Escola Estadual “Professor Vicente Lopes Perez” – Monte Carmelo – MG

CURSO TÉCNICO DE CONTABILIDADE

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Professora: Júnia J. Monteiro

APOSTILA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MÓDULO II

APRESENTAÇÃO

Ao iniciar os estudos da disciplina Matemática Financeira, algumas perguntas

inevitavelmente passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? qual a sua

utilidade prática ? ela fará alguma diferença em minha vida? Bem, o campo de

aplicação dessa disciplina é bastante amplo pois suas técnicas são necessárias em

operações de financiamento de quaisquer naturezas: crédito a pessoas físicas e

empresas, financiamentos habitacionais, crédito direto ao consumidor e outras. Também

são necessárias em operações de investimentos mobiliários nos mercados de capitais.

Em ambas as situações, é o uso dessas técnicas que permite conhecer o custo e o

retorno dessas operações, permitindo tomadas de decisão mais racionais; são elas

também que permitem determinar o valor das prestações devidas pelas transações

efetuadas em parcelas. No mundo dos negócios, seu conhecimento é absolutamente

imprescindível, uma vez que os custos dos financiamentos dados e recebidos são peças

centrais do sucesso empresarial.

1 - PRÁTICAS DA CALCULADORA FINANCEIRA:

As calculadoras financeiras são aquelas que possuem funções específicas para

modelos básicos de matemática financeira. Elas podem ser reconhecidas por possuírem

as chamadas “teclas financeiras” n , i , pv , pmt e fv , utilizadas nos

modelos de juros compostos para pagamentos parcelados e pagamento único.

A Matemática Financeira está presente em várias situações cotidianas, no

calculo de juros de aplicações financeiras, pagamentos atrasados ou adiantados,

descontos de títulos, financiamentos de moradia e automóveis, investimentos,

valorização e desvalorização na compra de ações e moedas estrangeiras, capitalizações

entre outros. Para agilizarmos os cálculos matemáticos utilizamos ferramentas capazes

de operar certas situações matemáticas em fração de segundos, a calculadora financeira

consiste numa dessas ferramentas. Vamos conhecer algumas teclas básicas e suas

funções:

N = Número de período composto

I = Taxa de juros por período composto

Pv = Valor presente

Pmt = Período de pagamento

Fv = Valor pago periodicamente ou Valor futuro

% = Diferença percentual entre dois números

SHIFT = Ativa as funções em azul e altera numero de casas decimais

ALT = Ativa as funções em laranja

Utilizando a calculadora financeira:

Tendo os dados:

PV = ?

I = 5% a.m.

FV = R$ 15.000,00

N = 210 dias

Calcule o valor presente (PV):

I = 5% a.m. /100 = 0,05

N = 210 dias = 7 meses

30 dias

FV = R$ 15.000,00

PV = FV____ PV = 15.000,00 PV= 15.000,00 PV= R$ 10.660,22

(1 + i )n (1 + 0,05)7 1,41

Ou, Direto na calculadora financeira:

Inserimos todos os dados e ao final aperta-se a tecla a qual se quer o resultado, neste

caso, estamos procurando o PV:

5 i 15000 fv 7 n pv = R$ 10.660,22

OBS: Na calculadora o resultado sai com o símbolo de (-) menos porque está indicando

que para você ter um valor futuro de R$ 15.000,00 , ou seja, um valor de resgate de R$

15.000,00 você tem que aplicar o valor de R$ 10.660,22 .

1.1 - FÓRMULAS E SIMBOLOGIAS:

I – Taxa de juros por período

N – Número de período

P – Capital inicial, valor atual ou valor presente

S – Capital no final do período ou valor futuro

R – Pagamentos periódicos

NOTA:

A taxa de juros i deve sempre ser expressa em relação ao número de período n –

Exemplo: Se for i = 2% ao mês (2% a.m.), o numero de períodos deve ser

também expresso em meses; se i for 10% ao trimestre (10% a.t.), o numero de

períodos n deve ser expresso em trimestres e assim por diante.

Na calculadora financeira o P é indicado oela tecla PV , que significa valor

presente. O S é indicado pela tecla FV , que significa valor futuro e R é

indicado pela tecla PMT , que significa pagamento.

Os pagamentos periódicos R ou PMT , podem ser feitos no inicio dos períodos

ou no final dos períodos. Ao usar a calculadora para pagamentos efetuados no

inicio dos períodos, deve-se informar isto a calculadora, teclando BEG (acima

do 7). Normalmente as calculadoras estão no estado END ou seja, pagamentos

efetuados no final dos períodos.

1.2 - FÓRMULAS FUNDAMENTAIS:

1 – Conhecendo-se P, I, e N, calcular S:

S = P(1 + i)n

2 – Conhecendo-se S, I e N, calcular P:

P = S____

(1 + i )n

3 – Conhecendo-se R, I e N, determinar P:

P = R (1 + i ) n - 1

I ( 1 + i )n

4 – Conhecendo-se R, I e N, determine S:

S = R ( 1 + i ) n - 1_

i

5 – Conhecendo-se S, I e N, determine R:

R = S i_____

(1 + i )n - 1

6 – Conhecendo-se P, I e N, determine R:

R = P i ( 1 + i ) n

(1 + i )n – 1

Exercícios de fixação – Uso da Calculadora Financeira

1 - Qual o montante acumulado a partir da aplicação de R$ 2.895,00 a 3,5% ao mês durante 3 anos e meio?

2 - Investindo-se mensalmente R$ 150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao mês, qual o valor acumulado ao final do período?

3 - Uma dívida de R$ 1.000,00 deve ser quitada em 12 parcelas mensais, à taxa de juros de 3% ao mês. Determine o valor de cada prestação.

4 - Quanto devemos depositar trimestralmente numa conta que rende 6% ao trimestre, para termos R$ 22.800,00 ao final de 105 meses?

5 - Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês?

6 - Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros de 10% ao ano?

7 - Calcular qual a taxa de juros a que devemos empregar o capital de R$ 150.000,00 para render no final do período de 6 anos, o montante de $ 251.565,00?

8 - O capital de R$ 37.500,00 é colocado no regime de capitalização composta à taxa de 9% ao trimestre. No fim de um certo prazo, o montante atingiu $ 62.891,25. Calcular o número de meses.

9 - Aplicando-se R$ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será o montante no fim do período?

10 - Um capital de R$ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. Quais os juros gerados no período?

11 - Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 meses, rende uma quantia de juros igual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação?

12 - Calcule o montante de R$ 1.000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias.

2 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS - JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

Esta unidade do curso lhe apresentará a nomenclatura que será utilizada no curso

e alguns conceitos iniciais que serão centrais no desenvolver das suas atividades, com

ênfase para: equação básica da matemática financeira, fluxo de caixa e taxa de juros.

Esta unidade tem os seguintes objetivos:

• identificar de modo claro as variáveis envolvidas no estudo da matemática financeira;

• conhecer a nomenclatura utilizada no curso;

• conhecer a equação fundamental da matemática financeira;

• construir fluxos de caixa de operações financeiras;

• conceituar taxa de juros;

Compreender a diferença entre regime de juros simples e regime de juros

compostos.

Para facilitar seu aprendizado você deverá dominar com segurança os seguintes

assuntos:

• álgebra elementar;

• funções e sua representação gráfica.

2.1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

A Matemática Financeira é um corpo de conhecimento que estuda a mudança de

valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso cria modelos que permitem avaliar

e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo. Para iniciar o seu estudo,

é necessário que se estabeleça uma linguagem própria para designar os diversos

elementos que serão estudados e que esses elementos sejam contextualizados com

precisão.

O estudo da Matemática Financeira exige uma definição precisa desses termos:

Agente econômico: Agente econômico é qualquer entidade física ou jurídica capaz de

praticar um ato econômico. Assim, entende-se por agente econômico qualquer pessoa,

empresa ou instituição que possa praticar um ato econômico: uma venda, uma compra,

um empréstimo ou quaisquer operações que tenham consequências financeiras.

Capital: Capital (C) é o valor de um ativo representado por moeda e/ou direitos

passíveis de uma expressão monetária, no início de uma operação financeira. De acordo

com essa definição pode-se considerar como capital:

• numerário ou depósitos bancários disponíveis;

• títulos de dívida expressos em valor no início de um processo financeiro;

• ativos físicos devidamente avaliados: prédios, máquinas, veículos e outros.

Operação financeira: Operação financeira é o ato econômico pelo qual determinado

agente econômico possuidor de capital - denominado credor – o transfere a outro agente

econômico - denominado tomador - mediante condições previamente estabelecidas, que

normalmente envolvem:

• a remuneração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital;

• os prazos e formas de devolução do capital e da remuneração acordada;

• as garantias de pagamento que o tomador apresentará ao credor.

Juros ou juro: Juro (J) é o valor da remuneração do capital (C) acordado entre o credor

e o tomador em uma determinada operação financeira.

Montante: Denomina-se montante* (M) a soma do capital (C) e do juro (J) que foi

acordado na operação financeira e que é devido ao final da mesma. Esta definição

mostra a você que se verifica a seguinte relação:

M = C + J

que é denominada equação básica da Matemática Financeira.

Valor presente: Valor presente (PV) é o valor de uma operação financeira na data

presente. É um valor intermediário entre o montante (M) e o capital (C). Essa

nomenclatura se justifica para operações iniciadas no passado e que se prolongam até

uma certa data futura. Observe que, para uma operação financeira iniciada hoje o capital

e o valor presente coincidem; por essa razão, a expressão valor presente é,

frequentemente, utilizada como sinônima de capital, apesar da diferença conceitual

existente.

Valor futuro: Valor futuro (FV) é o valor de uma operação financeira em qualquer data

compreendida entre a data presente e o vencimento da operação. De modo análogo ao

valor presente e capital, também o valor futuro é, frequentemente, tomado como

sinônimo de montante.

Valor nominal: Valor nominal (VN) é o valor de uma operação financeira constante do

título de crédito que a documenta. Pode ser tanto o valor inicial - capital -, como o valor

final da operação – montante. Freqüentemente valor nominal e valor futuro (FV) são

tomados como sinônimos apesar da diferença conceitual existente.

3 – TAXA DE JUROS

A grande preocupação dos agentes financeiros é saber o custo do dinheiro nos

mercados. Esse custo é dado pela taxa de juros (i)* que representa o custo de cada

unidade de capital por unidade de tempo. Assim, a taxa de juros (i)*, expressa em forma

unitária, é a relação entre o juro gerado numa operação financeira e o capital nela

empregado; observe que essa taxa de juros está relacionada com o tempo da operação

financeira.

Ao trabalhamos com juros, consideramos as seguintes variáveis:

C: Capital ou principal, é quantia aplicada ou tomada emprestada.

n: É o período de tempo em que o capital será aplicado.

j: É o juro resultante da operação.

i: É a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração do juro.

M: O montante é a soma do capital com o juro produzido em todo o período.

Denomine-se de J o valor do juro gerado por um capital C num determinado

tempo, expresso em número de períodos; a taxa de juros para esse intervalo de tempo,

expressa em forma unitária, é definida como:

i = J_ ap (1.1)

CEssa taxa de juros pode ser expressa também em forma de percentual, bastando ajustar a

fórmula acima.

i = J * 100% ap (1.2)

CImportante!

Os números que expressam a taxa de juros são acompanhados de uma expressão que

indica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguinte forma:

ad = ao dia, am = ao mês,

at = ao trimestre, aq = ao quadrimestre,

as = ao semestre e aa = ao ano.

Exemplo 1.1: um capital de $ 1.000,00 rende juros de $ 20,00 em dois meses. Qual a

taxa de juros?

Solução: a resposta vem da própria definição de taxa de juros e dos dados, a saber:

C = 1.000,00 J = 20,00

Aplicando as fórmulas da taxa de juros (1.1 e 1.2), tem-se:

i = J/C = 20/1000 = 0,02 ab (ao bimestre ) Forma unitária

i = (J/C) x 100 = 2% ab (ao bimestre) Forma percentual

Exemplo 1.2: um capital de $ 1.000,00 rende juros de $ 60,00 em seis meses. Qual a

taxa de juros?

Solução: análoga ao exemplo anterior:

C = 1.000,00 J = 60,00

i = J/C = 60/1.000 = 0,06 as (ao semestre) Forma unitária

i = (J/C) * 100 = 6% as (ao semestre) Forma percentual

Observe, em cada caso, a referência temporal; no primeiro exemplo, a taxa de juros está

expressa para o bimestre, porque os juros foram gerados em dois meses, enquanto, no

segundo exemplo, a taxa de juros está expressa em semestre, que é o período no qual os

juros foram gerados. Essa referência temporal é essencial e não pode ser esquecida.

3.1 – JUROS SIMPLES

Na modalidade de juros simples o cálculo do juro de cada período é sempre

calculado com base no capital inicial. No cálculo de juros simples, o juro de cada

período é sempre calculado sobre o valor principal, então basta a nós aplicarmos a taxa

percentual ao valor principal para sabermos o valor do juro em cada período e em se

tendo este valor, multiplicá-lo pelo número de períodos, para obtermos o valor do juro

total. Além disto, o montante será o valor do juro total acrescentado do valor principal.

Imagine que você tome emprestado, a juro simples, a importância de

R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que você

deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante a ser pago?

Embora você possa se utilizar de fórmulas para a resolução deste problema, o ideal é

que você consiga abstrair a ideia por trás do mesmo.

Vamos aos cálculos:

O valor do juro em cada período será:

Ou seja ao final de cada período, além dos cinco mil reais emprestados, você estará

devendo mais R$ 250,00 correspondente ao juro do período em questão.

Compreendida a esquemática por trás do cálculo dos juros, do explicado acima,

podemos deduzir várias fórmulas.

Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a

obtenção do juro iremos utilizar a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a

obtenção do valor do capital utilizaremos a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e o tempo da aplicação, para a

obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e a taxa de juros, para a obtenção do

tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

As suas variantes são:

e

Utilizando-se destas fórmulas, o problema acima pode ser resolvido da seguinte forma:

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

A calcular temos:

j: O valor do juro.

M: O valor do montante.

Inicialmente utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Portanto:

Ou seja, uma importância de R$ 5.000,00 emprestada a juros simples, pelo prazo de 3

meses, à taxa de 5% a.m. resultaria em juros totais de R$ 750,00 e em um montante de

R$ 5.750,00 como já havíamos apurado anteriormente.

NOTA: No regime de juros simples, a remuneração do capital (juro) é diretamente

proporcional ao valor do capital e ao tempo, e é devida somente ao final da operação

financeira considerada.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um

empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de

juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos  anos pagarei pelo

empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?

2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de

R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de

2,4% a.m. Por quantos  anos eu pagarei por este material?

3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos

3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de

juros a.b.?

4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de

R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista

custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros

simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos

juros?

3.2 – JUROS COMPOSTOS

Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao

Capital, a cada cálculo.

No regime de JUROS COMPOSTOS os juros são capitalizados não no final

do prazo e sim no final de cada período, ou seja, o juro do primeiro período é

adicionado ao capital inicial e sobre esse montante é calculado o juro do segundo

período que por sua vez será adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro

do período seguinte, e assim sucessivamente.

Você se lembra de que, conforme visto no tópico sobre regime de juros simples,

as taxas de juros proporcionais são também equivalentes? No regime de juros

compostos isto não acontece.

LEMBRETE: Duas taxas de juros são equivalentes quando ao serem aplicadas ao

mesmo capital e pelo mesmo prazo, gerarem montantes iguais.

Exemplo : qual o montante gerado por um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 12

meses a taxa de juros de 36% aa ?

Sumário de dados: PV = 1.000,00, n = 12 m, i = 36% aa, FV = ?

Solução: você vai verificar que existem duas possibilidades para o cálculo de FV

gerando dois valores que serão comparados porque a taxa de juros não está definida

com precisão.

Possibilidade 1: você vai admitir que a capitalização dos juros é mensal e que a taxa de

juros mensal - im - seja a taxa proporcional à taxa anual de juros dada, tem-se:

im = taxa mensal proporcional = 36/12 = 3% am

e com a utilização da fórmula de capitalização (3.4):

FV = PV * FVF[i%;n]

FV1 = PV * FVF[3%;12] = 1.000 *1,42676 = R$ 1.426,76 1

Tirando de tabela financeira a 3% o valor de FVF[3%;12] = 1,42676.

Com a fórmula algébrica você teria;

FV1 = PV * (1+ i)n = 1.000 * (1+ 0,03)12 = R$ 1.426,76

Possibilidade 2: você vai admitir que a capitalização dos juros é anual sendo a taxa de

juros de entrada 36% aa; tem-se o seguinte montante:

FV = PV * FVF[i%;n]

FV2 = PV * FVF[36%;1] = 1.000 *1,36 = R$ 1.360,00

Tirando de tabela financeira a 36% o valor de FVF[3%;1] = 1,36.

Com a fórmula algébrica você teria:

FV2 = PV * (1+ i)n = 1.000 * (1+ 0,36)1 = R$ 1.360,00

Você pode constatar agora que os montantes gerados pelas duas alternativas de

cálculo FV1 e FV2, são diferentes. Isto significa que as taxas de juros de 3% am com

capitalização mensal e de 36% aa com capitalização anual, apesar de serem

proporcionais, não são equivalentes, pois geram montantes diferentes em tempos iguais.

Então você se pergunta: O que ocorreu? A resposta é que no exemplo, formulou

de forma imprecisa a taxa de juros e ensejou essa dupla interpretação. A taxa de juros

em regime de juros compostos precisa ser definida com clareza e precisão.

Em regime de juros compostos taxas de juros proporcionais não são

equivalentes. Em conseqüência, o primeiro passo para se trabalhar em regime de juros

compostos é compatibilizar taxas de juros e períodos de capitalização.

Vamos a um exemplo:

Você aplicou 1.000 em uma insituição financeira a uma taxa de juros de 2%

a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses. Vamos calcular o montante M3 no

final desse prazo.

Temos que:

C = 1.000

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

n = 3 (capitalização mensal)

Então, o montante M1 no final do primeiro período será dado por:

M1 = 1.000

M1 = 1.000 . 1,02

M1 = 1.020

O montante M2 no final do segundo período será dado por:

M2 = 1.020 (1 + 0,02)

M2 = 1061,21

O montante M3 no final do terceiro período será dado por:

M3 = 1.040,40 (1 + 0,02)

M3 = 1.061,21

Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o cálculo do juro do

segundo período e assim sucessivamente.

Fórmula do Montante a Juros Compostos

Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de

juros compostos i ao período.

Calculemos o montante Mn no final dos n períodos utilizando o mesmo processo

do exemplo anterior, ou seja, período a período.

M1 = C(1 + i)

M2 = M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2

M3 = M2 (1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3

Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:

M1 = C(1 + i)

Para o montante do segundo período, encontramos:

M2 = C(1 + i)2

Para o montante do terceiro,

M3 = C(1 +  i)3

É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:

Mn = C(1 + i)n

O fator (1 + i)n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO CAPITAL para

JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo

freqüentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma

semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela

expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros

compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de

acumulação.

A fórmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo é obtida a partir da

fórmula geral de juros, conforme segue:

J = M – C

J = C(1 + i)n – C

Colocando C em evidência, obtemos:

Jn = C [ (1+ i)n – 1]

Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos? Essa dúvida

é freqüente quando iniciamos o estudo da matemática financeira. Existem determinadas

expressões que indicam o regime de capitalização composta, tais como:

■ juros compostos

■ capitalização composta

■ montante composto

■ taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com capitalização anual)

■ taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros compostos com

capitalização a cada bimestre)

A principal diferença entre o regime simples e o composto, entretanto, é que, em

juros compostos, é necessário que saibamos, através do enunciado do problema,

o período das capitalizações. Em juros simples podíamos escolher o período de

capitalização que nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de

18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo

em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros

compostos não podemos fazer isso, pois o problema dirá como devemos

CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.

Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser

CAPITALIZADA ou COMPOSTA. Se o período das capitalizações não coincidir com

o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o

conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Vejamos a seguinte situação:

Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 1% a.m., qual é o

valor total que deverá ser pago após 100 meses?

Os dados para o cálculo dos juros são:

C: R$ 100.000,00

I: 1% a.m. = 1/100 a.m = 0,01 a.m.

N: 100 meses

Na modalidade de juros simples teríamos:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

Substituindo j pela fórmula do juro acima:

M = C + J

M = C + C . i . n

M = C . (1 + i . n)

Substituindo o valor dos termos:

M = C . (1 + i . n)

M = 100000 . (1 + 0,01 . 100)

M = 100000 . 2

M = 200000

Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e mais cem

mil referentes ao valor principal.

Você acha muito? Veja então o cálculo na modalidade de juro composto:

Os dados para o cálculo seriam os mesmos:

C: R$ 100.000,00

I: 1% a.m. = 1/100 a.m = 0,01 a.m.

N: 100 meses

Abaixo temos a fórmula para o cálculo na modalidade de juro composto:

Substituindo as variáveis:

M = 100000 . (1 + 0,01)100

M = 100000 . 1,01100

M = 100000 . 2,7048138

M = 270.481,38

Isto é, pagaríamos um montante de R$ 270.481,38. A diferença de R$ 70.481,38 entre o

cálculo realizado na modalidade juros simples e o cálculo na modalidade de juros

compostos se refere aos juros que foram cobrados sobre os próprios juros apurados no

período.

Na modalidade de juros compostos pagaríamos R$ 170.481,38 de juros, bem mais que

os R$ 100.000,00 da modalidade de juros simples. Esta diferença será percentualmente

maior, quanto maior forem a taxa de juros e o período da operação.

Apenas a título de exemplo, os mesmos R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de

juros de 5% a.m., após 240 meses produzirão um juros total de R$ 1.200.000,00 na

modalidade simples e de R$ 12.173.857.374,22 na modalidade composta.

Percebeu porque não é interessante se manter uma dívida de cartão de crédito ou de

cheque especial por um longo período de tempo?

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1)  Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto

receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

 

2)  Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de

juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? Tópico

relacionadoCalculando o valor da entrada para financiar a compra do seu carro a partir

do valor da prestação

 3)  Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual

pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa

de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?

 4)  Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro

composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

 5)  Se um certo capital for aplicado por um único período a uma determinada taxa de

juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior

rendimento?

4 – DESCONTOS

4.1 – DESCONTOS SIMPLES

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o

desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de

capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo

de desconto a ser abordado a seguir.

Vamos considerar a seguinte simbologia:

N = valor nominal de um título.

V = valor líquido, após o desconto.

Dc = desconto comercial.

d = taxa de descontos simples.

n = número de períodos.

Teremos:

V = N - Dc

No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título.

Logo:

Dc = Ndn

Substituindo, vem:

V = N(1 - dn)

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o

desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de

vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.

Solução:

V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500

Dc = 10000 - 8500 = 1500

Resp: valor descontado = R$ 8.500,00 ; desconto = R$ 1.500,00

Desconto bancário

Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a

contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal

do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.

É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes

do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior,

resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.

Exemplo:

Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento,

à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor

nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor

líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.

Solução:

Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000

Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000

IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750

Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750

Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250

Logo, V = R$ 67.250,00

A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.

Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o

que é amplamente favorável ao banco.

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:

Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor

global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente

(venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador,

circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:

a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do

Banco Central.

b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar

capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as

receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma

determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Exemplo:

Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um

determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o

banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas,

determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da

operação.

Solução:

Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000

Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000

IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50

Teremos então:

Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50

Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.

Resp: V = R$ 42.812,50 e i = 5,60 % a.m. 

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.

2 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal

$50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.

3 - Uma loja vendia uma determinada peça de roupa por R$ 100 para pagamento em 30

dias. Para pagamento à vista, há um desconto simples (comercial) de 30%. Qual o preço

à vista?

4 - Se um título de R$ 575,00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há

um desconto simples racional (por dentro) de 7,5% ao mês, qual o valor do desconto?

4.2 – DESCONTOS COMPOSTOS

Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante

ou valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente

anterior. É obtido em função de cálculo exponenciais e praticamente não é utilizado em

nenhum país do mundo. Raramente se toma conhecimento de um caso em que esse

critério tenha sido aplicado. Tem importância meramente teórica.

    No caso de desconto simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro

dos títulos, tantas vezes quantos forem os períodos unitários.

    Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto

incide, no primeiro período, sobre o valor futuro do título; no segundo período, sobre o

valor futuro do título menos o valor do desconto correspondente ao primeiro período; no

terceiro período, sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos

referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo

período.

O desconto composto comercial ou “por fora” caracteriza-se pela incidência

sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em

cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.

   O desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos. Assim sendo, o desconto composto racional é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título, quitado antes do vencimento.

Fórmulas:

Cálculo do desconto composto racional ou por dentro

 

 Cálculo do desconto composto comercial (bancário) ou por fora

 

 Cálculo do valor atual de um título a desconto por dentro

 

 Cálculo de valor atual de um título a desconto por fora

 

 Cálculo de valor nominal de um título a desconto por fora

 

 Cálculo de valor nominal de um título a desconto por dentro

 

DESCONTO COMPOSTO é aquele obtido em função de cálculos no regime de

capitalização composta. É o desconto obtido quando de pagamento antecipado de

compromissos de longo prazo. Desconto Composto é obtido através da diferença entre o

Valor Nominal (Valor de Face) e o Valor do Pagamento Antecipado.

D = FV - PVe

PV = FV / ( 1 + i )n _ PV = FV . ( 1 + i )-n

Sendo: FV => Valor Nominal do Título PV => Valor do pagamento antecipado do título

i => Taxa efetiva n => Prazo da operação; no mesmo período da taxa efetiva.

Exemplo: Qual o DESCONTO COMPOSTO concedido no pagamento de um título de

valor nominal de $ 560,00 com vencimento para 2,5 anos, à taxa de 19% a.a.?

Inicialmente calcular o Valor Presente para subtrair do Valor Futuro (Nominal) e ter o

Desconto da Operação.

FV = 560 i = 19/100 = 0,19 (efetiva ao ano) n = 2,5 anos (igual ao período da

taxa) PV = ?

Resolvendo pela Fórmula: PV = 560 x (1 + 0,19)-2,5 = 560 x (1,19)-2,5 = 560 x 0,647 =

362,51

Então: D = FV – PV D = 560 - 362,51 = 197,49

Utilização calculadora

Observemos o teclado da calculadora:

n i PV PMT FV +/-

prazo do negócio taxa efetiva valor pgto antecipado 0 valor nominal troca de sinal

A Calculadora está preparada (programada) para efetuar este cálculo, diretamente.

IMPORTANTE

1o) ter sempre a TAXA EFETIVA;

2º) ter sempre o PRAZO do negócio na mesma unidade da taxa efetiva.

Recomendações : A tecla que não tem valor, sempre ZERAR (alimentá-la com zero);

A tecla da pergunta em questão, sempre é a última a ser apertada.

Outros exemplos:

1) Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes do vencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente.

Solução:

 

2) Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por R$ 16.290,13, à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre?

 Solução:

 

 3) Obter o desconto comercial composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m.

 Solução:

 

 4) Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m.

 Solução:

 

 5) Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., determinou um valor de resgate de R$ 12.400,00?

 Solução:

 

 6) Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4%a.m., 3 meses antes de seu vencimento?

 Solução:

 

EXERCICIOS DE FIXAÇÃO:

1 - O valor nominal de um título é de R$ 28.800,00 será descontado antecipadamente no

prazo de 120 dias. A taxa aplicada pela financeira de 2,5% ao mês, de acordo com o

conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o valor do desconto.

2 - Determinar o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$

50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é

de 3,5% ao mês.

3 - Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional

composta de 10% ao mês. Qual o valor atual?

4 - Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor

nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do

desconto racional composto?

5 – Um título de valor nominal igual a R$2.000,00 sofre um desconto comercial

composto a uma taxa de 1% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Qual o valor do

desconto?

6 - Um título de valor nominal igual a R$1.000,00 é resgatado 4 anos antes do

vencimento, à taxa de desconto racional composto de 10% ao ano. Calcule o valor atual

do título.

7 - Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00,

se o prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

5 – TAXAS EQUIVALENTES

Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em

determinado lapso de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo

valor. Complicado? Vamos ver se fica mais fácil: você tem uma aplicação que rende 1

% a.m. Se você aplicar durante 6 meses. E você tem outra que rende 12 % a.a. Se você

aplicar durante um ano. Qual é mais vantajosa? É tudo a mesma coisa, ou seja, elas são

equivalentes, ou não? Ou será que é melhor pagar antecipadamente uma dívida ou

aplicar o dinheiro e pagá-la no vencimento previsto?

Bom agora que você está suficientemente confuso ou confusa, vamos aos cálculos de

equivalência:

Vimos, na fórmula do montante M = C(l + i)n, que habitualmente expressamos o

prazo “n” de acordo com a unidade de tempo da taxa; todavia, poderíamos expressar “i”

de acordo com a unidade usada para “n”. Consideremos uma outra situação na qual

precisemos escolher uma entre duas taxas para aplicação: uma anual e outra mensal. Em

ambos os problemas, temos de converter uma taxa, em um período, em outra, em outro

período, de modo que as duas produzam o mesmo montante. Desta idéia de

transformação surge o conceito de taxas equivalentes.

Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas

em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem montantes iguais. Assim,

se i1 e i2 forem as taxas e n1 e n2 os referidos prazos expressos nas unidades das

respectivas taxas, então, deveremos ter:

C(1 + i1) n1 = C(1 + i2)n2

(1 + i1)n1 = (1 + i2)n2

Exemplos:

Exemplo(1): Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Resolução: Chamando de i1 a taxa anual procurada e i2 = 2% a.m. a taxa conhecida e,

ainda, adotando um prazo padrão de um ano, teremos:

i1 (taxa anual) n1= 1 ---- i2 = 2% a.m. n2 = 12

Assim:

(1 + i1)1 = (1,02)12

i1 = (1,02)12 - 1 = 0,2682 = 26,82% a.a.

Portanto, a taxa de 26,82% a.a. é equivalente a 2% a.m. no regime de juros compostos.

É importante observarmos que se tivéssemos adotado um outro prazo padrão (digamos

de dois anos), o resultado seria o mesmo, pois a razão entre n1 e n2 seria a mesma.

Exemplo(2): Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?

Resolução : Adotando o prazo padrão de um ano, teremos:

i1 (taxa trimestral) i2 = 15% a.a.

n1 = 4 n2 = 1

Assim:

(1 + i1)4 = (1,15)1

((1 +i1)4)1/4 = (1,15)1/4

(1 + i1)1 = (1,15)1/4

i1 = (1,15)1/4 -1 = 0,0356 = 3,56%a.t.

Portanto, em juros compostos, a taxa de 3,56% a.t. equivale a 15% a.a.

Exercícios de fixação:

1 - Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:

i = 2,5 % ao mes

2 - Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:

i = 6% ao semestre

3 - Os compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes:

i = 3% ao bimestre

4 - Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.?

5 - Em juros compostos, qual a taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.?

6 - Em juros compostos, o que é preferível: aplicar um capital por um ano a taxa de 26%

a.a. ou à taxa de 2,1 % a.m.?

7 - Um investidor pode aplicar seu capital por três meses a juros compostos à taxa de

33% a.a. ou à taxa de 2,5% a.m. Qual a melhor alternativa?

8 - O que é melhor: aplicar um capital a juros compostos por seis meses à taxa de 4,5%

a.t. ou à taxa de 6% a.q. (ao quadrimestre)?

Taxa nominal, efetiva, real e aparente

Muitas vezes você vai ouvir sobre Taxas Nominais, Taxas Efetivas, Taxas Reais

e Aparentes. Mas, afinal, do que se trata tudo isso?

Taxa Nominal:

Podemos definir a taxa nominal como aquela em que a unidade de referência do

seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É usada

no mercado financeiro, mas para cálculo deve-se encontrar a taxa efetiva. Por exemplo,

a taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, resultará em uma taxa

mensal de 1% ao mês. Entretanto, quando esta taxa é capitalizada pelo regime de juros

compostos, teremos uma taxa efetiva de 12,68% ao ano.r1 = [(r2/n)+1]n - 1 r1 = taxa efetiva r2 = taxa nominal n = período

É quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital

não coincide com aquele que a taxa está referenciada.

Quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 35% ao ano só que a

capitalização é mensal ou que a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a

capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs, de capitalização diária, dos bancos.

Taxa Efetiva:

A taxa de efetiva, portanto, é aquela em que a unidade de referência do seu tempo

coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Por exemplo: 3% ao

mês, capitalizados mensalmente, 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente.

Quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital

coincidem com aquele a que está referenciada.

Quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1% ao mês e capitalização é

mensal, como a poupança.

Taxa Real:

A taxa real é, simplesmente, a taxa efetiva descontada da inflação do período. ir = _(1+ ie )_ - 1

(1 + f)ir = taxa de juros real

ie = taxa de juros efetivaf = taxa da inflação

É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Seguindo o exemplo da

poupança, quando o Governo diz que a poupança tem um rendimento real de 0,5%

ao mês (taxa aparente), significa que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela

inflação do período e sobre este montante foi aplicado 0,5%.

Taxa Aparente:

A taxa aparente é formada pela taxa de juros real e pela taxa de inflação.

iap = [(1+ ir ) x (1 + f)]-1

ir = taxa de juros real

f = taxa da inflação

Exemplo: o banco emprestou dinheiro à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizados

mensalmente, com prazo de 12 meses. Considerando uma inflação no período de 6%,

qual a taxa efetiva do empréstimo? Qual a taxa real (descontada a inflação) e aparente?

12% ao ano (taxa nominal, capitalização mensal) = 1% ao mês

1% ao mês, capitalizados por juros compostos, resultam em:

1,0112 = 1,1268 ou 12,68% de taxa efetiva

Para o cálculo da taxa real, basta apenas descontar a inflação:

ir = [ (1 + 0,1268) / (1 + 0,06) ] - 1

ir = (1,1268 / 1,06 ) - 1

ir = 1,0630 - 1

ir = 0,0630 ou 6,30%

Neste caso, a taxa aparente é a mesma que a efetiva:

iap = [ (1 + 0,0630) x (1 + 0,06) ] - 1

iap = 1,1268 - 1

iap = 0,1268 ou 12,68%

Exercícios de fixação:

1 - Uma financeira pretende ganhar 12% a.a. de juros em cada financiamento. Supondo

que a inflação anual seja de 2.300%, a financeira deverá cobrar, a título de taxa de juros

nominal anual:

a) 2.358%

b) 2.588%

c) 2.858%

d) 2.868%

e) 2.888%

2 - Um capital foi aplicado por 30 dias à taxa mensal de 1,8%. Se a inflação no período

foi de 1,1%, a taxa real de juros foi de, aproximadamente:

a) 0,69% a.m.

b) 0,75% a.m.

c) 1,64% a.m.

d) 1,87% a.m.

e) 2,90% a.m.

3 - Sabendo-se que a taxa efetiva é de 0,9% e que a taxa de inflação é 0,7% no mês, o

valor da taxa real nesse mês é de:

a) 0,1986%

b) 0,2136%

c) 0,1532%

d) 0,4523%

e) 0,1642%

Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples

Basta pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividí-la) pelo período correspondente ao

que deseja descobrir.

Exemplo : você tem uma taxa de 5% a.m. E quer saber quanto é equivalente ao

ano. Ora, um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a.

O inverso também é verdadeiro : você tem uma taxa de 15% a.m. E quer saber quanto é

ao dia. É só dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d.

fácil, não ?

Equivalência entre duas taxas no regime de juro composto

Bom, essa é um pouco mais complicada, mas também não é nenhum bicho-de-

sete-cabeças. Se você quer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior" ,

como de mês para ano, você eleva a taxa de juros pelo número de períodos

correspondente. Se for o contrário, como por exemplo de ano para mês, você eleva ao

inverso do período . Complicado ? Que nada , isso é matéria de 2º grau mas para os que

não se lembram ou cochilaram na aula, abaixo uma tabelinha com as conversões

necessárias :

>

De a. M. Para a.a. (1+im)12 -1De a.d. Para a.m. (1+id)30 -1De a.d. Para a.a. (1+id)360 -1De a.a. Para a.m. (1+ia)1/12 -1De a.m. Para a.d. (1+im)1/30 -1De a.a para ad. (1+ia)1/360 -1

6 – RENDAS CERTAS

Rendas certas ou anuidades são pagamentos sucessivos para um investimento ou

para a quitação de uma dívida. Para o primeiro, será uma capitalização; para o segundo,

uma amortização.

Se o fluxo for por um período limitado, será uma renda certa temporária, caso

contrário, será uma renda certa permanente. Se as prestações forem iguais, será uma

renda certa de termo constante ou renda certa uniforme, senão, é uma renda certa de

termo variável. Finalmente, se os períodos entre as datas das prestações forem os

mesmos, diremos que a renda certa é periódica; se forem diferentes, é não periódica.

Quanto ao início dos pagamentos, podem ser postecipadas (ou vencidas),

antecipadas ou diferidas. Na primeira, os pagamentos são feitos no fim de cada período.

Na segunda, são feitos no início de cada período. Na terceira, o primeiro pagamento é

feito após dois ou mais períodos (carência).

Valor presente para uma série uniforme e postecipada

É a mesma fórmula já vista anteriormente.

Vp = _PMT_+_PMT_ + …

(1+i)1 (1+i)n

Vp = valor presente (início)

PMT = pagamento

i = juros

n = período

Simplificando, podemos encontrar a fórmula:

Vp = PMT x _(1+i) n - 1_

(1+i)n i

Vp = valor presente (início)

PMT = pagamento

i = juros

n = período

Exemplo: um empréstimo de 12 prestações sucessivas e iguais de R$ 100 mensais, taxa

de juros de 2% ao mês (juros compostos) tem que valor presente?

Vp = 100 x (1+0,02) 12 – 1

(1+0,02)12 x 0,02

Vp = 100 x 10,5753 = 1.057,53

Valor futuro para uma série uniforme e postecipada

É dado pela fórmula:

Vf = PMT x _(1+i) n - 1_

i

Vf = valor futuro

PMT = pagamento

i = juros

n = período

Exemplo: um empréstimo de 12 prestações sucessivas e iguais de R$ 100 mensais, com

taxa de juros de 2% ao mês (juros compostos), tem que valor futuro?

Vf = 100 x (1+0,02) 12 – 1

0,02

Vf = 100 x 13,4121 = 1.341,21

Séries antecipadas

Para as séries uniformes antecipadas, com pagamento no início de cada período, não é

necessário fórmula específica e, amparando-se na equivalência de capitais, basta

multiplicar o resultado das “postecipadas” por (1+i). Nos exemplos anteriores, se o

primeiro pagamento já for feito no início de cada período, os resultados ficam:

Vp = 1.057,53 x (1+0,02) = 1.057,53 x 1,02 = 1.078,68

Vf = 1.341,21 x (1+0,02) = 1.341,21 x 1,02 = 1.368,03

Séries diferidas postecipada

Para as séries uniformes com pagamentos diferidos, novamente amparando na

equivalência de capitais, não é necessária nova fórmula, apenas a divisão do resultado

inicial do postecipado por (1+i)n, com “n” sendo o período de carência, ou multiplicar

por (1+i), no caso do valor futuro. Nos exemplos anteriores, se o primeiro pagamento

fosse feito dois meses após o início, teríamos:

Vp = 1.057,53 / (1+0,02)2 = 1.057,53 / 1,0404 = 1.016,47

Vf = 1.341,21 x (1+0,02) = 1.341,21 x 1,02 = 1.368,03

Séries perpétuas

É o mesmo cálculo já visto em perpetuidade.

Exemplo: um investidor quer ter uma renda anual de R$ 50.000,00. Sabendo que a

instituição “A” paga 8% ao ano, quanto deverá aplicar?

Vp = 5.000,00

0,08

Vp = 625.000,00

Ou seja, a cada ano receberá (625.000 x 8%) = R$ 50.000,00

Exercícios de fixação:

1 - Um autor receberá por sua obra, em caráter perpétuo, 2,5% por obra vendida.

Considerando que são vendidos 12.000 livros anuais, ao preço de R$ 45 cada, com taxa

de juros de 20% ao ano, qual o valor presente deste contrato?

2 - Um autor receberá por sua obra, em caráter perpétuo, 8% por obra vendida.

Considerando que são vendidos 10.000 livros anuais, ao preço de R$ 100 cada.

Considerando a taxa de juros de 10% ao ano, qual o valor presente deste contrato?

3 - Um empréstimo de três prestações sucessivas e iguais de R$ 300, taxa de juros de

1% ao mês, com primeira prestação para o final do primeiro mês, tem valor presente de:

4 - Um empréstimo de três prestações sucessivas e iguais de R$ 300, taxa de juros de

1% ao mês, com primeira prestação para o final do primeiro mês, tem valor futuro de:

5 - No exercício anterior, considerando-se que o início do pagamento das prestações já

foi feito no início do primeiro mês, qual o valor presente e futuro?

7 – ANUIDADES

Uma das operações mais comuns no sistema financeiro é a capitalização: tipo de

aplicação em que se objetiva formar um montante numa data futura.

Assim, chamamos de anuidades de capitalização as quantias iguais pagas a uma

instituição financeira ao princípio de cada ano com a finalidade de constituir, ao fim de

certo número de anos, juntamente com os juros compostos, um determinado capital.

Define-se anuidade, renda certa ou série a uma sucessão de pagamentos ou

recebimentos exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida

ou constituir um capital.

Simbologia a ser adotada:

P = Valor presente, capital no dia de hoje (principal).

S = Valor futuro, capital no fim do período n (montante).

i = Taxa de juros por período de capitalização.

n = Número de períodos de capitalização (número de pagamentos)

R = Cada um dos termos da série de pagamento ou recebimento.

SÉRIE UNIFORME COM PAGAMENTOS POSTECIPADOS

Nas séries uniformes com termos postecipados, os pagamentos ou recebimentos

são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se refere a taxa de juros

considerada.

DIAGRAMA DA OPERAÇÃO

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL:

Problema: Determinar o montante “S” a partir da Série de pagamentos “R”

S = R(1 + i)n-1 + R(1 + i)n-2 + R(1 + i)n-3 + . . . + R(1 + i)1 + R

Colocando-se R em evidência e invertendo-se a ordem das parcelas, resulta:

S = R [1 + (1 + i) + . . . + (1 + i)n-3 + (1 + i)n-2 + (1 + i)n-1 ]

O fator entre colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma progressão

geométrica de razão (1 + i), logo,

S = R x [ (1+ i) n – 1] S = R x (1 + i) n - 1

(1 + i)n – 1 i

O fator (1 + i) n - 1 , denominado FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL e,

i

representado por FRS ( i, n), permite determinar o montante S sendo dado o valor de

R, isto é:

S = R x FRS ( i, n)

Exemplo: Determine o montante que será obtido no fim de dois anos, com 24 depósitos

mensais iguais de R$ 5.000,00, à taxa de 6% ao mês, no regime de juros compostos.

Solução

R = R$ 5.000,00

i = 6% a.m.

n = 24 depósitos

S = ?

Utilizando a fórmula

S = R x (1 + i) n – 1 S = 5.000 x (1 + 0,06) 24 – 1 S = R$ 254.077,89

i 0,06

Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos

feitos ao final de cada período de tempo.

A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro de uma anuidade (PMT) é dada por:

VF = PMT (1 + i) n – 1 e PMT = VF i____

i (1 + i)n – 1

Uma outra aplicação de anuidade é quando queremos calcular as vantagens ou desvantagens

de se parcelar uma compra. Suponha que a sua companhia de seguro lhe deu a opção de parcelar a

renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio do seguro é de 2.000

reais à vista ou três parcelas de 730 reais. Se você tem dinheiro investido que rende 1%ao mês, qual a

melhor opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente desta anuidade.

VP = PMT + PMT + PMT

(1+i) (1+i)2 (1+i)3

VP = 730,00 + 730,00 + 730,00

1.01 1.012 1.013

VP = 2.147

O Valor Presente desta anuidade é maior do que o Valor para pagamento à vista, de modo que

não é interessante este parcelamento. A fórmula geral do Valor Presente de uma

anuidade é a seguinte:

VP = PMT (1 + i) n – 1 e PMT = VP i (1 + i) n __

i (1 + i)n (1 + i)n – 1

A calculadora financeira simplifica os cálculos envolvendo anuidades, como podemos ver a seguir:

Exemplo: Calculando o Valor Futuro de uma Anuidade

Se você depositar $100 mensalmente numa aplicação que rende juros de 1% ao mês, quanto você terá

ao final de dois anos?

Valor da Anuidade: PMT = 100

No de períodos: n = 24

Taxa de Juros por Período: i = 1

Valor Futuro: FV = ?

Você deverá obter: FV = -2.697,35

Qualquer uma das variáveis de uma anuidade pode ser calculada se os valores das demais

variáveis forem conhecidos. Dessa forma, dado o Valor Presente, a Anuidade e o número de períodos,

podemos calcular a taxa de juros, ou dada a taxa de juros, podemos calcular o número de períodos.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1 - Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação que rende 1%

a.m., durante cinco anos?  

 

2 - Qual é a taxa mensal de juros compostos que faz uma aplicação mensal de $100,00 crescer para

$3.000,00 em dois anos?

 

3 - Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $ 1.000 que tenha a duração de 7 anos, a uma taxa de

juros de 18% a.a.?

 

4 - Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $2.500 que tenha a duração de 10 anos, a

uma taxa de juros de 20% a.a.?

 

8 – EMPRESTIMOS

Um empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto, médio ou longo prazo.

Dizemos que um empréstimo é a curto ou médio prazo quando o prazo total não

ultrapassa um ano ou 3 anos respectivamente.

Há 3 modalidades quanto a forma de o devedor ou mutuário resgatar sua dívida:

a) pagando os juros e o principal no vencimento.

b) Pagando os juros antecipadamente, e restituindo o principal no vencimento.

c) Pagando os juros e o principal por meio de prestações.

Atualmente existe uma grande procura das pessoas por empresas credenciadas

para a obtenção de empréstimos. A necessidade e o desejo de conforto fazem com que a

cada dia mais as pessoas recorram às financiadoras e, assim consigam dinheiro

suficiente para saírem do aperto ou simplesmente para a aquisição de algum bem

material, que até então era impossível adquirirem. Devido à facilidade e a comodidade

para obtenção de crédito, os empréstimos tem sido a solução para muitas pessoas,

porém os juros aplicados geralmente são altos e o valor que é pago ao final da quitação

da dívida junto à financeira ou banco soma um montante maior, que corresponde muitas

vezes quase ao dobro do valor inicial.

As facilidades para obtenção de empréstimos atraem muitas pessoas, mas elas

sequer sabem como são feitos os cálculos e podem acabar sendo prejudicadas devido a

essa omissão por parte das financeiras que fazem o possível para concederem o

empréstimo devido a grande lucratividade que gira em torno dessas transações.

Basicamente, os empréstimos são calculados de acordo com a Tabela Price, utilizada

por bancos e financeiras. Cada empresa ou banco aplica uma porcentagem de juros ao

mês, que varia de empresa para a empresa. Aposentados, pensionistas e servidores são

beneficiados com juros bem mais baixos nas transações de empréstimos. Assim, eles

aplicam os juros mensalmente utilizando a Tabela Price e as prestações são sucessivas e

iguais.

Cada prestação ou renda é composta de duas partes:

• juro do período (J), calculado sobre o débito (saldo devedor) do início do período; e

• amortização do principal (A), que corresponde à diferença entre o valor da prestação e

o juro do período.

Nessa renda o valor presente (PV, SDi1) corresponde à dívida contraída.

Cada pagamento periódico (PMTk = PMT) inclui parcelas de juros e de

amortização do principal, verificando-se a relação fundamental:

PMTk = Ak + Jk

onde k indica a ordem do pagamento ou o período em que o pagamento se dá (1< k < n).

O capital ou principal será denominado PV ou SDi1 (saldo devedor no início do

primeiro período), e o valor dos pagamentos será denominado PMT, adotando a

linguagem das calculadoras financeiras, sempre que os pagamentos forem constantes.

Quando você faz um financiamento a sua pergunta básica é: qual o valor dos

pagamentos periódicos que devo fazer? Esse problema você resolve com o auxílio das

fórmulas:

PV = SDi1 = PMT x (1 + i) n – 1

I x (1 + i)n

PMT = PV x i x (1 + i) n = SDi1 x i x (1 + i) n

(1 + i)n – 1 (1 + i)n – 1

Essas fórmulas relacionam o valor da dívida contraída (PV ou SDi1), o valor dos

pagamentos (PMT), a taxa de juros efetiva da operação (i) e o número de pagamentos

(n) e respondem à pergunta inicial que você fez. Veja que este problema pode ser

colocado de forma inversa, isto é, dada uma sucessão de pagamentos periódicos iguais

determinar o estado inicial da dívida.

Uma outra pergunta que você pode fazer: qual será o valor de minha poupança

após vários depósitos periódicos de um valor constante? Em outras palavras qual o valor

futuro da poupança (ou da dívida) conhecendo-se o número e o valor dos pagamentos, e

a taxa de juros efetiva? Vamos nos valer da fórmula que estabelece a relação entre o

valor final da dívida (FV), valor dos pagamentos (PMT), taxa de juros (i) e número de

pagamentos (n):

FV = PMT x (1 + i) n – 1

i

Exemplo : considere um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago em quatro prestações

anuais sucessivas postecipadas, para o qual se convencionou uma taxa de juros efetiva

de 10%aa. Qual o valor da prestação anual? Montar um quadro demonstrativo da

operação.

Sumário de dados: PV = SDi1 = 10.000,00, n = 4, i = 10% aa, PMT = ?

Solução: O calculo da prestação é feito a partir da fórmula:

PMT = PV x i x (1 + i) n = SDi1 x i x (1 + i) n

(1 + i)n – 1 (1 + i)n – 1

PMT 10.000 * 0,3154708 $ 3.154,70

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1 - Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ 50.000,00 . O

banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros

compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de:

a) R$ 5.000,00.

b) R$ 1.000,00.

c) R$ 1.666,00.

d) R$ 500,00.

e) R$ 1.500,00.

2 - Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um

financiamento sem entrada a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de

juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira

prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses

seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010

é de:

a) R$ 3.020,00

b) R$ 3.160,00

c) R$ 3.240,00

d) R$ 3.300,00

e) R$ 3.450,00

3 - Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60

prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data

da realização do empréstimo. A uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira

prestação supera o valor da penúltima prestação em

(A) R$ 3.625,00.

(B) R$ 3.687,50.

(C) R$ 3.750,00.

(D) R$ 3.812,50.

(E) R$ 3.875,00.

4 - Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa

de 4% ao mês e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do

empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de:

a) R$ 2.260,00

b) R$ 1.350,00

c) R$ 1.500,00

d) R$ 1.750,00

e) R$ 1.800,00

5 - Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais. Se a

taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser:

a) R$ 2 950,00

b) R$ 3 000,00

c) R$ 3 050,00

d) R$ 3 100,00

e) R$ 3 150,00

9 – INFLAÇÃO

O excesso de moeda na economia gera inflação, que nada mais é que um

aumento generalizado e sistemático dos preços face ao aumento da demanda dos bens

de consumo e serviços. Já a deflação é caracterizada por um declínio sistemático de

preços.

O poder aquisitivo diminui quando existe inflação. Para uma inflação de 50%,

num determinado mês, haveria uma perda do poder de compra da moeda de 33%. De

fato, se uma mercadoria estivesse custando, no início do mês, R$100,00, passaria a

custar, no final do mesmo mês, R$150,00, e, desta forma, o poder aquisitivo cairia de

100% para 67% (100/150), ou seja, haveria uma perda de 33%.

A inflação talvez seja uma ilusão - a ilusão de que as pessoas podem e devem

ganhar um aumento no preço dos produtos que vendem, sem que os preços dos outros

produtos, que elas compram, aumentem. Está embutido no conceito de inflação um fator

psicológico, que contribui, outrossim, para a alta dos preços, acarretando uma reação em

cadeia e contribuindo para o desequilíbrio da economia.

As análises econômicas de projetos de investimento não levam em conta a

inflação, baseado na premissa de que todos os preços envolvidos são por ela afetados

uniformemente. Desta forma, tais análises são realizadas supondo-se condições estáveis

da moeda, já que também seria impossível se prever, com exatidão, as condições futuras

dos fluxos de caixa dos projetos. Obviamente esta é uma hipótese de natureza

simplificadora e, por conseguinte, os resultados assim obtidos devem agregar um certo

grau de erro associado.

Como num regime inflacionário existe perda de poder aquisitivo da moeda, de

modo a evitar a corrosão do patrimônio do investido, todo capital aplicado deve ser

indexado à taxa de inflação do período. Esta indexação poderia, outrossim, ser efetuada

com a adoção de uma moeda estável, ou com inflação desprezível, tal como o dólar

americano, objetivando-se a proteção do capital investido, ou através de índices

econômicos de referência de preços.

Torna-se importante fixar corretamente o conceito de inflação, uma vez que

existe alguma confusão com certos aumentos de preços. Um aumento esporádico de

preço de um certo produto não significa necessariamente inflação, pois tal aumento

pode ocorrer, por exemplo, em função de uma mudança na oferta e/ou demanda deste

produto.

Como já foi definido, a inflação é uma tendência generalizada de aumentos nos

preços. Toma-se um conjunto de bens que represente uma amostra significativa da

produção da economia de um país e compara-se os preços destes bens nos instantes t e

t+1. Caso tenha ocorrido um aumento nos preços de maior parte daqueles bens, isto

caracteriza que houve inflação entre t e t+1.

Correção Monetária

A correção monetária, uma invenção brasileira, é uma taxa que tem o objetivo

de tentar recompor o poder aquisitivo dos preços dos bens e serviços atingidos pela

inflação, que pode ou não refletir integralmente as taxas de inflação. Um índice de

correção monetária relativa a um setor da economia não é necessariamente igual à

inflação ocorrida neste mesmo setor.

A correção monetária, ou atualização monetária, foi introduzida no Brasil, em

1964, com a criação das Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN), que

reajustava mensalmente os preços dos bens e serviços, bem como das principais

operações financeiras do país. A ORTN foi a origem de uma série de indexadores de

correção monetária, tais como a OTN, BTN, URV e a TR, entre outros, sendo que este

última teve seus objetivos iniciais desvirtuados, já que foi concebida para atuar

efetivamente como uma taxa referencial de juros e não como um mecanismo de

atualização monetária.

Muitas análises de projetos de investimento são desenvolvidas com base em

projeções elaboradas à moeda corrente e de poder aquisitivo referente à uma data-base.

Para que os efeitos da inflação possam ser incorporados nas análises de projetos,

é necessário se utilizar os fatores de juros de modo que os efeitos inflacionários atuantes

sobre a moeda, em diferentes instantes do tempo possam ser reconhecidos. O

procedimento usual para se tratar com a perda no poder de compra que acompanha a

inflação segue os seguintes passos:

1) Estima-se todos os valores do fluxo de caixa associados ao projeto, em termos de

moeda corrente do dia;

2) Modifica-se os valores estimados no passo 1 de modo que em cada data futura eles

representem os valores naquela data, em termos de moeda da época;

3) Calcula-se a quantia equivalente do fluxo de caixa resultante do passo 2,

considerando-se o valor do dinheiro no tempo.

Na realidade, a maioria das análises de projetos trabalham com preços

constantes, isto é, a partir da suposição de que os preços e custos aumentam de acordo

com as taxas de inflação, sejam elas quais forem, de maneira que seu valor permaneça

constante, se expresso em moeda estável.

Entretanto, nem sempre é recomendável trabalhar com preços constantes,

principalmente nos casos de alguns preços ou custos do projeto não acompanhem as

taxas de inflação e sofram variações reais de preços, em função de fatores econômicos,

tais como escassez, excesso de oferta, evoluções tecnológicas etc. A projeção de tais

preços é assunto fora dos objetivos do presente texto. De qualquer modo, sabe-se que a

previsão de preços em moeda estável é mais simples do que em moeda corrente, pois

neste segundo caso precisa-se estimar também as taxas de inflação, além das variações

reais dos preços.

Medição da Inflação

Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que, entre

outras aplicações, permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços, de

um período para outro. Em outras palavras, o índice de preços representa uma média

global das variações de preços que se verificaram num conjunto de determinados bens,

ponderada pelas respectivas quantidades.

No Brasil são utilizados inúmeros índices de preços, sendo originados de

amostragem e critérios desiguais e elaborados por diferentes instituições de pesquisa.

Antes de selecionar um índice para atualização de valores monetários, deve-se

analisar a sua representatividade em relação aos propósitos em questão.

O quadro abaixo relaciona os valores do Índice Geral de Preços - IGP, da Fundação

Getúlio Vargas, de maio a dezembro de determinado ano.

Mês Ago/96 Set/96 Out/96 Nov/96 Dez/96

IGP 132,679 132,849 133,141 133,517 134,689

Através da evolução destes índices de preços podem ser identificados como os

preços gerais da economia variaram no período. Para tanto, relaciona-se o índice do fim

do período que se deseja estudar com o do início.

A taxa de inflação, a partir de índices de preços, pode ser medida por:

Π = (I1 / I0) – 1

onde: π é a taxa de inflação procurada; I1 representa o índice de preços relativo à data

desejada, ou data-referência; e I0 indica o índice relativo à data inicial, ou data base.

Os ajustes para se conhecer a evolução real de valores monetários em inflação se

processam mediante indexações (inflacionamento) e desindexações (deflacionamento)

dos valores aparentes, através de índices de preços.

A indexação consiste em corrigir os valores aparentes de uma data em moeda

representativa de mesmo poder de compra em momento posterior. A desindexação, ao

contrário, envolve transformar valores aparentes em moeda representativa de mesmo

poder de compra num momento anterior.

O comportamento da inflação se processa de maneira exponencial, ocorrendo

aumento de preço sobre um valor que já incorpora acréscimos apurados em períodos

anteriores. Da mesma forma que o regime de juros compostos, a formação da taxa de

inflação assemelha-se a uma progressão geométrica, verificando-se juros sobre juros.

São válidos para a inflação os mesmos conceitos de juros compostos e de taxas

de juros equivalentes.

EXERCICIOS DE FIXAÇÃO:

1 - Com base nos índices do quadro citado no texto, calcule a inflação ocorrida entre os

meses de agosto e dezembro de 1996:

2 - Com base nos índices do quadro citado no texto, analise se houve ganho ou perda

numa transação que envolveu a aquisição de um bem em agosto por $200.000 e sua

venda em novembro por $220.000:

3 - Determine a taxa de inflação acumulada nos três primeiros meses de 1996, sabendo-

se que as taxas de inflação para janeiro, fevereiro e março do ano em questão, medidas

pelo IGPM/FGV, foram, respectivamente, 1,73%, 0,97% e 0,40%.

4 - A taxa de inflação de um determinado ano é de 25%. Determine a taxa mensal de

inflação equivalente:

10 – CALCULO DA DEPRECIAÇÃO

Depreciação significa desvalorização. Quando uma empresa adquire um ativo

imobilizado (máquina, equipamentos, veículos, imóveis, etc) este sofre um desgaste no

decorrer do tempo e consequentemente, uma desvalorização. A depreciação real de um

ativo destes, num determinado período, é a diferença entre o seu valor de aquisição e o

seu valor de revenda. A legislação dos países permite que as empresas recuperem parte

deste prejuízo, lançando no seu balanço, periodicamente, parte da depreciação como

despesa, diminuindo assim a base de cálculo e o valor a ser pago do imposto de renda.

As empresas devem seguir as regras impostas pela legislação, tais como o

método do cálculo da depreciação (a depreciação lançada não é a real e sim a

depreciação contábil ou teórica) e o prazo para a depreciação total de cada ativo (por

exemplo máquinas e equipamentos em 10 anos, imóveis em 20 anos, etc).

Para o cálculo da depreciação teórica existem vários métodos. É permitido às

empresas a escolha de um destes métodos. Serão abordados neste módulo três métodos:

o Linear, o de Cole e o Exponencial.

Definições e fórmulas comuns:

Para qualquer um dos métodos, as definições e fórmulas a seguir são válidas:

VRn = VA - DPt

Onde:VRn = Valor Residual após n períodos

VA = Valor de aquisição

Por exemplo, seja um ativo adquirido por R$ 80.000 e depreciado em 3 anos por R$

24.000. O seu valor residual, ao final do 3º ano, é de R$ 56.000.

Método Linear:

No método linear, a depreciação por período é constante, portanto a depreciação

por período é calculada por:

DPj = VA

n

Onde n é o número total de períodos para a depreciação total do ativo.

Exemplo:

Um veículo foi adquirido por uma empresa por R$ 50.000. Se para este tipo de ativo é

permitida uma depreciação total em 5 anos, qual o valor da depreciação por ano?

Montar uma tabela contendo o plano de depreciação.

DPj = 5000 = 10.000

5

ANO DEPRECIAÇÃODEPRECIAÇÃO

ACUMULADA

VALOR

RESIDUAL

0 50.000

1 10.000 10.000 40.000

2 10.000 20.000 30.000

3 10.000 30.000 20.000

4 10.000 40.000 10.000

5 10.000 50.000 0

Método de Cole ou da Soma dos Dígitos:

No método de Cole, a depreciação por período decresce no decorrer do tempo,

segundo a fórmula:

DPj = VA x FRj

Onde: DPj = depreciação no período j FRj = Fração a depreciar j = período da apuração da depreciaçãon=total de períodos para a depreciação total do ativo

Exemplo:

Um equipamento foi adquirido por uma empresa por R$ 120.000. Se para este tipo de

ativo é permitida uma depreciação total em 10 anos, montar o plano de depreciação.

ANO FRAÇÃO DEPRECIAÇÃO DEPRECIAÇÃO VALOR

ACUMULADA RESIDUAL

0 120.000

1 10/55 21.818 21.818 98.182

2 9/55 19.636 41.455 78.545

3 8/55 17.455 58.909 61.091

4 7/55 15.273 74.182 45.818

5 6/55 13.091 87.273 32.727

6 5/55 10.909 98.182 21.818

7 4/55 8.727 106.909 13.091

8 3/55 6.545 113.455 6.545

9 2/55 4.364 117.818 2.182

10 1/55 2.182 120.000 0

Método Exponencial:

No método Exponencial, a depreciação por período decresce no decorrer do

tempo exponencialmente. Neste método, é impossível depreciar cem por cento do ativo,

pela própria definição do método. As fórmulas utilizadas são:

VRj = VA x (1 - td)j

VRj = VRj-1 x (1 - td)

∑ DPj = VA - VRj

Onde: VRj = Valor residual no final do período j td = taxa de depreciação j = número de períodos de depreciação ∑ DPj = depreciação acumulada até o período j VA = valor de aquisição do ativo

Exemplo: uma empresa adota o método exponencial para o cálculo da depreciação dos seus ativos. Um ativo foi adquirido por R$ 70.000 e será depreciado em 5 anos a uma taxa de 25% ao ano. Montar o plano de depreciação.

ANO DEPRECIAÇÃO DEPRECIAÇÃO ACUMULADA

VALOR RESIDUAL

0 70.0001 17.500 17.500 52.5002 13.125 30.625 39.3753 9.844 40.469 29.5314 7.383 47.852 22.1485 5.537 53.389 16.611

EXERCICIOS DE FIXAÇÃO:

1 - Qual o valor residual de um ativo, após 6 anos de depreciação linear, adquirido por

R$ 75.000 e cujo prazo de depreciação total é de 10 anos?

2 - Qual a depreciação no 15º ano de um imóvel, adquirido por R$ 1.400.000 e

depreciável cem por cento em vinte anos, se o método utilizado for o da Soma dos

Dígitos?

3 - Qual o valor residual de um ativo, após 8 anos de depreciação exponencial, a uma

taxa de 18% ao ano, adquirido por R$ 200.000 e cujo prazo de depreciação total é de 10

anos?

4 - Uma empresa adquiriu um ativo por R$ 48.000 e fará a depreciação pelo método

linear. O prazo permitido para a depreciação total deste ativo é de 10 anos. O total que

será depreciado até o 7º ano será de:

5 - Um imóvel adquirido por R$ 800 mil, totalmente depreciável em 20 anos pelo

método de Cole, terá um valor residual no 8º ano de:

6 - Um automóvel é adquirido por uma empresa por R$ 65.500 e depreciável

totalmente em 5 anos. Se a taxa de depreciação é de 22% ao ano, qual será o total

depreciado até o 4º ano?

7 - Se um ativo depreciável em 5 anos linearmente, teve uma depreciação acumulada de

R$ 36.000 no 4º ano, então o seu valor residual neste ano foi:

ASSAF NETO, ALEXANDRE. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6. Ed. São Paulo: Atlas, 2001.

 

 

PARENTE, EDUARDO AFONSO DE MEDEIROS, Matemática Comercial e Financeira. Ed reform. São Paulo: FTD, 1996.

 

 

HAZZAN, SAMUEL. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.

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