14.867 -23.432 -14.867 14.837 -23.383 -14.886415 5.204 -7.183 5.194 5.204 -7.232 5.204 5.243 -7.301 5.223416 -5.214 -7.193 5.194 -5.214 -7.242 5.214 -5.243 -7.301 5.233
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
Tabela F.4 – Reações de apoio na torre de 70 metros
Nó Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN)561 -0.010 56.017 -0.010 0.000 55.184 0.000 0.000 55.292 0.000562 0.010 55.978 -2.097 0.000 55.154 -2.362 0.000 55.262 -2.362563 0.049 108.604 0.069 0.010 109.662 0.000 0.010 109.633 0.000564 -0.049 108.643 -2.029 0.000 109.701 -2.352 0.000 109.672 -2.352573 -14.876 -34.721 -14.955 -14.935 -34.888 -14.945 -14.906 -34.790 -14.984574 14.886 -34.731 -14.965 14.945 -34.898 -14.955 14.906 -34.800 -14.984575 5.027 -12.044 4.998 5.018 -12.015 5.008 5.067 -12.132 5.037576 -5.027 -12.034 4.988 -5.018 -12.015 4.998 -5.067 -12.123 5.037577 -24.284 -52.714 -24.422 -24.206 -52.528 -24.216 -24.147 -52.381 -24.284578 24.284 -52.704 -24.422 24.206 -52.518 -24.206 24.147 -52.371 -24.275579 3.979 -8.359 3.949 4.067 -8.614 4.067 4.165 -8.810 4.145580 -3.979 -8.369 3.959 -4.077 -8.624 4.077 -4.165 -8.820 4.145581 -18.395 -32.066 -18.453 -18.444 -32.154 -18.444 -18.414 -32.075 -18.473582 18.395 -32.056 -18.453 18.444 -32.144 -18.444 18.414 -32.075 -18.473583 5.312 -8.673 5.292 5.263 -8.604 5.263 5.312 -8.693 5.292584 -5.312 -8.673 5.302 -5.263 -8.614 5.263 -5.312 -8.693 5.292
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
Tabela F.5 – Reações de apoio na torre de 90 metros
Nó Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN) Rx (KN) Ry (KN) Rz (KN)601 0.010 76.087 -0.010 0.020 75.039 0.000 0.020 75.117 0.000602 0.029 76.126 -2.401 0.000 75.058 -2.715 0.000 75.146 -2.715603 0.039 134.299 0.088 -0.010 135.612 0.000 -0.010 135.593 0.000604 -0.069 134.270 -2.362 0.000 135.583 -2.744 0.000 135.573 -2.744613 -24.755 -54.576 -24.863 -24.745 -54.635 -24.755 -24.706 -54.508 -24.804614 24.755 -54.586 -24.863 24.755 -54.635 -24.765 24.706 -54.517 -24.814615 6.801 -15.886 6.772 6.860 -15.984 6.850 6.929 -16.131 6.899616 -6.801 -15.876 6.762 -6.860 -15.984 6.850 -6.929 -16.131 6.899617 -27.852 -57.252 -27.959 -27.891 -57.330 -27.891 -27.832 -57.193 -27.940618 27.852 -57.242 -27.950 27.881 -57.320 -27.881 27.832 -57.183 -27.930619 6.350 -13.014 6.321 6.321 -12.995 6.321 6.409 -13.161 6.380620 -6.350 -13.024 6.331 -6.331 -13.005 6.331 -6.409 -13.171 6.390621 -23.255 -38.249 -23.324 -23.226 -38.181 -23.226 -23.197 -38.102 -23.265622 23.246 -38.240 -23.314 23.226 -38.171 -23.226 23.197 -38.102 -23.265623 5.831 -8.732 5.811 5.860 -8.840 5.860 5.909 -8.928 5.890624 -5.831 -8.742 5.821 -5.860 -8.840 5.860 -5.909 -8.928 5.900
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
117
G – RESULTADOS DA ANÁLISE MODAL
Neste apêndice são apresentados as freqüências circulares (rad/seg), as freqüências naturais
(Hz) e os períodos (seg) para os dez primeiros modos de vibração das torres analisadas.
Tabela G.1 – Freqüências e períodos das torresModo w(rad/s) f(Hz) T(s)
1 92.7146 14.7560 0.06782 92.7146 14.7560 0.06783 167.6750 26.6863 0.03754 167.6750 26.6863 0.03755 182.3021 29.0143 0.03456 338.6930 53.9047 0.01867 338.6930 53.9047 0.01868 424.8534 67.6175 0.01489 479.1232 76.2548 0.013110 569.8491 90.6943 0.0110
1 32.8045 5.2210 0.19152 32.8045 5.2210 0.19153 45.3472 7.2172 0.13864 45.3472 7.2172 0.13865 61.7986 9.8356 0.10176 67.5932 10.7578 0.09307 67.5932 10.7578 0.09308 111.6686 17.7726 0.05639 111.6686 17.7726 0.056310 133.7118 21.2809 0.0470
1 21.5606 3.4315 0.29142 21.5606 3.4315 0.29143 26.3164 4.1884 0.23884 26.3164 4.1884 0.23885 36.9961 5.8881 0.16986 36.9961 5.8881 0.16987 37.4599 5.9619 0.16778 53.2892 8.4812 0.11799 53.2892 8.4812 0.117910 76.6582 12.2005 0.0820
1 15.8218 2.5181 0.39712 15.8218 2.5181 0.39713 20.7768 3.3067 0.30244 20.7768 3.3067 0.30245 25.1790 4.0074 0.24956 25.1790 4.0074 0.24957 31.8854 5.0747 0.19718 36.7784 5.8535 0.17089 36.7784 5.8535 0.170810 51.3927 8.1794 0.1223
1 15.3080 2.4363 0.41052 15.3080 2.4363 0.41053 18.9093 3.0095 0.33234 18.9093 3.0095 0.33235 21.7577 3.4629 0.28886 21.7577 3.4629 0.28887 27.6976 4.4082 0.22688 27.6976 4.4082 0.22689 28.3651 4.5144 0.221510 36.5775 5.8215 0.1718
Torre 90
Torre 10
Torre 30
Torre 50
Torre 70
118
H – ANÁLISE DINÂMICA NA TORRE DE 10 METROS
Neste apêndice são apresentados os esforços atuantes na torre de 10 metros de altura, quando
submetida ao carregamento dinâmico do vento proposto no método de Monte Carlo,
juntamente com os resultados obtidos previamente através do modelo não linear de cabo e não
linear de treliça (M1) durante a análise estática. Inicialmente, é mostrado na Tabela H.1 as
cargas atuantes nos elementos de cabo segundo cada uma das análises e a diferença em termos
percentuais entre os resultados.
Tabela H.1 – Esforços nos elementos de cabo
Site Carga (KN)
Carga FS (KN)
Carga (KN)
Carga FS (KN)
Diferença (%)
1 3.626 7.262 3.655 7.891 0.812 3.861 7.722 3.822 8.193 -1.023 3.587 7.174 3.479 7.524 -3.01
Análise Estática - M1 Análise Dinâmica
Na tabela H.2, são mostrados os esforços de tração e de compressão máximos nos elementos
de perfis, segundo cada uma das duas análises comentadas anteriormente, acompanhadas das
diferenças entre os resultados. A diferença em termos percentuais foi indicada com um
símbolo ‘-‘, nos sites onde uma dos esforços é nulo.
Tabela H.2 – Esforços nos elementos de perfis
Site Mod Tipo Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (KN)
Compr. (KN)
Tração (%)
Compr (%)
Tração (KN)
Compr (KN)
1 1 T 0.000 0.000 0.010 -0.049 - - 0.010 0.0492 1 H 3.234 -2.528 3.263 -2.597 0.91 2.71 0.029 0.0693 1 M 0.588 -7.575 0.461 -7.301 -21.67 -3.62 -0.127 -0.2744 1 D 1.264 -1.078 1.362 -1.166 7.75 8.18 0.098 0.0885 2 T 0.000 0.000 0.029 -0.147 - - 0.029 0.1476 2 H 1.774 -0.461 1.754 -0.568 -1.10 23.40 -0.020 0.1087 2 M 0.000 -9.418 0.000 -8.869 0.00 -5.83 0.000 -0.5498 2 D 0.657 -0.657 0.686 -0.686 4.48 4.48 0.029 0.0299 3 T 0.000 0.000 0.020 -0.118 - - 0.020 0.11810 3 H 2.166 -0.382 2.107 -0.431 -2.71 12.82 -0.059 0.04911 3 M 0.000 -10.280 0.000 -10.545 0.00 2.57 0.000 0.26512 3 D 0.706 -0.696 0.608 -0.608 -13.89 -12.68 -0.098 -0.08813 4 T 0.000 0.000 0.020 -0.098 - - 0.020 0.09814 4 H 0.343 -0.343 0.167 -0.372 -51.43 8.57 -0.176 0.02915 4 M 0.000 -13.220 0.000 -12.387 0.00 -6.30 0.000 -0.83316 4 D 0.598 -0.598 0.372 -0.372 -37.70 -37.70 -0.225 -0.22517 1 AT1 6.772 0.000 6.831 0.000 0.87 0.00 0.059 0.00018 1 AT2 0.000 -6.331 0.000 -6.399 0.00 1.08 0.000 0.069
Análise Estática - M1 Diferenças nos ResultadosIdentificação Análise Dinâmica
