UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

PAGE 8Estatstica Indutiva Dalmas e Soeiro

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

ESTATSTICA

INDUTIVA

PROFESSORES: JOS DA COSTA SOEIRO, Ms.

JOS CARLOS DALMAS, Dr.

LONDRINA

2009

16 ESTATSTICA INDUTIVA

Usualmente, impraticvel observar toda populao, seja pelo custo seja pelas dificuldades diversas, ento, examina-se uma amostra. Se essa amostra for representativa, seus resultados podero ser generalizados para toda a populao.

O propsito da estatstica indutiva ou inferncia estatstica buscar informaes a respeito de um fenmeno qualquer, visando apresentar argumentos estatsticos sobre suas caractersticas, baseando-se em informaes dadas pela amostra.

Em particular, quando este fenmeno aleatrio, a busca de informaes direcionada para estabelecer a forma da distribuio da varivel que o descreve como tambm de seus parmetros.

Para isto, utiliza-se de dois procedimentos para a soluo deste problema. O primeiro, consiste em aplicar o censo, que identifica diretamente na populao, a forma da distribuio da varivel e seus parmetros. O segundo, consiste em obter estas informaes indiretamente, atravs da estimao, ou seja, avaliar os parmetros de uma distribuio atravs de seus estimadores obtidos em uma amostra, com base no clculo de probabilidades.

16.1 Estimativa por Ponto

Quando avaliamos um parmetro atravs de um nico nmero real, procede-se a estimao denominada Estimativa por Ponto.

O valor da mdia amostral uma estimativa por ponto da mdia populacional. Da mesma forma, as estatsticas: varincia, desvio-padro e proporo so tambm estimativas por ponto dos parmetros populacionais: varincia, desvio-padro e proporo, respectivamente. Assim:

MedidasEstatstica Parmetro

Mdia

EMBED Equation.3

Varincia s2

Desvio-Padro s

Proporo f

O processo descrito acima apresenta a seguinte dificuldade: amostras diferentes conduzem normalmente a estimativas diferentes. Esta variabilidade no pode ser controlada neste processo. Assim, o valor absoluto da diferena entre uma estimativa por ponto sem vis e o correspondente parmetro da populao chamado de erro de amostragem.

Exemplos:

1) Uma amostra aleatria simples de cinco meses de vendas forneceu os seguintes dados:

MsJaneiroFevereiroMaroAbrilMaio

Unidades vendidas94100859492

a) Qual a estimativa por ponto do nmero mdio de unidades da populao vendidas por ms? ( )

b) Qual a estimativa por ponto do desvio-padro da populao? (s = 5,39)

2) Os seguintes dados so de uma amostra aleatria sobre os preos de um produto em supermercados: 14,5 16,5 - 17 19 20,5

a) Qual a estimativa pontual da mdia para a populao?( )

b) Qual a estimativa pontual do desvio-padro para a populao? ( s = 2,32 )

3) A uma amostra de 784 crianas entre 9 e 14 anos de idade perguntou-se sobre o dinheiro que recebem dos pais. As respostas foram como segue:

Fonte do dinheiroFreqncia

Apenas mesada149

Doaes, pequenos trabalhos e mesada219

Doaes, pequenos trabalhos sem mesada251

Nada165

Total784

a) Qual a proporo das crianas que recebem uma mesada como nica fonte de dinheiro?

b) Qual a proporo das crianas que recebem dinheiro como doaes e de pequenos trabalhos, mas nada na forma de uma mesada?( )

c) Considerando todas as fontes, que proporo das crianas recebe pelo menos algum dinheiro de seus pais?

16.2 Estimativa por Intervalo

Visto que nas estimativas pontuais os valores nem sempre coincidem com os populacionais, ento, no se permite julgar qual a possvel magnitude do erro que estamos cometendo, pois no se pode esperar que a estatstica da amostra seja sempre igual ao parmetro da populao correspondente. Pela estimao por intervalo, que consiste na construo de um intervalo centrado na estimativa pontual, podemos afirmar com certa probabilidade, de que este intervalo conter o verdadeiro parmetro.

A probabilidade considerada na construo do intervalo chamada de nvel de confiana, representada por 1- ( , onde ( o nvel de significncia ou a probabilidade de erro que se comete ao afirmar que o intervalo conter o verdadeiro parmetro.

Os mtodos de estimao por intervalos de confiana so baseados na distribuio de probabilidade das variveis, o que permite iniciar a sua construo atravs das distribuies de probabilidade, tais como: normal, t de student, etc.

16.2.1 INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA POPULACIONAL

a) Quando a Varincia Populacional Conhecida

Neste caso deve-se usar a distribuio normal (z):

Portanto: sabe-se que

Substituindo chega-se a:

ou

Sendo o erro amostral dado por:

Exemplos:

1) O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa informou que o tempo de execuo de tarefas que envolvem participao manual varia de tarefa para tarefa, mas que o seu desvio-padro permanece aproximadamente constante, em 3 minutos. Uma amostra aleatria do tempo gasto na de execuo de 50 destas novas tarefas forneceu um tempo mdio de 15 minutos. Determine o intervalo de confiana de 95% para o tempo mdio de execuo desta nova tarefa.

2) Sabe-se que num processo de certo produto, a varincia admitida de 1,96. Construir um intervalo de confiana para a mdia populacional,sendo o nvel de significncia de 2% considerando a seguinte amostra: 25,2; 26,0; 26,4; 27,1; 28,2; 28,4.

3) A durao da vida de um equipamento tal que o desvio padro de 5 horas. Foram amostradas 100 desses equipamentos, obtendo-se mdia de 500 horas. Construa um intervalo de confiana para a verdadeira durao mdia destes equipamentos com um nvel de 90% de confiana.

b) Quando varincia da populao desconhecida

Para se construir o intervalo de confiana baseado na estatstica da amostra, deve-se utilizar a distribuio t de student, com n-1 graus de liberdade, pois nem sempre se dispem de informaes a respeito do valor da disperso populacional. Neste caso, usa-se a estimativa da varincia que dada por:

e o desvio padro por

Logo, a distribuio de probabilidade determinada atravs de

Considerando um nvel de significncia (, graficamente, temos:

Portanto: como tem-se :

ou

Sendo o erro amostral dado por:

Exemplos:

1) Um rgo de defesa do consumidor quer saber o custo mdio dos consertos de mquinas de lavar. Para isso, seleciona ao acaso 25 custos pagos nestes consertos, obtendo uma mdia de R$ 100,00 e um desvio-padro de R$ 17,50.

a)Fornea um intervalo de confiana de 95% para a mdia da populao.

b)Qual o erro de estimao (margem de erro) mximo permitido para a probabilidade de 95%?

2)Construir o Intervalo de Confiana de 95% para a mdia da populao considerando-se uma amostra extrada de uma populao normal dada pelos seguintes valores: 17,5 18 20 20,5 21,5 22.

3)De uma populao normal com parmetros desconhecidos, tiramos uma amostra de tamanho 20, obtendo-se =112 e s=11. Fornea um intervalo de confiana para a mdia (() ao nvel de significncia de 10%.

16.2.2 INTERVALO DE CONFIANA PARA A PROPORO

Sendo p a proporo da ocorrncia de um fato dentro da populao, calculada por , pode-se estimar o seu valor atravs do intervalo de confiana para proporo da amostra, dada por , onde x o nmero de ocorrncia do fato na amostra e sua distribuio de probabilidade, uma binomial. Na construo deste intervalo de confiana usa-se a distribuio normal como aproximao da binomial com a mdia dada por e a varincia por , onde q = 1- p.

Assim, como substituindo a mdia e a varincia chega-se a: .

Fixando-se um nvel de confiana , graficamente tem-se:

O intervalo de confiana escrito para a distribuio normal z :

Substituindo o valor de Z , obtm-se:

(

Para se obter o intervalo acima necessrio o valor de p, que desconhecido, o substitumos por f e como f dado por e q por 1 - p , ento, q = 1 - f, ento, a expresso acima fica:

ou

Sendo o erro amostral igual a

Exemplos:

1) Para estimar a porcentagem de alunos favorveis modificao do currculo escolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos verificando-se que 80 deles eram favorveis a esta mudana.

a)Encontre um IC para a proporo de todos os alunos favorveis modificao a um nvel de significncia de 4%.

2) Em uma pesquisa recente efetuada com 300 habitantes de uma grande cidade revelou que 128 consideravam a segurana o principal problema da cidade. Determine o intervalo de confiana de 95% para a proporo desta cidade que consideram a segurana o principal problema.

3) Dos rolamentos fabricados por uma industria, 82 de um lote formado por 1564 peas apresentaram defeitos de fabricao. Qual deve ser o nmero de rolamentos com defeitos na produo mensal da industria, formada por 100.000 unidades. Assumir alfa igual a 1%. Atividades - Intervalo de Confiana

Para Mdia com Varincia Conhecida

1)Para estimar o tempo necessrio para o conserto de 40 mquinas, o encarregado da manuteno de uma empresa escolheu ao acaso cinco motores e verificou que o tempo mdio de conserto de 4 horas. Por experincia anterior, sabe-se que o desvio-padro do

tempo de conserto corresponde a 15% do tempo mdio de conserto.

a) Qual a previso mnima e a mxima para o tempo mdio de conserto de um motor, ao nvel de confiana de 95%?

b) Qual a estimativa por intervalo para os 40 motores?

2) O valor de face dos ttulos depositados em um banco para cobrana simples tem uma distribuio normal com uma varincia de 400 u.m.. Uma amostra de 10 ttulos escolhidos aleatoriamente forneceu os seguintes valores: 80;120;71;120;140;200;180;70;45e 87.

a) Qual o intervalo de confiana de 90% para o valor mdio dos ttulos da carteira?

b) O responsvel pela carteira afirma, com 80% de confiana, que o valor mdio dos ttulos 125. Ele pode estar correto?

3) Uma amostra aleatria simples de 50 itens resultou uma mdia de 32. Sabendo que o desvio padro da populao 6, construa o intervalo de confiana para a mdia, com um nvel de significncia de: a) 10% b) 5% c) 1% 4) Certo empresrio est analisando a convenincia de informatizar a emisso de notas fiscais de sua empresa. Uma amostra de 40 notas retiradas de um lote de 100 notas fiscais emitidas pela empresa, apresentou um tempo mdio de emisso de 20 minutos. O empresrio sabe, por experincia que o desvio-padro da populao para o tempo de emisso de aproximadamente 30% do seu valor mdio. Construa um intervalo de confiana para o tempo mdio de emisso das notas, ao nvel de 95%.

5) Um levantamento das cotaes para o preo de um produto na bolsa de mercadoria apontou, a partir de uma amostra de 100 cotaes, um preo mdio de 2,4 u.m./kg. Sabe-se que a varincia populacional para este tipo de cotao aproximadamente constante e de valor 0,16. Construa um intervalo de confiana de 90% para o preo mdio deste produto. 6) Foram retiradas 25 peas da produo diria de uma mquina, encontrando-se uma medida calculada uma mdia de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas tm distribuio normal com desvio-padro populacional de 1,2 mm, construir um I.C. para a mdia aos nveis de 90% e 95%.

7) As vendas semanais de 15 lojas de uma regio apresentaram uma mdia de R$ 20.000,00. Sabendo-se que as vendas das lojas da regio tm distribuio normal com desvio padro igual a R$ 8.300,00 e supondo um nvel de confiana de 96%, qual dever o valor estimado para a mdia populacional das vendas?

8) Uma pesquisa sobre o custo da cesta bsica em um conjunto de municpios do interior do estado coletou uma amostra de 25 dados, apresentando uma mdia de R$ 78,00. Estima-se que o desvio padro populacional seja igual R$ 37,00. Ao nvel de significncia de 3%, qual deve ser a mdia populacional do custo da cesta bsica?

9) Para estimar a quantia mdia gasta por cliente para jantar em um restaurante, foram coletados os dados de uma amostra de 49 clientes em um perodo de 3 semanas. a) Considere um desvio padro de $ 2,50. Qual margem de erro para 95%? b) Se a mdia da amostra de $22,60, qual o intervalo de confiana de 95%?

10) Colhida uma amostra de 30 peas, forneceu os seguintes pesos: 250, 265, 267, 269, 271, 275, 277, 281, 283, 284, 287, 289, 291, 293, 293, 298, 301, 303, 306, 307, 307, 309, 311, 315, 319, 322, 324, 328, 335 e 339. Por meio do intervalo de confiana, responda se esta amostra satisfaz a especificao pelo qual o peso mdio deve ser 300 Kg., sabendo que o desvio padro da populao igual a 55, utilize nvel de significncia de 5%. Para Mdia com Varincia Desconhecida

1) Uma revista especializada em economia amostrou ao acaso 100 empresas de uma indstria, para avaliar a rentabilidade mdia do setor do ltimo trimestre. Uma amostra de 14 indstrias forneceu um rendimento mdio de 5% sobre o faturamento lquido, com desvio-padro de 1,6%. Determine o intervalo de 95% parta o verdadeiro rendimento mdio das indstrias.

2) Os dados a seguir representam o peso de um dispositivo eletrnico, em miligramas: 83; 73; 82; 80; 82; 69; 81; 90 e 92. Construa um intervalo de confiana para o peso mdio, ao nvel de significncia de 1%.

3) Um fornecedor de carros deseja obter informaes sobre o tempo durante o qual os proprietrios de automveis desejam conserv-los. Para isso coletou uma amostra aleatria de 25 proprietrios que acusou uma mdia de 7,01 anos de conservao e um desvio-padro de 4 anos. Faa um intervalo de 95% de confiana para a mdia populacional.

4) O preo de venda de um produto no mercado foi amostrado ao acaso fornecendo uma mdia de 26 u.m., com desvio-padro de 2 u.m., numa amostra de 40 elementos.Este produto ser considerado vivel pela empresa se o preo de custo representar no mximo 50% do preo de venda mdia do mercado. A um nvel de significncia de 10%, qual o custo mximo para que ele poderia ter para ser certamente vivel?Intervalo para o preo de venda. Intervalo para o custo(50%).

5) A seguinte amostra representa o comprimento de uma pea: 44,9 44,1 43 42,9 43,2 44,5. Determine os limites de confiana ao nvel de significncia de 5% para a mdia de todas as peas produzidas por essa empresa.

6) Numa tentativa de melhorar a produo de leite de um rebanho de 500 vacas leiteiras, um pecuarista procurou estudar a variabilidade dos litros de leite produzidos por dia. Uma amostra de 29 vacas, colhida durante trs semanas, obteve-se uma mdia de 31 litros, com um desvio-padro de 1,2 litros. Construa um intervalo de confiana de 95% para mdia dos litros de leite de todo o rebanho?

7) O Departamento de Transporte de um Estado analisando sobre a quilometragem que a populao das reas metropolitanas percorre de carro por dia, coletou uma amostra de 15 residentes que forneceu os seguintes dados: 20;20;28;16;11;17;23;16;22;18;10;22;29;19 e 32. Calcule a estimativa por intervalo de confiana de 95% do nmero mdio de quilmetros da populao que os residentes desta metrpole percorrem de carro por dia?

8) Os seguintes dados foram coletados para uma amostra de uma populao normal: 10; 8; 12; 15; 13; 11; 6; 5.a) Qual a estimativa pontual da mdia da populao? b) Qual a estimativa pontual do desvio padro da populao? c) Qual o intervalo de confiana de 90% para a mdia da populao?

9) Um analista obtm dados de uma amostra de 225 consumidores de um total de 600 que adquiriram uma oferta especial. As 225 pessoas gastaram, na loja, uma mdia de $33,42 com desvio padro de $5,20. Estime, com um intervalo de confiana de 95%: a) o valor mdio para todos os 600 clientes; b) o valor total das compras para os 600 clientes.

10)Os dados a seguir se referem ao grau de polimerizao dos espcimes de papel para os quais a viscosidade vezes a concentrao caram em certo intervalo:

418421421422425427431434

437439446447448453454463465

Calcule o intervalo de confiana com 95% para o grau mdio real de polimerizao.O intervalo sugere que 440 seja um valor plausvel para o grau mdio real de polimerizao?E quanto a 450?

Para Proporo

1) Os produtores de um programa de televiso pretendem modific-lo se for assistido regularmente por menos de um quarto dos possuidores de televiso. Uma pesquisa encomendada a uma empresa especializada mostrou que, de 400 famlias entrevistadas, 80 assistem ao programa regularmente. Com base nos dados, qual deve ser a deciso dos produtores, considerando como nvel de significncia de 5%?

2) Uma organizao universitria deseja estimar a porcentagem de estudantes que so favorveis a uma nova constituio do corpo discente. Para isso, seleciona uma amostra de 200 estudantes, e constata que 120 so favorveis a esta nova constituio. a) Construir um intervalo de confiana para a verdadeira porcentagem de estudantes favorveis a esta nova constituio, ao nvel de significncia de 2%. b) Qual o erro de estimao contido no intervalo de confiana calculado anteriormente?

3) Uma amostra de 10.000 atletas foi inspecionada e o nmero de erros observados na atividade desenvolvida apresentado no quadro abaixo:

Nmero de erros01234

Freqncia absoluta6000320060015050

a) Chamando de p a proporo de erros na atividade, determine os limites de confiana de 98%.

b) Qual o erro de estimao contido no intervalo calculado acima?

4) Uma amostra de 420 clientes de um supermercado apresenta 288 clientes que utilizam o carto de crdito para pagar suas compras. Construa um intervalo de confiana para a proporo de clientes do supermercado que utilizam o carto de crdito como fonte de pagamento, a um nvel de significncia de 5%.

5) A indstria de tabaco fiscaliza todas as pesquisas que envolvem o fumo. Uma pesquisa revelou que, de 785 indivduos com quatro anos de faculdade, selecionados aleatoriamente, 18,3% fumam. Determine um intervalo com 90% de confiana para a verdadeira porcentagem dos fumantes entre todos os que completaram quatro anos de faculdade. Com base no resultado, a taxa de fumantes entre os bacharis parece substancialmente diferente da taxa geral de 27%?

6) Numa pesquisa, 57 dentre 150 entrevistados afirmaram que praticavam certo tipo de atividade esportiva. Sendo a populao formada por 7540 elementos, d um limite com 90% de confiana para o nmero mnimo que praticavam a atividade.

7)Uma amostra de 300 pessoas de uma cidade mostrou que 180 desejavam gua fluorada. Ao nvel de 8%, construir um IC para a proporo real da populao favorvel ao tratamento da gua com flor.8) Examinadas uma produo de 500 peas encontrou-se 40 peas defeituosas. No nvel de 90%, construir um I.C. para a verdadeira proporo de peas defeituosas.

9) Uma centena de componentes eletrnicos foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais de 500 horas. Determinar o I.C. de 95% para a verdadeira proporo.

10) Uma amostra aleatria de 400 domiclios mostra-nos que 25% deles so de casas de aluguel. Qual o I.C. da proporo de casas de aluguel? Use ( = 2%.

Respostas:

Para Mdia com Varincia Conhecida

1) a) 3,47; 4,57

b) 138,8; 181,2

2) a) 100,92; 121,68

b) 103,2; 119,4; no.

3) a) 30,61; 33,39

b) 30,33; 33,67c) 29,82; 34,18

4) 18,14; 21,86

5) 2,33; 2,47

6) a) 4,81; 5,59b) 4,73; 5,67

7) 15603,36; 24396,64

8) 61,94; 94,06

9) a) $0,70b) 21,9; 23,3

10) 276,95; 316,31; sim.

Para Mdia com Varincia Desconhecida

1) 4,07; 5,93

2) 73,25; 89,38

3) 5,36; 8,66

4) venda (25,46; 26,54)custo (12,73; 13,27) custo mximo 12,73

5) 42,88; 44,66

6) 30,55; 31,45

7) 16,36; 22,36

8) a)

9) a) 32,74; 34,10b) 19638 ; 20466

10)a) 430,51 ; 446,07.b) Sim. c) No.

Para Proporo

1)16%; 24%

2) a)52%; 68% b)

3) a) 39%; 41%b)

4) 67%; 71%

5) 16,3%; 20,3%; sim

6)31,5%; 38,5%nmero mnimo de 2375.

7) 55%; 65%.

8) 6%; 10%

9) 87%; 99% 10) 20%; 30%

17 TESTE DE HIPTESES

Tambm uma tcnica para se fazer inferncia estatstica sobre os parmetros da populao.

Em vez de calcular uma estimativa do parmetro pontual ou por intervalo iremos admitir um valor hipottico para um parmetro populacional, e com base nas informaes da amostra realizaremos um teste estatstico, para aceitar ou rejeitar o valor hipottico.

17.1 HIPTESES ESTATSTICAS

So suposies ou afirmaes acerca dos parmetros populacionais. Essas suposies podem ser verdadeiras ou no.

Exemplos de hipteses estatsticas- A altura mdia da populao brasileira 1,65 m.

- A proporo de paulistas com aplicaes financeiras 12%

- O tempo mdio para a realizao de um teste de 80mim.

- A mdia de consumo de gasolina a mesma para trs marcas diferentes de carros.

17.2 Hipteses Nula e Alternativa

Designa-se por H0, a hiptese nula a ser testada, e por H1 a hiptese alternativa, que contradiz a hiptese nula. A hiptese nula expressa sempre pela igualdade, enquanto que a hiptese alternativa dada por uma desigualdade. Assim, de modo geral, pode-se indic-las:

17.3 Teste de Significncia (hipteses)

uma regra de deciso que permite aceitar ou rejeitar uma hiptese nula, com base na evidncia da amostra da populao para verificar se o parmetro informado pela H0 deve ser aceito ou no.

Quando se decide pela aceitao ou rejeio de uma hiptese nula, estamos sujeitos a acertos e erros na deciso.

Comete-se o Erro Tipo I quando se rejeita a hiptese nula quando ela deve ser aceita ( verdadeira). No caso, de aceitar a hiptese nula quando ela falsa ocorre o Erro Tipo II.

Esses tipos de erros podem ser controlados atravs das probabilidades estabelecidas para a realizao do teste, denominada de nvel de significncia, representado por (, a probabilidade que regulamenta a ocorrncia do Erro tipo I, enquanto que para o controle do Erro tipo II, a probabilidade representada por (. Na realizao do teste s o nvel de significncia () estabelecido.

17.4 Passos para realizao do teste de significncia

O procedimento para a realizao dos testes de significncia resumido nos seguintes passos:

1) Enunciar as hipteses H0 e H1.

2) Fixar o nvel de significncia (() e identificar a varivel a ser utilizada no teste.

3) Com o auxlio das tabelas estatsticas, considerando ( e a varivel do teste, determinar as RC (regio crtica ou de rejeio) e RA (regio de aceitao) para a hiptese nula.

4) Com os elementos da amostra, calcular o valor da varivel do teste.

5) Concluir pela aceitao ou rejeio de hiptese nula, pela comparao do valor obtido no clculo da varivel do teste com os limites das regies de aceitao (RA) e de rejeio (RC).

17.5 Teste de Significncia para Mdias

O teste para mdia procura a veracidade de alguma afirmao sobre o valor do parmetro populacional atravs de um confronto com dados de uma amostra.

O procedimento para a realizao deste teste resumido nos seguintes passos: 1) Enunciar as hipteses H0: ( = vs H1 : ou ou

2) Fixar (. Admitindo que a varincia populacional ((2) seja desconhecida, a varivel do teste ser t de Student, com graus de liberdade iguais a ( = n 1.

3) Com o auxlio da tabela t determinam-se as regies: RA e RC

4) Calcular o valor da varivel teste:

Onde:

=mdia amostral

o= valor da hiptese nula

s = desvio-padro amostral

n = tamanho da amostra

6) Concluso: rejeita-se H0 ao nvel (, quando o valor calculado for maior que o valor tabelado, independente do sinal.

Exemplos:

1) Um processo de produo concebido para encher recipientes com o peso mdio de ( = 16ml. Se o processo subenche os recipientes, o consumidor no receber a quantidade indicada no rtulo do recipiente. Se o processo sobre enche os recipientes, a empresa perde dinheiro porque mais produto colocado no recipiente. Para monitorar o processo, o pessoal de controle da qualidade periodicamente seleciona uma amostra aleatria simples de oito recipientes para testar a seguinte hiptese.

H0: ( = 16 vs H1 ( ( 16 ao nvel de significncia de 5%. Se H0 rejeitado, o processo de produo ser paralisado e o mecanismo para regular os pesos de enchimento ser reajustado.

Se a amostra retirada for:16,0216,2215,8215,9216,2216,3216,1215,9

Que deciso deve ser tomada?

Soluo:

2)Realizou-se uma campanha de vendas durante quinze dias e verificou-se o nmero de aparelhos vendidos por dia: 25; 30; 32; 24; 40; 34; 37; 33; 34; 28; 30; 32; 38; 29; 31. Pode-se dizer que a mdia de vendas superior a 30 aparelhos todas s vezes que se realizar a campanha, sendo o nvel de significncia de 2,5%.

Soluo:

3) Uma companhia vende repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo de 400 horas, no mnimo. Uma anlise feita em nove itens, escolhida aleatoriamente, acusou uma mdia de eficincia de 380 horas. Teste a alegao da companhia, contra a alternativa que a durao inferior a 400 horas, ao nvel de 0,5%, se o desvio padro amostral for de 60 horas.Soluo:

17.6 Teste de Significncia para a Igualdade de duas Mdias

Quando a igualdade entre duas mdias testada usando a distribuio t, pode-se supor que as varincias das duas populaes (de onde as amostras foram retiradas) sejam desconhecidas e admitidas iguais, independentes e normais.

O procedimento para a realizao deste teste semelhante ao anterior diferenciando-se nos seguintes passos:

1)Enunciar as hipteses:

H0: (1 = (2 vs

2) Fixar (. A varivel do teste a ser utilizada t de Student com ( = (n1 + n2 2)

3) Calcular a varivel teste: por:

tcal = onde

Exemplos:

1)Um grupo de planejamento urbano est interessado em estimar a diferena entre a mdia de rendimentos familiares para dois bairros em uma grande rea metropolitana. Amostras aleatrias independentes de famlias nos bairros forneceram os seguintes resultados.

Bairro 1 :

Bairro 2 :

Pede-se concluir, ao nvel de significncia de 5%, que as rendas familiares sejam diferentes nos dois bairros?

Soluo:

2) A indstria de chocolates Gostosos afirmava que seus produtos, em mdia, so mais vendidos quando comparados com a mdia do rival, Chocolates Saborosos. Duas amostras em 14 lojas revelaram os dados apresentados a seguir:

EstatsticasGostososSaborosos

Mdia14 toneladas/ms12 toneladas/ms

Desvio padro4 toneladas/ms2 toneladas/ms

possvel aceitar a afirmao da indstria de chocolates Gostosos, ao nvel de 5%?

Soluo:

3) Uma empresa deseja estudar a eventual eficcia da aplicao dos programas de treinamento ministrados pela sua rea de recursos humanos. Para isso analisou duas amostras de desempenhos de seus funcionrios: Grupo A, treinamento de 20 horas/aula e o Grupo B com 40 horas/aula. Os desempenhos dos funcionrios foram:

AmostraDesempenhos obtidos

A788768978

B594866756

Verifique se os treinamentos podem ser considerados equivalentes, ao nvel de 1%.

Soluo: 17.7 Teste de Significncia para Proporo

O teste para a proporo difere do teste para a mdia nos que diz respeito aos dados amostrais. Como se trata normalmente de varivel qualitativa representada por contagem ou por porcentagem, ao invs de mdias.

Para a realizao deste teste utiliza-se: 1) Formulao das hipteses: H0 : p = p0 vs H1 : ou ou

2) Neste caso, usa-se a distribuio normal padro Z a um dado nvel de significncia.

3) Calcular o valor da varivel:

Onde: freqncia relativa na amostra x ( nmero de sucesso

n ( tamanho da amostra p0( valor da hiptese nula

Exemplos:1) Uma rede bancria afirma que em certa regio a proporo de seus clientes que investem na bolsa de 60%. Testar essa hiptese ao nvel de 5% se em 1000 clientes amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 eram investidores.

Soluo:

2) Um fabricante de creme dental alega que no mximo 3% dos seus produtos apresentam menos de 100 gramas por embalagem. Uma amostra aleatria com 300 produtos revelou que 14 possuam menos de 100 gramas. Assumindo o nvel de significncia de 1%, possvel dizer que o fabricante est mentindo?

Soluo: 3) Uma grande rede de academia de ginstica alega que no mnimo 80% dos equipamentos utilizados pelos alunos esto em boas condies de uso. De uma amostra de 160 equipamentos, 90 estavam em ms condies de uso. Ser que possvel aceitar a afirmao da rede, ao nvel de 5%?

Soluo:

ATIVIDADES - TESTES DE HIPTESES

Mdias de uma amostra

1)Retirada uma amostra das idades de 14 pessoas, obteve-se as seguintes idades: 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 15. Com um nvel de significncia de 5% teste as hipteses: H0: ( = 12,5 vs H1: ( ( 12,5.

2)Uma cadeia de restaurantes instalar um novo estabelecimento em um local proposto, se passar pelo local no mnimo uma mdia de 200 carros por hora, durante certo perodo do dia. Para 20 horas, aleatoriamente escolhidas durante tais perodos, passou pelo local uma mdia de 192 carros por hora com desvio-padro de 30 carros, supondo que a populao seja aproximadamente normal. O gerente desta cadeia alega que o volume de trfego no satisfaz exigncia. A hiptese do gerente pode ser aceita ao nvel de 5%?

3) Uma pesquisa foi realizada para determinar o teor mdio de nicotina dos cigarros da marca SM. Pra isso, coletou-se uma amostra de 25 cigarros acusando uma mdia de 38 mg e um desvio-padro de 5mg de nicotina por cigarro. Faa um teste de hiptese para verificar se o teor de nicotina inferior a 40 mg. Considere um nvel de significncia de 5%.

4) Uma fbrica de lajotas de cermica acrescenta um novo material em sua fabricao e acredita que aumentar a resistncia de sua lajota, que de 206 Kg. Para verificar se verdade, retirou uma amostra de 30 lajotas, obtendo uma mdia de 210 Kg com desvio-padro de 12Kg. Ao nvel de significncia de 5%, pode o fabricante aceitar que a resistncia mdia de sua lajota tenha aumentado?

5) O gerente da Loja Boa Compra presume que a renda mdia anual de seus clientes de pelo menos R$28.000,00. Uma amostra aleatria de 58 clientes acusou uma mdia de R$27.200,00 e um desvio-padro de r$3.000,00. Considerando nvel de significncia de 5%, esta hiptese deve ser rejeitada?6) O mecanismo para regular pesos de enchimento de um produto ajustado em 16 g. O processo de produo paralisado caso o mecanismo se desajustar. Uma amostra coletada e obtm os seguintes valores 16,02; 16,22; 15,82; 15,92; 16,22; 16,32; 16,12 e 15,92. Com base nos dados dessa amostra que atitude deve ser tomada? Use o nvel de significncia de 5%.

7) Considere o seguinte teste de hiptese H0 = = 20 vs H1 =

EMBED Equation.3 20, e a seguinte amostra: 18, 20, 16, 19, 17, 18. Usando nvel de significncia de 5%, qual a sua concluso?

8)Considere o seguinte teste de hiptese H0 = = 15 vs H1 = < 15, uma amostra de 22 elementos usada e o desvio-padro da amostra 8. Usando nvel de significncia de 5% . Qual a concluso para cada um dos seguintes resultados da mdia amostral: a) 13; b) 11,5; c) 15; d) 19.

9) Em fevereiro de 1999, o custo mdio para um vo domstico com passagens de ida e volta com desconto foi de R$ 258,00. Uma amostra aleatria dos preos de15 passagens de ida e volta com desconto durante o ms de maro forneceu os seguintes dados: 310, 260, 265, 255, 300, 310, 230, 250, 265, 280, 290, 240, 285, 250, 260. Usando 5% de nvel de significncia, teste se o preo da passagem de ida e volta com desconto, aumentou em maro. Qual a sua concluso?

10) A Floricultura Cheiro Bom se especializou em jardinagem com projetos padres para as reas residenciais. O custo de mo-de-obra associado a uma determinada proposta de jardinagem est baseado no nmero de plantaes de rvores, arbustos, etc., a serem usados no projeto. Para propsitos de estimativas de custos, os gerentes usam duas horas como tempo de mo-de-obra para se plantar uma rvore de tamanho mdio. Os tempos reais gastos de uma amostra de 10 plantaes durante o ms passado so apresentados a seguir (tempos em horas). 1,9; 1,7; 2,8; 2,4; 2,6; 2,5; 2,8; 3,2; 1,6 e 2,5. Usando um nvel de significncia de 0,5%, teste se o tempo mdio de plantao excede duas horas. Qual a sua concluso e que recomendaes consideraria fazer aos gerentes?

Igualdade de Mdias

1) Verifique se o nmero mdio de atendimentos dirios igual para os escritrios A e B, adote ( = 10%.

A181410139138716

B141511142021121018

2) Num estudo comparativo de tempo mdio de adaptao para uma amostra aleatria de 50 homens e 50 mulheres num grande complexo industrial, surgiram as seguintes estatsticas amostrais:

GneroMdiaDesvio padro

Homem3,20,8

Mulher3,70,9

Pede-se concluir que os homens tenham tempo mdio de adaptao menor que os das mulheres. Use ( = 5%.

3) Duas pesquisas sobre salrios em duas metrpoles revelaram informaes sobre o salrio mdio pago aos operadores de mquinas pesadas mostrados a seguir:

EstatsticasMetrpoles

AB

MdiaR$ 700,00R$ 750,00

Desvio padroR$ 60,00R$ 40,00

Tamanho1515

Pode-se concluir que os salrios sejam diferentes nas duas regies? Use ( = 5% e 1%

4)Uma empresa est estudando a hiptese de se implantar ou no a automao no sistema de embalagens. Para testar esta hiptese, retirou-se uma amostra de 60 itens que acusou um tempo mdio de 4,2 minutos com um desvio-padro de 0,5 minutos para serem embalados mo e uma amostra de 60 itens embalados automaticamente que acusou tempo mdio de 4 minutos com desvio-padro de 1,2 minutos. Teste, ao nvel de significncia de 2,5%, a hiptese de que os sistemas so iguais.

5)Na tabela abaixo esto registrados os ndices das vendas em seis supermercados dos produtos concorrentes da Marca A e Marca B. Verifique se existe diferena entre as marcas. Use (= 5%.

SupermercadoMarca AMarca B

1144

22016

3228

4119

5531

61210

6) Para avaliar o efeito de um brinde nas vendas de determinado produto, planeja-se comparar a vendas em lojas que vendem o produto com brinde, com as vendas em lojas que no oferecem o brinde, obtendo os seguintes dados:

Vendas sem brindes334326193727

Vendas com brindes433933324346

Os dados mostram evidncia suficiente para se afirmar que as vendas com brindes diferem das vendas sem brindes? Use

7) Um pesquisador deseja estudar o efeito de um alongamento antes de um determinado exerccio. Para isso, sorteou seis estudantes, e contou o nmero de vezes que os atletas executaram o exerccio. Os resultados sugerem se h ou no diferena entre o rendimento dos atletas? Use

Sem alongamento233029334332

Com alongamento283839374239

8) Como parte de um programa de treinamento, alguns estagirios so treinados pelo mtodo 1 e outros pelo mtodo 2. Verifique se existe diferena de rendimento nos testes usando . As notas nos testes foram as seguintes:

M181717983767584908378

M259656259576460566662

9) Para investigar a influncia da opo sobre o salrio inicial de recm-formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formados em Sistema de informao. Com os resultados abaixo, expressos em salrios mnimos, quais seriam suas concluses? Use

Liberais6,610,310,812,99,212,37,0

Sistema de Informao8,19,88,710,010,28,28,710,1

10) Pesquisadores esto testando sistemas comerciais de filtragem de ar, fabricados pelas indstrias WISC e pela BFC. Testam amostras aleatrias de cada companhia, registrando-se a eficincia da filtragem em uma escala padro, escore mais alto corresponde a melhor filtragem. Com nvel de 5% de significncia, teste a afirmao de que ambos os sistemas tm a mesma mdia com os resultados abaixo:

IndstriasAmostraMdiaDesvio Padro

WISC1885,72,8

BFC2480,69,7

Proporo para uma amostra

1)O fabricante de determinado remdio alega que o mesmo acusou 95% de eficincia em aliviar a alergia por um perodo de 12 horas. Numa amostra de 100 indivduos que sofriam de alergia, o remdio deu positivo em 80. Determine se a alegao do fabricante verdadeira ou no. Use ( = 2%.

2)Uma amostra de 100 alunos de uma universidade apresentou 8 canhotos. Testar a hiptese, de que a porcentagem dos alunos canhotos dessa Universidade menor que 5%. Use ( = 1%.

3) Uma amostra de 500 eleitores selecionados ao acaso d 52% ao Partido DAE. Poderia esta amostra ter sido retirada de uma populao que tivesse 50% de eleitores democrticos? Use ( = 5%.4) Um fabricante de removedor de manchas afirma que seu produto remove 90% de todas as manchas. Se em uma amostra aleatria o produto remove 11 dentre 16 manchas, teste ao nvel de 5% de significncia, a afirmao do fabricante.

5) Afirma-se que dos estudantes da rea de humanas 20% conseguiro trabalho na rea de recursos humanos. Em uma amostra aleatria de 12 estudantes, 5 afirmaram que conseguiro emprego na rea de R.H. Teste se a proporo maior que 20%, ao nvel de 5% de significncia.

6)Um jornal afirmou que 25% de seus leitores tm curso superior. Para testar essa afirmao retirou-se uma amostra de 740 pessoas indicou que apenas 20% so leitores com curso superior. Use ( = 5%.

7) Considere o seguinte teste de hipteses: H0 = p = 0,20 vs H1 = p 0,20. Uma amostra de 400 forneceu uma proporo da amostra 17,5%. Ao nvel de significncia de 5%, teste as hipteses, qual a sua concluso?

8) Um industrial considera satisfatrio se, no mximo, 8% das peas produzidas por sua indstria forem defeituosas. Se uma amostra de duzentas peas apresentou dezoito defeituosas, pode o industrial satisfazer-se com esse resultado, ao nvel de 5% de significncia?

9) Um contador acredita que os problemas de fluxo de caixa de uma empresa so resultados direto do lento recebimento das contas a receber. O contador afirma que pelo menos 70% das atuais contas a receber tm mais de dois meses de idade. Uma amostra de 120 contas a receber mostrou que 78 tm mais de dois meses de idade. Teste a afirmao do contador a um nvel de significncia de 10%.

10) Acredita-se que pelo menos 20% de todos os trabalhadores estejam inclinados a trabalhar menos horas por menor salrio para obter mais tempo para as atividades pessoais e de lazer. Uma pesquisa com uma amostra de 596 pessoas revelou que 93 trabalhadores estavam inclinados a trabalha menos horas por menor salrio para obter mais tempo pessoal e de lazer. Usando um nvel de significncia de 5% realize um teste de hipteses,

qual a sua concluso?

Respostas:

Mdias de uma amostra

1) tcal = -0,64; t tab = 2,16 , aceita H0, bilateral

2) tcal = -1,19; t tab = 1,73 , aceita H0, unilateral esquerda

3) tcal = -2,00; t tab = 1,71 , aceita H0, rejeita H0. unilateral esquerda

4) tcal = 1,83; t tab = 1,7 rejeita H0, unilateral direita

5) tcal = -2,03; t tab = 1,67, rejeita H0, unilateral esquerda

6) tcal = 1,17; t tab = 2,37 ,aceita H0, bilateral

7) tcal = -3,45; t tab = 2,57, rejeita H0, bilateral

8) a) tcal = -1,17; t tab = 1,72, aceita H0 b) tcal = -2,05; t tab = 1,72 , rejeitaH0. c) tcal = 0; t tab = 1,72 , aceita H0. d) tcal = 2,34; t tab = 1,72, aceita H0. (unil esquerda para todos)

9) tcal = 1,89; t tab = 1,76 rejeita H0, unilateral direita.

10) tcal = 2,43; t tab = 3,25 aceita H0, unilateral direita.

Igualdade de Mdias

1) tcal = -1,67; t tab = 1,75, aceita H0, bilateral

2) tcal = -2,94; t tab = 1,66, rejeita H0, unilateral esquerda

3) tcal = -2,69; t tab = 2,048 rejeita H0 a 5% e t tab = 2,76 aceita a 1%. bilateral

4) tcal = 1,19; t tab = 2,27, aceita H0, bilateral

5) tcal = -1,10; t tab = 2,23 aceita H0, bilateral

6) tcal = -2,01; t tab = 2,23 aceita H0, bilateral.

7) tcal = 1,65; t tab = 1,23 aceita H0, bilateral

8) tcal = 9,36; t tab = 2,101 rejeita H0, bilateral

9) tcal = 0,70; t tab = 2,16 aceita H0, bilateral

10) tcal = 2,17; t tab = 2,021 rejeita H0, bilateral.

Proporo para uma amostra

1) zcal = - 7,5; t tab = 2,33, rejeita H0, bilateral

2) zcal = 1,5; t tab = 2,33 aceita H0, unilateral direita

3) zcal = 1; t tab = 1,96 aceita H0; sim. bilateral

4) zcal = - 2,62; t tab = 1,96 rejeita H0, bilateral

5) zcal = 1,83; t tab = 1,64 rejeita H0, unilateral direita

6) zcal = - 2,5; t tab = 2,32 aceita H0, bilateral

7) zcal = - 1,25; t tab = 1,64 aceita H0, bilateral

8) zcal = 0,52; t tab = 1,64 aceita H0, unilateral direita.

9) zcal = - 1,25; t tab = 1,28, aceita H0, unilateral esquerda

10) zcal = - 2,75; t tab = 1,64 rejeita H0, unilateral esquerda.

REAS DE UMA DISTRIBUIO NORMAL PADRO

Cada casa na tabela d a proporo sob a curva entre Z = 0 e um valor positivo Z. As reas para os valores

de Z negativos so obtidas por simetria.

Z00,010,020,030,040,050,060,070,080,09

0,o0,00000,00400,00800,01200,01600,01990,02390,02790,03190,0359

0,10,03980,04380,04780,05170,05570,05960,06360,06750,07140,0753

0,20,07930,08320,08710,09100,09480,09870,10260,10640,11030,1141

0,30,11790,12170,12550,12930,13310,13680,14060,14430,14800,1517

0,40,15540,15910,16280,16640,17000,17360,17720,18080,18440,1879

0,50,19150,19500,19850,20190,20540,20880,21230,21570,21900,2224

0,60,22570,22910,23240,23570,23890,24220,24540,24860,25170,2549

0,70,25800,26110,26420,26730,27040,27340,27640,27940,28230,2852

0,80,28810,29100,29390,29670,29950,30230,30510,30780,31060,3133

0,90,31590,31860,32120,32380,32640,32890,33150,33400,33650,3389

1,00,34130,34380,34610,34850,35080,35310,35540,35770,35990,3621

1,10,36430,36650,36860,37080,37290,37490,37700,37900,38100,3830

1,20,38490,38690,38880,39070,39250,39440,39620,39800,39970,4015

1,30,40320,40490,40660,40820,40990,41150,41310,41470,41620,4177

1,40,41920,42070,42220,42360,42510,42650,42790,42920,43060,4319

1,50,43320,43450,43570,43700,43820,43940,44060,44180,44290,4441

1,60,44520,44630,44740,44840,44950,45050,45150,45250,45350,4545

1,70,45540,45640,45730,45820,45910,45990,46080,46160,46250,4633

1,80,46410,46490,46560,46640,46710,46780,46860,46930,46990,4706

1,90,47130,47190,47260,47320,47380,47440,47500,47560,47610,4767

2,00,47720,47780,47830,47880,47930,47980,48030,48080,48120,4817

2,10,48210,48260,48300,48340,48380,48420,48460,48500,48540,4857

2,20,48610,48640,48680,48710,48750,48780,48810,48840,48870,4890

2,30,48930,48960,48980,49010,49040,49060,49090,49110,49130,4916

2,40,49180,49200,49220,49250,49270,49290,49310,49320,49340,4936

2,50,49380,49400,49410,49430,49450,49460,49480,49490,49510,4952

2,60,49530,49550,49560,49570,49590,49600,49610,49620,49630,4964

2,70,49650,49660,49670,49680,49690,49700,49710,49720,49730,4974

2,80,49740,49750,49760,49770,49770,49780,49790,49790,49800,4981

2,90,49810,49820,49820,49830,49840,49840,49850,49850,49860,4986

3,00,49870,49870,49870,49880,49880,49890,49890,49890,49900,4990

3,10,49900,49910,49910,49910,49920,49920,49920,49920,49930,4993

3,20,49930,49930,49940,49940,49940,49940,49940,49950,49950,4995

3,30,49950,49950,49950,49960,49960,49960,49960,49960,49960,4997

3,40,49970,49970,49970,49970,49970,49970,49970,49970,49970,4998

3,50,49980,49980,49980,49980,49980,49980,49980,49980,49980,4998

3,60,49980,49980,49990,49990,49990,49990,49990,49990,49990,4999

Distribuio t de Student

Graus liberdade (() Nvel de significncia (()

0,25

(unilateral)

0,50

(bilateral)0,125

(unilateral)

0,25

(bilateral)0,10

(unilateral)

0,20

(bilateral)0,05

(unilateral)

0,10

(bilateral)0,025

(unilateral)

0,05

(bilateral)0,0125

(unilateral)

0,025

(bilateral)0,005

(unilateral)

0,01

(bilateral)0,0025

(unilateral)

0,005

(bilateral)

11,0002,4143,0786,31412,70625,54263,657127,32

20,8171,6031,8862,9204,3136,2059,92514,089

30,7651,4221,6382,3533,1834,1775,8417,453

40,7411,3441,5332,1322,7763,4954,6045,598

50,7271,3001,4762,0152,5713,1634,0324,773

60,7181,2731,4401,9432,4472,9693,7074,317

70,7111,2541,4151,8952,3652,8413,5004,029

80,7061,2401,3971,8602,3062,7523,3553,833

90,7031,2291,3831,8332,2622,6853,2503,690

100,7001,2211,3721,8132,2282,6343,1693,581

110,6971,2141,3631,7962,2012,5933,1063,497

120,6951,2091,3561,7822,1792,5603,9553,428

130,6941,2041,3501,7712,1602,5333,0123,373

140,6921,2001,3451,7612,1452,5102,9773,326

150,6911,1971,3411,7532,1322,4902,9473,286

160,6901,1941,3371,7462,1202,4732,9213,252

170,6891,1911,3331,7402,1102,4582,8983,223

180,6881,1891,3301,7342,1012,4452,8783,197

190,6881,1871,3281,7292,0932,4332,8613,174

200,6871,1851,3251,7252,0862,4232,8453,153

210,6861,1831,3231,7212,0802,4142,8313,135

220,6861,1821,3211,7172,0742,4062,8193,119

230,6851,1801,3201,7142,0692,3982,8073,104

240,6851,1791,3181,7112,0642,3912,7973,091

250,6841,1781,3161,7082,0602,3852,7873,078

260,6841,1771,3151,7062,0562,3792,7793,067

270,6841,1761,3141,7032,0522,3732,7713,057

280,6831,1751,3131,7012,0482,3692,7633,047

290,6831,1741,3111,6992,0452,3642,7563,038

300,6831,1731,3101,6972,0422,3602,7503,030

400,6811,1671,3031,6842,0212,3292,7052,971

600,6791,1621,2961,6712,0002,2992,6602,915

1200,6771,1561,2891,6581,9802,2702,6172,860

(0,6741,1501,2821,6451,9602,2412,5762,807

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