APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE COLÔNIA DE VAGALUMES COM APRENDIZADO BASEADO NA OPOSIÇÃO EM UM PROBLEMA INVERSO DE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA

Rubens L. Cirino Instituto de Matemática e Estatística – Dept. IV Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ

Fabio Azevedo Carvalho Instituto Politécnico – IPRJ – Nova Friburgo Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ

Luiz Biondi Neto Instituto Politécnico – IPRJ – Nova Friburgo

Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ

Palavras-chave: Problemas Inversos, Transferência Radiativa, Algoritmo de Colônia de Vagalumes, Aprendizagem Baseada na Oposição

Resumo: A busca por soluções de problemas de otimização surge em diferentes contextos com

aplicações práticas, como na engenharia, onde o desenho de produtos, layout de produção e

logística tem um importante papel . Outrossim, a minimização de uma função objetivo quando

aplicada, implicitamente, como solução de problemas inversos, pode ser realizada através do

somatório dos resíduos entre as medidas experimentais e as grandezas calculadas em função

dos parâmetros sendo estimados. Neste trabalho, a motivação surgiu via um problema inverso

em transferência radiativa, onde utilizamos a heurística conhecida como algoritmo de colônia

de vagalumes (Firefly Algorithm – FA) na minimização da função objetivo para solução do

problema inverso de estimativa simultânea da espessura óptica e do albedo com variação

espacial, formulado como um problema de estimativa de parâmetros. Os resultados são

criticamente comparados a uma forma derivada do mesmo algoritmo onde foi implementada a

técnica conhecida por Aprendizagem Baseada na Oposição (Oppostion Based Learning –

OBL). Os resultados obtidos pelos algoritmos são criticamente analisados primeiramente na

função teste de Rosenbrock e posteriormente na solução do problema inverso em transferência

radiativa.

Introdução

A formulação dos problemas inversos, normalmente, se dá através da definição de uma

função objetivo a ser minimizada. Nela são utilizados os valores experimentais e os calculados

computacionalmente a partir de um modelo teórico, o problema direto. Neste cenário, o

principal desafio passa a ser o de encontrar o mínimo global da função objetivo definida, que

geralmente contém inúmeros mínimos locais, o que pode levar métodos determinísticos de

otimização a não encontrarem o mínimo global caso não seja escolhida uma estimativa inicial

adequada. Portanto, heurísticas de busca, geralmente inspiradas em comportamentos observados

na natureza, oferecem uma boa alternativa, uma vez que geralmente possuem mecanismos para

se evitar a estagnação em mínimos locais [2].

O estudo de problemas inversos aplicados à transferência radiativa tem sido objeto de

intensa pesquisa objetivando atender a diversas aplicações que vão desde a medicina até a

indústria, onde geralmente se busca a realização de testes não invasivos/destrutivos.

O presente trabalho visa a investigação do mecanismo de aprendizagem baseada na

oposição (OBL) [3] incorporado ao algoritmo de colônia de vagalumes (FA), resultando em

uma variação, a qual denominamos FA-OBL. Primeiramente, as implementações dos dois

algoritmos, FA e FA-OBL, são testadas em diversas execuções distintas na otimização da

Diego C. Knupp Agência Nacional de Transportes Terrestres – ANTT

Antônio J. Silva Neto Instituto Politécnico – IPRJ – Nova Friburgo Universidade do Estado do Rio de Janeiro -

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função teste de Rosenbrock. Posteriormente o problema inverso em transferência radiativa é

tratado e comparações são realizadas quanto ao desempenho dos dois algoritmos.

Formulação Matemática e Solução do Problema Direto

Considera-se um meio unidimensional, cinza, heterogêneo, com espalhamento

isotrópico de espessura óptica τ0 , com superfícies de contorno transparentes. Os contornos em

τ = 0 e τ = τ0 estão sujeitos a fontes externas de radiação isotrópica com intensidades A1 e A2,

respectivamente. O modelo matemático utilizado para a interação da radiação com o meio

participante é dado pela equação de Boltzmann [4], que para o caso de simetria azimutal e

albedo com dependência espacial é apresentada na forma adimensional como:

μ ∂I(τ,μ)∂τ �I(τ,μ)ω(τ)2 I(τ,μ)dμ;em0<τ<τ0,para-1≤μ<11

-1 (1a)

�(0, �) ��, � > 0, �(� , �) �!, � < 0 (1b,c)

O albedo de espalhamento ( )ω τ será representado como a seguinte expansão:

ω(τ) = ∑ #$�$%$& (2)

onde τ é a variável óptica. A solução do problema direto dá-se através do método das ordenadas

discretas de Chandrasekhar.

Formulação Matemática e Solução do Problema Inverso

Vamos considerar que a espessura óptica do meio, τ0 , e o albedo com dependência

espacial, ω(τ), sendo representados na forma dada pela Eq. (1), são desconhecidos. Temos as estimativas para τ0 e os coeficientes D(, k = 0,1,2,..., K. Portanto, o vetor de incógnitas é dado por:

Z))*=(τ0 , D0,D1,…,DK) (3) Considere que os dados experimentais adquiridos em ambos os contornos, externamente

ao meio, em diferentes ângulos polares, podem ser obtidos. Assim, temos a disposição Yi, i = 1,

2, 3,..., Nd, onde Nd é o número total de dados experimentais. Este problema inverso pode,

então, ser formulado como um problema de otimização, onde buscamos minimizar a função

objetivo dada pelo somatório dos quadrados dos resíduos:

+,-*. ∑ /�0,-*. −203! 4)*54)*67$&� (4) No presente trabalho, dados experimentais reais não estão disponíveis e as intensidades

experimentais, Yi, são simuladas, calculando-se os valores com a solução do problema usando

os valores exatos dos parâmetros que desejamos estimar no problema inverso, aos quais são

adicionados ruídos aleatórios de uma distribuição normal e média zero.

Algoritmo de Colônia de Vagalumes (Firefly Algorithm - FA)

O algoritmo do Firefly Algorithm (FA) [5], possui duas características que devem ser

destacadas: a variação da intensidade da luz percebida pelo vagalume; e a formulação da

atratividade entre os vagalumes. A intensidade de emissão de luz por parte de um vagalume é

proporcional à função objetivo, porém a intensidade de luz percebida por um vagalume decai

em função da distância entre os vagalumes. Logo, a intensidade percebida por um vagalume é

dada por: J(r)=J0e-γr2, em que 9 é a intensidade da luz emitida; r é a distância Euclidiana entre os vagalumes i e j, sendo i o vagalume mais brilhante e j o vagalume menos brilhante; γ

é o

parâmetro de absorção da luz pelo meio. Desta maneira o fator de atratividade pode ser

formulado como:

β=β0e-γr

2 (6)

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onde β é a atratividade para uma distância r = 0, e pode ser fixado em β 1. Assim, a movimentação em um dado passo de tempo t de um vagalume i em direção a um melhor

vagalume j é definida como:

xit=xi

t-1+β,xjt-1-xit-1.+α ;rand-1

2< (7)

onde o segundo termo do lado direito da equação insere o fator de atratividade enquanto o

terceiro termo, regulado pelo parâmetro α, insere aleatoriedade no caminho percorrido pelo vagalume; rand é um número aleatório de uma distribuição uniforme entre 0 e 1.

Aprendizagem Baseada na Oposição (Opposition Based Learning - OBL)

A presente técnica foi, originalmente, proposta por Tizhoosh [3]. Em seu artigo, ele

apresenta a idéia de criação de um novo indivíduo localizado na posição oposta, dentro do

espaço de busca que será trabalhado. Segundo o autor, é mais eficiente se escolher um novo

indivíduo a partir de um já pré-existente que escolhê-lo por um processo aleatório. Desta forma,

a partir de um elemento x cujo intervalo de busca é [@�, A�] o procedimento de escolha de um novo indivíduo, deverá seguir a seguinte expressão xoa1�b1-x. O oposto xo sempre é calculado a partir do x que é gerado. Baseando-se na proximidade do elemento e do seu oposto, o intervalo de busca pode ser reduzido recursivamente até que a estimativa ou o seu

oposto fique bem perto da solução.

Resultados e Discussão A implementação do FA-OBL foi testada inicialmente com a minimização da função

teste de Rosenbrock. Foi realizado um total de 40 execuções para cada algoritmo, o FA

canônico e o FA-OBL. Para cada um dos algoritmos foi utilizado o mesmo conjunto de 40

sementes distintas na geração dos números aleatórios. Das 40 execuções, o FA-OBL alcançou

valores mais baixos para a função objetivo em 29, portanto mostrando superioridade ao FA

canônico para 72,5% das sementes.

Nos resultados apresentados, para o caso teste selecionado a seguir, foi utilizado um

nível de ruído na simulação dos dados experimentais resultando em erros de até 3,5%. O

problema selecionado para os testes possui espessura óptica unitária, isto é, 0

1τ = e o albedo

com variação espacial é dado por um polinômio de 2º grau. Consideramos ainda a iluminação

externa dada por 1

1A = e 2

0A = , nas Eqs. (1b,c). No procedimento de solução do problema

inverso, consideramos que a expansão dada pela Eq. (2) possui três termos, ou seja, K = 3.

Portanto, para o exemplo investigado, temos os seguintes valores exatos dos parâmetros a serem

estimados: τ0=1;D0=1;D1=-1,4;eD2=0,6. Na solução do problema de otimização,

consideramos os seguintes parâmetros tanto para o FA quanto para o FA-OBL: 40n= ,

50MaxGerações = , F = 0,2 e 1γ = . A escolha destes parâmetros foi baseada em [5].

Para cada método, a solução do problema de otimização foi executada por 10 vezes de

forma independente, considerando o mesmo conjunto de dados experimentais. Como os

métodos são estocásticos, esperamos uma solução distinta a cada execução e o objetivo de

várias execuções é medir a dispersão das soluções obtidas. Para a geração de números aleatórios

foi empregado um conjunto de 10 sementes distintas, que foi mantido para os dois métodos. A

Tabela 1, a seguir, apresenta o resumo das soluções, onde -*GHIJKL e -*M0KL se referem à melhor e à pior estimativa obtidas dentre as 10 execuções, respectivamente. Aqui, as melhores

estimativas são consideradas quando levam a um menor valor na avaliação da função objetivo.

Em nossos testes o FA canônico foi melhor que o FA-OBL em todas as sementes testadas.

A observação da tabela 1 mostra que o melhor resultado obtido pelo FA canônico foi

melhor que aquele do FA-OBL, apresentando um valor de função objetivo quase 10 vezes

menor, enquanto o pior resultado obtido pelo FA-OBL foi melhor que o FA canônico, mas com

pouca diferença entre os valores da função objetivo. Outra observação importante diz respeito à

variância das estimativas obtidas para os parâmetros, que foi menor para todos os parâmetros

nos resultados obtidos com o FA. A figura 1 apresenta as curvas ω�τ�, estimadas na melhor das

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10 execuções utilizando-se o FA e o FA-OBL, em comparação com a curva exata. Neste

resultado também fica clara a maior concordância da estimativa obtida com o FA com a curva

exata. Eq. (4)

1,00 1,00 -1,40 0,60

FA 1,02317 0,88135 -0,38685 -0,50700 0,001999

0,99414 1,01981 -1,48279 0,63791 0,000113

1,001854 0,954030 -0,926397 0,010177

0,014145 0,044756 0,350865 0,386111

FA-OBL 1,14705 0,78715 -0,52639 0,31644 0,017200

1,00131 0,97157 -1,29704 0,75827 0,001440

1,015443 0,978195 -1,102287 0,211929

0,067512 0,093785 0,404952 0,383275

zσ

0τ )(ZQr

zµ

zσ

piorZr

piorZr

melhorZr

melhorZr

exatoZr

Zµ

0D 1D 2D

Tabela 1: Resultados obtidos com o FA e o FA-OBL para dados experimentais simulados com ruído de

até 3,5%

Embora uma investigação estatística mais criteriosa seja necessária para garantir a

superioridade de um método em relação ao outro, há uma forte evidência da superioridade do

FA canônico em comparação com o FA-OBL quando aplicados ao problema de transferência

radiativa, o que é contraditório com os resultados observados na função teste de Rosenbrock.

Outras investigações deverão ser conduzidas para compreender estes resultados.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,50 1,00 1,50

EXATO

FA

FA-OBL

Figura 1: Estimativas de ( )ω τ em comparação com a curva exata para um ruído de até 3,5%.

Referências

[1] Silva Neto, A. J., e Moura Neto, F. D., Problemas Inversos – Conceitos Fundamentos e

Aplicações, Ed. UERJ, 2005.

[2] Silva Neto, A. J., e Becceneri, J. C., Técnicas de Inteligência Computacional Inspiradas na

Natureza – Aplicação em Problemas Inversos em Transferência Radiativa – Notas em

Matemática Aplicada – SBMAC – Vol. 41, 2009.

[3] Tizhoosh, H. R., Opposition-Based Learning: A New Scheme for Machine Intelligence -

International Conference on Computational Intelligence for Modelling, Control and

Automation, and International Conference on Intelligent Agents, Web Technologies and

Internet Commerce, Vienna, Austria, pp.695-701, 2005.

[4] Y. A. Cengel, M. N. Ozisik, Radiative transfer in a plane-parallel médium with space –

dependent albedo, w(X ) - Int. J. Heat Mass Transfer Vol. 27, No 10, PP. 1919 – 1922,

1984.

[5] Yang, Xin-She, Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms, Luniver Press, 2008.

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