Apostila Matemática Financeira 1 (1)

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MATEMTICA FINANCEIRA

2010/2

Professora Ms. Beatriz V. Vaccari

SUMRIO

1 PORCENTAGEM4

1.1 FUNES DE PORCENTAGEM NA HP 12C4

2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS7

3 ACRSCIMOS SUCESSIVOS8

4 DIFERENA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES9

5 OPERAES SOBRE MERCADORIAS11

5.1 LUCRO SOBRE O PREO DE CUSTO11

5.2 LUCRO SOBRE O PREO DE VENDA11

6 JUROS SIMPLES13

6.1 ELEMENTOS BSICOS13

7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)15

8 PRAZO MDIO19

9 DESCONTO SIMPLES21

9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL21

9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL25

10 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS28

11 JUROS COMPOSTOS31

11.1 CONCEITO31

11.2 FRMULA PARA O CLCULO DO PRESENTE VALOR32

11.3 FRMULA PARA O CLCULO DA TAXA32

11.4 CLCULO DO NMERO DE PERODOS FINANCEIROS33

11.5 CLCULO DO MONTANTE QUANDO O NMERO DE PERODOS FINANCEIROS NO FOR UM NMERO INTEIRO33

12 TAXAS PROPORCIONAIS37

13 TAXAS EQUIVALENTES38

14 TAXA NOMINAL40

15 TAXA EFETIVA (i)41

16 TAXA DE JURO REAL (ir)43

17 TAXA ACUMULADA45

18 CAPITALIZAO CONTNUA46

19 DESCONTO COMPOSTO48

20 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS50

21 RENDAS52

21.1 CONCEITO52

21.2 CLASSIFICAO DAS RENDAS52

21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA53

21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITRIA IMEDIATA

53

21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)53

21.6 MONTANTE DE UMA RENDA57

22 SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS61

22.1 SISTEMA FRANCS (DE PRESTAES IGUAIS OU PRICE)61

22.2 SISTEMA DE AMORTIZAES CONSTANTES (SAC)63

22.3 SISTEMA DE AMORTIZAO MISTO65

22.4 CORREO MONETRIA SOBRE FINANCIAMENTOS66

23 ANLISE DE INVESTIMENTOS69

23.1 VALOR PRESENTE LQUIDO (VPL)69

23.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)70

GABARITO74

ANEXO 1791 PORCENTAGEM

A porcentagem muito utilizada na prtica. Ela usada no clculo de comisses, abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc.

Elementos bsicos:

Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100% da operao.

Porcentagem (p): a parte do principal que corresponde taxa.

Taxa percentual (r): a razo representada pela frao de denominador 100.

Clculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o clculo da porcentagem utiliza-se a seguinte regra de trs:

Principal ----------- 100%

Porcentagem ------- taxa percentual

1.1 FUNES DE PORCENTAGEM NA HP 12C

1.1.1 Para calcular a porcentagem: C enter r %

Caso em seguida for clicada a tecla +, o valor da porcentagem ser somado ao principal. Se for pressionada a tecla -, o valor ser subtrado do principal.

1.1.2 Para calcular o principal: r enter p %T

1.1.3 Para calcular a diferena de percentual entre dois valores a e b: a enter b %

1.1.4 Para calcular a taxa de porcentagem: C entre p %T

Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 1.800,00 recebeu um aumento R$ 360,00. Qual foi a taxa percentual desse aumento?

1.800 ---------- 100% Na HP 12 C

360 ---------- x

1.800

enter

x

360

x = 20%

%T

Exemplo 2: Um investidor comprou um terreno por R$ 50.000,00 e vendeu-o, um ano depois, por R$ 62.500,00. Qual o lucro, em porcentagem, do preo de custo?

50.000 ----------- 100%

Na HP 12 C

62.500 ----------- x

50.000

enter

x= 125%

62.500

%

125- 100 = 25%

O lucro foi de 25%.

Exemplo 3: Calcular 10% de 12.

12 -------- 100%

Na HP 12 C

x -------- 10%

12

enter

x = 1,2

10

%

Exemplo 4: Calcular que taxa percentual 8 representam de 80.

80 -------- 100%

Na HP 12 C

8 -------- x

80

enter

x = 10%

8

%T

Exerccios propostos

1) O nmero de funcionrios de uma agncia bancria passou de 80 para 120. Em relao ao nmero inicial, o aumento no nmero de funcionrios foi de;

a) 50% b) 55% c) 60% d) 65% e) 70%

2) Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% so meninas e os demais meninos. Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda no aprenderam a ler, indique quantos meninos j sabem ler.

3) No transporte de frutas, determinada transportadora registra uma perda mdia de 1,7%. Para uma carga de 15.000 kg, qunato ser a perda esperada?

4) Uma pessoa comprou um automvel por determinado valor e vendeu-o com um lucro de R$ 680,00, correspondente a 3,4% do preo de compra. Qual foi esse preo de compra?

5) Um livro que custava R$ 43,00 foi vendido numa liquidao com abatimento de 15%. Qual o valor do abatimento?

6) Um televisor foi comprado numa liquidao por R$ 420,75, j deduzidos os 6,5% de abatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento?

7) Num depsito, h dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36% do total, e do refrigerante B h 1.296 garrafas. Qual o nmero total de garrafas existentes no depsito?

8) Um comerciante adquiriu 2.000 cadernos a R$ 3,60 cada um. Vendeu por R$ 2.000,00 e o restante por R$ 6.000,00. De quanto por cento foi o lucro.

9) O preo de capa de uma revista mensal de R$ 5,00. Na assinatura anual, com direito a 12 edies dessa revista, h um desconto de 12%. Qual o preo da assinatura?

10) Aps um aumento de 3,5%, certo empregado passou a ganhar R$ 2.173,50. Qual era seu salrio antes do aumento?

Produo e vendas, em setembro,

Trs montadoras de automveis

Montadora UnidadesPorcentagem vendida

Produzidas Da produo

A3.00080%

B5.00060%

C2.000x%

Sabendo que nesse ms as trs montadoras venderam 7.000 dos 10.000 carros produzidos, qual o valor de x?

11) O Sr. Manoel contratou um advogado parra receber uma dvida cujo valor era de R$ 10.000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dvida. Supondo que o Sr. Manoel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou?

12) Certo artigo que custava R$ 200,00 teve seu preo reajustado em 18%. Qual o seu preo final?

13) Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de desconto em qualquer pea de inverno. Qual era o preo original de um casaco que, na promoo, estava sendo vendido por R$ 96,00?

14) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro?

15) Um produto vendido por R$ 1.850,00 com 15% de lucro. Se o preo de venda fosse R$ 2.210,00, qual seria o percentual de lucro?

16) Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede um abatimento de R$ 93,91. De quanto por cento este abatimento?

2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS

No meio comercial muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto , calcular os abatimentos sobre os valores lquidos encontrados anteriormente.

O clculo do valor lquido ou valor final dado pela seguinte frmula:

()

Sendo:

VF = valor real a ser pago

C = principal, ou seja, valor de 100%

i = taxas unitrias sucessivas

Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 so dados os seguintes descontos sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor lquido a ser pago?

VF = 124.000 (1- 0,2) (1- 0,1) (1- 0,05) Na HP 12C

VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95

124000 enter 20% - 10% - 5%

VF = R$ 84.816,00

Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preo constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preo da tabela?

70 = C (1- 0,3) (1 0,2)

70= C x 0,7 x 0,8

70 = C x 0,56

C= 70/ 0,56

C= R$ 125,00

Taxa nica no sistema de abatimentos sucessivos:

)

Exemplo : Sobre os valores constantes numa tabela de preos so dados os descontos sucessivos de 50%+ 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa?

i= 1- (1- 0,5) (1- 0,3) (1 0,2)

i= 1 0,5x 0,7x 0,8)

i= 1- 0,28

i=0,72 x100 = 72%

3 ACRSCIMOS SUCESSIVOS

O clculo do valor lquido ou valor final dado pela seguinte frmula:

Exemplo 1: O preo de uma mercadoria era de R$ 8,00, no incio de um determinado ms. Durante o ms sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Qual o preo final dessa mercadoria?

VF= 8 (1+ 0,025) (1+0,05)

Na HP 12C

VF = 8 x 1,025 x 1,05

8 enter 2,5% + 5% +

VF = R$ 8,61

Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%., pagando o comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria?

144,90 = C (1+0,2) (1+0,15)

144,90 = C x 1,2 x 1,15

144,90 = C x 1,38

C = 144,90/ 1,38

C = R$ 105,00

Taxa nica no sistema de acrscimos sucessivos:

Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior?

i= (1+ 0,2) ( 1+ 0,15) 1

i= 1,2 x 1,15 -1

i= 0,38 x 100= 38%

4 DIFERENA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES

Para calcular a diferena percentual entre dois valores ( do principal para o valor final), utiliza-se a seguinte frmula:

Exemplo 1: O preo de uma mercadoria era de R$ 8,00, no incio de um determinado ms. Durante o ms sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%, passando a custar R$ 8,61. Calcular o percentual total de aumento.

Na HP 12C

8 enter 8,61 %

Exerccios propostos

1) Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30%+20%+10%. Pergunta-se:

a) Por quanto foi vendida?

b) Qual o percentual total do abatimento?

2) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%+10%+5% se o total pago foi R$ 273,60, pergunta-se:

a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos?


3) Um produto cujo preo era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%. Pergunta-se:

a) Qual o preo atual?

b) Qual o percentual do aumento?

4) O preo de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$ 450,12. Qual era o preo inicial?

5) Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preo inicial desta mercadoria?

6) Uma mercadoria custava R$ 75,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 10%+5%+2%. Pergunta-se:

a) Por quanto foi vendida?


7) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 10%+2%. Se o valor pago foi de R$ 110,25, pergunta-se:

a) Qual o valor da mercadoria antes do abatimento?


8) Um produto cujo preo era R$ 712,00,sofreu aumentos sucessivos de 6%+3%. Pergunta-se:

a) A que preo est sendo vendida?

b) Qual foi o percentual total de aumento?

9) O preo da gasolina foi aumentado, sucessivamente 11,5%+7,2%+4,5% passando a custar R$ 1,30. Qual era o preo antes dos aumentos?

10) Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um desconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preo inicial desta mercadoria?

11) Um operrio ganhou um salrio lquido de R$ 515,97. Sabendo-se que recebeu um aumento de 5% em relao ao salrio anterior e lhe foi descontado 9% referente a impostos previdencirios, qual era o salrio deste operrio?

5 OPERAES SOBRE MERCADORIAS

Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preo de custo, o preo de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preo de custo ou sobre o preo de venda.

5.1 LUCRO SOBRE O PREO DE CUSTO

Para calcular o preo de venda com lucro sobre o preo de custo, considera-se o preo de custo como o valor correspondente a 100%. O preo de venda ser equivalente a 100%+ r.

Frmula:

Exemplo 1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto dever ser vendida se o lucro desejado de 40% sobre o preo de compra?

V= 120 (1+0,4) Na HP 12C

V= 120 x 1,4

120 enter 40% +

V= R$ 168,00

5.2 LUCRO SOBRE O PREO DE VENDA

Para calcular o preo de venda com lucro sobre o preo de venda, considera-se o preo de venda como o valor correspondente a 100%. O preo de custo ser equivalente a 100% - r.

Frmula:

Exemplo 1: Por quanto dever ser vendida uma mercadoria, comprada por R$20,00, desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preo de venda?

Exerccios propostos:

1) Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto dever ser vendida para que o lucro seja de 30% sobre o preo de compra?

2) Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preo de compra. Quanto custou esta mercadoria?

3) Uma casa foi vendida por R$ 54.000,00, com um lucro de R$ 6.000,00. A quanto por cento corresponde este lucro?

4) Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e dever ser vendida com um lucro de 40% sobre o preo de venda. Qual o preo de venda?

5) Um terreno foi comprado por R$ 4.750,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preo de venda. Por quanto foi vendido?

6) Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preo de venda. Quanto custou esta mercadoria?

7) Uma mercadoria est sendo vendida por R$ 75,90. Se o percentual das despesas incidentes sobre o preo de venda 29% e o lucro 15% sobre o mesmo valor, quanto custou esta mercadoria?

8) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preo de custo?

9) Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.200,00 e vendida por R$ 1.500,00. Qual o percentual de lucro sobre o preo de compra?

10) Um comerciante vendeu um artigo por R$ 5.250,00. De quanto foi o lucro, em reais, se ele representa 25% sobre o preo de custo?

6 JUROS SIMPLES

Juro :

a) valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado nossa disposio;

b) remunerao do capital empregado em atividades produtivas;

c) remunerao paga pelas instituies financeiras sobre o capital nelas aplicados;

d) remunerao do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

Se aplicarmos um capital durante determinado perodo de tempo, ao fim do prazo obteremos um valor (montante) que ser igual ao capital aplicado acrescido da remunerao obtida durante o perodo de aplicao.

A diferena entre o montante e a aplicao denominada remunerao, rendimento do capital ou juros.

No regime de juros simples, os juros de cada perodo so calculados sempre sobre o mesmo capital, portanto os rendimentos em cada perodo so os mesmos e os montantes crescem linearmente.

Observe o clculo a seguir:

Clculo dos juros simples

PerodoCapitalJuros do perodo Juros Montante

inicial (i= 10%a.p.)acumulados

01.000,000,000,001.000,00

11000 x 0,10= 1001001.100,00

21000 x 0,10= 1002001.200,00

31000 x 0,10= 1003001.300,00

6.1 ELEMENTOS BSICOS

Capital (C): a quantia empregada no incio da aplicao.

Juro (j): o valor pago pelo emprstimo do dinheiro.

Taxa de juro (i): a unidade de medida dos juros. Nas frmulas de clculo utiliza-se a taxa na forma unitria. (divide-se a taxa percentual por 100 para transform-la em unitria).

Tempo(t): o tempo de durao do emprstimo. Dever ser sempre representado em relao ao perodo da taxa.

Montante (M): o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ou encerrar um emprstimo.

Frmula Fundamental de Juros Simples :

j = Cit

Exemplo 1: Joo assumiu o compromisso de restituir a Pedro a importncia de R$ 200.000,00 que havia tomado emprestado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao ms, a ser restitudo em 9 meses. Calcule o valor dos juros que Pedro receber de Joo.

j = 200.000,00 x 0,025 x 9

Na HP 12C

j = R$ 45.000,00

200000 enter 2,5% 9 x

Exemplo 2: Calcule o capital necessrio para que uma aplicao financeira produza rendimentos iguais a R$ 148.612,61, taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos.

148.612,61 = C x 0,12 x 3

C = 148.612,61/ 0,36

C = R$ 412.812,81

Exemplo 3: Um ttulo de R$ 22.000,00 vencido em 24/06 e liquidado em 08/08 do mesmo ano, foi penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada?

1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i

i = 1650,00/33.000,00

i = 0,05 x 100 = 5%

Obs: Os dias so contados de data a data, atravs do ano civil.

Exemplo 4: Qual o tempo necessrio, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano?

4.000,00= 20.000,00 x 0,12 x t

t = 4.000,00/ 2.400,00

t = 1,67 x 12 = 20 meses ou 1 ano e 8 meses

Exemplo 5: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% ao ano, para que se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias?

240,00 = C x 0,6 x 72/360

C= 240,00/ 0,12

C = R$ 2.000,00

7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)

Montante de um capital igual a soma deste capital com os juros por ele produzido.

Como a frmula de juros : j = Cit

Ento o montante simples pode ser calculado pela frmula:

ouExemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 72%a.a.. Qual o valor do resgate?

M = 20.000,00 ( 1 + 0,72/12 x 3)

M = 20.000,00 ( 1 + 0,06 x 3)

M= R$ 23.600,00

Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m., para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,00?

12.672,00 = C ( 1 + 0,04 x 42/30)

C = 12672,00/ 1,056

C = R$ 12.000,00

Para calcular taxa de juro efetiva de uma aplicao, basta apenas dividir o valor do resgate pelo valor aplicado, diminuindo 1 do quociente.

Exemplo 3: Uma empresa aplicou R$ 32.000,00. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,00. Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicao?

35.072,00

32.000,00

Na HP 12C

32000 enter

35072

%

A taxa mensal de juros simples ser:

r = (9,6/48) x 30

r= 6% a.m.


1) Calcular os juros produzidos por uma aplicao de R$ 2.000,00, taxa de 30% a.a. de juros simples, durante 4 meses e 18 dias.

2) Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 taxa de 30% a.a. em 2 anos?

3) A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se obter um juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses?

4) Durante quanto tempo deve-se empregar o capital de R$ 50.000,00 para se obter um juro simples de R$ 35.000,00, sendo a taxa de 30% a.m.?

5) Calcule os rendimentos referentes a uma aplicao financeira R$ 1.470,00, durante 95 dias, taxa de juros simples de 21%a.a..

6) Qual o valor do resgate de uma aplicao, sabendo-se que o investimento inicial foi de R$ 32.500,00, o prazo de 118 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao ms?

7) Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556 dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador dever conseguir para alcanar seu objetivo?

8) Um investidor fez uma aplicao em juro simples durante 2 meses . No fim deste tempo retira o montante de R$ 159.000,00 e reaplica tudo por mais 3 meses a mesma taxa. Sabendo-se que o valor do resgate final de R$ 173.310,00 Qual a importncia inicialmente aplicada?

9) Seu Jos aplicou R$ 200.000,00, em juro simples por 5 meses, a taxa de 96%a.a.. Qual o valor do resgate?

10) Uma pessoa aplicou certa quantia, a juros simples de 5% ao semestre, durante 45 dias. Aps este prazo, recebeu R$ 897.343,87. Calcular o capital aplicado.

11) Um ttulo no valor R$ 22.500,00, vencido em 18/03 foi liquidado no dia 12/04, do mesmo ano. Se o valor pago na liquidao foi de R$ 23.287,50, qual a taxa mensal de juro simples?

12) Uma TV em cores vendida nas seguintes condies:

Preo vista = R$ 1.800,00;

Condies prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias.

Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

13) Uma aplicao de R$ 15.000,00 efetuada pelo prazo de 3 meses taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses taxa linear de 18% ao ano para obter o mesmo rendimento financeira?

14) Uma mercadoria oferecida num magazine por $ 130,00 vista, ou nas seguintes condies: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que est sendo cobrada.

15) Um certo capital, aplicado por trs trimestres, a uma taxa de juro simples de 24% a.a., rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.

16) Uma pessoa contrai um emprstimo de R$ 75.000,00 taxa linear de 3,3% ao ms. Em determinada data lquida este emprstimo pelo montante de R$ 92.325,00 e contrai nova dvida no valor de R$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este ltimo emprstimo resgatado 10 meses depois pelo montante de R$ 49.600,00.

Pede-se calcular:

a) o prazo do primeiro emprstimo e o valor dos juros pagos;

b) a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo emprstimo.

17) Um refrigerador vendido por R$ 980,00 vista ou com uma entrada de 25% e mais um pagamento de R$ 793,80 aps 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples envolvida na operao?

18) Calcular o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado durante 9 meses, taxa de 12% ao semestre de juros simples.

19) Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 4 meses e 17 dias, a uma taxa de juros simples de 17% ao trimestre. Qual o valor dos juros a ser pago?

20) Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00 aps seis meses.

21) Uma mercadoria cujo o preo vista R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25% e, mais um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada no financiamento?

22) Aps quanto tempo os capitais de R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00, empregados s taxas de juros simples de 6% e 4% ao ms, respectivamente, atingiro o mesmo montante

23) Qual a taxa mensal de juros simples que deve ser aplicado um capital para duplicar de valor em 1 ano e 3 meses?

24) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de R$ 5.000,00 foi tambm aplicado a juros simples, mesma taxa durante 45 dias. Determinar a taxa anual, sabendo-se que a diferena entre os juros da 1 aplicao e da 2 aplicao so iguais a R$ 31,50.

25) O preo vista de um televisor R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, com entrada, na ocasio, de R$ 200,00, e outro em 30 dias, o preo sobe para R$ 530,00. Qual a taxa cobrada?

26) Uma aplicao financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples taxa de 22%a.a., porm o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o montante lquido de uma aplicao de R$ 4.000,00?

27) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000,00 sacas de caf e, na expectativa de alta de preo do produto, recusa a oferta de compra desse estoque razo de R$ 30,00 por saca. Trs meses mais tarde forado pelas circunstncias, vende o estoque por R$ 24,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado de 5%a.m., calcule o prejuzo real do fazendeiro na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalizao simples.

28) Um produto est sendo vendido nas seguintes condies: R$ 70,00 vista ou uma entrada de 40% e um cheque de R$ 48,00 para 42 dias. Qual a taxa de juros simples usada por este estabelecimento?

29) Uma televiso vendida vista por R$ 1.500,00 ou, ento, a prazo com R$ 300,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.308,00 aps trs meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento.

30) Um capital de R$ 15.000, foi aplicado em juro simples a taxa de 4,5% a.m.. Na poca do resgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual foi o tempo da aplicao?

8 PRAZO MDIO

Sejam os capitais , ,..........., , todos empregados em juros simples, a uma mesma taxa i durante os tempo t1, t 2 , ..........,t m , respectivamente. Chama-se prazo mdio aquele no qual deve-se empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obter um juro igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente.

Se os capitais forem iguais o prazo mdio calculado pela seguinte frmula:

Exemplo 1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juro simples durante 36 dias, 60 dias, e 156 dias, respectivamente. Durante quanto tempo deve-se aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro?

Na HP 12 C

f

36 enter 2000

60 enter 5000

156 enter 3000

g

Exemplo 2: Se a taxa de juros 6%a.m., qual o juro produzido no exemplo 1?

Exemplo 3: Uma pessoa deposita R$ 500,00 no incio de cada ms, a taxa de 5%a.m., em juro simples. Calcular o montante constitudo no final de um ano.

M= 6.000,00 ( 1 + 6,5 x 0.05)

M = R$ 7.950,00


1) Um ttulo de R$ 105.000,00 vencvel em 31/03 foi pago da seguinte maneira: R$ 25.000,00 em 31/03; R$ 20.000,00 em 15/04; R$ 15.000,00 em 20/04; R$ 24.000,00 em 30/04 e R$ 21.000,00 em 10/05. Sabendo-se que a taxa de juro simples cobrada pelo credor foi de 6%a.m., qual o juro pago na liquidao?

2) Uma empresa devedora de um ttulo de R$ 420.000,00 pagou-o da seguinte maneira : R$ 120.000,00 no vencimento; R$ 75.000,00 com atraso de 12 dias; R$ 120.000,00 com atraso de 25 dias e R$ 105.000,00 com atraso de 42 dias. Sabendo-se que o total de juros pago na liquidao foi de R$ 11.080,00, determinar a taxa de juro simples, anual cobrada pelo credor?

3) Um ttulo de R$ 108.000,00 vencvel no dia 31 de maro foi pago da seguinte maneira:

R$ 28.000,00 no vencimento

R$ 20.000,00 em 15/04

R$ 15.000,00 em 20/04

R$ 24.000,00 em 30/04

R$ 21.000,00 em 10/05

Qual foi o atraso mdio no pagamento do ttulo se todos os pagamentos foram feitos no mesmo ano?

4) Uma empresa adquiriu um equipamento no valor de R$ 200.000,00. Pagou 25% no ato e o restante foi amortizado em 15 parcelas mensais iguais acrescidas de juro simples a no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento foi de R$ 24.000,00, qual a taxa mensal do juro simples?

5) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessrio para que a soma desses capitais produza juros mesma taxa, igual soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos.

6) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 4,3 e 2 meses, respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao desses capitais.

9 DESCONTO SIMPLES

Desconto o abatimento concedido sobre um ttulo de crdito em virtude de seu resgate antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operaes de capitalizao simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.

Quando se fala em desconto simples, temos duas modalidades de desconto a considerar:

a) o comercial ou bancrio ou por fora;

b) o racional ou por dentro.

9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL

9.1.1 Conceito

O desconto simples comercial igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal do ttulo, a uma taxa de desconto durante o tempo que antecede o vencimento deste.

9.1.2. Frmula

Onde:

d: desconto simples comercial quantia a ser abatida do valor nominal.

N: valor nominal valor do ttulo a ser pago no dia do vencimento.

: taxa unitria de desconto

t: tempo de antecipao perodo compreendido entre o dia em que se negocia o ttulo e seu vencimento

Exemplo 1: Um ttulo de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto.

d = 280.000,00 x 0,06 x (39/30)

d = R$ 21.480,00

Exemplo 2: Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operao a 6 meses, cujo valor de resgate de R$ 1.000,00 e cujo valor atual de R$ 880,00?

N= 1.000 n= 6 mA = 880i = ? a.m.

Sendo A = N (1 i x n)

880 = 1000 (1 i x 6)

6i = 1 0,88

i = 0,12 6 = 0,02 ou seja 2% ao ms

9.1.3 Valor Atual Comercial

a diferena entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido.

A = N d Ou A = N (1 iat)Onde:

A = valor lquido, j abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente;

d = desconto simples comercial

ia = taxa de desconto

t = tempo de antecipao

Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o valor atual comercial

A = 280.000 (1- 0,06 x 39/30) = R$ 258.160,00

9.1.4 Valor Lquido

Sempre que houver cobrana de comisses ou taxas, o valor lquido igual ao valor atual diminudo da comisso.

VL = N (d + com)

Ou :

VL = N (d+ com + desp + IOF)Onde:

VL = valor lquido

Com = comisso

Desp = despesas

N = valor nominal

Exemplo 1: Um ttulo de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancrio, 27 dias antes do seu vencimento, numa instituio financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. Sabendo-se que cobrada uma comisso de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor lquido recebido pelo portador?

A = 240.000 x 0,07 x 27/30 = R$ 15.120,00

Com. = 240.000 x 0,005 = R$ 1.200,00

VL = 240.000 ( 15.120 + 1.200) = R$ 223.680,00

Exemplo 2: Uma empresa desconta 5 ttulos no valor total de R$ 18.000,00 vencveis em 36 dias, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o banco cobra uma comisso antecipada de 0,5 % sobre o valor nominal dos ttulos, mais despesas para cobrana no valor de R$ 4,00 por ttulo e mais o IOF (imposto sobre operaes financeiras) que de 0,123% a.m., qual o valor lquido creditado na conta da empresa?

d = 18.000 x 0,045 x 36/30 = 972,00

com = 18.000 x 0,005 = 90,00

desp. de cobrana = 4 x 5 = 20,00

IOF = 18.000 x 0,00123 x 36/ 30 = 26,57

VL = 18.000 (972 + 90 + 20 + 26,57) = R$ 16.891,43

Obs: Quando no houver cobrana de comisses ou taxas o valor lquido igual ao valor atual.

9.1.5 Taxa efetiva de juro numa operao de desconto simples bancrio

Numa operao de desconto, a taxa efetiva de juro calculada levando-se em conta o valor nominal dos ttulos, o prazo mdio destes ttulos e o valor lquido recebido pelo portador.

a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancrio gera no perodo considerado um montante igual ao valor nominal.

Para calcular a taxa efetiva de juro do perodo do desconto de ttulos com vencimento para t dias, basta efetuar a diviso entre o valor nominal e o valor lquido diminuindo de 1, ou seja, calcular a diferena percentual entre o valor lquido e o valor nominal.

Seu clculo pode ser realizado utilizando a frmula:

Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual so utilizados tanto para juro comercial, quanto bancrio.

Exemplo 1: Uma empresa desconta um ttulo de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operao?

A= 20.000(1- 0,06 x 39/30) = 18.440

i = 20000/18440 -1

i= 1,085 1

i= 8,5%

9.1.6 Taxa total de desconto em relao a taxa efetiva de juro:

Para calcular a taxa total de desconto (juro antecipado) conhecida a taxa efetiva de juro, utiliza-se a seguinte frmula:

OBS: Para calcular a taxa mensal de desconto basta dividir a taxa total de desconto pelo nmero de dias que antecede o vencimento do ttulo multiplicando a seguir por 30.

Exemplo: Um banco que opera com uma taxa efetiva de juro de 11,2% a.p. para emprstimos com prazo de 42 dias, a que taxa mensal de desconto deveria operar em operaes de desconto com prazo de 42 dias, para obter o mesmo rendimento?

ou 10,07 % a.p. de 42 dias

7,194 % a.m.


1) Um ttulo de $ 5.500,00 descontado taxa de 30% a.a., 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 30% a.a.. Qual a taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual?

2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operao a 120 dias, cujo valor de resgate de $ 1.000,00 e cujo valor atual de $ 880,00?

3) Uma empresa descontou um ttulo de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operao?

4) Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pr-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depsito est programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse ttulo em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo ttulo.

5) Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pr-datados para serem descontados taxa de desconto de 2,8% a.m.

ChequeValorPrazo de antecipao

AR$ 500,00 2 meses

BR$ 1.500,00 1 ms

CR$ 2.000,00 45 dias

Determinar o valor lquido recebido pela empresa.

6) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14.000,00, dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m..

a) Qual o valor do desconto?

b) Qual o valor descontado recebido pela empresa?

c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco?

7) A o descontar uma promissria com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto de R$ 1.200,00. Qual o valor da promissria sabendo-se que a taxa de desconto utilizada foi de 4% a.m.?

8) O dono de uma pequena indstria metalrgica leva a um banco as duplicatas A, B e C para serem descontadas.

DuplicatasValorPrazo de antecipao

AR$ 4.000,00 2 meses

BR$ 14.000,00 50 dias

CR$ 8.000,00 75 dias

Se o banco utilizar uma taxa de desconto de 2,5% a.m., qual ser o valor lquido recebido pela empresa?

9) Um ttulo de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto?

10) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 18.000,00, setenta e dois dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,2% a.m..

a) Qual o valor do desconto?

b) Qual o valor descontado recebido pela empresa?

c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco?

9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL

9.2.1 Conceito

Desconto simples racional igual ao valor do juro simples calculado sobre o valor atual racional de um ttulo, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimento deste.

9.2.2 Valor Atual Racional

Chama-se de valor atual racional de um ttulo de valor nominal (N), vencvel no final de um certo tempo (t), ao capital () que aplicado a juro simples, durante o tempo (t) produza um montante igual ao valor nominal do ttulo (N).

Exemplo 1: Qual o valor atual racional de um ttulo de R$ 120.000,00 vencvel no final de 60 dias, sendo 10% a.m. a taxa de juros simples?

R$ 100.000,00

9.2.3 Frmula para clculo do desconto racional em relao ao valor nominal:

Se:

Logo:

Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o desconto racional.

= 120.000 100.000

= R$ 20.000,00

ou:

= R$ 20.000,00


1) Um ttulo de R$ 320.000,00 foi negociado racionalmente 75 dias antes do seu vencimento a uma taxa de 11,2% a.m..Qual o desconto sofrido?

2) O valor atual de um ttulo de R$ 158.750,00, descontado racionalmente, 90 dias antes do seu vencimento R$ 125.000,00. Calcular a taxa da transao.

3) Qual o desconto racional sofrido por um ttulo de valor R$ 24.000,00 vencvel no final de 4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de desconto?

4) Um ttulo com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo ttulo?

5) Uma letra de cmbio no valor nominal de R$ 7.560,00, vence em 6 meses e 15 dias. Calcular o valor atual, deste ttulo, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro.

6) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencvel em 180 dias, com desconto racional. No segundo caso, com desconto comercial, mantendo as demais condies. Sabendo-se que a soma dos descontos foi de R$ 635,50, qual o valor nominal do ttulo?

7) Calcular o desconto por dentro sobre um ttulo de R$ 3.225,00 vencvel no final de 75 dias e negociado taxa utilizada na operao de 36% a.a.?

8) Um ttulo com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago pelo ttulo?

10 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS

s vezes temos necessidade de substituir um ttulo (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento so equivalentes. Esses problemas esto ligados, de modo geral, equivalncia de capitais diferidos (so aqueles cujos vencimentos tm datas diferentes)

Dois ou mais capitais, disponveis em pocas distintas, so equivalentes se possurem, numa certa poca, valores atuais iguais.A1 = A 2 ou A = A 1 + A2 + ...........+AnPara a soluo: estabelecer um data de comparao e comparar os valores atuais dos ttulos nessa data. No regime de juros simples, a data deve ser a data zero (data de contrao da dvida), tambm conhecida como data focal.

Obs: A equivalncia de capitais pode ser calculada, no sistema de capitalizao simples, atravs do desconto comercial (com taxa de desconto) ou do desconto racional (com taxa de juro).

Exemplo 1: Um ttulo de R$ 26.950,00, vencvel no final de 45 dias, deve ser substitudo por outro, vencvel no final de 39 dias. Calcular o valor do novo ttulo se a transao for realizada numa taxa de desconto de 15% a.m..

Exemplo 2: Um ttulo de R$ 26.950,00 vencvel no final de 45 dias, deve ser substitudo por outro, vencvel no final de 39 dias. Calcular o valor do novo ttulo se a transao for realizada numa taxa de juro simples de 15%a.m..

Exemplo 3: Uma empresa deve pagar dois ttulos, sendo um de R$ 720,00, vencvel em 2 meses, e outro de R$ 960,00, vencvel em 3 meses. Entretanto, no podendo resgat-los nos prazos estipulados, prope ao credor substitu-los por um nico ttulo, com vencimento para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo ttulo, considerando a taxa de desconto simples de 2% a.m..

+ )N= R$ 1.732,17


1) Um comerciante deve dois ttulos, um de R$ 8.000,00 para 90 dias e outro de R$ 10.000,00 para 72 dias. Pede para substitu-los por um nico ttulo com vencimento para 60 dias. Calcular o valor do novo ttulo se a taxa de desconto utilizada 7,5% a.m..

2) Um ttulo de R$ 240.000,00, vencvel em 60 dias foi substitudo por dois novos ttulos, de mesmo valor nominal, vencveis no final de 30 e 70 dias, respectivamente. Calcular o valor dos novos ttulos, se a transao realizada numa taxa de desconto de 10%a.m..

3) Por uma mercadoria foram feitas as seguintes propostas:

a) R$ 500,00 de entrada, R$ 200,00 no fim de 3 meses e R$ 300,00 no fim de 5 meses.

b) R$ 300,00 de entrada, R$ 350,00 no fim de 1 ms e R$ 350,00 no fim de 2 meses.

Sabendo-se que a taxa corrente de juro simples de 8%a.m., quanto deveria dar mais, de entrada o portador da menor oferta para igualar-se com a maior?

1) Um comerciante devedor de um ttulo no valor de R$ 17.050,00, vencvel em 60 dias, prope ao credor a substituio deste ttulo por dois novos ttulos, sendo um no valor de R$ 7.200,00 para 30 dias e um outro para 45 dias. Calcular o valor deste outro ttulo considerando uma taxa de desconto igual a 2% a.m..

2) Dois ttulos de valor nominal R$ 5.200,00 cada, vencveis em 50 e 75 dias, respectivamente, sero substitudos por um nico ttulo de valor R$ 10.000,00. Calcular o prazo deste ttulo se a taxa de desconto simples utilizada na transao de 3%a.m..

3) Uma empresa devedora de um ttulo no valor de R$ 22.540,00, vencvel no final de 3 meses, prope ao credor a substituio deste por dois novos ttulos de valores nominais iguais, vencveis no final de 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor de cada um dos novos ttulos sendo 5%a.m. a taxa de juros simples empregada na transao.

4) Um negociante tem as seguintes obrigaes de pagamento com um banco:

R$ 18.000,00 vencveis em 37 dias;

R$ 42.000,00 vencveis em 83 dias;

R$ 100.000,00 vencveis em 114 dias.

Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:

R$ 20.000,00 em 60 dias;

R$ 50.000,00 em 100 dias;

o restante em 150 dias.

Sendo 3,2% ao ms a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operaes, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente.

8) Um ttulo de R$ 4.200,00 que vencer em cinco meses deve ser substitudo por outro com vencimento para daqui a oito meses. Admitindo que esse ttulos podem ser descontados taxa de 1,5% ao ms, calcule o valor nominal do novo ttulo.

9) Um ttulo de R$ 1.000,00 que vencer em 3 meses, deve ser substitudo por outro com vencimento para daqui a 5 meses. Admitindo-se que esses ttulos podem ser descontados taxa de 2,5%a.m., calcular o valor nominal do novo ttulo.

10) Uma pessoa deseja trocar dois ttulos, um de valor nominal de R$ 30.000,00 e outro de R$ 36.000,00, vencveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um nico ttulo vencvel em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3%a.m., qual ser o valor do novo ttulo?

11) Um ttulo de R$ 70.000,00, pagvel em 50 dias, vai ser substitudo por outro com vencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o ttulo taxa de desconto igual a 36% a.a., determine o valor nominal do ttulo.

12) Queremos substituir dois ttulos, um de R$ 50.000,00 para 90 dias e outro de R$ 120.000,00 para 60 dias, por trs outros, com o mesmo valor nominal, vencveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transao de 3% a.m.

13) Uma pessoa tem dois compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui a 60 dias e R$ 8.000,00 daqui a 75 dias. Desejo trocar esse dbitos por dois pagamentos iguais, um daqui a 3 meses e outro a ser pago daqui a 4 meses. Determine o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de juros simples usada de 6%am.

14) Uma empresa apresenta o border de duplicatas a seguir, para sem descontadas em um banco taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor lquido recebido pela

empresa?

11 JUROS COMPOSTOS

11.1 CONCEITO

O regime de juros compostos o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro e do clculo econmico. Os juros compostos so popularmente chamados de juros sobre juros.

Na capitalizao composta ao final de cada perodo, os juros so calculados e somados ao capital, formando um montante, que ir ser o capital do perodo seguinte. A esse processo de agregao dos juros ao capital que se d o nome de capitalizao composta.

Utilizando as seguintes notaes:

PV = capital inicial

FV = montante final

i = taxa unitria (sempre referente ao perodo da capitalizao)

n = nmero de perodos de capitalizao (ano, trimestre, ms, dia, etc.)

Regime de Capitalizao Composta

Capital aplicadoJuros de cada perodoValor acumulado

R$ 1.000,00 R$ 1.000 x 10% = R$ 110,00R$ 1.100,00

R$ 1.100,00 R$ 1.100 x 10% = R$ 110,00R$ 1.210,00

R$ 1.210,00 R$ 1.210 x 10% = R$ 121,00R$ 1.331,00

O clculo do montante foi assim efetuado:

= 1.000 ( 1 + 0,1 x 1)

= 1.100 ( 1 + 0,1 x 1)

= 1.210 ( 1 + 0,1 x 1)

Substituindo os valores pelos smbolos, temos:

montante ao final do 1 perodo

= ( 1 + i )


= ( 1 + i )


= ( 1 + i )

montante ao final do n-simo perodo

=

Portanto, a frmula fundamental para o Clculo do Futuro Valor:

Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.000,00 a juros de 3%a.m., pelo prazo de 10 meses, com capitalizao composta. Qual o valor a ser pago no final do perodo?

Na HP 12C

5000 CHS PV

3 i

10 n

FV

Na calculadora cientifica

1,03 10

Multiplicar o resultado acima por 5000

Exemplo 2: Um emprstimo de R$ 200.000,00 dever ser pago no final de um ano a taxa de 5% a.m., num sistema de capitalizao mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento?

11.2 FRMULA PARA O CLCULO DO PRESENTE VALOR

ou

Exemplo: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em dois anos, em capitalizao trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00?

Na HP 12 C

83842CHSFV

12 i

8 n

PV

11.3 FRMULA PARA O CLCULO DA TAXA

Exemplo: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter um montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalizao mensa ?

Na HP 12C

30000 CHS PV

24 n

506736,04 FV

i

11.4 CLCULO DO NMERO DE PERODOS FINANCEIROS

Exemplo: No final de quanto tempo, em capitalizao mensal, a aplicao de um capital de R$ 120.000,00 taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98?

Na HP 12C

n

11.5 CLCULO DO MONTANTE QUANDO O NMERO DE PERODOS FINANCEIROS NO FOR UM NMERO INTEIRO

Onde m representa a parte inteira e p/q a parte fracionria.

Existem dois sistemas de clculo. Um atravs da Conveno Linear e outro atravs da Conveno Exponencial.

Conveno Linear:

O clculo da conveno linear calculamos a parte inteira com capitalizao composta e , para a parte fracionria, calculamos o juro simples sobre esse montante.

Exemplo: Uma dvida de R$ 100.000,00 est sendo paga com 132 dias de atraso. Qual dever ser o valor cobrado se o clculo realizado no sistema de conveno linear e a taxa de 12% a.m.?

n= 132/30 = 4,4 meses m = 4 p/q= 0,4

FV= 100.000,009 1= 0,12)4 ( 1 + 0,12 x 0,4) Na HP 12C

FV = R$ 164.904,83

Retirar o C da calculadora

100000 CHS PV

132 enter 30 : n

12 i

FV

Conveno Exponencial:

O clculo da conveno exponencial se baseia na frmula fundamental, ou seja inclusive no perodo fracionrio o juro calculado atravs do juro composto.

Exemplo: Clculo do exemplo anterior, atravs da conveno exponencial.

FV = 100.000,00 (1 + 0,12) 4,4

Na HP 12C

FV= R$ 164.649,08

Colocar o C da calculadora

100000 CHS PV

132 enter 30 : n

12 i

FV

Exerccios Propostos:

1) Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros compostos. Calcular o montante.

2) Qual ser o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de 6% a.m., durante dois anos em capitalizao mensal?

3) Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao ms, pelo prazo de 24 meses, com capitalizao composta. qual o valor a ser pago no final do perodo?

4) Um ttulo de renda fixa dever ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um ano. Sabendo que o rendimento desse ttulo de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual.

5) 5-Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao ms. Qual foi o valor do juro composto produzido?

6) O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicao.

7) Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao ms, quanto dever aplicar hoje? Suponha capitalizao mensal.

8) Uma empresa tomou um emprstimo de R$ 98.000,00 e comprometeu-se liquid-lo no final de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que a capitalizao mensal.

9) A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 36 meses?

10) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, taxa de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido?

11) Um capital foi depositado a juros compostos e, aps 2 anos, triplicou de valor. Qual a taxa mensal de juros compostos usada?

12) A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, em oito meses, obtermos um montante de R$ 42.000,00?

13) Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, em dois anos.

14) Uma certa pessoa concedeu um emprstimo de R$ 10.000,00 taxa efetiva de 4,8% a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquidao, um ano, trs meses e seis dias aps a realizao do emprstimo:

a) Calculado atravs da conveno linear.

b) Calculado atravs da conveno exponencial.

15) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em juro composto a taxa de 6% a.m., durante um ano, oito meses e 12 dias, em capitalizao mensal. Calcular o valor do montante atravs da conveno linear.

16) Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao ms, e foram recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicao?

17) Calcular o montante de R$ 18.000,00 durante 2 a 4 m 8 d, a juros de 5% a.t., capitalizados trimestralmente :

a) Pela conveno linear.

b) Pela conveno exponencial.

18) Uma pessoa aplicou R$ 500,00, a 1,4% a.m. de juros compostos, obtendo como saldo R$ 615,95. Determine o prazo da aplicao.

19) O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes taxa de 4,9% a.m. e nos dois ltimos taxa de 5,3% a.m.. Qual o montante constitudo no final de seis meses?

20) Que capital dever ser aplicado, em juros compostos, durante 3 anos, em capitalizao mensal, `taxa de 7,5% a.m., para que proporcione um juro no valor de R$ 300.277,00?

21) Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6% ao ms, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?

22) Calcule o montante resultante da aplicao de um capital de R$ 28.400,00 durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao trimestre, pela conveno linear.

23) Resolva o problema anterior pela conveno exponencial.

24) Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos ltimos 15 anos. Determine o montante obtido.

25) Certo capital foi aplicado a juros compostos durante quatro meses. As taxas de juros foram de 1,95%, 2,24%, 2,73% e 2,08%, respectivamente. O total de rendimentos calculado foi de R$ 2.723,14.

a) Determine o capital aplicado.

b) Determine a taxa acumulada no perodo.

c) Determine o valor dos juros recebidos no terceiro ms.

d) Se o capital permanecer aplicado ao quinto ms qual deve ser a taxa recebida neste ms

26) Um capital de R$ 8.100,00 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% a.m. durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos trs seguintes meses e a 1,65% a.m. nos prximos trs meses. Calcule o total de juros apurado.

27) Certo capital foi aplicado a juros compostos de 3% a.m., durante cinco meses. O montante de R$ 1.022,94, da resultante, foi novamente aplicado a juros compostos, agora por sete meses, gerando um montante de R$ 1.392,08. Calcule:

a) a taxa de juros da aplicao.

b) o total de juros recebido nas duas aplicaes.

12 TAXAS PROPORCIONAIS

Duas, ou mais taxas, so proporcionais se entre elas e os tempos a que elas se referem existir uma mesma razo.

Exemplo:60% a.a.12 meses

15% a.t.3 meses

5% a.m.1 ms

Taxas equivalentes so aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempo o mesmo. Por exemplo:

taxa anual

taxa trimestral

capitalizao anual capitalizao trimestral

Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais no so equivalentes.

Exemplo: Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.000,00, calcule o montante nas duas situaes:

Durante 1 ano, taxa de 24% a.a.

....................

Durante 12 meses, taxa de 2% a.m.

...............

Como os dois montantes obtidos no so iguais, as taxas no so equivalentes, mas so proporcionais.

13 TAXAS EQUIVALENTES

Duas, ou mais taxas, so equivalentes quando, referindo-se a perodos e capitalizao diferentes, fazem com que capitais iguais constituam, no final de um, certo tempo, montantes iguais.

A equivalncia calculada pela seguinte frmula:

Onde:

= taxa conhecida.

=taxa a ser calculada.

QQ =tempo do perodo da taxa a ser calculada.

Qt =tempo da taxa conhecida, em relao a k.

Na realidade nada mais do que o valor do juro calculado sobre o capital unitrio (1,00), no prazo estipulado.

Para as fraes do ano, no regime de capitalizao a juros compostos, as relaes so:

(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1+is)2 = (1+ ia)

Exemplo:

Taxa ConhecidaTaxa equivalente para:

a) 79,5856% ao ano 1 ms

b) 28,59% ao trimestre1 semestre

c) 2,5 % ao ms105 dias

d) 0,5% ao dia1 ano

e) 25% (ano comercial)1 ano exato ( base 365 dias)

Soluo algbrica

Soluo HP- 12C

a)

100 CHS PV

79,5856 i

30 enter 360 : n

FV 100 -

b)

100 CHS PV

28,59 i

180 enter 90 : n

FV 100 -

c)

100 CHS PV

2,5 i r

105 enter 30 : n

FV 100 -

d)

100 CHS PV

5 i

360 n

FV 100 -

% ao ano

e)

100 CHS PV

25 i

365 enter 360 : n

FV 100 -

% ao ano civil

14 TAXA NOMINAL

A taxa nominal uma taxa referencial em que os juros so capitalizados (incorporados ao principal) mais de uma vez no perodo a que a taxa se refere. A taxa de juros nominal quando a sua unidade de tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao.

Na prtica comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao ano, capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o perodo de capitalizao no coincide com o perodo a que a taxa se refere diz-se que a taxa nominal.

Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, devemos calcular a taxa efetiva da operao.

Se, por exemplo, a taxa de capitalizao de 10% a.m., a taxa nominal ser de:

10% x 12m= 120% a.a. capitalizada mensalmente.

Exemplo 1: Sendo 12% a.m. capitalizada diariamente a taxa nominal de juro, qual a taxa de capitalizao?

Soluo:

15 TAXA EFETIVA (i)

Taxa efetiva, como j a taxa efetivamente paga. a taxa de capitalizao ou toda e qualquer taxa equivalente a esta.

Exemplo: Um banco oferece emprstimos a taxa de 72% a.a. em capitalizao mensal (Taxa Nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco?

Soluo:

i = 0,72 / 12 = 0,06ou6% a.m. (taxa efetiva de capitalizao)

100 CHS PV

6 i

12 n

FV 100 -

% ao ano


1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente s seguintes taxas:

a) 1,8% a.m.

b) 2,5% a.b.

c) 4,5%a.t.

d) 18% a.s

2) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente s seguintes taxas:

a) 75% a.a.

b) 50% a.s.

c) 21% a.t.

d) 6,5% a.b.

e) 0,12% a.d.

3) Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente s seguintes taxas:

a) 0,14% a.d.b) 1,6% a.m.

c) 2,7% a.b.

d) 4,1% a.t.

e) 96% a.a.

4) Sendo 5% a.m. a taxa efetiva de juro, determinar a taxa para:

a) 3 meses.b) 3 dias.

c) 42 dias.d) um ano.e) 15 dias.

5) Um banco oferece a taxa de 54% a.a. para aplicaes em CDBs. Pergunta-se, qual a taxa para:

a) 32 dias?b) 47 dias?

c) um dia?d) um ms?e) 192 dias?

6) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a.:

a) capitalizada mensalmente.b) capitalizada diariamente.

7) Aplicando-se R$ 50.000,00 no regime de juro composto, durante um ano a taxa de 108% a.a., em capitalizao mensal, qual o valor do montante no final do ano?

8) Um banco oferece emprstimos a taxa de 42% a.a. capitalizada trimestralmente. Se o banco tivesse que apresentar o contrato em forma de taxa efetiva, qual deveria ser a taxa efetiva:

a) trimestral?b) mensal?c) anual?

9) Em juros compostos, qual taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.?

10) Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.?

11) Dadas as taxas a seguir encontre as respectivas taxas efetivas anuais.

a) 24% a.a. com capitalizao diria.

b) 24% a.a. com capitalizao mensal.

c) 24% a.a. com capitalizao bimestral.

d) 24% a.a. com capitalizao semestral.

16 TAXA DE JURO REAL (ir)

Taxa de juro real a taxa efetiva ganha em cima do ndice inflacionrio, ou seja , a apurao do ganho ou perda em relao a uma taxa de inflao. Na taxa real se leva em considerao a inflao do perodo. O juro real calculado sobre o capital corrigido.Sendo:

= taxa aparente ( taxa efetiva)

= taxa da inflao

= taxa de ganho real

Na capitalizao composta, para retirar uma taxa de outra, deve-se utilizar a seguinte frmula:

Exemplo 1: Qual o rendimento da poupana se a TR do ms foi 0,93% e a taxa de juro real de 0,5%a.m.?

= 1,435% a.m.

Exemplo 2: Se a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m. e a TR de ms foi de 1,2%, qual a taxa de ganho real?

a.m.


1) Um capital foi aplicado, por um ano, taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo perodo, a taxa de inflao foi de 12%. Qual a taxa real de juros?

2) A taxa anual de juros cobrada por uma loja de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se a taxa de inflao resultar em 15% no mesmo perodo?

3) Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se:

a) A inflao mensal for de 6%?

b) A inflao mensal for de 4,8%?

4) Uma pessoa adquire uma letra de cmbio em uma poca A e a resgata na poca B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflao, nesse perodo foi de 15%.

5) Que taxa ao perodo deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de poupana por um ms, sabendo que esse produto remunerado taxa de 0,5% a.m. + TR? (considere TR do ms 0,45%).

6) Um emprstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflao nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual.

7) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a inteno de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% ao ano.Qual a taxa de inflao?

17 TAXA ACUMULADA

Taxa acumulada aquela resultante ao final de n perodos. Se a taxa for constante em todos os perodos, ento a taxa acumulada ser iacumulada=(1+ido perodo)n. Entretanto pode-se calcular a taxa de juros acumulada quando ela no constante.

iacumulada = [(1 + i1) x (1 + i2) x ... x (1 + in)- 1] x 100

Exemplos:

1. Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%, respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no perodo?

i1=0,12 e i2=0,10

iacumulada = (1+0,12) x (1+0,10) -1= (1,12 x 1,10)-1 = 0,232 = 23,2%

2. Em trs anos um produto aumentou 7%, 8% e 5%. Qual a taxa de aumento acumulada no perodo?

i1=0,07 i2=0,08 e i3=0,05

iacumulada = (1+0,07) x (1+0,08) x (1+0,05) -1

iacumulada= (1,07 x 1,08 x 1,05)-1

iacumulada = 1,2134 - 1

iacumulada = 0,2134

iacumulada = 21,34%


1) A inflao nos ltimos 4 meses foi de 5,4%, 6,2%, 2,8% e 3,1% ao ms, respectivamente. Determine a taxa acumulada no perodo.

2) Em janeiro, fevereiro, maro e abril de um ano, o preo de um produto teve, respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento no quadrimestre?

3) Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro ms, 1,17 no segundo e 1,23% no terceiro ms do ano.

18 CAPITALIZAO CONTNUA

Supondo uma taxa nominal de 12% a.a. vamos determinar as taxas efetivas com as seguintes hipteses de capitalizao:

CapitalizaoN. perodos no ano

nTaxa efetiva do perodo

Taxa efetiva anual

ie = (1 + i)n 1

semestral2

trimestral4

mensal12

diria360

horria8.640

Podemos observar que quanto maior o nmero de capitalizaes dentro do tempo, maior a taxa efetiva. Porm, pode-se observar tambm, que a diferena entre as taxas com capitalizao diria e capitalizao horria muito pequena.

Quando o nmero de capitalizaes tende ao infinito o clculo da taxa efetiva se d atravs da seguinte frmula:

onde:

i = taxa efetiva

e = 2,7182818 (base dos logaritmos naturais)

in = taxa nominal

Exemplo 1: Qual A taxa efetiva anual equivalente a 10%a.a. com capitalizao contnua?

i = e0,1 1

i = 2,71828180,1 1

i = 1,105171 1 = 0,105171

r = 10,5171%a.a.

A capitalizao contnua proporciona o maior montante possvel no final do tempo do investimento, para uma taxa nominal anual. Seu clculo realizado atravs da seguinte frmula:

onde:

m = nmero de perodos referentes a taxa nominal. (Se a taxa nominal for expressa anualmente m representa nmero de anos, se for expressa mensalmente, m representa nmero de meses e assim sucessivamente).

Exemplo2: Calcular o montante constitudo com um investimento de R$ 5.000,00 por dois anos a uma taxa de 10% a.s. capitalizada continuamente.

Soluo:

m = 4 (nmero de semestres)

FV = 5.000,00 ( e0,1( 4FV = 5.000,00 ( 2,71828180,4FV = 5.000,00 ( 1,491825 = R$ 7.459,12

Exemplo 3: Se um investimento de R$ 20.000,00 for realizado a uma taxa nominal de 5% a.m. capitalizada continuamente, qual o montante acumulado no final de 5 anos?

Soluo:

m = 60 (nmero de meses)

FV = 20.000,00 ( e0,05 ( 60FV = 20.000,00 ( 2,71828183FV = 20.000,00 ( 20,085536 = R$ 401.710,73Exerccios propostos:

1) Calcular a taxa efetiva anual equivalente as seguintes taxas nominais capitalizadas continuamente:

a) 15% a.a.b) 36% a.a.c) 24% a.s.d) 2% a.m.

2) Um capital de R$ 5.000,00 aplicado durante oito meses a juros compostos taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente. Qual o montante?

3) Qual o montante de uma aplicao de R$ 6.000,00 durante trs anos, taxa de 15% a.a., capitalizados continuamente?

4) Qual o montante de uma aplicao de R$ 3.000,00 durante oito meses, taxa de 2% a.m., capitalizados continuamente?

5) Qual a taxa anual de juros compostos equivalente taxa de 15% a.a, capitalizados continuamente?

6) O valor de R$ 15.000,00 ficou aplicado durante 4 anos. Calcular o valor acumulado no final dos 4 anos se for considerada uma taxa nominal de 28% a.a. capitalizada continuamente.

7) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 48% a.a.:

a) capitalizada mensalmente.

b) capitalizada diariamente.

c) capitalizada continuamente.

19 DESCONTO COMPOSTO

O conceito de desconto o mesmo que no regime a juros simples: abatimento ao antecipar o pagamento de um vencimento.

Emprega-se o desconto composto para operaes a longo prazo, j que a utilizao do desconto simples em perodos longos pode resultar em valores sem nexo.

Assim como no caso de descontos simples, em descontos compostos temos dois tipos de descontos, desconto racional e comercial. O desconto comercial praticamente no utilizado, logo ficaremos restritos ao desconto racional.

A = N (1+i)-n ou

A = valor atual racional ou valor descontado racional valor lquido pago ou recebido antes do vencimento

N = valor nominal do ttulo valor indicado no ttulo (importncia a ser paga no dia do vencimento)

i = taxa de desconto

n = tempo perodo compreendido entre o dia em que se negocia o ttulo e seu vencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o ltimo)

Exemplo 1: Determine o valor atual de um ttulo de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, taxa de desconto composto de 2% ao ms.

N = 80.000

n = 4 meses

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

A = N (1+i)-n

Na HP 12C

A = 80.000 (1+0,02)-4

80000 FV

A= 73.907,63

4 n

2 i

PV CHS

O valor atual do ttulo de R$ 73.907,63

Exemplo 2: Qual o desconto composto que um ttulo de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, taxa de 2,5% ao ms?

d =?

N = 50.000

n = 3 mesesi = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.

Como d = N A,

A = N (1+i)-n

Na HP 12C

A = 50.000 (1+0,025)-3

50000 FV

A = 46.429,97

3 n

2,5 i

d = 50.000 - 46.429,97

PV

d = 3.570,03

50000 +

O valor do desconto de R$ 3.570,03


1) Calcule o valor atual de um ttulo de valor nominal de R$ 112.000,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente.

2) Qual o valor atual de um ttulo de R$ 10.000 vencvel no final de 6 meses, sendo 84% a.a. capitalizado mensalmente a taxa nominal de juro?

3) Um ttulo de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado taxa de 30% a.a., capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido?

4) Em uma operao de desconto composto, o portador do ttulo recebeu R$ 39.954 como valor de resgate. Sabendo que a antecipao foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046, qual foi a taxa de juro mensal adotada?

5) Um ttulo no valor nominal de R$ 75.000 com vencimento para 5 meses trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado de 3% ao ms, qual o valor nominal do novo ttulo?

6) Um comerciante, devedor de um ttulo de R$ 400.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dvida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos.

7) Uma empresa devedora de dois ttulos, um de valor R$ 30.000,00 vencvel no final de 129 dias e outro de valor de R$ 42.000,00 vencvel no final de 171 dias, pretende liquid-los imediatamente. Se o credor concorda com a transao a uma taxa de 48% a.a. capitalizada mensalmente, qual o valor atual dos dois ttulos?

8) Uma financeira oferece a um cliente dois ttulos, vencendo o primeiro em 12 meses, no valor de R$ 8.000,00, e o segundo em 18 meses no valor de R$ 10.000,00. Por quanto devem ser adquiridos hoje, considerando uma taxa efetiva de juros de 2,55% a.m.?

9) Uma Pessoa tem uma nota promissria a receber de valor nominal R$12.000,00, que vencer em dois anos. Alm disso, possui R$ 18.000,00 hoje. Que ir aplicar taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando a taxa de juros vigente no mercado, de 2% a.m., pergunta-se:

a) Quanto a pessoa possui em dinheiro na data de hoje?

b) Quanto possura daqui a um ano?

c) Quanto possuir daqui a dois anos?

20 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS

O conceito de equivalncia de capitais permite transformar formas de pagamento em outras formas equivalentes, para poder compar-las e decidir sobre a melhor alternativa.

Dois capitais so equivalentes se, em uma mesma data t, seus valores so iguais.

Os conceitos aplicados na equivalncia de capitais so os mesmos de juros simples.

Exemplo 1: A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., R$ 1.500,00 daqui a 3 meses, equivalem a quanto, hoje?

Fv = 1.500 C = ? n = 3 meses

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

Fv = C (1+i)n

1500= C (1+0,2)3

C= C = 1.413,48.

Assim, uma dvida de R$ 1.500,00 daqui a 3 meses o mesmo que uma dvida de R$ 1.413,00 hoje, j que, dispondo deste valor, pode-se aplic-lo e obter, daqui a 3 meses os R$1.500,00.

Exemplo 2: Uma pessoa tem hoje R$ 700,00 e mais uma nota promissria de R$ 500,00 para receber em 5 meses. Se o dinheiro pode ser remunerado uma taxa efetiva de 3,7% a.m, pede-se que valor essa pessoa pode contar nas datas:

a) de hoje b) no final de 5 meses c) no final de 3 meses

data focal: dia de hoje data focal: ms cinco data focal: ms trs

FV=700 + FV= 700(1 + 0,037)5 + 500 FV=700(1 + 0,037)3 +


1) Uma empresa devedora de um ttulo de R$ 15.000,00 vencvel no final de 6 meses, prope a substituio deste ttulo por dois novos ttulos, de mesmo valor nominal, vencveis no final de 2 e 4 meses respectivamente. Se transao realizada a taxa de 12% a.a. em capitalizao mensal, qual o valor dos novos ttulos?

2) Uma empresa tomou emprestado um emprstimo de R$ 100.000,00 por dois anos a juro de 24% a.a. capitalizado trimestralmente. Passado 6 meses da realizao do emprstimo a empresa prope ao credor a liquidao da dvida mediante dois pagamentos iguais, sendo um no ato e outro no final de um ano a partir daquela data. Sabendo-se que o credor concorda com a transao concedendo um desconto a taxa de 20% a.a capitalizada trimestralmente, qual o valor dos pagamentos?3) Uma nota promissria, cujo valor nominal R$ 50.000 vence daqui a um ms. O devedor prope a troca por outra nota promissria, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor nominal da nova nota promissria para que os capitais sejam equivalentes, taxa de 2% ao ms?

4) Uma pessoa tem uma dvida de R$ 60.000 para daqui a 2 meses e outra de R$ 80.000 para daqui a 3 meses. Quanto dever aplicar hoje, taxa de juros de 3% ao ms, para fazer frente a essas dvidas?

5) Resolva o problema anterior considerando a taxa de 1% a.m.

6) Uma empresa deve pagar 3 ttulos. O primeiro de R$ 15.000 exigvel em 1 ano; o segundo de R$ 30.000 exigvel em 2 anos e o terceiro de $ 25.000 exigvel em 3 anos. A empresa pretende substituir estes 3 ttulos por um nico ttulo de $ 45.676,21. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 5%, o prazo do novo ttulo de (aproximadamente)... (Questo do concurso para Controlador da Arrecadao Federal).

a) 12 meses

b)13 meses

c)14 meses

d)15 meses

7) A loja BOM SOM vende um conjunto de aparelhos de som em duas parcelas: R$ 20.000 de entrada e R$ 40.000 aps 5 meses. Francisco prope adiar a segunda parcela por mais 3 meses. Considerando que a taxa de juros mensal cobrada de 5% e o regime de capitalizao composta, Francisco dever pagar a mais na entrada a quantia de: (desprezar os centavos da resposta):

a) R$ 4.267,00

b) R$ 4.553,00 c)R$ 4.674,00 d) R$6.305,00

8) Uma casa vendida vista por R$ 318.000 ou a prazo por R$ 90.000 de entrada, mais 3 prestaes mensais e iguais de R$ 80.000 cada uma, vencendo a primeira um ms aps a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro taxa de 3% ao ms?

9) Ernesto emprestou determinada quantia a Jos Luiz, que se comprometeu a pag-lo em dois pagamentos iguais de R$ 800,00 ao final do terceiro e stimo meses do emprstimo. Posteriormente, o devedor props pagar as prestaes ao final do quinto e sexto meses. Sabendo que o credor trabalha com taxas de juros compostos de 8% a.m., aceitar a proposta?

21 RENDAS

As operaes at aqui estudadas compreenderam casos de pagamentos ou recebimentos geralmente em parcela nica. Agora vamos estudar os casos de depsitos ou prestaes sucessivas, destinados a pagar uma dvida ou a formar um capital.

O processo de realizao de depsitos sucessivos com o objetivo de formar um fundo, um capital ou uma poupana chamado de capitalizao. Ao processo de pagamento de uma dvida d-se o nome de amortizao.21.1 CONCEITO

Renda uma sucesso de depsitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/ou pagamentos, em pocas diferentes, destinados a formar um capital (capitalizao) ou a pagar (ou receber) uma dvida (amortizao).

21.2 CLASSIFICAO DAS RENDAS

Vamos classificar uma renda ou srie uniforme de acordo com quatro parmetros: o prazo, o valor, a forma e o perodo a que se refere a renda.

22.2.1 Quanto ao prazo

a) Temporria, quando tem um nmero limitado de pagamentos

b) Infinita, quando tem um nmero ilimitado de pagamentos

21.2.2 Quanto ao valor

a) Fixos, quando todos os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depsitos tm valores iguais.

b) Variveis, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depsitos no tm todos os valores iguais.

21.2.3 Quanto ao vencimento do primeiro pagamento

a) Imediata: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depsito ocorre no primeiro perodo.

b) Diferida: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depsito no ocorre no primeiro perodo, havendo, portanto um prazo de carncia.

21.2.4 Quanto periodicidade

a) Peridicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depsitos ocorrem em intervalos de tempo iguais.

b) No Peridicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depsitos ocorrem em intervalos de tempo variveis.

21.2.5 Quanto ao momento dos pagamentos

a) Postecipadas, quando a ocorrncia no final do perodo.

b) Antecipadas, quando o primeiro pagamento ocorre no tempo 0 da srie de pagamentos.

21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA

O valor atual ou presente valor de uma renda igual soma dos valores atuais em termos de pagamentos.

21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITRIA IMEDIATA

O valor atual de uma renda a soma dos valores atuais de seus pagamentos. Na prtica, no entanto, fica muito difcil, a cada operao, ter que calcular os valores atuais das parcelas individualmente. Para facilitar, podemos utilizar um fator especfico. O fator representado por .

Este fator calculado atravs da frmula:

Onde: n = nmero de perodos i= taxa

Exemplo: Qual o valor atual de uma renda unitria imediata, com 10 pagamentos, sendo 5% a.p. a taxa de juro?

Na HP 12 C:

1 CHS PMT

5 i

10 n

PV 21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)

21.5.1 Imediata ou Postecipada

ou

EMBED Equation.3

Exemplo 1: O preo de um carro R$ 17.706,00. Um comprador d 40% de entrada e o restante financiado taxa de 5% ao ms em 10 meses. Calcule o valor da prestao mensal.

17706 100%

Na HP 12C

x 40%

17706 enter x = 7.082,40

40 % -

17.706,00 7.082,40

Valor a ser financiado R$10.623,60

10.623,60 = PMT x 7,72173510623,60 CHS PV

PMT = 10.623,60/ 7,721735

10 n

PMT = R$ 1.375,81

5 i

PMT

O valor da prestao R$ 1.375,805Exemplo 2: Qual o valor que, financiado taxa de 2,5% ao ms, pode ser amortizado em 12 prestaes mensais, iguais e sucessivas de R$ 350 cada uma?

PV = 350 x 10,257765

Na HP 12C

PV = R$ 3.590,21

350 CHS PMT

2,5 i

12 n

PV

Exemplo 3: Quantas prestaes de mensais de R$ 80,00 cada uma so suficientes para liquidar um financiamento de R$ 361,20, taxa de 3,5% a.m.?

361,20 = 80 x

Na HP 12C

= 361,20/ 80

80 CHS PMT

= 4,515000

361,2 PV

n = 5

3,5 i

n21.5.2 Antecipada

ou

Exemplo: Um aparelho eletrnico foi comprado em quatro prestaes mensais de R$ 200,00, no incio de cada ms, taxa de 2% a.m.. Calcular o valor a vista do aparelho.

PV = 200 ( 1 + 2,883883)

Na HP 12C

PV = 200 x 3,883883

g beg

PV = 776,78

200 CHS PMT

2 i

4 n

PV

21.5.3 Diferida

Onde m representa o nmero de perodos da carncia.

Exemplo: Um emprstimo de R$ 50.000,00 concedido a uma empresa em prestaes mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao ms e foi concedido um prazo de carncia de 4 meses para o primeiro pagamento, pergunta-se: Qual o valor da prestao?

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Na HP 12C

18,913926 x 0,942322

50000 CHS PV

PMT = 50000/ 17,823015

3 n

PMT = R$ 2.805,36

2 i FV

CHS PV

0 FV

24 n

PMT


1) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado atravs de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias da liberao dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operao.

2) Um produto comercializado vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestao se o comprador resolver financiar em cinco prestaes mensais iguais e sem entrada, considerando a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao ms?

3) Um produto comercializado vista por R$ 1.750,00. Outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao ms, gerando uma prestao de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestaes deste financiamento.

4) Calcular o valor da prestao de um emprstimo de R$ 25.000,00 a ser liquidado em 12 prestaes iguais mensais e consecutivas, ao final de cada ms, taxa de 4% a.m..

5) Antnio adquiriu um microcomputador para pagamento, sem entrada, em 5 prestaes mensais iguais e sucessivas de R$ 345,00. Qual foi o valor a vista da compra considerando a taxa mensal de 2%?

6) Qual o valor da prestao de um bem que est sendo anunciado para pagamento em 1 + 5 prestaes mensais iguais, sabendo que a taxa praticada de 36% a.a. (nominal) e o valor a vista do aparelho de R$ 450,00?

7) Certa impressora est sendo vendida a vista por R$ 600,00. A loja aceita vend-la a prazo, sem entrada, em prestaes mensais de R$ 98,13, garantindo taxa de 3,5% a.m.. O nmero de prestaes seria, segundo o vendedor, igual a 15. O comprador, desconfiado de que este nmero est elevado, recorreu a seus conhecimentos; auxilie-o, calculando o nmero de prestaes.

8) Uma empresa comprou uma mquina e financiou o seu valor em 6 prestaes mensais de R$ 15.000,00 cada, com trs meses de carncia. Se a taxa cobrada no financiamento de 8% a.m, qual o valor da mquina vista?

9) Considerando as duas opes a seguir, para aquisio de um imvel, dizer qual das duas a mais vantajosa para o comprador; e qual a diferena entre ambas: (a) a vista, por R$ 8.000,00, ou (b) a prazo em seis prestaes iguais e sucessivas de R$ 1.500,00, sem entrada, a serem pagas ao final de cada ms, taxa nominal de 36%a.a..

10) Calcular a taxa mensal percentual que est sendo praticada no caso de um bem oferecido a vista por R$ 1.500,00 e, a prazo, em 10 prestaes mensais de R$ 167,00 sem entrada?

11) Qual o valor a vista de um aparelho de som que est sendo oferecido para pagamento em 5 prestaes iguais de R$ 300,00, taxa de 4,5% a.m., sendo a primeira no ato da compra?

12) Qual o valor financiado de um bem a ser pago em 10 prestaes mensais iguais de R$ 500,00 cuja primeira prestao vence daqui 90 dias, taxa de 4%a.m?

13) Um automvel 0 km vendido vista por R$ 32.000,00 ou a prazo com 20% de entrada mais 24 prestaes mensais iguais. Qual o valor de cada prestao se a taxa de juros compostos do financiamento for de 1,8% a.m.?

14) Um equipamento de som est sendo vendido em uma loja por R$ 1.020,00 para pagamento vista. Um comprador pode pedir um financiamento pelo plano (1+1) pagamentos iguais, isto , o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra e o segundo, um ms aps aquela data. Se a taxa de juros praticada pela empresa que ir financiar a compra for de 4% ao ms, qual o valor de cada prestao?

15) Um banco concede um emprstimo a uma pessoa cobrando 10 prestaes mensais de R$ 700,00 cada uma, sem entrada. Qual o valor emprestado, sabendo-se que o banco cobra juros compostos, taxa de 4% a.m.?

16) Um terreno vendido por R$ 200.000,00 a vista, ou por 40% de entrada e o restante em 12 prestaes mensais. Para uma taxa de juros de 2,5% a.m., determinar o valor de cada prestaes mensais.

17) Uma revendedora de carros coloca a venda um carro por R$ 25.000,00 ou com uma entrada de 20% e o restante financiado em 12 prestaes mensais iguais, a taxa nominal de 84%a.a.. Qual o valor da prestao mensal?

18) Uma empresa toma um emprstimo para ser amortizado em 24 prestaes mensais de R$ 50.000,00 cada, com um ano de carncia. Calcular o valor do emprstimo, se a taxa de juro do financiamento de 6% a.m.?

19) Uma empresa toma um emprstimo de R$ 720.000,00, com carncia de um ano, para ser amortizado em 12 prestaes mensais iguais. Calcular o valor das prestaes, se a taxa do financiamento de 1,5%a.m..

20) Ao comprar uma mquina uma empresa paga R$ 10.000,00 no ato e financia o restante em 8 prestaes trimestrais de R$ 5.000,00 cada. Se a taxa de financiamento de 9%a.t., qual o valor da mquina vista?

21) Uma empresa compra uma mquina para ser paga em 6 prestaes mensais de R$ 3.000,00 cada com 3 meses de carncia. Sendo 8%a.m. a taxa do financiamento, qual o valor da mquina vista?

22) Que emprstimo pode ser amortizado em 15 prestaes mensais de R$ 20,00 cada se a taxa de financiamento de 5% a.m.?

23) Uma casa comercial vende uma mercadoria em 4 pagamentos mensais de R$ 80,00 cada, sem entrada. Qual o valor vista se a taxa do financiamento de 8% a.m.?

24) Uma casa comercial vende uma mercadoria em 4 pagamentos mensais de R$ 80,00 cada, sendo o primeiro no ato (1+3). Qual o valor vista se a taxa do financiamento de 8% a.m.?

25) Uma casa comercial oferece uma mercadoria em (1+4) vezes de R$ 120,00. Qual o preo vista se a taxa cobrada no financiamento de 4% a.m.?

21.6 MONTANTE DE UMA RENDA

Montante ou futuro valor de uma renda a soma do montante dos depsitos, montante este calculado a partir da data deste depsito a data do ltimo depsito.

21.6.1. De uma Renda Unitria Imediata

Exemplo: Qual o montante ou futuro valor de uma renda unitria imediata com doze depsitos, sendo 5% a.p. a taxa de juro?

Na HP 12C

1 CHS PMT

12 n

5 i

FV

Sn( representa o fator de multiplicao para clculo do Futuro Valor de uma renda uniforme.

21.6.2. De uma Renda Imediata

ou

EMBED Equation.3

Obs.: Ao efetuarmos o clculo do (PMT . Sn() estaremos substituindo todos os n depsitos, por um nico valor com vencimento na data do ltimo depsito.

Exemplo 1: Determinar o valor futuro de uma srie de 18 aplicaes mensais, iguais e sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, taxa de 2% a.m., sabendo que a primeira aplicada no final do primeiro ms.

FV= 1600 x S12(

Na HP 12C

FV = 1600 x 21,412312

1600 CHS PMT

FV = R$ 34.259,70

18 n

2 i

FV

Exemplo : Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000,00, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remunerao do capital 4% e que o primeiro depsito feito no final do primeiro ms?

12000 = PMT x S12(

Na HP 12C

12000 = PMT x 15,025805

12000 CHS FV

PMT = 12000/ 15,025805

12 n

PMT = R$ 798,63

4 i

PMT

21.6.3 De uma Renda Antecipada

Exemplo 1: Depositando-se R$ 500,00 no incio de cada ms, durante dois anos, numa instituio financeira que credita juro mensalmente a taxa de 4% a.m., qual o saldo da conta no final dos dois anos?

500

FV = 500 x S12(x (1+ 0,04)

Na HP 12C

FV = 500 x 39,082604 x 1,04

g beg

FV = R$ 2.0322,95

500 CHS PMT

4 i

24 n

FV

Exemplo 2: Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se prope a depositar, no incio de cada ms, durante trs anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituio financeira que credita juro mensalmente taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no final do quinto ano, a partir do primeiro depsito?

FV = 200 x S36(x

Na HP 12C

FV = 200 x 63,275944 x 2,093778g beg

FV = R$ 26.497,16

200 CHS PMT

3 i

36 n

FV


1) Um poupador efetuava regularmente depsitos em uma conta de poupana. Aps 12 meses este poupador teve que interromper os depsitos, mas no efetuou nenhum saque, e gostaria de saber quanto ter aps 6 meses, considerando-se que os valores dos depsitos eram de R$ 200,00 e que a taxa mdia de juros para os primeiros 12 meses era de 1% ao ms e que para os prximos 6 meses estimou-se uma taxa de 0,8% ao ms. Quanto nosso amigo poupador ter aps todo o perodo?

2) Se uma pessoa depositar mensalmente R$ 50,00 em um banco, a comear hoje, quanto ela ter acumulado ao final de 5 anos? (Taxa prevista de 0,78% ao ms)

3) Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses, no caso de ele aplicar a quantia de R$ 640,00 taxa de 3,8% a.m. ao final de cada ms?

4) Um banco remunera suas aplicaes a 2,1% a.m. Quanto dever ser depositado, a partir de hoje, para que ao final de 50 meses o montante de R$ 14.300,00 seja atingido?

5) Uma pessoa depositou mensalmente a quantia de R$ 100,00 numa caderneta de poupana, taxa de 3% ao ms. Os depsitos foram fitos no ltimo dia til de cada ms e o juro foi pago no primeiro dia til de cada ms, incidindo sobre o montante do incio do ms anterior. O primeiro depsito foi feito em 31 de janeiro e no foram feitas retiradas de capital. Qual o montante em 01 de outubro?

6) Em quanto estar, no final de quatro anos, um fundo constitudo por aplicaes mensais regulares de R$ 600,00, taxa de 3,5% a.m., feitas no incio de cada ms?

7) Certa pessoa deposita R$ 2.000,00 no final de cada ms, numa instituio financeira. Qual o saldo da conta no final de um ano, se a taxa efetiva de juro de 4% a.m.?

8) Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se prope a depositar, no incio de cada ms, durante trs anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituio financeira que credita juro mensalmente taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no final do quinto ano, a partir do primeiro depsito?

9) Qual o valor do depsito a ser feito durante cinco anos, no incio de cada ms, para que se possa dispor, ao final desse tempo, de R$ 12.000,00, sabendo que a taxa de aplicao de 2% a.m.?

10) Seu Joo depositou R$ 210,00 no final de cada ms, durante trs anos consecutivos, numa instituio financeira que credita juro mensalmente. Se a taxa de juros foi 2% a.m., qual o saldo da conta no final dos trs anos?

11) Que importncia dever ser aplicada mensalmente, a partir desta data, para se obter no final de 24 meses o montante de R$ 100.000,00, taxa anual equivalente de 34,489%?

12) Desejando constituir uma poupana, uma pessoa deposita, no final de cada ms, R$ 100,00 durante dois anos consecutivos. Qual ser o saldo da conta no final do terceiro ano, se a taxa de juro de 4% a.m.?

13) Uma pessoa deposita em uma financeira, no incio de cada ms, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o montante dessa renda, sabendo que a financeira paga juro de 2% ao ms, capitalizado mensalmente.

14) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importncia numa instituio financeira, taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizado bimestralmente, de modo que com 8 depsitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000. Calcule a i

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