Apostila Matemática Financeira - Parte I. PROF

Marcelo de Figueiredo Alves

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA É a análise das relações formais entre transações financeiras, que traduzem a um padrão equivalente, quantidades monetárias transacionadas em diferentes períodos de tempo. O objetivo central da Matemática Financeira é reduzir à equações matemáticas, as complexas relações de interdependência financeira estabelecidas no mercado financeiro pelos seus vários participantes e agentes, tornando possível quantificá-las. Podemos também defini-la como o estudo das relações relativas a evolução dos recursos financeiros ao longo do tempo, procurando estabelecer relações formais entre valores expressos em diferentes períodos de tempo, constituindo-se em uma das mais importantes e segundo vários autores, básica, ferramentas utilizadas na resolução de problemas relacionados a Finanças. Por traduzir todas as relações existentes no mundo financeiro a equações matemáticas, é de fundamental importância, o conhecimento dos conceitos existentes em cada formulação matemática, de forma a sabermos perfeitamente qual relação deve ser utilizada em cada situação que nos defrontamos no nosso dia a dia. O desconhecimento dos conceitos, apesar de um eventual domínio no manuseio de ferramentas auxiliares empregadas na solução de problemas financeiros (calculadoras e planilhas eletrônicas), pode representar o cálculo de valores completamente equivocados, trazendo sérios prejuízos financeiros. Por esse motivo, independente da ferramenta de ajuda utilizada, é preciso que conheçamos profundamente todos os conceitos a serem apresentados, de forma a podermos calcular corretamente, todos os problemas financeiros representados por relações da Matemática Financeira, independente da ferramenta de suporte que estejamos utilizando.


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I - Conceitos Básicos

1) Valor do Dinheiro no Tempo Este conceito está relacionado à mudança de valor sofrida pelo dinheiro ao longo de um horizonte de tempo qualquer, seja pela perda de poder aquisitivo causada pelos processos inflacionários, seja pela possibilidade de obtermos algum tipo de remuneração através do investimento dos recursos envolvidos. A possibilidade de obtenção de algum tipo de remuneração para os detentores de recursos, por si só gera diferenças no valor do dinheiro, quer pela rentabilidade efetiva obtida em alguma aplicação, quer pelo ganho que deixa de obter caso opte por não utilizar nenhum tipo de alternativa existente, para aplicação de suas disponibilidades. Responda as seguintes perguntas: - Se você emprestasse R$ 1.000,00 hoje, você aceitaria receber daqui a dois meses os mesmos R$ 1.000,00? Caso negativo, quanto você aceitaria receber? - Você vai a uma loja e o vendedor lhe oferece duas alternativas de pagamento. Na primeira, você paga R$ 500,00 à vista. Na segunda, você paga 10 prestações de R$ 50,00. Essas alternativas são indiferentes? Qual você escolheria? O que podemos concluir é que o valor do dinheiro muda em relação ao tempo. Só faz sentido falarmos de valores financeiros se pudermos localizá-los no tempo. Sendo assim, podemos derivar duas conseqüências de fundamental importância:

1. Operações algébricas simples (as quatro operações) somente podem ser realizadas com quantias expressas em uma mesma data;

2. A comparação entre dois valores quaisquer, somente é possível se estiverem expressas em uma mesma data.

2) Fluxo de Caixa Define-se fluxo de caixa, seja de um indivíduo, uma empresa ou de um investimento, como o conjunto de entradas e saídas de recursos ao longo de um dado intervalo de tempo. Para efeito de representação e utilização deste conceito na matemática financeira, considera-se que as entradas e saídas representadas ao longo do horizonte em análise, são valores líquidos (total das entradas menos o total das saídas)


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Convenção: Podemos representar o fluxo de caixa da seguinte forma:

- Saídas de recursos + Entradas de recursos _________________________↑_________________________ Tempo 0 ↓ 1 2 n

- A escala horizontal representa o tempo, podendo ser expresso em qualquer unidade de tempo (anos, meses, dias, etc.).

- Os pontos abaixo da escala horizontal representam os eventos no tempo, tomando como partida a data inicial, representada pela data zero.

- Convencionou-se indicar no fluxo de caixa, as setas para baixo indicando as saídas de recursos (os números tem o sinal negativo) e as setas para cima indicando as entradas de recursos (números positivos).

O conceito do diagrama do fluxo de caixa, apesar de relativamente óbvio, é extremamente relevante em Finanças, uma vez que todas as questões que envolvem a Matemática Financeira, recorrem em última instância a utilização desse diagrama para uma melhor definição do problema e a partir daí utilizar uma metodologia de cálculo. Exemplo: Você emprestou a um amigo R$ 1.000 e este se comprometeu em pagar essa dívida em 5 pagamentos de R$ 300 em parcelas mensais sucessivas, sendo o primeiro pagamento feito só daqui a 3 meses.

300 300 300 300 300 0 1 2 3 4 5 6 7 meses

1.000


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REPRESENTAÇÃO DEFINIÇÃO DO FLUXO

Fluxos com apenas uma entrada e uma saída de caixa

Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes

Perpetuidades

Pagamentos uniformes feitos indefinidamente

Fluxos não definidos acima

Valor Presente

Representa o valor do capital investido ou tomado como empréstimo na data inicial do fluxo de caixa. O valor presente é também chamado de Principal, Valor Atual ou Capital Inicial, sendo normalmente representado por P, V ou C. Na HP 12C, é representado por PV (present value).

Valor Futuro

Representa o valor do capital em uma data futura, posterior a data inicial do fluxo de caixa. O valor futuro é também chamado de Montante ou Capital Acumulado, sendo normalmente representado por M, S ou VF. Na HP 12C, é representado por FV (future value).

Prestação Uniforme

Corresponde a um fluxo com valores iguais e sucessivos a serem pagos ou recebidos no futuro. Na HP 12C são representadas por PMT (payment).

Período de Capitalização

Representa o período de tempo em que um determinado capital sofre a incidência de juros, ou seja, de quanto em quanto tempo os juros são incorporados ao principal. A capitalização dos juros refere-se única e exclusivamente ao regime de juros compostos.

Regime de Capitalização

Indica se os juros serão incorporados ao capital através do regime de juros simples ou do regime de juros compostos.

∞∞∞∞


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Equivalência de Capitais

Dois capitais são ditos equivalentes se, investidos ou emprestados à mesma taxa, produzem um mesmo montante em uma mesma data, determinada apenas para efeito de comparação.

Para um investidor ou para um tomador de recursos, dois capitais equivalentes significam que qualquer tipo de troca com relação a datas de vencimento, por exemplo, é totalmente indiferente para eles, ou seja, não existem ganhos ou perdas para nenhuma das partes.

Prazo das Aplicações

Para efeito de cálculo de operações financeiras podemos usar como referencia o ano comercial de 360 dias ou o ano civil (ano exato) de 365 ou 366 dias.

Dos conceitos apresentados acima podemos inferir algumas relações básicas em Matemática Financeira e que servem tanto para o regime de juros compostos como para o regime de juros simples.

Valor Futuro (VF) = Valor Presente (VP) + Juros

VP = VF - Juros

Juros = VF - VP


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II - Juros Simples e Compostos - Conceitos

Juros Simples

No regime de juros simples, os juros são calculados a cada período, sempre tomando como base de cálculo o capital inicial empregado, não incidindo, portanto, juros sobre os juros acumulados em períodos anteriores, ou seja, não existindo a capitalização dos juros. Apenas o principal é que rende juros. Na prática, o regime de juros simples tem sua utilização no mercado financeiro, restrita a um pequeno número de aplicações, como por exemplo, as operações de desconto de duplicatas, notas promissórias e no cálculo dos juros para as operações com cheques especiais.

Para tornar mais claro conceito de juros simples, suponha o seguinte exemplo:

Calcular o valor acumulado em uma aplicação de $1000,00 que rende juros simples à uma taxa de 10% ao mês, pelo prazo de 4 meses.

Tempo (meses) VP Juros VF 1 1.000 10% x 1.000 = 100 1.100 2 1.100 10% x 1.000 = 100 1.200 3 1.200 100 1.300 4 1.300 100 1.400

Resposta: Juros simples de 10% ao mês, durante 4 meses, produziram a partir de um capital inicial de $ 1.000, juros de $400. Obteve-se assim, um montante de $1.400.

1000

1100

1200

1300

1400

0 1 3 2 4


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Observa-se os valores dos saldos no final de cada ano apresentam um crescimento linear. Esses valores crescem, portanto como uma Progressão Aritmética (PA). Dessa forma, a representação gráfica se dá por uma reta.

Juros Compostos No regime de capitalização composta, os juros relativos a cada período, são calculados tomando-se como base, o saldo do período imediatamente anterior. Este saldo por sua vez, já é resultante da incorporação de juros determinados com base no intervalo de tempo a que se refere o período de capitalização, formando um novo montante sobre o qual então os juros serão calculados e assim por diante. Este processo de cálculo no regime de juros compostos difere daquele utilizado para os juros simples, uma vez que neste último, somente o capital inicial sofre a incidência de juros, não ocorrendo nenhum tipo de remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Para tornar mais fácil os conceitos apresentados, suponha que façamos a mesma aplicação realizada no regime de juros simples só que dessa vez, no regime de juros compostos. Calcular o valor acumulado em uma aplicação de $1000,00 que rende juros compostos à uma taxa efetiva de 10% ao mês, pelo prazo de 4 meses.

Tempo (meses) VP Juros VF 1 1.000,00 10% x 1.000 = 100,00 1.100,00 2 1.100,00 10% x 1.100 = 110,00 1.210,00 3 1.210,00 10% x 1.210 = 121,00 1.331,00 4 1.331,00 10% x 1.331 = 133,10 1.464,10

0 1 3 2 4

1000,00

1100,00 1210,00

1331,00

1464,10


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Observa-se que os valores dos saldos no final de cada ano apresentam um crescimento não-linear (veremos adiante que esse crescimento é exponencial). Esses valores crescem como uma Progressão Geométrica (PG).

III - JUROS SIMPLES

Regime no qual os juros de cada período são calculados sobre o capital inicial.

Os juros são proporcionais ao tempo de aplicação.

Juros = VP . i . n

VF = VP + Juros

VF = VP + VP . i . n

(colocando VP em evidência, temos:)

VF = VP x ( 1 + i . n )

onde n = prazo total i = taxa de juros VP = valor presente (Principal ou capital inicial) VF = valor futuro (Montante)

As relações definidas para o cálculo do valor futuro e do valor presente podem ser visualizadas da seguinte forma: As fórmulas acima pressupõem que o prazo e a taxa de juros referem-se a mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa estiver expressa em meses, o prazo também obrigatoriamente deverá estar em meses.

VF = VP [1 + i .n ]

VP = VF 1 + i .n

VP VF


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Para compatibilizar prazo e taxa de juros no regime de capitalização simples, você pode escolher o tempo que você quiser. Cuidado!!!! Isto só é possível no caso de juros simples.

Exemplo: A empresa Estrela Marina pagou a conta de luz de R$ 3.600,00 com atraso de 18

dias, e a concessionária Luz Eterna cobrou juros de mora de 5 % ao mês.

Qual o valor pago ? (R: 3.708,00)

VP = 3600 n = 18 dias = 18/ 30 mês = 0,6 mês i = 5% ao mês VF = VP (1 + i . n) = 3600 (1 + 0,6 . 5%) = 3600 ( 1 + 0,6 . 0,05) = VF = 3600 ( 1 + 0,03) = 3600 . 1,03 = 3708 Exercícios Propostos

1) Julieta pagou seu seguro com atraso de 18 dias. No vencimento, o valor era R$ 1.000,00

e os juros de mora foram de 2% ao mês. Qual o valor pago ? (Resp: 1.012,00)

2) João pagou uma prestação com atraso de 60 dias. A Cia. Enluarada cobrou juros de mora

de 15 % ao ano. O valor pago foi de R$ 8.200,00. Qual o valor original da prestação ?

(Resp: 8.000,00)

3) Maria aplicou R$ 3000,00 por 1 ano e 8 meses à taxa de 1% ao mês, juros simples. Qual o

rendimento? (Resp: R$ 600,00)

4) Qual o capital que aplicado a 12% ao mês produz R$ 288,00 de juros em 6 meses?

(Resp. R$ 400,00)

5) A que taxa mensal um capital aplicado durante 10 meses produz juros iguais à 5/8 do

capital ? (Resp: 6,25%)

6) Em quanto tempo um capital triplica de valor quando aplicado a 16% ao ano, à juros

simples ? (Resp: 12,5 anos ou 12 anos e 6 meses)


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TAXAS PROPORCIONAIS (Lineares)

Produzem os mesmos juros quando aplicados no mesmo prazo a juros simples.

Exemplo : 6 % ao semestre

Taxa proporcional mensal : 6% ÷ 6 = 1 %

Taxa proporcional anual : 6% x 2 = 12 %

IV - DESCONTO SIMPLES

O "desconto bancário", "desconto comercial" ou "desconto por fora" é calculado sobre o

valor nominal do título.

• Valor nominal (VF) : valor futuro, valor de face, valor de resgate

• Valor presente (VP): valor presente, valor descontado

• Desconto (D): existe por conta dos juros cobrados pelo banco

• Taxa de desconto (d): taxa que incide sobre o valor futuro

Desconto = Valor Futuro x taxa de desconto no período

D = VF x d x n

VP = VF – Desconto

VP = VF - VF x d x n

Colocando VF em evidência

VP = VF x ( 1 - d x n )


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Exemplo: O Moinho Piraí descontou uma duplicata de R$ 18.000,00 no Banco Estrela. O

prazo do título era de 40 dias e a taxa de desconto de 4,2 % ao mês. O banco cobrou ainda

uma TAC (tarifa de abertura de crédito) de R$ 50,00.

Qual o valor recebido pela empresa ?

D = VF . d. n

VF = 18000

d = 4,2% ao mês

n = 40 dias = 1,3333... meses

D = 18000 . 4,2% . 1,33333 = 1008

VP = VF – D = 18000 – 1008 = 16992

Deduzindo o pagamento da TAC de R$ 50, sobrou R$ 16.942,00.

Exercícios Propostos

1) A Industrial Festeira descontou uma duplicata de R$ 14.000,00 no Banco do Céu. O

prazo do título era de 45 dias e a taxa de desconto foi de 5% ao mês. Qual o valor líquido

recebido? (Resp: 12.950,00)

2) João Cruise descontou uma Nota Promissória no Banco Verdinho. O prazo do título era

de 40 dias e a taxa de desconto foi de 6 % ao mês. O valor recebido no ato da operação foi

de R$ 7.820,00. Qual o valor nominal da NP ? (Resp: 8.500,00)

3) Qual o prazo de antecipação de um título de valor nominal R$ 1.200,00 que descontado

comercialmente à taxa de 9% ao mês gera um valor atual de R$ 1.056,00 ? (Resp: 40 dias)

4) Uma instituição financeira realiza suas operações de desconto com uma taxa de desconto

comercial ("por fora") de 2% ao mês, no regime de juros simples. Determinar o valor a ser

creditado na conta de uma empresa que apresentou um título para desconto nessas

condições, sabendo-se que o valor de tal título é $100.000,00 e que o prazo até seu

vencimento é de 45 dias. (Resp: $ 97.000)


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Desconto por dentro ou racional

Diferentemente da taxa de desconto comercial ou “por fora”, que incide sobre o Valor Futuro, a taxa de desconto racional ou “por dentro”, incide sobre o valor presente para a obtenção do valor do desconto. Sendo assim, D = VF . d . n ou D = VP . i . n d = taxa de desconto comercial ; i = taxa de desconto racional = taxa de juros efetiva Calcula-se o valor presente usando a fórmula de juros simples:

VP = VF / (1 + i . n)

Exercícios Propostos: 1) Um título de R$ 109.000, 00 é descontado três meses antes do vencimento a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Calcule o valor do desconto considerando que esta taxa de desconto é: a) taxa de desconto comercial (“por fora”) (Resp: 9.810,00) b) taxa de desconto racional (“por dentro”) (Resp: 9.000,00)

2) Um título de $10.000,00 foi resgatado 25 dias antes do seu vencimento com a taxa de

desconto racional de 15% ao ano. Determinar o valor do principal, assumindo-se regime de

juros simples e ano com 360 dias. (Resp: $9.896,91)

3) Um certificado de depósito de um banco comercial foi negociado com um investidor para

uma aplicação de 62 dias, garantindo-se nesse prazo uma rentabilidade de 2% ao mês, no

regime de juros simples. Sabendo-se que o valor de resgate desse certificado de depósito é

de $10.000,00, determinar o valor da aplicação e a taxa mensal de desconto comercial ("por

fora") desse banco, no regime de juros simples. (Resp: $9.603,07 e 1,9206% a.m.)

4) Um título com vencimento daqui a três meses é descontado, a juros simples, com uma

taxa de desconto "por dentro" de 15% ao ano, gerando um desconto de $15.000,00.

Utilizando a mesma taxa, porém com desconto "por fora", qual seria o valor do desconto

comercial correspondente ? (Resp: $15.562,50)


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V - JUROS COMPOSTOS No regime de capitalização composta, os juros de cada período são incorporados ao principal em cada intervalo de tempo a que se referir à taxa de juros e passam a gerar rendimentos para o período seguinte. Este processo é o que se convencionou chamar de juros sobre juros ou capitalização dos juros. Dada a existência de incorporação de juros sobre o principal (capital inicial) em determinados intervalos de tempo, para que possamos efetuar qualquer tipo de cálculo neste regime de capitalização, é fundamental que saibamos a priori, a periodicidade em que este processo ocorre, ou seja, precisamos saber o período de capitalização dos juros incidentes sobre uma aplicação ou empréstimo. Sem esta informação básica e fundamental para o cálculo de operações no regime de juros compostos, os resultados apresentados estarão completamente equivocados. É importante ressaltar, da mesma forma que no regime de juros simples, qualquer que seja o tipo de operação calculada sobre o regime de juros compostos, o prazo e a taxa deverão obrigatoriamente referir-se a um mesmo intervalo de tempo, ou seja, taxa expressa em dias para uma operação também em dias; taxa expressa em mês para uma operação para n meses. Essa taxa deverá seguir o período de capitalização. Diferentemente do regime de juros simples, a transformação para uma mesma unidade de tempo não pode ser feita através de operações de multiplicação e divisão. Neste caso, deve-se utilizar o conceito de equivalência de taxas a juros compostos.

juros simples – taxas proporcionais juros compostos – taxas equivalentes

Voltemos ao exemplo da aplicação de R$1.000 a juros compostos de 10% ao mês por 4 meses.

VF1 = 1000 X 1,10 = 1100,00 VF1 = 1000 X 1,10 = 1100,00

VF2 = 1100 X 1,10 = 1210,00 VF2 = 1000 X 1,102 = 1210,00

VF4 = 1210 X 1,10 = 1331,00 VF3 = 1000 X 1,103 = 1331,00

VF4 = 1331 X 1,10 = 1464,10 VF4 = 1000 X 1,104 = 1464,10

Observe que:

VF1 = VP x (1 + i) ⇒⇒⇒⇒ VF2 = VP x (1 + i) x (1 + i) ⇒⇒⇒⇒ VF2 = VP x ( 1 + i )2

VF3 = VF2 x (1 + i) ⇒⇒⇒⇒ VF3 = VP x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) ⇒⇒⇒⇒ VF3 = VP x ( 1 + i )3

Sendo assim:

VF = VP x (1 + i)n

Crescimento Exponencial


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Da mesma forma que no regime de juros simples, as relações definidas para o cálculo do valor futuro (montante) e do valor presente (principal) podem ser visualizadas da seguinte forma:

O fator (1+i)n é chamado de fator de capitalização ou valor futuro.

O fator 1 ou (1+i)-n é chamado fator de atualização de capital, fator (1+i)n de valor presente ou valor atual.

Exercícios:

1) A empresa Estrela Marinha pegou um empréstimo de R$ 10.000,00 no Banco da Praça à

taxa efetiva de 5% ao mês por 2 meses. Qual o valor no vencimento ? (Resp: 11.025,00)

2) A empresa Estrela do Céu aplicou um capital no Banco da Praça à taxa efetiva de 2% ao

mês por 3 meses e resgatou R$ 5.306,00. Qual o valor aplicado? (Resp: 5.000)

3) Determinar a taxa efetiva de juros de uma aplicação, no regime de juros compostos, de

um capital de $10.000,00 que gerou um montante de $11.088,57 após 8 meses.

(Resp: 1,3% ao mês) 4) Determinar o valor futuro de uma aplicação financeira de $10.000,00 com prazo de 22

dias, a uma taxa efetiva de 10% a.a., assumindo-se regime de juros compostos e ano com

360 dias. (Resp: $10.058,42)

5) Faça o exercício anterior mas considere regime de juros simples. Comente.

VF = VP (1 +i) n

VP = VF (1 +i)n

VP VF


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VI - Voltando ao Juros Simples x Compostos Conhecidos os conceitos de juros simples, de juros compostos podemos determinar em que situações cada modalidade de capitalização dos juros é mais conveniente, dependendo é claro, se estamos na posição do tomador de recursos ou do aplicador. Exemplo: Um financiamento de $100 deverá ser pago em 5 parcelas quinzenais com juros de 10% a.m. Os quadros de pagamentos, calculados com base em juros simples e compostos são apresentados a seguir:

JUROS SIMPLES DATA SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL 15/03 100,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 105,00 30/03 105,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 110,00 15/04 110,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 115,00 30/04 115,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 120,00 15/05 120,00 (10% ÷ 2) × 100 = 5,00 125,00

JUROS COMPOSTOS

DATA SALDO INICIAL

JUROS SALDO FINAL

15/03 100,00 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 100,00 = 4,88 104,88 30/03 104,88 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 104,88 = 5,12 110,00 15/04 110,00 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 110,00 = 5,37 115,37 30/04 115,37 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 115,37 = 5,63 121,00 15/05 121,00 [(1 + 0,10)15/30 –1] × 121,00 = 5,91 126,91

JC > JS

JS = JC

JC

JS

110,0

M

n

JS > JC


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Analisando os quadros e o gráfico acima podemos concluir:

1. Sempre que o prazo da operação for menor do que a unidade de tempo da taxa (pagamento quinzenal com taxa de juros mensal), o valor dos juros calculado por juros simples resultará em um valor maior;

2. Quando o prazo for maior do que a unidade de tempo da taxa, os juros calculados pelo

regime de juros compostos resultarão em um valor maior. Outro Exemplo: Renata Maria pagou uma dívida de R$ 80.000,00 com atraso de 20 dias e os juros de mora foram de 9% ao mês. a) Qual o valor pago se a credora cobra juros simples ? VF = 80.000 x (1 + 0,09 x 20/30) = 84.800,00 Juros = 4.800,00 a) Qual o valor pago se a credora cobra juros compostos ?

VF = 80.000 x (1 + 0,09)20/30 = 84.730,74 Juros = 4.730,74

JC

JS

84.730,74

80.000,00

0 10 30 20 40

84.800,00


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CONCLUSÃO

Se n = 1 , então JUROS COMPOSTOS = JUROS SIMPLES

Se n < 1, então JUROS COMPOSTOS < JUROS SIMPLES

Se n >1, então JUROS COMPOSTOS > JUROS SIMPLES

VII – TAXAS DE JUROS

TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA

Uma ou mais taxas de juros são conceituadas como nominais quando são expressas para um intervalo de tempo diferente do período de capitalização a que se referem, não tendo portanto, qualquer utilização prática. Uma taxa nominal serve apenas como um indicador de custo ou rentabilidade, não devendo em hipótese alguma ser utilizada em qualquer tipo de cálculo financeiro, antes de transformada para taxa efetiva, conforme veremos a seguir. Uma vez que as taxas nominais não são expressas para o mesmo intervalo de tempo do período de capitalização, sempre que nos depararmos com este tipo de taxa deveremos primeiramente transformá-las em taxas correspondentes a esses períodos. Exemplo: 12% ao ano capitalizado trimestralmente – taxa nominal

1 ano possui 4 trimestres, logo:

taxa efetiva = 12% / 4 = 3% ao trimestre

RESUMO

Taxa nominal: é expressa em uma unidade de tempo diferente do prazo que é capitalizada. Taxa efetiva: é expressa na unidade de tempo que é capitalizada.

1) Marcelo aplicou seu capital à taxa de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual foi o montante obtido após 2 anos? 2) Rodrigo aplicou seu capital à taxa de 1% ao mês com capitalização semestral. Qual foi o montante obtido após 4 anos? 3) Um Banco vende CDB’s pela taxa de 60% a.a. de juros, capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros mensal paga por esta instituição? 4) Qual o valor a ser pago por um empréstimo tomado nesta data no valor de R$ 20.000,00 a taxa de 60% a.a., capitalizada mensalmente, pelo prazo de 3 meses?


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TAXAS EQUIVALENTES

São aquelas que, aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo,

no regime de JUROS COMPOSTOS, produzem os mesmos montantes.

(1 + i anual) = (1 + i sem )2 = (1 + i mensal )

12 = (1 + i diário )360

Qual a taxa anual equivalente à 2% ao mês ?

(1 + i mensal )12 = (1 + i anual)

i anual = 1,0212 - 1 ⇒ i anual = 1,2682 - 1 = 0,2682 = 26,82%

1) Qual a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 6% ao trimestre capitalizado

mensalmente ? (Resp: 6,12%) 2) Qual a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% ao trimestre com capitalização

mensal ? (Resp: 12,49%) 3) Qual a taxa bimestral equivalente à 18% ao ano com capitalização mensal?

(Resp: 3,02%) 4) Calcule as taxas semestrais, trimestrais, mensais e diárias equivalentes a 820% ao ano. 5) Um investidor se vê frente a duas alternativas de investimento para seus recursos. A primeira é um título com taxa efetiva de juros de 20% a.m. A segunda alternativa oferece a esse investidor, uma taxa efetiva de 300% a.a. Uma vez que ambas as alternativas referem-se a juros compostos, determinar qual a melhor alternativa para o investidor. 6) Um Banco vende CDB’s pela taxa de 60% a.a. de juros, capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros mensal e anual efetiva paga por esta instituição?

TAXA APARENTE (NOMINAL) X REAL

Muitas vezes estamos interessados em saber se o rendimento de uma aplicação financeira ou uma variação percentual supera um determinado indexador, como a inflação. Quando se excede a variação do índice escolhido, há ganho real. No caso contrário, existe perda real. Assim, chamamos de taxa real a taxa de juros ou variação percentual descontada a inflação.

( 1 + taxa aparente) = (1 + inflação ) x (1 + taxa real)


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Exemplo: Após um ano o salário da Renata subiu 18,72% e a inflação foi de 12%. Qual o aumento real no poder de compra ?

(1 + taxa aparente) = (1 + inflação ) x (1 + taxa real)

(1 + taxa real) = 1,1872 / 1,12

(1 + taxa real) = 1,06

taxa real = 0,06 = 6%

1) O salário de Serginho aumentou 20% no último ano, diante de uma inflação acumulada de 15% . Qual o aumento real no salário (Resp: 4,35%) ?

2) As aplicações em renda fixa para 1 ano estão rendendo 15% diante de uma expectativa de

inflação de 5% para os próximos 12 meses. Qual o rendimento real esperado ? (Resp: 9,5%)

3) O salário de Marisa aumentou 15% diante de uma inflação de 25% Qual a perda real ?

(Resp: -8%)

Exercícios Resolvidos:

1) Um negociante compra hoje mercadorias no valor de R$ 50.000,00. Paga R$ 10.000,00 à

vista e compromete-se a pagar R$ 35.000,00 no fim de 6 meses. Que pagamento ainda deve

ser feito no fim de 10 meses para liquidar a dívida, se o vendedor cobrar uma taxa efetiva de

3,5% a.m., no regime de juros compostos? (Resp: R$ 16.260,65)

Valor financiado = 50.000 - 10.000 = 40.000 35.000 =? _________________↑_______________↑ ↓ 0 6 10 meses 40.000 VF = VP ( 1+i)n

VF6 = 40.000 (1 + 0,035)6 - 35.000 = 14.170,21

VF10 = 14.170,21 (1 + 0,035)4 = 16.260,65


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2) Um débito de R$ 350.000,00 contraído há 60 dias está sendo amortizado com um

pagamento de R$ 45.000,00 hoje, R$ 130.000,00 de hoje a 3 meses e R$ 85.000,00 de hoje

a 8 meses. Que pagamento no fim de 5 meses, contados de hoje, ainda é necessário ser feito

para uma taxa de juros composta de 2% a.m.?

Resposta = R$ 137.006,95 45.000 130.000 X 85.000 _________↑_______________↑_____________↑______________↑ ↓ -2 0 3 5 8 meses 350.000

VF = VP (1 + i)n

X = 350.000 (1 + 0,02)7 - 45.000 (1 + 0,02)5 - 130.000 (1 + 0,02)2 - 85.000 / (1 + 0,02)3

X = 137.006,95

Exercícios Propostos:

1) A empresa Estrela do Mar aplicou um capital no Banco da Praça à taxa efetiva de 2% ao

mês e resgatou R$ 2.080,80 em 2 meses e R$ 6.494,58 em 4 meses. Qual o valor aplicado ?

(Resp: 8.000)

2) Uma empresa tem duas notas promissórias que vencem dentro de 60 e 120 dias, com

valores de $180.000,00 e $250.000,00, respectivamente, e deseja liquidá-las

antecipadamente. Determinar o valor a ser desembolsado para uma taxa de desconto "por

dentro" de 1,2% ao mês, assumindo-se mês com 30 dias. (Resp: $414.108,07)


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QUESTÕES DE CONCURSOS

BNDES


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BNDES 2005 – ADMINISTRADOR

CONTABILIDADE

ANALISTA CVM 2001


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ELETROBRAS 1 SEM/2002 - CONTADOR 65 - Um título com vencimento para daqui a cinco meses e valor de resgate de $ 10.000 é colocado no mercado oferecendo rentabilidade de 9% ao mês, a juros compostos. Então, este título deve ser negociado hoje por: (A) $ 5.962,68; (B) $ 6.386,20; (C) $ 6.499,33; (D) $ 6.858,36; (E) $ 7.084,25. 66 - Uma instituição financeira oferece um produto que remunera o capital investido a uma taxa de 16% ao ano, capitalizados semestralmente. A taxa anual efetiva de remuneração deste produto é: (A) 16,10%; (B) 16,64%; (C) 16,99%; (D) 17,02%; (E) 17,26%. 67 - Uma empresa pode pagar por serviços prestados $ 2.000,00 a prazo, em 60 dias, ou à vista, com 15% de desconto. Se ela optar por financiar o pagamento, a taxa real embutida neste financiamento será de: (A) 14,75%; (B) 15,00%; (C) 16,93%; (D) 17,65%; (E) 18,25%. ELETROBRAS 1 SEM/2002 - ADMINISTRAÇÃO 69 - Dentre as modalidades de desconto, aquela que é conhecida como desconto “por dentro” é o desconto: (A) nominal; (B) industrial; (C) bancário; (D) comercial; (E) racional.


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PETROBRAS – ADMNISTRADOR PLENO 2005


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PETROBRAS – CONTADOR 2005


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Gabarito Questões de Concursos

50 C 67 D 49 C 69 E 16 E 31 E 17 A 32 E 49 C 33 B 34 C 36 C 16 D 37 E 67 D 26 D 68 A 43 D 65 C 44 B 66 B 53 E

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Apostila Matemática Financeira - Parte I. PROF