Apostila - Curso de Hp

CARLITO JORGE FIORENTIN

EXPLORANDO OS RECURSOS

OFERECIDOS PELA

CALCULADORA HP 12 – C

Chapecó SC - 2008

CALCULADORA HP 12 – C.............................................................................................02

PONTO DECIMAL........................................... ................................................................02

CASAS DECIMAIS NO VISOR: .....................................................................................02

CALENDÁRIO... ...............................................................................................................02

PILHA OPERACIONAL: .................................................................................................02

AS TECLAS %, ∆% e %T ................................................................................................03AS FUNÇÕES ∆DYS E DATE ........................................................................................04TAXAS DE JUROS............................................................................................................05JUROS SIMPLES ..............................................................................................................05

JUROS COMPOSTOS ......................................................................................................06

DIFERENÇA ENTRE OS REGIMES DE JUROS: .......................................................08

TAXA NOMINAL x TAXA EFETIVA ..........................................................................10

TAXAS EQUIVALENTES................................................................................................13

TAXAS UNIFICADAS.......................................................................................................14

RENDAS CERTAS OU ANUIDADES E CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES – PMT...16

MULTIPLICADORES DE TABELAS DE JUROS........................................................18DESCONTOS COMPOSTOS............................................................................................20EMPRÉSTIMOS.................................................................................................................22SISTEMA PRICE ..............................................................................................................22SISTEMA SAC ...................................................................................................................23N! (n fatorial) ...................................................................................................................25POTENCIAÇÃO: ..............................................................................................................25RADICIAÇÃO....................................................................................................................25LOGARITIMO...................................................................................................................26ANTILOGARITIMO.........................................................................................................26FLUXOS DE CAIXA (funções IRR e NPV).....................................................................27REGISTRADORES ESTATISTICOS .............................................................................29DESVIO PADRÃO E MÉDIA PONDERADA ...............................................................29INDICES ALFA E BETA...................................................................................................20REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................33

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CALCULADORA HP 12 – C

A calculadora HP 12 – C está sendo utilizada pelo mercado há aproximadamente 20 anos. Isso não é comum para produtos eletrônicos e, portanto, mostra o acerto de seu projeto na época.

Observe que, nas teclas, os números (1,2,3,...) e as funções (n,i,PV,PMT,FV,...) estão escritos com a cor branca e podem ser acionados diretamente.

Algumas funções (Amort,NPV,IRR,...) estão escritas na cor laranja e para acioná-las devemos primeiro digitar a tecla laranja f.

Algumas funções (Cfo,CFj,Nj,BEG,...) estão escritas com a cor azul e para acioná-las devemos digitar a tecla azul g.

Ponto decimal:

a) Desligue a máquina;b) Pressione a tecla ON, mantendo-a pressionada;c) Pressione a tecla (.), mantendo-a também pressionada;d) Solte On;e) Solte a tecla ponto.

Veja que agora as duas casas décimas estão divididas pela virgula, cfe. Sistema brasileiro.

Casas decimais no visor:

Para aumentar ou reduzir o numero de casas decimais, pressionamos a tecla f e o número de casas decimais desejado.A MÁQUINA SEMPRE TRABALHA COM 9 CASAS DECIMAIS, MESMO NÃO APARECENDO

Calendário:

Nesse caso há diferença entre os sistema americano e o brasileiro. A ordem americana á: Mês – dia – ano. Para coloca-la no sistema brasileiro, pressionamos as teclas g D.MYCALCULO PARA AS DATAS NO PASSADO, SABER O DIA DA SEMANA, VOLTAR NO TEMPODATA DE HOJE 09/04/08TECLA ENTERG DATA

Pilha Operacional:

Pilha Operacional é um arquivo com 4 compartimentos onde a calculadora armazena dados para efetuar operações.

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TZYX

MEMORIA X É O VISORAS OUTRAS FUNCIONAM COMO MEMORIA TEMPORARIA.

A máquina HP 12 – C dispõe de memórias temporárias, que funciona conforme a necessidade de utIlização ( X, Y, Z, T).

A memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no visor. Todas as operações aritméticas são efetuadas apenas com os conteúdos das memórias X e Y.

Os conteúdos das memórias são movimentados nos seguintes casos:- os valores são colocados dentro da máquina através da tecla ENTER- quando são efetuados operações aritméticas por meio das teclas + , - , x , : .

O conteúdo de cada memória só é destruído quando um novo valor ocupa seu lugar. Assim, o fato de o conteúdo da memória X ser transferido para a memória Y trará as seguintes conseqüências:

- a memória Y passará a conter o valor anteriormente contido na memória X;- a memória X continuará a contar o seu valor anterior.

Ex:

(1+2) + (12-8) x (8/4) + 1 = 151 ENTER 2 + 12 ENTER 8 – X 8 ENTER 4 / 1 +

TECLA ENTER

Quando um número é digitado, ele imediatamente ocupa a memória X, que é a única cujo conteúdo aparece no visor. O valor digitado após acionarmos a tecla ENTER, passa a ser conteúdo das memórias X e Y.

AS TECLAS %, ∆% e %T

A tecla % permite o cálculo da percentagem de um determinado número.Ex. 1)Obter 5,25% de 14.432,00.14.432,00 – ENTER 5,25 % = 757,68

2)16,40 com 12% de acréscimo = 18,37

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3)46,72 com 9,8% + 12,5% de desconto = 36,87

A tecla ∆% permite o cálculo da diferença ou variação percentual entre dois números.

Ex. Calcular a diferença percentual entre os valores 720,89 e 2.345,78. = 225,40Faça a operação inversa para comprovar. 720,89 enter; 225,40 % +, encontraremos o valor de 2.345,78

Ex2: o Valor de uma aplicação era em determinado tempo, R$ 401,67, atualmente está em R$ 2.392,06, qual a variação % no período? (495,53%)

Ex3: Um investidor adquire um imóvel por R$ 1.350.000,00 e o vende por R$ 1.230.000,00. qual foi o resultado (-8,89%)

1.350.000,00 enter; 1.230.000,00 ∆% . O resultado será (-8,89).

A tecla %T permite determinar quando um número da memória X representa percentualmente em relação ao número da memória Y.Ex. Determinar quanto 24 representa percentualmente em relação a 80. (333,33)

Ex2: Dois amigos montam uma empresa, o primeiro entra com R$ 2.650.000,00 e o outro com R$ 3.350.000,00. Qual o percentual de lucro de cada sócio nos resultados da empresa?

a) 2.650.000,00 ENTER; 3.350.000,00 + encontraremos o capital da empresa = R$ 6.000.000,00. Imposte o valor do primeiro sócio 2.650.000,00 e a tecla %T. O resultado será de 44,17%. Pressione a tecla CLX para zerar a memória X. O valor de R$ 6.000.000,00 está armazenado na memória Y. imposte o valor do segundo sócio R$ 3.350.000,00 e a tecla %T. O resultado será de 55,83%

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AS FUNÇÕES ∆DYS E DATE

Essas funções possibilitam as seguintes operações com datas de calendário:a) a função ∆DYS permite o cálculo do número exato de dias entre duas datas;b) a função DATE permite somar ou subtrair um número de dias sobre a data.

Ex. Calcular o número de dias entre 19/07/1981 e 25/12/1981. Inicialmente, fixamos o número de casas decimais em seis.

a) Com a função azul DMY, efetuamos: g (4 ) DMY 19. 07 1981 ENTER 25. 12 1981 g ∆D.YS, obtendo 159 dias como resposta.

b) Com a função azul M.DY, efetuamos: g ( 5 ) 7.19 1981 ENTER 12.25 1981 g ∆DYS, obtendo como resposta 159 dias como resposta.

c) Com a função azul D.MY, efetuamos g ( 4 ) D.MY 19.07 1981 ENTER 159 g DATE, obtendo 25.12 1981 dias como resposta. Observe que, nesse caso, o visor ainda mostra um número 5 na posição extrema direta. Esse número indica que 25/12/1981 cairá numa sexta-feira, ou seja, no quinto dia da semana (segunda-feira é do dia número 1).

Ex. Que dia da semana foi 14/11/98?Sábado

Que dia da semana será 25/12/2001?

Que dia da semana você nasceu?

TAXAS DE JUROS

Diferentes operações financeiras usam diferentes tipos de taxas. Existem taxas para descontos de duplicatas, taxas para cartões de créditos, taxas para financiamento de curto prazo, taxas para financiamentos, etc.

JUROS SIMPLES

Os juros simples têm pequena utilização no mercado e, geralmente, envolvem prazos curtos. Só podemos raciocinar com o conceito de juros simples até o momento da primeira capitalização ou do primeiro pagamento dos juros. E isso reduz os juros simples a um simples cálculo de porcentagem. Para que a calculadora faça esse calculo é necessário que a taxa esteja em formatação anual e o período em dias.

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Ex: Calcular os montantes relativos ao capital de R$1.200,00, colocado a juros simples, à taxa de 24% aa, no período de 15 de fevereiro a 9 de junho de 1996.

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORLimpar o visor e fazer com que ele apresente duas casas decimais

CLX f 2 0,00

Introduzir o número dias 115 n 115,00Introduzir a taxa de juros anuais

24 i 24,00

Introduzir o capital 1200 CHS PV - 1200,00Obter os juros (base: ano com 360 dias)

f INT 92,00

Obter o montante: capital + juros

+ 1.292,00

EXERCÍCIOS

1)Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00 pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% am. (1.728,00)3.200,00 CHS PV;18x 30 n;3 x 12 = 36 i;fint = R$ 1.728,00

2)Calcule o juro do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30 % aa, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. (4.380,00)146 n36.000,00 chs pvi = 30 f int = R$ 4.380,00

Exercícios:

3)Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% am, durante 2 anos. (8.000,00)i = 30 5.000,00 CHS PV720 Nf int= R$ 3.000,00 + = R$ 8.000,00

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4)Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% am? (40.600,00)28.000,00 chs pv15 x 30 = n3 x 12 = if int + (40.600,00)

5)Qual os juro produzido por um capital de R$ 400 mil a uma taxade2,6% ao mês num período de 2 meses ? (20.800,00)

JUROS COMPOSTOS

nFV = PV 1 + i%

O conceito de juros compostos é superior a outros conceitos de cálculos financeiros e por isso é predominante no mercado. No juro composto, os juros são calculados ao final de cada período, e somados ao capital, formando um montante, que irá ser o capital do período seguinte. A esse processo de agregação dos juros ao capital é que se dá o nome de capitalização. Na capitalização simples, ocorre uma só vez, ao final do prazo; já na capitalização composta, ocorre ao final de cada período.

Os cálculos através de juros compostos irão sempre fazer com que a taxa que está realizando o cálculo seja exatamente a taxa efetiva cobrada ou paga, assim utilizando-se a calculadora financeira isto sempre ocorrerá.

As teclas da calculadora financeira HP 12 – C para o cálculo dos juros compostos são as seguintes:

PV – valor presente ou capitalFV – valor futuro ou montantePMT – valor das prestaçõesi – taxa de juron – período

OBS: - Quando se opera na HP 12 – C, deve-se lembrar de que o PV é sempre introduzido com o sinal negativo.- Para calcular FV, a introdução dos três dados, PV, i e n, pode ser feita em qualquer ordem, por intermédio das teclas correspondentes. Isso é válido também quando se for calcular PV, i ou n.

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- Quando o número de períodos de tempo não é inteiro, a calculadora HP 12 – C calcula os juros da parte fracionária no regime de juros simples, isto é, fornece o montante no regime de capitalização mista.

- Para que o montante seja fornecido no regime de juros compostos, deve ser digitada a seqüência STO EEX, que faz aparecer no visor a advertência c. Essa advertência será apagada se, novamente, for digitada a mesma sequencia de teclas.

A seguir encontram-se exemplos de como calcular montante, capital, taxa e tempo.

Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 6.000,00, aplicado à taxa de juros compostos de 2% am, em seis meses.

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORArmazenar o capital 6000 CHS PV - 6000,00Armazenar o n° de períodos 6 n 6,00Armazenar a taxa 2 i 2,00Calcular o montante ou FV FV 6.756,97Calcular o juro RCL PV + 756,97

O montante é, pois, R$ 6.756,97 e o juro, R$ 756,97.

Depositei certa importância em um banco, a juros compostos de 6% am, e recebi, ao fim de um ano, R$ 5.000,00 como montante. Qual foi o capital colocado?Lembrar que, quando não é indicado explicitamente, o período de capitalização é o da taxa. No caso, o mês. Por isso, o número de períodos de capitalização é 12.

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORArmazenar o montante 5000 FV 5.000,00Armazenar o n° de períodos 12 n 12,00Armazenar a taxa 6 i 6,00Calcular o capital PV - 2.484,85Calcular o desconto RCL FV + 2.515,15

A que taxa deve ser colocado o capital de R$ 300,00, para obter o juro de R$ 120,76, em 2,5 anos, com capitalização semestral?

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORArmazenar o capital 300 CHS PV - 300,00Trocar o sinal do valor presente e adicionar-lhe o juro

CHS ENTER 120,76 + 420,76

Armazenar o montante FV 420,76Armazenar o n° de períodos 5 n 5,00Calcular a taxa i 7,00

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Em quanto tempo deve-se aplicar o capital de R$ 4.000,00 para que, capitalizado mensalmente à taxa de 3% am, produza juros de R$ 658,97?

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORArmazenar o capital 4000 CHS PV - 4.000,00Armazenar o montante 4658,97 FV 4.658,97Armazenar a taxa 3 i 3,00Calcular o n° de períodos (s) n 6,00

Convém esclarecer, quanto ao número de períodos, que a calculadora sempre fornece o resultado arredondando para o inteiro superior, ou seja, no caso de 2,5 períodos, por ex., a calculadora apresenta 3. Por isso, sempre que calcularmos o número de períodos, convém verificar o resultado, ou seja, calcular, a partir do número de períodos exibidos na calculadora, para verificar se o valor do montante será o mesmo apresentado no enunciado.

DIFERENÇA ENTRE OS REGIMES DE JUROS:

O quadro a seguir evidencia a diferença entre os regimes de capitalização, considerando uma taxa de 5% ao mês:

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOSPeríodo

(N)Capital(PV)

Juro(J)

Montante(FV)

Período(N)

Capital(PV)

Juro(J)

Montante(FV)

1 50.000,00 2.500,00 52.500,00 1 50.000,00 2.500,00 52.500,002 50.000,00 2.500,00 55.000,00 2 52.500,00 2.625,00 55.125,003 50.000,00 2.500,00 57.500,00 3 55.125,00 2.756,25 57.881,25

EXERCÏCIOS

1)Quais os juros produzidos pelo capital de R$ 2.100,00, colocados a juros compostos de 5,4% am, com capitalização mensal, durante 4 meses? (491,68)

2)A que taxa deve ser colocado o capital de R$ 1.750,64, para obtermos o montante de R$ 5.000,00, em quatro anos, com capitalização anual? (30%)

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3)Em quanto tempo um capital qualquer, aplicado a 12% am, fica 17 vezes maior? (25 meses)

4)Depositei certa importância em um banco, a juros compostos de 6% am, e recebi, no fim de 6 meses, R$ 6.000,00 como montante. Qual foi o capital colocado? (4.229,76)

5)Em quanto tempo devemos aplicar o capital de R$ 4.200,00 para que, capitalizado semestralmente à taxa de 24% aa, produza juros de R$ 1.068,48? (1 ano)

6)Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 2.300,00, aplicado à taxa de juros compostos de 2,5% am , em seis meses. (2.667,29)

7)Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 1.000,00, colocado a juros compostos de 5% aa, com capitalização anual, durante 8 anos. (1.477,46)

8)Calcular o juro produzido por um capital de R$ 4.000,00, colocado à taxa de juros compostos de 2,5% as, durante cinco anos, capitalizados anualmente. (1.105,13)

9)Determinar o tempo necessário para que um capital qualquer, a 54% aa, com capitalização mensal, triplique de valor. (25 meses) 54/12 = 4,5%am. i; 100 chs pv; 300 FV; n.

EM QUANTO TEMPO UM CAPITAL QUALQUER DUPLICAD DE VALOR EM UMA TAXA DE JUROS A 5% AO MÊS?I= 5%N= ?PV= 1000,00FV= 2000,00

FORMA DE LOGARITIMO

Log FV-Log PV Log( 1 + i )

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TAXA NOMINAL x TAXA EFETIVA

Taxa Nominal (in)

É uma taxa referente a um período que não coincide com o período de capitalização dos juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho / custo financeiro do negocio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros. N taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

Ex:

35% ao ano, com capitalização mensal;16% ao ano, co capitalização semestral;08% ao mês, com capitalização diária.

A taxa nominal é muito utilizada no mercado quando da formalização dos negócios. Não é porém, utilizada diretamente nos cálculos por não corresponder de fato ao ganho/custo financeiro do negócio. Você deve estar pensando: Então como é que se chama a taxa que representa o efetivo ganho/custo financeiro do negocio? É a TAXA EFETIVA.

TAXA EFETIVA (ie):

É a que corresponde de fato ao ganho/custo financeiro do negócio. Toda a taxa cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros é uma taxa EFETIVA.

Ex:

40% ao ano com capitalização anual;18% ao semestre com capitalização semestral;04% ao mês, com capitalização mensal.

Se perguntarmos ao gerente de nossa conta bancária qual a remuneração mensal da caderneta de poupança, ele irá responder que é de 0,50% am mais TR. No entanto, se perguntarmos qual a remuneração anual, provavelmente ele nos dirá que é de 6,00% aa mais TR. Deixando de lado a TR para melhor desenvolvermos o raciocínio, qual das duas informações está correta? A poupança rende 0,50% ao mês ou 6,00% ao ano? A resposta correta é de 0,50% am, porque a capitalização dos juros se dá mensalmente. Todo mês os juros são incorporados ao capital e temos uma nova base de cálculo para o período seguinte. E 0,50% am capitalizado mensalmente equivale a 6,17% aa capitalizado anualmente.

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A taxa de juros de 6,0% aa com capitalização mensal é uma taxa nominal. Não é com ela que são feitos cálculos. Se tivermos uma taxa anual e a capitalização mensal, basta dividir a taxa anual por 12 meses (6,00 : 12) = 0,50% am com capitalização mensal e temos, portanto, uma taxa efetiva.

COMO OBTER A TAXA EFETIVA PARA O PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS?

a) A partir de uma TAXA NOMINAL:

Neste caso, aplica-se o conceito de taxas proporcionais (Juros simples)

in

Ie = ------- onde:K

Ie = taxa efetiva para o período de capitalização In = Taxa NominalK = Numero de capitalizações contidas no periodo da taxa nominal

Ex1:

36% ao ano, com capitalização mensal:

(1 ano = 12 meses) => K= 12

36Ie = ------

12

Ie = 3% ao mês (taxa efetiva no período de capitalização, neste caso, mensal)

Ex2:

48% ao ano com capitalização semestral:(1 ano = 2 semestres) => K= 2

Ie = 48/2 =

Ie = 24% ao semestre (taxa efetiva do período de capitalização, neste caso, semestral)

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Ex3: 30% ao mês, com capitalização anual:

(1 mês = 1/12 ano) K = 1/12

Ie = In x 12 Ie = 30/(1/12) => 30 x 12 = 360% ao ano. (taxa efetiva no período de capitalização, neste caso, anual)

Exercícios:

Ex: 1) Qual a taxa efetiva associada a taxa de 24% aa com capitalização mensal?

24---- = 2% am12

2) Qual a taxa efetiva associada a taxa de 12% as com capitalização trimestral?12/4 = 3%

3) 36% ao ano com capitalização mensal:36/12 = 3% am

4) 30% ao mês com capitalização mensal:30 x 12 = 360% ao ano.

5) 2% ao dia com capitalização mensal:

2 x 30 = 60% ao mês

6) 10% ao ano com capitalização trimestral:10/4 = 2,5% ao trimestre

b) A partir de uma outra taxa EFETIVA, cuja unidade de tempo é diferente do período de capitalização dos juros:

Aqui aplica-se o conceito de taxas equivalentes (JUROS COMPOSTOS). Duas taxas de juros são ditas equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo período, produzirem o mesmo valor futuro. O conceito de taxa equivalente está diretamente relacionado com o regime de juro composto Ex: Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 21% aa ? (1,60%)

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Ex: a partir de uma taxa efetiva de 3% ao mês, determinar a taxa anual equivalente. Observe que estamos partindo de uma taxa efetiva para outra taxa efetiva equivalente à primeira. Vejamos:

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas de juros são ditas equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo período, produzirem o mesmo valor futuro. O conceito de taxa equivalente está diretamente relacionado com o regime de juro composto Ex: Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 21% aa ? (1,60%)

ndnc

Ie = 1 + i -1 x 100

Utilizando a HP

21 = i12 FV1PVR/S

Ex: Para uma taxa de 3% ao mês com capitalização mensal, qual a taxa anual?

12 1

Ie = 1 + 3% -1 x 100

Ie = 42,58%

Utilizando-se a HP:

3 = i12 FV1PVR/SResultado= 42,58%

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É comum, no caso de taxas efetivas, não se especificar o período de capitalização, ou seja, a taxa acima poderia simplesmente ser especificada como uma taxa efetiva de 3% am.

A taxa efetiva é a taxa que deve ser utilizada nos cálculos das operações financeiras. É importante notar que essa taxa apresenta, de forma bem objetiva, o verdadeiro custo da operação financeira realizada.

Ex: Qual o valor futuro de um capital de R$ 100,00 aplicado por um ano à taxa de 24% aa com capitalização mensal?Conclusão do exemplo: uma taxa nominal de 24% aa com capitalização mensal, na verdade, representa um custo efetivo do capital (taxa de juro efetiva) de 26,82% aa.

100 CHS PV 2 i24 nFV? (126,82)

EXERCÍCIOS

1)Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% aa (1,81)

2)Qual a taxa anual equivalente à taxa de 5% am. (79,59)

3)Qual a taxa trimestral equivalente a taxa de 2% am? (6,12)

4)Verifique se 3% am é equivalente a 42,58% aa. (OK)

5) Qual a taxa anual da caderneta de poupança? (6,17)

TAXAS UNIFICADAS

Iu= 1+ I% 1 + i% -1 x 100

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Ex: unificar as taxas de 10% ao mês e 5%ao mês

Iu= 1+0,10 1 + 0,05 -1 x 100 = 15,50 (se às duas taxas acrescentarmos mais um

mês com taxa de 3%, teríamos no final um resultado de 18,97%, pode-se unificar varias taxas diferentes.

Na HP:

10 ENTER5%g ENTER++ (até aqui, temos 15,50%)3%g ENTER++ (aqui, a taxa é de 18,97%)

RENDAS CERTAS OU ANUIDADES E CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES – PMT

Dá-se o nome de renda à série de depósitos ou prestações. Cada depósito ou prestação é chamado termo e o intervalo entre dois termos é chamado período da renda.

As rendas podem ser certas (anuidades) ou aleatórias. São rendas certas quando os valores, o número de parcelas e os prazos são conhecidos. São aleatórios quando não se pode precisar a ocorrência de seus pagamentos, ou o valor, ou a quantidade.

Serão tratados dois modelos básicos de anuidades.

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Modelo postecipado – é a representação das anuidades que são ao mesmo tempo temporárias, constantes, periódicas, imediatas e postecipadas, em que a taxa de juro i refere-se ao mesmo período dos termos. As anuidades podem referir-se tanto a um empréstimo retirado no início,como à formação de um fundo, ao final do prazo total.

Modelo antecipado – compreende as anuidades que são ao mesmo tempo temporárias, constantes, periódicas, imediatas e antecipadas, e a taxa de juros i refere-se ao mesmo período dos termos. As anuidades podem referir-se tanto a um empréstimo retirado no início, como à formação de um fundo, ao final do prazo total.

OBS – Para a anuidade postecipada, aciona-se a opção END, teclando g e END. No caso da anuidade antecipada, aciona-se a opção BEGIN, teclando g e BEGIN. Nesse caso, aparece, no visor, a palavra BEGIN. Notar que, quando a opção END está acionada não aparece END nem BEGIN no visor.

Ex: Um eletrodoméstico está sendo vendido por R$ 350,00 a vista ou em quatro prestações postecipadas (0 + 4) de R$ 100,00. A taxa de juros embutida no parcelamento é de 5,56% am. A seguir, o diagrama do fluxo de caixa do exemplo:

Vamos agora mudar da condição de pagamentos postecipados (0+4) para pagamentos antecipados (1 + 3) (1° pagamento no ato). Manteremos a mesma taxa de juros de 5,56% am.

A primeira prestação que era de R$ 100,00, como será paga um período antes, será de R$ 100,00 ( : ) 1,0556 = R$ 94,73.

A segunda prestação também será paga um período antes e o valor também será de R$ 94,73. Da mesma forma para as demais prestações.

Se efetuarmos o cálculo da taxa de juros, vamos constatar que ela se manteve em 5,56% am. O objetivo do raciocínio desenvolvido foi o de mostrar claramente que todos os pagamentos serão antecipados em um mês e não somente o primeiro.

Vamos resolver o problema usando a calculadora, mas com o seguinte enunciado:Um eletrodoméstico está sendo vendido por R$ 350,00 a vista ou em quatro prestações. A taxa de juros que está sendo praticada pela loja é de 5,5638% am. Qual o valor das prestações se os pagamentos forem:a)postecipados (0 + 4); e

b)antecipados (1 + 3).

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORDefinir modo de pagamento postecipado

g end 0,00

Armazenar o valor presente 350 CHS PV - 350,00Armazenar o n° de parcelas 4 n 4,00Armazenar a taxa de juros 5,5638 i 5,56Calcular o valor das PMT 100,00

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prestações postecipadas

Definir o modo de pagamento antecipado

g begin 100,00 BEGIN

Calcular o valor das prestações antecipadas

PMT 94,73 BEGIN

Um bem foi adquirido em quatro prestações mensais de R$ 200,00, à taxa de 2% am, calcular o valor a vista do bem (valor atual – renda postecipada).

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORDefinir modo de pagamento postecipado

g end 0,00

Armazenar o valor da prestação

200 CHS PMT - 200,00

Armazenar o n° de períodos 4 n 4,00Armazenar a taxa 2 i 2,00Determinar o valor atual PV 761,55

O valor do bem a vista é, portanto, R$ 761,55.

Calcular o valor da prestação mensal, de um financiamento de R$ 761,55, considerando a taxa de 2% am e liquidação em 4 prestações (renda antecipada).

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORDefinir modo de pagamento antecipado

g begin 0,00 BEGIN

Armazenar o valor atual 761,55 CHS PV - 761,55Armazenar o n° de períodos 4 n 4,00Armazenar a taxa 2 i 2,00Determinar o valor da prestação

PMT 196,08

Utilizemos o exemplo anterior, só que agora calcularemos o número de períodos.

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORDefinir modo de pagamento antecipado

g ebgin 0,00 BEGIN

Armazenar o valor atual 761,55 PV 761,55Armazenar o valor da 196,08 CHS PMT - 196,08

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prestaçãoArmazenar a taxa 2 i 2,00Determinar o n° de períodos n 4,00

Na calculadora HP 12 –C, temos:

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORDividir a taxa por 100 e somar 1

0,5 ENTER 100 : 1 + 1,01

Elevar yx 12 yx 1,06Diminuir 1 1 - 0,06Multiplicar por 100 100 x 6,17

MULTIPLICADORES DE TABELAS DE JUROS

Como são feitas as tabelas de multiplicadores das taxas de juros nas lojas:Ex: (Beg) 1 CHSPV;

0 FV;24 N; (fazer de 1 a 24) 2,64 iPMT = (?) 0,05532Numa compra de um artigo de R$ 1.000,00, pagaria 24x de 55,32 com

entrada

Ex: (end) com os mesmos dados acima:PMT= (?) 0,05678Numa aquisição de um artigo de R$ 1.000,00, pagaria 24 x de R$ 56,78,

sem entrada.

Mas como saber qual a taxa de juros que realmente está sendo cobrada nestes casos? 1 CHS PV;0 FV;24 N;0,5678 PMT;I = ? (2,64% ao mês) sem entrada

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0,5532 PMT;i = 2,64% ao mês, com entrada

A diferença é que quando não pagamos entrada, estamos pagando juros sobre um saldo devedor maior.

EXERCÍCIOS

1)O preço a vista de um televisor é de R$ 3.000,00. Para financiá-lo em 3 pagamentos, a loja cobra juros de 7,5% am. Calcular o valor da prestação:a)se elas forem postecipadas (1.073,13)

b) se elas forem antecipadas. (1.153,61)

2)Uma loja de móveis está vendendo dormitório “chamonix” por R$ 2.900,00 a vista, ou em 6 pagamentos postecipados ou antecipados de R$ 599,00. Que taxa de juros mensal está sendo cobrada na venda a prazo? (postecipada – 6,5%; antecipada – 9,48)

3)Calcular o montante, ao final de dois anos, de 24 aplicações antecipadas e postecipadas mensais de R$ 5.000,00, à taxa de 3% am. (R$ 177.298,35 antecipadas e R$ 172.134,38, postecipadas)

4)Calcular o montante ao final de 3 anos, correspondente à aplicação de 20 parcelas postecipadas de R$ 1.600,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,2%. As 20 parcelas foram aplicadas nos 20 primeiros meses. (R$ 43.878,03 para os 20 meses iniciais mais os juros dos 16 meses subseqüentes, resultara em R$ 72.631,04)

5)Um banco concedeu um empréstimo à taxa de juro de 6% am. Este empréstimo será liquidado em 18 parcelas mensais postecipadas de R$ 5.000,00 cada uma. Qual o valor do empréstimo? (R$ 54.138,02)

6)Um automóvel zero Km foi adquirido por R$ 32.000,00, sendo 80% deste valor financiado em 12 parcelas iguais, à taxa de juros de 76% aa. Calcular o valor da prestação. (R$ 3.109,54) (juros mensais 76/12=6,3333)

7)Uma transportadora está estudando a aquisição de um caminhão por meio de uma operação de leasing. A empresa de leasing informou à transportadora que para o prazo de 24 meses postecipados o fator a ser utilizado é de 0,06227. Que taxa de juros está sendo cobrada na operação? (3,5% ao mês)

8)Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 9% aa.

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Mensal – 0,72%Trimestral – 2,18%

9)Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 6% as. (0,0324) – usar função R/S

10)Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2% at (0,6623%) e 4% as. (0,6558%) – usar função R/S

DESCONTOS COMPOSTOS

No sistema de capitalização composta também podem ser definidos dois tipos de descontos: o desconto comercial e o desconto racional.

Na prática, os descontos compostos têm pouca aplicação. O racional é utilizado para equivalência de capitais com juros compostos e o comercial é utilizado em uma técnica de depreciação.

Desconto composto por fora – é calculado sobre o valor nominal do título.Ex: O valor de certo imóvel, em face da crescente periculosidade da área, vem declinando à taxa de 3% aa. Se persistir essa tendência, em quanto estará seu preço daqui a quatro anos, considerando que atualmente custa R$ 20.000,00?

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORArmazenar n 4 n 4,00Armazenar i ( - ) 3 CHS i - 3,00Armazenar PV ( - ) 20.000,00 CHS PV - 20.000,00Det. o valor do imóvel FV 17.705,86

Desconto composto por dentro – é calculado sobre o valor atual do título.Ex: Calcular o desconto por dentro de um título de R$ 4.600,00, dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% am.

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORArmazenar o valor nominal 4.600 FV 4.600,00Armazenar n 2 n 2,00Armazenar i 2 i 2,00Calcular o valor atual PV - 4.421,38Calcular o desconto RCL FV + 178,62

EXERCÍCIOS

1)Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com 4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% am. (PV= 79.192,17 e Juros = 10.807,83)

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2)Sabendo-se que o valor líquido do creditado na conta de um cliente foi de R$ 57.170,24, correspondente ao desconto de um título de R$ 66.000,00,à taxa de 4,9038% am, determinar o prazo a decorrer até o vencimento desse título. (3 meses)

3)Calcular a que taxa mensal um título de R$ 100.000,00, com 75 dias a vencer, gera um desconto no valor de R$ 11.106,31. (4,8218%)

4)Calcular o valor do desconto concedido num Certificado de Depósito Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% am. (PV = 178.828,99 e o desconto é de 21.171,01

EMPRÉSTIMOS

Sistema Francês de Amortização (Prestações Constantes) ou Tabela Price No Brasil é largamente utilizada para o calculo de empréstimos pessoais como o

CDC, leasing e outros.

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Para iniciar, tomemos como exemplo do Sistema Francês de Amortização o caso de um empréstimo de R$ 10.000,00 a ser pago em cinco parcelas, a juros de 4% am, no qual se deseje montar o quadro de amortização

PROCEDIMENTO TECLA A PRESSIONAR VISORArm o valor do empréstimo 10.000,00 PV 10.000,00Armazenar n 5 n 5,00Armazenar i 4 i 4,00Determinar PMT ( - ) PMT -2.246,27Determinar a parcela de juros da 1° prestação

1 f AMORT - 400,00

Determinar a parcela de amortização da 1° prestação

X ≥ Y - 1.846,27

Determinar o saldo após o pagamento da 1° prestação

RCL PV 8.153,73

Determinar a parcela de juros da 2° prestação

1 f AMORT - 326,15


X ≥ Y - 1.920,12


RCL PV 6.233,61


1 f AMORT - 249,34


X ≥ Y - 1.996,93


RCL PV 4.236,68

Determinar os juros da 4o. prestação

1 f AMORT 169,47


X ≥ Y 2.076,80


RCL PV -2.159,88


1 f AMORT 86,40


X ≥ Y 2.159,87


RCL PV -0,00

Esses procedimentos são repetidos até o último período. Os resultados estão no seguinte quadro apresentado.

A posição dos saldos devedores ao longo do tempo pode ser assim representada:

10.000,00 8.153,73 6.233,61 4.236,68 2.159,88 0,0------ ------------ ----------- ------------ ------------ ------------ ------

24

0 1 2 3 4 5

Observe que, a cada período, a redução do saldo devedor faz com que a parcela de juros diminua, ensejando, em compensação, o correspondente aumento na parcela de amortização.

Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês

Semelhantemente ao que ocorre com o sistema francês, no SAC a prestação engloba duas parcelas: amortização e juros. No caso do SAC, como o próprio nome indica, as amortizações são constantes durante todo o prazo do empréstimo. Vale considerar que, em face de o saldo ir-se reduzindo a cada período, o juro calculado sobre esse saldo também vai decrescendo. Dessa forma, dos dois componentes das prestações, um é constante (amortização) e o outro (juro) decresce. Fica evidente, portanto, que a soma deles (que é a prestação) decresce a cada período.Ex:Um empréstimo de R$ 8.000,00 deve ser pago em quatro prestações mensais, à taxa de 3,6% a m pelo sistema SAC. Determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses 4 meses.

PERÍODO Prestação JUROS Amortização c. saldo devedor0 - - - 8.000,001 2.288,00 288,00 2.000,00 6.000,002 2.216,00 216,00 2.000,00 4.000,003 2.144,00 144,00 2.000,00 2.000,004 2.072,00 72,00 2.000,00 -0-

EXERCÍCIOS

1)Construir o quadro de amortização para um empréstimo de R$ 20.000,00 a ser pago em cinco meses, à taxa de 4%.

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2)Calcular o valor da prestação de um empréstimo de R$ 15.000,00, a ser pago em 30 prestações, ao final de cada mês, à taxa de juros compostos de 5%.

3)Com base nos seguintes dados: Valor financiado: R$ 10.000,00Prazo: 8 mesesTaxa de juro: 0,95% am, pede-se elaborar o plano de amortização pelo Sistema Francês (price)

Outras Funções:

1) N! (n fatorial)

Ex: 5x4x3x2x1 = 120,00

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5 g n! (tecla 3) = 120,00

Exercicios:1) Calcular o fatoriaL de 3, 10, 15, 20 e 30

2) Potenciação:

yx

Ex: 5 elevado à terceira potencia resulta em 125

5 enter;3 yx = 125

Exercicios:

Calcular as seguintes potencias:

1) 2 elevado à quarta potencia (16);

2) 5 elevado à terceira potencia (125;3) 7 elevado à oitava potencia (5.764.801,00);4) 9 elevado ao quadrado (81);5) 8 elevado ao cubo (512);

3) Radiciação: quando trata-se de raiz quadrada, basta digitar o numero desejado e pressionar teclaG

x

Ex: A raiz quadrada de 144 é 12Na HP:

144 enter

g x

Resultado = 12

Porém quando temos uma raiz irregular, como por exemplo, a raiz quinta de 32, por exemplo, devemos proceder da seguinte forma:

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a) Formula matemática:

g 5 1 32

1 5 ou 32 = 2

na HP:

32 enter

5 1/x yxresultado = 2

1 5 (32) = 2

b) Na HP:

32 ENTER;5 1/x yx = 2

4) logaritimo

Ex: 10 G ln = 2,30

5) Antilogaritimo xEx: 2,3 G e = 10

Log de 1.000 = 6,907755279

Antilog de 6,907755279 = 1.000

6) Fluxos de caixa (funções IRR e NPV)

O método do valor presente consiste em determinar o valor presente da série de pagamentos representada pelo fluxo de caixa incremental, utilizando como taxa de

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desconto, a taxa mínima exigida pelo acionista (taxa mínima de atratividade ou de custo de oportunidade)

Por esse método será considerado viável o projeto cujo valor presente do retorno seja superior ao valor presente do capital investido.

No exemplo: (com taxa mínima de retorno de 25% ao ano)Anos Fator de desc. Fluxo de caixa Valor presente VP acumulado0 1.000 (25% aa) -176.000,00 -176.000,00 -176.000,001 0,800 48.000,00 38.400,00 -137.600,002 0,640 65.000,00 41.600,00 -96.000,003 0,512 99.000,00 50.688,00 -45.312,004 0,4096 98.500,00 40.345,00 -4.927,005 0,3277 74.000,00 24.248,00 19.281,00

195.281,00

Procedimentos:

- Introduzir os valores iniciais COM SINAL NEGATIVO (176.000 CHS g cfo)- Introduzir os demais valores do fluxo de caixa com sinal positivo (ex: 48.000 g cfj;

65.000 g cfj; 99.000 gcfj...até o último);- Para obtermos a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, pressionamos a tecla f

IRR;- Se quisermos calcular com outra taxa, introduzimos a taxa desejada em i, e

pressionamos f NPV, assim obteremos o valor presente liquido (net Present Value) do fluxo de caixa.

quando o valor atual líquido (VAL ou NPV) é maior que zero, significa que este projeto proporcionará aos investidores no mínimo a remuneração desejada. No exemplo acima, seria de 25% aa. Se fosse menor, seria rejeitado.VALou NPV = 19.281,00TIR = 29,7%

Para encontrar o valor presente, utilizamos a seguinte formula:

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PV = FV n

(1+i)

Ou então para encontrar o multiplicador que reduzirá o valor futuro ao valor presente, utilizamos a seguinte formula:

nVP = 1/(1+i) x FV

Ou seja: para encontrar o valor presente de um valor futuro que seja:

FV: 48.000,00N : 1 (numero de períodos)I : 25% ao mês VP? (38.400,00)

Substituindo na fórmula: 1

VP = 1/(1,25) x FV

VP = 1/1,25 x 48.000,00 = 38.400,00 (o valor de R$ 38.400,00 represente o valor descapitalizado => R$ 48.000,00 trazido para a data zero. )

São apresentados ao diretor financeiro 3 projetos, mutuamente excludentes, com as seguintes informações:

Projeto A Projeto B Projeto CInvestimento Liquido -66.000,00 -110.000,00 -110.000,00

RetornosAnos1 27.000,00 22.000,00 66.000,002 27.000,00 33.000,00 55.000,003 27.000,00 44.000,00 44.000,004 27.000,00 55.000,00 33.000,005 27.000,00 66.000,00 22.000,00

Qual dos projetos seria aceito sabendo-se que:

a) Os proprietários exigem um período de retorno inferior a quatro anos;b) O custo de capital (taxa mínima de atratividade é de 8% aa);

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Calcular:1) Pay-Back médio e ponderado;2) V.A L. / VPL e GR (Grau de Rentabilidade);3) TIR;4) Prazo de retorno descontado.5) Fazer tabela de fatores de desconto à taxa de 8% ao ano;

Investimento inicial A (66.000,00) B ((110.000,00) C (110.000,00)Pay-back medio 2,44 2,5 2,5PB ponderado 2 anos e 5 meses 3 anos e 3 meses 1 ano e 9 mesesTIR 29,81% 23,29% 36,08%VPL 41.803,17 58.936,30 72.422,18Prazo de retorno descontado

2 anos e 10 meses 3 anos, 7 ms e 25 dd 2 anos e18 dias

Qual projeto você recomendaria ao diretor financeiro?Justifique sua resposta. A melhor opção é a “C”, pois possui:- Menor Pay – Back;- Maior TIR;- Maior VPL;- Menor prazo descontado de retorno.

7) REGISTRADORES ESTATISTICOS

a) E+ (somatório)

Ex: calcular a média dos nr. 7,99,1,0,25 e 50

-Introduzi-los todos, um a um, na memória E+;-g (X barra tecla do nr. zero) = 13,45 essa é a média aritmética dos nrs acima.

Se durante a digitação ocorrer um erro, pode-se acertar digitando-se o numero errado, seguido das teclas g E-

b) Desvio Padrão e média ponderada

Ex: Uma empresa deseja saber a media ponderada da produtividade de seus vendedores, para tanto, possui a seguinte tabela:

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Horas trabalhadas Vendas25 1000,0032 3000,0047 10.000,0012 800,00

Passos:

25 enter 1.000,00 E+32 enter 3.000,00 E+47 enter 10.000,00 E+12 enter 800.00 E+

g (x barra w – tecla 6) = 40,58 – essa é a media ponderada das horas trabalhadas;g s (tecla .) = R$ 4.315,86 – esse é o desvio padrão das vendas; X >< Y = 14,58 – Esse é o desvio padrão das horas.

Ex: uma empresa leva a um banco 4 duplicatas de valores e prazos diversos. Como as taxas de juros dos bancos são feitas pelo prazo médio ponderado, calcule qual é esse prazo:

Prazo dos títulos em dias Valor R$ 13 1000,0032 3.100,0047 2.880,0072 800,00

Prazo médio ponderado: 39,22 dias -

Exercícios:

1 - Uma empresa faz um balanço das vendas mensais de seus vendedores e chega aos seguintes dados:

Vendedor Horas trabalhadas por semana Vendas do mês1 32 1.700,002 40 2.500,003 45 2.600,004 40 2.000,005 38 2.100,006 50 2.800,007 35 1.500,00

a) Calcular a média aritmética das vendas; (g x barra) = 2.171.428,57 b) Calcular a media do trabalho semanal em horas; ( x >< y = 40 horas)

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c) Calcular o desvio padrão das vendas; (g S = 482.059,08)d) Calcular o desvio padrão das horas trabalhadas. (x,>< Y = 6,03%)

2) Durante uma viagem de férias, você fez quatro refeições. Em cada restaurante sua comida preferida, camarões, custaram os seguintes valores por porção:

Restaurante Preço pago Quantidade de camarões 1 116,00 152 124,00 73 120,00 104 118,00 17

-Qual o custo ponderado por refeição. g xw = 118,65);-Qual a média aritmética de cada refeição (X><Y = 118);- Qual o desvio padrão da quantidade (g S = 3,42%);- Qual o desvio padrão dos valores pagos (4,57)

ALFA e BETA

Utilizando os recursos da calculadora financeira HP 12C - Ao se utilizar os recursos da HP 12 C, chega-se aos resultados apurados pelas formulas complexas da estatística. Na tabela abaixo, temos os dados de uma carteira teórica de ações, onde se verifica os dados de retorno de uma carteira teórica em determinado período de tempo – por exemplo, o Índice BOVESPA, no período de 1991 a 1997 e os dados de retorno de uma empresa hipotética J, no mesmo período. ANO Retorno da ação da CIA j

(Rj – Rf) (%)Retorno do I. BOVESPA

(Rm - Rf) (%)1991 16,2 15,01992 14,7 12,11993 20,5 17,01994 08,4 08,01995 -06,7 -05,51996 10,0 09,51997 11,6 12,0

A partir e retornos da Cia j e dos mercados (IBOVESPA), o quadro acima apura ainda diversas medidas estatísticas importantes para que se conheça entre outros importantes indicadores financeiros, a volatilidade da ação com o mercado como um todo.

O coeficiente Alfa (-0,007) representa o retorno em excesso da ação em relação às taxas livres de risco (Rm – Rf) Admitindo-se que Rm seja 14% e que Rf seja 6%, o resultado da Cia j deveria alcançar 14,64%. Ou seja:

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Calculando com os recursos da HP 12 C:

f E somatório0,162 Enter0,15 E Somatório +0,147 Enter0,121 E Somatório +0,205 Enter0,170 E Somatório +0,084 Enter0,08 E Somatório +0,067 CHS Enter0,055 CHS E Somatório +0,10 Enter0,095 E Somatório +0,116 Enter0,12 E Somatório + ^0 g Y, r {Alfa = -0,007}STO 0 X >< Y {Pr, Rm = 0,993} ^1 g Y, rRCL 0- {Beta = 1,167}

Com os dados acima podemos resolver a equação abaixo:

Rj – Rm = Alfa + Beta(Rm-Rf)Rj – 0,06 = -0,007+ 1,167 (0,14 – 0,06)Rj = 0,053 + 0,0934 = 0,1464 ou 14,64%

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

FILHO, Ademar Campos. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2001.

MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 1998.

MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2001.

PUCCINI, Alberto de Lima. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Saraiva, 2002.

SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2000.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2001.

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Documents

Apostila - Curso de Hp