Apostila de Matemática Financeira 2011 - Final

CAPÍTULO 1

CONCEITOS FINANCEIROS INTRODUTÓRIOS

CAPÍTULO 1

CONCEITOS FINANCEIROS INTRODUTÓRIOS

2 MATEMÁTICA FINANCEIRA DANIELA BRASSOLATTI

1.1 INTRODUÇÃO1.1 INTRODUÇÃO

A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico, algumas situações estão

presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a

crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras

situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. Ao

realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto

é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo, a essa diferença damos o nome de

juros.

O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma afinidade entre o dinheiro

e o tempo. As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a ideia de juros, pois isso

acontecia devido ao valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela

organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de operações

matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias,

operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos.

Essas tábuas retratavam documentos de empresas comerciais, algumas eram utilizadas como ferramentas

auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tábuas para a multiplicação, inversos

multiplicativos, quadrados, cubos e exponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente ligadas aos

cálculos relacionados a juros compostos e as de inverso eram utilizadas na redução da divisão para a multiplicação.

1.2 CONCEITO1.2 CONCEITO

Podemos conceituar matemática financeira, de maneira simplista, como o ramo da matemática que tem como objeto de estudo o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Efetua análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.

As operações financeiras são operações feitas com dinheiro com a finalidade de fazê-lo evoluir ao longo do tempo, podendo ser operações ativas ou passivas.

As operações financeiras ativas são aplicações ou investimentos que visam rendimentos ( Exemplo: letra de câmbio, caderneta de poupança, ações , etc). As operações financeiras passivas são as que visam a captação de recursos como os empréstimos ou descontos de títulos.

Na atual economia, que se diz globalizada, não se concebe qualquer projeto, seja de que área for, em que o aspecto financeiro não seja um dos mais relevantes para sua execução. No dia a dia das famílias ocorre o mesmo fenômeno.

Discute - se cada vez mais o último IGP, a inflação ou deflação. Enfim, números, índices e taxas que em princípio nos parece saídos de algum caldeirão alquímico, mas que na verdade são sempre variações sobre o mesmo tema:Estatística, matemática pura e matemática financeira.


Para exemplificarmos melhor imagine a decisão entre comprar aquele fogão em 10 vezes “sem juros” ou pouparmos o dinheiro para comprarmos o mesmo produto à vista. Quais os custos envolvidos nessa decisão? Como avaliar monetariamente a decisão?

Quantas vezes já não nos vimos diante deste e de outros dilemas, que podem parecer simples, mas, se você não possuir alguns conhecimentos básicos, parecem insolúveis?

Então, a matemática financeira se ocupa em estudar e fornecer as tais ferramentas adequadas para a tomada de decisão com a maior precisão possível.

Se na vida pessoal já temos que tomar decisões que nos afetarão por um bom tempo, imagine na vida de uma empresa cujo faturamento, na maioria das vezes é bastante superior a renda de uma família.

Assim o estudo da matemática financeira se reveste de vital importância para qualquer pessoa que almeje entender o mundo atual tal qual ele se apresenta.

1.3 OBJETIVOS1.3 OBJETIVOS

Habilitá-los no desenvolvimento de cálculos básicos do valor do dinheiro ao longo do tempo (juros) utilizados nas operações comerciais e financeiras aplicada ao dia-a-dia dos negócios, visualizando os principais conceitos através de exercícios e casos práticos e também o uso da HP-12C como complemento de trabalho.

1.4 IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA1.4 IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

A matemática financeira é de extrema importância na transformação e manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período , para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo e na análise e comparação de diversas alternativas de fluxo de caixa.

Todo estudo analisado pela matemática financeira visa avaliar as taxas de juros nas aplicações e nos empréstimos. Para se fazer uma aplicação de capital, o ideal é procurar a mais alta taxa de juros disponível e para se fazer um empréstimo, o ideal é procurar a mais baixa taxa disponível.

1.5 A MATEMÁTICA FINANCEIRA E A INFLAÇÃO1.5 A MATEMÁTICA FINANCEIRA E A INFLAÇÃO

O processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços.

Em sentido contrário, uma baixa predominante de preços de mercado dos bens e serviços, tem-se a deflação.

O desenvolvimento da economia brasileira tem-se caracterizado pela presença marcante da inflação, apresentando taxas, na maior parte do tempo, em níveis relevantes.

Em contextos inflacionários deve-se ficar atento para o rendimento (juros) aparente das aplicações e investimentos. Nessa situação é importante determinar a taxa de juros real e o rendimento real de um financiamento ou aplicação.

Do ponto de vista da matemática financeira, R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$ 1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido a taxa de juros por período.


Assim, um capital de R$ 1.000,00 aplicado hoje a uma taxa de 8%aa, implicará um rendimento anual de R$80,00, proporcionando um montante de R$ 1080,00 no final de um ano.

Para uma taxa de juros de 8% aa, é indiferente termos R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1080,00 daqui a um ano. Um capital de R$ 1000,00 hoje será igual a R$ 1000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a zero.

A matemática financeira está ligada ao valor do dinheiro no tempo, que por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.

Exemplo de um processo inflacionário: Suponha que uma pessoa adquiriu um imóvel por R$ 60.000,00 e vendeu 2 anos depois por R$ 80.000,00. Neste período a inflação atingiu 40%.

Poderíamos avaliar: 80.000 – 60.000 = 20.000, lucrou 20.000 mas o ganho na venda terá sido aparente (nominal), determinado prioritariamente pela evolução dos preços e não por uma valorização real do imóvel vendido.

OBSERVE: Para não ocorrer prejuízo, o imóvel deveria ser vendido por um preço 40% maior que seu valor de compra há dois anos, ou seja:

60.000 x 0,4 = 24.00060.000 + 24.000 = 84.000

Somente a partir desse valor é que existirá um lucro. A venda por 80.000 indica um prejuízo real de 4000,00.

1.6 PORCENTAGEM1.6 PORCENTAGEM

Relatos históricos datam que o surgimento dos cálculos percentuais aconteceu por volta do século I a.C, na cidade de Roma. Nesse período, o imperador romano decretou inúmeros impostos a serem cobrados, de acordo com a mercadoria negociada.

Os cálculos eram feitos sem a utilização do símbolo de porcentagem, eram realizados de forma simples, com a utilização de frações centesimais. Por exemplo, na cobrança de um imposto no valor de 6/100 da comercialização, eles cobravam seis centésimos do preço do produto, isto é, dividiam o produto em cem partes e pegavam seis partes, basicamente o que é feito hoje sem a utilização de calculadoras.

A intensificação do comércio por volta do século XV criou situações de grande movimentação comercial. O surgimento dos juros , lucros e prejuízos obrigou os matemáticos a fixarem uma base para o cálculo de porcentagens. A base escolhida foi o 100. O interessante é que mesmo com essa evolução, o símbolo que conhecemos hoje ainda não era utilizado pelos comerciantes.

A crescente utilização da porcentagem no comércio e as suas inúmeras formas de escrita representacional originaram o símbolo que conhecemos hoje, %. Atualmente, a porcentagem é estritamente importante para matemática financeira, dando suporte à s inúmeras movimentações financeiras, na representação do mercado de ações envolvendo as operações de compra e venda, na construção de gráficos comparativos, qualitativos e quantitativos, na construção de gráficos comparativos, qualitativos e quantitativos, na constituição de alíquotas de diversos impostos entre inúmeras situações.

A expressão por cento (%) pode ser entendida com o mesmo significado de centésimo. Assim quando se diz que dos 80 milhões de habitantes adultos de um país, 30% são analfabetos, isto significa que os analfabetos representam uma fração de igual a 30/100 do total de habitantes adultos de um país e corresponde a 24 milhões de habitantes.

A porcentagem pode ser escrita de três formas: na forma centesimal (chamada de taxa percentual), na forma fracionária ou na forma decimal ( chamada taxa unitária).

Exemplo:

30% 30/100 0,30

Centesimal Fracionária Decimal

Para facilidade na aplicação de fórmulas, adotaremos a porcentagem escrita na forma decimal (Prática normal das calculadoras e computadores).

Exemplo: 10% = 0,10 25% = 0,25 50% = 0,5 100% = 1 146% = 1,46 0,5% = 0,005 2% = 0,02

A utilização da porcentagem se faz por regra de três simples.

Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 3.500,00 qual será sua comissão?

Equacionando e montando a regra de 3 temos:

3500 100%

6 MATEMÁTICA FINANCEIRA DANIELA BRASSOLATTI BELO ROGÉRIA KAPP CARDOSO

X 3%

Na regra de 3, quando as grandezas são diretamente proporcionais (no caso, quanto maior a venda, maior a comissão) usamos setas paralelas e multiplicamos os termos em cruz, como se vê abaixo:

3500 100%

X 3%

Ora, se 100Y = 3500 x 3, então

Logo, a comissão será de R$ 105,00.

Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definição: 3% = , logo 3% de R$

3.500,00 seriam x R$ 3.500,00 = R$ 105,00.

Transformação de Porcentagens : Transformação de (%) em Decimal

Regra: Passa-se a vírgula, duas casas a esquerda, isso equivale a realizar a operação de divisão por 100.

Exemplo: 58,25% = 0,5825 1% = 0,01 0,3% = 0,003

Transformação de Decimal em (%)

Regra: Passa-se a vírgula duas casas a direita, isso equivale a multiplicar o número por 100 e depois, colocando o símbolo (%), estaremos dividindo o número por 100 e portanto o número ficará inalterado.

Exemplo: 1,33 = 133% 2,00 = 200%

0,05 = 5%

Transformação de Fração em (%)

Regra: Divide-se o numerador pelo denominador. Obtém-se um numero decimal. Passa-se a vírgula duas casas para a direita e introduz-se o símbolo (%).

Exemplo: 3/4 = 0,75 = 75% 1/3 = 0,3333 = 33,33%5/10 = 0,5 = 50%

Vários assuntos ligados a Matemática financeira requer o uso de porcentagem. Por exemplo: cálculo de juros em compras financiadas, financiamentos de carros, casas, apartamentos, empréstimo bancários entre outras situações.

1.7 PREÇO DE CUSTO, PREÇO DE VENDA, LUCRO, DESCONTO, ACRÉSCIMO1.7 PREÇO DE CUSTO, PREÇO DE VENDA, LUCRO, DESCONTO, ACRÉSCIMO

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/aplicacao-porcentagem-matematica-financeira.htm




Acréscimos (Ac)

São calculados acréscimos sempre que se quer atualizar preços de bens ou de serviços, calcular preços de venda a partir dos preços de custos das mercadorias de modo a garantir ao comerciante certa taxa de lucro, enfim numa série de ocasiões.

Chamando de Vi o valor inicial ou preço inicial que deve ser acrescido de i (taxa de acréscimo), o acréscimo será a fração(centésimos) calculada sobre Vi , isto é,:

Onde Ac = valor do acréscimo Vi = valor inicial i = taxa na forma decimal

O valor acrescido ou valor final será a soma do acréscimo com o valor inicial:

Onde: Vf = valor final ou valor após acréscimo

Ou calculando o valor final( valor após o acréscimo) diretamente:

Onde: Vf = valor final ( valor após acréscimo) Vi = valor inicial i = taxa na forma decimal

Para calcular o valor inicial a partir do valor final, tem-se:

Onde: Vi = Valor inicial Vf = valor final( valor após acréscimo) i = taxa na forma decimal

A taxa também pode ser calculada do seguinte modo:

Ou

Exemplos:


1) Em Abril de 2000, o salário mínimo estava fixado em R$ 150,00. Em Agosto desse mesmo ano, Teve um acréscimo de 6,09%. Qual foi o acréscimo e qual o valor do novo salário?

2) Um comerciante vende suas mercadorias com acréscimo de 20% sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo de uma mercadoria que vendeu por R$ 300,00?

3) O preço de um objeto sofreu um acréscimo com a inflação, passando de R$ 180,00 para 207,00. Qual foi a taxa de aumento que sofreu esse objeto?

Descontos

O desconto ou abatimento é outra operação comercial de uso freqüente. O comerciante pode conceder descontos aos compradores que pagam à vista ou que compram em grandes quantidades. Também são concedidos descontos em mercadorias que apresentam defeitos ou em ocasiões especiais como nas liquidações.

Chamando de Vi o valor inicial ou preço inicial, de Dc o desconto concedido, de i a taxa de desconto, de Vf

o valor final ou preço final após desconto, tem-se:

Onde: Dc = valor do desconto

Ou determinando o valor final (após o desconto) diretamente:

As fórmulas para calcular o valor inicial Vi e a taxa i ficam:

Exemplos

4) Em uma liquidação, várias mercadorias tiveram seu preços remarcados, depois de sofrer descontos em seus preços normais.

a) Quanto se deve pagar por uma mercadoria de R$54,00 sujeita a um desconto de 15%?

b) Qual o preço normal de uma mercadoria que, com desconto de 29% está sendo oferecida por R$ 20,64?

c) Qual a taxa de desconto que está sendo oferecida em uma mercadoria cujo preço foi remarcado de R$ 35,00 por R$ 29,00?


DicasCálculo “Por Fora” é muito utilizado em cálculos de acréscimos percentuais, isto é, você tem um determinado valor e quer calcular um acréscimo em com base neste valor.

Cálculo “Por Fora” : Multiplica-se o valor desejado por (1+i)

Cálculo “Por Dentro” Muito utilizado em cálculo de valores que envolvem impostos, tais como: ICMS, ISS, PIS, COFINS, IRRF, etc.

Cálculo “Por Dentro”: divide-se o valor desejado por (1-i)

Se você tem um valor e quer saber quanto representa uma porcentagem referente a esse valor, Multiplique o valor desejado pela taxa dada.

Exemplo 5: Recebo de comissão 30% do valor de uma mercadoria que vendo. Quanto devo receber, quando vendo R$ 3000,00?

Para calcular um valor com acréscimo: Pegue o valor antes do acréscimo e multiplique por (1+i).

Exemplo 6: Uma dívida de R$ 925,93 teve um acréscimo de 8%. Quanto vou pagar ?

Você tem um valor já calculado um acréscimo e quer saber o valor antes do acréscimo. Pegue este valor(final) e divide por (1+i)

Exemplo 7: Uma dívida acrescida de multa de 8%, eleva-se para R$ 1.000,00. Qual o valor da dívida?

Para Calcular o desconto ou decréscimo: Pegue este valor e multiplique por (1-i).

Exemplo 8: Uma mercadoria de R$ 352,94 teve um desconto de 15%. Qual o valor da mercadoria?

Você tem um valor já calculado o desconto, ou decréscimo e quer saber o valor antes deste desconto ou decréscimo. Pegue este valor(final) e divide por (1-i).

Exemplo 9: Comprei uma mercadoria com 15% de desconto e paguei por ela R$ 300,00.Qual o valor da mercadoria antes do desconto?

Você tem um valor que representa um percentual em relação ao tota l(parte do total) e você quer saber o


total. Peque este valor e divide pela taxa dada.

Exemplo 10: Em uma operação de CDC (Crédito Direto ao Consumidor), financiou-se 80% do valor de um bem. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 24.000,00, determine o valor total do bem.

Caso você tenha um valor que represente mais que 100%, e quer saber valor referente a 100%, procede-se da mesma forma. Pega-se este valor e divide-se pela taxa dada (sempre na forma decimal)

Exemplo 11: Uma instituição financeira exige 120% de garantias reais para emprestar seu dinheiro. A empresa Siqueira S/A, dispõe de um imóvel avaliado em R$ 300.000,00 para oferecer como garantia. Qual é o valor máximo que pode emprestar?

Taxa de lucro sobre o preço de custo ( cálculo Por Fora) e Taxa de lucro sobre o preço de venda (cálculo por dentro)

Quando se fala em taxa de lucro, imediatamente se pensa em taxa de lucro sobre o preço de custo, pois é este que representa o capital empregado pelo comerciante na compra de mercadorias a serem vendidas. No entanto, na prática é mais cômodo o comerciante calcular taxa de lucro sobre o preço de venda, pois esse preço, presente nas tabelas de uso comercial e até nas etiquetas de mercadorias, é de mais fácil acesso do que o preço de custo. Além disso, o conhecimento da taxa de lucro sobre o preço de venda possibilita a determinação da taxa de lucro sobre o preço de custo, uma vez que existe relação entre as duas taxas, como será visto a seguir:

Notação:Pc = preço de custo;Pv = preço de venda;L = lucroic = taxa de lucro sobre preço de custo;iv = taxa de lucro sobre o preço de venda;

Dados o preço de custo Pc e o preço de venda Pv, o lucro L será dado pela diferença: L = Pv – Pc

As taxas de lucro ic e iv sobre os preços de custo e de venda, serão dadas, respectivamente pelas expressões:

ou

ou

A relação entre ic e iv pode ser determinada da seguinte forma:

e

Obs: A taxa de lucro sobre o preço de venda é também camada de margem de lucro.

Cálculo por fora: multiplica-se o valor determinado por (1+i).Cálculo por dentro: divide-se o valor determinado por (1-i).


Exemplo 12: Um comerciante costuma vender suas mercadorias com lucro de 40% sobre o preço de custo.a) Qual o lucro que terá pela venda de um artigo pelo qual pagou R$ 152,00?b) Qual a taxa de lucro que terá sobre o preço de venda esse comerciante?

Exemplo 13 :Venda de um objeto que custou R$ 612,00 ao vendedor, que quer ter um lucro de 40% sobre a venda.a) Qual o preço da venda?b) Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?

1.81.8 EXEMPLOS PREÇO DE CUSTO, PREÇO DE VENDA, LUCRO, DESCONTO, ACRÉSCIMOEXEMPLOS PREÇO DE CUSTO, PREÇO DE VENDA, LUCRO, DESCONTO, ACRÉSCIMO

1. Pagou-se por serviços prestados um valor de R$ 1410,00. Sabendo-se que houve retenção de IRRF de 6% , qual o valor bruto do serviço?

2. Um objeto vendido por R$ 3000,00, por quanto deverá ser vendido para que proporcione um lucro de 25% sobre o preço da venda?

3. Um investidor pretende obter um lucro líquido de R$ 10.000,00 na aplicação em RDB após pagamento de 35% de Imposto de Renda Retido na Fonte. Qual é o valor do rendimento bruto (antes do IR) ?

4. O salário-base de um funcionário é acrescido de 20% correspondentes a adicionais por tempo de serviço. Sobre esse total acrescido é calculado o desconto do INPS, de 8,5%, e o líquido é depositado em sua conta bancária e é correspondente a R$ 1041,93. Qual é o seu salário-base, quanto recebe de adicionais, e quanto desconta de INPS?

5. Exemplo do valor de uma mercadoria aplicado os seguintes impostos: IR, C.S.,COFINS,PIS, ICM,IPI, C.S.

O custo de uma mercadoria para um comerciante é R$ 100,00. Qual deve ser o preço de venda para se obter uma margem de 20% sobre o preço de venda, sabendo-se que sobre esse preço incidem 18% de ICM, 10% de IPI, 2% de COFINS, 0,65% de PIS, 1.25% de IR, 1% de C.S.?

Valor total dos impostos(%)IRC.S.COFINSPISICMIPILUCRO

6. Para fazer determinado serviço, quero receber R$ 1.000,00 ( valor liquido). Sei que do total do valor do orçamento(valor bruto) tenho que pagar 2% de I.S.S. Qual o valor do orçamento para que, quando eu pagar 2% de I.S.S. fique com R$1.000,00?


1.91.9 EXEMPLOS RESOLVIDOSEXEMPLOS RESOLVIDOS

Exemplo 1: O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na

venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?

20% = 20/100 = 0,220% de 210

0,2 x 210 = 42 210 + 42 = 252

Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%.

Exemplo 2: Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%. Qual é o preço da calça dentro dessa condição?

15% = 15/100 = 0,15 15% de 82

0,15 x 82 = 12,3 82 – 12,3 = 69,7

O preço da calça para pagamento à vista e no dinheiro é de R$ 69,70.

Exemplo 3: Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto de 4% equivalente a R$ 1.600,00?

4% = 4/100 . Utilizando regra de três encontramos que o valor do terreno é R$40.000,00.

Exemplo 4: O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais iguais ela sofre um aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros uma pessoa que decidir comprar a prazo?

8% = 8/100 = 0,08 8% de 825

0,08 x 825 = 66 825 + 66 = 891

Preço a prazo R$ 891 Dividido em 4 vezes (891 / 4)

Cada prestação terá o valor de R$ 222,75

A pessoa que decidir comprar a prazo pagará R$ 66,00 de juros.

Exemplo 5: Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De quantos por cento foi redução?

112 – 84 = 28 28 em 112

28/112 = 0,25 0,25*100 = 25%

A redução foi de 25%.




1.101.10 REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROSREPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS

Sempre que trabalhamos com números com várias casas decimais, uma dúvida que surge no momento de utilizar esses valores, é a quantidade de algarismos que devemos utilizar, ou seja, qual é a sua melhor representação numérica.

Aproximação por arredondamento

O processo de arredondamento consiste em obter o menor erro ao representar o último algarismo de um número, isto é, consiste em analisar o dígito posterior à última casa decimal a ser considerada.

Arredondamento por falta: Sempre que for necessário arredondar um número é adotada a seguinte regra:

Quando o 1º algarismo a ser desprezado (dígito posterior ao dígito a ser considerado) for 0, 1, 2, 3 ou 4, deverá ser abandonado.

Exemplo: Representação com duas casas decimais:

a) 72,6335

b) 26,5604

Exemplo: Representação com três casas decimais:

b) 72,81418

c) 72,84144

Arredondamento por excesso

Quando o 1º algarismo a ser desprezado (dígito posterior ao dígito a ser considerado) for 5, 6, 7, 8 ou 9, o último algarismo a permanecer será aumentado de uma unidade.

Exemplo: Representação com duas casas decimais:

a) 72,687 =

b) 45,565 =

Representação com três casas decimais:

c) 45,47866 =

d) 42,32596 =


1) Escreva as taxas unitárias (taxa na forma decimal) correspondentes a:

a) 25% b) 5% c) 1% d) 0,5% e) 12,5% f) 100%g) 300% h) 1000%

2) Escreva as taxas centesimais correspondentes a:

a) 0,3 b) 0,03 c) 1,2 d) 2 e) 0,005 f) 2,23g)20 h) 0,725

3) No mês passado recebi R$ 260,00. Quanto devo receber neste mês se tive um aumento de 7,2% no meu salário?

4) Recebi R$ 278,72 de salário após Ter tido um aumento de 7,2%. Quanto recebia antes do aumento?

5) No mês passado recebi R$ 260,00 de salário e neste mês, após um aumento recebi R$ 278,72.Qual foi a taxa de aumento?

6) Um atacadista, quando vende a varejo, cobra 25% a mais sobre os preços marcados em suas mercadorias.

a) Quanto cobra para vender no varejo uma mercadoria cujo preço marcado é R$ 45,20?b) Qual o preço marcado em uma mercadoria vendida por R$ 18,45?

7) Um comerciante desconta 5% dos preços marcados nas suas mercadorias quando os compradores pagam a vista.

a) Qual o preço a vista cujo preço marcado é R$ 105,00?b) Qual o preço marcado em uma mercadoria vendida a vista por R$ 11,40?

8) Márcio teve um reajuste salarial de 41% ,passando a ganhar R$ 4.089,00. Qual era o seu salário antes do aumento?

9) Pagou-se por serviços prestados o valor de R$ 2.300,00. Sabendo-se que houve retenção de 5% de IRRF, qual o valor bruto do serviço?

10) Em uma operação de CDC (Crédito Direto ao Consumidor), financiou-se 65% do valor de um bem. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 30.000,00, determine o valor do bem.

11) Um objeto foi comprado por R$ 2800,00 e vendido por R$ 3500,00.a) Qual a taxa de lucro ic sobre o preço de custo?b) Qual a taxa de lucro iv sobre o preço de venda?

12) Uma mercadoria é vendida com 20% de lucro sobre o preço de venda. Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?


13) Um comerciante tem um lucro de 20% sobre o custo das mercadorias que vende. Qual a taxa de lucro sobre o preço de venda?

14) Um comerciante costuma marcar os preços de suas mercadorias, acrescendo 10% sobre o preço do catálogo. Ao chegar ao comprador, o comerciante para agradá-lo, faz um abatimento de 10% sobre o preço marcado na mercadoria.

a) O preço que cobra, usando esse expediente, é maior ou menor que o preço do catálogo?b) Há um desconto real sobre o preço de catálogo? De quanto?

15) Pagou-se por serviços prestados um valor de R$ 1610,00. Sabendo-se que houve retenção de IRRF de 5% , qual o valor bruto do serviço?

16) Um funcionário autônomo quer receber um valor líquido de R$1.600,00. Por quanto ele deve passar o orçamento do seu serviço, sabendo-se que sobre o valor do orçamento ele tem que recolher 2% de ISS.?

17) O salário-base de um funcionário é acrescido de 30% correspondentes a adicionais por tempo de serviço. Sobre esse total acrescido é calculado o desconto do INPS, de 9,5%, e o líquido é depositado em sua conta bancária e é correspondente a R$ 1035,00. Qual é o seu salário-base, quanto recebe de adicionais, e quanto desconta de INPS?

18) Um objeto comprado por R$ 2500,00, por quanto deverá ser vendido para que proporcione um lucro de 25% sobre o preço de venda?

19) Um objeto comprado por R$ 2500,00, por quanto deverá ser vendido para que proporcione um lucro de 25% sobre o preço de custo?

20) Uma instituição financeira exige 110% de garantias reais para emprestar seu dinheiro. Tenho um imóvel no valor de R$ 50.000,00 para oferecer como garantia. Qual o valor máximo que poderei tomar emprestado?

21) Em uma operação de LEASING de um veículo, o Banco do Brasil financia 70% do valor de um veículo. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 7.000,00, determine o valor total do veículo.


CAPÍTULO 2

JUROS SIMPLES

CAPÍTULO 2

JUROS SIMPLES


2.1 JUROS SIMPLES2.1 JUROS SIMPLES

No caso de bancos e financeiras, o produto é o dinheiro, ou os lucros e taxas que possam advir do mesmo.

Se você utiliza o dinheiro do banco (cheque especial, empréstimos, carteira hipotecária, etc), serão cobrados juros sobre esse dinheiro. Se, ao contrário, o banco é que utiliza o seu dinheiro (caderneta de poupança, investimentos, etc.) você é que receberá os tais juros.

Podemos definir juros como rendimento de uma aplicação financeira , valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema utiliza o sistema de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples mas é interessante entendê-la.

No sistema de capitalização simples , os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação.

2.2 ALGUNS TERMOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA2.2 ALGUNS TERMOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Os termos mais usados são:

Capital = o dinheiro em questão; Valor aplicado através de alguma transação financeira. Nas operações de crédito pode ser conhecido como Principal. Também pode ser tratado como Valor Atual, Valor presente ou Valor Aplicado.Note que o mais importante não é a maneira como ele é chamado, mas sim o fato de que é sobre ele que incidirão os encargos financeiros, também conhecidos como juros.

Capital inicial = o capital antes de decorrido um tempo determinado;

Capital final ou Montante = o capital depois de decorrido o tempo determinado. Montante é a soma do capital com os juros. Pode também ser chamado de valor futuro (capital empregado mais à soma dos juros no tempo correspondente).

Tempo = determinado período em que se modifica o valor do capital;

Lucro = Ganho obtido com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial;

Prejuízo = Perda obtida com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial;

Juros = Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de um capital; Juros representam a remuneração do capital empregado, seja pelo Banco seja pela Empresa. Quando você aplica um capital em algo, está tomando uma decisão de adiar um consumo, certo? Assim, você espera obter de alguma forma um prêmio por ter deixado de consumir e ter poupado. Esse prêmio é representado pelo juro que você recebe, caso aplique em um Banco ou empreste o dinheiro a algum amigo.

Taxa de juros = Taxa de juro percentual cobrada por intervalo de tempo.

2.3 JUROS SIMPLES2.3 JUROS SIMPLES

No caso de bancos e financeiras, o produto é o dinheiro, ou os lucros e taxas que possam advir do mesmo. Se você utiliza o dinheiro do banco (cheque especial, empréstimos, carteira hipotecária, etc), serão cobrados juros sobre esse dinheiro. Se, ao contrário, o banco é que utiliza o seu dinheiro (caderneta de poupança, investimentos, etc.) você é que receberá os tais juros.

De uma maneira geral o juro simples (J) produzido por um capital (C) a uma taxa de juro (i) por um prazo (n) é calculada assim:


J = C.i.n (Equação 1)

Exemplo: Você coloca seu dinheiro na poupança, digamos R$ 1.000,00. Após um mês qual será o juro a receber se a taxa é de 0,5% ao mês?

J = 1000 x

Logo, o banco lhe pagará R$ 5,00 para utilizar os seus R$ 1000,00 por 1 mês. Veja que a taxa de juros 0,5% foi colocada em sua forma fracionária.

2.4 CAPITAL, MONTANTE E JUROS2.4 CAPITAL, MONTANTE E JUROS

Capital : É o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros. Notação: C (capital) ou PV (valor presente)

Juros: É definido como remuneração atribuída ao capital empregado. Notação: J (juros)

Para o investidor é a remuneração do investimento. Para o tomador do "empréstimo" é o custo do capital obtido. São os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças ou novos investimentos na economia.

Montante: Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. O montante pode ser considerado como o valor final do capital aplicado sendo também chamado de valor futuro. Notação: M (montante) ou FV ( valor futuro)

M = J + C

J = M- C

Período : É o tempo de aplicação do capital. Notação: n (período)

Taxa de Juros : A taxa de juros é o coeficiente que remunera um capital num determinado período de tempo: dias, meses, anos, etc...

A taxa de juros é representada em porcentagem, sempre indicando a unidade de tempo a que se refere. Lembrando que ao ser utilizada nos cálculos, sempre deve ser transformada em decimal. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração mais conhecida como taxa de juros. As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:

a) O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação) representado pela incerteza com relação ao futuro.b) A perda do poder de compra do capital motivado pela inflação. A inflação é um fenômeno que corrói o capital,

determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo montante.c) Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este lucro é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimentos.

No cálculo da taxa de juros também deve haver homogeneidade entre taxa e tempo. Isto quer dizer: Se a taxa é dada ao mês, o tempo deve ser expresso em meses, se a taxa é apresentada ao ano, o tempo deverá ser em anos.


Exemplos:

1) Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado por um ano à taxa de juros de 25% a.a. Calcular os juros e o montante ganhos na aplicação.

2) Qual é a taxa de juros cobrada por um financiamento de R$ 1.000,00, a ser resgatado por R$ 1.600,00 ao final de 1 ano?

3) Um capital de 12.000,00 foi aplicado durante 3 meses produzindo um montante de 14.640,00. Qual a taxa trimestral de juros?

Simbologia:

PV Capital (C), principal, valor presente, valor na data zero, valor financiado. i Taxa de juros. J Juro.

n Tempo(t), número de períodos, quantidade de prestações. FV Montante, valor futuro, valor nominal de um título, valor de face. PMT valor de cada prestação, de cada depósito ou de cada parcela. $ unidades monetárias (qualquer moeda)

Equivalência de símbolos :

C (Capital) PV = Valor presente (Present value)M (Montante) FV = Valor futuro (Future value)i (taxa) i taxa (interest)t (tempo) n período

PMT = pagamentos (Payment)

2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Regimes de Capitalização: É a operação de adição dos juros ao capital. Existem dois tipos de regimes: simples e composto

Regime de Capitalização Simples

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas é necessário entender como funciona a capitalização no sistema de juros simples

O cálculo do juros é sempre feito sobre o capital inicial e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros.

A Taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial.Os Juros são iguais em todos os períodos considerados.


Exemplo: Um capital de 1.000,00 é aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a.a em regime de capitalização simples.

1o ano J= 1.000 x 0,1= 100

2o ano J= 1.000 x 0,1= 100

3o ano J= 1.000 x 0,1= 100

M= 1.000 + 300 = 1.300,00

100 100 100

1.000 1.300 Tempo 0 10% 1 10% 2 10% 3

Regime de Capitalização Composto

Juro gerado em cada período se agrega ao montante do início do período e essa soma passa a render juros no próximo período Juros sobre Juros.

Exemplo: Um capital de 1.000,00 é aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a.a em regime de capitalização composta.

1o ano 1.000 x 0,1= 100

M= 1.100

2o ano J= 1.100 x 0,1= 110

M= 1.210

3o ano J= 1.210 x 0,1= 121

M= 1.331

100 110 121

1.000 1.331 0 100 1 1100 2 1210 3

Diferenças entre os dois regimes

Exemplo: Suponha uma aplicação de R$ 100.000 durante 1 ano considerando uma taxa de juros de 30% at.

C = 100.000I = 30% a.tn = 1 ano

Juros Simples 4 trimestresJ1 = 100.000 x 0,3 = 30.000J2 = 100.000 x 0,3 = 30.000J3 = 100.000 x 0,3 = 30.000J4 = 100.000 x 0,3 = 30.000

Montante = 220.000


Juros Compostos 4 trimestresJ1 = 100.000 x 0,3 = 30.000M = 130.000J2 = 130.000 x 0,3 = 39.000M = 169.000J3 = 169.000 x 0,3 = 50.700M = 219.700J4 = 65.910,00M = 285.610,00

Análise:

No final do 1o trimestre os montantes se igualam. A partir do 2o trimestre os montantes diferem sendo cada vez maiores no sistema composto pelo fato dos juros compostos serem calculados sobre valores maiores do que juros simples.

Graficamente:

2.6 FÓRMULAS PARA JUROS SIMPLES2.6 FÓRMULAS PARA JUROS SIMPLES

Regime de Capitalização simples (Juros Simples)

O regime de capitalização simples ou regime de juros simples consiste em somar os juros ao capital uma única vez, no final do prazo contratado. Daí seu nome de capitalização simples. Nada impede que os juros sejam calculados, ou até colocados à disposição do investidor, parceladamente no decorrer desse prazo. Nesse caso, embora os juros sejam calculados periodicamente, em várias vezes, seu cálculo é feito sempre sobre o capital inicial e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que equivale a uma única capitalização, isto é, no regime de capitalização simples (juros simples), a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, e os juros são iguais em todos os períodos considerados.

Utilização dos Juros Simples

Operações de desconto; Remuneração de cobrança; Juros de mora de títulos de cobrança, de carnês, etc.

Obs: São utilizados também em operações comerciais como argumento de venda, pois, por esse regime, através de artifícios de cálculo, as taxas de lucro poderão parecer maiores e as taxas de juros menores. No mercado


financeiro é muito utilizado em descontos de títulos. Para todos os papéis de renda,sistema financeiro de habitação, crediários, utiliza-se o regime de capitalização composta.

Cálculo dos juros(Sua fórmula tem origem na porcentagem, acrescida do tempo)

Juros:

Montante:(é o capital mais juros)

Ou calculando diretamente:

Fórmulas derivadas:

Para determinar o Capital(Valor presente):

Para determinar a taxa de juros (i):

Para determinar o tempo (n):

J = C.i.nJ = C.i.n

M = C + JM = C + J

M = C (1+i.n)M = C (1+i.n)

C = C = C = M = C (1+i.n)

C = M = C (1+i.n)

i = i = i = M = C (1+i.n)

i = M = C (1+i.n)

n = n = n = M = C (1+i.n)

n = M = C (1+i.n)


Observações:

Lembrando que na fórmula dos juros e do montante é necessário que i e n sejam expressos em unidades compatíveis.( por exemplo, se i for taxa mensal, n deve ser o número de meses).

Embora a fórmula tenha sido deduzida para n inteiro, muitas vezes ela é utilizada para n fracionário.

Exemplo1: Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado a juros simples durante 5 meses, à taxa de 11% a.m.a) Obtenha os juros.b) Obtenha o montante. Exemplo 2:Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples durante um ano e meio, à taxa de 50% a.s.a) Obtenha os juros.b) Obtenha o montante.

Exemplo 3: Que capital aplicado a juros simples de 12% a.a. produziu em 5 meses, um rendimento de 5,00?

Exemplo 4: Qual a taxa de juros simples bimestral que, aplicada sobre R$ 6.000,00, por 2 meses, produz R$ 900,00 de juros?

Exemplo 5: Comprei uma mercadoria a prazo em uma loja nas seguintes condições: 1 08/06/00 21,73 2 08/07/00 21,73 3 08/08/00 21,73

Paguei a terceira prestação no dia 10/08/00. Sabendo-se os juros são de 6% a.m. e a multa por atraso é de 2% calcule:a) Quanto devo pagar de juros.b) Quanto devo pagar no dia 10/08/00.

Exemplo 6: Carnê de IPTU (Imposto Predial Territorial Urbano)

Caso haja atraso no pagamento das parcelas do carnê do IPTU, o pagamento em atraso incidirá em multa de 2% e juros de mora de 1% ao mês ou fração. Suponhamos que uma pessoa paga R$ 10,50 de parcela mensal que vence todo dia 10 de cada mês. Neste mês ocorreu o seguinte:

Data de vencimento: 10/02/2002 Data de pagamento: 15/02/2002

Qual foi o valor pago desta parcela?


Observação:

Lembrando que na fórmula dos juros e do montante é necessário que i e n sejam expressos em unidades compatíveis (por exemplo, se i for taxa mensal, n deve ser o número de meses).

Embora a fórmula tenha sido deduzida para n inteiro, muitas vezes ela é utilizada para n fracionário.

2.7 FLUXO DE CAIXA2.7 FLUXO DE CAIXA

O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas de dinheiro (desembolsos) nos caixas das empresas e nas finanças das pessoas. Essa circulação de valores é denominada , em seu conjunto, fluxo de caixa. Podemos representar em fluxo de caixa através do seguinte diagrama:

(+) (+) (+) (+)

0 1 2 3 4 5 ..............................n tempo

(-) (-)

É o conjunto de entradas e saídas do capital, dispostos ao longo do tempo.

Eixo horizontal: marca o tempo.

Entrada de dinheiro: indicado por setas perpendiculares ao eixo horizontal e orientadas para cima.

Saídas de dinheiro: indicadas da mesma forma com a orientação para baixo.

Muitos problemas de juros e montante tem sua resolução facilitada quando são representados por um diagrama de fluxo de caixa.

Exemplos:

1 Uma pessoa aplica 500.000,00 num banco e recebe 200.000,00 de juros após 12 meses.

Fluxo do ponto de vista do aplicador

700.000 entrada 0 12

500.000 saída


Ponto de vista do banco

500.000 entrada 12

0

700.000

saída

As receitas são sempre indicadas com setas voltadas para cima, seguidas do sinal positivo (+) e os desembolsos são sempre indicados com setas voltadas para baixo seguidas do sinal negativo (-). O eixo horizontal representa a linha do tempo iniciada a partir de uma data inicial (data zero); a unidade de tempo pode ser expressa em qualquer período (ano, mês, dia, etc).

Se imaginarmos uma situação em que inicialmente foi feito um investimento R$ 10.000,00 para a compra de equipamentos para a empresa e nos instantes 1,2 e 3 houve receita de R$1000,00, R$ 1500,00 e R$2000,00 respectivamente. Posteriormente houve outro investimento de R$2000,00 no instante 4 com nova receita de R$ 3000,00 no instante 5. Podemos representar esse fluxo na tabela abaixo ou pelo diagrama:

Instantes Entrada Saída0 100001 10002 15003 20004 20005 3000

R$1000 R$1500 R$2000 R$3000

0 1 2 3 4

R$10000 R$2000

2.8 CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS2.8 CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS

Conceito e Classificação das Taxas de Juros:

A taxa de juros pode ser definida como a relação entre o juros pago (ou recebido) no final do período e o capital inicialmente tomado (aplicado).

Assim se uma pessoa aplica R$ 1000,00 e recebe R$ 1300,00 no final de certo período, a taxa de juros será de 30% nesse período, ou seja, a relação entre os juros de R$ 300,00 recebido no vencimento do prazo combinado e o capital R$ 1000,00 inicialmente aplicado

Taxas Proporcionais

Duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos períodos de tempo a que se referem. Tomem-se, por exemplo, as taxas de 3% a.m. e 18% a.s. Essas


taxas são proporcionais, pois 3 é a sexta parte de 18 da mesma forma que o mês é a sexta parte do semestre.

Para obter proporcionalidade entre taxas devemos analisar o período dado entre as taxas

Esquema básico para determinação do valor das taxas

Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

OBSERVAÇÃO

Grandezas diretamente proporcionais

São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida à metade.

Exemplo : Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela:

Facilitando o entendiment

o

Facilitando o entendiment

o

dia Mês Bimestre Trimestre Semestre Ano

Se o período que quero é maior do que o período da taxa dada, multiplico a taxa pelo período correspondente.

Se o período que quero é menor do que o período da taxa dada, divido a taxa pelo período correspondente

Se o período que quero é maior do que o período da taxa dada, multiplico a taxa pelo período correspondente.

Se o período que quero é menor do que o período da taxa dada, divido a taxa pelo período correspondente


CADERNOS

R$

3 8,00

6 16,00

12 32,00

24 64,00

Grandezas inversamente proporcionais

Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta.

Exemplo: Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias?

VASILHAS LITROS

30 6

60 3

Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque.

As duas grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, isto é comum no cotidiano. A utilização da regra de três nos casos envolvendo proporcionalidade direta e inversa é de extrema importância para a obtenção dos resultados.


Exemplo:

Dada uma taxa de 30% a.t., determinar as taxas proporcionais mensal, semestral, bimestral e anual.

Taxas Equivalentes

Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzirem juros iguais, isto é, são aquelas que, aplicadas a capitais iguais, produzem juros iguais (e montantes iguais) em tempos iguais.

OBSERVAÇÃO: No regime de juros simples, as taxas proporcionais são equivalentes.

Exemplos :

1 Em juros simples, qual a taxa anual equivalente à taxa de 2,5% a.m.?

2 Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 30% a.a.?

3 Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 48% a.a.?

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Taxa Nominal : A taxa de juros contratada numa operação financeira chama-se taxa nominal. Assim se uma duplicata for emitida por R$ 10.000,00, diz-se que seu valor nominal é de R$ 10.000,00 porque esse é o valor que está escrito no título; e se em um contrato financeiro estiver escrito que o valor financiado é de R$ 50.000,00, esse é o valor nominal. Da mesma forma se em um título de crédito constar que o mesmo paga juros de 5% am, essa é a taxa nominal.

Essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva que é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente.

Taxa Efetiva: É a taxa calculada com base no valor efetivamente aplicado ou emprestado, ou seja, o valor colocado à disposição do banco ou do cliente na data da aplicação ou do contrato.

Em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros, a taxa nominal difere da taxa efetiva. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da taxa efetiva, como, por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas. Esses outros artifícios às vezes usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem maiores ou menores, conforme conveniência.

É obtida pela divisão dos juros pagos pelo valor do capital efetivamente colocado pelo banco à disposição da empresa na data do contrato.

Exemplos: 1 Um capitalista depositou R$ 200.000,00 num banco, a prazo fixo, por dois meses à taxa de 12% a.m. Sabendo

que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de Imposto de Renda, determinar:a) O valor dos juros.b) O Imposto de Renda retido.c) O valor líquido do resgate.d) A taxa efetiva mensal do rendimento.


2 Um vendedor ambulante oferece no portão, para uma dona de casa, um objeto pelo preço de R$ 180,00 à vista. Esclarece que se a compradora quiser, poderá pagar 5% a.m. a mais sobre o preço total para pagar em duas vezes, isto é, poderá pagar R$ 94,50 no ato da compra e R$ 94,50 após 30 dias. Qual a taxa mensal efetiva que esse vendedor está cobrando?

3 Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% am de juros simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa de juros efetiva que o tomador paga por empréstimo de 50.000 por 3 meses?

Considerações sobre contagem de tempo

São comuns no mercado financeiro as operações a curto prazo, em que o capital é investido por poucos dias, como acontece com aplicações no Open Market. Quando a operação é por um dia, chama-se overnight. Nas aplicações de overnight, em geral, as taxas variam diariamente, mas nas aplicações de open market, a taxa costuma ser prefixada para o período e em geral, expressa como mensal ou anual, e para se calcularem os juros, é necessário determinar antes a taxa diária equivalente.

1°) Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias e os meses com o número real de dias. Neste caso, os juros obtidos são chamados juros exatos.

2°) Considerando o ano comercial, com 360 dias e o mês comercial com 30 dias. Os juros obtidos neste caso, são chamados de juros comerciais.

Obs.: Por convenção, usam-se os juros comerciais, a não ser quando explícito o contrário.

Exemplos:

1 Calcular os juros comerciais e os juros exatos produzidos por um capital de R$ 500.000,00, aplicado à taxa de 270% a.a., durante 25 dias.

Tempo Exato e Tempo Aproximado

Quando se quer calcular os juros de um capital aplicado e se conhecem as datas de aplicação e de resgate, o tempo decorrido entre essas datas também pode ser contado de duas maneiras:

Tempo exato: quando se considera o número exato de dias contados no calendário.Tempo aproximado: quando se considera qualquer mês como tendo 30 dias.

Por convenção, sempre que são dadas duas datas, calcula-se o tempo exato e, nos demais casos, o tempo aproximado.

Chama-se Regra dos Bancos a convenção de se calcularem os juros comerciais para o tempo exato entre duas datas. Entre todas as sistemáticas, a Regra dos Bancos é a que proporciona os maiores juros em qualquer operação. Esses juros são chamados de juros bancários. Nos bancos e instituições financeiras, existem tabelas para facilitar a contagem de tempo entre as datas.

Exemplos

1 Calcular o tempo exato e aproximado entre 12 de Dezembro de 1999 a 20 de Fevereiro de 2000.

2 Calcular os juros de R$ 10.000,00, aplicado a 120% a.a. de 15 de Junho à 15 de Setembro do mesmo ano, considerando:a) Juros comerciais e tempo exato.b) Juros comerciais e tempo aproximado.c) Juros exatos e tempo exato.d) Juros exatos e tempo aproximado.


1) Um capital de 2.000,00 é aplicado À 12%ab durante um bimestre. Obtenha o juro e o montante

2) Qual o capital aplicado à taxa de 0,02%ad durante 1 dia, gera juros R$ 200.000,00?

3) Um capital de R$ 5.000,00, aplicado durante 1 ano, gerou juros de R$ 600,00, qual a taxa de juros nessa aplicação?

4) Um capital A de 1.000,00 é aplicado a juros simples e à taxa de 10% a.a. Um outro capital B de 900,00 é aplicado a juros compostos e à taxa de 12% a.a. A partir de quantos anos de aplicação, o montante produzido por B será superior ao produzido por A?

5) Dada uma taxa de 34,5% ao trimestre, determine as taxas proporcionais e equivalentes para:

a) um ano; b) um semestre; c) um bimestre; d) um mês;e) 17 dias; f) 2 meses e 7 dias.

6) Determine os juros simples correspondentes a uma aplicação de R$ 25.000,00 a 80% a.s., durante dois anos.

7) Qual a taxa mensal de juros simples necessária para um capital triplicar em um ano?

8) Uma loja vendeu um televisor de R$ 1.100,00 com uma entrada de R$ 500,00 e mais um pagamento de R$ 740,00 para 60 dias. Qual a taxa mensal efetiva de juros?

9) Calcular os juros produzidos por R$ 40.000,000 à taxa de 15% a.a. durante 125 dias.

10) Pedro emprestou R$ 8.000,00 à Carlos e recebeu R$ 2.520,00 de juros no final de 7 meses. A que taxa mensal foi emprestado o dinheiro?

11) Que capital produziu o montante de R$ 20.000,00 em 8 anos, a uma taxa de 12% a.a.?

12) Um capital de R$ 5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu R$ 1.839,96 de juros. Calcule a taxa.

13) Um vestido de noiva é vendido à vista por R$ 4.000,00 ou então por R$ 1.000,00 de entrada mais uma parcela de R$ 3.500,00 após 5 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

14) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 30% a.a., pelo prazo de 67 dias. Determine o juro comercial e o juro exato para essa aplicação.

15) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23


GABARITO EXERCÍCIOS 2GABARITO EXERCÍCIOS 2

1) J = 240 M = 2240

2) 1.000.000.000

3) 12%AA

4) A partir de 4 anos

5) a) 138%AA b) 69%as c) 23%AB d) 11,5%am e) 6,517%AP f) 25,68%AP

6) 80.000

7) 16,67%am

8) 11,67%am

9) 2083,33

10) 4,5%am

11) 10204,08

12) 0,317%ad

13) 3,33%am

14) JC = 1395,83 JE = 1376,71

15) 577 dias


CAPÍTULO 3

VALOR ATUAL E NOMINALDESCONTOS SIMPLES

CAPÍTULO 3

VALOR ATUAL E NOMINALDESCONTOS SIMPLES

3.1 VALOR NOMINAL E ATUAL3.1 VALOR NOMINAL E ATUAL

Valor Nominal e Valor Atual (ou Valor Presente)

Suponhamos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 1.300,00, que vença daqui a 3 meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples à taxa de 10% a.m. quanto ela precisará aplicar para poder pagar o título na data do vencimento?

Em situações como essa, costuma-se chamar o valor do título, na data do vencimento de valor nominal, o valor que, aplicado numa data anterior produz um montante igual ao valor nominal chama-se valor atual (ou valor presente).

De acordo com a definição:

Ou simplificando:

Assim o valor atual é R$ 1.000,00. Podemos verificar facilmente que aplicando R$ 1.000,00 durante 3 meses, a juros simples e a taxa de 10% a.m., obteremos R$ 300,00 de juros e um montante de R$ 1.300,00, que é o valor nominal.

Valor atual (Valor presente): É o valor do capital que aplicado a dada taxa e a dado prazo, nos dá um montante.

Observações:

O conceito de valor nominal e valor atual é válido não só para avaliar valores presentes de dívidas, mas também de ativos; por exemplo, se uma pessoa tiver uma letra de câmbio vencível dentro de 3 meses, o valor atual é quanto ela vale hoje (pode ser negociada hoje por esse valor).O valor atual pode ser calculado em qualquer data entre a data de vencimento e a da aplicação.

Exemplos:

1) Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% am e que faltam quatro meses para seu vencimento.

2) O valor nominal de um título é de R$ 50.000,00, sendo de 8 meses o prazo de seu vencimento. Considerando uma taxa de juros simples de 3% a.m., determine seu valor atual:

a) hoje;b) 3 meses antes do vencimento;c) daqui 2 meses.

N = A+A.i.n N = A+A.i.n

N = A(1+i.n) N = A(1+i.n)

3.2 DESCONTOS SIMPLES3.2 DESCONTOS SIMPLES

Descontos de Títulos de Créditos

No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas pessoas, tais movimentações geram ao credor um título de crédito, que é a justificativa da dívida. Esses títulos possuem datas de vencimento pré-determinadas, mas o devedor tem o direito de antecipar o pagamento; caso isto aconteça, um abatimento chamado de desconto é efetuado. Existem vários produtos utilizados nas operações financeiras, como principais temos:

A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal) e se quer determinar o seu valor atual.

O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor presente na data de operação. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo.

Embora seja freqüente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos: Enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial, no desconto a taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro.

Chama-se título de crédito um documento comprobatório de uma dívida. Exemplos de títulos de crédito são a nota promissória, a duplicata, as letras de câmbio, o cheque, a ação, os certificados de depósitos, as cadernetas de poupança entre outros.

Alguns títulos de crédito podem sofrer a operação de desconto que consiste em o portador resgatar o título antes do vencimento, recebendo por ele um valor menor do que aquele que receberia se aguardasse a data do seu vencimento.

Os títulos de crédito que podem ser descontados são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio. Esses títulos tem sempre um valor declarado, chamado valor nominal, que corresponde ao valor que pode ser recebido pelo título na data de vencimento, que também vem ali declarada.

A nota promissória é um documento muito comum entre as pessoas físicas, podendo também ser emitida por pessoa jurídica ou em favor de uma instituição. O devedor, assinando uma nota promissória, se declara devedor e se compromete a pagar seu credor uma quantia determinada numa data estabelecida. Constam obrigatoriamente na nota promissória, além da quantia a ser paga (valor nominal) e da data em que essa quantia será paga (data do vencimento), o nome e assinatura do devedor ou emitente e o nome do credor ou portador.

A duplicata é emitida por uma firma (pessoa jurídica) contra seu cliente (pessoa física ou jurídica) para quem vendeu mercadorias ou prestou serviços à prazo. A emissão da duplicata decorre da emissão de uma nota fiscal. O cliente assina a duplicata dando o seu aceite, isto é, declarando-se devedor daquela quantia e obrigando-se a pagá-la na data estabelecida. Devem constar na duplicata, além do valor nominal e da data de vencimento, os nomes do credor ou emitente e do devedor ou sacado, o aceite deste último e o número da nota fiscal correspondem às mercadorias vendidas ou aos serviços prestados.

A letra de câmbio é emitida por uma empresa, com aceite de uma sociedade de crédito, financiamento e investimento. É colocada no mercado com a finalidade de captar recursos para seram aplicados no próprio mercado em forma de financiamentos, pelos quais são cobradas taxas de juros maiores do que aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio. Constam da letra de câmbio, além do valor nominal e da data de vencimento, o nome do órgão emitente e o nome do seu titular ou credor.

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Quanto o portador de um título de crédito precisa de dinheiro, pode resgatá-lo antes de seu vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que procede a operação de desconto. Mas, ao resgatar o título antes do vencimento, o portador não recebe o valor total ali declarado. Esse valor, que é o valor final ou valor nominal N do título, sofre um desconto d que será tanto maior quanto maior for a antecipação de pagamento em relação à data de vencimento.

O valor- recebido pelo portador se diz valor atual do título. Representa a diferença entre o valo nominal e o desconto feito.

O desconto corresponde, assim, aos juros cobrados pelo banco pela antecipação do pagamento. Estudaremos aqui, o desconto simples, que se baseia na idéia de juros simples. Existem duas sistemáticas para se calcular o desconto de um título usando capitalização simples: a do desconto racional (ou desconto por dentro) e a do desconto comercial (ou desconto por fora).

Obs: Na prática, a grande maioria das operações é feita segundo o critério do desconto comercial (desconto por fora).

Desconto Simples:

Desconto simples é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações de desconto de duplicatas. Pode ser dividido em dois tipos : Desconto Racional ou “ Por Dentro” e Desconto Comercial ou “ Por Fora”.

Desconto Racional ou “ Por Dentro”:

Seja N o valor nominal de um título e V o valor atual (ou líquido) n períodos antes do vencimento. O desconto racional simples DR do título resgatado n períodos antes do vencimento é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

onde A é calculado pela relação:

Assim, o desconto por dentro pode ser calculado por:

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A = N -DA = N -D

DR = N - ADR = N - A

Exemplos:

1 Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 2% a.m. Qual o desconto racional?

2 O emitente de uma nota promissória de R$ 25.000,00, para daqui a 3 meses, propôs-se a pagá-la imediatamente se seu portador concordasse em calcular seu valor atual através de um desconto racional, à taxa de 8% a.m. O credor concordou. Quanto o devedor deverá pagar?

Desconto Comercial Simples ou "Por Fora"

Seja N o valor nominal de um título. O desconto comercial simples é o juro simples aplicado sobre o valor nominal, a uma taxa chamada taxa de desconto e durante um prazo igual ao de antecipação do resgate.

Indicando por DC o desconto comercial, por id a taxa de desconto e por n o número de períodos de antecipação, teremos:

O valor atual do título, é dado por:

ou

Exemplos:

1) Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 2.000,00 , com vencimento para 90 dias , à taxa de 2,5% am?

2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?

3) Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto simples de 2% a.m. Qual o desconto racional?

Observações:

Note que o valor atual no caso do desconto comercial é inferior ao valor atual no caso do desconto racional

Freqüentemente os bancos, ao efetuarem operações de desconto, cobram uma taxa de serviço para remunerar seus serviços administrativos. Tal taxa é expressa por uma porcentagem sobre o valor do título ou por um valor fixo do título.

Existe um imposto (IOF - Imposto sobre Operações Financeiras) que governo cobra toda vez que a empresa desconta duplicatas. Tal imposto é igual n 0,0041% a.d. sobre o valor do título, vezes o número de dias de antecipação, e é cobrado no ato do fechamento da operação.

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DC = N.id.nDC = N.id.n

A = N - DCA = N - DC A = N.(1 - id.n)A = N.(1 - id.n)

Exemplo:

Uma duplicata de valor igual a R$ 60.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é de 0,0041% a.d. sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título.

1) O valor nominal de um título é de R$ 897,00, sendo que seu vencimento ocorrerá daqui 10 meses e a taxa de juros é de 10% aa. .Determine o valor atual desse título:

a) Hoje b) 3 meses antes do vencimento c) daqui 8 meses

2) Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% am e que faltam 4 meses para o seu vencimento

3) Um título de 1.000,00 vai ser resgatado 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% a.m, pede-se o desconto racional

4) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 9.000,00 é descontada em um banco dois meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 5% am, pede-se:

a) O desconto comercial;b) A taxa efetiva de juros simples da operação.

5) Uma duplicata de valor igual a 12.000,00 foi descontada num banco, 48 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1% a.m. Obtenha:

a) O descontob) O valor líquido recebidoc) A taxa efetiva de juros no períodod) A taxa efetiva mensal de juros simples na operação

6) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a.

a) Qual o desconto bancário?b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de

serviço igual a 1% do valor nominal do título?

7) Uma duplicata de 8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado de 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m, obtenha o prazo de vencimento desse título.

8) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de 15.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou um imposto na data da operação (IOF) igual a 0,0041% a.d aplicado sobre o valor nominal do título.

9) Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento. Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. O banco A utiliza uma taxa de

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desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1%% a.m sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher?

10) Uma duplicata de R$ 70.000,00 com 90 dias a decorrer até seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,7% am. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.

11) Sabendo-se que o desconto comercial de uma duplicata no valor de R$ 25.000,00com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto

12) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00 que sofreu um desconto de R$ 548,50, à taxa de 32%aa


1. a) 828,03 b) 875,13 c) 882,3

2. 50.000

3. A = 925,93 DR = 74,07

4. a) A = 8100 DC = 900 b) 5,56%am

5. a) 403,2 b) 11596,8 c) 0,03475%AP d) 2,172%am

6. a) 3000 b) 86100

7. 2,84 meses

8. 13786,3

9. Banco A

10. 64330

11. 2,34%am

12. 63 dias

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CAPÍTULO 4

JUROS COMPOSTOS

CAPÍTULO 4

JUROS COMPOSTOS

4.1 JUROS COMPOSTOS4.1 JUROS COMPOSTOS

Juros Compostos

No regime de capitalização composta (juros compostos), os juros gerados em cada período se agregam ao montante do período anterior, passando esse novo montante a produzir juros no período seguinte.

O regime de juros compostos é mais comum do que o regime de juros simples, sendo utilizado nas principais operações financeiras, tanto investimentos como financiamentos.

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.

Consideremos um capital (C), uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos após n períodos de tempo.

O montante no fim de n períodos, chamado apenas de M (valor futuro), será:

Exemplo 1: Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação? A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.

Mês Capital Juros Montante

1 500,00 1% de 500 = 5,00 505,00

2 505,00 1% de 505 = 5,05 510,05

3 510,05 1% de 510,05 = 5,10 515.15

4 515,15 1% de 515,15 = 5,15 520,30

5 520,30 1% de 520,30 = 5,20 525,50

Início: C

M1 = C.(1+i) (montante após um período)

M2 =M1.(1+i) =C.(1+i)2

.

.

.Mn = Mn-1 .(1+i) = C.(1+i)n

Início: C

M1 = C.(1+i) (montante após um período)

M2 =M1.(1+i) =C.(1+i)2

.

.

.Mn = Mn-1 .(1+i) = C.(1+i)n

6 525,50 1% de 525,50 = 5,26 530,76

7 530,76 1% de 530,76 = 5,31 536,07

8 536,07 1% de 536,07 = 5,36 541,43

No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.

Na fórmula do montante M= C.(1+i)n, o fator (1+i)n, chamado de fator de acumulação de capital para pagamento único, pode ser calculado diretamente com uma calculadora ou através de tabelas financeiras.

Exemplo 1: Um capital de 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m.a) Qual o montante?b) Qual o total de juros auferidos?

C = 6.000 i = 2% a.m n = 3ma) M= 6.000 (1+0,02)3 = 6.000 (1,02)3 = 6.367,25b) J= 6.367,25 - 6.000,00= 367,25

Pela calculadora:

Exemplo 2: Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m, produz um montante de 3.500,00 após 1 ano?

M = 3.500i = 2,5% a.mn = 12 (n deve ser expresso na unidade da taxa)

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M = (1+i)n C.(1+i)=nN.id.nM = (1+i)n C.(1+i)=nN.id.n

Uma entrada de caixa é representada por um valor positivo e uma saída de caixa

por um valor negativo

Uma entrada de caixa é representada por um valor positivo e uma saída de caixa

por um valor negativo

3 n2 i6000 PVFV = -6367,25

3 n2 i6000 PVFV = -6367,25

3.500 = C (1.025)12

3.500 = C x 1,3449

Pela calculadora:

Exemplo 3: Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?

C: R$ 7.000,00 i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015 n: 1 ano = 12 meses

M = C * (1 + i)n

M = 7000 * (1 + 0,015)12 M = 7000 * (1,015)12

M = 7000 * 1,195618 M = 8369,33 O montante será de R$ 8.369,33.

Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.

Exemplo 4: Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?

M: R$ 15.237,43 n: 10 i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02

M = C * (1 + i)n 15237,43 = C * (1 + 0,02)10 15237,43 = C * (1,02)10 15237,43 = C * 1,218994 C = 15237,43 / 1,218994 C = 12500,00

O capital é de R$ 12.500,00.

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12 n2,5 i3500 FVPV = -2602,45

12 n2,5 i3500 FVPV = -2602,45

Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo)

Exemplo 5: Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89?

C: R$ 800,00 M: R$ 1.444,89 i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03 n: ?

1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)n

1.444,89 = 800 * 1,03n 1.444,89/800 = 1,03n 1,03n = 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos) log1,03n = log1,806 n * log1,03 = log1,806 n * 0,013 = 0,257 n = 0,257/0,013 n = 20

O capital deverá ficar aplicado por 20 meses.

Exemplo 6: Um capital de 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um montante de 3.500,00. Qual a taxa de juros no período?

Exemplo 7: Um capital de R$ 600.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 10% a.m.

a) Qual o montante?b) Qual o total dos juros auferidos?

Exemplo 8: Qual o capital que, aplicado à taxa de 11% a.a , a juros compostos produz um montante de R$ 35.000,00, após 12 anos?

4.2 JUROS COMPOSTOS – PERÍODOS NÃO -INTEIROS4.2 JUROS COMPOSTOS – PERÍODOS NÃO -INTEIROS

Exemplo 1: Um capital de 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3,5 meses à taxa de 8% a.m. Qual o montante pela convenção exponencial?

M = 1.000 (1,08)3,5 = 1.309,13

Exemplo 2: Uma empresa recebeu um empréstimo para capital de giro, no valor de 30.000,00 para pagamento em56 dias. O banco cobrou juros compostos a uma taxa de 52% a.a. Qual o montante?

Sendo a taxa dada ao ano, o valor de n (em anos) é dado por:

M = 30.000 (1,52)56/360 = 32.019,02

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4.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS4.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS

Os conceitos emitidos para taxas proporcionais e taxas equivalentes no regime de juros simples são os mesmos para o regime de juros compostos. No entanto, enquanto no regime de juros simples as taxas proporcionais e as taxas equivalentes se confundem, favorecendo muitas vezes até uma identidade entre esses dois conceitos, no regime de juros compostos a diferença entre os conceitos é essencial, pois as taxas proporcionais não são equivalentes e fazem capitais iguais em tempos iguais produzirem montantes diferentes.

Exemplo 1: Três investidores A, B e C, tinham cada um R$ 10.000,00 para aplicar. A aplicou o dinheiro a uma taxade 120% a.a., B aplicou a 60% a.s. e C aplicou a 10% a.m. Quais os montantes de cada um dos investidores depoisde decorrido um ano?

Vê-se nesse exemplo que, embora as taxas 120% a.a., 60% a.s. e 10% a.m. sejam duas a duas proporcionais, quando forem aplicadas sobre capitais iguais, por prazos iguais, produzirão montantes diferentes, sendo tanto maior o montante quanto maior for o número de capitalizações ocorridas durante o ano. Sendo assim, o cálculo de taxas equivalentes, no regime de juros compostos não se restringe a uma simples proporção como ocorre no regime de juros simples.

Exemplo 2: O capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de 10% a.m. produziu o montante de R$ 31.384,28 no fim de um ano. Qual a taxa semestral capaz de fazer esse mesmo capital produzir esse mesmo montante nesse mesmo espaço de tempo?

Duas taxas são equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e o mesmo período de tempo geram o mesmo montante.

Fórmula para determinar taxa equivalente a juros compostos

onde:

ie = taxa equivalente procuradait = taxa que eu tenhonq = período da taxa que eu queront = período da taxa que eu tenho

Calculando a taxa de juros da aplicação.Podemos ter duas formas de resolução

Exemplo 1: Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?

C: R$ 8.000,00 M: R$ 10.145,93 n: 12 i: ?

1)i1(i ntnq

te

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RESOLUÇÃO 1 RESOLUÇÃO 2

A taxa de juros da aplicação foi de 2%.

Exemplo 2: Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?

Exemplo 3: Qual a taxa mensal equivalente a 15% a.a.?

Exemplo 4: Qual a taxa anual equivalente a 8% ao trimestre

Exemplo 5: Determine a taxa equivalente

De: Para:a) 35,0% ao ano .......% ao mêsb) 46,5% ao mês .......% ao trimestrec) 2,5% ao mês .......% ao dia

4.4 TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS4.4 TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS

Em algumas operações financeiras, as taxas de juros são expressas em uma unidade temporal, mas capitalizadas

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em outra. Uma taxa de juros é efetiva quando sua unidade temporal coincide com os períodos de capitalização.

Exemplos: 17% aa capitalizados anualmente3% ab capitalizados bimestralmente12% as capitalizados semestralmente

Por outro lado, uma taxa de juros é nominal quando sua unidade temporal não coincide com a unidade de capitalização.

Exemplos:

17%aa capitalizados semestralmente5% at capitalizados mensalmente1,5% am capitalizados diariamente

As taxas nominais devem trazer em seu enunciado a unidade temporal da taxa e da capitalização. Embora sejam bastante utilizados no mercado, as taxas nominais não são taxas efetivas, razão pela qual não devem ser utilizadas diretamente nos cálculos financeiros. As taxas nominais precisam ser convertidas em taxas efetivas e posteriormente operadas.

Para calcularmos uma taxa efetiva a partir de uma taxa nominal, devemos fazer a transformação no regime de juros simples.

Quando expressa na mesma unidade de tempo, a taxa efetiva é sempre superior à taxa nominal que lhe deu origem.

Para transformar uma taxa nominal em efetiva, basta dividir a taxa pela unidade de capitalização pois a transformação é no regime de juros simples.

Exemplo:

17% aa capitalizados semestralmente

i = taxa efetiva semestral

taxa efetiva anual

Exemplo de Aplicação : Taxa de Juros da Poupança

A caderneta de poupança, além da atualização monetária, paga juros de 6% a.a capitalizados mensalmente.a) Qual a taxa nominal de juros pagos pela caderneta poupança?b) Qual a taxa efetiva mensalc) Qual a taxa efetiva anual

a) 6% a.ab) 6/12 = 0,5% a.mc) ief = (1 + 0,005)12 - 1 = 6,17% a.a

Note: A Taxa efetiva de 6,17% a.a é maior que a Taxa nominal 6% a.a, já que a equivalência é feita em

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juros compostos

4.5 TAXA REAL DE JUROS4.5 TAXA REAL DE JUROS

Quando se diz que a taxa de inflação anual foi de 20% isto não significa que todos os produtos tiveram preços que subiram 20% mas sim que a média ponderada dos aumentos de preços de alguns produtos foi de 20%. Assim alguns produtos podem ter subido 15% e outros 25%.

Se alguém aplicar um capital por um ano à taxa de 15% a.a e a inflação no mesmo período foi de 20%, seu ganho nem sequer conseguirá repor o poder aquisitivo do dinheiro aplicado. Numa época de inflação elevada quem consegue aplicar a taxas de juros superiores às taxas de inflação se beneficia, mas quem aplicar à taxas inferiores acabam se prejudicando.

A Taxa Real de Juros pode ser raciocinada da seguinte forma:

O montante em juros compostos para um período é dado por:

Se no mesmo período a inflação for F , o capital C corrigido monetariamente pela inflação será:

Dessa forma o ganho real é dado por:

que poderá ser positivo, negativo ou nulo.

A taxa real de juros (r) é o ganho real expresso como porcentagem do capital corrigido, logo :

Então, a taxa real fica:

Se i = F r = 0 (taxa real nula)Se i > F r > 0 (taxa real +)Se i < F r < 0 (taxa real -)

Exemplo 1: Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período a taxa deinflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?

)i1(CM1

)F1(CM1

1)F1(C

)i1(C1

M

M

M

MMr

2

1

2

21

1)F1(

)i1(r

47

Ganho Real = M1 – M2Ganho Real = M1 – M2

i = 22%F = 12%

r = 0,00899 ou 8,93% a.a = Taxa real positiva.

Exemplo 2: Um capital foi aplicado por 6 meses à uma taxa de 7% a.s, no mesmo período a taxa de inflação foi de9%. Qual a taxa real da aplicação

i = 7%

F = 9%

r = -0,0183 - -1,83% a.s. A aplicação teve uma perda real de 1,83% a.s.

Observação: É muito comum haver confusão entre taxa efetiva e taxa real. O correto é dizermos que a taxa real é a taxa efetiva excluída dos efeitos inflacionários.

Exemplo 3: Foi emprestado um capital, à taxa de 26,83% a juros e correção monetária. Sabendo-se que a inflaçãoneste período foi de 23,79%, calcular a taxa real.

4.6 ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA4.6 ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA

No Brasil, principalmente num passado recente, vigoraram taxas de inflação bastante elevadas e com valores imprevisíveis a médio e longo prazo. Dessa forma, ficou praticamente impossível um contrato entre duas partes ser regido por taxas de juros prefixados. O mecanismo utilizado nestes contratos foi o de combinar valores corrigidos monetariamente por algum indexador.

A criação da correção monetária ocorreu em meados de 1960 sendo a variação da ORTN (Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional) utilizado como indexador. Tais correções foram instituídas por lei para correções de débitos fiscais, saldos de financiamento de imóveis, aluguéis, etc.

Em fevereiro de 1991, em seguida ao Plano Collor, foi criada a TR (Taxa Referencial). Tal taxa foi criada visando dar uma medida para a expectativa da inflação. A partir de taxas médias de aplicações financeiras prefixadas, eliminando-se a taxa real embutida obtém-se a TR.

Esta taxa é determinada pelas autoridades monetárias e não é um valor constante para todos os meses mas sim variável de acordo com uma séria de circunstâncias. Atualmente, os valores da TR são dados diariamente sendo a taxa válida de um dia do mês até o mês seguinte.

Os indexadores mais utilizados atualmente são a TR, o IGP-DI, o IGP-M e o INCC.

Cadernetas de Poupança

Foram criadas em 1964 para captação de recursos destinados basicamente para o financiamento de imóveis.Hoje em dia, as Cadernetas de Poupança têm rendimentos mensais (da data de aplicação até o mesmo dia do mês seguinte). Os rendimentos são dados por uma taxa real de 0,5% a.m mais correção monetária dada pela TR do período considerado. Os rendimentos são isentos de tributação.

Assim se c for o capital aplicado, t a taxa de correção e i a taxa de juros do período, o montante será:

)i1)(t1(CM

48

Sendo a taxa real i = 0,5% a.m para poupança, o montante fica:

Exemplo 1: Uma pessoa aplicou 3.000,00 numa caderneta de poupança.

a) Qual seu montante 30 dias depois sabendo que a TR neste período foi de 0,7%?b) Qual seu montante 60 dias após a aplicação inicial sabendo que a TR dos últimos 30 dias foi de 0,4%?c) Qual a taxa efetiva de juros no período de 60 dias?

a) M = 3.000(1,007)(1,005) = 3.036,11

b) M = 3.036,11(1,004)(1,005) = 3.063,49

c)

Exemplo 2: Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com R$ 8.000,00. Qual o seu montante, sabendo-se que a correção monetária foi de 0,86% ?

Taxas Unificadas

Unificar as taxas não é simplesmente somá-las. Para unificarmos as taxas temos a seguinte fórmula:

Onde:

Iu = Taxa unificada (rendimento total)t = Índice de Atualização (correção monetária)i = Taxa fornecida (taxa real)

Exemplo 1: Os rendimentos de uma poupança qualquer rendem 0,5% am, mais índice de atualização que varia de acordo com a data de aniversário da poupança. Suponhamos que para dia 20/07 o índice de atualização seja de 0,8%. Qual será o rendimento total?

Exemplo 2: Suponhamos que para a mesma caderneta de poupança em uma outra data de aniversário, o índice de atualização seja de 0,76%. Qual será o rendimento?

4.7 VALOR NOMINAL E ATUAL EM REGIME COMPOSTO4.7 VALOR NOMINAL E ATUAL EM REGIME COMPOSTO

)005,1)(t1(CM

1)i1)(t1(Iu

49

Esses conceitos são análogos aos vistos em juros simples. Valor nominal de um titulo (N) é o seu valor na data do seu vencimento. Valor atual (V), numa data anterior ao vencimento, é o valor que aplicado (a juros compostos) a partir dessa data, até a data de vencimento produz um montante igual ao valor nominal, isto é:

onde n é o número de período entre as duas datas.

Exemplo 1: Um título tem valor nominal igual a R$ 10.000,00. Qual o seu valor atual 3 meses antes do vencimento, sabendo-se que i= 2% a.m.?

4.8 COMPRA À VISTA E COMPRA À PRAZO4.8 COMPRA À VISTA E COMPRA À PRAZO

Caso tenhamos que escolher entra pagar à vista ou a prazo, devemos calcular o valor atual da alternativa a prazo e comparar com o preço à vista. A melhor alternativa é a que produz o mínimo entre os valores comparados, também chamado "preço econômico".

Exemplos:

Exemplo 1: O que é melhor para o comprador, pagar um produto por R$ 500,00 dentro de 2 meses ou à vista com 25% de desconto? Suponha que a taxa de juros do mercado seja de 15% a.m.

Exemplo 2: Um equipamento é vendido por R$ 500,00 para pagamento daqui a 2 meses. À vista há um descontode 20%. Qual a melhor opção de pagamento, se a taxa de juros do mercado for de 10% a.m.?

Exemplo 3: Um produto é vendido por R$ 400,00 para pagamento daqui a 2 meses ou por R$ 350,00 se o pagamento for daqui a um mês. Qual a melhor alternativa de pagamento se a taxa de juros do mercado for de 15%a.m.?

Exemplo 4: Resolva o exercício anterior, considerando uma taxa de juros compostos de 10% a.m.?

n)i1(AN

n)i1(

NA

50

1) Determinar o valor do resgate de um investimento de R$ 20.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 3,2% am por um prazo de 4 semestres

2) Calcular o investimento necessário para se produzir um montante de R$ 43.000,00, a uma taxa de juros de 16,5% aa, daqui 187 dias. Fazer os cálculos considerando juros comercial.

3) Determinar o prazo necessário para um capital triplicar, a uma taxa de 25%aa4) Qual é a taxa semestral de juros que produz um montante de R$ 79.000,00 a partir de um

investimento de R$ 50.000,00 no final de 10 anos?5) Em juros compostos , o que é preferível: aplicar um capital por um ano à taxa de 26% aa ou à

taxa de 2,1% am?6) Um fogão é vendido à vista por 600 ou então à prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada,

mais uma parcela de 550 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostso do financiamento

7) Um banco vendeu títulos de sua emissão por R$ 98.500,00. O título vence em 100 dias, com valor de resgate de R$ 100.000,00. Determinar a taxa anual da operação

8) Uma pequena empresa deseja reestruturar suas dividas. Atualmente ele tem três obrigações nos valores de 30.000,00, 50.000,00 e 80.000,00 com vencimentos em 50,70 e 90 dias, respectivamente. Ela deseja trocar os três pagamentos por um único daqui a 120 dias. Determinar o valor desse pagamento sabendo que a taxa de juros de mercado é 30% aa


1) 39.720,602) 4,92 anos3) 2,31% as4) Preferível 2,1% am5) 7,04% am6) 5,67% aa7) 165.194,10

51

TAXA NOMINAL E EFETIVA - TAXA REAL - CADERNETA DE POUPANÇA

1) Um investidor aplicou 8.000 num CDB prefixado de 30 dias. Sabendo-se que a taxa bruta foi de 19% aa, pede-se:

a) O montante líquidob) O imposto de renda sabendo que é igual à 20% do juroc) O montante líquidod) A taxa liquida no período

2) Uma dívida de 80.000 vence daqui à 5 meses. Considerando uma taxa de juros de 1,3% am, obtenha seu valor atual nas seguintes datas:

a) hojeb) daqui 2 mesesc) 2 meses antes do vencimento

3) Quanto devo aplicar hoje à juros compostos e à taxa de 1,5% am para fazer frente a um compromisso de 27.000 daqui 2 meses?

4) Um equipamento é vendido por 50.000 para pagamento daqui 2 meses. À vista há um desconto de 3,5%. Qual melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,8% am?

5) O que é melhor para o comprador: Pagar um valor daqui 45 dias ou pagar à vista com 3% de desconto? Suponha que o comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,3% am

6) Rogério possui um titulo de dívida com vencimento daqui 6 meses, de valor nominal igual a 85.000. Ernesto propõe-lhe a troca por um título vencível daqui 3 meses de valor igual a 75.000. Sendo de 4% am a taxa de juros composto, verifique se a troca é vantajosa para Rogério

7) Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 480% aa, com período de capitalização semestral

8) Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 35% aa, capitalizada mensalmente?

9) Um capital de 5.000 é aplicado durante 8 meses à juros compostos, à taxa de 36% aa capitalizados

52

mensalmente. Qual o montante?

10) Um banco concede empréstimos pessoais cobrando juros compostos à taxa de 20% as, com capitalização trimestral.Qual o montante a ser pago por um empréstimo de 6.000 pelo prazo de 9 meses?

11) A taxa de juros para aplicações em 60 dias num banco é de 4,2% a.b. Qual a taxa real de juros que recebe um aplicador nas hipóteses de inflação no período.

a) 3% b) 4% c) 5%

12) A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40% a.a. Determinar a taxa real de juros, se a taxa de inflação resultar em 15% no mesmo período.

13) Um mega cliente de uma agência bancária fez uma aplicação de 2.000.000 a taxa de 36% a.m capitalizada diariamente. Determine o montante a ser resgatado pelo cliente ao final de 5 dias.

14) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com 15.000,00. Obtenha o montante um mês depois, supondo ausência de saques e admitindo as seguintes taxas de correção:

a) 0,3% b) 0,6% c) 0,9%

15) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com 12.000,00. 15 dias depois efetuou um saque de 3.000,00. Qual seu montante após aplicação, sabendo-se que a taxa de correção no período foi de 0,88%?

16) Calcule o rendimento da poupança em 27/03 sabendo que o índice de atualização foi de 9,0334%.

17) Quanto renderá a poupança dia 09/03 cujo índice de atualização está fixado em 8,2281%?

18) Um título de valor nominal 5.000,00 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa composta de 2,5% a.m. Calcule o valor líquido do título (desconto racional).

19) Um título de valor nominal igual a 2.000,00 é registrado 3 meses antes do vencimento, segundo o critério de desconto comercial composto. Se a taxa de desconto for de 3,5% a.m, qual o desconto e o valor descontado?


1) a) 8.116,81 b) 23,36 c) 8.903,45 d) 1,17%

2) a) 74.996,8 b) 76.959,4 c)77.959,87

3) 104.115,08 4) à prazo 5) à vista 6) Sim

7) 1056% aa 8) 9,02% at 9) 6.333,85 10) 7.986,00

11) a) 1,17% ab b) 0,19% ab c) –0,76% ab

12) 21,74% aa

13) 2.123.000 14) a) 15.120,225 b) 15.165,45 c) 15.210,675

15) 9.124,6 16) 9,5786% 17) 8,769%

18) 4.642,99 19) 1797,26 / 202,74

53

54

CAPÍTULO 5

SÉRIES DE CAPITAIS

CAPÍTULO 5

SÉRIES DE CAPITAIS

5.1 SÉRIES DE CAPITAIS5.1 SÉRIES DE CAPITAIS

Um fluxo de caixa uniforme é aquele que contém os cinco elementos financeiros básicos: valor presente, valor futuro, tempo, taxa de juros e prestações. Uma anuidade ou série é um conjunto de prestações positivas (entrada de caixa) ou negativa (saída de caixa), periódicas e constantes.

As anuidades podem ser finitas (quando ocorrem durante um período de tempo) ou infinitas (quando ocorrem para sempre, perpetuidades).

As anuidades podem ser postecipadas ( sem entrada) ou antecipadas ( com entrada).

As anuidades podem ser diferidas ( prazo de carência para a primeira prestação) ou imediatas ( sem período de carência para a primeira prestação).

As anuidades estão presentes em muitas situações de nosso cotidiano como, planos de poupança, financiamentos, pensões, pagamentos mensais de aluguel, recebimento de salários mensais, etc.

Na prática esses conjuntos apresentam características como periodicidade, uniformidade, crescimento ou decrescimento. Existem várias opções no caso de venda a prazo e prestações(parcelas) iguais. Veremos a seguir vendas a prazo com entrada, sem entrada, sem entrada com prazo de carência.

Na calculadora:

PV (Present Value) = Valor Atual (A)PMT (Payment) = Valor de cada capital (PMT)i = Taxa de jurosn = Número de períodos referente à unidade de tempo da taxa ou

número de pagamentos

5.2 PRESTAÇÕES MENSAIS IGUAIS SEM ENTRADA (POSTECIPADAS)5.2 PRESTAÇÕES MENSAIS IGUAIS SEM ENTRADA (POSTECIPADAS)

Sequência Uniforme

Considere a seqüência de capitais y1 , y2 , ... , yn nas datas 1,2,3,...,n (mês, semestre, ano, etc). Esse conjunto constitui uma seqüência uniforme se:

isto é, se todos os capitais forem iguais à um valor PMT.

PMT PMT PMT PMT

Termos Postecipados

0 1 2 3 n

O valor atual (na data zero) da seqüência uniforme, à uma taxa de juros i é:

PMT =yn = ... = y2 = y1

Para um valor alto de n, teremos um processo demorado. Utilizando progressão geométrica e outros artifícios da matemática, temos:

O fator a n i = é chamado fator de valor atual e pode ser indicado pelo símbolo a n i (lê-se: a, n,

cantoneira i), assim:

Observação: a n i pode ser calculado pela fórmula, calculadoras ou tabelas financeiras. Chama-se fator ou coeficiente de financiamento em prestações iguais ao número que multiplicado pelo valor financiado dá o valor da prestação. O uso de fatores ou coeficientes é largamente utilizado pelas financeiras visando dar rapidamente o valor das prestações.

No caso de pagamentos sem entrada temos:

a n i = (Fator que multiplicado por PMT, determina PV).

(Fator que multiplicado por PV, determina PMT).

Esses fatores podem ser encontrados em tabelas de dupla entrada, para cada valor de n e de i. A tabela que contém os fatores chama-se tabela PRICE.

Para determinar as prestações:

n32

n32

)i1(

1...

)i1(

1

)i1(

1

)i1(

1PMTPV

)i1(

PMT...

)i1(

PMT

)i1(

PMT

)i1(

PMTPV

i.)i1(

1)i1(PMTPV

n

n

1)i1(

i.)i1(.PVPMT

n

n

56

PV = PMT a n i PV = PMT a n i

Exemplo 1: Qual o valor mensal de uma compra de R$500,00 com taxa de 8% a.m., sem entrada?

Uso da HP-12C

ON G END500,00 CHS PV

8 i 6 n

PMT 108,16

Exemplo 2: Um cliente quer pagar um produto de R$ 900,00 em 12 vezes iguais. Quais as formas de pagamento possíveis, se a taxa é de 6,5% am.?

Exemplo 3: Um eletrodoméstico, cujo preço à vista é R$ 680,00, está sendo vendido com uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais postecipadas , com juros de 5,5% a.m. De quanto serão a entrada e as prestações?

Exemplo 4: Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais iguais de 55,00, vencendo a primeira parcela um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m. Qual seu preço à vista? (Use a tabela de coeficientes)

Exemplo 5: Um eletrodoméstico é vendido à vista por R$ 182,17, ou então em 4 parcelas mensais iguais, vencendo a primeira 30 dias após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m. Qual o preço das parcelas?(Use a tabela de coeficientes)

Exemplo 6: Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 3.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% a.m., determine o valor de cada prestação.(usando a tabela).

Exemplo 7: Sabendo-se que as parcelas do exercício anterior são de R$ 283.68, determine o valor financiado, utilizando a tabela.

5.3 PRESTAÇÕES MENSAIS IGUAIS COM ENTRADA (ANTECIPADAS)5.3 PRESTAÇÕES MENSAIS IGUAIS COM ENTRADA (ANTECIPADAS)

Se os capitais estiverem nas datas 0,1,2, ... , (n-1), a seqüência é chamada de termos antecipados

PMT PMT PMT PMT PMT

Termos Antecipados

0 1 2 3 n-1

Seu valor atual será :

57

PV = PMT + PMT a n-1 i PV = PMT + PMT a n-1 i

Observação: a n i é um fator que multiplicado por PMT (parcelas) determina o PV (valor financiado) e 1 / a n i é um fator que multiplicado por PV (valor financiado) determina PMT (valor das parcelas)

Exemplo 1: Um eletrodoméstico é vendido à prazo em 4 pagamentos mensais e iguais de 550,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% am, qual o preço à vista?

Na calculadora financeira:

O sinal negativo obtido indica que o valor presente é uma saída de caixa , isto é, do ponto de vista do financiador, o valor financiado é saída de caixa e as prestações são entradas de caixa, portanto positivas. Caso tivéssemos usado PMT negativo, obteríamos PV positivo, que seria o ponto de vista do tomador de empréstimos.

Exemplo 2: Um eletrodoméstico é vendido à vista por 182,17 ou em 4 parcelas mensais iguais, vencendo a primeira 30 dias após a compra. Se a loja opera à uma taxa de juros de 8% am. Qual o preço das parcelas?

Exemplo 3: Um automóvel usado é vendido à vista por 30.000 mas pode ser vendido à prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% am, obtenha o valor de cada prestação.

Na calculadora financeira:

Exemplo 4: Um terreno é vendido à vista em 4 prestações mensais e iguais de 150.000 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for de 4% am, qual o preço à vista?

Pela Calculadora Financeira:

58

4 n5 i550 PMTPV = -1950,27

4 n5 i550 PMTPV = -1950,27

12 n2 i30.000 PVPMT = - 2836,79

12 n2 i30.000 PVPMT = - 2836,79

3 n4 i150.000 PMTPV = -416.263,66 + 150.000 = 566.263,66

3 n4 i150.000 PMTPV = -416.263,66 + 150.000 = 566.263,66

Observação: Problemas como esse(pagamentos antecipados) – usar modo BEGIN (Tecla BEG da calculadora)

Caso os pagamentos sejam postecipados , deve-se eliminar o BEGIN do visor e isso é feito com a tecla END.

Exemplo 5: Uma calculadora é vendida à vista por 160,00 ou à prazo em 4 prestações mensais iguais de 45,49 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a taxa de juros do financiamento?

Pela calculadora financeira:

Exemplo 6: Uma instituição financeira realiza financiamento de veículos em 20 prestações mensais de 2407,28 cada uma. Se o valor do financiamento for de 30.000, qual a taxa de juros cobrada?

OBSERVAÇÃO: Ocorrem situações em vendas a prazo na qual o comprador só começa a pagar após um período de carência. Exemplo: É muito comum nos anúncios “ compre hoje e só comece a pagar daqui 60 dias”

5.4 SEQUÊNCIA UNIFORME DIFERIDA5.4 SEQUÊNCIA UNIFORME DIFERIDA

Ocorre situações de venda à prazo com período de carência. A seqüência uniforme diferida é toda seqüência de capitais nas datas (m + 1), (m + 2), ... , (m+n), na qual todas as parcelas são iguais.

PMT PMT ... PMT

0 1 .... .... m m+1 m+2 m+n

Procedimento:

Calculamos o capital Vm na data m (valor atual)

Calculamos o capital V (na data zero) equivalente a Vm

m

i]n

mm

)i1(

a.PMT

)i1(

VPV

59

BEGIN4 n4 i150.000 PMTPV = - 566.263,66

BEGIN4 n4 i150.000 PMTPV = - 566.263,66

4 n160 PV-45,49 PMTI = 5,3507% am

4 n160 PV-45,49 PMTI = 5,3507% am

Vm = PMT a n i Vm = PMT a n i

onde: m= carência e n = quantidade de parcelas

Para o cálculo do PMT quando existe período de carência, temos as seguintes fórmulas:

Exemplo 1: Um terreno é vendido à vista por 5.000 ou à prazo em 6 prestações mensais iguais vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juro for de 2% am, qual o valor de cada prestação?


Exemplo 2: Um conjunto de sofá é vendido à vista por R$ 600,00 ou a prazo em 4 prestações mensais iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra (2 meses de carência, isto é , a primeira prestação vence daqui a 3 meses). Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento é de 8% a.m.?

Exemplo 3: O preço à vista de um carro é R$ 17.600,00. No entanto há plano de venda a prazo em que exige 30% de entrada, financiando o saldo em 24 prestações mensais iguais e com 3 meses de carência, isto é, a 1ª prestação vence daqui a 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros é de 1,5% a.m., determine o valor das prestações.

Exemplo 4: Um carro é vendido por R$ 5.280,00 de entrada, mais 24 prestações mensais de R$ 643,16, vencendo a 1ª parcela daqui 4 meses (período de carência = 3 meses). Determine o valor do carro à vista.

5.5 CONSTRUÇÃO DA TABELA DE COEFICIENTES PARA PAGAMENTOS COM ENTRADA, SEM ENTRADA E COM5.5 CONSTRUÇÃO DA TABELA DE COEFICIENTES PARA PAGAMENTOS COM ENTRADA, SEM ENTRADA E COM PERÍODO DE CARÊNCIAPERÍODO DE CARÊNCIA

Determinando os coeficientes para pagamentos parcelados com entrada:

Exemplo 1: Construir uma tabela de coeficientes para i = 5% a.m., para determinar o valor parcelado(PMT), com entrada considerando:

n =1

in

m

a

)i1.(PVPMT

1)i1(

i.)i1(eCoeficient

n

1n

60

2 n2 i5000 PVFV = -5202

2 n2 i5000 PVFV = -5202

5202 PV6 n2 iPMT = -928,69

5202 PV6 n2 iPMT = -928,69

n = 2n = 3

Determinando os coeficientes através da HP-12C.

Obs: Neste caso PMT vai te dar o valor do coeficiente.

Determinando os coeficientes para pagamentos parcelados sem entrada:

Exemplo 2: Construir uma tabela de coeficientes para i = 15% a.m., para determinar o valor parcelado(PMT), sem entrada considerando:

n =1n = 2n = 3

Determinando os coeficientes através da HP-12C

Importante:Se no visor da calculadora aparecer BEGIN, tecle G END. Neste caso PMT vai te dar o valor do coeficiente.

Determinando Coeficientes para calcular prestações com períodos de carência:

i ]n

m

a

)i1(eCoeficient

61

G BEG1 CHS PVniPMT

G BEG1 CHS PVniPMT

COEFICIENTE = 1/ a n i COEFICIENTE = 1/ a n i

1 CHS PVniPMT

1 CHS PVniPMT

Exemplo 3: Construir uma tabela de coeficientes para i = 5% a.m., para determinar o valor parcelado(PMT), com período de carência considerando:

n =1, m = 1(Pagamento daqui 2 meses)

n = 2, m=2 ( 1º pagamento daqui 3 meses)

n = 3, m=3 ( 1º pagamento daqui 4 meses)

Com os coeficientes calculados acima, monte a seguinte tabela de coeficientes, considerando 3 parcelas mensais com entrada, sem entrada e com carência, considerando taxa de juros de 5% a.m.

Prestações (n) Com entrada Sem entrada Com Carência123

Exemplo 4: Calcular o valor das prestações mensais utilizando os coeficientes calculados acima. Um bem financiado no valor de R$ 200,00 à taxa de 5% a.m.

à vista Primeiro pagamento para daqui 1 mês Primeiro pagamento com 1 mês de carência Pagar daqui 2 meses Segundo pagamento com entradaSegundo pagamento sem entradaSegundo pagamento com 2 meses de carência ( primeiro pagamento daqui 3 meses)

5.6 SEQUÊNCIA UNIFORME COM PARCELAS ADICIONAIS5.6 SEQUÊNCIA UNIFORME COM PARCELAS ADICIONAIS

Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da seqüência uniforme de prestações, existem prestações extras. Nesse caso, o valor atual do conjunto é a soma do valor atual da seqüência uniforme com o valor atual das prestações de reforço.

Exemplo 1: Um terreno é vendido à prazo em 12 prestações mensais de 5.000 cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em 6 e 12 meses após a compra, cada uma de 20.000. Qual o preço à vista, se a taxa de juros de financiamento for de 3,2% am?

Pela calculadora:

62

12 n3,2 i5000 PMTPV = -49 181,02

12 n3,2 i5000 PMTPV = -49 181,02

6 n3,2 i20.000 FVPV = -16555,86

6 n3,2 i20.000 FVPV = -16555,86

Preço à vista = 49.181,02 + 16.555,86 + 13.704,83 = 79.441,71

5.6 MONTANTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME5.6 MONTANTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME

Dada uma seqüência uniforme: PMT PMT ... PMT

0 1 2 n

Chamamos de montante da seqüência , na data n, a soma dos montantes de cada capital PMT, aplicado desde a data considerada até n.

Usando Progressão geométrica infinita, temos:

O fator é chamado fator de acumulação de capital e costuma ser indicado por Sn i (lê-se S,n,

cantoneira i).

Observação: Sn i pode ser calculado pela fórmula, tabela ou calculadora:

Pela calculadora:

FV (Future Value) = Montante M

PMT (Payment) = Valor de cada capital (PMT)

i = Taxa de juros

n = Número de depósitos.

PMT...)i1(PMT)i1(PMTFV 2n1n

i

1)i1(PMTFV

n

63

12 n3,2 i20.000 FVPV = -13704,83

12 n3,2 i20.000 FVPV = -13704,83

Exemplo 1: Um investidor aplica mensalmente 2.000 em fundo de investimento que remunera as aplicações à taxa de 2% am. Se o investidor fizer 7 aplicações, qual o montante no instante do último depósito?


Exemplo 2: No exemplo 1, qual será o montante se o investidor sacar somente 2 meses após o último depósito?

Se quero obter um montante após n períodos de aplicação e quero saber quanto devo aplicar mensalmente, a fórmula é a seguinte:

Exemplo 3: Quanto deverei depositar mensalmente, durante 7 meses à taxa de 1% a.m., para obter um montante de R$ 14.427,07 no instante do último aplicação(depósito)? Exemplo 4: Quero comprar um carro no valor de R$ 10.000,00 daqui 2 anos. Quanto deverei aplicar mensalmente em um fundo de investimentos que remunera o capital investido à taxa de 1% a.m.?

Exemplo 5: Calcule o montante que uma pessoa acumulará se desembolsar 4 parcelas de 4.000 mensalmente à taxa de 2,2% am

Exemplo 6: Quanto uma pessoa tem que depositar a partir de hoje mensalmente, durante 11 meses para acumular 2.500, considerando i = 3,2% am? (antecipados)

Exemplo 7: Uma pessoa tem uma dívida de 50.000, pagando prestação mensal de 870,10 à taxa de 17% am. Em quantas parcelas ela saldará está dívida se a 1a delas foi paga com 30 dias?

5.7 COMPARAÇÃO ENTRE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO5.7 COMPARAÇÃO ENTRE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO

Financiamento:

Exemplo: Uma pessoa pretende comprar uma casa que custa R$ 95.000,00. A taxa de juros do financiamento é de 12% a.a. Qual o valor de cada prestação para que a casa seja quitada em 15 anos? (Lembrando que financiamento de casa própria, as parcelas são pagas mensalmente)

Investimento:

Exemplo: Meu objetivo é comprar uma casa no valor de R$ 95.000,00 daqui 15anos.Quanto terei que depositar mensalmente em uma aplicação que ende1%a.m.de juros compostos, para em 15 anos consiga comprar a casa?

i]nS

1.FVPMT

64

7 n2 i2000 PMTFV = -14868,57

7 n2 i2000 PMTFV = -14868,57

1) Monte uma tabela de coeficientes com os valores calculados abaixo:

a) Qual o fator correspondente a 3, 4, 5, 6, e 7 prestações mensais iguais com entradab) Qual o fator correspondente a 3, 4, 5, 6, e 7 prestações mensais iguais sem entrada?c) Qual o fator correspondente a 3, 4, 5, 6, e 7 prestações mensais iguais,sendo que a primeira prestação

vence 3 meses após compra? (carência = 2 meses)

Monte uma tabela de coeficientes(fatores) com os valores calculados acima.

Prestações(n) Com entrada Sem entrada Com vencimento daqui 3 meses

34567

2) Um cliente quer comprar a prazo uma geladeira que custa R$ 1.200,00 á vista. Ele quer comprar em 4 prestações mensais iguais. A taxa de juros que a loja opera é de 7%a.m.Qual o valor de cada prestação se ele comprar:a) 4 vezes com entrada.b) 4 vezes sem entrada.c) 4 vezes com entrada para daqui 3 meses.

3) Uma pessoa pretende comprar uma casa que custa R$ 50.000,00. A taxa de juros do financiamento é de 12% a.a. Qual o valor de cada prestação para que a casa seja quitada em 15 anos?

4) Meu objetivo é comprar uma casa no valor de R$ 50.000,00 daqui 15 anos. Quanto terei que depositar mensalmente em uma aplicação que rende 1% a.m., para que em 15 anos consiga comprar a casa?

5) Um produto é vendido à vista por 40.000 ou à prazo em 3 prestações mensais iguais sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros do financiamento for se 7% am?

6) Um barco é vendido à vista por 6.000 ou então com 20% de entrada mais 4 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 6% am?

7) Um eletrodoméstico é vendido nas seguintes condições:- entrada de 70,00- 5 prestações mensais de 80,00 cadaSabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% am, pede-se o preço à vista

8) Um microcomputador é vendido à vista por 2.500 ou então em 4 prestações mensais iguais, sendo a primeira dada como entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 5,6% am?

9) Um terreno é vendido à vista por 130.000 ou à prazo em 12 prestações mensais iguais. Sendo a taxa de

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juros de 2,5% am, pede-se:a. o valor de cada prestação se forem antecipadasb. o valor de cada prestação se forem postecipadas

10) Um banco concede empréstimos à uma empresa no valor de 60.000 para ser pago em 4 prestações mensais e iguais postecipadas de 16.850 cada uma. Qual a taxa de juros do financiamento?

11) O que é preferível comprar uma geladeira por 1.800 em 3 parcelas mensais e iguais sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada ou comprar a mesma geladeira em 12 prestações mensais iguais postecipadas e no valor de 160 cada uma, sabendo-se que a taxa de juros vigente no mercado para aplicadores é 5%am

12) Uma loja contraiu um financiamento de R$ 10.000,00, a ser pago em 12 prestações mensais e iguais de R$ 1.000,00. Determinar a taxa mensal de juros, caso a primeira parcela seja paga: a) 1 mês após a liberação dos recursos; b) à vista

13) Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, 3.500 num fundo que remunera seus depósitos à taxa de 2,1% am. Qual o montante no instante do último depósito?

14) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de investimento que rende 1,8% am para que no instante do último depósito tenha um montante de 60.000?

15) Para o dono de uma loja, qual a melhor alternativa: financiar uma mercadoria cujo preço à vista é de 1.200 em 10 prestações mensais iguais postecipadas de 143,00; ou vender à vista e aplicar num fundo que rende `a uma taxa mensal constante e tal que o montante após 10 meses seja 1.652?

16) Uma empresa deve pagar um título de 50.000 daqui 1 ano. Quanto deveria investir mensalmente, a partir de hoje, se os depósitos forem iguais e remunerados à 2,3% am para que , um mês após o último depósito, o saldo seja suficiente para pagar o titulo?

17) Um conjunto de sofás é vendido à vista por 6.000 ou à prazo em 4 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 5,8% am?

18) Um conjunto de dormitório é anunciado por 10 prestações mensais iguais de 2.000, vencendo a primeira 2 meses após a compra. Qual o preço `a vista, se a taxa de financiamento for de 3,5% am?

19) O preço à vista de um carro é de 36.000. No entanto, há um plano de venda à prazo que exige 30% de entrada, financiando o saldo em 24 prestações mensais iguais e com 3 meses de carência, isto é, a primeira prestação vence daqui à 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% am, qual o valor de cada prestação?

20) Um aparelho de som é vendido por 2.390 à vista. A loja no entanto afirma que eu posso comprar hoje e só começar a pagar com 3 meses de carência, ou seja, a primeira prestação vence 4 meses após a compra. Sendo de 506,58, o valor das prestações e o plano de pagamento em 6 prestações, fora a carência, determine a taxa de juros cobrada

21) O Sr. Alcides decide vender uma chácara de caordo com o seguinte plano:- 3 prestações de 100.000 vencendo no final de junho, julho e agosto- 3 prestações de 200.000 vencendo no final de setembro, outubro e novembroConsiderando i =3% am, qual o preço à vista (final de maio) da chácara?

22) Um crédito de capital de giro de 80.000 deve ser pago em 10 prestações mensais iguais postecipadas. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% am e que além das prestações mensais, a empresa deverá pagar 15.000 e 20.000 no quarto e sétimo meses, pede-se o valor de cada prestação mensal

23) Um pai, interessado em fazer uma poupança para seu filho, resolveu depositar mensalmente R$ 1000,00, durante 18 anos, com o primeiro depósito sendo efetuado daqui a 1 mês. Determinar o montante

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disponível para o filho ao final do período, sabendo que a taxa de juros é de 1% am


1) Prestações(n) a) Com entrada b) Sem entrada c) Com vencimento

daqui 3 meses3 0,356123 0,381052 0,4362664 0,275914 0,295228 0,3380075 0,227935 0,243891 0,2792306 0,196071 0,209796 0,2401957 0,173414 0,185553 0,212440

2) a) 331,10 b) 354,27 c) 405,603) 600,08 4) 100,08

5) 15.242,07 6) 1385,24 7) 416,368) 676,97 9)a) 12.364,22 b)

12.673,33

10) 4,82% am 11) pagar em 12 meses 12) i = 2,92; i = 3,50 13) 26.098,67

14) 3.519,95 15) Vender à prazo 16) 3.583,11 17) 1.929,36

18) 16.070,73 19) 2.114,1320) 3,8%am 21) 800.577,15

22) 5.425,07 23) 757.860,63

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CAPÍTULO 6

AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

CAPÍTULO 6

AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

68

6.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS6.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

Os sistemas de amortização consistem nas diferentes possibilidades de pagamentos de financiamento ou

empréstimos. A diferença entre os diversos sistemas de amortização está na sistemática de cálculo dos juros e da

amortização do capital.

Em qualquer sistema de amortização, a prestação paga é composta de juros mais amortização (devolução do

capital).

Cumpre observar que o nome prestação é utilizado para representar o pagamento acrescido de impostos e outros

encargos. Desconsiderando esses impostos e encargos, a prestação se reduz à soma da amortização com o juro em

cada período. A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga

progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. As

parcelas ou prestações

Em qualquer sistema de amortização, a prestação paga é composta de juros mais amortização (devolução do

capital). Cumpre observar que o nome prestação é utilizado para representar o pagamento acrescido de impostos

e outros encargos. Desconsiderando esses impostos e encargos, a prestação se reduz à soma da amortização com

o juro em cada período. A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga

progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. As

parcelas ou prestações são formadas por duas partes:

Amortização: devolução do principal emprestado;

Juros do período: serviço da dívida correspondente ao saldo do empréstimo ainda não reembolsado.

PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS

O termo carência designa o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em que será

paga a primeira prestação. Em geral, esse período é negociado entre o credor e o mutuário. Qualquer sistema de

amortização pode ter ou não o prazo de carência.

Os principais e mais usados sistemas de amortização de empréstimos são:

a) Sistema Francês de Amortização – Tabela Price;

b) Sistema de Amortização Constante;

c) Sistema Misto

6.2 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – TABELA PRICE 6.2 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – TABELA PRICE

Essa denominação vem do fato desse sistema ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Este

sistema é o mais utilizado por instituições financeiras e pelo comércio em geral. Caracteriza-se por pagamentos do

principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. Ou seja, a parcela da amortização mais a dos juros resulta

num mesmo valor de prestação. Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce na

medida em que as prestações são pagas, eles decrescem, então, as amortizações são crescentes.

O sistema ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a

teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos, no século XVIII. A Tabela Price é um caso particular

do Sistema Francês de Amortização. No SFA a taxa de juros é dada em termos nominais, já na Tabela Price, as

prestações são feitas usando a taxa proporcional calculada a partir da taxa nominal.

Exemplo 1: Um financiamento de $1000,00 à 5 anos com taxa de 12%aa pelo sistema PRICE

n = 5 anos

i = 12%aa

PV = 1000,00

PMT?

PV = PMT. , logo PMT = 277,41

Juros = taxa de juros x saldo devedor

Amortização = Prestação – Juros

Saldo devedor atual = saldo anterior – amortização

Mês

(t)

Saldo Devedor

(SDt = SDt-1 – At)

Amortização

(At = Rt – Jt)

Juros

(Jt = i x SDt-1)

Prestação

(Rt)

0 1000

1 842,59 157,41 120,00 277,41

2 666,29 176,30 101,11 277,41

3 468,84 197,45 79,95 277,41

4 247,69 221,15 56,26 277,41

5 0,00 247,69 29,72 277,41

É importante reparar que os juros são decrescentes ao longo do tempo e a amortização é crescente.

70

Problema 1: Um empréstimo de $200.000,00 será pago pelo Sistema Francês de Amortização em 4 prestações

mensais postecipadas. Se a taxa de juros efetiva contratada for de 10% a.m., construir a planilha de amortização.

Mês

(t)

Saldo Devedor


Amortização

(At = Rt – Jt)

Juros

(Jt = i x SDt-1)

Prestação

(Rt)

0

1

2

3

4

Problema 2: Um financiamento de $50.000,00 foi contratado para ser pago em 48 prestações mensais pela tabela

price, a juros nominais de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. Calcular o juro a ser pago no 25o mês, o saldo

devedor no 30o mês e a amortização no 30o mês.

6.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 6.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC

No SAC, a amortização é dada pelo valor do principal dividido pelo número de períodos de pagamento. Neste caso,

a amortização é constante, as prestações são decrescentes e os juros são decrescentes também. Esse tipo de

sistema é usado às vezes pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus

financiamentos imobiliários e também, às vezes, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através

de entidades governamentais.

Amortização = capital dividido pelo prazo

Juros = taxa de juros x saldo devedor

Prestação = amortização + juros

Saldo atual = saldo devedor anterior – amortização

Exemplo 1: Um financiamento de $1000,00 à 5 anos com taxa de 12%aa pelo sistema SAC

n = 5 anos

i = 12%aa

PV = 1000,00

PMT?

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Mês

(t)

Saldo Devedor


Amortização

(At = Rt – Jt)

Juros

(Jt = i x SDt-1)

Prestação

(Rt)

0 1000

1 800 200 120 320

2 600 200 96 296

3 400 200 72 272

4 200 200 48 248

5 0 200 24 224

Problema 3: Elabore a planilha de amortização para o seguinte financiamento:

Valor do financiamento: $200.000,00;

Reembolso em 4 meses pelo sistema SAC;

Taxa de juros efetiva: 10% a.m.

Cálculo das amortizações

Mês

( t )

Saldo Devedor

(SDt = SDt-1 –At)

Amortização

(At = Rt – Jt)

Juros

(Jt = i x SDt-1)

Prestação

(Rt)

0

1

2

3

4

Problema 4: Um empréstimo de $200.000,00, contratado a juros efetivos de 10%a.m., será pago em 3 prestações

mensais com carência de 3 meses. Construir a planilha de amortização.

Cálculo da amortização

Mês

( t )

Saldo Devedor

(SDt = SDt-1 –At)

Amortização

(At = Rt – Jt)

Juros

(Jt = i x SDt-1)

Prestação

(Rt)

0

1

2

3

4

5

72

Documents

Apostila de Matemática Financeira 2011 - Final