CONTEDO

EXPONENCIAL & LOGARITMO

PROF: Juscelino Corra

Leis dos ExpoentesSe x e y so nmeros reais e a e b so nmeros reais positivos, ento pelas propriedades da potenciao, temos: ax.ay= ax + y ax / ay= ax - y (ax) y= ax.y (a.b)x = ax.bx (a / b)x = ax / bx a-x = 1 / axIntroduoVoc sabe como os cientistas fazem para datar um material orgnico como, por exemplo, um osso de dinossauro?

Eles se baseiam em um efeito chamado desintegrao radioativa para fazer essa estimativa. Substncias qumicas, chamadas radioativas, com o passar do tempo emitem partculas e se transformam em outras substncias, o que faz a sua massa original diminuir. O ritmo de desintegrao de cada substncia radioativa diferente e no depende da massa original, da temperatura ou de qualquer outra condio. O tempo para que uma substncia tenha sua massa original reduzida pela metade chamado de meia-vida. Assim, estimando a massa original de uma substncia no organismo vivo e sabendo a massa no material coletado possvel avaliar a quanto tempo o organismo est morto.Funo Exponencial

Definio: A funo f :R R dada por f(x) = ax ( com a 1 e a > 0) denominada funo exponencial de base a e definida para todo x real.Propriedades

1) Na funo exponencial y = ax temos: Se x = 0 ento y = a0 = 1, isto o par ordenado (0,1) satisfaz a lei y = ax para todo o a ( a > 0 e a 1). Isso quer dizer que o grfico de qualquer funo exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1.2) Se a > 1 ento a funo crescente: Se x < y ento ax ay observa que os sinais so opostos.Domnio e Imagem da Funo Exponencial

Vamos estudar um pouco mais a fundo a funo exponencial. Sabemos que essa funo tem a seguinte forma f(x) = ax. Qual ser seu domnio? E sua imagem?D(f) = Im(f) = *+O termo x a varivel do nosso problema e pode assumir qualquer valor real. Portanto o domnio da funo o conjunto de todos os nmeros reais. E a imagem? Bem, sabemos que a um nmero diferente de um e positivo, ento, a imagem ser sempre um nmero positivo. Portanto, o conjunto de todos os nmeros reais positivos e no nulos. A funo exponencial uma funo onde o domnio o conjunto dos reais e a imagem o conjunto dos reais positivos e no-nulos e tem a seguinte forma f(x) = ax, onde x a varivel do problema e a um nmero diferente de um e maior do que zero, chamado de base.Grfico da Funo Exponencial

O grfico da funo exponencial pode ser de dois tipos diferentes: crescente ou decrescente. E isso depende do valor da base, vamos ver de que maneira.

Base maior que zero e menor do que um (0< a 1)Considere a funo f(x) = 2x. Observe, no quadro ao lado, que o grfico crescente e cruza com o eixo y no ponto (0,1).

X

-2-1012

Y

1/41/2124

Ento, sempre que a base da funo formaior do que umseu grfico ser crescente. Podemos escrever isso da seguinte maneira:

E quando a base da funo um nmero entre zero e um o grfico da funo exponencial decrescente, ou ainda:A partir dos grficos anteriores podemos observar as caractersticas das funes exponenciais: O domnio da funo, como j vimos, o conjunto dos nmeros reais; A imagem da funo o conjunto dos nmeros reais positivos e no-nulos; A funo injetora, pois para diferentes valores de x obtm-se diferentes valores de f(x); A funo sobrejetora, pois para qualquer valor y da imagem existe associado um valor x do domnio; A funo bijetora, pois ela injetora e sobrejetora. Assim, ela admite uma funo inversa.

Equaes exponenciaisPara resolver equaes exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:1) reduo dos dois membros da equao a potncias de mesma base;2) aplicao da propriedade:

As equaes exponenciais so equaes em que a varivel aparece como expoente. Resolver a equao significa encontrar todos os valores da varivel que tornam a sentena verdadeira. Vamos ver alguns exemplos.O conjunto soluo da equao 3 x - 2 = 9 x + 1 S = {- 4}.Resolver a equao 3 x - 2 = 9 x + 19 x + 1 = (32) x + 1 = 3 2x + 23 x - 2 = 3 2x + 2 x - 2 = 2x + 2 x = - 4O conjunto soluo da equao 2x+2 + 2x1 = 18 S = {2}.

Resolver 2 x + 2 + 2 x 1 = 182 x + 2 = 2x 22 e 2 x 1 = 2x 2-1

2 x + 2 + 2 x 1 = 18 2x 22 + 2x 2-12x(4 + 1/2) = 18 2x9/2 = 18 2x = 22x = 2

O conjunto soluo de 6 2x - 1 : 6 x - 3 = 64 S={2}.

Resolver 6 2x - 1 : 6 x - 3 = 646 2x - 1 : 6 x - 3 = 6 (2x - 1) - (x - 3) = 6 x + 2

6 x + 2 = 64 x + 2 = 4 x = 2Inequaes exponenciais

As inequaes exponenciais so desigualdades onde a varivel aparece como expoente. Resolver a inequao significa encontrar todos os valores da varivel que tornam a desigualdade verdadeira. Para resolver as inequaes exponenciais temos que lembrar as propriedades de crescimento e decrescimento da funo exponencial.

O conjunto soluo da inequao0,7x 0,7 S = {x / x 1}Resolver a inequao 0,7x 0,7SOLUO: Os dois lados da expresso apresentam a mesma base 0,7 que menor do que um. Nesse caso, a funo exponencial decrescente. Ento:0,7x 0,7 x 1O conjunto soluo da inequao 10x - 3 > 1 S = {x x > 3}Resolver 10x - 3> 1A inequao vai ser escrita como 10x - 3 > 100. Observe que, agora, a base vale 10, ou seja, maior do que um. Ento, a funo exponencial crescente. Assim:10x - 3 > 100 x - 3 > 0 x > 3EXERCCIO

Questo 1 |Fazer o grfico da funo abaixo e mostrar se ela crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a< 1).

a) f(x) = 3 x

X

-2-1012

Y

1/91/3139

Questo 2 |Resolva as seguintes equaes:

a) 23x = 512

b) 34x + 1 = 96

c) 75x - 2 = 71 x

d) 22x - 92x + 8 = 0

e) 9x + 3 - 43x = 0

Questo 3 |Considere as seguintes funes: I) f(x) = x5II) f(x) = 5x

III) f(x) =

IV) f(x) =Assinale a alternativa correta:a) Somente I no funo exponencial.b) I e III no so funes exponenciais.c) Somente II uma funo exponencial.d) I e IV no so funes exponenciais.e) Todas so funes exponenciaisQuesto 4 |Dadas as funes: I) f(x) = 3xII) f(x) = 0,7x + 2

III) f(x) =

Assinale a alternativa corretaa) II funo exponencial de base 0,72 0,7.b) Somente I funo exponencial.c) Somente III no funo exponencial.d) III funo exponencial de base .e) Somente II no funo exponencial.

Questo 5 |Considere as seguintes equaes exponenciais 3x = 243 2x + 2x + 1 = 24 e 3.2x + 1 4 . 2x 2 6 . 2x = 4

Qual das seguintes alternativas apresenta o valor da soma das solues dessas equaes? a) 10b) 9c) 8d) 7e) 6

RESPOSTA: 5 + 3 + 2 = 10

Questo 7 |Resolva a equao 2 x 1 + 2 x + 3 + 2 x 2 + 2 x = 2496a) x = 8c) x = 7b) x = 6d) x = 9e) x = -7

Questo 8 |Num experimento com um certo tipo de bactria foi observado que a populao em um certo instante t era definida pela funo f(t)= p0 4at, onde t dado em minutos. Qual era a populao inicial desse experimento se depois de 1 minuto a populao era de 64 bactrias e depois de 3 minutos era de 256 bactrias?a) 32 bactriasb) 16 bactriasc) 8 bactriasd) 2 bactriase) 1 bactria

Questo 9 |Se 8x = 32, ento x igual a:a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4

Questo 10 |

Se , ento igual a:a) 1 c) 3b) 2 d) 5e) 6

Questo 11 |

O valor de x que satisfaz a equao :

a) 1 c) 5/2b) 3 d) 1/3e) 2/5

Questo 12 |Se 2x = 2048, ento, x vale:a) 7 c) 13b) 11 d) 17e) 19

Questo 13 |

Se m=, ento:a) m = 0,1 b) m = ( 0,1)2 d) m = ( 0,1 )4c) m = ( 0,1 )3e) m = ( 0,1 )5

Questo 14 |

A soluo da equao um nmero x, tal que:a) 0 < x < 1b) 1 < x < 2 d) x > 3c) 2 < x < 3 e)x < 0

Questo 15 |

Se , valer:a)

b) -9 d)c) 49 e) 1

Questo 16 |

A soma das razes da equao , :a) 0 c) 1b) -1 d) 7e) 8

Questo 17 |

Se , ento 15 x2 vale:a) 16 b) 15 d) 11c) 14 e) 6

Questo 18 |

O conjunto soluo da equao:a) { 1; 4 } b) {1 ; 2 } d) { 0; 2 }c) { 0; 1 } e)

Questo 19 |

Se e , ento igual a:a) 16 b) 64 d) 256c) 128 e) 512

Questo 20 |Os nmeros inteiros x e y satisfazem 2x+1 + 2x = 3y+2 3y. Ento x :a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Questo 21 |

A expresso igual a:a) 2x b) 2-x d) 7c) 2-3 e) 8

Logaritmos

DEFINIO: Chama-se logaritmo de um nmero "b" na base "a" ("a" e "b" reais positivos e "a" diferente de 1), o expoente que se deve dar base "a", de modo que a potncia obtida seja igual a "b".

Condio de existncia dos logaritmos: Para que os logaritmos sempre existam, devemos ter:

EXEMPLOS1)

2)

Consequncias da definio:

1) O logaritmo de 1, em qualquer base, igual a zero:

, pois a0 = 1

2) O logaritmo da base, qualquer que seja, igual a 1:

, pois a1 = a

3) A potncia de base a e expoente loga b b:

= b

4) Se dois logaritmos em uma mesma base so iguais, ento os logaritmandos, tambm, so iguais:

b = c

Propriedades dos logaritmos

1) Logaritmo do Produto: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo do produto de dois fatores reais positivos igual soma dos logaritmos dos fatores.

2) Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo do quociente de dois fatores reais positivos igual diferena entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

3) Logaritmo da Potncia: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo de uma potncia de base real positiva e expoente real igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia.

Destas, voc tambm tira: Definio de cologaritmo.

Cologab= -loga b = loga(1/b)

EXEMPLO:

Definio de Antilogaritmo

EXEMPLO:

Outra operao que pode ser necessria facilitao dos clculos dos logaritmos a chamada Mudana de Base.

EXEMPLO: Calcule o valor de sabendo que e

Logaritmos decimais. o sistema de base 10 ou sistema de Briggs.

Indica-se: log10 xoulog x

IMPORTANTE: Quando tratamos, de Logaritmos decimais (base 10), chamamos este nmero "c" de caracterstica do logaritmo de "b".

Se b > 1 a caracterstica do logaritmo decimal (c) igual ao nmero de algarismos da parte inteira de b, menos 1.Exemplos: para log 2,3 -> c = 0; log 31,421-> c = 1; log 6542,3 -> c = 3.

Se zeros precedem o primeiro algarismo significativo, ento a caracterstica ser negativa e, em mdulo, igual a esta quantidade de zeros.Exemplos: log 0,2 -> c = -1; log 0,00405 -> c = -3; log 0,00053 -> c = -4.Para calcular o log de um nmero, alm da caracterstica "c", precisamos, tambm, de "m" (mantissa) que um nmero real no negativo e menor do que 1.

A mantissa obtida nas Tbuas (Tabelas) de Logaritmos que fornecem os valores aproximados dos logaritmos dos nmeros inteiros geralmente de 1 a 10.000.

Os logaritmos de dois nmeros cujas representaes decimais diferem apenas pela posio da vrgula tm mantissas iguais.

Podemos escrever: log b = c + m

Exemplos:1) log 23,4 = c + mc = 2 - 1 = 1

m = 0,3692 (que a mesma do nmero 234)log 23,4 = 1,3692

2) log 0,042 = c + mc = - 1-1 = -2m = 0,6232 (que a mesma de 420)log 0,042 = -2 + 0,6232 = -1,3768

Logaritmos Neperianos. o sistema de base e ou sistema de logaritmos naturais.

Indica-se:

Anote:Nmero de Euler (e). Em homenagem ao matemtico suoLeonhard Euler, a base dos logaritmos naturais.

AtividadesResolvidas

Questo 1 |

Se log3 = x, calcule o valor de x.

Soluo. Aplicando o conceito de logaritmo, temos: . Igualando o 1 membro e o ltimo, temos:

Questo 2 |Se log (2x -5) = 0, calcule o valor de x.

Soluo. Lembrando que log10 = log e aplicando o conceito de logaritmo, temos:

Questo 3 |

Se , calcule x + y. Soluo. Utilizando exponenciais e logaritmos, temos:

. Substituindo o valor de x, vem:

. Resolvendo para y,

Questo 4 |

Calcule o valor numrico real da expresso .

Soluo. Se x = log381, ento 3x = 81= 34. Logo, x = 4. Reescrevendo a expresso, temos: .

Questo 5 |Se x + y = 20 e x - y = 5 calcule log(x2 - y2).

Soluo. Na fatorao, (x2 y2) = (x + y).(x y). Aplicando a propriedade do produto de logaritmos, temos: . Pela propriedade da potncia, vem:

Questo 6 |

O nmero real x, tal que logx :

Soluo. Aplicando o conceito de logaritmo, vem: . Elevando ambos os termos ao quadrado, temos:

Questo 7 |

Se k = log5(6 + ), calcule 5k + 5-k.

Soluo. Pelo conceito de logaritmo, se k = log5(6 + ) ento, . Da mesma forma temos: Logo,

Questo 8 |Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule log60.

Soluo. Decompondo 60 em fatores primos, temos: 60 = 22 x 3 x 5. Aplicando as propriedades do logaritmo, e expressando calculamos: Substituindo os valores iniciais, encontramos: Questo 9 |Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual ser o valor de log 28?Soluo. Decompondo 28 em fatores primos, temos: 28= 22 x 7. Aplicando as propriedades do logaritmo e substituindo os valores iniciais, encontramos:

Questo 10 |

Se log2 b - log2 a = 5, calcule o quociente .

Soluo. Aplicando a propriedade do quociente, vem: . Logo, pela definio, temos:

Questo 11 |Dado o sistema calcule x + y.

Soluo. Utilizando propriedades, temos: . Igualando os logaritmandos da 1 equao e os expoentes da 2, vem:

. Logo x = 3(1) =3. Ento, x + y = 4.

Questo 12 |

Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, ento .

Soluo. Aplicando as propriedades do logaritmo, e escrevendo expressando , e temos:

. Substituindo os valores iniciais, encontramos:

Questo 13 |Dado log 4 = 0,602, calcule o valor de log 325.Soluo. A informao sugere que escrevamos:

32 = 4 x 8 = 4 x 4 x 2. Aplicando as propriedades, temos:

Questo 14 |Se log 2 = x e log 3 = y, calcule log 375.

Soluo. Decompondo 375 em fatores primos, temos: 375= 3 x 53. Aplicando as propriedades do logaritmo, e expressando calculamos: Substituindo os valores iniciais, encontramos:

Questo 15 |

Calcule a expresso + log 0,001 + log.Soluo. Calculando cada termo separadamente, temos:

i)

ii)

iii)

Substituindo, temos: + log 0,001 + log=

Questo 16 |

Calcule a expresso log + log + log - log.Soluo. Expressando cada termo de acordo com as propriedades, temos:

i)

ii)

iii)

iv)

Substituindo na soma dos trs primeiros termos, temos:

log+ log+log=Resolvendo a subtrao, vem:

Mais importante que a vontade de vencer a coragem de comear, e lembre-se de que at um ponta-p na bunda te empurra pra frente.RASCUNHO

CONTEDO 2014SOU OSVALDO CRUZAQUI CERTEZA DE VENCER!!!

CONTEDO 2014SOU OSVALDO CRUZ AQUI A CERTEZA DE VENCER!!!