Aula 01 03.01.2011Conjuntos finitos e InfinitosNmeros naturais (N)Axiomas de Peano 1) s:N N injetora ; s(n) chamado sucessor de N 2) Existe um nico natural 1 tal que s(n) 1, n N (Ou seja, 1 no sucessor de ningum) 3) Seja X N com 1 X e tal que s (X) X, s(X) = {s(x) / x X}, ento vale que X = N (princpio de induo) Mtodo da Induo: Temos que mostrar as seguintes propriedades a) Uma propriedade P vale para n=1 b) Se supondo vlida a propriedade P para um nN qualquer, provamos P para s(n), ento vale P para todo n N. Ex. Qualquer que seja n N, vale que n s(n) Demo: -Vale que 1 s(1) pelo Ax.2 -Suponha n s(n) Pelo Ax.1 s injetora. Logo s(n) s( s(n) ). Pelo Mtodo da induo vale que s s(n) n N. Operaes: Adio +:NxNN (a,b) a+b Multiplicao . : N x N N (a,b) a.b Def. Vale que a) b) c) d) m + 1 = s(m) m + s(n) = s (m + n) m.1= m m(n+1)=m.n + m

Prova-se a existncia e unicidade da adio e da multiplicao. (Curso de anlise vol.1)

Aula 2 -03.01.11Conjuntos EnumerveisDef: X enumervel se X finito ou se existe f: N X bijetora (f uma enumerao de X)

X={x1,x2, ,xn,} onde x1=f(1) , , xi=f(i)Teorema 4: Se X N ento X enumervel Demo: Se X finito, nada a fazer. Se X infinito: definimos f intuitivamente f(1) = min X.

Suponha f definida para 1,2,3,,n. Tome An=X- {f(1),f(2),, f(n)}. Defino f(n+1)=min An Notao xn=f(n). Quero mostrar que X= {x1,x2,,xn,..}. Suponha por absurdo que existe x X tal que x { x1,,xn,} Temos ento que x An para todo n. Pela construo de f temos que X maior que todos os elementos de {x1,,xn,}. Ento segue que x An para todo n. Pela construo de f temos que x maior que todos os elementos de {x1,,xn,}. Temos que {x1,,xn,} N e {x1,,xn,} limitado. Absurdo (Cor 2 Teo 2) Corolrio1: a) f:XY injetora, y enumervel x enumervel b) f:XY sobrejetora, X enumervel Y enumervel Corolrio2: O produto cartesiano de dois conjuntos enumerveis enumervel. Demo: Sejam X e Y enumerveis, logo existem f1:NX e f2:NY bijetores f: NxN XxY (m,n) ( f1(m) , f2(n) ) Se mostrarmos que NxN enumervel como f sobrejetora pelo cor1, temos que X x Y enumervel Corolrio3. Reunio enumervel de 2 conjuntos enumerveis enumervel Demo. Sejam Xi conjuntos enumerveis (iN). Logo existem fi:NXi bijetora Seja f: N x N UiN Xi ; f obviamente sobrejetora. (m,n) fm(n)

Pelo corolrio 1b, temos que UiN Xi enumervel. Obs: Teo 3: X infinito f: NX injetiva Todo conjunto infinito admite subconjunto enumervel Ex1: Z enumervel . f: NZ onde f (n) = (n-1)/2 para n mpar e f(n) = n/2, n par. Temos que f injetora, logo Z enumervel. Corolrio 4. Y X, X enumervel Y enumervel Demo: f:YX, X enumervel tal que f(x) = x, injetora. Pelo Cor1a. Y enumervel. Ex 2: Q enumervel. Considere:

f:Z x Z* Q (a,b) a/b Z x Z* enumervel. De fato, Z enumervel e do Cor4, Z* tambm enumervel. Segue do Cor2 que Z x Z* enumervel. Por Cor1b. Q enumervel. Ex3 ( um conjunto no enumervel) Seja S o conjunto das sequncias infinitas formadas por 0 e 1. s=( 0,1,1,0,0,0,1,0,.) Mostraremos que em todo subconjunto enum de S falta uma sequncia de S. S1 S2 S3 Mtodo da diagonal de Cantor Seja X = { s1,,sn, } subconjunto enumervel de S Seja snn o n-simo termo da sequncia sn S. Tome s a sequncia em S com o n-simo termo diferente de snn 01 e 10 Da s S, s sn para todo n N pois o n-simo termo de S diferente de snn. Logo s X 0 1 0 0 1 . 1 0 1 1 1 . 0 1 1 0 1 .

Nmeros Reais(Referncia: Calculus, Vol 1. Tom Apostol) R um corpo (Axiomas de Corpo) Adio: x+ y soma de x e y Multiplicao : xy o produto de x e y Axiomas de Corpo: I) II) III) IV) V) Associativa: ( a+b)+c = a + (b+c) e (ab)c=a(bc) Comutativa: a+b = b+a e ab = BA Elemento neutro: 0 R tal que x+ 0 = x. 1 R tal que x.1=x Inverso: a R, (-a) tal que a + (-a) = 0. a R, a0, a-1 tal que a.a-1=1 Distributiva: a(b+c) = ab + AC

Def: Operaes Subtrao a-b = a + (-b). Diz-se que a-b a diferena de a e b. Diviso a/b e a.b-1 (b0). Diz-se que a/b o quociente de a por b. Teorema: a) a+b = a+c b=c b) ab=AC e a0 b =c

c) d) e) f) g) h) Demo:

-(-a) = a 0.a=0 (a-1)-1=a (a0) ab=0 a=0 ou b=0 (-a)b=-(ab) e (-a)(-b)=ab (a/b)(c/d) = ac / bd (b0 ; d0)

a) Axioma IV) -a tal que a+ (-a) = 0 ; a + b = a+c (-a) + (a+b) = (-a) + (a+c) Axioma I ( (-a) + a) + b = ((-a)+a) + c Axioma II (a+(-a)) + b = (a + (-a)) +c Axioma IV0+b = 0+c Axioma III b=c d) (Axioma III) 0a +a =0a+1a =(0+1)a=1.a = a= 0+a0a = 0 Outra maneira: 0a=(0+0)a=0a+0a=0+0a0a=0 R um corpo ordenado R+ R chamado conjunto dos nmeros reais positivos. Axiomas de Ordem: VI) VII) x,y R+x+y R+ e x.y R+ dado x R, vale apenas uma alternativa que x=0 ou x R+ ou -x R+

R- = { x R / -x R+} ; R- o conjunto dos nmeros negativos. R= R+UR-U{0} Teorema: a)x2 R+, x R b) 1 R+ Def: a) b) c) d) x < y y-x R+ x > y x-y R+ x y x=y ou x < y x y x=y ou x>y

Obs: x>0 x R+ Teorema: 01) 02) 03) 04) Transitividade: x0 e x < y xz > yz z < 0

Demo: Exerccio

Aula 3 04.01.11Outras proposies a) A>b, c>d a+c > b+d b) 0 b. Contradio pois n+1 N e b cota superior de N. Portanto N no limitado superiormente.

ii) Seja X= { 1/n | n N}. Vale que 1/n >0, n N. Logo 0 cota inferior de X. Seja c>0. Mostremos que c no cota inf de X. por i), N no limitado, logo existe n> 1/c. Da temos que 1/n < c. Mas 1/n X, portanto x no cota inferior. Logo 0=inf X. Teorema 4 (intervalos encaixantes) iii) Dados a,b R+ tome n > b/a ( Isso possvel devido a N no ser limitado )n.a>b

Vale ento que existe c R tal que c In, n N. Seja X={a1,,an,} tomemos c= Sup X

Sejam I1, I2, ..., In, intervalos do tipo In= [an,bn] com an>bn, e tais que I1 I2 I3 InIn+1

Demo: Se In In+1 vale que a1a2a3 anan+1bn+1bnb3b2b1 (X, b limita X superiormente)

nN, vale que bn cota superior de X. Teorema: R no enumervel

cna, n N pois c cota superior de X. Como c a menor cota superior de X, temos que bnc para todo n N.

Mostremos que cIn, n N.

Dada f:NR, vamos encontrar c R tal que f(n) c, n R. Vamos construir uma sequncia de intervalos encaixantes I1 I2 I3 In tal que f(n) In.

Demo: Queremos mostrar que no existe f: NR sobrejetora.

Da se c In, n N temos que c f(n) pois c In para todo n

De onde teremos que f no sobrejetora Tome I1 = [a1,b1] com a1> f(1) , b1 >a Vamos construir In+1 Se f(n+1) In: Suponha definidos I1 I2 I3 In

Se f(n+1) In tomamos In+1 = In a) Se f(n+1) an tome

Tome

b) Se f(n+1) = an, ento f(n+1) bn

=

;

( + 1) + 2

=

Tal sequncia de intervalos tem claramente as propriedades buscadas Ex. Def: x R irracional se xQR

( + 1) + 2

;

Eexistncia: Eexistncia Considere f: RR+ tal que f(x)= x2, f sobrejetora, logo x tal que x2=2 Como x2=2, ento x2= p2 /q2 = 2. Assim p2= 2q2.

2

Vamos supor agora, x racional. Se x racional ento x = p/q com p,q Z e q0, primos entre si. A decomposio de p2 em primos d um nmero par de fatores 2, e 2q2 possui um nmero mpar de fatores 2. Aburdo. Obs: Obs Como Q enumervel R-Q no enumervel

Aula 04- 05.01.2011Teorema: R no enumervel ( f:NR, sobrejetora) Corolrio: Todo intervalo no degenerado de R no enumervel. Demo: Todo intervalo IR contm um intervalo do tipo ( a,b) onde a e < . Logo < 1, a sequncia xn=an limitada inferiormente mas no superiormente. a>1 an+1>na Logo an >a, n N (xn) limitada inferiormente Bernoulli (1+d)n1+nd Seja d tal que a=1+d (d>0) Da temos an 1+nd Dado cp tome n0 tal que c n0 temos an 1+nd> c Logo (xn) no limitada superiormente Def: Dada uma sequncia (xn)nN uma sequncia de (xn) a restrio da sequncia a um subconjunto infinito NN, onde N={ n1 n0 xn( a - ; a+ ) Tome b= min { x1,x2,, xn0, a - } e c= max { x1,x2,, xn0, a - } b cota inferior de {x1,x2,,xn0, a+} e c cota superior de { x1,x2,, xn0, a - } Vemos que xn c, n N, de onde temos que (xn) limitada superiormente e xnb, n N de onde temos que xn limitada inferiormente. Ex3. Seja (xn) tal que xn=1+(-1)n+1 x=(2,0,2,0,2,0,) x limitado superiormente por 2 e limitada inferiormente por 0. Mas (xn) no converge. Suponha xn a Pelo teorema 2 toda subseqncia de (xn) deve convergir para a. Mas ( xn)n mpar converge para 2, logo a=2. J (xn)n par converge para 0, da a= 0 Absurdo. Ex4. A sequncia (xn) com xn=n, x=(1,2,3,) no converge pois no limitada (Teorema 3) Def: (xn) montona se xn xn+1 ou se xn xn+1, n N a) b) c) d) xn+1 xn diz-se montona no decrescente xn+1 xn diz-se montona no crescente xn+1 > xn diz-se montona crescente xn+1< xn diz-se montona decrescente

Proposio: toda sequncia (xn) montona no decrescente (ou no crescente) limitada inferiormente (ou superiormente) Demo: Seja (xn) no decrescente. xn+1xn, nN, Logo xxn, nN Desse modo temos que (xn) limitada inferiormente. Teorema 4: Toda sequncia montona limitada convergente. Demo: Seja (xn) montona no decrescente (limitda superiormente). Sejam X={x1,,xn,} e a = Sup X. Afirmamos lim xn=a Seja > 0. Como a=sup X, n0N tal que a- n0 temos a - < x0xnaa + Logo xn ( a - , a+ ), n > n0 . Portanto lim xn=a (Caso no-crescente anlogo lim xn=inf x ) Teorema de Bolzano-Weierstrass Toda sequncia limitada possui uma subseqncia convergente. Demo: Basta provar que toda sequncia (xn) limitada admite subsequncia montona. Construindo uma subseqncia decrescente x9 x7 x8 x6 x2 x4 x5 x3 x1

xn destacado na sequncia se m>n, temos xn>xm. Suponho que a sequncia de ndices destacados infinita. Seja n1 N temos que xn no foi destacado. Tome n1= N +1, n1 no fio destacado, logo n2 > n1 tal que xn2 xn1 Novamente n2 no foi destacado. Tome n3> n2 tal que xn3 xn2 Fazendo isso indutivamente construmos uma subseqncia (xnj)jN tal que xn1xn2xnj que montona no decrescente. Logo (xnj)jN converge. (Observe que (xnj)jN de fato sequncia, isto , tem infinitos ndices

Aula 05 05.01.2011Exerccios: 1) Prove por induo que : a) 1 + 2 + 3 + + = b) 1+3+5++(2n-1) = n

2) Seja f: X Y. Prove a) X infinito e f injetora Y infinito b) Y infinito e f sobrejetora X infinito 3) Defina f:N x N N por f(1,n)= 2n-1 e f(m+1,n) = 2m(2n-1) Mostre que f bijetora

4) Sejam (xn) e (yn) sequncia de nmeros reais tais que lim xn=a e lim yn= b. Mostre que lim (xn+yn) = a+b Mostre que lim (xn.yn)= a.b

Resoluo: 1a) Temos que se n= 1 , ento : 1 = , a propriedade vale para n= 1

Suponha agora a propriedade vlida para n qualquer. 1 + 2 + 3 + + Queremos provar que vale para n+1. Se 1 + 2 + 3 + + 1 + 2 + 3 + + vale para n+1. Assim, n1 , 1 + 2 + 3 + + 1b) Se n=1 , de fato 1 = 1. Suponha vlida a propriedade para n qualquer. 1+3+5++(2n-1) = n 1+3+5++(2n-1) + (2(n+1)-1)= n + (2(n+1)-1) 1+3+5++(2n-1) + (2(n+1)-1)= n +2n + 1 1+3+5+ + (2(n+1) -1) = (n+1) = +1 2 + = 1 + 2 + 3 + + +1 = + +1 = + + +1 . Logo a propriedade = +1 2

1 + 2 + 3 + +

+1 =

Ex2. Corolrio1 da aula 2: f:XY injetora e Y finito X finito. f:XY sobrejetora e X finito Y finito Demo (corolrio 1 ) f : XY injetora; f2:Xf(X) Y bijetora f(X) finito pois Y finito g: In f(X) bijetora f2: X f(X) bijeo ; f-1 o g : In X bijeo Demo: Se X infinito g: N X injetora X X X= {x1, x2,,xn,} onde xi =g(i) Componha f e g: fog: N Y injetora, fog (N)= { f(x1) , f(x2),,f(xn),} Y Vamos supor por absurdo Y finito ento fog (N) finito. Absurdo pois f injetora, contrariando o corolrio 1. Logo, Y infinito Tambm possvel enunciar a negao do corolrio1: X infinito Y infinito ou f no injetora. Demo(pela negao do cor1): Se X infinito ento f no injetora ou Y infinito, mas f injetora por hiptese logo Y infinito. Ex3. Vamos provar que f injetora Considere f|{1}xN : (1,n) 2n-1 f|{1}xN (1,n) = f|{1}xN (1,m) 2n-1 = 2m-1 m=n Considere agora f|{m+1}xN f(m+1,n) = f(m+1,q) 2m(2n-1) = 2m(2n-1) = 2m(2q-1) n = q f(1,n) f(m+1,n), m N ( pois f(1,n) impar e f(m+1, n) par ) f( m+1,n) = f( p+1,q) 2m(2n-1) = 2p(2q-1). Pelo teorema fundamental da aritmtica (decomposio nica em fatores primos) p=m e n=q f|{1}xN: N { mpares } sobrejetora pois g:n2n-1 cobre todos os mpares Seja c um nmero par. Sua fatorao da forma c= 2m (q) onde q =2k-1 para algum kN f(m+1,n) = 2m(2n-1) , Variando n cobre-se todos os nmeros mpares. f(m+1,n) cobre tambm todos os nmeros como c, ou seja, os pares.

Ex4. Lim xn = a, > 0 n0 N tal que n> n0 | xn-a| < /2 Lim yn=b, >0 , n1 N tal que n> n1 | yn-b| < /2 |(xn+yn)-(a+b)| = | (xn-a) +( yn-b)| | xn-a|+|yn-b| Tomando = Max { n0,n1} Temos que n vale que | xn-a| < /2 e | yn-b| < /2. Da temos que |(xn+yn)-(a+b)< /2 +/2 = , n > x0y0 ab = xnyn-xnb+xnb -ab Teorema: lim xn=0 e yn sequncia limitada, ento lim xnyn=0 Demo: (yn) limitada: c R tal que |yn| c, n N Alm disso Lim xn=0 >0 n0 N tal que n> n0 |xn| < /c Da temos | xnyn-0| = |xn||yn|< . =, n > n0 Note que |xnyn-ab| =|xnyn-xnb+xnb-ab| =|xn(yn-b)+(xn-a)b| |xn(yn-b)|+|(xn-a)b| Agora, observe que lim xn(yn-b)=0 pois xn limitada ( lim xn) e lim (yn-b) = 0 Analogamente temos lim(xn-a)b =0 Da segue que >0, n1 N tal que n > n1 | xn(yn-b)| < e n2 N tal que n> n2 |(xn-a)b|< . Tomando n0=Max{n1,n2} temos que | xnyn-ab|< . Tomando n0=Max{n1,n2} temos que |xnyn-ab| =|xnyn-xnb+xnb-ab| =|xn(yn-b)+(xn-a)b| |xn(yn-b)|+|(xn-a)b|< + =, n> n0. Portanto lim xnyn-ab=0 lim xnyn = ab ( lim xnyn ab = lim xn(yn-b) + lim (xn-a)b = 0 )

Aula 06 06.01.11Limites e DesigualdadesDizemos que para n suficiente grande xn satisfaz uma dada propriedade

n0 N tal que para n > n0, xn obedece tal propriedade. Teorema1: seja (xn) uma sequncia com lim xn=a Ento: a) Se bb b) Se a0. Para tal , n0 N tal que n>n0a-0; Corolrio2: Sejam lim xn=a e lim yn=b, se xnyn para n suficientemente grande ento ab. Em particular se xn b para n suficientemente grande ento ab. Demo: Suponha xnyn para n grande e, por absurdo, a>b. Se a>b, existe c tal que a>c>b. Se lim xn= a, a> c ento pelo Teorema1, n1 N tal que n>n1 xn>c Com lim yn=b ento pelo Teorema 1, n0 N tal que n> n2 yn n0, temos : yn n0 vale: a-0, n mpar A> xn=0. Logo no vale lim xn=+Obs3: Se (xn) no decrescente e (xn) ilimitada superiormente, ento lim xn=+ Mostremos que para a > 1, an ilimitada superiormente an montona crescente. Pela Obs3, lim an = + Teorema 9: 1) Lim xn=+ e yn limitada inferiormente lim( xn+yn) = + 2) Lim xn = + e c >0 tal que yn>c n N lim xnyn=+ 3) nN xn>c>0 , yn>0 e lim yn=0 lim =0 =+ 4) (xn) limitada e lim yn=+ lim Demo: 1) Seja c R tal que c< yn, n N Como lim xn = +. A > 0, n0 N tal que n> n0 xn> A-c Da para n > n0 temos xn+ yn> (A-c) + c =A 2) dado A >0 como lim xn=+, n0 tal que n> n0 xn> Da xnyn> c= A Concluso lim xnyn= + 3) Dado A>0 Como lim yn=0, n0 tal que n> n0 yn< 4) Seja c tal que | xn| < c Dado >0. Como lim yn= +, n0 tal que n> n0 yn> < . = , portanto lim> . =e portanto lim =+=0Expresses Indeterminadasa) xn=2n e yn=-n lim xn=+, lim yn=- lim ( xn+yn) = lim n = + b) xn=n e yn=c-n xn + yn- lim (xn-yn)= lim c = cSries numricasSeja (an) uma sequncia de nmeros reais chamamos de srie de termo geral an (n-simo termo) a sequncia formada por: = = Assim, Sn = Sn = a1+ a2 ++an Denotemos tal srie por an e chamemos sn de reduzidas ou somas parciais da srie. Notao =lim sn (quando sn convergente) +Dizemos que a srie an convergente se existe lim sn. Se lim sn dizemos que a srie an divergente . Ex. Srie geomtrica -1 < a < 1 sn= 1+a+ a2++ an, sn= lim sn= lim assim =!=Ex2: Por definioEx. 3 Srie an= = =esn = 1 + + + da = lim sn = lim 1 =1 =1Obs: Se an 0, n N ento an sequncia montona no-decrescente. Da temos que an, com an converge se, e somente se k> 0 tal que k , n N.Proposio: Se an 0, n N e (an) subseqncia de (ank) ento an convergente ank convergente an < + ank com ank 0 convergente an< + an < + Demo: Seja ( ank)kN subseqncia de (an)nN. Da Da segue que ank convergeEx4. ( srie harmnica) Afirmao: Suponha Da e divergente =s so pela proposio convergentes =t e e tn= , e un= =uSejam ento Se sn=Ento sn =tn+vn. Fazendo n + Temos s= t +u Mas t= Logo t= u = Por outro lado u-t = lim um-tn = lim 1 + ++ >0 = = =Concluso u-t > 0 u>t. Contradio. Teorema 1 (Critrio da comparao) Sejam an e bn sries de termos no negativos, se existem c>0 e n0 N tal que an cbn, n>n0 ento bn convergente an convergente e an divergente bn divergente. Demo: Sem perda de generalidade, podemos supor an cbn, n N Sn = e tn= formem sequencias montonas no-decrescentes e Sn c.tnComo bn convergente, temos que tn limitada superiormente. i.e. k>0 tal que tnk, n N Da sn c.tnc.k, n N. (sn) sequencia montona no-decrescente limitada superior logo (sn) convergente, isto an convergente.Aula 08 - 10.01.10Def: a valor de aderncia de uma sequncia (xn) se a limite de alguma subsequncia de xn Ex. a) xn=1 xn 1 Logo 1 o nico ponto de aderncia (xn) 2 e 1 so pontos de aderncia. 0 valor de aderncia de (xn ) 0 e 1 so pontos de aderncia de (xn)b) x2n=2 e x2n-1 =1 . c) xn= d) x2n = xn 0. e x2n-1 = 1 e) xn=n qualquer subsequncia tende a +. No existe ponto de aderncia. Exerccio: 1.3) Mostre que lim xn=a lim |xn| = | a | 1.5) Ache sequncias que tenham como valores de aderncia os elementos dos seguintes conjuntos. a) A= {1,2,3} b)B= N c) c = [0,1] 1.7) Mostre que: b no valor de aderncia de (xn) n0 N e >0 tal que para n>n0 temos |xn-b| 2.2) Sejam lim xn=a e lim yn=b. Se a< b, mostre que n0 N tal que n> n0 xn< y 2.4) Mostre que uma sequncia limitada converge se e somente se ela possui um nico valor de adernciaAula 09 11.01.2011Teorema1- Sejam an e bn sries de termos negativos. Se existem c>0 e n0 N tal que anc.bn. n> n0 ento bn convergentean convergente. Ex5. Se a>1 ento Se a 1 ento Demo: Demo a) Sn= = + =1+ + + + + < 1 logo + + < + + + + = srie geomtrica de razo .) convergente. diverge++)1, Portanto convergente.Concluimos que sm . Pelo teorema 1, tomando an= ; bn= e c= 1. Concluimos que como diverge ; tambm diverge para r< 1.Teorema 2: Se an converge, ento an 0 (lim an=0). Demo: Seja (tn) sequncia com t1=0 e tn=sn-1, onde sn= Temos sn= = + = + = + = =s e (tn) tambm converge para s. .. Sn = an + tn. Temos tambm que (sn) converge paraFazendo n com an=sn-tn. Temos lim an=s-s=0 Obs: lim an=0 no implica an convergente. Por exemplo lim =0 mas divergeSries Absolutamente ConvergentesTeorema3 (Leibiniz): Se (an) sequncia montona decrescente com an 0, ento (-1)n+1n srie convergente. Demo: Seja sn= S2n=s2n-2+ a2n-1-a2n S2n+1=s2n-1-a2n+a2n+1 1) . . (a2n-1-a2n>0 ) pois an decrescente (-a2n+a2n+10, n0 N tal que n> n1 |s2n-s| < e n2 N tal que n> n2 | s2n+1-s|n0 |sn-s|1, donde temos |an|> 1 para n grande.Da no vale lim an=0. Logo an diverge Ex10. Mostre que convergente = L, ento lim =1.Teorema 7: Seja (an) sequncia tal que an0 n N. Se lim Demo: Anlise Real (Elon) Ex11. Mostre que lim!=e =e!Seja an= ! . Mostramos que lim Pelo teorema 7 lim Comutatividade = lim= lim=eDef: Uma srie an comutativamente convergente se, para toda bijeo f: NN, fazendo bn =af(n), temos bn=an Ex11. =1 + + += = + + 1 .s=1 + + + = 0+ +0 +0+ +0 Somando as sries termo a termo obtemos 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ + + + + 2 3 2 5 7 4 9 11 6 A srie assim formada tem os mesmos termos de 1 em ordem trocada. A soma dessa nova srie ss.Teorema 8. Se an absolutamente convergente, ento an comutativamente convergente. Teorema 9 (Riemann): Alternando-se a ordem dos termos de uma srie condicionalmente convergente, pode-se fazer que a soma fique igual a qualquer nmero real pr-fixado.Topologia da Reta - Cap. 5Def. a) c R ponto interior de X R se >0 tal que (c-;c+) X Sejam x=(a,b) e c X. Seja =min {c-a;b-c} Temos ento (a-;a+) (a,b) Seja X = [a,b], a e b no so pontos interiores de X (a-;a+) X, >0 (b-,b+) X Seja X = Q, a Q temos que a no ponto interior de X, pois >0, existe x=(a-;a+) irracional. Logo (a-,a+) X b) O interior de X o conjunto int X= {x R / x ponto interior de X} int(a,b) =(a,b) Int Q = int [a,b] = (a,b) Int N =Int Z = c) Se a Int X dizemos que X vizinhana de a d) Dizemos que X R conjunto aberto de R se X= int X (a,b) aberto [a,b] no aberto R aberto aberto.Proposio: a=lim xn A aberto e c A, n0 N tal que n> n0 xn A Demo: () >0, (a-;a+) aberto contendo A. Logo n0 N tal que n> n0 xn (a-;a+). Logo lim xn=a () Exerccio Teorema 1 a) A1 ;A2 so abertos de R A1 A2 aberto de R b) Se (A)L uma famlia de abertos de R, ento UL A aberto Demo: a) Se A1 e A2 so abertos de R, ento A1= int A1 e A2=int A2. Seja a A1 A2, a int A1 e a int A2. Assim, respectivamente, 1>0 tal que (a-;a+) A1 e 2>0 tal que (a- ; a+ ) A2 Seja =min {1;2} Temos facilmente que (a-, a+ ) A1 e (a-, a+ ) A2 (a-;a+) A1 A2 Logo a int A1A2. Concluso A1A2 aberto b) Se a U L A ento a A1 para algum L como A aberto, >0 tal que (a-;a+) A Mas ento (a-;a+) A UL A Logo UL A aberto. ANALISE REAL: PROVA 1 SINUE DAYAN BARBERO LODOVICIIMPORTANTE: Todos os exerc cios valem (2,5). Escolham 4 das 6 questes abaixo, indicando sua escolha no in o cio da prova (abaixo do nome). Na ausncia da apresentao da escolha sero corrigidos APENAS os e ca a exerc cios de nmero 1 a 4. Nesse caso, os exerc u cios 5 e 6, mesmo que corretamente resolvidos, sero completamente ignorados durante a correo desta a ca prova. Boa Prova!Exerc cios Exerc cio 1. (a) Prove o Teorema dos Invervalos Encaixados: Dada uma sequncia e decrescente I1 I2 In de intervalos fechados limitados In = [an , bn ] de R, existe pelo menos um nmero real c tal que c In para todo u n N. (b) D um exemplo de uma sequncia decrescente X1 X2 Xn de e e conjuntos innitos cuja intersecao Xn seja vazia. c n=1 Exerc cio 2. Prove que o conjunto dos nmeros reais no enumervel. u e a a Exerc cio 3. Dadas as sequncias (xn ) e (yn ), dena (zn ) pondo z2n = xn e e z2n1 = yn para todo n N. Se lim xn = lim yn = a, prove que lim zn = a. Exerc cio 4. Diz-se que (xn ) uma sequncia de Cauchy quando, para todo > 0 e e dado, existe n0 N tal que m, n > n0 |xm xn | < . Mostre que se (xn ) uma sequncia convergente ento (xn ) tambm uma e e a e e sequncia de Cauchy. e1 Exerc cio 5. (a) A srie (1)n n convergente. Por qu? Enuncie os teoremas e e e usados na argumentaao. c 1 (b) Encontre uma sequncia (xn ) limitada tal que e xn [(1)n n ] seja divergente. 1 2 2 1 (c) Mostre que a srie 1 2 + 2 1 + 4 1 + 5 5 + 2 1 + divergente. e e 3 3 4 6 6 Isso no contradiz o teorema de Leibniz? Por qu? a e 1 e Exerc cio 6. (a) Mostre que a srie e n(n+1) convergente. Encontre sua soma. (b) Use o critrio de comparaao para provar que e c 1/n2 convergente, a partir e 2 da convergncia de e n(n+1) .1Aula 12 - 17.01.2011Teorema: a) A1,A2 abertos A1A2 aberto b) (A)L Famlia ( de tamanho arbitrrio) de abertos L A aberto Ex. An= ; A1A2 An = ; Logo aberto={0}. Int {0} = . >0, (-;+) {0}no abertoObs: Todo aberto de R pode ser escrito como unio de intervalos abertos Demo: Seja X conjunto aberto. Seja x X. x Int X. Da x>0 tal que ( x-x ; x+x) X X = xX (x-x ; x+x) Proposio: X aberto se e somente se X unio de intervalos abertos Conjuntos Fechados Def. a R aderente ao conjunto XR se sequncia (xn)nN com xn X e tal que lim xn =a Obs: Se x X ento x aderente a X. Basta tomar xn= x n N Ex. Seja X= 1; ; ; ; ; Afirmao: 0 aderente a X. Tomando xn= temos lim xn = 0 Ex3. Dado XR. Se a=Sup X e b= inf X, ento a e b so aderentes a X. Provemos que a= Sup X aderente a X. Como a = Sup X, xn X tal que a- < xn< a. Construindo (xn) dessa forma, o teorema do sanduche mostra que lim xn=a. Da segue que a aderente a X. Def: Seja X R. O fecho de X o conjunto dos pontos aderentes a X. : Obs: a) b) Ex4. ( ; )=[ ; ] ( ; ]=[ ; )=[ ; ] = =1; ; ; ; ; = 1; ; ; ; ; 0Def: X R fechado se = .Ex: Q denso em R, pois Q R e R = R Ex: (0,1). Pegue x = (0,1)Q fcil ver que =[0;1] X (0,1) e (0;1) Logo X denso em (0,1) Teorema 2: a aderente a X se e somente se toda vizinhana de a contm pontos de X Demo () Seja V vizinhana de a. >0 tal que (a-;a+) V Como a , (xn) tal que lim xn = a, isto , >0, n0 N tal que n> n0 xn (a-;a+) V Para n> n0, xn V () Vn=(a- ;a+ ) vizinhana de a. Tome xn Vn X. Da temos que lim xn=a Corolrio: O fecho de um conjunto X fechado fechado, isto Demo: Exerccio Teorema3: FR fechado A=R-F aberto Obs: a) R e so simultaneamente abertos e fechados R e Q so abertos mas = R-R e R = R- b)[a;b) no aberto pois a Int [a;b)=(a;b) no fechado pois b [ ; ) = [ ; ] Demo (Teo3) : ()Suponha F fechado. Mostramos que se a A, ento a Int A (Da seguir A= Int A, isto , A aberto). Como a A, temos a F. Da, pelo teorema 2, vizinhana V de a tal que V F = Da temos que V A. Concluso: vizinhana V de a tal que V A. Logo a Int A e portanto, A aberto. ()Reciprocamente, se A aberto, considere um ponto x tal que X aderente a F. Se x aderente a F, toda vizinhana V de x contm pontos de F, assim, V A e portanto x int A e, como a aberto, x A sendo assim, x F. Ou seja, se x aderente a F ento x F. F possui todos os seus pontos de aderncia F fechado. Teorema 4: a) F1, F2 fechados F1 F2 fechado b) (F)L famlia de fechados L FL fechado Demo: a) (R-F1) (R-F2)= R (F1F2) b)L(R-F)=R - LF Ex. n2 [ ; 1 ] = (0;1) = .Subconjuntos conexos de RDef: Uma ciso de X R uma decomposio do tipo = , onde = e = [ = b B tal que b aderente a A toda sequncia (xn) com xn A no converge para b B] Afirmao. A nica ciso de (0,1) (0,1) Obs: X = X chamada de ciso trivial de X Def: X R conexo se X admite apenas a ciso trivial. Teorema 5: Todo intervalo de R admite apenas a ciso trivial Demo( idia): suponha que I= AB a ciso do intervalo I (no trivial) Construa sequncia de intervalos encaixantes I [a;b] [a1;b1] [an;bn] Com bn-an=Segue da definio dos intervalos que lim an=d e lim bn =d. Da d , d . Como I = A B ciso, ento = e = d A e d B. Da d AB = I. Absurdo Corolrio: X R simultaneamente aberto e fechado X = ou X = R Demo: R = X (R-X), X (R-X) = Como X fechado (X= ). (R-X) = Como x aberto, = . Da ( )= Logo = ( ) ciso de R. Mas R = (-;+) intervalo de R Da pelo Teo 5, a nica ciso possvel para R a trivial. Logo (X=R e R-X = ) ou ( X= e R-X = R) Obs: Segue do Teorema 5 que todo intervalo de R conexo.. Seja d In, n N (Teorema dos intervalos encaixantes)Aula 13 17.01.2011Pontos de Acumulao Def: a R ponto de acumulao de X R se toda vizinhana de a contm elementos de X diferentes de a. V X\{a} a ponto de acumulao de x se e s se > 0, temos (a-;a+) x\{a} . Proposio 2: a ponto de acumulao de X se e s se a \{ }. Def: X= { a R / a ponto de acumulao de X} Proposio: Seja X R, ento = ( A unio no necessariamente disjunta)Def: Se a X e a x, ento chamamos a de ponto isolado de X. Proposio 1: a ponto isolado de X se >0 tal que (a-;a+) X-{a} = Ex: N=, Z= , Q=R Def: Se todos os pontos de acumulao de X R so pontos isolados de X dizemos que X discreto. Ex. N e Z so discretos. Se X R e X finito ento X discreto. X = { x1 , x2, , xn}. Mostremos que xi X. Seja A = { |x1-xi|, |x2-xi| , , |xi-1-xi|,|xi+1-xi|, , |xn-xi|} Tome = . Temos ento que (xi- ; xi+)(X\{xi}) =.Concluso: xi X Ex: (a,b)=[a,b] X= { 1 ; ; ; ; ; } X={0} Teorema 7: Todo X R infinito e limitado admite ponto de acumulao. Demo: Podemos tomar xn X, n N tal que xixj para i j. (xn) sequncia limitada. Logo, por Bolzano-Weierstrass (xnk) subseqncia convergente. Seja lim xnk=a Obs: Se =a para algum k0, considere a subseqncia (xnj)que elimina o termo .Temos lim xnj=a, xnj a, j N. Logo a xCompactosDef: X R compacto se fechado e limitado. Ex: a) X finito X compacto.X = Da, como =X logo X fechado. Como X finito ele limitado. Concluso X compacto. b) (a,b) limitado e no fechado ( no compacto) c) Z fechado e no compacto.Teorema 8: X R compacto se e somente se toda sequncia de pontos de X possui subseqncia convergindo para um ponto de X. Demo: () Dada uma sequncia, o teorema de Bolzano-Weierstrass, garante subseqncia convergente. Como X fechado a subseqncia converge para um ponto de X. () Devemos provar que X limitado e fechado. X limitado: Se X no fosse limitado, n N , |xn| > n. Da teramos que (xn) no tem subseqncia convergente. Absurdo. Logo X limitado. X fechado: Suponha X aberto. Da a X com a = lim xn para alguma (xn) sequncia com xn X Se X aberto: X = ou X no fechado. . Logo a , a X: (xn) sequncia com xn X tal que lim xn=a. Absurdo (Hiptese do Teorema). Logo X Fechado. X fechado e X limitado X compacto. Obs: Se X R compacto, ento se a = inf X e b = Sup X, temos que a,b X. Demo: Temos que compactos sempre admitem mximo elemento e mnimo elemento. X compacto x1 , x2 X tais que x1 x x2 x X. Teorema 9: Dada sequncia decrescente X1X2 Xn de compactos no vazios, cR tal que cXn, nN. Demo: Tome xn Xn. xn Xn, n N. Como X compacto, subseqncia de (xn) que converge para c X1. Seja (xnk) tal que lim xnk = c. Dado n N temos xnk Xn, nk > n (Usamos xnk Xn). Como Xn fechado (compacto) e (xnk)nk>n convergente e xnkc, temos c xn. Logo c Xn, n N. Def: = {c R / L} P(R) ( famlia de subconjuntos de R) Se X UL c ento dizemos que cobertura de X.Se L={1;; n} finita dizemos que cobertura finita. Se LL e ={c / L} ainda cobertura de X ento dizemos que subcobertura de X.Teorema (De Borel-Lebesgue) Toda cobertura aberta de um compacto admite subcobertura finita. Demo: Exerccio. Ex7: Se X=(0;1] = ,2 cobertura de X por abertos. no admite subcobertura finita.Conjunto de Cantor. Propriedades: Seja k o conjunto de Cantor. Ento vale que: K compacto Int K = K = K K no enumervel Medida de K = 0 ( Medida de Borel) K obtido eliminando-se os teros mdios em infinitos intervalos: [0;1] ; ; , Aula 14 18.01.2011Limites de FunoDef: Sejam XR, f:X R e a X Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a L se >0, >0 tal que 00, xX, 0< |x-a|0 tal que >0, xn X\{a}, com 0 < |xn-a| < mas | f(xn) L | . Tome = e xn tal que 0< |xn-a|< e |f(xn) L| . Ento teramos xn X\{a}, lim xn=a sem que fosse lim f(xn)=L. Contradio.Corolrio 1 (Unicidade do Limite): Sejam f: X R, a X. Se limxa f(x) = L e lim xa f(x) = M ento L=M Demo: Como a X, (xn) tal que xn X\{a} e lim xn =a. Pelo Teorema 3 lim xa f(x) = L lim f(xn) = L e lim xa f(x) =M lim f(xn) =M Como temos a unicidade do limite para sequncias, temos unicidade do limite de f. Logo M=L Corolrio 2: Sejam f,g: X R, a X e lim xa f(x) = L e lim xa g(x) = M, ento vale: a) Lim xa f(x) g(x) = L M b) Lim xa f(x). g(x) = L.M c) limxa( ) = ( )se M0d) lim xa f(x) = 0 e g limitada numa vizinhana de a ento lim xa f(x).g(x) = 0. Teorema 4: Sejam f: X R, a X. Se existe lim xa f(x) ento f limitada em vizinhana de a, isto , >0 tal que x X, 0 < |x-a|< |f(x)|c. Demo: lim xa f(x)= L, | f(x) | = | f(x)- L + L | | f(x) L | + |L| (*) Seja = 1, da >0 tal que x X, 0 < |x-a| < | f(x) L|< 1. De (*) segue | f(x) | a ( > 0, X (a , a + ) ) Proposio: So equivalentes a) a ponto de acumulao direita de X b) a ponto de acumulao de X (a; + ) c) xn > a, xn X com lim xn=a. a X- ( a ponto de acumulao esquerda de X) se > 0, X (a-;a) Se a X+X- ento a ponto de acumulao bilateral de X. Ex4. X ={1 , , , , , } 0 X+ mas 0 XSeja I intervalo Se c Int I ento c X- X+ Se c extremo inferior ( ou Superior) ento c X+ ( ou c X-) Def: Sejam f: X R, a X+ L limite direita de f(x) se >0, > 0 tal que x X (a , a+ ) | f(x) L | < lim xa+ f(x) = L Analogamente define-se lim xa- f(x) Obs: Como lim xa+ f(x) = lim xag(x) onde g = f|X (a, +), temos que as propriedades e teoremas de limites valem para limites laterais. Proposio: Se a X+X- e ento: lim xa f(x) = L Existem lim xa+ f(x)=L=lim xa- f(x) Ex6. Sejam f(x) = sen ; g(x) = e h(x) = , limite de f, g e h em 0 mas lim x0+ g(x) = 1 lim x0- g(x) = -1 =: R\{0} R tal que (x)=limx0+ (x) = 0 mas lim x0- (x) Def: f: X R montona no decrescente se x,y X, x< y f(x)f(y). Define-se analogamente crescente, no decrescente e decrescente.Aula 15 19.01.2011Teorema 5 Seja f: X R, montona limitada. a X+ e b X- ,Existem lim xa+ f(x) = L e lim xb- f(x) = M. Demo: Suponha f no-decrescente. Considere a X+ e L= inf { f(x)/ x X, x>a} Afirmao: lim x f(x) = L. Dado >0, L + no conta inferior de { f(x)/ x X, x>a} . Logo >0 tal que a+ X e Lf(a+) < L +. Como no decrescente x X(a,a+) L f(x)f(a+)0 tal que x X(a,a+) |f(x) L| < . Limites no infinito e limites infinitos Analogamente prova-se lim xb f(x) = Sup {f(x) / x X, x < b} Def: Sejam X ilimitado superiormente e f: X R. Dizemos que Lim xf(x)= L quando >0, A>0 tal que x X, x>A|f(x) L | < Analogamente define-se limx- f(x) (X ilimitado inferiormente). Obs: Os limites no infinito se comportam de maneira semelhante aos laterais. Da, se f:X R montona limitada, X ilimitado superiormente (ou inferiormente) Ento lim x f(x) ( ou lim x- f(x) ) Ex8. limx = 0 e lim x- =0 lim x+ sen xDef: Sejam X R, a X, f: X R. Lim xa f(x) = + se A >0 , >0 tal que 0 A > (x-a)2 |x-a| < >A .Lim x- ex =0 mas lim x+ ex ( pois lim x+ ex = + )Dado A>0 queremos Tomando = Ex. lim x a+ lim xa, vale que =+, =-;limx ex=+; lim x+ xk=, k NFunes ContnuasDef: Seja f: X R. Dizemos que f contnua em a X se >0, >0 tal que x X, | x-a|< |f(x)-f(a)|< . Obs: Se a X X ento f contnua em a se, e somente se, lim xa f(x) = f(a). Se a X, a X (a ponto isolado), ento f contnua em a. [ Tome >0 tal que (a- , a+ ) = {a} ]Def: f descontnua em a se f no contnua em a. >0 tal que >0, x X, |x-a|< | f(x) f(a) | > . = ; |xn-a|< e | f(xn) f(x) | .Obs: f descontnua em a se, e somente se, Dado >0, seq (xn), xn X tal que lim xn =a e | f(xn)-f(a)| , n NObs: Continuidade uma propriedade local. Se f(x) = g(x) para x V vizinhana de a, ento f contnua em a g contnua em a. Def: Dizemos que f: X R uma funo contnua se f contnua para todo x X. Teorema1: Sejam f,g: XR contnuas em a X e tal que f(a) < g(a), ento >0 tal que x X(a-;a+) f(x) < g(x). Dem. Tomemos c= e = g(a)-c=c-f(a). Como f e g so contnuas, 1,2>0 tais que x X, |x-a|< 1f(a)-0 lipschitziana Vale que | f(y) f(x) | = = = = k|y-x| , onde k =( ) ( ) limitado. k dita constante de LipschitzTeorema 9: f: XR uniformemente contnua para todas as sequncias (xn) e (yn) de X com lim (yn-xn)=0 tem-se que lim(f(yn)-f(xn)) = 0 Demo: Livro. Teorema 10: X R compacto. f: XR contnua f uniformemente contnua. Demo: f no uniformemente contnua >0 e (xn), (yn) com lim (yn-xn) = 0 e | f(xn) f(yn)|, n N. Como X compacto, existe subseqncia (xn)nN tal que lim xn = a X. Mas yn = ( yn-xn) + xn Como lim (yn-xn) = 0 e lim nN xn = a, temos limnN yn=a . Da lim nN (yn-xn) = 0. Como f contnua, lim nN f(xn) =a = lim nN f(yn) Da limnN ( f(yn) f(xn) ) = f(a) f(a) = 0 Absurdo pois: | f(yn) f(xn)|, n N. Ex13: f uniformemente contnua lipschitziana f:[0,+) R , tal que f(x) = ,f|[1,+) lipschitziana f|[1,+) uniformemente contnua f|[0,1] uniformemente contnua pois [0,1] compacto e f contnua. Prova-se, ento que f uniformemente contnua. Exerccio: ver detalhes. Teorema 11. Toda f: XR uniformemente contnua em X limitada funo limitada Teorema 12: Se f:XR uniformemente contnua, ento para cada a X ( mesmo se a X ), existe limxa f(x) Ex14. em R+ , e sen em R\ {0} no so uniformemente contnuas0 (R+ ) mas lim x0 0 ( R \ {0}) mas lim x0 e lim x0 senSe eles fossem uniformemente contnuas teramos contradio com o teorema 12.Aula 19 25.01.2011DerivadasDef: f: XR, a C X A derivada de f em a f(a) = limxa = lim h0 . Se existe o limite, dizemos que f derivvel em a.Se f(x), x X X, dizemos que f derivvel em X. f :X X R a funo derivada de f. Se f derivvel e f contnua, dizemos que f de classe c1. x f(x) Notao: f(a) =Df(a)= (a) = x=a Teorema 1: f: XR derivvel em a X X se e somente se c R tal que a+h X f(a+h)=f(a)+ch+r(h), onde limh0 =0. Caso exista tal c, f(a) = c.Demo: Considere Y = {kR / (a+h) XX} ; Como a XX segue que 0 YY. Se existe f(a) defina r: YR por r(h) = f(a+h) f(a) f(a).h da = - f(a). Segue ento que lim =h0= f(a) f(a) = 0 - c.Recproca: f(a+h) = f(a) +ch + r(h) Como lim h0 =0. segue que lim h0= c. Logo f derivvel em a e f (a) = c =0Obs: Toda f pode ser escrita como f(a+h) = f(a) + ch + r(h), mas nem toda tem c tal que limh0Derivadas LateraisSe a XX+ definimos f+ (a) = lim xa+ . ( Derivada direita)Analogamente define-se derivada esquerda f- (a). Proposio: f derivvel em a f+ (a) e f- (a) existem e so iguais ( Nesse case f (a) = f + (a) = f- (a) ) Corolrio: f derivvel em a f contnua em a. demo: f(a+h) = f(a) + f (a) h + r(h) com lim h0 =0. lim h0 = 0 lim h0 r(h) = lim h0 . = 0Da lim h0 f(a+h) = f(a) ( pois lim h0 f(a) h = 0 e lim h0 r(h) = 0 ). Logo f contnua. Obs: Derivada direita (ou esquerda) Contnua direita ( ou esquerda) Ex4. (L Hopital) Se limxa f(x) = f(a) = 0 e lim xa g(x) = g(a) = 0 com f,g derivveis em g(a) 0 ento lim xa Demo: lim xa Ex: lim x0 = lim xa = =1 = lim xa limx0 = = ==1Regras OperacionaisTeorema 2: Sejam f,g : X R derivveis em a X X, da f g, f .g e ( g(a) 0) so derivveis em a e vale: a) ( f g)(a) = f(a) g(a) b) (fg)(a) = f(a) g(a) + f(a)g(a) c) (a) =. .Teorema 5 (Regra da Cadeia) Sejam f: X R e g: YR, a X X, b YY, f(a) =b Se f derivvel em a, g derivvel em b ento g o f: XR derivvel em a e vale (gof)(a) = g(f(a)).f(a). Corolrio: Seja f: XY bijeo entre X,Y R com inversa g=f-1 : Y X. Se f derivvel em a XX e g contnua em b=f(a), ento g derivvel em b se e somente se f(a)0. Caso afirmativo, g(b) = .Derivada e Crescimento local:Todos os resultados a seguir valem tambm para f-(a). Teorema 4: Se f: XR derivvel direita em a XX+ com f+(a)>0, ento >0 tal que x X (a,a+) f(x) >f(a) Demo: Temos limx = f+ (a)>0. >0 tal que x X(a,a+) >0 f(x) > f(a) Corolrio 1: f: XR montona no decrescente f+ , f- 0 onde existem. Corolrio 2: Seja a X ponto de acumulao bilateral ( a X+ X- ) Se f: X R derivvel em a, com f(a) >0, ento >0 tal que x,y X e a- Ex9. f: X R mnimo local em a f(a) existe e f(a)=0. f(x) = |x| tem mnimo local em x=0 mas no derivvel em 0. Def: a X e ponto crtico de f:XR se f(a)=0. f derivvel e c mximo ou mnimo local c ponto crtico.Funes Derivveis em intervalosTeorema 5(Darboux): Seja f:[a,b] R derivvel se f(a)