Determinação da Latitude e da

DeclinaçãoR. Boczko

IAG-USP110506

Latitudee Longitude

PN

PS

Equador

Greenwich

Pólo Sul

Movimento noturno aparente olhando ao Sul

Sul

OesteLeste

20 horas

22 horas

24 horas

Latitude AustralZ

N S

W Equador

PS

E

Movimento noturno aparente olhando ao Norte desde o HS

Norte

LesteOeste

Leão

20 horas

22 horas

24 horas

Movimento noturno aparente de uma estrela circumpolar norte

Norte

LesteOeste

Pólo Norte

Latitude BorealZ

PN

Nadir

N S

L

W

PS

PS

Equador

PN

Latitude astronômica e/ou geográfica

PN

PS

Equador

Horizonte

Zênite

G

A

HorizonteA

A = G

x

hPN

= - hPS

Trajetórias diurnas das

estrelas

Trajetórias diurnas

paralelas

Eixo derotação

Equador

PNC

PSC

PN

PS

N

L

Coordenadas Horárias e EquatoriaisZ

PN

H

p

W

M

Tipos deMeridianos

Horizonte

Zênite

Nadir

N S

MeridianoZenital

MeridianoNadiral

Z

Z

Horizonte

PV

PI

Meridiano

Superior

Meridiano

Infe

riorZ

N S

E

W

Nadir

Horizonte

Latitude locale

Declinação da estrelaatravés de

passagens meridianas(Método geométrico)

Latitude e declinação no HN

N

LesteOeste

PN

CS

CI

hs

hp

hi

p

hp = (hs + hi) / 2

hp

p = (hs - hi) / 2

= 900 - p

Se a culminação superior se

der ao sul do zênite:

hs = 1800 - hCS

N S

Z

hs hCS

PN

Equador

PN

p

Latitude e declinação no HS

S

OesteLest

e

PS

CS

CI

hs

hp

hi

r

hp = (hs + hi) / 2

= - hp

r = (hs - hi) / 2

= - (900 - r)

Equador

PN

r

PS

Se a culminação superior se der ao norte do zênite:

hs = 1800 - hCS

SN

Z

hshCS

PS

Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens

meridianas

P

CS

CI

No Verão, quando a noite é curta, o

processo não funciona pois não se pode ver as 2

culminações meridianas num

mesmo dia.

Obtenção do pólo visível através de

culminações

Obtenção do pólo norte com Culminações

SN

Z

Horizonte

Equador

CS

CI

M

PN

Obtenção do pólo sul com Culminações

N S

Z

Horizonte

Equador

CS

CI

M

PS

Latitude locale

Declinação da estrelaatravés de

passagens meridianas(Método algébrico)

Culminações ou passagens

meridianas

Culminação ou passagem meridiana

Z

PN

Na passagemmeridianasuperior:

H 0.

Horizonte

Equador W

S

Na passagemmeridianainferior:H 180o.

L

PS

M

Passagens meridianas no HN

Z

PN

Horizonte

Equador W

S

L

Na passagemmeridianasuperior:

H 0.

Na passagemmeridianainferior:

H 180o.

PSObservador no Hemisfério Norte

N

M

Passagens meridianas no HS

Z

PS

Horizonte

EquadorW

N

L

Na passagemmeridianasuperior:

H 0.

Na passagemmeridianainferior:

H 180o.

PN

S

Observador no Hemisfério Sul

M

Convenção de sinais na passagem meridiana

N S

Z

Horizonte

Z < 0Z > 0

Z: positivo ao norte do zênite

Z: negativo ao sul do zênite

Z

N S

E

W

Nadir

Horizonte

Culminações no HN

SN

Z

Horizonte

Zi

-Zs

PN

Equador

Culminação superior

-zs = –

zs = -

Culminação inferior

+ zi + = 180o

zi = 180o - -

Latitude e declinação no HNzs = -

zi = 180o - -

Somando membro a membro

zi + zs = 180o - 2

= +90o – (zi + zs) / 2

Subtraindo membro a membro

zi - zs = 180o - 2

= +90o – (zi - zs) / 2

Obtenção da latitude local

Obtenção da declinação do astro

Culminações no HS

N S

Z

Horizonte

-Zi

+Zs

PS

Equador

--

-

-

Culminação superior

zs = (-) – (-)

zs = -

Culminação inferior

(-) + (-zi) + (-) = 180o

zi = -180o - -

Latitude e declinação no HSzs = -

zi = -180o - -

Somando membro a membro

zi + zs = -180o - 2

= -90o – (zi + zs) / 2

Subtraindo membro a membro

zi - zs = -180o - 2

= -90o – (zi - zs) / 2

Obtenção da latitude local

Obtenção da declinação do astro

Latitude e declinação

= +90o – (zi + zs) / 2 = +90o – (zi - zs) / 2

Hemisfério Norte

Hemisfério Sul

= -90o – (zi + zs) / 2 = -90o – (zi - zs) / 2

Fórmulas gerais = 90o – (zi + zs) / 2 = 90o – (zi - zs) / 2

+ : observador no HN- : observador no HS

+ : astro no HN- : astro no HS

Latitude e declinaçãoEnunciado:

Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20o ao norte do

zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude

astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a declinação da estrela X.

Pólo Sul

Sul

Oeste

Leste

Sentido horário

Hemisfério Sul

zs = +20o

zi = -70o = 90o – (zi + zs) / 2

+ : observador no HN- : observador no HS

= - 90o – (zi + zs) / 2

= - 90o – ([-70] + [+20]) / 2

= - 90o – (- 50) / 2

= - 90o + 25

Ast= Geo = - 65o

= 90o – (zi - zs) / 2

+ : astro no HN- : astro no HS

= - 90o – (zi - zs) / 2

= - 90o – ([-70] - [+20]) / 2

= - 90o – (- 90) / 2

= - 90o + 45

= - 45o

Determinação do centro e do raio de

uma circunferência

Determinação do centro O e do raio R de uma circunferência

A

B

C

MMediatriz N

Mediatriz

O

R = OA = OB = OC

Equação de uma circunferência de centro (xc,yc) e raio R

x

y

O

CyC

xC

R

(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2

Circunferência dada por 3 pontos

y1

y2

yC

y3

x1 x2 xC x3

r

C

O x

y

Como obter o xc e yc do centro da circunferência(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2

(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2

(x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2

(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2

Igualar:

(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 k (x12 - x2

2 + y12 - y2

2) / 2

yc = [k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2)

(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 q (x32 - x2

2 + y32 - y2

2) / 2

yc = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2)

Igualar:

[k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2) = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2)

xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D

D (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2)

xc = [k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2)

xc = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2)

[k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2) = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2)

yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D

Obter o centro e o raio da circunferência

(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2

(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2

(x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2

(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2

Sejam:

k = (x12 - x2

2 + y12 - y2

2) / 2

q = (x32 - x2

2 + y32 - y2

2) / 2

xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D

D = (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2)

yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D

R2 = (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2

Meridiano Local, Latitude local

eDeclinação da estrela

através de 3 observações

Meridiano, Latitude e Declinação no HS

OesteLeste

PS

h3

hph1

rh2

a1

a2

ap a3S

Mira

Meridiano, Declinação e Latitude

y1

y2

ypy3

P

x1x2

xp x3

Do céupara o papel

G --> Cai --> xi

G --> Chi --> yi

r’

Do papelpara o céu

C --> Gxp --> ap

C --> Gyp --> hp

= - hp

C --> Gr’ --> r

= - (90 - r)

C (cm)

G (graus)

Escala

Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas

PA estrela não

pode estar muito afastada do pólo

O local não pode estar muito afastado do

equador

Astronomia a serviço da polícia

Ângulo entre o equador e o horizonte

N S

Ângulo entre o equador e o plano

do horizonte: 90o -

Z

PS

WEquador

E Nascer

Ocaso

90-

90-

90-

90-

90-

Nascer do Sol

HorizonteN S

Visto por um observadorno Hemisfério Sul

L

HorizonteN S

Visto por um observadorno Hemisfério Norte

L

Observador no Hemisfério NorteOeste

Leste

SulNorte

Oeste

Leste

SulNorte

Observador no Hemisfério Sul

Ocaso do Sol

HorizonteS N

Visto por um observadorno Hemisfério Sul

W

HorizonteS N

Visto por um observadorno Hemisfério Norte

W

Observador no Hemisfério NorteOeste

Leste

SulNorte

Observador no Hemisfério SulOeste

Leste

SulNorte

Seqüestradores distraídos

900-

Mapa do crime!

Cativeiro dentro desse círculo

Local do seqüestro

Tempo sideral

Tempo sideralZ

PN

TS = H

Horizonte

Equador W

STS

Tempo sideral é o ângulo horário do

ponto

M

Determinação daAscensão Reta

Ascensão reta com passagem meridianaZ

PN

H

TS = HTS = + H

Na passagemmeridianasuperior:

H = 0.

Logo:

= TSPMS

Horizonte

Equador W

S

M

Fim