ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMASmanoel.sobrinho/index_arquivos/Aula33.pdf · Observe os gráficos abaixo: 0-du(t) (t)= e dt u(t)= ( )d G ³ G W W t 1 T/2 -T/2 t f(t) O segundo gráfico

1

ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS

AULA 3:

OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS:

OPERARAÇÕES NAS VARIÁVEIS DEPENDENTES;

OPERARAÇÕES NA VARIÁVEL INDEPENDENTE.

FUNÇÕES ELEMENTARES:

O DEGRAU UNITÁRIO; O IMPULSO UNITÁRIO;

A RAMPA UNITÁRIA; O PULSO UNITÁRIO;

A FUNÇÃO PORTA; O PULSO TRIANGULAR;

A FUNÇÃO SIGNUM.

2

OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS

Operações Executadas nas Variáveis Dependentes

Os sistemas processam sinais utilizando uma combinação

de algumas operações básicas.

Saída do Sistema Entrada do Sistema

SISTEMA x(t) y(t)

y(t)= f(x(t))

3



Mudança de Escala de Amplitude – o sinal y(t) é definido por:

y(t) = c x(t) para o caso contínuo;

y[n]= c x[n] para o caso discreto.

Em que c é um fator de escala.

Adição– o sinal y(t) é definido por:

y(t) = x1(t) + x2(t) para o caso contínuo;

y[n]= x1 [n] + x2 [n] para o caso discreto.

x(t) SISTEMA

y(t)

y(t)= c x(t)

x1(t) SISTEMA y(t)

y(t) = x1(t) + x2(t)

x2(t)

4



Multiplicação – o sinal y(t) é definido por:

y(t) = x1(t) . x2(t) para o caso contínuo;

y[n]= x1 [n] . x2 [n] para o caso discreto.

x1(t) SISTEMA y(t)

y(t) = x1(t) . x2(t)

x2(t)

Diferenciação – o sinal y(t) é obtido a partir da derivada de x(t).

dy(t)= x(t)

dtpara o caso contínuo;

y[n] = x[n] - x[n - 1] para o caso discreto.

x(t) SISTEMA

y(t)

y(t) = x’(t)

5



Integração – o sinal y(t) é obtido pela integração de x(t).

t

-y(t)= x( )d

para o caso contínuo;

y[n] = x[ ]

n

para o caso discreto.

x(t) SISTEMA

y(t)

y(t) = ∫ x(t)

6


Operações Executadas na Variável Independente

Escalonamento Temporal – o sinal y(t) é obtido pela mudança

de escala da variável independente, o tempo t, por um fator a.

Se a > 1, o sinal y(t) é uma versão comprimida de x(t).

1

-2 1/2 -1/2

1

1 -1

1

t t t

x(t) x(2t) x(t/2)

a=2 a=1/2

2

Se 0 < a < 1, o sinal y(t) é uma versão expandida de x(t).

y(t)= x(at), com a >0.

7



Escalonamento Temporal – para o caso discreto tem-se que:

y[n] = x[kn],

x[n]

1/2

1

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

...

com k >0.

1

x[2n]

n

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k = 2k = 1/2

1/2

1

x[n/2]

n

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8



Reversão Temporal ou Reflexão – o sinal y(t) apresenta uma

versão refletida de x(t) em relação ao eixo de amplitude.

y(t)= x(-t),

1 1

t t

x(t) x(-t)

-b a -a b

9



Reversão Temporal ou Reflexão – para o caso discreto tem-se

que. y[n] = x[-n],

-0,5

0,5

n

x[n]

-1

1

-1

0

-2

1 2 -0,5

0,5

n

y[n]=x[-n]

2 1

-1

1

-1 0 -2

10



Deslocamento Temporal – o sinal y(t) é uma versão de x(t)

deslocada no tempo. Sendo to o deslocamento no tempo, tem-se

que: o

y(t)= x(t -t ),

Se to > 0, então x(t) é deslocada para a direita;

Se to < 0, então x(t) é deslocada para a esquerda;

1

x(t)

t -1 1

1

x(t+2)

t -1 -3

1

x(t-2)

t 3 1

11



Deslocamento Temporal – para o caso discreto tem-se que:

Exemplo: Sendo

y[n] = x[n - m], sendo que o deslocamento m deve ser um número

inteiro positivo ou negativo.

1, se n = 1 ou n = 2

x[n] = -1, se n = -1 ou n = -2

0, se n = 0 ou n > 2 .

;

;

-6 -5 -4 -3

-1

-2 -1

1

x[n+3]

n 1

-1

-3 -2 -1

1

x[n]

n 1 2 3

Determine y[n]=x[n+3]

12



Regra de Precedência para Deslocamento e Escalonamento

Seja x(t) um determinado sinal e y(t) =x(at-b).

A obtenção de y(t) a partir de x(t) envolve as operações de

escalonamento e deslocamento.

Em qual sequência devem ser executadas as operações?

13




Façamos primeiro o escalonamento e depois o deslocamento:

O escalonamento temporal de x(t) pelo fator a resulta em x(at).

Para se efetuar o deslocamento temporal de x(at) deve-se

substituir t por t-b, resultando em .

Portanto, esta sequência de operações não é a correta!

x(a(t - b))=x(at - ab)) y(t)

14




Façamos, agora, o deslocamento e depois o escalonamento:

Para se efetuar o deslocamento temporal de x(t) deve-se

substituir t por t-b, resultando em x(t-b).

O escalonamento temporal de x(t-b) pelo fator a resulta em

x(at-b)=y(t).

Portanto, esta é a sequência correta para se efetuar as

operações!

15




Exemplo – Determine x[2n+3] sendo x[n] conforme mostrado

no gráfico abaixo;

-1

-3 -2 -1

1

x[n]

n 1 2 3 1 2 3

-6 -5 -4

-1

-3 -2 -1

1

x[n+3]

n 1 2 3

-1

-3 -2 -1

1

x[2n+3]

n

16

SINAIS ELEMENTARES

O Degrau Unitário (contínuo)

Para o caso contínuo

é definido por:

1, para t > 0u(t)=

0, para t < 0

1

t

u(t)

Em geral tem-se que:

0

0

0

1, para t >tu(t - t )=

0, para t < t

1

t0 t

u(t-t0)

17

SINAIS ELEMENTARES

O Degrau Unitário (contínuo)

Um pulso pode ser escrito como uma combinação de

degraus.

1

t1 t

u(t-t1)

1

t2 t1 t

x(t)

1

t2 t

u(t-t2)

1 2x(t)= u(t - t ) - u(t - t )

18

SINAIS ELEMENTARES

O Degrau Unitário (discreto)

Para o caso discreto é definido por:

1, para n 0u[n] =

0, para n < 0

1

u[n]

n

...

0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1

Em geral tem-se que:

0

0

0

1, para n nu[n - n ] =

0, para n < n

1

u[n-n0]

n

n0=3

...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

19

SINAIS ELEMENTARES

O Degrau Unitário (discreto)

Alguns sinais discretos podem ser escritos como uma

combinação de degraus.

1, para 0 n 6x[n] =

0, caso contrário

Exemplo – Um sinal discreto

1

x[n]

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1

Escrever x[n] como superposição de

duas funções degraus.

Resposta:

x[n] =u[n] -u[n -7]

20

SINAIS ELEMENTARES

O Impulso Unitário (contínuo) - A Função Delta de Dirac

Para o tempo contínuo é definido como:

-

(t)= 0, para t 0 e

(t)dt = 1

A integral pode

ser escrita como:

O impulso tem valor infinito em t=0, porém, intensidade

unitária, pois a área sob o mesmo é 1.

O impulso deslocado é expresso por:

δ(t)

t

-

0

0(t)dt = 1

0

-0

0 0

t

0t

(t - t )= 0, para t t e

(t - t )dt = 1

t0

δ(t-t0)

t

21

SINAIS ELEMENTARES

O Impulso Unitário (contínuo)

Um pulso retangular, conforme mostrado na figura abaixo,

pode ser usado para se entender melhor a função impulso.

Observe que, quando T tende a zero,

a amplitude do pulso tende a infinito,

enquanto sua largura tende a zero.

A área é sempre igual a 1.

0(t)=lim g(t)

T

1/T

T/2

-T/2 t

g(t)

Dessa forma, o impulso pode ser escrito como:

22

SINAIS ELEMENTARES

O Impulso Unitário (contínuo)

Exemplo em que aparece um impulso.

Observe que a constante de tempo

(t=RC) é nula (R=0). Isto significa

que uma carga, Q =CV0, deve ser

armazenada no capacitor num

intervalo de tempo infinitesimal. Um

impulso de corrente deve ocorrer em

t=0.

C V0 u(t) + -

VC

-t/RC

c 0V (t)=V (1- e )

23

SINAIS ELEMENTARES

Propriedade Seletiva do Impulso

Qual o valor da integral?

Como

0-

f(t) (t - t )dt =

?

0 0(t - t )= 0, para t t a integral é diferente de zero.

somente em t=t0 . Assim, tem-se que:

0 0 0 0 0 0- - -

f(t) (t - t )dt = f(t ) (t - t )dt = f(t ) (t - t )dt = f(t )

0 0-

f(t) (t - t )dt = f(t )

E também 0 0 0f(t) (t - t )= f(t ) (t - t )

24

SINAIS ELEMENTARES

Relação entre a função degrau e a função impulso

Observe os gráficos abaixo:

-0

du(t)(t)= e

dt

u(t)= ( )d

t

1

T/2

-T/2 t

f(t) O segundo gráfico corresponde à

derivada do primeiro.

Quando T tende a zero f(t) tende a u(t)

e df(t)/dt tende a δ(t).

Dessa forma, o impulso pode ser visto

como a derivada do degrau.

1/T

T/2

-T/2 t

df(t)/dt

25

SINAIS ELEMENTARES

O Impulso Unitário (caso discreto) – A Função Delta

de Kronecker

Em tempo discreto, o impulso unitário é definido como:

1, para n= 0[n] =

0, para n 0

O impulso deslocado é expresso por.

1

δ[n]

n

0

0

0

1, para n= n[n - n ] =

0, para n n

n0

1

δ[n-n0]

n

26

SINAIS ELEMENTARES

Propriedade Seletiva do Impulso (caso discreto)

Qual o valor do somatório?

Como

0

-

x[n] [n - n ]

?

0 0[n - n ] = 0, para n n tem-se que

0 0

-

x[n] [n - n ] x[n ]

Observe que, para o caso discreto pode-se escrever:

0 0x[n] [n - n ] x[n ]

27

SINAIS ELEMENTARES

Relação entre o degrau e o Impulso discreto)

Pode-se observar facilmente que:

[n] = u[n] - u[n - 1] 1

u[n]

n

...

0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1

1

u[n-1]

n

...

0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1

1

δ[n]

n

28

SINAIS ELEMENTARES

Relação entre o degrau e o Impulso discreto

Pode-se observar também que:

1

u[n]

n

...

0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1

0u[n] = [n - n ]

0 0n

1

δ[n]

n

n0=0

1

1

δ[n-1]

n

n0=1

+ +

2

1

δ[n-2]

n

n0=2

+ ...

29

SINAIS ELEMENTARES

A Rampa Unitária (caso contínuo)

Para o tempo contínuo é definida como: t, para t 0 e

t0, para t < 0

( )r

Ou simplesmente r t t u(t)( )

t

r(t)

45°

Observe que d r(t)

u tdt

( )

E também que r t u( )d

( )t

1

t

u(t)

30

SINAIS ELEMENTARES

A Rampa Unitária (caso discreto)

Para o tempo discreto é definida como: n, para n 0 e

[n]0, para n < 0

r

Ou simplesmente r[n] n u[n]

Observe que u[n] [n+1] - r[n]r

E também que

1

n

r[n]

-3

2

-1 0 -2 1 2 3

3 ...

0r[n] = u[n ]

0

1

1

n

n

1

n

r[n+1]

-3

2

-1 0 -2 1 2 3

3 ...

31

SINAIS ELEMENTARES

Exercício - Determine uma expressão analítica para a função

x(t) mostrada no gráfico abaixo.

2

t

x(t)

2 3

x t tu(t) - 3tu(t - 2)+ 2tu(t - 3)+

6[u(t - 2) - u(t - 3)].

( )

Resposta:

32

SINAIS ELEMENTARES

O pulso Unitário

É definido por: 1/ , para 0 < t < e

p t0, para t < 0 ou t >

( )

1/τ

0

τ t

p(t)

Observe que a área do pulso é unitária.

-p(t)dt = 1

33

SINAIS ELEMENTARES

A Função Porta ou Pulso de Porta

É definido por:

1, para t < et 2

ret

0, para t2

( )

Quando τ =1. temos a chamada

Função Porta Unitária ret(t),

cuja área é 1.

-ret(t)dt = 1

1

τ /2 - τ /2 t

ret(t/τ)

Possui amplitude 1.

34

SINAIS ELEMENTARES

O Pulso Triangular

É definido por:

t1 - 2 para t

t 2( )

0, para t2

Possui altura 1.

τ /2 - τ /2

1

t

Δ(t/τ)

Quando τ =1. temos a chamada

Função Triângulo Unitário Δ(t),

cuja base é 1.

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SINAIS ELEMENTARES

A Função Signum ou Função Sinal

É definido por: 1, para t > 0 sgn(t)

-1, para t < 0

-1

1

t

sgn(t) Relações úteis:

sgn(t) u(t) - u(-t)

sgn(t) 2u(t) - 1

u(t) sgn(t) 1 1

2 2

1

t

u(t)

36

SINAIS ELEMENTARES

Exercícios:

1- Determine uma expressão analítica para a função pulso

unitário.

2- Determine uma expressão analítica para a função porta.

3- Determine uma expressão analítica para o pulso triangular

unitário.

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