anumcomplx-1-versao-3-1

NÚMEROS COMPLEXOS

R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O

M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A

E – m a il g a b a r ito c e r to @ h o tm a il .c o m

Envie suas dúvidas e questões para

[email protected]

e saiba como receber o GABARITO comentado.

PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS COMENTADOS E–mail:

[email protected] [email protected]

[email protected]

ORKUT http://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391

BLOG www.gabaritocerto2.blogspot.com/

CODIGO DA APOSTILA

ANUMCOMPLX

NOSSOS LINKS E E-MAILS Nosso e-mail no Yahoo: [email protected] Nosso MSN [email protected]

Blog do Gabaritocerto: www.gabaritocerto2.blogspot.com/ Nosso e-mail no terra: [email protected] Nosso Orkut: http://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391

TENHA AULA ON LINE DESSA

APOSTILA PELO MSN

Estamos no Msn ([email protected])

Estamos on line todos os dias no período de

09:00 h às 11:00h e 21:00h às 23:00h PARA AGENDAR

SUA AULA ON LINE

Como receber o

Gabarito Comentado de todas as questões dessa

Apostila?

Veja como em nosso Blog

www.gabaritocerto2.blogspot.com/

ou envie

e-mail para

[email protected] ou

[email protected]

�

DIVULGUE ESTA OPORTUNIDADE PARA OUTRAS PESSOAS RECORTE O ANÚNCIO ABAIXO E AFIXE EM LOCAL DE DIVULGAÇÀO (ESCOLA, IGREJA, CONDOMÍNIO, ETC)

Desde já, agradeço. ––-�–––––-�–––––-�–––––-�–––––-�–––––-�–––

RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICA

FÍSICA QUÍMICA

Questões resolvidas e explicadas pela Internet.

1° e 2° graus, Supletivo, Reciclagem Vestibular, Concursos Públicos

RECEBA APOSTILA COM QUESTÕES

DE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO SOLICITE PELO E–MAIL ABAIXO

�

[email protected]

ou on line pelo MSN

[email protected]

nosso Blog

www.gabaritocerto2.blogspot.com

PROF. ANTONIO

RECORTE E DIVULGUE. Desde já agradecemos. Equipe gabaritocerto & Prof. Antonio

CONVITE

Seja um participante desta Equipe.

Ganhe dinheiro editando, resolvendo e comentando questões de matemática, física, química e outros assuntos e/ou disciplinas.

Ganhe dinheiro editando apostilas.

Saiba como participar

Envie e–mail para nossa Equipe com a seguinte

frase:

"Solicito informações de como participar da Equipe Gabaritocerto"

Dedico este trabalho a meu Pai

Antonio dos Santos

[email protected]

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: [email protected]

1

1. NÚMEROS COMPLEXOS

Antes de tentar compreender um assunto, você deve ter sempre em mente uma frase: “Isso é muito fácil” Vamos juntos decifrar o enigma dos NUMEROS COMPLEXOS. Todos os números que você conhece possui uma representação num EIXO de existência. O que é o EIXO DE EXISTÊNCIA ? O EIXO DE EXISTÊNCIA é o lugar geométrico do número. Por exemplo: O número 4 (quatro) está localizado no EIXO DE EXISTÊNCIA dos NÚMEROS REAIS, veja:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ Todos os números, (vou repetir...) TODOS OS NÚMEROS REAIS, eu disse REAIS, estão localizados no EIXO DE EXISTÊNCIA REAL. Quais são os números reais, você sabe? Se não sabe eu vou ajudá-lo a recordar... Os números reais são: Os NATURAIS, representados pela letra N. Por exemplo: {0, 1, 2, 3, 4, 5....} Os INTEIROS, representados pela letra Z. Por exemplo: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}, observe que essa CLASSE de números CONTÉM os Naturais, ou seja, os números naturais são os INTEIROS POSITIVOS. Concorda? Além dos dos NÚMEROS NATURAIS (N) e dos NÚMEROS INTEIROS (Z), existe a dos NÚMEROS RACIONAIS (de razão, divisão). OS NÚMEROS RACIONAIS, representados pela letra Q (de Quociente) é um número que representa parte, divisão, quociente... Apesar de na sua representação figurar dois numerais (numerador e denominador) ele é apenas UM NÚMERO.

Exemplos de Números Racionais: { -3, −5

2, -1, −

3

4 , 2, −

7

2}

Uma pergunta para você responder: (P1) Por que Números Naturais e Inteiros, são também RACIONAIS? Além dos Números Naturais (N), dos Inteiros (Z) e dos Racionais (Q), existe ainda no EIXO DE EXISTÊNCIA (DOMÍNIO) dos REAIS uma outra classe de números: OS NÚMEROS IRRACIONAIS, representados pela letra I. Os números Irracionais, como o próprio nome diz, I (Não) + rRacionais, são números que não admitem QUOCIENTE EXATO, ou DIVISÃO EXATA. Exemplos de números Irracionais: { Frações e Raízes que geram dízimas }

Ex.: { 2 , −10

3, 3 , π, e }

e = número neperiano = 2,78... (dízima aperiódica) Uma coisa importante que voce deve entender é que, uma CLASSE SUPERIOR assume sempre a INFERIOR. Ou seja, a Classe dos Inteiros, assume os Naturais, a Classe dos Racionais, assume os Naturais, e os Inteiros.

[email protected]


2

Cuidado agora! Os Irracionais pertencem a UMA CLASSE ESTRANHA, ou seja eles NÃO ASSUMEM as propriedades dos RACIONAIS!!! Esquematicamente tem-se a seguinte visualização:

N Z Q

I

Qualquer número pertencente a qualquer destes CONJUNTOS, terá sua representação geométrica no EIXO DE EXISTÊNCIA REAL. (P2) Represente geométricamente os seguintes números:

A = 5 B = -3 C = 3

4 D = 2 E = π W = e

Agora que você entendeu que o número possui representação geométrica vejamos de perto o que são os NÚMEROS COMPLEXOS (C). O NÚMERO COMPLEXO é um tipo de número que ASSUMIU o REAL e um outro tipo de número: O IMAGINÁRIO. Observe que todo número Real é Complexo, mas nem todo Complexo é Real. O importante é saber que existe um certo tipo de número que NÃO ADMITE representação no EIXO DE EXISTÊNCIA REAL, ou seja: um número que “fugiu” à regra do REAL e “caiu” no conceito IMAGINÁRIO. Ora! se o número é imaginário ele não pode ser representado no EIXO REAL, então CRIOU-SE UM EIXO IMAGINÁRIO. Vejamos como ficou a base para se representar tanto NÚMEROS REAIS quanto os IMAGINÁRIOS.

0 1 2 3 4 5- 2 - 1 ℜℜℜℜ

- 3

- 2

- 1

1

2

- 5

- 4

C

3

E ix o d e e x is tê n c iad o n ú m e r oim a g in á r io

E ix o d ee x is tê n c ia d on ú m e r o R e a l

Observe que além do EIXO REAL (ℜ) existe um EIXO IMAGINÁRIO (C), definindo um LOCAL GEOMÉTRICO BIDIMENSIONAL, ou seja de duas dimensões, um lugar geométrico PLANO, onde o NÚMERO será representado por DUAS GRANDEZAS, uma GRANDEZA REAL, no EIXO REAL, e uma IMAGINÁRIA, no EIXO IMAGINÁRIO. (P3) Represente Geométricamente, utilizando o Plano (ℜ x C), os números:

[email protected]


3

A = 3 B = 3 + 2i C = -2i D = - 4 - 3i Solução:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-3

-2

-1

1

2

-5

-4

C

3

-5 -4 -3

A

B

A

C

D

NÚMEROS COMPLEXOS - 2° Parte. Foi visto anteriormente que o Número Complexo está geometricamente representado num plano bidimensional, constituído de um EIXO VERTICAL, que representa o lugar dos imaginários (C) e o EIXO HORIZONTAL, que representa o lugar dos reais (ℜ). Voce agora sabe que o NÚMERO possui DUAS QUALIDADES A qualidade IMAGINÁRIA E A qualidade REAL. Se voce pretende DOMINAR o assunto dos Números Complexos, o primeiro passo é identificar corretamente essas QUALIDADES, pois TUDO está em FUNÇÃO delas (das qualidades) – Parte Real e Parte Imaginária. COMO PODEMOS IDENTIFICAR ESSAS QUALIDADES NO NÚMERO COMPLEXO??? É muito simples. Vejamos, por exemplo, quais são as qualidades do número, Z = 3 + 4 i Primeiramente aqui vai um ALERTA!!!. A adição 3 + 4i, NÃO É UMA SOMA!!!, pois não se pode somar coisas distintas. (Real + Imaginário). O sinal de +, estabelece uma complementação e não uma adição no sentido usual. Bem, vejamos... A QUALIDADE REAL do número Z é o número 3, pelo fato de não haver nele a indicação i. Já a QUALIDADE IMAGINÁRIA é o número 4, (e não 4i, como se poderia pensar). Assim podemos dizer que o número Z tem uma Parte Real, que chamaremos de a, (a =3) e uma parte imaginária, que chamaremos de b, (b=4).

[email protected]


4

Conhecendo as qualidades podemos REPRESENTÁR O NÚMERO Z no PLANO.

0 3 ℜ

C

-5

Z4

Representação gráficado número Z.

O número ficarepresentado num

plano

ParteImaginária

b = 4

Parte Reala = 3

O ponto Z, define o número Z = 3 + 4i. Desta forma, CONHECENDO AS QUALIDADES (Parte Real, a e Parte imaginária b) podemos facilmente LOCALIZAR a POSISÃO DO NÚMERO COMPLEXO. O TAMANHO DE UM NÚMERO é também definido como sendo o seu MÓDULO. O MÓDULO de um número é UMA DISTÂNCIA que vai da sua POSIÇÃO ATÉ À ORIGEM. No nosso exemplo o MÓDULO (distância) do número Z, será dado por:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-2

-1

1

2

C

3

-5 -4 -3

Z4

5

Representação do número Z

Parte Imagináriab = 4

Parte Reala = 3

ρz

Representação do MÓDULOdo número Z (ρz)

Não CONFUNDIR, MÓDULO DE UM NÚMERO COM REPRESENTAÇÃO DO NÚMERO.

[email protected]


5

O MÓDULO DO NÚMERO Z, (ρz) é o seu tamanho, onde ρ representa a letra grega rô. O MÓDULO de um número pode ser representado assim: Z Desta forma, voce, usando do aspecto gráfico poderá COMPARAR os tamanhos, os módulos dos números, ou seja voce poderá dizer com certeza, sem usar fórmulas e cálculos, qual número possui maior ou menor módulo ρ. Vejamos um exemplo: Coloque os números abaixo em ordem crescente de módulo: Z = 3 + 4i K = 2 W = 2 + 5i T = 6i R = - 3 - 2i Representando graficamente a Posição e o “Módulo” de cada um deles temos:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-2

-1

1

2

C

3

-5 -4

-3

4

5

Z = 3 + 4i

W = 2 + 5i6T = 6i

R = -3 - 2iK = 2

Da análise gráfica, podemos dizer que K < R < Z < W < T. Utilizando a análise gráfica em alguns casos fica fácil estabelecer o valor exato do módulo de um número. Veja por exemplo o número K e o número T. Pela simples análise gráfica fica claro que seus módulos valem respectivamente 2 e 6, ou seja ρK = 2 e ρT = 6. Observe que para identificar o módulo do número Z, fica mais dificil, pois seu “tamanho” não está apoiado em nenhum EIXO. O MÓDULO do número Z é uma HIPOTENUSA dos catetos a = 3 e b = 4, observe a figura:

[email protected]


6

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-2

-1

1

2

C

3

-5 -4

-3

4

5

Z = 3 + 4i

6

Z

b = 4

a = 3

Utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS, temos:

Z a b2 2 2= +

Assim no nosso exemplo, como Z = 3 + 4i, temos a = 3 e b = 4, logo:

Z 2 32 42= +

Z 2 9 16= +

Z 2 25=

Z = 25

Z = 5

O Módulo do Número Z vale 5. Agora que voce sabe identificar graficamente e calcular o valor exato do MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO, voce poderá entender o que é o ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO. O QUE É ARGUMENTO? Bem, voce viu que o MÓDULO é uma distância, ou uma reta, que vai da origem até o ponto representativo do número. Muito bem... Aquela reta que representa o MÓDULO faz um ângulo com o eixo dos Reais (ℜ ), a esse ÂNGULO foi dado o nome de ARGUMENTO. Entendeu... ARGUMENTO é o ANGULO que o Módulo faz com o eixo dos Reais (ℜ ). Podemos calcular um ângulo por dois processos: Primeiro Processo: Usando um Transferidor e tenho certeza de que você não deve ter um à mão no momento, mas não se desespere, pois existe um segundo processo... Segundo Processo: Usando as funções trigonométricas do triangulo retangulo: (seno, cosseno, tangente)

[email protected]


7

Por esse processo voce descobrirá facilmente o seno, cosseno ou a tangente do ARGUMENTO, ou seja do ANGULO e com uso de Tábuas (Tabelas) Trigonométricas, poderá verificar o valor aproximado ou exato do ARGUMENTO.

� CUIDADO!!!. O Processo não fornece no primeiro momento o valor do ARGUMENTO (angulo) mas sim o valor do SENO, COSSENO ou TANGENTE desse ARGUMENTO (angulo). O valor exato do argumento DEPENDERÁ de uma pesquisa posterior numa tabela de valores trigonométricos ou na sua CALCULADORA CIENTÍFICA. Vejamos então como determinar o ARGUMENTO DO NÚMERO Z, do nosso Exemplo:

0 3 ℜ

C

4

Z = 3 + 4i

Z

b = 4

a = 3

θθθθZ

Argumento do número Z

Observe que o TRIÂNGULO DA FIGURA, possui todos os elementos para se poder definir o Seno, Cosseno ou a Tangente do angulo θZ, que é o nosso ARGUMENTO. Então relembrando.... Num Triângulo Retângulo, como o da figura acima, o SENO de θZ, é dado por

Sen zcateto opoHipotenusa

bZ

( )θ = = =sto 4

5

� Cuidado!!! 4

5, não é o valor do Argumento!!!

Atenção. 4

5, é o valor do Seno do Argumento!!!

[email protected]


8

Para que voce conheça o Valor do Argumento, ou seja do ângulo, voce deverá localizar na tabela ou na calculadora científica o Angulo que corresponde ao seno de 4/5 ou 0,8. Voce deverá encontrar um valor aproximadamente igual a 53° Voce poderia, ao invés de usar o seno, usar o COSSENO, para tanto o procedimento seria: Num Triângulo Retângulo, como o da figura acima, o COSSENO de θZ, é dado por

Cos zcateto adj

HipotenusaaZ

( )θ = = =acente 3

5

� Cuidado!!! da mesma forma como foi alertado no Seno... 3

5 não é o valor do Argumento!!! mas sim o valor do cosseno do

Argumento!!! Para que voce conheça o Valor do Argumento, ou seja do ângulo, voce deverá localizar na tabela ou na calculadora científica o Angulo que corresponde ao cosseno de 3/5 ou 0,6. Voce deverá encontrar um valor aproximadamente igual a 53° Além do recurso de seno e cosseno, voce tambem pode usar o recurso da TANGENTE. Num Triângulo Retângulo, como o da figura acima, A TANGENTE de θZ, é dado por

Tg zcateto opo

cateto adjba

( )θ = = =sto

acente4

3

� Cuidado!!! 4

3 não é o valor do Argumento!!! mas como antes dito, o valor da tangente

do argumento. Da mesma forma para que voce conheça o Valor do Argumento, ou seja do ângulo, voce deverá localizar na tabela ou na calculadora científica o Angulo que corresponde à tangente de 4/3 ou 1,33. Voce deverá encontrar um valor aproximadamente igual a 53°. IMPORTANTE.... O Cálculo do ARGUMENTO pelo Seno ou Cosseno, requer o conhecimento prévio do MÓDULO (que representa a hipotenusa, verifique...), porém usando o recurso da TANGENTE, não será necessário o conhecimento do módulo,

[email protected]


9

bastando, tão somente o conhecimento do valor da parte real e da parte imaginária (a e b), o que facilita bastante a resolução. Exercício para ser entregue e postado: Determine o módulo e o argumento de cada um dos número complexos abaixo K = 2 W = 2 + 5i T = 6i R = - 3 - 2i

RESUMO GERAL FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Z = a ± b.i, onde a é a parte real do complexo, b.i é a parte imaginária e b é o coeficiente da parte imaginária. Se a = 0, então teremos um imaginário puro (não possui parte real). CONJUGADO DE UM COMPLEXO

Seja Z um complexo: Z a bi==== ++++ , seu conjugado será dado por Z a bi==== −−−− MÓDULO DE UM COMPLEXO

Seja Z um complexo Z a bi==== ++++ , seu módulo será dado por Z a b==== ++++2 2

ARGUMENTO DE UM COMPLEXO

θθθθ ==== arcsenb

Z, ou seja θθθθ ====

++++arcsen

b

a b2 2

também pode ser obtido a partir de:

θθθθ ==== arccosa

Z, ou seja θθθθ ====

++++arccos

a

a b2 2

onde a e b representam a parte real e imáginária do complexo, respectivamente. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM COMPLEXO

(((( ))))Z Z i==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅cos senθθθθ θθθθ

POTENCIAÇÃO DE UM COMPLEXO

( ) ( )( )Z Z n i nn n= ⋅ + ⋅cos . sen .θ θ

[email protected]


10

1.1] NUMEROS COMPLEXOS - EXERCÍCIOS PROGRAMADOS

Dados os complexos Z = -2 + 2i W = 3 + 4i U = - 4i S = -9 T = -6 + 8i Determine:

1.1.1] A parte Real de cada um deles

1.1.2] A parte Imaginária de cada um deles

1.1.3] O coeficiente da parte imaginária de cada um deles

1.1.4] O conjugado de cada um deles

1.1.5] O módulo de cada um deles

1.1.6] O argumento de cada um deles

1.1.7] Determine Z3 . W2

1.1.8] Represente Graficamente cada um dos números complexos dados

1.1.9] Escreva na forma trigonométrica cada um deles.

1.1.10] Determine o valor de −−−−4

1.1.11] Resolva a equação: x2 - 4x + 5 = 0

1.1.12] Efetue (1 + i)2

1.1.13] Efetue i -41

1.1.14] Demonstre que i-1 = -i

1.1.15] Calcule o valor de i1998

1.1.16] Calcule o conjugado do complexo Zii

=+

−

1 32

1.1.17] Represente graficamente e calcule o valor do módulo do complexo R = -5 + 5.i

1.1.18] Determine Z, sabendo-se que i . Z + 2.W + 1 - i = 0, onde W é o conjugado de Z.

[email protected]


11

1.1.19] Se u = 4 + 3 i e v = 5 - 2 i , calcule u.v e u/v :

1.1.20] Qual o valor de m para que o produto ( ).( )2 3+ +mi i , seja um imaginário puro?

1.1.21] Calcule o valor de 121( )− i :

1.1.22] Se u = (1 + i ) e v = (1 - i ) . Calcule 52 51u v.

− :

1.1.23] Calcule 12 121 1( ) ( )+ −−i i :

1.1.24] O produto de 2 + bi pelo seu conjugado é 13, com b ∈ℜ , quais os possíveis valores de b ?

1.1.25] Determine o conjugado do complexo 1 3

2

+

−

i

i :

1.1.26] Calcule o valor da soma s i i i i i= + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +1 2 3 4 100

1.1.27] Determine o módulo do complexo 41 3( )+ i :

1.1.28] Determine o módulo do complexo tal que Z i2 = :

1.1.29] O módulo de um complexo é 2 , e seu argumento principal é 5

4

π, sua forma algébrica é...

1.1.30] O número complexo Z x yi= + , é tal que Z − =3 2 , então, x e

y , estão entre que valores inteiros?

1.1.31] A representação geométrica dos números complexos Z e W é a da figura abaixo, determine a representação geométrica do produto Z.W :

1.1.32] Representando-se no plano complexo os números complexos Z

tais que Z Zi2 = , o número de pontos obtidos é:

[email protected]


12

1.1.33] Representar no plano complexo os números Z tais que:

(i) Z ≤ 2 e (i i) Z − =1 2

1.1.34] Passar para a forma trigonométrica o complexo: ( )

Zi

i=

−

+2

11

:

1.1.35] Se Z cis1 2 32= ⋅ ° e Z cis2 3 58= ⋅ ° , determine ( )4

1 2Z Z⋅

1.1.36] Calcule o valor da expressão

109

2

2

2

2+ ⋅

i :

1.1.37] Resolver em c a equação x6 1=

1.1.38] Se o número Complexo Z i= −1 , é uma das raízes da equação

x a10 0− = , calcule a :

1.1.39] Determine o menor inteiro n >>>> 0 , de modo que 3

2

1

2+ ⋅

i

n

,

seja real e positivo:

1.1.40] Determine as raízes quadradas de Z i= + ⋅1

2

3

2 :

Gabaritocerto informa:

• Agora você pode participar de Grupos de Estudo e ter Aulas Particulares pelo MSN adicionando [email protected] ou

• Eis aí uma grande oportunidade! • Projeto Organizado. Você agenda o dia e a hora das aulas e

das explicações. • Você organiza o grupo e terá as aulas e as explicações on

line em tempo real. • Adicione nosso e-mail: [email protected] em seu

MSN e tenha acesso direto às AULAS PARTICULARES ON LINE VIA MSN.

• Entre em contato. Gabaritocerto está on line.

Nosso Objetivo:

• Desenvolver a atividade educacional em todo o mundo utilizando os recursos tecnológicos disponíveis e Proporcionar a todos os integrantes um pólo de assessoria educacional.

Projetos desenvolvidos:

• Aulas Particulares On-Line através do MSN. • Estamos on line todos os dias das 09 as 11h e das 21 às

23h. • Resolução de Exercícios On Line no MSN. • Blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com/ • Blog no Orkut: (Link abaixo) • http://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391

Divisão das Atividades

• Atividades Gratuitas e • Atividades com custo.

Como Funcionam as Aulas Particulares On-Line?

• As AULAS PARTICULARES ON LINE são ministradas em tempo real pelo MSN, utilizando-se dos recursos de voz e vídeo. A AULA PARTICULAR ON LINE é exclusiva, ou seja, a conexão não é compartilhada com outro computador.

• Através do MSN, o interessado adiciona o nosso e-mail ([email protected]) e tenha acesso às aulas on line.

• A Aula Particular On-Line é ministrada em tempo real individualmente. O interessado poderá ver e ouvir o professor, bem como o quadro branco com os desenvolvimentos das questões e explicações, tudo em tempo real!!!

• Não é aula gravada!. O interessado agenda o horário da aula no MSN.

• Explicações, resoluções de problemas, fixação e demonstração dos conceitos cobrados em concursos.

• O interessado deve possuir recurso de vídeo (webcam) e voz (microfone).

• O interessado pode a seu critério convidar outras pessoas para assistir as aulas em seu computador (Grupo de Estudo, por exemplo).

• IMPORTANTE: O interessado deve agendar antecipadamente a Aula Particular On Line em entrevista on line com o professor através do MSN.

Horários de atendimento: • Estamos on line para marcações de segunda a sexta

das 09 as 11h e das 21 as 23 horas. • Durante a entrevista on line pelo MSN, agenda-se o

horário.

Valor: Veja em nosso Blog

www.gabaritocerto2.blogspot.com/

ou envie e-mail para:

[email protected] ou

[email protected]

Acesso: Livre. Estudantes, Professores, etc. Modo de Acesso: Internet. No (Mensenger) MSN, no e-mail: [email protected] Área de atuação: Todas as disciplinas (Nível 1º e 2º graus)

Prof. Antonio.

Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto. Nossa central de atendimento no MSN

[email protected] (Segunda a sexta: das 09 as 11h e das 21 as 23 h)

Documents

anumcomplx-1-versao-3-1