AP. Estatística Descritiva - 2013 - 2º Ano

Estatstica para os cursos de Engenharia

e Informtica Eurpedes MACHADO Rodrigues

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ESTATSTICA 1. INTRODUO:

A Estatstica, ramo da Matemtica Aplicada, teve sua origem na Antigidade, vrios povos j registravam o nmero de nascimentos, de bitos, de habitantes, faziam estimativas de riqueza individual e social, distribuam eqitativamente terras ao povo, cobravam impostos, etc., por processos que, hoje, chamamos de Estatsticas. Originalmente as Estatsticas tratavam dos negcios do Estado (especialmente com objetivos tributrios ou militares) o que justifica a etimologia da palavra que surgiu do latim STATUS (Estado). A palavra Estatstica usada em dois sentidos: 1.1. ESTATSTICAS (no plural) refere-se a dados numricos e so informaes sobre

determinado assunto, grupo de pessoas, fenmenos de interesse do Estado, etc., obtidas por um pesquisador.

1.2. ESTATSTICA (no singular) significa o conjunto de processos usados na classificao,

organizao, descrio, anlise e interpretao de dados experimentais.

Comumente a Estatstica relacionada com dados e nmeros da Sade Pblica, Bolsa de Valores, Crescimento de Populao, Testes Psicolgicos, Engenharia, Fsica, Matemtica, Qumica, Economia, alm de setores do planejamento da produo, anlises comerciais e estudos sociolgicos.

2. EVOLUO HISTRICA DA ESTATSTICA

Os vrios aspectos e acontecimentos da evoluo histrica da Estatstica agrupam-se em trs perodos:

2.1. 1 PERODO - PREPARAO DOS FATOS Abrange a Idade Antiga, Idade Mdia e parte da Idade Moderna, na Histria da Civilizao. caracterizado por registros de interesse Estatal, sendo denominado de perodo da Estatstica Administrativa. No livro sacro , Chouking, de Confcio, tem-se notcias da preparao dos Estados da China, no ano 2238 a.C. O imperador Iao ordenou o levantamento sobre agricultura, indstria e comrcio. Ainda na Idade Antiga, conta-nos a Bblia Sagrada o levantamento do povo judaico para fins guerreiros e, na poca de Augusto, era feito o recenseamento da populao (com o objetivo de verificar o quanto o povo pagava de impostos) e extenso territorial do Imprio Romano. A Igreja Catlica, por ocasio do conselho de Trento, ordenou que se fizesse o registro de nascimentos, casamentos e mortes. Na Idade Mdia, destacam-se os rabes, no ano 721, com a coleta numrica das cidades dominadas, contagem de suas populaes , fbricas e de cada espcie de seus produtos, para controle das conquistas territoriais. Carlos Magno, rei dos francos e imperador do Ocidente, de 771 a 814, tendo em vista fins de carter financeiro e administrativo, estabeleceu o organismo de Estado. Guilherme, o Conquistador, ordenou a elaborao de um cadastro da diviso do solo da Inglaterra das vrias classes sociais existentes, para fins de arrecadao de impostos, o que deu origem em 1086, obra Domesday Book, considerada como modelo marcante desse perodo.



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2.2. 2 PERIDO PREPARAO DAS TEORIAS

Caracterizam-se pelas crticas e polmicas tendendo a instituir a Estatstica como disciplina autnoma. Assim, Herman Coring no sculo XVII na Alemanha, emprega a Estatstica j como disciplina autnoma e descreve o Estado considerando seu territrio, seu governo e suas finanas. Na Inglaterra, no sculo XVII, John Graunt (1620 1674) inicia investigaes sobre a Estatstica Demogrfica e descobre em estudos analticos, certas propores entre nascimentos, casamentos e bitos, chegando a uma estimativa aproximada da populao de Londres e de outras cidades. William Petty, autor do termo Aritmtica Poltica, baseado em informaes estatsticas, tira concluses com aproximao sobre a regularidade dos fenmenos sociais . Edmond Halley esboa a primeira tabela de mortalidade. Adolphe Quetelet, no sculo XVIII, aplica, no estudo demogrfico e social, a lei dos grandes nmeros e considerado o maior expoente da aplicao dessa lei. Godofredo Achenwall, no sculo XVIII, batizou a nova cincia (ou mtodo) com o nome de Estatstica, determinando o seu objetivo e suas relaes com as cincias Blaise Pascal, na Frana, no sculo XVIII, e Pierre Fermat descobrem o clculo das Probabilidades, desenvolvidas depois por Bernoulli, Gauss, Laplace e outros, e mais recentemente, no sculo XIX e XX com Person, Galton, Gosset (que usava o pseudnimo de Student), Fischer e outros, a Estatstica se estruturou como cincia, ganhando enorme evidncia.

2.3. 3 PERODO APERFEIOAMENTO TCNICO E CIENTFICO

Inicia-se em 1853, com o primeiro Congresso de Estatstica e abrange parte da Idade Moderna, estendendo-se pela Idade Contempornea. Neste perodo, destaca-se entre outros, Francis Galton, com o emprego da Estatstica Metodolgica nos problemas da hereditariedade, James Clerk Maxwell, empregando a Estatstica na teoria cintica dos gases. Atualmente, a Estatstica desempenha papel de importncia crescente em quase todas as fases de uma pesquisa, aplicando-se a toda cincia experimental.

3. DEFINIES DE ESTATSTICA: Diversos autores apresentam definies que no so suficientemente claras para nos dar uma idia definitiva do seu significado porm, destacamos dois aspectos: O Descritivo e o Inferencial ou Indutivo. Eis algumas delas: 3.1. Conjunto dos processos que tm por objetivo a observao, a classificao formal e a anlise dos fenmenos coletivos ou de massa e, por fim a induo das leis a que tais fenmenos obedecem globalmente. (Milton da Silva Rodrigues) 3.2. Estatstica o estudo de dados quantitativos marcados por uma multiplicidade de causas. (Yule) 3.3. A Estatstica a parte da Matemtica Aplicada que se ocupa em obter concluses a partir de

dados observados. (Ruy Aguiar da Silva Leme) 3.4. A Estatstica ocupa-se dos procedimentos para tomar decises em situaes caracterizadas

pela incerteza, praticamente sempre presentes na medida em que, quem decide no pode estar certo de conhecer ou controlar os resultados de sua ao. (Abraham Wald)

3.5. a observao metdica, e to universal quanto possvel dos fatos considerados em globo, reduzidos a grupos homogneos e interpretados mediante a induo matemtica. (Ferraris)

3.6. A Estatstica constitui um corpo de processos usados no estudo de grandes massas e dados numricos com o objetivo de extrair dos mesmos, fatos reduzidos e simples. (Albert Wanghi)

3.7. A Estatstica est interessada nos mtodos cientficos para coleta, organizao, resumo, apresentao e anlise de dados, bem como na obteno de concluses vlidas e na tomada de decises razoveis, baseadas em tais anlises. (Murray R. Spiegel)



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De modo geral, podemos resumir as definies vistas anteriormente em: Estatstica a parte da Matemtica Aplicada que trata da coleta, organizao, anlise e

interpretao de dados coletados com a finalidade de auxiliar na tomada de decises. 4. RELAO ENTRE A ESTATSTICA E A PSICOLOGIA

A Estatstica na psicologia se inicia com os estudos dos fisiologistas do sculo XIX (Fischer, Watson, Wundt e outros). Embora divergindo de suas concepes filosficas, tinham em comum nas suas pesquisas o pensamento de que possvel aplicar tcnicas experimentais e procedimentos matemticos ao estudo dos problemas psicolgicos, ou seja, sentimentos, emoes, percepes, alegrias, tristezas, ansiedades, stress, etc. Essas caractersticas, chamadas psicolgicas, quando ativadas, repercutem somaticamente, ou seja, so refletidas atravs do corpo ( suores, tremores, rubores, etc...). A medida dessa repercusso ser interpretada na Estatstica pelo psiclogo, atravs de tabelas, grficos, medidas de tendncia central , medidas de disperses, etc. Na psicologia, a Estatstica como ferramenta de trabalho contribui para o planejamento experimental de dados coletados (populao em estudo), anlise de suas variveis, processo de amostragem, chegando na realizao do experimento propriamente dito ou seja, um instrumento avaliador em psicologia projetado com auxlio dos princpios estatsticos.

5. CONCEITOS INTRODUTRIOS: 5.1. DADOS So informaes obtidas a partir de medies de grandezas, resultados de pesquisas, respostas a questionrios ou contagem de modo geral. 5.2. MTODO ESTATSTICO O Mtodo Estatstico consiste em tcnicas utilizadas na pesquisa de fenmenos coletivos. composto das seguintes fases: A) Coleta de Dados Quando os dados so obtidos diretamente em sua fonte de origem temos uma coleta direta. Como exemplo, os salrios dos funcionrios de uma empresa que podem ser consultados no seu departamento pessoal. O principal instrumento de coleta o questionrio. A coleta indireta quando os dados so retirados de revistas, jornais, livros, Internet, etc., ou obtidos de instituies como IBGE. Neste caso, devemos mencionar a fonte responsvel pelas informaes bem como a data e o local da publicao. B) Crtica dos Dados a fase em que os dados obtidos na coleta de dados devem ser analisados, corrigindo possveis enganos, evitando que informaes errneas (ou destorcidas) possam influenciar os resultados do estudo. C) Apurao dos Dados A apurao dos dados consiste na contagem ou tabulao dos dados coletados aps a crtica, ordenando-os segundo critrios de classificao estabelecidos.



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D) Apresentao dos Dados Aps a apurao os dados so apresentados em tabelas ou grficos. E) Anlise dos Resultados Para auxiliar a interpretao dos dados so necessrias algumas medidas estatsticas. A anlise feita em funo dos objetivos estabelecidos na pesquisa, visando a tomada de decises no sentido de melhorar certas tendncias observadas no fenmeno estudado. Por exemplo, ao pesquisarmos os acidentes de uma rodovia podemos detectar possveis causas e apresentar alternativas que possam minimizar o nmero de acidente.

5.3. POPULAO OU UNIVERSO.

um conjunto de elementos (indivduos ou objetos) que apresentam pelo menos uma caracterstica em comum, ou ainda, o conjunto de elementos que o pesquisador deseja estudar.

Conforme vimos, a Estatstica tem por objeto o estudo dos fenmenos coletivos e das relaes que existem entre eles. Entende-se como fenmeno coletivo quele que se refere populao ou universo, que compreende um grande nmero de elementos, sejam pessoas ou coisas. Portanto, para a Estatstica, somente interessam os fatos que englobem um grande nmero de elementos, pois ela busca encontrar leis de comportamento para todo o conjunto e no se preocupa com cada um dos elementos em particular. Quanto ao nmero de elementos, a populao pode ser finita ou infinita. finita quando apresenta um nmero limitado de indivduos. A populao infinita possui um nmero infinito de elementos e geralmente est associada a processos. Porm, tal definio existe apenas no campo terico, pois, na prtica, nunca encontramos populaes com infinitos elementos, mas, sim, populaes com um grande nmero de componentes, como ocorre na Estatstica Matemtica, que so tratadas como se fossem infinitas.

Exemplos de populaes finitas e infinitas: 1) A populao constituda por todos os automveis produzidos por uma montadora em um dia de

servio finita; 2) A populao constituda de todos os resultados possveis (cara ou coroa) em sucessivos lances

de uma moeda infinita.

5.4. AMOSTRA

Quando a populao muito grande, torna-se difcil a observao dos aspectos a serem executados de cada um dos elementos, devido a impossibilidade ou inviabilidade econmica ou temporal. Nessas circunstncias, fazemos a seleo de uma amostra suficientemente representativa da populao e, atravs da observao dessa, estaremos aptos a analisar os resultados, da mesma forma que se estudssemos toda a populao. Amostra um subconjunto de uma populao, necessariamente finita, pois todos os seus elementos sero examinados para efeito da realizao do estudo estatstico desejado e so obtidas por tcnicas adequadas, chamadas amostragens.

5.5. AMOSTRAGEM

Amostragem uma tcnica especial para recolher amostras, cuja escolha feita ao acaso. Dessa forma, cada elemento da populao passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o que garante amostra o carter de representatividade, assim, nossas concluses relativas a uma populao estaro baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa populao.



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As referncias quanto anlise e interpretao de dados dividem a estatstica em duas partes: Estatstica Descritiva e Estatstica indutiva.

5.6. ESTATSTICA DESCRITIVA (ou Dedutiva) aquela que tem por objeto a coleta, a organizao e a descrio dos dados experimentais, ou seja, descreve e analisa determinada populao, sem pretender tirar concluses de modo genrico. Seu principal objetivo a racionalizao dos dados, atravs de tabelas, grficos, medidas de posio, de variabilidade e de correlao.

Resumindo:

Organizao dos Dados: Tabelas; Grficos; Anlise Reduo dos Dados: Medidas de Posio (Mdia, Mediana, Moda, etc.) Medidas de Variabilidade ou de Disperso: Desvio Mdio, Desvio Padro, Varincia, etc. Medidas de Correlao

Esquematicamente: Coletas de Crtica dos Apresentao Tabelas Anlises dados dados dos dados Grficos

5.7. ESTATSTICA INDUTIVA OU INFERNCIA ESTATSTICA

a parte da Estatstica que, baseando-se em resultados obtidos da anlise de uma amostra da populao, procura concluir, sugerir ou estimar as leis de comportamento da populao da qual a amostra foi retirada. Os objetivos principais da Estatstica Indutiva so: tirar concluses sobre populaes atravs de amostras extradas dessa populao, induzindo ou caracterizando uma populao atravs de amostra e ainda dizer qual a probabilidade de erro, j que o processo de induo no exato. Tambm atravs da Estatstica Indutiva podemos aceitar ou rejeitar hipteses que podem surgir sobre as caractersticas da populao, a partir tambm da anlise da amostra representativa dessa populao. Como observao: quanto maior for a amostra, mais precisas e confiveis devero ser as indues realizadas na populao.

6. MEDIDAS - So atribuies numricas a coisas, de acordo com regras especficas.

6.1. PROPRIEDADES DAS MEDIDAS: IDENTIDADE

ORDENAO ADITIVADADE Essas propriedades sero vistas na classificao das variveis quanto ao seu nvel de mensurao.

7. VARIVEIS Convencionalmente, varivel o conjunto de resultados possveis de um fenmeno, pois, os fenmenos analisados estatisticamente so passveis de variao, isto , podem assumir diferentes valores. Praticamente a todos os fenmenos que ocorrem na natureza, por exemplo:



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sexo (que tem dois resultados possveis: masculino ou feminino), nmero de filhos, estatura, peso, inteligncia, beleza, profisso, etc, corresponde um certo nmero de resultados possveis.

Na prtica, no trabalhamos estatisticamente com os elementos existentes, mas sim, com alguma de suas caractersticas que sejam fundamentais ao nosso estudo. Por exemplo: o conjunto de elementos pode ser parafusos produzidos por uma mquina. No faremos nenhum tratamento matemtico com os parafusos e sim, com alguma de suas caractersticas como, por exemplo, comprimento, peso, dimetro, perfeito ou defeituoso, etc. Como podemos notar, a caracterstica de interesse poder ser qualitativa ou quantitativa. Temos, ento, variveis qualitativas e variveis quantitativas:

7.1. VARIVEL QUALITATIVA

A varivel ser qualitativa quando resultar de uma classificao por tipo (categorias) ou atributo (modalidades) , por exemplo:

a) Populao: parafusos produzidos por uma mquina Varivel: qualidade (perfeito ou defeituoso);

b) Populao: nmero de registros de casamentos de um cartrio civil Varivel: qualidade (com comunho de bens ou com separao de bens)

c) sexo atributo: masculino ou feminino d) cor da pele atributo: branca, preta, amarela, vermelha, parda, etc., e) cor dos olhos atributo: azuis, verdes, castanhos, pretos, etc.

7.2. VARIVEL QUANTITATIVA

A varivel ser quantitativa quando seus valores forem expressos em nmeros, ou seja, refere-se exclusivamente a quantidades (idade dos alunos de uma Universidade, salrios dos funcionrios de uma empresa, etc.), subdividindo-se em discretas e contnuas.

7.2.1. VARIVEL QUANTITATIVA DISCRETA (OU DESCONTNUA)

Uma varivel quantitativa discreta quando assume valores pertencentes a um conjunto enumervel (um nmero finito de valores isolados dentro de um intervalo), os valores so obtidos mediante alguma forma de contagem, razo pela qual seus valores so expressos atravs de nmeros naturais {0; 1; 2; 3; ...}, por exemplo: a) nmero de filhos de um casal pode ser 3 filhos, mas no pode ser 2,75 filhos; b) nmero de livros em uma estante pode ser 300 livros, mas no pode ser 275,832 livros; c) nmero de chamadas telefnicas pode ser 50 chamadas, mas no pode ser 37,682

chamadas; d) Populao: aparelhos produzidos por uma linha de montagem. Varivel : nmero de defeitos

por unidade. 7.2.2. VARIVEL QUANTITATIVA CONTNUA

Uma varivel quantitativa contnua quando pode assumir qualquer valor num certo intervalo de variao, assim, as observaes (ou valores) so obtidos atravs de mensurao (medida) e a interpretao de que se trata de um valor aproximado, pois no existem instrumentos capazes de oferecer preciso absoluta, por exemplo:

a) se uma pessoa tem altura de 1,78m, devemos considerar que o valor exato est entre 1,775m e 1,785m , por exemplo;

b) o comprimento de um terreno; c) o dimetro externo de uma pea; d) o peso de certa pessoa (50,5 kg ; 50,573kg ; 50,585kg ; ...).



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De modo geral, podemos dizer que, as medies do origem a variveis contnuas e as contagens ou enumeraes, a variveis discretas.

As variveis so designadas por letras latinas, geralmente, as ltimas: x , y , z , por exemplo:

Sejam, 0, 1, 2 e 3 todos os resultados possveis de um dado fenmeno. Podemos indicar a

varivel relativa ao fenmeno considerado como sendo x {0, 1, 2, 3}

7.3. CLASSIFICAO DAS VARIVEIS QUANTO AO SEU NVEL DE MENSURAO

7.3.1. NOMINAIS

Quando os atributos so do tipo mutuamente exclusivos, no havendo, portanto, hierarquia entre as diversas categorias, ou seja, os objetos contidos em uma dada classe so equivalentes em relao a um dado atributo ou propriedade. As variveis Nominais possuem a propriedade de identidade. Por exemplo, a varivel estado civil pode ser estudada dividindo-se em categorias: a) casado b) solteiro c) divorciado d) vivo e) outro

H outras maneiras de se fazer essa diviso, dependendo dos interesses de cada pesquisador. Outros exemplos: Cultura, personalidade, nacionalidade, religio, poltica, etc.

7.3.2. ORDINAIS

Os objetos ou atributos, alm de divididos em categorias, so hierarquizados, por exemplo, a varivel: classe social, que divide um grupo de pessoas em vrias classes sendo que, de uma classe para outra exista uma relao mais que ou melhor que. Assim, uma pessoa de uma classe superior a outra pessoa de outra classe. As variveis Ordinais possuem as propriedades de identidade e ordenao. Outros exemplos: Ansiedade, autoritarismo, agressividade, hierarquia militar, etc.

7.3.3. CARDINAIS

Os objetos ou atributos podem ser quantificados, por exemplo: a varivel peso de uma pessoa estudada separando as pessoas de acordo com o seu peso, essa separao feita levando-se em conta a quantificao do peso, ou seja, 80kg, 65kg, 120kg, , etc. Como podemos notar, tendo-se definido uma unidade de medida (no caso kg), um nmero associado ao objeto em estudo, fornecendo a este o nmero de unidades de medida equivalente quantidade da propriedade possuda pelo objeto. As variveis cardinais possuem as propriedades de identidade, ordenao e aditividade. Outros exemplos: Estatura, tempo, velocidade, fora, aparelhos de medidas de modo geral, etc. NOTA: Das trs classificaes acima a mais completa a classificao cardinal por englobar as demais.

Nas reas psicossociais as variveis que envolvem desempenho humano (Q.I., nota, idade mental, etc.) so normalmente expressas por numerais, cuja finalidade traduzir quantidades e, portanto, seriam classificadas como cardinais. No entanto, os numerais utilizados s significaro quantidades se houver garantia do pesquisador para isso, por exemplo: uma pessoa com 10 anos de idade ser um resultado quantitativo se esse n 10 significar o dobro de 5, 2 a mais que 8, etc. Sem essa garantia , essas variveis seriam classificadas como ordinais. 8. PARMETRO

So caractersticas numricas da populao. Exemplo: Q.I. mdio dos estudantes universitrios do Brasil.



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9. ESTIMATIVAS

So caractersticas numricas de uma amostra. Exemplo: Clculo da mdia ou clculo do desvio padro das notas de uma prova aplicada a um conjunto de alunos.

Os elementos numricos caractersticos de uma amostra so estimativas dos elementos correspondentes na populao, que so os parmetros. POPULAO AMOSTRA AVALIAO PARMETRO ESTIMATIVA

10. REPRESENTAO DAS GRANDEZAS EM ESTATSTICA:

De acordo com a Resoluo 886/66 da Fundao IBGE, devemos :

A) usar os seguintes smbolos para designar as unidades de medidas: metro ....................................................................... m quilmetro ............................................................... km centmetro ............................................................... cm centmetro cbico ................................................... cm3 quilograma ............................................................. kg grama ...................................................................... g tonelada .................................................................. t

B) colocar nas casas ou clulas: I. um trao horizontal ( ) quando o valor zero, no s quanto natureza das coisas, como quanto ao resultado do inqurito; II. trs pontos (. . . ) quando no temos os dados; III. um ponto de interrogao ( ? ) quando temos dvida quanto exatido de determinado valor; IV. zero ( 0 ) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os valores so expressos em numerais decimais, precisamos acrescentar parte decimal, um mesmo nmero de zeros ( 0,0 ; 0,00 ; 0,000 ; etc. )

11. ARREDONDAMENTO DE NMEROS

11.1. Para arredondarmos nmeros adotaremos os seguintes critrios estabelecidos pela Portaria 36 de 06/07/1965 do INPM (Instituto Nacional de Pesos e Medidas):

I. Se o algarismo seguinte, aquele a ser arredondado, for menor do que cinco (5 ), ser desprezado juntamente com os que o sucedem, obtendo-se um valor por falta .

Exemplo: Arredondar os nmeros com as aproximaes indicadas: a) 15,6752 (aproximao 0,001) 15,675 b) 13,6715 (linear de percepo 0,01) 13,67 valor por falta c) 163 para a dezena mais prxima 160



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II. Se o algarismo seguinte, aquele a ser arredondado, for maior do que cinco ( 5 ), ser desprezado juntamente com os que o sucedem, acrescentando-se uma unidade ao algarismo no qual se faz o arredondamento, tendo-se um valor por excesso.

Exemplo: Arredondar os dados abaixo com as aproximaes indicadas: a) 15,6766 (aproximao 0,01) 15,68 b) 23,45384 (aproximao 0,001) 23,454 valor por excesso c) 10,7 para o inteiro mais prximo 11

III. Se o algarismo seguinte, aquele a ser arredondado, for igual a cinco ( 5 ) , usamos os seguintes critrios:

1) Se o primeiro algarismo aps aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de zeros, conservamos o algarismo se ele for PAR ou aumentamos uma unidade se ele for MPAR, desprezando os algarismos seguintes.

EXEMPLO: Arredondar para a 1 casa decimal ( 0,1 ) os nmeros: 1) 34,6500 passa para 34,6 2) 36,75000 passa para 36,8

2) Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um diferente de zero, aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes.

EXEMPLO: Arredondar para a 1 casa decimal (0,1) os nmeros: 1) 36,7502 passa para 36,8 2) 34,6503 passa para 34,7

NOTA: NO SE DEVEM FAZER ARREDONDAMENTOS SUCESSIVOS EM NENHUMA HIPTESE.

EXERCCIO: Transformar o dado bruto 15,6715 em dado elaborado com linear de percepo 0,01 e dizer:

a) qual o algarismo duvidoso; b) quais os algarismos exatos; c) quais os algarismos certos SOLUO: 15,67[15 15,67

despreza-se

a) o algarismo duvidoso o 7 por estar influenciado por uma aproximao. Se o dado bruto fosse 15,6766, o arredondamento passaria para 15,68 . Neste caso, o algarismo 7 no mais figura no nmero, sendo, portanto, duvidoso;

b) os algarismos exatos so : 1 , 5 e 6; c) os algarismos certos so : 1 , 5 , 6 e 7.

11.2. COMPENSAO

Suponhamos os dados abaixo, aos quais aplicamos as regras do arredondamento: 15,32 15,3 37,85 passa para 37,8 11,44 11,4 30,17 + 30,2 + 94,78 94,7 (94,8)



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Verifica-se que houve uma pequena discordncia : a soma exatamente 94,7 quando, pelo critrio do arredondamento, deveria ser 94,8. Entretanto, para a apresentao dos resultados, necessrio que desaparea essa diferena, a qual possvel pela prtica do que denominamos compensao, conservando o mesmo nmero de casas decimais. De um modo geral, fazemos a compensao descarregando a diferena na(s) parcela(s) maior(es). Assim, no exemplo dado, teremos: 15,3 37,9 11,4 30,2 + 94,8

12. NOES DE SOMATRIO

Para indicarmos a soma dos x n valores de uma varivel x, isto x1 + x2 + x3 + . . . + x n , usamos o smbolo (letra grega, maiscula : sigma) , denominado, na Matemtica de somatrio.

Assim, a soma x1 + x2 + x3 + . . . + x n pode ser representada por =

n

1iix (l-se: somatrio de

x ndice i com i variando de 1 at n ) , isto :

x1 + x2 + x3 + . . . + x n = =

n

1iix

OBS.: As letras ou nmeros colocados abaixo ou acima do smbolo , chamam-se limites do somatrio. No havendo possibilidade de dvidas, podemos indicar o somatrio de modo simplificado. Assim: x1 + x2 + x3 + . . . + x n = ix Exemplo1: Consideremos os escores obtidos em um teste de inteligncia por 5 estudantes: x1 x2 x3 x4 x5 10 25 40 15 28 Represente os dados atravs de somatrio obtendo o resultado do mesmo.

=

5

1iix = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10 + 25 + 40 + 15 + 28 = 118

Exemplo 2: Desenvolver as somas :

a) =

6

1iix = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

b) 2) 34

1i i y(

= = (y1 3 )2 + (y2 3 )2 + (y3 3 )2 + (y4 3 )2

c) if . 5

1iix

= = x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 + x4 f4 + x5 f5

d) =

4

1i

2ix . if = f1 x1

2 + f2 x22 + f3 x3

2 + f4 x42

Exemplo 3 : Indicar, por meio de somatrio as expresses:



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a) (x1 + 3)2 + (x2 + 3)

2 + (x3 + 3)2 + . . . + (x20 + 3)

2 = 2) 320

1i ix ( +

=

b) (x3 + y3)3 + (x4 + y4)

3 + (x5 + y5)3 + (x6 + y6)

3 = 3) iy6

3i ix ( +

=

12.1. PROPRIEDADES DOS SOMATRIOS:

I. Sendo k uma constante real (diferente de zero), temos:

=

n

1ik = n . k

II. Sendo k uma constante real (diferente de zero) e x uma varivel real, temos:

=

==

n

1iix . k

n

1i) ix . k (

III. Sendo x e y duas variveis reais, temos:

n

1ii y

n

1iix

n

1i) i y ix (

=+

==

=+

NOTAS: CUIDADO!

I. ==

=

n

1ii y .

n

1iix

n

1i) i y. ix ( II.

=

=

n

1i

2ix

2n

1iix

Exerccios: 1. Escreva na notao de somatrio as somas:

a) 2) x - 9(x . . . 2) x - 3(x

2) x - 2(x 2) x - 1(x ++++ =

b) 2) x - 6(x . 6f . . . 2) x - 3(x . 3f

2) x - 2(x . 2f 2) x - 1(x . 1f ++++ =

c) | x - 8x| .8f . . . | x - 3x| .3f | x - 2x| .2f | x - 1x|.1f ++++ =

2. Escreva as parcelas da soma indicada:

a) =

6

2iix = b) ||

=

3

1i5 - ix = c) )

4

1i2 i(5x

=+ = d)

=

3

1i

24 -

2i3x =

3. Calcule para a tabela abaixo, o valor numrico das somas indicadas:

Ordem do valor i x i f i 1 2 2 2 4 5 3 5 3 4 6 2

a) i = b) x i = c) f i = d) x i . f i =

e) i . x i = f) x i2 . f i = g) (x i 10 )

2 . f i =



12

h)

i

i f . i x = i) | x i i | . f i = j) (2 x i 10 ) 2 . f i =

13. DISTRIBUIO DE FREQNCIAS

O estudo de um determinado fenmeno, freqentemente requer a coleta de uma grande massa de dados numricos (populao em estudo), difcil de ser tratada se esses dados no forem sintetizados (organizados e condensados) na forma de tabelas e grficos que contenham, alm dos valores das variveis, o nmero de elementos correspondentes a cada varivel. Cabe a Estatstica Descritiva, encontrar as leis de comportamento dessa massa de dados, retirando uma amostra desta populao para obter dados relativos a varivel desejada nesta amostra.

13.1. DADOS BRUTOS o conjunto dos dados numricos obtidos aps a crtica dos valores coletados, e que ainda no foram organizados.

Exemplo: A partir de uma lista de freqncias, em ordem alfabtica, obteve-se o conjunto das estaturas, em cm, de 20 alunos de uma classe:

163, 168, 160, 164, 168, 160, 164, 166, 169, 168, 169, 166, 162, 165, 165, 168, 164, 161, 166, 168

13.2. ROL

o arranjo ou organizao dos dados brutos em ordem de freqncia crescente ou decrescente. Assim, no exemplo dado temos o seguinte ROL:

160, 160, 161, 162, 163, 164, 164, 164, 165, 165, 166, 166, 166, 168, 168, 168, 168, 168, 169, 169 13.3. FREQNCIA ABSOLUTA OU FREQNCIA SIMPLES ( f i )

o nmero de vezes que um dado elemento aparece na amostra, ou o nmero de elementos pertencentes a uma classe. No exemplo dado, a freqncia do elemento 166 3, pois, aparece 3 vezes na amostra.

13.4. DISTRIBUIO DE FREQNCIAS PARA DADOS NO AGRUPADOS (VARIVEL DISCRETA)

o arranjo dos valores da varivel e suas respectivas freqncias. No exemplo dado, temos:

Estat. (cm) x i f i

x 1 160 2 f 1 x 2 161 1 f 2 x 3 162 1 f 3 x 4 163 1 f 4 x 5 164 3 f 5 x 6 165 2 f 6 x 7 166 3 f 7 x 8 167 0 f 8 x 9 168 5 f 9 x10 169 2 f10

20



13

Observaes: 1. x i representa a varivel (x1 = valor da 1 varivel, x2 = valor da 2 varivel , etc.); 2. f i representa a freqncia (f1 = freqncia da 1 varivel, f2 = freqncia da 2 varivel, etc.); 3. f i = n (somatrio das freqncias); 4. n o tamanho da amostra; 5. O valor mnimo 160 e o mximo 169; 6. O valor mais freqente o 168; 7. O valor 167 tem freqncia zero. Quando o nmero de valores representativo de uma amostra for muito grande, recomenda-se o agrupamento dos dados em classes, evitando com isso os inconvenientes: I. Grande extenso de tabelas, dificultando a leitura dos dados brutos e a interpretao dos resultados apurados; II. Impossibilidade ou dificuldade de visualizao do comportamento do fenmeno como um todo, bem como de sua variao; III. Aparecimento de vrios valores da varivel com freqncia nula.

O uso dos valores observados em classes, e no individualmente, oferece as seguintes vantagens: A tabela informa a tendncia de, a distribuio se concentrar em torno de um valor central, e proporciona uma viso panormica do comportamento da varivel , porm, em uma tabela de valores agrupados em classes, no mais figuram os valores exatos de cada dado em particular, e tambm no ser mais possvel saber quais so os valores maiores (mais alto) e menores (mais baixo) da distribuio.

13.5. DISTRIBUIO DE FREQNCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES (VARIVEL CONTNUA)

A distribuio de freqncias dos dados de uma amostra distribudos em classes, idntica a que feita com cada valor da varivel, adotando-se os seguintes elementos:

13.5.1. AMPLITUDE TOTAL(H) OU RANGE (R) a diferena entre o maior e o menor valor observado na amostra, identificado mais facilmente no rol. Podemos escrever: R = X mx. X mn.

No exemplo dado, temos: Xmx. = 169 e Xmn. = 160 R = 169 160 R = 9

13.5.2. NMERO DE CLASSES ( nc ou k)

CLASSE cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do conjunto de dados observados da varivel. importante que uma distribuio contenha um nmero adequado de classes, se esse nmero for pouco denso, os dados originais ficaro to comprimidos, de modo que, pouca informao se poder extrair da tabela. Se, por outro lado, se esse nmero for abundante (muitas classes), aparecer freqncias nulas ou muito pequenas que far com que os dados originais resultem em uma distribuio irregular e prejudicial interpretao do fenmeno como um todo. Para determinar o nmero de classes h diversos mtodos (frmulas empricas), dentre eles destacamos: I. k n , onde n o nmero total dos elementos da amostra. No exemplo dado, temos : K 20 K 4,472135955. . . Adotaremos K = 4 (inteiro mais prximo)



14

II. Regra de Sturges: k 1 + 3,22 . log n , n o tamanho da amostra.

No nosso exemplo: K 1 + 3,22 . log 20 K 1 + 3,22 . 1,301029996. . . K 1 + 4,189316586. . . K 5,189316586. . . Adotaremos K = 5 (inteiro mais prximo) Como voc pode observar, houve uma pequena diferena no valor do nmero de classes de acordo com a frmula usada, porm, quando trabalhamos com um nmero maior de observaes, essa diferena tende a aumentar mais ainda. Este um dos inconvenientes resultantes da aplicao da frmula de Sturges, que o de propor um nmero demasiado de classes para um nmero pequeno de observaes, e relativamente poucas classes, quando o nmero de observaes for grande. Veja o seguinte exemplo: Se o nmero de observaes for 600, teremos:

a) pela 1 frmula: k 600 24,49489... ou, arredondando, k = 24 ; b) pela 2 frmula: k 1 + 3,22 . log 600 1 + 3,22 . 2,77815... 1 + 8,945647... 9,945647... ou, arredondando, k = 10 c) se n = 60 , ento : k 1 + 3,22 . log 60 1 + 5,725647... 6,725647... ou, arredondado, k = 7

De acordo com este exemplo, conclumos que no h uma frmula exata para o clculo do nmero de classes, no entanto, alguns autores fazem as seguintes observaes:

a) para n 25 toma-se k = 5 ; b) para n > 25 toma-se k n c) para Truman L. Kelley , em The Grouping Data for Graphic Portrayal, feito a

sugesto dos seguintes nmeros de classes, com base no nmero total de observaes, para efeito de representao grfica:

observaes ( n ) 5 10 25 50 100 200 500 1 000 n de classes ( k) 2 4 6 8 10 12 15 15

A escolha de um dos critrios para a determinao do nmero de classes, depender da natureza dos dados e da unidade de medida em que eles forem expressos, e no simplesmente, de regras arbitrrias e pouco flexveis, cabendo ao investigador (ou analista) tal escolha.

13.5.3 AMPLITUDE DE CLASSE ( h )

, aproximadamente, o quociente entre a amplitude total e o nmero de classes, ou seja:

h k

R ou h

kmn.X - mx.X

No exemplo dado inicialmente (pgina 12) , temos: R = 9 e k = 4 h 4

9 2,25

Podemos adotar h = 3. Esse valor corresponde a diferena entre o limite superior e o inferior da classe.

h = Ls L i Ls = limite superior de classe

Li = limite inferior de classe

13.5.4. PONTO MDIO (PM)

a mdia aritmtica simples entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. Quando Xi no dado, tomamos o PM para seu valor, ou seja, fazemos Xi = PM

PM = 2

sL iL + Li = limite inferior da classe Ls = limite superior da classe



15

OBS.: O valor do PM, tambm pode ser obtido fazendo PM = Li + 2

h

14. TIPOS DE FREQNCIAS

14.1. FREQNCIA ABSOLUTA ( f i )

o nmero de repeties de um valor em um conjunto de dados qualquer, ou seja, o nmero de vezes em que um elemento aparece na amostra (dados brutos);

14.2. FREQNCIA RELATIVA ( f r ou f r i )

o quociente entre cada freqncia absoluta (ou simples) e a freqncia total.

f r = i f

i f ou f r = ni f , onde n = f i

NOTA: A soma das freqncias relativas simples sempre igual a 1 (um), ou seja, f r = 1 14.3. FREQNCIA RELATIVA PERCENTUAL ( f % ou f % i )

a representao da freqncia relativa em termos percentuais, ou seja, f % = f r . 100

NOTA: A soma das freqncias relativas percentuais sempre igual a 100. Isto : f % = 100% 14.4. FREQNCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( Fi ou f a i )

a soma da freqncia do valor da varivel com todas as freqncias anteriores. 14.5. FREQNCIA RELATIVA ACUMULADA ( Fr a ou f r a i )

a soma da freqncia relativa do valor da varivel com todas as freqncias relativas anteriores. 14.6. FREQNCIA PERCENTUAL ACUMULADA ( F% a ou f % a i )

a representao da freqncia relativa acumulada em termos percentuais, ou seja: F% a = f r a . 100

EXEMPLO: Fazer a distribuio das freqncias dos dados do exemplo da pgina 12, considerando os seguintes casos:

a) dados isolados (no agrupados em classes); b) dados agrupados em classes. Resoluo : a) Para dados no agrupados em classes:



16

Xi f i f r f % f a f r a f % a 160 2 0,10 10 % 2 0,10 10 % 161 1 0,05 5 % 3 0,15 15 % 162 1 0,05 5 % 4 0,20 20 % 163 1 0,05 5 % 5 0,25 25 % 164 3 0,15 15 % 8 0,40 40 % 165 2 0,10 10 % 10 0,50 50 % 166 3 0,15 15 % 13 0,65 65 % 167 0 0 0 % 13 0,65 65 % 168 5 0,25 25 % 18 0,90 90 % 169 2 0,10 10 % 20 1,00 100 % 20 1,00 100 %

b) Para dados agrupados em classes:

Classes PM=Xi f i f r f % f a f r a f % a 160 |--- 163 161,5 4 0,20 20 % 4 0,20 20 % 163 |--- 166 164,5 6 0,30 30 % 10 0,50 50 % 166 |--- 169 167,5 8 0,40 40 % 18 0,90 90 % 169 |--- 172 170,5 2 0,10 10 % 20 1,00 100 %

20 1,00 100 %

Clculos auxiliares:

I. PM1 = 2

163 160

2

L L11 si +=

+ = 161,5 PM2 =

2

166 163

2

L L22 si +=

+ = 164,5

PM3 = 2

169 166

2

L L33 si +=

+ = 167,5 PM4 =

2

172 169

2

L L44 si +=

+ = 170,5

II. 20

4

n1 f rf 1 == = 0,20

20

6

n2 f rf 2 == = 0,30

20

8

n3 f rf 3 == = 0,40

20

2

n4 f rf 4 == = 0,10

III.

1af = 0 + 4 = 4

2af = 0 + 4 + 6 = 10

3af = 0 + 4 + 6 + 8 = 18

4af = 0 + 4 + 6 + 8 + 2 = 20

OBS.: Como a varivel x =167 no aparece na amostra, poder ser omitida da tabela.



17

Distribuio de Freqncias

Exemplos: Ex1: Lista de alturas de 50 estudantes (em cm):

Tabela 1 - Dados Brutos

103 99 130 120 50 63 71 115 125 75 78 114 90 100 86 98 127 98 107 100 135 110 115 105 101 84 115 114 95 99 86 83 110 85 75 64 110 140 125 86 87 120 92 92 93 130 70 90 100 87

Lista de alturas de 50 estudantes ordenada em ordem crescente:

Tabela 2 - Rol

50 85 93 103 115 63 86 95 105 120 64 86 98 107 120 70 86 98 110 125 71 87 99 110 125 75 87 99 110 127 75 90 100 114 130 78 90 100 114 130 83 92 100 115 135 84 92 101 115 140

- Observa-se no rol de alturas que alguns valores se repetem. Pode-se fazer uma condensao das medidas estabelecendo-se uma correspondncia entre o valor individual e o respectivo nmero de vezes em que o mesmo foi observado.



18

Tabela 3 - Distribuio de Freqncias de Dados Tabulados No Agrupados em Classes

Nmero de Ordem i

Altura (cm) Repeties (fi)

1 50 1 2 63 1 3 64 1 4 70 1 5 71 1 6 75 2 7 78 1 8 83 1 9 84 1 10 85 1 11 86 3 12 87 2 13 90 2 14 92 2 15 93 1 16 95 1 17 98 2 18 99 2 19 100 3 20 101 1 21 103 1 22 105 1 23 107 1 24 110 3 25 114 2 26 115 3 27 120 2 28 125 2 29 127 1 30 130 2 31 135 1 32 140 1

Total 50

====

32

1iif = 50

Obs: A soma das freqncias sempre igual ao nmero de valores observados:

f N

i 1

k

i =

= , onde:

N : Nmero total de valores observados; fi : Nmero de observaes do valor identificado pelo nmero de ordem i; k : Total de valores diferentes observados. Extremo superior do intervalo de valores do ndice i.



19

- vantajoso resumir os dados individuais em uma distribuio de freqncias, onde os valores observados, ao invs de aparecerem individualmente, so agrupados em classes. Por qu? A tabela informa a tendncia de a distribuio se concentrar em torno de um valor central. Proporciona uma viso panormica do comportamento da varivel. - Porm: Em uma tabela de valores agrupados em classes, no figuram mais os valores exatos de cada

dado em particular. Tambm no mais possvel saber quais so os valores mais alto e mais baixo da distribuio. Notao: Smbolo Exemplo Significado

|--- 0 |--- 10 Incluso na classe do valor situado a sua esquerda e excluso do valor situado a sua direita.

---| 0 ---| 10 Incluso na classe do valor situado a sua direita e excluso do valor situado a sua esquerda.

--- 0 --- 10 Ambos os valores direita e esquerda esto excludos da classe. |---| 0 |---| 10 Ambos os valores direita e esquerda esto includos na classe.

Ex2: Teste com 500 perguntas, cada qual valendo um ponto, aplicado a 1000 alunos.

Dados Agrupados

Tabela 4 - Resultado do teste - 10 classes

Classes - Notas Freqncias (fi) 0 |-- 50 10

50 |-- 100 30 100 |-- 150 40 150 |-- 200 90 200 |-- 250 200 250 |-- 300 260 300 |-- 350 200 350 |-- 400 120 400 |-- 450 30 450 |-- 500 20

Total 1000

====

====10

1ii 1000 f



20

Tabela 5 - Resultado do teste - 2 classes Classes - Notas Freqncias

(fi) 0 |-- 250 370 250 |-- 300 630

Total 1000

fii 1

== 10002

Tabela 6 - Resultado do teste - 100 classes

Classes - Notas Freqncias

(fi) 0 |-- 5 0

5 |-- 10 1 10 |-- 15 0 15 |-- 20 2 20 |-- 25 3 25 |-- 30 0 30 |-- 35 3 35 |-- 40 0 40 |-- 45 1 45 |-- 50 0

. . . . . .

495 |-- 500 1

Total 1000

fi

i 1

== 1000100

Qual o nmero ideal de classes que deve ter esta distribuio? 1. Se o nmero de classes for muito pequeno, os dados originais ficaro to comprimidos que no

permitiro que se extraia muita informao da tabela; 2. Se forem utilizadas muitas classes, haver algumas com freqncia muito pequena, resultando

em uma distribuio por demais irregular.

Recapitulando: Amplitude total (H) ou Range(R)

Amplitude total ou intervalo total a diferena entre o maior e o menor valor observado da varivel em estudo. Denotando: XMAX = Maior valor observado XMIN = Menor valor observado Ento: H = X MAX - XMIN



21

Ex: Para as medidas de altura listadas no rol da tabela 2, temos: XMAX = 140 cm XMIN = 50 cm H = 140 cm 50 cm = 90 cm

Classe Uma dada classe pode ser identificada por seus extremos ou pela ordem em que ela se encontra na tabela. Ex: Na tabela 4, com as classes de notas, temos: Classe 0 |--- 50 ou 1a classe; Classe 400 |--- 450 ou 9a classe Nmero de classes (k) H diversos mtodos (frmulas empricas) para se determinar um nmero de classes que seja razovel. Denotando por k o nmero de classes, vamos adotar o mtodo segundo o qual o nmero de classes calculado atravs da frmula:

N k

onde: N fi= , ou seja, N o nmero total de observaes da varivel em estudo. Ex: No caso da tabela de alturas (Tabela 3), N = 50 e, portanto: k = (50)1/2 7,07 k = 7

Limites de classes Os limites de classes so seus valores extremos.

Ex: Na primeira tabela de notas (Tabela 4), os limites da segunda classe so os valores 50 e 100: 50 chamado limite inferior (Li = 50); 100 chamado limite superior (Ls = 100) Amplitude de classe (h)

A amplitude de classe definida como a diferena entre seus limites superior e inferior. Assim, denotando: LS = limite superior de classe LI = limite inferior de classe h = amplitude de classe Temos: h = LS - LI Ex: Para a classe 50 |--- 100, h = 100 50 = 50

Calculando a amplitude de classe Dada a amplitude total, H, e o nmero de classes, k, a amplitude de classe ser dada pela relao:

h k

H ou h

kR

Obs: Pequenas alteraes em torno do valor obtido no devero alterar muito o jeito da tabela. Uma sugesto que o valor de h possa ser aproximado em at 10% para mais ou para menos do valor obtido pela relao dada anteriormente. Isto , qualquer valor escolhido dentro do



22

intervalo [h 10%h; h + 10%h], igualmente razovel. Sempre que possvel, conveniente tomar um valor inteiro para h. Ex: Com relao tabela de alturas: H = 90 cm k = 7 h = 90 cm / 7 12, 85 Sendo 10% de 12,85 = 1,285, temos: 12,85 1,28 = 11,57 12,85 + 1,28 = 14,13 Portanto, razovel usar um valor de h qualquer que esteja contido no intervalo [11,57; 14,13] Vamos adotar o valor h = 13 cm para a tabela de alturas e a partir da determinar todas as classes. A partir de XMIN = 50, somaremos 13 at que tenhamos uma classe que contenha o XMAX = 140.

+13 +13 +13 +13 +13 +13 +13 | | | | | | | |

50 63 76 89 102 115 128 141

Observando-se a tabela de dados brutos (Tabela 1), ou o rol (Tabela 2) ou ainda a tabela de freqncias de dados no agrupados (Tabela 3), conta-se o nmero de ocorrncias dentro de cada classe. Obtm-se, assim, a tabela abaixo:

Tabela 7 - Distribuio de Freqncias de Dados Agrupados em Classes (I)

Classes - Alturas (cm) fi 50 |--- 63 1 63 |--- 76 6

76 |--- 89 9 89 |--- 102 14 102 |--- 115 8 115 |--- 128 8 128 |--- 141 4

Total 50

Ponto Mdio de classe (PM) O ponto mdio ou valor mdio de classe o valor que a representa para efeito de clculo de algumas medidas, tais como medidas de posio e de variabilidade. O ponto mdio definido pela mdia aritmtica dos limites do intervalo:

2

is L LPM+

=

Ex: Pontos mdios das classes relativas s medidas de altura, calculados na tabela seguinte.



23

Tabela 8 - Distribuio de Freqncias de Dados Agrupados em Classes (II) Ponto Mdio de Classe

Classes - Alturas (cm) fi PM 50 |--- 62 1 (50 + 62) / 2 = 56 62 |--- 74 4 (62 + 74) / 2 = 68 74 |--- 86 6 (74 + 86) / 2 = 80

86 |--- 98 11 (86 + 98) / 2 = 92 98 |--- 110 11 (98 + 110) / 2 = 104 110 |--- 122 10 (110 + 122) / 2 = 116 122 |--- 134 5 (122 + 134) / 2 = 128 134 |--- 146 2 (134 + 146) / 2 = 140

Total 50 Obs: Poderamos tambm ter calculado o PM da primeira classe e obter os PM das classes seguintes somando 12 (que a amplitude de classe) sucessivamente, como abaixo:

+12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 | | | | | | | |

56 68 80 92 104 116 128 140

Tipos de Freqncias Uma tabela de freqncias pode representar um dos seguintes tipos de freqncias: Freqncias simples: Absoluta Relativa (e Porcentual) Abaixo de (crescente) Absoluta Freqncias acumuladas: Relativa (e Porcentual) Acima de (decrescente) Absoluta Relativa (e Porcentual) Freqncia Simples Absoluta (f i) Nmero de repeties de um valor individual ou de uma classe de valores da varivel. Freqncia Simples Relativa (f ri) Proporo de observaes de um valor individual ou de uma classe em relao ao nmero

total de observaes.

N

f

f

ff i

k

1jj

iri ==

=

, N = fi



24

Obs: A soma das freqncias simples relativas de uma tabela sempre igual a 1. Isto :

1fk

1iri====

====

Freqncia Simples Porcentual (f %i) Desejando-se expressar o resultado (isto , a freqncia relativa) em termos porcentuais, multiplica-se o quociente obtido por 100. Obtem-se, assim, a freqncia percentual:

ff

N%i

i= 100 ou f%i = fri 100 %

Obs: A soma das freqncias percentuais de uma tabela sempre igual a 100. Isto :

f%ii 1

k

= = 100%

Ex: Freqncias relativas e percentuais das classes de medidas de altura, calculadas na tabela seguinte.

Tabela 9 - Distribuio de Freqncias de Dados Agrupados em Classes (III) Freqncia Relativa e Freqncia Porcentual

Classes - Alturas

(cm) fi PM fr i f% i

50 |--- 62 1 56 1/50 = 0,02 0,02 100 = 2% 62 |--- 74 4 68 4/50 = 0,08 0,08 100 = 8% 74 |--- 86 6 80 6/50 = 0,12 0,12 100 = 12% 86 |--- 98 11 92 11/50 = 0,22 0,22 100 = 22%

98 |--- 110 11 104 11/50 = 0,22 0,22 100 = 22% 110 |--- 122 10 116 10/50 = 0,20 0,20 100 = 20% 122 |--- 134 5 128 5/50 = 0,10 0,10 100 = 10% 134 |--- 146 2 140 2/50 = 0,04 0,04 100 = 4%

Total 50 1,00 100%

Freqncia Absoluta Acumulada Abaixo de (fai) A freqncia absoluta acumulada abaixo de uma classe (ou um valor individual) dada

pela soma da freqncia simples absoluta dessa classe (ou desse valor) com as freqncias simples absolutas das classes (ou dos valores) anteriores a ela.

Toda vez que se deseja saber quantas observaes existem at uma determinada classe

(ou valor) recorre-se freqncia acumulada abaixo de.

Ex: Freqncias acumuladas abaixo de para as classes de medidas de altura, calculadas na tabela seguinte.



25

Tabela 10 - Distribuio de Freqncias de Dados Agrupados em Classes (IV) Freqncia Absoluta Acumulada Abaixo de

Classes - Alturas

(cm) fi PM fr i f% i f a i

50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 1 + 4 = 5 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 5 + 6 = 11 86 |--- 98 11 92 0,22 22% 11 + 11 = 22

98 |--- 110 11 104 0,22 22% 22 + 11 = 33 110 |--- 122 10 116 0,20 20% 33 + 10 = 43 122 |--- 134 5 128 0,10 10% 43 + 5 = 48 134 |--- 146 2 140 0,04 4% 48 + 2 = 50

Total 50 1,00 100% Interpretao: fa3 = 11 significa que h 11 alunos com alturas inferiores a 86.

Freqncia Relativa Acumulada Abaixo de (fari) A freqncia relativa acumulada abaixo de uma classe (ou de valor individual) igual soma da freqncia simples relativa dessa classe com as freqncias simples relativas das classes (ou valores) anteriores.

Freqncia Porcentual Acumulada Abaixo de (fa%i)

A freqncia acumulada porcentual abaixo de obtm-se multiplicando-se a freqncia relativa acumulada abaixo de por 100. Isto : fa%i = 100 fari Ex: Freqncias acumuladas abaixo de relativas e percentuais para as classes de medidas de altura, calculadas na tabela seguinte.

Tabela 11 - Distribuio de Freqncias de Dados Agrupados em Classes (V) Freqncia Relativa e Percentual Acumulada Abaixo de

Classes - Alturas (cm)

fi PM fr i f% i f a i f a r i f a % i

50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 1/50 = 0,02 0,02 100 = 2% 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 5 5/50 = 0,1 0,10 100 = 10% 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 11 11/50 = 0,22 0,22 100 = 22%

86 |--- 98 11 92 0,22 22% 22 22/50 = 0,44 0,44 100 = 44% 98 |--- 110 11 104 0,22 22% 33 33/50 = 0,66 0,66 100 = 66% 110 |--- 122 10 116 0,20 20% 43 43/50 = 0,86 0,86 100 = 86% 122 |--- 134 5 128 0,10 10% 48 48/50 = 0,96 0,96 100 = 96% 134 |--- 146 2 140 0,04 4% 50 50/50 =1,00 1 100 = 100%

Total 50 1,00 100% Freqncia Absoluta Acumulada Acima de (fai) A freqncia absoluta acumulada acima de uma classe (ou um valor individual) dada

pela soma da freqncia simples absoluta dessa classe (ou desse valor) com as freqncias simples absolutas das classes (ou dos valores) posteriores a ela. Ex: Freqncias acumuladas acima de para as classes de medidas de altura, calculadas na tabela seguinte.



26

Tabela 12 - Distribuio de Freqncias de Dados Agrupados em Classes (VI) Freqncia Absoluta Acima de

Classes - Alturas (cm)

fi PM fr i f% i f a i f a r i f a % i fa

50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 0,02 2% 49 + 1 = 50 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 5 0,1 10% 45 + 4 = 49 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 11 0,22 22% 39 + 6 = 45 86 |---98 11 92 0,22 22% 22 0,44 44% 28 + 11 = 39 98 |--- 110 11 104 0,22 22% 33 0,66 66% 17 + 11 = 28 110 |---122 10 116 0,20 20% 43 0,86 86% 7 + 10 = 17 122 |--- 134 5 128 0,10 10% 48 0,96 96% 2 + 5 = 7 134 |--- 146 2 140 0,04 4% 50 1 100% 2

Total 50 1,00 100%

Freqncia Relativa Acumulada Acima de (fari) A freqncia relativa acumulada acima de uma classe (ou valor individual) igual soma da freqncia simples relativa dessa classe com as freqncias simples relativas das classes (ou valores) anteriores.

Freqncia Porcentual Acumulada Acima de (fa%i)

A freqncia acumulada porcentual acima de obtida multiplicando-se a freqncia relativa acumulada acima de por 100. Isto : fa%i = 100 fari Ex: Freqncias acumuladas abaixo de relativas e porcentuais para as classes de medidas de altura, calculadas na tabela seguinte.

Tabela 13 - Distribuio de Freqncias de Dados Agrupados em Classes (VII) Freqncia Relativa e Porcentual Acumulada Acima de

Classes - Alturas

(cm) fi PM fr i f%i f a i f ari f a%i fai far i fa%i

50 |--- 62 1 56 0,02 2% 1 0,02 2% 50 50/50 =1 1 100 = 100% 62 |--- 74 4 68 0,08 8% 5 0,1 10% 49 49/50 = 0,98 0,98 100 = 98% 74 |--- 86 6 80 0,12 12% 11 0,22 22% 45 45/50 = 0,90 0,90 100 = 90% 86 |--- 98 11 92 0,22 22% 22 0,44 44% 39 39/50 = 0,78 0,78 100 = 78% 98 |--- 110 11 104 0,22 22% 33 0,66 66% 28 28/50 = 0,56 0,56 100 = 56% 110 |--- 122 10 116 0,20 20% 43 0,86 86% 17 17/50 = 0,34 0,34 100 = 34% 122 |--- 134 5 128 0,10 10% 48 0,96 96% 7 7/50 = 0,14 0,14 100 = 14% 134 |--- 146 2 140 0,04 4% 50 1 100% 2 2/50 = 0,04 0,04 100 = 4%

Total 50 1,00 100%

Questes: Com relao Tabela 13: Qual a altura que representa a terceira classe? Qual o nmero de alunos com altura entre 74 e 86 cm? Qual o nmero de alunos com altura entre 62 e 98 cm? Qual o nmero de alunos com altura abaixo de 110 cm?



27

Qual o nmero de alunos com altura acima de 110 cm? Qual a porcentagem de alunos com altura entre 98 e 110 cm? Qual a porcentagem de alunos com altura abaixo de 86 cm? Qual a porcentagem de alunos com altura acima de 98 cm? Qual o nmero de alunos com altura abaixo de 90 cm? Qual a porcentagem de alunos com altura abaixo de 128 cm? Qual a altura abaixo da qual h 43 pessoas? Qual a altura abaixo da qual h 10% de pessoas? Qual a altura abaixo da qual h 15 pessoas?

Exerccios:

1. Os dados brutos abaixo representam o QI de 60 alunos: 110 115 112 163 85 92 137 110 127 144 123 87 103 121 163 77 135 147 160 120 135 98 105 132 165 101 81 151 185 118 152 84 110 70 177 128 105 87 163 125 163 93 127 143 178 129 138 109 91 170 172 98 118 154 181 133 142 155 113 97

a. Construa uma distribuio de freqncias que contenha PM, fi, f%, f%a e f%a . b. Com base na tabela construda no item anterior responda:

1. Qual o QI que representa a quinta classe? 2. Qual o nmero de alunos com QI na quarta classe? 3. Qual o nmero de alunos com QI abaixo de 115? 4. Qual o nmero de alunos com QI abaixo de 125? 5. Qual a porcentagem de alunos com QI na sexta classe? 6. Qual a porcentagem de alunos com QI abaixo de 160? 7. Qual o nmero de alunos com QI acima de 144? 8. Qual o QI abaixo do qual h 40 pessoas?

2. Um professor de educao fsica obteve as alturas em metros de 60 alunos escolhidos

aleatoriamente de um grupo de 600 alunos que fazem parte da escola. Os resultados so dados na tabela abaixo: 1,55 1,56 1,58 1,60 1,60 1,60 1,60 1,62 1,63 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,67 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,69 1,69 1,69 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,75 1,75 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,85 1,89

a. Os nmeros listados na tabela acima se referem a uma populao ou a uma amostra? Justifique. b. Identifique e classifique a varivel do problema. c. Com os dados de altura construa uma distribuio de freqncias contendo os valores de fi, fa e f% d. Com base na tabela construda responda:

1. Quantos alunos tm altura na quinta classe? 2. Quantos alunos tm altura abaixo de 1,67 m? 3. Quantos alunos tm altura acima de 1,75 m? 4. Qual a porcentagem de alunos com altura abaixo de 1,68 m? 5. Qual a altura abaixo da qual h 30 pessoas?



28

3. Os dados abaixo se referem aos salrios em R$ por hora de todos os 40 empregados de uma pequena indstria.

850 1820 750 1520 1200 5200 2200 3500 4200 4800 750 780 1100 1200 1100 4500 4650 4900 3900 2000 1200 1200 1050 920 1020 3200 1800 1750 2300 850 990 1050 890 850 920 720 780 750 820 950

a. Os nmeros listados na tabela acima se referem a uma populao ou a uma amostra? Justifique.

b. Identifique e classifique a varivel do problema. c. Com os dados de salrio construa uma distribuio de freqncias contendo os valores de fi, fa e f%

4. Preencher as seguintes tabelas: Quadro I:

Classes fi f% f%a f%a 0 |--- 10 1 10 |--- 20 3 20 |--- 30 6 30 |--- 40 8 40 |--- 50 10 50 |--- 60 16 60 |--- 70 14 70 |--- 80 12 80 |--- 90 8 90 |--- 100 2 80

Quadro II: Classes PM fi fa fa fr f% fra

1000 |--- 2000 1500 2 2000 |--- 3000 2500 5 3000 |--- 4000 3500 12 4000 |--- 5000 4500 13 5000 |--- 6000 5500 5 6000 |--- 7000 6500 3 40

Supondo que o Quadro I represente notas, responda: I-a. Quantos alunos tm nota abaixo de 33? I-b. Qual a porcentagem de alunos com nota acima de 78? I-c. Qual a nota abaixo da qual tem 10 pessoas? I-d. Qual a nota abaixo da qual tem 12 pessoas? I-e. Quantas pessoas tm nota acima de 47 e abaixo de 85? Supondo que o Quadro II represente salrio em R$, responda: II-a. Quantas pessoas ganham menos de 4700? II-b. Qual a porcentagem de pessoas que ganham acima de 2250? II-c. Qual o salrio abaixo do qual tem 25 pessoas?

5. Construa uma tabela de freqncias para os dados abaixo sem agrup-los em classes: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 15, 15, 15, 15, 15.



29

Representaes Grficas

Alm da apresentao tabular, uma outra maneira de se sumarizar e apresentar dados estatsticos por meio de grficos.

A principal vantagem do uso de grficos sobre o uso de tabelas que os grficos permitem uma visualizao imediata dos valores observados, na sua totalidade. Soma-se a isso o carter esttico: trata-se de uma representao mais atraente, tendendo a chamar mais ateno sobre os dados. Os princpios que norteiam a construo de grficos foram introduzidos pelo matemtico francs Ren Descartes em 1637, ao desenvolver a geometria analtica. Representaes grficas em coordenadas cartesianas so feitas em um plano chamado plano cartesiano (em homenagem a Descartes). Este plano representado por duas retas perpendiculares entre si, que o dividem em quatro quadrantes (ver Fig. 1). A reta horizontal, orientada para a direita, chamada de eixo das abscissas e a vertical, orientada para cima, eixo das ordenadas. A orientao destas retas indica a direo em que os valores das abscissas e das ordenadas aumentam. Os valores das abscissas e das ordenadas so marcados a intervalos regulares em cada um dos eixos. O ponto de cruzamento entre os eixos , em geral, tomado como sendo a origem de ambos os eixos. A qualquer par ordenado (x, y) associa-se um nico ponto no plano cartesiano, com valor de abscissa x e valor de ordenada y. y

(-1, +3) +3 20 quadrante 10 quadrante +2 +1 (+2,+1) -2 -1 0 +1 + 2 +3 x (-2, -1) -1

30 quadrante 40 quadrante -2 (+2, -2)

Fig. 1 - Plano Cartesiano

A representao grfica das sries estatsticas tem por finalidade representar os resultados obtidos, permitindo chegar-se a concluses sobre a evoluo do fenmeno ou sobre como se relacionam os valores da srie. No h uma nica maneira de representar graficamente uma srie estatstica. A escolha do grfico mais apropriado ficar a critrio do analista. Contudo, os elementos: simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaborao de um grfico. Costuma-se representar no eixo das abscissas (varivel x) a grandeza tempo e os valores observados no eixo das ordenadas (y).

Grfico para Distribuio com varivel Discreta Considerando o nmero de acidentes automotivos dirios ocorridos em dezembro. N de acidentes 0 1 2 3 4 5 freqncias (fi) 12 8 6 7 3 2



30

Temos a seguinte representao grfica: fi N de acidentes

No grfico, cada haste possui uma extremidade na categoria e outra na respectiva freqncia.

Grfico para Distribuio com Varivel Contnua (grficos analticos) Grficos Analticos so usados tipicamente para representao de distribuies de freqncias simples e acumuladas. So eles: Histogramas: Utilizados para representao de freqncias simples; Polgono de freqncias: Tambm utilizados para representao de freqncias simples; Polgono de freqncias acumuladas ou Ogivas de Galton: Utilizados para representao

de freqncias acumuladas. I. Histograma a representao grfica de uma distribuio de freqncia por meio de retngulos sucessivos e justapostos onde a base colocada no eixo das abscissas corresponde aos intervalos de classe e a altura proporcional freqncia absoluta das classes.

Ex: Tabela 3 Classes de notas PM fi

0 |--- 10 5 1 10 |--- 20 15 4 20 |--- 30 25 6 30 |--- 40 35 10 40 |--- 50 45 15 50 |--- 60 55 20 60 |--- 70 65 8 70 |--- 80 75 5 80 |--- 90 85 2

90 |--- 100 95 1 TOTAL 72

0 1 2 3 4 5

12 - 8 - 6 - 4 - 2 - 1 -



31

Fig. 14 - Histograma referente tabela de classe de notas (Tabela 3)

Tambm se pode construir histogramas para representar freqncias percentuais. Ao invs de marcar no eixo das abscissas os limites de classes, pode-se igualmente marcar os pontos mdios (PMs) de cada classe, conforme ilustrado na figura seguinte, para os mesmos dados da Tabela 3.

Fig. 15 - Histograma referente tabela de classe de notas (Tabela 3) com PMs marcados no eixo das abscissas

II. POLGONO DE FREQNCIAS obtido unindo-se os pontos mdios das bases superiores dos retngulos do histograma. Ex: Considerando-se ainda os dados da Tabela 3, na figura seguinte exibido o polgono de freqncias juntamente com o histograma j apresentado na figura 14.

Fig. 16 - Histograma e polgono de freqncias referentes tabela de classe de notas (Tabela 3)

Uma vez que histogramas e polgonos de freqncias fornecem as mesmas informaes a respeito de uma distribuio de freqncias, surge a questo de quando mais conveniente usar um tipo de grfico ou outro. Em geral, quando se deseja representar apenas uma distribuio em um grfico, o histograma a representao mais usada. Contudo, caso se queira comparar duas ou mais distribuies graficamente, isto deve ser feito graficando-se os polgonos de freqncia de cada distribuio, j que vrios histogramas em um mesmo grfico tornaria a leitura do mesmo por demais confusa.



32

Ex: Comparar a distribuio de notas de trs turmas de CC em uma prova de Estatstica. Estas distribuies encontram-se tabeladas abaixo, em termos de freqncias percentuais.

Tabela 4: Turma 1 Tabela 5: Turma 2 Tabela 6: Turma 3 Classes de

Notas PM f%i Classes de

Notas PM f%i Classes

de Notas PM f%i

0 |--- 1 0,5 2% 0 |--- 1 0,5 0% 0 |--- 1 0,5 3% 1 |--- 2 1,5 5% 1 |--- 2 1,5 2% 1 |--- 2 1,5 7% 2 |--- 3 2,5 11% 2 |--- 3 2,5 9% 2 |--- 3 2,5 12% 3 |--- 4 3,5 15% 3 |--- 4 3,5 13% 3 |--- 4 3,5 18% 4 |--- 5 4,5 18% 4 |--- 5 4,5 17% 4 |--- 5 4,5 22% 5 |--- 6 5,5 23% 5 |--- 6 5,5 20% 5 |--- 6 5,5 16% 6 |--- 7 6,5 16% 6 |--- 7 6,5 23% 6 |--- 7 6,5 13% 7 |--- 8 7,5 5% 7 |--- 8 7,5 10% 7 |--- 8 7,5 6% 8 |--- 9 8,5 3% 8 |--- 9 8,5 4% 8 |--- 9 8,5 3%

9 |--- 10 9,5 2% 9 |--- 10 9,5 2% 9 |--- 10 9,5 0% TOTAL 100% TOTAL 100% TOTAL 100%

Fig. 17 - Polgonos de freqncias referentes s distribuies de notas das turmas 1, 2 e 3,

correspondentes s tabelas 4, 5 e 6, respectivamente.

III. POLGONOS DE FREQNCIAS ACUMULADAS ou OGIVAS DE GALTON Tm por finalidade representar graficamente as freqncias acumuladas de uma

distribuio. A Ogiva de Galton crescente aquela que representa as freqncias acumuladas abaixo de e a decrescente, a que representa as freqncias acumuladas acima de. As ogivas podem ser usadas para representar freqncias acumuladas absolutas, relativas ou percentuais. Ex: Tomando os dados da Tabela 3 e calculando as freqncias acumuladas abaixo de e acima de para estes dados, pode-se ento construir as ogivas correspondentes.



33

Tabela 7 Classes de notas PM fi fai fai

0 |--- 10 5 1 1 72 10 |--- 20 15 4 5 71 20 |--- 30 25 6 11 67 30 |--- 40 35 10 21 61 40 |--- 50 45 15 36 51 50 |--- 60 55 20 56 36 60 |--- 70 65 8 64 16 70 |--- 80 75 5 69 8 80 |--- 90 85 2 71 3 90 |--- 100 95 1 72 1 TOTAL 72

Ogiva de Galton Crescente

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Notas

F r eqnc i a s

Fig. 18 - Ogiva de Galton Crescente relativa aos dados da Tabela 7

Ogiva de Galton Decrescente

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Notas

Freqn

cia

Fig. 19 - Ogiva de Galton Decrescente relativa aos dados da Tabela 7

Se graficarmos as duas ogivas juntas, o valor lido no eixo das abscissas do ponto onde as duas curvas se cruzam chamado mediana da distribuio. Trata-se do valor tal que abaixo dele esto 50% das observaes.



34

Ogivas de Galton Crescente e Decrescente

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Notas

Freqn

cia

Md: Mediana

Fig. 20 - Ogiva de Galton Crescente e Decrescente relativas aos dados da Tabela 7 - Determinao grfica da mediana da distribuio

Princpios para a construo de grficos Alm de saber analisar e extrair informaes de um grfico, se faz necessrio, muitas vezes, que se saiba construir um grfico a partir, por exemplo, de dados tabulados. Algumas princpios que devem ser seguidos na construo de grficos so:

Esttica - Uma vez que o aspecto marcante de um grfico, como um meio de apresentao de dados, o visual, deve-se faz-lo com capricho, isto : sem rasuras, sem elementos desnecessrios, com curvas diferenciadas, centralizado, etc.

Ttulo - Todo grfico deve ter um ttulo, informando sobre o que diz respeito os dados ali representados. Junto ao ttulo, caso seja esta uma informao importante, deve ser mencionada a data em que os dados foram colhidos.

Eixos - Os nomes das variveis (juntamente com as respectivas unidades), cujos valores sero lidos nos eixos do grfico, devem ser colocados junto aos mesmos: Sob o eixo das abscissas, o nome e unidade de medida da varivel independente e, ao lado do eixo das ordenadas, o nome e unidade da varivel dependente.

Legenda - Quando, em um mesmo grfico, estiverem sendo representadas duas ou mais distribuies ou grandezas diferentes, deve haver uma legenda que possibilite disting-las.

Escalas - A elaborao da escala horizontal e vertical deve seguir as seguintes regras: Todos os valores assumidos pelas variveis devem estar contidos no intervalo que

vai do menor ao maior valor marcados na escala. As marcaes devem ser feitas de maneira uniforme, isto , os valores marcados

nos eixos devem estar uniformemente espaados. Quando se tratar de variveis cardinais, as marcaes devem representar

intervalos uniformes destas variveis. No necessrio indicar na escala os valores das variveis de uma em uma

unidade. Pelo contrrio, o excesso de informao pode dificultar a leitura do grfico. Conforme for o caso (e aqui deve-se seguir o bom senso), marca-se a escala a intervalos equiespaados de 3 em 3 unidades, 5 em 5, 10 em 10, 100 em 100, etc.

Indicao de cortes - Quando o tamanho do papel no possibilitar que se represente todos os valores, desde a origem ao maior valor a ser marcado na escala, deve-se indicar isto colocando-se no eixo, entre a origem e o prximo valor o seguinte smbolo:



35

Exerccios

1. Construa um grfico em setores para os dados da tabela abaixo:

Grupo % Acertos A 10 B 15 C 25 D 40 E 10

TOTAL 100 2. Construa um grfico de barras ou colunas para os dados da tabela:

Disciplina Nmero de alunos cursando por perodo

Manh Tarde Noite A 5 8 10 B 8 8 20 C 13 30 20 D 20 35 40 E 10 43 8

3. Construa um grfico de linhas para os dados da tabela abaixo:

Tempo (minutos) Nmero de pessoas que levaram um certo tempo em minutos para responder Questo A e

Questo B Questo A Questo B 1 2 5 2 3 6 3 3 6 4 4 6 5 5 3 6 6 3 7 7 2 8 7 8 9 7 8 10 5 9 11 3 11 12 2 5 13 5 2

4. Dado o grfico abaixo, que representa a temperatura de uma srie de pessoas, responda:

a) Qual o nmero de pessoas cuja temperatura se encontra representada no grfico? b) Quantas pessoas possuem temperatura maior que 380C? c) Qual a percentagem de pessoas normais, considerando como normais aquelas com

temperaturas entre 360C e 370C?



36

Figura relativa ao exerccio (4)

5. Com base no grfico seguinte, responda aproximadamente: a) Quantas pessoas tm idade inferior a 40? b) Quantas pessoas tm idade inferior a 34? c) Quantas pessoas tm idade superior a 66? d) Qual a percentagem de pessoas com idade inferior a 52? e) Qual a idade abaixo da qual se situam 17 pessoas?

Figura relativa ao exerccio (5) 6. Para a tabela abaixo construa o histograma e o respectivo polgono:

Classes fi 0 |--- 10 20 10 |--- 20 40 20 |--- 30 60 30 |--- 40 50 40 |--- 50 30 Total 200

7. Para a tabela abaixo, construa as duas ogivas (use fa e fa) e marque no grfico

construdo o valor da mediana.

Classes fi 140 |--- 145 3 145 |--- 150 3 150 |--- 155 2 155 |--- 160 4 160 |--- 165 4 165 |--- 170 6 170 |--- 175 10 175 |--- 180 8 180 |--- 185 5 185 |--- 190 4 190 |--- 195 2 195 |--- 200 1

Total 52

fa

0 10 20 30 40 50 60 70 80

32 28 24 20 16 12 8 4

idade em anos



37

8. Para a tabela seguinte construa: a) Um histograma e o respectivo polgono (use f%). b) As duas ogivas, usando fa% e fa%.

Classes fi 100 |--- 150 7 150 |--- 200 11 200 |--- 250 9 250 |--- 300 7 300 |--- 350 5 350 |--- 400 1

Total 40

9. Com base no grfico abaixo, responda aproximadamente: a) Quantos alunos tm nota inferior a 60, em percentagem? b) Quantos alunos tm nota inferior a 63, em percentagem? c) Quantos tm nota superior a 38, em percentagem? d) Qual a nota abaixo da qual h apenas 25% de alunos?

Figura relativa ao exerccio (9)

Medidas de Posio

Alm da organizao e apresentao de dados estatsticos, a Estatstica Descritiva tambm compreende a tarefa de sumarizao, ou reduo, dos dados. H diversas medidas que possibilitam a condensao da informao contida dentro de um conjunto de observaes. Os dois tipos de medidas mais importantes so as medidas de posio e as medidas de disperso. H ainda as medidas de assimetria e de curtose. Dentre as medidas de posio, as principais so as chamadas medidas de tendncia central, sendo as trs mais utilizadas: a mdia aritmtica, a mediana e a moda. So assim denominadas devido ao fato de haver uma tendncia dos dados de se concentrarem em torno destes valores.

Soma-se s medidas de tendncia central ainda outras medidas de posio, denominadas genericamente de separatrizes ou quantis, que so os quartis, decis e percentis.

O clculo

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AP. Estatística Descritiva - 2013 - 2º Ano