UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA NOTAS DE AULA MAT236 MTODOS ESTATSTICOS
2 UNIDADE Elaborada pelas professoras:Giovana Silva,Lia
Moraes,Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone Revisada em
2010.2Monitora: Tatiana Felix da Matta Revisada em 2010.2 pelas
professoras: Gecynalda e Silvia Regina 1 5.INTRODUO
AEstatsticaconstitui-senumconjuntodetcnicasemtodoscientficosquetratamda
coleta,anliseeinterpretaodeinformaesnumricas,cujoobjetivoprincipalauxiliarna
tomadadedecisesoutirarconclusesemsituaesdeincerteza,apartirdeinformaes
numricas. A Teoria Estatstica moderna se divide em dois grandes
campos:
EstatsticaDescritiva-consistenumconjuntodemtodosqueensinamareduziruma
quantidadededadosbastantenumerosaporumnmeropequenodemedidas,substitutase
representantes daquela massa de dados.
EstatsticaIndutivaouInfernciaEstatstica-consisteeminferir(deduziroutirar
concluses a respeito das) propriedades de um universo a partir de
uma amostra. O processo
degeneralizao,quecaractersticodomtodoindutivo,estassociadoaumamargemde
incerteza. A medida da incerteza tratada mediante tcnicas e mtodos
que se fundamentam na Teoria das Probabilidades.
Namaioriadasvezesnopodemosinvestigarofenmenoqueestamosinteressadosem
estudaremtodososelementosdapopulaopordiversosfatores.Pararesolveroproblema
devemostrabalharcomumsubconjuntodapopulao,chamadodeAMOSTRA.Ainferncia
estatstica procura com base nos dados amostrais tirar concluses
sobre a populao. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as
definies dadas. O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho
estatstico: Populao Amostra Tcnicas de Amostragem Anlise Descritiva
Concluses sobre as caractersticas da populao Informaescontidas nos
dados Inferncia Estatstica 2 5.1. Populao e amostra
Populao-Conjuntodeindivduos,objetosouinformaesqueapresentampelo
menosumacaractersticacomum,cujocomportamentointeressa-nosanalisar.Ou,emoutras
palavras,conjuntodetodasasmedidas,observaesrelativasaoestudodedeterminado
fenmeno.
i)Deseja-seconheceroconsumototaldeenergiaeltricaemMWHnasresidnciasda
cidade de Salvador no ano de 1998. Populao ou universo: todas as
residncias que estavam ligadas a rede eltrica em Salvador, em 1998.
Caractersticas: X = consumo anual de energia eltrica em MWH.
ii)Deseja-se saber se nas indstrias situadas no Estado da Bahia, em
1997, existia algum tipo de controle ambiental. Populao ou
universo: indstrias situadas no Estado da Bahia em1997.
Caracterstica: X = existncia ou no de algum tipo de controle
ambiental na indstria. iii) Estudo sobre a precipitao pluviomtrica
na Regio Nordeste no ano 1997. Populao ou universo: rea referente
Regio Nordeste. Caracterstica: X = precipitao pluviomtrica.
Populaesfinitaseinfinitas:Quantoaonmerodeelementos,aspopulaespodemser
classificadas em finita ou infinita, dependendo do nmero de
elementos que a compe. Exemplos : i)Populao finita: empresas do Plo
Petroqumico de Camaari. ii)Populao infinita: as presses atmosfricas
ocorridas nos diversos pontos do Continente em determinado momento.
Emgeral,comoosuniversossograndes,investigartodososelementospopulacionaispara
determinarmos a caracterstica necessita muito tempo, e/ou o custo
elevado, e/ou o processo de investigao leva a destruio do elemento
observado, ou, como no caso de populaes infinitas,
impossvelobservaratotalidadedapopulao.Assim,estudarpartedapopulaoconstitui-se
um aspecto fundamental da Estatstica. Amostra: qualquer subconjunto
da populao. 3 5.2. Tipos de variveis As caractersticas da populao
que nos interessa analisar recebem o nome de variveis. As
caractersticas ou variveis podem ser divididas em dois tipos:
qualitativas e
quantitativas.Variveisqualitativas-quandooresultadodaobservaoapresentadonaformade
qualidade ou atributo. Exemplos: sexo; estado civil; grau de
escolaridade; etc. Variveis quantitativas - quando o resultado da
observao um nmero, decorrente de
umprocessodemensuraooucontagem.Exemplos:nmerodefilhos;salriomensal;altura;
peso; idade; tamanho da famlia; etc.
Asvariveisqualitativassodivididasemdoistipos:nominal,paraaqualnoexiste
nenhuma ordenao nas possveis respostas da referida varivel, e
ordinal, para a qual existe uma ordenao. Por exemplo,
QualitativaNominal (sexo, cor dos olhos, tipos de defeitos...)
Ordinal(classe social, grau de instruo, porte de empresa...)
Asvariveisquantitativassodivididasem:discretas,queassumemvaloresemumconjunto
finito ou enumervel de nmeros, contnuas, que assumem valores em um
intervalo nmeros reais. QuantitativaContnua (peso, altura, vida til
de bateria...) Discreta (nmero de filhos, nmero de carros, nmero de
defeitos...)
Pararesumirasinformaeslevantadasduranteumapesquisausaremosatcnicaea
representao mais apropriada, a depender do tipo de varivel que
estamos analisando. 6. APRESENTAO DOS DADOS Esta seo apresenta
alguns procedimentos que podem ser utilizados para organizar e
descrever um conjunto de dados, tanto em uma populao como em uma
amostra. O conjunto de informaes disponveis, aps a tabulao do
questionrio ou pesquisa de campo, denominado de tabela de dados
brutos. Apesar de conter muita informao, a tabela de dados brutos
pode no ser prtica para respondermos s questes de interesse. 4
Exemplo: Banco de dados (dados brutos)
Foirealizadaumapesquisaporamostragemjuntosindstriasdematriasplsticasnas
principaisregiesmetropolitanasdoBrasileinvestigou-seasseguintesvariveis:constituio
jurdica; porte; nmero total de empregados em 1999; faturamento
anual em 1998 e 1999; tempo
deexistncia;regiometropolitana;esetordeatividade.Asobservaesreferentess106
empresas amostradas encontram-se no arquivo Empresa.xls.
Dadoumconjuntodedadosomododecondensaoouapresentaodasinformaes
podesernaformadetabelasdefrequnciasoudegrficosquefacilitamavisualizaodo
fenmeno, permitem a comparao com outros elementos ou, ainda, fazer
previses. 6.1. Tabela ou Distribuio de Frequncias O fenmeno
considerado uma varivel qualitativa ou quantitativa (discreta ou
contnua) e seus valores observados so descritos considerando o
nmero de vezes que ocorreram na tabela de dados brutos (frequncia).
Algumas definies: Frequnciasimplesabsoluta(fi
):onmerodeocorrnciasourepetiesdeumvalor individual ou um intervalo
de valores. Frequncia simples relativa(fri): a razo entre a
frequncia simples absoluta e o nmero total de dados (soma de todas
as frequncias simples absolutas). Agora vamos exemplificar
distribuies de frequncia para cada tipo de varivel. a)Varivel
qualitativa Nominal ou Ordinal
Asvariveisqualitativasobtidasemumapesquisapodemserorganizadasemformasdetabelas
para facilitar a visualizao e anlise dos dados.
Exemplo6.1:Considereaplanilhadedadosempresa.xls.Paraavarivelportedeempresa
construa uma tabela: 5 Tabela 6.1: Porte das indstrias de matrias
plsticas nas principais regies metropolitanas doBrasil 1999 Porte
da IndstriaNmeros de indstrias% (100xfri ) Grande2321,7 Mdia7066,0
Pequena1312,3 Total geral106100,0 Fonte: Dados fictcios b)Varivel
Quantitativa Discreta
Exemplo6.2:Foiobservadoonmerodedefeitosapresentadosporumamquinaindustrial
durante o perodo de 30 dias. Os resultados foram os seguintes:
111011 021310 111201 114103 221101 Tabela 6.2: Nmero de defeitos em
uma mquina industrial durante o perodo de 30 dias. Nmero de
defeitosQuantidade (fi) %(100xfri) 0620,0 11756,7 2413,3 326,67
413,33 Total30100,0 Fonte: Dados fictcios c)Varivel Quantitativa
Contnua Para certo conjunto de dados, vamos adotar a seguinte
nomenclatura: 1.Mximo (max): maior valor do conjunto. 2.Mnimo
(min): menor valor do conjunto. 3.Amplitude total (AT): a diferena
entre o valor mximo e mnimo. AT = MAX MIN 4.Classe: cada um dos
intervalos em que se subdivide a amplitude total. Representao: k =
nmero de classes5.Limite superior ( lsup): a cota superior para os
valores da classe. 6.Limite inferior ( linf): a cota inferior para
os valores da classe. 6 7.Amplitude do intervalo de classe (hi): o
comprimento da classe, definida como a diferena entre o limite
superior e inferior. 8.Ponto mdio (Xi): a mdia entre os limites
superior e inferior da classe i. Determinao do nmero de classes e
amplitude do intervalo de classes:
Noexistemregrasgerais,universalmenteaceitas,paraadeterminaodonmerode
classes.Existem,noentanto,algumasregraspropostaspordiferentesautores,quedoideia
aproximada do nmero de classes em funo do nmero de dados.Um dos
mtodos utilizado chamado de regra de Sturges ou regra do logaritmo.
Ele estabelece que em que k o nmero de classes e n o nmero de
dados. Outra maneira para obter o nmero de classes
Mesmoconhecendoalgunsmtodosparaadeterminaodok,deve-sesaberquea
escolha depender antes da natureza dos dados, da unidade de medida
e da experincia e do bom senso de quem far a organizao dos dados da
pesquisa.
Umavezencontradoonmerodeclasses,determina-seaamplitudedointervalode
classes atravs da frmula: Exemplo 6.3: (Werkema, vol.2) Os dados
abaixo representam o rendimento em porcentagem de
umareaoparafabricaodeumasubstnciaqumica,em80bateladasproduzidasporuma
indstria.Aempresadecidiuconstruirumatabeladefrequnciaparaobterumresumodo
conjunto de dados. 70,771,873,974,475,976,076,676,777,478,078,178,1
78,278,478,479,779,879,979,980,180,280,480,480,580,780,7
80,780,981,381,481,681,881,982,082,082,182,382,582,7
82,983,083,083,283,483,583,683,683,783,884,384,584,5
84,584,685,285,585,585,786,486,586,8 86,8 86,8 87,187,1
87,187,187,388,590,0 . n k .kATh =, log 3 , 3 110n k + 7
Procedimento para construir uma tabela de distribuio de frequncias
com intervalos de classes. Soluo: Neste caso, n = 80 k = (80)1/2 9
A amplitude total ser dada por AT = 90 70,7 = 19,3. Assim, a
amplitude de cadaintervalo de classe ser: h 2,2
Dessaforma,atabeladedistribuiodefrequnciasparadadosagrupadosemclassesficada
seguinte maneira:
Dessaforma,atabeladedistribuiodefrequnciasparadadosagrupadosemclassesficada
seguinte maneira: Tabela 6.3: Rendimento, em porcentagem, de uma
reao para fabricao de uma substncia qumica. RendimentoNmero de
substncia (fi) %(100xfri) 70,5 | 72,722,50 72,7 | 74,922,50 74,9 |
77,145,00 77,1 | 79,31417,50 79,3 | 81,51923,75 81,5 | 83,71721,25
83,7 | 85,91113,75 85,9 | 88,1911,25 88,1 | 90,322,50 Total80100,00
Fonte: Dados fictcios 6.1.1. Tabela de Mltipla Entrada
Emalgunscasosnecessrioapresentarmaisdeumavarivelemumanicatabela.
Quando so utilizadas apenas duas variveis tem-se uma tabela de
dupla entrada.Tabela 6.4: Porte das indstrias de matrias plsticas
por regio metropolitana do Brasil 1999. Regio Metropolitana Porte
da empresa Total GrandeMdiaPequena Belo Horizonte29314 Curitiba1405
Porto Alegre0718 Rio de Janeiro313218 Salvador818430 So Paulo919331
Total237013106 Fonte: Dados fictcios. 8 6.2. Representao Grfica
Seroapresentadosalgunstiposdegrfico:setoroupizza,barra,colunas,Paretoe
histograma. 1)Grfico em barras Utilizado para representao de
variveis qualitativas e quantitativas discretas Exemplo 6.4:Tabela
6.5: Tipo de fraude nos cartes de crdito da Mastercard
Internacional no Brasil 2000. Tipo de fraudeQuantidade Carto
roubado243 Carto falsificado85 Pedido por correio/telefone52
Outros46 Fonte: Triola, Mario F. Figura 6.1: Tipo de fraude nos
cartes de crdito da Mastercard Internacional no Brasil 2000.
Fonte: Triola, Mario F. 9 2)Grfico em colunas Utilizado para
representao de variveis qualitativas e quantitativas discretas.
Exemplo 6.5: Tabela 6.6: Nmero decrianasdebaixarenda,
segundoobairro deresidncia,queparticiparamdoensinodemsicana
EscolaXYZ, em Salvador 1998. BairroNmero de crianas Paripe11
Periperi39 Plataforma45 Praia Grande25 Total120 Fonte: Escola de
Msica XYZ, Salvador. Figura 6.2: Nmero de crianas de baixa renda,
segundo o bairro de residncia, que participaram do ensino de msica
na Escola XYZ, em Salvador 2008. Fonte: Escola de Msica XYZ,
Salvador Exemplo 6.6:Tabela 2.7: Estudantes da Universidade XYZ
Segundo rea de estudo e ano de ingresso. rea Ano Total 199819992000
Exatas 12015668344 Humanas7285112269 Biolgicas16914573387 Fonte:
Dados Fictcios10 Figura 6.3: Estudantes da Universidade XYZ Segundo
rea de estudo e ano de ingresso. Fonte: Dados Fictcios Exemplo
6.7:Grfico para o exemplo 6.2 Figura 6.4: Nmero de defeitos em uma
mquina industrial durante o perodo de 30 dias. 3)Grfico de Pareto O
grfico de Pareto composto por colunas e por uma curva representando
a percentagem
acumulada.Asbarrasestodisponveisemordemdecrescente,tornandoevidenteapriorizao
de temas. Este grfico muito utilizado na rea de Controle de
Qualidade. 11 Exemplo 6.8: (Werkema, vol. 2): Uma indstria
fabricante de lentes tem como objetivo resolver o seguinte
problema: aumento do nmero de lentes defeituosas produzidas pela
empresa a partir
defevereirode1995.Aempresaclassificouumaamostradelentesfabricadasduranteuma
semana de produo de acordo com os tipos de defeitos detectados. O
resultado est na tabela a seguir:
Tabela6.8:Defeitosencontradosemumaamostradelentesfabricadasduranteumasemanade
produo de uma indstria em 1200 lentes inspecionada. Tipo de
DefeitoQuantidade Arranho12 Trinca41 Revestimento Inadequado55
Muito Fina ou Muito Grossa11 No Acabada05 Outros03 Total127 Fonte:
Dados fictcios
UmamaneiraderepresentarmosgraficamenteestesdadosatravsdogrficodePareto,para
quesejapossvelidentificarcommaisfacilidadeodefeitoqueapareceucommaiorfrequncia.
ParaconstruirmosogrficodeParetonecessrioobtermosaplanilhadedadosmostradana
tabela a seguir. Tabela 6.9: Planilha de dados para construo de
grfico de Pareto. Tipo de defeitoQuantidade de defeito Total
acumulado Percentagem do total geral (%) Percentagem acumulada
Revest. Inadeq.555543,343,3 Trinca419632,375,6 Arranho121089,485,0
Fina ou Grosa111198,793,7 No- Acabada51243,997,6 Outros31272,4100,0
Total127/100/ Fonte: Dados fictcios Na Tabela 6.9 os tipos de
defeitos foram listados em ordem decrescente de quantidade na
coluna 1, a quantidade de defeitos aparece na coluna 2 e o total
acumulado est na coluna 3. Nas colunas
4e5estoaspercentagenstotaiseaspercentagensacumuladasrespectivamente.Asbarrasdo
grfico de Pareto foram construdas a partir dos dados da coluna 2 e
a curva acumulada conhecidacomo curva de Pareto, foi traadaa partir
dos nmeros da coluna 5. 12 OutrosN o AcabadaMuito Fina ou Muito
GrossaArranh oTrincaRevestimento Inadequado 3 5 11 12 41 55 2.4 3.9
8.7 9.4 32.3 43.3100.0 97.6 93.7 85.0 75.6
43.3100500100806040200DefeitosQuantidadePercentagemPerc.
AcumuladaAcumuladaPercentagemControleGrfico de Pareto para os
defeitos de lentes
ObservandoaFigura6.5,foiimediatoparaindstriaperceberqueosdoistiposdedefeitos
maisfrequentes,Revestimentoinadequadoetrinca,representavam75,6%dosdefeitos
detectadosnaslentesproduzidaspelaempresa.Portanto,Revestimentoinadequadoetrinca
foramconsideradososdefeitosmaisimportantes,quedevemsereliminadosemprimeirolugar
essetipodedefeitochamadodepoucosdefeitosvitais,enquantoqueosoutrosrepresentam
apenas os muitos defeitos triviais, pois representam a minoria das
observaes. 4)Grfico em linhas ou curvas
Utilizadoparadescreversriestemporaisquesodadosobservadoseminstantesordenadosdo
tempo. Exemplo 6.9:Tabela 6.10: ndice de Produto IndustrialBrasil
1979. MesesIPI Janeiro18.633 Fevereiro17.497 Maro19.470 Abril18.884
Maio20.308 Junho20.146 Julho20.258 Agosto21.614 Setembro19.717
Outubro22.133 Novembro20.503 Dezembro18.800 Fonte: FIBGE Figura
6.5: 13 Figura 6.6: ndice de Produto Industrial Brasil 1979. Fonte:
FIBGE 5)Grfico em setores Exemplo 6.10:Tabela 2.11: Percentual de
funcionrios da Companhia Milsa segundo regio de procedncia
ProcednciaPercentual Interior33,30 Capital30,60 Outro36,10 Fonte:
Bussab e Morettin (2002) Figura 6.7: Percentual de funcionrios da
Companhia Milsa segundo regio de procedncia. Fonte: Bussab e
Morettin (2002) 14 6)Histograma Quando os dados esto agrupados em
intervalos de classes, o grfico mais apropriado
ohistograma.Nocasodeclassesdemesmaamplitude,construdoumretnguloparacada
classe,combaseigualamplitudedointervaloclasseealturaproporcionalafrequnciada
classe. Neste caso, altura ~ frequncia (absoluta ou relativa)
Quando temos classes com amplitudes diferentes, devemos construir
um retngulo para cada classe, com base igual amplitude do intervalo
de classe e altura dada por: Note que, neste caso, a rea do
retngulo igual a frequncia da classe. A altura d definida acima
chamada de densidade de frequncia. Exemplo 6.11: Histograma para a
distribuio de frequncia do exemplo 6.3.
Figura 6.8: Rendimento, em porcentagem, de uma Reao para Produo
de uma Substncia Qumica. Fonte: Dados fictcios
Exerccio:Asespecificaesestabelecemumlimiteinferiorparaorendimentoiguala78%.A
partirdeumhistograma,vocacreditaqueoprocessoestsatisfazendoaespecificao?
Justifique. classe daamplitudefrequncia d =15 6.2.1.Cuidados na
representao grfica Fonte: Dados fictcios H vrios problemas com este
grfico. Ele impressiona mais pela tecnologia utilizada do que pela
informao que passa para o leitor. Os dados no so tridimensionais.
As grades do fundo mais o efeito tridimensional distraem a viso e
dificultam comparaes entre trimestre e regies. Uma forma de
melhorar o grfico dar-lhe a dimenso correta. As linhas de grade. No
utilize faixas horizontais, verticais ou similares, que s
atrapalham a viso do leitor. Faa mais de um grfico at encontrar um
que seja informativo, claro, e que no possua objetos desnecessrios.
16
Noapresentegrficossuprfluos.Seretirarmosafiguraabaixo,todaainformao
podersertransmitidatextualmente,comumasimplesfrase:20%dasrespostasforam
positivas e 80% negativas. Observe que o efeito 3-D dificulta o
julgamento das porcentagens relativas de cada categoria da varivel.
A retirada do efeito 3-D ajudar o leitor a julgar melhor as
propores relativas observadas em cada amostra. 7.MEDIDAS DE POSIO
CENTRAL As distribuies de frequncias e os grficos fornecem mais
informaes sobre o comportamento de uma varivel do que a prpria srie
original de dados. Mas, queremos resumir ainda mais esses dados.
Com esse objetivo usaremos mtodos da Estatstica Descritiva que
ensinam a reduzir a informao contida em uma grande quantidade de
dados a um pequeno nmero de medidas, substitutas e representantes
daquela massa de dados. Vamos agora estudar as medidas da
Estatstica Descritiva, agrupadas em medidas de posio (ou de locao
ou de localizao) central: mdia, mediana e moda. Exemplo de aplicao:
(Azulejos) Uma fbrica de azulejos nos ltimos meses passou a receber
reclamaes de seus clientes. A maioria das reclamaes era relativa
aos seguintes problemas: 17 Os azulejos, ao serem manuseados,
quebravam-se facilmente.
Oassentamentodosazulejos,quandoerautilizadaargamassa,noproduziaumresultado
uniforme em relao ao nvel da parede. Em vista dessa situao, a
indstria decidiu formar um grupo de trabalho para resolver esses
problemas. Na etapa de identificao do problema, o grupo de trabalho
concluiu que a produo de azulejos com espessura no adequada poderia
estar provocando as reclamaes dos clientes. Esta concluso resultou
do conhecimento dos seguintes fatos: Azulejos com espessura muito
fina quebram-se facilmente.
Afaltadeuniformidadenaespessuradosazulejosprovocadificuldadesduranteoseu
assentamento.
Paraavaliarseestavamocorrendoproblemascomaespessuradosazulejosproduzidos,o
grupodecidiuretirarumaamostraaleatriadosazulejosfabricadospelaempresa,medira
espessuradestesazulejosecompararosresultadosobtidoscomasespecificaes.Comoa
empresaempregavaduasturmasdetrabalho(turmasAeB)epoderiahaverdiferenana
qualidadedosazulejosproduzidosporcadaturma,foiutilizadaumaestratificao,sendoento
retiradaumaamostrade80azulejosproduzidospelaturmaAe80fabricadospelaturmaB.Os
dados coletados, j ordenados, esto na Tabela 7.1.
Aoobservarmosoconjuntodedadosjfazemosalgumaideiasobreocomportamentodas
duasturmasdetrabalho,emtermosdaespessuradosazulejosqueproduzem.Entretanto,
claramentenecessitamoscalcularalgumasmedidasqueresumamainformaocontidanos
dados.Vamoscomeartentandoresponder:QualovalortpicodaturmaA?EdaturmaB?A
primeira ideia para obter um valor tpico a de calcular uma mdia.
Tabela 7.1: Medidas da Espessura (mm) de 160 Azulejos do Estoque
(dados ordenados). TURMA ATURMA B 2,33,13,84,54,95,65,86,2
2,43,13,94,54,95,65,86,2 2,43,33,94,55,05,65,86,3
2,43,33,94,55,15,75,86,3 2,63,44,04,55,15,75,96,4
2,73,44,04,65,15,75,96,4 2,73,54,04,65,35,75,96,4
2,83,54,04,75,35,75,96,4 2,83,54,04,75,35,75,96,4
2,83,54,14,95,35,75,96,5 2,93,54,14,95,35,76,06,5 18
2,93,54,15,15,35,76,06,5 2,93,64,25,25,35,76,06,5
3,03,64,25,45,45,76,16,6 3,03,74,25,45,45,76,16,7
3,03,74,35,55,45,76,16,7 3,13,74,35,65,45,86,16,7
3,13,74,35,65,45,86,16,8 3,13,84,45,75,55,86,26,9
3,13,84,45,95,55,86,27,0 Fonte: Dados fictcios 7.1. Mdia aritmtica
simples A mdia aritmtica simples de n nmeros nx x x ,..., ,2 1 um
valorxtal que x n x ... x x x ... x xn= + + + = + + +2 1 logotemos
que, nxnx x xxniin==+ + +=1 2 1... Podemos pensar na mdia aritmtica
como o valor tpico do conjunto de dados e considerada a principal
medida de posio central. Algumas das razes que fazem com que seja a
medida de posio mais recomendada so: definida rigorosamente e pode
ser interpretada sem ambigidades; Leva em considerao todas as
observaes efetuadas;Calcula-se com facilidade.
Entretanto,estamedidaapresentaalgunsinconvenientescomoofatodesermuitosensvela
valoresextremos,isto,avaloresexcessivamentepequenosouexcessivamentegrandes,em
relao s demais observaes do conjunto de dados.
Exemplo7.1Estamosinteressadosemconhecerosalriomdiomensaldecertaempresacom
cincofuncionrios.Temososeguinteconjuntodesalriosmensais,emreais:123-145-210-
225 - 2.500. Podemos observar que quatro dos cinco salrios
apresentam valores entre 123 e 225 reais, porm a mdia salarial de
640,6 reais bastante distinta desse conjunto pela influncia do
salrio de 2.500 que puxou o valor mdio para cima.
Emalgumassituaes,osnmerosquequeremossintetizartmgrausdeimportncia
diferentes.Utiliza-seentoumamdiaponderada.Vamosveraseguiradefiniodamdia
aritmtica ponderada. 19 Amdia aritmtica ponderada dos nmeros nx x x
,..., ,2 1, n com pesos p1, p2, ..., pn definida por ===niinii
ipp.p xx11 , ou simplesmente por=px.px p . Obs: Quando os dados
esto agrupados por frequncias (absolutas ou relativas) os
ponderadores sero as frequncias. Exemplo 7.2: Em um grupo de
pessoas, 70% so adultos e 30% so crianas. O peso mdio dos adultos
70 kg e o peso mdio das crianas 40 kg. Qual o peso mdio do grupo?
Soluo: a mdia aritmtica ponderada dos dois subgrupos. A resposta kg
613 0 7 03 0 40 7 0 70=+ + =, ,, ,xp Exemplo de aplicao: (Azulejos)
Para responder questo do valor tpico da espessura dos azulejos
produzidos pelas Turmas A e B calculamos ento as mdias aritmticas,
pois o desejado obter a espessura mdia M tal que se a espessura de
cada azulejo fosse sempre igual a M a soma total seria a mesma.
Resumindo em uma tabela as mdias aritmticas (em mm), temos: Tabela
7.2: Valor da mdia aritmtica por turma para dados da espessura dos
azulejos TurmaMdia aritmtica A3,8575 B5,8725
Observandoasmdiasaritmticasdasamostrasobservadas,pareceexistirdiferena,emtermos
mdios, entre as espessuras dos azulejos que esto sendo
continuamente produzidos pelas turmas A e B. 7.2. Moda
Amodaoutramedidadelocao,masdiferentementedamdia,noutilizaemseuclculo
todos os valores do conjunto de dados analisado. 20 A moda o valor
que ocorre com maior frequncia no conjunto de dados. Notao: Mo =
moda Exemplo 7.3:a) X = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7}Mo = 5 b) Y = {10,
12, 17, 21, 32}Mo = no existe, a distribuio amodal. c) Z = {2, 2,
5, 5, 7, 7}Mo = no existe
d)W={10,12,12,12,13,13,15,18,18,18,21}Adistribuioapresentadoisvalores
modais: 12 e 18 (distribuio
bimodal).Obs:Amodaanicamedidadeposiocentralquepodeserusadaemtabelascom
variveis qualitativas.Quando o conjunto de dados apresenta mais de
uma moda damos o nome de distribuio plurimodal.
Amodaumamedidamaisadequadaaocasodedadosagrupados.Quandoadistribuiode
frequncias est organizada por classes de valores, devemos
identificar a classe modal (classe em que observamos a maior
frequncia). O ponto mdio da classe modal ser o valor estimado para
a moda que denominada moda bruta. 2inf ihl Mo + =em que: linf =
limite inferior da classe modal; hi = amplitude da classe modal; No
caso de dados no agrupados, a moda nem sempre tem utilidade com
elemento representativo ou sintetizador do conjunto. Consideremos
por exemplo o seguinte conjunto de dados: Tabela 7.3: Quantidade de
operrios das empresas de telemarketing na cidade de Salvador -
2010. Quantidade de operrios Quantidade de empresas 71 111 151 172
191 211 253 Fonte: Dados fictcios 21
Deacordocomadefinioamoda25,entretantoestevalornorepresentativodo
conjunto de dados e, portanto a moda no uma boa medida de locao
neste caso. Exemplo de aplicao: (Azulejos) Para obtermos a moda
bruta necessrio construir uma distribuio de frequncia.(nmero de
classes definido arbitrariamente) Tabela 7.4: Espessura (em mm) dos
azulejos fabricados pela Turma A EspessuraNmero de azulejos 2,25
2,757 2,75 3,2515 3,25 3,7516 3,75 4,2517 4,25 4,7514 4,75 5,254
5,25 5,756 5,75 6,251 Fonte: Dados fictcios Tabela 7.5: Espessura
(em mm) dos azulejos fabricados pela Turma B. EspessuraNmero de
azulejos 4,75 5,256 5,25 5,7530 5,75 6,2526 6,25 6,7515 6,75 7,253
Fonte: Dados fictcios Resumindo em uma tabela os valores modais (em
mm), temos: Tabela 7.6: Valor da moda por turma para dados da
espessura dos azulejos. TurmaModa A4,0 B5,5 7.3.
MedianaDefinio:Chamamosdemedianaoelementodoconjuntoqueocupaaposiocentralna
distribuioordenada(crescenteoudecrescente).Isto,divideadistribuioemduaspartes
22
iguaisdemodoque50%dosvaloresobservadossoinferioresaovalormedianoe50%
superiores a esse valor. A notao usada ser Md = mediana. Notao:
X(i)= elemento que ocupaai-sima posio da srie ordenada. n =nmero de
elementos da srie. 1)2X XMd12n2n||
\|+ ||
\|+=, n par 2)|||
\| +=21 nX Md, n mpar
Amedianaumamedidadeposioresistente,poispoucoafetadapormudanasdepequena
poro dos dados, ao contrrio da mdia aritmtica que sensvel a valores
atpicos.
Exemplo7.4:Comparaoentreamdiaaritmticaeamedianaparaosconjuntosdesalrios
(em reais) dados. X = { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510} X=
345,7;MdX = 300.Y = { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2.300} Y=
601,0;MdY= 300. Podemos observar que no caso do conjunto Y a mdia
no sintetiza adequadamente o conjunto de dados, pois apenas um
valor superior a ela. Exemplo de aplicao: (Azulejos)
Asmesmascomparaesfeitasparaamdiapodemserfeitasparaamedianaparaonosso
conjunto de dados. Resumindo em uma mesma tabela as mdias e as
medianas (em mm), temos: Tabela 7.7: Medidas- resumo por turma para
dados da espessura dos azulejos TurmaMdia aritmticaMediana
A3,8573,8 B5,8655,8 Fonte: Dados fictcios Para ambas as turmas, a
mdia aritmtica e a mediana apresentam valores semelhantes. A
medianaindicaque50%dosazulejosproduzidospelaturmaAestocomespessurainferiora
3,8mm e 50% dosproduzidos pela turma B apresentam espessuras
superior a 5,8mm. 23 7.4. Indicaes para utilizao das trs principais
medidas de posio central Vimos que as trs principais medidas de
posio - a mdia aritmtica, a mediana e a moda - tm o mesmo objetivo:
determinar um valor tpico do conjunto de dados. Surge, ento, a
seguinte questo: quando deveremos utilizar cada uma dessas medidas?
De maneira geral, a moda a menos empregada e a mais difcil de
calcular satisfatoriamente. No entanto, adequada para caracterizar
situaes onde estejam em causa os casos ou valores mais
usuais.Porexemplo,emestudosdemercado,oempresriopodeestarinteressadonasmedidas
que mais se vendem. Correntemente a escolha feita entre a mdia e a
mediana, dependendo da natureza do problema a estudar e de outros
fatores, muitos dos quais no podem abordar-se a nvel elementar. A
mediana tem vantagem: mais resistente do que a mdia, isto , a
alterao drstica de um s valor do conjunto de dados reflete-se
substancialmente no valor da mdia e pode no refletir-se, ou
refletir-se muito pouco, no valor da mediana.
Amdiatemvantagens:quandoacurvadefrequnciastemformadesino,maisoumenos
simtrica, com abas decaindo rapidamente (valores errticos muito
improvveis), a mdia mais
eficientedoqueamediana;amdiaumafunolineardasobservaes,propriedadeque
tambm pode pesar na sua adoo.
Porfim,umavantagemdamedianaedamodaemrelaomdiaaritmticaqueestaltima
nopodesercalculadaquandoocorremclassesdefrequnciascomlimitesindefinidos(classes
abertas).Entretanto,nestasituao,amodaeamedianapodemserencontradassemqualquer
dificuldade. 8. SEPARATRIZES
Asseparatrizessomedidasquepermitemcalcularmosvaloresdavarivelquedividemou
separamadistribuioempartesiguais.Temostrstiposdeseparatrizes,tambmchamadasde
quantis: os quartis; os decis; e os percentis. 24
Asmedidasdeposiodenominadasquartis,decisepercentistmconstruoanlogaada
mediana.Enquantoamedianaseparaadistribuioemduaspartesiguais,acaracterstica
principal de cada uma dessas medidas : Quartis: dividem a
distribuio em quatro partes iguais; Decis: dividem em dez partes
iguais;Percentis: dividem em cem partes iguais. Notaes: Qi =
quartil de ordem i; Di = decil de ordem i; Pi = percentil de ordem
i Observaes: i)Temos a seguinte igualdade: C50 = D5 = Q2 = Md ii)O
clculo para os decis e os percentis anlogo ao dos quartis. iii) O
intervalo interquartil ou interquartlico, definido por (Q1; Q3),
contm 50% do total de observaes localizadas mais ao centro da
distribuio. iv)Podemos tambm ter idia sobre a forma da distribuio
utilizando apenas seus quartis: Se (Md - Q1) < (Q3 - Md)=>
assimetria direita ou positiva; Se (Md - Q1) > (Q3 - Md)=>
assimetria esquerda ou negativa; Se (Md - Q1) = (Q3 - Md)=>
distribuio simtrica;
AsFigurasaseguirilustramumadistribuiosimtricaedistribuiesassimtricas,
respectivamente.Figura 7.1: Distribuio Simtrica:X=Md=Mo Fonte:
Bussab e Morettin (2002) 25 Figura 7.2: Distribuies
Assimtricas:
Mo MdX
X Md Mo Fonte: Bussab e Morettin (2002) Clculo dos percentis
Aposiodopercentildeordeminoconjuntodedadosordenadoserdefinidacomo:
100n. i Posi= , em que Posi = posio do percentil de ordem i; e n =
nmero de elementos da srie 1)Se Posi = valor inteiro, ento o
percentil definido como a mdia dos valores que ocupam a posio Posi
e Posi + 1. 2)Se Posi = valor no inteiro, ento o percentil definido
como o valor que ocupa a posiou + 1 , em que u = inteiro mais
prximo que seja menor que Posi . Exemplo 8.1: Calcule Q1para o
seguinte conjunto de dados: 212318252428 Resoluo: Lembrar que Q1
corresponde ao percentil de ordem 25. 1. Ordenar os
valores:182123242528 2. Pos25 = 25 (6/100) = 1,5 (valor no inteiro)
u = 1 e portanto o Q1 o valor que ocupa a 2 posio na srie ordenada.
Portanto, Q1 = 21 Exemplo de aplicao: (Azulejos) Verificar por meio
dos quartis o tipo de assimetria para os dados de espessura de
azulejos. MedidasTurma ATurma B Q1 3,105,55 Md3,805,80 Q34,456,20
Md Q1 0,700,25 Q3 Md0,650,40 Assimetria NegativaPositiva 9. MEDIDAS
DE DISPERSO Exemplo 9.1: Duas mquinas foram reguladas para encher
cada pacote de caf com 500g. Com o
objetivodeverificararegulagemdessasmquinas,umfiscaldereaanotouopesodos5
26
primeirospacotesproduzidosporcadamquinaecalculouopesomdiodospacotes.Os
resultados encontram-se abaixo: Mquinas Peso dos pacotesPeso mdio
12345 A500497498500495498 B490500505510495500
Observandoapenasopesomdiodospacotes,poderamosconcluirqueamquinaB
apresentoumelhordesempenhodoqueA.Porm,quandoobservamoscadainformao
separadamente,verificamosqueopesodospacotesvindosdamquinaAvariouentre495e
500g,enquantoqueodaBvariouentre490e510g.IstoquerdizerqueamquinaAencheos
pacotes mais uniformemente que a mquina B.
Asmedidasdedispersoservemparaavaliarograudevariabilidadedosvaloresdeum
conjunto de dados. Estas medidas permitem estabelecer comparaes
entre fenmenos de mesma
naturezaoudenaturezadistintae,emgeral,essavariabilidadeobservadaemtornodeuma
medida de posio central. Essas medidas podem ser absolutas ou
relativas. 9.1. Amplitude total ( medida de disperso absoluta)
Definio:Aamplitudetotaldeumconjuntodenmerosadiferenaentreosvalores
extremos do conjunto. Notao: AT = Amplitude Total Exemplo 9.2:
Calcular as amplitudes totais do exemplo anterior e identificar
qual a mquina que apresentou a menor disperso no peso dos pacotes
de caf. Resoluo:A : AT = 500 - 495 = 5 gramas; B: AT = 510 - 490 =
20 gramas; A mquina A apresentou uma menor variabilidade nos pesos
dos pacotes de caf. Observaes: 1) A amplitude total a medida mais
simples de disperso. 2)
Adesvantagemdestamedidadedispersoquelevaemcontaapenasosvaloresmnimoe
mximodoconjunto.Seocorrerqualquervariaonointeriordoconjuntodedados,a
amplitude total no nos d qualquer indicao dessa mudana. 3) A
amplitude total tambm sofre a influncia de um valor "atpico" na
distribuio (um valor muito elevado ou muito baixo em relao ao
conjunto). 27 Exemplo de aplicao: (Azulejos) Vamos observar no
nosso conjunto de dados as mdias aritmticas e as amplitudes totais
(ranges)
paratermosumaprimeiraideiasobreavariabilidadedasespessurasdosazulejosparaas
diferentes turmas. Tabela 9.1: Medidas-resumo para dados da
espessura dos azulejos. TurmaMdia aritmticaAmplitude total
A3,85753,6 B5,87252,1 Podemos observar que a amplitude total para a
turma B menor que a da turma A. 9.2. Desvio-padro amostral (medida
de disperso absoluta)
Vejamosaseguinteilustrao:Cincopessoassolevadasaumlaboratrioparamedirsuas
respectivas taxas de colesterol. O laboratrio sugere utilizar dois
mtodos diferentes de medio para efeitos de controle. Os resultados
so dados abaixo: X =200 ** * * * 177 193 195209 226
*****192196 201204 207 Pode-se observar que em mdia os mtodos de
medio do colesterol so iguais porm, se
analisarmosmelhorosdadospercebemosquenomtodoAosvaloresestomaisafastadosda
mdiadoquenomtodoB.Estefato,noslevaapensarnumamedidaquepossaavaliara
dispersodosdadosemtornodesuamdia.Talmedidaconhecidacomodesviopadroe
veremos sua definio a seguir. Notao: s=desvio-padro Definio:Sejamx
x xn 1 2, ,..., ,nvaloresqueavarivelXassume.Odesviopadroamostral
definido como: ( )112==nx xSnii Exerccio: Calcule o desvio padro
para as taxas de colesterol: mtodo A e mtodo B. SA = 18,43909SB=
6,041523 Exemplo de aplicao: (Azulejos) Mtodo A Mtodo B 28
Damesmamaneiraquetrabalhamoscomaamplitudetotal,vamosobservarnonosso
conjunto de dados as mdias aritmticas e os desvios padres (S) para
termos uma primeira idia sobre a variabilidade nas espessuras dos
azulejos produzidos pelas turmas A e B. Tabela 9.2: Medidas-Resumo
para dados da espessura dos azulejos. TurmaMdia AritmticaDesvio
Padro A3,85750,8706 B5,87250,4802 Podemos observar que a Turma B
apresenta maior mdia que a da turma A e alm disso a sua
variabilidade menor. Parece queesta turma atinge mais os objetivos,
ou seja, uniformidade na espessura (menor disperso) e azulejos com
espessura mais grossa. 9.3. Varincia( medida de disperso absoluta)
Definio: A varincia o quadrado do desvio padro.Notao:s2 Observaes:
i)
Odesviopadrotemaunidadedemedidaigualaunidadedemedidaoriginaldavarivel,
enquanto que a varincia apresentar a unidade de medida elevada ao
quadrado. ii)Ao trabalharmos com os dados de toda a populao
calculamos a varincia e o desvio padro populacional dividindo por N
(tamanho da populao) e no por N-1. 9.4. Coeficiente de variao de
pearson (medida de disperso relativa) Quando se deseja comparar a
variabilidade de duas ou mais distribuies, mesmo quando essas se
referemadiferentesfenmenosesejamexpressasemunidadesdemedidadistintas,podemos
utilizar o coeficiente de variao de Pearson (medida de disperso
relativa). Notao: CV = coeficiente de variao de Pearson ou apenas
coeficiente de variao.
Definio:Ocoeficientedevariaoparaumconjuntodenobservaesdefinidocomoo
quociente entre o desvio padro e a mdia aritmtica da distribuio. CV
=SX, 29 em que S = desvio padro amostral. Observe que esta uma
medida adimensional. Normalmente expressa em porcentagem. Exemplo
de aplicao:(Azulejos) Considerando o exemplo anterior para
calcularmos o coeficiente de variao: Tabela 9.3: Medidas-Resumo
para dados da espessura dos azulejos. TurmaMdia AritmticaDesvio
PadroCoeficiente de Variao (%) A3,85750,870622,57
B5,86500,485508,28 Os azulejos produzidos pela turma B so mais
homogneos quanto a espessura. 10. Box-plot O Box-plot um mtodo
alternativo para representar os dados e est ilustrado na Figura
10.1.
OBox-plotforneceinformaessobreasseguintescaractersticasdeumconjuntodedados:
locao, disperso, assimetria e outliers (observaes discrepantes). O
centro da distribuio indicado pela linha da mediana. A disperso
representada pela altura do retngulo (Q3-Q1), o qual contm 50% dos
valores do conjunto de dados. A posio da
linhamediananoretnguloinformasobreaassimetriadadistribuio.Umadistribuio
Mediana Quartil 3 Quartil 1 Ponto exteriorMximo Mnimo Figura 10.1
Box Plot 30 simtrica teria mediana no centro do retngulo. Se a
mediana prxima de Q1 ento os dados so
positivamenteassimtricos.SeamedianaprximadeQ3osdadossonegativamente
assimtricos.OsvaloresforadeQ11,5(Q3-Q1),denotadoporlimiteinferior,eQ3+1,5(Q3-Q1),
denotadoporlimitesuperior,geralmentesochamadosdepontosexterioresedevemser
investigadoscomopossveisoutliersouvaloresatpicos.Pontosexterioresnoso
necessariamente outliers, mas um outlier usualmente aparece no
grfico como um ponto exterior. Exerccio de aplicao: (Azulejos)
Observemos os Box plots para as turmas A e B. Temos que
paraturmaA,olimiteinferiorQ11,5(Q3-Q1)=3,1-1,5(4,45-3,1)=1,075eolimitesuperiorQ3+1,5(Q3-Q1)=4,45+1,5(4,45-3,1)=6,475.EparaaturmaB,olimiteinferior5,55-1,5(6,2-5,55)=4,575eosuperior6,2+1,5(6,2-5,55)=7,175.Ento,nohpontosexteriores.OsBox-plots
correspondentes as turmas A e B esto na Figura 6.2. Podemos
perceber que a distribuio
daespessuradosazulejosfabricadospelaturmaAaparentementeapresentaassimetrianegativa.
Enquanto que para a turma B observa-se assimetria positiva. Figura
10.2: Box-plot para as espessuras (mm) dos azulejos por turma 31
Observaes sobre a construo e interpretao de Box-plots:
1.Quandoadistribuiodosdadossimtrica,alinhaquerepresentaamedianaestar
localizadamaisoumenosnocentrodoretnguloeasduaslinhasquepartemdas
extremidades do retngulo tero aproximadamente os mesmos
comprimentos.2.De modo geral, quando a distribuio dos dados
assimtrica direita, a linha que representa
amedianaestarmaisprximadeQ1doquedeQ3.Istoaconteceporqueametadeinferior
dosdadosestdispersaemumafaixadecomprimentomenorqueocomprimentodaregio
ocupada pela metade superior do conjunto de dados.
3.Quandoadistribuiodosdadosassimtricaesquerda,alinhaquerepresentaamediana
estarmaisprximadeQ3doquedeQ1.Istoaconteceporqueametadesuperiordosdados
estdispersaemumafaixadecomprimentomenorqueocomprimentodaregioocupada
pela metade inferior do conjunto de dados. 4.O Box-plot tambm pode
ser desenhado na posio vertical. 5.Os Box-plots so muito teis para
a comparao de dois oumais conjuntos de dados.
Exercciodeaplicao:(Azulejos).Utilizandoagoratodososnovosconhecimentosquevoc
adquiriu, responda:
a)Sabendoqueoslimitesdeespecificaoparaaespessuradosazulejosso(5,01,5)mm,
vocconsideraqueaespessuranoadequadadosazulejospodeestarprovocandoas
reclamaes dos clientes? Por que? b)
formadohistogramaconstrudoparatodososdadosconsideradosemconjuntoest
indicandoquepodehaverdiferenanaqualidadedosazulejosproduzidosemdiferentes
nveis dos fatores de manufatura do processo de fabricao dos
azulejos? Por qu?
c)Vocconsideraqueasduasturmastrabalhamdomesmomodoouexistediferenaentrea
qualidade dos azulejos produzidos pelas duas turmas? Justifique sua
resposta. d)O problema de quebra dos azulejos parece ser comum aos
azulejos produzidos por ambas as turmas de trabalho da empresa ou
parece estar associado a uma turma especfica? Por que?
e)Oproblemadefaltadeuniformidadenoassentamentodosazulejosparecesercomumaos
azulejos fabricados porambas as turmas de trabalho da empresa ou
parece estarassociadoa uma turma especfica? Por que? 32 5 LISTA DE
EXERCCIOS Elaborada pelos professores: Giovana Silva, Maurcio
Lordelo, Rosana Castro Revisada: Giovana Silva
1)Classifiquecadaumadasvariveisabaixoemqualitativa(nominal/ordinal)ouquantitativa
(discreta/contnua):
a)Ocorrnciadehipertensoarterialemgrvidascommaisde35anos(simounosopossveis
respostas para esta varivel).
b)Intenodevotoparapresidente(possveisrespostassoosnomesdoscandidatos,almde
indeciso). c)Perda de peso de maratonistas na Corrida de So
Silvestre, em quilos. d)Intensidade da perda de peso de
maratonistas na Corrida de So Silvestre (leve, moderada, forte).
e)Grau de satisfao da populao brasileira com relao ao trabalho de
seu presidente (valores de 0 a 5, com 0 indicando totalmente
insatisfeito e 5 totalmente satisfeito). 2)Um questionrio foi
aplicado aos dez funcionrios do setor de contabilidade de uma
empresa fornecendo os dados apresentados na tabela: FuncionrioSexo
Curso (completo) IdadeSalrio (R$) Anos de empresa
1masculinosuperior341100,005 2femininosuperior431450,008
3femininomdio31960,006 4masculinomdio37960,008
5masculinomdio24600,003 6femininomdio25600,002
7masculinomdio27600,005 8femininomdio22450,002
9masculinofundamental21450,003 10femininofundamental26450,003
a)Classifique cada uma das variveis; b)Faa uma representao grfica
para a varivel curso; c)Faa uma tabela para a varivel curso por
sexo. 3)Uma empresa do ramo automobilstico apresentou nos ltimos
anos os seguintes dados: AnoVeculos VendidosGastos com propaganda
(R$)Renda per capita (US$) 19901160021713429 19911549722835455
19921781793585482 19932330115566514 19942957257251556
19953435338146596 19963793709148632 Fonte: Dados fictcios
a)represente graficamente cada srie separadamente; 33
b)analisandoessastabelasegrficospode-seconcluirqueosgastoscompropagandaforam
compensados com o aumento da quantidade de veculos vendidos?
Justifique.
4)Umaindstriaautomobilsticaverificouque,nosltimosmeses,ocorreuumaumentononmerode
reclamaes sobre a ocorrncia de defeitos no suporte da lanterna
traseira de um modelo de automvel
porelafabricado.Aempresadesejavaeliminarestasituaoindesejveleparaistoiniciouestudos
paramelhorarresultados.Naetapadeidentificaodoproblema,ostcnicosdaindstria
classificaramonmerototaldepeasdefeituosasencontradasemumaamostradepeasproduzidas
durante uma semana de trabalho, segundo os tipos de defeitos que
foram detectados. Os dados obtidos so apresentados na tabela
abaixo.
Defeitosencontradosemumaamostradesuportesdalanternatraseiradeummodelodeautomvel
durante uma semana de produo de uma indstria. Tipo de defeito
Quantidade de defeitos Moldagem solta14 Solda quebrada01 Centro da
moldagem deslocado04 Lateral da moldagem deslocada24 Moldagem
arranhada01 Moldagem dentada44 Plstico arranhado07 Limpeza
incompleta79 Orifcio deslocado01 Pino deslocado05 Total180
a)Construa um grfico adequado para esta srie. b)Identifique os
tipos de defeitos que os tcnicos da empresa deveriam atacar em
primeiro lugar, com o objetivo de melhorar os resultados que vinham
sendo obtidos pela indstria. Justifique sua resposta. 5) De acordo
com uma pesquisa, v-se que dos 36 empregados da seo de oramentos da
Cia. Milsa, 12
tmoprimeirograudeeducao,18osegundoe6possuemttulouniversitrio.Apresenteesta
distribuio em uma tabela (com as propores)e em um grfico.
6)Umaempresaprocurouestudaraocorrnciadeacidentescomseusempregados,tendo,paraisso,
realizadoumlevantamentoabrangendoumperodode36meses,ondefoiobservadoonmerode
operrios acidentados para cada ms. Os dados correspondentes so:
122333344444 555555566666 6777778889910 a)Construa uma distribuio
de freqncia adequada; b)Represente graficamente a distribuio do
item a; 34 c)Em qual porcentagem de meses houve, exatamente, seis
acidentes? d)Em qual porcentagem de meses houve at quatro
acidentes? 7)Contou-se o nmero de erros de impresso da primeira
pgina de um jornal durante 50 dias, obtendo-se os resultados
abaixo: 081108121413111414050610 141306120705080810161012
120811060712071014051207 091211091408140812101213 0715 a)Construa
uma distribuio de freqncia adequada; b) Represente a distribuio
graficamente; c)Calcule o nmero mdio de erros de impresso por
primeira pgina; d)Calcule a mediana; e)Determine a moda.
8)AdistribuiodefreqnciasdosalrioanualdosmoradoresdobairroAquetmalgumaformade
rendimento apresentada na tabela abaixo: Faixa Salarial (x10
S.M.)fi 0 210.000 2 43.900 4 62.000 6 81.100 8 10800 10 12700 12
142.000 a)Construa um histograma da distribuio e identifique o tipo
de assimetria; b)A mdia uma boa medida para representar estes
dados? Justifique sua resposta. 9)Os dados abaixo se referem ao
dimetro, em polegadas, de uma amostra de 40 rolamentos de esferas
produzidas por uma companhia:
0,7380,7290,7430,7400,7360,7410,7350,7310,7260,7370,7280,737
0,7360,7350,7240,7330,7420,7360,7390,7350,7450,7360,7420,740
0,7280,7380,7250,7330,7340,7320,7330,7300,7320,7300,7390,734
0,7380,7390,7270,735 a)construa uma tabela de distribuio de
frequncia por intervalos de classe; b)represente graficamente a
distribuio do item a. 10) Coloque V(verdadeiro) e F(falso) e
justifique: a)() 50% dos dados de qualquer amostra situam-se acima
da mdia; 35 b)() Numa turma de 50 alunos onde todos tiraram a nota
mxima, o desvio padro zero;
c)()Quandoqueremosverificaraquestodeumaprovaqueapresentoumaiornmerodeerros,
utilizamos a mdia; d)() Somando-se (ou subtraindo-se) um valor
constante e arbitrrio a cada um dos elementos de um conjunto de
dados, a mdia aritmtica fica adicionada (ou subtrada) dessa
constante. e)() Multiplicando-se (ou dividindo-se) umvalor
constante e arbitrrio a cada um dos elementos de um conjunto de
dados, a mdia aritmtica fica multiplicada (ou dividida) por essa
constante. f) () Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e
arbitrrio a cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio
padro fica adicionado (ou subtrado) dessa constante. g)()
Multiplicando-se (ou dividindo-se) umvalor constante e arbitrrio a
cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padro fica
multiplicado (ou dividido) por essa constante. 11)Na companhia A, a
mdia dos salrios 10.000 unidades e o 750 percentil 5.000.
Justifique. a)Se voc se apresentasse como candidato a essa firma e
se o seu salrio fosse escolhido ao acaso entre todos os possveis
salrios, o que seria mais provvel: ganharmais ou menos que 5.000
unidades? b)Suponha que na companhia B a mdia dos salrios 7.000
unidades e a varincia praticamente zero,
eloseusalriotambmseriaescolhidoaoacaso.Emqualcompanhiavocseapresentariapara
procurar emprego? 12) Uma indstria de alimentos estava interessada
em analisar seu processo de produo de determinado
alimento.Existemnestaindstriaduasmquinasresponsveispelocontroledoprocessode
desidratao do alimento. Um importante item de controle do processo
a umidade do produto final,
quesegundoasespecificaes,deveestarnafaixade8,0%a12%.Foidetectadoincapacidadedo
processo em atender s especificaes. A equipe tcnica suspeitava de
que podia haver diferenas na
formadefuncionamentodasduasmquinasdedesidratao.Comoobjetivodeobservaro
funcionamento das mquinas foram feitas medidas do teor de umidade
do produto final, estratificadas por mquina de desidratao. Os
resultados esto apresentados a seguir: Mquina 1 11,7 11,8 12,1 10,7
11,7 10,910,7 11,6 12,5 10,7 11,5 11,111,2 11,2 11,8 11,2 11,0 11,7
11,1 11,3 11,0 12,2 10,7 12,211,9 11,1 11,4 10,7 11,2 11,6 11,0
10,9 11,2 11,2 11,3 12,110,9 11,7 11,3 11,5 Mquina 2
11,411,511,510,411,09,910,510,811,411,510,9 10,2
11,111,010,211,211,910,811,211,010,211,5 10,910,1
11,210,711,811,110,411,811,910,7 10,810,810,410,8 11,210,810,6
Paracadamquina,calculeamdia,amediana,odesviopadro,ocoeficientedevariaoeointervalo
interquartildavarivelteordeumidadeeconstruaohistogramaeboxplot.Apartirdasmedidas
36
descritivasedoshistogramaseboxplots,compareodesempenhodasduasmquinascomentandoos
aspectos de posio e variabilidade dos dados. 13) Construa a
planilha e em seguida o grfico de Pareto para a tabela abaixo: Tipo
de DefeitoQuantidade de Defeito Moldagem Solta14 Solda Quebrada01
Centro de Moldagem Deslocado04 Lateral de moldagem deslocado24
Moldagem Arranhada01 Plstico Arranhado08 Limpeza Imcompleta28
Total80 Gabaritoda 5 lista de exerccios 1) a)Qualitativa Nominalb)
Qualitativa Nominalc)Quantitativa Contnua d)Qualitativa Ordinale)
Qualitativa Ordinal
2)a)sexo-qualitativanominalcurso-qualitativaordinalidade-quantitativacontinuasalario-
quantitativa continua anos de empresa- quantitativa continua
b)grafico colunas , barras , setor c) Tabela: Funcionrios do setor
de contabilidade de uma empresa por sexo e grau de instruo. Grau de
Instruo Sexo FundamentalMedioSuperiorTotal Feminino Masculino 1 1 3
3 1 1 5 5 Total26210 Fonte: exercicio 3) a) Grfico em colunas ou
barras ou
linhas.b)sim.Quantomaisgastocompropaganda,maiorfoionmerodecarrosvendindoseteve
aumento narenda. 4)a)grafico em colunas ou barras ou pareto
(preferncia). b)limpeza incompleta, moldagem dentada. Prioridade
para os que apresentam maior ocorrncia. 5) Tabela: Grau de instruo
empregados da seo de oramentos da cia. Milsa. Graude instruo
Frequncia simples absolutaFrequncia simples relativa1 grau 2 grau 3
grau 12 18 6 0,33 0,50 0,17 Total361,00 Fonte: exercicio37 b)
grafico barra ou coluna 6)Tabela: N de acidentes ocorridos, por
ms,com empregados da empresa no periodo de trinta e seis meses. N
de acidentes Nmeros de meses (fi) fri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 5
7 6 5 3 2 1 0,028 0,055 0,111 0,139 0,195 0,167 0,139 0,083 0,055
0,028 Total361,00 Fonte: exercicio b) colunasc)1/6d)1/3 7)
Tabela:Nmero de erros de impresso da primeira pgina do jornal. N de
errosNmeros de pginas(fi) % (100xfri) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 3 3 5 7 2 5 4 9 3 7 1 1 6 6 10 14 4 10 8 18 6 14 2 2 Total50100
Fonte: exercicio b) grafico barras ou colunas.c)10,24 d)10,5e)12 8)
a) positiva ou direita b) no. Devido a assimetria.9) a) n= 40k=
6,32AT = 0,021h=0,004 Tabela: Dimetro (mm) de rolamentos de esferas
produzidas por uma companhia. Diametro rolamentos Nmeros de
rolamentos(fi) % (100xfri) 0,724 0,728 0,728 0,732 0,732 0,736
0,736 0,740 0,740 0,744 0,744 0,748 4 6 11 12 6 1 10 15 27,5 30 15
2,5 Total40100,0 Fonte: exercicio c)histograma 38 10)
F,V,F,V,V,F,V11) a)ganhar menos. b) B 12)Maquina 1Maquina2
Mdia=11,365 Mediana=11,25 Desvio Padro=0,4715 CV=0,0415 Quartil 1:
11,0 Quartil 3: 11,7 Mdia=10,95 Mediana=10,9 Desvio Padro=0,5109
CV=0,0467 Quartil 1: 10,7 Quartil 3: 11,3 39 11. Noes de Inferncia
Estatstica 11.1.Introduo
Oobjetivoprincipaldainfernciaestatsticafazerafirmaessobrecaractersticasdeuma
populao, baseando-se em resultados de uma amostra.
Nainfernciaestatsticaaincertezaestsemprepresente.Noentanto,seoexperimentofoi
feito de acordo com certos princpios, essa incerteza pode ser
medida.Uma funo da estatstica fornecer um conjunto de tcnicas para
fazer inferncias e medir o grau de incerteza destas inferncias.
Esta incerteza medida em termos de probabilidades. Exemplo 1:Flores
brancas Sementes(10.000.000) (POPULAO)Flores vermelhas
Suponhaqueemumceleiroexistam10milhesdesementesdefloresquepodem
produzir flores brancas ou flores vermelhas. Deseja-se a seguinte
informao: que proporo, dessas 10 milhes de sementes, produzirflores
brancas?
Nodeinteresseplantartodasassementesparaverificaracordasfloresproduzidas.Vamos
plantaralgumaspoucasecombasenascoresdessaspoucas,fazeralgumaafirmaosobrea
proporo(das 10 milhes) que produzir floresbrancas. No podemos fazer
estageneralizao
comcerteza,maspodemosfazerumaafirmaoprobabilstica,seselecionarmosassementes
que pertencero amostra de forma adequada. Suponha que foi retirada
uma amostra aleatria (ao acaso) composta de 200 sementes da
populaoacima.Observou-sequedessassementes120eramdefloresbrancase80deflores
vermelhas. A proporode flores brancas encontrada na amostra foi
ento de 60%
.Comopoderamosutilizaroresultadodeumaamostraparaestimaraverdadeira
proporo de sementes de flores brancas?
Analisandooproblemaemquestocomauxliodateoriadasprobabilidades,pode-se
encontrarumintervaloemtornodaproporoobservadanaamostra(60%)eafirmarcom
bastanteseguranaqueaproporopopulacionaldesementesdefloresbrancasestarcontida
nesteintervalo.Porexemplo,noproblemaacima,seadmitssemosumachancedeerrode5%,
com o tamanho de amostra utilizado (n=200), a teoria estatstica
permite afirmar que a proporo
populacionaldefloresbrancasestentre53%e67%.Seosmtodosestatsticosforem
40
corretamenteutilizadospodemosgarantirquedeapenas5%aprobabilidadedeestarmos
fornecendoumintervaloquenocontenhaaverdadeiraproporopopulacional.Maistarde
veremos como calcular este tipo de intervalo. 11.2. Estatsticas,
Parmetros e Estimadores Alguns conceitos bsicos so necessrios para
o desenvolvimento da Inferncia Estatstica: Parmetro:qualquer valor
calculado com base em todos os elementos da populao. Estatstica:
qualquer valor calculado com base (apenas) nos elementos da
amostra. Estimador:uma estatstica destinada a estimar um parmetro
populacional.Estimativa: o valor numrico do estimador com base nas
observaes amostrais. Alguns exemplos de estatsticas que so tambm
estimadores: nX ... X XXn+ + +=2 1 (mdia amostral) (varincia
amostral) Smbolos mais comuns 11.3. Introduo Amostragem
Usualmenteimpraticvelobservartodaumapopulao,sejapeloaltocusto,sejapor
dificuldadesdiversas.Examina-seentoumaamostradapopulao.Seessaamostrafor
bastante representativa, os resultados obtidos podero ser
generalizados para toda a populao.
Umaamostramuitograndepodeimplicaremcustosdesnecessriosenquantoqueuma
amostrapequenapodetornarapesquisainconclusiva.Assim,deve-seprocurardentrodas
restriesimpostaspelooramento,desenharumaamostraqueatinjaosobjetivos,
produzindo estimativas com menor impreciso possvel.
EstimadorParmetroMdia X VarinciaS22 Propores pp ou 41
Aexperinciacomamostragemfatocorrentenocotidiano.Bastalembrarcomoum
cozinheiroverificaotemperodeumpratoqueestpreparando,comoalgumtestaa
temperaturadeumpratodesopa,ouaindacomoummdicodetectaascondiesdeum
paciente atravs de exames de sangue. Porm, o uso inadequado de um
procedimento amostral pode levar a um vis de interpretao do
resultado. Por exemplo, no mexer bem a sopa antes
deretirarumacolherparaexperimentar,podelevarasub-avaliaodatemperaturadoprato
todo, com consequncias desagradveis para o experimentador. O uso de
amostras que produzam resultados confiveis e livres de vieses o
ideal. Assim, a
maneiradeseobteraamostratoimportantequeconstituiumaespecialidadedentroda
Estatstica,conhecidacomoAmostragem.Osvriosprocedimentosdeseescolherumaamostra
podemseragrupadosemdoisgrandesgrupos:oschamadosplanosprobabilsticoseplanos
no-probabilsticos. O primeiro grupo rene todas as tcnicas que usam
mecanismos aleatrios de seleo dos elementos da amostra, atribuindo
a cada um deles uma probabilidade, conhecida a
priori,depertenceramostra.Nosegundogrupoestoosdemaisprocedimentos,taiscomo:
amostrasintencionais,ondeoselementossoselecionadoscomauxliodeespecialistas,e
amostras de voluntrios, como ocorre em alguns testes sobre novos
remdios.Ambososprocedimentostmsuasvantagensedesvantagens.Osestatsticospreferem
trabalharcomasamostrasprobabilsticaspois,tmtodateoriadeprobabilidadeedeinferncia
estatsticaparadarsuportesconcluses.Dessaforma,possvelmediraprecisodos
resultados,baseando-senainformaocontidadaprpriaamostra.Planosdeamostragem
probabilsticospodemserexemplificadospelaamostragemaleatriasimplesepelaamostragem
estratificada.Amostragem Aleatria Simples
Quandoosistemadereferncia(listaoudescriodasunidadesdapopulao)
perfeito,isto,quandoelelistaumaaumatodasasunidadesdapopulao,possvelento
usarumprocedimentoondecadaunidadesorteadadiretamente,comigualprobabilidadede
pertenceraamostra.Amelhormaneiraparadefiniresteplanodescrevendooprocessode
sorteio, que seria o seguinte: - da relao de unidades do sistema de
referncia sorteie, com igual
probabilidadeoprimeiroelementodaamostra,repitaoprocessoparaosegundo,eassim
sucessivamenteatsortearoltimoelementoprogramadoparaaamostra.Asamostrasassimobtidas
definem o plano de Amostragem Aleatria Simples que pode ser
concebido com ou sem reposio. 42 Amostragem Estratificada
Informaesadicionaispodemaprimorarumdesenhoamostral.Porexemplo,emuma
pesquisasobrerendafamiliarmdia,conhece-sedeantemoasregiesdacidadeonde
predominammoradiasdediferentesclassesderenda.Esteconhecimentopodeserusadopara
definir sub-populaes homogneas segundo arenda, e a ento
sortearamostras dentro de cada uma dessas regies. Este procedimento
conhecido como a diviso da populao em estratos, e consequentemente,
definem os planos de Amostragem Estratificada.
11.4.Erros amostrais e No-amostrais
Ousodeumlevantamentoamostralintroduzumtipodeerro,quepodeserresumidona
diferena entre o valor de certa caracterstica na amostra e o
parmetro de interesse na populao.
Estadiferenapodeocorrerapenasdevidoparticularamostraselecionada,ouentodevidoa
fatores externos ao plano amostral. Quando o erro devido amostra
selecionada chamado de
erroamostralequandodevidofatoresindependentesdoplanoamostral(errosdemedida,
digitao, etc) chamado de erro no-amostral.
Considera-seumerroamostralaqueledesvioqueapareceporqueopesquisadorno
levantou a populao toda. Cada amostra possvel de um plano acarreta
em um desvio. Vejamos o esquema que se segue que considera a mdia
como a caracterstica de interesse. Vamos denotar por eX a mdia
populacional e a mdia amostral da varivel, respectivamente. Populao
ou Amostras possveis Universode tamanho n 1 A1=> 1X2 3 A2 =>2
X. .| X - |=E = erro . Ai=> iXN Ak=>k X 43
Nocasodamdia,oestudodoerroamostralconsistebasicamenteemestudaro
comportamentodadiferena( X-)quandoX
percorretodasaspossveisamostrasque
poderiamserformadasatravsdoplanoamostralescolhido.Conhecendo-seadistribuio
amostral deX pode-se avaliarsuamdia e seu desvio padro. Neste caso
particular o desvio padro recebe o nome de erro padro deX.
11.5.Distribuies Amostrais Diferentes amostras extradas da populao
iro originar valores distintos para a estatstica considerada. Por
este motivo, dizemos que as estatsticas so variveis aleatrias, j
que seu valor
nopodeserpreditocomcertezaantesdaamostratersidoextrada.Almdisso,asestatsticas,
comofunesdevariveisaleatrias,sotambmvariveisaleatrias,e,portanto,tmuma
distribuio de probabilidade, esperana e varincia. A distribuio de
probabilidade de uma estatstica quando consideramos todas as
amostras possveis de tamanho n denominada de distribuio amostral.
11.5.1.Distribuio Amostral da Mdia AdistribuioamostraldamdiaX
,deamostrasaleatriassimplesdetamanhon, extrada de uma populao que
tem mdia e desvio padro , tem as seguintes caractersticas: E( X) =
V( X) = 2/n Casoapopulaotenhadistribuionormalcommdiaedesviopadro,a
distribuio amostral da mdia X , normal com mdia e desvio padro / n
. AdistribuioamostraldamdiaX ,deamostrasaleatriassimplesdetamanhon
extradadeumapopulaono-normal,commdiaedesviopadro,aproximadamente
normal com mdia e desvio padro / n , quando n suficientemente
grande. Este resultado
umaaplicaodeumimportanteteoremadeprobabilidade,chamadoTeoremaCentraldo
Limite.Paraautilizaodesteresultado,usualconsiderarqueotamanhondaamostra
suficientemente grande quando n pelo menos 30. 44 Exerccios:
1)Amquinadeempacotarumdeterminadoprodutoofazsegundoumadistribuionormal,
com mdia e desvio padro de 10g.
a)Emquantodeveserreguladoopesomdioparaqueapenas10%dospacotestenham
menos do que 500g. Resp.:512,8 g
b)Comamquinaassimregulada,qualaprobabilidadedequeopesototalde4pacotes
escolhidos ao acaso seja inferior a 2 Kg? Resp.:0,0052
2)Noexemploanterior,eapsamquinaestarregulada,programou-seumacartadecontrole.
De hora em hora, ser retirada uma amostra de 4 pacotes, e estes
sero pesados. Se a mdia da amostra for inferior a 495g ou superiora
520g para-se a produo para reajustar a mquina, isto reajustar o
peso mdio. a)Qual a probabilidade de ser feita uma parada
desnecessria? Resp.: 0,0749 b)Se o peso mdio da mquina
desregulou-se para 500g, qual a probabilidade de continuar-se a
produo fora dos padres desejados? Resp.:0,84133)Para uma populao
com desvio padro igual a 10, qual deve se o tamanho da amostrapara
que a diferena da mdia amostral para a mdia populacional, em valor
absoluto, seja menor que 1, com probabilidade igual a 0.99 ? Resp.:
666 11.5.2.Distribuio Amostral da Proporo Considere que a proporo
de elementos numa populao com determinada caracterstica p. Assim,
para cada elemento da populao podemos definir uma varivel X, tal
que X = tica caracters da portador no elemento o se 0,tica
caracters da portador elemento o se , 1 Isto , X ~Bernoulli(p) =
Binomial (1; p) , e portanto E(X) = p e V(X) = p(1-p).
SejaX1,X2,...,Xnumaamostraaleatriasimplesretiradadessapopulao,eseja
=ni nX1So total de elementos portadores da caracterstica na
amostra. Tem-se queSn ~ Binomial (n,p). Defina comop a proporo de
elementos portadores da caracterstica na amostra, isto ,XnXni= = =1
nnSp. 45 Utilizando o Teorema Central do Limite, tem-se que a
distribuio amostral dep aproximadamente||
\| np) p(1p, N , quando n suficientemente grande (np 5en(1-p) 5
). Exerccios 1)Um procedimento de controle de qualidade foi
planejado para garantir um mximo de 10% de
itensdefeituososnaproduo.Acada60minutossorteia-seumaamostrade50peas,e,
havendomaisde15%dedefeituosos,pra-seaproduoparaverificaes.Quala
probabilidade de uma parada desnecessria? Resp.: 0,119 2)Suponha
que uma indstria farmacutica deseja saber quantos voluntrios se
deva aplicar uma vacina, de modo que a proporo de indivduos
imunizados na amostra difira de menos de 2%
daproporoverdadeiradeimunizadosnapopulao,comprobabilidadede90%.Qual
tamanho da amostra a escolher? Resp: 1702 11.5.3.Distribuio
Amostral de S2
Considereumaamostraaleatriadetamanhonqueretiradadeumapopulaonormal
com mdia e varincia 2, e seja S2 a varincia amostral. Ento a
estatstica tem
distribuioqui-quadradocom=n-1grausdeliberdade.AvarivelaleatriaZtemfunode
densidade dada por: ( )>=||
\|rio casocontr 0,0 z,2 z -ez1 22 221f(z) diz-se que Z segue uma
distribuio qui-quadrado com graus de liberdade, denotada por A mdia
e a varincia para a distribuio so, respectivamente, e 2.A
distribuio qui-quadrado contnua e assimtrica e como a distribuio
normal padronizada, tambm tabelada.A tabela fornece os valores de
para vrios graus de liberdade sendo .A seguir, mostrado como usar a
tabela da distribuio qui-quadrado: . 46 A tabela completa fornecida
no final da apostila. Exerccios 1) Para uma distribuio
qui-quadrado, determine: a)b)c)Resp: 20,48; 18,48 e 36,42 2)
Determine a probabilidade de que uma amostra aleatria de 25
observaes, de uma populao normal com varincia 2 =6, ter uma
varincia amostral S2: a) maior que 9,1; Resp: 0,05 b) entre 3,642 e
10,745. Resp.: 0,94 11.5.4.Outra distribuio amostral Em muitas
situaes, o conhecimento do valor de no razovel Frequentemente, uma
estimativa para fornecida pela amostra. Suponha que X1, ..., Xn
seja uma amostra aleatria de
umapopulaonormal,commdiaevarincia2,esejameS2 amdiaeavarincia
amostrais, respectivamente. Ento)segue uma distribuio t ou t de
Student, com =n-1 graus de liberdade A funode densidade de T dada
por: A mdia e a varincia da distribuio t so 0 e /(+2) para < 2,
respectivamente. Graus de liberdade Probabilidade deser maior que
determinado valor 47 Figura 1: Grficos da funo densidade da
distribuio t de Student para alguns valores de graus de liberdade.
A distribuio t de Student contnua e simtrica com mdia igual a zero.
Sua aparncia
bastanteparecidacomanormalpadro,vejaFigura1.Ambasasdistribuiestemformade
sino, mas a distribuio t tem mais probabilidade nos extremos. A
qualificao com n-1 graus de
liberdadenecessria,porqueparacadavalordiferentedotamanhodaamostranexisteuma
distribuiotdeStudentespecfica.Onmerodegrausdeliberdade(gl)oparmetroda
distribuio t de Student.Assim como a distribuio normal padro a
distribuio t de Student tambm tabelada. A tabela fornece valores
depara vrios graus de liberdade sendo. A seguir,
mostradocomousaratabeladadistribuiotdeStudent:
A tabela completa fornecida no final da apostila. Graus de
liberdade Probabilidade de T ser maior que determinado valor 48
Exerccios 1) Para uma distribuio T, determine: a) P(T no rejeitar 0
00 0 p-valor rejeitar 0 00 0 A sada dos pacotes estatsticos
apresenta o p-valor. 13.6.Testes de Hipteses para Mdia Populacional
A mdia de uma populao uma de suas caractersticas mais importantes e
frequentemente temos que tomar decises a seu respeito. Vamos
denotar um valor fixo qualquer por 0.Consideremos as diversas
hipteses que podem ocorrer num teste de hipteses para mdias:
Hipteses unilaterais 0) 0 (ou = 0) versusH1) >0 0) 0 (ou = 0
)versusH1) > > > 0 00 0 .... Rejeitar H0 se1 - n ,0tns
x> 2. 2. 2. 2. 0 00 0) ) ) ) 0 00 0 ( (( (ou = = = = 0000 ) ) )
)versus H1) > 0 00 0
Rejeitar H0 se0zns x> 2. 2. 2. 2. 0 00 0) ) ) ) 0 00 0 ( ((
(ou = = = = 0000 ) )) )versusH1) Como o valor observado foi 0,1174,
queno pertence regio crtica, a deciso deve ser de no rejeitar H0, e
conclumos que no existe evidncia de que o teor de gordura nas peas
de salame produzidas pela indstria seja diferente de 15%. 65 Usando
um pacote estatstico: VarivelnMdiaErro padrotp-valor Teor de
Gordura5014,8940,903-0,120,91
Exemplo13.4:Iremosutilizartestedehipteseparasolucionaradvidadaequipetcnicada
indstriasiderrgica:pode-seconcluir,combastantesegurana,queoprocessoderecozimento
contnuo estava centrado abaixo do valor nominal da especificao
(61,0 HR)? Essa dvida pode
sersolucionadapormeiodarealizaodetestedehipteseparaadurezamdia()dasfolhas-de-flandres
produzidas pelo processo: As hipteses a serem testadas so 0) 61
versus H1) >>> p Rejeitar H0 se0 00znq pp p> 2. 0 00
0)))) p p0000 ( ( ( (u p = == =p0 00 0) )) ) versus H1) p
