Antonio Carlos Guimarães2001

8/17/2019 Antonio Carlos Guimarães2001

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ESTUDO DE DEFORMAÇÃO PERMANENTE EM SOLOS E A TEORIA DO

SHAKEDOWN APLICADA A PAVIMENTOS FLEXÍVEIS.

Antonio Carlos Rodrigues Guimarães

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS

EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

__________________________________

Prof.a Laura Maria Goretti da Motta, D.Sc.

__________________________________

Prof. Jacques de Medina, L.D.

___________________________________

Prof. Alexandre Benetti Parreira, D.Sc.

___________________________________

Prof. Salomão Pinto, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

DEZEMBRO DE 2001


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GUIMARÃES, ANTONIO CARLOS RODRIGUES

Estudo de deformação permanente em solos e a

teoria do shakedown aplicada a pavimentos flexíveis.

[Rio de Janeiro] 2001.

IX, 279 p., 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Civil, 2001)

Tese – Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Deformação permanente em solos

2. Shakedown

3. Mecânica dos pavimentos

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

ii


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“Se Pude Enxergar Longe é Porque me Apoiei em Ombros de Gigantes”.

(Isaac Newton)

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus e a toda a minha família: Maria Helena, Ana Helena, Júnior, Geraldo

Guimarães (in memorian), e em especial, ao meu pai “Juca” pelo apoio dado em casa.

Agradeço aos “gigantes” Laura Motta, Salomão Pinto e Jacques de Medina por toda a

atenção e dedicação a mim prestada durante este tempo na COPPE. A professora Laura

Motta além de excelente orientadora revelou-se uma grande amiga com a qual podemos

contar sempre.

Ao professor Alexandre Parreira pelas importantes contribuições dadas como membro

da banca e ao colega Marcos Massao Futai que ajudou na interpretação dos resultados

obtidos. Outros colegas tiveram uma importante participação neste trabalho na medida

que aliviaram a chamada “solidão da pesquisa”. São eles: maj Geraldo Magela, Ian

Salles, Adriano Souza, Ana Cecília, Luciana Nogueira, Ana Carla, Fátima Sá, Rômulo

Sandro, Everton Meirelles, Flávia Pires, Aloésio Droesmeier, Fernando Navarro,

Manoel Izidro, Marcelo Furtado, Prepredigna Silva, Marcio Marangon, Geraldo

Luciano.

Agradeço ao Exército Brasileiro por ter me selecionado e liberado em tempo integral

para o curso de mestrado na COPPE, e ao Instituto Militar de Engenharia pela

confiança em mim depositada. Espero poder retribuir a confiança à altura. Também,

aos professores do IME: gen Real, cel Álvaro, cel Dias, maj Marcelo, maj Leão, cap

José Renato, cap Pires, entre outros, pelas palavras de incentivo.

À equipe de pavimentos da COPPE: Ana Souza, Álvaro Dellê, Ricardo Gil, e, emespecial, ao Bororó por ter me ensinado a montar, desmontar e operar o equipamento

triaxial de cargas repetidas.

Tive o privilégio de receber cópias de papers ou até mesmo de teses inteiras de

pesquisadores estrangeiros, através da internet e sem nenhum ônus, portanto tenho o

dever de agradecer-lhes. São eles: Niclas Odermatt, Erick Lekarp, Sabine Werkmeister,

I. F. Collins.

iv


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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

ESTUDO DE DEFORMAÇÃO PERMANENTE EM SOLOS E A TEORIA DO

SHAKEDOWN APLICADA A PAVIMENTOS FLEXÍVEIS.


Dezembro/ 2001

Orientadora: Laura Maria Goretti da Motta

Programa: Engenharia Civil

O presente trabalho tem como objetivo analisar a resposta plástica e elástica de

dois solos lateríticos, uma argila amarela do Rio de Janeiro e uma laterita de Brasília,

quando submetidos ao ensaio triaxial de cargas repetidas para um número de aplicações

de carga superior a 100.000 ciclos. Foram realizados no total vinte e quatro ensaios,

com vários níveis de tensão, e com umidade de compactação próxima a umidade ótima.

Pesquisa-se a ocorrência do shakedown, ou acomodamento das deformações plásticas,

verifica-se a variação da deformação permanente específica com diversos fatores, tais

como o número de aplicações de carga, a umidade do corpo-de-prova e o estado de

tensão, analisa-se a variação da deformação elástica, e do módulo resiliente, com o

número de aplicações de carga. Busca-se enquadramento da deformação permanente

nos modelos de Monismith et al (1975) e Uzan (1982), bem como a validade do

modelo de Tseng e Lytton (1989), propondo-se, através de regressão linear, uma

relação entre os parâmetros dos modelos e o estado de tensão. Em caráter secundário

pesquisa-se a variação do módulo resiliente após o término do ensaio de deformação

permanente, com duas freqüências (1 e 2 Hz).

v


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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Sciences (M.Sc.)

A STUDY ABOUT PERMANENT DEFORMATION ON SOILS AND THE

SHAKEDOWN THEORY APLIED TO FLEXIBLE PAVEMENTS.


Dezembro / 2001

Advisor: Laura Maria Goretti da Motta.

Department: Civil Engineering.

A study of plastic and elastic response of two lateritic soils – a yellow clay of

Rio de Janeiro and a laterite gravel from Brasília – submitted to repeated load triaxial

tests at several levels of stresses and number of cicles greates than 100,000. Twenty for

tests were made at different stress levels and compaction water contents near the

optimum value. The occurrence of plastic shakedown was investigated. The evolution

of permanent deformations with different factors – number of load applications,

moisture content, and state of applied stresses was observed. Observed the variation of

elastic deformation of elastic deformation and resilient modulus with the number of

load applications. Test results were introduced in models by Monismith et al (1975),

Uzan (1981), and Tseng e Lytton (1989). Regression analyses were made to obtain a

correlationship of model’s parameters with states of stresses. As a parallel study,resilient moduli were determined at 1 Hz and 2 Hz frequencies, after the permanent

deformation studies.

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ÍNDICE

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO............................................................................... 01

CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................... 04

2.1-Modelos de deformação permanente em solos ......................... 04

2.1.1 – Introdução ............................................................... 04

2.1.2 – Avaliação da deformação permanente .................... 05

2.1.3 – Modelos usuais de deformação permanente

em solos............................................................................... 07

2.1.4 – Outros modelos de deformação permanente

em solos............................................................................... 11

2.1.5 – A experiência brasileira........................................... 18

2.1.6 – Deformação permanente admissível ....................... 24

2.2-A teoria do Shakedown ............................................................. 26

2.2.1 – Considerações sobre o carregamento cíclico

de solos................................................................................ 26

2.2.2 – Principais fatores associados .................................. 27

2.2.3 – Resposta do solo submetido a

carregamento cíclico ........................................................... 32

2.2.4 – A teoria do shakedown ............................................ 34

2.2.4.1 – Introdução ............................................................ 34

2.2.4.2 – O shakedown ....................................................... 35

2.2.4.3 – Teoremas fundamentais ...................................... 36

2.2.4.4 – Tensões residuais ................................................ 39

2.2.5 – Aplicação da teoria do shakedown a

pavimentos flexíveis ........................................................... 39

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2.2.5.1 – Introdução ............................................................ 39

2.2.5.2 – A pista experimental da AASHO......................... 39

2.2.5.3 – Análise de deformação plana em semi

espaços ................................................................................ 40

2.2.5.4 – Estudo de Johnson (1962) .................................... 41

2.2.5.5 – O método das Cônicas.......................................... 42

2.2.5.6 – Solução numérica para sistema

multicamadas..................................... ............. ............45

2.2.6 – Pesquisa do shakedown do

material................................................................................ 50

CAPÍTULO 3 APRESENTAÇÃO DOS SOLOS UTILIZADOS.......................... 55

3.1-Argila amarela .......................................................................... 55

3.2-Laterita Brasília ........................................................................ 57

CAPÍTULO 4 - RESPOSTA DOS SOLOS SUBMETIDOS A

CARREGAMENTO CÍCLICO ....................................................... 60

4.1- Argila amarela............................................................................. 60

4.1.1- Considerações gerais................................................................ 60

4.1.2- Influência da variação da freqüência de carregamento ............ 62

4.1.3 – Pesquisa do shakedown.......................................................... 64

4.1.4 – Critério prático de acomodamento ......................................... 72

4.1.5 – Deformação elástica ............................................................... 74

4.1.6 – Variação do módulo resiliente com “N”. ............................... 784.1.7 – Ensaios de módulo resiliente.................................................. 83

4.2 -Laterita Brasília........................................................................... 88

4.2.1- Considerações gerais................................................................ 88

4.2.2 – Pesquisa do shakedown.......................................................... 89

4.2.3 – Deformação elástica ............................................................... 98

4.2.4 – Ensaios de módulo resiliente................................................ 105

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CAPÍTULO 5 – AVALIAÇÃO DA DEFORMAÇÃO PERMANENTE .............. 116

5.1-Argila amarela............................................................................ 117

5.1.1 – Deformação permanente específica ............................ 117

5.1.2 – Curvas σ e σ ............................................... 125 pd xε p xε1

5.1.3 – Enquadramento no modelo de Monismith et al .......... 130

5.1.4 – Enquadramento no modelo de Uzan ........................... 1425.1.5 – Validade do modelo de Tseng e Lytton ...................... 146

5.2-Laterita Brasília.......................................................................... 153

5.2.1 – Deformação permanente específica ............................ 153

5.2.2 – Enquadramento no modelo de Monismith et al .......... 156

5.2.2 – Enquadramento no modelo de Uzan ........................... 162

CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE PESQUISAS

FUTURAS ..................................................................................... 166

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................... 169

ANEXOS ...................................................................................................... 174

ANEXO – I PLANILHAS DE ENSAIOS DE DEFORMAÇÃO

PERMANENTE.

ANEXO – II PLANILHAS DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA.

ANEXO – III PLANILHAS DOS MODELOS DE DEFORMAÇÃOPERMANENTE

ANEXO – IV PLANILHAS DE ENSAIOS DE MÓDULORESILIENTE.

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Capítulo 1: Introdução

A deformação permanente em solos está diretamente associada ao defeito estrutural do

pavimento conhecido como afundamento de trilha de roda. Algumas pesquisas decampo no Brasil, como a pesquisa PICR da década de 1970, constataram valores de

afundamento de trilha de roda dentro da faixa admissível, mesmo para pavimentos com

muitos anos de operação, constatando que o principal defeito estrutural dos pavimentos

do Brasil era o trincamento por fadiga do revestimento asfáltico.

Desta maneira, um estudo sobre deformação permanente tornar-se-ia secundário frente

aos estudos de fadiga do revestimento asfáltico do pavimento. Entretanto, pelo menos

dois importantes aspectos justificam esta linha de pesquisa.

Primeiro, do ponto de vista prático, é o desenvolvimento de um modelo de predição da

deformação permanente em solos que se adapte aos pavimentos brasileiros, e que seja,

posteriormente, incorporado ao método mecanístico de dimensionamento de

pavimentos, evitando a simples cópia de modelos importados que, freqüentemente,

induzem ao superdimensionamento.

Logicamente, um modelo para a predição de deformação permanente em solos não se

desenvolve apenas com uma tese de mestrado, entretanto aspectos fundamentais, tais

como a avaliação de modelos existentes, podem ser abordados de forma a redirecionar

as pesquisas futuras.

É necessário dizer que quase a totalidade dos pavimentos avaliados na pesquisa PICR

foi dimensionada pelo método do CBR e este método tende a superdimensionar o

pavimento exatamente no que se refere ao afundamento de trilha de roda, pois a

essência do método é a construção de camadas sobre o subleito de forma a protegê-lo

da ação da carga do tráfego, sendo que as propriedades mecânicas do subleito são

avaliadas por sua resistência à penetração (ensaio de CBR), que não simula a condição

real na qual o solo é solicitado no campo. Além disso, a imersão do corpo-de-prova em

água durante quatro dias não é compatível com as condições climáticas ambientais

tropicais.

x


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Segundo, do ponto de vista conceitual, é a melhor compreensão da relação

tensão/deformação em solos tropicais constituintes de pavimentos, incluindo a

possibilidade de ocorrência do chamado “shakedown”, ou acomodamento da

deformação plástica, associado ao surgimento de tensões residuais.

A teoria do shakedown teve origem na Alemanha sendo desenvolvida inicialmente

dentro da mecânica dos metais de forma a explicar o desempenho funcional de certas

peças submetidas a ação de cargas repetidas. Dentro da engenharia geotécnica foi

utilizada inicialmente no estudo de estruturas off-shore uma vez que o solo de fundação

destas estruturas está submetido à ação de cargas repetidas geradas pela ação ritmada

das ondas. Neste campo destacam-se os trabalhos desenvolvidos por Pande, citados por

FARIA (1999).

Sua aplicação a pavimentos deve-se ao trabalho pioneiro desenvolvidos por SHARP e

BOOKER (1984). Trata-se de uma tese de doutorado da universidade de Sidney na

Austrália, defendida por Richard Sharp e orientada por J. Booker. Entretanto este

assunto só ganhou maior projeção no cenário internacional a partir de uma seqüência de

trabalhos coordenados por Lutfi Raad e publicados no TRB. Em ambos os casos trata-

se de uma pesquisa do chamado shakedown estrutural do pavimento, que utiliza uma

abordagem numérica do pavimento a partir do cálculo das tensões e deformações,

diferente, por exemplo, da pesquisa coordenada por WERKMEISTER et al (2001),

referência desta tese, na qual se utilizam ensaios triaxiais de cargas repetidas para

verificar a ocorrência do shakedowm do material.

Este estudo foi idealizado pelo prof. Jacques de Medina e implementado como linha de

pesquisa pela profª Laura Motta.

O objetivo principal da tese é a análise da resposta de dois tipos de solos, uma argila

amarela do Rio de Janeiro e uma laterita de Brasília, quando submetidos a

carregamentos de cargas repetidas de longa duração.

2


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A tese é fundamentalmente experimental na medida que se baseia na análise de vinte e

quatro ensaios de deformação permanente e vinte e seis ensaios de módulo resiliente,

mas possui uma fração teórica significativa na medida que contribui para a divulgação

da teoria do shakedown aplicada a pavimentos flexíveis. A tese é dividida nos seguintes

capítulos:

No capítulo 2 faz-se uma revisão bibliográfica abrangendo os modelos de deformação

permanente em solos, item 2.1, e a teoria do shakedown, item 2.2.

No capítulo 3 são apresentadas características dos solos utilizados neste estudo.

No capítulo 4 é feita uma pesquisa de ocorrência do shakedown nos ensaios realizados,

juntamente com o estudo da deformação elástica e uma análise do módulo resiliente

convencional obtido após o ensaio de cargas repetidas, tanto para os corpos-de-prova

da Argila Amarela, quanto da Laterita Brasília.

No capítulo 5 é feita uma análise dos fatores que influenciaram a deformação

permanente específica, bem como o enquadramento nos modelos de deformação

permanente de Monismith et al (1975), Uzan (1981), e a validação do modelo de Tseng

e Lytton (1989).

No capítulo 6 são apresentadas as conclusões e sugestões para futuras pesquisas.

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CAPÍTULO 2: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

CAPÍTULO 2.1: MODELOS DE DEFORMAÇÃO PERMANENTE EM SOLOS

2.1 Modelos Existentes de Deformação Permanente em Solos

2.1.1 Introdução

O afundamento de trilha de roda é um defeito do pavimento associado ao acúmulo de

deformação vertical permanente desenvolvido em cada camada do pavimento.

(MOTTA 1991, HUANG, 1993). Talvez por ser o principal defeito do pavimento em

países de clima temperado, geralmente os mais desenvolvidos, o mecanismo de

deformação permanente tem sido bastante estudado, com diversas publicações sobre o

assunto. E, por outro lado, por ser pouco observado no Brasil, (QUEIRÓZ 1984), há

relativamente poucas publicações brasileiras sobre o assunto.

Importante salientar que o afundamento de trilha de roda observado em corredores de

ônibus nas grandes cidades está muito mais relacionado ao uso de uma mistura asfáltica

inadequada, do que ao acúmulo de deformações permanentes nas camadas de solos.

Nestes casos há uma nítida tendência da massa asfáltica deslocar-se horizontalmente,ou “correr” para os lados como se diz na linguagem coloquial. Não constitui objeto do

presente trabalho o estudo do mecanismo de deformação permanente em misturas

asfálticas.

Barksdale (1972), citado por MOTTA (1991) propôs a seguinte expressão para cálculo

da deformação total de uma estrutura, ou afundamento da trilha de roda:

= (2.1) ptotal δ ∑=

n

ii

i p h

1

ε

ptotal δ - profundidade total do afundamento

i pε - deformação específica plástica média da i-ésima camada

hi – espessura da i-ésima camada

n – número total de camadas

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Conhecendo-se as relações entre a deformação permanente e as tensões atuantes para

cada material, relação obtida em laboratório, e as tensões atuantes em cada uma das

camadas utilizando-se um programa de sistemas em camadas, pode-se obter as

deformações permanentes em cada camada e, posteriormente, a deformação total.

O presente capítulo aborda alguns dos principais estudos sobre deformação permanente

em solos, incluindo a experiência brasileira.

2.1.2 Avaliação da Deformação Permanente

MEDINA (1997) cita resultados da pista experimental da AASHO (1958-1960), nos

EUA, na qual foi possível determinar-se a porcentagem de contribuição de cada

camada do pavimento para o afundamento da trilha de roda.

- Revestimento 32%

- Base de Brita Graduada 4%

- Subbase Granular 45%

- Subleito Argiloso 19%

A figura 2.1 mostra o equipamento utilizado para medir o afundamento da trilha de

roda na AASHO Road Test (1958-1960).

Figura 2.1: Treliça Utilizada para Medir Afundamento de Trilha de Roda na AASHO Road

Test. Extraído de Medina (1997).

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A pista experimental da AASHO sofreu grande influência de fatores climáticos-

ambientais, principalmente o chamado degelo da primavera, período no qual as

camadas do pavimento tendem à saturação. Além disso, o material constituinte do

subleito possuía argilo-minerais expansivos. Estes dois fatores, obviamente,

contribuíram, e muito, para o afundamento de trilha de roda.

Os resultados observados na pista experimental serviram para o aperfeiçoamento de

métodos de dimensionamento de pavimentos tanto nos EUA quanto em grande parte do

mundo, inclusive o Brasil.

No Brasil, QUEIRÓZ (1984) utilizou dados da Pesquisa de Inter-Relacionamento de

Custos Rodoviários, elaborada pelo GEIPOT, para analisar, entre outros fatores

relacionados ao desempenho, a deformação permanente em pavimento brasileiros.

Observa-se, através da tabela 2.1, que a deformação permanente medida em 45 trechos

atingiu valor máximo de 7,4 mm e média de 2,53 mm, muito abaixo do valor máximo

admissível em geral, como, por exemplo, o de 1,27 cm adotado pela FAA.

Tabela 2.1. Dados estruturais de Pavimentos Brasileiros. QUEIRÓZ (1984).

Variável Média Desvio Padrão Mínimo Máximo

Número de Trechos 45 - - -

Idade (anos) 7,71 4,80 1,5 20,5

Deflexão, viga Benkelman (mm) 0,78 0,43 0,17 2,13

Número Estrutural Corrigido 5,00 0,88 3,40 7,50

Logn (nº de eixos cumulativos equival.) 5,56 0,74 3,20 7,23

Profundidade de Trilha de Roda (mm) 2,53 0,90 0,40 7,40

Ainda sobre a influência do tipo de solo do subleito, UZAN (1998) discorre sobre

características de solos argilosos típicos de subleitos das vias de Israel.Observa-se um

aumento de umidade até o terceiro ou quinto ano de implantação da via, com umidade

de equilíbrio entre 1,2.LP e 1,3LP, onde LP é o limite de plasticidade. Ainda, todos os

materiais argilosos constituintes do subleito da pesquisa de UZAN continham

montmorilonita, argilo-mineral altamente expansivo.

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2.1.3 Modelos Usuais de Deformação Permanente em Solos

Modelo de Monismith et al

O modelo mais comum e amplamente empregado é o proposto por MONISMITH et al.

(1975).

pε = ANB (2.2)

Onde:

ε p - deformação específica plásticaA e B - parâmetros experimentais

N - número de repetições de carga

A deformação permanente é obtida através de ensaios triaxiais de cargas

repetidas.Trata-se de um modelo simplificado que representa bem o comportamento à

deformação permanente tanto de solos argilosos como de solos granulares, entretanto

alguns aspectos devem ser observados.

- Geralmente obtém-se os parâmetros do modelo para até 100.000 ciclos de

carregamento. Assim, a predição da deformação permanente para valores superiores

tende a ser superestimada;

- Há diversos fatores influenciando os parâmetros do modelo, tais como energia e

umidade de compactação, freqüência de carregamento, estado de tensão, tipo de solo,

dimensões do corpo-de-prova.

Assim, para uma correta aplicação do modelo é necessária uma conveniente seqüência

de ensaios de laboratório. Importante ressaltar que boa parte da experiência brasileira

no estudo da deformação permanente em solos está associada a este modelo.

A tabela 2.2 apresenta valores típicos dos coeficientes A e B para uma argila siltosa ,

ensaiadas em várias umidades e pesos específicos aparentes secos, obtidos por

Monismith et al e citados por SVENSON (1980).

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Tabela 2.2: Valores típicos dos parâmetros A e B. MONISMITH et al (1975), citado porSVENSON (1980)

Amostra H (%) γs(g/cm3 ) σ d (kgf/cm

2 ) A B

1 16,7 1,792 0,35 0,168 0,184

2 16,8 1,792 0,70 0,306 0,185

3 16,5 1,792 1,40 1,28 0,156

4 19,8 1,712 0,21 0,378 0,212

5 19,3 1,712 0,35 1,22 0,1456 19,7 1,712 0,70 4,57 0,193

7 19,3 1,712 1,40 39,5 0,185

8 16,4 1,712 0,35 0,0467 0,332

9 16,5 1,712 0,70 0,746 0,163

10 16,1 1,712 1,40 1,73 0,154

Modelo de Uzan

Uzan (1982), citado por CARDOSO (87), desenvolve modelo a partir da diferenciação

da equação proposta por Monismith et al (1975).

ε p = A.NB (2.2)

diferenciando a equação 2.2, tem-se:

dN

d pε = A.B.NB-1 (2.3)

mas,

dN

d pε = lim 1−→ N N )1()1.(.

−−−−

N N

N A N A B B = A.(NB – NB-1) = ε p (N)

onde:

ε p (N) – deformação plástica para a n-ésima camada

µ = A.B/ εr e α = 1 - B

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admitindo-se εr (N) = εr , e dividindo-se a equação nº 2.3 por εr , tem-se:

r

p N

ε

ε )(= (2.4)αµ − N .

Os parâmetros µ e α podem ser extraídos de diversas autores conforme mostra a tabela

2.3.

Tabela 2.3: Variação dos parâmetros µ e α de acordo com as diversas referências.

Citado por CARDOSO (1987)

Camada Parâmetros LOTFI

(1977)

LYTTON

et al

(1975)

RAUHUT

et al (1975)

UZAN

(1985)

VERSTRATEN

et al (1977)

α - 0,656 0,45-0,90 - 0,70-0,90Revestimento

µ - 0,146 0,10-0,50 - -

α - - 0,90-1,00 - -Base/Subbase

µ - - 0,10-0,30 - -α 0,88-

0,91

- 0,70-0,90 0,800 -Subleito

µ 0,26-

1,20

- 0,00-0,10 0,045 -

Sejam as equações 2.5 e 2.6 dadas por:

r

p N

ε

ε )(= (2.5)αµ − N .

ε p (N) = εt (N) – εr (N) (2.6)

Combinando-se as equações, tem-se:

ε p (N) = εt (N) – εr (N) = εr .µ.N-α (2.7)

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Durante o carregamento e descarregamento o módulo elástico Ec (carregamento) e ED

(descarregamento) são distintos, e a relação tensão-deformação é considerada linear.

Da teoria da elasticidade, tem-se:

(εt)z =c E

1 .[ σz – ν.( σr + σt)] =c

z

E σ (2.8)

(εr )z = D E

1 .[ σz – ν.( σr + σt)] =

D

z

E

σ (2.9)

Onde:

(εt)z – deformação total vertical;

(εr )z – deformação resiliente vertical;

σz , σr , σt – tensões atuantes;

ν – coeficiente de Poisson.

Substituindo-se 2.1.8 e 2.1.9 na equação 2.1.7, tem-se:

σz.( Dc E E

11− ) = αµ

σ − N E D

z .. (2.10)

Modelo de Tseng e Lytton

Tseng e Lytton (1989), citados por CINQUE (2000), utilizam um modelo mecanístico-

empírico apresentado a seguir:

δa(N) =r ε

ε 0 .e

βρ

−

N .εv . h (2.11)

onde:

δa (N) - deformação permanente da camada

N – número de repetições de carga

ε0, ρ, β – propriedades dos materiais

εr – deformação específica resiliente

εv – deformação específica vertical média resiliente

h – espessura da camada

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Os parâmetros ρ e β e a relação ε0/εr são os parâmetros dos materiais derivados a partir

de ensaios de deformação permanente. A estimativa desses parâmetros é realizada

através dos modelos apresentados nas equações 2.12 e 2.13.

Para materiais constituintes do subleito: equações 2.12, 2.13 e 2.14

Log (r ε

ε 0 )=-1,69867+0,09121.Wc – 0,11921.σd + 0,91219.log(Er ) (2.12)

R 2 = 0,81

Log(β)=-0,9730–0,0000278.W . σ2c d + 0,017165. σd – 0,0000338.W .σ2c θ (2.13)

R

2

= 0,74

Log(ρ)=11,009+0,000681. W . σ2c d - 0,40260. σd + 0,0000545. W .σ2c θ (2.14)

R 2 = 0,86

Para materiais constituintes das camadas de base e de subbase tem-se as equações 2.15,

2.16 e 2.17.

Log (r ε

ε 0 )=0,80978–0,06626.Wc – 0,003077.σθ + 0,000003.Er (2.15)

R 2 = 0,60

Log(β)=-0,9190+0,03105.Wc+ 0,001806. σθ – 0,0000015.Er (2.16)

R 2 = 0,74

Log(ρ) = -1,78667 + 1,45062. Wc + 0,0003784.σ2θ - 0,002074. W .σ

2c θ – 0,0000105. Er

R 2=0,66 (2.17)

Onde:

Wc – umidade do material %

σθ – tensão octaédrica, em Psi

σd – tensão desvio em Psi

Er – módulo resiliente da camada em Psi

11


21/152

2.1.4 Outros Modelos de Deformação Permanente em Solos

Modelos Para Solos Granulares

A deformação permanente em solos granulares tem sido objeto de diversas pesquisas

em pavimentos de países de clima temperado. Tanto por este ser o principal defeito

apresentado pelo pavimento naquelas regiões do planeta, quanto pelo freqüente uso de

materiais granulares, principalmente britas graduadas, nos pavimentos. De interesse

para o Brasil além da similaridade das nossas bases constituídas de britas, é a

possibilidade de comparação com o comportamento apresentado pelos solos lateríticos

concrecionados, ou lateritas.

Alguns estudos de deformação permanente em solos podem ser encontrados em

MOTTA(1991). São eles: Brown(1974), Barksdale(1984), Paute(1983), Lentz e

Baladi(1980), Khedr(1985), Pappin(1979), Shaw(1980), Bouassida(1988), Travers et al

(1988), Paute et al (1988).

BAYOMY e AL-SANAD (1993) estudaram a deformação permanente em solos

constituintes do subleito de algumas rodovias do Kuwait. Todas as amostras são

constituídas de solos granulares arenosos, com porcentagem passando na peneira nº 200

variando de 1% a 7,5%.A freqüência de aplicação do carregamento no ensaio triaxial

cíclico foi de 2 Hz com período de carregamento de 1/8 s, com quatro níveis distintos

de tensão, variando de 10% a 40% da intensidade da resistência à compressão axial.

Para cada solo foram preparadas amostras com três níveis de umidade de compactação:umidade ótima 2%.O modelo adotado para estudo da deformação permanente foi o

proposto por MONISMITH et al.(1975), já citado anteriormente.

±

Concluíram os autores que o parâmetro “A” depende das condições do ensaio e do tipo

de material, e o parâmetro “b” independe das condições de ensaio, sendo um parâmetro

característico de cada solo.

12


22/152

As curvas de deformação permanente mostraram ser sensíveis tanto à umidade de

compactação quanto ao nível de tensões aplicado. No gráfico 2.1 foram plotadas curvas

para dois níveis distintos de tensões e três diferentes umidades, ambos para a amostra

S8 do estudo de Bayomy e Al-Sanad.

Observa-se que a deformação permanente aumentou com a umidade de

compactação e apresentou maior diferença de valores, em relação à amostra

compactada na umidade ótima, quando se aumentou o nível de tensão.

0.0001

0.001

0.01

0.1

1 10 100 1,000 10,000 100,000

Número de Repetições de Ciclos (N)

D e f o r m a ç ã o P e r m a n e n t e A c u m u l a d a ( ε p

nível 2 hot nível 2 hot +2% nível 2 hot - 2%

nível 3 hot nível 3 hot +2% nível 3 hot - 2%

Gráfico 2.1. Deformação Permanente Para Várias Umidades e Distintos Níveis de Tensão

em Solo Arenoso. Adaptado de Bayomy e Al-Sanad (1993).

13


23/152

Modelos Para Solos Argilosos

MAJIDZADEH et al. (1976) desenvolveram relações entre os parâmetros A e m, do

modelo apresentado por GUIRGUIS (1974), e o módulo dinâmico, E* , do solo.

ε p/N = A(D,w).N-m (2.18)

onde:

ε p - deformação permanente

A(D,w) - interseção da linha reta (ε p/N x N) com o eixo ε p/N

m - valor absoluto do coeficiente angular da mesma reta

N - número de ciclos

O estudo foi desenvolvido com solos siltosos e solos argilosos, ambos com fração

granular, oriundos do estado de Ohio/EUA. Concluem que o parâmetro m varia

normalmente entre 0,82 e 0,95, podendo, em casos excepcionais, ser menor que 0,57. Para

solos com módulo dinâmico maior que 40 MPa, pode ser considerado constante. O

parâmetro A é função da umidade, densidade, tensão desvio e estrutura do solo.

MAJEDZADEH, BAYOMY e KHEDR (1978) desenvolveram estudos experimentais

sobre a deformação permanente em solos do subleito de algumas rodovias em Ohio. Os

solos analisados eram siltosos, com índice de plasticidade variando de 5,4 % a 16,1%.

Buscou-se um enquadramento no modelo da equação 2.19, assim como uma associação

entre o parâmetro “A” desta equação e o módulo dinâmico * E , apresentada na equação

2.20.

ε p/N = A.Nm (2.19)

onde:

ε p - deformação permanente

N - número de repetições de tensão

A, m - parâmetros de afundamento

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24/152

A = K. * E s (2.20)

* E - módulo dinâmico resiliente

K, s – parâmetros que dependem da tensão dinâmica aplicada

O módulo dinâmico mostrou ser um parâmetro apropriado do solo, segundo os autores,

refletindo os efeitos da umidade, densidade seca e estrutura do solo, todos associados à

deformação permanente. Apresentou-se constante para todas as tensões aplicadas

superiores a 55 KPa.

O parâmetro “m” mostrou-se constante para cada tipo de solo e com valores entre 0,85 e

0,90, não existindo variação significativa estatística antes e após saturação.

O parâmetro “A” foi estabelecido em função do * E , de acordo com a equação 2.21, que

mostra a variação do parâmetro “A” com o tipo e estrutura do solo e o nível de tensão.

A = R. * E -c.exp(σapl/ σapl) (2.21)

Onde:

σapl - tensão aplicadaσapl - resistência à compressão, não confinada

R, C - constantes do material

O efeito da saturação resultou num acréscimo do valor de A com decréscimo de * E , para

uma mesma tensão aplicada.

RAAD E ZEID (1989) apresentam uma modelagem para a deformação permanente emsolos de subleito, na qual a deformação axial é associada às tensões aplicadas e ao número

de repetições de carga. O modelo é baseado em resultados de ensaios para uma argila

siltosa.

Desenvolvem ensaios triaxiais estáticos, cíclicos lentos e de cargas repetidas, para

constatar que a deformação de ruptura, para uma dada condição de compactação e tensão

confinante, é independente da história de tensões.

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25/152

O ensaio de cargas repetidas foi realizado com uma pressão confinante de 14,5 lb/pol2

(psi), com freqüência de 40 ciclos por minuto (cpm) e pulsos de duração de 0,2 s.

Define-se nível de tensão (qr ) como a relação entre a tensão desvio e a resistência obtida

num ensaio triaxial convencional, ou estático, com taxa de deformação constante de 0,5

%/min.

Os resultados indicaram a existência de um nível de tensão crítico (“threshold stress

level”) abaixo do qual a deformação acumulada tende a se estabilizar, e acima da qual

ocorrem deformações progressivas e até mesmo a ruptura. A figura 2.2 ilustra a variação

do nível de tensões qr com o número de ciclos.

Foi verificado que para uma dada tensão confinante, densidade seca e condição de

compactação (energia, umidade), a deformação de ruptura é relativamente independente

da história de carregamento, podendo ser determinada em ensaios triaxiais convencionais

(estáticos).

O modelo proposto varia de acordo com o nível de tensões qr . Para qr superior ao crítico

tem-se a equação 2.22.

qr =)log(. N sa l l

a

+ε

(2.22)

al , bl - parâmetros do solo, obtidos de acordo com a figura 2.2.

Para um nível de tensão qr superior ao crítico, tem-se a equação 2.23

qr =ahh

a

ba ε

ε

.+ (2.23)

bh = Bh + Sh.log(N) (2.24)

bh, Bh, Sh – parâmetros do material

16


26/152

Figura 2.2. Determinação dos parâmetros a l e Sl do modelo proposto por Raad e Zeid

(1989).

T a x a d e D e f o r m a ç ã o A x i a l ( % ) p o r

N ú m e r o d e

A p l i c a ç ã o d e C a r g a .

Figura 2.3. Variação da Deformação Axial e Taxa de Deformação Axial com o Número de

Aplicação de Cargas. (σ3 = 14.5 psi, δd = 129.5 lb/ft3, m = 7%). Raad e Zeid (1989).

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27/152

2.1.5 A Experiência Brasileira

No Brasil ocorreu um início simultâneo de estudos sobre deformação permanente através

de avaliação de campo e de laboratório. A tese de mestrado de SVENSON (1980),

orientada pelo professor Jacques de Medina na COPPE/UFRJ, constitui o primeiro

trabalho sobre deformação permanente em laboratório com solos típicos do Brasil.

Paralelamente, QUEIRÓZ (1981) utilizava dados de campo, obtidos da pesquisa PICR, já

comentada, para desenvolvimento de sua tese de doutorado.

Posteriormente, novas pesquisas foram realizadas, podendo-se citar: CARDOSO (1987),

MOTTA (1991), CARVALHO (1995), SANTOS (1998).

SVENSON (1980) ensaiou quatro argilas de subleitos de rodovias federais obtendo os

parâmetros A e B para o modelo proposto por MONISMITH et al (1975), conforme

mostrado na tabela 2.4. Foram usados diversos níveis de tensão σd e σ3 = 0,21 kgf/cm2. Os

valores obtidos foram concordantes com os valores encontrados por Monismith et al.

Tabela 2.4: Valores dos parâmetros A e B obtidos por SVENSON (1980).

Amostra h(%) γs (g/cm

3

) Energia σd (kgf/cm

2

) Ax10

-4

B17,0 1,781 0,76 93,0 0,058Argila vermelha RJ

18,9 1,717

Normal

0,76 29,9 0,072

21,1 1,688 0,75 11,5 0,086Argila amarela RJ

23,3 1,614

Intermediária

0,75 49,3 0,121

16,2 1,776 1,42 12,9 0,028

17,4 1,757 1,42 29,8 0,039

Argila vermelha MG

18,6 1,737

Normal

1,42 80,3 0,044Argila vermelha PR 18,7 1,729 Intermediária 0,70 59,9 0,066

Constata ainda Svenson que a variação do intervalo entre aplicações de carga (0,86 a

2,86), para umidades próximas à ótima, pouca influência tem nos valores dos coeficientes

A e B.

18


28/152

CARDOSO (1987) ensaiou dois solos lateríticos da região de Brasília/DF. O solo nº 1 foi

classificado de argila com alta plasticidade e o solo nº 2 de argila com baixa plasticidade,

ambas do tipo A-7-6, pela classificação da AASHTO. O solo 1 apresentou cerca de 30%

de sua massa com partículas de diâmetros superiores a 0,42 mm (nº 40), portanto será

considerado como solo fino com significativa fração granular.

A maioria das amostras foi compactada na energia modificada, sendo algumas poucas na

energia normal, a umidade variou entre a mais seca e mais úmida condição.

Aplicou-se uma pressão confinante de 3, 5, 8.3, 10, e 15 lb/pol2 (psi) e tensão desvio de 5,

9, 15 e 25 lb/pol2 (psi) . Os ensaios foram conduzidos na condição drenada.

Cardoso enquadrou os resultados obtidos no modelo a seguir, desenvolvido a partir do

modelo de UZAN (1982):

r

p N

ε

ε )(= (2.4)αµ − N .

Verificou que os parâmetros α e µ são pouco influenciados pelo número de aplicações de

carga. O parâmetro µ é bastante sensível as tensões desvio e as pressões confinante e ainda

a umidade de moldagem acima da umidade ótima. Já o parâmetro α varia mais com um

tipo de material, e tem pouca influência das tensões desvio e confinante. Para os solos

estudados os parâmetros α variaram de 0,748 a 0,955 para as várias condições de ensaio

enquanto µ variou bastante para cada um deles.

De uma maneira geral o efeito dos principais fatores na deformação permanente é

mostrado a seguir.

Efeito da Tensão Confinante: Foi observada uma aparente contradição entre os resultados

obtidos para as amostras de solos granulares lateríticos. Enquanto que a deformação

permanente aumentava com o acréscimo da tensão confinante para uma tensão desvio de

25 Psi (1,75 Kgf/cm2), no caso de tensão desvio de 15 Psi (1,05 kgf/cm2) a deformação

permanente decresceu com o aumento da tensão confinante. As figuras 2.4 e 2.5 ilustram

esta situação.

19


29/152

Figura 2.4: Efeito da pressão confinante e número de repetições na deformaçãopermanente – solo 1 [25 lb/pol2 (psi) ]. CARDOSO (1987).

Figura 2.5: Efeito da pressão confinante e número de repetições na deformação

permanente – solo 1 [15 lb/pol2 (psi) ]. CARDOSO (1987).

20


30/152

Efeito da Tensão Desvio: A tensão desvio tem uma significativa influência na

deformação permanente, tanto para o solo granular quanto para o solo fino, conforme

era de se esperar.

O nível de deformação plástica cresceu 263,2 % para o solo granular e 150,2% para o

solo fino, quando a tensão desvio variou de 15 lb/pol2 (psi) para 50 lb/pol2 (psi), numa

condição de umidade ótima e 8,3 Psi de pressão confinante.

Efeito da Umidade: Para o solo granular a amostra mais seca apresentou maiores níveis

de deformação permanente do que as amostras moldadas próximas à umidade ótima.

Para o solo fino, as amostras mais secas apresentaram menores níveis de deformação

permanente do que as outras.

Para ambos os solos a deformação permanente começou a crescer com o aumento da

umidade próximo ou ligeiramente acima da ótima.

De um nível de umidade de 1% abaixo da ótima para mais 2,2%, no caso do solo

granular, e para mais 2,5 %, no caso do solo fino, a deformação plástica cresceu sete

vezes para o solo granular e dezessete vezes para o solo fino.Isso demonstra que o solo

fino tem mais sensibilidade a umidade, em termo de deformação permanente, do que o

solo granular.

Influência da Relação (σ3/σd): Para ambos os solos analisados por Cardoso a

deformação plástica decresceu com o acréscimo de σ3/σd até um valor entre 0,5 e 0,6.

Além desse valor a deformação plástica tende a crescer. Foi observado que esse efeito é

mais significativo para solos finos do que granulares, em termo de deformação permanente.

SANTOS (1998) apresentou estudo sobre solos lateríticos concrecionados do Mato

Grosso, incluindo ensaios de deformação permanente, no equipamento triaxial de

cargas repetidas.

Foram ensaiados corpos-de-prova de 10 x 20 cm na energia do ensaio ProctorIntermediário para bases e sub-bases e Proctor Normal para subleito, todos na umidade

2


31/152

ótima. Buscou-se um enquadramento dos resultados no modelo proposto por

MONISMITH et al. (1975). A tabela 2.5 ilustra alguns parâmetros obtidos.

Constata Santos que não houve variações significativas para os parâmetros A e B a

20.000 e 100.000 repetições.

Dentre os vários ensaios realizados são apresentados dois, relativos à base, e mostrados

no gráfico, juntamente com resultados obtidos por Motta (1991) para uma amostra da

laterita de Roraima (RR), todas com mesmo nível de tensões aplicado.

Observa-se uma razoável dispersão dos resultados, peculiaridade dos solos lateríticos

concrecionados, já demonstrada em relação ao comportamento resiliente, conforme

observado por VERTAMATTI (1987) entre outros.

No gráfico 2.2 são mostradas as curvas referentes à mesma estação, ou estaca, para a

base, sub-base e subleito. Observam-se maiores deformações permanentes para o solo

constituinte da base e um excelente comportamento do solo constituinte da sub-base.

Trata-se de um fato bastante interessante tendo em vista tratar-se de amostras de um

pavimento em operação.

3


32/152

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1,000 10,000 100,000

Número de Ciclos (N)

D e f o r m a ç ã o P e r m a n e n t e ( m m )

Laterita Mato Grosso (E-100) Laterita Mato Grosso (E-200) Laterita Roraima

Motta (1991)

Santos (1998)

Gráfico 2.2: Deformação Permanente para Solos Lateríticos Concrecionados.

MOTTA(1991) E SANTOS (1998).

Tabela 2.5. Parâmetros de Deformação Permanente. MOTTA (1991) e SANTOS (1998).

Solo A B r 2 AutorLaterita MT E-100 0,005 0,11 0,92 Santos (1998)

Laterita MT E-200 0,001 0,10 0,92 Santos (1998)

Laterita RR 0,002 0,08 0,93 Motta (1991)

4


33/152

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1,000 10,000 100,000

Número de Ciclos (N)

D e f o r m a ç ã o P e r m a n e n t e ( m m

Base Subbase Subleito

Estaca E-300 Santos (1998)

Gráfico 2.3: Deformação Permanente Observada Na Estaca E-300. SANTOS (1998)

CARVALHO et al (1998) estudaram a deformação permanente de um solo LA’ de São

Paulo para o teor de umidade ótima, umidade relativa ao máximo CBR e 2% acima da

ótima, enfatizando que a deformação permanente nos primeiros 500 ciclos foram mais

significativas que as demais. Além disso, uma camada de 15 cm de base de pavimento

flexível com o material ensaiado desenvolveria uma deformação permanente de apenas

1,4 mm, portanto sem comprometimento do desempenho estrutural do pavimento.

2.2.6 Avaliação da Deformação Permanente Admissível

Diversas fórmulas e expressões têm sido geradas com a finalidade de se determinar a

deformação permanente admissível em um pavimento. Um dos mais comuns

procedimentos é controlar a tensão vertical atuante no topo do subleito, como proposto

por HEUKELOM E KLOMP (1962), citado por SANTOS (1998).

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34/152

σvmáx=)log(7,01

006,0

N

MR

+ (2.25)

σv máx - tensão vertical admissível no topo do subleito

MR - módulo resiliente médio

N - número de ciclos

Alguns autores têm proposto valores limites para deformação permanente admissível

através do limite da deformação elástica no subleito. SANTOS (1998) cita alguns

destes exemplos.

εz=21600.10-6 N-0,25 (NOTTINGHAN) (2.26)

εz=28000.10-6 N-0,25 ( SHELL, 1977) (2.27)

εz=11000.10-6 N-0,23 ( CRR) (2.28)

εz=21000.10-6 N-0,24 ( LCPC) (2.29)

YODER E WITCZAK (1975) apresentam um critério de tensão vertical máxima

admissível no subleito em função do CBR do material:

σadm=(0,553CBR 1,5). 0,07 (kgf/cm2) (2.30)

PINTO E PREUSSLER (1984) propõem um limite de tensão normal vertical no

subleito igual a 15% da tensão desvio de ruptura determinada em ensaio estático do tipo

UU no solo do subleito, para carregamento igual ao da carga padrão.

VERSTRAETEN (1989), citado por SANTOS (1998), indica uma deformação

permanente máxima de 16 mm como padrão na Bélgica.

Do trabalho de PIDWERBESKY e STEVEN (1997), citado por SANTOS (1998),extraem-se as seguintes expressões, com os respectivos autores:

εcvs = 0,028N-0,25 CLAESSEN et al (1997)

εcvs = 0,021N-0,23 DUNLOP et al (1983), rodovia de 1ª Classe

εcvs = 0,025N-0,23 DUNLOP et al (1983), rodovia de 2ª Classe

εcvs = 0,0085-0,14

Manual AUSTRALIA AUSTROADS (1992)

6


35/152

Onde:

εcvs - Deformação específica vertical de compressão no topo do subleito

O INSTITUTO DO ASFALTO dos Estados Unidos, em seu método de

dimensionamento MS(1) utiliza a expressão:

N=1,36x10-9εc(-4,48) (2.31)

THEYSE (1997), citado por SANTOS (1998), apresenta uma modelagem para dados

de afundamento de trilha de roda na África do Sul , em trechos reais com a passagem

do equipamento HVS. Segundo THEYSE, WOLFF (1992) propôs a seguinte

modelagem para a deformação permanente total:

PD=(nM+a).(1– e-bn) (2.32)

PD - afundamento total a trilha de roda

N - número de repetições de carga

m, a , b - parâmetros experimentais

e - base neperiana

Trata-se de um modelo composto de uma parte linear e outra exponencial. A parte

exponencial modela o rápido decréscimo da deformação permanente e a parte linear

uma tendência a estabilização.

Com base nesse modelo e em medições de dezenas de trechos, Theyse sugere:

PD=e. Ns.( eB.σv –1) (2.33)

c, s , B - parâmetros experimentais

7


36/152

CAPÍTULO 2.2: A TEORIA DO SHAKEDOWN

2.2.1. Considerações Sobre o Carregamento Cíclico de Solos

Na engenharia geotécnica o termo carregamento cíclico está relacionado a um sistemade carregamento que exibe um grau de regularidade tanto em magnitude quanto em sua

freqüência de aplicação.

O principal aspecto associado ao carregamento cíclico é a sua natureza não estática, e

não propriamente a ciclagem, sendo que a palavra ciclo pode ser mesmo inadequada,

porém é o termo comumente utilizado para descrever um carregamento repetitivo não-

estático ao qual um solo está submetido. De fato inexiste um termo apropriado

consagrado para esse comportamento, (O’REILLY e BROWN,1991).

As principais situações nas quais o carregamento cíclico é de fundamental importância

são ilustradas na figura 2.6.

Estruturas Offshore

Fundação de Máquinas

Carregamento Sísmico

Rodovias e FerroviasCravação de

Estacas

Figura 2.6: Tipos de Carregamentos Cíclicos em Obras Geotécnicas. Adaptado de

O’REILLY e BROWN (1991).

8


37/152

Uma questão particular relativa ao carregamento cíclico em obras de pavimentação é a

verificação da deformação permanente após um determinado número de aplicações de

carga. Ou seja, verificar se a deformação permanente pode conduzir à ruptura ou se

tende à estabilização.

A estabilização da deformação permanente depois de determinado número de ciclos é

denominada shakedown e o seu estudo constitui o objeto principal do presente trabalho.

A teoria do shakedown foi desenvolvida inicialmente para o estudo de metais

submetidos a cargas deslizantes ou rolantes, sendo a primeira aplicação ao estudo de

pavimentos feita for SHARP e BOOKER (1984).

Trabalhos sobre deformação permanente elaborados com solos típicos do Brasil,

(CARVALHO et al 1995, SANTOS 1997, SVENSON 1980), apontam para baixos

valores de deformação permanente. Porém, grande parte deles foi conduzida a

relativamente poucos ciclos de carga (até 100.000) e a possibilidade de ocorrência do

shakedown não é mencionada.

Considerando-se que grande parte dos projetos de restauração de pavimentos brasileiros

não prevê significativas alterações em suas respectivas camadas de solos, então a

análise da resposta do solo para um número relativamente elevado de ciclos torna-se

justificada.

2.2.2. Principais Fatores Associados ao Carregamento Cíclico de Solos

Uma importante discussão sobre carregamento cíclico de solos pode ser observada em

O’REILLY e BROWN (1991), da qual foi extraído o texto que se segue.

É possível, porém, identificar linhas de desenvolvimento dentro do estudo do

carregamento cíclico de solos, que podem ser agrupadas em três classes:

- o efeito da reversão de tensões;

- a resposta-dependente da taxa de carregamento do solo;

- efeitos dinâmicos nos quais a análise estática torna-se inadequada.

9


38/152

O Efeito da Reversão de Tensões

Reversão de tensões nesse contexto não se refere a uma variação no sinal da tensão,

mas na variação de sua taxa de acréscimo. Por exemplo, um acréscimo na magnitude da

tensão seguido de imediata redução é, nesse contexto, uma reversão de tensão, não

obstante as tensões continuarem a agir na mesma direção.

Por outro lado, o termo “acréscimo de tensão” é de difícil definição quando se

considera um estado de tensão tridimensional, principalmente devido à possibilidade

de rotação das tensões principais.

A figura 2.7 ilustra o comportamento idealizado de um solo granular submetido a um

carregamento cíclico com tensão controlada. Cada ciclo é acompanhado de uma

deformação cisalhante que é parcialmente recuperada e a magnitude desta deformação

tende a se tornar constante para qualquer ciclo a partir de um certo número de

repetições. Há outros tipos de respostas do solo quando submetido a carregamento

cíclico que serão mais detalhados posteriormente à luz da teoria do shakedown.

D eform a çã o

D efo rm a çã o R esilien te

R esis tê n cia

Figura 2.7: Resposta a um Carregamento Cíclico com Tensão Controlada.

Por outro lado, a parcela irrecuperável, ou plástica, desenvolvida durante cada ciclo

tende a ser reduzida com o acréscimo do número de ciclos.

10


39/152

Eventualmente, o solo atinge uma forma de equilíbrio, na qual a magnitude da

deformação recuperada durante cada ciclo atinge valores bem maiores do que o

correspondente à deformação plástica, e este comportamento pode ser descrito como

resiliente, ou “quase-estático”. Também, é sabido que a rigidez do solo é dependente do

estado de tensões.

Durante o carregamento cíclico a deformação permanente desenvolvida durante cada

ciclo será usualmente pequena, porém a deformação permanente acumulada poderá ser

significativa.

Se o solo estiver saturado, variações na poro-pressão ocorrerão durante uma “ciclagem

rápida”, isto é, na qual a taxa de ciclagem é tal que o excesso de poro-pressão não é

totalmente dissipado. Evidências experimentais em solos saturados, submetidos a

ensaios de tensão controlada, indicam que, em muitos casos, a ruptura irá ocorrer a um

nível de tensões bem inferior ao da tensão cisalhante de ruptura monotônica, através da

geração continuada de poro-pressão adicional durante cada ciclo sucessivo.

A figura 2.8 apresenta a variação de rigidez ocorrida durante um carregamento cíclico.

É observado que imediatamente após cada reversão de tensão a rigidez aumenta

substancialmente e posteriormente decresce. Também, a tensão desenvolvida para

qualquer nível de deformação durante a fase de carregamento é menor que para a

correspondente deformação na fase de carregamento. Esse fenômeno indica, em

linguagem simples, que um elemento de solo não é “empurrado de volta” na mesma

intensidade com que “empurra”. Isto é conhecido como histerese e indica que o solo

não retornou toda a energia que lhe foi transferida durante o carregamento.

11


40/152

Tensão

Deformação Tempo

Rigidez

Figura 2.8 Variação da Rigidez Durante Carregamento Cíclico. Extraído de O’Reilly eBrown (1991)

O fenômeno do aumento da rigidez no ponto de reversão de tensão e o efeito da

histerese podem ser representados por um modelo simplificado do comportamento do

solo, o modelo bloco e mola, ilustrado na figura 2.9 e citado por O’REILLY e BROWN

(1991).

Algumas considerações podem ser feitas sobre o modelo:

- o sistema de molas representa a interação entre uma partícula e um grupo de

partículas;

- as diversas tensões normais Ni representam a variação na geometria interna

do solo;

- o ângulo de inclinação α está associado ao potencial de redução

volumétrico do solo;

12


41/152

Âng ulo de Inclinação

Mode lo Conce itual

Resultad os Típ icos

a

b

Figura 2.9 Esquematização do Modelo Bloco e Mola.

Resposta Dependente da Taxa de Carregamento dos Solos

Trata-se da influência da taxa de carregamento, ou, alternativamente, da taxa dedeformação, na resistência ou rigidez de um solo. Esse fenômeno pode seratribuído a dois fatores: à ação viscosa interpartículas do solo e à dissipação,dependente do tempo, do excesso de poro-pressão gerado durante carregamento,no caso de situação drenada.

Outro fator associado à taxa de carregamento é a dissipação do excesso de poro- pressão gerada durante o carregamento. Como as taxas de ciclagem podem serelevadas, a permeabilidade e o gradiente hidráulico devem ser considerados naanálise, mesmo para solos considerados permeáveis. A liquefação de areias é

um exemplo típico no qual a poro-pressão cresce mais rapidamente do que édissipada.

Efeitos Dinâmicos

13


42/152

Efeitos dinâmicos significativos acompanham muitas situações decarregamento cíclico, principalmente quando a freqüência decarregamento é elevada. Fenômenos como a ressonância de fundaçõese a amplificação de pulsos de tensões dinâmicos em depósitos

profundos de solos de baixa rigidez são problemas típicos envolvendo

efeitos dinâmicos.

2.2.3. Resposta do Solo Submetido a Carregamento CíclicoExistem três fatores principais afetando a resposta do solo submetida acarregamento cíclico:1. Ocorre uma variação nas propriedades do solo com o acúmulo de

deformações permanentes, devido, em geral, a um rearranjomicroestrutural das partículas. No modelo elasto-plástico estasvariações são geralmente simuladas usando-se leis constitutivas,incluindo alguma forma de fluxo plástico secundário, que ocorre nasuperfície de ruptura primária.

2. Em uma estrutura real, num dado elemento que foi solicitado acima dolimite elástico, a tensão atuante não retorna a zero após a aplicação dacarga. Tensões residuais são induzidas no material e, comoconseqüência, quando o elemento se fizer novamente carregado suaresposta será distinta. Trata-se de uma segunda forma de shakedown,chamada de shakedown estrutural, em oposição ao shakedown domaterial, citado no item a.

3. Um terceiro fator, menos importante, responsável pela mudança naresposta da estrutura é a possível mudança na distribuição da tensãode carregamento induzida, provocada por deslocamentos permanentes.É o chamado shakedown geométrico.

Vários autores, tais como WERKMEISTER et al (2001), COLLINS eBOULBIBANE (2000), FARIA(1999), têm classificado a resposta de um solosubmetido a carregamento cíclico em quatro categorias, conforme mostrado a

seguir.- puramente elástica: quando a carga repetida aplicada é suficientemente pequena de modo a produzir deformações plásticas. Todas as deformaçõessão totalmente recuperadas;

- shakedown elástico: quando a carga repetida aplicada é ligeiramente menordo que a necessária para produzir o shakedown plástico. A resposta domaterial é plástica para um número finito de tensões/deformações. Porém, aresposta última é elástica e o material é dito estar em shakedown e omáximo nível de tensões no qual esta condição é mantida é chamado limiteelástico do shakedown;

- shakedown plástico: quando a carga repetida aplicada é ligeiramente inferior

do que a necessária para produzir um rápido colapso. O material apresentauma resposta estável, sem deformações plásticas. Isso implica que uma

14


43/152

quantidade finita de energia é absorvida pelo material em cadatensão/deformação. Resposta puramente resiliente é obtida e o material édito estar em shakedown e o máximo nível de tensões para o qual estacondição é obtida é chamado de limite plástico do shakedown;

- incremento de colapso: quando a carga repetida aplicada é relativamente

alta. Uma grande parte do material está na condição limite e deformações plásticas se acumulam rapidamente com a ruptura ocorrendo em curtoespaço de tempo.

Pesquisas da carga de shakedown elástico de um solo têm sido conduzidasmediante a determinação de limites superiores e inferiores, onde o limiteinferior representa a menor carga para a qual se verifica o shakedown e o limitesuperior a maior carga para a qual esta condição se mantém. Esta foi a linhaseguida por WERKMEISTER et al (2001).

A figura 2.10 ilustra respostas típicas apresentadas por solos submetidos acarregamento cíclico. Tal como representado na figura a situação de escoamento

plástico conduz a uma diminuição das deformações plásticas, porém estasdeformações podem crescer indefinidamente ocasionando o colapso daestrutura.

Figura 2.10. Resposta de um Solo Submetido a Carregamento Cíclico.

15


44/152

2.2.4 A Teoria do Shakedown

2.2.4.1 Introdução

A apresentação da teoria clássica do shakedown pode ser encontrada em diversas

fontes, sendo que o presente relato foi extraído de FARIA (1999).

Quando em um corpo submetido a um carregamento cíclico cessam asdeformações plásticas para um determinado número de aplicações de cargas,diz-se que ele entrou em shakedown, e a inexistência de deformação plástica é

justificada a partir do surgimento de equilíbrio no campo de tensões formado pelas tensões correspondentes às deformações elásticas e pelas tensõesresiduais. Portanto, o surgimento de tensões residuais é condição essencial parao surgimento do shakedown.

O objetivo do desenvolvimento da teoria do shakedown é a determinação dascondições e limites, para um determinado carregamento, na qual a condição de

shakedown ocorra.

2.2.4.2 O Shakedown Considere um vetor de carregamento q ij (x i ) e seja um corpo elástico-plástico

submetido a um carregamento múltiplo quase-estático atuante na superfície S q ,

enquanto que na superfície remanescente S os deslocamentos são nulos. O modelo

assumido para carregamento múltiplo consiste num conjunto de parâmetros de cargas

da seguinte forma:

u

q i = .q i .(x i ) l = (1,2,...r) (2.34))(l

l λ)(

0l

podendo variar independente do outro, isto é, os parâmetros de carga λ são funções

escalares independentes do tempo. Eles podem representar um ponto no espaço de

carregamento de r dimensões, enquanto que a proporção fixada com (t) representa a

direção neste mesmo espaço ( direção de carregamento). A magnitude dos parâmetros

de carga é, porém, limitadas pela relação:

l

l λ

0)( ≤l L λ (2.35)

As equações (2.34) e (2.35) definem as possíveis combinações de carregamentos

externos que podem ocorrer durante o processo de carga.

16


45/152

No espaço de “r” dimensões, com coordenadas , a função é

ilustrada por uma hiper-superfície limitando o domínio de possíveis carregamentos e as

curvas dentro do domínio representam a trajetória de cargas, como mostrado na figura

2.11.

l λλλ ,...,, 21 0)( 1 =λ L

Figura 2.11. Domínio de Possíveis Carregamentos. FARIA (1999).

Quando um acréscimo monotônico proporcional de carregamento é considerado, as

razões de são mantidas constantes durante o processo de carregamento e a trajetória

de carga é representada por uma linha reta (AO).

l λ

No caso de carregamento cíclico, as cargas são aplicadas repetidamente e suas

variações são representadas por uma curva fechada (OBCO).

Um carregamento genérico é representado pela trajetória ODEF.

2.2.4.3 Teoremas Fundamentais do Shakedown

Princípio Estático

Se as tensões estáticas violarem a condição de plasticidade, deformações plásticas irão

ocorrer conduzindo a uma redistribuição das tensões, sendo que estas tensões podem

ser expressas pela soma das tensões elásticas (σ ) e outro campo de tensões, chamado

de tensões residuais ( ).

e ji,

ji,ρ

=> σ (2.36)),(),()(,,,

t xt x x i jii

e

jii ji ρσ +=

17


46/152

Por esta razão, tensões residuais conduzem a tensões permanentes que irão permanecer

no corpo mesmo após o descarregamento elástico. Então, o campo de tensões residuais

corresponde a um carregamento externo nulo e forma um sistema auto-equilibrado,

satisfazendo condições de equilíbrio durante o processo completo de carregamento.

Após a ocorrência do shakedown as tensões residuais não mais sofrerão variações,

porque não ocorrem mais deformações plásticas em um corpo em shakedown.

Teorema 1: Teorema de Melan.

Se para uma estrutura elasto-plástica submetida a agentes externos (cargas e

deslocamentos) existir um campo de tensões residuais ( ), estaticamente

admissível e independente do tempo, satisfazendo a equação (2.36), de tal forma que a

equação (2.37) seja satisfeita para todas as possíveis variações de carregamento:

ji ,ρ i x

)()](),([ ,, ii jiie ji x K xt x f ≤+ ρσ (2.37)

então a estrutura entrará em shakedown para qualquer parâmetro de carregamento ,

contido no domíno ψ .

l λ

De maneira alternativa, se um campo de tensões residuais puder ser encontrado tal que

o correspondente limite de carregamento elástico inclua o domínio de todos os

possíveis carregamentos, então o shakedown irá ocorrer durante o processo de

carregamento.

A condição para a ocorrência do shakedown definida pela equação (2.37) pode também

ser expressa em termos de parâmetros de carregamento λ . Como as tensões elásticas

são funções lineares dos parâmetros de carga, podem ser escritas:

l

l e jil

e ji )( ,, σλσ = l = 1,2,..., r (2.38)

onde:

e ji ,σ : denota o campo de tensões elásticas independente do tempo e os parâmetros de

carga são funções do tempo. Substituindo-se na equação (2.2.4.4), tem-se:l λ

(2.39))()](),(.[ ,, ii jiie jil x K xt x f ≤+ ρσλ

18


47/152

Princípio Cinemático

Considere-se um corpo linear elástico-perfeitamente plástico submetido a um

carregamento múltiplo quase-estático atuando em sua superfície e admita-se os

deslocamentos nulos. Introduzindo-se uma taxa de deformação plástica

cinematicamente admissível para todo 0 , que é caracterizada pela

propriedade de, para qualquer intervalo de tempo T a deformação plástica, conforme

(2.38), constitui um campo de tensões cinematicamente admissível juntamente com o

campo de deslocamentos, (2.39), os quais ao mesmo tempo satisfazem a condição de

fronteira em .

),( t xik ijε& T t ≤≤

0=∆ k

iu uS

dt t x x i

T k ijiij ).,()(

0∫=∆ εε && (2.40)

∫=∆T

ik i dt uu

0

.& (2.41)

Então, o princípio cinemático estabelece:

Teorema 2: Teorema de Koiter

A estrutura não entrará em shakedown sobre os carregamentos e se para certa

trajetória de carregamento (t), contida num dado domínio de carregamentos

i F iT

l λ ψ ,

existir:

1. uma trajetória de carregamento (t) ∈ , t ∈ ;l λ ψ ),0( T

2. uma taxa de deformação cíclica )( iij xε &

∫=∆T

iijiij dt t x x0

).,()( ε ε && = ))()((21

i jiiij xu xu + em V , em0=iu uS

e tal que a equação (2.42) seja satisfeita.

(2.42)≤∫ ∫ dt dV t x ijT

V

eije .).,(

0

ε σ λ ∫ ∫T

V ij dt dV D

0

.)(ε &

onde D é a dissipação plástica.

19


48/152

2.2.4.4 Tensões Residuais

O termo tensão residual é usado para denominar tensões existentes em estruturas na

ausência de carregamentos externos. As tensões residuais constituem um campo auto-

equilibrado de tensões.

As tensões residuais constituem um fator importante no estudo de fadiga de

componentes mecânicos . Porém, à luz da mecânica dos pavimentos este é um fator

pouco estudado e, consequentemente, pouco se sabe sobre sua influência no

desempenho dos pavimentos.

O campo de tensões residuais pode variar através de processos mecânicos, tratamento

químico ou transferência de calor, entre outros.

Se ocorre escoamento plástico em um ponto do material durante um ciclo de

carregamento então um campo de tensões residuais auto-equilibrado surgirá na

estrutura e permanecerá após o descarregamento. Além disso, no próximo ciclo de

carga estas tensões residuais irão interagir com as tensões induzidas no material pela

carga externa, produzindo diferente conjunto de deformações plásticas.

2.2.5 Aplicação da Teoria do Shakedown a Pavimentos Flexíveis

A aplicação da teoria do shakedown a pavimentos flexíveis pode parecer distante da

realidade do meio rodoviário. Entretanto é necessário esclarecer que o conceito do

shakedown é baseado no comportamento de campo observado do pavimento, e

totalmente apropriado para análise de sua performance, conforme constatações já no

fim da década de 1950, na pista experimental da AASTHO.

2.2.5.2 A Pista Experimental da AASHTO

A pista experimental da AASHTO gerou um largo e elaborado banco de dados a

respeito do desempenho do pavimento e sua relação com o tráfego e espessuras de

projeto. Algumas destas informações têm sido utilizadas para se verificar a

aplicabilidade da teoria do shakedown à performance dos pavimentos flexíveis.

20


49/152

A performance do pavimento foi obtida monitorando-se vários indicadores, tais como:

afundamento de trilha de roda e trincamento do revestimento, sendo quantificada pelo

PSI (Present Serviceability Index). Definiu-se performance do pavimento como a

variação do PSI com o tempo, ou tráfego.

A degradação total do pavimento é alcançada quando para e o shakedown foi

detectado através da estabilização do valor de PSI após certo número de aplicações de

carga. A figura 2.12 ilustra a ocorrência do shakedown nas estacas 581 e 333.

5,1≤ PSI

PSI

“N”

Fim da Vida Útil

Numeração das Estacas

Figura 2.12. Performance do Pavimento. Pista Experimental da AASHO. Extraído deSHARP e BOOKER (1984).

2.2.5.3 Análise de Deformação Plana em Semi Espaços.

Antes de se partir para uma análise do shakedown em pavimentos é necessário

estabelecer um modelo para simular o carregamento de rodas, ou pneus, atuante na

estrutura. Sharp e Booker utilizam o modelo do cilindro rolando no plano, conforme

ilustrado na figura 2.13.

21


50/152

Tráfeg

Subleito

P Carregamento

x

z y

Base

Direção de

Figura 2.13: Modelo Bidimensional de Carregamento de Tráfego. Extraído de Collins eBoulbibane (2000).

A tensão de contato em geral irá envolver componente normal e tangencial. O eixo z se

refere a vertical e o eixo y a uma direção lateral. Como o semi-espaço é homogêneo na

direção de tráfego, as tensões residuais tornam-se independentes de x. Isto porque cada

ponto na reta (y = constante e z = constante) experimenta a mesma história de tensões.

Procura-se atingir um estado de tensões mais próximo possível da realidade na vertical

passando pelo centro geométrico do cilindro. Entretanto, este modelo pode

superestimar as tensões atuantes em outras partes distintas da vertical.

2.2.5.4 Estudo de Johnson (1962)

Para a determinação do carregamento de shakedown, , JOHNSON(1962), citado por

COLLINS e BOULBIBANE(2000), utilizou um argumento ad hoc, notando que a

condição de plasticidade pode ser satisfeita se puder ser escolhido de tal forma que o

primeiro termo da equação a seguir desapareça

λ

ρ

2222 .)...(4

1k e

xz

e

zz

e

xx

≤+−+ σ λ σ λ ρ σ λ (2.43)

Neste caso o maior valor de para satisfazer 2.43 é (λ e xzk σ max/ ). Então, o

shakedown ocorrerá exatamente no ponto onde a magnitude da tensão cisalhante

elástica atinge seu máximo no semi-espaço.

22


51/152

2.2.5.5 O Método das Cônicas. Sharp e Booker (1984)

A primeira aplicação da Teoria do Shakedown para pavimentos deve-se a SHARP e

BOOKER (1984), juntamente com PONTER et al. (1985) em mecânica dos metais. Os

dois modelos diferem basicamente no modelo constitutivo usado para descrever o

comportamento plástico do material.

Sharp e Booker definem, alternativamente, o limite de shakedown como o maior valor

de para o qual tem-se uma situação de shakedown, sobre carregamento cíclico, tal

que:

λ

(V , onde:),(), V V H SDSD λµ λ =

H: máxima tensão cisalhante;V: máxima tensão normal;

µ : coeficiente de atrito mobilizado, =H/Vµ

A condição de equilíbrio é descrita da seguinte forma:

0..2..2....2),( 22 ≤+++++= k f g bha F XR XR XR XR λ σ λ λ σ σ λ σ , (2.44)

Onde:

λ : fator de carga;

XRσ : tensão residual horizontal;)(cos: 2 φ a ;

)).((sen)( 2 XE ZE XE ZE h σ σ φ σ σ +−−−= ;

2222 ).(sen.4)( XE ZE E XE ZE b σ σ φ τ σ σ +−+−= ;

)cos().sen(..2 φ φ c g −= ;

).(cos.sen..2 XE ZE c f σ σ φ φ +−= ;

)(cos.42

φ ck −= ;),,( E ZE XE τ σ σ : representa o estado de tensões no Ponto P(x,z);

c é a coesão e o ângulo de atrito.φ

F representa uma região e corresponde a uma cônica. Como a tensão

residual é independente de x, para cada profundidade z, uma família de cônicas pode

ser construída, para diversos x

0),( =λ σ XR F

i.

23


52/152

A área correspondente a interseção entre duas cônicas é chamada de zona do

shakedown, na profundidade z. Significa que qualquer ponto desta área corresponde a

um carregamento de shakedown na profundidade z, para qualquer coordenada xi.

O maior valor de na zona de shakedown é denotado por .λ )(max zλ

Como z varia , o menor valor de corresponde ao maior valor de para o qual a

condição de shakedown é mantida, ou seja:

)(max zλ λ

)( max0

λ λ ≥

= z

SD mim (2.45)

Por contradição, considere um correspondente a profundidade z)(max i zλ i. Se

então na profundidade z tem-se, necessariamente , a violação da

condição de shakedown e, obrigatoriamente, plastificação.

)()( 2max1max z z λ λ 〈

Dois tipos de máximo são possíveis na zona de shakedown, conforme ilustrado na

figura 2.14. No primeiro, o máximo é analítico e ocorre quando . Da

equação 2.43 e utilizando-se o critério de Von Mises, tem-se:

0/ = XRd d σ λ

).( XE ZE XR σ σ λ σ −= e k ZE =σ λ (2.46)

Figura 2.14: Domínio do shakedown para a profundidade z. SHARP e BOOKER (1984).

24


53/152

O segundo caso de máximo ocorre na interseção de duas elipses, correspondendo a dois

valores distintos de x. Este tipo de ruptura é chamado de shakedown plástico ou

plasticidade alternante, nos quais a trajetória de carregamento atinge a superfície de

ruptura em dois pontos distintos.Porém, em todos os casos investigados, o valor decorrespondeu ao máximo analítico, (COLLINS e BOULBIBANE, 2000).

SDλ

Implementaram os autores citados acima a análise descrita em um programa de

computador, inicialmente para um semi-espaço homogêneo e isotrópico e,

posteriormente, para um semi-espaço dividido em duas camadas.

Semi-Espaço de Duas Camadas

Os parâmetros elásticos ( e de resistência ( caracterizam um

pavimento genérico, conforme ilustrado na figura 2.15.

),,, 00 µ µ E E ),,, 00 φ φ cc

Figura 2.15: Parâmetros do Modelo Bidimensional de Sharp e Booker.

Os autores utilizaram o programa LAYELLIP para fazer uma série de cálculos, cujos

resultados podem ser analisados mediante a subdivisão em dois blocos: influência das

propriedades do material e influência da espessura da camada.

Influência da Espessura da Camada.

Um exame detalhado da figura 2.16 mostra que seções de curvas associadas a fadiga

da camada de superfície, de elevados valores de , são múltiplos da mesma curva

fonte.

0/ E E

25


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C a r g a d e S h a

k e d o w n

λ

. V / C

Rigidez Relativa E/Eo

Figura 2.16. Carga de Shakedown por SHARP e BOOKER (1984).

A principal conclusão que pode ser tirada da figura 2.16 bem como dainfluência da espessura da camada de superfície é o fato de que para uma dadacondição de , e espessura , existe um valor ótimo de rigidez relativa

, que maximiza a resistência do pavimento ao colapso.0/ cc D

0/ E E

2.2.5.6 Solução Numérica para Sistemas Multicamadas

Soluções numéricas para a teoria do shakedown aplicada a pavimentos flexíveis

surgiram inicialmente com SHARP e BOOKER (1984), na Austrália, e,

posteriormente, com RAAD, WEICHERT et al (1988, 1988a, 1988b) em três artigos do

Transportation Research Board dos EUA. MEDINA (1999) interpretou e traduziu

parcialmente a coletânea de trabalhos de RAAD et al, tendo disponibilizado seus

manuscritos para uma primeira publicação sobre a teoria do shakedown no Brasil. A

discussão que se segue é baseada nos manuscritos de MEDINA (1999) e nos de RAAD

et al (1988).

Na solução proposta por RAAD et al (1988b) considera-se o pavimento como um meio

contínuo estratificado, para o qual deve-se atender às condições de equilíbrio e

escoamento (ou ruptura), a partir de um campo de tensões residuais. É utilizado o

método dos elementos finitos com elementos quadrangulares para determinação das

forças e deslocamentos nos nós, além das tensões atuantes no centro de cada elemento.

As condições de carregamento externo e deslocamentos nos nós externos

compatibilizam a estrutura com um pavimento usual. São desprezados os efeitos de

inércia e viscosidade.

26


55/152

As principais variáveis do modelo são as seguintes:

(σij)o: tensão devido as forças de corpo (mássicas);

(σij)s: tensão devido as forças aplicadas estaticamente;

(σij)a: tensão devido as cargas repetidas;∆σij: incremento de tensão aplicado no centro de cada elemento;

Sxi, Syi: Resultantes das forças nos nós, nas direções x e y;

NP: número de pontos nodais da malha de elementos finitos;

f: função de escoamento, no caso representa o critério de Mohr-Coulomb

)2/45(.2)2/45(. 231 φ φ σ σ +−+−= Ctg tg f (2.47)

σ1, σ3: tensão principal maior e menor respectivamenteφ ,c : coesão e ângulo de atrito

A ruptura ocorre quando .0≥ f

A determinação da carga de acomodamento reduz-se, matematicamente, a minimizar a

função Q sujeita as restrições contidas na equações 2.49, 2.50, 2.51. Trata-se de um

típico problema de programação linear.

∑∑==

++−= NP

i yi

NP

i xi S S Q

1

2

1

2 )()(α α>0 (2.48)

α: fator de carga multiplicativo em relação as cargas repetidas;

0]).()()[( ≤∆+++ ijaij sijoij f σ σ α σ σ (2.49)

)2/45(..23 φ σ −−≥ tg C (2.50)

ijaij sijij σ σ α σ σ σ ∆+++= ).()()( 0 (2.51)

Ao se minimizar Q, com as restrições indicadas, obtém-se o valor máximo de α que,

multiplicado por , fornece a carga de acomodamento do sistema considerado.a f

RAAD et al (1988b) citam o algorítmo de busca desenvolvido por HOOKE e JEEVES(1961), que compreende as seguintes etapas:

27


56/152

(1) Determinar as tensões resultantes de Po, Fs e Fa (carga repetida aplicada

inicialmente);

(2) Encontrar o multiplicador de carga (αst) tal que (αst.Fa) cause escoamento no

elemento mais criticamente solicitado no sistema. Isto fará deslocar a busca paraa região de interesse;

(3) A busca inicia-se pela determinação de Q para αst e um conjunto de que

satisfaçam as condições restritivas das equações 2.49, 2.50, 2.51;

ijσ ∆

(4) Durante uma determinada sequência exploratória permite-se à variável (α) uma

alteração no sentido do decréscimo de Q. A cada variação de tensões ( )

permite-se algumas alterações, cada uma igual ao tamanho do passo e no

mesmo sentido, desde que a função objetiva (Q) diminua e as restrições

impostas sejam atentidas. Caso contrário, a sequência exploratória

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Antonio Carlos Guimarães2001