Apoio Dec Isao

PREPARAR O EXAME NACIONAL MACS 10. e 11. ANOS

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Propostas de resoluo Mtodos de apoio deciso

Teoria matemtica das eleies

PG. 21

1.

1.1. Consideremos o nmero de primeiras preferncias para cada candidato:

P1 P2 P3 P4 P5

9520 7345 3250 4876 1080

Verificamos que o candidato P1 tem o maior nmero de votos e portanto ser eleito por Maioria Simples com 36,52% dos votos (9520 votos em 26 071).

1.2. No existe nenhum candidato com pelo menos 50% dos votos. Assim, ser necessria uma

segunda volta com os dois candidatos mais votados, P1 e P2.

2.

2.1. Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, consideremos que:

1. preferncia = 5 pontos 2. preferncia = 4 pontos 3. preferncia = 3 pontos 4. preferncia = 2 pontos 5. preferncia = 1 ponto

Logo,

Clculo da pontuao Pontuao

P1 9520 5 + 7345 4 + 4876 3 + 1080 2 + 3250 1 97 018

P2 7345 5 + 9520 4 + (3250 + 4876) 2 + 1080 1 92 137

P3 3250 5 + 9520 3 + 1080 3 + 7345 2 + 4876 1 67 616

P4 4876 5 + 3250 4 + 1080 4 + 9520 2 + 7345 1 68 085

P5 1080 5 + 4876 4 + 7345 3 + 3250 3 + 9520 1 66 209

Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, P1 o vencedor da eleio.

2.2. Para existir um vencedor de Condorcet, um candidato ter de vencer todos os outros em

confrontos directos. Temos:

P1 vs. P2 P1: 9520 + 4876 + 1080 P3: 7345 + 3250 Ganha P1

P1 vs. P3 P1: 9520 + 7345 + 4876 P3: 3250 + 1080 Ganha P1

P1 vs. P4 P1: 9520 + 7345 P4: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P1

P1 vs. P5 P1: 9520 + 7345 P5: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P1

P2 vs. P3 P2: 9520 + 7345 + 4876 P3: 3250 + 1080 Ganha P2

P2 vs. P4 P2: 9520 + 7345 P4: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P2

P2 vs. P5 P2: 9520 + 7345 P5: 3250 + 4876 + 1080 Ganha P2

P3 vs. P4 P3: 9520 + 7345 + 3250 P4: 4876 + 1080 Ganha P3

P3 vs. P5 P3: 9520 + 3250 P5: 7345 + 4876 + 1080 Ganha P5

P4 vs. P5 P4: 9520 + 3250 + 4876 P5: 7345 + 1080 Ganha P4

O vencedor o candidato P1, pois venceu todos os confrontos directos, temos, portanto, um vencedor de Condorcet.



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2.3. As condies no-ditadura e soberania individual so verificadas pois a preferncia de um no

sobreposta dos restantes votantes e cada votante ordena as suas preferncias.

3.

3.1. Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, temos:

1. preferncia = 4 pontos 2. preferncia = 3 pontos 3. preferncia = 2 pontos 4. preferncia = 1 ponto

Pontuao Totais

Banda desenhada 8 2 + 15 4 + 12 3 + 10 3 142

Quatro estaes 8 1 + 15 3 + 12 4 + 10 2 121

Comunicao Social 8 4 + 15 1 + 12 1 + 10 1 69

Profisses 8 3 + 15 2 + 12 2 + 10 4 118

Utilizando o Mtodo de Contagem de Borda, Banda Desenhada o vencedor da eleio.

3.2. Consideremos o nmero de primeiras preferncias de cada tema:

Comunicao Social 8 Banda desenhada 15 Quatro estaes 12 Profisses 10 Temos um total de 45 votos, logo a percentagem obtida por cada tema :

Comunicao Social: 8

100 17,78%45

Banda desenhada: 15

100 33,33%45

Quatro estaes: 12

100 26,67%45

Profisses: 10

100 22,22%45

Como nenhum tema obteve Maioria Absoluta, isto , pelo menos 50% dos votos, necessrio uma segunda volta com os dois temas mais votados, em que o tema vencedor ter de obter 23 + 1 votos. Os dois possveis vencedores sero Banda desenhada e Quatro estaes que sero os temas que iro segunda volta. O facto do tema Banda desenhada ter ganho por Maioria Simples no implica que ganhe na segunda volta pois os que votaram em Comunicao Social e em Profisses, podem ter como segundo tema preferido Quatro estaes.



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4.

4.1. Apliquemos o Mtodo das Eliminaes Sucessivas.

eliminada a msica Clssica.

eliminada a msica Hip Pop.

Vence a msica Popular.

4.2. Consideremos que h permuta da preferncia de Clssica com Popular 110 habitantes.

Apliquemos o Mtodo das Eliminaes Sucessivas:

eliminada a msica Clssica.

Hip Pop Rock Popular Clssica

125 230 328 110

Hip Pop Rock Popular

125 230 328 + 110 = 438

Rock Popular

125 + 230 = 385 328 + 110 = 438

Hip Pop Rock Popular Clssica

125 230 328 + 110 = 438 0



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eliminada a msica Hip Pop.

Vence a msica Popular. satisfeito o critrio de monotonia pois ao alterar-se a ordem de preferncia a favor de msica Popular, esta ganha novamente a eleio.

4.3. Aplicando o Mtodo de Contagem de Borda, consideremos:

1. preferncia = 4 pontos 2. preferncia = 3 pontos 3. preferncia = 2 pontos 4. preferncia = 1 ponto

Nome Clculo da pontuao Pontuao

Hip Pop 125 4 + 230 3 + 328 1 + 110 2 1738

Rock 125 3 + 230 4 + 328 3 + 110 1 2389

Popular 125 2 + 230 1 + 328 4 + 110 3 2122

Clssica 125 1 + 230 2 + 328 2 + 110 4 1681

A msica escolhida ao aplicar o Mtodo de Contagem de Borda Msica Rock. Ao aplicar o Mtodo das Eliminaes Sucessivas, verificamos que Msica Popular vence a Msica Rock, contudo aplicando o Mtodo de Contagem de Borda, Msica Rock vence a Msica Popular. Temos, portanto, dois resultados diferentes ao aplicar mtodos distintos ao mesmo conjunto de preferncias.

Hip Pop Rock Popular

125 230 438

Rock Popular

385 438



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5.

5.1. O nome vencedor relativo primeira preferncia o Pedro com 5 + 7 = 12 votos (Andr obteve

10 votos e Diogo obteve 8 votos).

5.2.

a) Apliquemos o Mtodo de Contagem de Borda.

1. preferncia = 3 pontos 2. preferncia = 2 pontos 3. preferncia = 1 ponto

Nome Clculo da pontuao Pontuao

Pedro 5 3 + 7 3 +10 2 + 8 1 64

Andr 5 2 + 7 1 + 10 3 + 8 2 63

Diogo 5 1 + 7 2 + 10 1 + 8 3 53

O nome vencedor o de Pedro com 64 pontos.

b) Apliquemos o Mtodo das Eliminaes Sucessivas:

eliminada o nome Diogo.

Vence o Andr.

c) Apliquemos o Mtodo dos Confrontos Sucessivos.

Pedro vs. Andr

Vence o Andr.

Pedro Andr Diogo

5 + 7 = 12 10 8

Pedro Andr

12 18



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Pedro vs. Diogo

Vence o Pedro. Andr vs. Diogo

O Andr e o Diogo empatam.

5.3.Nenhum dos mtodos conclusivo em relao escolha do nome, o Mtodo de Contagem de

Borda d preferncia ao nome de Pedro, contudo o nome de Andr vence no Mtodo das Eliminaes Sucessivas. Em relao, ao Mtodo dos Confrontos Sucessivos dois a dois, deparamo-nos com o Paradoxo de Condorcet pois se o Andr vence ao Pedro que vence ao Diogo, ento o Andr deveria vencer o Diogo. Contudo tal no se verifica, portanto, a Ana Maria e o marido devem propor outro mtodo de aplicao.



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Teoria da partilha equilibrada

PG. 40

1.

1.1. Considerando o Mtodo de Hamilton, o quociente eleitoral determinado fazendo o quociente

entre o nmero de votos validamente expressos e o nmero de mandatos, assim:

11076 308 144 10 6241180,(44)

9 9QE

1.2. Consideremos 10 624 votos validamente expressos, a quota padro determinada fazendo:

Quota padro do partido A = 4544

9 3,8510 624

Quota padro do partido B = 3276

9 2,7810 624

Quota padro do partido C = 2767

9 2,3410 624

Quota padro do partido D = 399

9 0,3410 624

Quota padro do partido E = 238

9 0,2010 624

1.3.

a) Mtodo de Hamilton

Partido N. de votos

Quota padro

Quota inferior

Parte decimal

Total mandatos

A 4544 3,85 3 0,85 3 + 1 = 4

B 3276 2,78 2 0,78 2 + 1 = 3

C 2767 2,34 2 0,34 2

D 399 0,34 0 0,34 0

E 238 0,20 0 0,20 0

Total 7 9

Partido A 4 mandatos

Partido B 3 mandatos

Partido C 2 mandatos

Partido D 0 mandatos

Partido E 0 mandatos



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b) Mtodo de Jefferson

1180,(44)QE

Partido N. de votos

Quota padro

Quota inferior

A 4544 3,85 3

B 3276 2,78 2

C 2767 2,34 2

D 399 0,34 0

E 238 0,20 0

Total 7

Na aplicao do mtodo de Jefferson, temos de determinar o quociente eleitoral modificado, de tal modo que, quando as quotas modificadas so arredondadas s unidades por defeito, quota inferior, a adio dessas quotas d exactamente o nmero de lugares a distribuir.

Consideremos 1000QM

Partido N. de votos

Quota modificada

Quota inferior

A 4544 4,544 4

B 3276 3,276 3

C 2767 2,767 2

D 399 3,99 0

E 238 2,38 0

Total 9






c) Mtodo de Adams

O mtodo de Adams muito semelhante ao de Jefferson. No entanto, o arrendamento da quota modificada feito por excesso e no por defeito.

1180,(44)QE

Partido N. de votos

Quota padro

Quota superior

A 4544 3,85 4

B 3276 2,78 3

C 2767 2,34 3

D 399 0,34 1

E 238 0,20 1

Total 12



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Consideremos 1700QM

Partido N. de votos

Quota modificada

Quota superior

A 4544 2,67 3

B 3276 1,93 2

C 2767 1,63 2

D 399 0,23 1

E 238 0,14 1

Total 9




Partido D 1 mandato

Partido E 1 mandato

2.

2.1. Considerando o Mtodo de Hunthing-Hill, temos:

Ms N. de

pessoas

Quota padro

(QP) 1H L L Quota

inferior Quota

superior Total

mandatos

Janeiro 4102 4702

240 54,7917 968

54 54 1 54,50 54 55 55

(QP > H)

Fevereiro 3528 3528

240 47,1217 968

47 47 1 47,50 47 48 47

(QP < H)

Maro 5435 5435

240 72,6017 968

72 72 1 72,50 72 73 73

(QP > H)

Abril 4903 4903

240 65,4917 968

65 65 1 65,50 65 66 65

(QP < H)

Total 238 242 240

Janeiro 55 pessoas

Fevereiro 47 pessoas

Maro 73 pessoas

Abril 65

2.2. Considerando o Mtodo de Hamilton, temos:

Ms N. de

pessoas Quota padro Quota inferior Parte decimal

Total mandatos

Janeiro 4102 54,79 54 0,79 55

Fevereiro 3528 47,12 47 0,12 47

Maro 5435 72,60 72 0,60 73

Abril 4903 65,49 65 0,49 65

Total 238 240

Sim, o nmero de pessoas seleccionadas por cada ms mantm-se.



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3.

3.1. O nmero de mandatos a atribuir dado por:

4,091 + 2,820 + 1,262 + 0,787 + 1,041 = 10 Temos, portanto, 10 mandatos.

3.2. Sabemos que, das 25 175 das pessoas que votaram, apenas 60% foram considerados votos

vlidos. Logo, temos 15 105 votos validamente expressos.

151051510,5

10QE

O quociente eleitoral 1510,5.

3.3. Observamos que:

..

n votos partidoQP n votos partido QP QE

QE

Assim,

N. votos do partido A 4,091 1510,5 = 6179

N. votos do partido B 2,820 1510,5 = 4259

N. votos do partido C 1,262 1510,5 = 1906

N. votos do partido D 0,787 1510,5 = 1189

N. votos do partido E 1,041 1510,5 = 1572 Temos um total de 10 105 votos.

3.4.

a) Considerando o Mtodo de Hunthing-Hill, temos:

Partido N. de votos

Quota padro

(QP) 1H L L Quota

inferior Quota

superior Total

mandatos

A 6179 4,091 4 4 1 4,47 4 5 4

(QP < H)

B 4259 2,820 2 2 1 2,45 2 3 3

(QP > H)

C 1906 1,262 1 1 1 1,41 1 2 1

(QP < H)

D 1189 0,787 0 0 1 0 0 1 1

(QP > H)

E 1572 1,041 1 1 1 1,41 1 2 1

(QP < H)

Total 8 13 10



Partido C 1 mandato

Partido D 1 mandato

Partido E 1 mandato



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b) Considerando o Mtodo de Adams, temos:

1510,5QE

Partido N. de votos

Quota padro

Quota superior

A 6179 4,091 5

B 4259 2,820 3

C 1906 1,262 2

D 1189 0,787 1

E 1572 1,041 2

Total 13

Consideremos o seguinte quociente eleitoral modificado 2000QM :

Partido N. de votos

Quota modificada

Quota superior

A 6179 3,090 4

B 4259 2,130 3

C 1906 0,953 1

D 1189 0,595 1

E 1572 0,786 1

Total 10



Partido C 1 mandato

Partido D 1 mandato

Partido E 1 mandato

c) O mtodo de Webster resulta da atribuio da quota padro arredondada convencionalmente.

1510,5QE

Partido N. de votos

Quota padro

Mandatos

A 6179 4,091 4

B 4259 2,820 3

C 1906 1,262 1

D 1189 0,787 1

E 1572 1,041 1

Total 10



Partido C 1 mandato

Partido D 1 mandato

Partido E 1 mandato



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4.

4.1.O partido vencedor foi o partido A com 270 775 votos, vencendo com maioria simples pois

conseguiu somente 39,46% dos votos. De facto, para o partido A:

270 775 10039,46%

686189

4.2.

a) Considerando o Mtodo de Hamilton, temos:

686189 10 6242744,756

250 9QE

Partido N. de

votos Quota padro Quota inferior Parte decimal

Total mandatos

A 270 775 98,65 98 0,65 99

B 235 435 85,78 85 0,78 86

C 90 226 32,87 32 0,87 33

D 75 145 27,38 27 0,38 27

E 14 620 5,33 5 0,33 5

Total 247 250






b) Consideremos o Mtodo de Jefferson.

2744,756QE

Partido N. de votos

Quota padro Quota inferior

A 270 775 98,65 98

B 235 435 85,78 85

C 90 226 32,87 32

D 75 145 27,38 27

E 14 620 5,33 5

Total 247

Na aplicao do mtodo de Jefferson, temos de determinar o quociente eleitoral modificado, de tal modo que, quando as quotas modificadas so arredondadas s unidades por defeito, quota inferior, a adio dessas quotas d exactamente o nmero de lugares a distribuir.



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Consideremos 2720QM

Partido N. de votos

Quota modificada

Quota inferior

A 270 775 99,55 99

B 235 435 86,56 86

C 90 226 33,17 33

D 75 145 27,63 27

E 14 620 5,38 5

Total 250






c) Considerando o Mtodo de Adams, temos:

2744,756QE

Partido N. de votos

Quota padro Quota superior

A 270 775 98,65 99

B 235 435 85,78 86

C 90 226 32,87 33

D 75 145 27,38 28

E 14 620 5,33 6

Total 252

Consideremos o seguinte divisor modificado 2780QM :

Partido N. de votos

Quota modificada

Quota superior

A 270 775 97,40 98

B 235 435 84,69 85

C 90 226 32,46 33

D 75 145 27,03 28

E 14 620 5,26 6

Total 250








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d) O Mtodo de Webster resulta da atribuio da quota padro arredondada convencionalmente.

2744,756QE

Partido N. de votos

Quota padro Mandatos

A 270 775 98,65 99

B 235 435 85,78 86

C 90 226 32,87 33

D 75 145 27,38 27

E 14 620 5,33 5

Total 250






e) Considerando o Mtodo de Hunthing-Hill, temos:

Partido N. de votos

Quota padro

(QP) 1H L L Quota

inferior Quota

superior Total

mandatos

A 270 775 98,65 98 98 1 98,50 98 99 99

(QP > H)

B 235 435 85,78 85 85 1 85,50 85 86 86

(QP > H)

C 90 226 32,87 32 32 1 32,50 32 33 33

(QP > H)

D 75 145 27,38 27 27 1 17,50 27 28 27

(QP < H)

E 14 620 5,33 5 5 1 5,48 5 6 5

(QP < H)

Total 247 252 250



Partido C 33 mandato

Partido D 27 mandato

Partido E 5 mandato



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OR

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5.

Para aplicarmos cada um dos mtodos, comecemos por determinar os votos obtidos por cada um dos partidos tendo em conta a percentagem:

Lista Votos (%) Nmero de votos

A 35,15 0,3515 35 430 12 454

B 30,04 0,3004 35 430 10 643

C 20,18 0,2018 35 430 7150

D 9,47 0,0947 35 430 3355

Votos validamente expressos: 12 454 10 643 7150 3355 33602

5.1. Considerando o Mtodo de Hamilton, temos:

33 6026720,40

5QE

Lista N. de votos

Quota padro Quota inferior Parte decimal Total

mandatos

A 12 454 1,853 1 0,85 2

B 10 643 1,584 1 0,58 2

C 7150 1,064 1 0,06 1

D 3355 0,499 0 0,50 0

Total 3 5

Lista A 2 alunos

Lista B 2 alunos

Lista C 1 aluno

Lista D 0 alunos

5.2. Considerando o Mtodo de Hondt, temos:

LISTA

A B C D

Divisores 12 454 10 643 7150 3355

1 12 454 10 643 7150 3355

2 6227 5321,5 3575 1677,5

3 2075,67 1773,83 1191,67 559,17

4 518,92 443,46 297,92 139,79

5 103,78 88,69 59,58 27,96

Lista A 2 alunos

Lista B 2 alunos

Lista C 1 aluno

Lista D 0 alunos



A

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DIT

OR

ES

5.3. Considerando o Mtodo de Adams, temos:

6720,40QE

Lista N. de votos

Quota padro Quota superior

A 12 454 1,853 2

B 10 643 1,584 2

C 7150 1,064 2

D 3355 0,499 1

Total 7

Consideremos o seguinte quociente eleitoral modificado 11000QM :

Lista N. de votos

Quota modificada

Quota superior

A 12 454 1,132 2

B 10 643 0,968 1

C 7150 0,65 1

D 3355 0,305 1

Total 5

Lista A 2 alunos

Lista B 1 aluno

Lista C 1 aluno

Lista D 1 aluno

5.4. Consideremos o Mtodo de Jefferson.

6720,40QE

Lista N. de votos

Quota padro Quota inferior

A 12 454 1,853 1

B 10 643 1,584 1

C 7150 1,064 1

D 3355 0,499 0

Total 3



A

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DIT

OR

ES

Consideremos o quociente eleitoral modificado 5000QM :

Lista N. de votos

Quota modificada

Quota inferior

A 12 454 2,491 2

B 10 643 2,129 2

C 7150 1,43 1

D 3355 0,671 0

Total 5

Lista A 2 alunos

Lista B 2 alunos

Lista C 1 aluno

Lista D 0 alunos

5.5. O Mtodo de Webster resulta da atribuio da quota padro arredondada convencionalmente.

6720,40QE

Lista N. de votos

Quota padro Alunos

A 12 454 1,853 2

B 10 643 1,584 2

C 7150 1,064 1

D 3355 0,499 0

Total 5

Lista A 2 alunos

Lista B 2 alunos

Lista C 1 aluno

Lista D 0 alunos

6.

6.1.

a) Como foi o Pedro a dividir a piza, a Maria e a Carla vo escolher as fatias.

Sabemos que a Carla escolheu F1 e F2. Se a Maria escolher F2, ento a Carla ficar com F1 e o Pedro com a restante. Se a Carla escolher F1, ento a Carla ficar com F2 e o Pedro com a restante. Por ltimo, se a Maria escolher F3, a Carla escolher F1 ou F2 e o Pedro ficar com a restante.

b) Como foi o Pedro que dividiu a piza, para ele todas as fatias tm o mesmo valor, logo no poder

ficar insatisfeito. Como a Carla escolheu F1 e F2, poder sempre ficar com uma delas, que para ela tm igual valor, logo no poder ficar insatisfeita. Finalmente, a Maria poder ficar com qualquer uma das trs fatias, logo tambm no poder ficar insatisfeita.



A

RE

AL E

DIT

OR

ES

6.2. Procedimento:

1) Selecciona-se quem ser o que escolhe, suponhamos que a Maria. 2) Sorteia-se quem vai ser o primeiro a cortar, suponhamos que o Pedro. 3) O Pedro corta a piza em duas partes que pensa que tm o mesmo valor. 4) A Carla escolhe uma das partes e a outra fica para o Pedro. 5) A Carla e o Pedro cortam cada uma dos seus pedaos em trs partes que consideram ser iguais. 6) A Maria escolhe uma das trs partes da Carla e uma das trs partes do Pedro. As restantes partes ficam para quem j os possui.

6.3. Com o procedimento descrito, ningum ficar insatisfeito pois depois do passo 4, a Carla e o

Pedro consideram que tm partes que valem pelo menos 1

2da piza. No final do passo 6 cada um ter

partes que considera que valem, pelo menos, 1

3 do bolo.

7. O Pedro divide o terreno em 4 partes que considera iguais. Os outros trs netos vo seleccionar as

partes que consideram aceitveis, isto , que consideram que valem, pelo menos, 1

4 do terreno. A

Sara foi a nica que seleccionou T3, logo a Sara ficar com esta parte. A Maria escolheu T1 e T2 e o Filipe T1 e T4. Podemos considerar, por exemplo, que a Maria ficaria com T1 e, portanto, o Filipe ficaria com T4, deixando T2 para o Pedro (poderamos considerar que a Maria ficaria com T2 e o Filipe com T1 ou T4, deixando T4 ou T2 para o Pedro).

8.

8.1. Para a diviso do bolo, consideremos o Algoritmo do nico a Dividir.

O Pedro foi seleccionado para fazer a diviso do bolo e, como no sabe a parte que lhe caber, procede diviso em partes que considera justas, atribuindo a cada parte do bolo o valor de

100%25%

4 . Cada um dos outros netos atribui secretamente percentagens de preferncia a cada

uma das fatias (de forma que a soma de todas elas seja 100%). Exemplo 1:

F1 F2 F3 F4

Filipe 15% 20% 25% 40%

Sara 30% 35% 15% 20%

Pedro 25% 25% 25% 25%

Maria 25% 20% 30% 25%

O Filipe fica com F4, a Sara fica com F2, a Maria com F3 e o Pedro com a fatia sobrante F1. Exemplo 2:

F1 F2 F3 F4

Filipe 15% 20% 25% 40%

Sara 30% 35% 15% 20%

Pedro 25% 25% 25% 25%

Maria 25% 30% 20% 25%

O Filipe prefere F4, logo fica com F4. A Sara e a Maria preferem ambas a mesma fatia, logo o Pedro fica com F3, pois ambas no a preferem. Para fazer a diviso entre a Sara e a Maria pode, se possvel, juntar-se ambas as fatias e proceder a nova diviso e escolha entre as duas. Caso no haja entendimento faz-se sorteio com as duas fatias sobrantes.



A

RE

AL E

DIT

OR

ES

8.2. Os netos poderiam dividir o bolo de outra forma. Escolheriam um elemento para o cortar que

moveria a faca at outro neto dizer STOP, essa fatia ficaria para esse elemento (que mandou parar). Depois repetiria o processo com a restante poro do bolo para os outros elementos. Desta forma todos os intervenientes ficariam, do seu ponto de vista, com um quarto do bolo, pois somente dizem STOP quando acham que a faca atingiu um quarto do bolo.

9. Consideremos o algoritmo das licitaes secretas.

Cada herdeiro atribui um valor a cada item:

Carro de coleco Barco Elefante de marfim

Sofia 25 000 100 000 7500

Raquel 22 000 105 000 7000

Fernando 20 500 110 000 7250

De acordo com os valores atribudos, a Sofia ficar com o carro de coleco e com o elefante de marfim, o Fernando ficar com o barco e a Raquel no ficar com nenhum item. Vejamos, agora, o valor que cada um considera justo receber:

Valor da herana Parte justa

Sofia 132 500

(25 000 + 100 000 + 7500 )

132 50044166,67

3

Raquel 134 000

(22 000 + 105 000 + 7000 )

134 00044 666,67

3

Fernando 137 750

(20 500 + 110 000 + 7250 )

137 75045 916,67

3

necessrio, agora, calcular a diferena entre aquilo que cada um considera justo receber e o valor dos itens que recebeu. Se esta diferena for negativa, o herdeiro ter de pagar herana o valor indicado.

Parte justa Itens recebidos Valor a receber/pagar

Sofia 44 166,67 Carro de coleco

Elefante de marfim

11 666,67 a receber

[44 166,67 - (25 000 + 7500 )]

Raquel 44 666,67 _____________

44 666,67 a receber

Fernando 45 916,67 Barco 64 083,33 a pagar

(45 916,67 - 110 000 )

Depois de cada herdeiro pagar e receber o que deve da herana, vejamos o dinheiro de sobra para cada um:

64 083,33 44 666,67 11666,67 7749,992583,33

3 3

Assim, sobra ainda 2583,33 para cada herdeiro.



A

RE

AL E

DIT

OR

ES

Consideremos, ento, o seguinte quadro resumo:

Sofia Raquel Fernando

Valor total da herana 132 500 134 000 137 750

Parte justa 44 166,67 44 666,67 45 916,67

Itens recebidos Carro de coleco

Elefante de marfim _____________ Barco

Valor dos itens recebidos

25 000 + 7500 _____________ 110 000

Quantia a receber/pagar 11 666,67 a receber 44 666,67 a receber 64 083,33 a pagar

Parte do que resta 2583,33 2583,33 2583,33

Valor recebido 46 750 47 250 48 500

Assim, nenhum herdeiro ficou insatisfeito pois recebeu a parte que considerava justa mais 2583,33 (do dinheiro sobrante).

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