Apostila Matemática Financeira (1)

Matemática Financeira

Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente

UBERLÂNDIA-MG

2013



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MATEMÁTICA FINANCEIRA

1 INTRODUÇÃO O problema econômico decorre da escassez, ou seja, do fato de que as necessidades das

pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta de bens é limitada. Ao longo do

processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer as necessidades

foi solucionado através da especialização e através do processo de trocas que é a moeda.

Assim o preço passou a ser o denominador comum de medida para o valor dos bens e a

moeda um meio para acumular valor e constituir riqueza ou capital.

Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para consumo futuro.

Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse acumulação, o estoque

de bens poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do processo produtivo.

A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus

bens no presente e não no futuro. Em outras palavras, havendo uma preferência

temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este

prêmio para que não haja consumo é o juro.

O juro também pode ser entendido como sendo o custo do crédito ou a remuneração do

capital aplicado. Isto é, o juro é o pagamento pelo uso de poder aquisitivo por um

determinado período de tempo. Associa-se então o juro à preferência temporal das

pessoas, que é o desejo de efetuar o consumo o mais cedo possível. Nestas condições, a

taxa de juros mede o custo da unidade de capital no período a que se refere à taxa.

A MF trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, com o

objetivo básico de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída

de $ de caixa em diferentes momentos.

1.1 TAXA DE JUROS A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do

fator capital utilizado durante certo período de tempo.

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.)

e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa

unitária.

Taxa Percentual: refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada

centésima parte do capital.



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Exemplo: Capital aplicado de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao

final deste período:

Juro = R$ 1.000,00 x 20 100

Juro = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00

O Capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração

total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00.

Taxa Unitária: centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade

de capital em certo período de tempo.

No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20

(20%/100) por unidade de capital aplicada.

Juro = R$ 1.000,00 x 20 100

Juro = R$ 1.000,00 x 0,20 = R$ 200,00

A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão

da notação em percentual por 100. Para transformação inversa, basta multiplicar a taxa

unitária por 100.

Exemplos:

Taxa Percentual Taxa Unitária 2,5% 0,025 9% 0,09

26% 0,26 97% 0,97

151% 1,51 1300% 13,0

Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a

taxa unitária de juros. Os enunciados e as respostas dos exercícios estão sempre

indicados pela taxa percentual.



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1.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA A MF se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários ao

longo do tempo.

Estes movimentos são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas

e saídas de caixa definido como Fluxo de Caixa.

A linha horizontal registra a escala do tempo. O ponto zero indica momento inicial, e os

demais pontos representam os períodos de tempo (datas).

As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de

dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.

1.3 REGRAS BÁSICAS Nas fórmulas de MF, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem

necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.

Se uma aplicação, por exemplo, foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros

definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos.

É indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformar a taxa de juro para o

intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-versa, o que for

considerado mais apropriado para os cálculos.

Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem

ser efetuados através das regras de juros simples e de juros compostos.

1.4 CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e

sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Podem-se identificar dois

regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial).

Regime de Capitalização Simples – os juros crescem de forma linear ao longo do tempo.

Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação

ou empréstimo), não se registrando juros sobre os saldos acumulados, ou seja, juros

sobre juros.

Entradas de Caixa (+) + + + + +

Saídas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (Tempo)

de Caixa (-) -



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Exemplo: admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos pagando-se a

juros simples á razão de 10% ao ano.

Observe abaixo a evolução desta operação:

Regime de Capitalização Composta – incorpora ao capital somente os juros referentes a

cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.

É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica no qual os juros

incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não

unicamente sobre o capital inicial).

Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de $ 1.000,00 deve ser paga em juros

compostos à taxa de 10% ao ano, têm-se os resultados ilustrados no quadro a seguir:

Saldo no ínicio Juros apurados Saldo devedor ao Crescimento anual

de cada ano para cada ano final de cada ano do saldo devedor

Ínicio do 1º ano - 1.000,00 -Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00 Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00 Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00 Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00 Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00

Ano

Saldo no ínicio Juros apurados Saldo devedor ao

de cada ano para cada ano final de cada ano

Ínicio do 1º ano - 1.000,00 Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00 Fim do 3º ano 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00 Fim do 4º ano 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,10 Fim do 5º ano 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 1.610,51

Ano



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2 JUROS SIMPLES

2.1 FÓRMULAS

O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:

J = C x i x n

Onde:

J = valor dos juros expressos em unidades monetárias

C = capital. É o valor (em $) representativo de determinado momento

i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária.

n = período de tempo

Esta formula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros

mediante simples dedução algébrica:

C = J i = J n = J

i x n C x n C x i

EXEMPLOS

1- Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre.

Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

C = R$ 80.000,00 J = C x i x n

i = 2,5% ao mês (0,025) J = 80.000,00 x 0,025 x 3

n = 3 meses J = $ 6.000,00

J = ?

2- Um negociante tomou um empréstimo pagando taxa de juros simples de 6% ao mês

durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos

juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.

C = ?

i = 6% ao mês (0,06)

n = 9 meses

J = R$ 270.000,00

C = j

i x n



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C= 270.000,00 = 270.000,00 = R$ 500.000,00

0,06 x 9 0,54

3- Um capital de R$ 40.000,00 fica aplicado num fundo de poupança por 11 meses,

produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de

juros oferecida por esta operação.

C = R$ 40.000,00

i = ?

n = 11 meses

J = R$ 9.680,00

i = j

C x n

C= 9.680,00 = 9.680,00 = 0,022 ou 2,2% ao mês

40.000,00 x 11 440.000,00

4- Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês

produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcule o

prazo da aplicação.

C = R$ 250.000,00

i = 1,8% ao mês (0,018)

n = ?

J = R$ 27.000,00

n = j

C x i

n = 27.000,00 = 27.000,00 = 6 meses

250.000,00 x 0,018 4.500,00



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Exercícios

1. Qual valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 10.000,00, pelo prazo

de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

2. Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de $ 7.875,00.

Determinar a taxa correspondente.

3. Uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $

8.250,00. Qual a taxa anual Correspondente a essa aplicação?

4. Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00,

à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo.

5. Qual o capital que, a taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em 12 meses?

6. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 1.000,00 aplicados á uma taxa de

juros de 15% ao ano, durante 12 meses.

2.2 MONTANTE E CAPITAL

Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa de juro por determinado tempo,

produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples

por M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado

dos juros, isto é:

M = C + J

Sabemos que: J = C x i x n

Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra, e colocando-se C em

evidência:

M = C + C x i x n

M = C (1+ i x n)

Desta maneira, para acharmos o valor de C nesta fórmula, fazemos a seguinte

transformação algébrica:

C = M

(1+ i x n)



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A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitalização (ou de valor faturo) dos

juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma

data futura, determinando o montante. O Inverso, ou seja, 1/ (1 + i x n) é denominado

de fator de atualização (ou de valor presente). Ao se aplicar o fator sobre um valor

expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual.

1- Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 á taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses.

Determinar o valor acumulado ao final deste período.

C = R$ 18.000,00 M = C ( 1 + i x n)

i = 1,5% ao mês (0,015) M = 18.000,00 (1 + 0,015 x 8)

n = 8 meses M = 18.000,00 x 1,12

M = ? M = R$ 20.160,00

2- Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um

desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje.

Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.

M = R$ 900.000,00

i = 7% ao mês (0,07)

n = 4 meses

C = ?

C = M

(1+ i x n)

C= 900.000,00 = 900.000,00 = R$ 703.125,00

(1 + 0,07 x 4) 1,28



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Exercícios

1. Calcular o montante de $ 85.000,00 aplicado por 7 meses à taxa linear de 2,5% ao

mês.

2. Uma nota promissória de valor nominal de $ 140.000,00 é resgatada dois meses

antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de

juros simples é de 1,9% ao mês?

3. Se uma pessoa necessitar de $100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela

depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 1% ao mês?

4. Uma pessoa aplicou $ 12.000 numa instituição financeira resgatando, após 7meses,

o montante de $13.008,00. Qual a taxa de juros mensal que o aplicador recebeu?

5. Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano pelo regime

linear renderá $1.940,00?

6. Um capital emprestado gerou $ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de

aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% a.m., calcular o valor do

montante.

2.3 TAXA PROPORCIONAL E EQUIVALENTE

Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que

toda operação envolve dois prazos:

• prazo a que refere-se a taxa de juros

• prazo de capitalização (ocorrência) dos juros

Por exemplo: vamos admitir um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal de

24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual.

A seguir deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer

que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos

considerados são coincidentes.

Mas em inúmeras operações estes prazos não são coincidentes. Outro exemplo:

A Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a

qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês através de um percentual

proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo de

capitalização: mês.

Mas conforme abordamos anteriormente, é necessário expressar estes prazos

diferentes na mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para



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o de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser

expresso na unidade de tempo da taxa de juros.

No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta transformação é

processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa

linear ou nominal.

Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação

e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de

capitalização).

Exemplos:

1) Para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente

(ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá

sobre o capital a cada mês será:

Taxa Proporcional = 18% = 1,5% ao mês

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2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:

a) 60% ao ano

i = 60% x 6 = 30% a. s.

12

b) 9% ao trimestre

i = 9% x 6 = 18% a. s.

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3) Calcular a taxa anual proporcional a:

a) 6% ao mês

i = 6% x 12 = 72% ao ano

b) 10% ao bimestre

i = 10% x 6 = 60% ao ano.

As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital

e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.

Por exemplo: em juros simples um capital de R$ 500.000,00, se aplicado pelo prazo de

um ano a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre, produz o mesmo montante linear de juros.

Isto é:

• J (2,5% a.m.) = R$ 500.00,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00



12

• J (15% a.s.) = R$ 500.00,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00

Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas

como equivalentes.

No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas

equivalentes são consideradas a mesma coisa.

Exercícios

1. Calcular a taxa mensal proporcional de:

a) 14,4% ao ano

b) 6,8% ao trimestre

c) 11,4% ao semestre

d) 110,4% ao ano

2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de:

a) 120% ao ano

b) 3,2% ao quadrimestre

c) 1,5% ao mês

3. Determinar a taxa de juros anual proporcional à seguintes taxas:

a) 2,5% ao mês

b) 56% ao quadrimestre

c) 12,5% para 5 meses



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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES JUROS SIMPLES

1) Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de $ 2.800,00, $ 4.200,00 e $

7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa

de juros simples de mercado é de 4,5% a.m. Determinar o valor da dívida se o

devedor liquidar os pagamentos no dia de hoje.

2) Uma calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições: $ 128,00 de

entrada, $ 192,00 em 30 dias e $ 192,00 em 60 dias. Sendo de 1,1% ao mês a taxa

linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à

vista.

3) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e

três meses, produz um montante de $ 600.000,00.

4) Determinar o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma

taxa de 2% ao mês, no regime de juros simples.

5) Uma loja oferece um computador por $3.000,00 a vista ou por 20% do valor a vista

como entrada e mais um pagamento de $ 2.760,00 após 6 meses. Qual a taxa mensal

de juros cobrada?

6) Uma pessoa contrai um empréstimo de $ 75.000,00 à taxa linear de 3,3% ao mês.

Em determinada data liquida este empréstimo pelo montante de $ 92.325,00 e

contrai nova dívida no valor de $40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais

baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de

$49.600,00.

Calcule:

a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos.

b) a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo.

7) João emprestou $20.000,00 de Carlos para paga-los após 2 anos. A taxa ajustada foi

de 30% a.a. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da

dívida João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a.?

8) Se tenho um título com valor nominal de $15.000,00 com vencimento daqui 2 anos

e a taxa de juros correntes é de 28%a.a., qual é o valor atual deste título nas

seguintes condições:

a) Hoje.

b) daqui um ano.



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c) 4 meses antes do seu vencimento.

9) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um

empréstimo de $ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre?

10) Uma aplicação de $ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros

simples de 26% a.a. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de

18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro?



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3 JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são

acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Esse

montante, por sua vez passará render juros no período seguinte formando um novo

montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros

formados em períodos anteriores), e assim por diante.

Esse processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples,

onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros

formados em períodos anteriores.

3.1 FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS

No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros

periodicamente.

Aqui usaremos as siglas PV (Valor Presente), que corresponde ao Capital estudado em

Juros Simples, e FV (Valor Futuro) correspondente ao Montante.

Fórmulas:

FV= PV (1 + i)n e PV= FV

(1 + i)n

onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro) a juros compostos, e 1/(1 +

i)n o fator de atualização (ou de valor presente) a juros compostos.

Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença

entre o montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela

seguinte expressão:

J = FV – PV

Como: FV = PV (1 + i)n , colocando-se PV em evidência:

J = PV [(1 + i)n - 1]



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EXEMPLOS

1. Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela

depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao

mês?

FV = $ 27.500,00

n = 1 ano (12 meses)

i = 1,7% a.m.

PV = ?

Utilizando a HP-12C:

27500 CHS FV

1,7 i

12 n

PV

22.463,70

2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de

8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

PV = $ 12.000,00

n = 8 meses

i = 3,5% a.m.

FV = ?

FV = PV (1 + i)n

FV = 12.000,00 (1 + 0,035)8

FV = 12.000,00 x 1,316809 = $15.801,71

PV= FV

(1 + i)n

PV= 27.500,00 = 27.500,00

(1 + 0,017)12 (1,017)12

PV= 27.500,00 = $ 22.463,70

1,224197



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12000 CHS PV

3,5 i

8 n

FV

15.801,71

3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que

produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre.

PV = $40.000,00

FV = $43.894,63

n = 4 meses

i = ?

FV = PV (1 + i)n

FV = (1 + i)n

PV

43.894,63 = (1 + i)4

40.000,00

1,097366 = (1 + i) 4 1,097366 = (1 + i) 4

1 + i = 1,0235 i = 0,0235 ou 2,35% a.m.


40000 CHS PV

43894,63 FV

4 n

i

2,35%



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4. Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, á taxa composta de

juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o

prazo da operação.

PV = 22.000,00

FV = 26.596,40

i = 2,4% a.m.

n = ?

FV = PV (1 + i)n

FV = (1 + i)n

PV

26.596,40 = (1,024)n

22.000,00

1,208927273 = (1,024)n , aplicando-se logaritmos, tem-se:

log 1,208927273 = n x log 1,024

n = log 1,208927273 = 0,189733415

log 1,024 0,023716527

n = 8 meses


220000 CHS PV

26.596,40 FV

2,4 i

n

8



19

5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à

taxa composta de 4,5% ao mês.

J =?

PV = 88.000,00

n = 5 meses

i = 4,5% a.m.

J = PV [(1 + i) n – 1]

J = 88.000 [(1,045) 5 – 1]

J = 88.000 (0,246182) = $ 21.664,02

Exercícios

1. Determinar o Valor Futuro, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um

capital de $ 100.000,00, à taxa de 3,75% ao mês.

2. Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de 58.000,00

daqui a 12 trimestres, quanto deverá aplicar neste título?

3. Em que prazo uma aplicação de $374.938, à taxa de 3,25% a.m., gera um resgate de

$500.000.

4. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 68.700,00 que produz um

montante de $ 82.084,90 ao final de 8 meses.

5. Calcular o juro de uma aplicação de $300.000 nas seguintes condições de prazo e

taxa, i = 2,5% a.m. e n = 1 semestre.

3.2 TAXAS EQUIVALENTES

Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa

proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas

proporcionais.

São também equivalentes, pois promove a igualdade dos montantes de um mesmo

capital ao final de certo período de tempo.

Por exemplo, em juros simples um capital de $80.000,00 produz o mesmo montante em

qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t.

n = 3 meses

FV (3% a.m.) = 80.000,00 ( 1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00

FV (9% a.t.) = 80.000,00 (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00



20

O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros

compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da taxa de juros.

Podemos utilizar a seguinte fórmula para encontrar a taxa equivalente:

i quero = [(1 + i)quero/tenho – 1] x 100

Exemplo: 2% ao mês e 26,82% ao ano são Equivalentes:

i anual = [(1,02)360/30 – 1] x 100

i anual = [(1,02)12 – 1] x 100

i anual = [1,2682 – 1] x 100

i anual = 0,2682 x 100

i anual = 26,82%


1,02 enter

360 (quero) enter

30 (tenho) divide

y x

1 –

100 x

Exercícios

1. Capitalizar as seguintes taxas:

a) 2,3% ao mês para um ano

b) 0,14% ao dia para 23 dias

c) 7,45% ao trimestre para um ano

d) 6,75% ao semestre para um ano

e) 1,87% equivalente a 20 dias para um ano

f) 1,8% ao mês para um trimestre

2. Calcular a taxa composta a 34% ao ano para os seguintes prazos:

a) 1 mês

b) 1 quadrimestre

c) 1 semestre

d) 5 meses



21

2.3 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

TAXA NOMINAL - é aquela consignada nos contratos relativos a operações

financeiras. É também conhecida como taxa contratada ou taxa oferecida.

Na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de

tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em

termos anuais. Assim, por exemplo:

• 12% ao ano, com capitalização mensal;

• 24% ao ano, com capitalização semestral;

• 10% ao ano, com capitalização trimestral;

• 18% ao ano, capitalizados diariamente;

A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios.

Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao

ganho/custo financeiro do negócio.

TAXA EFETIVA – A Taxa Nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita,

que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. E essa taxa é

sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.

Nos exemplos anteriores as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas

nominais são:

• 12% ao ano = 12% a.a. / 12 meses = 1% a.m.

• 24% ao ano = 24% a.a. / 2 semestres = 12% a.s.

• 10% ao ano = 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% ao trimestre

• 18% ao ano = 18% a.a. / 360 dias = 0,050% ao dia

Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos

financeiros, no regime de juros compostos.

A taxa anual equivalente a esta taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal

que lhe deu origem, pois esta equivalência é sempre feita no regime de juros compostos.

Fórmula Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1

• 12% a.a. = (1 + 0,12/12)12 – 1 = (1,01)12 – 1 = 12,68% a.a.

• 24% a.a. = (1 + 0,24/2)2 – 1 = (1,12)2 – 1 = 25,44% a.a.



22

• 10% a.a. = (1 + 0,10/4)4 – 1 = (1,025)4 – 1 = 10,38% a.a.

• 18% a.a. = (1 + 0,18/360)360 – 1 = (1,0005)360 – 1 = 19,72% a.a.

Exemplo: A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal a

base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira.

Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1 = (1 + 0,06/12)12 –1 = (1,005)12 = 6,17% a.a.

Exercícios

1- Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o

custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:

a) mensal

b) trimestral

c) semestral

1- Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual:

a) 9% a.a. capitalizados mensalmente

b) 14% a.a. capitalizados trimestralmente

c) 15% a.a. capitalizados semestralmente

d) 12% a.a. capitalizados anualmente



23

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES JUROS COMPOSTOS

1) Um sítio é posto a venda por $50.000,00 de entrada e $100.000,00 em 1 ano. Como

opção o vendedor pede $124.000,00 á vista. Se a taxa de juros de mercado é de

2,5% a.m., qual a melhor alternativa?

2) Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000 que será liquidado, de uma só

vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre,

calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.

3) Um Certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a $ 500,00 rende juros de

15% ao ano. Sendo seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate.

4) Admita que uma pessoa irá necessitar de $33.000,00 em 11 meses e $47.000,00 em

14 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de investimento que

oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 17% a.a.?

5) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de

$820.000 no final de 1 ano e três meses. Calcular o valor dos juros.

6) Um investidor aplicou a quantia de R$150.000,00 em um título de renda fixa

resgatável no final do prazo de 12 meses. A taxa de juros composta aplicada ao título é 4% ao mês. O valor de resgate do título no final do 12º mês é: a) R$ 222.000,00. b) R$ 240.154,83. c) R$ 294.230,77. d) R$ 306.000,00.

7) Uma dívida apresenta as seguintes condições de pagamento: $ 6.200,00 vencíveis

em certa data e $ 9.600,00 vencíveis 4 meses após. O devedor propõe uma

renegociação da dívida nas seguintes condições: $3.000,00 após 3 meses do

vencimento do primeiro pagamento original; $4.500,00 daí a 3 meses e o restante 5

meses depois deste último pagamento. Para uma taxa efetiva de juros de 2,9% a.m.,

calcular o saldo a pagar.

8) Capitalizar as seguintes taxas:

a) 2,3% ao mês para um semestre

b) 0,19% ao dia para um trimestre

c) 7,45% ao trimestre para um mês

9) Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 68.700,00 que produz um

montante de $ 82.084,90 ao final de 8 meses.



24

10) Em que prazo uma aplicação de $374.938, à taxa de 3,25% a.m., gera um resgate de

$500.000.

4 DESCONTOS

Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título

em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da

operação.

A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma

recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, o desconto

pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor

atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento.

Por outro lado, o valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto,

sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:

Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto

As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples

como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em

operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de

longo prazo.

4.1 DESCONTO SIMPLES

4.1.1 DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um

compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.

Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal.

Valor Descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.

N: Valor nominal (ou montante ou valor futuro)

Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional)

n: Número de períodos antes do vencimento

i: Taxa de desconto

Dr: Valor do desconto



25

Temos: Vr = N

1 + i x n

Tem-se: Dr = N – Vr

Dr = N - N Dr = N (1+ i x n) – N

1 + i x n 1 + i x n

Dr = N x i x n

1 + i x n

Esta fórmula permite que seja obtido o valor do desconto racional, calculado para um

dado valor nominal (N), a uma taxa de juros (i) e para um prazo de antecipação (n).

O valor do desconto “por dentro” também é obtido multiplicando-se o Capital (ou Valor

Presente) pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n:

Dr = C x i x n

Como o valor presente é sempre incógnita, sendo normalmente conhecido o Valor

Nominal, normalmente utilizaremos a fórmula citada anteriormente.

O valor descontado de acordo com a definição, é dado por:

Vr = N – Dr

Vr = N - N x i x n

Dr = N (1+ i x n) – N x i x n

1 + i x n 1 + i x n

Vr = N

1 + i x n

OBSERVE-SE QUE, EM JUROS SIMPLES, O VALOR DESCONTADO É O

PRÓPRIO VALOR ATUAL.

Exemplo: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu

vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%a.a., qual o desconto e

quanto vai obter?

Temos: N = 5.500,00

n = 3 meses

i = 40% a.a. / 3,3333% a.m.



26

Calcular:

a) O desconto:

Dr = N x i x n

1 + i x n

Dr = 5.500,00 x 0,033 x 3 5.500,00 x 0,10 550,00

1 + 0,033 x 3 1 + 0,10 1,10

Dr = $ 500,00

b) Valor Descontado

Vr = 5.500,00 – 500,00 = $ 5.000,00

ou

Vr = N 5.500,00 5.500,00 $ 5.000,00

1 + i x n 1 + 0,10 1,10

Exercícios

1. Determinar o desconto racional das hipóteses seguintes:

a) Valor Nominal: $ 10.000,00 / Taxa: 23% a.a. / Prazo: 3 meses

b) Valor Nominal: $ 7.500,00 / Taxa: 29% a.a. / Prazo: 100 dias

2. Determinar o valor atual racional dos seguintes títulos:

a) Valor Nominal: $ 20.000,00 / Taxa: 15,9% a.a. / Prazo: 50 dias

b) Valor Nominal: $ 12.500,00 / Taxa: 21% a.a. / Prazo: 125 dias

3. Quanto devo pagar por um título no valor nominal de $ 15.000,00 com vencimento

em 150 dias se quero ganhar 36% a.a.?



27

4.1.2 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA” É aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valo nominal do

compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.

Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre

o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o

critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao

tomador de recursos.

Dc: desconto comercial

Vc: valor atual (ou valor descontado comercial)

Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição:

Dc = N x i x n

E o valor descontado comercial:

Vc = N – Dc Vc = N - N x i x n

Vc = N (1 – i x n)

Exemplo: Consideraremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00

é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento.

a) Desconto Comercial

Dc = N x i x n

Dc = 5.500,00 x 0,0333 x 3 = $ 550,00

b) Valor Descontado Comercial

Vc = N (1 – i x n)

Vc = 5.500,00 x (1 - 0,0333 x 3)

Vc = 5.500,00 x 0,9

Vc = $ 4.950,00

Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que os $

5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional.

É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto

utilizada não é mais igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante.

Observa-se que, se o banco ganha $550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3

meses, a taxa de juros da operação é:



28

i = 550,00 = 0,111 ao trimestre

4.950,00

ou i = 0,044 ao ano

Note-se então que, no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de

desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato.

EXERCÍCIOS

1. Calcular o desconto comercial das hipóteses seguintes:

a) Valor Nominal: $ 12.500,00 / Taxa: 37% a.a. / Prazo: 250 dias

b) Valor Nominal: $ 18.000,00 / Taxa: 35% a.a. / Prazo: 3 meses

2. Se o desconto comercial for de $ 1.125,00, qual será o valor nominal, se a taxa

considerada for de 27% a.a. e o prazo de antecedência 100 dias?

3. Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa de

26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $ 18.266,67, qual seria seu

valor nominal ?

4. O valor atual de um título é de $ 23.600,00, considerando-se a taxa de 28% a.a.

e o prazo de antecipação de 72 dias. Pergunta-se: Qual o desconto comercial?



29

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DESCONTO SIMPLES

1. Um título cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento foi negociado à

taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual

racional recebido foi de $ 1.921,95?

2. Valor nominal de uma promissória com vencimento em 15/11/2003 é de $ 2.700,00.

Se o dinheiro valer 36% a.a. e a promissória for saldada dia 19/08/2003, de quanto

será o desconto por dentro obtido? Qual o valor atual?

3. Se a taxa de juros corrente for de 30% a.a., qual será o valor atual comercial se o

desconto de um título no valor de $ 18.000,00 ocorrer 90 dias antes de seu

vencimento?

5 FLUXO DE CAIXA (ANUIDADES) Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se

estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

É bastante comum, na prática defrontar-se com operações financeiras que se

representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de

diferentes tipos costumam envolver uma seqüência de desembolsos periódicos de caixa.

De maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamento/recebimentos de aluguéis, de

prestações oriundas de compras a prazo, etc.

Existem dois modelos de fluxo de caixa:

• Uniforme – que representa uma característica de formação - padrão. É entendido

como o modelo - padrão de uma sucessão de pagamentos e recebimentos.

• Não - convencionais

Os termos dos fluxos de caixa são genericamente simbolizados por PMT, sendo para as

demais variáveis empregadas a mesma simbologia adotada anteriormente (PV, FV, n, i).



30

5.1 UNIFORME (MODELO – PADRÃO) Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos exigindo cada

um deles um tratamento específico em termos de formulações.

Esquematicamente, os fluxos de caixa são identificados com base nas seguintes

Classificações:

Postecipados

1. Período de Ocorrência Antecipados

Diferidos

2. Periodicidade Periódicos

Não periódicos

3. Duração Limitados (Finitos)

Indeterminados (Indefinidos)

4. Valores Constantes

Variáveis

O modelo – padrão de um fluxo de caixa, é verificado quando os termos de uma

sucessão de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes

classificações:

a) Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a

ocorrer ao final do primeiro pagamento.

b) Limitados: o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o

número de termos (pagamentos e recebimentos).

c) Constantes – indica que os valores dos termos que compõe o fluxo de caixa são

iguais entre si.

d) Periódicos: é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si.

Ou seja, o tempo entre um fluxo e outro é constante.

Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da forma seguinte:

PV PMT

0 n (tempo)1 2 3 n - 1

PMT PMT PMTPMT



31

5.1.1 VALOR PRESENTE

O Valor presente de um fluxo de caixa uniforme, conforme discutido no item

precedente, para uma taxa periódica de juros, é determinado pelo somatório de valores

presentes de cada um de seus valores.

Reportando-se à representação gráfica do fluxo - padrão apresentado, tem-se:

Logo:

PV = PMT + PMT + PMT + ......... PMT + PMT

(1+i) (1+1)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n

Fórmula Valor Presente Fluxo de Caixa Uniforme:

PV = PMT x 1 – (1 + i) -n

i

Exemplo: Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e

consecutivos de $ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a.m., até que preço

compensa adquirir o bem à vista?

PMT = $ 4.000,00

i = 2,6% a.m.

n = 7

PV = ?

PV = PMT x 1 – (1+i) –n 4.000,00 x 1 – (1,026)-7

i 0,026

PV = 4.000,00 x 6,325294 = $ 25.301,17

PMTPV

0 n (tempo)

PMT PMT PMT PMT

1 2 3 n - 1



32


4000 CHS PMT

2,6 i

7 n

PV

25.301,17

5.1.2 VALOR FUTURO

O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos montantes de

cada um dos termos da série de pagamentos/recebimentos. Graficamente tem-se a

seguinte representação:

O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de caixa.

Capitalizando-se cada um dos valores da série, apura-se a seguinte expressão:

FV = PMT + PMT x (1+i) + PMT x (1+i)2 + PMT x (1+i)3 +...+ PMT x (1+i)n-1

Fórmula Valor Futuro (Montante) de um Fluxo de Caixa uniforme

FV = PMT x (1 + i)n -1

i

PMT

FV

0 n (tempo)1 2 3 n - 1

PMT PMT PMT PMT



33

Exemplo: Calcular o Valor Futuro (montante) acumulado ao final do 7º mês de uma

seqüência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta

de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m.

n = 7

i = 2,1% a.m.

PMT = $800,00

FV = ?

FV = PMT x (1+i)n -1 800,00 x (1,021)7 - 1

i 0,021

FV = 800,00 x 7,456763 = $ 5.965,41


800 CHS PMT

2,1 i

7 n

FV

5.965,41



34

Exercícios

1. Que montante obterá uma pessoa que deposite periodicamente $100,00, conforme

prazos e taxas a seguir:

a) 24 meses – 1% a.m.

b) 10 trimestres – 15% a.t.

c) 20 semestres – 20% a.s.

2. Um terreno é vendido por $ 10.000,00 de entrada e 36 prestações mensais de $

500,00. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 2,5% a.m., até que

preço vale a pena comprar o terreno à vista?

3. Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $

10.000,00, caso ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e respectivos prazos:

a) Taxa Juros: 2,5% a.m. / Prazo: 12 meses

b) Taxa Juros: 3% a.m. / Prazo: 12 meses

4. Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por R$ 250.000,00 a vista ou em

4 prestações trimestrais de $ 77.600,00. Qual a melhor opção de compra, uma vez

que a taxa de juros correntes é de 10% a.t.

5. Um sítio é posto a venda por $ 300.000,00 a vista, ou a prazo nas seguintes

condições: 10% de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3% a.m. Qual o valor

das prestações?

6. Uma loja de eletrodomésticos oferece o seguinte plano na venda de um refrigerador:

a) Entrada = $ 1.000,00 mais 6 prestações mensais de $ 181,55

b) Entrada = $ 500,00 mais 12 prestações mensais de $ 148,01

Sendo a taxa de mercado 2% a.m., qual a melhor alternativa?

7. Certa agência de viagens diz financiar a juros de 1,2% a.m. Sua sistemática no

financiamento de $ 10.000,00 em 12 meses é a seguinte:

1,2% x 12 meses = 14,4% a.a.

10.000 x (1,144) = $ 11.440,00

11.440 : 12 = $ 953,33

Portanto, o cliente irá pagar 12 prestações de $ 953,33. A taxa de juros é realmente de

1,2% a.m.? Se não for, qual seria então o valor da prestação nesta taxa?

8. Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 será pago um título de um clube de

campo, se seu valor a vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% a.m.?



35

9. Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se

processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00. Considerar que a instituição

paga 2,5% a.m. sobre o saldo credor.

10. Certo executivo, pretendendo viajar durante 12 meses, resolve fazer 6 depósitos

mensais em uma financeira, para que sua esposa possa efetuar 12 retiradas mensais

de $ 20.000,00, durante o período de sua viagem. A primeira retirada ocorrerá 1 mês

após o último depósito. Se a financeira paga 3% a.m., de quanto devem ser os

depósitos?

11. Uma empresa está analisando a melhor opção para aquisição de uma máquina.

As seguintes opções estão sendo analisadas: Opção 1 Adquirir a máquina do Fornecedor A, à vista, por R$200.000,00. Para tanto, a empresa terá que obter um empréstimo de R$200.000,00 com juros compostos de 2%a.m. no Banco X, a ser pago em três parcelas de igual valor, vencendo a primeira parcela um mês após a data da liberação do empréstimo. Opção 2 Adquirir a máquina do Fornecedor B, em três parcelas mensais sucessivas de R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um mês após a data da compra. Com base nos dados informados, é CORRETO afirmar que: a) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$69.350,93. b) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$68.000,00. c) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$70.747,20. d) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao BancoX é igual a R$70.666,67.



36

5.2 NÃO CONVENCIONAIS

PERÍODO DE OCORRÊNCIA

� Diferimento (Carência)

O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do primeiro

período, conforme ilustrado no gráfico.

Em suma, a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro

período.

A determinação do montante de um fluxo de caixa com carência segue a formulação

desenvolvida do modelo – padrão. Deve ser ressaltado que nesse caso n representa o

número de termos da série, e não o seu prazo total.

A formulação do valor presente, no entanto, requer um pequeno ajuste, de forma a ser

expresso na data zero, ou seja:

PV = PMT x 1 – (1 + i) -n x ( 1+i) -c

i

Exemplo:

Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos, sendo o número

de termos igual a 7 (n = 7), e a carência de 2 períodos ( c = 2).

Para uma taxa de juros de 2,2% por período, têm-se os seguintes resultados:

0 1 n (tempo)

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

2 3 4 5 6 7

Carência

0 1 9 (tempo)

100,00

8

Carência ( C=2)

100,00 100,00 100,00

2 3 4 5 6 7

100,00 100,00100,00



37

Valor Presente:

PV = 100,00 x 1 – (1,022)-7 x (1,022) –2

0,022

PV = 100 x 6,4225 x 0,957410 = $614,90

Valor Futuro:

FV = 100,00 x (1,022)7 – 1

0,022

FV = 100,00 x 7.4793 = $747,93

VALORES

No que se refere aos valores, os termos de caixa podem ser constantes, se os fluxos de

caixa apresentarem-se sempre iguais, ou variáveis, se os fluxos não forem sempre iguais

entre si.

Para os fluxos não - convencionais, os valores de caixa apresentam-se desiguais e

portanto seu valor presente calculado pela soma dos valores atualizados de cada um de

seus termos. O valor futuro, por seu lado, é determinado pelo somatório dos montantes

de cada um dos termos ou, ainda, capitalizando-se o valor presente para a data futura.

Por exemplo: admita o seguinte fluxo de caixa, para uma taxa de juros de 4% a.a.,

durante 5 anos:

Valor Presente:

PV = 80,00 + 126,00 + 194,00 + 340,00 + 570,00

(1,04) (1,04)² (1,04)3 (1,04)4 (1,04)5

PV = 76,92 + 116,49 + 172,46 + 290,63 + 468,50

PV = $ 1.125,00

570,00

0 1 5 (tempo)2 3 4

80,00 126,00 194,00 340,00



38

Valor Futuro:

FV = 570,00 + 340,00(1,04) + 194,00(1,04)² + 126,00(1,04)3 + 80,00(1,04)4

FV = 570,00 + 353,60 + 209,83 + 141,73 + 93,59

FV = $1.368,80

ou FV = 1.125,00 x (1,04)5 = $1.368,80

Na HP 12c – Valor Presente

0 g Cfo

80 g Cfj

126 gCfj

194 gCfj

340gCfj

570 gCfj

4 i

f PV

1.125,01

Na HP 12c – Valor Futuro

1.125,01 CHS PV

4 i

5 n

FV

1.368,75



39

PERIODICIDADE

� Não periódicos

Se os termos se verificarem em intervalos irregulares (diferentes entre si), tem–se o que

se denomina de fluxos de caixa não - periódicos.

O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa não periódico, onde os valores não se

verificam uniformemente em termos de periodicidade.

Tanto o calculo do valor presente, como do valor futuro, devem ser processados,

respectivamente, pela somatória da atualização e capitalização de cada um dos termos.

Ilustrativamente, admita o seguinte fluxo de caixa não periódico:

Para uma taxa de juros de 1,9% a.m., tem-se:

Valor Presente:

PV = 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00

(1,019)³ (1,019)4 (1,019)8 (1,019)10

PV = 100,00 + 94,51 + 92,75 + 86,02 +

82,84

PV = 456,12

Valor Futuro:

FV = 100,00 + 100,00(1,019)2 + 100,00(1,019)6 + 100,00(1,019)7 + 100,00(1,019)10

FV = 100,00 + 103,84 + 119,96 + 114,08 + 120,71

FV = $550,58

ou FV = 456,12 x (1,019)10 = $550,58

0 1 10 (tempo)6

3 períodos 2 períodos 4 períodos

4

PMT PMT PMT 100,00

0 10

100,00100,00

3 4 8

100,00100,00 100,00



40

Na HP 12c – Valor Presente

100 g Cfo

0 g Cfj

2 gNj

100gCfj

100 gCfj

0 gCfj

3 gNj

100 g Cfj

0 gCfj

100 g Cfj

1,9 i

f PV

456,12

Na HP 12c – Valor Futuro

456,12 CHS PV

1,9 i

10 n

FV

550,58



41

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

1- Um financiamento no valor de $ 6.800,00 é concedido para pagamento em 10

prestações mensais e iguais com 2 meses de carência. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de

juros, calcular o valor de cada pagamento mensal.

2- Em um anúncio de uma loja de vendas a crédito informa-se que, pela compra de

certo televisor, o cliente pagará 12 prestações mensais de $ 119,96, vencendo a primeira

prestação no fim do 6º mês. Qual será o preço a vista deste aparelho, se a taxa de juros

for de 3% a.m.?

3- De quanto deve ser a prestação mensal de um eletrodoméstico, cujo preço a vista é

de R$ 5.000,00, se a primeira prestação ocorrer 3 meses após a compra? Considerar a

taxa de 2% a.m. e um total de 22 prestações.

4- Pedro vende a seu amigo um carro usado, permitindo que este lhe pague conforme

puder no prazo de uma ano, sendo cobrados juros de 1% a.m. sobre o saldo devedor.

João recebe os seguintes pagamentos: $5.000,00 de entrada, $4.000,00 a 1 mês,

$6.000,00 a 2 meses, $1.000,00 a 3 meses e $3.000,00 a 4 meses. Qual é o valor do

carro a vista, uma vez que todos estes pagamentos saldaram toda a dívida?

5- Determinar o valor presente (PV) do fluxo identificado a seguir. Admita uma taxa de

juros de 2,9% ao mês: 5 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $

4.200,00, $ 5.300,00, $ 7.700,00, $ 10.900,00 e $ 15.000,00.

6- Em uma instituição que paga 2,5% a.m. foram feitos 6 depósitos mensais, que pela

ordem cronológica foram: $ 300,00, $ 100,00, $ 50,00, $ 500,00, $200,00 e $ 400,00.

Qual o montante após o último depósito?

7- Determinar o valor presente (PV) do fluxo identificado a seguir. Admita uma taxa de

juros de 2,9% ao mês: 6 prestações iguais de $ 1.200,00 cada, com vencimentos,

respectivamente, no 3º mês, 7º mês, 11º mês, 25º mês, 28º mês e 33º mês

8- Um terreno é vendido mediante entrada de $ 10.000,00 e 3 parcelas, sendo a primeira

de $ 2.000,00 para 3 meses, a Segunda de $ 6.000,00 para 8 meses e a última de $

20.000,00 para 12 meses. Sabendo-se que a taxa vigente no mercado é de 35% a.a., qual

o preço a vista do terreno?

9- Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que paga 2% a.m. sobre o

saldo credor, depositando $15.000,00. Após 6 meses, necessitando de dinheiro, retira

$7.000,00. Nos dois meses seguintes, deposita, sendo $1.000,00 no primeiro e

$2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o correntista efetua um saque

de $5.000,00. Qual é o saldo desta conta, um ano após sua abertura?



42

10- Uma imobiliária oferece, em lançamento, uma pequena chácara nas seguintes

condições:

$ 20.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais de $ 1.000,00 e, após estas,

mais 6 parcelas semestrais de $ 4.000,00

Qual o preço a vista da chácara, uma vez que a taxa de mercado é de 3% ao mês?



43

6 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Os Sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de

empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do

principal e encargos financeiros.

Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona

dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.

São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência. Na carência,

não há pagamento do principal, sendo amortizado somente os juros.

6.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS

Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, da

forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do

capital.

Vamos definir os principais termos empregados nas operações de empréstimos e

financiamento.

Encargos (Despesas) Financeiros – representam os juros da operação, caracterizando-

se como custo para o devedor e retorno para o credor.

Amortização – a amortização refere-se exclusivamente ao pagamento do principal

(capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas.

Saldo devedor – representa o valor do principal da dívida, em determinado momento,

após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização.

Prestação – é composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos

em determinado período de tempo. Assim:

Prestação = Amortização + Encargos financeiros

Carência – corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o

pagamento da primeira amortização. Durante o prazo de carência, portanto, o tomador

do empréstimo só paga os juros. É possível também que as partes concordem em que os

juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente. Neste

caso, não haverá desembolso de juros durante a carência.



44

6.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome indica, tem como

característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes)

em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a

divisão do capital emprestado pelo número de prestações.

Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o

pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.

Admita que um empréstimo de $100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5

anos, em 10 prestações semestrais e taxa de 30% a.a. . Desconsiderando inicialmente a

existência de um prazo de carência, pode-se elaborar a seguinte planilha financeira para

a operação de empréstimo.

Conforme foi comentado, o SAC determina que a restituição do principal (capital

emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização,

devida semestralmente é calculado pela simples divisão entre o principal ($100.000,00)

e o número fixado de prestações (10 semestres), ou seja:

Amortização = Valor do Empréstimo = $100.000,00 = $10.000,00/semestre

nº de prestações 10

Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam

valores aritmeticamente decrescentes. Para o final do primeiro semestre, os encargos

financeiros somam: 14,0175% x 100.000,00 = $14.017,50; para o final do segundo

semestre: 14,0175% x 90.000,00 = $12.615,75 e assim por diante.

Somando-se, para cada período, o valor da amortização do principal com os respectivos

encargos financeiros , tem-se o valor da prestação semestral do financiamento. Assim,

para o primeiro semestre a prestação atinge:$10.000,00 + $14.017,50 = $24.017,50;

P eríodo S aldo A m ort iz aç ão Juros P res taç ãoS em es tres Devedor

0 $100.000,001 $90.000,00 $10.000,00 $14.017,50 $24.017,502 $80.000,00 $10.000,00 $12.615,75 $22.615,753 $70.000,00 $10.000,00 $11.214,00 $21.214,004 $60.000,00 $10.000,00 $9.812,25 $19.812,255 $50.000,00 $10.000,00 $8.410,50 $18.410,506 $40.000,00 $10.000,00 $7.008,75 $17.008,757 $30.000,00 $10.000,00 $5.607,00 $15.607,008 $20.000,00 $10.000,00 $4.205,25 $14.205,259 $10.000,00 $10.000,00 $2.803,50 $12.803,50

10 $0,00 $10.000,00 $1.401,75 $11.401,75To ta l $100.000,00 $77.096,25 $177.096,25



45

para o segundo semestre: $10.000,00 + $12.615,75 = $22.615,75; e assim

sucessivamente.

6.1.1 SAC com Carência

Conforme foi comentado, a ilustração desenvolvida não previu a existência de prazo de

carência para a amortização do empréstimo. Ao se supor uma carência de 2 anos

(contada a partir do final do primeiro semestre), podemos ter a seguinte situação:

Aqui os juros são pagos durante a carência estipulada. Assim, ao final dos quatro

primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros,

atinge $14.017,50, ou seja, 14,0175% x $100.000,00. A partir do quinto semestre, tendo

sido encerrada a carência de 2 anos (4 semestres), inicia-se a amortização (devolução)

do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante,

idêntico ao desenvolvido anteriormente.

6.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF)

O sistema de Amortização Francês (SAF), amplamente adotado no mercado financeiro

do Brasil, estipula, que ao contrário do SAC, que as prestações devem ser iguais,

periódicas e sucessivas.

Equivalem, em outras palavras, ao modelo - padrão de fluxos de caixa.

P e ríod o S a ld o A m o rt iz a ç ã o Ju ro s P re s ta ç ã oS e m e s t res D e ved o r

0 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 2 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 3 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 4 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 5 9 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 2 4 .0 1 7 ,5 0 6 8 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 2 .6 1 5 ,7 5 2 2 .6 1 5 ,7 5 7 7 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 1 .2 1 4 ,0 0 2 1 .2 1 4 ,0 0 8 6 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 9 .8 1 2 ,2 5 1 9 .8 1 2 ,2 5 9 5 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 8 .4 1 0 ,5 0 1 8 .4 1 0 ,5 0

1 0 4 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 7 .0 0 8 ,7 5 1 7 .0 0 8 ,7 5 1 1 3 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 5 .6 0 7 ,0 0 1 5 .6 0 7 ,0 0 1 2 2 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 4 .2 0 5 ,2 5 1 4 .2 0 5 ,2 5 1 3 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 2 .8 0 3 ,5 0 1 2 .8 0 3 ,5 0 1 4 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 .4 0 1 ,7 5 1 1 .4 0 1 ,7 5

T o ta l 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 1 3 3 .1 6 6 ,2 5 2 3 3 .1 6 6 ,2 5



46

Os juros por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de

amortização assumem valores crescentes. A soma destas parcelas permanece sempre

igual ao valor da prestação.

Com o intuito de melhor desenvolver a compreensão do sistema francês, vamos

considerar o exemplo proposto anteriormente. O quadro a seguir, identifica a planilha

financeira deste sistema, a qual é mais bem elaborada partindo-se da última coluna para

a primeira. Isto é, calcula-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada

período, os juros e, por diferença, as parcelas de amortização e o respectivo saldo

devedor.

As prestações semestrais são determinadas pela aplicação a fórmula de valor presente

do modelo-padrão:

PV = PMT x 1 – (1 + i) -n

i

Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:

100.000,00 = PMT x 1 – (1,140175)-10

0,140175

100.000,00 = PMT x 5,212555

PMT = 100.0000,00 = $19.184,45/semestre

5,212555

P e ríod o S a ld o A m o rt iz a ç ã o Ju ro s P re s ta ç ã oS e m e s t res D e ved o r

0 $ 1 0 0 .0 0 0 ,0 01 $ 9 4 .8 3 3 ,0 5 $ 5 .1 6 6 ,9 5 $ 1 4 .0 1 7 ,5 0 $ 1 9 .1 8 4 ,4 52 $ 8 8 .9 4 1 ,8 2 $ 5 .8 9 1 ,2 3 $ 1 3 .2 9 3 ,2 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 53 $ 8 2 .2 2 4 ,8 0 $ 6 .7 1 7 ,0 3 $ 1 2 .4 6 7 ,4 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 54 $ 7 4 .5 6 6 ,2 1 $ 7 .6 5 8 ,5 9 $ 1 1 .5 2 5 ,8 6 $ 1 9 .1 8 4 ,4 55 $ 6 5 .8 3 4 ,0 8 $ 8 .7 3 2 ,1 3 $ 1 0 .4 5 2 ,3 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 56 $ 5 5 .8 7 7 ,9 2 $ 9 .9 5 6 ,1 6 $ 9 .2 2 8 ,2 9 $ 1 9 .1 8 4 ,4 57 $ 4 4 .5 2 6 ,1 6 $ 1 1 .3 5 1 ,7 6 $ 7 .8 3 2 ,6 9 $ 1 9 .1 8 4 ,4 58 $ 3 1 .5 8 3 ,1 6 $ 1 2 .9 4 3 ,0 0 $ 6 .2 4 1 ,4 5 $ 1 9 .1 8 4 ,4 59 $ 1 6 .8 2 5 ,8 8 $ 1 4 .7 5 7 ,2 8 $ 4 .4 2 7 ,1 7 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5

1 0 ($ 0 ,0 0 ) $ 1 6 .8 2 5 ,8 8 $ 2 .3 5 8 ,5 7 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5T o ta l $ 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 $ 9 1 .8 4 4 ,4 9 $ 1 9 1 .8 4 4 ,4 9



47

Os demais valores da planilha são mensurados de forma seqüencial em cada um dos

períodos. Assim, para o primeiro semestre, tem-se:

• Juros (calculado sobre o saldo devedor imediatamente anterior):

14,0175% x $100.000,00 = $14.017,50

• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e o dos juros

acumulados para o período):

$19.184,45 - $14.017,50 = $5.166,95

• Saldo devedor (Saldo anterior no momento zero – Parcela de amortização do

semestre):

$100.000,00 - $5.166,95 = $94.833,05

Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes:

• Juros: 14,0175% x 94.833,05 = $13.293,22

• Amortização: $19.184,45 - $13.293,22 = $5.891,23

• Saldo Devedor: $94.833,05 - $5.891,23 = $88.941,82

e assim por diante.



48

6.2.1 SAF (Com carência)

Identicamente aos demais sistemas, no SAF podem verificar-se períodos de carência,

nos quais os encargos financeiros são pagos durante a carência.

O sistema francês, com carência e pagamento dos juros no período, conforme ilustrado

no quadro acima, segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF sem carência),

diferenciando-se unicamente nas prestações dos quatro primeiros semestres (carência).

Nestes períodos estão previstos somente pagamentos de $14.017,50 referentes aos juros

do principal não amortizado (14,0175% x $100.000,00). Para os demais semestres, o

raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente, apurando-se prestações com valores

constantes, juros decrescentes e amortizações crescentes.

Período Saldo Amortização Juros PrestaçãoSemestres Devedor

0 $100.000,00 $0,001 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,502 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,503 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,504 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,505 $94.833,05 $5.166,95 $14.017,50 $19.184,456 $88.941,82 $5.891,23 $13.293,22 $19.184,457 $82.224,80 $6.717,03 $12.467,42 $19.184,458 $74.566,21 $7.658,59 $11.525,86 $19.184,459 $65.834,08 $8.732,13 $10.452,32 $19.184,45

10 $55.877,92 $9.956,16 $9.228,29 $19.184,4511 $44.526,16 $11.351,76 $7.832,69 $19.184,4512 $31.583,16 $12.943,00 $6.241,45 $19.184,4513 $16.825,88 $14.757,28 $4.427,17 $19.184,4514 ($0,00) $16.825,88 $2.358,57 $19.184,45

Total 100.000,00 147.914,49 247.914,49



49

Exercícios

1) Um empréstimo no valor de $420.000,00 foi concedido a uma empresa nas

seguintes condições:

• Taxa de juros: 5% a.t.

• Amortização: pagamentos trimestrais

• Prazo de Amortização: 3 anos.

Pede-se: elaborar a planilha financeira para amortização pelo sistema SAC.

a) Sem carência

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

TOTAL



50

b) Com carência de 2 trimestres



51

2) Com base no exercício número 1, monte uma planilha financeira usando o sistema

de amortização francês, admitindo que:

a) Sem carência



52

b) Com carência de 2 trimestres



53

3) Um banco concede um financiamento de $660.000,00 para ser liquidado em 8

pagamentos mensais pelo sistema SAC. A operação é realizada com uma carência de 3

meses, sendo somente os juros pagos neste período. Para uma taxa efetiva de juros de

2,5% ao mês, elaborar a planilha de desembolsos deste financiamento.



54

4) Um equipamento no valor de $1.200.000,00 está sendo financiado por um banco

pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações

anuais são efetuadas pelo sistema francês. O banco concede ainda uma carência de 2

anos para início dos pagamentos, sendo os juros cobrados neste intervalo de tempo.

Elaborar a planilha financeira deste empréstimo.

Documents

Apostila Matemática Financeira (1)