Aplicação do e-Learning em Geomteria Descritiva

8/9/2019 Aplicao do e-Learning em Geomteria Descritiva

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Universidade Aberta

Aplicao e-Learning em Geometria Descritiva

Jos Manuel Gonalves Moutinho Russo

Dissertao apresentada Universidade Aberta para a obteno do grau deMestre em Expresso Grfica, Cor e Imagem

Orientao CientficaProfessor Doutor Carlos Tavares Ribeiro

Lisboa, Outubro de 2008


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II

Apresentao

Agradecimentos

A todos os que, de forma directa ou indirecta, contriburam

para o desenvolvimento desta dissertao.

Em particular, minha filha Ana Alexandra, pela participa-

o nas fotos destinadas aos textos didcticos, minha

esposa e ao meu orientador Professor Doutor Carlos Tava-

res Ribeiro pelo grande incentivo e apoio dado ao longo

deste trabalho.


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III

Apresentao

ndice

Agradecimentos.............................................................................................................. IIResumo ........................................................................................................................VI Palavras-chave...............................................................................................................VI Abstract .......................................................................................................................VII Keywords .....................................................................................................................VII Introduo ..................................................................................................................VIII Objectivo ...................................................................................................................... IXMetodologia ................................................................................................................... X

Captulo 1. Evoluo dos processos de representao .................................................... 11.1. Representao Simblica............................................................................. 21.2. Representao Esttica................................................................................ 31.3. Representao Operativa............................................................................ 41.4. Percursos da representao......................................................................... 61.5. Sistematizao dos Sistemas e Mtodos de Representao........................ 17

1.5.1. Sistema de Projeco Central......................................................... 181.5.2. Sistema de Projeco Paralela ........................................................ 19

Captulo 2. A Geometria Descritiva e os Mtodos de Aprendizagem............................ 242.1. O ensino da Geometria Descritiva............................................................. 25

2.1.1. A Geometria Descritiva como um ramo da lgebra........................ 262.1.2. A Ilustrao na Geometria Descritiva ............................................. 27


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IV

Apresentao

2.1.3. A Informtica e a Geometria Descritiva.......................................... 312.1.4. A Geometria Descritiva e os Modelos ............................................ 34

2.2. A Geometria Descritiva nas reformas educativas em Portugal ................... 372.3. Notao e Normalizao........................................................................... 40

2.3.1. Notao......................................................................................... 422.3.2. Traados........................................................................................ 47

Captulo 3. Ensino a Distncia e e-Learning ................................................................. 503.1. As Origens do Ensino a Distncia (EAD).................................................... 513.2. A Linguagem e os Media no Ensino a Distncia ........................................ 523.3. Concepo de Contedos e-Learning ....................................................... 55

3.3.1. Concepo e Desenvolvimento de um Projecto de Curso a Distncia...................................................................................................... 56

3.3.2. Concepo e Design de um Curso a Distncia ............................... 573.4. Criao de um curso numa plataforma de e-Learning ............................... 59

3.4.1. Porqu utilizar o Moodle?.............................................................. 593.4.2. Caractersticas do Moodle.............................................................. 603.4.3. A Construo de uma disciplina..................................................... 63

Captulo 4. Sala Virtual de Geometria Descritiva .......................................................... 704.1. Organizao da Sala Virtual ...................................................................... 71

4.1.1. Design da Sala Virtual.................................................................... 724.1.2. Tpicos da Sala Virtual................................................................... 73

4.2. Concepo de modelos tridimensionais..................................................... 804.2.1. Media utilizados na comunicao de construo de modelos ......... 80


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V

Apresentao

4.2.2. Recursos Informticos.................................................................... 814.2.2.1. Hardware....................................................................... 824.2.2.2. Software ........................................................................ 83

4.2.3. Materiais e Ferramentas necessrios construo de modelos....... 844.2.4. Exemplos de aplicao na construo e utilizao de modelos................... 86

4.2.4.1. Exemplo 1 Vamos construir os Planos de Projeco................ 874.2.4.2. Exemplo 2 Vamos construir os Elementos Geomtricos........... 964.2.4.3. Exemplo 3 Introduo ao estudo do Ponto........................... 1034.2.4.4. Exemplo 4 Representao do Ponto ..................................... 113

Captulo 5. Concluses .............................................................................................. 124

Bibliografia ................................................................................................................. 128Sites consultados......................................................................................................... 131ndice de Figuras......................................................................................................... 133


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VI

Apresentao

Resumo

O Ensino a Distncia e, em particular, o e-Learning tm vindo a constituir alternativas ou

complementos ao ensino tradicional. A substituio da sala de aula e dos horrios rgido

por um espao indefinido com horrio flexvel, de facto, veio possibilitar o incio, a conti-nuao ou a concluso de estudos que de forma clssica seriam impossveis ou, pelo

menos, mais penosos. Muitas reas do conhecimento, como as Lnguas e Literatura ou

mesmo a Matemtica, podem integrar-se, de forma relativamente fcil, neste modelo de

aprendizagem. No entanto, no que respeita Geometria Descritiva, uma disciplina tradi-

cionalmente de aprecivel complexidade, a situao no se mostrou pacfica como

demonstrar o funcionamento de um processo de representao bidimensional de formas

tridimensionais, que se situam no espao? Apesar de existir software didctico de quali-

dade, existem perfis de alunos que encontram dificuldade em lidar com ilustraes, mes-mo que em perspectivas muito prximas da realidade. neste mbito, que esta disserta-

o desenvolve um modelo de Ensino a Distncia (ou mesmo misto, o b-Learning) em

que a construo e manipulao de Modelos constitui a principal via de aprendizagem do

aluno relativamente a esta disciplina. A possibilidade de manipulao, que se concebeu e

disponibiliza, associada s caractersticas social e construtivista da plataforma Moodle

(onde foi implementada esta metodologia), contribui para um maior envolvimento do

aluno no seu prprio processo de ensino-aprendizagem: as orientaes apresentadas nos

sucessivos documentos permitem-lhe observar, analisar, inferir e chegar s concluses

daquilo que lhe apresentado, invariavelmente, de forma bidimensional.

Palavras-chave

Geometria Descritiva, e-Learning, Ensino a Distncia, Moodle.


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VII

Apresentao

Abstract

Distance Education and e-Learning, in particular, became alternatives or complementa-

tion to traditional teaching. Substituting classroom and fixed schedules by an undefinedplace and time flexible, made possible the beginning and conclusion of studies that

through classic ways would not be so efficient, impossible or, at least, more laborious.

Many areas of knowledge, as Languages and Literature or Mathematics, can be easily

adapted to e-Learning models. However, for Descriptive Geometry studies and learning

the process can not be so standard how to demonstrate the functioning of a process of

bi-dimensional representation of three-dimensional forms, that if point out in the space?

Although there is some educational software available, general pupils profiles find diffi-

culty in dealing with illustrations, even as perspectives close to reality. It is within this

scope, that this dissertation develops a model of Education (or in the distance exactly

mixing, b-Learning) where the construction and manipulation of Models is one of the

main ways of learning Descriptive Geometry. The manipulation possibilities developed

here, side by side the social and constructivist characteristics of the Moodle platform

(where the methodology developed here has been implemented), contributes for a big-

ger involvement of pupils in their proper process of teach-learning: orientations and ad-

vises presented in successive documents allow the observation and analysis towards the

right conclusions, even of course, invariably, through a bi-dimensional image.

Keywords

Descriptive Geometry, e-Learning, Distance Education, Moodle.


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VIII

Apresentao

Introduo

Concluda a fase curricular do Mestrado em Expresso Grfica, Cor e Imagem, que

abrange e relaciona to diversificadas reas cientficas Histria da Arte e do Design,Geometria e Desenho Tcnico, Fotografia e Cinema, Computao Grfica e Modelao

Geomtrica, Psicologia e Pedagogia, e ainda Gesto e Marketing, em que cada uma sur-

ge como que mais entusiasmante e ter mais potencialidades para se definir como base de

dissertao do que a anterior. A predominncia da formao de base do autor Licenciado

em Arquitectura, a longa experincia docente de vrios anos no Ensino Secundrio oficial

nestas reas, a experincia na formao de professores e outras aces afins a que se

associam interesses de pesquisa e investigao nestas reas determinou o aprofundamen-

to de um contexto de envolvncia da Geometria e das Tecnologias da Informao e da

Comunicao, em particular os domnios da computao grfica e dos sistemas CAD e

em especial o Ensino a Distncia, de cujo trabalho de investigao e desenvolvimento

resultou a presente tese Aplicao e-Learning em Geometria Descritiva.O Ensino a Distncia, e em particular o e-Learning, surgem, por sua vez, na sequncia da

organizao e conduo de Aces de Formao de Professores. As Aces sobre CAD,

Tratamento de Imagem ou Apresentaes de diapositivos aplicadas ao ensino, num regi-

me de frequncia presencial, vo dando lugar s Oficinas de Web Design, das mesmas

Apresentaes em Powerpoint ou sobre o prprio Ensino Virtual em regime de frequn-cia online. O Quadro de Referncia da formao contnua de professores da rea das TIC

acaba por dar o empurro na utilizao de novas metodologias e novas ferramentas em

substituio das tradicionais.


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IX

Apresentao

Objectivo

experincia do ensino no domnio da Geometria Descritiva e do interesse pela investi-

gao e desenvolvimento ao nvel das Tecnologias de Informao e Comunicao e emespecial o e-Learning, desenvolve-se assim a ligao entre estas reas que surge oportu-

na com a presente dissertao.

Num cenrio em que as mudanas no ensino, em geral, impem novas mentalidades,

adaptadas a estas novas metodologias e meios, cabe perguntar:

- Ser possvel adequar o ensino da Geometria Descritiva, em particular, a estecenrio?

- Uma disciplina relacionada com o Espao como a Geometria Descritiva, cujombito tridimensional ainda no chegou aos computadores1, ser passvel de

ser constituda como Curso em e-learning?

- Os resultados esperados sero os mesmos de um curso, por exemplo, de Bio-logia, de Fsica e Qumica, de Histria ou de Portugus?

este o desafio a que esta dissertao tambm procura responder e demonstrar atravs

da construo, indita pelo menos nos termos em que neste trabalho se pretende levar a

efeito, da Sala Virtual de Geometria Descritiva, estabelecendo o caminho mais adequado,na utilizao de plataformas de ensino (como o Moodle) de acesso aprendizagem da

Geometria Descritiva, atravs da disponibilizao de materiais que permitam ao aluno

compreender o espao tridimensional e a sua sequente representao bidimensional e

vice-versa. Mas porque o ensino no se faz apenas de contedos, igualmente se vai de

encontro utilizao de estratgias de cariz social e construtivista. Como se ver.

1

A existncia de impressoras 3D ou o formato PDF 3D so, por agora, uma realidade longe do utilizador comum.


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X

Apresentao

Metodologia

De acordo com o projecto de dissertao inicialmente apresentada, a metodologia de

desenvolvimentos seguiu a seguinte estrutura:

- Recolha de dados e de informao subjacente;- Descries/ilustraes, em ambiente multimdia, sobre os materiais de

aprendizagem a criar pelos utilizadores;

- Processo de implementao em plataforma e-learning;- Validao da utilizao;- Escrita da Tese.

A primeira fase consistiu, assim, numa recolha bibliogrfica, de legislao e de web sites

relacionados com os temas integrantes desta dissertao. Seguindo-se a sua consulta e

respectivo tratamento da informao obtida.

A segunda fase, constitui-se como a elaborao original da escrita, ilustraes, animaes

e filmagens. O recurso s novas tecnologias, associados ao design, contribuiu em parte

para o propsito didctico inerente a este desenvolvimento.

A terceira fase constou na criao de uma Sala Virtual de Geometria Descritiva sobre a

plataforma Moodle da Escola Secundria Padre Alberto Neto, em Queluz, no endereo

http://cursosonline.espan.edu.pt. Todos os documentos elaborados na fase anterior foram,

assim, integrados de forma organizada em Tpicos, bem como outros Recursos e Activi-

dades disponibilizadas pela plataforma de aprendizagem utilizada.

A quarta fase, que consistia na validao da Sala Virtual em contexto de Ensino-

-Aprendizagem, no chegou a ser realizada com a representatividade desejada por ques-

tes logsticas e de calendrio, na medida em que para tal, seria necessrio consideraresta aco desde o incio do ano lectivo o que no aconteceria at data da entrega des-

ta dissertao. Prev-se no entanto e desde j a sua futura implementao aps a conclu-

so e apresentao desta tese.


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XI

Apresentao

Finalmente, a quinta fase dedicou-se escrita da dissertao de mestrado, que ficou divi-

dida nos seguintes captulos:

- Captulo 1. Evoluo dos processos de representao;- Captulo 2. A Geometria Descritiva e os mtodos de aprendizagem;- Captulo 3. Ensino a Distncia e e-Learning;- Captulo 4. Sala Virtual de Geometria Descritiva;- Captulo 5. Concluses.

No Captulo 1 procura-se dar uma breve panormica dos processos de representao, a

sua evoluo e as razes que conduziram ao aparecimento e desenvolvimento da Geo-

metria Descritiva, como importante mtodo de representao a aplicar no projecto de

arquitectura, de engenharia ou de design.

O Captulo 2 desenvolve as diferentes abordagens do ensino da Geometria Descritiva e o

modo como, ao longo do processo educativo, foram aplicadas. Incluiu-se ainda a sua

integrao e evoluo no Sistema Educativo Portugus, bem como o seu tratamento por

diversos autores.

O Captulo 3 perspectiva a linguagem e os meios utilizados no Ensino a Distncia (EAD),com destaque para a mais recente modalidade de ensino, o e-Learning e o b-Learning.

Complementa-se este captulo com as caractersticas e a manipulao da plataforma de

aprendizagem Moodle, que tem vindo a ser implementada nas nossas escolas.

No Captulo 4 relata-se a aplicao dos princpios do e-Learning no mbito da disciplina

de Geometria Descritiva na plataforma Moodle. Uma vez que se defende a utilizao de

Modelos como importante via de aprendizagem, foram escolhidos os exemplos que do

incio aos estudos da disciplina e em que a sua manipulao a base.

O Captulo 5 desenvolve as concluses a que se chegou no desenvolvimento e aplicao

deste mtodo, que se cr ser inovador, a despeito da no testagem desta Sala Virtual.


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Captulo 1.

Evoluo dos processos de representao


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2

Captulo 1. Evoluo dos processos de representao

1. Evoluo dos processos de representaoPorqu representar? Representar2 revelou-se desde os primrdios da existncia humana

como uma necessidade em materializar os fenmenos da mente.

Razes de ordem vria, deram origem a representaes que, pela sua finalidade ou senti-

do, poder-se-o organizar em Simblicas, Estticas e Operativas. Esta a taxinomia utili-

zada na avaliao de um objecto no mbito do Design, o que se adequa perfeitamente

para os fins da anlise pretendida. No entanto, saliente-se que nenhuma representao

estritamente simblica ou esttica ou operativa. Para dar um exemplo, o simbolismo tan-

to est associado esttica como integra representaes operativas, bem como estas no

esto destitudas de um esttica que lhes inerente.

1.1. Representao SimblicaO Simbolismo comea na expresso das crenas do Homem em foras mgicas ou espiri-tuais, de ordem religiosa ou no. A existncia da pintura do perodo paleoltico assenta

na ideia de que as representaes de animais seriam uma forma mgica de reencarnao

dos animais mortos na caa3. A partir do Mesoltico, com a mudana do tipo de vida,

com tendncia para o sedentarismo, as Representaes (tambm associadas a uma arqui-

tectura emergente) passam a ser manifestaes de culto4

. O Homem, numa viso animis-ta, includo no catlogo de imagens.

Praticamente at ao sc. XIX a temtica religiosa predominante nas Arte das civiliza-

es. Mas outros temas, como a Natureza, o Quotidiano ou os acontecimentos Histri-

cos, vo ganhando fora como forma de constiturem documentos que simbolizam o que

na posteridade no ser possvel presenciar.

A atribuio de um determinado significado a um Signo cedo teve expresso. Pensa-se

que algumas marcas grficas pr-histricas esto associadas ideia de feminino e de

2 Representar, v.t. Tornar presente. Patentear. Expor claramente. Reproduzir por meio de imagem. Figurar. Ser aimagem de... (Cndido de Figueiredo, 1938). No mbito desta dissertao apenas interessa reter o significadorelacionado com a imagem.

3 Esta magia reforada pela expresso imitativa e naturalstica dada aos touros, cavalos, veados, etc. Os dese-nhos constituam simultaneamente a representao e a coisa representada. (Hauser, 1951, pg. 20)

4 Quando o homem tomou conscincia da dependncia em que se encontrava do bom e do mau tempo, do sol... que surgiu a concepo de toda a espcie de demnios e espritos benficos ou malficos distribuindo bn-os ou maldies, e a ideia de poderes desconhecidos e misteriosos, de foras supra-terrenas independentes do

controle humano. (Hauser, 1951, pg. 41)


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masculino, bem como a arte religiosa est repleta de formas que no representam o

objecto em si mas uma ideia que lhe associada. A forma icnica converte-se em forma

simblica as chaves de S. Pedro (Fig. 1) representam as chaves do Reino dos Cus,

permitindo a imediata identificao do santo, por exemplo.

Fig. 1 - S. Pedro, Peter Paul Rubens

A representao simblica adquire particular importncia no desenho tcnico aplicado arquitectura, cartografia, engenharia ou ao design. O simbolismo atribudo s suas

componentes traados, cores, signos ou mesmo a organizao a base da sua lin-

guagem que, evidentemente, necessria ser conhecida:

A no ser que saibamos as convenes, no temos meios de adivinhar o

aspecto que nos apresentado.(Gombrich, 1977)

1.2. Representao EstticaA Esttica5 no habitualmente um fim em si, mas um complemento, ou um reforo, daobra simblica ou icnica. Este conceito definido na Antiga Grcia (aisthetiks) e a sua

discusso, associadas Lgica e tica, prescreve as regras que a Obra de Arte deve res-

peitar para que seja harmoniosa.

5 Esttica, f. Filosofia das belas-artes. Cincia que determina o carcter do belo nas produes naturais e artsti-cas. (Cndido de Figueiredo, 1938)


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J a civilizao egpcia tinha os seus cnones de representao da figura humana6. Todas

as civilizaes desenvolveram os seus padres estticos, por vezes inspirados nas socie-

dades anteriores, numa procura de melhor alcanar os sentidos do homem e condicionar

ou exaltar as suas emoes.

O sculo XX traz dois aspectos inovadores neste campo. Produz as primeiras obras com

finalidade quase estritamente esttica (isto se excluirmos os motivos decorativos), em que

a forma, abstracta, geomtrica ou no, pode no representar nada em particular (Fig. 2).

E, quase simultaneamente, assiste negao da esttica como elemento importante da

representao, como defendeu o movimento Dada7.

Fig. 2 - Axo-3, Victor Vasarely (1968)

1.3. Representao OperativaA utilidade de uma representao marca o seu carcter Operativo. A necessidade emexpor com rigor a ideia de uma forma que pode ou no vir a ser reproduzida na realida-

de, ou o inverso, implica a utilizao de uma linguagem grfica cuja leitura seja inequvo-

ca. Independentemente de quem a observa, analisa e descodifica, essa representao

dever, desde que seja conhecido o cdigo, ter uma leitura nica. o carcter operativoque marca a representao no mbito da Geometria Descritiva.

6 Na arte egpcia, a representao por inteiro da figura humana organizava-se segundo a chamada regra deproporo, um rgido quadriculado, com dezoito unidades de igual tamanho, que garantia a repetio acuradada forma ideal egpcia em quaisquer escalas e posies.(http://www.portalartes.com.br/portal/historia_arte_mundo_antigo.asp [28.Nov.2006, 22:05])

7 Movimento niilista na arte que floresceu principalmente em Frana, Suia e Alemanha de 1916 a 1920 e baseou-se nos princpios da irracionalidade deliberada, anarquia e cinismo e na rejeio das leis da beleza e organizao

social. (http://www.peak.org/~dadaist/English/Graphics/index.html [28.Jan.2007, 18:10])


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Ao longo da Histria, o homem procurou mtodos de representao como auxilio na

construo das edificaes. A sua presena na obra para dar as indicaes necessrias

passaria ento a ser quase dispensvel. medida que os processos de arquitectura e de

engenharia, e mais tarde de mecnica e de design, se vo tornando mais complexos, mais

o criador vai sentido a necessidade de deixar no papel as suas ideias (Fig. 3). E essasideias tm de ser expressas de uma forma inequvoca.

Fig. 3 - Representao de uma pea mecnicaAs plantas de um palcio sumrio (gravada em 2000 ac. na esttua de Gudea de Tello)

(Fig. 4) ou da cidade de Nipur (de 1500 ac.)8

so as representaes mais antigas destetipo que se conhecem. De finalidade desconhecida, no seriam com certeza projectos de

obras a realizar, seriam representativos de espaos urbanos construdos testemunhos de

obra feita mas so significantes de uma viso diferente da at a praticada, alis,

numa tipologia de desenho muito actual.

Fig. 4 - Palcio, Lagash (2000 ac.)

8 Exemplos do uso do plano fronto-paralelo com ponto de vista no infinito, antes de Monge. (Massironi, 1982,

pg. 39)


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Vitruvius elabora o mais antigo tratado que se conhece sobre arquitectura, datando de

cerca de 27 a.c. os Dez Livros que compem De architectura. No se lhe conhecem ilus-

traes, embora as verses editadas no Renascimento fossem recheadas de representa-

es alusivas s descries do texto. O arquitecto de Jlio Csar j na sua poca escreve

sobre o corte horizontal (ichnographia) e vertical (orthographia) de um edifcio (Gonal-ves, 1982, pg. 5).

Na Idade Mdia e no Renascimento os edifcios e as cidades so construdos a partir do

desenho dos seus alados e plantas:

No nos difcil admitir que os construtores das catedrais conheciam os pro-

cessos de representao necessrios definio objectiva do corte da pedra, o

que lhes permitia integr-las com preciso nos imponentes conjuntos das

abbadas .(Gonalves, 1982, pg. 6)

Mas a partir da industrializao, com a separao do criador-produtor do objecto, que

as plantas, alados, cortes e outras vistas, respeitando determinadas regras e normas,

marcam presena habitual na ideia de projecto e so a base da transmisso das ideias do

criador (arquitecto, engenheiro ou designer) ao construtor (empresrio, produtor, oper-

rio), de forma inequvoca.

1.4. Percursos da representaoAs primeiras representaes, bidimensionais, surgem em formas livres e naturalistas na

pintura rupestre. Mas, ao coexistirem pontos de vista diferentes, esse naturalismo procu-

rava exprimir uma viso pessoal por exemplo, o corpo do animal era visto de lado mas

os chifres e os cascos de frente (Fig. 5).

Fig. 5 - Grand taureau noir, Lascaux (17.000 ac.)Atinge a perfeio no perodo Madelenense onde, como acontece em Altamira

(Fig. 6), o ponto de vista nico, lateral, mas o artista apercebe-se da falta da


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terceira dimenso e utiliza o prprio relevo das paredes da gruta para criar um efei-

to volumtrico, mais realista.

Fig. 6 - Bisonte, Altamira (16.000 ac.)A sobreposio de diferentes pontos de vista mais evidente na arte egpcia, onde na

representao humana o tronco (acentuadamente triangular) e os olhos eram observados

de frente e a cabea, braos e pernas de perfil (Fig. 7). As figuras desfilam sobre uma

linha, numa ausncia da profundidade espacial, em escalas diferentes, de acordo com a

hierarquia social, num rigoroso cumprimento de regras representativas (ao contrrio do

mundo natural, que dava continuidade ao naturalismo pr-histrico).

Fig. 7 - Tmulo de Nebamun, Tebas: Caa s Aves (c. 1350 ac.)A sua influncia estende-se cultura mesopotmica (embora seja difcil dizer queminfluenciou quem, pois so culturas contemporneas) e s primeiras civilizaes do Egeu.

S no sc. XX o Cubismo retoma este mtodo numa tentativa de introduzir uma quarta

dimenso na representao bidimensional o tempo.

Uma questo poder-se- colocar: porqu a preferncia pelo ponto de vista lateral, numa

ausncia total de perspectiva? Dificuldade em reproduzir outro ponto de vista contradiria

a perfeio ilustrativa demonstrada. Mas bem podia ser, porque a vista lateral cumpria

melhor a funo de se obter uma imagem clara e nica do ser representado, como se do


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alado de um edifcio se tratasse. O Homem j se apercebia de que uma representao

que no corresponda na verdade perspectiva real mais habitual pode tornar-se mais

eficaz na mensagem que transporta. o exemplo da ilustrao cientfica (Fig. 8), que

recorre simplificao, ao ponto de vista ideal e sobreposio de estados anacrnicos

para demonstrar mais eficazmente a ideia verbalizada.

Fig. 8 - Ilustrao cientfica de Sandro Castelli (sc. XX)O naturalismo do Paleoltico cede lugar geometrizao. Durante o Mesoltico e o Neol-

tico, o Homem sente que j no depende inteiramente do que a natureza lhe d ele

prprio cria os seus animais e cultiva a terra. J no acredita na magia dos desenhos

rupestres. As formas representadas tornam-se lineares, curvas ou rectilneas, simples,desprovidas de pormenor, adquirindo, por vezes, um carcter decorativo (Fig. 9).

Fig. 9 - Jarro, perodo Minico I (ca. 2500 ac.)


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As formas humanas e animais transformam-se progressivamente em representaes mais

abstractas, chegando ao ponto de criar uma linguagem simblica, como que numa esp-

cie de sinaltica (Fig. 10).

Fig. 10 -Caadores, Cueva del Cingle (c. 5.000 ac.)Ser esta a segunda contribuio do perodo pr-histrico para o carcter operativo de

uma imagem. A geometria e a simplificao contribuem tanto ou mesmo mais eficaz-

mente para a leitura de uma representao.

Uma geometria mais rigorosa foi seguida pela civilizao do Antigo Egipto a nvel da

arquitectura e, particularmente, da diviso da terra:

Diziam que o rei distribuiu as suas terras por todos os egpcios, atribuindo a

cada pessoa um lote igual, de forma quadrada, e que, de acordo com essa

diviso, estabeleceu os seus rendimentos, prescrevendo que cada um pagasse

uma renda anual... O rei enviava os seus funcionrios para examinar e

medir... (Herdoto, inGonalves, 1999, pg. 8)

Osharpedonaptas (atadores de cordas) eram os funcionrios agrimensores ou gemetrasegpcios que, esticando uma corda traavam as duas linhas mais elementares da geome-

tria a recta e a circunferncia (Gonalves, 1999).

Simultaneamente, na Mesopotmia, o profundo conhecimento dos Sumrios, dos Babil-

nios e dos Assrios relativos Astronomia s seriam possveis se associados a conceitos degeometria, mesmo que de modo emprico.

Mas na Antiga Grcia que a Geometria9 definida como uma cincia. Seguindo uma

base dedutiva, Euclides quem a sistematiza. O seu tratado composto de 13 livros Ele-

mentos converte-se numa obra fundamental no mbito da geometria, cuja importncia

9 Geometria, f. Cincia que tem por objecto a medida das linhas, das superfcies e dos volumes. Tratado geom-trico: a Geometria de Euclides.(Cndido de Figueiredo, 1938).


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se manteve at aos nossos dias, apesar de actualmente alguns princpios serem postos em

causa por parte de Matemticos.

Estabelece-se o Racionalismo na Arte. O Ideal esttico, em arquitectura, escultura ou pin-

tura, depende do rigor de propores e de relaes geomtricas. A Regra de Ouro ouSeco urea definia as propores ideais do rectngulo e todas as formas que neles se

inscrevessem (Fig. 11).

Fig. 11 -Partenon e o Rectngulo de Ouro, Atenas (438 ac.)Na cultura Romana retoma-se a representao naturalista (Fig. 12). A figura humana

retractada em posturas mais livres e correspondentes a posies frontais, num espao tri-

dimensional pouco perceptvel. O Realismo ope-se ao Idealismo grego.

Fig. 12 -Vnus, Casa de VnusNeste perodo surge um estilo ilusrio (catalogado em 4 Estilos) na pintura parietal dos

compartimentos das villa que procurava, para alm da imitao de materiais (como o

mrmore), criar um espao mais amplo ao sugerir a terceira dimenso (Fig. 13). Processo

bastante avanado para a poca, seria retomado no Renascimento e no Barroco na pintu-

ra de tectos, bem como de paredes, denominado Trompe loeil.


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Fig. 13 -Vila dei Misteri, Pompeia (sc. I ac.)Na Idade Mdia o caderno de Villard de Honnecourt demonstra como as catedrais jeram ento desenhadas em planta e elevao (alado). Neste caderno, para alm de

exemplos da geometria (numa poca em que a geometria euclidiana seria desconhecida)

e tcnicas de construo, Honnecourt exemplifica pormenores das catedrais de Laon e

Reims (Fig. 14), entre outras igrejas, representadas em planos fronto-paralelos.

Fig. 14 -Catedral de Reims (Pl.64), Villard de Honnecourt (sc. XIII)Na pintura procurava-se dar a noo da terceira dimenso atravs de uma perspectiva

tosca com uma profundidade com dimenses empricas (Fig. 15) e que assinala, assim


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se pode dizer, o surgimento da aplicao dos princpios do que, mais tarde, se denomina-

ria de Perspectiva Cavaleira.

Fig. 15 -O Martrio de Santo Estvo, Bernardo Daddi (1324)Mas no Renascimento que se do talvez as maiores transformaes at ento na repre-

sentao pictrica com a introduo da Perspectiva10. Vrios artistas entram numa corrida

desenfreada em busca de uma representao to prxima quanto possvel daquela que a

viso humana observa. As gravuras de Albrecht Drer, na obra Unterweisung der Mes-sung mit dem Zirkel und Richtscheit (Instruo da medio com o compasso e argua) de 1525 (Fig. 16), ilustram bem a procura cientfico-emprica das regras que

permitiriam uma representao rigorosa, em perspectiva, ultrapassando aquilo que os

antepassados conseguiram de forma intuitiva e aproximada.

Fig. 16 -Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit, Albrecht Drer (1525)

10 Perspectiva, f. Tcnica da representao tridimensional que possibilita a i luso de espessura e profundidade dasfiguras, a partir da projeco das linhas paralelas do primeiro plano para um ponto de fuga, de maneira que haja

uma diminuio das figuras que ocupam o segundo plano da obra... (Antnio Houaiss, 2001).


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Muitos outros artistas, como Fra Angelico (De Prospettiva Pingendi, 1480), Brunelleschi,Leonardo da Vinci, Aguilon/Rubens (Opticorum libri sex) ou Vignola (Le due regole dellaProspettiva, 1583) (Fig. 17), deixaram inmeros escritos e ilustraes dessa pesquisa.

Fig. 17 -Le due regole della Prospettiva, Giacomo Vignola (1583)Na representao dos espaos arquitectnicos (Fig. 18), pintores e gravadores encontra-

ram a melhor forma de exibirem a sua mestria nesta matria.

Fig. 18 -A Escola de Atenas, Rafael Sanzio (1509)Apesar de ficar estabelecido o princpio de um dos sistemas de projeco mais utilizados narepresentao a projeco central ou cnica, que est na base da representao da Perspecti-

va foi necessrio esperar por Grard Desargues11 para demonstrar o conceito de intersecode rectas paralelas no infinito. Desargues desenvolve uma geometria no euclidiana criando,

11Grard Desargues (Lion, 1591-1661) french mathematician and engineer, a founder of modern geometry. Hediscovered the theorems on involutions and transversals known by his name and worked on conic sections. Hiswritings, lost for a time, were republished in 1864. (http://www.infoplease.com/ce6/people/A0815247.html

[30.Jan.2008, 16:30])


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segundo alguns estudiosos, a Geometria Projectiva. No entanto, Poncelet12 quem viria a rea-lizar o estudo sistemtico da perspectiva, recorrendo s operaes mongeanas (Fig. 19).

Fig. 19 -Exemple de l'une des manires universelles du SGDL, Desargues (1636)Por outro lado, os arquitectos, na sua obra grfica, optavam pela representao em planta, ala-

dos e cortes para demonstrarem a sua obra. Estas representaes alheias ao conceito da perspec-

tiva cnica, correspondiam sim a vistas frontais de longe, sem exibirem as deformaes dos

mtodos utilizados pelos pintores mas o conceito de projeco ortogonal ainda no conside-

rado de forma consciente. Em I quattro libbri dell architettura, Andrea Palladio (1508-80)ilustra desta forma em planta, alado e corte as suas ideias como arquitecto (Fig. 20).

Fig. 20 -Villa Almerico (ou Villa Rotonda), Andrea Palladio (1570)

12Jean Victor Poncelet (Metz, 1788 Paris, 1867), foi discpulo de Gaspard Monge e publicou o Trait des pro-prits projectives des figures em 1822. Foi um dos fundadores, simultaneamente com Joseph Gergonne, daGeometria Projectiva. (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Poncelet.html [12.Abril.2008,16:00]


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No sc. XVII recorria-se com frequncia perspectiva militar ou area na cartografia, que

difere da perspectiva cnica por se basear num sistema de projeco paralela. Este mto-

do parte do desenho dos edifcios em planta e a terceira dimenso orienta-se a 90 rela-

tivamente horizontal. Assim o utilizou Pedro Texeira13 no levantamento topogrfico deMadrid em 1656 (Fig. 21).

Fig. 21 -Puerta del Sol, Madrid (pormenor da prancha no. XIII), Pedro Texeira (1656)Gaspard Monge (Beaune, 1746 Paris, 1818) desenvolve um sistema que, finalmente,assenta numa metodologia de projeces em dois planos (ortogonais entre si) que permi-

tir representar qualquer forma, real ou no, e da ser possvel descrev-la com todo o

rigor, a que Monge denomina de Geometria Descritiva (Fig. 22). Foi na escola militar de

Mezires, onde trabalhava como agrimensor, que Monge realizou um estudo para teo-ria das fortificaes cujo objectivo era conseguir

que, em termos de defesa, nada ficasse exposto

ao fogo directo do inimigo. Esse estudo foi reali-

zado em tempo recorde, pois aos mtodos de cl-

culo aritmtico contraps um mtodo baseado no

desenho, em projeces ortogonais sobre dois

planos de projeco.

Fig. 22 -Dupla Projeco Ortogonal de um segmentode recta e Rebatimento do plano vertical,Gaspard Monge (1794)

13 Pedro Teixeira nasci en Lisboa hacia 1595 y mori en Madrid em 1662... lleg a Madrid en 1621 con suhermano en calidad de cosmgrafos reales... recebi el encargo de realizar la Descripcin de Espaa y de las cos-tas y puertos de su reyno. Al muy catlico y muy poderoso rey don Filipe IIII. Nuestro Seor. Por don Pedro Texei-

ra Albernas. Cavallero del bito de Christo. Ao 1634. (Gua del plano de Texeira (1656), M Isabel Gea, 2006)


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Le premier [objectif] est de reprsenter avec exactitude sur des dessins qui

nont que deux dimensions, les objets qui en ont trois, et qui sont susceptibles

de dfinition rigoureuse. (...) Le second objet de la gomtrie descriptive est de

dduire de la description des corps tout ce qui suit ncessairement de leurs

formes et de leurs positions respectives. (Langevin, 2002)

A importncia deste mtodo foi tal, que imediatamente foi considerado segredo militar e

s mais tarde, em 1794, foi autorizado a divulg-lo. Monge publica ento o primeiro tra-

tado de Geometria Descritiva Gomtrie Descriptive e o manual escolar Gomtrie

Descriptive. Leons donnes aux coles Normales lan 3 de la Rpublique.

A Geometria Descritiva encontra de imediato aplicao como base cientfica na Estereoto-

mia (corte da pedra) e posteriormente ao corte da madeira e, mais recentemente ao do fer-

ro. Igualmente, encontrou no estudo das Sombras um importante campo de interveno.Com a Revoluo Industrial do sc. XIX e consequente produo fabril, torna-se necess-

ria a existncia de um projecto. Neste projecto a representao baseada na projeco

paralela ortogonal que melhor se adequa comunicao entre criador e produtor, onde

so aplicados os princpios da Geometria Descritiva, at ento desenvolvida (Fig. 23).

Fig. 23 -Torre Eiffel (pormenor), Paris, Gustave Eiffel (1889)Ao longo do sc. XIX e XX vulgarizam-se as representaes em planta, alados e cortes,

bem como as perspectivas rpidas cavaleira, militar, gabinete e as axonomtricas

isomtrica, dimtrica e anisomtrica que, baseadas no princpio da projeco ortogonal,

no se rodeiam da complexidade de representao da perspectiva cnica.


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A perspectiva Isomtrica (Fig. 24) atribuda ao engenheiro ingls William Farish que,perante a necessidade de obter um desenho adequado s tcnicas de fabrico, desenvolve

uma metodologia de representao baseada na Trigonometria. Farish publicou em 1822 a

obra expositiva dos princpios da isometria: On Isometrical Perspective (Krikke, 2000).

Fig. 24 -Mquina fotogrfica representao isomtrica explodidaMais tarde, na Alemanha, o matemtico e engenheiro Julius Ludwig Weisbach (1806-71)introduziu os termos de Axonometria Monomtrica e Anisomtrica (Costa, 2005), publi-

cados em Anleitung zum axonometrischen Zeichnen de 1857.

Estes mtodos de representao so aplicados j no apenas cartografia, arquitectura

ou engenharia mas tambm ao Design, ento uma cincia emergente.

1.5. Sistematizao dos Sistemas e Mtodos de RepresentaoO percurso traado na descoberta de um mtodo de representao com base cientfica

aplicvel ao desenho rigoroso culmina na definio de dois Sistemas de Projeces14:

- Sistema de Projeco Central ou Cnica, correspondente a pontos de vista doobservador a distncia finita;

- Sistema de Projeco Paralela ou Cilndrica, correspondente a pontos de vistado observador a distncia infinita.

Cada um destes sistemas desmultiplicado em diversos mtodos, de acordo com as

necessidades especficas do desenho de cada projecto.

14

Consulta-se, por exemplo, em: http://www.versus.pt/forma-espaco-ordem/dt-4-2.htm [1.Maio.2008, 16:15].


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1.5.1. Sistema de Projeco CentralO Sistema de Projeco Central ou Cnica o que mais se aproxima da realidade o

Mecanismo da Viso ou da Cmara Fotogrfica so disso exemplos. A sua aplicao

compreende as trs situaes seguintes:

- Projeco Central e Paralela, com um Ponto de Fuga (ponto no desenho parao qual convergem todas as rectas paralelas entre si, conforme se exemplificou

na Fig. 18 e observvel na Fig. 25);

- Projeco Central e Angular, com dois Pontos de Fuga;- Projeco Central e Oblqua, com trs Pontos de Fuga.

Este Sistema permite obter representaes a que vulgarmente se denominam Perspecti-vas, sendo a perspectiva da Projeco Central e Paralela a de utilizao mais frequente,

pela sua facilidade de execuo.

A Forma representada frequentemente no corresponde Forma real, na conformidade

do processo de percepo, entendendo-se o conceito de Forma como a configurao que

um objecto apresenta. Como tal, o recurso Perspectiva e respectiva Sombra funciona

como complemento do projecto, pois permite obter uma viso global, mais realista e de

interligao das componentes do conjunto de formas projectado (fig. 25). Mas tais carac-

tersticas no lhe conferem o papel de base para a sua concretizao, isto , a sua funooperativa.

Fig. 25 -Representao em Perspectiva da Unity Temple, Oak Park, Frank L. Wright (1904)

O Sistema de Projeco Central tambm aplicado Teoria das Sombras, em que sedetermina a sombra de um conjunto de formas a partir de uma fonte de luz que se situa

a distncia finita.


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1.5.2. Sistema de Projeco ParalelaO Sistema de Projeco Paralela ou Cilndrica o que mais se aplica ao projecto por

permitir que a Forma representada frequentemente corresponda Forma real. Quando

as faces de um objecto tomam um alinhamento paralelo ao Plano de Projeco (PP),como o plano do papel de desenho, a sua configurao no sofre as deformaes da

perspectiva cnica. Como tal, o sistema que permite a concretizao do projecto as

dimenses da forma representada so rigorosamente iguais (a despeito da utilizao de

Escalas de reduo ou de ampliao no desenho) s da forma que se pretende obter.

A posio que o observador toma (no infinito) perante o Plano de Projeco, subdivide

este sistema em dois subsistemas:

- Sistema de Projeco Paralela Ortogonal, correspondente a um ponto de vis-ta frontal ao plano, isto , ortogonal em relao ao(s) plano(s) de projec-

o, ou seja, a recta que passa por qualquer dos pontos a representar (projec-

tante) perpendicular ao PP;

- Sistema de Projeco Paralela Oblqua, correspondente a um ponto de vistano frontal ao plano, ou seja, a recta que passa pelo ponto a representar

(projectante) oblqua em relao ao PP.

De acordo com as caractersticas do objecto e das vistas e tipos de vista necessrias a

obter deste, existem diferentes mtodos.

Relativamente ao Sistema de Projeco Paralela Ortogonal, ou simplesmente Sistema deProjeco Ortogonal, utilizam-se os seguintes mtodos:

- Mtodo de Monge ou Dupla Projeco Ortogonal, executada em dois Planosde Projeco ortogonais entre si.

A Dupla Projeco Ortogonal, que surgiu para resolver os problemas deengenharia militar, foi sobretudo aplicada Estereotomia (Corte da Pedra) eao corte da Madeira e do Ferro. Presentemente tem um importante papeldidctico no estudo dos problemas geomtricos e da sua representao aGeometria Descritiva.

- Vistas Mltiplas, executada em trs ou mais planos de projeco ortogonaisentre si, sendo as convencionais:

Tridrica, quando se utilizam 3 PP ortogonais entre si (o que no mais do


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que aplicao do Cubo Envolvente, mas em que se utilizam as trs vistas

mais significativas);

Hexadrica ou Cubo envolvente, quando se utilizam 6 PP segundo aorientao das faces de um cubo:

Mtodo Europeu, quando as projeces se efectuam nas facesinteriores do cubo;

Mtodo Americano, quando as projeces se efectuam nas facesexteriores do cubo.

As Vistas Mltiplas aplicam-se ao projecto de Design, de Arquitectura ou deEngenharia, pois correspondem normalmente s vistas das diferentes faces de

um objecto, edifcio ou estrutura. Se uma forma tridimensional tem lados para-lelos visualmente iguais, a representao Tridrica suficiente para dela se terum conhecimento completo. J em Arquitectura recorre-se a uma adaptao

das 6 vistas, sendo a vista inferior eliminada por razes bvias (Fig. 26).

Fig. 26 -Usonian House, Frank L. Wright (1939)

- Projeco Cotada, executada num nico PP e em que os pontos ou linhasapresenta uma Cota (distncia destes ao plano de referncia).

A Projeco Cotada , sobretudo, utilizada na Cartografia, com a indicaode linhas a igual altitude relativamente ao nvel do mar as Curvas de Nvel(Fig. 27) e em Arquitectura, nos Projectos de Implantao dos edifcios coma indicao das cotas nos diversos pontos do terreno.


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Fig. 27 -Carta da regio de Famalico com informao topogrficaO Sistema de Projeco Ortogonal tambm tem aplicao na obteno de projeces de

perspectivas, diferentes do Sistema de Projeco Central ou Cnico, e mais fceis e rpi-

das de obter. Os factores de reduo das suas dimenses fazem-se, convencionalmente,

por valores aproximados (portanto, mais fceis de calcular).

De acordo com a posio do objecto perante o Plano de Projeco (segundo a orientao

dos 3 eixos que definem o espao), obtm-se:

- Projeces Axonomtricas: Isomtrica, quando os 3 eixos fazem igual ngulo com o PP; Dimtrica, quando 2 eixos fazem igual ngulo com o PP (Fig. 28); Trimtrica ou Anisomtrica, quando os 3 eixos fazem ngulos diferentes

com o Plano de Projeco.

Fig. 28 -Axonometria Dimtrica orientao dos eixos e direco das suas projeces

O Sistema de Projeco Paralela Oblqua encontra aplicao na obteno de projecesde perspectivas rpidas e na execuo das Sombras segundo uma fonte de luz colocada

no infinito e segundo uma direco convencional.


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Assim, o Sistema de Projeco Paralela Oblqua compreende:

- Perspectiva Cavaleira, correspondente a um ponto de vista frontal;- Perspectiva Militar ou Area, correspondente a um ponto de vista superior;- Perspectiva de Gabinete, semelhante Perspectiva Cavaleira (Fig. 29);

Fig. 29 -Perspectiva de Gabinete orientao dos eixos e factores de reduo- Teoria das Sombras, em que a fonte de luz se situa a distncia infinita: con-

vencionalmente, a direco da luz corresponde diagonal do cubo, assente

nos dois planos de projeco, que passa pelos vrtices anterior superior

esquerdo e posterior inferior direito.

Fig. 30 -Quadro Sntese dos Sistemas e Mtodos de Projeco.


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Note-se que os mtodos de representao baseados no Sistema de Projeco Paralela

adequam-se realizao do projecto porque a grande maioria das formas que o Homem

concebe so estruturalmente paralelepipdicas, prismticas ou cbicas ou, pelo menos,

podem ser envolvidas por tais formas. O que no quer dizer que, no mbito da GD, no

se resolvam problemas relacionadas com formas complexas, como os Toros, os Parabo-lides ou os Hiperbolides.

Em situaes de facto bastante complexas, ser necessrio fazer as necessrias adapta-

es aos mtodos convencionais para resolver a questo da comunicao do desenho, ou

recorrer as outras ferramentas Frank O. Gehry nunca teria podido conceber (e vir a ser

construdo) o Museu Guggenheim de Bilbao (Fig. 31) sem recurso a modelos, a sensores

de posicionamento topogrfico e, de um modo global, a processos do mbito da com-

putao grfica, tal a complexidade das suas formas.

Fig. 31 -Museu Guggenheim de Bilbao, Frank O. Gehry (1997)


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Captulo 2.

A Geometria Descritiva e os Mtodos de Aprendizagem


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Captulo 2. A Geometria Descritiva e os Mtodos de Aprendizagem

2. A Geometria Descritiva e os Mtodos de AprendizagemAssim que Gaspard Monge estabeleceu os princpios tericos da Geometria Descritiva,

tornou-se o seu primeiro docente:

On his return in 1794 he was made a professor at the short-lived Normal

school, where he gave lectures on descriptive geometry; the notes of these

were published under the regulation above alluded to He was then made

professor at the Polytechnic school, where he gave lectures on descriptive ge-

ometry; these were published in 1800 in the form of a textbook entitled

Gomtrie descriptive.(Fig. 32)(Ball, 1908, pg. 432)

Fig. 32 -Gometrie Descriptive, Gasparde Monge capa da 5 edio (1827)

2.1. O ensino da Geometria DescritivaAssiste-se, desde ento, procura de uma metodologia na sua abordagem ou de uma

pedagogia adequada s suas caractersticas cientficas. Tem passado por diversas etapas

que dependem no s do nvel de conhecimentos dos discentes como das ferramentas e

das tecnologias disponveis. Poder-se- afirmar que dos princpios da lgebra utilizao

do Computador o ensino da Geometria Descritiva tem aproximaes baseadas em pontos

de partida to dspares quanto convergentes e complementares.


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2.1.1. A Geometria Descritiva como um ramo da lgebraA Geometria Descritiva entendida como um ramo da lgebra pressupe desde logo um

recurso ao clculo algbrico na explicao e justificao do sistema de projeces aqui

utilizado. Tambm a isto no ser alheia a relao da Geometria Projectiva (desenvolvida,relembre-se, por Poncelet no sc. XVIII, alis, discpulo de Monge) com a Geometria

Descritiva.

Para dar um exemplo, a Representao de um Ponto situado no I Quadrante em Dupla

Projeco Ortogonal pode ser explicada pela relao de igualdade entre distncias no

espao e em projeco:

O Afastamento [AA2], distncia do Ponto ao Plano Frontal de Projeco (PFP),

igual distncia da Projeco Horizontal do Ponto e o eixo x [A1A0], bem como aCota [AA1], distncia do Ponto ao Plano Horizontal de Projeco (PHP), igual distncia da Projeco Frontal do Ponto e o eixo x [A2A0]. Ou seja, a distncia doPonto ao PFP observvel quando se executa a projeco horizontal e a distnciado Ponto ao PHP observvel quando se executa a projeco frontal. Assim, o

Afastamento sendo a distncia entre o Ponto e o Plano Frontal de Projeco emprojeco est relacionado com a distncia da sua projeco horizontal ao eixo x[A1A0], bem como a Cota sendo a distncia entre o Ponto e o Plano Horizontal deProjeco em projeco est relacionado com a distncia da sua projeco frontal

ao eixo x [A2A0].Desde que o aluno tenha j apreendido o conceito de Projeco horizontal e frontal, no

necessita de nenhuma ilustrao em perspectiva para compreender de que modo as

coordenadas do Ponto se reflectem (ou, melhor, se projectam) na sua representao no

plano, j que a sua imagem estabelecida mentalmente e de forma racional.

o tipo de abordagem preferencial dos alunos que frequentam os cursos Cientficos do

ensino secundrio. Apesar do seu afastamento do desenho por dois anos (10 e 11

anos), o conhecimento mais avanado da lgebra, e em particular da Geometria,

apreendido na disciplina de Matemtica, contribui para essa preferncia15. Pelo contrrio,

os alunos da rea de Artes16 comeam a apresentar inicialmente mais dificuldades na apli-

15 Actualmente, com a reforma introduzida no ensino em 2004, esta disciplina, por opo de oferta de escola, dei-xou de integrar obrigatoriamente os planos curriculares deste curso.

16 De acordo com a organizao curricular oferecida pela escola, os cursos de Artes do Ensino Secundrio geral-mente incluam a disciplina de Matemtica no seu currculo. Actualmente, indo de encontro s solicitaes doscursos Superiores, que maioritariamente j no exigem esta disciplina como factor de ingresso (incluindo os deArquitectura), e da procura de uma via mais fcil por parte dos alunos, a Matemtica deixou de integrar obrigato-

riamente o curso de Artes Visuais (sendo geralmente substituda por Histria da Cultura e das Artes).


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cao deste tipo de aproximao, como o demonstra a experincia docente com alunos

de ambas as reas, na obteno de melhores resultados dos alunos da rea Cientfica do

que dos de Artes.

Outro exemplo de como um aluno, com um nvel de raciocnio abstracto avanado, podedispensar outros mtodos a obra Elementos de Geometria Projectiva e Geometria

Descritiva, de 1969, que Lus de Albuquerque escreveu com base na sua carreira docen-

te no ensino superior em Loureno Marques. Da resultou uma monografia cuja nica

ilustrao existente relativa explicao do conceito de projeco. Tambm fica em

evidncia que se destina a um pblico universitrio e, consequentemente, j possuidor de

conhecimentos anteriores.

2.1.2. A Ilustrao na Geometria DescritivaA utilizao da comunicao grfica procura complementar a comunicao verbal e alg-

brica. O recurso a ilustraes, que melhor exemplificam uma dada situao no espao, e

que o prprio Monge utilizou na sua obra com a incluso de algumas Pranchas ilustradas,

a prtica mais comum. As imagens utilizadas nas obras escritas ou nos manuais escola-

res sobre a Geometria Descritiva recorrem preferencialmente a representaes bidimen-

sionais em perspectiva cavaleira ou isomtrica, tornando mais clara a comunicao porse limitarem ao essencial (contrariamente fotografia, apesar do seu maior realismo).

Pela sua simplicidade e facilidade de execuo, o prprio aluno pode, inclusivamente,

recorrer a este tipo de representao para resolver problemas espaciais.

Para exemplificar, retome-se a situao anteriormente apresentada, a da Representao

de um Ponto, situado no I Quadrante, em Dupla Projeco Ortogonal:

Observando a imagem, note a existncia do quadriltero (rectngulo ou quadra-do) [P P1 P0 P2] formado pelas Projectantes que passam pelo Ponto e as linhas dechamada das Projeces do Ponto (que se constituem como projeces das pr-prias projectantes). Verifica-se que o Afastamento [PP2] igual distncia da Pro-jeco Horizontal do Ponto e o eixo x [P1P0] (dado que so lados opostos do rec-tngulo, logo, iguais), bem como a Cota [PP1] igual distncia da ProjecoFrontal do Ponto e o eixo x [P2P0] (dado que so os outros dois lados opostos dorectngulo, logo, tambm iguais). Assim, o Afastamento sendo a distncia entre oPonto e o Plano Frontal de Projeco em projeco est relacionado com a dis-

tncia da sua projeco horizontal ao eixo x e a Cota sendo a distncia entre o


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Ponto e o Plano Horizontal de Projeco em projeco est relacionado com adistncia da sua projeco Frontal ao eixo x (Fig. 33).

Fig. 33 -Dupla projeco ortogonal do pontoCom a exemplificao ilustrada do Rebatimento dos planos de projeco, como sechega da situao do espao ao papel quase que dispensa a descrio escrita,embora esta exista como elemento fundamental na racionalizao do processo derepresentao.

Sendo uma metodologia que assenta, sobretudo, na explorao da memria visual, a

abordagem preferencial dos alunos que frequentam os cursos de Artes Visuais. As suas

vantagens tornam-na na metodologia imprescindvel de qualquer publicao (sendo o

manual de Lus de Albuquerque uma das poucas excepes) ou de qualquer aula prtica o quadro negro, invariavelmente, vai enchendo-se de esquemas e de perspectivas.

A linguagem grfica assistiu, igualmente, a uma evoluo consequente dos instrumentos

de desenho utilizados. Os aparos ou as canetas de graphos e a tinta-da-china preta

foram dando lugar a outros materiais riscadores que inclusivamente facilitam a utilizao

da cor17.

O mesmo exemplo acima ilustrado com aplicao de cor apresenta uma mais valia peda-

ggica no ensino da Geometria Descritiva, sobretudo na sua fase de iniciao.

A associao de cada uma das projeces (horizontal e frontal) a uma cor (verme-lho e verde, p.e.) permite mais facilmente relacionar as respectivas projeces noespao e a sua representao em pura (Fig. 34).

17 Claus Ptz, na sua interveno no 15 Simpsio Nacional de Geometria Descritiva e Desenho Tcnico de SoPaulo, refere a utilizao da cor: By using colours wherever possible repeated elements in the construction areemphasised. Students are enabled to identify them easily in complex drawings and to find explanations on the

corresponding geometrical background within the booklet. (Ptz, 2001, pg. 271)


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Fig. 34 -Dupla projeco ortogonal do ponto, com rebatimento (verso policromtica)O recurso ao computador como ferramenta de desenho, pela facilidade em criar superf-

cies e transparncias entre si, muito contribuiu para melhorar a comunicao e no ape-

nas para tornar o grafismo mais apelativo, o que tambm no deixa de ser importante.

A ilustrao ainda do mesmo exemplo com uso de funo avanadas de software grfico

vectorial como o Corel Draw! evidencia algumas vantagens (Fig. 35):

Fig. 35 -Dupla projeco ortogonal do ponto (em verso digital), RussoO uso de uma tonalidade prxima utilizada para a respectiva projeco (vermelho rosa e verde verde claro) e a aplicao de transparncia aos planos de projec-

o facilita a compreenso de em que parte do plano se efectua a projeco. Parao I Quadrante fica mais claro que o semiplano horizontal anterior de projeco sesitua abaixo do eixo x e o semiplano frontal superior de projeco se situa acimado mesmo eixo. O grafismo mais apelativo bem evidente.

O tipo de ilustrao utilizado baseia-se na representao cavaleira ou isomtrica. Assim

as utilizaram Monge e outros autores de monografias sobre a GD, no s pela sua simpli-

cidade de concepo mas tambm porque o valor das coordenadas no espao (afasta-

mentos e cotas) toma igual valor na representao das suas projeces.


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Ainda no mbito da Ilustrao, refira-se a utilizao de software grfico na realizao de

exemplos animados, prtica recente por parte de alguns docentes. A animao permite, a

partir da imagem em movimento, demonstrar o processo de projeco e as equivalncias

do espao e o ponto de vista de cada uma das projeces ou procedimentos, como o

Rebatimento dos planos de projeco (Fig. 36).

Fig. 36 -Rebatimento do PFP (sobreposio de 3 quadros)Aplicaes, como o 3D Studio, possibilitam a criao de modelos geomtricos a partir dosquais so geradas, simultaneamente ou no, imagens das suas projeces ortogonais esucessivas projeces de quaisquer perspectivas, como que correspondentes a movimen-

tos do objecto, possibilitando a filmagem da animao. No entanto, dada a complexi-

dade no domnio da utilizao do 3D Studio, o Adobe Flash (ex-Macromedia Flash) cons-titui-se como alternativa. O Flash possui variadssimas funes de animao dos elemen-

tos desenhados (em 2D) e, para quem conhea a sua linguagem Script, permite incluir

funcionalidades de controlo e interactividade. O formato de exportao SWF facilita a

sua integrao em pginas HTML, cuja leitura se efectua com o plugingratuito Flash

Player instalado no browser.Na exemplificao animada da dupla projeco ortogonal de um Ponto pode-se:

Simular a passagem da projectante horizontal pelo Ponto e a sua interseco como Plano Horizontal de Projeco, obtendo-se a projeco horizontal do ponto P1;

Simular a passagem da projectante frontal pelo Ponto e a sua interseco com oPlano Frontal de Projeco, obtendo-se a projeco horizontal do ponto P2;

Relacionar a distncia [PP2], o Afastamento, com a distncia [P1P0] com a anima-


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o de uma dupla seta a interligar as duas distncias;

Relacionar a distncia [PP1], a Cota, com a distncia [P2P0] com a animao deuma dupla seta a interligar as duas distncias (Fig. 37).

Fig. 37 -Dupla Projeco Ortogonal do Ponto (3 momentos da animao)

2.1.3. A Informtica e a Geometria DescritivaO Computador Pessoal (PC, acrnimo de Personal Computer) abriu o caminho ao desen-

volvimento de software especfico aplicado geometria. Aplicaes dinmicas, que pos-

sibilitam a interaco do utilizador e a resposta grfica a um problema, facilitam a com-

preenso de situaes espaciais, apresentando paralelamente a sua resoluo em pura18

(Fig. 38).

Fig. 38 -pura tridimensional e pura bidimensional

18pura uma tcnica de representao geomtrica bidimensional para formas tridimensionais utilizada por Gas-pard Monge. A tcnica da pura consiste em projectar uma forma sobre dois planos ortogonais entre si, obtendoduas projeces dessa forma a projeco horizontal e a projeco frontal. Embora essas duas projeces sejambidimensionais, os dois planos que as contm formam um conjunto tridimensional, pelo que necessrio proceder operao de rotao de 90 de um desses planos, tendo como eixo a recta de interseco dos dois planos deprojeco, ficando coincidentes. A esta operao chama-se Rebatimento e representao, agora bidimensional,

pura.


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Pode-se dizer que a utilizao de software na aprendizagem da GD revolucionou, de cer-

ta forma, o seu ensino:

O ambiente hipermdia traz mudanas significativas ao ensino tradicional

pois, alm de disponibilizar um maior nmero de modelos tridimensionais,atravs da realidade virtual, proporciona certa independncia do aluno em re-

lao ao professor.(Jacques, 2001)

No entanto, os principais problemas na implementao do seu uso so, por um lado, os

recursos disponibilizados nos estabelecimentos de ensino (uma sala de aula onde o PC

fosse to usual como o quadro negro) e, por outro, a apetncia dos alunos para as Novas

Tecnologias. Esta apetncia s agora comea, em parte, a ser uma realidade.

Mais do que um fim em si, o recurso a software constitui uma ferramenta a valorizar no

ensino da Geometria Descritiva. Durante a fase de iniciao, o aluno mais facilmente

estabelecer as relaes do espao a sua representao bidimensional.

Exemplifique-se, uma vez mais, a representao de um Ponto situado no I Quadrante em

Dupla Projeco Ortogonal:

Na representao em perspectiva (representativa do espao) o utilizador podeusar o cursor do rato arrastando o ponto P, por exemplo, para cima. Tanto napura bidimensional como na tridimensional observa-se o aumento da cota do

ponto (distncia deste ao PHP), por aumento da distncia entre o eixo x e a pro-jeco frontal (aqui exemplificada com uma tonalidade mais clara) (Fig. 39).

Fig. 39 -Dupla projeco ortogonal do ponto (verso dinmica)Programas como o AEIOU permitem criar e movimentar os elementos geomtricos numarepresentao em perspectiva e observar, dinamicamente, o resultado em dupla projec-

o ortogonal, ou seja, a sua converso para a representao bidimensional (Fig. 40).


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FranciscoMorgado refere na sua dissertao de Mestrado algumas outras das suas van-

tagens:

- Seguir exerccios, acompanhados por uma explicao udio e escrita;- Resoluo de exerccios por parte do aluno e entrega ao professor;- Possibilita ao professor ver a soluo final do exerccio, ou acompanhar a

resoluo proposta pelo aluno;

- Ver o tempo despendido na elaborao do exerccio;- Alterar, facilmente, a resoluo, sem ter de apagar o que j se fez.

Fig. 40 -Ambiente do AEIOU Recta horizontal de um planoOutros programas como o Geometers Sketchpad (disponvel em verso demo emhttp://www.chartwellyorke.com/sketchpad/gspdemos.html) ou o Cinderella (disponvelpara download em http://cinderella.de/tiki-index.php) permitem a manipulao dos

elementos da geometria ponto e linha directamente a duas dimenses (Fig. 41).

Fig. 41 -Cinderella


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Muitos outros programas existem, alguns em simples aplets desenvolvidos por profes-

sores e instituies acadmicas, mas que, por vezes, necessitam de conhecimentos de

programao. O seu embebimento em pginas HTML permitem uma fcil acessibilida-

de a partir de qualquer Browser (como o Internet Explorer, o Netscape ou o Firefox).

Alguns desses aplets, em programao Java, esto disponveis on-line, como o Cader-no de Monge19 (Fig. 42).

Fig. 42 -Caderno de Monge Tripla projeco de um ponto (sobreposio de duas posies)

2.1.4. A Geometria Descritiva e os ModelosEm todas as situaes referidas, um problema se mantm: as representaes bidimensio-

nais, mesmo que em perspectiva, podem eventualmente constituir uma limitao ao nvelda avaliao espacial tridimensional.

convico de que os Modelos ou Maquetas constituem a melhor via na aprendizagem

da Geometria Descritiva assentam na ideia de que a sua observao sob diversos pontos

de vista contribuem para o melhor reconhecimento da forma:

In the natural environment, most objects are seen from several different

viewpoints. We explored the nature of recognition after training with multiple

views and compared it to recognition after training with only one view.20

(Edelman, 1999)

No ser por acaso que um autor, ao publicar uma obra sobre temas relacionados com o

19 O site dedicado matemtica disponibiliza, em Geometria > Geometria Descritiva, actividades interactivas.(http://www.profcardy.com/geodina/ [6.Abr.2007, 23:25])

20 Em ambiente natural, muitos objectos so vistos de diferentes pontos de vista. Exploramos a natureza doreconhecimento depois de treinar com mltiplas vistas e comparando-a no reconhecimento depois do treino com

uma nica vista.


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espao, opte por um mtodo de publicao tridimensional (Fig. 43 e 44). Este mtodo

utiliza a capacidade de abrir o livro e, consequncia da sua concepo, existirem elemen-

tos que automaticamente tomam a forma tridimensional pretendida a forma pode,

assim, ser observada sob qualquer ponto de vista.

Fig. 43 - A Linha definida por dois pontos e como interseco de dois planos, seg. Ribeiro e Russo (2008)

Fig. 44 -Recriao 3D do Atelier de Johannes Vermeer, segundo Frayling (2006)Os modelos assumem, assim, um importante papel como instrumentos de trabalho na

aprendizagem. S eles constituem a verdadeira situao espacial, numa aproximao par-

ticularmente visualizao horizontal e frontal e consequente passagem para a repre-

sentao em dupla projeco ortogonal. Por vezes referidos nos programas oficiais da

disciplina

21

na sua utilizao para demonstrar determinados problemas, a verdade que agrande maioria das escolas, por razes que se desconhecem, no os possuem. Resta ao

docente ser ele prprio a constru-los, recorrendo aos mais diversos materiais cartolinas,

madeiras, plsticos, acrlicos ou metais e criar um sistema que lhes permita criar situa-

es que, complementadas com acetatos, permitam ao aluno compreender o porqu da

representao em dupla projeco ortogonal.

21 O ensino das projeces ser de incio experimental e pouco a pouco habituar-se- o aluno a ver no espao

sem o auxlio de modelos. (Programa de Desenho para o 3 ciclo dos Liceus)


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Inversamente se verifica nas relaes entre as coordenadas do Ponto e a sua pro-jeco frontal.

Posteriormente, este sistema permite realizar o Rebatimento dos Plano de Projec-o e compreender a relao entre as duas projeces e o eixo x, numa represen-

tao bidimensional.

2.2. A Geometria Descritiva nas reformas educativas em PortugalDado que o objectivo deste trabalho se dirige essencialmente ao ensino da Geometria

Descritiva a nvel do ensino Secundrio, neste mbito que interessante observar o

caminho percorrido pela disciplina, desde o seu surgimento, nas sucessivas reformas edu-

cativas.

O Decreto n. 27:085, de 14 de Outubro de 1936, que aprova os Programas do Ensino,

no refere a existncia de qualquer disciplina associada ao ensino do Desenho (suben-

tenda-se, Geometria Descritiva).

O Decreto n. 36:507, de 17 de Setembro de 1947, que aprova o novo Estatuto do Ensi-

no Liceal, complementado pelo Decreto n. 37:112, de 22 de Outubro de 1948, que

aprova os Programas do Ensino Liceal, incluem a disciplina de Desenho a partir do 1

ano. Nos 6 e 7 anos, que correspondem ao ciclo secundrio (e aos actuais 10 e 11

anos), a disciplina denomina-se Desenho e tem como programa:- Desenho geomtrico;- Esboo cotado;- Desenho vista.

O Desenho geomtrico , na verdade, a representao em dupla projeco ortogonal, ou

Mtodo de Monge, e abarca a maior parte do ano lectivo. Os contedos deste captulovo desde a representao dos elementos bsicos da geometria (Ponto, Recta, Plano e

Slidos) Teoria das Sombras, passando pelos Mtodos Geomtricos Auxiliares (Rebati-

mentos e Mudana de Planos), Interseces e Seces. A resoluo de problemas refere-

se situao dos elementos geomtricos em qualquer quadrante.

O Decreto n. 39:807, de 7 de Setembro de 1954, vem introduzir algumas modificaes

nos programas do ensino liceal que, no caso do Desenho apenas se aplica a alteraes na

forma de escrita, mas no do seu contedo.


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Aps o 25 de Abril assiste-se, compreensivelmente, a sucessivas Reformas do Ensino em

Portugal. Em 1975 cria-se o Curso Geral Unificado (do 1 ao 9 ano) com uma rea

vocacional no 9 ano e em 1976 introduz-se o Servio Cvico Estudantil. O ano prope-

dutico, que inclui cinco disciplinas, introduzido em 1977 e substitudo em 1980 pelo

12 ano com as Via de Ensino e a Via Profissionalizante, que do acesso ao Ensino Supe-rior. Entretanto, o Curso complementar (10 e 11 anos) implementado em 1978 22.

neste cenrio que a disciplina de Desenho toma vrias nomenclaturas, de acordo com o

nvel escolar Educao Visual (7 e 8 ano), Desenho (no 9 ano) e Geometria Descriti-va (nos 10 e 11 anos, assim como no 12 ano). No entanto, no denominado CursoComplementar Liceal Nocturno a disciplina manteve o nome de Desenho, apesar dosseus contedos serem relativos a GD, tendo as provas de exame terminado em 2000.

A disciplina de Desenho, no 9 ano, integralmente dedicada ao desenho geomtrico, j

que este foi substancialmente reduzido nos anos anteriores. A complementar as constru-

es geomtricas concordncias, arcos, polgonos regulares, etc. surge uma aproxi-

mao dupla projeco ortogonal com a representao do cubo ou do paraleleppedo

com bases de nvel ou de frente.

O programa da disciplina de Geometria Descritiva inclui os captulos23:

- Projeces Axonomtricas;

- Desenho cotado;- Projeco Cotada;- Projeco cnica;- Dupla Projeco (constando os Slidos no 11).

Em 1984, j com nova nomenclatura, a disciplina de Desenho e Geometria Descritiva,aparece reorganizada em Dupla Projeco Ortogonal Ponto, Recta, Plano, Figuras Pla-

nas e Slidos, Interseces, Mtodos geomtricos auxiliares, Sombras Projeces cota-

das e Perspectiva24. Sendo os dois ltimos captulos referidos de forma breve, a incluso

do termo Desenho no nome da disciplina apenas se limita ao papel de associar a GD ao

Desenho e a sua funo representativa.

22 Fonte: OEI Ministrio da Educao de Portugal: Sistema Educativo de Portugal Cap. 2. Breve Evoluo His-trica do Sistema Educativo (2003).

23 Fonte: Manual de GD, de Lus Gonalves, aprovado pela Portaria n. 542/81.

24

Fonte: Manual de DGD A, de Stella SantAna e Berta Gomes, aprovado pela Portaria n. 608/84.


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A Lei n. 46/86, de 14 de Outubro, estabelece o quadro de referncia da reforma do

ensino educativo, decorrendo a definio dos planos curriculares dos ensinos bsico e

secundrio, alterada pela Lei n. 115/97, de 19 de Setembro, e regulamentada

curricularmente pelo Decreto-Lei n. 286/89, de 26 de Agosto de 1989, que refere a dis-

ciplina de Desenho e Geometria Descritiva (DGD) para os 10, 11 e 12 anos na com-ponente de Formao Especfica (o 12 ano passa ento a considerado integrante no

ciclo de estudos). Para os alunos que pretendem ingressar em Arquitectura a sua durao

de 4 horas nos trs anos, enquanto que para os que pretendem ingressar em Engenha-

ria de apenas 3 horas no 12 ano. Nesta reforma, apesar de se criar uma via para o

prosseguimento de estudos e outra para o ingresso na vida activa, no se introduzi-

ram quaisquer diferenciaes no seu contedo.

Com a incluso de mais um ano de estudos no Desenho e Geometria Descritiva (DGD A)

os contedos programticos do 12 ano versam integralmente o estudo da Perspectiva

Linear, que at ento apenas era abordada de forma superficial e no ensino superior.

No entanto, em 1999 (ano em que os cursos para o ingresso na vida activa se passam

a denominar de Tecnolgicos) o plano curricular da GD A sofre uma nova reorientao

a Perspectiva linear retirada e os Problemas Mtricos e a Representao Axonomtrica

passam a integrar o currculo.

O Decreto-Lei n. 74/2004, de 26 de Maro de 2004, que estabelece os princpios

orientadores da organizao e da gesto do currculo, entretanto rectificado pela Decla-rao de Rectificao n. 44/2004, de 25 de Maio, aprova os cursos Cientfico-

humansticos e os cursos Tecnolgicos com nova matriz de nvel secundrio. So regi-

mentado pelas Portarias n. 550-A a D/2004, de 21 de Maio, que aprovam o regime de

organizao, funcionamento e avaliao dos cursos de nvel secundrio. O Decreto-Lei

n. 24/2006, de 6 de Fevereiro, alarga a oferta curricular com os cursos Profissionais.

O novo programa da disciplina, que retoma a nomenclatura de Geometria Descritiva,responde a uma lacuna que os docentes j vinham a sentir por parte dos alunos a defi-

ciente preparao no mbito do desenho e dos conceitos bsicos da geometria. Em Edu-

cao Visual, progressivamente se foi diminuindo a proposta de trabalhos com base na

geometria em prol da criatividade. Tal evoluo teve uma consequncia negativa na

habilidade no s em lidar com os instrumentos (rgua, esquadro e compasso) como na

aplicao de princpios bsicos da geometria. Assim, a incluso de um Mdulo inicial,contendo os conceitos gerais relativos geometria, pretende preencher essa lacuna.

Por outro lado, surge a Geometria Descritiva A para o curso Cientfico-humanstico deArtes Visuais (que substitui o curso orientado para o prosseguimento de estudos) e a


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Geometria Descritiva B para os cursos Tecnolgicos de Design de Equipamento e de Mul-timdia (que substituem os cursos orientados para a vida activa). Os currculos so redu-

zidos a dois anos (nos 10 e 11 ano), sendo de 6 tempos (4,5 horas efectivas) semanais

para a GD A e 4 tempos (3 horas efectivas) para a GD B. Alguns dos pontos dos progra-

mas foram reduzidos, para dar lugar s Axonometrias clinogonais e ortogonais (Fig. 46).Este captulo constitui uma novidade, j que sedebrua sobre a Determinao grfica

das escalas axonomtricas e Mtodos de construo e no apenas sobre as axonome-

trias convencionais.

Fig. 46 -Axonometria isomtrica de um slido geomtrico, segundo J. Costa (2005)

2.3. Notao e NormalizaoComo no Desenho Tcnico, importante regulamentar a representao em Geometria

Descritiva. Da identificao dos elementos geomtricos (pontos, linhas, eixos, planos,

volumes, etc.), denominada habitualmente de Notao, aos Traados (tipos, espessuras e

cor), h que encontrar uma linguagem uniforme25 que contribua para uma leitura inequ-

voca da representao.

Apesar de ser relacionada com o sculo XX, a necessidade dessa regulamentao, ou

25 O desenho pode assim considerar-se uma linguagem e como tal deve ter uma gramtica, uma ortografia euma caligrafia prprias, cujo estudo necessrio a quem pretenda ler e escrever correctamente essa linguagem.

(Cunha, 1980, pg. 1)


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melhor, de uma normalizao, era j uma prtica em pocas anteriores, como se refere

James Ackerman obra de Honnecourt:

Alcuni dei disegni di Reims di Villard de Honnecourt sono considerati una

pietra miliare nella messa a punto delle convenzioni per la rappresentazione diopere e progetti di architettura.(Ackerman, 2003) 26

Igualmente, o refere Lus Veiga da Cunha em O Desenho Tcnico da seguinte forma:

J entre os antigos se reconheciam os benefcios de uma normalizao, atra-

vs do estabelecimento de regras de actuao em certos domnios. Assim, por

exemplo, as regras construtivas e arquitectnicas de alguns povos da Antigui-

dade Clssica e Oriental chegam at aos nossos dias como testemunho de

uma preocupao normalizadora. Contudo, muitos sculos passariam ainda

antes que a normalizao, no sentido em que hoje entendida, se tornasse

realidade, impondo-se como verdadeira necessidade.(Cunha, 1980)

E acrescenta mais adiante:

S com o progresso alcanado pela revoluo industrial do sculo XIX se

comeou a justificar a necessidade de normalizao no plano sectorial e

nacional. E foram sobretudo as dificuldades encontradas na cooperao tcni-

ca e militar entre os pases aliados no decurso da Segunda Guerra Mundial

que puseram em evidncia a necessidade urgente de se caminhar rapidamentepara a normalizao no plano internacional.(Cunha, 1980)

No entanto, as regras criadas foram sofrendo uma evoluo. Muitas das vezes, conse-

quncia da adaptao prpria evoluo cientfica e tecnolgica ou, no caso do Dese-

nho, pela necessidade de uma simplificao.

Muito provavelmente, ao consultar um livro de Geometria de h 50 anos encontrar-se-

alguma dificuldade em descodificar a Notao e o Traado, ao compar-los com quais-

quer um dos actuais manuais escolares da matria. No caso de os conhecimentos dequem os consultar forem slidos, pelo menos demorar-se- algum tempo a encontrar as

respectivas correlaes.

, assim, necessrio definir, conhecer e aplicar uma Normalizao dos elementos de

representao.

26 Alguns dos desenhos de Reims de Villard de Honnecourt so considerados uma pedra miliar num apanhado

das convenes para a representao de obras e projectos de arquitectura. (pg. 29)


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2.3.1. NotaoNo mbito da Geometria Descritiva, a Notao, ou seja, a identificao dos elementos

geomtricos, nem sempre foi suficientemente clara, sobretudo ao nvel das projeces.

No se tem encontrado consenso na sua normalizao ou, melhor dizendo, carece deuma Normalizao. Particularmente no seu ensino, existem orientaes que contribuem

para a utilizao de critrios uniformes, seja para a sua prtica seja para a edio de

manuais da especialidade, mas nem sempre seguidas.

Na anlise de algumas publicaes, verifica-se a existncia de um percurso que contribui,

por vezes, para a melhoria da leitura do desenho, o que, no fim de contas, um dos

principais objectivos em qualquer desenho rigoroso a observao inequvoca da repre-

sentao.

Observando algumas obras publicadas, espaadas no tempo e na geografia, entre as

quais manuais escolares de referncia no nosso ensino, ter-se- uma melhor percepo

das diferenas de Notao e da sua evoluo:

G. Monge (Fig. 47)Interseco dos PP LM

Ponto A

Proj. horizontal do ponto a

Proj. vertical do ponto a

Recta 2 pontos indefinidos

Traos do Plano 3 pontos(um deles em LM)

Fig. 47 - Interseco de dois planos, segundo Monge (Pl. III)


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N. Krylov (Fig. 48)Interseco dos PP x ou x0

Ponto A

Proj. horizontal do ponto a

Proj. vertical do ponto a

Recta 2 pontos indefinidos

Traos do Plano Ph / Px / Pv

Fig. 48 - Interseco de planos cujos traos no se intersectam em projeco vertical, segundo Krylov(pg. 59)

A. Carreira (Fig. 49)Interseco dos PP LT (Linha de Terra)

Ponto A

Proj. horizontal do ponto A

Proj. vertical do ponto A

Recta r

Traos do Plano h / v

Fig. 49 - Interseco duma recta com um plano, segundo Carreira (pg. 89)


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J. Santa-Rita (Fig. 50)Interseco dos PP x

Ponto A

Proj. horizontal do ponto A1

Proj. frontal do ponto A2

Recta r

Traos do Plano h / f

Fig. 50 -Plano passando por um recta dada, segundo Santa-Rita (pg. 135)

Numa breve anlise, refiram-se alguns princpios aplicados e suas respectivas alteraes:

- A Interseco dos Planos de Projeco identificada inicialmente por LT(Linha de Terra) e utilizada durante a vigncia do manual de A. Carreira (verna Recta a justificao da utilizao das duas letras). J em Krylov esta recta

correspondente ao eixo x, como passou a ser adoptado no nosso ensino apartir de 1989.

Na reforma de 1989 foram dadas algumas orientaes no sentido de incluir anotao 1 e 2, respectivamente, abaixo e acima do eixo x (do lado direito),indicando o plano de projeco 1 (PHP) e 2 (PFP), que se converteria, umdeles, em 4 na mudana de planos, e 5 para uma segunda mudana (o 3,ausente, corresponderia a um hipottico plano de projeco de perfil). Embo-ra pedagogicamente funcione como auxiliar, facilmente se compreende a

contradio com o conceito geomtrico de plano, de dimenses infinitas;

- O Ponto, enquanto elemento geomtrico referenciado no espao, identifi-cado por uma letra maiscula do nosso alfabeto em todas as publ

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Aplicação do e-Learning em Geomteria Descritiva