Matemática Financeira - Apostila 1

UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO UNINOVE

Material de apoio Matemtica Financeira

Prof. Ms. Paulo Sergio Pereira da Silva So Paulo, Julho de 2010

Matemtica Financeira NDICE

- Prof. Ms. Paulo Sergio P. da Silva

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APRESENTAO..............................................................................................................................................................................................03 FUNDAMENTOS DA MATEMTICA FINANCEIRA...............................................................................................04 INTRODUO........................................................................................................................................................................................04 REGRA DE TRS SIMPLES............................................................................................................................................................04 PORCENTAGEM ...................................................................................................................................................................................05 JUROS .......................................................................................................................................................................................................................09 JUROS SIMPLES....................................................................................................................................................................................11 DESCONTOS .SIMPLES.................................................................................................................................................................................19 JUROS COMPOSTOS .......................................................................................................................................................................................23 DESCONTOS COMPOSTOS ...........................................................................................................................................................................28 OPERAES COM TAXAS DE JUROS..............................................................................................................................................30 SRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS .......................................................................................................................................38 POSTECIPADA.........................................................................................................................................................................................38 ANTECIPADA..............................................................................................................................................................................................43 SISTEMAS DE AMORTIZAO................................................................................................................................................................49 SISTEMA FRANCS DE AMORTIZAO-SFA./PRICE...................................................................................................52 SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE -SAC .......................................................................................................61 EXERCICIOS SUPLEMENTARES...............................................................................................................................................................64 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................................................................................................72 ANEXO 1 - PEQUENO MANUAL HP 12C.....................................................................................73

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Matemtica Financeira


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APRESENTAO

Caro(a) aluno(a),

Ao longo de nossa vida acadmica, so grandes as novidades e os desafios que se colocam diante de ns. As relaes entre professores e alunos so mediadas por linguagens e regras especficas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um s tempo, curiosidade e temor. A final ser que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a elas?

Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e, assim, ajud-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas teis para o seu desenvolvimento profissional e a acadmico. No pretendo fazer com que voc domine todo esse instrumental logo de sada., longe disso. Voc s aprender tudo o que aqui est contido medida que for empregando cada uma das ferramentas. No incio lhe parecero complexas, com o passar do tempo voc aprender a decodific-las e a utiliz-las corretamente, de modo que elas passaro a fazer parte tanto do seu vocabulrio quanto de seu repertrio de prticas.

O objetivo deste material preparar o discente para a vida acadmica, despertando-lhe o desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos prticos, os conceito da matemtica financeira e suas aplicaes, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fcil compreenso. Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreenso, dessa forma, no substitui, em hiptese alguma, a pesquisa em livros especficos.

O autor,



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FUNDAMENTOS DA MATEMTICA FINANCEIRA

INTRODUO A matemtica financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em funo do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vrios detalhes quanto forma de estudo do valor do dinheiro tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da matemtica financeira.

Risco: quando estamos concedendo crdito, estamos mesmo analisando o risco contido nas operaes de crdito. Os conceitos de matemtica financeira sero importantes para medir o risco envolvido em vrias operaes de crditos. Prejuzo (ou despesa): Em qualquer operao financeira, normalmente, ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuzo e para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemtica financeira ir mostrar quanto se pagou de despesa ou medir o tamanho do prejuzo em uma operao financeira.

Lucro (ou receita): Da mesma forma que algum ou uma instituio paga juros e caracteriza-ocomo prejuzo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou simplesmente como a remunerao do capital emprestado. A matemtica financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remunerao do capital emprestado. REGRA DE TRS Chamamos de regra de trs simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. A regra de trs simples trabalha com apenas duas grandezas.

Exemplos: 1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m? Resoluo: (grandezas diretamente proporcionais) Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preo do tecido. Chamamos de x o valor que desejamos conhecer. Ento dispomos em duas colunas: Comprimento(m) Preo(R$) 6 15 8 x Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: 6 8 15 x

Armamos proporo formada pelas razes que construmos, seguindo as setas:

Matemtica Financeira 6 = 15 8 x e determinamos o valor de x: x = 8 . 15 6 x = 120 6


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x = 20

Logo, o preo procurado : R$ 20,00 2) Se seis operrios fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operrios fariam a mesma obra? Resoluo: (grandezas inversamente proporcionais) Ento dispomos em duas colunas: Operrios Dias 6 10 20 x A coluna que contm x assinalada como no problema anterior e a outra coluna assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrrio. Assim: 6 10 20 x Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operrios (por ser uma grandeza inversamente proporcional de nmero de dias): 20 10 6 x Da: 20 = 10 6 x e determinamos o valor de x: x = 6 . 10 20 x = 60 20 x= 3

Logo, sero necessrios: 3 dias. PERCENTAGEM (%) Em nosso dia-a-dia comum observarmos expresses como as relacionadas abaixo: Desconto de at 30% na grande liquidao de vero. Os jovens perfazem um total de 50% da populao brasileira. A inflao registrada em dezembro foi de 1,93%. O rendimento da caderneta de poupana foi de 1,99% em maio. Todas essas expresses envolvem uma razo especial chamada percentagem.



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Percentagem o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. Taxa o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. Principal o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem. No entanto, o principal, a percentagem e a taxa so elementos do clculo percentual. Representando: O principal por P; A porcentagem por p; A taxa por i; p i Temos, genericamente: = P 100

3) Qual a comisso de 10% sobre R$ 800,00? Resoluo: Neste caso teremos que: p 800 10 100

100p = 800 . 10 100p = 8000 p = 8000/100 p = 80 Logo, a comisso de R$ 80,00



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EXERCICIOS REGRA DE TRS 1) Ao comprar 2 kg de pes paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg?R. R$ 37,50

2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 11,20 3) Um operrio recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receber por 35 dias?R. R$ 1463,00

4) Uma roda d 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dar em 28 minutos? R. 112 voltas 5) Uma fbrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levar para engarrafar 4000 refrigerantes? R. 8 horas 6) Com 12 operrios podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levaro 8 operrios para fazer o mesmo muro? R. 6 dias 7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operrios. Tendo conseguido apenas 12 operrios, em quantos dias terminar o mesmo trabalho? R. 40 dias 8) Para se obterem 28 kg de farinha, so necessrios 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo so necessrios para se obterem 7 kg de farinha? R. 10 kg 9) Trinta operrios constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operrios construiriam essa casa? R. 90 dias 10) Um nibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levar, aumentando a velocidade mdia para 80 km/h? R. 3 horas 11) Trabalhando 5 horas por dia um operrio pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condies, poderia faz-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. 20 dias 12) Cinco mquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado servio em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo servio seria executado se forem utilizadas apenas trs mquinas impressoras? R. 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos PORCENTAGEM 13) Calcule as porcentagens: a) 8% de R$ 700,00 b) 5% de R$ 4.000,00 c) 12% de R$ 5.000,00 d) 1,2% de R$ 40,00R p = 56 R. p = 200 R. p = 600 R. p = 0,48

14) Qual a taxa percentual que: a) 125 representa de 250? b) 112 representa de 320? c) 28 representa de 80? d) 352 representa de 1800?R. i = 50% R. i = 35% R. i = 35% R. i = 19,55%



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15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, j includos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agncia de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente s taxas de embarque, sobre o qual no haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem vista. Ento CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: (R. c) a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00

16) De 4000 funcionrios, 120 faltaram ao servio. Qual a taxa percentual dos funcionrios ausentes? R. i = 3% 17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia:

R$ 367,20 x 4 ou R$ 1.080,00 vista

Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagar a mais quantos por cento? R. 36% 18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabo do desinfetante PINHO CHEIRO:R. 7%

DESINFETANTE PINHO CHEIRO gua 47g lcool 12g Sabo 7g leo pinho 34g TOTAL 100g 19) Numa pesquisa sobre a preferncia de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado obtido foi o seguinte: PREFERENCIA NMERO DE PESSOAS Azul 11 Branco 9 Preto 1 Verde 10 Amarelo 14 Vermelho 5 Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ?R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%.

20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos estudantes ausentes? R. i = 5%

Matemtica Financeira JUROS (J)


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a remunerao obtida a partir do capital de terceiros. Esta remunerao pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuzo, etc. de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.

Podemos concluir que os juros s existem se houver um capital empregado, seja este capital prprio ou de terceiros. Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P) o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operao financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operao financeira ou simplesmente podemos dizer que o valor aplicado como base para clculo dos juros. Taxa (i) o coeficiente obtido da relao dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitria. Os conceitos e tipos de taxas so bastante variados, como por exemplo: - taxa de inflao; - taxa real de juros; - taxa acumulada; - taxa unitria; - taxa percentual; - taxa over; - taxa equivalente; - taxa nominal, entre outras. Prazo ou Tempo ou Perodos (n) o tempo necessrio que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montante (M). Neste caso, o perodo pode ser inteiro ou fracionrio, vejamos um exemplo: - perodo inteiro:1 dia; 1 ms comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. - perodo fracionrio:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. Podemos tambm considerar como um perodo inteiro os perodos do tipo: um perodo de 15 dias, um perodo de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos perodos vai depender de como esto sendo tratados nos problemas. Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S) a quantidade monetria acumulada resultante de uma operao comercial ou financeira aps um determinado perodo de tempo, ou seja, soma do capital (C) com os juros (J). Assim temos: M=C +J J=MC e C=M-J

Partindo da frmula acima, temos que: Exemplo 01:


- Prof. Ms. Paulo Sergio P. da Silva 10

Uma aplicao obteve um rendimento lquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importncia aplicada foi de R$ 1.568,78 ? Soluo algbrica: J = 78,25 C= 1.568,78 M=C+J M = 1,568,78 + 78,25 M = R$ 1.647,03 Soluo pela HP-12C M=? 1568,78 78,25 ENTER + R$ 1.647,03

Exemplo 02: Qual o valor dos juros resultante de uma operao em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?

Soluo algbrica: C = 1250,18 M= 1380,75 J=M-C J = 1380,75 1250,18 J = R$ 130,57

J= ?

Soluo pela HP-12C 1380,75 1250,18 ENTER -

Exemplo 03:

R$ 130,57

Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25 ? Soluo algbrica: M= 1500,00 J=378,25 C=M-J C = 1500,00 378,25 C = R$ 1.121,75 Soluo pela HP-12C C= ? 1500 378,25 ENTER R$ 1.121,75 Regimes de Capitalizao So os mtodos pelos quais os capitais so remunerados. Os regimes utilizados em Matemtica Financeira so SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente. Exemplo 04: Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada perodo pelos regimes de capitalizao simples ? Soluo algbrica: 01 Regime de Capitalizao Simples n Capital aplicado(R$) Juros de cada perodo Montante 1 1000 . 0,1= 100 1000 + 100 = 1100,00 1000,00 2 1000,00 1000 . 0,1 =100 1100 + 100 = 1200,00 3 1000,00 1000 . 0,1 =100 1200 + 100 = 1300,00



JUROS SIMPLES Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalizao linear. O regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada perodo, no incidiro novos juros. Sendo assim, teremos a frmula dos juros simples: J= PV . i . n Colocando o PV em evidncia, teremos: PV = J i.n Colocando o n em evidncia, teremos: n= J PV.i Colocando o i em evidncia, teremos: i= J PV.n ou i = FV - 1 PV

Exemplo 05: Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao ms. Soluo algbrica: J = 1250 . 0,055 . 5 J = R$ 343,75 Soluo pela HP-12C 1250,00 0,055 5 Exemplo 06: Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao ms ? Soluo pela HP-12C Soluo algbrica: J= 342,96 342,96 ENTER PV = 342,96 0,025 . 11 0,025 ENTER PV = 342,96 = R$ 1.247,13 0,275 Exemplo 07: 11 X R$ 1.247,13 ENTER X X R$ 343,75



Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importncia de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestao de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ? Soluo algbrica: i = 2,14 537,17 . 1 i = 2,14 = 0,003984.... 537,17 i = 0,003984 . 100 i = 0,3984% ao dia imensal = 0,3984 . 30 imensal = 11,95% Soluo pela HP-12C 2,14 ENTER 537,17 1 100 ENTER X

X 30 X 11,95% ao ms

Exemplo 08: Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao ms ? Soluo algbrica: n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao ms J= R$ 226,45 Soluo pela HP-12C = 226,45 n = 226,45 967,74 . 0,015 14,52 ENTER 226,45 n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias 967,74 0,015 OBSEVAO: ENTER X 15,60meses

- A parte inteira 15 representa os 15 meses. -A parte decimal do nmero 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).

Exemplo 09: Andr emprestou R$ 15,00 de Almir. Aps 6 meses Almir resolveu cobrar sua dvida. Andr efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operao? Qual foi a taxa mensal de juros? Soluo algbrica: Soluo pela HP-12C PV = 15,00 FV = 23,75 i(ac) = 23,75 - 1 . 100 ENTER 15 N = 6 meses 15 i(ac) = ? 23,75 % imensal = ? i(ac) = { 1,5833 1 } . 100 58,33 a . p. i(ac) = 0,5833 . 100 i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre imensal = 58,33 / 6 imensal = 9,72% ao ms Montante (M) ou Valor Futuro (FV) 6 9,72% ao ms



Antes de apresentar a frmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, onde tenhamos que: FV = PV + J e J = PV . i . n Assim teremos: FV = PV ( 1 + i . n) Exemplo 10: Qual o valor de resgate de uma aplicao de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB ps-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao ms? Soluo algbrica: n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3) FV = 84.975,59(1 + 0,0435) FV = 84.975,59(1,0435) FV = R$ 88.672,03

i = 1,45% ao ms Soluo pela HP-12C 84975,59 1,45 3 ENTER % X R$ 88.672,03 +

FV= ?

Capital (C) ou Valor Presente (PV) A Frmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da frmula do Montante ou Valor Futuro (FV). Assim teremos: FV = PV(1 + i . n) Colocando PV em evidncia: PV = FV (1 + i . n)

Exemplo 11: Determine o valor da aplicao cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um perodo de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicao foi de 1,77% ao ms. Soluo algbrica: PV = 84.248,00 (1 + 0,0177 . 3) 84.248,00 (1 + 0,0531 ) = 84.248,00 1,0531 84248 1 0,0177 3 Soluo pela HP-12C ENTER ENTER ENTER X + R$ 80.000,00

PV =

PV = R$ 80.000,00



EXERCCIOS 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada de 3,5 % ao ms ? R. J = R$ 875,00 2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a taxa correspondente. R. i = 2,5% 3) Uma aplicao de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicao? R. ianual = 17,655% 4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicao de R$ 9.750,00 taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim 5) Qual o capital que aplicado, taxa de 2,8% ao ms, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?R. PV = R$ 2827,38

6) Qual o juro obtido atravs da aplicao de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ?R. J = R$ 525,00

7) Determinar o valor futuro da aplicao de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, taxa de 2,5% ao ms. R. FV = R$ 9834,51 8) Um financiamento de R$ 21.749,41 liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R. i = 5,73555 a m. 9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual a taxa simples anual ganha?R. i = 48% aa

10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$ 221,50 11) Joo pagou a uma financeira a importncia de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma prestao de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?R. i = 21,1% am.

12) Qual o capital que aplicado taxa simples de 20% ao ms em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?R. PV = R$ 5000,00

13) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao ms. R. J = R$ 343,75 14) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, taxa de 12% a.a. Determine o juro obtido. R. J = R$ 1800,00 15) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 aplicado juros simples, durante 1 ano e meio, taxa de 8% a.s. Obtenha os Juros e o Montante. R. J = R$ 1680,00; FV = R$ 8680,00 16) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m.? R. PV = R$ 30000,00 17) Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada de 4% ao ms? R. J = R$ 108000,00



18) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$ 108.000,00, taxa de juros simples de 4% ao ms? R. PV = R$ 150000,00 19) Que montante receber um aplicador que tenha investido R$ 280.000,00, durante 15 meses, taxa de juros simples de 3% ao ms? R. FV = R$ 406000,00 20) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$ 23.600,00, no prazo de 6 meses, taxa de juros simples de 3% ao ms? R. PV = R$ 20000,00 21) Que tempo de aplicao foi necessrio, para que R$ 20.000,00, se transforme taxa de 3% ao ms, em R$ 23.600,00? R. n = 6 meses 22) (EPCAR) O preo vista de uma mercadoria de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma nica parcela de R$ 128,96, vencvel em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo de: R. (b) a) 94% b) 96% c) 98% d) 100%



Clculo dos juros simples para perodos no inteiros Taxas equivalentes Em algumas situaes, o perodo de aplicao ou emprstimo no coincide com o perodo da taxa de juros. Nesses casos necessrio se trabalhar com a taxa equivalente . Taxas Equivalentes so aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo perodo de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento. Exemplo 12: Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ? Soluo algbrica: PV = 15.000,00 Opo1: transformando a taxa i = 28% ao ano J = 15000 . 0,28 . 92 n = 92 dias 360 J=? J = 15000 . 0,000778 . 92 J = R$ 1.073,33 Opo2: transformando o prazo J = 15000 . 0,28 . 92 360 J = 15000 . 0,28 . 0,255556 J = R$ 1.073,33 Opo3: transformando o produto J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00 360 360 J = R$ 1.073,33 Juros Exato e Comercial Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendrio, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada ms. Como, por exemplo: Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Ms de 30 dias, e, sendo assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias. Exemplo 13: Uma prestao no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a taxa de 48% ao ano. Pede-se: a) Determinar os juros exato b) Determinar os juros comercial Soluo algbrica: PV = R$ 14.500 i = 48% ao ano a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 800,88 365 b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00 360

Soluo pela HP 12C 15000 0,28 92 360 ENTER X X R$ 1.073,33



Soluo pela HP-12C 14500 0,48 42 365 ENTER X X R$ 800,88 14500 0,48 42 360 ENTER X X R$ 812,00 E X E R C C I O S - JUROS PERIODO NO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e JUROS EXATO E COMERCIAL Considerar o ano comercial (360 dias) 1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias taxa de juros simples de 40% ao ano. Efetuar os clculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). R. Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61 2) Uma prestao no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial.R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27

3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para: a) 7 dias; R. 0,77% b) 29 dias; R. 3,22% c) 1 ms; R. 3,33% d) 32 dias; R. 3,56% e) 1 trimestre; R. aprox. 10% f) 45 dias; R. 5% g) 1 semestre; R. aprox. 20% 4) Calcular o valor dos juros de uma aplicao de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao ms, pelo prazo de 32 dias. R. J = R$ 821,18 5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias taxa simples de 2,5% ao ms.R. J = R$ 268,33

6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicao, equivalente taxa de 3,05% ao ms.R. i22dias = 2,24%

Matemtica Financeira 7) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% ao trimestreR. a) 3% ao ms;


b)24% ao semestreb) 4% ao ms;

c) 0,04% ao diac) 1,2% ao ms;

d)30% ao ano.d) 2,5% ao ms

8) Um capital de R$2.400,00 aplicado durante 10 meses, taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. R$ 500,00 9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, taxa de 36% ao ano. R. R$ 15.725,00

10) Uma aplicao de valor inicial de R$ 4.000,00 foi feita por um perodo de 72 dias, pelo regime de juros simples, sob a taxa de 9% ao ms. Podemos afirmar que o valor do Juro Exato e o valor do Montante final so: R. (c) a) R$ b) R$ c) R$ d) R$ e) R$ 946,67 946,67 864,00 946,67 360,00 e e e e e R$ 4946,67 R$ 4864,00 R$ 4864,00 R$ 8644,00 R$ 4864,00



DESCONTOS a denominao dada a um abatimento que se faz quando um ttulo de crdito resgatado antes de seu vencimento. uma operao tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de ttulos de crdito, tais como letras de cmbio, notas promissrias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o ttulo antes do vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no ttulo, dito nominal. Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (mtodo linear) e Composto (mtodo exponencial). Desconto Racional ou Real Simples - desconto por dentro a parcela a ser deduzida do ttulo, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor de resgate) do papel. O valor do desconto a diferena entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o valor atual ((VL) valor lquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples. Vamos aplicar as seguintes frmulas: Para calcular o desconto racional simples: DRS = VN VL

O desconto racional simples (DRS) pode tambm ser encontrado diretamente pela seguinte frmula: DRS = VN . i . n (1+i.n) Para calcular o valor lquido: VL = VN - DRS .

O Valor Lquido (VL) tambm pode ser encontrado pela seguinte frmula:

VL =

VN (1+i.n)

.

Exemplo 01: Um ttulo de valor nominal de R$ 25.000,00 descontado 2 meses antes do seu vencimento, taxa de juros simples de 2,5% ao ms. Qual o desconto racional simples e o valor lquido? Soluo algbrica: Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; i = 2,5% ao ms; DRS = ? DRS = 25000,00 . 0,025 . 2 ( 1 + 0,025 . 2 ) DRS = 1250 1,05 DRS = R$ 1190,48 Soluo pela HP-12C 25000 ENTER 0,025 X 2 X 1 ENTER 0,025 ENTER 2 X + CHS 25000,00 + R$ 23.809,52

Matemtica Financeira VL = VN - DRS VL = 25000 1190,48 VL = R$ 23.809,52


Desconto Bancrio ou Comercial - desconto por fora a parcela a ser deduzida do ttulo, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ou valor de face) do papel. Na prtica o que utilizado o desconto por fora. O valor do desconto obtido multiplicando-se o valor nominal do ttulo pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer at o vencimento do ttulo. Vamos expressar esta situao atravs da seguinte frmula: DBS = VN . i . n e VL = VN DBS

OBS.: CASO A DVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS Exemplo 02: Um ttulo de valor nominal de R$ 25.000,00 descontado 2 meses antes do seu vencimento, taxa de juros simples de 2,5% ao ms. Qual o desconto comercial (bancrio) e o valor lquido? Soluo algbrica: Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; i = 2,5% ao ms; DBS = ? DBS = 25000,00 . 0,025 . 2 DBS = R$ 1250,00 VL = 25000 1250,00 VL = R$ 23.750,00 Exemplo 03: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, taxa de desconto de 2,5% ao ms. Sabendo-se que o banco cobra 1% a ttulo de despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operaes Financeiras) 0,0041% ao dia sobre o valor do ttulo, obter o valor recebido pelo portador do ttulo. Uma outra alternativa seria tomar um emprstimo com a taxa lquida de 2,8% ao ms. Qual a melhor opo? Soluo algbrica: Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; id = 2,5% ao ms; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%; i = 2,8% ao ms(emprstimo) VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ? ONDE: D = despesas DIOF = despesas com IOF Dadm = despesas administrativas VL = VN DBS DIOF - Dadm DBS = VN . id . n DBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00 Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00 DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50 Soluo pela HP-12C 25000 ENTER 0,025 X 2 X CHS 25000 + R$ 23.750,00



VL = 25000 1250 250 61,50 VL= R$ 23.438,50 Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, ento teremos que a taxa desta operao ser: i = FV - PV PV . n i = 25000 23.438,50 = 1561,50 = 3,33 % ao ms 23.438,50( 2) 46.877,00 A operao de emprstimo com a taxa de 2,8% ao ms, neste caso, ser melhor opo. Operaes com um conjunto de ttulos Estudaremos nos prximos itens as situaes em que haja mais de um ttulo ou border de ttulos ou duplicatas. Exemplo 04: Uma empresa apresenta o border de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco taxa de desconto bancrio de 3% ao ms. Qual o valor lquido recebido pela empresa ? Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento) A 2.500,00 25 dias B 3.500,00 57 dias C 6.500,00 72 dias Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de clculo para um nico ttulo. Soluo algbrica: a)Duplicata A: DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50 30 b)Duplicata B: DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50 30 c)Duplicata C: DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00 30 Valor lquido = 12500 - 62,50 199,50 468,00 = R$ 11.770,00 EXERCCIOS 1) Qual o valor do desconto comercial simples de um ttulo de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, taxa de 2,5% ao ms ? R. DBS = R$ 225,00 2) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada numa operao a 120 dias cujo valor nominal de R$ 1000,00 e cujo valor lquido de R$ 880,00 ? R. i = 3,41% 3) Calcular o valor lquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao ms, conforme o border a seguir: a) 6.000 b) 3.500 c) 2.500 15 dias 25 dias 45 dias

R. VL = R$ 11.768,00



4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer at o vencimento, foi descontada por um banco taxa de 2,70% ao ms. Calcular o valor lquido entregue ou creditado ao cliente.R. VL = R$ 29408,00

5) Achar o valor lquido do border de cobrana a baixo, taxa de desconto bancrio de 2% ao ms. R. VL = R$ 4461,11 Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento) X 800,00 13 dias Y 1350,00 29 dias Z 2430,00 53 dias 6) Um ttulo com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples taxa de 60% ao ms. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo ttulo? R. VL = R$ 50.000,00 7) Um ttulo com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um DRS taxa de 10% ao ms. De quanto foi o valor pago pelo ttulo?R. VL = R$ 2.740,00

8) Um ttulo com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples taxa de 20% ao ms. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo ttulo? R. VL = R$ 5.300,00 9) Uma pessoa pretende saldar uma dvida cujo o valor nominal de R$ 2.040,00, 4 meses antes de seu vencimento. Qual o valor que dever pagar pelo ttulo, se a taxa racional simples usada no mercado de 5% ao ms? R. VL = R$ 1.700,00 10) Joo deve a um banco R$ 190.000,00 de um ttulo, que vencem daqui a 30 dias. Por no dispor de numerrio suficiente, prope a prorrogao da dvida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo ttulo ser de: R. VL = R$ 235.600,00 11) Em uma operao de resgate de um ttulo, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples de R$ 180,00, qual o valor nominal do ttulo?R. VN = R$ 3.000,00

12) O DCS de um ttulo 4 meses antes do seu vencimento de R$ 800,00. Considerando uma taxa de 5% ao ms, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 4.000,00 13) Voc possui uma duplicata cujo o valor de face de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual taxa de desconto? R. i = 2,1% 14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, que sofreu um DCS de R$ 448,50, taxa de 18% ao ano. R. n = 92 dias 15) Um ttulo de R$ 2000,00 ser descontado a 12% ao ms, 2 meses antes do vencimento. Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando: a) Desconto simples bancrio. R. R$ 1.520,00 b) Desconto simples racional. R. R$ 1612,90



JUROS COMPOSTOS Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. O regime de juros compostos o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais til para clculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o clculo a juros compostos conhecido por clculo exponencial de juros. FRMULAS: Para calcular o Montante: FV = PV( 1 + i )n

Montante para taxa em meses consecutivos ( Obs.: n sempre igual a 1) FV = PV( 1 + i )n . ( 1 + i )n . ( 1 + i )n .....

Para calcular o Capital: PV = FV ( 1 + i )n

Para calcular a Taxa em perodo quebrado:QQ/QT

FV i= PV

-1

. 100

Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operao que foi informado) Taxa acumulada: iac = FV - 1 PV Para calcular o prazo : n = LN (FV/ PV) LN(1 + i)

Onde: LN = Logaritmo neperiano Para calcular os juros : J = PV[(1 + i )n 1]

Matemtica Financeira Exemplo 01:


Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 5 meses. Soluo algbrica: Soluo pela HP-12C FV = 5000(1 + 0,04) FV = 5000(1,04)5 FV = 5000(1,2166529) FV = R$ 6.083,265

5000 4 5 FV i

CHS

PV

n R$ 6.083,26

Exemplo 02: Qual o capital que, em 6 anos taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ? Soluo algbrica: PV = FV (1+ i)n PV = 14000 2,31306 Soluo pela HP-12C = 14000 (1,15)6 14000 15 6 i n PV Exemplo 03: R$ 6.052,59 CHS FV

= R$ 6.052,59

A loja Leve Tudo financia a venda de uma mquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja ? Dados: i=? PV = R$ 10.210,72 FV = R$ 14.520,68 n = 276 dias Soluo algbrica: i= 14.520,68 10.210,7230/276

Soluo pela HP-12C 10210,72 14520,68 -1 . 100 276 ENTER 30 n CHS FV PV

i = {(1,422101...)0,108696... 1} . 100 i = {0,039018...} . 100 i = 3,90% ao ms

i

3,90% ao ms



Exemplo 04: Em que prazo um emprstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um nico pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada de 3% ao ms ? Dados: n=? i = 3% ao ms PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33 Soluo algbrica: Soluo1 pela HP-12C Soluo 2 pela HP-12C 6 f CHS FV 41524,33 LN 41.524,33 ENTER 41524,33 24278,43 PV 24278,43 n= g LN 24278,43 LN ( 1 + 0,03) 3 i n = LN(1,710338) g LN 1,03 LN(1,03) n = 0,536691... n 19 meses 0,029559... 18,156731.. meses n = 18,156731... meses Exemplo 05: Calcular os juros de uma aplicao de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses taxa de 10% ao ms. Dados: Soluo pela HP-12C PV = R$ 1.000,00? i = 10% ao ms CHS PV 1000 n = 5 meses J=? i 10 Soluo algbrica: n 5 J= 1000[(1 + 0,10)5 1] 5 J= 1000[(1,10) 1] 1.610,51 FV J= 1000[1,61051 1] J= 1000[0,61051 ] RCL PV + R$ 610,51 J= R$ 610,51 Clculo dos Juros Compostos para Perodos no Inteiros As operaes de juros compostos para perodos no inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a conveno do prazo para dias, vejamos a seguir: 1 ano exato = 365 ou 366 dias; 1 ano = 360 dias; 1 semestre = 180 dias; 1 trimestre = 90 dias; 1 ms comercial = 30 dias; 1 ms exato = 29 ou 31 dias; 1 quinzena = 15 dias. Quando deparamos com este tipo de situao devemos considerar o prazo n = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias. QT (Quanto eu Tenho) Sendo assim, teremos a seguinte frmula do Valor Futuro(FV): FV = PV (1 + i )QQ/QT



Exemplo 06: Determinar o montante de uma aplicao de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um perodo de 92 dias pelo regime de juros compostos. Dados: PV = R$ 13.500,00 OBS.: neste caso a taxa est ao ano e o prazo est em dias. i =25% ao ano As perguntas: n = 92 dias Qual o prazo que eu Quero? FV = ? Qual o prazo que eu Tenho ? Soluo algbrica: FV = 13500(1 + 0,25)92/360 FV = 13500(1,25)0,255556 FV = 13500(1,058683) FV = R$ 14.292,22 13500 1 92 yx Soluo pela HP-12C ENTER ENTER ENTER X 0,25 360 +

R$ 14.292,22

EXERCCIOS 1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicao financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao ms para um perodo de 17 meses. R. FV = R$ 22824,27 2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao ms, cujo valor resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 88296,69 3) Durante quanto tempo uma aplicao de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao ms ? R. n = 55,32 aprox. 56 4) Qual a taxa mensal de juros necessria para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am. 5) Determinar os juros obtidos atravs de uma aplicao de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao ms durante 7 meses. R. J = R$ 209,38 6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao ms, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.R. PV = R$ 1253,46

7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?R. J = R$ 875,97

8) Determinar o montante de uma aplicao de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um perodo de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11411,43 9) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao ms, rende R$ 10.000,00. R. PV = R$ 31652,40 10) Em que prazo um emprstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um nico pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?R. n = 5 anos



11) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupana 23% do valor, a uma taxa de 2,5% ao ms a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do perodo?R. FV = R$ 2802,32

12) Andr pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma anlise em trs bancos diferentes. Veja a tabela abaixo com as condies oferecidas por cada banco. BANCO X Y Z 2% ao ms 2% ao trim 2,5% ao ms Taxa 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses Prazo a) Calcule o montante referente as condies oferecidas por cada bancoR. FVx = R$ 32.472,96; FVy = R$ 31.212,00 e FVz = R$ 32.742,07

b) Qual a melhor opo? 13) A loja MIX Ltda. vende um etrodomstico por R$ 180,00 a unidade, sendo o pagamento feito em 2 meses aps a compra. Para pagamento vista, o preo de R$ 165,00. Qual a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? R. i = 4,44% a.m 14) Em 3 meses consecutivos, um fundo rendeu, respectivamente, 1,2%, 1,5% e 1,8%. Se o capital aplicado no incio do primeiro ms foi de R$ 10.000,00, determine: a) o Montante no final do terceiro ms; R. FV = R$ 10.456,69 b) a taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre. R. iac = 4,56% 15) O quadro abaixo indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham e as respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos. Investidor A B Capital 100 000 100 000 Taxa 100% ao ano 100% ao semestre

Depois de um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investidores ser: R. (b) a) 480.000 b) 456.000 c) 440.000 d) 336.000 e) 420.000



DESCONTOS COMPOSTOS Desconto Racional Composto O desconto composto aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os clculos do desconto composto. DRC = VN VL VL = VN (1 + i)n .ou VL =VN(1 - i)n

Exemplo 01: Determinar o desconto racional composto de um ttulo de valor nominal de R$ 5000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao ms, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. Dados: Soluo pela HP-12C VN = 5000; i = 3,5% ao ms; n = 3 meses; DRC ?; VL = ? 5000 FV 3,5 i Soluo algbrica: 3 n VL = 5000 . PV 4509,71 (1 + 0,035)3 5000 + VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .= R$ 490,29 3 (1,035) 1,10872 DRC = 5000 4509,71 = R$ 490,29

Desconto Bancrio ou Comercial ( para descontos compostos) O Desconto Bancrio Composto praticamente s existe na teoria, j que o que utilizado em nosso pas o desconto bancrio simples. Considere um ttulo de Valor Nominal (VN), com vencimento em um perodo (n), e um Valor Lquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n) perodos a uma taxa composta de descontos (id) por perodo. Vamos verificar: DBC = VN VL Onde: DBC = Desconto Bancrio Composto VL = VN (1 - i)n Exemplo 02: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, descontada a uma taxa de 2,5% ao ms, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor lquido creditado na conta e o valor do desconto bancrio concedido. Soluo algbrica: Soluo pela HP-12C Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 60dias (2 meses); i = 2,5% ao ms; VL = ? DBC = ? 25000 ENTER VL = 25000(1- 0,025)2 1 ENTER VL = 25000(0,975)2 0,025 VL = 25000 (0,950625) 2 Yx X VL = R$ 23765,63 23.765,63 DBC = 25000 23765,63 = R$ 1.234,38 CHS 25000 + R$ 1.234,38



EXERCCIOS 1) Um ttulo no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor lquido deste ttulo?R. VL = R$ 45.000,00

2) Determinar o desconto racional composto de um ttulo de valor nominal de R$ 3.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao ms, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento. R. DRC = R$ 206,62 3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, descontada a uma taxa de 1,5% ao ms, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Lquido creditado na conta e o valor do Desconto Racional concedido.R. VL = R$ 16.257,46 e DRC = R$ 742,64

4) Determine o valor do DRC de um ttulo de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, sendo taxa de 3% ao ms. R. DRC = R$ 851,82 5) Calcule o DRC obtido em um ttulo de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do vencimento, sendo taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC = 681,17 6) Um ttulo no valor nominal de R$ 25.000,00 descontado 90 dias antes do vencimento uma taxa de 1,5% ao ms. Qual o valor lquido e o DBC? R. VL = R$ 23.908,12 e DRC = R$ 1.091,88 7) Uma nota promissria de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do vencimento taxa de juros de 3% ao ms. Calcular o valor lquido recebido e o DRC.R. VL = R$ 4. 712,98 e DRC = R$ 287,02

8) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dvida representada por um ttulo cujo valor nominal de R$ 1.000,00. sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao ms, ache o valor lquido e o desconto racional. R. VL=R$ 915,14 e DRC= R$ 84,86



OPERAES COM TAXAS DE JUROS Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituio financeira representam mdias geomtricas ponderadas pelas concesses observadas nos ltimos cinco dias teis, perodo esse apresentado no ranking de cada modalidade de operao de crdito. A taxa de juros total representa o custo da operao para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa mdia e dos encargos fiscais e operacionais. Taxas Equivalentes a Juros Compostos Duas taxas so consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um perodo de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. ieq = ( 1 + ic)QQ/QT - 1 Onde: ieq = taxa equivalente ic = taxa conhecida QQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu Tenho Exemplo 01: Calcular a equivalncia entre as taxas: Taxa Conhecida a) 79,5856% ao ano b) 28,59% ao trimestre c) 2,5% ao ms d) 0,5 ao dia e) 25% (ano comercial) Soluo algbrica: a) ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100 ieq = { 1,049997 - 1 } . 100 ieq = { 0,049997 } . 100 ieq = 5% ao ms Soluo algbrica: b) Soluo algbrica: ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100 ieq = { 1,653539 - 1 } . 100 ieq = { 0,653539 } . 100 ieq = 65,35% ao semestre Taxa equivalente para: 1 ms 1 semestre 105 dias 1 ano 1 ano exato ( base 365 dias) Soluo pela HP-12C - a) 1,7958 ENTER 30 1 ENTER 100 360 X Yx

. 100

5% ao ms Soluo algbrica c) ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100 ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100 ieq = { 1,090269 - 1 } . 100 ieq = { 0,090269 } . 100 ieq = 9,03 %ao perodo

Matemtica Financeira Soluo algbrica d) ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100 ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100 ieq = { 6,022575 - 1 } . 100 ieq = { 5,022575 } . 100 ieq = 502,265% ao ano


Soluo algbrica e) ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100 ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100 ieq = { 1,253880 - 1 } . 100 ieq = { 0,253880 } . 100 ieq = 25,39% ao perodo

Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflao Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operaes correntes (financeiras e comerciais). Quando no h inflao (I), a taxa aparente (i) igual taxa real (R); porm, quando h inflao (I), a taxa aparente (i) formada por dois componentes: - Um correspondente ao juro real e outro correspondente a inflao. Sendo: C: capital inicial Da, R: taxa real de juros I: taxa de inflao (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) i: taxa aparente

Exemplo 01: Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflao do perodo for 11,9% ? Resoluo: Resoluo pela HP 12C: i=? R = 9%ao ano I = 11,9% 1,09 ENTER 1,119 X (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 1 (1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119) 100 X 22 (1 + i) = (1,09) . (1,119) (1 + i) = 1,22 i = 1,22 - 1 i = 0,22 . 100

i = 22% ao ano

Exemplo 02: Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflao do perodo for 11,9% ? Resoluo: Resoluo pela HP 12C: i = 22% ao ano R=? I = 11,9% 1,22 CHS FV (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 1,119 PV (1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119) 1 n (1,22) = (1+ R) . (1,119) i 9 1,22 = (1 + R) 1,119 1,09 = (1 + R) 1,09 1 = R 0,09 = R R = 0,09 . 100 R = 9% ao ano



Exemplo 03: Qual a taxa de inflao, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for no perodo 9% ? Resoluo: I=? R = 9%ao ano i = 22% ao ano Resoluo pela HP 12C: 1,22 CHS FV (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 1,09 PV (1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I) 1 n (1,22) = (1,09) . (1 + I) i 11,9 1,22 = (1 + I) 1,09 1,119 = (1 + I) 1,119 1 = I 0,119 = I I = 0,119 . 100 I = 11,9% ao ano Taxa Acumulada de juros com Taxas Variveis normalmente utilizada em situaes de correes de contratos como, por exemplo, atualizao de aluguis, saldo devedor da casa prpria e contratos em geral. A composio das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas, nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativa como do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc. Matematicamente, o fator de acumulao de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxa negativa (1 i). assim teremos a seguinte frmula genrica: iac = [(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in ) 1] . 100

Exemplo 04 Calcular a taxa acumulada de juros seguinte sequncia de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%. Resoluo: iac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1] . 100 Resoluo pela HP 12C: iac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1] . 100 1,05 ENTER iac = [1,1118...- 1] . 100 1,03 X iac = 11,18% ao perodo 1 ENTER 0,015 - X 1 ENTER 0,02 - X 1,065 X 1 - 100 X 11,18% Taxa Mdia de Juros Imagine o conjunto de taxas (4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 a quantidade de elementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte frmula genrica: ime ={[(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )]1/n - 1} . 100 onde n = nmero de taxas analisadas

Matemtica Financeira Exemplo 05 Com base nos dados a seguir calcular a taxa mdia. Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62% IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23% IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56% IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00% IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86%


Resoluo: im = {[(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)]1/5 1} . 100 im ={[(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)]1/5 1} . 100 im = {[1,033113...]0,2 1} . 100 Resoluo pela HP 12C: im = {0,006536} . 100 1,0062 ENTER im = 0,6536%ao ms 1,0023 X 1,0056 X 1,01 X 1,0086 X 5 1/X YX 1 - 100 X 0,65% ao ms EXERCICIOS 1) Determinar a taxa: a) anual equivalente a 2% ao ms R. 26,82% b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99% c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57% d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09% 2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros reais quando a inflao for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa 3) A taxa de juros para aplicaes de curtos e mdios prazos, em um banco 40% ao ano. Que remunerao real recebe o cliente, se a inflao for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa 4) Que taxa de inflao anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa 5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ 5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflao for de 30% ao ano e o juro real for de 5% ao ano ? R. i = 36,5%aa 6) Emprestam um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflao foi de 1% no perodo, qual a taxa real da operao? R. R = 3,32%aa 7) Um gerente empresta um dinheiro taxa de 8%. A inflao do ms foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real? R. R = 7,14% 8) Uma determinada revista de informaes financeiras apresentou a seguintes taxas de CDIs:



Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Mai. = 1,63%; Jun. = 1,60%; Jul. = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se: a) Qual a taxa mdia no perodo? R. 1,82% ao ms b) Qual a taxa acumulada no perodo? R. 11,41% ao perodo 9) Calcular a taxa acumulada e a mdia das taxas 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%.R. iac = 8,56% ao perodo; im = 1,66% ao ms.

10) Com base na tabela a seguir, calcular a variao do IGP-M (FGV) acumulada durante os meses de junho/2000 a setembro/2000. Junho/2000 Julho/2000 Agosto2000 Setembro/2000R. iac = 6,1% ao perodo

0,85% 1,57% 2,39% 1,16%

11) Indique qual o valor mais prximo da taxa equivalente taxa nominal de 36% ao ano com capitalizao mensal. Utilize o conceito de juros compostos. R. (a) a) 2,595% ao ms b) 19,405% ao semestre c) 18% ao semestre d) 9,703% ao trimestre e) 6,825% ao bimestre



SRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS So aquelas em que os pagamentos ou recebimentos so constantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras. Sries nmero de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou ocorrendo em sucesso espacial ou temporal. Uniformes que tem uma s forma; igual, idntico; muito semelhantes. Pagamentos cumprimento efetivo da obrigao exigvel.

Classificao das sries de pagamentos a) Quanto ao tempo Temporria - quando tem um nmero limitado de pagamentos; Infinita quando tem um nmero infinito de pagamentos. b) Quanto constncia ou periodicidade Peridicas quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais; No peridicas quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variveis. c) Quanto ao valor dos pagamentos Fixos ou Uniformes quando todos os pagamentos so iguais; Variveis quando os valores dos pagamentos variam. d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento Imediata quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro perodo da srie; Diferida quando o primeiro pagamento no ocorre no primeiro perodo da srie, ou seja, ocorrer em perodos seguintes. e) Quanto ao momento dos pagamentos Antecipadas quando o primeiro pagamento ocorre no momento 0(zero) da srie de pagamentos; Postecipadas quando os pagamentos ocorrem no final dos perodos. Srie Uniforme de Pagamento POSTECIPADA So aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema tambm chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n). Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestao (PMT) ser possvel calcular o valor presente(PV) de uma srie de pagamentos postecipada atravs da seguinte frmula: (1 + i)n - 1 PV = PMT (1 + i)n . i



EXEMPLO 01: Calcular o valor de um financiamento a ser quitado atravs de seis pagamentos mensais de R$ 1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberao dos recursos, sendo de 3,5% ao ms a taxa de juros negociada na operao. Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao ms PMT = R$ 1500,00 Resoluo algbrica: (1 + i)n - 1 PV = PMT (1 + i)n . i (1 + 0,035)6 - 1 PV = 1500 (1 + 0,035)6 . 0,035 (1,035)6 - 1 PV = 1500 (1,035)6 . 0,035

1,229255 - 1 PV = 1500 1,229255 . 0,035 Resoluo pela HP-12C f REG 1500 CHS PMT 6 n 3,5 i PV 7992,83

0,229255 PV = 1500 0,043024 PV = 1500[5,328553] PV = R$ 7992,83

Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestao (PMT) Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma srie de pagamentos postecipada, ser possvel calcular o valor das prestaes (PMT) atravs da seguinte frmula:

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1



EXEMPLO 02: Um produto comercializado vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestao se o comprador resolver financiar em cinco prestaes mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao ms? Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao ms PMT = ? Resoluo algbrica: (1 + 0,05)5 . 0,05 PMT = 500 (1 + 0,05)5 - 1 (1,05)5 . 0,05 PMT = 500 (1,05)5 - 1 Resoluo pela HP-12C f REG 500 CHS PV 5 n 5 i PMT 115,49

1,276282 . 0,05 PMT = 500 1,276282 - 1

0,063814 PMT = 500 0,276282 PMT = 500[0,230975] PMT = R$ 115,49 Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestao (PMT) Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma srie de pagamentos postecipada, ser possvel calcular o valor das prestaes (PMT) atravs da seguinte frmula:

i PMT = FV (1 + i)n - 1

EXEMPLO 03: Determinar o valor dos depsitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao ms durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos. Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao ms PMT = ? Resoluo algbrica: Resoluo pela HP-12C 0,04 f REG PMT = 5000 7 5000 FV (1 + 0,04) - 1 7 n 4 i PMT 633,05

Matemtica Financeira 0,04 PMT = 5000 (1,04)7 - 1


0,04 PMT = 5000 1,315932 - 1

0,04 PMT = 5000 0,315932 PMT = 5000[0,126610] PMT = R$ 633,05

Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n) Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou prestao(PMT) em uma srie uniforme de pagamentos postecipada, ser possvel calcular o nmero de pagamentos ou prazo(n), atravs da seguinte frmula:

PV LN 1 PMT n=LN(1+ i) .i

EXEMPLO 04: Um produto comercializado vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao ms. Gerando uma prestao de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestaes deste financiamento. Dados: PV = 1750 n=? i = 3% ao ms PMT = 175,81 Resoluo algbrica: Resoluo pela HP-12C f REG 1750 PV 1750 3 i LN 1 . 0,03 175,81 CHS PMT 175,81 n=n 12 LN(1+ 0,03)

Matemtica Financeira LN [1 (9,953928) . 0,03 ] n=LN(1,03)


LN [1 (0,298618) ] n=LN(1,03)

LN[0,701382 ] n=LN(1,03) -0,354702 n=0,02956 n = 12meses

n=-

- 12

Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n) Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestao(PMT) em uma srie uniforme de pagamentos postecipada, ser possvel calcular o nmero de pagamentos ou prazo(n), atravs da seguinte frmula: FV . i LN PMT n=LN(1 + i) EXEMPLO 05: Um poupador deposita R$ 150,00 por ms em uma caderneta de poupana; aps um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa mdia de poupana de 0,08% ao ms, determine a quantidade de depsito efetuado por este poupador. Dados: FV = 30.032,62 i = 0,08% ao ms PMT = 150,00 n=? Resoluo algbrica: Resoluo pela HP-12C f REG 30032,62 . 0,0008 30032,62 CHS FV LN +1 150 PMT 150 0,08 i n 186 meses n=LN(1+ 0,0008) +1

Matemtica Financeira 24,026096 LN 150 n=LN(1,0008) LN[ 0,160174 + 1] n=LN(1,0008) LN[ 1,160174 ] n=LN(1,0008) 0,148570 n=0,000800 +1


n = 185,712500 n = 186 meses

Dada a prestao (PMT), calcular o Valor Futuro (FV) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestao (PMT) de uma srie uniforme de pagamentos postecipados, ser possvel calcular o valor futuro (FV), atravs da seguinte frmula: (1 + i )n - 1 i

FV = PMT

EXEMPLO 06: Uma pessoa realiza depsitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupana; considerando uma taxa de 0,8% ao ms, e um prazo de trinta anos, qual ser o valor acumulado aps este perodo? Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao ms FV = ? Resoluo algbrica: FV = 100 (1 + 0,008)360 - 1 0,008 (1,008)360 - 1 0,008 Resoluo pela HP-12C f REG 100 CHS PMT 0,8 i 360 n FV 207.641,32

FV =100

FV = 100 17,611306 - 1 0,008 FV = 100 16,611306 0,008 FV = 100 (2076,4132) FV = R$ 207.641,32



EXERCCIOS 1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, taxa de 5% ao ms. R. FV = R$ 5.525,63 2) Determine o valor do investimento necessrio para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00, no final de cada um dos prximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 53.349,24 3) Determinar o valor das prestaes mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao ms, sabendo-se que o valor presente de R$ 1000,00 e que o prazo de 4 meses.R. PMT = R$ 265,82

4) Um automvel custa vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao ms. Determinar o valor das prestaes.R. PMT = R$ 453,06

5) No exerccio anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao ms para recalcular o valor da prestao. R. PMT = R$ 340,28 6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada ms, durante 5 meses, a quantia de $ 100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao ms, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 520.404,02 7) Qual o perodo financeiro necessrio, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?R. n = 8,78 aprox. 9anos

8) Quanto se dever depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, no se processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituio paga 2,5% ao ms sobre o saldo credor. R. PMT = R$ 367,66 9) Um bem cujo preo vista de $ 4.000 ser pago em oito prestaes mensais iguais pagas ao fim de cada ms. Considerando que o juro composto cobrado de 5% ao ms, calcular o valor das prestaes. R. PMT = R$ 618,89 10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessrio para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestaes mensais postecipadas de $ 120.R. n = 7,99 aproxima. 8 meses

11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada ms, durante 2 anos, a quantia de R$ 200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao ms. R. FV = R$ 6.084,00 12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicao proporciona um rendimento de 1,5% ao ms?R. PMT = R$ 750,00

13) Deposito em uma instituio financeira, no fim de cada ms, a importncia de R$ 800, 00, a 0,5% ao ms. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$ 9.868,44 14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada ms. Sabendo que seu ganho de 1,5% ao ms, quanto possuir em 2,5 anos? R. FV = R$ 25.526,30



15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, taxa de 2,5% ao ms, para que se tenha R$ 60.000,00 no final do vigsimo ms, dentro do conceito de renda postecipada ?R. PMT = R$ 2.349,00

16) Determine o nmero de aplicaes bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessrias para se ter um montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = 10 prestaes 17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas de R$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestao vencer um ms depois da compra. Calcule o valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao ms. R. PV = R$ 6.873,95 18) O financiamento de R$ 8.000,00 ser devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela um ms depois do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao ms, calcule o nmero de capitais desse financiamento.R. n = 4,99 ou 5 prestaes

19) O financiamento ser devolvido em 12 prestaes mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendo o pagamento da primeira prestao realizado no final do primeiro ms depois do recebimento do dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao ms.R. PV = R$ 5.524,04

20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagar dez parcelas mensais de R$ 1.200,00 num plano de amortizao postecipado com taxa de juro de 3,65% ao ms. R. PV = R$ 9.904,90

.

Matemtica Financeira Srie Uniforme de Pagamento ANTECIPADA


As sries uniformes de pagamentos antecipados so aqueles em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento tambm chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n). Dada prestao (PMT), calcular o valor presente (PV) Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestao (PMT) ser possvel calcular o valor presente (PV) de uma srie de pagamento antecipada atravs da seguinte frmula: (1 + i)n 1 PV = PMT (1 + i )n-1 . i EXEMPLO 01: Uma mercadoria comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento de 5% ao ms, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preo vista desta mercadoria. Resoluo algbrica: Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ? (1 + 0,05)4 1 PV = 185 (1 + 0,05 )4-1 . 0,05 (1 ,05)4 1 PV = 185 (1,05 )3 . 0,05 Resoluo pela HP-12C f REG g BEG 185 CHS PMT 5 i 4 n P V 688,80 OBS. : PARA SRIE UNIFORME ANTECIPADA, ANTES DE FAZER A RESOLUO PELA HP12-C PRESSIONAR AS TECLAS: g BEG

1,215506 1 PV = 185 1,157625 . 0,05

0,215506 PV = 185 0,057881

PV = 185[ 3,723248 ] PV = R$ 688,80



Dado o valor presente (PV), calcular a prestao (PMT) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) ser possvel calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma srie de pagamento antecipada atravs da seguinte frmula: (1 + i)n-1 . i PMT = PV (1 + i )n - 1

EXEMPLO 02: Um automvel que custava vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento de 1,99% ao ms, calcule o valor da prestao mensal deste financiamento. Resoluo algbrica: Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00 (1 + 0,0199)36-1 . 0,0199 PMT = 17800 (1 + 0,0199 ) - 1 (1,993039)35 . 0,0199 PMT = 17800 (1,0199 )36 - 136

Resoluo pela HP-12C f REG g BEG 17800 CHS PV 1,99 i 36 n P MT 683,62

0,039661 PMT = 17800 2,032700 - 1

0,039661 PMT = 17800 1,032700 PMT = 17800[ 0,038405 ] PMT = R$ 683,62 Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n) Sendo informados uma taxa (i), a prestao (PMT) e o valor presente (PV) ser possvel calcular o prazo (n) em uma srie de pagamento antecipada atravs da seguinte frmula:

n=-

PV . i ln 1 PMT. (1 + i) ln(1 + i)



EXEMPLO 03: Um produto custa vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestao mensal de R$ 170,72, sendo que a primeira ser paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao ms, qual a quantidade de prestaes deste financiamento? Resoluo algbrica: Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00Resoluo pela HP-12C

1500 . 0,03 n=ln 1 170,72 . (1 + 0,03) ln(1 +0,03)

f REG g BEG 1500 PV 3 i 170,72 CHS PMT n 10 meses

45 ln 1 n=170,72 . (1,03) ln(1,03)

45 ln 1 n=175,84 0,029559

ln [1 - 0,255972 ] n=0,029559

ln [ 0,744028 ] n=0,029559

- 0,295596 n= 0,029559

n = - { - 10,000275 } n = 10 meses

Matemtica Financeira Dada prestao (PMT), calcular o valor futuro (FV)


Sendo informados uma taxa (i), a prestao (PMT) e o prazo (n), ser possvel calcular o valor futuro (FV) em uma srie uniforme de pagamento antecipada atravs da seguinte frmula:

(1 + i)n - 1 FV = PMT i EXEMPLO 04: Um poupador necessita acumular nos prximos 5 anos a importncia de R$ 37.500,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupana no Banco Popular S/A, com depsitos mensais de R$ 500,00, ele ter o valor de que precisa. Considerando que a poupana paga, em mdia, uma taxa de 0,8% ao ms, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que precisa? Resoluo algbrica: Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV= ? (1 + 0,008)60 - 1 FV = 500 0,008 (1,008)60 - 1 FV = 500 0,008 . (1,008) . (1 + 0,008) Resoluo pela HP-12C f REG g BEG 500 CHS PMT 0,8 i 60 n FV 38.618,43 . (1+ i )

1,612991 - 1 FV = 500 0,008 . (1,008)

0,612991 FV = 500 0,008 FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008) FV = 38.311,93 . (1,008) FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrar dinheiro) Dado o valor futuro (FV), calcular a prestao (PMT) Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), ser possvel calcular o valor da prestao (PMT) em uma srie uniforme de pagamento antecipada atravs da seguinte frmula: FV . i PMT = [(1 + i)n 1] . ( 1 + i) . ( 1,008)



EXEMPLO 05: Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, para resgatar no final de 5 anos a importncia de R$ 37.500,00, dever resgatar um pouco mais. Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao ms, de quanto dever ser o valor de cada depsito para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00? Resoluo algbrica: Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT= ? i = 0,8% FV = R$ 37.500,00 Resoluo pela HP-12C f REG g BEG 37500 CHS FV 0,8 i 60 n PMT 485,52

37.500,00 . 0,008 PMT = [(1 + 0,008)60 1] . ( 1 + 0,008) 300 PMT = [(1,008)60 1] . (1,008) 300 PMT = [1,612991 1] . (1,008) 300 PMT = [0,612991] . (1,008) 300 PMT = 0,617895 PMT = R$ 485,52

E XERCICIOS 1) Uma pessoa deposita em uma financeira no incio de cada ms, durante 5 meses,a quantia de R$ 100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao ms, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 530.812,09 2) Qual o montante da renda, para aplicaes mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros compostos de 3% ao ms, durante o perodo financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro depsito foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49 3) Um terreno vendido em 4 prestaes mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao ms, qual o preo vista?R. PV= R$ 498.244,80

4) Uma geladeira vendida em 5 prestaes mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preo vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao ms?R. PV = R$ 33.917,75

5) Um automvel usado vendido vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestaes mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento 2% ao ms, obter o valor de cada prestao antes de serem corrigidos. R. PMT = R$ 27.811,08



6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestaes mensais, taxa de 5% ao ms, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual ser o valor de cada prestao?R. PMT = R$ 20.000,00

7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestaes mensais de R$ 20.000,00, taxa de 5% ao ms, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas prestaes devero ser pagas? R. n = 6 meses 8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um emprstimo de R$ 1.895.395,00 pagando prestaes mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao ms?R. n = 5 meses

9) Quanto dever ser depositado no incio de cada perodo para obter um montante de R$ 305.200,00 no final de 30 perodos a uma taxa de 5% ao ms? R. PMT = R$ 4.374,95 10) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R. FV = R$ 62.681,63 11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importncia numa instituio financeira, taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depsitos antecipados constitua o montante de R$ 150.000,00. Calcule a importncia. R. PMT = R$ 17.524,73 12) Uma mquina vendida em 12 prestaes mensais de $ 307. A juros efetivos de 10% ao ms, e um dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor vista?R. PV = $ 2300,98

13) Um computador custa vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestao mensal de $168, 30, sendo que a 1a ser paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratado foi de 3% ao ms, qual a quantidade de prestaes deste financiamento? R. n = 20 meses 14) A compra de um conjunto de mveis ser paga em 8 prestaes de R$ 1.000,00, sendo a primeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra considerando a taxa de juro de 3,5% ao ms. R. PV = R$ 7.114,54 15) O financiamento de R$ 8.000,00 ser devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido de, no mximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao ms, calcule o nmero de capitais desse financiamento.R. n = 4,77 ou 5 meses

16) So financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao ms. Calcule o valor das quatro prestaes mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestao vencer no ato de assinar o contrato. R. PMT = R$ 258,59 17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$ 6.500,00, sendo de 1,5% ao bimestre. R. FV = R$ 26.989,73 18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 ser financiada em seis prestaes mensais iguais e antecipadas. Calcule o valor das prestaes considerando a taxa de financiamento de 3% ao ms.R. PMT = R$ 309,16

19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a R$ 256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao ms. R. PV = R$ 2.579,40



SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS E FINANCIAMENTO Estudaremos as metodologias de sistemas de amortizao de emprstimos e financiamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestaes no uniformes, ou seja, as prestaes que mudam a cada perodo do emprstimo ou financiamento. Emprstimo: recurso financeiro que, em tese, no necessita ser justificado quanto sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crdito Direto ao Consumidor), entre outros. Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto sua finalidade, por exemplo: compra de automvel, imvel e credirio, entre outros.

No financiamento, existe sempre a aquisio de um bem ou servio atrelado liberao dos recursos financeiros financiados, enquanto no emprstimo exige-se apenas uma garantia de devoluo dos recursos financeiros emprestados. Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou planilhas de amortizao. Saldo Devedor : o valor nominal do emprstimo ou financiamento, ou simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que diminudo da parcela de amortizao a cada perodo (n). Amortizao: parcela que deduzida do saldo devedor a cada pagamento. Juros compensatrios: o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado parcela de amortizao. Prestao: o pagamento efetuado a cada perodo (n), composto da parcela de amortizao mais juros compensatrios.

Sistema Francs de Amortizao (SFA) - (Tabela PRICE) Neste sistema, o financiamento (PV) pago em prestaes (PMT) iguais, constitudas de duas parcelas de amortizao e juros compensatrios (J), que variam inversamente, ou seja, enquanto as parcelas de amortizao diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam. Este sistema considerado o sistema de amortizao mais utilizado pelas instituies financeiras e pelo comrcio em geral, conhecido tambm com Sistema Price e tem como principais caractersticas: a prestao constante durante todo o perodo do financiamento; a parcela de amortizao aumenta a cada perodo (n), ou seja, os pagamentos so peridicos, constantes e sucessivos; os juros compensatrios diminuem a cada perodo (n).

OBS.: Seu clculo, pela HP12C feito na mesma forma da srie de pagamentos uniformes postecipados.



Exemplo 01: Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao ms, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carncia, calculado pelo Sistema Francs de Amortizao (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resoluo algbrica Dados: PV = R$ 10.000,00

n = 5 meses

i = 10% ao ms

PMT = ?

a) clculo do valor da prestao do financiamento (1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1 PMT =10.000 (1 + 0,1)5 - 1 (1,1)5 . 0,1 PMT =10000 (1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1 PMT =10000 1,610510 - 1

0,1610551 PMT =10000 0,610510 PMT = 10000[0,263797] PMT = R$ 2.637,97 b) Clculo dos juros (J) J = PV . i . n Juros para o 1o perodo: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 2o perodo: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 Juros para o 3o perodo: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 Juros para o 4o perodo: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 Juros para o 5o perodo: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82

Matemtica Financeira c) clculo da parcela de amortizao (PAn) PAn = PMT - J Parcela de amortizao para o 1o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 2o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 3o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 4o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 5o perodo: PA = d) clculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn SD1 = 10.000,00 SD2 = 8.362,03 SD3 = 6.560,26 SD4 = 4.578,32 SD5 = 2.398,18 1.637,97 1.801,77 1.981,84 2.180,14 2.398,15 = = = = = R$ 8.362,03 R$ 6.560,26 R$ 4.578,32 R$ 2.398,18 R$ 0,03


2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97

- 1.000,00 = R$ 1.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 - 656,03 = R$ 1.981,94 - 457,83 = R$ 2.180,14 - 239,82 = R$ 2.398,15

N 0 1 2 3 4 5

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortizao (PAn) Juros (J) Prestao (PMT) 10.000,00 8.362,03 6.560,26 4.578,32 2.398,18 0,03 0,00 1.637,97 1.801,77 1.981,94 2.180,14 2.398,15 9.999,97 0,00 1.000,00 836,20 656,03 457,83 239,82 3.189,88 0,00 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 13.189,85

OBS.:A diferena de 0,03 devido ao arredondamento.

Resoluo pela HP-12C f [REG] 10000 CHS 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f PV 10 i 5 n PMT 2637,97

[AMORT] 1000,00 X [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] 836,20 X 656,03 X 457,83 X 239,82 X

Y 1637,97 RCL PV 8362,03 Y 1801,77 RCL PV 6560,26 Y 1981,94 RCL PV 4578,32 Y 2180,14 RCL PV 2398,18 Y 2398,15 RCL PV 0,03

Matemtica Financeira Sistema Francs (carncia + juros compensatrios)


Neste caso, no haver a parcela de amortizao durante o perodo da carncia, apenas o pagamento dos juros compensatrios. Exemplo 2: Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao ms, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carncia, calculado pelo Sistema Francs de Amortizao (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resoluo algbrica Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses

c = 2 meses

i = 10% ao ms

PMT = ?

a) clculo do valor da prestao do financiamento (1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1 PMT =10.000 (1 + 0,1)5 - 1 (1,1)5 . 0,1 PMT =10000 (1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1 PMT =10000 1,610510 - 1

0,1610551 PMT =10000 0,610510 PMT = 10000[0,263797] PMT = R$ 2.637,97 b) Clculo dos juros compensatrios J = PV . i . n Juros para o 1o perodo: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 2o perodo: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00



Os demais sero exatamente iguais ao exemplo anterior. Juros para o 3o perodo: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 Juros para o 4o perodo: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 Juros para o 5o perodo: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 Juros para o 6o perodo: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 Juros para o 7o perodo: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82

c) clculo da parcela de amortizao (PAn) PAn = PMT - J Parcela de amortizao para o 1o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 2o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 3o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 4o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 5o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 6o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 7o perodo: PA = 0,00 0,00 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 0,00 = R$ 0,00 0,00 = R$ 0,00 - 1.000,00 = R$ 1.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 - 656,03 = R$ 1.981,94 - 457,83 = R$ 2.180,14 - 239,82 = R$ 2.398,15

d) clculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn SD1 = 10.000,00 SD2 = 10.000,00 SD3 = 10.000,00 SD4 = 8.362,03 SD5 = 6.560,26 SD6 = 4.578,32 SD7 = 2.398,18 0,00 0,00 1.637,97 1.801,77 1.981,84 2.180,14 2.398,15 = = = = = = = R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 8.362,03 R$ 6.560,26 R$ 4.578,32 R$ 2.398,18 R$ 0,03

N 0 1 2 3 4 5 6 7

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortizao (PAn) Juros (J) Prestao (PMT) 10.000,00 10.000,00 10.000,00 8.362,03 6.560,26 4.578,32 2.398,18 0,03 0,00 0,00 0,00 1.637,97 1.801,77 1.981,94 2.180,14 2.398,15 9.999,97 0,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 836,20 656,03 457,83 239,82 5.189,88 0,00 1.000,00 1.000,00 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 2.637,97 15.189,85



Resoluo pela HP-12C f [REG] 10000 ENTER 10000 CHS X Y 10 10000 CHS 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f % 1000 PV 10 i % 1000 PV 10 i

5 n 5 n Y 1637,97 Y 1801,77

PMT PMT

2637,97 2637,97

[AMORT] 1000,00 X [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] 836,20 X 656,03 X 457,83 X 239,82 X

RCL PV 8362,03 RCL PV 6560,26 RCL PV 4578,32 RCL PV 2398,18 RCL PV 0,03

Y 1981,94 Y 2180,14 Y 2398,15

Sistema Francs (carncia + saldo devedor corrigido) Neste caso, no se paga juros compensatrios, na verdade os juros sero acrescidos ao saldo devedor com base no regime de capitalizao composta, e na seqncia, calcula-se a prestao com base no conceito de uma srie uniforme de pagamento postecipado. Exemplo 3: Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao ms, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carncia; porm, no haver o respectivo pagamento de juros durante o perodo da carncia, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo Sistema Francs de Amortizao (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resoluo algbrica a) atualizao do saldo devedor durante o perodo de carncia perodo 1: SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00 Perodo 2: SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00 Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 meses b) clculo do valor da prestao (1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1 c = 2 meses i = 10% ao ms PMT = ?

Matemtica Financeira (1 + 0,1)5 . 0,1 PMT =12.100 (1 + 0,1)5 - 1 (1,1)5 . 0,1 PMT =12100 (1,1)5 - 1


1,610510 . 0,1 PMT =12100 1,610510 - 1

0,1610551 PMT =12100 0,610510 PMT = 12100[0,263797] PMT = R$ 3.191,95 c) Clculo dos juros compensatrios J = PV . i . n Juros para o 1o perodo: J1 = 0,00 Juros para o 2o perodo: J2 = 0,00 Os demais sero exatamente iguais ao exemplo anterior. Juros para o 3o perodo: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1 Juros para o 4o perodo: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1 Juros para o 5o perodo: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1 Juros para o 6o perodo: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1 Juros para o 7o perodo: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1 = R$ 1.210,00 = R$ 1.011,81 = R$ 793,79 = R$ 553,98 = R$ 290,18

d) clculo da parcela de amortizao (PAn) PAn = PMT - J Parcela de amortizao para o 1o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 2o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 3o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 4o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 5o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 6o perodo: PA = Parcela de amortizao para o 7o perodo: PA = 0,00 0,00 3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95 0,00 = R$ 0,00 0,00 = R$ 0,00 - 1.210,00 = R$ 1.981,95 - 1.011,81 = R$ 2.180,14 - 793,79 = R$ 2.398,16 - 553,98 = R$ 2.637,97 - 290,18 = R$ 2.901,77

Matemtica Financeira e) clculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn SD1 = 11.000,00 SD2 = 12.100,00 SD3 = 12.100,00 SD4 = 10.118,05 SD5 = 7.937,91 SD6 = 5.539,75 SD7 = 2.901,78 0,00 0,00 1.981,95 2.180,14 2.398,16 2.637,97 2.901,77 = = = = = = = R$ 11.000,00 R$ 12.100,00 R$ 10.118.05 R$ 7.937,91 R$ 5.539,75 R$ 2.901,78 R$ 0,01


N 0 1 2 3 4 5 6 7

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortizao (PAn) Juros (J) Prestao (PMT) 10.000,00 11.000,00 12.100,00 10.118,05 7.937,91 5.539,75 2.901,78 0,01 0,00 0,00 0,00 1.981,95 2.180,14 2.398,16 2.637,97 2.901,77 12.099,99 0,00 0,00 0,00 1.210,00 1.011,81 793,79 553,98 290,18 3.859,76 0,00 0,00 0,00 3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95 3.191,95 15.959,75

Resoluo pela HP-12C f [REG] 10000 ENTER CHS PV 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] 1,1 X 1,1 X 12100 10 i 5 n 1210,00 X 1011,80 X 793,79 X 553,97 X 290,17 X

PMT

3.191,95

Y 1981,94 RCL PV 10.118,05 Y 2180,14 RCL PV Y 2398.15 RCL PV Y 2637,97 RCL PV Y 2901,77 RCL PV 7937,90 5539,74 2901,77 0,00



Exemplo 4: Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7 pagamentos mensais sem prazo de carncia, calculado pelo Sistema Price de Amortizao. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Resoluo algbrica Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses a) clculo do valor da prestao (1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1 i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao ms) PMT = ?

(1 + 0,01)7 . 0,01 PMT =10.000 (1 + 0,01)7 - 1 (1,01)7 . 0,01 PMT =10000 (1,01)7 - 1

1,072135 . 0,01 PMT =10000 1,072135 - 1

0,010721 PMT =10000 0,072135 PMT = 10000[0,148628] PMT = R$ 1.486,28

b) Clculo dos juros J = PV . i . n Juros para o 1o perodo: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00 c) clculo da parcela de amortizao (PAn) PAn = PMT - J



Parcela de amortizao para o 1o perodo: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28 d) clculo do saldo devedor (SD) SDn = SD(anterior) - PAn SD1 = 10.000,00 1.386,28 = R$ 8.613,72

N 0 1 2 3 4 5 6 7

Assim teremos nossa planilha de financiamento Saldo Devedor (SDn) Amortizao (PAn) Juros (J) Prestao (PMT) 10.000,00 8.613,72 7.213,58 5.799,44 4.371,15 2.928,58 1.471,59 0,03 0,00 1.386,28 1.400,14 1.414,14 1.428,29 1.442,57 1.456,99 1.471,56 9.999,97 0,00 100,00 86,14 72,14 57,99 43,71 29,29 14,72 403,99 0,00 1.486,28 1.486,28 1.486,28 1.486,28 1.486,28 1.486,28 1.486,28 10.403,96

Resoluo pela HP-12C f [REG] 10000 CHS PV 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] [AMORT] 1 i 100,00 X 86,14 X 72,14 X 57,99 X 43,71 X 29,29 X 14,72

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Matemática Financeira - Apostila 1