1 Colgio Trilnge Inovao Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Chapec Santa Catarina CEP. 89801-600 Prof. Denise Ortigosa Stolf Textos Sumrio Potenciao ............................................................................................................................................... 2 Potncia de um nmero real com expoente natural .............................................................................. 2 Propriedades ...................................................................................................................................... 2 Potncia de um nmero real com expoente inteiro negativo ................................................................ 6 Sinal de uma potncia de base no nula ............................................................................................ 6 Potncias de 10...................................................................................................................................... 9 Notao cientfica ........................................................................................................................... 10 Radiciao ............................................................................................................................................... 12 Raiz ensima de um nmero real ........................................................................................................ 12 Radical aritmtico e suas propriedades ............................................................................................... 14 Propriedades .................................................................................................................................... 15 Simplificando radicais: extrao de fatores do radicando .................................................................. 21 Introduzindo um fator externo no radicando....................................................................................... 25 Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais .......................................................................... 27 Multiplicando e dividindo expresses com radicais de mesmo ndice e de ndices diferentes .......... 31 Produtos notveis ............................................................................................................................ 35 Potenciao de uma expresso com radicais ....................................................................................... 36 Racionalizando denominadores de uma expresso fracionria ........................................................... 37 Simplificando expresses com radicais .............................................................................................. 39 Potncias com expoente fracionrio ................................................................................................... 41 Bibliografia ............................................................................................................................................. 43 2 POTENCIAO Potncia de um nmero real com expoente natural Apotnciaandonmerointeiroa,definidacomoumprodutodenfatoresiguais.Onmeroa denominado a base e o nmero n o expoente. 43 42 1vezes nna a a a a = ...Exemplo:2 2 2 2 24 =a multiplicado por a n vezes Propriedades 1) Produto de potncias de mesma base Exemplos: m n m na a a+= 9 6 3 6 35 5 5 5 = = + 7 3 4 3 4) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( = = + 2) Quociente de potncias de mesma base Exemplos: m n m na a a= :3 2 5 2 56 6 6 : 6 = = 5 3 8 3 8) 10 ( ) 10 ( ) 10 ( : ) 10 ( = = 3 3) Potncia de uma potncia Exemplos: ( )m nmna a=( )10 5 25210 10 10 = = ( ) [ ] ( ) ( )15 5 3538 8 8 = = 4) Potncia de um produto ou de um quociente Exemplos: n n nn n nb a b ab a b a: ) : () (= = 8 8 85 6 ) 5 6 ( = [ ]4 442 : ) 10 ( 2 : ) 10 ( = Observao: Para todo nmero real a, com0 a , temos10= a 1 22 24 2 2 28 2 2 2 20123=== == = 122222422 2242822 2 228 2 2 2 20123= == === = == = 1 2 22222 2 22224 2 2 2 22228 2 2 2 20 1 1101 1 2212 1 3323= = = == = = == = = = == = 4 EXERCCIOS A1 6) Calcule as potncias. a) 3) 13 (b) 114116||

\| 5 7) Determine o valor de: 0 100 1 5010 1 10 0 + + . 8) Se 511 = a , qual o valor de 3a ? 9) Qual o maior: 2) 15 (ou 215 ? 10) Calcule os valores das expresses: a) 10 5 3 2 2 2 21 12 ) 2 6 : 4 3 ( + b) ( ) ( ) [ ]2103 322 213 5 2 3 2 : 5 5 2 5 5 11) Determine o valor numrico da expressoac b 42para5 = a ,9 = be4 = c . 6 Potncia de um nmero real com expoente inteiro negativo Para todo nmero racional a, com a 0, definimos: nnna aa||

\|= =1 1, em que n um nmero natural e a1 o inverso de a. Observao: nnnnnnn nnabababbababa||

\|= = = =||

\|=||

\|11 1 Exemplos: a) 49171722= = c) 4923322 2=||

\| =||

\| b)51515115115111= = =||

\|=||

\|d)( )343872275 , 33 33 =||

\| =||

\| = Sinal de uma potncia de base no nula Para determinar o sinal de uma potncia, podemos considerar o sinal da base e verificar se o expoente par ou mpar. Expoente Base positiva Base negativa Par Potncia positiva 625 5 5 5 5 54= = Potncia positiva 625 ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 (4= = mpar Potncia positiva 32 2 2 2 2 2 25= = Potncia negativa 27 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 (3 = = 7 EXERCCIOS A2 1) Determine o valor de: a) 117 c) 531||

\|b) 4) 6 ( d) 623||

\|2) Escreva cada nmero sob a forma de potncia com expoente inteiro negativo: a) 3101 c) 1167||

\| b) 5161d) 61|||

\|xy 3) Calcule o valor de 32 144 4 +. 4) Calcule o valor das expresses: a) 2 1322 31313 ++||

\|b) 2 1 2 1) 3 2 2 ( + +5) Simplifique a expresso algbrica 2 21 1 +y xy x. 6) Aplique as propriedades de potncias e simplifique as expresses: a) 3 4 a ac) 40 7 6: ) ( a ab) 2 11) (a d) 34 2) (aab 8 7) Aplique as propriedades de potncia e reduza as expresses a uma s potncia: a)17 172 2+ n c)( ) [ ]475n b) 3 121:21+ ||

\|||

\|n n d) n na a :1 8) Simplifique as expresses e calcule o valor de cada uma delas: a) 432 4 23 :313232(((

||

\|+||

\|||

\| c) nn55 5 51 2 1 + b) ( ) ( ) ( )242 534351010 : 10 10 10 + d) 13 373 21 nn n 9 Potncias de 10 Para facilitar a escrita de nmero com muitos dgitos iguais a zero, podemos utilizar potncias de 10. Quandotemosumnmeromultiplicadoporumapotnciadebase10positiva,indicaqueiremos aumentaronmerodezerosdireitaoumovimentarparaadireitaavrgulatantascasasquanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos: 54 x 105 = 5400000Acrescentamos 5 zeros direita do 54 2050 x 102 = 205000Acrescentamos 2 zeros direita do 2050 0,00021 x 104 = 2,1Movimentamos a vrgula 4 casas para a direita 0,000032 x 103 = 0,032Movimentamos a vrgula 3 casas para a direita Quandotemosumnmeromultiplicadoporumapotnciadebase10negativa,indicaqueiremos diminuironmerodezerosdireitaoumovimentaravrgulaparaesquerdatantascasasquanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos: 54 x 10-5 = 0,00054Movimentamos a vrgula 5 casas para a esquerda 2050 x 10-2 = 20,5 Movimentamos a vrgula 2 casas para a esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50 0,00021 x 10-4 = 0,000000021Movimentamos a vrgula 4 casas para a esquerda 0,000032 x 10-3 = 0,000000032Movimentamos a vrgula 3 casas para a esquerda 32500000 x 10-4 = 3250Diminumos 4 zeros que estavam direita Exemplos: 1) A distncia da galxia de Andrmeda Terra de aproximadamente: 2.200.000 anos-luz. 2.200.000 = 22 100.000 = 22 105 anos-luz 2) O raio de um tomo mede aproximadamente: 0,00000000005 mm. 0,00000000005 mm = 5 0,00000000001 mm = 5 10-11 mm 10 Notao cientfica Fsicos, qumicos, bilogos, engenheiros, astrnomos e outros cientistas utilizam nmeros com muitos zeros. Como j vimos, estes nmeros podem ser escritos de vrias maneiras, usando potncias de 10. AdistnciadoSolTerra,porexemplo,,aproximadamente,150000000kmepodeserindicadapor 610 150 Km ou 710 15 Km ou 810 5 , 1 Km ou 910 15 , 0 Km. Aespessuradeumvrus,aproximadamente,0,0008mmou 410 8 mmou 310 8 , 0 mmou 110 008 , 0 mm. Nostrabalhoscientficos,parafacilitarosclculoseacomunicao,quandoaparecemnmeroscom muitos zeros, esses nmeros so escritos numa forma padro chamada notao cientfica. Um nmero escrito na notao cientfica o produto de um nmero entre 1 e 10 por uma potncia de 10. Assim, a distncia do Sol Terra, em notao cientfica, aproximadamente 810 5 , 1 km e a espessura de um vrus 410 8 mm. 11 EXERCCIOS A3 1) Escreva os seguintes nmeros usando potncia de dez: a) dez bilhesc) um milionsimo b) 14.400.000d) 0,00000014 2) Calcule: a) 510 0,00532 b) 310 : 41 , 7 c) 310 42 , 3 3) Escreva os seguintes nmeros usando notao cientfica: a) 7 500 000 000c) 106 000 b) 0,0000192d) 0,005024 12 RADICIAO Raiz ensima de um nmero real Consideremos um nmero real a e um nmero natural n, com n 2. Vamos examinar o conceito de raiz ensima desse nmero, indicada pela expresso: Temos dois casos a examinar: 1 Caso: O ndice n par. Observe alguns exemplos: 9 81 = , pois81 9 9 92= =2 164= , pois16 2 2 2 2 24= =3 7296= , pois729 3 3 3 3 3 3 36= = J vimos que no se define a raiz quadrada de um nmero real negativo, pois ao elevarmos um nmero realaoquadradonoobtemosumnmerorealnegativo.Essefatoseestendequandotemosaraiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava,... e assim por diante, de um nmero real negativo. Assim: 4 no se define em . 481 no se define em . 61 no se define em . Podemos dizer que: Quando o nmero real a positivo (a > 0) e n um nmero natural par, diferente de zero, dizemos que a expresso na igual ao nmero real positivo b tal quea bn= . Quandoonmerorealanegativo(a 0, n > 0) Assim:No radical5 , o ndice 2 e o radicando 5. No radical 310 , o ndice 3 e o radicando 10. 15 Propriedades 1) Propriedade a an n= , com , e1 > n Exemplos: a)2 2 325 5 5= =b)7 7 492= =c)3 3 814 4 4= = 2) Propriedade p np m n ma a::= , com0 pe p divisor de m e n. p np m n ma a= Exemplos: a) 4 2 : 8 2 : 2 8 23 3 3 = =b) 5 3 3 : 15 3 : 9 15 97 7 7 = =c) 6 6 3 2 3 2 24 4 4 = = 3) Propriedade n m m na a= , com , , ,1 > me1 > n . Exemplos: a) 4 2 25 5 5 = = b) 24 4 6 6 42 2 2 = = 16 4) Propriedade n n nb a b a = , com , , e1 > n . Exemplos: a) 5 5 5 54 3 4 3 12 = =b)6 3 2 3 2 = = 5) Propriedade nnnbaba= , com , , e1 > n . Exemplos: a) 4447575=b)1 13333= = = 17 EXERCCIOS B2 18 19 20 21 Simplificando radicais: extrao de fatores do radicando Observe as seguintes expresses: a)7 5 7 5 7 5 7 52 2= = = b) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 21 7 3 2 7 3 2 7 3 2 = = = c)10 10 10 10 10 10 102 2 3= = = d) 3 3 2 3 2 3 34 2 2 2 2 2 32 = = = e)29 26 29 13 2 29 13 22 2= = f) 3 2 3 2 3 3 3 2 4 32 2 2 ab a b a a b a = = Se um ou mais fatores do radicando tm o expoente igual ao ndice do radical, esses fatores podem ser extrados do radicando e escritos como fatores externos (sem o expoente). 22 EXERCCIOS B3 23 24 25 Introduzindo um fator externo no radicando Observe os seguintes exemplos: a) Se3 2 3 22= , ento3 2 3 22 = b) Se 3 3 35 7 7 5 = , ento 3 3 37 5 5 7 = c) Se 5 5 5 5 6 52 2 2 2 2 64 = = = , ento 5 5 6 5 5 564 2 2 2 2 2 = = = Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrev-lo com um expoente igual ao ndice do radical. Veja agora: a)75 3 25 3 5 3 52= = = b) 15 4 5 3 3 5 3x x x x x = = 26 EXERCCIOS B4 27 Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais Observe os seguintes exemplos: a)3 53 ) 1 11 5 10 (3 3 11 3 5 3 10= + += + + b)7 57 1 5 17 ) 3 2 ( 5 ) 5 6 (7 3 5 5 7 2 5 6+= += + + = + Observaes: a)46 , 3 87 , 446 , 3 64 , 2 23 , 212 7 5 + + b)73 , 1 82 , 073 , 1 41 , 1 23 , 23 2 5 c)92 , 6 73 , 473 , 1 4 73 , 1 33 4 3 3 + + Veja agora como simplificar algumas expresses: a)2 82 ) 3 5 (2 3 2 53 2 5 218 502 2= += += + = + 28 b)333 3 333 333 333 33434344) 2 3 5 (2 3 52 3 58 27 125xy xxy x x xxy x xy x xy xy x x y x x y x xy x y x y x= + = + = + = + c)5 7 2 125 ) 3 10 ( 2 ) 2 10 (5 3 2 2 5 10 2 105 3 2 2 5 5 2 2 5 25 3 2 2 5 5 2 5 2 245 8 500 2002 2 2 2 2 2+= + += + += + + = + + = + + d)213 143 73 143 5 3 23 7 23 5 3 27 3 25 3 3 2147 275 1222 2==+=+= + =+ 29 EXERCCIOS B5 30 31 Multiplicando e dividindo expresses com radicais de mesmo ndice e de ndices diferentes Se os ndices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais. Exemplos: a) 3 3 3 314 2 7 2 7 = = b)6 3 : 18 3 : 18 = = c)5 10 35 2 5 35 5 2 3 5) 5 2 3 ( 52= = = d)6 3 1720 6 2 6 5 32 10 6 2 6 5 32 5 2 3 2 2 2 3 5 32 5 2 2 3 2 2 2 5 3 3 3) 2 5 3 ( ) 2 2 3 (2 2 = + = + = + = + = + 32 EXERCCIOS B6 33 34 Se os ndices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo ndice para depois efetuar as operaes. Exemplos: a) 12 12 12 12 6 472 9 8 9 8 3 2 = = = b) 6 6 6 6 6200 5 : 1000 5 : 1000 5 : 10 = = = EXERCCIOS B7 35 Produtos notveis a) Quadrado da soma de dois termos: 2 2 22 ) ( y xy x y x + + = + b) Quadrado da diferena de dois termos: 2 2 22 ) ( y xy x y x + = c) Produto da soma pela diferena dois termos: 2 2) ( ) ( y x y x y x = + EXERCCIOS B8 36 Potenciao de uma expresso com radicais ( )n m rmn ra a= Exemplos: a)( )5 5 3358 2 2 = = b)( )7 6 7 2 327 35 5 5 = = EXERCCIOS B9 37 Racionalizando denominadores de uma expresso fracionria No conjunto dos nmeros reais existem fraes que apresentam um radical no denominador, como, por exemplo 31. Agora veja: 31 aproximadamente 7320508 , 11, que um clculo difcil de fazer. Multiplicando por3o numerador e o denominador de 31 encontraremos uma frao equivalente a 31, que vai facilitar o clculo. Veja: 33333 33 1312= ==Esseprocedimentochamadoderacionalizaododenominador.Vejaquemaissimplesefetuar 37320508 , 1. Exemplos: a) 22222 22 1212= ==b) 77 277 27 77 2722= ==c) 24 524 52 22 52533 333 2 33 23= ==d) 2262 363 23 2183 2183 3 23 63 2622= === ==e) 95 8 325 165 8 32) 5 ( 45 8 32) 5 4 ( ) 5 4 () 5 4 ( 85 482 2=== + =+ 38 EXERCCIOS B10 39 Simplificando expresses com radicais Vamos usar as operaes com radicais para simplificar algumas expresses. Exemplos: a)3267 97 3 7 3) 7 ( 3) 7 3 ( ) 7 3 () 7 3 )( 7 3 () 7 3 ( 1 ) 7 3 ( 17 317 312 2= =+ + =+ + = ++ + =++ b)222 222 22 22 22224 624 624 3624 2 182418246 322= === ==== = = 40 EXERCCIOS B11 41 Potncias com expoente fracionrio Observe:n mnma a =(m e n inteiros e0 n ) Exemplos: a)3 321= b)5 521= c) 3 3 23236 6 6 = = d)2 8 ) 8 (3 31 = = EXERCCIOS B12 42 43 BIBLIOGRAFIA ANDRINI,lvaro;VASCONCELLOS,MariaJos.Novopraticandomatemtica.SoPaulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio Jos Lopes. Matemtica hoje feita assim. So Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo matemtica. So Paulo: tica, 2005. EDIESEDUCATIVASDAEDITORAMODERNA.ProjetoArarib:Matemtica.SoPaulo: Moderna, 2007. GIOVANNI,JosRuy;GIOVANNIJUNIOR,JosRuy.Matemtica:pensaredescobrir.So Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI,JosRuy;CASTRUCCI,Benedito;GIOVANNIJUNIOR,JosRuy.Aconquistada matemtica. So Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemtica em construo. So Paulo: tica, 2004. GUELLI, Oscar. Matemtica: uma aventura do pensamento. So Paulo: tica, 1998. IMENES,LuizMrcio;LELLIS,MarceloCestari.Matemticaparatodos.SoPaulo:Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemtica no plural. So Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemtica: idias e desafios. So Paulo: Saraiva, 1997.