Análise Dinâmica de uma Coluna de Perfuração …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10025330.pdfANALISE DIN AMICA DE UMA COLUNA DE PERFURAC˘^ AO~ ACOPLAMENTO LATERAL

ANALISE DINAMICA DE UMA COLUNA DE PERFURACAO

ACOPLAMENTO LATERAL - TORCIONAL

Frederico Dias Souza

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientadores: Thiago Gamboa Ritto

Romulo Reis Aguiar

Rio de Janeiro

Agosto de 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecanica

DEM/POLI/UFRJ




PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECANICO.

Aprovada por:

Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.

Eng. Romulo Reis Aguiar, D.Sc.

Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.

Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.-Ing.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

AGOSTO DE 2018

Souza, Frederico Dias

Analise Dinamica de uma Coluna de Perfuracao

Acoplamento Lateral - Torcional/ Frederico Dias Souza.

– Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica, 2018.

XIII, 70 p.: il.; 29, 7cm.


Romulo Reis Aguiar

Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Mecanica, 2018.

Referencias Bibliograficas: p. 44 – 47.

1. Analise Dinamica. 2. Perfuracao. 3.

Stick-Slip. 4. Precessao Direta. 5. Precessao

Retrograda. I. Ritto, Thiago Gamboa et al.. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso

de Engenharia Mecanica. III. Analise Dinamica de uma

Coluna de Perfuracao Acoplamento Lateral - Torcional.

iii

”Chance favors only the prepared

mind.”

Louis Pasteur

iv

Agradecimentos

Agradeco, sobretudo, aos meus pais e minha irma pelo enorme e incondicional apoio

que me foi dado ao longo da minha vida, tornando a trajetoria consideravelmente

mais facil.

Agradeco aos amigos que conheci ao longo da graduacao, em especial Bruno,

Derek, Fernando, Gabriel, Gian, Juliana, Lucas e Thiago, pelos momentos de alegria

e por tornarem os momentos de dificuldade mais leves.

Agradeco ao meu professor orientador Thiago Ritto por toda a atencao e pron-

tidao em ajudar nao so a mim, como todos os alunos, e tambem por despertar ainda

mais meu interesse pela Engenharia Mecanica.

Agradeco ao Eng. Romulo pelo compartilhamento de sua larga experiencia

tecnica na area e disposicao em ajudar.

Agradeco aos funcionarios do Departamento de Engenharia Mecanica e da Escola

Politecnica por viabilizarem esse sonho.

v

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico




Agosto/2018


Romulo Reis Aguiar

Programa: Engenharia Mecanica

A perfuracao de um poco e uma das atividades mais complexas e custosas da

industria de oleo e gas. A ocorrencia de vibracoes indesejaveis e intrınseca ao pro-

cesso e compreende uma gama de fenomenos, que podem ser divididos em tres

tipos: vibracoes torcionais, laterais e axiais. Como existe uma necessidade de mo-

delos dinamicos de perfuracao que possam predizer esses fenomenos e que sejam

suficientemente simples, foi proposta uma formulacao de tres graus de liberdade. O

modelo consiste num pendulo torcional acoplado em um rotor de Jeffcott conside-

rando contato com a parede do poco. O objetivo do presente trabalho e simular

a ocorrencia do stick-slip e das precessoes e estudar as respostas no domınio do

tempo e da frequencia para diferentes situacoes. Primeiramente, foram analisadas

as formulacoes torcional e lateral separadamente, para, em seguida, serem estuda-

dos o acoplamento e o contato. A partir dos resultados, foi possıvel verificar as

condicoes de operacao e as caracterısticas do poco que levam ao stick-slip e a pre-

cessao retrograda e como esses parametros influenciam nas amplitudes e frequencias

presentes nas respostas no tempo.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

DYNAMICAL ANALYSIS OF A DRILLSTRING - LATERAL TORSIONAL

COUPLING


August/2018

Advisors: Thiago Gamboa Ritto

Romulo Reis Aguiar

Department: Mechanical Engineering

Well drilling is one of the most complex and costly activities in the oil and gas

industry. The occurrence of undesirable vibrations is intrinsic to the process and

comprises a range of phenomena, which can be divided into three types: torsional

vibrations, lateral, and axial vibrations. Since there is a need for dynamic drilling

models that can predict these phenomena and are simple enough, a three degree

of freedom formulation was proposed. The model consists on a torsional pendulum

coupled with a Jeffcott rotor, considering contact with the well wall. The objec-

tive of this work is to simulate the occurrence of stick-slip and whirl and to study

time and frequency responses for different situations. First, the torsional and lateral

formulations were analyzed separately, then the coupling and contact were studied.

From the results, it was possible to verify the operational conditions and well char-

acteristics that lead to stick-slip and backward whirl, besides how these parameters

influence the amplitudes and frequencies present in the time responses.

vii

Sumario

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xiii

1 Introducao 1

1.1 Industria de Oleo e Gas no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Organizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Modelo da Coluna de Perfuracao 7

2.1 Processo de Perfuracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Modelo Matematico Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Pendulo Torcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Rotor de Jeffcot com Impacto e Rocamento . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Resultados e Discussoes 19

3.1 Modelo torcional isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Modelo lateral isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Acoplamento entre os modelos torcional e lateral sem contato . . . . 27

3.4 Contato e Rocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Conclusoes e Trabalhos Futuros 41

4.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

viii

Referencias Bibliograficas 44

A Codigo Fonte 48

A.1 Modelo torcional isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.2 Modelo lateral isolado sem contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.3 Acoplamento entre os modelos torcional e lateral sem contato . . . . 53

A.4 Modelo lateral isolado com contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.5 Mapa Rotacao x Peso sobre a broca x Fator stick-slip . . . . . . . . . 60

A.6 Mapa Rotacao x Rigidez de Impacto x Amplitude . . . . . . . . . . . 63

A.7 Mapa Rotacao x Rocamento x Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . 67

ix

Lista de Figuras

1.1 Profundidade da camada pre-sal. Adaptado de [1] . . . . . . . . . . . 2

1.2 Tipos de vibracoes [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Rotacao da broca com o tempo para um caso com stick-slip. A linha

vermelha representa a rotacao imposta na superfıcie. Adaptado de [2]. 4

1.4 Precessoes direta e retrograda. Adaptado de [2]. . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Esquema de uma sonda de perfuracao. Adaptado de [3]. . . . . . . . 7

2.2 Coluna de perfuracao e seus componentes. Imagem cedida pela Sch-

lumberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Estabilizador. Adaptado de [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Drill collars espirais, utilizados para evitar que a coluna fique presa

durante a perfuracao de pocos muito porosos. Adaptado de [5]. . . . . 9

2.5 Esquema do pendulo torcional. Adaptado de LOBO [6]. . . . . . . . . 11

2.6 Curvas de atrito contınua e descontınua [7]. . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Rotor de Jeffcot. Adaptado de [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Precessao da coluna de perfuracao. Adaptado de [9]. . . . . . . . . . 14

2.9 Forcas de impacto e rocamento [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Esquema do acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.11 Modelo de tres graus de liberdade: Pendulo Torcional e Rotor de

Jeffcott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Fator de stick-slip conforme a condicao de operacao . . . . . . . . . . 20

3.2 Rotacoes no tempo para casos sem e com stick-slip (Ω = 50rpm) . . . 21

3.3 Rotacoes no tempo para casos sem e com stick-slip (Ω = 200rpm) . . 21

3.4 Influencia do peso sobre a broca (sem stick-slip e Ω = 50rpm) . . . . 22

3.5 Influencia do peso sobre a broca (com stick-slip e Ω = 50rpm) . . . . 22

x

3.6 Resposta em Frequencia do Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.7 Respostas no Tempo e Transformada Rapida de Fourier (Ω = 50rpm) 24

3.8 Orbita (Ω = 50rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.9 Respostas no Tempo e Transformada Rapida de Fourier (Ω = 200rpm) 25

3.10 Orbita (Ω = 200rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.11 Respostas no Tempo e Transformada Rapida de Fourier (Ω = ωn) . . 26

3.12 Orbita (Ω = ωn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.13 Influencia do acoplamento na resposta do raio no tempo (Ω = 50rpm) 27

3.14 Resposta no raio no tempo para caso com stick-slip (Ω = 50rpm) . . 28

3.15 Resposta no raio no tempo para caso com stick-slip entre 950s e 1000s

(Ω = 50rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.16 Orbita sem stick-slip (Ω = 50rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.17 Orbita com stick-slip (Ω = 50rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29







3.24 Amplitude da resposta do raio no tempo em regime permanente con-

forme a rotacao e a rigidez de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.25 Influencia da rigidez de impacto na resposta do raio no tempo (Ω =

100rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.26 Orbita (ks = 50k e Ω = 100rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.27 Influencia da rigidez de impacto na resposta do raio no tempo (Ω =

200rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.28 Orbita (ks = 50k e Ω = 200rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.29 Influencia do rocamento na rigidez de impacto na resposta do raio no

tempo (Ω = 200rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.30 Influencia do rocamento no tipo de precessao (ks = 50k e Ω = 200rpm) 37

3.31 Orbita (u = 0.07, ks = 50k, Ω = 200rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.32 Orbita (u = 0.07, ks = 50k, Ω = 200rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . 38

xi

3.33 Orbita (u = 0.08, ks = 50k, Ω = 200rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.34 Influencia do rocamento na rigidez de impacto na resposta do raio no

tempo (Ω = 100rpm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.35 Influencia do rocamento no tipo de precessao (ks = 50k e Ω = 100rpm) 40

3.36 Influencia do rocamento e da rotacao na amplitude da resposta do

raio no tempo (ks = 50k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

xii

Lista de Tabelas

2.1 Valores dos parametros que nao serao variados. . . . . . . . . . . . . 18

xiii

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Industria de Oleo e Gas no Brasil

A historia do setor de petroleo e gas no Brasil tem seu principal marco na criacao

da Petroleo Brasileiro S/A - Petrobras em 1953. A empresa manteve uma posicao

de monopolio de praticamente toda a cadeia do setor ate 1997, quando o Congresso

aprovou a Lei no 9478 – “Lei do Petroleo” –, que permitiu a participacao privada

estrangeira e local no setor, sendo um momento chave para o desenvolvimento do

petroleo e o gas brasileiro.

Ate o final da decada de 1960, a empresa se concentrou apenas nas atividades

onshore. Em 1970, a Petrobras confirmou os primeiros reservatorios nas aguas rasas

da Bacia de Sergipe. Com a confirmacao de que os recursos offshore ultrapassavam

as descobertas terrestres, as decadas seguintes foram marcadas por um expressivo

desenvolvimento das reservas da Bacia de Campos, no norte fluminense [11].

Em 2007, a Petrobras anunciou a descoberta das primeiras reservas do pre-sal

no campo de Tupi, na bacia de Santos [12]. Essas novas reservas representaram

um marco tecnologico no setor, que, por suas caracterısticas geologicas, exigem

materiais, tecnicas e procedimentos resistentes a corrosao severa, altas temperaturas

e pressoes [13]. Apesar das incertezas e do alto risco, essas reservas se consolidaram

como principal fonte de hidrocarbonetos do paıs, com a producao de petroleo no

pre-sal ultrapassando a do pos-sal em julho de 2017 [14].

1

1.2 Motivacao

A industria do petroleo compreende uma longa e complexa cadeia de valor, que

e usualmente separada em tres setores: upstream, midstream e downstream. O

primeiro, comumente conhecido como o setor de Exploracao e Producao (E&P),

compreende as atividades que lidam com a procura e extracao de oleo e gas. O setor

de midstream conecta as atividades de upstream e downstream, envolvendo o trans-

porte dos hidrocarbonetos produzidos, enquanto que o terceiro esta principalmente

relacionado ao refino do oleo cru e a distribuicao [15].

A perfuracao, presente no setor de E&P, e uma das atividades mais importantes

e complexas da industria de oleo e gas e pode representar ate 40% dos custos de

exploracao e desenvolvimento de um poco [16]. Apesar do custo de perfuracao, em

geral, apresentar uma relacao exponencial com a profundidade de perfuracao [17], o

custo de extracao do pre-sal, presente em profundidades que podem chegar a 7000m

abaixo do nıvel do mar, conforme mostra a Figura 1.1, atingiu o patamar de US$

8 por barril, enquanto que a media mundial e de US$ 15 por barril. A Petrobras

atribuiu essa diferenca a significativa reducao no tempo de perfuracao para menos

de 30 dias. [18]

Figura 1.1: Profundidade da camada pre-sal. Adaptado de [1]

2

As plataformas de perfuracao podem variar em tamanho, capacidade de per-

furacao, nıvel de automacao e ambiente de operacao. No entanto, os equipamentos

basicos para o processo de perfuracao rotativa estao presente em todos os tipos de

plataforma [16]. A secao 2.1 trata com mais detalhes do processo e dos equipamen-

tos presentes no sistema. Por ser uma das etapas mais desafiadoras da extracao de

petroleo, compreender o processo e os fenomenos relacionados e de suma importancia

para sua otimizacao, ainda mais nas condicoes de aguas profundas do pre-sal.

A ocorrencia de vibracoes indesejaveis e intrınseca ao processo de perfuracao.

Problemas decorrentes de vibracoes representam um alto custo a industria do

petroleo, em virtude da ampla gama de fenomenos problematicos que podem ocor-

rer. Conforme mostra a Figura 1.2, as vibracoes podem ser divididas em tres tipos:

axial, torcional e lateral.

Figura 1.2: Tipos de vibracoes [2].

As vibracoes axiais, em situacoes severas, sao comumente associadas a danos na

broca, seus dentes e rolamentos. Elas podem ocasionar o bit bounce, que consiste no

impacto repetido da bronca com o fundo do poco [19].

Ja severas vibracoes torcionais podem ocasionar rotacao irregular no fundo do

poco, evento denominado stick-slip. Tal fenomeno, refere-se a flutuacao da veloci-

dade de rotacao do bottomhole assembly (BHA) - parte inferior da coluna de per-

furacao que sera detalhada na secao 2.1 -, em que este se torna estacionario por um

instante.

3

O stick-slip ocorre quando ha uma maior demanda de torque na broca que nao

pode ser atendida pelo motor de perfuracao, fazendo com que a rotacao desta di-

minua ou pare. A rotacao da broca fica limitada ate que a coluna de perfuracao

produza torque suficiente para atender ao torque na broca necessario e retomar a

penetracao. A broca entao se liberta e a energia torcional armazenada no tubo

de perfuracao e convertida em energia cinetica, levando a velocidades superiores a

rotacao imposta na superfıcie. Sob certas condicoes de operacao, a transferencia de

energia da coluna para o BHA pode ser auto excitada e resultara em stick-slip [19].

Oscilacoes torcionais podem provocar fadiga, dano a broca ou ate mesmo, em

casos extremos, o desrosqueamento de segmentos do drillpipe [2] [20]. A Figura

1.3 mostra um exemplo de resposta da rotacao da broca no tempo quando esta se

encontra sob o regime de stick-slip.

Figura 1.3: Rotacao da broca com o tempo para um caso com stick-slip. A linha

vermelha representa a rotacao imposta na superfıcie. Adaptado de [2].

Por fim, as vibracoes laterais sao o tipo mais destrutivo de vibracao e podem levar

a regimes vibracionais de alta amplitude, tal como precessao (direta ou retrograda),

ou impactos com a parede do poco. A precessao direta e ocasionada, em geral, por

desbalanceamentos na montagem e pode ocasionar o desgaste irregular dos compo-

nentes da coluna de perfuracao. O choque entre os tubos de perfuracao e a parede do

poco pode excitar a precessao retrograda. Essa e a forma de vibracao mais severa,

que leva a flutuacoes de momento fletor de alta frequencia e amplitude, resultando

em fadiga severa [2] [20]. Os dois tipos de precessoes sao ilustrados pela Figura 1.4.

4

Figura 1.4: Precessoes direta e retrograda. Adaptado de [2].

Segundo WU, X et. al. [21], em perfuracoes em aguas profundas, uma baixa

produtividade associada a vibracoes pode prejudicar significativamente a rentabili-

dade de um projeto. O mesmo trabalho afirma que mais de 40% do comprimento

perfurado ao redor do mundo e afetada pela precessao da coluna de perfuracao e

que a ocorrencia de stick-slip corresponde a cerca de 50% do tempo de perfuracao.

Alem disso, o artigo de CUI, M et. al. [22] apresenta estatısticas do campo de

Tarim Basin, no oeste chines, que mostram que cerca de 35% do baixo desempenho

de perfuracao esta associado as vibracoes e que estas foram identificadas como o

limitante mais significativo para o desgaste das brocas e reducao do ROP (rate

of penetration) - velocidade a qual a broca perfura o poco [23]. Portanto, e

imprescındivel estudar as vibracoes no processo de perfuracao.

Por fim, segundo BUTLIN e LANGLEY [20], existe uma necessidade de modelos

dinamicos de colunas de perfuracao que: i. possam predizer essa variedade de

fenomenos e; ii. sejam suficientemente eficientes para realizar estudos parametricos

e; iii. sejam simples a fim de permitir a comprensao da fısica subjacente a operacao.

5

1.3 Objetivo

O presente trabalho tem como objetivos: i. propor um modelo de tres graus de

liberdade que seja capaz de simular o stick-slip e as precessoes direta e retrograda;

ii: analisar o acoplamento entre as vibracoes laterais e torcionais e; iii: analisar a

influencia dos parametros de operacao nas ocorrencia dos fenomenos vibracionais

tıpicos. Vale ressaltar que as vibracoes axiais nao sao estudadas nesse trabalho.

1.4 Organizacao

O primeiro capıtulo se inicia com a historia do setor de oleo e gas no Brasil e

mostra como o paıs chegou ao contexto atual de exploracao predominantemente

no severo ambiente de aguas profundas. Em seguida, ha uma breve introducao

sobre a importancia da perfuracao em toda a cadeia produtiva do petroleo e um

detalhamento dos problemas vibracionais intrınsecos a perfuracao e sua relevancia

para a atividade. Por fim, sao apresentados os objetivos do trabalho e sua forma de

organizacao.

O segundo capıtulo apresenta uma explicacao mais detalhada sobre o processo

de perfuracao, principais equipamentos de uma sonda, componentes de uma coluna

de perfuracao e parametros e variaveis mais importantes para a operacao. Em

seguida, e exposto o modelo de tres graus de liberdade - um de rotacao e dois de

translacao - que visa simular os tres fenomenos vibracionais. Os termos de cada

equacao diferencial sao explicados e seus calculos, detalhados.

O terceiro capıtulo apresenta os resultados das simulacoes e discussoes sobre

estes. Ele e segmentado em quatro subsecoes de modo a avaliar cada formulacao

antes de apresentar o modelo mais completo.

Por fim, o quarto e ultimo capıtulo apresenta uma conclusao geral sobre os

resultados e o modelo proposto, alem de sugerir possıveis proximos passos.

6

Capıtulo 2

Modelo da Coluna de Perfuracao

2.1 Processo de Perfuracao

Atualmente, a perfuracao rotativa e o padrao da industria de oleo e gas, com prati-

camente todas as operacoes sendo realizadas por sondas desse tipo de perfuracao.

O esquema basico de uma sonda pode ser observado na Figura 2.1.

Figura 2.1: Esquema de uma sonda de perfuracao. Adaptado de [3].

7

O poco e perfurado usando uma broca que, rotacionada e sob acao de uma forca

axial, realiza a falha da formacao rochosa. A forca axial e proporcionada pelo peso

de tubos colocados acima da broca, denominado weight on bit (WOB), enquanto

que a rotacao geralmente e fornecida na superfıcie pela mesa rotativa ou pelo top

drive.

A medida que a broca se aprofunda no poco, novos tubos sao adicionados a

coluna de perfuracao. Os pequenos pedacos de rocha, resultados da acao da broca,

sao transportados para a superfıcie pelo fluido de perfuracao. Ele e constantemente

bombeado pelo interior da coluna ate o fundo do poco, onde passa por pequenos

orifıcios presente na broca, retornando juntamente com os detritos ate a superfıcie

pelo espaco anular entre a coluna e a parede do poco [16].

Um dos componentes chave do processo de perfuracao e a coluna de perfuracao

ou drill string, objeto de estudo do presente trabalho. A coluna e constituıda pelos

tubos de perfuracao ou drillpipes e pelo bottomhole assembly (BHA) [24]. A Fi-

gura 2.2 mostra um esquema simplificado da coluna de perfuracao e seus principais

componentes.

Figura 2.2: Coluna de perfuracao e seus componentes. Imagem cedida pela Schlum-

berger.

8

O bottomhole assembly (BHA), porcao inferior da coluna de perfuracao, e com-

posto basicamente pela broca, estabilizadores, heavy-weight drillpipe, drill collars e

jarring devices ou jars. O BHA deve apresentar rigidez superior a dos drillpipes, a

fim de proporcionar resistencia e estabilidade para operar em compressao, alem de

facilitar o controle direcional [25] [26].

Detalhando os componentes do BHA, os estabilizadores, Figura 2.3, sao porcoes

de tubos com laminas na superfıcie externa, cuja principal funcao e limitar o

movimento lateral da coluna, reduzindo os esforcos de flexao e a flambagem. Ja

os heavy-weight drillpipes sao tubos com espessura maior que a dos drillpipes

a fim de proporcionar uma transicao suave de rigidez entre os tubos de per-

furacao e os drill collars, amenizando o efeito da concentracao de tensoes [4].

Enquanto que os drill collars, Figura 2.4, sao tambem tubos de parede espessa

que, fundamentalmente, fornecem peso sob a broca [27]. Por fim, os jars sao

dispositivos que permitem a transmissao da carga de impacto para outros compo-

nentes, especialmente quando a coluna de perfuracao encontra-se presa no poco [28].

Figura 2.3: Estabilizador. Adaptado de [4].

Figura 2.4: Drill collars espirais, utilizados para evitar que a coluna fique presa

durante a perfuracao de pocos muito porosos. Adaptado de [5].

9

2.2 Modelo Matematico Proposto

Com o intuito de simular o stick-slip, a coluna foi modelada como um pendulo

torcional simples, de um grau de liberdade, cuja broca age sob um regime de atrito

seco ou de Coulomb, isto e, nao considera a existencia de fluido entre a broca e o

fundo do poco [29]. Ja as precessoes sao regidas pelas equacoes da rotodinamica, de

dois graus de liberdade. A precessao contınua surge do desbalanceamento do rotor

em relacao ao centro de massa, intrınseca ao rotor de Jeffcot [30]. A fim de excitar

a precessao retrograda, foi necessario adicionar termos correspondentes as forcas de

impacto e rocamento da coluna com a parede do poco.

Para o acoplamento dos tres graus de liberdade, foi preciso considerar tambem

no rotor de Jeffcot que sua aceleracao angular fosse diferente de zero. Dessa forma,

a velocidade e a aceleracao angular adotadas no modelo lateral tem origem na

dinamica torcional.

As formulacoes, parametros e hipoteses do modelo de tres graus de liberdade

adotados no presente trabalho serao detalhados nas secoes a seguir.

10

2.2.1 Pendulo Torcional

O modelo adotado para simular a dinamica torcional baseou-se no proposto por

NAVARRO e LOPEZ [29], em que a coluna de perfuracao pode ser descrita por um

pendulo torcional simples, rotacionada pela mesa rotativa, ou pelo top drive, a uma

rotacao constante prescrita Ω. A Figura 2.5 ilustra tal modelo.

Figura 2.5: Esquema do pendulo torcional. Adaptado de LOBO [6].

A coluna de perfuracao, cuja posicao angular e expressa por θ, pode ser entendida

como uma mola torcional de inercia J , rigidez kt e amortecimento ct, que conecta

a mesa rotativa a broca. Segundo KYLLINGSTAD e HALSEY [31], a inercia da

coluna pode ser calculada a partir da inercia dos drill pipes (Jdp) e do BHA (Jbha),

conforme a Equacao 2.1.

J =1

3Jdp + Jbha (2.1)

O modulo de elasticidade transversal do material (G) e funcao do modulo de

elasticidade (E) e do coeficiente de Poisson (ν), sendo descrito pela Equacao 2.2.

G =E

2(1 + ν)(2.2)

Para o calculo da rigidez, considerou-se que o momento de inercia de area da

secao tranversal da coluna (I) fosse constante ao longo da coluna, o que nao condiz

com a realidade, ja que a secao pode variar com o comprimento. Sendo Ltotal o com-

primento total da coluna de perfuracao, a rigidez e dada pela Equacao 2.3. Por fim,

11

o amortecimento e descrito pela Equacao 2.4, onde ξ e a taxa de amortecimento da

estrutura. Considera-se apenas o amortecimento estrutural, desprezando a interacao

fluido de perfuracao e coluna.

kt =GI

Ltotal

(2.3)

ct = 2ξ√ktJ (2.4)

Como a rotacao prescrita Ω e constante, a partir do equilıbrio do corpo mais

acima do esquema mostrado na Figura 2.5, tem-se que o torque do top drive Ttop e

dado pela Equacao 2.5.

Ttop(t) = ct(Ω− θ) + kt(Ωt− θ) (2.5)

Alem disso, segundo TUCKER e WANG [32], o torque da broca pode ser descrito

pela Equacao 2.6, com algumas adaptacoes para conferir coerencia dimensional.

Trata-se de uma funcao dependente da rotacao θ e peso sobre a broca WOB, onde

rbit e o raio da broca, ψ, o coeficiente de interacao entre a broca e a rocha, e α0, α1

e α2 estao relacionados as propriedades da rocha. A curva foi ajustada de modo a

seguir o comportamento dos dados experimentais presentes em RITTO et al. [33].

Tbit(WOB, θ) = rbitψWOB

(tanhα0θ +

α1θ

1 + α2θ2

)(2.6)

Tal modelo permite uma transicao suave para o Tbit, evitando a descontinuidade

entre o coeficiente de atrito estatico e dinamico, ilustrada pela Figura 2.6. Essa

descontinuidade e computacionalmente custosa a solucao numerica das equacoes

diferenciais [7].

12

Figura 2.6: Curvas de atrito contınua e descontınua [7].

A partir do equilıbrio do corpo de inercia J do esquema da Figura 2.5, tem-se

que:

Jθ(t) = Ttop − Tbit (2.7)

Por fim, o modelo torcional e expresso pela equacao abaixo.

Jθ(t) + ctθ(t) + ktθ(t) = ctΩ + ktΩt− Tbit (2.8)

2.2.2 Rotor de Jeffcot com Impacto e Rocamento

Em 1919, JEFFCOTT [34] propos um modelo dinamico para maquinas rotativas,

que consistia num eixo de massa desprezıvel bi-apoiado em mancais rıgidos, com

um disco rıgido de massa m montado no meio de seu comprimento, rotacionando a

velocidade constante θ. O centro de rotacao do disco C e seu centro de massa CM

estao separados por uma distancia e, denominada deslocamento estatico. O eixo

limita o movimento do disco por meio de uma rigidez lateral k e amortecimento c.

13

Para o acoplamento entre os modelos lateral e torcional e necessario consi-

derar a aceleracao angular θ. Dessa forma, as equacoes de movimento do rotor

com velocidade variavel sao expressas a seguir. A Figura 2.7 representa esse sistema.

mx(t) + cx(t) + kx(t) = meθ2cos(θt) +meθsen(θt)

my(t) + cy(t) + ky(t) = meθ2sen(θt)−meθcos(θt)(2.9)

Figura 2.7: Rotor de Jeffcot. Adaptado de [8].

A Figura 2.8 ilustra a analogia entre o rotor de Jeffcott e a coluna de perfuracao.

Os estabilizadores funcionam como mancais rıgidos e apenas a regiao do BHA entre

eles sera estudada quanto a dinamica lateral. Para o modelo adotado, considera-se

que a massa m sera apenas a massa total da regiao entre os estabilizadores, diferente

do modelo torcional, que contabiliza toda a coluna.

Figura 2.8: Precessao da coluna de perfuracao. Adaptado de [9].

14

Segundo a teoria de Mecanica dos Solidos, a rigidez de flexao de uma viga bi-

apoiada sob a acao de uma carga concentrada em seu meio e dada pela Equacao

2.10, onde E e o modulo de Young do material, I, o momento de inercia de area da

secao transversao e Lbha, a distancia entre os estabilizadores. Ja o amortecimento

e descrito pela Equacao 2.11 e nao considera os efeitos dissipativos do fluido de

perfuracao.

k =48EI

L3bha

(2.10)

c = 2ξ√km (2.11)

Conforme a amplitude de precessao aumenta, e possıvel que o BHA se choque

com a parede do poco, podendo, inclusive, excitar a precessao retrograda. Para levar

em consideracao esses efeitos, e necessario adicionar os termos correspondentes as

forcas de impacto e rocamento, representadas na Figura 2.9.

Figura 2.9: Forcas de impacto e rocamento [10].

O impacto foi modelado como uma mola linear de rigidez ks, em que a forca

e proporcional ao quanto a coluna penetra na parede do poco. Tal distancia e

representada pelo parametro δ e pode ser calculada pela Equacao 2.12, onde rwell e

o raio do poco, e x e y sao as coordenadas do centro de rotacao do disco.

15

Ja a forca de rocamento corresponde a um atrito viscoso de coeficiente µ. Ambas

as forcas estao descritas na Equacao 2.13, onde H(δ) e uma funcao de Heaviside,

Equacao 2.14, que permite que o atrito e o rocamento so sejam considerados caso o

valor de δ seja maior que zero, isto e, apenas quando o BHA se choca com a parede

do poco.

δ = rwell − rbha −√x2 + y2 (2.12)

Fn = −(kcδ)H(δ)

Fa = −µ(kcδ)H(δ)(2.13)

H(δ) =

0, δ > 0

1, δ ≤ 0(2.14)

E importante ressaltar que, para o presente trabalho, a forca de atrito sempre

se encontra contraria a rotacao da coluna, ate mesmo em casos de precessao

retrograda. Essa simplificacao foi adotada, pois se considerou a velocidade de

rotacao da coluna significativamente superior a velocidade de rotacao da precessao.

Enfim, a dinamica de um Rotor de Jeffcot com velocidade variavel, impacto e

rocamento pode ser descrita pela Equacao 2.15.

mx(t) + cx(t) + kx(t) +H(δ)δks(cosφ− µsenφ) = meθ2cos(θt) +meθsen(θt)

my(t) + cy(t) + ky(t) +H(δ)δks(senφ+ µcosφ) = meθ2sen(θt)−meθcos(θt)(2.15)

16

2.2.3 Acoplamento

A velocidade angular θ e a aceleracao angular θ impostas no modelo rotodinamico

sao calculadas a partir da formulacao torcional. Dessa forma, o modelo torcional

influencia o lateral, mas nao e afetado por este. O esquema do acoplamento e

mostrado na Figura 2.10.

Figura 2.10: Esquema do acoplamento

Assim, o modelo de tres graus de liberdade pode ser representado a partir da

uniao do pendulo torcional com o rotor de Jeffcott, conforme ilustra a Figura 2.11.

Figura 2.11: Modelo de tres graus de liberdade: Pendulo Torcional e Rotor de

Jeffcott

17

Por fim, os parametros utilizados no modelo sao apresentados na tabela a seguir.

Os que estao presentes na tabela permanecerao constantes para todas as simulacoes,

enquanto que os ausentes serao explicitados ao longo do Capıtulo Resultados e Dis-

cussoes.

Tabela 2.1: Valores dos parametros que nao serao variados.

Parametro Valor

m 4672 kg

J 1000 kgm2

Ltotal 5466 m

Lbha 34 m

rbha 0.085 m

e 0.0136 m

E 207 GPa

G 80 GPa

k 490745 N/m

kt 27689 Nm

ξ 10%

c 9577 Ns/m

ct 1052 Ns

rbit 0.1 m

ψ 0.03

α0 1 s

α1 6.8 s

α2 3.4 s2

18

Capıtulo 3

Resultados e Discussoes

Mesmo se tratando de um modelo com apenas tres graus de liberdade, o impacto

e rocamento adicionam complexidade, elevam o custo computacional e conferem

certo grau de imprevisibilidade, ja que solucoes analıticas sao mais difıceis de

serem encontradas nesses casos. Alem disso, mensurar a influencia dos diversos

parametros numa resposta que envolve diferentes defeitos pode ser um tarefa difıcil

num primeiro momento.

Dessa forma, primeiramente, foram analisados os modelos Torcional e Lateral

separadamente nas secoes 3.1 e 3.2. Em seguida, estudou-se o acoplamento entre

os dois modelos na secao 3.3. Por fim, o contato e rocamento foram analisados na

secao 3.4.

Para a solucao da equacoes diferenciais, foi utilizada a linguagem de pro-

gramacao python e seus pacotes numerico numpy, cientıfico scipy e de visualizacao

grafica matplotlib. Os codigos encontram-se no Anexo A.

19

3.1 Modelo torcional isolado

Para a analise do modelo torcional, adotou-se a equacao abaixo.

Jθ(t) + ctθ(t) + ktθ(t) = ctΩ + ktΩt− Tbit (3.1)

Como o torque na broca Tbit depende do peso sobre a broca WOB e da rotacao

da mesma θ, o regime de operacao pode ser descrito como funcao desses dois

parametros. Desse modo, definiu-se um fator ss, Equacao 3.2, que mede a se-

veridade do stick-slip baseada na amplitude da resposta da rotacao no tempo em

relacao a rotacao imposta, contabilizando apenas o regime permanente. Para isso,

levou-se em consideracao uma janela de tempo de 30s a 40s. Dessa forma, em casos

sem stick-slip, o fator ss aproxima-se de zero.

ss =θmax − θmin

2Ω(3.2)

A Figura 3.1 mostra a severidade do stick-slip conforme a condicao de operacao

(WOB e θ). Esse grafico tem suma importancia pratica, ja que, ao predizer o

comportamento da coluna conforme suas caracterısticas geometricas e propriedades

mecanicas, funciona como um mapa de operacao.

Figura 3.1: Fator de stick-slip conforme a condicao de operacao

20

Escolheram-se quatro pares de condicoes de operacao a fim de se analisar a

resposta da rotacao da broca no tempo para duas rotacoes diferentes da mesa de

rotacao e casos sem e com stick-slip. A Figura 3.2 mostra as respostas para Ω =

50rpm. Para a situacao sem stick-slip, com fator ss igual a 0, percebe-se que apos

um regime transiente oscilatorio, a rotacao da broca tende a rotacao imposta pela

mesa de rotacao. Tal comportamento nao se repete para o caso com stick-slip, com

fator ss igual a 1.04. Mesmo com o passar do tempo, a rotacao nao se estabiliza e

permanece oscilando, podendo levar a falha por fadiga da coluna de perfuracao. As

respostas para Ω = 200rpm, figura 3.3, confirmam tal comportamento.

Figura 3.2: Rotacoes no tempo para casos sem e com stick-slip (Ω = 50rpm)

Figura 3.3: Rotacoes no tempo para casos sem e com stick-slip (Ω = 200rpm)

21

Quanto a influencia do peso sobre a broca na rotacao da mesma, a Figura 3.4

mostra as respostas para diferentes valores de WOB quando nao ha stick-slip e a

rotacao do top drive equivale a 50 rpm. Nota-se que a amplitude de oscilacao do

transiente e sua duracao aumentam com o aumento de WOB.

Ja a Figura 3.5 apresenta o mesmo, so que em situacoes de stick-slip. Como

o mapa de ss ja elucida, o aumento da forca axial leva ao aumento da amplitude.

Ademais, a frequencia de oscilacao diminui com o aumento de WOB. Apesar de me-

nores frequencias serem menos prejudiciais a fadiga, esse fato tem pouca relevancia

pratica, ja que situacoes de stick-slip devem ser evitadas de qualquer jeito.

Figura 3.4: Influencia do peso sobre a broca (sem stick-slip e Ω = 50rpm)

Figura 3.5: Influencia do peso sobre a broca (com stick-slip e Ω = 50rpm)

22

3.2 Modelo lateral isolado

A presente subsecao dedica-se a esudar o modelo lateral sem contato, sem acopla-

mento e rotacao constante, sendo descrito pelas equacoes abaixo.

mx(t) + cx(t) + kx(t) = meθ2cos(θt)

my(t) + cy(t) + ky(t) = meθ2sen(θt)(3.3)

Primeiramente, observa-se na Figura 3.6 a resposta em frequencia (FRF) do raio,

isto e, da distancia do centro geometrico da coluna ao centro do poco. A maior am-

plitude ocorre quando a rotacao do top drive equivale a frequencia natural, calculada

pela Equacao 3.4 e indicada por uma linha tracejada. Para altas frequencias, a am-

plitude tende ao deslocamento estatico e. Assim, a altas frequencias, a amplitude

esta menos suscetıvel a variacao de frequencia e o sistema, menos sujeito ao stick-

slip. Vale ressaltar que a resposta em frequencia leva em consideracao a amplitude

em regime permanente.

ωn =

√k

m=

√490745.64N/m

4672kg= 10.248

rad

s= 97.88rpm (3.4)

Figura 3.6: Resposta em Frequencia do Raio

Para entender melhor o comportamento de um rotor de Jeffcott, estudaram-se

as respostas no tempo e orbitas do centro geometrico da secao transversal da coluna

para tres rotacoes diferentes do top drive: duas distantes da frequencia natural (50

rpm e 200 rpm) e na frequencia natural.

23

A Figura 3.7 mostra as respostas no tempo dos deslocamento em X e Y e do raio

para 50 rpm. Nota-se que, apos o regime transiente oscilatorio, a amplitude do raio

estabiliza-se em um valor proximo a 0.005m, conforme ja elucidado pela FRF.

As linhas pontilhadas presentes na Transformada Rapida de Fourier (FFT) da

resposta da coordernada X indicam a frequencia natural e a rotacao da mesa. Nota-

se que a frequencia mais importante do sinal e a do top drive, que corresponde a

frequencia de oscilacao no regime permanente.

A Figura 3.8 ilustra a orbita circular e confirma o apresentado pelas outras

respostas: apos o transiente, o sistema rotaciona sob a mesma deflexao da coluna.

Nela, o sentido da precessao esta indicado por setas vermelhas. Como a rotacao da

coluna esta sempre no sentido anti-horario, trata-se de uma precessao direta.

Figura 3.7: Respostas no Tempo e Transformada Rapida de Fourier (Ω = 50rpm)

Figura 3.8: Orbita (Ω = 50rpm)

24

A situacao em que a rotacao equivale a 200 rpm, Figura 3.9, apresenta um com-

portamento bem semelhante ao caso anterior, com a obvia diferenca na amplitude,

em torno de 0.018 m e na frequencia de oscilacao em regime permanente, 200 rpm.

Nesse caso, a orbita, em precessao direta, e ilustrada pela Figura 3.10.

Figura 3.9: Respostas no Tempo e Transformada Rapida de Fourier (Ω = 200rpm)

Figura 3.10: Orbita (Ω = 200rpm)

O panorama muda bastante para o sistema rotacionando na frequencia natural -

Figura 3.11 e Figura 3.12. O raio nao oscila no regime transiente, ja se direcionando

diretamente a amplitude em regime permanente. A precessao tambem e direta.

25

Figura 3.11: Respostas no Tempo e Transformada Rapida de Fourier (Ω = ωn)

Figura 3.12: Orbita (Ω = ωn)

26

3.3 Acoplamento entre os modelos torcional e la-

teral sem contato

Esta subsecao destina-se a estudar o acoplamento entre as formulacoes lateral e

torcional para situacoes sem contato com a parede do poco. Dessa forma, a rotacao

do rotor de Jeffcott e definida pelo pendulo torcional, estando sujeito a variacoes de

velocidade. Tal sistema e regido pelas equacoes abaixo.

Jθ(t) + ctθ(t) + ktθ(t) = ctΩ + ktΩt− Tbitmx(t) + cx(t) + kx(t) = meθ2cos(θt) +meθsen(θt)

my(t) + cy(t) + ky(t) = meθ2sen(θt)−meθcos(θt)

(3.5)

Tal como na subsecao anterior, serao estudadas tres frequencias: 50 rpm, 100

rpm e 200 rpm. A Figura 3.13 mostra as resposta do raio no tempo para tres

situacoes: rotacao constante, rotacao sem stick-slip e rotacao com stick-slip.

Figura 3.13: Influencia do acoplamento na resposta do raio no tempo (Ω = 50rpm)

Para o caso sem stick-slip, o transiente alonga-se consideravelmente, por volta

de 5s para 25s, mas o regime permanente nao se altera, ainda tendendo para o

27

mesmo valor. No caso com stick-slip, a resposta muda consideravelmente. A Fi-

gura 3.14, que mostra a resposta do raio no tempo para uma janela de tempo de

1000s, permite entender melhor esse comportamento. Nota-se que a amplitude de-

cresce continuamente e mantem-se quase constante entre 950s e 1000s, conforme

mostra a Figura 3.15, atingindo o seu regime permanente. E importante ressaltar

que a resposta atinge amplitudes bem inferiores aquelas em regime permanente dos

casos sem stick-slip e lateral puro.

Figura 3.14: Resposta no raio no tempo para caso com stick-slip (Ω = 50rpm)

Figura 3.15: Resposta no raio no tempo para caso com stick-slip entre 950s e 1000s

(Ω = 50rpm)

28

A Figura 3.16 mostra que, para o caso sem stick-slip, a orbita no regime transiente

e consideravelmente mais turbulenta, porem assume um raio de precessao constante

no regime permanente. As setas vermelhas indicam que a precessao e direta. Ja

para a situacao com stick-slip, Figura 3.17, a orbita altera-se completamente em

relacao ao caso de velocidade constante, deixando de ser uma trajetoria circular.

Neste caso, por seu formato atıpico, e difıcil detectar o sentido da precessao.

Figura 3.16: Orbita sem stick-slip (Ω = 50rpm)

Figura 3.17: Orbita com stick-slip (Ω = 50rpm)

Conforme apresenta a Figura 3.18, todos esses comportamentos se mantem para

quando a rotacao da mesa corresponde a 200 rpm: no caso sem stick-slip, apenas

o transiente se altera, enquanto que no caso com stick-slip, mesmo com o passar

do tempo, a resposta mantem seu comportamento oscilatorio. O unico adendo e

que para 200 rpm, ha um pico proeminente entre 7s e 10s para o caso sem stick-

29

slip, muito provavelvemente pelo fato de a rotacao passar cerca de tres vezes pela

frequencia natural, levando a esse aumento de amplitude.


As orbitas para 200 rpm sao mostradas na Figura 3.19 - sem stick-slip - e Fi-

gura 3.20 - com stick-slip e apresentam um comportamento analogo ao do caso

anterior, a 50 rpm.


30


Quando a rotacao do top-drive aproxima-se da frequencia natural, ha certas

mudancas no comportamento, conforme mostra a Figura 3.21. Para a situacao

com stick-slip, a resposta nao oscila mais em torno do raio em regime permanente.

Dado que a rotacao apenas passa pela frequencia natural, o sistema nao entra em

ressonancia. Nesse sentido, o stick-slip acaba sendo benefico a deflexao da coluna.

Quanto ao caso sem stick-slip, a resposta comporta-se de maneira semelhante aos

outros casos, com a introducao apenas de um transiente mais oscilatorio e longo.


31

Por fim, as orbitas para 100 rpm sao mostradas na Figura 3.22 - sem stick-slip - e

Figura 3.23 - com stick-slip. A comparacao entre as duas permite visualizar melhor

o quanto a amplitude no caso com stick-slip e consideravelmente menor que do sem

stick-slip.



32

3.4 Contato e Rocamento

A presente secao tem como objetivo, enfim, analisar a influencia do impacto e

rocamento nas respostas. Sera estudado o modelo lateral isolado com contato, ex-

presso pelo conjunto de Equacoes 3.6. E importante ressaltar que, nesse modelo, a

rotacao imposta e constante e, assim, a aceleracao angular e nula.

mx(t) + cx(t) + kx(t) +H(δ)δks(cosφ− µsenφ) = meθ2cos(θt)

my(t) + cy(t) + ky(t) +H(δ)δks(senφ+ µcosφ) = meθ2sen(θt)(3.6)

Para todas as simulacoes da presente secao, considerou-se que o a folga radial

entre a parede do poco e o BHA, isto e, a diferenca entre o raio do poco e o raio do

BHA fosse de 0,01m. Dessa forma, quando o raio da precessao e maior do que essa

folga, ha contato com a parede.

Rotacoes em que a coluna impacta com o poco apenas no regime transiente

nao sao objeto de estudo, pois na realidade, a rotacao imposta parte de zero ate a

velocidade desejada e o modelo utilizado nao considera isso. Logo, levou-se em con-

sideracao apenas rotacoes acima de 70 rpm, cuja amplitude em regime permanente

corresponde a 0,014m, maior do que a folga estabelecida.

Desconsiderando o rocamento, a Figura 3.24 mostra a amplitude em regime

permanente da resposta do raio no tempo para uma dada faixa de frequencias e rigi-

dezes de impacto. Nota-se que, quando nao ha contato, ks = 0, a amplitude e maior

por volta de 100 rpm, que corresponde a frequencia natural da formulacao lateral.

Conforme o poco fica mais rıgido, a frequencia em que ocorre a amplitude maxima

tambem aumenta. Dessa forma, considerar o impacto pode alterar as condicoes em

que ha uma operacao mais crıtica.

Excetuando-se os casos em que ocorrem essas amplitudes maximas (faixa amarela

e verde do mapa), o raio, no geral, aproxima-se da folga de 0,01m estabelecida. Vale

ressaltar que se simulou apenas ate o valor de ks = 10k, ja que, a partir dele, nao

haveria informacoes novas no mapa.

33

Figura 3.24: Amplitude da resposta do raio no tempo em regime permanente con-

forme a rotacao e a rigidez de impacto

Entendido o comportamento geral do impacto, escolharam-se duas frequencias,

100 rpm e 200 rpm, para serem estudadas. A Figura 3.25 mostra a resposta do raio

no tempo desde o caso sem impacto ate a rigidez de impacto ks = 100k, quando

a rotacao imposta aproxima-se da frequencia natural, isto e, 100 rpm. A linha

tracejada vermelha corresponde ao limite do poco. Apos um transiente oscilatorio,

a resposta atinge o regime permanete e, como ja elucida o mapa nessas situacoes, o

raio da precessao tende ao raio da folga.

Figura 3.25: Influencia da rigidez de impacto na resposta do raio no tempo (Ω =

100rpm)

34

A Figura 3.26 ilustra a orbita desse caso quando a rigidez de impacto equivale

a ks = 50k. E possıvel visualizar os instantes em que o BHA impacta com o poco

e que o raio em regime permanente e ligeiramente superior ao limite imposto pelo

poco. Conforme indicam as setas, trata-se de uma precessao direta.

Figura 3.26: Orbita (ks = 50k e Ω = 100rpm)

O comportamento da resposta do raio no tempo para 200 rpm e semelhante ao

caso anterior, conforme a Figura 3.27. A diferenca fundamental consiste nas am-

plitudes em regime permanente. Mesmo o raio da precessao em regime permanente

sendo inferior a 200 rpm do que a 100 rpm quando nao ha contato, o impacto al-

tera isto, segundo ja concluıdo pelo mapa da Figura 3.24. Esse comportamento e

melhor ilustrado comparando as orbitas para 100 rpm, Figura 3.26, e para 200 rpm,

Figura 3.28. Verifica-se que para a segunda frequencia, o raio em regime pernanente

e maior. Por fim, a 200 rpm, a precessao tambem e direta.

Figura 3.27: Influencia da rigidez de impacto na resposta do raio no tempo (Ω =

200rpm)

35

Figura 3.28: Orbita (ks = 50k e Ω = 200rpm)

Para o estudo do rocamento, essas duas mesmas frequencias foram analisadas e a

rigidez de impacto foi fixada em ks = 50k. A Figura 3.29 mostra a resposta do raio

no tempo para diferentes coeficientes de atrito (u). Com a inclusao do rocamento,

a resposta oscila permanentemente, nao atingindo mais um valor constante apos o

transiente. Alem disso, quanto maior o atrito, maior a amplitude da resposta.

Ademais, a partir de um certo valor de u, a resposta cresce indefinidamente.

Com a ocorrencia da precessao retrograda, as forcas envolvidas no sistema atingem

patamares muito elevados, o que pode gerar problemas numericos na solucao da

equacao diferencial.

Alem do mais, esse efeito pode estar relacionado com o fato do modelo escolhido

para simular o impacto ser apenas uma mola linear, sem um fator de amortecimento.

Isto representa certa inconsistencia com a realidade, ja que o impacto e um fenonemo

em que a dissipacao de energia nao e desprezıvel.

36

Figura 3.29: Influencia do rocamento na rigidez de impacto na resposta do raio no

tempo (Ω = 200rpm)

Dado isto, a Figura 3.30 mostra o tipo de precessao em cada instante de tempo

para os mesmos casos apresentados pela Figura 3.29. A precessao direta equivale a

1, enquanto a precessao retrograda, -1. Nota-se que a precessao retrograda ja ocorre

a valores de rocamento inferiores aqueles que levam a nao convergencia da resposta.

Nessas duas situacoes, u = 0.07 e u = 0.08, as orbitas foram estudadas.

Figura 3.30: Influencia do rocamento no tipo de precessao (ks = 50k e Ω = 200rpm)

37

A Figura 3.31 mostra a orbita para quando a rotacao e 200 rpm, ks = 50k e

u = 0.07. Nesse caso, ela nao assume uma trajetoria circular e, apos um transiente

confuso em que ha a troca do tipo de precessao, o regime permanente assume um

formato que e mantido com o passar do tempo. Por ser difıcil de detectar o tipo

de precessao apenas pela visualizacao da orbita, a Figura 3.32 mostra duas janelas

de tempo consecutivas, permitindo, assim, concluir que se trata de uma precessao

retrograda.

Figura 3.31: Orbita (u = 0.07, ks = 50k, Ω = 200rpm)


38

A Figura 3.33 apresenta a orbita para quando a rotacao e 200 rpm, ks = 50k e

u = 0.08, isto e, o caso em que a resposta do raio cresce indefinidamente apos um

certo tempo. Apos um regime transiente confuso e com troca de precessao, a orbita

assume uma trajetoria mais circular e sob precessao retrograda.


Para 100 rpm, o sistema se comporta de maneira semelhante. Segundo ilustra a

Figura 3.34, o raio da precessao oscila permanentemente mesmo apos o transiente.

Alem disso, com o aumento do atrito, a amplitude aumenta, ate o caso em que

cresce continuamente. A Figura 3.35 mostra que, a partir de um certo valor de

u, a precessao retrograda e excitada. A diferenca entre as duas frequencias reside,

sobretudo, no valor de u em que a precessao retrograda passa a ocorrer.

Figura 3.34: Influencia do rocamento na rigidez de impacto na resposta do raio no

tempo (Ω = 100rpm)

39

Figura 3.35: Influencia do rocamento no tipo de precessao (ks = 50k e Ω = 100rpm)

Nesse sentido, o mapa da Figura 3.36 mostra a influencia do coeficiente de atrito

e da rotacao na amplitude da resposta do raio no tempo para ks = 50k. Nessas

simulacoes, considerou-se que, quando a resposta do raio atingisse 1m, a integracao

numerica seria terminada, ja que a resposta aumenta indefinidamente. Para as

outras situacoes, simulou-se ate 30s e a amplitude contabilizada foi a amplitude

maxima entre os instantes de 27s e 30s. Verifica-se que quanto maior a frequencia

de rotacao, menor o coeficiente de rocamento em que a resposta cresce continua-

damente. Dessa forma, a altas frequencias, o sistema esta mais sujeito a precessao

retrograda mesmo em situacoes menos severas de poco.

Figura 3.36: Influencia do rocamento e da rotacao na amplitude da resposta do raio

no tempo (ks = 50k)

40

Capıtulo 4

Conclusoes e Trabalhos Futuros

4.1 Conclusoes

O presente trabalho teve como objetivo estudar o modelo de tres graus de liberdade,

resultante do acoplamento de duas formulacoes diferentes. O modelo lateral permite

visualizar as precessoes direta e retrograda, enquanto que o modelo torcional posibi-

lita a simulacao do stick-slip. As duas formulacoes foram estudadas separadamente

e depois foram acopladas.

Quanto ao modelo torcional, o principal resultado foi o mapa de ocorrencia do

stick-slip. Percebe-se que, existe uma curva de corte que relaciona os valores de peso

sobre a broca e rotacao da broca em que ocorre a transicao de comportamento. Alem

disso, a rotacao em situacoes sem stick-slip, passado o regime transiente oscilatorio,

tende a rotacao imposta pela mesa de rotacao. Para os casos com stick-slip, a rotacao

oscila permanentemente.

Ja para o modelo lateral, a precessao direta e observada em todos os casos, visto

que e inerente ao rotor de Jeffcott. Esse tipo de precessao torna-se problematico com

o aumento da amplitude, que pode tanto aumentar as tensoes atuantes na coluna

quanto levar ao choque desta com a parede do poco. Nesse sentido, a resposta da

amplitude do raio de precessao no domınio da frequencia mostra que as maiores

amplitudes ocorrem em rotacoes proximas a 100 rpm, frequencia natural da for-

mulacao lateral. Alem disso, a partir de 200 rpm, o sistema torna-se menos sensıvel

a variacoes de frequencia.

41

Quanto ao acoplamento, em casos sem stick-slip, as respostas do raio no tempo

tem seus regimes transientes prolongados e com amplitudes maiores, porem no re-

gime permanente, a amplitude e a mesma de quando nao ha acoplamento. O pa-

norama se altera completamente quando ha stick-slip. Mesmo com a amplitude

caindo com o passar do tempo, a resposta oscila permanenentemente. Em rotacoes

proximas a frequencia natural, o stick-slip ajuda a coluna de perfuracao ate certo

ponto, pois como o sistema nao entra em ressonancia, as amplitudes sao menores.

Alem disso, para um dado caso, uma longa janela de tempo foi simulada e verificou-

se que o sistema parece atingir seu regime permanentemente apos 1000s. Quanto a

orbita, a inclusao do stick-slip altera totalmente seu formato, deixando de assumir

uma trajetoria circular.

Para o contato, definiu-se uma folga radial de 0.01m entre o BHA e a parede do

poco, e, por isso, so foram estudadas rotacoes em que o raio em regime permanente

fosse superior a folga, isto e, rotacoes superiores a 70 rpm. O mapa que estuda o

contato sem rocamento mostra que a inclusao da rigidez de impacto altera a rotacao

na qual o sistema tem sua maior amplitude. Contudo, em rigidezes maiores e na

faixa de frequencias trabalhada, a amplitude da resposta do raio no tempo tende a

folga. As respostas no tempo confirmaram o comportamento descrito pelo mapa.

As orbitas permitiram visualizar que o sistema rotaciona em contato constante com

a parede do poco, ultrapassando ligeiramente o limite imposto por ela.

A inclusao do rocamento altera substancialmente o comportamento do sistema.

O aumento do coeficiente de atrito aumenta as amplitudes das respostas, ate ex-

citarem a precessao retrograda e atingirem patamares excesssivamente elevados.

Isso pode estar relacionado a problemas de convergencia na solucao numerica das

equacoes diferencias. Por fim, o mapa de influencia do rocamento mostra que existe

uma forte relacao entre a frequencia de rotacao e situacoes de precessao retrograda.

Em rotacoes maiores, o sistema tende a esse fenomeno indesejado mais facilmente.

42

4.2 Trabalhos Futuros

Inicialmente, faz-se necessario um estudo mais aperfeicoado do fenomeno complexo

que e o impacto com rocamento. Apesar do modelo ter sido capaz de simular a

precessao retrograda, ha certas incongruencias com a realidade. Esse aprofunda-

mento nao se limita apenas ao modelo, mas deve compreender tambem estimativas

mais embasadas da rigidez de impacto e do coeficiente de atrito entre a coluna de

perfuracao e a parede do poco.

Outro ponto chave e a comparacao com dados reais de campo para, primeira-

mente, verificar se as respostas apresentadas nesse trabalho tem comportamento

semelhante com a realidade. Em seguida, faz-se necessaria uma calibracao dos

parametros para que o modelo seja capaz de simular a perfuracao de um poco

satisfatoriamente.

Enfim, o mesmo feito para o mapa de ocorrencia de stick-slip poderia ser ex-

pandido considerando outras situacoes, como o modelo acoplado sem e com con-

tato. Dessa forma, para uma dada coluna de perfuracao (propriedades geometricas

e mecanicas) e caracterısticas de poco (diametro, rigidez de impacto e coeficiente de

atrito), pode-se plotar um mapa de operacao mais completo.

43

Referencias Bibliograficas

[1] PETROBRAS. Tecnologias pioneiras do pre-sal. Disponıvel em:

<https://presal.hotsitespetrobras.com.br/tecnologias-pioneiras>.

[2] SCHLUMBERGER. Drillstring Vibrations and Vibration Modeling. 2010.

[3] GALP ENERGIA. Perfuracao. Disponıvel em:

<http://www.galpenergia.com/PT/investidor/ConhecerGalpEnergia/Os-

nossos-negocios/Exploracao-Producao/fundamentos-engenharia-

petroleo/Paginas/Perfuracao.aspx>.

[4] DRILLING COURSE. Drill String Components. Disponıvel

em: <http://www.drillingcourse.com/2015/12/drill-string-

components.html>.

[5] NOV. National Oilwell Varco. Disponıvel em: <nov.com/Segments/Wellbore -

Technologies/Grant Prideco/Drilling Tubulars/Drill Collars/Drill Col-

lar Materials.aspx>.

[6] LOBO, D.

Analise Dinamica de uma Coluna de Perfuracao durante a Mudanca de

Caracterısticas da Rocha com Quantificacao de Incertezas, 2016.

[7] PERCY, J.

Analise de Incertezas em Vibracoes Laterias e de Torcao Acopladas em

Colunas de Perfuracao, 2014.

[8] FEDaK, V.; ZaSKALICKY, P.; GELVANIc, Z. Analysis of balancing of unba-

lanced rotors and long shafts using gui matlab. In: BENNETT, K. (Ed.).

44

MATLAB Applications for the Practical Engineer. Rijeka: InTech, 2014.

cap. 19. Disponıvel em: <http://dx.doi.org/10.5772/58378>.

[9] JANSEN, J.-D. Whirl and chaotic motion of stabilized drill collars. v. 7, p.

107–114, 06 1992.

[10] RITTO, T. G. Apostila de Modelagem e Simulacao de Maquinas Rotativas.

2017.

[11] OFFSHORE CENTER DENMARK. Overview of the Bra-

zilian Oil and Gas Industry. 2009. Disponıvel em:

<http://www.offshorecenter.dk/filer/files/Project/Internationalisering

/OCD%20report%20Brazil.pdf>. Acesso em: 02 de Marco de 2018.

[12] O GLOBO. Campo de Tupi, na Bacia de Santos, e a maior re-

serva de petroleo e gas do Brasil. 2007. Disponıvel em:

<https://oglobo.globo.com/economia/petrobras-campo-de-tupi-na-

bacia-de-santos-a-maior-reserva-de-petroleo-gas-do-brasil-4142755>.

[13] O GLOBO. Petrobras 60 anos. 2007. Disponıvel em:

<http://infograficos.oglobo.globo.com/economia/petrobras-60-anos-

1.html>.

[14] ANP. Producao de petroleo no pre-sal ultrapassa pela primeira vez a do pos-sal.

2017. Disponıvel em: <http://www.anp.gov.br/wwwanp/noticias/anp-

e-p/3912-producao-de-petroleo-no-pre-sal-ultrapassa-pela-primeira-vez-a-

do-pos-sal>.

[15] LONETREE. Upstream, Midstream, and Downstream. . . What’s the dif-

ference? 2015. Disponıvel em: <http://lonetreeusa.com/upstream-

midstream-downstream-whats-difference/>.

[16] MITCHELL, R. F.; MISKA, S.; AADNøY, B. S. Fundamentals of drilling en-

gineering. [S.l.]: Society of Petroleum Engineers, 2011.

[17] BOURGOYNE, A. T. Applied drilling engineering. [S.l.]: Society of Petroleum

Engineers, 1991.

45

[18] PETROBRAS. Resultados comprovam viabilidade tecnica e economica do

pre-sal. 2015. Disponıvel em: <http://www.petrobras.com.br/fatos-e-

dados/resultados-comprovam-viabilidade-tecnica-e-economica-do-pre-

sal.htm>.

[19] BRETT, J. F. The genesis of bit-induced torsional drillstring vibrations. v. 7,

p. 168–174, 09 1992.

[20] BUTLIN, T.; LANGLEY, R. An efficient model of drills-

tring dynamics. Journal of Sound and Vibration, v. 356,

p. 100 – 123, 2015. ISSN 0022-460X. Disponıvel em:

<http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022460X15005349>.

[21] WU, X. et al. Identifying the root cause of drilling vibration and stick-slip

enables fit-for-purpose solutions. 2012.

[22] CUI, M. et al. Maximizing drilling performance with real-time drilling vibration

mitigation in the deep wells. 2016.

[23] SCHLUMBERGER. Oilfield Glossary - ROP. Disponıvel em:

<http://www.glossary.oilfield.slb.com/Terms/r/rop.aspx>.

[24] SCHLUMBERGER. Oilfield Glossary - Drill String. Disponıvel em:

<http://www.glossary.oilfield.slb.com/Terms/d/drillstring.aspx¿.

[25] SCHLUMBERGER. Oilfield Glossary - Bottomhole Assembly. Disponıvel

em: <http://www.glossary.oilfield.slb.com/en/Terms/b/bottomhole -

assembly.aspx>.

[26] ULTERRA. Bottom Hole Assembly. Disponıvel em:

<http://ulterra.com/downhole-tools/bottom-hole-assembly-101/>.

[27] SCHLUMBERGER. Oilfield Glossary - Drill Collar. Disponıvel em:

<http://www.glossary.oilfield.slb.com/Terms/d/drillcollar.aspx¿.

[28] SCHLUMBERGER. Oilfield Glossary - Jar. Disponıvel em:

<http://www.glossary.oilfield.slb.com/Terms/j/jar.aspx>.

46

[29] NAVARRO-LOPEZ, E. M.; SUAREZ, R. Practical approach to modelling and

controlling stick-slip oscillations in oilwell drillstrings. v. 2, p. 1454–1460

Vol.2, 2004.

[30] ISHIDA, Y.; YAMAMOTO, T. Linear and nonlinear rotordynamics: a modern

treatment with applications. [S.l.]: Wiley-VCH, 2012.

[31] KYLLINGSTAD, A.; HALSEY, G. W. A study of slip/stick motion of the bit.

v. 3, p. 369–373, 12 1988.

[32] TUCKER, R.; WANG, C. The excitation and control of torsional slip-stick in

the presence of axial-vibrations. 1998.

[33] RITTO, T. G.; AGUIAR, R. R.; HBAIEB, S. Validation of a drill

string dynamical model and torsional stability. Meccanica, v. 52,

n. 11, p. 2959–2967, Sep 2017. ISSN 1572-9648. Disponıvel em:

<https://doi.org/10.1007/s11012-017-0628-y>.

[34] JEFFCOTT, H. Xxvii. the lateral vibration of loaded shafts in the neigh-

bourhood of a whirling speed.—the effect of want of balance. The London,

Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science,

Taylor Francis, v. 37, n. 219, p. 304–314, 1919.

47

Apendice A

Codigo Fonte

A.1 Modelo torcional isolado

import numpy as np

from s c ipy . i n t e g r a t e import ode

import matp lo t l i b . pylab as p l t

m = 4672 #kg

E = 207∗1 e9 #GPa

I = 0.001892 #m4

L = 33.71 #Lbha ,m

k = 48∗E∗ I /(L∗∗3) #N/m

wn = np . s q r t ( k/m)

c s i = 0 .1

c = 2∗ c s i ∗np . s q r t ( k∗m) #Ns/m

e = 0 .16∗0 .17/2 #m

I massa = 1000 #1000 kgm2

I a r e a = 0.001892 #I ,m4

L t o t a l = 5466.39 #m

G = 80∗1 e9 #GPa

kt = G∗ I a r e a / L t o t a l #Nm

c s i = 0 .1 #10%

ct = 2∗np . s q r t ( kt∗ I massa )∗ c s i #Ns

48

rpm = 50 #[ rpm ]

w top = rpm/9.549296596425384 #[ rad / s ]

wob = 500∗1 e3 #[N]

t0 = 0

t f = 50

c i = [ 0 . 0 , 0 . 0 ]

def massa mola amort ( t , q ) :

x1 , v1 = q

Tbit = 0.03043441∗wob∗(np . tanh ( v1 ) + (6 .76532367∗ v1 )/

(1 + 3.36733705∗ v1 ∗∗2))

Ttop = ct ∗w top + kt∗w top∗ t

a1 = ( Ttop − Tbit − ct ∗v1 − kt∗x1 )/ I massa

a = [ v1 , a1 ]

return a

s o l v e r = ode ( massa mola amort )

s o l v e r . s e t i n t e g r a t o r ( ’ vode ’ , method = ’ bdf ’ )

t = [ ]

d e s l o c1 = [ ]

ve l oc1 = [ ]

s o l v e r . s e t i n i t i a l v a l u e ( c i , t0 )

while s o l v e r . t < t f :

s o l v e r . i n t e g r a t e ( t f , s t ep=True )

t . append ( s o l v e r . t )

de s l o c1 . append ( s o l v e r . y [ 0 ] )

ve l oc1 . append ( s o l v e r . y [ 1 ] )

t = np . array ( t )

rotacao = np . array ( ve loc1 )

49

A.2 Modelo lateral isolado sem contato

import numpy as np


import matp lo t l i b . pyplot as p l t

from s c ipy import f f t

import time

s t a r t t i m e = time . time ( )

m = 4672 #kg

E = 207∗1 e9 #GPa

I = 0.001892 #m4

L = 33.71 #Lbha ,m

k = 48∗E∗ I /(L∗∗3) #N/m


c s i = 0 .1


e = 0 .16∗0 .17/2 #m

t0 = 0

t f = 100

c i = [ 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 ]

rpm = 50

def massa mola amort ( t , q ) : # equacao d i f e r e n c i a l

x1 , v1 , x2 , v2 = q

w = rpm/9.549296596425384

omega = 0

F1 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . cos (w∗ t ) + m∗e ∗( omega )∗np . s i n (w∗ t )

a1 = (F1 − c∗v1 − k∗x1 )/m

F2 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . s i n (w∗ t ) − m∗e ∗( omega )∗np . cos (w∗ t )

50

a2 = (F2 − c∗v2 − k∗x2 )/m

a = [ v1 , a1 , v2 , a2 ]

return a




t = [ ]

d e s l o c1 = [ ]

ve l oc1 = [ ]

d e s l o c2 = [ ]

ve l oc2 = [ ]









x = np . array ( de s l o c1 )

y = np . array ( de s l o c2 )

xpt = np . array ( ve loc1 )

ypt = np . array ( ve loc2 )

r = np . s q r t ( ( x∗∗2)+(y∗∗2))

51

def FFT( a ) :

f r e q = 1000

s i g n a l 1 = [ ]

new time = np . arange (0 , t f +0.0001 ,1/ f r e q )

for i in new time :

s i g n a l 1 . append ( a [ np . argmin (np . abs ( t−i ) ) ] )

N1 = len ( s i g n a l 1 )

T1 = 1.0/ f r e q

x1 = np . l i n s p a c e ( 0 . 0 , N1∗T1 , N1)

yf1 = f f t ( s i g n a l 1 )

xf1 = np . l i n s p a c e ( 0 . 0 , 1 . 0 / ( 2 . 0∗T1) , N1//2)

y f = 2 .0/N1 ∗ np . abs ( y f1 [ 0 : N1//2 ] )

x f = abs ( x f1 )∗9.549296596425384∗2∗np . p i

return x f , y f

x f f t , y f f t = FFT( x )

print ( ”tempo computacional = ” , ( time . time ( ) − s t a r t t i m e ) )

52

A.3 Acoplamento entre os modelos torcional e la-

teral sem contato

import numpy as np



import time


m = 4672 #kg

E = 207∗1 e9 #GPa

I = 0.001892 #m4

L = 33.71 #Lbha ,m

k = 48∗E∗ I /(L∗∗3) #N/m


c s i = 0 .1


e = 0 .16∗0 .17/2 #m

I massa = 1000 #1000 kgm2

I a r e a = 0.001892 #I ,m4

L t o t a l = 5466.39 #m

G = 80∗1 e9 #GPa


c s i = 0 .1 #10%


#### TORCIONAL ###

rotacao = 50

w top = rotacao /9.549296596425384 #[ rad / s ]

wob = 300∗1 e3 #[N]

t0 = 0

53

t f = 10

c i = [ 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 ]


x1 , v1 , x2 , v2 , x3 , v3 = q

w = v3

Ttop = ct ∗w top + kt∗w top∗ t #torque do top d r i v e

Tbit = 0.03043441∗wob∗(np . tanh ( v3 ) + (6 .76532367∗ v3 )/

(1 + 3.36733705∗ v3 ∗∗2))

F3 = Ttop − Tbit

a3 = (F3 − ct ∗v3 − kt∗x3 )/ I massa

omega = a3

F1 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . cos (w∗ t ) + m∗e ∗( omega )∗np . s i n (w∗ t )

a1 = (F1 − c∗v1 − k∗x1 )/m

F2 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . s i n (w∗ t ) − m∗e ∗( omega )∗np . cos (w∗ t )

a2 = (F2 − c∗v2 − k∗x2 )/m

a = [ v1 , a1 , v2 , a2 , v3 , a3 ]

return a



t = [ ]

d e s l o c1 = [ ]

ve l oc1 = [ ]

d e s l o c2 = [ ]

ve l oc2 = [ ]

54

de s l o c3 = [ ]

ve l oc3 = [ ]














t e ta = np . array ( de s l o c1 )



t e tapt = np . array ( ve loc3 )

r = np . s q r t ( ( x∗∗2)+(y∗∗2))


55

A.4 Modelo lateral isolado com contato

import numpy as np



from m p l t o o l k i t s . mplot3d import Axes3D

import time

m = 4672 #kg

E = 207∗1 e9 #GPa

I = 0.001892 #m4

L = 33.71 #Lbha ,m

k = 48∗E∗ I /(L∗∗3) #N/m


c s i = 0 .1


e = 0 .16∗0 .17/2 #m

rbha = 0.085 #m

r w e l l = rbha + 0.01

ks = 0∗k

u = 0

t0 = 0

t f = 50

rpm = 70

c i = [ 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 ]


x1 , v1 , x2 , v2 = q

w = rpm/9.549296596425384

56

omega = 0

de l t a = r w e l l − rbha − np . s q r t ( x1∗∗2 + x2 ∗∗2)

i f de l t a < 0 :

H = 1

cosph i = x1/np . s q r t ( x1∗∗2+x2 ∗∗2)

senphi = x2/np . s q r t ( x1∗∗2+x2 ∗∗2)

else :

H = 0

cosph i = 0

senphi = 0

Fn = ks∗abs ( d e l t a )∗H #f o r c a normal

Fa = u∗ks∗abs ( d e l t a )∗H #f o r c a de a t r i t o

F1 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . cos (w∗ t ) + m∗e ∗( omega )∗np . s i n (w∗ t ) −

(Fn∗ cosph i − Fa∗ senphi )

a1 = (F1 − c∗v1 − k∗x1 )/m

F2 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . s i n (w∗ t ) − m∗e ∗( omega )∗np . cos (w∗ t ) −

(Fn∗ senphi + Fa∗ cosph i )

a2 = (F2 − c∗v2 − k∗x2 )/m

a = [ v1 , a1 , v2 , a2 ]

return a



t = [ ]

d e s l o c1 = [ ]

57

ve loc1 = [ ]

d e s l o c2 = [ ]

ve l oc2 = [ ]














r = np . s q r t ( ( x∗∗2)+(y∗∗2))

d e l t a f o r a = r w e l l − rbha − r

def prece s sao ( ta , xa , ya ) :

ph i s = [ ]

ph i spt = [ ]

for i in range ( len ( ta ) ) :

x i = xa [ i ]

y i = ya [ i ]

t e t a = np . arctan (abs ( y i )/abs ( x i ))∗180/ np . p i

58

i f x i >= 0 and yi>= 0 :

t e ta = t e t a

e l i f x i <= 0 and yi>= 0 :

t e ta = 180 − t e t a

e l i f x i <= 0 and yi<= 0 :

t e ta = 180 + t e t a

e l i f x i >= 0 and yi<= 0 :

t e ta = 360 − t e t a

ph i s . append ( t e ta )

i = 0

while i+1 < len ( ta ) :

i f abs ( ph i s [ i +1] − phi s [ i ] ) > 350 :

i f phi s [ i +1] > phi s [ i ] :

ph i spt . append(−1)

e l i f phi s [ i +1] < phi s [ i ] :

ph i spt . append (1 )

else :

i f phi s [ i +1] > phi s [ i ] :

ph i spt . append (1 )

e l i f phi s [ i +1] < phi s [ i ] :

ph i spt . append(−1)

i = i + 1

return phi spt

59

A.5 Mapa Rotacao x Peso sobre a broca x Fator

stick-slip

import numpy as np


import matp lo t l i b . pylab as p l t

import time

m = 4672 #kg

E = 207∗1 e9 #GPa

I = 0.001892 #m4

L = 33.71 #Lbha ,m

k = 48∗E∗ I /(L∗∗3) #N/m


c s i = 0 .1


e = 0 .16∗0 .17/2 #m

I massa = 1000 #1000 kgm2

I a r e a = 0.001892 #I ,m4

L t o t a l = 5466.39 #m

G = 80∗1 e9 #GPa


c s i = 0 .1 #10%



def s s (wob , rpm ) :

w top = rpm/9.549296596425384

#### EQUACAO DIFERENCIAL ####

t0 = 0

60

t f = 40

c i = [ 0 . 0 , 0 . 0 ]

def massa mola amort ( t , q ) :

x1 , v1 = q

Tbit = 0.03043441∗wob∗(np . tanh ( v1 ) +

(6.76532367∗ v1 )/(1 + 3.36733705∗ v1 ∗∗2))

Ttop = ct ∗w top + kt∗w top∗ t

a1 = ( Ttop − Tbit − ct ∗v1 − kt∗x1 )/ I massa

#a1 = ( Ttop − c t ∗v1 − k t ∗x1 )/ I

a = [ v1 , a1 ]

return a



ve l oc1 = [ ]




ve loc1 . append ( s o l v e r . y [ 1 ] )

s s = (max( ve l oc1 [ int ( len ( ve l oc1 ) / 1 . 3 ) : len ( ve l oc1 )])−

min( ve l oc1 [ int ( len ( ve l oc1 ) / 1 . 2 ) : len ( ve l oc1 ) ] ) ) / ( 2 ∗ w top )

return s s

ro tacao x = np . l i n s p a c e (25 ,250 ,200)

wob y = np . l i n s p a c e (50 ,2000 ,200)

s s z = [ ]

s s z = [ ]

61

for wob in wob y :

new row = [ ]

new row = [ ]

for rotacao in ro tacao x :

s s i = s s (wob∗1e3 , rotacao )

new row . append ( s s i )

#i f s s i > 0 . 8 :

#new row . append (100)

#e l s e :

#new row . append (0)

s s z . append ( l i s t ( new row ) )

#s s z . append ( l i s t ( new row ))

p l t . f i g u r e ( )

p l t . t i ck params ( l a b e l s i z e =15)

p l t . p co l o r ( rotacao x , wob y , s s z )

p l t . x l a b e l ( ”Rotacao da broca (rpm) ” , f o n t s i z e = 20)

p l t . y l a b e l ( ”Peso sobre a broca (kN) ” , f o n t s i z e = 20)

cbar = p l t . c o l o rba r ( )

cbar . s e t l a b e l ( ’ Fator s s ’ , f o n t s i z e = 20)

cbar . ax . t i ck params ( l a b e l s i z e =15)


62

A.6 Mapa Rotacao x Rigidez de Impacto x Am-

plitude

import numpy as np



import time


m = 4672 #kg

E = 207∗1 e9 #GPa

I = 0.001892 #m4

L = 33.71 #Lbha ,m

k = 48∗E∗ I /(L∗∗3) #N/m


c s i = 0 .1


e = 0 .16∗0 .17/2 #m

rbha = 0.085 #m

r w e l l = rbha + 0.01

def s s ( ks k , rpm ) :

u = 0

ks = ks k ∗k


t0 = 0

t f = 6

c i = [ 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 ]


63

x1 , v1 , x2 , v2 = q

w = rpm/9.549296596425384


i f de l t a < 0 :

H = 1



else :

H = 0

cosph i = 0

senphi = 0



F1 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . cos (w∗ t )

− (Fn∗ cosph i − Fa∗ senphi )

a1 = (F1 − c∗v1 − k∗x1 )/m

F2 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . s i n (w∗ t )

− (Fn∗ senphi + Fa∗ cosph i )

a2 = (F2 − c∗v2 − k∗x2 )/m

a = [ v1 , a1 , v2 , a2 ]

return a



64

t = [ ]

d e s l o c1 = [ ]

d e s l o c2 = [ ]










r = np . s q r t ( ( x∗∗2)+(y∗∗2))

return r [−1]

#r o t a c a o x = np . l i n s p a c e (70 ,250 ,181)

#k s y = np . l i n s p a c e (0 ,50 ,51)


ks y = np . l i n s p a c e (0 , 50 ,50 )

s s z = [ ]

s s z = [ ]

for ks in ks y :

new row = [ ]

new row = [ ]


s s i = s s ( ks , rotacao )

65



p l t . f i g u r e ( )


p l t . p co l o r ( rotacao x , ks y , s s z )


p l t . y l a b e l ( ” Rig idez de Impacto Re la t iva ( ks /k ) ” ,

f o n t s i z e = 20)


cbar . s e t l a b e l ( ’ Amplitude em Regime Permanente (m) ’ ,

f o n t s i z e = 20)



66

A.7 Mapa Rotacao x Rocamento x Amplitude

import numpy as np



import time


m = 4672 #kg

E = 207∗1 e9 #GPa

I = 0.001892 #m4

L = 33.71 #Lbha ,m

k = 48∗E∗ I /(L∗∗3) #N/m


c s i = 0 .1


e = 0 .16∗0 .17/2 #m

rbha = 0.085 #m

r w e l l = rbha + 0.01

def s s (u , rpm ) :

ks = 100∗k


t0 = 0 .0

t f = 20

c i = [ 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 ]


x1 , v1 , x2 , v2 = q

w = rpm/9.549296596425384

67


i f de l t a < 0 :

H = 1



else :

H = 0

cosph i = 0

senphi = 0



F1 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . cos (w∗ t ) − (Fn∗ cosph i − Fa∗ senphi )

a1 = (F1 − c∗v1 − k∗x1 )/m

F2 = m∗e ∗(w∗∗2)∗np . s i n (w∗ t ) − (Fn∗ senphi + Fa∗ cosph i )

a2 = (F2 − c∗v2 − k∗x2 )/m

a = [ v1 , a1 , v2 , a2 ]

return a



t = [ 0 ]

de s l o c1 = [ 0 ]

de s l o c2 = [ 0 ]


68

while s o l v e r . t < t f and

( de s l o c1 [−1]∗∗2 + des l o c2 [−1]∗∗2)∗∗0.5 < 1 :








r = np . s q r t ( ( x∗∗2)+(y∗∗2))

s s = max( r [ int ( 0 . 9∗ len ( r ) ) : −1 ] )

i f s s > 0 . 9 :

return 1

else :

return s s


u y = np . l i n s p a c e ( 0 , 0 . 4 , 2 0 )

s s z = [ ]

for u in u y :

new row = [ ]


s s i = s s (u , rotacao )



p l t . f i g u r e ( )

69


p l t . p co l o r ( rotacao x , u y , s s z , l a b e l = ” ks = 100∗k” )


p l t . y l a b e l ( ”Rocamento (u) ” , f o n t s i z e = 20)


cbar . s e t l a b e l ( ’ Amplitude em Regime Permanente (m) ’ ,

f o n t s i z e = 20)


p l t . l egend ( l o c =1, f o n t s i z e =15)


70

Documents

Análise Dinâmica de uma Coluna de Perfuração …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10025330.pdfANALISE DIN AMICA DE UMA COLUNA DE PERFURAC˘^ AO~ ACOPLAMENTO LATERAL