UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO IGEO CCMN DEPARTAMENTO DE GEOGRAFIADISCIPLINA DE CARTOGRAFIA NOTAS DE AULAProfessor: Paulo Mrcio L. de Menezes

1 - INTRODUO1.1 DEFINIES E CONCEITO DE CARTOGRAFIA Etimologicamente Cartografia uma palavra derivada do grego graphein, significando escrita ou descrita e do latim charta, com o significado de papel, mostra, portanto uma estreita ligao com a apresentao grfica da informao, atravs da sua descrio em papel. Foi criada em 1839 pelo historiador portugus Visconde de Santarm, em carta escrita em Paris e dirigida ao historiador brasileiro Adolfo Varnhagen. Antes do termo ser divulgado e conseqentemente consagrado na literatura mundial, usava-se tradicionalmente como referncia, o vocbulo Cosmografia, que significa astronomia descritiva (OLIVEIRA, 1980). Uma definio simplista pode ser estabelecida, apresentando-a como a cincia que trata da concepo, estudo, produo e utilizao de mapas (ONU, 1949). Outras definies, mais complexas e mais atualizadas fornecem uma viso mais profunda dos elementos, funes e processos que a compem, tais como a estabelecida pela Associao Cartogrfica Internacional (ICA), em 1973, que a apresenta como: A arte, cincia e tecnologia de construo de mapas, juntamente com seus estudos como documentao cientfica e trabalhos de arte. Neste contexto mapa deve ser considerado como incluindo todos os tipos de mapas, plantas, cartas, sees, modelos tridimensionais e globos, representando a Terra ou qualquer outro corpo celeste. A mesma ICA em 1991, apresentou uma nova definio, nos termos seguintes: cincia que trata da organizao, apresentao, comunicao e utilizao da geoinformao, sob uma forma que pode ser visual, numrica ou ttil, incluindo todos os processos de elaborao, aps a preparao dos dados, bem como o estudo e utilizao dos mapas ou meios de representao em todas as suas formas. Esta uma das definies mais atualizadas, incorporando conceitos que no eram citados anteriormente, mas nos dias atuais praticamente j esto diretamente associados Cartografia. Ela extrapola o conceito da apresentao cartogrfica, devido evoluo dos meios de apresentao, para 1

todos os demais compatveis com as modernas estruturas de representao da informao. Apresenta o termo geoinformao, caracterizando um aspecto relativamente novo para a Cartografia em concepo, mas no em utilizao, pois uma abordagem diretamente associada representao e armazenamento de informaes. Trata-se, porm, de associar a Cartografia como uma cincia de tratamento da informao, mais especificamente de informaes grficas, que estejam vinculadas superfcie terrestre, sejam elas de natureza fsica, biolgica ou humana. Dessa forma a informao geogrfica sempre ser a principal informao contida nos documentos cartogrficos. Fica tambm evidenciado, de uma maneira geral, que a Cartografia tem por objetivo o estudo de todas as formas de elaborao, produo e utilizao da representao da informao geogrfica. Continua a caracterizar a importncia do mapa, como uma das principais formas de representao da informao geogrfica, incluindo outras formas de representao e aspectos de armazenamento da informao cartogrfica, principalmente os definidos por meios computacionais. A utilizao de mapas e cartas um aspecto bastante desconsiderado pelos usurios da Cartografia. Uma grande maioria de usurios utiliza mapas e cartas, sem conhecimentos cartogrficos suficientes para obteno de um rendimento aceitvel que o documento poderia oferecer. Geralmente um guia de utilizao desenvolvido, atravs de manuais distintos ou legendas especficas e detalhadas, destinados a usurios que possuem uma formao cartogrfica limitada. Ao usurio, no entanto, cabe uma boa parcela do sucesso de um documento cartogrfico, podendo a divulgao e a utilizao de um documento cartogrfico ser equiparada a um livro. Um documento escrito sem leitores, pode perder inteiramente a finalidade de sua existncia e da mesma forma isto pode ser estendido para um mapa, ou seja, um mapa mal lido ou mal interpretado pode induzir a informaes erradas sobre os temas apresentados. 1.2. CARTOGRAFIA E GEOGRAFIA: UMA RELAO IMPORTANTE Face Geografia, a Cartografia apresenta-se funcionalmente, como uma ferramenta de apoio, permitindo, por seu intermdio, a espacializao de toda e qualquer tipo de informao geogrfica. Desta forma, para o gegrafo, imprescindvel o conhecimento dos aspectos bsicos da cartografia bem como dos fundamentos de projeto de mapas. O cartgrafo geogrfico deve ser distinto de outras reas de aplicao da Cartografia, pois a sua representao pode ser considerada ao mesmo tempo como ferramenta e, ao mesmo tempo, produto do gegrafo (DENT, 1999). O gegrafo, como cartgrafo, deve perceber a perspectiva espacial do ambiente geobiofsico, tendo a habilidade de abstra-lo e simboliz-lo. Deve conhecer projees e selecion-las; ter a compreenso das relaes de reas e tambm conhecimentos da importncia da escala na representao final de dados e informaes.

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Por outro lado deve ter a capacidade, devido intimidade com a abstrao da realidade e sua representao, de avaliar e revisar o processo, visando facilitar o entendimento por parte do usurio final. fundamental a sua participao no projeto e produo de mapas temticos, associando tambm a representao de outros tipos de informaes, tais como sensores remotos. SAUER (1956) sintetiza claramente a importncia da Cartografia para o gegrafo, atravs da seguinte citao: Mostre-me um gegrafo que no necessite deles (mapas) constantemente e os queira ao seu redor e eu terei minhas dvidas se ele fez a correta escolha em sua vida. O mapa fala atravs da barreira da linguagem. (SAUER, 1956). 1.3 - COMUNICAO CARTOGRFICA A Cartografia , em princpio, um meio de comunicao grfica, exigindo, portanto, como qualquer outro meio de comunicao (escrita ou oral), um mnimo de conhecimentos por parte daqueles que a utilizam. A linguagem cartogrfica praticamente universal: um usurio com uma boa base de conhecimentos ser capaz de traduzir satisfatoriamente qualquer documento cartogrfico, seja sob qual forma esteja se apresentando. Considerando-se a Cartografia como um sistema de comunicao, pode-se verificar que a fonte de informaes o mundo real, codificado atravs do simbolismo do mapa, sendo que o vetor entre a fonte e o mapa caracterizado pelo padro grfico bidimensional estabelecido pelos smbolos.

SISTEMA CARTOGRFICO

Mundo Real

Concepo Cartogrfica

MAPA

USURIO

Fonte

Tratamento

Apresentao

Utilizao

Sistema de Comunicao Cartogrfica

Figura 1.1 - Sistema de Comunicao Cartogrfica Na realidade, de uma forma simplificada, o sistema de informao est restrito ao mundo real, ao cartgrafo e ao usurio, gerando trs realidades distintas, como se fossem conjuntos separados. Quanto maior a interseo destas trs realidades, mais se aproxima o mapa ideal para a representao de um espao geogrfico em qualquer dos seus aspectos. 3

REALIDADE

Realidade do Cartgrafo

Realidade do Usurio

MUNDO REAL Figura 1.2 - Mapa Ideal O modelo de comunicao cartogrfica envolve ento, em uma forma simplista, quatro elementos distintos: o cartgrafo ou o elemento de concepo, o mapa juntamente com o tema e o usurio. Uma pergunta pode descrever todo este modelo como um todo: Como eu posso descrever o que para quem?. Eu, refere-se ao cartgrafo (elaborador), como ao mapa, o que ao tema e para quem ao usurio. O modelo pode ser apreciado pela figura 3.

COMUNICAO CARTOGRFICA Tema do (O que) MAPA (Como) Modelo Simples Usurio (Para que?)

Cartgrafo

Figura 1.3 - Modelo Simples de Comunicao Cartogrfica Por outro lado, podem ser descritos, segundo esses conceitos, os ciclos de comunicao da informao cartogrfica que podem ser alcanados no processo: - Ciclo ideal da comunicao cartogrficaLeitura e Interpretao

Cartgrafo

Mundo Real

Codifica

4 Leitura eMapaInterpretao

Usurio

Ciclo Ideal da Comunicao Cartogrfica

Decodifica

Figura 1.4 - Esquema do ciclo ideal da comunicao cartogrfica Aqui o cartgrafo faz a leitura e interpretao do mundo real, codificando as informaes para o documento de comunicao, o mapa. O usurio por sua vez, sem contato com o mundo real, apenas com o documento, vai fazer a leitura e interpretao das informaes contidas no mapa para que, ao decodific-las, possa reconstituir o mundo real. Este tipo de ciclo no alcanado na maioria das vezes. Consegue-se uma aproximao atravs de fotomapas ou ortofotocartas, dependendo ainda do tipo de informao que se vai veicular. - Ciclo de Comunicao Cartogrfica Real Cartgrafo-UsurioMundo RealLeitura e Interpretao

Cartgrafo

Criao

Viso do Cartgrafo

Leitura e Interpretao

Mapa

Usurio

Ciclo de Comunicao Cartogrfica Ideal Cartgrafo-Usurio

Figura 1.5 - Esquema do ciclo real entre cartgrafo e usurio Este modelo mostra que na leitura e interpretao pelo cartgrafo do mundo real, na realidade ele criar um modelo segundo a sua viso, s passando a sua codificao para o mapa aps a elaborao dessa viso prpria. Segundo o usurio agora, a leitura e interpretao dessa informao vai permitir, no mximo, que se chegue at a viso do cartgrafo do mundo real. No se consegue chegar ao mundo real, porm alcana-se a comunicao, com o sucesso do usurio em decodificar o mundo real na viso do cartgrafo. - Ciclo de Comunicao Falho

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Decodifica

ica dif Co

Mundo RealLeitura e Interpretao

Cartgrafo

Criao

Viso do Cartgrafo

ifica Cod

Leitura e Interpretao

Mapai fi od ec D ca

Usurio

Viso do Usurio

Ciclo Falho de Comunicao Cartogrfica Cartgrafo-Usurio

Figura 1.6 - Esquema do ciclo falho de comunicao. Neste esquema, o usurio no consegue, no processo leitura, interpretao e posterior decodificao da informao transmitida pelo mapa, chegar viso do mundo real definida pelo cartgrafo. criada uma outra viso, agora definida pelo usurio, segundo a qual ele v o mundo real. Neste processo, as distores de viso tanto podem ser do cartgrafo, que no soube codificar a sua viso do mundo real no mapa, como tambm do usurio, em no saber como decodificar essas informaes. De uma ou outra maneira, aqui a comunicao cartogrfica no alcanada.

1.4-

HISTRICO DA CARTOGRAFIA

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O histrico da Cartografia to extenso quanto a prpria histria da humanidade. No se sabe quando o primeiro cartgrafo elaborou o primeiro mapa. No h dvidas, porm, que este seria uma representao bastante bruta em argila, areia ou desenhada em uma rocha.

Figura 1.7 a Mapa de Ga-Sur Sur

1.7 b Interpretao do Mapa de Ga-

Na Antiguidade, um dos mapas mais antigos conhecidos, data de aproximadamente 2500 AC, mostrando montanhas, corpos d`gua e outras feies geogrficas da Mesopotmia, gravadas em tbuas de argila, como os mapas de Ga-Sur, mostrados na figura 1.7 a e b. Datam desta poca tambm mapas com a mesma estrutura, do vale do Rio Eufrates e do Rio Nilo, conforme pode ser apreciado nas figuras 1.8 a e b.

Fig 1.8 a Mapa em papiro do Rio Eufrates e sua interpretao (b) Aos fencios so atribudas as primeiras cartas nuticas, que serviam de apoio navegao, bem como as primeiras sondagens e levantamentos do litoral. 7

Na Grcia, poca de Aristteles (384-322 AC), a Terra j era reconhecida como esfrica pelas evidncias da diferena da altura de estrelas em diferentes lugares, do fato das embarcaes aparecerem subindo o horizonte e at mesmo pela hiptese de ser a esfera a forma geomtrica mais perfeita. Por volta de 200 AC, o sistema de latitude e longitude e a diviso do crculo em 360 j eram bem conhecidos e utilizados na representao terrestre. Estimativas do tamanho da Terra foram realizadas por Eratstenes (276-195 AC) e repetido por Posidonius (130-50 AC), atravs da observao angular do Sol e estrelas.Polo Norte

5000 st

Trpic o de C

ancer

Alexandria

Verti

cal

7 12

o

SOL7 12 Syeneo

Equad o

r

Figura 1.9 O processo de Eratstenes O processo de Eratstenes consistiu em medir a diferena da vertical do Sol ao longo do meridiano que unia Alexandria a Syene (atual Aswan). Sabendo-se que a distncia entre as duas cidades, aproximadamente 5000 estdias (onde 1st = 185m), verificou-se a diferena angular entre a posio do Sol nas duas cidades, no mesmo horrio, equivalia a 712, aproximadamente 1/50 do crculo completo. Assim tem-se como o valor da circunferncia terrestre cerca de 46250 km, um valor apenas 15% maior do que o real, o que para os mtodos da poca, bastante razovel. Eratstenes, no entanto, tambm errou por duas razes: a distncia entre as duas cidades no era exatamente de 5000 st, nem as duas cidades estavam situadas no mesmo meridiano. Caso isto tivesse ocorrido, o seu erro estaria apenas em torno de 2% da medida real! Pelas referncias existentes, os mapas eram documentos de uso corrente para os gregos, como pode ser verificado pela edio de 26 mapas, trabalhados por Claudius Ptolomeu (90-160 DC), em seu tratado simplesmente intitulado GEOGRAFIA, reproduzido bem mais tarde.

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Os romanos interessavam-se pela Cartografia apenas com fins prticos: cartas administrativas de regies ocupadas e representaes de vias de comunicao, como pode ser observado nas tbuas de PEUTINGER. Figura 1.10 - Tbua de Peutinger - Arbia

Na Idade Mdia, como praticamente ocorreu em toda a humanidade, h um retrocesso no desenvolvimento da Cartografia. Existem poucas referncias, e as que existem carecem de qualquer base cientfica. So apenas esboos e croquis desprovidos de beleza e funcionalidade. Os de melhor representao so devido aos rabes. Os europeus so pobres, sem nenhuma base cientfica. Com o Renascimento inicia-se tambm o ciclo das grandes navegaes. As descobertas martimas dos Escandinavos no acrescentam nenhum material novo ao conhecimento do mundo, exceto a descoberta da bssola a partir do sculo XIII. Ao fim da Idade Mdia e incio da Moderna, surgem os PORTULANOS, cartas com a posio dos portos de diferentes pases, bem como indicao do Norte e Sul (Rosa dos Ventos), voltadas para a navegao e comrcio. As cartas passam a ser artisticamente desenhadas, surgindo a impresso das primeiras cartas com Gutemberg, em 1472 (Etmologia de Isidoro de Sevilha / 1560 - 1632). Desenvolve-se neste perodo um sistema de projeo cartogrfica, para aplicaes nuticas, at hoje em uso, devido a Gerhardt Kremer dit Mercator. Deve-se a Abraham Oertel dit Ortelius (1527 1598) a edio do primeiro ATLAS em 1570 sob o nome de THEATRUM ORBIS TERRARUM, compilando-se mapas antigos. A Idade Moderna trs com a poltica de expanso territorial e colonial a necessidade de conhecimentos mais precisos das regies. Surgem as primeiras triangulaes no sculo XVIII com os franceses e italianos, estabelecendo-se um modelo matemtico geomtrico perfeito de representao terrestre. 9

Cassini desenvolve o primeiro mapa da Frana, com auxlio da astronomia de posio (escala de 1/86 400), em 1670. Os processos de clculo, desenho e reproduo so aprimorados. Nomes como Clairout, Gauss, Halley, Euler desenvolvem a base matemtica e cientfica da representao terrestre. Utiliza-se correntemente, a partir desta poca, a Topografia, Geodsia e Astronomia de preciso nos desenvolvimentos de mapas. Os sistemas transversos de Mercator, aperfeioados por Gauss e Krger so criados e aplicados no mapeamento da Alemanha. Os mapas militares passam a ter uma necessidade de preciso crescente, devido aos avanos da artilharia. No sculo XX, muitos fatores ajudam a promover uma acelerao acentuada no desenvolvimento da Cartografia. Pode-se incluir o aperfeioamento da litografia, a inveno da fotografia, da impresso a cores, o incremento das tcnicas estatsticas, o aumento do transporte de massas. A inveno do avio foi significante para a Cartografia. A juno da fotografia com o avio tornou possvel o desenvolvimento da fotogrametria, cincia e tcnica que permite o rpido mapeamento de grandes reas, atravs de fotografias areas, gerando mapas mais precisos de grandes reas, a custos menores que o mapeamento tradicional. Desenvolvem-se tcnicas de apoio que incrementam a sua utilizao. Surgem os equipamentos eletrnicos para determinao de distncias, aumentando a preciso das observaes, assim como a rapidez na sua execuo. O emprego de tcnicas de fotocartas, ortofotocartas e ortofotomapas geram documentos confiveis e de rpida confeco. A utilizao de outros tipos de plataformas imageadoras para a obteno da informao cartogrfica, tais como radares (RADAM, SLAR), satlites artificiais imageadores (LANDSAT, TM, SPOT e IKONOS), satlites RADAR (RADARSAT) vm modernamente revolucionando as tcnicas de informao cartogrfica para o mapeamento, abrindo novos e promissores horizontes, atravs de documentos tanto confiveis como de rpida execuo. 1.5 - O CAMPO DE ATUAO DA CARTOGRAFIA Pelo histrico apresentado, fcil ver que a Cartografia uma atividade bastante antiga, porm pode-se perfeitamente delimitar aplicaes especficas ao longo da sua histria. Inicialmente como apoio s exploraes, especialmente os mapas de navegao e aplicao comercial. Poucas eram as aplicaes que fugiam a esses objetivos. Por outro lado eram poucos os que se dedicavam elaborao e construo de mapas, isto no decorrer de sculos, praticamente at o sculo XIX. 10

No decorrer do sculo XIX e incio do sculo XX, conforme o aumento da demanda de mapas para fins mais especficos, foram criadas instituies que se dedicam exclusivamente elaborao de cartas e mapas, tanto com propsitos gerais, como com propsitos definidos. Hoje em dia a maior parte dos pases possuem organizaes governamentais dedicadas construo de cartas, com as mais diversas finalidades. Existem outras organizaes, pblicas e privadas, com finalidades semelhantes, para atuao cartogrfica apenas nas suas reas especficas. Os avanos tcnicos nos processos de construo de cartas, a necessidade crescente de informao georreferenciada, tanto para a educao, pesquisa, como apoio para tomada de decises, a nvel governamental ou no, caracteriza o mapa como uma ferramenta importante, tanto para anlise de informaes, como para a sua divulgao, em quaisquer reas que trabalhem com a informao distribuda sobre a superfcie terrestre. Dividir a Cartografia em reas de aplicao to difcil quanto classificar os tipos de cartas e mapas. Normalmente usa-se caracterizar duas classes de operaes para a Cartografia: - preparao de mapas gerais, utilizados para referncia bsica e uso operacional. categoria inclui mapas topogrficos em grande escala, cartas aeronuticas hidrogrficas. - preparao de mapas usados para referncia geral e propsitos educacionais e pesquisa. Esta categoria inclui os mapas temticos de pequena escala, Atlas, mapas rodovirios, mapas para uso em livros, jornais e revistas e mapas de planejamento. Dentro de cada categoria existe uma considervel especializao, podendo ocorrer nas fases de levantamento, projeto, desenho e reproduo de um mapa topogrfico. A primeira categoria trabalha inicialmente a partir de dados obtidos por levantamentos de campo ou hidrogrficos, por mtodos fotogramtricos ou de sensores remotos. So fundamentais as consideraes sobre a forma da Terra, nvel do mar, cotas de elevaes, distncias precisas e informaes locais detalhadas. Utilizam-se instrumentos eletrnicos e fotogramtricos complexos e o sensoriamento remoto tem peso importante na elaborao dos mapas. Este grupo inclui as organizaes governamentais de levantamento. No Brasil so as seguintes: - Fundao IBGE - Diretoria de Servio Geogrfico - Diretoria de Hidrografia e Navegao - Instituto de Cartografia Aeronutica A outra categoria, que inclui a Cartografia Temtica, trabalha basicamente com os mapas elaborados pelo primeiro grupo, porm est mais interessada com os aspectos de comunicao da Esta

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informao geral e a delineao grfica efetiva dos relacionamentos, generalizaes e conceitos geogrficos. O domnio especfico do assunto pode ser extrado da Histria, Economia, Planejamento Urbano e Rural, Sociologia, Engenharias e outras tantas reas das cincias fsicas e sociais, bastando que exista um georeferenciamento, ou seja, uma referncia espacial para a representao do fenmeno. rgos que no Brasil dedicam-se elaborao de mapas temticos: - Fundao IBGE - DNPM / CPRM - Mapas geolgicos - EMBRAPA - solos, uso de solos, pedologia - Institutos de Terras - planejamento rural - Governos Estaduais e Municipais (incipiente) - DNER - mapas rodovirios 1.6 DEFINIO DE MAPA 1.6.1 CONCEITOS E DEFINIES O termo mapa utilizado em diversas reas do conhecimento humano como um sinnimo de um modelo do que ele representa. Na realidade deve ser um modelo que permita conhecer a estrutura do fenmeno que se est representando. Mapear ento, pode ser considerado mais do que simplesmente interpretar apenas o fenmeno, mas sim se ter o prprio conhecimento do fenmeno que se est representando. A Cartografia vai fornecer um mtodo ou processo que permitir a representao de um fenmeno, ou de um espao geogrfico, de tal forma que a sua estrutura espacial ser visualizada, permitindo que se infira concluses ou experimentos sobre a representao (KRAAK & ORMELING, 1996). Os mapas podem ser considerados para a sociedade to importantes quanto a linguagem escrita. Caracterizam uma forma eficaz de armazenamento e comunicao de informaes que possuem caractersticas espaciais, abordando tanto aspectos naturais (fsicos e biolgicos), como sociais, culturais e polticos. 1.6.1.1 Conceito de Mapa A apresentao visual de um mapa pode variar de uma forma altamente precisa e estruturada, at algo genrico e impressionista, como um esboo ou croquis. Devido a esta variedade de representaes, no fcil definir o termo MAPA, muito embora o seu significado seja claro em todos os contextos.

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Por outro lado, a palavra mapa possui algumas caractersticas significantes restritivas, seja qual for a forma que se apresente: - A representao dimensionalmente sistemtica, uma vez que existe um relacionamento matemtico entre os objetos representados. Este relacionamento, estabelecido entre a realidade e a representao, denominado escala. - Um mapa uma representao plana, ou seja, esta sobre uma superfcie plana. Uma exceo a representao em um globo. - Um mapa pode mostrar apenas uma seleo de fenmenos geogrficos, que de alguma forma foram generalizados, simplificados ou classificados. diferente de uma fotografia ou imagem, que exibe tudo que afetou a emulso do filme ou foi captado pelo sensor. O conceito de mapa caracterizado como uma representao plana, dos fenmenos scio-biofsicos, sobre a superfcie terrestre, aps a aplicao de transformaes, a que so submetidas as informaes geogrficas (MENEZES, 1996). Por outro lado um mapa pode ser definido tambm como uma abstrao da realidade geogrfica e considerado como uma ferramenta poderosa para a representao da informao geogrfica de forma visual, digital ou ttil (BOARD, 1990). Para a Geografia tambm indiscutvel a importncia da forma de representao da informao geogrfica, em essncia dos mapas e da Cartografia. Atravs deles o gegrafo pode representar todos os tipos de informaes geogrficas, bem como da estrutura, funo e relaes que ocorram entre elas. Pela caracterizao de sua aplicao em quaisquer campos do conhecimento que permitam vincular a informao superfcie terrestre. Dentro da diviso da Cartografia, um dos cartgrafos temticos o gegrafo por excelncia, tanto por ser a Geografia a cincia mais integrativa dentro do conhecimento humano, como por ter a necessidade de visualizar os relacionamentos entre conjuntos de informaes que isoladamente no permitem quaisquer concluses. 1.6.1.2 Definio de Mapa As definies de mapas, com ligeiras diferenas, englobam um ncleo comum, que uma vez caracterizado, no deixa nenhuma margem de dvida sobre seus objetivos e abrangncia. Este ncleo envolve as informaes que sero representadas, as transformaes que estaro sujeitas, para que possam ser representadas por alguns dos possveis meios grficos de visualizao. De 1708, por exemplo, tem-se a definio devida a Harris (1708, apud ANDREWS, 1998), definindo mapa como uma descrio da Terra, ou uma parte de sua rea, projetada sobre uma superfcie plana, descrevendo a forma dos pases, rios, situao das cidades, colinas, florestas e outras feies.

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Outra definio, de 1736, estabelece que um mapa uma figura plana, representando diversas partes da superfcie terrestre, de acordo com as leis da perspectiva ou projeo da superfcie do globo ou parte dele em um plano, descrevendo os diversos pases, ilhas, mares, rios, com a situao das cidades, florestas, montanhas, etc. Mapas universais, so os que exibem toda a superfcie terrestre, ou os dois hemisfrios; mapas particulares exibem uma poro definida da superfcie terrestre, (BAILEY, 1736, apud ANDREWS, 1998)). Em 1896, a Enciclopdia Concisa Cassel (1896, apud ANDREWS, 1998)), definiu mapa como a delineao de uma poro da superfcie terrestre sobre papel ou outro material similar, mostrando os tamanhos proporcionais, formas e posies de lugares. Para estabelecer um padro comparativo entre as definies dos sculos XVIII e XIX, so apresentadas as definies devido a dois cartgrafos e uma instituio cartogrfica americana. A primeira, estabelecida por Robinson (1995), diz que mapa a representao grfica de conjuntos geogrficos. O USGS (United States Geological Survey) define mapa como a representao da Terra ou parte dela, uma definio bastante simplista, mas de contedo bastante extenso. Umas das mais modernas definies devida Thrower (1996), dizendo que um mapa uma representao usualmente sobre uma superfcie plana, de toda ou uma parte da superfcie terrestre, mostrando um grupo de feies, em termos de suas posies e tamanhos relativos . A definio formal de mapa, aceita e difundida pela Sociedade Brasileira de Cartografia, estabelece como a representao cartogrfica plana dos fenmenos da sociedade e da natureza, observados em uma rea suficientemente extensa para que a curvatura terrestre no seja desprezada e algum sistema de projeo tenha que ser adotado, para traduzir com fidelidade a forma e dimenses da rea levantada (SBC, 77). 1.6.1.3 Classificao dos Mapas Classificar os mapas em categorias distintas uma tarefa quase impossvel devido ao nmero ilimitado de combinaes de escalas, assuntos e objetivos. Existem tentativas de classificaes, que permitem agrupar mapas segundo algumas de suas caractersticas bsicas, no existindo porm um consenso com respeito essas classificaes. Nesse contexto sero apresentadas aqui as classificaes que melhor esto adaptadas para este trabalhos. Algumas destas classificaes so concluses oriundas de aglutinaes e combinaes de diversos autores. Inicialmente a prpria diviso da Cartografia j fornece uma diviso formal, pela funo exercida pelos mapas. Encontram-se assim os mapas de referncia ou de base e os mapas temticos, possuindo as caractersticas e funes j descritas na diviso da Cartografia.

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Quanto escala de representao, os mapas podem ser classificados em: muito pequena, pequena, mdia, grande e muito grande. Alguns autores (ROBINSON, 1995; BAKKER, 1965) dividem apenas em trs grandes grupos: pequena, mdia e grande. difcil porm estabelecer o limiar de cada escala. O conceito de grande, mdio e pequeno bastante subjetivo e esta associao um valor numrico de escala definida para estabelecer uma referncia ao tamanho relativo dos objetos representados. Tambm possvel classifica-los segundo caractersticas globais, regionais e locais, mas tambm encontra-se outro conceito bastante subjetivo, gerando polmicas quando de sua associao escalas numricas (ROBINSON, 1995; MENEZES, 1996; BAKKER, 1965). Para a primeira classificao citada, vincula-se a seguinte associao de escalas (tabela 3.1): Tabela 3.1 Classificao dos Mapas segundo Escala de Representao Escalas < 1:5 000 000 muito Classificao Globais Geogrficas

pequena 1: 5 000 000 1:250 pequena

000 1: 250 000 1: 50 000 mdia Topogrficas 1: 50 000 1: 5 000 grande Cadastrais > 1: 5000 muito grande Plantas Define-se ainda como plantas, os mapas caracterizadas por escalas grandes e muito grandes. So mapas locais e normalmente no exigem mtodos geodsicos para sua elaborao, utilizando a topografia para a sua elaborao, envolvendo apenas transformaes de escala. Podem ser definidas como: a representao cartogrfica plana, dos fenmenos da natureza e da sociedade, observados em uma rea to pequena que os erros cometidos nessa representao, desprezada a curvatura da Terra, so negligenciveis (SBC, 77). comum a referncia ao termo carta para referenciar um mapa. Procurando fornecer um conceito e no uma definio formal, os mapas so caracterizados por representar um todo geogrfico, podendo estar em qualquer escala, seja ela grande, mdia ou pequena. Por exemplo: mapa de Minas Gerais na escala 1: 2 500 000; Mapa do Brasil em escala 1:5 000 000, mapa da Ilha do Fundo na escala 1: 10 000, mapa do Macio da Tijuca na escala 1: 5 000. A carta por sua vez caracterizada por representar um todo geogrfico em diversas folhas, pois a escala de representao no permite a sua representao em uma nica folha. Como exemplos, podem ser citadas as escalas de mapeamento sistemtico do Brasil, caracterizando diversas cartas de representao: Carta do Brasil em 1:100 000, 1:250 000, carta do Municpio do Rio de Janeiro em escala 1: 10 000. O conjunto de todas as folhas caracteriza a carta, ou seja, a representao do todo geogrfico que se deseja mapear. 1.6.1.4 Meios e Mdias de Apresentao de Mapas 15

At o incio da dcada de 80, os mapas em papel eram considerados um dos poucos meios cartogrficos de representao e armazenamento da informao geogrfica, alm de ser o produto final de apresentao desta mesma informao. O desenvolvimento tecnolgico ampliou a capacidade de representao e armazenamento da informao, incorporando conceitos de exibio de mapas em telas grfica de monitores de vdeo, mapas volteis, bem como caracterizando os meios magnticos de armazenamento da informao, tais como: CD-ROM, discos rgidos, fitas magnticas, disquetes, etc, como uma forma numrica de representao. Os mapas em papel possuem uma caracterstica analgica, sendo uma forma de representao permanente da informao, definindo um modelo de dados e armazenamento, como tambm um modelo de transferncia da informao para os usurios (CLARKE, 1995). Os mapas apresentados em telas grficas correspondem queles que possuem uma capacidade de visualizao temporria da informao, sendo a transferncia estabelecida segundo a vontade ou a necessidade de ser visualizada. A sua visualizao tambm pode se dar atravs de cpias em papel, neste caso assumindo a caracterstica de visualizao dos mapas em papel. So muitas vezes denominados como mapas ou cartas eletrnicas. Sob esse enfoque, os mapas podem ser classificados segundo seus atributos de visibilidade e tangibilidade, (MOELLERING, 1980; CROMLEY, 1992; KRAAK, 1996): Mapas analgicos ou reais, de caractersticas permanentes, diretamente visveis e tangveis, tais como os mapas convencionais em papel, as cartas topogrficas, atlas, ortofotomapas, mapas tridimensionais, blocos-diagramas. Existe uma caracterstica da informao ser permanente, no podendo ser atualizada, a no ser por processos de construo de novo mapa. Mapas virtuais do tipo I, diretamente visveis, porm no tangveis e volteis, ou seja, no permanentes, como a representao em um monitor de vdeo e mapas cognitivos. Neste caso apenas a visualizao no permanente. A informao porm possui os mesmos problemas de atualizao.-

Mapas virtuais do tipo II, aqueles que no so diretamente visveis, porm possuem caractersticas analgicas e permanentes como meio de armazenamento da informao. Como exemplos, pode-se citar os modelos anaglifos de qualquer espcie, dados de campo, hologramas armazenados, CDROM, laser-disc, discos e fitas magnticas etc. A informao contida s poder ser modificada atravs de processos completos de atualizao.

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Mapas virtuais do tipo III, tm caractersticas no visveis e no permanentes, podendo-se incluir nesta classe a memria, animao em vdeo, modelos digitais de elevao (inclusos aqui os modelos digitais de terreno) e mapas cognitivos de dados relacionais geogrficos.

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Ainda pode-se incluir uma quinta categoria, descrevendo os mapas que podem ser considerados dinmicos. Nesta categoria algumas distines podero ser ainda serem tratadas (MENEZES, 1996; PETERSON, 1998): Mapas que apresentam dinamismo das informaes, mais precisamente representando fluxos, movimentos ou desenvolvimentos temporais de um dado tipo de informao; Mapas animados, que apresentam as mesmas caractersticas dos mapas anteriores, porm mostrando o dinamismo em seqncias animadas. So de caractersticas tipicamente computacionais. Mapas dinmicos em tempo real, que por serem associados sensores que fornecem a informao em tempo real, tm a capacidade de associa-la e representa-la praticamente ao mesmo tempo da recepo. Segundo essa abordagem, os mapas podem ser vistos como um modelo de apresentao grfica da realidade geogrfica. O Brasil est enquadrado na Carta do Mundo ao Milionsimo. A partir deste enquadramento foram estabelecidas as cartas de mapeamento sistemtico. O quadro abaixo fornece as escalas, o nmero de folhas de cada escalaN de Folhas Escala 1/ 1 000 000 1/ 500 000 1/ 250 000 1/ 100 000 1/ 50 000 1/ 25 000 N Total de Folhas 46 154 556 3049 11928 47712 Executadas 46 68 529 2087 1641 548 % Mapeada 100,00 44,00 95,1 68,4 13,7 1,2

1.7- DIVISO DA CARTOGRAFIA Modernamente a Cartografia pode ser dividida em dois grandes grupos de atividades (TYNER, 1992; DENT, 1999) de propsito geral ou de referncia de propsito especial ou temtica O primeiro grupo trata da cartografia definida pela preciso das medies para confeco dos mapas. Preocupa-se com a chamada cartografia de base. Procura representar com perfeio todas as feies de interesse sobre a superfcie terrestre, ressalvando apenas a escala de representao. Tem por base um levantamento preciso e normalmente utilizam como apoio, a fotogrametria, a geodsia e topografia. Seus produtos so denominados mapas gerais, de base ou de referncia. O segundo grupo de atividades de mapeamento depende do grupo anteriormente citado. Mapas de ensino, pesquisa, atlas e mapas temticos, bem como mapas de emprego especial, enquadram-se nessa categoria. Estes mapas so denominados mapas de temticos. 17

Os mapas temticos podem representar tambm feies terrestres e lugares, mas no so definidos diretamente dos trabalhos de levantamentos bsicos. So compilados de mapas j existentes (bases cartogrficas), que serviro de apoio todas as representaes. Distinguem-se essencialmente dos mapas de base, por representarem fenmenos quaisquer, que sejam geograficamente distribudos, discreta ou continuamente sobre a superfcie terrestre. Estes fenmenos podem ser tanto de natureza fsica, como por exemplo a mdia anual de temperatura ou precipitao sobre uma rea, ou de natureza abstrata, humana ou de outra caracterstica qualquer, tal como a taxa de natalidade de um pas, condio social, distribuio de doenas, entre outros. Estes mapas dependem de dados reunidos atravs de fontes diversas, tais como informaes censitrias, publicaes industriais, dados governamentais, pesquisa local, etc. A exigncia principal para que um fenmeno qualquer possa ser representado em um mapa, a associao da distribuio espacial ou geogrfica. Em outras palavras, deve ser conhecida e perfeitamente definida a sua ocorrncia sobre a superfcie terrestre. Este o elo de ligao entre o fenmeno e o mapa. Assim, qualquer fenmeno que seja espacialmente distribudo, passvel de ter representada a sua ocorrncia sobre a superfcie terrestre atravs de um mapa. Um fenmeno assim caracterizado dito como georreferenciado. Quanto natureza a Cartografia pode ser dividida em: - Topogrfica - Temtica - Especial A Topogrfica se prope a representar os aspectos fsicos da superfcie terrestre. Enquadram-se todas as cartas topogrficas. Normalmente serve de base mltiplos usurios. includo aqui todo o mapeamento sistemtico, identificando-se com os mapas de propsito geral ou de referncia.. A Cartografia Temtica, j explanado os seus objetivos, pode ser dividida trs sub-classes (GUNIN, 1972; BGUIN & PUMAIN, 1994): - Inventrio - Estatstica ou Analtica - Sntese A Cartografia Temtica de Inventrio definida atravs de um mapeamento qualitativo. Possui uma caracterstica discreta, realizando apenas a representao posicional da informao no mapa. Normalmente estabelecida pela superposio ou justaposio, exaustiva ou no, de temas, permite ao usurio saber o que existe em uma rea geogrfica. A Cartografia Analtica eminentemente quantitativa, mostrando a distribuio de um ou mais elementos de um fenmeno, utilizando para isso informaes oriundas de dados primrios, com as

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modificaes necessrias para a sua visualizao. De uma forma geral ela classifica, ordena e hierarquiza os fenmenos a representar. A Cartografia de Sntese a mais complexa e a mais elaborada de todas, exigindo um profundo conhecimento tcnico dos assuntos a serem mapeados. Integrativa por excelncia, exige o concurso de vrias especialidades integradamente. Representa a integrao de fenmenos, feies, fatos ou acontecimentos que se interligam atravs da distribuio espacial. Permite que se desenvolva um aspecto analtico, para estabelecer um estudo conclusivo-analtico sobre a integrao e interligao dos fenmenos que estejam sendo estudados. A Cartografia Temtica de carter especial destinada a objetivos especficos, servindo praticamente a um nico tipo de usurio. Por exemplo a definida por mapas e cartas nuticas, aeronuticas, sinticas, de pesca entre outras. O mapeamento temtico trata muitas vezes de fenmenos que no necessitam de um posicionamento preciso, pelo tipo de ocorrncia do fenmeno, como por exemplo um mapa pedolgico. Deve haver porm a preocupao com uma correta apresentao da ocorrncia da sua distribuio, necessitando para isso de uma base cartogrfica com preciso compatvel s suas necessidades. No se pode confundir preciso da base cartogrfica com a preciso do fenmeno a representar. A preparao de uma apresentao eficaz, requer uma viso crtica dos dados a serem mapeados bem como o simbolismo ou convenes que sero utilizadas para represent-los. necessrio ser considerado para o projetista do mapeamento temtico os seguintes aspectos: conhecimento profundo dos princpios que fundamentam a apresentao da informao e o projeto da composio grfica efetiva; ter um forte sentido de lgica visual, e uma habilidade especial para escolher as palavras corretas que descrevero o grfico, o mapa ou o cartograma; conhecimento do assunto a ser mapeado, ou estar com uma equipe multidisciplinar.

1.8 INFORMAO GEOGRFICA x INFORMAO CARTOGRFICA Como j referenciado, a informao geogrfica pode ser conceituada como toda aquela, de natureza fsica, biolgica ou social, que possua um relacionamento com um sistema de referncia sobre a superfcie terrestre. Define-se informao cartogrfica como a informao contida em um mapa. Pode ser de natureza estritamente cartogrfica, como a rede de paralelos e meridianos, canev geogrfico, pontos cotados, como tambm, principalmente, as representaes das informaes geogrficas, inclusive as legendas. Em outras palavras, a informao cartogrfica representa a informao geogrfica, aps ter

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sido submetida a um processo de transformao, o que permitir que venha a ser representada em um mapa, conforme pode ser observado na figura 3.7.Mundo Real Mapa

Processo

Informao Geogrfica

de Transformao

Informao Cartogrfica

Figura 3.7 Esquema representativo da transformao da informao geogrfica em cartogrfica As transformaes a que as informaes geogrficas so submetidas, possuem natureza diferenciada, porm todas so inter-relacionadas. So elas: - Transformaes geomtricas; - Transformaes projetivas; - Transformaes cognitivas. As transformaes geomtricas so caracterizadas por um relacionamento de escala e orientao entre sistemas de referncia. As projetivas referem-se s transformaes da superfcie tridimensional curva da Terra, para a superfcie de representao de um mapa, bidimensional plana. As transformaes cognitivas, por fim referem-se s transformaes do conhecimento da informao, em relao ao que ser efetivamente representado no mapa, generalizao cartogrfica e simbolizao cartogrfica.

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2 - O Geide e o Problema da Representao Cartogrfica2.1 - Introduo A Geodsia uma cincia que se ocupa do estudo da forma e tamanho da Terra no aspecto geomtrico e com o estudo de certos fenmenos fsicos tais como a gravidade e o campo gravitacional terrestre, para encontrar explicaes sobre as irregularidades menos aparentes da prpria forma da Terra. O assunto intimamente ligado com mapeamento e Cartografia. A maior parte das evidncias sobre a forma e tamanho da Terra baseada em levantamentos geodsicos. Por outro lado necessrio se conhecer o tamanho da Terra e sua grandeza, para se poder represent-la em mapas, em uma escala desejada. Sabe-se que a Terra um planeta de forma aproximadamente esfrica e sobre o qual existem irregularidades da superfcie definida pelas terras, mares, montanhas, depresses etc. Estas irregularidades topogrficas no representam mais do que uma pequena aspereza da superfcie, comparadas ao tamanho da Terra. Considerando-se o raio da Terra com aproximadamente 6.371 Km, a maior cota em torno de 9 Km (Monte Everest) e a maior depresso por volta dos 11 Km (Fossa das Marianas), a representao da Terra como um globo de 6 cm de raio mostra que a variao entre as duas cotas representar apenas 0,2 mm, ou seja, o limite de percepo do olho humano. A idia da Terra esfrica data da poca dos gemetras gregos, em torno de 600 AC. O primeiro trabalho com embasamento cientfico foi a experincia clssica de Eratstenes, definindo as primeiras dimenses conhecidas para a Terra. Ainda durante o perodo grego, Aristteles, atravs dos estudos sobre os movimentos da Terra, concluiu que deveria haver um achatamento nos plos. Somente prximo ao fim do sculo XVII, ISAAC NEWTON demonstrou que a forma esfrica da Terra era realmente inadequada para explicar o equilbrio da superfcie dos oceanos. Foi argumentado que sendo a Terra um planeta dotado de movimento de rotao, as foras criadas pelo seu prprio movimento tenderiam a forar quaisquer lquidos na superfcie para o Equador. Newton demonstrou atravs de um modelo terico simples que o equilbrio hidrosttico seria atingido, se o eixo equatorial da Terra fosse maior que o seu eixo polar. Isto , equivalente a um corpo que seja achatado nos plos. 2.2 - O Geide A forma da Terra, na realidade, nica. definida como um Geide, que significa a forma prpria da Terra.

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O geide definido pela superfcie do nvel mdio dos mares supostamente prolongado sob os continentes. Assim ele est ora acima, ora abaixo da superfcie definida como a superfcie topogrfica da Terra, ou seja, a superfcie definida pela massa terrestre. A superfcie do Geide (nvel mdio dos mares) propriamente definido comoSuperfcie Topogrfica

sendo uma superfcie equipotencial - igual potencial gravitacional -, onde a direo da gravidade perpendicular a ela em todos os

Superfcie do Elipside Superfcie do Geide

lugares. Devido variaes na densidade dos elementos constituintes da Terra e tambm

Superfcies Terrestres

por serem estes irregularmente distribudos, o Geide normalmente eleva-se sobre os continentes e afunda nas reas ocenicas. Isto mostra outras perturbaes e depresses com uma variao de 60 m. A significncia do Geide para o mapeamento e a Cartografia efetiva, uma vez que todas as observaes na Terra so realizadas sobre o Geide. Como o Geide irregular, a direo da gravidade no , em todos os lugares, direcionada para o centro da Terra, e por outro lado, a sua forma no permite uma reduo precisa das observaes, por no ser matematicamente definido. 2.3 - O Elipside ou Esferide Alm das irregularidades causadas pelas variaes da densidade terrestre, da distribuio dos elementos componentes da Terra, o Geide ainda mais deformado da aproximao de uma esfera, pela existncia do movimento de rotao terrestre. Devido rotao em torno do seu eixo, a Terra incha na rea equatorial, enquanto achata-se nos plos, efetuando o equilbrio hidrosttico da sua massa. A diferena real entre o raio equatorial e o polar de aproximadamente 23.0 km, sendo o raio equatorial maior que o polar. Para o mapeamento preciso de grandes reas, tais como o mapeamento geodsico, uma figura regular geomtrica deve ser considerada, matematicamente definida, para que os clculos sejam igualmente precisos. As redues ao Geide so inconsistentes devido s diferenas na direo da gravidade. Esta limitao pode ser contornada pela reduo ou transferncia dos dados para uma figura geomtrica que mais se aproxime do Geide. Esta figura um elipside de revoluo, gerada por uma elipse rotacionada em torno do seu eixo menor.

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A elipse possui dois eixos 2a (eixo maior) e 2b (eixo menor), a e b representam os semi-eixos maior e menor, respectivamente. A razo que exprime o achatamento ou a elipticidade dada pela

b aexpresso: f=

(a b) a

Para a Terra esse valor definiido em torno da razo de 1/300. Sabe-se que a diferena entre os dois semi-eixos terrestres de aproximadamente 11,5 Km, ou seja, o eixo polar cerca de 23

ELIPSIDE DE REVOLUO

Km mais curto que o eixo equatorial.

Para uma reduo de escala de 1/100.000.000, o que representa a Terra com um raio equatorial de 6 cm, a diferena para o raio polar ser da ordem de 0,2 mm, valor imperceptvel, uma vez que a largura do trao de uma linha. Equivale a dizer com o que foi explanado acima, que para pequenas escalas o achatamento menor do que a largura das linhas usadas para o desenho, portanto, negligencivel. Tira-se uma importante concluso sob o ponto de vista cartogrfico, que permite estabelecer a Terra como esfrica para determinados propsitos. Entretanto deve-se notar que qualquer tentativa de representar o elipside terrestre por meio de um elipside reconhecvel, deve envolver um considervel exagero, uma vez que imperceptvel a diferena entre os dois semieixos. Isto pode conduzir por sua vez a uma m interpretao de algumas ilustraes retratando a geometria do elipside. Como o elipside de revoluo aproxima-se muito da esfera, tambm tratado na literatura como esferide. Ambos os termos (elipside e esferide) tm o mesmo significado. As medies da figura da Terra so desenvolvidas de cinco diferentes formas, determinando seu tamanho e sua forma:

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- medio de arcos astro-geodsicos na superfcie terrestre; - medies da variao da gravidade na superfcie;Superfcie Fsica Ondulao Geoidal

- medio de pequenas perturbaes na rbita lunar; - medio do movimento do eixo de rotaoElipside

Geide

da Terra em relao s estrelas; - medio do campo gravitacional terrestre a partir de satlites artificiais. Estas medies, alm de definirem o Geide pela determinao da sua superfcie equipotencial, estabelece o elipside melhor adaptado superfcie terrestre, seja ele de mbito

Desvio da Vertical

global ou local. O relacionamento entre o Geide e o elipside indica o desvio da vertical da superfcie do Geide, permitindo determinar as cartas geodsicas, estabelecendo o desnvel geoidal (diferena entre o Geide e o elipside em uma dada regio). So elaboradas por sua vez mapas geoidais, que mostram esses desnveis entre o geide e o elipside. O elipside por sua vez pode ser determinado para adaptar-se a uma regio, pas ou continente,

ALTITUDE GEOIDAL - Elipsoide WGS 84

evitando a ocorrncia de desnveis geoidais muito exagerados. A relao abaixo mostra alguns dos mais de 50 elipsides existentes no mundo: Nome Data a 24 b f Utiliza

Delambre Everest Bessel

1810 1830 1841

6376428 6377276 6377997

6355598 6356075 6356079

1/311,5 1/300,80 1/299,15

o Blgica ndia,Burma Europa Central e Chile Inglaterra USA Mundial Rssia Brasil e Amrica do Sul Mundial levantam ento de satlites

Airy Clarke Hayford Krasovsky Ref. 67

1849 1866 1924 1940 1967

6377563 6378208 6378388 6378245 6378160

6356257 6356584 6356912 6356863 6356715

1/299,32 1/294,98 1/297,0 1/298,30 1/298,25

WGS 84

1984

6378185

6356???

1/298,26

2.4 - A escolha de uma Superfcie Adequada de Referncia para o Mapeamento O conhecimento da forma e tamanho da Terra necessrio para descrev-la momentaneamente, visando as necessidades de mapeamento. O aumento de complexidade do modelo matemtico muitas vezes desnecessrio face magnitude dos valores expressos por um modelo mais simples. Assim, dependendo do objetivo e a significncia dessas variaes, deve-se considerar a possibilidade da utilizao de diferentes superfcies de referncia, que descrevam adequadamente a forma e o tamanho da Terra para o propsito que se destina. A superfcie terrestre geometricamente mais complicada que o elipside, porm as variaes do Geide no ultrapassam algumas centenas de metros, variaes essas que so praticamente negligenciveis para a maior parte dos levantamentos e para a Cartografia. Pode-se simplificar o problema apresentado e considerar-se trs diferentes formas de representar a forma e tamanho da Terra para diferentes propsitos: - Um plano tangente superfcie terrestre; - Uma esfera perfeita de raio apropriado; - Um elipside de revoluo de dimenses e achatamento adequados.

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Essas trs hipteses esto listadas em ordem ascendente de refinamento, assim um elipside adequado representa melhor a forma da Terra do que uma esfera de raio equivalente. Esto tambm ordenados em ordem crescente de dificuldade matemtica. As formulaes necessrias para definir posies; para estabelecer as relaes entre ngulos e distncias sobre um plano, so muito mais simples do que as definies para uma superfcie curva de uma esfera, que por sua vez so mais simples do que as formulaes estabelecidas para um elipside. 2.4.1 - A Superfcie Plana de Representao Pode parecer um retrocesso assumir a Terra com uma representao plana. Esta representao no entanto, muito til por assumir simplificaes que facilitam o trabalho de mapeamento. Supor a Terra plana evita o problema da existncia de um sistema de projeo a elaborao de um mapa ou levantamento. Um plano tangente superfcie curva, tal como a figura mostra, tangente em A, est prximo superfcie na vizinhana deste ponto. Se deseja-se mapear ou levantar feies que estejam prximos a A, pode-se assumir que a Terra um plano, desde que os erros cometidos por esta hiptese simplificadora, sejam suficientemente pequenos para que possam influenciar no mapeamento executado. Sendo a hiptese justificada, o levantamento pode ser calculado com a utilizao da geometria plana. A plotagem na planta pode serPlano Tangente

executada pela simples reduo das dimenses na superfcie pelo fator de escala considerado.

O problema central da argumentao a definio da representao da vizinhana do ponto A, ou seja, qual o limite de representao da Terra plana, de forma que os erros advindos desta representao no tenham significncia na rea mapeada. Imediatamente isto implica, at intuitivamente, que a hiptese plana deva ser confinada elaborao de mapas de pequenas reas. De uma forma geral, utiliza-se a hiptese plana no desenvolvimento de Cartografia cadastral, de reas urbanas, plantas e outras formas de representao, em escalas variando de 1/500 at 1/10.000. O limite de representao plana, sem outras consideraes definido por um crculo de 8 km de raio em torno do ponto de tangncia do plano. Apesar de no ser necessrio o seu emprego, existem tipos de projees com utilizao especfica na hiptese plana. 2.4.2 - A Hiptese Esfrica

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O fato de que em uma escala superior a 1/100.000.000 no existe praticamente diferena entre o tamanho dos eixos do elipside, implica que o uso principal da hiptese esfrica ocorrer na preparao de mapas de formato muito pequenos, mostrando grandes partes da superfcie terrestre, isto , um hemisfrio, continente ou mesmo um pas. Tal como aparecem nos Atlas. Neste aspecto, questiona-se qual a escala mxima aproximada que justifica a utilizao da hiptese esfrica. Estudos realizados, principalmente por Willian Tobler, atravs da comparao de erros angulares e lineares, mostraram que a maior escala possvel de representao para uma rea de aproximadamente 8.000.000 Km2 , estaria algo em torno de 1/500.000, porm os erros padres indicavam que este nmero era muito otimista. Genericamente, pela considerao do erro grfico de 0,2 mm representando de 7 a 8 km, estarse-ia limitado a uma representao em torno de 1/15.000.000 ou menor. Em termos cartogrficos prticos, assume-se a escala mdia de 1/5.000.000 como possvel de representar a Terra como uma esfera. O raio de representao normalmente definido pelo raio terrestre mdio, estabelecido pela formulao: R =M . N , onde M o raio da seo meridiana e N o raio da seo normal ao

elipside, para o centro da latitude da regio a representar. Em termos gerais, valores de 6370 a 6372 km so utilizados normalmente para definir o raio terrestre com uma razovel preciso, na assuno da Terra como uma esfera.

2.4.3 - A Hiptese Elipsidica Obviamente o elipside ou o esferide adapta-se melhor ao Geide do que a esfera. Em razo disto, esta a superfcie de referncia mais amplamente empregada em levantamentos e mapeamentos. Por outro lado possui uma superfcie matematicamente desenvolvida, que permite a execuo de clculos diversos com uma preciso necessria para a cartografia de grandes reas. Para a execuo do levantamento de um pas, inicialmente determinada uma rede de pontos sobre a sua superfcie, que serviro de apoio determinaes posteriores. Essa rede de pontos so determinados de 1a ordem, ou de preciso, e estende-se por toda a regio a se levantar. Possuem alta preciso (da ordem do milmetro), podendo ser desenvolvida pelos processos clssicos planimtricos (Triangulaes, Trilaterao) ou modernamente com o auxlio de satlites de posicionamento geodsicos (NNSS e GPS). Para que os clculos possam ser desenvolvidos, determina-se o elipside que melhor se adapte regio (maior tangncia e menores desnveis geodsicos). 27

Esta hiptese da figura elipsidica gera menores erros na definio de uma superfcie de referncia para a Terra, sendo, portanto a superfcie ideal para o clculo de preciso (clculo geodsico). Esta superfcie, portanto apropriada todas as escalas de mapeamento topogrfico e de navegao, assim como para todas as cartas temticas e especiais que se apoiem nestes levantamentos. Estima-se como o limite, a escala aproximada de 1/4.000.000 a 1/5.000.000. A seleo de um elipside particular para uma regio, devido ao fato de parmetros de um adaptar-se melhor aos dados observados do que qualquer outro. No Brasil, a rede primria inicialmente estava desenvolvida sobre o elipside Internacional de Hayford, de 1924, sendo a origem de coordenadas estabelecidas no ponto Datum de Crrego Alegre. A partir de nossas observaes e clculos, o sistema geodsico brasileiro foi mudado para o SAD - 69 (South American Datum - 69) com elipside de referncia de 67 e o ponto Datum estabelecido no ponto CHU Astro Datum (Minas Gerais).

UNIDADE 3: POSICIONAMENTO DE PONTOS SOBRE A SUPERFCIE TERRESTRE 3.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS PLANASPara se determinar a localizao de um fenmeno ou de uma ocorrncia qualquer sobre a superfcie da Terra, deve-se sempre conhecer alguns elementos bsicos, que podem ser definidos por duas perguntas simples: onde ocorre e como chegar at ele? Em termos urbanos, um sistema de localizao composto do nome do Estado, nome da cidade, nome do bairro, nome da rua, nmero do prdio e nmero do apartamento, o suficiente para localizar um morador de uma cidade. Supondo-se agora que o morador em tela est localizado em um espao, surgiro obstculos que impedem a materializao matemtica de um sistema assim descrito, ou como represent-lo em forma matemtica. A instituio de um sistema de coordenadas vem a tornar um mtodo bastante conveniente de registro de uma posio no espao, qualquer que seja a dimenso que esteja sendo referenciada. Por coordenada entende-se ser qualquer dos elementos de um conjunto, que determina univocamente a 28

posio de uma posio no espao. O conjunto formado por tantos elementos quantas forem as dimenses do espao considerado e o nmero de elementos constitui-se uma caracterstica intrnseca do espao. A coordenada pode ser uma distncia, um ngulo, uma velocidade, um momento, etc. Um sistema de coordenadas conceituado como o conjunto de coordenadas, referido uma ou mais origens, que definem uma posio no espao. A noo de dimensionalidade essencial para a caracterizao dos sistemas de coordenadas associados cada espao. Assim, pode-se classificar os espaos segundo a sua dimensionalidade, estabelecendo suas caractersticas bsicas. Um espao 0-dimensional, no possui dimenso mensurvel, podendo ser visualizado e materializado atravs de um ponto. Um espao 1-dimensional ou unidimensional, s se percebe uma dimenso, por exemplo, um comprimento ou uma distncia entre dois pontos. Necessita-se de um ponto origem, e uma escala de unidade que permita, atravs dessa origem e a quantidade de unidades medida na escala, estabelecer o posicionamento linear de um ponto a outro. Neste caso, a coordenada definida pela distncia da origem at o ponto, em unidades especificadas.

Origem

O

P

Figura 3.1 Coordenadas unidimensionais Define-se um sistema 2-dimensional ou bidimensional, caracterizado por um plano ou duas dimenses, estabelecida uma origem nica para cada dimenso. Utiliza-se um sistema de coordenadas, que permita a locao conjunta dessas duas dimenses. Duas coordenadas so o suficiente para posicionar um ponto no espao. Duas retas que se interceptam definem um plano, que tambm definido por uma reta e um ponto ou por trs pontos. Um sistema 3-dimensional ou tridimensional definido por trs retas no coplanares que se interceptam em um mesmo ponto, trs planos que se cortam dois a dois ou quatro pontos. A definio da posio de um ponto estabelecida atravs de trs coordenadas. Sistemas apropriados de representao so desenvolvidos, para que se possa representar com preciso a posio de um ponto. Espaos com dimenses maiores podem ser definidos, quando se associam outras variveis. Por exemplo, associando-se a varivel tempo cria-se a condio de uma quarta dimenso. A associao de um maior nmero de variveis, permite o estabelecimento de varveis de dimenses maiores, definindo-se os sistemas multidimensionais ou n-dimensionais. Um exemplo relevante de um sistema 29

multidimensional o meio-ambiente terrestre no qual as diversas variveis componentes do meio ambiente passam a funcionar como elementos do sistema multidimensional. A utilizao de Geometria plana e no espao fundamental para o desenvolvimento e possibilidade de se estabelecer um sistema unvoco de posicionamento, no plano e no espao. Qualquer posio, seja em qual dimenso for, ter apenas uma nica representao no sistema e viceversa. A cada representao de um ponto corresponder a uma e apenas uma posio no espao. 1 - Sistema de Coordenadas Planas Existem diversas formas de se referenciar o posicionamento de pontos sobre um plano. Algumas delas so mais apropriadas ou mais simples, adaptando-se melhor aos objetivos a que se prestam.

1.1 Sistema de Coordenadas Retangulares A definio de um sistema de um par fixo de eixos, que se interceptam, permitindo a medio linear em duas direes, considerado como sendo um sistema cartesiano, conforme pode ser visto na figura 2. Figura 2 Um sistema cartesiano genrico

Origem Eixos Coordenados

Um sistema de coordenadas genrico compreende conjuntos ou famlias de linhas que se interceptam umas s outras, formando uma rede ou malha quando desenhada (figura 3).

Malha ou grade

Figura 3 Malha de famlias de linhas As condies necessrias que devem ser preenchidas pelo sistema so: 30

1 - as duas famlias sejam distintas entre si; 2 - que qualquer linha de uma famlia deva interceptar as linhas da outra famlia em apenas um ponto; 3 - duas linhas de uma mesma famlia no podem se interceptar. Desta forma, um sistema cartesiano pode abranger famlias de retas ou curvas que se interceptem sob quaisquer ngulos, conforme pode ser visualizado na figura 4.

Famlias de Curvas e Retas Sistema de Eixos

Figura 4 Famlias de curvas ou retas

Y

O

X

Figura 5 Sistema de eixos retos ortogonais Entretanto existem vantagens significativas para o caso especial de se tomar ambas as famlias de linhas retas e que se interceptem segundo direes ortogonais (perpendiculares entre si). A esse sistema d-se o nome de sistema plano retangular de coordenadas. Na figura 5, a origem do sistema retangular o ponto O, atravs do qual foram traados os eixos OX e OY, definindo a direo das duas famlias de linhas. A conveno matemtica estabelece o eixo horizontal OX como eixo X, definindo a famlia de coordenadas denominadas de abcissas e o eixo vertical OY como eixo Y, definindo a famlia de coordenadas denominadas de ordenadas. Sendo cada eixo uma linha reta e perpendicular um ao outro, segue-se que todas as linhas de uma mesma famlia sero paralelas entre si e todos os pontos de interseo dentro da rede so obtidos atravs de famlias de linhas retas perpendiculares (figura 6). 31

Y N y P x 0 M X

Figura 6 Posio de um ponto no plano A posio de um ponto P no plano, definida pelas duas coordenadas lineares PN = x e PM = y, tomadas da origem O, nos dois eixos, traados de P como perpendiculares aos eixos X e Y. A notao para designao da posio de um ponto P, atravs das coordenadas x = PN e y = PM, dado pelo par de coordenadas P (x,y). As unidades definidas para as coordenadas so unidades de medidas lineares, podendo ser milmetros, centmetros, metros, quilmetros, polegadas, ps, ou seja, unidades de qualquer sistema mtrico. Figura 7 Quadrantes e sinais das coordenadasY

o 4 Q xy+ xyo 3 Q 0

o 1 Q x+ y+ x+ yo 2 Qyr R

S ys

xs xp P yp O yq xr Q X

xq

Os eixos coordenados dividem o espao em quatro regies, denominados quadrantes e numerados, de 1 a 4, a partir do quadrante superior direito, no sentido horrio. A conveno de sinal para as coordenadas x e y, estabelece que as coordenadas sero positivas e negativas direita e esquerda do eixo Y e acima e abaixo do eixo X, respectivamente (figura 7). Assim, o sinal convencional das coordenadas so: 10 quadrante + x e + y 20 quadrante + x e - y 30 quadrante - x e -y 32

40 quadrante - x Exerccio Resolvido

e +y

1 Marcar a posio dos seguintes pontos em um sistema de eixos cartesiano plano, especificando o quadrante em que se encontram: A( 3, 5); B(8, -3), C(-7; 4); D(-3,-6); E(0, 5); F(5, 0) Soluo: a) Anlise do sinal A: x + e y + 1o Quadrante B: x + e y - 2o Quadrante C: x - e y + 4o Quadrante D: x - e y - 3o Quadrante E: x 0 e y + no pertence a nenhum quadrante; pertence ao eixo X A: x + e y 0 no pertence a nenhum quadrante; pertence ao eixo Y b) Plotagem nos eixos coordenadosY

C-4

-7

5F

3

A5

E5 -6 8 -3

X-3

B

D

1.2 Posio Absoluta e Relativa A posio absoluta de um ponto ser sempre estabelecida atravs das suas coordenadas, em relao origem do sistema de coordenadas. O ponto A(3, 5), ter portanto, coordenadas absolutas 3 e 5 em relao origem do sistema de coordenadas. A diferena de coordenadas entre dois pontos estabelece uma quantidade linear, equivalente a projeo da medida linear entre estes dois pontos em cada eixo coordenado, conforme a figura 8. 33

Tendo-se dois pontos genricos 1 e 2, definidos por suas coordenadas, (x 1 , y1) e (x2 , y2), podese determinar a diferena de coordenadas entre 1 e 2, genericamente, pelas grandezas x12 = ( x2 - x1 ) e y12 = ( y2 - y1 ) e x21 = ( x1 - x2 ) e y21 = ( y1 - y2 ), verificando-se que o valor de cada diferena idntico, porm de sinal contrrio, ou seja tm o mesmo valor absoluto e sinal contrrio. x12 = -x21 Exerccio resolvido: Determinar a diferena de coordenadas entre os pontos A( 3, 5) e B(8, -3), em relao ao ponto A e ao Ponto B. Soluo: xAB = ( xB - xA ) e yAB = ( yB - yA ) e xBA = ( xA - xB ) e yBA = ( yA - yB ) xAB = ( 8 - 3 ) = 5 e yAB = ( -3 - 5 ) = -8 xBA = ( 3 - 8) = -5 e yBA = ( 5 - (-3) ) = 8 Atravs destas igualdades, coordenadas, atravs das formulaes. x2 = x1 + x12 x1 = x2 - x21 seguintes:Y 1 (x1 1) x ,y 0 2 (x2,y2 ) y

verifica-se que as coordenadas de um ponto podem ser

perfeitamente determinadas se forem conhecidas as coordenadas de um deles e suas diferenas de y2 = y1 + y12 y1 = y2 - y21

As relaes trigonomtricas que envolvem coordenadas e diferenas de coordenadas so as

X

Figura 8 Diferena de coordenadas O ngulo , definido pelas diferenas de coordenadas, calculado pelas funes trigonomtricastg = y x y x

ou = arctg

34

e ainda = arctg

( y 2 y1 ) . ( x 2 x1 ) ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )

O ngulo por sua vez determinado pelas relaes = arctgtg = x y

ou = arctg

e

x , uma vez que so complementares. y

A determinao do comprimento da linha entre 1 e 2, estabelecida atravs da formulao de clculo da distncia entre dois pontos da geometria plana:

d12 = 12 = ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )2

[

2 1/ 2

]

ou

d12 =

x 2 + y 2

Por sua vez, pode-se em funo do comprimento d, medido entre 1 e 2 e do ngulo formado por esta linha e o eixo X, que estabelece o ngulo , pode-se tambm determinar as diferenas de coordenadas: x12 = (x2 - x1) = d cos y12 = (y2 - y1) = d sen Estabelecendo-se o clculo em funo do ngulo , definido pelo eixo Y e a direo da linha considerada, as relaes so as seguintes:x12 = ( x2 x1 ) = d12 sen = d12 sen( 900 ) y12 = ( y2 y1 ) = d12 cos = d12 cos( 900 )

Para a determinao de tg = x ( x 2 x1 ) = y ( y 2 y1 ) ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )Y y y O 4p4

e

= arctg

x p4

p4

x

p1 p1

1 yp1

p4

p1

p3

p3

p3

P

p2

p2

y 2

3

p2

x

p3

x

p2

X

35

Figura 9 Posio relativa de pontos segundo os quadrantes relativos A posio relativa estabelecida sempre entre dois pontos, ou seja, considerando-se um ponto 1 e um ponto 2, genricos quaisquer, tem-se a posio relativa do ponto 2 em relao ao ponto 1 e vice-versa. Este posicionamento relativo definido atravs das diferenas de coordenadas de um ponto em relao ao outro. A figura 9 mostra este raciocnio para os pontos P e os pontos 1, 2, 3 e 4. Define-se um dos pontos como uma suposta origem de um novo sistema de coordenadas, no qual, em lugar das coordenadas absolutas de cada ponto, so consideradas as diferenas de coordenadas entre estes mesmos pontos. O clculo das diferenas de coordenadas atravs dos ngulos e complica-se com a posio relativa dos pontos em outra posio diferente de valores das diferenas de coordenadas exclusivamente positivas (1o quadrante). Tem-se com isto que verificar continuamente a posio dos pontos, para se determinar qual o ngulo que est sendo computado para o clculo, sinal da diferena de coordenadas, sinal do seno, coseno ou tangente, uma vez que os ngulos e so sempre menores que 90, portanto fornecendo valores referidos ao 1o Quadrante. Facilita-se o problema, atravs da adoo de um ngulo, que tem como origem o ponto que se deseja definir a diferena de coordenadas, tomando-se como origem angular uma paralela ao eixo Y passando por este ponto e o valor angular contado no sentido horrio at a direo do segundo ponto. Pode ser facilmente verificado que a diferena entre os dois ngulos 12 e 21 ser sempre deY 2 34 3 1 X 12

21

4

43

180 , ou seja: 12 = 21 + 180o Por outro lado, o clculo das diferenas de coordenadas pode ser facilmente obtido a partir desta direo base, fazendo-se x12 = d12. sen12 e y12 = d12. cos12 1.3 Coordenadas Planas Polares

36

As coordenadas polares definem uma posio por meio de uma medio linear e uma medio angular. O par de eixos ortogonais substitudo por uma linha simples, OQ, passando pela origem O, agora denominado origem ou polo do sistema.Q O r P O - polo OQ - Eixo Polar OP=r - Raio Vetor - ngulo Vetorial

Figura 10 Sistema polar A posio de qualquer ponto P definida por meio de uma medio linear da origem ou polo ao ponto considerado e o ngulo formado entre o eixo polar OQ e a direo OP, respectivamente por meio da distncia OP = r e o ngulo QP = , definindo um par de coordenadas, caraterstica de um sistema plano de posicionamento. A linha OP denominada raio vetor e o ngulo ngulo vetorial, ngulo que o raio vetor faz com o eixo polar. Assim a posio de P definida pelo par de coordenadas P (r, ). Exemplo: Considerando-se o ponto O como polo de um sistema polar e a direo OQ como eixo polar, a posio de um ponto P de coordenadas (10, 30), ser dada por um esquema definido pela figura abaixo: O ngulo vetorial pode ser expresso em unidades sexagesimal (graus), centesimais (grados) ouQ Y P

N30Po lar Eix o

r 10 x M

P

y 0

Polo

O

X

ainda, em radianos, observado no sentido horrio. Figura 11 Relao sistema polar e sistema cartesiano As coordenadas polares relacionam-se com as coordenadas planas retangulares, atravs de relaes trigonomtricas simples. A figura 11 mostra a estrutura deste relacionamento.

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Toma-se o ponto P, de coordenadas planas retangulares (x, y). Assumindo-se agora o sistema polar onde a origem esteja em O, o eixo polar seja o eixo cartesiano OY, r = OP e = YOP e as coordenadas x = PN e y = PM, pela tringulo PON tiram-se as relaes: x = r sen y = r cos Estabelece-se assim o relacionamento de transformao de coordenadas polares para planas. O relacionamento inverso pode ser obtido segundo diversas formas de obteno das coordenadas polares em funo das coordenadas planas cartesianas. tg = x / y r = y sec r = x cosec r 2 = x2 + y2 sen = x / r cos = y / r Este relacionamento bastante simples, uma vez que as origens dos dois sistema esto coincidentes. Havendo um deslocamento entre origens, deve ser considerada a diferena de coordenadas entre os dois sistemas, conforme visto na figura 12.Y Ny x0

P r

O'

y0

x

O M

X

Figura 12 Sistemas relativos Neste caso, todos os relacionamento anteriores so vlidos, levando-se em considerao a diferena de coordenadas entre as duas origens O e O (x 0 , y0). As coordenadas de P em relao origem O sero: xp = x + x0 yp = y + y0 2 - Sistemas de Referncia Tridimensionais 38

Os sistemas tridimensionais so sistemas espaciais, portanto necessitam de trs coordenadas para o posicionamento de um ponto no espao. Alguns sistemas so extenses dos sistemas planos e outros so trabalhados de forma a definirem um sistema de representao mais especfico para determinada aplicao. 2.1 - Sistema Cartesiano e PolarTridimensional A extenso de um sistema cartesiano plano retangular para um espao tridimensional simples e de fcil compreenso. Um espao tridimensional possui evidentemente 3 dimenses fsicas: x, y, caracterizando um plano e a 3a coordenada z, constituda por uma famlia de planos. A definio agora, no mais refere-se a famlia de linhas ortogonais dois a dois. O sistema de eixos coordenados ser caracterizado pela interseo destes planos: OXZ, OYZ e OYX.Z

Pr z r1 y

O x

X

Y

Figura 13 Sistema tridimensional cartesiano A posio de qualquer ponto no espao ser definida pela interseo dos planos paralelos aos planos origem considerados. Assim um ponto ser determinado por um terno coordenado P (x, y, z). Consideraes semelhantes podem ser deduzidas para um sistema polar no espao, que atravs de uma distncia ao ponto pela origem (r) e dois ngulos vetoriais, tem a sua posio determinada por um conjunto de coordenadas do tipo P ( r, , ).

3.2 - Sistemas de Coordenadas na Esfera e no ElipsideEsfera e elipside (ou esferide) so corpos slidos e em conseqncia, um sistema de posicionamento de pontos sobre ou sob a sua superfcie, necessariamente tridimensional, sendo portanto exigidas trs coordenadas para a sua materializao. A idia de latitude, longitude, paralelos ou meridianos, muitas vezes j conhecida, porm sem os fundamentos que levaram sua caracterizao.

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desejvel portanto alguns comentrios um pouco mais profundos sobre a geometria da Terra, quando assumida como uma esfera perfeita, para introduzir uma notao padronizada para esta hiptese e mostrar algumas diferenas bsicas para o esferide. Inicialmente deve ser entendido o que precisamente representado por planos, arcos e ngulos em um e em outro. Sabe-se que: - uma esfera um corpo slido cuja superfcie eqidistante do centro; - toda esfera tem raio constante; - a normal a um plano tangente superfcie no ponto de tangncia um raio da esfera; - a distncia entre dois pontos na superfcie pode ser medida como distncia angular ou distncia arco. Estas so as propriedades principais da esfera e que sero essenciais para o prosseguimento das definies seguintes. - Se um plano intercepta uma esfera, a seo resultante da superfcie curva que traada no plano um crculo. - Um crculo mximo ou grande crculo o crculo de uma seo que passa pelo centro da esfera. Em outras palavras, o crculo PPCD e ABCD so crculos mximos. Todos com centros em O, centro da esfera. Um e somente um crculo mximo pode ser traado entre dois pontos na superfcie da esfera, que no sejam diametralmente opostos. O menor arco de um crculo mximo passante por dois pontos, a menor distncia entre estes pontos na superfcie esfrica. - Se o plano de interseo com a esfera no passa pelo centro da esfera, determina tambm uma seo circular, porm de raio menor que o raio da esfera. Esses crculos so denominados de pequenos crculos. Na figura, o crculo EFGH um pequeno crculo, de centro O. - O eixo de qualquer crculo uma linha reta passando pelo centro da esfera, perpendicularmente ao plano do crculo. Na figura a linha POP o eixo do crculo mximo ABCD. Pela definio de que apenas um crculo mximo pode ser traado por 2 pontos que no sejam diametralmente opostos, o eixo de dois ou mais crculos mximos no coincidem.

40

Por outro lado um crculo mximo e um nmero infinito de pequenos crculos podem ter o mesmo eixo. Neste caso especial, pela definio de eixo, o crculo mximo e os pequenos crculos sero paralelos entre si. Alm disso, se os planos so paralelos, as circunferncias dos crculos tambm so paralelas. Os polos de qualquer crculo so os pontos de interseo do eixo do crculo com a superfcie da esfera. Na figura P e P so os polos do crculo mximo ABCD. Pela definio que uma esfera tem raio constante e que a seo de um grande crculo passa pelo centro da esfera, os polos de um crculo mximo so eqidistantes do seu plano: PO = PO. Para um pequeno crculo, pode-se notar claramente a desigualdade entre PO e PO. - Se um crculo mximo denominado crculo mximo primrio, qualquer crculo mximo que passe por seus plos ser denominado crculo mximo secundrio. Como os polos so diametralmente opostos, pode-se definir infinitos crculos secundrios. Na figura os crculos mximos PFAPCH e PGBPDE, so secundrios ao crculo mximo ABCD. Como o eixo do crculo primrio coincide com o plano de cada crculo secundrio, pode se verificar que o plano, e portanto, a circunferncia de cada crculo secundrio, perpendicular ao plano e circunferncia do crculo mximo primrio. Alm disso quaisquer pequenos crculos que tenham um eixo comum a um crculo mximo primrio, tero tambm planos e circunferncias perpendiculares aos crculos secundrios desse crculo mximo. Coordenadas Geogrficas A construo da rede geogrfica se inicia a partir do movimento de rotao da Terra em torno de um eixo imaginrio vertical. Os pontos da Terra por onde este eixo emerge, so conhecidos como Plo Sul e Plo Norte (vide figura 2).

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Figura 2: Eixo daTerra e Plos Norte e Sul Para melhor entender a construo desta rede geogrfica, partimos de um plano horizontal perpendicular a este eixo, que passa bem no centro da Terra. Ao cortar a superfcie terrestre, este plano horizontal forma a linha do equador, que divide o globo em dois hemisfrios, o norte (HN) e o sul (HS). Vide figura 3.

Figura 3: Equador e Hemisfrios No dado nenhum nome especfico aos crculos mximos secundrios, mas a palavra meridiano define cada semicrculo de um par, que juntos formam um crculo secundrio. A cada meridiano, ope-se o seu antimeridiano, ou seja, o meridiano diametralmente oposto. O crculo mximo secundrio completo compreende o meridiano e o seu antimeridiano. Em seguida, so traados uma srie de outros planos horizontais, que cortam o globo terrestre formando pequenos crculos, paralelos ao plano do equador. Estes crculos, denominados paralelos, diminuem de tamanho a partir do equador (que um crculo mximo) at os plos, devido curvatura da Terra (vide figura 4). O raio de um paralelo, dessa forma variar desde o raio terrestre, no equador at zero nos polos.

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Figura 4: Paralelos e Meridianos Pelo conceito da utilizao de ngulos centrais (a partir do centro de uma esfera), para medir distncias sobre a superfcie curva, pode-se inferir um sistema de coordenadas tridimensionais polares como um mtodo de locao de pontos sobre a superfcie da esfera tendo o seu centro como origem. Como uma extenso do conceito de coordenadas polares visto anteriormente, um ponto pode ser localizado no espao atravs de dois ngulos vetoriais e um raio vetor. Isto define um sistema polar esfrico ou coordenadas esfricas polares. Na esfera o raio vetor constante, logo, qualquer ponto na superfcie poder ser ento localizado pela definio apenas, dos dois ngulos vetoriais. So escolhidos para isto dois planos ortogonais que se interceptam no centro da esferas, considerados ento como origem. Figura 5 Coordenadas terrestres

Um plano j foi definido e o plano do Equador. O Equador utilizado como origem para as medies do ngulo vetorial conhecido como latitude. O outro plano um plano arbitrrio, definido pelo meridiano que passa pelo centro tico da luneta do Observatrio de Greenwich, utilizado para as medies do ngulo vetorial denominado de longitude. Formalmente define-se a latitude de um lugar como o ngulo vetorial entre o Equador e o lugar, medido sobre o meridiano que o contem, na figura 5, o ngulo AQ. positiva se for medida do Equador para o norte e negativa se medida em direo ao polo Sul. A latitude expressa em unidades sexagesimais, ou seja, graus, minutos e segundos. notada pela letra grega (fi). Vide figura 5. Para qualquer valor de latitude , existiro uma infinidade de pontos na superfcie terrestre, que fazem este mesmo ngulo com o Equador. O lugar geomtrico desses pontos a circunferncia de crculo, cujo plano paralelo ao Equador. 43

Assim os planos de todos os paralelos so paralelos ao Equador e compartilham o mesmo eixo. Segue-se que qualquer paralelo ser um pequeno crculo, porque o Equador um crculo mximo. Para obtermos a posio de qualquer ponto na direo norte-sul so dados valores a estes crculos. Por se destacar nitidamente, a linha do equador recebe valor zero, ou seja possui latitude igual a 0, sendo portanto, considerada a origem da contagem destas coordenadas (latitude). Cada crculo ou paralelo, vai recebendo um valor em graus, que cresce para norte ou sul a partir do equador at os plos. Essa variao de valores medida em graus de latitude, e vai de 0 a 90 N (no hemisfrio norte)1, e igualmente de 0 a 90 S (no hemisfrio sul)2. Vide figura 11.

Figura 5: Contagem das latitudesDefine-se a latitude de um ponto P - - como a distncia angular, positiva ou negativa, dependendo do hemisfrio considerado, contada sobre o meridiano que passa por P, a partir do equador at o paralelo que tambm passa por este ponto.

Nota: Alm do equador existem quatro paralelos especiais. No hemisfrio norte ficam o Trpico de Cncer (23 27N) e o Crculo Polar rtico (66 33N), e no hemisfrio sul situam-se o Trpico de Capricrnio (23 27S) e o Crculo Polar Antrtico (66 33S).

A longitude o ngulo vetorial definido pelo plano do meridiano origem e o plano do meridiano passante pelo lugar, medido sobre qualquer paralelo ao Equador,uma vez que este ngulo esfrico. A escolha de um meridiano origem arbitrria. Porm mundialmente aceita a definio do meridiano que passa pelo eixo da luneta do Observatrio de Greenwich, na Inglaterra, como meridiano origem para as medies de longitude. Existem, no entanto, pases que ainda adotam outros meridianos como origem de suas coordenadas, exceto para navegao, devido a ser padronizado internacionalmente. Vide figura 6. Ao Primeiro Meridiano (Greenwich) atribudo valor zero, ou longitude igual a 0. Os demais recebem valor variando de 0 a 180 E (leste) ou 0 a 180 W (oeste), conforme o hemisfrio oriental ou ocidental em relao ao meridiano de Greenwich. Igualmente as latitudes, as longitudes tambm foram1 2

Que tambm so convencionadas como coordenadas positivas (0 a +90) Que, ao contrrio, so convencionadas como negativas (0 a 90)

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convencionadas como positivas ou negativas, atribuindo-se a leste ou valores positivos e a oeste, os negativos. O Brasil se encontra totalmente a oeste de Greenwich, possuindo assim, somente longitudes negativas.

Figura 6: Meridiano de Greenwich (Melhoramentos, 1998)

Define-se a longitude de um ponto P - - como a distncia angular, positiva ou negativa, dependendo do hemisfrio considerado, contada sobre o equador, a partir do meridiano de Greenwich at o meridiano que passa por P. Ser positiva se estiver a este de Greenwich e negativa se estiver a oeste. notada pela letra grega (lmbda), sendo tambm medida em unidades sexagesimais.Meridiano Origem+ + + +

Equador

Figura 7 Sinal da latitude e longitude A definio de coordenadas de um ponto sobre a superfcie terrestre ser dada ento pela dupla ( , ). A diferena de coordenadas entre dois pontos 1 e 2, genricos quaisquer, pode ser expressa pelas relaes: = 2 - 1 = 2 - 1 A malha resultante de paralelos e meridianos definem o sistema de coordenadas geogrficas conhecidas como gratcula, seja com referncia a superfcie terrestre, seja em relao sua 45

representao em um plano atravs de uma projeo cartogrfica. Uma interseo de gratcula define um ponto na superfcie de coordenadas geogrficas (, ). Esta conveno internacionalmente aceita. Vide figura 7.

Figura 7: Sistema de coordenadas terrestre a gratcula (Tyner, 1992) As coordenadas geogrficas constituem a forma mais eficiente de prover uma referncia de posicionamento unvoco em Geografia, navegao e outras cincias afins. A rede de paralelos e meridianos (gratcula) efetua o controle geomtrico para o uso de um mapa, reconhecida universalmente a diferentes nveis de utilizao. Existem outros sistemas, porm de uso mais restrito, podendo-se citar o sistema de coordenadas de azimute e distncia e o prprio sistema cartesiano tridimensional. Estes sistemas, porm so interrelacionados e podem ser transformados de um para outro, bastando que para isso se conhea parmetros de translao, rotao e escala entre elas. Fica faltando relembrar que, para ambos os casos, tanto para a latitude como para a longitude, objetivando uma maior preciso na localizao, a unidade grau subdividida em minutos e segundos. Como j sabido 1grau (1) possui 60 minutos (60), enquanto um minuto possui 60 segundos (60).

Exerccio Resolvido: 1) Considere dois pontos, A e B, localizados sobre a superfcie terrestre. Conhecendo-se suas coordenadas geogrficas, calcule as diferenas de coordenadas, latitudinal e longitudinal, e identifique os hemisfrios em que os pontos se encontram. A = -23o 24 30 B = -47o 04 10 A = 05o 00 40 B = -55o 54 07 46

Soluo: As diferenas de coordenadas latitudinal e longitudinal so obtidas pelas frmulas = 2 - 1 e = 2 - 1, tendo-se para o caso de A e B: AB = B - A AB = 05o 00 40 (-23o 24 30) = 28o 2510 AB = B - A AB = -55o 54 07 (-47o 04 10 ) = -8o 4957 Quanto a localizao, tem-se que os pontos A e B se encontram no hemisfrio Sul (latitudes negativas) e, respectivamente, a Este (longitude positiva) e Oeste de Greenwich (longitude negativa).

3.3 CONCEITO DE AZIMUTE E ARCOS NA SUPERFCIE TERRESTRE1 - ngulos e Distncias na Terra Conceito de Azimute Um ngulo esfrico a medida angular no ponto de interseo, de dois arcos de crculo mximo medidos na superfcie curva da esfera. Ele igual ao ngulo plano formado entre as duas tangentes traadas no ponto de interseo, a cada crculo mximo. Considerando-se os crculos mximos PA e PB, o ngulo DPA igual ao ngulo plano KPJ. Figura 1 ngulo esfrico

Por essa figura, pode-se verificar que a longitude pode ser medida em qualquer ponto do eixo de rotao, uma vez que este ngulo pode ser medido em um plano paralelo ao Equador. Na figura 1, o ngulo plano KPJ e o ngulo esfrico APD so iguais. Um segundo conceito angular importante o conceito de azimute, entre dois pontos, introduzindo a noo de ngulos e direes sobre a superfcie terrestre.

47

Considerando-se 3 pontos N, A e B conforme a figura 2, onde N o Plo Norte e NA um arco de crculo mximo, representando o meridiano A, similarmente com B e NB. A linha AB representa a menor distncia entre A e B, portanto um arco de crculo mximo, definindo-se um tringulo esfrico, formado pela interseo dos 3 crculos mximos. Figura 2 Azimute

O azimute de um ponto a outro, genericamente definido como o ngulo formado entre a direo norte e a direo ao outro ponto, contado no sentido horrio. Em termos da superfcie terrestre, pode ser visto como o ngulo esfrico formado entre qualquer crculo mximo e um meridiano, tendo como origem a orientao para o Norte. O ngulo NAB representa o azimute de A para B e NBA o azimute de B para A. 2 - Comprimento de Arcos de Crculos e Esfricos O comprimento C do arco de uma circunferncia dado pela relao: C=2 R Onde R o raio do crculo considerado, 2 a constante da relao e C corresponde ao desenvolvimento de um ngulo central igual a 360. O comprimento de um arco de crculo, ser dado de forma semelhante, pela formulao: AB = R. z onde R o raio do crculo e z o ngulo central AOB, expresso em radianos, conforme pode ser visto na figura 3. Figura 3 Comprimento de um arco de crculo

48

3 Comprimento de um Arco de Meridiano Sendo os meridianos arcos de crculo mximo, todos tm portanto o raio terrestre como raio definidor. Na figura 4, considerando-se um meridiano qualquer, o arco de um meridiano ir corresponder diferena de latitudes entre dois pontos quaisquer, sobre este mesmo meridiano. Desta relao, introduzindo as notaes correspondentes, o comprimento de um arco de meridiano, entre dois pontos A e C quaisquer, de coordenadas A = (a, a) e C(C, C), sobre um mesmo meridiano ser:S m = RAC onde AC = (C A )

N

D C

B O

CA E

E F

S

Figura 4 Arcos de meridianos e paralelos Todos os ngulos expressos em radianos. 4 - Comprimento de um Arco de Paralelo Sabe-se que um paralelo um pequeno crculo, assim o raio do pequeno crculo definido pelo paralelo ser sempre menor que o raio da esfera r p < RT. Assim, para uma distncia angular dada, a distncia arco no paralelo menor que a distncia correspondente ao longo do Equador. Na figura, NCAF corresponde ao meridiano de longitude a e NDBE o meridiano de B, de longitude b, portanto o ngulo AOB = FOG = = b -a.r O' 90 -

R

49O

Figura 5 Raio de um paralelo Da formulao de arco de um crculo: EF = R AB = r Do tringulo OFO, retngulo em O Tira-se: r = R sen (90 - ) r = R cos Consequentemente a distncia arco ao longo de um paralelo de latitude determinado por: Sp = R cos 5 - Comprimento de um Arco Qualquer de Crculo Mximo Considerando-se dois pontos A e B, com as coordenadas (a, a) e (b, b) respectivamente deve-se resolver o tringulo esfrico NAB, na figura 2, para determinar o lado AB = z. Expressando a formulao, sem deduo, em funo da latitude e longitude de A e B, definese:: cos z = sen a sen b + cos a cos b cos( ) ou cos z = sen a sen b + cos a cos b cos (a - b) E finalmente: S=Rz 6 - Determinao do Azimute O azimute entre dois pontos A e B qualquer, pode ser definido atravs da trigonometria esfrica NAB = Z. A deduo de equao conduz formulao cot Z = cos a .Tg b .cosec - sen a cot 7 - Convergncia de Meridianos O azimute de A para B e B para A no so recprocos, ou seja, + 180. Diferem de uma quantidade mostrado na figura. ou e

A50

' B

Isto leva a uma concluso importante que um azimute de qualquer crculo mximo que cruza um meridiano obliquamente, somente pode ser definido no ponto que estiver sendo medido, significando que o azimute muda continuamente, a razo para isto existncia da quantidade angular denominada convergncia meridiana. No Equador o arco entre 2 meridianos : Sa = R . Nos plos a distncia correspondente nula. No Equador, os meridianos a e b so perpendiculares a ele, interceptando-se nos polos para definir a diferena de longitude . A convergncia entre dois meridianos em qualquer latitude intermediria, expressa pelo ngulo , variando de 0 no Equador at nos plos. Pode ser presumida que varie ento de acordo com o seno da latitude ( 0 a 1 ), logo: = . sen Para uma linha AB qualquer entre os paralelos a e b, usual expressar a convergncia em termos de uma latitude mdia:

( + ) = s e n a b 28 - Sistema de Coordenadas no Elipside A utilizao da figura do elipside de revoluo como representativo da forma da Terra, tem por objetivo a maior aproximao entre o geide e o elipside, acarretando com isso erros menores no desenvolvimento de clculos geodsicos. Isto acarreta a necessidade de um estudo profundo da geometria do elipside e sua adaptao superfcie terrestre. No ser desenvolvido isto aqui, tendo em vista que foge aos objetivos do curso, uma vez que clculos que requeira