ANEXO C - Problemas Resolvidos e Propostos

Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos

Jorge A. Villar Al C-1

AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS

PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS

((22001111))

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-2

1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS MANOMETRA. (CAP.3)....................................................................... 23 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSO (CAP3) ..................................................... 28 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS CINEMTICA (CAP.4)........................................................................... 42 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS CONSERVAO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAES (CAP.7) ....................................... 79 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87



EEXXEEMMPPLLOOSS

PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS

CCAAPP 22

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-4

1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2)

[ 1 ] Determine o peso de um reservatrio de leo que possui uma massa de 825 kg.

[ 2 ] Se o reservatrio do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa especfica, peso especfico e densidade do leo.

[ 3 ] Se 6,0m3 de leo pesam 47,0 kN determine o peso especfico, massa especfica e a densidade do fluido. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especfica e o peso do ar contido no tanque quando a presso relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque 210C e que a presso atmosfrica vale 101,3kPa. A constante do gs para o ar R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa especfica de 0,85 kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemtica. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma presso de 500 2K N m em termos da altura de coluna de gua de massa especfica = 1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercrio com massa especfica = 13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= . [ 7 ] A gua de um lago localizada numa regio montanhosa apresenta temperatura mdia igual a 100C e profundidade mxima do lago de 40m. Se a presso baromtrica local igual a 598 mmHg, determine a presso absoluta na regio de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercrio igual a 13,54. [ 8 ] Expresse a presso relativa de 155kPa como uma presso absoluta. A presso atmosfrica local de 98,0 kPa. [ 9 ] Expresse uma presso absoluta de 225,0 kPa como uma presso manomtrica. A presso atmosfrica local de 101,0 kPa. [ 10 ] Um vacumetro indica uma presso de 70 kPa. Determinar a presso absoluta considerando que a presso atmosfrica local igual a 100 kPa. [ 11 ] Um manmetro instalado numa tubulao de gua indica uma presso de 2,0 kgf/cm2. Determinar a presso absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a presso atmosfrica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercrio igual a 13,6. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de dimetro interno. Sabendo que a velocidade mdia do escoamento de 2,6 m/s, determine o valor do nmero de Reynolds. [ 13 ] Em um reservatrio contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m. Determine: a) peso da glicerina; b) massa especfica da glicerina; c) peso especfico da glicerina; d) densidade da glicerina. [ 14 ] Um avio voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55C. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) nmero de Mach; fluido compressvel ou incompressvel? c) subsnico ou supersnico?

[ 15 ] Determine a massa especfica do ar que se encontra num reservatrio com temperatura de 50C, no qual existe um manmetro indicando uma presso de 370 kPa.



Soluo dos Problemas - Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatrio de leo que possui uma massa de 825 kg.

kNNs

mkgxw

mgw

093,8ou 25,809381,9825 2 ==

=

[2] Se o reservatrio do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa especfica, peso especfico e densidade do leo. Massa especfica

33 90067,899917,0825

m

kgm

kgVm

=== Peso especfico

323 8,882581,967,899m

Ns

mx

m

kgg === Tambm poderia ser determinada como

33 8,8825917,025,8093

m

Nm

NVw

=== densidade

)4()4( 22 caOH

fluido

caOH

fluidodoo

==

90,089967,01000

67,899

)4(2

===caOH

fluidodo

[3] Se 6,0m3 de leo pesam 47,0 kN determine o peso especfico, massa especfica e a densidade do fluido. Peso especfico 334,78336

100047m

NxVW

===

Massa especfica 351,79881,934,7833

m

kgg

===

mm

xss

mkg

mm

Ns

s

mm

N

g 3

22

3

2

2

3.

.

====

Densidade 80,0

100051,798

02 40

===

CaH

leod

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-6

[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especfica e o peso do ar contido no tanque quando a presso relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque 210C e que a presso atmosfrica vale 101,3kPa. A constante do gs para o ar R=287 (J/kg K) A presso absoluta Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. A temperatura absoluta Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K A massa especfica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos

323,529428710003,441

m

kgx

x

RTP

=== As unidades so:

( ) 322

..

..

m

kgxKmmNKkgN

KxkgKNm

m

N

RTP ==

==

O peso de ar contido no tanque igual a

NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 === Conferindo as unidades:

( ) Ns

mkgm

s

m

m

kggW ==

== 2323 .

[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa especfica de 0,85kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemtica.

s

mx

kgms

s

kgmx

kgmsN

x

m

kgm

Nsx 2

62

66

3

23

1088,5..1088,5..1088,5850

105

=

====

[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma presso de 500 2K N m em termos da altura de coluna de gua de massa especfica = 1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercrio com massa especfica = 13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= . Soluo Em termos de coluna de gua: gua de 95.50

81.9100010500 3

mgph =

==

Em termos de coluna de mercrio com = 13 6 103 3. kg m .

mercrio de 75.381.9106.13

105003

3

mh =

=



[7] A gua de um lago localizada numa regio montanhosa apresenta temperatura mdia igual a 100C e profundidade mxima do lago de 40m. Se a presso baromtrica local igual a 598 mmHg, determine a presso absoluta na regio de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercrio igual a 13,54. A presso da gua, em qualquer profundidade h, dada pela equao:

ghpp += 0 Onde po a presso na superfcie do lago que representa a presso atmosfrica local (patm). Como patm foi dada em coluna de mercrio devemos

kPam

kgxghpatm 43,79

m

N79430,79 x0,598ms

m x9,81100054,13 223 ====

Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para gua a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos determinar a presso absoluta como.

kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm +=+=+= [8] Expresse a presso relativa de 155kPa como uma presso absoluta. A presso atmosfrica local de 98,0 kPa.

kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+=

[9] Expresse uma presso absoluta de 225,0 kPa como uma presso manomtrica. A presso atmosfrica local de 101,0 kPa.

kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs ===

[10] Um vacumetro indica uma presso de 70 kPa. Determinar a presso absoluta considerando que a presso atmosfrica local igual a 100 kPa.

kPakPakPappp vac 3070100atmabs === [11] Um manmetro instalado numa tubulao de gua indica uma presso de 2,0 kgf/cm2. Determinar a presso absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a presso atmosfrica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercrio igual a 13,6.

atmabs pPp man += em kgf/cm2

2abs 321 cmkgfp =+=

Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. Presso em Pascal.

kPaxxm

kgfN

xcm

kgfp 3,29410081,90,3100

181,90,3 2

22

2abs ===

Coluna de gua

gua de coluna de 3081.91000

103,294 3

02

mg

phH

=

==

Coluna de mercrio considerando d=13,6.

mercrio coluna de 2,281,910006,13

103,294 3m

xgph

Hg

=

==

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PUCRS C-8

[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de dimetro interno. Sabendo que a velocidade mdia do escoamento de 2,6 m/s, determine o valor do nmero de Reynolds. O nmero de Reynolds definido como

VDVD== ou Re

a massa especfica do fluido determina em funo da densidade

330 910100091,02 mkg

m

kgxd H ===

156

38,0910025,06,2Re == xxVD

Conferindo as unidades

( ) aladimension-1...

Re22

3

2

3

2

3 =

====s

m

mkgs

m

kgm

s

m

sNm

xm

kgxmx

s

m

m

Nsm

kgxmx

s

m

VD

O valor de um parmetro adimensional no depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as

variveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. [13] Em um reservatrio contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m. Determine: a) peso da glicerina; b) massa especfica da glicerina; c) peso especfico da glicerina; d) densidade da glicerina. a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 11,77 kN

b) = m / V = 1200 kg / 0,952 m 1261 kg / m

c) = g 323 /37,1281,91261 mkNsm

xm

kg=

d) d = fluido / gua a 4C 26,11000

1261

3

3==

m

kgm

kg

d



[14] Um avio voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55C. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) nmero de Mach; fluido compressvel ou incompressvel? c) subsnico ou supersnico?

(a) TxRxKc = ( ) [ ]KxKxkg

Jxc 273552874,1 +

= c 296 m/s

b) M = V / c s

ms

m

s

ms

hx

kmm

xh

km

M296

236

2963600

11

1000850=

M 0,8 [admensional] M > 0,3 Fluido Compressvel c) M 0,8 M < 1 Subsnico [15] Determine a massa especfica do ar que se encontra num reservatrio com temperatura de 50C, no qual existe um manmetro indicando uma presso de 370 kPa.

).( PerfeitoGsEqTxR

p=

absAR

manatmabs

TxRpp

TxRp +

==

( )( )

3

2

2

25,08

323

.

287

.

471330

27350287

370000101330m

kg

KxKxkg

s

mkgsm

kg

KxKxkg

JPaPa

==

+

+=

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PUCRS C-10

1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Presso ( Cap.2 e Cap.3) 1. Um reservatrio graduado contm 50ml de um lquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a

densidade deste lquido. 2. Determine a viscosidade cinemtica do ar a 20 0C sabendo que nestas condies a viscosidade dinmica igual a 1,85x10-4

Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 3. A tabela abaixo mostra a variao da massa especifica da gua (kg/m3) em funo da temperatura na faixa entre 20 a 600C.

Utilize estes dados para construir uma equao emprica do tipo: =c1 + c2T + c3T2 que fornea a massa especifica da gua nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equao com os da tabela. Qual o valor da massa especifica da gua quando a temperatura igual a 42,10C.

(kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 T (0C) 20 25 30 35 40 45 50

4. A Equao de Shuterland utilizada para determinao da viscosidade dinmica dos gases dada por:

STCT+

=2/3

As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a presso atmosfrica padro so C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos de mecnica dos fluidos 5. A Eq. Emprica para determinao da viscosidade cinemtica para lquidos conhecida como Eq. de Andrade e dada por:

=TBD exp

Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para gua para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a viscosidade dinmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Mtodo: Rescreva a equao na forma:

DT

B ln1ln += Grafique em funo de ln em funo de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinao e do ponto de intercesso desta curva. Obs. Se voc tem acesso a um programa de ajuste de curvas no linear poder encontrar as constantes a partir da Eq. original. 6. Determine a massa especfica, volume especfico, o peso especfico e a densidade de um leo que pesa 33kN contido num

reservatrio de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da gua igual a 9806N/m3. (d=0,96) 7. Um tanque de ar comprimido contm 6,0 kg de ar a 800C. A presso relativa do tanque igual a 300kPa. Determine o volume

do tanque. (V=1,52m3) 8. Determine a altura de presso esttica de uma coluna de gua e de uma coluna de mercrio para uma presso de 10kgf/cm2.

Considere a massa especifica da gua igual a 1000kgf/m3 e o peso especfico do mercrio igual a 13600kgf/m3. Qual a densidade do mercrio. (d=13,6)

9. A densidade da gua salgada igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de presso esttica de uma coluna de gua

salgada considerando uma presso de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 10. Para uma presso de 10kgf/cm2. qual ser a altura de coluna de leo e qual a sua densidade. O leo tem um pesos especfico

igual a 850kgf/m3. 11. Para um lquido que tem um peso especfico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de presso quando

se tem uma presso de 981kPa. (h=117,65m) 12. Determinar o peso especfico, o volume especfico e a densidade do mercrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa

especifica do mercrio igual a 13600 kg/m3. A acelerao da gravidade na terra igual a 9,81 m/s2.



13. A presso manomtrica de um tanque medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A presso atmosfrica local igual a 96k Pa. Determinar a presso absoluta dentro do tanque.

14. Mergulha-se numa cuba contendo mercrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se

mostra na figura. Considere d=13,6 e a presso atmosfrica igual presso atmosfrica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercrio. (h=760mmHg)

15. Um vacumetro tipo Bourdon, indica uma presso de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatrio num local onde a presso atmosfrica igual a 14.5Psi. Determinar a presso absoluta no reservatrio.

16. Um manmetro tipo Bourdon indica que a presso num tanque igual a 5,31 bar quando a presso atmosfrica local igual a

760mmHg. Qual ser a leitura do manmetro quando a presso atmosfrica local for igual a 773mm de Hg. 17. Um manmetro de Bourdon instalado na tubulao de alimentao de uma bomba indica que a presso negativa igual a

40kPa. Qual a presso absoluta correspondente se a presso atmosfrica local igual a 100kPa. 18. Admitindo que a presso atmosfrica local igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barmetros que

contm os seguintes fluidos: a) mercrio b) gua c)lcool etlico. Calcule as alturas levando em conta a presso de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a presso de vapor dos fluidos.

19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um leo que

apresenta uma densidade igual a 0,9. O manmetro em U conectado ao tanque utiliza mercrio com densidade igual a 13,6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no manmetro localizado no topo do tanque. (Resposta: Pmam=21,1kPa)

20. Determine o nmero de Reynolds numa tubulao de ao galvanizado novo de 300mm de dimetro interno na qual escoa

gua a uma temperatura de 350C com uma vazo de 60m3/h. Especifique se o escoamento laminar ou turbulento. Determine a perda de carga para a tubulao considerando um comprimento total de 50metros.

21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura igual a 500C e leitura do barmetro indica uma presso

igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gs ideal) (=1,07kg/m3) 22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido

no tanque quando a presso relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque de 210C e que a presso atmosfrica igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N).

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LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE

((CCAAPP 22))



1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)

[1] Duas grandes superfcies planas mantm uma distncia h entre elas esta escoando um determinado fluido. Se o fluido for considerado no-viscoso (ideal) qual a tenso de cisalhamento na parede da placa superior ?. Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual ser a magnitude da tenso de cisalhamento na parede inferior comparada com

a tenso de cisalhamento no centro das placas ? Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tenso de cisalhamento ser maior ? Se o perfil de velocidade for parablico (3): Onde a tenso de cisalhamento ser menor ?. [2] Considerando um perfil parablico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tenso de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. [3] Duas superfcies grandes planas esto separadas por um espao de 25 mm. Entre elas encontra-se leo de massa especfica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemtica igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de rea move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqidistante entre ambas superfcies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tenso de cisalhamento sobre a placa fina (c) fora necessria para puxar a placa. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de lquido, como mostrado na figura. A separao das placas igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do lquido de 0,65 Centipoise A densidade relativa igual a 0,88 Determinar: ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemtica do lquido ( b ) A tenso de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) ( c ) Indique o sentido de cada tenso de cisalhamento calculado em c e d.

(1) (2) (3)

dydu =

y

x

y

V=2,5m/s

h=100mm

0

U=0,3m/s

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PUCRS C-14

[5] A distribuio de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas dada pela equao

=

2

12

3hyV

u

onde V a velocidade mdia. O fluido apresenta uma viscosidade dinmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: a) Tenso de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tenso de cisalhamento que atua no plano central do canal. [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um leo numa superfcie slida dada por: ( ) .2 2yyU = Onde ( )yU o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfcie em (m). O leo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tenso de cisalhamento a 20cm da superfcie slida. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O dimetro do mbolo de 200mm e o dimetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo de 320 mm. O espao entre o embolo e o cilindro esta cheio de leo com viscosidade dinmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tenso de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades dado por:

=by

bU

dydu

2cos

2maxpipi

Obs. Apresente a deduo de unidades no sistema internacional do resultado.



Soluo Problema 1 [1] Duas grandes superfcies planas mantm uma distncia H. O espao entre elas esta preenchido com um fluido. (a) Se o fluido for considerado no-viscoso (ideal) qual ser a tenso de cisalhamento na parede da placa superior ?. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual ser a magnitude da tenso de cisalhamento na parede inferior comparada com

a tenso de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tenso de cisalhamento ser maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parablico (3): Onde a tenso de cisalhamento ser menor ?.

(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido nula (=0) e portanto a tenso =0. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tenso de cisalhamento nula em toda a seo (=0). (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade ser do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 =

constante, portanto, a tenso de cisalhamento ser igual em todos os pontos da seo (=cte). (d) Se o perfil de cisalhamento for parablico, por exemplo, do tipo: u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , Desta forma a tenso de cisalhamento vai aumentando linearmente. Para y=0 (centro do canal) =0. Para y=ymax (paredes) =max. Desta forma a tenso de cisalhamento ser zero no centro e mxima nas paredes. (=ky)

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-16

Soluo Problema 2

Considerando um perfil parablico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tenso de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinmica igual a 8.0x10-3 kg/ms.

Para y=0; V=Vmax=2,5m/s como 2byaV += achamos que a=2,5m/s Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos

( )2

22

2505,2

2501,0

5,20

yV

yaVb

=

=

=

=

O gradiente de velocidade dada por: ydydu 500=

Tenso de cisalhamento em y=0 : 0 x500x08,0x10 3- ===

dydu

Tenso de cisalhamento em y=-0,1m

2 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10

m

Ndydu

===

Soluo Problema 3 Duas superfcies grandes planas esto separadas por um espao de 25mm. Entre elas encontra-se leo de massa especfica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemtica igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a fora necessria para puxar uma placa muito fina de 0,4m2 de rea a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqidistante entre ambas as superfcies. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y).

21 FFF += 2

25

3 N.s/m06473,010615,7850 ===

s

mx

m

kg

11 y

uAdyduAAF ==

22 y

uAF como y1=y2 temos que F1=F2.

Nm

s

m

xm

sNxmx

yuAF 62,0

0125,0

15,0.06473,04,022 2

2 ==

=



Soluo Problema 4

[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre elas uma camada de lquido, como mostrado na figura. Para uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuio linear de velocidade no lquido. A viscosidade do lquido de 0,65 centipoise A densidade relativa igual a 0,88 Determinar: (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) (b) A viscosidade cinemtica do lquido (c) A tenso de cisalhamento na placa superior (Pa) (d) A tenso de cisalhamento na placa inferior em (Pa) (e) Indique o sentido de cada tenso de cisalhamento calculado em c e d.

Hipteses: Distribuio linear da velocidade Escoamento em regime permanente Viscosidade constante

(a) 1 cP = Pa s /1000

s 105,61000

)65,0( 4 PaxcP

sPacP ==

1 cP = Pa s /1000

)/(105,61000

)/()65,0( 4 mskgxcP

mskgcP ==

(b) A viscosidade dinmica

s

mx

m

kgx

ms

kgx 2

3

3

4

1039,7100088,0

105,6

===

O perfil de velocidade representado por a equao de uma reta:

bmyyu +=)(

Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.)

Para y=d u=U e por tanto m= U/d

Desta forma o perfil de velocidade dado como:

ydUyu

=)(

O gradiente dado por:

ctesx

dU

dydu

====11000

3,010003,0

(c) A tenso de cisalhamento na placa inferior em (Pa)

Pam

Nsms

kgx

dU

dydu

yyx 65,065,0

11000105,6 24

0

==

===

=

A placa superior uma superfcie y (negativa), portanto yx atua no sentido negativo (-) dos x

A placa inferior uma superfcie y (positiva), portanto yx atua no sentido positivo dos x

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-18

Soluo Problema 5 [5] A distribuio de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas dada pela equao

=

2

12

3hyV

u

onde V a velocidade mdia. O fluido apresenta uma viscosidade dinmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: c) Tenso de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tenso de cisalhamento que atua no plano central do canal. Utilizando a lei universal =

dudy

A distribuio da velocidade unidimensional e em regime permanente j que u=u(y). Para determinar a tenso de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equao da distribuio da velocidade temos,

yhV

hyV

dydu

22320

23 =

=

a) A tenso de cisalhamento na parede inferior do canal dada para y=-h,

Paoum

Nm

xs

mxx

m

NshVh

hV

hy 691 691005,016,0392,13)(3 222 =

===

=

esta tenso cria um arrasto na parede. Como a distribuio de velocidade simtrica, a tenso de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tenso na parede inferior. Tenso de cisalhamento que atua no plano central do canal dada para y=0 ou du/dy. Desta forma a tenso de cisalhamento neste plano nula. plano mdio=0. O gradiente de velocidade e portanto a tenso de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tenso de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes.



Soluo Problema 6

[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um leo numa superfcie slida dada por: ( ) .2 2yyU = Onde ( )yU o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfcie em (m). O leo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tenso de cisalhamento a 20cm da superfcie slida.

Como o perfil de velocidade dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma ( ) .4ydy

ydU=

A tenso de cisalhamento dada por: yu

= 2

3 0016,0)2,0(4102)(m

Nxxx

dyydU

===

Soluo Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O dimetro do mbolo de 200mm e o dimetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo de 320mm. O espao entre o embolo e o cilindro esta cheio de leo com viscosidade dinmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y).

yuDL

dyduAAF pi ===

( )s

cm

s

m

xxx

xx

DLFy

u 87,20287,05,832,02,0

00005,098,9100====

pipi

Soluo Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tenso de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades dado por:

=by

bU

dydu

2cos

2maxpipi

Obs. Apresente a deduo de unidades no sistema internacional do resultado.

PasxPax

xxx

x

x

x

bU

dydu

dydu

mmymmy

0257,0 068,1428.108,1

707106,010000,72

0,9

0,725,3

cos2

5

max

5,35,3

==

=

==

=

=

=

pi

pipi

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-20

1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2)

[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distncia de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior fixa. Se o espao entre as duas placas for preenchido com leo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa especfica 830 kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tenso de cisalhamento (N/m2) na superfcie da placa mvel em contato com o fluido (c) A tenso de cisalhamento (N/m2) na superfcie da placa fixa em contato com o fluido. (d) A fora que deve ser vencida para puxar a placa superior com rea de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N

[2] um canal formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa especfica igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinmica igual a 1,5 Pa.s.

Determinar: (a) a tenso requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a fora necessria para puxar a placa superior considerando esta com superfcie igual a 1,0m2. R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N

[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lmina de leo sob a ao de uma fora F, conforme a figura. O leo tem densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tenso de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa mvel? R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s

[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de leo. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b. O leo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuio linear do perfil de velocidade no leo, determine a potencia necessria para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia dada por FVW =& onde F a fora tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: leo SAE 30

=

sm

kg.

29,0 R: 72,5 W.

[ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas dado por:

=2

max

21)(hy

uyu onde umax representa a velocidade

mxima no canal, e h a separao das placas. (a) Determinar o gradiente de velocidades. (b) Determinar a expresso da tenso de cisalhamento. Considere a separao entre placas de 5mm, rea superficial da placa superior igual a 0,3m2 e velocidade mxima umax=0,5 m/s Determine (c) A tenso de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A fora de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N

Obs gua massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade dinmica e 1,15x10-3 Pa.s.



[6] A distribuio de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas dada pela equao dada ao lado: onde V a velocidade mdia. O fluido apresenta uma viscosidade dinmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tenso de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tenso de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuio da velocidade e da tenso de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2)

=

2

12

3)(hyVyu

[ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma pelcula de leo. A velocidade da placa de 2 m/s. Determine viscosidade dinmica do leo, se a espessura da pelcula 2 mm. R: (a) 0,01 Pa.s

[8] O corpo cilndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma altura igual a 200mm e um dimetro igual a 149,5mm. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de dimetro. Entre o tubo e o cilindro existe uma pelcula de leo. Determine (a) tenso de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinmica do leo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s

[9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo leo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo apresenta uma rotao constante de 3000 rpm. O Dimetro do eixo igual a De=200mm e o dimetro da luva igual a Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do leo 0,2x10-2 Pa.s R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm

[10] Uma barra cilndrica de 30,4 cm de comprimento, dimetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com 0,58mm de dimetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma pelcula de leo de viscosidade 23,9 Pa.s preenche o espao entre o tubo e a barra. [11] Um eixo na posio horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s atravs de uma luva de 60,2mm. No espao entre o eixo e a luva existe leo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemtica igual a 0,003 m2/s. (a) Determinar uma expresso geral que permita determinar a fora requerida para puxar o eixo em funo das variveis apresentadas. (b) Determinar a fora requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N [12] Um eixo gira de 60mm de dimetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espao entre o eixo e a luva existe leo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemtica igual a 0,003 m2/s. A luva possui um dimetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e (b) potncia originado nesta condies de operao. R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-22

EEXXEEMMPPLLOOSS

MMAANNOOMMEETTRRIIAA

(( CCAAPP 33 ))



1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS Manometra. (Cap.3)

[1] Qual ser a mxima presso relativa que poder ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a densidade do fluido igual a 8,5.

B de acima lquido de coluna da Presso = P(B)

) (/5,12) (/12508

5,181,910006,8

2

2

2

2

kPaoumkNPaoumN

xxx

hgdghp

guamercurio

B

=

=

=

=

=

Manmetro piezomtrico simples

[2] Se utiliza uma manmetro tipo U para medir uma presso de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O manmetro utiliza mercrio com densidade igual a 13,6. Determinar: a) Presso relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. b) Presso relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m.

p gh ghA = man 2 1

a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4

= 117 327 N (- 117,3 kN u 1,17 bar)

b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4

= -16 088,4 N ( -16,0 kN u - 0,16 bar)

A presso negativa (-) indica que a presso menor que a presso atmosfrica.

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-24

[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa especfica igual a 990kg/m3 conectados a um manmetro tipo U. Determinar a presso entre os tubos considerando que o fluido manomtrico mercrio com densidade igual a 13,6. pC = pD

pC = pA + g hA

pD = pB + g (hB - h) + man g h

pA - pB = g (hB - hA) + hg(man - )

pA - pB = g (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) H20

= 990 x9,81x(0,75 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 0,99) x 1000

= -7284 + 61852

= 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar)

[ 4 ] Um manmetro em U fixado a um reservatrio fechado contendo trs fluidos diferentes como mostra a Fig.. A presso (relativa) do ar no reservatrio igual a 30kPa. Determine qual ser a elevao da coluna de mercrio do manmetro.

Por definio um manmetro mede presso em relao a presso atmosfrica.

Para determinar Y trabalhamos com presses relativas a atmosfrica.

Como o reservatrio este fechado, a presso do ar igual a 30kPa uma presso relativa a atmosfera.

Desta forma utilizando presses relativas: ( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 =+++

( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+++

Resolvendo: ( ) ( )

626mm0,626my

133416y83562,6

y 1334169810196206,2413230000

81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000

==

=

=+++

=+++ yxxxxxxx



[ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: A presso absoluta no ponto A; PA (Rel) = H2O . g . hH2O

PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m 49 kPa

PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel)

PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa

PA (Abs) 270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: a) A presso absoluta e relativa na interface gasolina-gua; b) A presso absoluta e relativa no fundo do reservatrio.

a) PA (Abs) = PAtm + PA (Rel)

PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa 134,68 kPa

PA (Rel) = Gas. g . hgas = 680 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m = 33,354 kPa

Gas = d x gua 4C = 0,68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3

b) PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + gua. g . hgua

PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa 144,5 kPa

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-26

[ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: a) a massa especfica do azeite de oliva; b) a densidade do azeite de oliva. Dados: d leo = 0,89 , d mercrio = 13,6 e a presso absoluta no ponto F igual a 231,3 kPa. a) PA (Abs) = PAtm + Pleo + Pgua + Paz.oliva + PHg

PA (Abs)=PAtm +leo.g.hleo +H2O.g.hH2O +az.oliva.g.haz.oliva +Hg.g.hHg

olivaaz

HgHgOHOHleoleoATMFolivaaz hg

hghghgPP

.

.

.

......

22

=

( ) ( ) ( )[ ]{ }m

s

m

Paoa

9,2.81,9

4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300

2

.

++=

3

2

2

.

/13709,2.81,9

.

38982mkg

ms

m

sm

kg

olivaaz

334

4

/890000189,0 mkgm

kgxxdd Cgualeoleo

Cgua

leoleo ====

b)

37,1/1000/1370

.3

3

4

.

.

===

olivaazCgua

olivaazolivaaz d

mkgmkgd



[8] Um manmetro diferencial conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a presso entre as cmaras A e B. (b) indicando em que cmara a presso maior.

kPaPP

PghghghP

BA

BtetraHgleoA

28,37

321

=

=++

Obs: A presso em B maior que a presso em A

[ 9 ] Numa tubulao industrial utilizado um tubo de Venturi conectado a um manmetro diferencial como mostrado na figura. A deflexo do mercrio no manmetro diferencial de 360mm e a velocidade da gua no ponto B de 9,73m/s. Determine a variao de presso entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercrio: 13,6.

( ) kPaxPP

PggxgxxgP

BA

BaaaaA

521000

81,9)7503696,13360(

1000750

10003606,13

1000360

1000

+=

=

+

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-28

1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Presso (Cap3) [ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a presso atmosfrica 101,03 KPa e presso absoluta no fundo do tanque 231,3 kPa determine a presso relativa entre a gua e o aceite de oliva. Obs: Densidade do leo SAE 0,89. Densidade do mercrio 13,6.

[ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltrao de gua num tanque subterrneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina 0,68 determine (a) presso absoluta e relativa na interfase gasolina-gua e (b) presso abs. e relativa no fundo do tanque. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa

[3] Numa tubulao que escoa gua se utiliza um manmetro em U conectado como mostrado na figura. O manmetro utiliza benzeno com massa especfica igual 879 kg/m3. Determinar: (a) A diferena de presso entre as duas tomadas de presso. (b) O sentido do escoamento da gua dentro da tubulao. R: PA - PB = 463 Pa (de A para B )

[4] Os recipiente A e B da figura contm gua sob presso de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexo do mercrio (h) no manmetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. Massa especfica da gua: 1000 kg/m3; Massa especfica do mercrio: 13600 kg/m3

[5] Determinar a altura h2 (mm) no manmetro da Fig. considerando que a diferena de presso pB-pA=97kPa. Considere gua com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A densidade do leo e do mercrio dada na Fig. R: 22cm



[ 6 ] Seja a gua contida na cmara pressurizada mostrada na Fig. Massa especfica da gua 1000 kg/m3. Massa especifica do mercrio 13550 kg/m3. Determine a presso manomtrica no ponto A. R: 20,92 kPa.

[ 7 ] Um manmetro em U fixado a um reservatrio fechado contendo trs fluidos diferentes como mostra a Fig. A presso (relativa) do ar no reservatrio igual a 30kPa. Determine qual ser a elevao da coluna de mercrio do manmetro. R: y=626mm

[8] Um manmetro diferencial usado para a medio da presso causada por uma diminuio da seo reta ao longo do escoamento. Massa especfica da gua = 1000kg/m. Massa especfica do mercrio = 13600kg/m. (a) Determine diferena de presso entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferena de presso em metros de coluna de gua ? R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20

[9] Um manmetro diferencial conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferena de presso entre as cmaras A e B indicando em que cmara a presso maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA)

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-30

[10] Determine a presso na tubulao com gua (A) considerando que o manmetro em U esta aberto para a atmosfera. O fluido manomtrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm. R: 8,0 kPa

[ 11 ] Determinar a deflexo h do manmetro da figura abaixo, quando a variao de presso p1 - p2 = 870Pa. Considere as densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm

[ 12 ] Para o reservatrio mostrado determinar a presso manomtrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercrio: d=13,6). R: (a) 2,75 kPa

[ 13 ] Um reservatrio de grande porte (Fig.) contm gua, tendo uma regio ocupada por mercrio com densidade igual 13,6. O reservatrio fechado e pressurizado tendo uma presso absoluta igual a 180 kPa. A presso absoluta em A igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de gua. ( b ) Determine a presso absoluta em B. Obs: gua a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa

[14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manmetro (Pa) ; b) Qual a fora (N) que age no interior do reservatrio sobre o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N.



EEXXEEMMPPLLOOSS

CCIINNEEMMTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS

((CCaapp.. 44 ))

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-32

1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemtica dos Fluidos (Cap4)

[ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV )8,05,1(8,05,0 ++=r Onde x e y em metros

1. Escoamento uni bi ou tridimensional ? 2. Regime permanente ou no permanente ? 3. Determinar o ponto de estagnao 4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m

[ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressvel ou incompressvel. ( ) jxyiyxV )2(4 432 =r

[ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressvel ou incompressvel.

( ) jyixV )8,05,1(8,05,0 ++=r [ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV )8,05,1(8,05,0 ++=r (1) Determinar o vetor da acelerao total. (2) Avaliar a acelerao em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da acelerao em (2,3,0)

[ 5 ] Verifique se o escoamento rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV 10)3(12 43 ++=r [ 6 ] Verifique se o escoamento rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV 12)44(6 22 +=r

[ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente atravs de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equao:

( )

+=Lx

utzyxV 21,,, 0 .

Determinar: a) a acelerao da partcula do fluido; b) a acelerao na entrada e na sada do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na sada do bocal; d) a acelerao local na entrada e na sada.

[ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV 34 23 +=r

(a) Verifique se o escoamento uni bi ou tridimensional. (b) Verificar se o escoamento em regime permanente ou no permanente. (c) Determinar a acelerao da partcula observando a contribuio da acelerao local e da convectiva. (d) Verificar se o escoamento compressvel ou incompressvel. (e) Verificar se o escoamento rotacional ou irrotacional.

[ 10 ] Um campo de velocidade de uma partcula de fluido dada por:

jyxiyxV )8,21,298,0()65,08,21( +++=r

(a) Determine a velocidade da partcula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (b) Determine a expresso geral do vetor de acelerao da partcula de fluido. (c) Avalia a acelerao da partcula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)



Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV )8,05,1(8,05,0 ++=r Onde x e y em metros

6. Escoamento uni bi ou tridimensional ? 7. Regime permanente ou no permanente ? 8. Determinar o ponto de estagnao 9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m

(1) Escoamento uni bi ou tridimensional ?

0

8,05,1

8,05,0

=

=

+=

w

yv

xu

Desta forma jviuyxV ),( +=r Resposta: Escoamento bidimensional

(2) Regime permanente ou no permanente ?

Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ),( +=r

Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =

t

yxVr

Resposta: Regime permanente

(3) Determinar o ponto de estagnao:

Ponto de estagnao: Ponto onde V=0

625,08,05,0

08,05,0

=

=

=+=

x

xu

875,18,05,1

08,05,1

==

==

y

yv

Resposta: Ponto de estagnao em x=-0,625m y=1,875m

(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m

( )

jiV

jiV

jxixV

)9,0()1,2(

)4,25,1()6,15,0(

)38,05,1(28,05,0

+=

++=

++=

r

r

r

Resposta: Vetor velocidade: jiV )9,0()1,2( +=r

(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+=

Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-34

Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressvel ou incompressvel. ( ) jxyiyxV )2(4 432 =r Soluo: Ser fluido incompressvel se:

0= Vr

ou 0=+

+

z

w

yv

x

u Ser fluido compressvel

0 Vr

ou 0+

+

z

w

yv

x

u

0

2

4

4

32

=

=

=

w

xyv

yxu

Derivando

0

8

8

3

3

=

=

=

z

w

xyyv

xyx

u

e somando obtemos 088 33 ==+

xyxyyv

x

u

Portanto o escoamento incompressvel Resposta: fluido incompressvel Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressvel ou incompressvel.

( ) jyixV )8,05,1(8,05,0 ++=r

0

8,05,1

8,05,0

=

=

+=

w

yv

xu

0

8,0

8,0

=

=

=

z

w

yv

x

u

008,08,0 =+=+

+

z

w

yv

x

u

Resposta: fluido incompressvel Atividade: Dado o vetor velocidade ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV 32 3222 ++=r

(a) Determine se o escoamento em regime permanente ou no-permanente (b) Determine a magnitude da velocidade da partcula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (c) Determine a acelerao local da partcula. (d) Verifique se o escoamento compressvel ou incompressvel (e) Determine de o escoamento rotacional ou irrotacional.



Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV )8,05,1(8,05,0 ++=r (1) Determinar o vetor da acelerao total. (2) Avaliar a acelerao em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da acelerao em (2,3,0) (1) Determinar o vetor da acelerao total.

z

Vw

yV

vx

Vu

t

VDt

VDap

++

+

==

rrrrr

r observamos que regime permanente: 0=

t

Vr

0

8,05,1

8,05,0

=

=

+=

w

yv

xu

0

8,0

8,0

=

=

=

z

V

jyV

ix

V

r

r

r

( )

0

)64,02,1()8,0)(8,05,1(

)64,04,0()8,0(8,05,0

=

+==

+=+=

z

Vw

jyjyyV

v

ixixx

Vu

r

r

r

jyix

DtVD

)64,02,1()64,04,0( +++=r

Resposta: jyixap )64,02,1()64,04,0( +++=

r (2) Avaliar a acelerao em (x,y,z)=(2,3,0)

jiDt

VD

jiDt

VD

jxixDt

VD

)72,0()68,1(

)92,12,1()28,14,0(

)364,02,1()264,04,0(

+=

+++=

+++=

r

r

r

Resposta: jiap )72,0()68,1()0,3,2( +=

r (3) Determinar o mdulo da acelerao em (2,3,0)

22222 /83,172,068,1)0,3,2( smaaaa yxpp =+=+==r

Resposta: 2/83,1)0,3,2( smap =

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-36

Exemplo 5: Verifique se o escoamento rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV 10)3(12 43 ++=r Rotacional 0

21 = Vx

r

r

Irrotacional

kyu

x

vjx

w

z

uiz

v

yw

21

21

21

+

+

=v

( )

( )kw

jxv

yxu

10

)3(

12

4

3

=

=

=

( )

( )

( ) 012122121

0002121

0021

33 ==

=

==

=

=

xx

yu

x

v

x

w

z

u

z

z

y

y

x

Resposta: Irrotacional Exemplo 6: Verifique se o escoamento rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV 12)44(6 22 +=r

( )( )2

2

12)44(

6

zw

zxv

yxu

=

=

=

( ) 240

2121

==

=

x

xz

v

yw

( ) 000

2121

==

=

y

yx

w

z

u

( ) ( )22 3264

2121

xx

yu

x

v

z

z

+==

=

Resposta: Rotacional

0=x

0=y

0=z

0=r

0x 0=y 0z

0r



Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente atravs de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equao:

( )

+=Lx

utzyxV 21,,, 0 .

Determinar: a) a acelerao da partcula do fluido; b) a acelerao na entrada e na sada do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na sada do bocal; d) a acelerao local na entrada e na sada. a) Unidimensional ( ) i

Lx

uutzyxV 21,,, 0

+==

t

Vz

Vw

yV

vx

Vu

DtVD

ap +

+

+

==

...

Como 0tV =

, ento, o escoamento em Regime Permanente;

+

=

+===

Lx

Lu

Lu

Lx

ux

Vu

DtVD

ap21..2.2.21.

200

0 (acelerao da partcula do fluido)

b) ( ) ( )

+

=

+

==

mm

sm

Lx

Lu

DtVD

ap 3,00.21.

3,0/3.221..2

220

2/60 smap =

(acelerao na entrada do bocal) ( ) ( )

+

=

+

==

m

m

m

sm

Lx

Lu

DtVD

ap 3,03,0.21.

3,0/3.221..2

220

2p s/m180a =

(acelerao na sada do bocal)

c) ( )s

m

m

m

s

m

Lx

uuV 93,03,0.21.3210 =

+=

+== (velocidade na sada do bocal)

c) Neste exerccio, a acelerao local zero porque a equao no varia em funo do tempo.

( ) iLx

uutzyxV 21,,, 0

+==

( )

+

===

Lx

Lu

x

Vua

DtVD

tzyxa pp21..2.,,,

20

0=

t

V

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-38

Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partcula de fluido dado por: ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV 32 3222 ++=r

(a) Determine a magnitude velocidade da partcula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (b) Determine a acelerao local da partcula. (c) Verifique se o escoamento compressvel ou incompressvel (d) Determine de o escoamento rotacional ou irrotacional.

Soluo

(1) Velocidade na partcula no ponto (x,y,z)=(2,3,1).

(a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

smVkjiV

kjiVkzxjxyzizyV

/3,28

24129

1.2.31.3.2.21.3

323222

3222

=

++=

++=

++=

r

r

r

(2) Acelerao local da partcula. (b)

z

Vw

yV

vx

Vu

t

VDtVD

+

+

+

=

rrrrr

Resposta : Acelerao local da partcula: 0=

t

Vr

(a acelerao local da partcula nula) (c)Verifique se o escoamento compressvel ou incompressvel

z

w

yv

x

uV+

+

=

r

0320 32 ++= xxzVr

Por tanto se trata de fluido compressvel. (d) Escoamento rotacional ou irrotacional. ?

0)22(21

21

)92(21

21

)40(21

21

22

22

==

=

=

yzzyzyu

x

v

zxzyx

w

z

u

xyzz

v

yw

Resposta: Escoamento rotacional



Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV 34 23 +=r

(f) Verifique se o escoamento uni bi ou tridimensional. (g) Verificar se o escoamento em regime permanente ou no permanente. (h) Determinar a acelerao da partcula observando a contribuio da acelerao local e da convectiva. (i) Verificar se o escoamento compressvel ou incompressvel. (j) Verificar se o escoamento rotacional ou irrotacional.

SOLUCAO

(A) Verifique se o escoamento uni bi ou tridimensional. Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w).

kwjvV +=r (B) Verifique se o escoamento permanente ou no permanente.

Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ),,,( tzyxVV =r Neste caso: kzywjzyuV ),(),( +=r Portanto o escoamento no dependente do tempo (regime permanente) ( C) Determinar a acelerao da partcula

z

Vw

yV

vx

Vu

t

VDtVD

+

+

+

=

rrrrr

)()( ConvectivapLocalpp aaarrr

+=

Como se trata de regime permanente a contribuio da acelerao local nula: 0=

t

Vr

z

Vw

yV

vx

Vu

DtVD

+

+

=

rrrr

0=

x

Vu

r

(escoamento bidimensional com u=0)

kyzzyjyzyyV

v )6)(4()3)(4( 323 +=r

kyzyz

Vw )3)(3( 22= r

( ) ( ) kzykyzzyjzyyDt

VD)9(246123 42425 +++=

r

( ) ( )kyzzyjzyyDt

VD243123 2425 +++=

r

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-40

( D ) Verificar se o escoamento compressvel ou incompressvel. Para que o fluido seja incompressvel deve satisfazer a equao:

0=

+

+

=

z

w

yv

x

uVr

0=

x

u 23yyv =

23yz

w =

Desta forma verifica-se que o escoamento incompressvel.

033 22 =+=+

= yy

z

w

yvV

r (E ) Verificar se o escoamento rotacional ou irrotacional. Lembrando que o vetor velocidade dado por: ( ) ( )kzyjzyV 34 23 +=r Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w).

kzywjzyvV ),(),( +=r P Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado:

kyu

x

vjx

w

z

uiz

v

yw

21

21

21

+

+

=v

iz

v

yw

21

=v

yzyw 6=

4=

z

v Desta forma o escoamento rotacional j que 0v

ixz )46(21

=v



Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partcula de fluido dada por:

jyxiyxV )8,21,298,0()65,08,21( +++=r

(d) Determine a velocidade da partcula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (e) Determine a expresso geral do vetor de acelerao da partcula de fluido. (f) Avalia a acelerao da partcula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-42

1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS Cinemtica (Cap.4) [1] Uma partcula de fluido apresenta o vetor de velocidades: kji xzytxttzyxV 2 32),,,( +=

r . Determinar: (a) Se o escoamento uni, bi ou tridimensional. (b) Se o escoamento permanente ou no-permanente. ( c ) Acelerao total da partcula (d ) Acelerao total para (x,y,z)=(2,-2,0) (e) Velocidade e acelerao da partcula para t=2s em (2,-2,0).

[2] O vetor velocidade de uma partcula de fluido dado por: kji tyxztV 23 ++=

r Determinar a equao que representa a acelerao da partcula. [3] O vetor velocidade de uma partcula de fluido dado por: kji zxxyzzyV 3222 32 ++=

r (a) Determine se o fluido rotacional ou irrotacional (b) Se a componente da velocidade em z nula, verifique se o fluido rotacional ou irrotacional. [4] O vetor velocidade de uma partcula de fluido dado por: kzji etaytaxV 2232

2

+=r

Determinar a equao que representa a acelerao da partcula. [5] O vetor velocidade de uma partcula de fluido dado por: k

yzxj

yzxi

yzxV 32 2

223

2

3

=r

Verifique se o fluido compressvel ou incompressvel. [6] Dado o campo de velocidades kji zzxyxV 22 12)44(6 +=

r Determine o campo de velocidades angular ou rotacional. [7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. (a) xu = yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4= (d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2+= txxyv 4+= (c) 324 yxu = 42xyv =



EEXXEEMMPPLLOOSS

CCOONNSSEERRVVAAOO DDAA MMAASSSSAA

(( CCaapp.. 55 ))

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-44

1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS Conservao da Massa (Cap.5)

[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contm ar a presso absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque atravs de uma vlvula com uma rea de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela vlvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantnea de variao da massa especifica do ar no tanque, em t=0.

[2] Um fluido escoa numa tubulao de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V dada pela equao:

i

RrUV 1

2

max

=r

Onde r a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulao.

[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo utilizado para escoamento de gua em regime permanente. As reas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa atravs da seo (3) de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazo entrando na seo (4) igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seo (1) igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes atravs de todas as entradas e sadas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seo (2).

[ 4 ] O reservatrio da figura abaixo abastecido com gua por duas entradas sendo que ar aprisionado no topo do reservatrio. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservao da massa para obter uma expresso que representa a variao da altura da gua (dh/dt) devido ao enchimento do reservatrio.



Soluo Exemplo 1 [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contm ar a presso absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque atravs de uma vlvula com uma rea de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela vlvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantnea de variao da massa especifica do ar no tanque, em t=0. Equao Bsica 0=+ scvc AdVdt

rr

Hipteses: (1) As propriedades no tanque so uniformes, porem dependentes do tempo. (2) Escoamento uniforme na seo (1). Como as propriedades so uniformes: Podemos retirar da integral do primeiro termo.

( ) 0=+ sc AdVvcdtrr

Como =

vc

d

0=+ sc AdVtrr

O fluido atravessa a fronteira unicamente na seo (1).

= 1Asc AdVAdVrrrr

Na superfcie (1) o fluido esta saindo e o produto VdA positivo (+). Se as propriedades so uniformes na superfcie (1)

1111AVAdV

A = rr

( ) 0111 =+

AVt

Como o volume do tanque (v.c.) no uma funo do tempo:

( ) 111 AVt =

( )

=

111 AVt

( )( )

( ) smkgmm

xx

s

mx

m

kg

t/48,2

05,010001000

65100031113,6

33

23

=

=

Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a vlvula (t=0).

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-46

Soluo Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulao de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V dada pela equao:

i

RrUV 1

2

max

=r

Onde r a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulao.

Soluo: A Eq. bsica utilizada a que representa o princpio da conservao da massa definida como:

0=+ scvc AdVdtrr

Hipteses: Escoamento permanente Escoamento incompressvel Velocidade no-uniforme nas sees onde o fluido cruza as fronteiras.

=== AdVAdVAdVm rrrrrr& 222111

Au

RuR

um

RRRR

RRR

rrrdr

Rr

rdrRr

um

drrRr

um

pirdrdA

RR

R

R

2242

4421

421

421

:integral a Resolvendo

12

)2(1

2 : tubodo seo da rea de elemento o doConsideran

max2max2

max

222242

0

242

0

2

0

2

max

0

2

max

pipi

pi

pi

==

=

=

=

=

=

=

=

=

&

&

&

Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media 2maxuu =



Soluo Exemplo 3 [3] Dados reas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 Fluxo de massa em (3):

s

kgm 603 =& (+)

Vazo em (4) : Q4=0,03m3/s Velocidade em (1)

s

miV 0,31 =r

Consideramos a massa especfica da gua igual a 1000 kg/m3 A Eq. Bsica utilizada a que representa o princpio da conservao da massa definida como:

0=+ scvc AdVdtrr

Hipteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressvel (3) Propriedades uniformes em cada seo onde o fluido cruza as fronteiras. Aplicando a Eq. As sees onde o fluido atravessa as fronteiras:

04331

=+++= AAAAsc

AdVAdVAdVAdVAdVrrrrrrrrrr

Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas sees de entrada e sada do fluido no v.c.

11

11111

mAVAVAdVAA

&rr

=== (-) Os vetores velocidade e de rea apontam em sentido contrrio. Significa que o fluido esta entrando na seo 1 no v.c.

2222

222

mAVAVAdVAA

&rr

=== No sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seo

===3

333333 AA

mAVAVAdV &rr

(+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seo 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de rea apontam no mesmo sentido.

44

44444

mAVAVAdVAA

&rr

=== (-) Os vetores velocidade e de rea apontam em sentido contrrio. Significa que o fluido esta entrando na seo 4 no v.c.

04321 =+++= mmmmAdVsc

&&&&rr

skgmxs

mx

m

kgAVm /6002,00,31000 23111 === & (-) entrando no v.c. skgm /603 =& (+) saindo do v.c.

skgs

mx

m

kgQAVm /3003,010003

34444 ==== & (-) entrando no v.c. 0306060 24321 =++=+++ mmmmm &&&&&

s

kgm 302 =& Como o valor positivo (+), significa que na seo (3) o fluido est saindo do v.c. Para determinar a velocidade em (2):

222 AVm =& sm

xAmV /6,0

05,0100030

2

22 ===

& na forma vetorial: s

mjV 6,02 =r (aponta em sentido negativo do eixo y)

Obs. Notamos que os ngulos de inclinao das sees 3 e 3 no so necessrios para avaliar o fluxo de massa.

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-48

Soluo Exemplo 4 [ 4 ] O reservatrio da figura abaixo abastecido com gua por duas entradas sendo que ar aprisionado no topo do reservatrio. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplicando a Eq. integral da conservao da massa se obtm uma expresso que representa a variao da altura da gua (dh/dt) devido ao enchimento do reservatrio dada por:

Determinar dh/dt considerando que a rea do reservatrio: Ares=0,18m2.

resres AVAVA

AQQ

t

dh

mmdt

221121

21 0

+=+=

=

&&

( ) ( )sm

xx

AVDVD

t

dhres

/0172,018,0

6,0075,09,0025,044

222

221

21 =

+=+=

pipi

021 = mmdtdhAres &&



QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO

(( CCaapp..55 ))

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-50

1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS Quantidade de Movimento (Cap.5)

[1] gua sa de um bocal estacionrio e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da gua ao sair do bocal de 15m/s. A rea do bocal de 0,01m2. Determinar a fora horizontal sobre o suporte.

[2] Um jato de gua de 25,4mm de dimetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da fora que exerce a placa plana a gua.

[3] Considere o escoamento de gua atravs de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a presso absoluta igual a 221 kPa e seo igual a 0,01 m2 . Na sada a seo igual a 0,0025 m2 e o fluido descarregado a presso atmosfrica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: fora necessria para manter o cotovelo no lugar.

[4] Uma fonte decorativa tem uma vazo igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ngulo definido na figura igual a 600.Determine as reaes nas direes x e y. (b) Determine a foras resultante e o ngulo em que atua.



[ 5 ] Utilizando as equaes da quantidade de movimento determine a fora horizontal e vertical exercida sobre a superfcie mostrada na figura. A velocidade do jato de gua e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com dimetro de 100mm. O ngulo da placa de 600 Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N

[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de gua que sai de um bico de 50mm de dimetro o qual permite o equilbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da gua 1000 kg/m3).

[ 7 ] Uma tubulao horizontal de 200mm de dimetro faz uma curva de 1800. Na tubulao escoa um derivado de petrleo lquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazo de 150 m3/h. Determine a fora exercida pelo fluido na curva se a presso relativa no ponto (1) de 100 kPa e presso no ponto (2) igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2).

[ 8 ] Um jato de gua de 60mm de dimetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado de 825N determine: (a) qual ser a velocidade do jato. (b) Qual a vazo do jato. Obs. Determine pelo mtodo simplificado.

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-52

Soluo Exemplo 1 gua saiu de um bocal estacionrio e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da gua ao sair do bocal de 15m/s. A rea do bocal de 0,01m2. Determinar a fora horizontal sobre o suporte. Dados: Velocidade do jato: smiV /15=r rea do bocal: An=0,01m2. Fluido gua =1000 kg/m3 Presso atmosfrica Patm=101 kPa. Determinar: Fora resultante.

Soluo: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equaes Bsicas

+ =+ sc AdVVvc dVtFF Bsrrrrrr

Hipteses: Escoamento permanente Escoamento incompressvel Escoamento uniforme em cada seo onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Foras de campo desprezveis.

=sc

s AdVVFrrrr

Analisamos as foras na direo - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x.

ApRApF atmxatmx += Por tanto xx RF = A quantidade de movimento na direo - x:



{ } 1111

1

AVuAdVuAdVu

AdVuAdVV

AA

Axsc

==

=

rrrr

rrrrr

O vetor velocidade apresenta uma nica componente V1=u1=15m/s. Nmx

s

mx

m

kgx

s

mAVu 225001,015100015 2311 ==

NAdVuRA

x 22501

== rr Como negativo aponta no sentido contrrio do eixo x. Na forma vetorial NiFs 2250=

r Mtodo simplificado No mtodo simplificado : ( )12 uuQFx = ( )12 uumFx = & A massa especifica determinada com as condies da seo 1.

skgmxs

mx

m

kgAum /15001,0151000 2311 === & (+) saindo do v.c. A velocidade na seo 2 igual a zero (u2=0)

Ns

mx

s

kgumFx 2250151501 === & Aponta no sentido contrrio ao eixo x.

Obs. Como todo o sistema est submetido a presso atmosfrica sua atuao anula-se.

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-54

Soluo: Exemplo 2 Um jato de gua de 25,4mm de dimetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da fora que exerce a placa plana a gua.

Dados: Velocidade do jato: smiV /15=r rea do bocal: Djato=0,0251m. Fluido gua =1000 kg/m3 Presso atmosfrica Patm=101 kPa. Soluo: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equaes Bsicas


Hipteses: Escoamento permanente Escoamento incompressvel Escoamento uniforme em cada seo onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Foras de campo desprezveis.

=sc

s AdVVFrrrr

Anlise de escoamento em (1) (Somente agem foras no eixo - x)

=sc

sx AdVuFrr

Analisamos as foras na direo - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.

ApRApF atmxatmsx = Por tanto xsx RF = A quantidade de movimento na direo - x: { } 111

1111

1

AVuAdVuAdVuAA

== rrrr (fluxo entrando no v.c.) Igualando os termos:



111 AVuRx = e por tanto Rx aponta no sentido contrrio ao admitido Vetor velocidade: Ponto (1) smiV /1,6=r e desta forma u1=6,1m/s. Consideramos que o jato uniforme rea do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2

Nmxs

mx

m

kgx

s

mAVuRx 98,1800051,01,610001,6 23111 === Anlise de escoamento em (2) - (Somente agem foras no eixo - y)

=2

222A

sy AdVvFrr

Analisamos as foras na direo - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).

HatmyHatmsy ApRApF += Por tanto ysy RF = Pela conservao da massa em (2) smjV /1,6=r e desta forma: v2=6,1m/s. { } 222

2222

2222 AVvAdVvAdVv

AA

=+= rrrr (fluido saindo da s.c.)

Nmxs

mx

m

kgx

s

mAVv 98,18000511,01,610001,6 23222 ==

NAVvRy 98,19222 == (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Mtodo simplificado O fluxo de massa dada por:

s

kgmx

s

mx

m

kgAum 11,300051,01,61000 2311 === & ( )12 uumFx = & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: NxumFx 98,181,611,31 === & ( )12 vvmFy = & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: NxvmFy 98,181,611,32 === &

Mecnica dos Fluidos

PUCRS C-56

Soluo: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de gua atravs de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na seo (1) da entrada o dimetro 120 mm, a velocidade igual a 4m/s e a presso relativa igual a 120 kPa. Na seo (2) da sada dimetro igual 60 mm sendo o fluido descarregado a presso atmosfrica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A fora resultante Rx e Ry. Obs. Apresente a equao integral geral do problema e aplique as simplificaes (hiptese) do escoamento.


Hipotese e escoamento: Escoamento permanente

Escoamento incompressvel Escoamento uniforme em cada seo onde o fluido cruza as fronteiras do V.C.

Anlise de escoamento em (1) (Somente agem foras no eixo - x)

=sc

sx AdVuFrr

( considerando fora de campo FBx=0)

Analisamos as foras na direo - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a presso relativa

xrsx RApF = 11 A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direo - x: { } 111

1111

1111 AVuAdVuAdVu

AA

== rrrr (fluxo entrando no v.c.)

Nmxs

mx

m

kgx

s

mAVu 1600113,00,410000,4 23111 == 11111 AVuApR rx += ( )

( ) NNxRAVuApR

x

rx

15161600113,0100012011111

=+=

+=

s

kgmx

s

mx

m

kgAVm 28,4500283,0161000 2322 === & Anlise de escoamento em (2) (Somente agem foras no eixo - y)

=+2

222A

Bysy AdVvFFrr

Analisamos as foras na direo - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de fora de campo FBy no pode ser avaliada

j que no conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exerccios consideramos desprezvel fora de campo FB . Desta forma analisamos unicamente as foras de superfcie:

=+= yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF = { } 222

2222

2222 AVvAdVvAdVv

AA

=+= rrrr (fluido saindo da s.c.) (+)

Nmxs

mx

m

kgx

s

mAVv 72400283,016100016 23222 ==

NAVvRy 724222 == (Contrario ao sentido admitido originalmente)



Soluo: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazo igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ngulo definido na figura igual a 600. Determine as reaes nas direes x e y. (b) Determine a fora resultante e o ngulo em que atua.

No mtodo simplificado: Equaes utilizadas:

( )12 uumFx = &

( )12 vvmFy = & O fluxo de massa pode ser determinado como:

s

kgs

mx

m

kgQAVm 5005,010003

311 ==== & Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e sada do v.c.

jviuV 111 +=r jviuV 222 +=

r Componentes da velocidade em x: O ngulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 : 1800 (450 + 600)= 750

s

mVu 07,275cos8)75cos( 0022 ===

s

mVu 66,545cos845cos 0011 === Componentes da velocidade em y:

s

mVv 73,775sin875sin 0022 ===

s

msinsinVv 66,545845 0011 ===

Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s Fora Resultante em x:

( ) Ns

kgRF xx 5,17966,507,250 === (Aponta em sentido contrrio ao eixo - x) Fora Resultante em x:

( ) Ns

kgRF yy 5,66966,573,750 =+== (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y) Fora Resultante:

( ) NRRR yx 6935,669)5,179( 2222 +=+= ngulo formado pela resultante: 075=

x

y

RR

Tan

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PUCRS C-58

Soluo: Exemplo 5 [ 5 ] Determine a fora horizontal exercida sobre a superfcie mostrada na figura. A velocidade do jato de gua igual a 15m/s. Considere que a lamina de fluido mantm a mesma espessura em toda sua trajetria.


Hipteses: Escoamento em regime permanente. No que existe

variao das propriedades no tempo no V.C. Escoamento uniforme na entrada (1) e na sada (2). Escoamento com velocidades unidimensionais. Escoamento com considerando fluido incompressvel.

Fazendo analise em x:

( ) = 12 xx vvQFx onde: smv

smv

x

x

/5,760cos15/15

2

1

==

=

s

mm

xx

s

mAVQ3

22

11 118,041,015 =

== pi

( )NRx

xxRx

4,883

155,7118,01000

=

=

Soluo: Exemplo 6 [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de gua que sai de um bico de 50mm de dimetro o qual permite o equilbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da gua 1000 kg/m3).

4

0)()()(

22

1

21

DvW

vAvWvmF

vmvmF

y

y

pi

=

=

+=

+=

&

&&

sm

x

DW

v /88,1805,01000

7004422 === pipi



Soluo: Exemplo 7

[ 7 ] Uma tubulao horizontal de 200mm de dimetro faz uma curva de 1800. Na tubulao escoa um derivado de petrleo lquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazo de 150 m3/h. Determine a fora exercida pelo fluido na curva se a presso relativa no ponto (1) de 100 kPa e presso no ponto (2) igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2).

P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulao: smD

V /33,136001504

2 == pi

( )xx uuQFx 12 = ( )xxx uuQAPAPR 122211 =++ ( ) ( )xxx uuQAPPR 12121 )( =++ conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s ( ) ( )

( ) NxxxR

APPuuQR

x

xxx

555256528,990314,080100)33,133,1(3600150900

)( 12112

=+=++=

++=

Soluo: Exemplo 8 [ 8 ] Um jato de gua de 60mm de dimetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado de 825N determine: (a) qual ser a velocidade do jato. (b) Qual a vazo do jato. Obs. Determine pelo mtodo simplificado.

( )12 vvQFy =

NWFy 825== ( )

smxx

xxx

Dx

v

AvvAv

/08,17601000

100010008254

41000

825825

0825

221

21

11

==

=

==

pipi

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PUCRS C-60

1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS QUANTIDADE DE MOVIMENTO

[ 1 ] Utilizando as equaes da quantidade de movimento determine a fora horizontal e vertical exercida sobre a superfcie mostrada na figura. A velocidade do jato de gua e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com dimetro de 100mm. O ngulo da placa de 600 R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N

[ 2 ] Considere uma tubulao que escoa gua com a curva mostrada na figura. O ngulo em relao ao plano horizontal igual a 400. Os dimetro da tubulao D1=100mm e o dimetro do bocal na sada D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e presso relativa em (1) igual a p1=232 kPa. Determine a foras resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N

[ 3] O jato de gua de 6 cm de dimetro atinge uma placa contendo um orifcio de 4cm de dimetro. Parte do jato atravessa pelo orifcio, e parte defletida. Determine a fora horizontal necessria para conter a placa. R: 981,75N

[ 4 ] A figura mostra o escoamento de gua na qual a tubulao apresenta uma reduo de seo. Na seo (1) o dimetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seo (2) o dimetro D2=5cm e a presso igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condies do escoamento o manmetro de coluna de mercrio apresenta uma altura de h=58cm. (a) Determine a presso relativa na seo (1) ( b ) Determine a fora total que os flanges resistem. gua=1000 kg/m3 ; Hg=13600 kg/m3 (a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N.

V1=5m/s

(1) (2)

D1=8cm

x

y

P2=Patmgua D2=5cm

h=58cm

mercrio

V1=5m/s

(1) (2)

D1=8cm

x

y

x

y

P2=Patmgua D2=5cm

h=58cm

mercrio [5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa linha de uma tubulao industrial. Os manmetros instalados antes e aps o bocal apresentam as presses indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal convergente. Considere que o fluido e gasolina com massa especifica igual a 680 kg/m3.



[ 7 ] No sistema representado na figura escoa gua em regime permanente (=1000 kg/m3). Determinar a fora resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o dimetro da lamina de fluido homognea e igual a 30mm. O ngulo da placa inclinada igual a 450.

[ 8 ] Determinar a fora de reao no sistema apresentado na figura no qual escoa gua (=1000 kg/m3 ) numa tubulao de 400mm de dimetro com velocidade media igual a 5 m/s. A gua sai a presso atmosfrica em forma de jato devido a placa plana com dimetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e sada (2) do fluido.

[ 9 ] Uma bomba de jato de gua tem rea de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de gua com velocidade V1=3,0m/s. A rea total do duto e A2=0,075m2. A gua e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seo 2. Na entrada da bomba as presses do jato e da corrente secundaria so iguais. Determine a velocidade na seo de sada. Massa especifica da gua 1000 kg/m3

[ 10 ] Num Venturi escoa gua conforme mostrado a figura. O manmetro de mercrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferena de presso entre os pontos 1 e 2 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: gua 1000kg/m3 mercrio 13600kg/m3.

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EEXXEEMMPPLLOOSS

EESSCCOOAAMMEENNTTOO VVIISSCCOOSSOO IINNTTEERRNNOO



1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS E

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ANEXO C - Problemas Resolvidos e Propostos