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NÚMEROS COMPLEXOS COM

GABARITO COMENTADO

R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O

M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A

E – m a il g a b a r ito c e r to @ h o tm a il .c o m

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1

1. NÚMEROS COMPLEXOS

Antes de tentar compreender um assunto, você deve ter sempre em mente uma frase: “Isso é muito fácil” Vamos juntos decifrar o enigma dos NUMEROS COMPLEXOS. Todos os números que você conhece possui uma representação num EIXO de existência. O que é o EIXO DE EXISTÊNCIA ? O EIXO DE EXISTÊNCIA é o lugar geométrico do número. Por exemplo: O número 4 (quatro) está localizado no EIXO DE EXISTÊNCIA dos NÚMEROS REAIS, veja:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ Todos os números, (vou repetir...) TODOS OS NÚMEROS REAIS, eu disse REAIS, estão localizados no EIXO DE EXISTÊNCIA REAL. Quais são os números reais, você sabe? Se não sabe eu vou ajudá-lo a recordar... Os números reais são: Os NATURAIS, representados pela letra N. Por exemplo: {0, 1, 2, 3, 4, 5....} Os INTEIROS, representados pela letra Z. Por exemplo: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}, observe que essa CLASSE de números CONTÉM os Naturais, ou seja, os números naturais são os INTEIROS POSITIVOS. Concorda? Além dos dos NÚMEROS NATURAIS (N) e dos NÚMEROS INTEIROS (Z), existe a dos NÚMEROS RACIONAIS (de razão, divisão). OS NÚMEROS RACIONAIS, representados pela letra Q (de Quociente) é um número que representa parte, divisão, quociente... Apesar de na sua representação figurar dois numerais (numerador e denominador) ele é apenas UM NÚMERO.

Exemplos de Números Racionais: { -3, −5

2, -1, −

3

4 , 2, −

7

2}

Uma pergunta para você responder: (P1) Por que Números Naturais e Inteiros, são também RACIONAIS? Além dos Números Naturais (N), dos Inteiros (Z) e dos Racionais (Q), existe ainda no EIXO DE EXISTÊNCIA (DOMÍNIO) dos REAIS uma outra classe de números: OS NÚMEROS IRRACIONAIS, representados pela letra I. Os números Irracionais, como o próprio nome diz, I (Não) + rRacionais, são números que não admitem QUOCIENTE EXATO, ou DIVISÃO EXATA. Exemplos de números Irracionais: { Frações e Raízes que geram dízimas }

Ex.: { 2 , −10

3, 3 , π, e }

e = número neperiano = 2,78... (dízima aperiódica) Uma coisa importante que voce deve entender é que, uma CLASSE SUPERIOR assume sempre a INFERIOR. Ou seja, a Classe dos Inteiros, assume os Naturais, a Classe dos Racionais, assume os Naturais, e os Inteiros.

[email protected]


2

Cuidado agora! Os Irracionais pertencem a UMA CLASSE ESTRANHA, ou seja eles NÃO ASSUMEM as propriedades dos RACIONAIS!!! Esquematicamente tem-se a seguinte visualização:

N Z Q

I

Qualquer número pertencente a qualquer destes CONJUNTOS, terá sua representação geométrica no EIXO DE EXISTÊNCIA REAL. (P2) Represente geométricamente os seguintes números:

A = 5 B = -3 C = 3

4 D = 2 E = π W = e

Agora que você entendeu que o número possui representação geométrica vejamos de perto o que são os NÚMEROS COMPLEXOS (C). O NÚMERO COMPLEXO é um tipo de número que ASSUMIU o REAL e um outro tipo de número: O IMAGINÁRIO. Observe que todo número Real é Complexo, mas nem todo Complexo é Real. O importante é saber que existe um certo tipo de número que NÃO ADMITE representação no EIXO DE EXISTÊNCIA REAL, ou seja: um número que “fugiu” à regra do REAL e “caiu” no conceito IMAGINÁRIO. Ora! se o número é imaginário ele não pode ser representado no EIXO REAL, então CRIOU-SE UM EIXO IMAGINÁRIO. Vejamos como ficou a base para se representar tanto NÚMEROS REAIS quanto os IMAGINÁRIOS.

0 1 2 3 4 5- 2 - 1 ℜℜℜℜ

- 3

- 2

- 1

1

2

- 5

- 4

C

3

E ix o d e e x is tê n c iad o n ú m e r oim a g in á r io

E ix o d ee x is tê n c ia d on ú m e r o R e a l

Observe que além do EIXO REAL (ℜ) existe um EIXO IMAGINÁRIO (C), definindo um LOCAL GEOMÉTRICO BIDIMENSIONAL, ou seja de duas dimensões, um lugar geométrico PLANO, onde o NÚMERO será representado por DUAS GRANDEZAS, uma GRANDEZA REAL, no EIXO REAL, e uma IMAGINÁRIA, no EIXO IMAGINÁRIO. (P3) Represente Geométricamente, utilizando o Plano (ℜ x C), os números:

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3

A = 3 B = 3 + 2i C = -2i D = - 4 - 3i Solução:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-3

-2

-1

1

2

-5

-4

C

3

-5 -4 -3

A

B

A

C

D

NÚMEROS COMPLEXOS - 2° Parte. Foi visto anteriormente que o Número Complexo está geometricamente representado num plano bidimensional, constituído de um EIXO VERTICAL, que representa o lugar dos imaginários (C) e o EIXO HORIZONTAL, que representa o lugar dos reais (ℜ). Voce agora sabe que o NÚMERO possui DUAS QUALIDADES A qualidade IMAGINÁRIA E A qualidade REAL. Se voce pretende DOMINAR o assunto dos Números Complexos, o primeiro passo é identificar corretamente essas QUALIDADES, pois TUDO está em FUNÇÃO delas (das qualidades) – Parte Real e Parte Imaginária. COMO PODEMOS IDENTIFICAR ESSAS QUALIDADES NO NÚMERO COMPLEXO??? É muito simples. Vejamos, por exemplo, quais são as qualidades do número, Z = 3 + 4 i Primeiramente aqui vai um ALERTA!!!. A adição 3 + 4i, NÃO É UMA SOMA!!!, pois não se pode somar coisas distintas. (Real + Imaginário). O sinal de +, estabelece uma complementação e não uma adição no sentido usual. Bem, vejamos... A QUALIDADE REAL do número Z é o número 3, pelo fato de não haver nele a indicação i. Já a QUALIDADE IMAGINÁRIA é o número 4, (e não 4i, como se poderia pensar). Assim podemos dizer que o número Z tem uma Parte Real, que chamaremos de a, (a =3) e uma parte imaginária, que chamaremos de b, (b=4).

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4

Conhecendo as qualidades podemos REPRESENTÁR O NÚMERO Z no PLANO.

0 3 ℜ

C

-5

Z4

Representação gráficado número Z.

O número ficarepresentado num

plano

ParteImaginária

b = 4

Parte Reala = 3

O ponto Z, define o número Z = 3 + 4i. Desta forma, CONHECENDO AS QUALIDADES (Parte Real, a e Parte imaginária b) podemos facilmente LOCALIZAR a POSISÃO DO NÚMERO COMPLEXO. O TAMANHO DE UM NÚMERO é também definido como sendo o seu MÓDULO. O MÓDULO de um número é UMA DISTÂNCIA que vai da sua POSIÇÃO ATÉ À ORIGEM. No nosso exemplo o MÓDULO (distância) do número Z, será dado por:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-2

-1

1

2

C

3

-5 -4 -3

Z4

5

Representação do número Z

Parte Imagináriab = 4

Parte Reala = 3

ρz

Representação do MÓDULOdo número Z (ρz)

Não CONFUNDIR, MÓDULO DE UM NÚMERO COM REPRESENTAÇÃO DO NÚMERO.

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5

O MÓDULO DO NÚMERO Z, (ρz) é o seu tamanho, onde ρ representa a letra grega rô. O MÓDULO de um número pode ser representado assim: Z Desta forma, voce, usando do aspecto gráfico poderá COMPARAR os tamanhos, os módulos dos números, ou seja voce poderá dizer com certeza, sem usar fórmulas e cálculos, qual número possui maior ou menor módulo ρ. Vejamos um exemplo: Coloque os números abaixo em ordem crescente de módulo: Z = 3 + 4i K = 2 W = 2 + 5i T = 6i R = - 3 - 2i Representando graficamente a Posição e o “Módulo” de cada um deles temos:

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-2

-1

1

2

C

3

-5 -4

-3

4

5

Z = 3 + 4i

W = 2 + 5i6T = 6i

R = -3 - 2iK = 2

Da análise gráfica, podemos dizer que K < R < Z < W < T. Utilizando a análise gráfica em alguns casos fica fácil estabelecer o valor exato do módulo de um número. Veja por exemplo o número K e o número T. Pela simples análise gráfica fica claro que seus módulos valem respectivamente 2 e 6, ou seja ρK = 2 e ρT = 6. Observe que para identificar o módulo do número Z, fica mais dificil, pois seu “tamanho” não está apoiado em nenhum EIXO. O MÓDULO do número Z é uma HIPOTENUSA dos catetos a = 3 e b = 4, observe a figura:

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6

0 1 2 3 4 5-2 -1 ℜ

-2

-1

1

2

C

3

-5 -4

-3

4

5

Z = 3 + 4i

6

Z

b = 4

a = 3

Utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS, temos:

Z a b2 2 2= +

Assim no nosso exemplo, como Z = 3 + 4i, temos a = 3 e b = 4, logo:

Z 2 32 42= +

Z 2 9 16= +

Z 2 25=

Z = 25

Z = 5

O Módulo do Número Z vale 5. Agora que voce sabe identificar graficamente e calcular o valor exato do MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO, voce poderá entender o que é o ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO. O QUE É ARGUMENTO? Bem, voce viu que o MÓDULO é uma distância, ou uma reta, que vai da origem até o ponto representativo do número. Muito bem... Aquela reta que representa o MÓDULO faz um ângulo com o eixo dos Reais (ℜ ), a esse ÂNGULO foi dado o nome de ARGUMENTO. Entendeu... ARGUMENTO é o ANGULO que o Módulo faz com o eixo dos Reais (ℜ ). Podemos calcular um ângulo por dois processos: Primeiro Processo: Usando um Transferidor e tenho certeza de que você não deve ter um à mão no momento, mas não se desespere, pois existe um segundo processo... Segundo Processo: Usando as funções trigonométricas do triangulo retangulo: (seno, cosseno, tangente)

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7

Por esse processo voce descobrirá facilmente o seno, cosseno ou a tangente do ARGUMENTO, ou seja do ANGULO e com uso de Tábuas (Tabelas) Trigonométricas, poderá verificar o valor aproximado ou exato do ARGUMENTO.

� CUIDADO!!!. O Processo não fornece no primeiro momento o valor do ARGUMENTO (angulo) mas sim o valor do SENO, COSSENO ou TANGENTE desse ARGUMENTO (angulo). O valor exato do argumento DEPENDERÁ de uma pesquisa posterior numa tabela de valores trigonométricos ou na sua CALCULADORA CIENTÍFICA. Vejamos então como determinar o ARGUMENTO DO NÚMERO Z, do nosso Exemplo:

0 3 ℜ

C

4

Z = 3 + 4i

Z

b = 4

a = 3

θθθθZ

Argumento do número Z

Observe que o TRIÂNGULO DA FIGURA, possui todos os elementos para se poder definir o Seno, Cosseno ou a Tangente do angulo θZ, que é o nosso ARGUMENTO. Então relembrando.... Num Triângulo Retângulo, como o da figura acima, o SENO de θZ, é dado por

Sen zcateto opoHipotenusa

bZ

( )θ = = =sto 4

5

� Cuidado!!! 4

5, não é o valor do Argumento!!!

Atenção. 4

5, é o valor do Seno do Argumento!!!

[email protected]


8

Para que voce conheça o Valor do Argumento, ou seja do ângulo, voce deverá localizar na tabela ou na calculadora científica o Angulo que corresponde ao seno de 4/5 ou 0,8. Voce deverá encontrar um valor aproximadamente igual a 53° Voce poderia, ao invés de usar o seno, usar o COSSENO, para tanto o procedimento seria: Num Triângulo Retângulo, como o da figura acima, o COSSENO de θZ, é dado por

Cos zcateto adj

HipotenusaaZ

( )θ = = =acente 3

5

� Cuidado!!! da mesma forma como foi alertado no Seno... 3

5 não é o valor do Argumento!!! mas sim o valor do cosseno do

Argumento!!! Para que voce conheça o Valor do Argumento, ou seja do ângulo, voce deverá localizar na tabela ou na calculadora científica o Angulo que corresponde ao cosseno de 3/5 ou 0,6. Voce deverá encontrar um valor aproximadamente igual a 53° Além do recurso de seno e cosseno, voce tambem pode usar o recurso da TANGENTE. Num Triângulo Retângulo, como o da figura acima, A TANGENTE de θZ, é dado por

Tg zcateto opo

cateto adjba

( )θ = = =sto

acente4

3

� Cuidado!!! 4

3 não é o valor do Argumento!!! mas como antes dito, o valor da tangente

do argumento. Da mesma forma para que voce conheça o Valor do Argumento, ou seja do ângulo, voce deverá localizar na tabela ou na calculadora científica o Angulo que corresponde à tangente de 4/3 ou 1,33. Voce deverá encontrar um valor aproximadamente igual a 53°. IMPORTANTE.... O Cálculo do ARGUMENTO pelo Seno ou Cosseno, requer o conhecimento prévio do MÓDULO (que representa a hipotenusa, verifique...), porém usando o recurso da TANGENTE, não será necessário o conhecimento do módulo,

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9

bastando, tão somente o conhecimento do valor da parte real e da parte imaginária (a e b), o que facilita bastante a resolução. Exercício para ser entregue e postado: Determine o módulo e o argumento de cada um dos número complexos abaixo K = 2 W = 2 + 5i T = 6i R = - 3 - 2i

RESUMO GERAL FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Z = a ± b.i, onde a é a parte real do complexo, b.i é a parte imaginária e b é o coeficiente da parte imaginária. Se a = 0, então teremos um imaginário puro (não possui parte real). CONJUGADO DE UM COMPLEXO

Seja Z um complexo: Z a bi==== ++++ , seu conjugado será dado por Z a bi==== −−−− MÓDULO DE UM COMPLEXO

Seja Z um complexo Z a bi==== ++++ , seu módulo será dado por Z a b==== ++++2 2

ARGUMENTO DE UM COMPLEXO

θθθθ ==== arcsenb

Z, ou seja θθθθ ====

++++arcsen

b

a b2 2

também pode ser obtido a partir de:

θθθθ ==== arccosa

Z, ou seja θθθθ ====

++++arccos

a

a b2 2

onde a e b representam a parte real e imáginária do complexo, respectivamente. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM COMPLEXO

(((( ))))Z Z i==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅cos senθθθθ θθθθ

POTENCIAÇÃO DE UM COMPLEXO

( ) ( )( )Z Z n i nn n= ⋅ + ⋅cos . sen .θ θ

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10

1.1] NUMEROS COMPLEXOS - EXERCÍCIOS PROGRAMADOS

Dados os complexos Z = -2 + 2i W = 3 + 4i U = - 4i S = -9 T = -6 + 8i Determine:

1.1.1] A parte Real de cada um deles

Resp. Z = -2 W = 3 U = 0 S =-9 T = -6

1.1.2] A parte Imaginária de cada um deles

Resp. Z = 2i W = 4i U = -4i S = 0i T = 8i

1.1.3] O coeficiente da parte imaginária de cada um deles

Resp. Z = 2 W =4 U = -4 S = 0 T = 8

1.1.4] O conjugado de cada um deles

iZ 22 −−= iW 43 −=

iU 4= 9−=S

iT 86 −−=

1.1.5] O módulo de cada um deles

a) Assim como iZ 22 +−= , temos a = -2 e b = 2, logo:

( ) ( )22222 +−=Z

442

+=Z

82

=Z

8=Z

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11

22=Z

O Módulo do Número Z vale . 22 b) Assim como iW 43 += , temos a = 3 e b = 4, logo:

( ) ( )22243 +=W

1692

+=W

252

=W

25=W

5=W

O Módulo do Número W vale 5 c) Assim como iU 4−= , temos a = 0 e b = -4, logo:

( ) ( )22240 −+=U

4=U

O Módulo do Número U vale 4 d) Assim como 9−=S , temos a = -9 e b = 0, logo:

( ) ( )22209 +−=S

9=S

O Módulo do Número S vale 9 e) Assim como iT 86 +−= , temos a = -6 e b = 8, logo:

( ) ( )22286 ++−=T

64362

+=T

1002

=T

100=T

10=T

O Módulo do Número T vale 10

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12

1.1.6] O argumento de cada um deles

Assim como iZ 22 +−= , temos a = -2 e b = 2 e o módulo 22 teremos:

Z

barcsen=θ ⇒

22

2arcsen=θ ⇒

2

1arcsen=θ

Z

aarccos=θ ⇒

22

2arccos

−=θ ⇒

−=

2

1arccosθ

O ângulo definido é igual a 135°

Assim como iW 43 += , temos a = 3 e b = 4, e seu módulo vale 5, teremos:

5

4arcsenarcsen =⇒= θθ

W

b

5

3arccosarccos =⇒= θθ

W

a

O argumento é aproximadamente igual a 53°

Assim como iU 4−= , temos a = 0 e b = -4, e seu módulo igual a 4, logo

( )1arcsen4

4arcsenarcsen −=

−=⇒= θθ

U

b

( )0arccos4

0arccosarccos ==⇒= θθ

U

a

O argumento de U é igual a 270°

Assim como 9−=S , temos a = -9 e b = 0, e seu módulo igual a 9, logo:

( )0arcsen9

0arcsenarcsen ==⇒= θθ

S

b

( )1arccos9

9arccosarccos −=

−=⇒= θθ

S

a

O argumento procurado é igual a 180°

Assim como iT 86 +−= , temos a = -6 e b = 8, e seu módulo igual a 10, teremos:

( )8,0arcsen10

8arcsenarcsen ==⇒= θθ

T

b

( )6,0arccos10

6arccosarccos −=

−=⇒= θθ

T

a

O argumento procurado é aproximadamente 126°

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13

1.1.7] Determine Z3 . W2

1.1.8] Represente Graficamente cada um dos números complexos dados

1.1.9] Escreva na forma trigonométrica cada um deles.

A forma trigonométrica de um complexo Z é dada por: ( )θθ sencos ⋅+⋅= iZZ

Assim: Z = 22 (cos 135° + i. sen 135°) W = 5 (cos 53° + i. sen 53°) U = 4 (cos 270° + i. sen 270°) S = 9 (cos 180° + i. sen 180°) T = 10 (cos 126° + i. sen 126°)

1.1.10] Determine o valor de −−−−4

Sabemos que i = 1− . Assim teremos que −−−−4 = 2i

1.1.11] Resolva a equação: x2 - 4x + 5 = 0

Essa equação possui as raízes complexas, pois o valor do discriminante vale –4, e sua raiz igual ao complexo 2i. Logo as raízes valem respectivamente:

ix −= 21 e ix += 22

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14

1.1.12] Efetue (1 + i)2

1 + 2i –1 = 2i

1.1.13] Efetue i –41

Lembrando que i-41 é igual a 1/i41 e que i41 = (i2)20.i , como i2 = -1, teremos: (-1)20.i = i

1.1.14] Demonstre que i-1 = -i

i-1 = ( )

ii

−=−

−=

−−

−⋅=

−=

1

1

1.1

11

1

11

observe que na passagem acima temos uma racionalização.

1.1.15] Calcule o valor de i1998

i1998= (i2)999 = (-1)999 = -1

1.1.16] Calcule o conjugado do complexo Zii

=+

−

1 32

solução:

( )( )

( )( )

( )( )

1 3

2

2

2

2 6 3

4 2 2

2 7 3

4

2 7 3 1

4 1

2

2

2

2

+

−⋅

+

+=

+ + +

+ − +=

+ +

+=

+ + ⋅ −

+ −=

i

i

i

i

i i

i i

i ii

i

i

i

7 1

3

i −= apresentando a resposta na forma z a bi= +

Z i= − +1

3

7

3

1.1.17] Represente graficamente e calcule o valor do módulo do complexo R = -5 + 5.i

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15

1.1.18] Determine Z, sabendo-se que i . Z + 2.W + 1 - i = 0, onde W é o conjugado de Z.

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16

1.1.19] Se u = 4 + 3 i e v = 5 - 2 i , calcule u.v e u/v :

solução: u . v = ( ).( )4 3 5 3+ −i i = 20 12 15 9 2− + −i i i = 20 3 9 2+ −i i Como i 2 = -1 , teremos a parcela −9 2i = +9 , assim : u . v = 29 3+ i solução:

u / v = ( )( )4 35 3

+−

ii

= ( ).(5 )(5 ).(5 )4 3 3

3 3+ +− +

i i

i i = ( )

( )

20 12 15 9 2

25 15 15 9 2+ + +

+ − −

i i i

i i i = 20 27 9

25 9+ −

+i

= 11 2734+ i = 11

342734

+ i⇒ u / v = 1134

2734

+ i

1.1.20] Qual o valor de m para que o produto ( ).( )2 3+ +mi i , seja um imaginário puro?

solução: para ( ).( )2 3+ +mi i ser um imaginário puro, será necessário que ,bi ≠ 0 e a = 0 , resolvendo, teremos: ( ).( ) ( )2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 32+ + = + + + = + + − = + + +mi i i mi mi i mi m m i mAssim temos para valor de a m= +6 e b m= +2 3 Então: 6 0+ =m e 2 3 0+ ≠m , resolvendo 6 0+ =m , tem-se: m = −6 e

resolvendo 2 3 0+ ≠m , tem-se que m ≠ −2

3

logo m = −6 e m ≠ −2

3

1.1.21] Calcule o valor de 121( )− i :

121( )− i = ( )[ ]621− i = [ ]

621 2 2− +i i = [ ]61 2 1− − =i

= ( )62 62 6 64 1 64( ) ( ) .( ) .− = − = − = −i i

Assim: 121 64( )− = −i

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17

1.1.22] Se u = (1 + i ) e v = (1 - i ) . Calcule 52 51u v.

− :

52 51u v.

− = 52

51

11

( )( )

+

−

i

i =

26

25

2

2

1

1 1

(( ) )

(( ) ) .( )

+

− −

i

i i = , resolvendo

21( )+i e

21( )−i obtemos respectivamente : 2i e −2i , substituindo :

26

25

26 26

25 25

22

221 1

( )( ) ( ).( )

.

. .( )

i

i

i

ii i− −−=

−= simplificando ...

−−

( )

( )

2

1

i

i

Assim: 52 51u v.

− = −−

( )

( )

2

1

i

i

1.1.23] Calcule 12 121 1( ) ( )+ −−i i :

solução:

façamos 12 6 6 6 6 6 61 1 2 2 2 22 1( ) (( ) ) ( ) . .( ) ( )+ += = = = − = −i i i i

e ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )126

6 6 6 6 61 1 2 2 2 2

21( ) . .− − − −= = = = − = −i i i i

substituindo tais valores na expressão principal , teremos:

( ) ( ) ( ) ( )− − −

= − + =

6 6 6 62 2 2 2 0

logo 12 121 1( ) ( )+ −−i i = 0

1.1.24] O produto de 2 + bi pelo seu conjugado é 13, com b ∈ℜ , quais os possíveis valores de b ?

solução:

( ).( )2 2 13 4 2 2 13 4 132 2 2 2+ − = ⇒ − + − = ⇒ − =bi bi bi bi b i b i

4 1 13 4 13 13 4 92 2 2 2− − = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =b b b b.( )

b = ± 9 , assim os possíveis valores de b serão: b = +3 e b = −3

1.1.25] Determine o conjugado do complexo 1 3

2

+

−

i

i :

solução:

( )( )

( )( )

( )( )

1 3

2

2

2

2 6 3

4 2 2

2 7 3

4

2 7 3 1

4 1

2

2

2

2

+

−⋅

+

+=

+ + +

+ − +=

+ +

+=

+ + ⋅ −

+ −=

i

i

i

i

i i

i i

i ii

i

i

i

7 1

3

i −= apresentando a resposta na forma z a bi= +

Z i= − +1

3

7

3

[email protected]


18

1.1.26] Calcule o valor da soma s i i i i i= + + + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ +1 2 3 4 100

solução: Trata-se da Soma dos termos de uma P.G. ( Progressão Geométrica) onde :

a1 1= ; a i101100= ; q i= ; n = 101

A fórmula que fornece o valor da Soma dos Termos da P.G. é dada por:

Sa q a

qn

n=⋅ −

−1

1

Substituindo os valores encontrados na fórmula acima, teremos:

Si i

i

i

iS

i

iS

i

in n n=

⋅ −

−=

−

−⇒ =

−

−⇒ =

−

−

100 101 11

1

1

1

1

1

1

1, Sn = 1

logo : S = 1

1.1.27] Determine o módulo do complexo 41 3( )+ i :

Solução:

41 3( )+ i =( )

21 3+ i . ( )

21 3+ i = ( )1 6 9 2+ +i i . ( )1 6 9 2+ +i i ⇒ sabemos

que a parcela 9 92i = − , substituindo este valor, teremos:

( )1 6 9+ −i . ( )1 6 9+ −i =

1 6 9 6 36 54 9 34 812+ − + + − − − + =i i i i i 1 6 9 6 36 54 9 54 81+ − + − − − − + =i i i i 28 96− i , Assim:

41 3( )+ i = 28 96− i

[email protected]


19

1.1.28] Determine o módulo do complexo tal que Z i2 = :

Solução: Sendo Z , um número complexo da forma Z a bi= + , teremos que

( ) ( ) ( )Z Z a bi a bi a abi b ia bi2 2 2 2 2 22= ⇒ = + ⋅ + = + ++

a última parcela do desenvolvimento b i b2 2 2= − , assim:

a abi b i2 22+ − = identificando a parte real e a parte imaginária temos:

a b2 2 0− = (eq.1) e 2abi i= (eq.2) , da (eq.1) podemos dizer que

: a b2 2= , extraindo a raiz quadrada de ambos os membros desta

igualdade obtemos : a b= (eq.3). Da (eq.2) 2abi i= , podemos afirmar que 2 1ab = , e consequentemente que

ab =1

2, utilizando a verdade da (eq.3) neste produto , vale dizer que:

a a a a⋅ = ⇒ = ⇒ =1

2

1

2

1

22 ⇒ =a

1

2 , que após a racionalização do

denominador tem-se:

a =2

2 . Pela (eq.3) temos que b =

2

2 . Com tais valores podemos

determinar o módulo do complexo Z , dado pela fórmula: ρ = +a b2 2 ,

realizando as devidas substituições teremos:

ρ =

+

2

2

2

2

2 2

⇒ = +

ρ

2

4

2

4 ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±ρ ρ ρ

4

41 1

Assim o valor do módulo será ρ = ±1

1.1.29] O módulo de um complexo é 2 , e seu argumento principal é 5

4

π, sua forma algébrica é...

Solução:

Pelos dados do problema temos: ρ = 2 e θπ

=5

4

Sabemos que a forma algébrica é da forma Z a bi= +

Sabemos também que cos5

4

π

ρ

=

a e sen

5

4

π

ρ

=

b , como os

valores de cos5

4

π

e sen

5

4

π

são respectivamente: −

2

2 e −

2

2

temos:

− =2

2 2

a ∴ a = −

2 2

2

. a = −1

− =2

2 2

b ∴ b = −

2 2

2

. b = −1

Substituindo os valores na expressão da forma algébrica teremos: Z i= − −1

[email protected]


20

1.1.30] O número complexo Z x yi= + , é tal que Z − =3 2 , então, x e

y , estão entre que valores inteiros?

Solução: Z − 3 , é a distância do ponto P ao ponto C(3,0), afixo do complexo 3 .

Logo, Z − =3 2 , representa os pontos cuja distância a C(3,0) é igual a 2 ,

ou seja, a circunferência de centro em C(3,0) e raio 2 . Assim:

Desta forma os intervalos de x e y são: 1 5≤ ≤x e − ≤ ≤2 2y .

1.1.31] A representação geométrica dos números complexos Z e W é a da figura abaixo, determine a representação geométrica do produto Z.W :

A representação gráfica de Z W. é dada pela área do paralelogramo formado

pelos lados Z e W

1.1.32] Representando-se no plano complexo os números complexos Z

tais que Z Zi2 = , o número de pontos obtidos é:

Solução; Dividindo-se ambos os membros da igualdade por Z , obtemos: Z i= ⇒ é representado por um ponto em P(0,1)

[email protected]


21

1.1.33] Representar no plano complexo os números Z tais que:

(i) Z ≤ 2 e (i i) Z − =1 2

No caso (i) trata-se de uma circunferência de centro C(0,0) e raio 2:

no caso (i i) trata-se de uma circunferência de raio 2 e centro C(1,0):

[email protected]


22

1.1.34] Passar para a forma trigonométrica o complexo: ( )

Zi

i=

−

+2

11

:

Solução: ( ) ( )

Zi i

i=

+ ⋅ +

−⇒

1 1

1 Z

i

i=

−⇒

2

1

( )( ) ( )

Zi i

i i=

⋅ +

− ⋅ +⇒

2 1

1 1

( )Z

iZ

iZ i=

+ −⇒ =

−⇒ = −

2 2

2

2 2

21 , assim a = −1 e b = 1

Com tais valores de a e b determinamos ρ = +a b2 2 , substituindo

teremos:

( ) ( )ρ = − + + ⇒1 12 2

ρ = 2 , sabendo-se que:

cosθρ

=a

e senθρ

=b

temos que :

cos cosθ θ=−

⇒ = −1

2

2

2

sen senθ θ= ⇒ =1

2

2

2 Assim com tais valores para seno e

cosseno:

θπ

=⋅3

4 substituindo os valores encontrados na forma trigonométrica:

Z i= ⋅ + ⋅

2

3

4

3

4cos sen

π π

[email protected]


23

1.1.35] Se Z cis1 2 32= ⋅ ° e Z cis2 3 58= ⋅ ° , determine ( )4

1 2Z Z⋅

solução: De Z cis1 2 32= ⋅ ° , obtemos, ρ1 2= e θ1 32= ° e de Z cis2 3 58= ⋅ °

obtemos ρ2 3= e θ 2 58= ° . Sabendo-se que:

( )Z Z1 2⋅ = ( ) ( )( )ρ ρ θ θ θ θ1 2 1 2 1 2cos sen+ + ⋅ +i substituindo os valores temos:

( )4

1 2Z Z⋅ = ( ) ( )( )( )4

1 2 1 2 1 2ρ ρ θ θ θ θcos sen+ + ⋅ + =i

( )4

1 2Z Z⋅ = ( ) ( )( )( )4

2 3 32 58 32 58⋅ °+ ° + ⋅ °+ ° =cos seni

( )4

1 2Z Z⋅ = ( ) ( )( )( )4

6 90 90cos sen° + ⋅ ° =i

( )4

1 2Z Z⋅ = ( )( )4

6 0 1⋅ + ⋅ =i

( )4

1 2Z Z⋅ = ( )4

6⋅ =i

( )4

1 2Z Z⋅ = ( ) ( )4 4

6 ⋅ ⇒i como ( )⋅ =4

1i teremos:

( )4

1 2Z Z⋅ = ( )4

6 ⇒ logo :

( )4

1 2Z Z⋅ = 1296

[email protected]


24

1.1.36] Calcule o valor da expressão

109

2

2

2

2+ ⋅

i :

Solução:

transformando para a forma trigonométrica a expressão 2

2

2

2+ ⋅

i

teremos: ρ = 1 e o argumento θπ

=4

rad ou θ = °45 substituindo

tais valores na forma trigonométrica ( ) ( )( )ρ θ θ⋅ + ⋅cos seni a expressão

fica: 14 4

⋅

+ ⋅

cos sen

π πi = cos sen

π π

4 4

+ ⋅

i elevando-se tal

expressão a 109, e resolvendo a potência do número complexo na sua forma trigonométrica teremos:

cos sen cos senπ π π π

4 4

109

4

109

4

109

+ ⋅

⇒

⋅

+ ⋅

⋅

⇒i i calculando-se

a menor determinação de 109

4

⋅

π obtemos :

5

4

⋅

π , assim :

sen sen109

4

5

4

2

2

⋅

=

⋅

= −

π π e

cos cos109

4

5

4

2

2

⋅

=

⋅

= −

π π substituindo este valores na expressão

trigonométrica teremos:

− − ⋅2

2

2

2i

[email protected]


25

1.1.37] Resolver em c a equação x6 1=

Solução:

x6 1= , logo podemos dizer que x = 16 , fazendo Z=1 e extraindo a raiz sexta deste complexo , encontraremos por conseguinte os possíveis valores de x no conjunto c :

De Z=1 temos que a=1 e b=0, logo ρ = +a b2 2 ⇒ =ρ 1

Calculando-se o módulo das raízes teremos δ ρ= 6 ⇒ =δ 16 ⇒ =δ 1

Determinando-se o argumento do complexo teremos:

cosθρ

=a

⇒ = ⇒ =cos cosθ θ1

11

senθρ

=b

⇒ = ⇒ =sen senθ θ0

10 logo θ = °90

Determinando - se a menor argumento da raiz r =°

= °90

615

Determina-se a razão angular q =°

= °360

660

Determinamos agora os argumentos das raízes: ω1 15= ° , ω 2 15 60 75= °+ °= ° ω 3 75 60 135= °+ °= ° , ω 4 135 60 195= °+ °= ° , ω 5 195 60 255= °+ °= ° e ω 6 255 60 315= °+ °= ° Assim: ( )R i1 1 15 15= ⋅ °+ ⋅ °cos sen

( )R i2 1 75 75= ⋅ °+ ⋅ °cos sen

( )R i3 1 135 135= ⋅ °+ ⋅ °cos sen

( )R i4 1 195 195= ⋅ °+ ⋅ °cos sen

( )R i5 1 255 255= ⋅ °+ ⋅ °cos sen

( )R i6 1 315 315= ⋅ °+ ⋅ °cos sen

1.1.38] Se o número Complexo Z i= −1 , é uma das raízes da equação

x a10 0− = , calcule a :

solução:

Temos a equação x a10 0− = , substituindo Z i= −1 , no valor de x da

equação teremos ( )1 010

− − =i a . Podemos escrever ( )( )52

1 0− − =i a

, desenvolvendo-se teremos: ( )5

1 2 1 0− − − =i a ⇒ ( )5

2 0− − =i a ⇒

( ) ( )− ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ − ⋅ =−2 325 5 52i a a i ai , logo:

a i= −32

[email protected]


26

1.1.39] Determine o menor inteiro n >>>> 0 , de modo que 3

2

1

2+ ⋅

i

n

,

seja real e positivo:

Solução:

Z i

n

= + ⋅

3

2

1

2 , transformando a base

3

2

1

2+ ⋅

i , para a forma

trigonométrica teremos ρ =

+

⇒

3

2

1

2

2 2

ρ = ⇒1 assim

calculando-se o argumento teremos: cosθρ

=a

, cosθ =3

2 e

senθρ

=b

, senθ =1

2 desta forma o argumento será igual a

θ = °+ °⋅30 360 k , substituindo tais valores na forma trigonométrica teremos:

( ) ( )( )Z k i kn

= °+ °⋅ + ⋅ °+ °⋅cos sen30 360 30 360 resolvendo a potência

teremos, ( )Z n i n= ⋅ + ° + ⋅ ⋅ + °cos ( ) sen ( 30 360 30 360 desta forma para

que Z seja um número real e positivo será necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas: ( )cos ( ) n ⋅ + °30 360 > 0

e ( )⋅ ⋅ + ° =sen ( ) n 30 360 0 , para que o seno resulte em zero devemos

ter: n k⋅ °+ °⋅ =30 360 0 , resolvendo teremos n k= − ⋅12 , como k , varia no conjunto Ζ , o menor inteiro positivo para n será dado quando k=-1, logo: n = 12

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27

1.1.40] Determine as raízes quadradas de Z i= + ⋅1

2

3

2 :

Solução: Para solucionarmos a radiciação de números complexos obedeceremos à

seguinte ordem de procedimentos: 1º) Determinamos o módulo ρ do complexo. 2º) Determinamos δ que é o módulo das raízes 3º) Determinamos o argumento θ do complexo. 4º) Determina-se a razão angular 360º/ n 5º) Determina-se o menor argumento da raiz.

Calculando-se o módulo teremos ρ = + −

⇒

1

2

3

2

2 2

ρ = 1

Calculando-se o módulo das raízes teremos δ ρ= ⇒ =δ 1 ⇒ =δ 1

Determinando-se o argumento do complexo teremos:

cosθρ

=a

⇒ =cosθ1

2

senθρ

=b

⇒ = −senθ3

2 logo θ = °300

Determinando - se a menor argumento da raiz r =°

= °300

2150

Determina-se a razão angular q =°

= °360

2180

Determinamos agora os argumentos das raízes: ω1 150= ° e ω 2 150 180 330= °+ °= ° Assim: ( )R i1 1 150 150= ⋅ °+ ⋅ °cos sen e

( )R i2 1 330 330= ⋅ °+ ⋅ °cos sen

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