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Aplicações da
Gravitação
Aplicações da
GravitaçãoR. Boczko
IAG - USP
310105
Lançamento vertical
Lançamento vertical(nas proximidades do solo)
h0
h
h
v0
v
Plano de referência
Plano de lançamento
Plano de destinoh = h0 + v0 . t + g . t2 / 2
v = v0 + g . t
v2 = v02 + 2 . g . h
t = ( v - v0 ) / g
h = h - h0
+
gg - 9,8 m/s2 + g
Altura máxima no lançamento vertical
h0
hmáx
h
v0
Plano de referência
Plano de lançamento
Plano de destino
g - 9,8 m/s2
v = 0
g
+
Altura máxima
hmáx = h0 + v0 . t + g . t2 / 2
v = v0 + g . t
t = ( 0 - v0 ) / g
t = - v0 / g
v2 = v02 + 2 . g . h
02 = v02 + 2 . g . h
v02 = - 2 . g . h
v0 = - g . t
0 = v0 + g . tv = 0
h = hmáx - h0
Espaço percorrido
t = ( v - v0 ) / g
Tempo de subida
Princípio da inércia de Galileu
Princípio da Inércia( Galileu, 1564 - 1642 )
Um corpo abandonadotende a voltar à mesma
altura da qual foi abandonado.
Princípio da Inércia
Um corpo, sobre o qual nãoage nenhuma força, tende a
manter seu estado demovimento ou de repouso.
V VXForça Movimentoretilíneouniforme
Lançamento vertical desde uma plataforma móvel
v0
vH
v=0
vH- v
vH
v
vH
-v0
vH
Lançamento balístico
Lançamento balístico
v=0
vH- v
vH
v
vH
-v0
vH
v0
vH
Aceleração da gravidade é
constante com a altura?
A aceleração da gravidade e a altura
Será que no topo eu pesaria o mesmo que
aqui em baixo?
A aceleração da gravidade e a altura
g
g0
0 h
Chão Bem alto Muito alto
No topo deuma montanha
Princípios da Mecânica
Newton
Princípio da Inércia( Newton, 1642- 1727 )
V VXForça Movimentoretilíneouniforme
Qualquer corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme a menos que seja
compelido a mudar seu estado por meio de uma força externa.
F
0
Princípio fundamental da dinâmica
A força agente sobre um corpo é
proporcional à aceleração que o corpo
adquire.
F = m
Força
m
Princípio da ação e da reação
A cada ação corresponde uma reação de mesma intensidade e
de sentido oposto.
"Peso" de um corpo
O peso de um corpo é proporcional à
aceleração gravitacional que age
sobre o corpo.
P = m . g
mP
0 g
P
g
Solo
Por que a Lua gira em volta da Terra?
Newton, a Lua e a maçã
Por que a maçã cai e a Lua não?
Lua e Terra
Velocidade
Lua
Terra
Gravitação universal
Lei da atração gravitacional
F Fd
M m
F = G M m / d2
G = constante universal da gravitação = 6,67x10-11 m3.kg-1.s-2
M,m = massas dos corpos envolvidosd = distância entre as massasF = força de atração gravitacional
Aceleração gravitacional
Aceleração gravitacional
F Fd
M m
F = G M m / d2
gM = F / M
gM = [G M m / d2] / M
gM = G m / d2
gm = F / m
gm = [G M m / d2] / m
gm = G M / d2
Aceleração sobre o corpo M
Aceleração sobre o corpo m
Aceleração gravitacional em função da altura
Terra
h
R
g
d =
R +
h
M
gm = G M / d2
gm = G M / d2
gm = G M / (R + h)2
g0 = G M / (R + 0)2
Aceleração gravitacional na superfície da Terra
h = 0
g0 = G M / R2
Aceleração gravitacional na superfície da Terra
Terra
h
R
g
d =
R +
h
M
gm = G M / (R + h)2
g0 = G M / (R + 0)2
Aceleração gravitacional na superfície da Terra
h = 0
g0 = G M / R2
Relacionar g numa dada altura com o g0 na superfície
gm = G M / (R + h)2
g0 = G M / R2
g / g0 = [ R / (R + h) ]2
g / g0 = R2 / (R + h)2
Dividindo membro a membro:
‘Forças’ agentes num corpo orbitando outro
Força Centrípeta
Fc
Velocidade
Força Centrípeta e força gravitacional
Fc
Velocidade
C
Mm
A atração gravitacional!
Quem exerce a força centrípeta?
Força Centrípeta sobre a Lua
Fc
Velocidade
Lua
Terra
Acelerações atuantes sobre a Lua
Fc
Velocidade
Lua
Terra
g = GM/d2 c = v2 / d
Aceleração gravitacional
Aceleração centrípeta
"Prova" da Lei da Gravitação Universal
Relacionar aceleração gravitacional e centrípeta agentes
sobre a Luag = GM/d2 c = v2 / d
G = ?M = ?
g / g0 = [ GM/d2 ] / [ G M / R2 ]
g = g0 [ R / d ] 2
v = . d
= 2 / T
T = período de revolução da Lua em torno da Terra
v = d . 2 / T
c = (d . 2 / T)2 / d
c = 4 . 2. d / T2
g0 = 9,8 m/s2
R = 6.378 km
d = 384.000 km
g = 0,0027 m/s2
T 27,3 dias
c = 0,0027 m/s2
g0 = G M / R2 Na superfície da Terra
Velocidade circular
Fc
Velocidade
Lua
Terra
g = GM/d2
c = v2 / dvcirc = GM/d
g0 = G M / R2
vcirc = R g0 / d
c = g
v2 / d = GM/d2
Lançamento de foguetes
Tiro de Canhão
Velocidade
Loooonnngo tiro de canhão!
PN
Lançamento de foguetes
v = 0
v
v
vvertical = 0
vmáxFim docombustível
Per
íod
o a
cele
rad
o
Per
íod
o d
esac
eler
ado
Lançamento de satélites
v = 0
v
v
vvertical = 0vhorizontal
vmáxFim docombustível
Formas das órbitas de
corpos sujeitos à gravitação
Cônicas
Geratriz
Eix
o
Superfície cônica
Superfície cônica
Secções Cônicas
Ponto
Circunferência
Elipse
RetaReta
Parábola
Retasconcorrentes
Retasconcorrentes
GeratrizE
ixo
Hip
érb
ole
Trajetórias de um foguete
PN
Direção da velocidade de lançamento
Elípticav < vcirc
Circular
v = vcirc
Elípticavcirc < v < vparab
Hiperbólica
v > vparabParabólica
vparab = v = vparab = 2 vcirc
v
vc = GM/d
Aproveitando a rotação da Terra
Velocidade relativa
Varrasto
Vbola
Vbola
V0bserv = Vbola
V0bserv = Varrasto + Vbola
Freios
Impulso gratuito no foguete
PN
Varratro
Vfoguete
Varratro 0,5 km/s
Velocidade derotação da Terrano seu equador:
Velocidade de rotação da Terra
R
r
PN
PS
No equador:v = R
v
0 +90
Numa latitude v = R cos
R
rPN
Ve
qu
ad
or
Vla
titu
de
Satélites artificiais da Terra
A Terra e sua atmosfera
PN
Raio = 6.378 km
Altura da atmosfera~300 km
Atmosfera
Órbitas de satélites
Atmosfera300 km
6.378 km
Satélite debaixa altitude
400 km
Satélite de alta altitude
600 km
Altura = 36.800 km
Período = 23h 56m
Satélitegeoestacionário
Satélite/sondainterplanetário(a)
Órbita equatorial ou
polar
Órbita equatorial
Órbita polar
Órbita inclinada
Estação Internacional
Órbita de transferência
PN
v = 0
PN
v1 = vcirc
Órbitabaixa
Órbita de transferênciade mínima energia
(transferência de Hohmann)
v12 = velíptica
Órbitaalta
v2 = v’circ
Viagem interplanetária
Terra
Marte
Qual o melhor
caminho?
Trajetória mais curta
O caminho mais curto, caso os planetas permanecessem imóveis no momento da oposição.
Isso não existe!
T0M0
M1 T1
O caminho mais curto exigiria uma velocidade extremamente
elevada, para compensar a velocidade orbital da Terra.
Órbita mais curta, mas muito cara...
Marte0
$$$$$$$$$$$$$$$$$
T0M1
T1
A trajetória de uma astronave, dotada de altíssima velocidade inicial, poderia ser coberta em apenas dois meses.
Se combustível não fosse problema...
$$$$$$$$$$$M0
T0
M1 T1
Viagem econômica!Viagem econômica!
T0
Sol
M1
M0
T1
Órbita de transferência de
Hohmann:órbita mais econômica
entre duas órbitaselípticas
A astronave chegará em Marte 258 dias após seu lançamento.
Viagem econômica de ida a Marte
M0 T0
M2
T2
M1
T1
Em Marte, os astronautas deverão permanecer 454 dias,
aguardando outra janela para o vôo de regresso.
Permanência em Marte
M0
T1
M1
T0
Na viagem de volta, mais 258 dias para chegar na Terra.
Viagem econômica de retorno à Terra
M0
T0
M2
T2
T1
M1
Observando a maré
A maré!!!
Observando o nível do mar
Maré baixa
Maré altaNível do mar
Desnível entre as marés alta e baixa
Baixa-mar
Preamar
DesnívelNível médioAmplitude
Amplitude
Desnível = 2 * Amplitude
Períodos envolvidos com a maré
Intervalo de tempo entre marés
Baixa-mar
Preamar00h00m
03h06m
06h12m
09h19m
12h25m
15h31m
00h50m
03h56m
18h27m
21h44m
12h25m 12h25m
12h25m
Relação entre marés e posição da Lua no céu
Zênite
Meio-dialunar
PS
N S
E
W
Meia-noitelunar
Maréalta
Maréalta
Marébaixa
Marébaixa
Dia Solar e Dia LunarDia 1Meio-dia solar Meio-dia lunar
PS
Dia Solar e Dia Lunar
Dia Solar24h00m00s
Dia 2Meio-dia solar Meio-dia lunar
PS
Dia Solar e Dia Lunar
Dia Solar24h00m00s
Dia Lunar24h50m28s
Dia 2Meio-dia solar Meio-dia lunar
PS
Mudança diária no nível da maré
Baixa-mar
Preamar
Dia 1 2 3 4 5 6 7
Influência da fase da Lua sobre a altura da maré
Baixa-mar
Preamar
Dia 1 7 14 22 29
Luacheia
Luanova
Quartominguante
QuartoCrescente
Luacheia
Causa da maré
Atração Gravitacional( Newton )
F F
d
M m
F = G.m.M / d2
Atração Gravitacional da Lua sobre a Terra
F
d
mM
F = G.m.M / d2
f m
D
f = G.m.M / D2
Atração Gravitacional da Lua sobre a Terra elástica
Terra Lua
LuaTerra
d
F = G.m.M / d2
D
f = G.m.M / D2
Forças causadoras das Marés
PCD
F = G.M.m/d2
FPFCFD
M
Configuração instantânea das marés na superfície da Terra
Alta
Baixa
Alta
Baixa
Movimento diurno aparente da Lua
PS
Sentido da
rotação da Terra
Sentido da revolução
da Lua
LW
Seqüênciada Maré
1PS
2
PS
3
Glub-glub...
PS
4
PS
5PS
6
PS
Glub-glub...
7
PS 8
PS
Componentes da maré
Contribuição da maré solar e da
maré lunar
1
Solar
2,5Lunar
Marés marítimas e...
Marés Terrestres !
Marés marítimas
Estrutura Interna da Terra
Núcleo Interno
Núcleo Externo
Manto inferior
Manto superior
Crosta
Marés Terrestres
Magmapastoso
Placa
Lua
~ 15 cm
Magmapastoso
Placa
Placa
Placa
Placa
Efeitos das marés a longo prazo
A Terra estáA Terra estáparandoparandode girar !de girar !
Gravidade Marés
Rotaçãoda Terra
Ciclicidadedas marés
Atrito
Cal
or
Perda deenergia cinética
de rotação
TempoVel
oci
dad
e d
e ro
taçã
o
Per
íod
o d
e ro
taçã
o
+1s/ano
Translação da Terra daqui a ... muitos anos !
Sol
Translação atual da Lua
Quebra de satélites pelas marés
Deformação e/ou desmembramento
de Satélite Satélite
Satélite deformadopelas forças demarés
Satélitedesmembrado
M >>D <<
CometaShoemaker-Levy
Choque Shoemaker-Levy e Júpiter
Como se formam as Como se formam as estrelas?estrelas?
Pressão gravitacional
Existindo massa,existe atraçãogravitacional
Contração gravitacionalde uma nebulosa
Contração gravitacionalde uma nebulosa
F Fd
m m’
F = G m m’ / d2
Lei da atraçãogravitacional
A forma geométricade menor energia é a
esfera.
GásHidrogênio
De proto-estrela à estrela
Gestação de umaestrela
?
Nebulosainicial
Aquecimento da proto-estrela
Excitação
Ionização
Desexcitação
Fusãonuclear Energia
Elemento mais pesado
GásHidrogênio
Nascimento de umaestrela
Início dasreações de
Fusão Nuclear
Nasceu a estrela !
Nebulosainicial
Porque a estrelaPorque a estrelanão colapsa?não colapsa?
?
Temperatura
Frio
Quente
A Temperatura deum corpo mede ograu de agitaçãocaótica de suas
partículas.
Pressão Térmica
Arfrio
Balão commecha apagada
Devido à temperatura,existe a pressão térmica.
Mecha acesa
Pressões atuantes numa estrela
Partícula
Contraçãogravitacional
Vem...Expansão
térmicaVai...
(Des)equilíbrioEstático
PT < PG
Contração
PT = PG
Equlíbrio
PT > PG
Expansão
PT = Pressão Térmica PG = Pressão Gravitacional
Como são escobertos os planetas e os
buracos negros?
Evolução de estrelas dependendo de suas massas
Massas solares0,08 4 8
Tempode
Vida
PesoLeve
AnãBranca
(Planeta)PesoPena
PesoMédio
Estrela denêutrons
EstrelaSupernova
PesoPesado
BuracoNegro
Lançamento de corpos num campo gravitacional
Luz
Estrela Colapsada
BuracoNegro
BuracoNegro
Foto de um Buraco Negro
?
Representação geométrica de um
Buraco Negro
Geodésicas num espaço vazio
Geodésicas nasproximidades deum Buraco Negro
‘Massa’ de um fóton
Fóton E = mc2
fc
E = hfmc2 = hf
m = hf / c2
Horizonte de eventos
Geodésica
Horizonte de eventos:
Superfície que delimita a região do espaço em torno de um buraco
negro de modo que qualquer corpo (ou mesmo a Luz) que nele penetre,
não pode mais dele sair .
Forças de maré num Buraco Negro
gcabeça
gpé
BuracoNegro
Leis de
Kepler
Primeira Lei de Kepler( 1571 - 1630 )
Um corpo ligado a outro, gravitacionalmente,gira em torno dele numa órbita elíptica.
Segunda Lei de Kepler( 1571 - 1630 )
Um corpo ligado a outro gravitacionalmentegira em torno dele, com seu raio vetor
varrendo áreas iguais em tempos iguais.
Foco
AA tt
Movimento em torno do Centro de Massa Comum
1 1
2
2
3
3
44 CM
M m
dD
M d = m D
Sistema Binário de estrelas
CM
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Terceira Lei de Kepler
T’
m’r’
M
m
r
T
( r / r’ )3 = ( (M + m) / (M + m’) ) x ( T / T’ )2
r 3 = [G/(42)] ( M + m ) T 2
Expressão correta:
( r / r’ )3 = ( T / T’ )2
r 3 = k T 2
Determinação das Massas das estrelas de um Sistema
Binário
r 3 = [G/(42)] ( M + m ) T 2
M d = m D
M , m
r = d + D
Voltando à descoberta dos planetas extra-
solares e dos buracos negros ...
Sistema Planetário
CM
12
3 4
5
1
3 4
52
m <<< mSol Planeta !
Sistema Binário de estrelas
?
3 4
1 2 5
12
3 4
5
m >>> mSol Buraco Negro !
Prova da Teoria da relatividade
através de um eclipse solar total
Geodésica
É a trajetóriapercorrida pela luz
Curvatura do UniversoUniverso
Vazio
Geodésicasretilíneas
m
Universonão vazio
Geodésicascurvas
Lente Gravitacional
Buraconegro
Foto departe do céu
Lentes gravitacionais
Deflexão da luz
Sol
Deflexão da luz
Sol
Lua
Comprovação:Eclipse Solar Total
de 29 mai 1919no Brasil
(por britânicos!)
Posição de uma estrela
Sol visto no céu
00:00
Início do Eclipse Solar Parcial
00:10
Eclipse Solar Parcial
00:20
Eclipse Solar Parcial
00:30
Eclipse Solar Parcial
00:40
Eclipse Solar Total
00:50
Posição desviada de uma estrela durante um
eclipse solar totalSolLua
Alguns eclipses importantes
28 mai 585 a.C. Primeiro eclipse previsto
18 jul 1860 Primeiro a ser fotografado
18 ago 1868 Primeira análise da composiçãoquímica dos gases das proeminências
07 ago 1869 Primeira foto e análise espectroscópicada coroa solar
29 mai 1919 Confirmação experimental da deflexão (1,75”) da luz num campo gravitacional, conforme previsto por Einstein.Observado em Sobral, Ceará, Brasil
Deflexão da luz nas
proximidades do Sol
Real Observada
E
d
d = 0,00407” / tan( E / 2 )
E ( o ) 0,25 0,5 1 2 5 10 20 50 90
d ( “ ) 1,866 0,933 0,466 0,233 0,093 0,047 0,023 0,009 0,004
Alguns valores de deflexão da luz
E = elongação da estrelad = deflexão da luz
Sol
Nossa Galáxia
Esquema da Galáxia
Aglomerado Globular
M 13
Diâmetro = 2000 ALEstrelas = 1.000.000
Galáxias
Andrômeda
Galáxia espiral
Galáxia Espiral Sb Diâmetro = 150.000 a.l. Distância = 2.000.000 a.l. 150 bilhões de estrelas Magnitude aparente = 3,5
AglomeradosAglomerados
de galáxias
Região central do Aglomerado de
Virgo
Distância = 40 milhões de AL(o mais próximo de nós)
Número de Galáxias = 2250
M86(elíptica)
M84(elíptica)
Aglomerado de Galáxias
Evidências de que o Universo não é
estático
Lei de Hubble (1929)V
elo
cid
ad
e R
adia
l da
ga
láx
ia
Distância até a galáxia
v
D
Observacional:As galáxias estão
se afastando de nós.
v = H D
50 < H < 100 (km/s)/Mpc
?c
Universo em Expansão
Passado
Presente
Futuro
Evoluçãodo
Universo
Origem (?) e Evolução do Universo
Big-bang
Ocorreu?
Como evoluiu?Como será o futuro?
Pré-big-bang (!?!) Pós-big-bang
Existia?Havia matéria?Havia energia?
Como era?Óvulo
primordial
“Big-bang”
Óvuloprimordial
Big-bang
Universoem
expansão
Como se comportao Universo?
Tipos de Universo em Expansão
Tempo
Rai
o d
o U
niv
erso Expansão
acelerada
Expansãofreada
Expansãolimitada
Expansãolinear
Pulsação
Comportamento do Universo
Expansãoindefinida
Expansão seguidapor contração
Velocidade
Determinante = massa do Universo
Universo Cíclico
Passado Presente
Futuro
Universo Pulsante
Big Bang
Rai
o d
o U
niv
erso
Tempo
Cicloatual
Big Bang Big Bang
Ciclofuturo
Big Bang
Cicloanterior
Hoje
Qual a causa dobig-bang?
Diferença entre Matéria e Anti-matéria
n0
p+
e-
(Koyno-)Matéria Anti-matéria
n0
p-
e+
Interconversão entre matéria e energia
m
aE
E E
m
a
E = (m+a) c2
Explicação para o Big Bang
Koino-matériaAnti-matériaLuz
Tempo
Rai
o d
o U
niv
erso
Hoje
m + a E E = m c2
Será que o Universo pode se comportar como um buraco
negro?
Fabricar um Buraco Negro !
?
BuracoNegroTerra
Para se tornar um Buraco Negro
Raio
Massa ? Raio de Schwarzschild:
R = ( 2GM ) / c2
Massa Raio Densid.Terra 6x1024 1 cm 1027
Sol M = 2x1030 3 km 1016
Estrela Pesada 10 M 30 km 1014
Galáxia 1011 M 0,03 AL 10-6
Universo ? ? ?
R=?
Relação entre tamanho e massa
R =
2G
M/c
2
Universo
Galáxia
Anã branca
Pulsar
Sol
Planetas
Asteróides
ÁtomosMoléculas
Núcleos atômicos Massa da estrutura
Tam
anh
o d
a es
tru
tura
Região decolapso
gravitacional
Buraco Negro
Estrela
Conclusão
Pode ser que Nosso Universose comporte como um
Buraco Negro
• Nada do que está dentro pode sair;• Para “outro” Universo, somos invisíveis.
Fim
