Apostila de Matemática Financeira

1 Apostila de Matemática Financeira aplicada ao Curso Técnico em Farmácia

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Professora Renata da Silva Dessbesel - [email protected]

INTRODUÇÃO

No Curso Técnico em Farmácia estudaremos primeiramente os conceitos de Matemática

Financeira e suas aplicações.

A Matemática Financeira está presente no cotidiano da humanidade desde a Antiguidade. A

Matemática foi sendo utilizada para o comércio e para as finanças em decorrência da necessidade de

melhor entendimento entre as atividade de troca. A ideia de juros apareceu quando o homem constatou

a relação entre o capital e o tempo.

O homem percebeu que a moeda possuía um valor temporal, ou seja, um capital emprestado

representava um recurso que deixou de ser investido em algo e por isso merecia uma remuneração

adicional que justificasse o empréstimo, uma espécie de compensação.

A matemática financeira da atualidade resulta das transformações e necessidades de padronizar,

mensurar e avaliar em préstimos, investimentos, bem como previsões de movimentação de capital no

mercado, descontos, resultados dos investimentos .

Nesta disciplina faremos também o estudo dos cálculos farmacêuticos, diretamente aplicáveis á

prática profissional. Na farmácia os Sistema Internacional de medidas é muito uitlizado, seja para

produzir e etiquetar produtos framacêuticos, seja para escrever e manipular prescrições ou medir e

pesar os pacientes.


MATEMÁTICA APLICADA NA FARMÁCIA

1. Sistema Internacional de Medidas (SI)

O Sistema Internacional de Medidas (SI), antigamente chamado de sistema métrico, é

um sistema decimal de pesos e medidas internacionalmente reconhecido. Ele foi formulado na

França, no fim do século XVIII. Em 1875, os Estados Unidos assinaram um acordo

internacional, conhecido como Treaty of the Meter, que criou o International Bureau of

Weights and Measures, em Sevres, França, a fim de estipular padrões de medidas para uso

mundial. Em 1960, o Sistema Internacional de Medidas (Le Systeme Internacional d’Unites),

uma versão modernizada do sistema métrico, foi desenvolvido pela Conferência Geral de

Pesos e Medidas (Conference Generale dês Poids et Mesures). Para encorajar a conversão ao

sistema internacional, o Congresso norte-americano aprovou o Ato de Conversão Métrica de

1975 e a Lei Geral Relativa ao Comérdio e à Competitividade, de 1988. O processo de

mudança dos sistemas comuns e unidades de medida (p. ex., libras, pés, galões) para o

sistema métrico SI é chamado de transição métrica ou metrificação. Atualmente, a pesquisa

farmacêutica e a indústria, os compêndios oficiais, a United States Pharmacopeia – National

Formulary e a prática farmacêutica utilizam a conversão para o sistema internacional. As

razões para essa transição incluem a simplicidade do sistema decimal, a clareza provida pelas

unidades básicas e prefixos do SI e a facilidade de intercâmbio científico e profissional com o

uso de um sistema de pesos e medidas padronizado e aceito internacionalmente. [...]

Cada tabela do SI contém uma unidade definitiva ou primária. Para comprimento, a

unidade primária é o metro; para volume, o litro; e para peso, o grama (embora tecnicamente,

o quilograma seja considerado a unidade básica histórica). Subdivisões e múltiplos dessas

unidades primárias, seus valores realtivos e seus prefixos correspondentes estão dispostos na

Tabela 1.

Fonte: Howard C. Ansel. Cálculos Farmacêuticos. 2008.

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PREFIXO SIGNIFICADO

Múltiplos

exa- 1 quintilhão de vezes (1810 ) a unidade básica

peta- 1 quatrilhão de vezes (1510 ) a unidade básica

terá- 1 trilhão de vezes (1210 ) a unidade básica

giga- 1 bilhão de vezes (910 ) a unidade básica

mega- 1 milhão de vezes (610 ) a unidade básica

miria- 10.000 vezes (410 ) a unidade básica

quilo- 1.000 vezes (310 ) a unidade básica

hecto- 100 vezes (210 ) a unidade básica

deca- 10 vezes a unidade básica

Submúltiplos

deci- um décimo (110) da unidade básica

centi- um centésimo (210

) da unidade básica

mili- um milésimo (310


micro- um milionésimo (610


nano- um bilionésimo (910


pico- um trilionésimo (1210


fento- um quatrilionésimo (1510


ato- um quintilionésimo (1810


Tabela 1 - Prefixos e Valores relativos do SI.

No site do Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade

e Tecnologia) você irá encontrar informações sobre as unidades de

medida no Brasil. Para isso acesse o link:

WWW.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp

http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp


As unidades métricas de peso e volume e seus equivalentes mais empregados na prática farmacêutica

são as seguintes:

2. Relação do SI com Outros Sistemas de Medidas

Além do Sistema Internacional de Medidas, o aluno de um curso técnico em farmácia

deve conhecer outros dois sistemas de medidas: o sistema avoirdupois e o sistema apotecário.

O sistema avoirdupois, amplamente utilizado nos Estados Unidos para medir o peso corporal

e na venda de produtos em onças ou libras, vem gradativamente sendo substituído pelo

sistema internacional. O sistema apotecário, que antigamente era o sistema predominante de

medida volumétrica e de peso, também vem sendo substituído, em grande parte , pelo SI.

O Sistema apotecário é expresso por unidades e símbolos únicos, denominados minim

, grão (gr), escrópulo ( , dracma ( ), onça ( ) e libra ( ). O Sistema avoirdupois

emprega três unidades de massa, o grão (gr), a onça(oz) e a libra (lb). O grão apresenta o

mesmo valor em ambos os sistemas.

1 miligrama (mg) = 1000 microgramas ( ou mcg)

1 grama ( g) = 1000 miligramas = 1000000 microgramas

1 quilograma ( kg) = 1000 gramas

1 litro (L) = 1000 mililitros (ml)

1 decilitro (dl) = 100 mililitros

O Sistema apotecário é o sistema de pesos e medidas tradicional e

historicamente empregados na farmácia. O sistema avoirdupois é o

sistema comercial, no qual as mercadorias são adquiridas por pesagem.

Medida de massa:

1 onça (oz) = 473,5 grãos (gr)

1 libra (lb) = 16 onças

1 libra (lb) = 454g

1 quilograma (kg) = 2,2 lb

Medida de volume:

1 onça fluida (fl.oz) = 29,57 ml

1 quartilho = 16 onças fluidas (fl oz) = 473 ml

1 quarto galão(qt) = 32 fl.oz = 946 ml

1 galão (gal)= 128 fl.oz = 3 785 ml

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3. Redução de Unidades do SI para denominações maiores ou menores

3.1 Utilizando uma escala de unidades

A conversão de uma determinada quantidade me termos de uma denominação maior

ou menor é chamada redução. Trinta minutos pode ser expresso como meia hora ou, caso

necessário, como 1800 segundos. O processo de alterar denominações de valores maiores para

valores menores é reconhecido como redução descendente e o de valores mais baixos para

mais altos, como redução ascendente.

Um comprimento, um volume ou um peso de uma denominação no SI pode ser

expresso em outra denominação simplesmente movendo-se a vírgula decimal, ou seja,

utilizando uma tabela de conversão. Observe:

Para medida de peso, volume e comprimento respectivamente

Kg hg dag g Dg cg mg 0,1mg 0,01mg mcg

Kl hl dal l dl cl ml mcl

Km hm dam m dm cm mm Mcm

Usando a tabela reduza as seguintes unidades:

a) 1,23 quilogramas para gramas

b) 2,525 litros para microlitros

c) 9,876 miligramas para gramas

d) 85 micrômetros para centímetros

Observação: Para adicionar ou subtrair quantidades no SI, reduza-as a uma

denominação comum, ou seja, na mesma unidade de medida e organize seus

números denominados para adicioná-los ou subtraí-los como decimais

comuns. Exemplo: 1 kg mais 250 mg mais 7,5 g = 1000g + 0,25 g+ 7,5 g =

1 007,75 g


EXERCÍCIOS!!!

4. Reduza as seguintes quantidades:

a) 9,876 mg para gramas

b) 85 para centímetros

5. Um inalador de aerossol contém 225 mg de sulfato de metaproterenol1, o qual é suficiente

para 300 inalações. Quantos microgramas de sulfato de metaproterenol estariam contidos em

cada inalação?

6. Os seguintes dados clínicos laboratoriais estão dentro dos valores normais para adultos.

Converta cada valor em µg/mL.

a) Colesterol (total), 150 mg/dL

b) Folato2 18 pg/mL

c) Creatinina sérica, 1 mg/dL

d) Antígeno próstata específico3, 3 ng/mL

7. Se uma solução injetável contém 25 µg de um fármaco em 0,5 mL, quantos mililitros serão

necessários para fornecer 0,25 mg do mesmo?

8. Se um comprimido de aspirina de dose baixa contém 81 mg de aspirina, quantos comprimidos podem

ser preparados a partir de 1 kg de aspirina?

1 Metaproterenol é um broncodilatador indicado no tratamento da asma brônquica, broncoespasmo reversível

de bronquite e enfisema. Está intimamente ligada à isoprenalina, mas tem uma duração mais longa e menos

efeitos colaterais cardiovasculares. Chamado também orciprenalina. 2 Folato : ácido fólico, folacina ou ácido pteroil-L-glutâmico, também conhecido como vitamina B9 ou vitamina

M, é uma vitamina hidrossolúvel pertencente ao complexo B necessária para a formação de proteínas estruturais

e hemoglobina. 3 Antígeno prostático específico ou PSA é uma enzima (glicoproteína) com algumas características de marcador

tumoral ideal, sendo utilizado para diagnóstico, monitorização e controlo da evolução do carcinoma da próstata

(ou câncer de próstata).

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3.2 Utilizando a análise dimensional

Definição: A análise dimensional é um método de resolução de problemas que emprega equivalentes

fatores de conversão de unidades para assegurar que os termos de uma equação tenham as mesmas

dimensões.

Os equivalentes e os fatores de conversão de unidades são selecionados para permitir a

anulação de todas as unidades indesejáveis na equação, enquanto mantêm as desejadas na resposta. Os

numeradores e denominadores dos fatores de conversão devem ser colocados corretamente,

permitindo que as unidades desnecessárias sejam canceladas.

Aplicação – A análise dimensional é útil em uma ampla variedade de cálculos farmacêuticos,

conforme demonstrado nos exemplos a seguir. É particularmente vantajosa nos problemas complexos,

nos quais uma variedade de fatores de conversão de unidades e de equivalentes é requerida. A análise

dimensional pode fornecer, em uma única equação, todos os termos requeridos, enquanto que, no

emprego da razão e da proporção, múltiplas etapas e equações podem ser exigidas para solucionar o

mesmo problema.

Exemplo:

1. Quantos gramas de dextrose4 são requeridos para preparar 4000 ml de uma solução 5% p/V?

Fator equivalente: solução 5% p/V = 5 g em 100 ml de solução.

2. Quantas onças fluidas5 estão contidas em 2,5 L? Fatores de conversão da unidade: 1 L =

1.000 mL / 1 fl oz (onça fluida) = 29,57 mL

4Dextrose: energizante. Anti-hipoglicêmico. Hidrato de carbono simples (d-glicose) metabolizado no organismo

a dióxido de carbono e água. Indicado via parenteral para reposição de líquidos e aporte de calorias como

hidratos de carbono. 5 Onça fluida – abreviado fl oz. É uma unidade de volume .

A equação básica utilizada na análise dimensional é:

Unidades e quantidades dadas x Fatores de conversão equivalentes = Resposta na unidade desejada


EXERCÍCIOS!!!

1.Uma prescrição requer 1.000 mL de infusão intravenosa de dextrose no período de 8 horas. Usando

uma administração intravenosa de 10 gotas/mL, quantas gotas por minuto deverão ser liberadas para o

paciente?

2. Há uma seringa pré-carregada em sua ambulância. Ela contém lidocaína6 2 por cento. Ele

também contém 5 mL. Quantos miligramas ele contém? Fatores de conversão: "lidocaína%"

é de 1 g de lidocaína por 100 mL de solução.

3.Se

na preparação de um antibiótico contém 5 g de penicilina V potássica7 em 200 ml de solução, quantos

miligramas estariam contidos em uma colher de chá? Fatores de conversão de unidades: 1g = 1000 mg

, 1 colher de chá = 5 ml.

4. Você precisa iniciar um gotejamento contínuo de amiodarona8 a 1 mg por minuto (por bomba). A

mistura padrão IV é de 450 mg em 250 mL. Bombas deve ser programado em ml / h, assim mL / h

são as unidades de sua resposta.

5. A milrinona Lactato (Primacor)9 tenha sido ordenada por um paciente em 0,4 mcg / kg / min. O

paciente pesa 100 kg. Se a farmácia mistura de 20 mg de milrinona em 100 mL de solução total, qual

seria a taxa de infusão? (1mg = 1000 mcg)

Gabarito: 1) 21gotas/min 2) 100 mg 3) 125 mg/colher de chá 4) 33,33 ml/h 5) 12 ml/h

6 A lidocaína ou xilocaína®, 2-(dietilamino)-N-(2,6dimetilfenil) acetamido, é um fármaco do grupo dos

antiarritmicos da classe I (subgrupo 1B), e dos anestésicos locais que é usado no tratamento da arritmia cardíaca

e da dor local (como em operações cirúrgicas). 7 Penicilina V potássica (aves e suínos) antibiótico de uso oral, da classe B – lactâmicos. Atua sobre

microorganismos Gram positivos e também sobre espiroquetas. Indicações: patologias respiratórias, urinárias,

gastrintestinais, articulares e cutâneas de aves e suínos. 8 A Amiodarona é um fármaco do grupo dos Antiarritmicos da classe III, que é usado no tratamento das

Arritmias cardiacas 9 Primacor IV está indicado no tratamento intravenoso a curto prazo da insuficiência cardíaca congestiva,

inclusive nos estados de baixo débito subseqüentes à cirurgia cardíaca.

http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1rmaco

http://pt.wikipedia.org/wiki/Antiarritmicos_da_classe_III

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arritmia

10


Assista o vídeo explicativo da análise

dimensional para enriquecer seus

conhecimentos.

Para isso acesse o link:

http://www.youtube.com/watch?v=t24Gb30e1-U

http://www.youtube.com/watch?v=t24Gb30e1-U


4 PORCENTAGEM

4.1 Porcentagem

As porcentagens nas preparações farmacêuticas são expressas como se segue: com o primeiro

termo (ou numerador) de cada expressão indicando o componente sobre o qual a concentração está

baseada e o segundo (ou denominador) indicando a preparação total.

Porcentagem peso-volume (p/V) expressa o número de gramas de um constituinte em 100 mL de

uma solução ou preparação líquida. É expressa como: ____% p/V.

Porcentagem volume-volume (V/V) expressa o número de mililitros de um constituinte em 100 mL de

uma solução ou preparação líquida. É expressa como: ____% V/V.

Porcentagem peso-peso (p/p) expressa o número de gramas de um constituinte em 100 g de uma

solução ou preparação. É expressa como: ____% p/p.

Frequentemente, nas prescrições e fórmulas, as designações p/V, V/V e p/p não são indicadas

quando as concentrações são dadas em porcentagem. Nesses casos, o seguinte é assumido:

Para soluções ou dispersões de sólidos em líquidos, porcentagem p/V;

Para soluções ou dispersões de líquidos em líquidos, porcentagem V/V;

Para misturas de sólidos ou semi-sólidos, porcentagem p/p;

Para soluções de gases em líquidos, porcentagem p/V;

Nos cálculos, as porcentagens podem ser expressadas como razões, indicando partes por

centena. Por exemplo, 5% pode ser escrito como 100

5 , ou pode ser alterado para frações decimais

equivalentes, eliminando-se o sinal “por cento” e dividindo-se o numerador por 100. Assim ,

05,01005%5 , 125,01005,12%5,12 , e 0005,010005,0%05,0 . No processo inverso, para

alterar uma fração decimal para o por cento, o número é multiplicado por 100 e o sinal é adicionado.

Por exemplo, %5,12100125,0 .

Exemplo:

A porcentagem é empregada na prática como um meio conveniente de

expressar a concentração de um ingrediente ativo ou inativo em uma

preparação.

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1) Qual é a concentração percentual de uma injeção que contém 50 mg de pentobarbital sódico10

em cada mililitro de solução?

2) Quantos mililitros de fenol liquefeito devem ser usados na manipulação da seguinte

prescrição?

Px Fenol liquefeito 2,5%

Loção calamina ad 240 mL

EXERCÍCIOS!!!

1 ) O produto biotecnológico Neupogen11

contém 300 µg de filgrastim em cada mililitro de injeção.

Calcule a concentração percentual de filgrastim no produto.

2) Se uma injeção contém 0,5 % p/V de cloridrato de diltiazem hidroclorídrico12

, calcule o número de

miligramas de fármaco em 25 mL de injeção.

3) Quantos gramas de permanganato de potássio13

devem ser usados na manipulação da seguinte

prescrição?

Px Permanganato de potássio 0,02% p/V

Água purificada ad 250 mL

4) Px Misoprostol14

comprimidos de 200 µg, 12 comprimidos

10

O Pentobarbital (C11H18N2O3) é um barbitúrico sintético comumente empregado como sedativo, hipnótico e antiespasmódico na forma de seus sais de sódio ou cálcio. É comum o uso para sacrifícios de animais juntamente

com outros medicamentos. 11 Neupogen é um factor de crescimento de glóbulos brancos (factor de estimulação das colónias de

granulócitos) e pertence a um grupo de medicamentos chamado citocinas. Os factores de crescimento são

proteínas que são produzidas naturalmente no organismo mas também podem ser feitas por biotecnologia para

serem utilizadas como medicamento. O Neupogen funciona encorajando a medula óssea a produzir mais

glóbulos brancos.

12 Cloridrato de Diltiazem é um medicamento antiarrítmico (que combate as arritmias, ou seja, as alterações no

ritmo dos batimentos do coração), antianginoso (contra as anginas, ou seja, dores fortes no peito e falta de ar) e

anti-hipertensivo (combate a hipertensão, ou seja, a pressão alta).

13 O Permanganato de potássio é um composto químico de função química sal, inorgânico, formado pelos íons potássio (K+) e permanganato (MnO4

−). É um forte agente oxidante. Tanto como sólido como em solução aquosa

apresenta uma coloração violeta bastante intensa que, na proporção de 1,5g por litro de água (em média), torna-

se vermelho forte.utilizado como agente oxidante em muitas reações químicas em laboratório e na indústria.

Também é utilizado como desinfetante em desodorantes. É usado para tratar algumas enfermidades parasitarias

dos pés, no tratamento da água para torná-la potável e como antídodo em casos de envenenamento por fósforo.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pot%C3%A1ssio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Redu%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Solu%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rea%C3%A7%C3%A3o_qu%C3%ADmica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Laborat%C3%B3rio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Desinfetante

http://pt.wikipedia.org/wiki/Desodorante

http://pt.wikipedia.org/wiki/Parasita

http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3sforo


Cloridrato de lidocaína 1 g

Glicerina qs ad 100 mL

Calcule a concentração percentual de misoprostol na prescrição.

5) Quantos litros de tintura de iodo 2% (p/V) podem ser preparados a partir de 123 g de iodo?

6) Quanto de uma solução de NaCl 20% p/V p

A expressão por cento que costuma ser usada na linguagem comum, e é indicada pelo símbolo

%, pode ser entendida com o mesmo significado de centésimo. Assim, quando se diz que dos 80

milhões de habitantes adultos de um país, 30% são analfabetos, isto significa que os analfabetos

representam uma fração igual a

do total de habitantes adultos e corresponde a 24 milhões de

habitantes. De fato,

.

Exemplos:

1. Calcular 8% de R$ 1200,00.

2. Calcular 40% de 3000 ml.

3. A passagem de ônibus aumentou de 1,65 para 1,85 qual foi o percentual de aumento?

5 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

5.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES

14 O misoprostol é a versão sintética da prostaglandina E1 (PGE1) usado no tratamento e prevenção de úlcera do

estômago. Esta substância também é usada ilegalmente como abortivo. ] Também é usado na medicina

veterinária para proteção estomacal de animais.

Quando a taxa é escrita na forma de fração ( centésimos) é chamada de taxa unitária,

quando é multiplicada por 100 e seguida do símbolo % é chamada de taxa percentual.

É um processo prático usado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas

direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que se

conhecem três termos e o quarto é desconhecido.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Prostaglandina

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%9Alcera

http://pt.wikipedia.org/wiki/Est%C3%B4mago

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Abortivo&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Misoprostol#cite_note-2

14


Exemplos:

1. Um metro de tecido custa R$ 8,00. Quanto custa 9 metros desse tecido?

2. Em uma fábrica, 16 homens com igual capacidade de trabalho realizam uma tarefa durante 45

dias. Com 10 homens apenas, em quantos dias será realizada a mesma tarefa?

5.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Para resolver, seguem-se os seguintes passos:

- colocam-se em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza;

- analisa-se a grandeza que contém a incógnita com cada grandeza, separadamente, mantendo as

demais grandezas constantes;

- caso haja dependência inversa, inverte-se os elementos da respectiva coluna;

- monta-se a equação, igualando a grandeza (razão) que contém a variável com produto das demais

grandezas (razões) da tabela.

Exemplo:

1. Três operários trabalhando durante seis dias produzem 400 peças. Quantas peças

desse mesmo tipo produzirão sete operários trabalhando nove dias?

2. Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes.

Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia,

durante 15 dias?

EXERCÍCIOS!!!

1) Três torneiras abertas enchem um tanque em 1h e 30min. Quantas torneiras de mesma vazão

que essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos?

2) Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, andando 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá

500 km, andando 5 horas por dia?

3) A distância entre duas cidades é de 800 km. Um trem com velocidade constante percorreu em

3h os primeiros 120 km. Quanto tempo levará para percorrer os quilômetros restantes?

4) Uma placa de chumbo de 8cm de comprimento e 6cm de largura pesa 36 u.p (unidade de peso).

Quanto pesará outra placa do mesmo material e da mesma espessura, só que quadrada, com 10 cm

É um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam mais de duas

grandezas proporcionais.


de lado?

5) Se uma seringa contém 5mg do fármaco em cada 10 ml de solução, quantos miligramas do fármaco

seriam administrados quando 4 ml da solução forem injetados?

6) Se uma vitamina pediátrica contém 1500 unidades de vitamina A por mililitro, quantas unidades de

vitamina A seriam administradas a uma criança em duas gotas de solução, medidas com auxílio de um

conta-gotas calibrado para liberar 20 gotas por mililitro?

7) O capital de R$3000,00 aplicado em ações rendeu durante 1 ano a importância de R$12000,00.

Qual a renda de 15 meses do capital de R$54000,00 empregado nas mesmas ações na mesma época?

8) (BB) Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome 9780 kg de carvão em 30 dias. Qual o

custo do carvão gasto por esta máquina durante 90 dias, sabendo que nesse período trabalhou 12horas

e 30 minutos por dia e que cada tonelada de carvão custou R$ 800,00?

Respostas:

1)5 2) 5 3) 17 4) 75 5) 2 6) 150 7) R$27 000,00 8) 4

6 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

6.1JUROS SIMPLES

Denomina-se capitalização simples o regime de capitalização em que a taxa de juro cobrada é

simples. Neste caso o juro é calculado, sempre sobre o valor do capital inicial ( C ). O regime de

capitalização simples representa uma equação aritmética, logo é indiferente se os juros são pagos

periodicamente ou no final do período total.

Definição: Neste regime de capitalização simples a taxa varia linearmente em função do tempo.

Então, C é o capital inicial, i é a taxa unitária de juros ( i:100) e n é o número de períodos de aplicação

do capital. Se o capital ficar aplicado por n períodos iguais, os juros a cada um destes períodos

também serão iguais. Assim, tem-se:

Considerações: 1º) Taxa e período: devemos ter cuidado para utilizar as taxas e períodos em unidades

iguais. 2º) Os juros podem ser calculados com base no mês e no ano comercial ( 30 ou 360 dias)

respectivamente, ou ainda, no ano civil, onde utiliza- se o número exato de dias de cada mês e o ano

com 365 ou 366 dias no caso do ano bissexto.

J = C . i . n

16


Exemplos:

1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15

meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3%a.m.?

2. Um capital de R$ 25.000,00 aplicado durante 10 meses rende juros de R$ 5.000,00.

Determinar a taxa correspondente.

3. Um capital de R$ 10 000,00 investido a juros simples de 13% ao ano, foi sacado após tr~es

meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento. Qual foi o juro?

Analise a situação a seguir:

Neide tomou um empréstimo de R$ 2000,00 em uma financeira e se comprometeu a pagar após 6

meses. A taxa de juros combinada foi de 8% ao final do mês pelo regime de juros simples. Qual o total

pago por Neide?

No excel é possível montar um

demonstrativo de juros simples,

veja:


6.1.1 MONTANTE

Exemplo:

1. Determinar o montante da aplicação de R$ 10 000, pelo prazo de 12 meses à taxa de 3% a.m.

EXERCÍCIOS!!!

1. Uma aplicação de R$ 50.000,00 em letras de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve um rendimento

de R$ 8.250,00. A que taxa anual corresponde esta aplicação?

2. Sabe-se que os juros de RS 12.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 150.000,00, à taxa de

8% a.t. Determine o prazo que permaneceu aplicado.

3. Qual o capital que, à taxa de 2,5% a.m.., rende juros de R$ 3.000,00 em 3 anos?

4 . Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de

R$ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu?

5. Calcule o juro simples e o montante de R$ 500,00, a 25% aa. por 8 meses.

6. Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à

taxa de 6%aa.

7. (BANRISUL - 2005) Uma aplicação financeira de R$1300,00 foi realizada à taxa de juros simples

de 5% ao mês, durante 45 dias. O valor dos rendimentos obtidos com essa aplicação foi de:

a) R$30,00 b) R$ 97,50 c) R$ 1397,50 d) R$ 2925,00 e) R$ 9750,00

8.(BANRISUL – 2005) Uma pessoa resgatou o montante de R$ 1500,00 de uma aplicação financeira

que ficou rendendo juros simples de 5% ao mês, durante 120 dias. O valor dessa aplicação foi de:

a) R$ 214,29 b) R$ 250,00 c) R$ 1250,00 d) R$ 1800,00 e) R$ 7500,00

9.(BANRISUL -2009) Que capital será necessário aplicar, pelo regime de juros simples, à taxa de

juros de 12% ao ano, durante 6 meses, para que o montante atinja R$10600,00?

a) R$ 1000,00 b) R$ 3081,40 c) R$ 6172,79 d) R$ 7361,11 e) R$ 10000,00

Montante é a soma do capital inicial com os juros referentes à aplicação.

M = J + C

M= C + C i n

M= C . ( 1+ i. n)

18


10.Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital de R$ 90000,00 a uma taxa

de juros simples de 54% ao ano?

11.Foram aplicados R$8000,00 pelo período de 183 dias, que renderam R$1024,80 de juros. Quais

foram as taxas de juros simples mensal e anual aplicadas?

12.Uma geladeira é vendida à vista por R$ 2000,00 ou então por R$320 de entrada, mais uma parcela

de R$2100,00 cinco meses após a compra. Qual foi a taxa mensal de juro simples do financiamento?

13.Um fogão é vendido por R$600,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de

R$542,88 após 32 dias. Qual é a taxa de juros simples mensais envolvidos na operação?

Respostas: 1) 33% a.a 2) 1 trimestre 3) R$ 3333,33 4) 10% a.s 5) R$ 83,33 e R$ 583,33

6) R$ 900,00 7) b 8) e 9) e 10) R$ 122 400,00 11) 2,1% a.m e ~25,2%a.a 12) 5% am

13)15%a.m

7 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

No nosso dia a dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando tomamos emprestada uma

certa quantia em dinheiro, em um banco comercial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro

composto. O mesmo acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa própria.

Quando a taxa de juro utilizada é composta, o regime é denominado de capitalização composta,

ou seja, o juro produzido num período será acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os

dois, capital e juro, a render juro no período seguinte. Por isso, é também chamado juro sobre juro.

JURO COMPOSTO

Sabemos que juro é o rendimento produzido por um capital em determinado tempo, calculado

sobre o capital . Quando sobre esse valor que já tem embutida uma parcela de juro incide novamente a

taxa de juro, temos o que chamamos de juro composto.

Fórmulas:

Onde: M= montante ; C = capital; n= período; i = taxa.

Exemplos:

1. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos, durante 2 meses e meio, à


taxa de 1,15% am. Determine o montante.

2. Uma pessoa toma emprestada a juros de 4% a.m. a importância de R$ 800,00 pelo

prazo de 10 meses. Qual o montante a ser devolvido?

3. Qual o capital que, aplicado a 1,2% a.m., durante 6 meses, rende juros compostos de

R$5.370,97?

4. Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em títulos que, lhe proporcionarão um resgate

de R$ 337.004,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros compostos desta operação?

Analise a situação a seguir:

Neide tomou um empréstimo de R$ 2000,00 em uma financeira e se comprometeu a pagar após 6

meses. A taxa de juros combinada foi de 8% ao final do mês pelo regime de juros simples. Qual o total

pago por Neide?

Podemos fazer um demonstrativo

dos juros compostos no Excel,

veja:

20


EXERCÍCIOS!!!

1) Um capital de R$ 5.600,00 ficou aplicado durante um ano e três meses à taxa de 1,5% a.m. de

juros compostos. Qual o montante final?

2) Qual capital que em 2 anos produz R$ 2.431,45 de juros compostos a 1,25% a.m.?

3) A que taxa mensal deve ser colocado um capital de R$ 4.800,00 para que renda de juros compostos

R$ 5.405,57 em 6 meses?

4) Calcular o montante de um capital inicial de R$ 6000,00, a juros compostos de 5% a.m., durante 6

meses.

5) Colocada em um banco, uma quantia gerou um montante de R$ 40000,00 a juros compostos de 2%

a.m., durante 5 meses. Calcular essa quantia.

6) Ana Lúcia toma emprestados R$ 25000,00 a uma taxa de juros compostos de 2% a.m, pelo prazo de

24 meses. Qual o valor a ser pago no final do período?

7) Na porta de um banco , encontra-se um cartaz onde se lê: “Aplique hoje R$ 1778,80 e receba R$

3000,00 daqui a 6 meses”. Qual é a taxa mensal de juros que o banco está aplicando sobre o dinheiro

investido?


8) Uma aplicação a juros compostos durante 3 meses rendeu de juro o valor de R$ 288,44. Sabendo

que o agente financeiro utilizou a taxa de juros compostos de 1,88% ao mês, verifique qual foi o

capital aplicado.

9) O capital de R$ 4300,00 foi aplicado durante 36 meses, à taxa de juro composto de 9% ao semestre.

Calcule o montante produzido pela aplicação, supondo capitalização composta.

Respostas: 1) R$ 7001,30 2) R$ 7000,00 3) 13,40% a.m 4) R$ 8040,57 5) R$ 36229,26

6) R$ 40210,93 7) 4,84% a.m 8) 9% a.m 9) R$ 7211,53

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. ANSEL, Howard C.. Cálculos Farmacêuticos. (trad.) Cristiana Lima Dora e

Leonardo Juliano Recski. 12 ed. Porto Alegre: Artmed, 2008.

2. ANSEL, Howard C. ; SHELLY, J. Prince. Manual de cálculos farmacêuticos. Trad.

Elenara Lemos Senna. Porto Alegre : Artmed, 2005.

3. CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias. Matemática

financeira aplicada. 2ed. Curitiba:Ibpex, 2008

4. IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGENSZAJN, David Mauro. Fundamentos de

Matemática Elementar, 11: matemática comercial, matemática financeira e

estatística descritiva. São Paulo: Atual, 2004.

5. VERAS Lilia L. Matemática Financeira: uso de calculadoras científicas, aplicações

ao mercado financeiro, introdução a engenharia econômica. São Paulo: Atlas, 6ª ed. ,

2008.

6. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1981.

7. CAMPBELL, June Mundy. Matemática em laboratório: aplicações médicas e

biológicas. São Paulo: Roca, 1986.

8. FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 7ed. São Paulo: Atlas, 1991.

9. IEZZI, Gelson.[et al.] Matemática: Ciência e aplicações. 1ªsérie do ensino médio. 2

ed. São Paulo: Atual, 2004.

10. SPINELLI, Walter; SOUZA, M. Helena S. Matemática Comercial e Financeira. São

Paulo: Ática, 1998.

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Apostila de Matemática Financeira