Apostila de Estatística 2º Administração Turmas A

Nome: RA:Semestre / Ano: Prof. Ms Harilson Mestriner

PROBABILIDADES

RESUMO TEÓRICO - PROBABILIDADESOs fenômenos estudados pela Estatística variam de resultados de uma observação para outra,

dificultando assim a previsão de um resultado futuro. Por isso adota-se um modelo matemático probabilístico.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:

a) que o time perca; b) que o time ganhe; c) que ele empate.Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.

ESPAÇO AMOSTRAL

A cada experimento aleatório (E) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que chamamos de Espaço Amostral (S).Exemplos:1). E = jogar um dado e observar o nº da face de cima S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2). E = Jogar uma moeda e observar o resultado S = {cara, coroa}

EVENTOS

É qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.Exemplo: No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na face superior” temos: B = {2, 4, 6}

PROBABILIDADE

Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um evento A o nº real P(A) tal que:

onde: n(A) = nº de elementos de A ; n(S) = nº de elementos de S.

Exemplos: Considerando o lançamento de um dado:1. Qual a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6 A = {2, 4, 6}, logo n(A) = 3

Então: P(A) =

2. Qual a probabilidade do evento B “obter um nº menor ou igual a 6 na face superior”Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6

Então : P(B) =

PARTE 3

3. Qual a probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior”

Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 C = {4}, n( C ) = 1 Então : P (C) =

4. Qual a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 D = vazio, n(D) = 0

Então: P(D) =

Pelos exemplos acima temos (PROPRIEDADES):a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1b) A probabilidade do evento impossível é igual a zero: P(Ø) = 0c) A probabilidade de um evento E qualquer é um nº real P(E) tal que:

EVENTOS COMPLEMENTARES

Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

p + q = 1 ou q = 1 – pSabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é p(4) = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é:

EVENTOS INDEPENDENTESDizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos

eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa, ou seja, então a probabilidade da ocorrência de ambos é igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou “marginais” :

Exemplos:1) No lançamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: P1 = 1/6

A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: P2 = 1/6Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é: Resolução: P = 1/6 x 1/6 P = 1/362) Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?Resolução: É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro. Além disso, para moedas equilibradas, P(caras) = ½ . Logo, P(cara, e coroa) será: 1a jogada 2a jogada ambas ½ X ½ = ¼3) No caso de três moedas. Qual a probabilidade de três caras?Resolução: 1a jogada 2a jogada 3a jogada ambas ½ X ½ X ½ = 1/84) Em 25% das vezes John chega em casa para jantar. Por outro lado, o jantar atrasa 10% das vezes. Se não há qualquer relacionamento entre os atrasos de John e os atrasos do jantar, qual a probabilidade de ocorrerem ambos os casos?Resolução:P(ambos atrasos) = P(John atrasado)P(jantar atrasado) P(ambos atrasos) = (0,25)x(0,10)P(ambos atrasos) = 0,025 ou 25%

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOSDizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a

realização do(s) outro(s). De modo geral, podemos dizer que se dois eventos são mutuamente exclusivo, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades de ocorrência de que cada um

deles se realize:

EXEMPLOS:1) No lançamento de um dado; a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 em uma jogada é:Resolução: p(3) = 1/6 p(5) = 1/6 logo p(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/32) A probabilidade de extração de uma carta de copas ou uma carta de paus de um baralho de 52 cartas é:

Resolução: P(copas) + P(paus) =

EXERCÍCIOS1. Extrair uma só carta de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de obter:

a) um valete b) uma figura c) uma carta vermelha d) uma carta de ouros e) um dez de paus f) um nove vermelho ou um oito preto

2. Joga-se um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:a) um seis b) cinco, seis ou sete c) um número par d) um número menor que quatro

3. Há 50 bolas numa urna, distribuídas como segue:COR NÚMEROAZUL 20

VERMELHA 15LARANJA 10VERDE 5TOTAL 50

Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser:a) verde b) azul c) azul ou verde d) não vermelha e) vermelha ou verde f) laranja g) não laranja

4. De um lote de 10 fusíveis, testa-se um. Determine P(defeituoso) se:a) 1 fusível é defeituoso b) 2 fusíveis são defeituosos c) 3 fusíveis são defeituosos

5. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:a) A probabilidade dessa peça ser defeituosa b) A probabilidade dessa peça não ser defeituosa.

6. Joga-se uma moeda quatro vezes, conhecendo-se as seguintes probabilidades relativas ao número de caras: P(0) = 0,0625 P(1) = 0,2500 P(2) = 0,3750 P(3) = 0,2500 P(4) = 0,0625Determine a probabilidade de:

a) uma ou duas caras; b) menos de três caras; c) cinco caras; d) mais de três caras; e) menos de duas ou mais de três caras.

7. Determine a probabilidade de cada evento abaixo:a) Um nº par aparecer no lançamento de um dado.b) Uma carta de ouro aparecer ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.c) Um valete ou rei aparecer ao se retirar uma carta de um baralho de 52 cartas.

8. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o nº 6 ou um nº ímpar?9. Três dados são lançados.

a) Qual a probabilidade de que os números obtidos sejam iguais nos três dados? b) Qual a probabilidade de que a soma dos números de pontos obtidos seja igual a 4?c) Qual a probabilidade de que um dos dados apresente o número 2?

10. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 5 apresentam defeitos. Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa?

11. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) Ela não tenha defeitos. b) ela não tenha defeitos graves. c) ela tenha defeitos.

12. Há 40 bolas numa urna, distribuídas como segue:COR NÚMEROAZUL 7

VERMELHA 8LARANJA 10VERDE 4

AMARELA 5MARROM 6TOTAL 40

Misturam-se as bolas e escolhe-se uma ao acaso, determine a probabilidade de a bola escolhida ser:a) verde b) azul c) vermelha ou marrom d) não ser amarela e) azul ou verde ou laranja.

13. Uma moeda é lançada 3 vezes. a) Qual a probabilidade de obtermos coroa apenas no segundo lançamento? b) Qual a probabilidade de obtermos duas coroas e uma cara?c) Qual a probabilidade de obtermos pelo menos uma coroa?

14. Ao se estudar um baralho de 52 cartas, calcule a probabilidade de obter:a) Uma carta entre o nº2 e o nº 6; b) uma dama vermelha c) um quatro ou um valete d) NÃO se obter um reis

15. Dois dados são lançados.a) Qual a probabilidade de que a soma dos números de pontos obtidos seja 8?b) Qual a probabilidade de que a soma dos números de pontos obtidos seja menor ou igual a 5?c) Qual a probabilidade de que a soma dos números de pontos obtidos seja um número ímpar?d) Qual a probabilidade de que a soma dos números de pontos obtidos seja 13? E menor do que 13?e) Qual a probabilidade de que os dois números obtidos sejam iguais?

16. Uma urna contém exatamente nove bolas: 3 brancas, 2 verdes e 4 azuis. Retirando-se 3 bolas dessa urna, uma de cada vez e com reposição, calcule a probabilidade de saírem:

a) A primeira bola branca, a segunda verde e a terceira azul.b) As três bolas de cores diferentes.

17. Uma pessoa tem no bolso exatamente 2 moedas de R$1,00, 4 moedas de R$0,50 e 3 moedas de R$0,10. Essa pessoa retira simultaneamente (sem reposição) 3 moedas do bolso. Calcule a probabilidade de:

a) As moedas terem valores diferentes.b) Saírem 2 moedas de R$0,50 e 1 de R$ 0,10.c) As moedas totalizarem R$1,20.d) Saírem 1 moeda de R$0,50 e 2 moedas de R$1,00.

18. A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período, Sexo e Opinião sobre a reforma Agrária. Determine a probabilidade de escolhermos:(a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária?(b) Uma mulher contrária a reforma agrária?(c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária?(d) Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que é do sexo feminino?

Período Sexo Reforma AgráriaContra A Favor Sem opinião

Diurno Feminino 2 8 2Masculino 8 9 8

Noturno Feminino 4 8 2Masculino 12 10 1

19. Num grupo de 80 alunos, 50 jogam futebol, 40 jogam vôlei e 20 jogam futebol e vôlei. Escolhendo aleatoriamente ao acaso um dos alunos, qual a probabilidade de ele:

a) jogar vôlei? B) jogar futebol? C) jogar vôlei e futebol?d) jogar vôlei ou futebol? E) jogar somente futebol? F) não praticar nenhum desses esportes?

20. Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?

21. Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposição de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade do naipe da primeira ser de paus e o da segunda ser de copas?

22. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em cada tiro é de 60%. Em 3 tiros, calcule a probabilidade de ele acertar o alvo:

a) apenas no segundo tiro. b) apenas em um dos tiros. c) em pelo menos dois tiros.

23. A probabilidade de um “atleta de fim de semana” machucar o tornozelo durante uma atividade física é de 30%. Ao analisarmos um grupo de 4 desses atletas, calcule a probabilidade de:

a) apenas no segundo atleta se machucar; b) apenas um dos atletas se machucar;c) em pelo menos dois não se machucarem; d) ninguém se machucar;

GABARITO:1. a) 1/13 b) 3/13 c) ½ d) ¼ e) 1/52 f) 1/132. a) 1/6 b) 1/3 c) ½ d) ½3. a) 1/10 b) 2/5 c) ½ d) 7/10 e) 2/5 f) 1/5 g) 4/54. a) 1/10 b) 1/5 c) 3/105. a) 1/3 b) 2/36. a) 0,625 b) 0,6875 c) 0 d) 0,0625 e) 0,37507. a) ½ b) ¼ c) 2/138. 2/3 10. 5/12 11. a) 5/8 b) 7/8 c) 3/812. a) 1/10 b) 7/40 c) 7/20d) 7/8 e) 21/4019. a) ½ b) 5/8 c) ¼ d) 7/8 e) 3/8 f) 1/820. 1/16 21. 13/204

ANÁLISE DE CORRELAÇÃO e REGRESSÃO

Relação entre causa e efeito: Em todos os estudos realizados até agora, analisamos apenas uma característica por vez. Agora vamos explicar os diagramas de dispersão, que analisam a dependência entre várias características.

Exemplo: Peso e altura de um grupo de pessoas, uso de cigarro e incidência de câncer, dominância e submissão, existe uma relação entre as variáveis, mas não é uma variação linear.

Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o instrumento adequado para descobrir e medir essa relação.

Uma vez caracterizada a relação, procuramos descreve-la através de uma função matemática. A regressão é o instrumento adequado para a determinação dos parâmetros dessa função.

OBS.: Vamos ficar restritos às relações entre duas variáveis ( correlação simples ).

Relação Funcional e Relação Estatística: Relação Funcional: A área de um quadrado está diretamente relacionada com o comprimento do lado . Ou seja, atribuindo um valor ao comprimento do lado, é possível determinar exatamente a área do quadrado. Relação Estatística: Consideremos o peso e a altura de um grupo de pessoas. Se uma pessoa tem 1,70m de altura e pesa 80 quilos, eu não posso garantir que 3 pessoas de 1,70m pesem 240 quilos, ou 240 quilos se referem ao peso de 3 pessoas de 1,70m. Porém, em média, quanto maior a estatura, maior o peso.

Resumindo: Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas.

O que é um diagrama de dispersão? Geralmente, quando falamos sobre dependência entre dois tios de características, estamos realmente falando sobre:

Uma relação “causa – efeito” ou Uma relação entre uma causa e outra causa.

Consideremos uma amostra aleatória, formada por 10 dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística.

N O T A S

NºMATEMÁTICA (Xi) ESTATÍSTICA (Yi)

01 5,0 6,0 08 8,0 9,0 24 7,0 8,0 38 10,0 10,0 44 6,0 5,0 58 7,0 7,0 59 9,0 8,0 72 3,0 4,0 80 8,0 6,0 92 2,0 2,0

Representando em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, os pares ordenados (Xi,Yi), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama de dispersão. Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, porém útil, da correlação existente:

Correlação Linear Os pontos obtidos formam uma elipse em diagonal. Podemos imaginar que quanto mais fina for a elipse, mais ela se aproximará de uma reta. Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem com “imagem” uma reta, sendo, por isso, denominada correlação linear.

Como a correlação em estudo tem com “imagem” uma reta ascendente, ela é chamada correlação linear positiva.

Assim, uma correlação é:a) Linear positiva, se os pontos do diagrama tem como “imagem” uma reta ascendente;b) Linear negativa, se os pontos do diagrama tem como “imagem” uma reta descendente;c) Não-linear, se os pontos tem como “imagem” uma curva.

Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida,

concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo.

Temos, então:

CORRELAÇÃO LINEAR POSITIVA (Um aumento em y depende de aumentos em x)

Y X

CORRELAÇÃO LINEAR NEGATIVA (Um aumento em x resulta diminuição em y)

Coeficiente de correlação linear: Para saber o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positiva ou negativa), usa o coeficiente de correlação de Pearson (r), dado pela seguinte fórmula:

onde n é a quantidade de elementos da população ou amostra.

O valor de r varia no intervalo [-1,+1]. Portanto: Quando r = +1, a correlação é positiva e perfeita. Quando r = -1, a correlação é negativa e perfeita. Quando r = 0, não existe correlação entre as variáveis ou não é linear.

Uma maneira simples de verificarmos o grau de confiabilidade entre duas variáveis é verificar a seguinte tabela, onde são relacionados os coeficientes de correlação linear.

1. conclusões significativas;

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

NÃO HÁ CORRELAÇÃO

CORRELAÇÃO NÃO LINEAR

Y

X

2. conclusões relativamente fracas;3. correlação muito fraca e praticamente nada podemos

concluir.

EXEMPLO: Calcular o coeficiente de correlação linear relativo às notas de 10 alunos, nas disciplinas de

Administração e Economia. (n = 10)Administração Economia

4 5

7 8 3 4 6 4

3 2 3 2

8 9 9 7 8 7 6 6

Regressão Linear:

A regressão linear é o estudo do comportamento entre duas variáveis. A análise da regressão é feita a partir da observação de alguns dados. Já vimos anteriormente que, se existir a correlação, ela se aproxima de uma reta, que pode ser crescente (positiva) ou decrescente (negativa). A equação de uma reta é do tipo y = ax + b, onde x (variável independente) e y (variável dependente) são os dados observados, e a e b são parâmetros que vamos determinar através dessas fórmulas:

onde: n é o número de dados.

é a média aritmética dos valores de

é a média aritmética dos valores de

OBS.: No estudo da regressão os valores dos parâmetros são originados de uma amostra, portanto, o resultado, na realidade é uma estimativa da verdadeira equação da regressão. Então, vamos escrever a equação da seguinte forma:

Exemplo: Da tabela anterior :

Interpolação e extrapolação:Olhando a tabela acima, vemos que não consta a nota 4 em matemática. Mas como a correlação é bem significativa, podemos estimar a nota correspondente em Estatística, substituindo o x por 4,0 na equação: O mesmo acontece com a nota 1,0. Repetindo o procedimento, temos:

NOTA: Uma norma fundamental no uso de equação de regressão é a de nunca extrapolar, exceto quando considerações teóricas ou experimentais demonstrem a possibilidade de extrapolação.

EXERCÍCIOS

1-) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia elétrica” (x) e “volume de produção nas empresas industriais” (y), fez-se uma amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores: , determine:

a) O cálculo do coeficiente da correlação;b) A equação de regressão de y para x;c) A equação de regressão de x para y.

2-) Um grupo de pessoas fez um estudo sobre o comportamento de uma barra de metal quanto ao seu comprimento após sofrer variação de temperatura.

Compri mento (m)

Temperatura(ºC)

1 51,2 81,6 111,7 151,9 16

2,2 23

Determine:a) o coeficiente de correlação;b) a reta ajustada a essa correlação;

c) o valor estimado da temperatura quando a barra estar com 4m .

3-) A tabela abaixo apresenta valores que mostram o volume de gás comprimido em um experimento:

TEMP (ºC)

VOLUME (ML)

2 55 118 15

10 2215 30

Determine:

a) o coeficiente de correlação;b) a reta ajustada a essa correlação;c) o valor estimado do volume do gás

para a temp. de 35ºC

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