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8/17/2019 Analisis Modelos.pdf

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Análisis de Series. ModelosHeterocedásticos.

Alumno: Manuel Quesada Pegalajar


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Master en Estadística Aplicada. Trabajo Fin de Master. Análisis de Series Temporales. Modelos Heterocedásticos.


ÍNDICE

1.INTRODUCCIÓN

2.MODELOS SARIMA

2.1.FORMULACIÓN GENERAL MODELOS ARIMA

2.2.PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS ARIMA

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo.

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo.

PASO 3: Validación de Modelo.

PASO 4: Predicción.

2.3.EJEMPLO DE MODELIZACIÓN

PASO 1: Identificación del modelo.

PASO 2 y 3: Estimación de los parámetros y validación del modelo.


3.MODELOS ARCH Y GARCH

3.1.MODELO ARCH

3.1.1.MODELO ARCH(1)

3.1.2.MODELO ARCH(r)

3.2.MODELO GARCH 3.2.1.MODELO GARCH(1,1)

3.2.2.MODELO IGARCH

3.2.3.MODELO EGARCH

3.3.CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo

PASO 3: Diagnosis.

3.4.EJEMPLO MODELO GARCH

4.MODELOS SV

4.1.MODELO SV(1)

5.CONTRASTES DE AUTOCORRELACIÓN.

5.1.CONTRASTE DE DURBIN-WATSON (1951)

5.2.CONTRASTE DE WALLIS (1972)

5.3.CONTRASTE DE DURBIN (1970)

5.4.CONTRASTE DE BREUSCH-GODFREY (1978)


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5.5.CONTRASTE DE BOX-PIERCE-LJUNG

5.6.SOLUCIONES PARA LA AUTOCORRELACIÓN

5.6.1.MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS

MÉTODO ITERATIVO DE COCHRANE-ORCUTT

MÉTODO DE PRAIS-WINSTEN

MÉTODO DE DURBIN

6.HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL.CONTRASTES.

6.1.CONTRASTES DE WHITE

6.2.CONTRASTES DE BREUSH-PAGAN/GODFREY

6.3.CONTRASTES DE GOLDFELD-QUANDT

6.4.CONTRASTES DE GLESJER

6.5.CONTRASTES DE RESET RAMSEY

6.6.CONTRASTE ARCH

6.7.SOLUCIONES PARA LA HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL

6.7.1.HETEROCEDASTICIDAD CONOCIDA

6.7.2.HETEROCEDASTICIDAD DESCONOCIDA

7.MULTICOLINEALIDAD CON SERIES DE TIEMPO.

7.1.DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD

7.2.SOLUCIONES AL PROBLEMA DE MULTICOLINEALIDAD

8.HIPÓTESIS DE NORMALIDAD.

ANEXO

ANEXO A

BIBLIOGRAFÍA


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1.INTRODUCCIÓN

Una serie temporal o cronológica se define como la evolución de una variable alo largo del tiempo, es decir, es una secuencia ordenada de observaciones en la cual, laordenación se hace en base al tiempo (de ahí el nombre de temporales). También puedehacerse tal ordenación por otros criterios como por ejemplo el espacio.

Hay casos en los que la variable observada tiene un patrón de comportamientofijo. En términos estadísticos estamos ante una serie determinista.Por el contrario, hay series que resultan impredecibles. Su pauta de comportamiento noresponde a un patrón fijo, por lo que son puramente aleatorias. Un ejemplo típico es lasucesión de números premiados en un sorteo de loterías. En general, las series contienenuna componente determinista y una componente aleatoria.

Los objetivos que se persiguen con el estudio de las series temporales son los

siguientes:

Obtener una descripción concisa del fenómeno generador de la serie dedatos.

Construir un modelo que aproxime de la forma más fielmente posible elcomportamiento de la serie de datos

Predecir valores desconocidos (en el futuro o en el pasado), de la serie apartir de la información disponible.

Controlar el proceso generador de la serie, examinando qué puede ocurrircuando se alteran algunos parámetros del modelo o estableciendo políticas

de intervención cuando el proceso se desvíe de un objetivo preestablecidomás de una cantidad determinada.

Una característica fundamental de una serie temporal es que sus observacionesson dependientes o correladas y, por tanto, el orden en que se recogen las observacioneses muy importante.

Podemos distinguir diferentes enfoques en el análisis de Series Temporales:

Métodos tradicionales. Se basan en la descomponen la serie en

componentes que se conjugan de acuerdo a alguna función (generalmentesumadas o multiplicadas, esquemas aditivo o multiplicativo). También seconsideran como técnicas clásicas las de alisamiento exponencial, donde elobjetivo es predecir el valor de la serie de forma sencilla y “automática”.

Métodos basados en modelos de procesos estocásticos (Metodología deBox-Jenkins (1970)). Se fundamenta en ajustar un modelo a los datosseleccionándolo de entre aquellos de una cierta familia. La predicción en estecaso se realiza suponiendo que la estructura del modelo permaneceinvariante en el tiempo, es decir, que en el futuro, el modelo sigue siendoadecuado para modelizar la serie.


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Métodos univariantes y métodos multivariantes. Estos atienden a ladimensión de la magnitud en estudio. En este sentido también tiene interés elestudio de causalidad entre las variables y los modelos matriciales, extensiónde los univariantes.

Análisis en el dominio del tiempo y análisis en el dominio de lasfrecuencias. Explotan las características fundamentalmente de la función decorrelación y densidad espectral. Aunque existe una relación entre ellas,ambas ponen de manifiesto características complementarias en el análisis dela serie.

Nos vamos a basar en la metodología de Box-Jenkins, en el cual el desarrolloestadístico se realiza a partir de un proceso estocástico estacionario (en sentido amplio o

débil) y para procesos que se puedan transformar en estacionarios mediantetransformaciones (diferenciación, ARIMA, o Box-Cox).

Cuando se produce la ausencia de la tendencia (determinista o aleatoria), hay unnumeroso conjunto de teorías y desarrollos matemáticos centrados en ladiferenciabilidad de la serie temporal y en la existencia o no de raíces unitarias a partirde los conocidos test de Dickey y Fuller, de Mackinon o de Phillips y Perron. Estasseries se pueden describir con los modelos ARIMA o SARIMA.

Sin embargo, el estudio de la componente de varianza constante es un fenómeno menosextendido y, de manera que el no tener en cuenta una posible no constancia de estacomponente, puede suponer diversos problemas estadísticos cuando se estiman modelos(problemas ligados con la eficiencia de los parámetros estimados y su fuerte volatilidadante el amplio intervalo de confianza en el que se mueven).

Por tanto, para determinar un patrón de comportamiento estadístico para la varianza, seencuentran los Modelos Autorregresivos Condicionales Herocedásticos: ARCH. Engle,1982, es el autor de una primera aproximación a la varianza condicional. Para justificarel desarrollo de estos modelos heterocedasticos condicional autorregresivos, este autor,cita tres situaciones para exponer por qué estos modelos fueron propuestos para explicarciertas propiedades que no pueden ser explicados por los modelos ARIMA y queaparecen con frecuencia en series temporales estacionarias de datos financieros yambientales de alta frecuencia:

1. La experiencia empírica nos lleva a contrastar períodos de amplia varianza deerror seguidos de otros de varianza más pequeña. Es decir, el valor de ladispersión del error respecto a su media cambia en el pasado, por lo que eslógico pensar que un modelo que atienda en la predicción a los valores de dicha

varianza en el pasado servirá para realizar estimaciones más precisas.


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2. En segundo lugar, Engle expone la validez de estos modelos para determinar loscriterios de mantenimiento o venta de activos financieros. Los agenteseconómicos deciden esta cuestión en función de la información proveniente delpasado respecto al valor medio de su rentabilidad y la volatilidad que ésta hatenido. Con los modelos ARCH se tendrían en cuenta estos dos condicionantes.

3. El modelo de regresión ARCH puede ser una aproximación a un sistema máscomplejo en el que no hubiera factores innovacionales con heterocedasticidadcondicional. Los modelos estructurales admiten, en multitud de ocasiones, unaespecificación tipo ARCH infinito que determina con parámetros cambiantes, loque hace a este tipo de modelos capaces de contrastar la hipótesis depermanencia estructural que supone una de las hipótesis de partida y condiciónnecesaria para la validez del modelo econométrico tradicional..

Esta series tienen poca estructura en la media y siguen paseos aleatorios o procesos ARde orden bajo y coeficiente pequeño. Además puede ocurrir que aunque la serie derendimientos parezca un ruido blanco, su distribución no sea normal, y muestre colaspesadas y alta curtosis; y que los datos estén casi incorrelados, pero al calcular lasautocorrelaciones de los cuadrados se observa una fuerte estructura de dependencia.Otra propiedad es que la varianza de los residuos no es constante y aparecen rachas demayor variabilidad seguida de rachas de menor variabilidad. Por eso se plantean estetipo de modelos, es decir, van a ser modelos con varianza marginal constate, y varianzacondicionada a los valores del pasado de la serie no constante, ya que depende de estos

valores previos.El modelo ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroscedastic), supone que lavarianza condicional depende del pasado con estructura autorregresiva.

Estos modelos fueron generalizados por Bollerslev (1986) para dar lugar a losmodelos GARCH que incorporan a esta dependencia términos de media móvil.Proporcionan buenos ajustes con p y q pequeños (la mayoría de las series temporalesfinancieras pueden modelizarse correctamente con un GARCH(l,l)). Bollerslev(1986)proporciona la justificación teórica de esta última afirmación expresando los procesos

GARCH(p,q) como un ARCH(∞

). Otra propiedad importante de los modelos GARCH,de interés en el área financiera, es que son una aproximación a procesos de difusión.Así, Nelson(1990) prueba la convergencia del modelo GARCH(l,l) con errorescondicionales normales a un proceso de difusión continuo con distribucionesestacionarias no condicionadas t.

Otra clase de modelos más flexible son los modelos de volatilidades estocásticas(SV) introducidos por Harvey, Ruiz y Shephard (1994) y Jacquier y Polson y Rossi.Estos modelos reproducen algunas de las propiedades típicas de las series financieras,tales como exceso de curtosis, agrupamiento de los periodos de la volatilidad,

correlación en los cuadrados de la serie,…Se difiere de los anteriores en que la


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volatilidad es una componente no observable cuyo logaritmo suele modelizarsemediante un proceso lineal autorregresivo.

En resumen, al considerar la volatilidad como un proceso estocástico se buscaajustar un modelo que permita describir y analizar su comportamiento presente y a

partir de éste su comportamiento futuro. Para el caso de procesos de varianza constantela metodología de Box-Jenkins ha sido ampliamente utilizada, sin embargo, estesupuesto no es sostenible en varias áreas de investigación, por lo que se debenconsideran otras alternativas. Dentro de estas alternativas, destacamos los modelosARCH (Autorregresive Condicional Heterocedastic) y GARCH (GeneralizedAutorregresive Condicional Heterocedastic) propuestos por Engle (1982) y Bollerslev(1986) respectivamente, modelos que permiten especificar el comportamiento de lavarianza. Así como son los modelos de volatilidades estocástica (SV) introducidos porHarvey, Ruiz y Shephard (1994) y Jacquier y Polson y Rossi.


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2.MODELOS SARIMA

Vamos a describir los modelos ARIMA como uno de los métodos de predicciónbasados en series temporales.

La metodología que seguiremos es la propuesta por Box-Jenkins, que consta decuatro etapas:

1. IdentificaciónConsiste en elegir uno o más modelos ARIMA, SARIMA como candidatosque pueden representar adecuadamente el comportamiento de la serie. Enésta etapa deben determinarse las transformaciones necesarias para conseguirestacionariedad, contraste de inclusión de un término de tendencia

determinística (θ0) y elegir los órdenes p y q para cada uno de los modeloscompetitivos.

2. EstimaciónConsiste en estimar los parámetros de cada uno de los modelos identificadosen la fase anterior.

3. Diagnosis (Validación)Trata de determinar si los modelos identificados y estimados son adecuadospara representar a los datos. Las deficiencias encontradas en ésta etapapueden utilizarse cómo información para reformular los modelos.

4. Predicción

Con los modelos que han sido diagnosticados favorablemente, se puedenrealizar predicciones. Esta etapa también puede poner de manifiesto quémodelos poseen deficiencias a la hora de predecir, y puede utilizarse comoherramienta de validación de los modelos.

Para evaluar la calidad del ajuste teniendo en cuenta el número de parámetrosestimados en el modelo y la verosimilitud, existe el criterio AIC (Criterio deinformación de Akaike); cuanto más pequeño sea el valor del criterio de información,mejor será el modelo.

2.1.FORMULACIÓN GENERAL MODELOS ARIMA

Vamos a realizar la formulación general que presenta el modelo ARIMA deórdenes p, d y q, es decir, el modelo ARIMA(p,d,q) es la siguiente:

(1)donde es la variable de estudio, c una constante y es el término de error o residuo,que sigue una distribución normal de media cero y varianza constante . El término

se aplica a la serie original para convertirla en estacionaria, y d corresponde al

orden de la parte I del modelo ARIMA. y son polinomios de orden p y qque dependen del operador de retardo B.


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El operador de retardo B está definido por:

.El polinomio se define como: (2)donde y donde son los coeficientes del polinomio . p es el número de términos del polinomio y el orden correspondiente a la parte AR del modelo ARIMA.El polinomio

se define como

(3)donde y donde sonlos coeficientes del polinomio . q es el número de términos del polinomio yel orden correspondiente a la parte MA del modelo ARIMA.

Por tanto, si sustituimos (2) y (3) en la expresión (1) se obtiene:

Los residuos , se obtiene de la ecuación anterior:

En conclusión, el modelo ARIMA está compuesto de tres partes: una parte AR de ordenp, una parte I de orden d y una parte MA de orden q.El número de términos para los polinomios

y

, es decir, los órdenes de la

parte AR y MA respectivamente, así como el orden de la parte I del modelo ARIMA sedeterminan en el siguiente paso (utilizando la metodología de Box-Jenkins) queexplicaremos a continuación, y dependen de la serie temporal para la cual se realiza elestudio.

Nota: el modelo definido (1) relaciona la variable con sus pasados a través delpolinomio , y el error presente con los errores pasados a través del polinomio .


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2.2.PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS ARIMA

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo.

En este paso vamos a identificar el número de términos de los polinomios y , es decir, vamos a determinar el valor de p y q, así como el orden de la parte I delmodelo ARIMA.En este punto procederemos de la siguiente forma:

Análisis inicial de la serie. Vamos a identificar las principales características dela serie temporal:

- Alta frecuencia- Comportamiento no estacionario.- Presencia de estacionalidad de los datos.

Cuanto menor es el tiempo transcurrido entre dos datos de la serie, mayor es lafrecuencia de la serie. La alta frecuencia es una característica intrínseca que no puedecorregirse.

Para la corrección de la no estacionariedad se pueden realizar dos tipos detransformaciones (véase el anexo A) sobre la serie original de datos:

• Para estabilizar la varianza normalmente se toman transformaciones de Box-

Cox: logaritmo, raíz cuadrada, etc. También sirven estas transformaciones paraobtener normalidad a los datos (ver Apéndice A).

• Para estabilizar la media se toman diferenciaciones del tipo: Existe estacionalidad en los datos cuando los datos que componen la serie presentan uncomportamiento cíclico o periódico. Por ejemplo, para la serie de precios de la energíaeléctrica existe estacionalidad diaria, un día suele ser parecido al día anterior; es decir,los martes tienden a ser similares a los lunes, los miércoles similares a los martes, y asísucesivamente. La serie de precios también presenta estacionalidad semanal, un díasuele ser parecido al mismo día pero de la semana anterior; es decir, los lunes tienden aser similares a los lunes, los martes similares a los martes, y así sucesivamente.

Si los datos presentan estacionalidad, la formulación del modelo ARIMA resulta:

donde s representa el tipo de estacionalidad que presentan los datos, s = 24 en el caso de

estacionalidad diaria y/o s = 168 en el caso de estacionalidad semanal. D corresponde a

la parte I del modelo ARIMA estacional. Normalmente D toma los valores 1 y 2. y son polinomios que dependen del operador de retardo Bs.


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El polinomio se define como:

donde y son loscoeficientes del polinomio ; P es el número de término del polinomio de y elorden correspondiente a la parte AR del modelo ARIMA estacional.

El polinomio se define como:

donde y son loscoeficientes del polinomio

; P es el número de término del polinomio de

y el

orden correspondiente a la parte MA del modelo ARIMA estacional.

Estos modelos ARIMA con una estacionalidad se denota como SARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s.

Estudio de la función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelaciónparcial (FACP). A través de la representación de estas funciones se determinanlos órdenes p, d, q del modelo ARIMA y los órdenes P, D y Q del modeloARIMA estacional.

La representación gráfica del coeficiente de autocorrelación

es lo que se

denomina FAC. Cuya expresión es:

Donde es la media de .Considerando la serie

, donde son los valores estimadosde los parámetros que componen el modelo de regresión entre la serie y cada una delas series Además es la serie que recoge la partede no explicada por cada una de las series . Y la serie donde son los valores estimados de los parámetros quecomponen el modelo de regresión entre la serie y cada una de las series . Además es la serie que recoge la parte de noexplicada por cada una de las series .Las series se obtienen mediante técnicas de regresión.


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El coeficiente de autocorrelación parcial de orden k es el coeficiente decorrelación entre , ya que se han calculado con separación k.El coeficiente de autocorrelación parcial de orden k se define como:

Donde y son las medias de las series ,respectivamente y T es el número decomponentes de las series , .

Una vez definidos los coeficientes anteriores se estabiliza la varianza, aplicando

la transformación de Box-Cox necesaria, a continuación se identifican los órdenes d y Ddel modelo ARIMA y por último se identifican los órdenes p, q, P y Q.

Para identificar los órdenes d y D del modelo, se representa la FAC de la serie. Si seobserva un patrón de comportamiento periódico en los múltiplos de s como en 12, 24,36,… con decrecimiento lento a cero es necesario incluir D (generalmente 1 o 2). Si losprimeros valores son elevados con un decrecimiento muy lento, entonces d debe deincluirse en el modelo.

Los patrones que deben seguir la FAC y la FACP para la identificación de los órdenesdel modelo ARIMA. El patrón que deben seguir la FAC y la FACP para laidentificación del orden de un modelo puro AR(p) es el siguiente: la FACP presenta losp primeros valores distintos de cero y el resto de valores son cero o muy próximos acero con un comportamiento sinusoidal, y la FAC presenta un decrecimientoexponencial y/o un comportamiento sinusoidal.

El patrón que deben seguir la FAC y la FACP para la identificación del orden de unmodelo puro MA(q) es el siguiente: la FAC presenta los q primeros valores distintos decero y el resto de valores son cero o muy próximos a cero con un comportamiento

sinusoidal, y la FACP presenta un decrecimiento exponencial y/o un comportamientosinusoidal.

El patrón que deben seguir la FAC y la FACP para la identificación de los órdenes p y q de un modelo ARMA(p,q) es una superposición de los patrones que presentan estasfunciones para un modelo AR y MA: en la FAC, q – p + 1 valores iniciales distintos decero y a continuación un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal

debido a la parte AR; y en la FACP, q – p + 1 valores iniciales distintos de ceroseguidos de un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal debido a

la parte MA.


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Con todo esto queda establecido cómo identificar los órdenes p y q correspondientes ala parte no estacional del modelo ARIMA.

Para la identificación de los órdenes P y Q, correspondientes a la parte estacional delmodelo ARIMA, el procedimiento es similar, con la diferencia de que en lugar deobservar los primeros valores de la FAC y la FACP se observan los valores quepresentan un comportamiento periódico. Por ejemplo, en el caso que se presente

estacionalidad diaria (s = 24) los valores que habría que observar son el 24, el 48, el 72,el 96, …

A modo de resumen presentamos el siguiente cuadro:

FAC FACP

AR (p)Decrece exponencialmente

o cómo una sinusoideamortiguada

Corta tras el retardo p

MA (q) Corta tras el retardo qDecrece exponencialmente

o cómo una sinusoideamortiguada

ARMA (p, q) Decrece Decrece

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo.

Una vez identificados los términos que contiene el modelo se estiman losparámetros que lo constituyen.

La estimación de los parámetros del modelo se puede hacer a través de pormedio de diferentes métodos. El método más utilizado es el método de verosimilitud,aunque en los modelos autorregresivos, la estimación utilizada es el método de losmomentos.

La maximización de la función de verosimilitud es no lineal en el sentido de quela función a maximizar no es una función cuadrática de los parámetros desconocidos.Esta maximización es por tanto realizada numéricamente. Por ello, la convergencia almáximo será más rápida si se parte de un valor inicial de los parámetros próximo alvalor de convergencia. Hay distintos métodos para el cálculo de estos valores iniciales,dos de ellos para el caso autorregresivo (método de Yule-Walker y algoritmo de Burg) y

otros dos para un caso general (algoritmo de las innovaciones y algoritmo de Hannan-Rissanen).


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El método de Yule-Walker, es un método de estimación que se utiliza paraprocesos autorregresivos puros. Consiste en plantear el sistema de ecuaciones de Yule-Walker y proceder a su resolución sustituyendo en dicho sistema las autocorrelacionespor sus estimaciones. Por tanto, se iguala momentos teóricos con estimados.

Si la serie tiene estructura AR(p):

,las ecuaciones de Yule-Walker se obtienen calculando las covarianzas o correlacionesde con con lo que obtenemos la ecuación en diferencias:

Como estas funciones son pares, podemos plantear un sistema de p ecuaciones con pincógnitas. Al resolverlas obtenemos la estimación de los parámetros , sustituyendolos valores de las covarianzas o correlaciones teóricas por sus estimaciones muestrales.

El valor de la varianza de se obtiene de la ecuación:

ecuación para k = 0.

Las covarianzas del modelo teórico así obtenido coinciden con las muestrales para losvalores k = 0,1,…,p.

Para tamaños muestrales grandes, la distribución del estimador así obtenido es:

,donde es la matriz que contiene las covarianzas y aparece en laformulación del sistema de ecuaciones de Yule-Walker. Si se reemplaza y por susestimaciones, podemos calcular regiones de confianza para muestras de tamaño elevado.Así un intervalo de confianza para un valor vendrá dado por:

donde es el elemento ii de , y una región para el vector completo:


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Por tanto este método proporciona la estimación de los parámetros bajo la hipótesis deque la FAC estimada coincida con la teórica para los primeros retardos.

El algoritmo de Burg es otro método muy parecido al anterior. Se usa también enel caso de un proceso autorregresivo puro. Los estimadores son precisamente loscoeficientes del mejor predictor lineal en función de las p observacionesanteriores, bajo la hipótesis de que su función de autocorrelación coincide con lafunción de autocorrelación muestral en los retardos 1,…,p. La diferencia con el métodode Yule-Walker se basa en que el coeficiente que multiplica a B p, es decir el últimofactor del polinomio de retardos, se calcula minimizando los errores de predicción unpaso hacia adelante y hacia atrás. Los coeficientes de los restantes factores Bk secalculan dividiendo la suma de los cuadrados de los errores de predicción un pasoadelante y hacia atrás del modelo ajustado (si es un AR(p) habrá T-p en cada sentido)entre el número de sumandos ( es decir, 2(T-p)).

El algoritmo de las innovaciones es válido para procesos con estructura MA y ARMA.Consiste en ajustar modelos MA a los datos:

,

siendo mediante el algoritmo siguiente:Sea , entonces

Así procedemos siguiendo la siguiente secuencia:

Nos vamos a apoyar en el siguiente teorema: Si con y sidefinimos

y

para j > q. Si

y m (n) es una sucesión que verifica

m(n) pero . Entonces para todo k entero, la distribución de


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Converge a una distribución normal multivariante de media cero y matriz de covarianzaA = (a

ij), donde

Además es un estimador consistente de .Hay que observar que no es estimador consistente de los parámetros sinoque se calcula al aumentar el orden del proceso MA y truncar los parámetros al nivel q,

es decir, .Para procesos ARMA, y bajo la hipótesis de estacionariedad, el polinomio

es invertible, y la representación MA de la serie será por tanto

donde los coeficientes satisfacen

con y para j > q.Así podemos estimar los coeficientes por el algoritmo de las innovaciones . Reemplazar estos valores en la ecuación anterior y calcular lasestimaciones de

y

.

En primer lugar, de las últimas p ecuaciones, calculamos (los son nulos).

Y por último determinamos los

de las ecuaciones


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Finalmente:

.

El algoritmo de Hannan-Rissanen es válido para procesos con estructura AR(p), tiene laexpresión de un modelo de regresión, por tanto, una estimación preliminar puedehacerse usando mínimos cuadrados, y ARMA(p,q), es algo más complicado porquedepende de cantidades no observadas . Sin embargo, se puede aplicar esteprocedimiento (mínimos cuadrados) si reemplazamos por estimaciones suyas. Así elalgoritmo consta de los siguientes pasos:

Paso 1: Ajustamos un modelo AR(m) de orden alto ( m > máx{p,q}) usando por

ejemplo Yule-Walker. Así obtenemos

.

Paso 2: Estimamos los residuos del modelo anterior

Paso 3: Estimamos los parámetros mediante una regresiónmínimo cuadrática sobre y , minimizando

Con respecto a es decir:

Paso 4: Por último,

Vamos a explicar la estimación de los parámetros mediante la minimización de la sumade los residuos al cuadrado.


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Consiste en minimizar:

Sujeto a: Donde son las raíces del polinomio ( ) y son las raíces delpolinomio

(

). La primera restricción se aplica para asegurar que el

modelo AR(p) cumple la condición de estacionariedad, y la segunda restricción seaplica para asegurar que el modelo MA(q) cumple la condición de invertibilidad.

La sumatoria de los residuos al cuadrado comienza en , ya que nose dispone de datos para las series y , t = 1,2,…,T, cuando 1 t < 1. es un ruidoblanco que se genera de forma aleatoria.

El vector de parámetros a estimar es . Al resolver este problemase obtienen los valores estimados de los parámetros que componen el modelo. Por tanto,el modelo estimado queda:

Los residuos estimados son:

(4)que han de comportarse como ruido blanco si el modelo es correcto.

PASO 3: Validación de Modelo.

Para asegurar la validez e idoneidad del modelo y la efectividad de laspredicciones, los residuos estimados (4) se deben comportar como un ruido blanco. Unruido blanco es una serie de datos que se caracteriza por tener distribución normal,media y covarianza nulas y varianza constante.

Para comprobar que los residuos estimados obtenidos según (4) son ruido blanco:

• Representamos FAC y la FACP para los residuos: si los residuos estimadossegún (4) son ruido blanco, tanto en la FAC como en la FACP de estos residuos


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no debe aparecer ningún valor significativo; es decir, los valores de estasfunciones deben ser muy pequeños y estar dentro de las bandas de confianza

Estas son bandas asintóticas al 95 % de confianza, donde T es el número devalores de la serie .

• Test de Ljung-Box: este test indica si existe dependencia entre los m primerosresiduos estimados (4), es decir, si estos residuos presentan correlación no nula.El estadístico de Ljung-Box se define como:

Donde es el coeficiente de autocorrelación de los residuos estimados según(4).T es el número de valores de la serie y r es el número de parámetrosestimados.

Este estadístico, Q, se distribuye como una Chi-cuadrado con un número degrados de libertad igual al número de coeficientes utilizados en la suma, m,menos el número de parámetros estimados r menos 1 (m-r-1).

En la mayoría de los casos es suficiente con representar la FAC y FACP, ya que si nopresentan valores significativos, el valor del estadístico Q será pequeño, y por tanto sepuede considerar que existe independencia entre los residuos.

Si se comprueba que el modelo es adecuado, se puede continuar con el procedimiento ycalcular las predicciones. En caso contrario, se estudia el comportamiento de losresiduos estimados según (4), lo que ayuda a identificar un nuevo modelo; se vuelve alpaso 2 y se repite todo el proceso.


Después de obtener el modelo y comprobar su validez, se puede proceder apredecir.

La predicción óptima de , , es el valor esperado de condicionadoa que se conoce , es decir, la esperanza condicionada de conocido . De forma análoga se procede con los residuos.Por lo tanto:


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Donde T representa el origen de la predicción y k el horizonte de la misma. Lasfórmulas correspondientes a las predicciones que se quieren obtener, según el modeloestimado, son:

Tomando esperanzas condicionadas en la expresión anterior, la ecuación de predicciónpara el modelo ARIMA estimado es la siguiente:

Donde es el valor de la serie en el tiempo T+j. es la predicción obtenida para la serie en el tiempo T+j.

es el valor de la serie en el tiempo T+j. 2.3.EJEMPLO DE MODELIZACIÓN

Realizaremos un ejemplo para ilustra los pasos a seguir en la construcción de unmodelo ARIMA.

Se dispone de una serie de datos correspondiente a los precios horarios de

electricidad de un mercado de energía eléctrica , t = 1,…,T donde T = 148 (véase elAnexo A). En primer lugar, se analiza esta serie de datos y se estudia el comportamientoque presenta.

Presentamos a continuación, la representación gráfica de la serie :


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Después de diferenciadaARIMA, es necesaria la re

Por lo tanto, se toma la diFACP, que mostramos a c

F

F

MastTrabajo Fin de Master. Análisis de Series Temporales.

Alumno: M

la serie, para poder identificar los térmiresentación de la FAC y de la FACP.

ferenciación de orden 1 a la serie y se reprntinuación:

AC con diferenciación de orden 1 de

CP con diferenciación de orden 1 de

er en Estadística Aplicada. odelos Heterocedásticos.

nuel Quesada Pegalajar

os del modelo

senta su FAC y


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La FAC no tiene persistencia luego no es necesaria otra diferenciación. Podemosplantear 4 modelos:

- Modelo ARIMA(2,1,0). Debido a que la FACP corta en el segundo retardo yla FAC presenta un decrecimiento exponencial. . El modelo al que se ajustala serie presenta la forma:

- Modelo ARIMA(0,1,2). Debido a que la FAC corta tras el retar 2 y la FACPdecrece exponencialmente. . El modelo al que se ajusta la serie presenta laforma:

- Modelo ARIMA(1,1,1). Los valores de la FAC como los de la FACPpresentan un decrecimiento exponencial para los primeros valores seguidosde un comportamiento sinusoidal con valores próximos a cero para lossiguientes, y el primer valor es más significativo que el resto. El modelo alque se ajusta la serie presenta la forma:

- Modelo ARIMA(2,1,1). Los valores de la FAC como los de la FACP

presentan un decrecimiento exponencial para los primeros valores seguidosde un comportamiento sinusoidal con valores próximos a cero para lossiguientes, presentando dos retardos significativos al resto. El modelo al quese ajusta la serie presenta la forma:

PASO 2 y 3: Estimación de los parámetros y validación del modelo.

A continuación para cada uno de los modelos propuestos anteriormente vamos arealizar la estimación y validación. Y determinaremos de los 4 modelos cual es el quemejor se adapta a nuestra serie. Utilizaremos SPSS versión 15 para obtener laestimación de los parámetros del modelo.

Para el modelo ARIMA(1,1,1), obtendremos los valores estimados para los parámetros y y la constante c:


24/87

Obtenemos por tanto que ees 0.606 y el valor estisignificación, parece ser qutanto, estimamos el model

Obtenemos por tanto que ees 0.636. Por tanto el mode

A continuación, se realizcomportamiento. Los residFAC y la FACP, que se re

FAC de los

Retardos no estacionales

ConstanteSe ha utilizado el algoritmo d


Se ha utilizado el algoritmo d


Alumno: M

l valor estimado para es 0.837, el valorado para la constante c es 0.391. Si noe la constante no es necesaria para explicarsin constante, obteniendo:

valor estimado para es 0.877, el valor eslo tiene la siguiente forma:

a un estudio de los residuos estimadosos estimados deben ser ruido blanco. Para e

resentan a continuación:

residuos estimados para el modelo ARIMA(1,1,1)

Estimaciones de los parámetros

,837 ,097 8,

,606 ,142 4,

,391 ,262 1,

AR1

MA1

Estimaciones Error típico t

e Melard para la estimación.


,877 ,073 12,068

,636 ,118 5,366

AR1

MA1





stimado paras fijamos en lal modelo. Por lo

timado para

se observa sulo, se observa la

33 ,000

61 ,000

92 ,138

Sig. aprox.

,000

,000

Sig. aprox.


25/87

FACP de lo

Los residuos estimados spresentan ningún valor sibandas de confianza. Por lpredecir.

Para el modelo ARIMA(2,

y la constante c:

Obtenemos por tanto que ees 0.202 y el valor esti

Diagnóstico residual

147

2

145

264,795

275,157

1,822

1,350

-251,845

507,690

513,671

Número de residuos

Número de parámetros

GL residuales

Suma de cuadrados

residual corregida

Suma de cuadrados

residual

Varianza residual

Error típico del modelo

Log-verosimilitud

Criterio de información

de Akaike (AIC)

Criterio bayesiano de

Schwarz (BIC)


Constante

Se ha utilizado el algoritmo d


Alumno: M


n ruido blanco, ya que tanto la FAC conificativo. Todos los valores se encuentro tanto, se puede concluir que el modelo e

1,0), obtendremos los valores estimados par

l valor estimado para es 0.250, el valor eado para la constante c es 0.403. Si no


,250 ,082 3,

,202 ,082 2,

,403 ,203 1,

AR1

AR2





o la FACP non dentro de lass adecuado para

a los parámetros

stimado paras fijamos en la

62 ,003

64 ,015

83 ,049

Sig. aprox.


26/87

significación, parece sermodelo. Por tanto el model

A continuación, se realizcomportamiento. Los residFAC y la FACP, que se re

FAC de los

FACP de lo

Los residuos estimados spresentan ningún valor sibandas de confianza. Por lpredecir.


Alumno: M

ue todos los parámetros son necesarioso tiene la siguiente forma:

a un estudio de los residuos estimadosos estimados deben ser ruido blanco. Para e

resentan a continuación:



n ruido blanco, ya que tanto la FAC conificativo. Todos los valores se encuentro tanto, se puede concluir que el modelo e



para explicar el

se observa sulo, se observa la

o la FACP non dentro de lass adecuado para


27/87



Para el modelo ARIMA(0,1,2), obtendremos los valores estimados para los parámetros y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es -0.241, el valor estimado para es -0.170 y el valor estimado para la constante c es 0.413. Si nos fijamos en la

significación, parece ser que todos los parámetros son necesarios para explicar elmodelo. Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

A continuación, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa sucomportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa laFAC y la FACP, que se representan a continuación:


147

2

144

267,147

267,147

1,853

1,361

-252,504

511,008

519,979

Número de residuos


GL residuales

Suma de cuadrados

residual corregida

Suma de cuadrados

residual

Varianza residual


Log-verosimilitud


de Akaike (AIC)


Schwarz (BIC)


-,241 ,082 -2,928 ,004

-,170 ,082 -2,066 ,041

,413 ,161 2,570 ,011

MA1

MA2


Constante

Estimaciones Error típico t Sig. aprox.

Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.


28/87

FAC de los

FACP de lo

Los residuos estimados nobserva que se salen de lasel modelo es adecuado par


Alumno: M



o son ruido blanco, ya que para los primbandas de confianza. Por lo tanto, no se pupredecir.



ros retardos sede concluir que


29/87



Para el modelo ARIMA(2,1,1), obtendremos los valores estimados para los parámetros y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para

es -0.241, el valor estimado para

es 0.046, el valor de

es de 0.558 y el valor estimado para la constante c es 0.390. Si

nos fijamos en la significación, parece ser que el parámetro y la constantes no sonnecesarios para explicar el modelo. Por lo tanto este modelo no es bueno para explicareste conjunto de datos.

Para determinar cuál de los tres modelos es mejor, nos vamos a basar en la comparacióndel criterio de Akaike. Para el modelo ARIMA(1,1,1) el valor AIC es de 507.609. Parael modelo ARIMA(2,1,0) el valor AIC es de 511,008. Para el modelo ARIMA(0,1,2) elvalor AIC es de 515,997. Por tanto, el mejor modelo para estimar la serie es el modeloARIMA(1,1,1) ya que tiene un valor AIC menor al de los otros modelos.


En los pasos anteriores hemos obtenido el modelo y además hemos comprobadosu idoneidad para poder predecir.

La fórmula de predicción para el modelo obtenido es:


147

2

144

276,366

284,9891,918

1,385

-254,999

515,997

524,969

Número de residuos


GL residuales

Suma de cuadradosresidual corregida

Suma de cuadrados

residualVarianza residual


Log-verosimilitud


de Akaike (AIC)


Schwarz (BIC)


,769 ,249 3,090 ,002

,046 ,135 ,336 ,737

,558 ,239 2,337 ,021

,390 ,260 1,497 ,137

AR1

AR2

MA1

Retardos no

estacionales

Constante

Estimaciones Error típico t Sig. aprox.



30/87



Se dispone de datos hasta el tiempo T y se quieren realizar dos predicciones. Se quiere

predecir el valor de la serie para t = 149 y para t = 150, es decir, y . Para el cálculo de las predicciones basta con sustituir k = 1 y k = 2 en lafórmula de predicción.

Para k = 1 la fórmula de predicción queda:

Donde

es el valor real de la serie en el tiempo T.

es el valor real de la serie

en el tiempo T-1.

es el valor de la serie de residuos en el tiempo T. es el valor de la serie de residuos de en el tiempo T+1.Sustituyen cada uno de los valores se calcula la predicción para t = 149, . El valorobtenido para la predicción es .Para k = 2 la fórmula de predicción queda:

Donde

es el valor predicho de la serie en el tiempo T+1. es el valor real de la serie en el tiempo T. es el valor de la serie de residuos en el tiempo T+1. es el valor de la serie de residuos de en el tiempo T+2.Sustituyen cada uno de los valores se calcula la predicción para t = 150, . El valorobtenido para la predicción es .Calculamos los errores obtenidos al realizar cada una de las predicciones. El error secalcula a través de la siguiente expresión:


31/87



Vamos a presentar una tabla con estos errores, junto con los valores reales y los

predichos de la serie :Valor Real Valor Predicho Error (%)261.2 261.66 0.2262.7 261.91 0.3

Calculamos el error total mediante la siguiente expresión:

Se obtiene un error total de 0.25 %.


32/87



3.MODELOS ARCH Y GARCH

3.1.MODELO ARCH

En la práctica los modelos del tipo lineal de series de tiempo tales como

ARIMA(p,d,q) o los modelos causales de regresión lineal, no siempre resultan los másadecuados para analizar y predecir adecuadamente un proceso real. Por tal motivo sehan propuestos modelos no lineales con la consecuencia de desarrollar métodos deestimación apropiados para estos casos así como los test que permitan validar losresultados.

Muchas series temporales económicas, y especialmente series financieras, muestrancambios en los momentos condicionados de segundo orden. Estos cambios tienden aestar correlacionados serialmente, en el sentido de que cambios de gran magnitud en elvalor de la serie son seguidos por grandes cambios (periodos de mucha volatilidad)mientras que a cambios pequeños en el valor de la serie les siguen cambios pequeños(periodos de poca volatilidad). Es decir, esto se traduce, en la presencia de correlacionespositivas en la serie de los cuadrados. Además se produce un exceso de curtosis o laausencia de correlación en los niveles. Fue Engle quien proporcionó una serie demodelos que tratan de representar este comportamiento de la serie.

La formulación básica de estos modelos consiste en modelizar la serie según lasiguiente ecuación:

Donde (proceso de ruido blanco formado por variables aleatorias normalesindependientes de media cero y varianza unidad) y (factor denominado volatilidad)son procesos estacionarios independientes entre sí.

La condición de independencia entre , garantiza que la serie tenga mediamarginal igual a cero:

Y lo mismo ocurre con la media condicional que es nula:

La varianza marginal de tiene que ser constante, . Esta varianza se calcula como:

Sin embargo la varianza condicionada no es constante:


33/87



siendo

Por tanto, , representa la varianza condicionada de la serie en cada instante , que vavariando con cierta estructura estacionaria.La condición de independencia entre , además de garantizar que la serie tengamedia marginal igual a cero, nos garantiza que la serie carezca de autocorrelación yforme un proceso de ruido blanco. Sin embargo, la serie no es de variablesindependientes.

A continuación vamos a estudiar el comportamiento de este modelo en los casos mássimples: modelo ARCH(1) (la varianza condicional depende de un retardo de la serie),

como es lógico, este ruido blanco podría tomarse como el comportamiento de loserrores provenientes de un modelo de regresión dinámico dado por donde es un vector de variables predeterminadas que incluye los términos de en periodosanteriores y el vector de parámetros que tendría que estimarse, este modelo deregresión se denomina modelo de regresión ARCH, en el sentido de que ahora es eltérmino de error de un modelo de regresión el que adopta una estructura ARCH, yconsideraremos r retardos y describiremos el modelo ARCH(r).

3.1.1.MODELO ARCH(1)

Para el modelo ARCH(1), su varianza condicional tiene una estructurasimilar a un AR(1), y por tanto solo depende del último valor observado: donde (corresponde a la mínima varianza condicional observada) y (es una condición necesaria y suficiente para la existencia de la varianza incondicional yla condicional).

Por tanto, esta ecuación establece que si el valor de

es alto, la varianza

de la

siguiente observación condicionada a este valor será también alta. Esto va a producircorrelación entre los cuadrados de la serie, provocando rachas de valores de magnitudrelativamente elevada o con mayor varianza. Pero como la media marginal y lacondicionada vale cero, aunque la varianza condicionada sea alta, siempre es posibleque aparezca un valor pequeño de , que disminuirá la varianza condicionada de laobservación siguiente y facilitará que la siguiente observación sea pequeña en valorabsoluto. De manera que la serie puede presentar rachas de valores altos, peroglobalmente será estacionaria.

La varianza marginal de la serie es el promedio de las varianzas condicionadas, que

debe de ser mayor que y será tanto mayor cuanto mayor sea el coeficiente que


34/87



transmite el efecto de la última observación. Si llamamos a a la varianzamarginal, entonces:

Siendo y sustituyendo en obtenemos: Además, el modelo ARCH(1), establece dependencia de tipo AR(1) entre los cuadradosde las observaciones, por tanto:

(Nota:

es un proceso de ruido blanco, formado por variables estacionarias

incorreladas de media cero y varianza marginal constante).

Si llamamos a la función de autocorrelación de los cuadrados de la serie, donde elsubíndice c se refiere a los cuadrados, se obtiene:

que indica que las autocorrelaciones de los cuadrados de las series tienen la estructurade un AR(1) con parámetro .Este modelo, una curtosis igual a:

Como , este coeficiente de curtosis es siempre mayor que 3, y puede ser muchomayor. Por lo tanto, la distribución marginal tendrá colas pesadas.

En resumen:

- Las esperanzas marginal y condicional son iguales a cero.- La varianza marginal es constante- La varianza condicional depende de los valores que haya tomado luego noes constante.- La distribución marginal del proceso ARCH(1) tiene una forma desconocida.

3.1.2.MODELO ARCH(r)

El modelo anterior puede generalizarse permitiendo una dependencia de lavarianza condicional con r retardos. De manera que el modelo ARCH(r) para ,la varianza condicional


35/87



donde (corresponde a la mínima varianza condicional observada) y (es una condición necesaria y suficiente para la existencia de la varianza incondicional yla condicional).En este proceso las posibilidades de rachas de alta volatilidad depende de los r últimosvalores. La varianza marginal:

Por tanto:

siendo Si introducimos , como en el caso del proceso ARCH(1), será un procesode ruido blanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero yvarianza marginal constante, podemos expresar la dependencia de los cuadrados de lasobservaciones como un proceso AR(r):

Estas variables no son independientes entre sí ni de los regresores, ya que la positividadde exige que:

Así en un modelo ARCH(r) se verifica que:

- Es un proceso de ruido blanco pero no es independiente y no está idénticamentedistribuido.

- Las esperanzas condicional y no condicional son iguales a cero.- La varianza no condicional es constante.- La varianza condicional depende de luego no es constante.

3.2.MODELO GARCH

Un rasgo común a muchas de las primeras aplicaciones empíricas de losmodelos ARCH es que requieren un gran número de parámetros autorregresivos y, pararepresentar adecuadamente el comportamiento dinámico de la varianza, se imponía unaestructura fija de retardos. Con el fin de flexibilizar estas restricciones Bollerslev (1986)propuso el modelo ARCH generalizado o GARCH.

La generalización del modelo ARCH al modelo GARCH tiene gran similitud con laextensión de los procesos autorregresivos, AR, a los autorregresivos de medias móviles,

ARMA, permitiendo una representación más parsimoniosa de la volatilidad. Bollerslevconsidera que la varianza, , además dependen de las observaciones pasadas de ,


36/87



depende también de su propio pasado. Esta dependencia se expresa incluyendo ciertonúmero de retardos p de , de forma que la varianza condicional se define entoncescomo:

donde , , i = 1,…,r, , j = 1,…,p aunque estas restricciones seestablecen para garantizar que la varianza sea positiva, Nelson y Cao (1992) demuestranposteriormente que la positividad de la varianza está asegurada bajo condiciones másdébiles. En concreto demuestran que si el modelo GARCH de la ecuación admiteuna representación ARCH, es suficiente exigir que los coeficientes del polinomiode retardos en dicha representación sean todos positivos. El nuevo modelo se denomina

GARCH(p,r), y se reduce al ya conocido ARCH(r) cuando p = 0. Bollerslev establecelas condiciones de estacionariedad, probando que es débilmente estacionario con Es importante la relación que existe entre los modelos GARCH y ARMA ya que, sidefinimos será un proceso de ruido blanco formado por variablesestacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante, podemos

expresar la dependencia de los cuadrados de las observaciones del modelo GARCHcomo un proceso ARMA, según la siguiente ecuación:

3.2.1.MODELO GARCH(1,1)

Muchos trabajos con series financieras, muestran que el más sencillo de los

modelos GARCH, el GARCH(1,1), es suficiente para modelizar con éxito los cambiostemporales en la varianza condicional, incluso sobre periodos muestrales largos. Elmodelo GARCH(1,1) se obtiene cuando p = r = 1, de forma que la varianzacondicionada queda:

con , , . Si , la serie tiene varianza finita, y por seruna martingala en diferencias, es ruido blanco, de media cero y varianza


37/87



Además, Bollerslev prueba que si

,el momento de orden 4 de

existe y es finito, y la curtosis de es Cuando , este valor es mayor que 3 y, por tanto, el proceso GARCH(1,1)estacionario es leptocúrtico, propiedad que comparte con el modelo ARCH(1).

Si p = r = 1, la ecuación se escribe como:

el modelo GARCH(1,1) puede interpretarse como un proceso ARMA(1,1) para la serie, cuya función de autocorrelación será:

Mientras que

3.2.2.MODELO IGARCHEn las aplicaciones de modelos GARCH(1,1) a series financieras, es casi

sistemática la obtención de un valor estimado de prácticamente igual a uno, enespecial si la frecuencia de observación es alta. Por ejemplo, los trabajos de Engle yBollerslev (1986), Bollerslev (1987), Baillie y DeGennaro (1989) y Hsieh (1989) conseries de tipos de cambio, Chou (1988), Baillie y DeGEnnaro (1990) y Poon y Taylor

(1992) con índices de bolsa, y otros trabajos encuentran siempre valores de

superiores a 0’9. Teniendo en cuenta la forma de la función de autocorrelación de , unvalor de próximo a uno significa que dicha función apenas decrece, indicandoque los cambios en la varianza condicional son relativamente lentos y, por tanto, losshocks (cambios bruscos) en la volatilidad persisten. Esta propiedad es interesanteporque refleja precisamente una de las características típicas de las series financieras:aunque la serie original está incorrelada, existe correlación en la serie de los cuadradosy, además, estas correlaciones decrecen lentamente, mostrando valoressignificativamente distintos de cero incluso para retardos altos.

Los resultados de los trabajos mencionados anteriormente justifican el interés de un

modelo GARCH(1,1) en el que se imponga la condición . El modelo


38/87



resultante, denominado GARCH integrado IGARCH, fue propuesto por Engle yBollerslev (1986) y en él la ecuación para la varianza condicionada es:

El modelo ya no es débilmente estacionario, porque su varianza marginal no es finita.Sin embargo, se prueba fácilmente que la ecuación admite una representación de laforma: Donde es el operador de primeras diferencias, y es un proceso de ruidoblanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianzamarginal constante.

La ecuación anterior permite interpretar el modelo IGARCH(1,1) como un proceso

MA(1) estacionario para las primeras diferencias de , lo que indica cierta analogía delmodelo IGARCH(1,1) con el proceso ARIMA(0,1,1). Sin embargo, existen diferenciassignificativas entre ellos.

3.2.3.MODELO EGARCH

Nelson (1991) observó ciertas limitaciones en los modelos GARCH:

- Las condiciones impuestas sobre los parámetros para asegurar que no seanegativo son violadas en algunas aplicaciones empíricas.

- El modelo GARCH es incapaz de modelizar una respuesta asimétrica de lavolatilidad ante las subidas y bajadas de la serie.

Con el fin de solventar estas deficiencias, Nelson propuso un nuevo modelo GARCHexponencial o EGARCH.

El modelo EGARCH garantiza la no negatividad de la varianza condicional formulandola ecuación de la volatilidad en términos de logaritmo de , mediante unarepresentación lineal del tipo:

Donde . A través de esta función g, que depende delsigno y de la magnitud de , el modelo EGARCH puede capturar una respuestaasimétrica de la volatilidad ante innovaciones de distinto signo, permitiendo asímodelizar un efecto contrastado empíricamente en muchas series financieras: las malasnoticias (rendimientos negativos) provocan mayor aumento de la volatilidad que lasbuenas noticias (rendimientos positivos).


39/87



Por construcción, las perturbaciones son variables independientes e idénticamentedistribuidas con media cero y varianza constante, y por tanto puede considerarsecomo una representación ARMA para la serie .3.3.CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS

Vamos a seguir los siguientes pasos para la construcción de estos modelos:identificación, estimación de los parámetros y diagnosis y validación.

PASO 1: Identificación de los términos del Modelo

La identificación de los modelos ARCH y GARCH, se efectúan después deajustar un modelo ARIMA a la serie. Si existen efectos ARCH, los residuos del modeloARIMA estarán incorrelados pero no serán independientes y este efecto será visible enla función de autocorrelación de los residuos al cuadrado, que mostrarán correlación

serial. Además, si calculamos los coeficientes de autocorrelación parcial de los residuosal cuadrado y el modelo para los residuos es ARCH puro, el número de términosdistintos de cero nos indicará, aproximadamente, el orden del proceso.

Para detectar estructuras en los cuadrados podemos acudir a los contrastes deMcLeod y Li (1983) y Peña y Rodríguez (2006). Además de estos contrastes generales,que sirven para detectar una estructura general no lineal, pueden utilizarse contrastesespecíficos para detectarla.

PASO 2: Estimación de los parámetros del Modelo

En cuanto a la estimación de los modelos, todas las metodologías giran en tornoa la aplicación de dos: la primera es la de Máxima Verosimilitud y la segunda es elmétodo de momentos generalizados, ambos superan los inconvenientes que presenta elmétodo de mínimos cuadrados, en cuanto a su ineficacia para identificar el proceso quegobierna la evolución de la varianza, además ambos se aplican partiendo del modelo deregresión ARCH.

Estimación de los parámetros del modelo ARCH: Vamos a describir laestimación de los parámetros a través del método de máxima verosimilitud. Para

ello, se construye la función de verosimilitud utilizando la descomposición delerror de predicción. Maximizando esta función se obtienen los estimadoresmáximo verosímiles. Como es habitual en modelos de series temporales, lafunción de verosimilitud se construye como el producto de las densidadescondicionadas. Asumiendo que las perturbaciones en , son variablesaleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución N(0,1),los modelos ARCH son condicionalmente gaussianos y la distribucióncondicionada es N(0,). Por tanto, la expresión del logaritmo de lafunción de verosimilitud resulta ser:


40/87



donde es el vector de parámetros desconocidos del modelo y denota la densidad condicionada de dadas las observaciones previas hasta elinstante t-1.

Bajo ciertas condiciones de regularidad se demuestra que, si los

momentos de primer y segundo orden están correctamente especificados, losestimadores máximo verosímiles son consistentes y asintóticamente normales.

Para facilitar los cálculos vamos a considerar el modelo ARCH(1). Su funciónde verosimilitud es:

donde las funciones de densidad son normales. Como , siconsideramos

, el valor de

es una constante y la única variable es

que

tiene distribución normal. La media condicionada de la distribución es cero, y la varianza . La log-función de verosimilitudcondicionada a será:

Derivando respecto a los parámetros, llamando

e igualando a

cero se obtienen las ecuaciones:

Multiplicamos y dividimos el primer miembro por y obtenemos:

son las ecuaciones mínimo cuadrados para obtener los parámetros del modelo.Resolviendo este sistema obtenemos la estimación de y .

Estimación de los parámetros del modelo GARCH: Vamos a explicar, aligual que en el caso anterior, la estimación de los parámetros a través del métodode máxima verosimilitud.


41/87



Para ello vamos a considerar el modelo GARCH(r,s), donde , vamos adefinir la función de verosimilitud de un proceso estacionario , llamando a :

ya que la varianza condicional de las variables es . Condicionando a lasprimeras r observaciones, que tienen una distribución más complicada, lafunción soporte condicionada es:

Que puede maximizarse con un algoritmo de optimización no lineal para obtenerlos estimadores de los parámetros que aparecen en la media condicional y en lavarianza condicional.

Por tanto, la estimación puede realizarse en dos etapas ya que la correlación entre losparámetros ARMA y la de los GARCH suele ser pequeña.

Primera Etapa: se estiman los parámetros de la media condicional, es decir, el

modelo ARMA, y se construyen las innovaciones Segunda Etapa: se estiman los parámetros de la varianza condicionalmaximizando la verosimilitud de los residuos. Alternativamente se puedencalcular las ecuaciones de la media condicional y la varianza condicionalconjuntamente, con lo que se obtiene una estimación más precisa.

PASO 3: Diagnosis.

Vamos a llamar a los residuos del modelo ARIMA y a las varianzascondicionadas estimadas, los residuos estandarizados , deben seguir un procesode ruido blanco normal y podemos aplicarles los contrastes para los procesos ARIMA.Sus cuadrados no deben mostrar dependencia, esto se puede comprobar con loscontrastes sobre autocorrelación de los cuadrados: Durbin Watson, Wallis, h-Durbin,Breusch-Godfrey y Cochrane-Orcutt.

En la diagnosis de los modelos, hay que tener en cuenta la posible confusión entrevalores atípicos y heterocedasticidad condicional. Los valores atípicos puedeninterpretarse como un aumento de la varianza en ese instante y especialmente siaparecen en rachas, puede confundirse con efectos de heterocedasticidad condicional.


42/87

Por otro lado, la serie quatípicos si se analiza comoPor lo tanto, es importante

En la práctica, se s

presentan residuos tan gcondicional y que son muyes que es muy poco proobservaciones con residuodatos como atípicos. A con

3.4.EJEMPLO MODE

Consideramos la serie mepara 792 observaciones. Pr

Vamos a denotar a la seriey la FAC parcial de la serie


Alumno: M

e sigue un modelo ARCH puede mostrarsi tuviese varianza constante y siguiese uniferenciar ambos fenómenos.

uele limpiar la serie inicialmente de las o

randes que no pueden ser debidas a h probablemente valores atípicos. Una regla s

able que la heterocedasticidad condicionas mayores de siete desviaciones típicas, ytinuación se estima los efectos AR.

LO GARCH

sual de rentabilidades del Index S&P 500sentamos a continuación la representación d

e rentabilidades por . A continuación pres:



muchos valoresmodelo ARMA.

servaciones que

terocedasticidadimple y efectival pueda generarconsiderar estos

a partir de 1926e la serie:

entamos la FAC


43/87


Alumno: M




44/87

Observando estas funcionconcretamente para el prim

Presentamos a continuació

Podemos observar que exis

Si consideramos como bue

Y el modelo quedaría:

Siendo .

MA1

MA2

MA3

Retardos no

estacionales

Constante

Se ha utilizado el algorit


Alumno: M

s, nos damos cuenta que para los primerero y el tercero se salen fuera de las bandas

la FACP de :

te una fuerte dependencia lineal.

modelo un MA(3) obtendríamos:


-,095 ,035 -2,685

-,010 ,035 -,268

,141 ,035 3,999

,006 ,002 3,115


mo de Melard para la estimación.



s retardos, máse confianza.

,007

,789

,000

,002

Sig. aprox.


45/87



Para simplificar vamos a usar un AR(3) cuya expresión es:

Realizando los cálculos con SPSS obtenemos:


Estimaciones Error típico T Sig. aprox.

Retardos noestacionales

AR1 ,089 ,035 2,513 ,012

AR2 -,024 ,036 -,670 ,503

AR3 -,123 ,035 -3,466 ,001

Constante ,006 ,002 3,168 ,002


El modelo quedaría de la siguiente forma:

Siendo Vamos a crear un modelo GARCH(1,1):

Una estimación conjunta de AR(3)-GARCH(1,1) da:

De la ecuación de la volatilidad, la varianza implícita incondicional de : La cual es similar a del modelo AR(3). Sin embargo la proporción deparámetros en la ecuación significa que sugieren que los tres coeficientes de AR no sonsignificativamente con un nivel del 5 %. Por tanto, se perfecciona el modelo dejando

caer todos los parámetros AR. El modelo refinado: La desviación típica de la media es constante 0.0015, mientras que los parámetros de laecuación de volatilidades son 0.000024, 0.0197 y 0.0190, respectivamente. La varianzano condicional de es: Esto es un modelo estacionario simple GARCH(1,1). La siguiente gráfica muestra elproceso de volatilidades estimado :


46/87

A continuación mostramos

varianza para el modelo G

La serie parece ser un plas FAC de los residuos de


Alumno: M

la representación de los saltos de la varianza

RCH(1,1):

oceso de ruido blanco. Esto lo vemos en la r y de :



de la

presentación de


47/87

Estas FAC no sugierencondicional en la serie de(0.45) y Q(24)=28.52 (0.2

, donde el número entremodelo parece ser adecuadde volatilidades. Hay que

, que es cercano alleva a la imposición de lun sistema integrado devolatilidad de los rendimieecuación de volatilidades e

Teníamos que

El paso 1 de predicción es:

Donde es la ecuaciónecuación de volatilidades.

incondicional de . Parasiguiente muestra algunos


Alumno: M

ninguna correlación significativa serial oresiduos. Más específicamente, tenemos q) para y Q(12)=13.11 (0.36) y Q(24) = 2paréntesis es el p-valor de la estadística d

o para describir la dependencia lineal en eltener en cuenta que el modelo ajustado m. Este fenómeno se observa con frecuenciarestricción en un GARCH(1,

ARCH ( o IGARCH) modelo. Finalmententos mensuales superiores a los S & P 500,n la ecuación

residual de la media en un tiempo h yEl valor inicial de se fija en cero o

el siguiente poso utilizamos la fórmula reronósticos y la volatilidad de la publicación



heterocedasticae Q(12)= 11,996.45 (0.33) paraprueba. Así, el

etorno y la serieestraen la práctica y), resultando enpara predecir lapodemos usar la

se obtiene de lade la varianza

ursiva. La tablamensual:


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Asumiendo que se distrireestimamos el modelo GA

Donde el error param

respectivamente. Este modcual es cercano a 1. El estade 0.33 y estos de la serimodelo GARCH(1,1) con


Alumno: M

uye según una t-Student con 5 grados de libRCH(1,1):

trico es de 0.0015, , 0.0

elo es un IGARCH(1,1), verificando queístico residual de Ljung-Box da Q(10)=11.3

da Q(10) =10.48 con un p-valor de 0.na distribución T-Student es adecuado.



rtad,

96 y 0.0371,

el8 con un p-valor0. Por tanto, el


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4.MODELOS SV

Una forma alternativa de modelizar los cambios temporales en la volatilidad es através de los modelos de volatilidades estocásticas SV introducidos por Taylor (1986).En estos modelos,

no depende de las observaciones pasadas de la serie, sino de una

variable no observable, que habitualmente es un proceso estocástico autorregresivo.Para garantizar la positividad de la varianza, la ecuación de la volatilidad, la volatilidadse define para el logaritmo de , al igual que en el modelo EGARCH.

Los modelos SV encajan mejor con la teoría financiera y se generalizan bien alcaso multivariante. Sus propiedades dinámicas son fáciles de obtener e interpretar apartir de las del proceso estocástico subyacente, pero desafortunadamente, la estimaciónes más difícil que en los modelos ARCH, al no poderse construir fácilmente la funciónde verosimilitud de forma exacta. Esto conlleva la utilización de métodos de estimación

como pseudo-máxima verosimilitud, máxima verosimilitud simulada o el métodogeneralizado de los momentos, entre otros.

A continuación vamos a describir el modelo SV autorregresivo de orden 1.

4.1.MODELO SV(1)

La ecuación estructural de estos modelos es idéntica a la de los modelosGARCH, , donde los errores (proceso de ruido blanco formado porvariables aleatorias normales independientes de media cero y varianza unidad). Adiferencia de los GARCH donde la varianza depende de factores observables, en estemodelo se supone que los logaritmos de las varianzas condicionales siguen un procesoAR, para nuestro caso un AR(1) tal que:

Donde . Llamando este proceso es un AR(1) con ruidos normales,por lo que la distribución de la variable será también normal. Los parámetros de ladistribución marginal son los de un AR(1), es decir, la media es y la varianza . Entonces la será lognormal y puede demostrarse que: El coeficiente de curtosis es:

que será siempre mayor que 3, que al igual que en los modelos ARCH, tienen uncomportamiento leptocúrtico. Este modelo tiene también la capacidad de generardistribuciones con colas pesadas, pero no está ligado necesariamente con la persistencia

en la volatilidad, medida por el parámetro .


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La estructura de correlación de los cuadrados de este modelo es:

Si la varianza es pequeña, puede demostrarse que esta expresión implica undecaimiento similar a un AR(1) con parámetro .Por tanto, al ser el modelo SV una martingala en diferencias, trae como consecuenciaque:

Las condiciones para que sea estacionario es que .


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5.CONTRASTES DE AUTOCORRELACIÓN.

Para detectar la presencia de autocorrelación se pueden utilizar métodos gráficos(ya estudiados anteriormente) y contrastes de hipótesis. A través de los contrastesgráficos se intuirá si existe autocorrelación cuando existan comportamientossistemáticos para los residuos.

Los contrastes de hipótesis, por su parte, permiten, a través de una regla de decisión,considerar si con los datos de la muestra y con un nivel de significación (α) concreto sedebe o no rechazar la hipótesis nula.

Todos los contrastes numéricos de autocorrelación se plantean con idénticas hipótesis;así, podemos señalar que la forma general del contraste es:

En la hipótesis nula se considera que el término de perturbación correspondiente a unaobservación es independiente del correspondiente a cualquier otra observación. En lahipótesis alternativa se señala que el término de error de un modelo econométrico estáautocorrelacionado a través del tiempo. Esta hipótesis alternativa, al considerar laexistencia de un patrón de comportamiento para los residuos, se puede especificar conprocesos autorregresivos AR(p), de medias móviles MA(q) o mixtos ARMA(p,q)dependiendo del contraste que se vaya a utilizar.

Se presentan a continuación distintos contrastes que permiten detectar si lasperturbaciones están o no autocorrelacionadas y, en caso de estarlo, bajo qué esquema.

5.1.CONTRASTE DE DURBIN-WATSON (1951)

El contraste desarrollado por Durbin y Watson es la prueba más frecuentementeempleada para detectar la presencia de autocorrelación en los modelos de regresión.Este contraste permite verificar la hipótesis de no autocorrelación frente a la alternativade autocorrelación de primer orden bajo un esquema autorregresivo AR(1), es decir,

Analíticamente el contraste se especifica del siguiente modo:

La forma concreta de la hipótesis alternativa establece unas cotas para el coeficiente decorrelación; éstas son necesarias para garantizar algunas características del modelo, en

concreto que la varianza sea finita.


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El estadístico de contraste viene dado por

A partir de este estadístico se puede interpretar que:

• Si hay autocorrelación positiva las diferencias entre residuos que distan unperiodo es muy pequeña por lo que el valor del estadístico d será próximo acero.

• Si hay autocorrelación negativa los residuos serán prácticamente iguales pero designo contrario, su diferencia será por tanto grande y el estadístico será máspróximo al límite superior que, como se verá, se establece en cuatro.

• Si no hay autocorrelación, la relación entre los residuos será intermedia y portanto, el valor del estadístico experimental también alcanzará un valorintermedio.

Para establecer los límites de variación del estadístico d la fórmula anterior se puededesarrollar obteniéndose una expresión en función del coeficiente de autocorrelaciónmuestral de primer orden para los residuos :

cuando el tamaño de la muestra es grande, se puede considerar que entonces el estadístico d se puede expresar como:

y dado que el coeficiente de correlación empírico de primer orden se calcula como

entonces el estadístico experimental se puede expresar por

,Teniendo en cuenta los límites de variación del coeficiente de correlaciónempírico,

, se puede deducir el rango de variación del estadístico de Durbin-

Watson y el signo de la autocorrelación:


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Por tanto, se aprecia que

modo que cuánto más próla evidencia de autocorexperimental d es dos, endetectará un problema de a

No obstante, estos valorestableciendo regiones mautocorrelación y, en casonecesario precisar que la di

de los valores concretos deúnico que permita estableDurbin y Watson hallarondecisiones acerca de la pre

Estos valores señalan el lídecir, para valores del estahipótesis de ausencia de ahipótesis nula y suponer qy, por tanto, no están autoc Si el valor del estadístico dautocorrelación frente a lapero considerando el valorpor tanto los límites anteri

Gráf

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