APOSTILA-Geometria-1UNIDADE

UNIT - UNIVERSIDADE TIRADENTES CURSOS: ARQUITETURA E URBANISMO DISCIPLINA: GEOMETRIA DESCRITIVA DESIGN DE INTERIORES

1

AAPPOOSSTTIILLAA -- 11ªª UUNNIIDDAADDEE 11 CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAASS EE AARRCCOOSS::

11..11 PPRRIINNCCIIPPAAIISS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS 11..22 DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO DDOO CCEENNTTRROO DDEE AARRCCOOSS EE CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAASS 11..33 CCOONNCCOORRDDÂÂNNCCIIAA DDEE AARRCCOOSS 11..44 TTRRAAÇÇAADDOO DDEE AARRCCOOSS AARRQQUUIITTEETTÔÔNNIICCOOSS

22 PPRRIINNCCIIPPAAIISS EELLEEMMEENNTTOOSS DDAA GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA:: 22..11 NNOOÇÇÕÕEESS BBÁÁSSIICCAASS SSOOBBRREE OO SSIISSTTEEMMAA MMOONNGGEEAANNOO DDEE PPRROOJJEEÇÇÕÕEESS 22..22 RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDOOSS PPLLAANNOOSS DDEE PPRROOJJEEÇÇÃÃOO ((NNOO EESSPPAAÇÇOO EE EEMM ÉÉPPUURRAA))

33 GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA:: EESSTTUUDDOO DDEE PPOONNTTOOSS 33..11 OO PPOONNTTOO EE SSUUAASS CCOOOORRDDEENNAADDAASS DDEESSCCRRIITTIIVVAASS 33..22 RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDEE UUMM PPOONNTTOO NNOO EESSPPAAÇÇOO EE EEMM ÉÉPPUURRAA 33..33 PPOOSSIIÇÇÕÕEESS DDEE UUMM PPOONNTTOO EE SSUUAASS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS

44 GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA:: EESSTTUUDDOO DDEE RREETTAASS 44..11 RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDEE RREETTAASS 44..22 PPOOSSIIÇÇÕÕEESS DDEE UUMMAA RREETTAA EE SSUUAASS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS

55 GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA:: EESSTTUUDDOO DDEE PPLLAANNOOSS 55..11 RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDEE PPLLAANNOOSS 55..22 PPOOSSIIÇÇÕÕEESS DDEE UUMM PPLLAANNOO EE SSUUAASS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS


2

11 CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAASS EE AARRCCOOSS

11..11 PPRRIINNCCIIPPAAIISS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS

CIRCUNFERÊNCIA: é uma linha curva, plana e fechada, formada por pontos eqüidistantes de um ponto fixo denominado Centro. CÍRCULO: é a superfície limitada por uma circunferência.

LLIINNHHAASS DDAA CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAA

RAIO: É o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Ex: AO = DO = EO = GO = TO.

SECANTE: É qualquer reta que corta a circunferência em dois de seus pontos. Ex: reta “s”.

CORDA: É o segmento de reta que une dois pontos da circunferência e tem uma secante como reta suporte. Ex: BC; DE.

DIÂMETRO: É a corda que passa pelo centro da circunferência. O diâmetro é, pois, a maior corda e é constituído por dois raios opostos. Daí dizer-se que o diâmetro é o dobro do raio. Ex: DE. ARCO: É uma parte qualquer da circunferência, compreendida entre dois de seus pontos. A toda corda corresponde um arco e vice-versa. Ex: BC; BG; CE; ET; TA; AD; DB.

FLECHA: É o trecho do raio perpendicular a uma corda e limitado pela mesma corda e o arco que lhe corresponde. Ex: FG.

TANGENTE: É a reta que toca a circunferência em um só ponto e é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. Este ponto chama-se ponto de tangência. Ex: reta “t”.


3

11..22 DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO DDOO CCEENNTTRROO DDEE UUMMAA CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAA DDAADDAA GGRRAAFFIICCAAMMEENNTTEE

1. Marcam-se três pontos quaisquer na circunferência. 2. Traçam-se duas cordas definidas por esses pontos e suas respectivas mediatrizes. 3. O ponto onde essas mediatrizes se interceptam é o centro procurado.

Obs: A mediatriz de qualquer corda de uma circunferência sempre passa pelo centro dessa circunferência.

TTRRAAÇÇAADDOO DDEE MMEEDDIIAATTRRIIZZEESS

Mediatriz: É uma reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento de reta, dividindo-o em duas partes iguais.

PPAASSSSOO AA PPAASSSSOO PPAARRAA OO TTRRAAÇÇAADDOO DDAA MMEEDDIIAATTRRIIZZ DDOO SSEEGGMMEENNTTOO DDEE RREETTAA AABB,, UUTTIILLIIZZAANNDDOO OO CCOOMMPPAASSSSOO

1. Com centro em uma das extremidades, com abertura maior que a metade do segmento, traça-se um arco que percorre as regiões acima e abaixo do segmento. 2. Com a mesma abertura, centra-se na outra extremidade e cruza-se com o primeiro arco, nos pontos C e D. 3. O segmento de reta CD é perpendicular ao segmento de reta AB e divide esse segmento ao meio no ponto “M”, ou seja, é sua Mediatriz.

PPAASSSSOO AA PPAASSSSOO PPAARRAA OO TTRRAAÇÇAADDOO DDAA MMEEDDIIAATTRRIIZZ DDOO SSEEGGMMEENNTTOO DDEE RREETTAA AABB,, UUTTIILLIIZZAANNDDOO RRÉÉGGUUAA EE EESSQQUUAADDRROOSS

1. Com a régua, mede-se a distância entre as extremidades A e B, depois marca-se um ponto na metade dessa distância (encontrando-se o Ponto Médio de AB). 2. Com o auxílio dos esquadros, traça-se uma reta perpendicular a AB, passando pelo Ponto Médio marcado, a qual será a sua Mediatriz.

11..22 DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO DDOO CCEENNTTRROO DDEE UUMM AARRCCOO DDAADDOO GGRRAAFFIICCAAMMEENNTTEE

Centro desconhecido

1. Nesse caso, aplica-se a mesma construção vista no exemplo anterior. 2. Marca-se um ponto qualquer (C) no arco. 3. Traçam-se as cordas AC e CB e suas respectivas mediatrizes. 4. O ponto onde essas mediatrizes se interceptam é o centro procurado.


4

CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO DDEE UUMMAA CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAA QQUUEE PPAASSSSAA PPOORR TTRRÊÊSS PPOONNTTOOSS AA,, BB EE CC,, DDAADDOOSS GGRRAAFFIICCAAMMEENNTTEE

1. É preciso determinar o centro O, para traçar a circunferência.

2. Traçam-se as cordas AB e BC.

3. Traçam-se as mediatrizes de AB e BC, determinando na interseção o centro O.

4. Traça-se a circunferência com centro em O e raio OA = r.


5

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 1) Determine o centro e dê a medida do raio e do diâmetro da circunferência dada.

2) Determine o centro de cada arco da figura abaixo e dê a medida de cada raio.

Raio de AB =____cm. Raio de BC =____cm. Raio de CD =____cm. Raio de DE =____cm.

Aluno(a): Visto:


6

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência)

3) Desenhe a circunferência que passa pelos pontos A, B e C, e dê a medida do seu raio.

4) Desenhe duas circunferências, uma que passa pelos pontos A, B e C, e a outra que passa pelos pontos B, C e D.

Aluno(a): Visto:


7

11..33 CCOONNCCOORRDDÂÂNNCCIIAA DDEE AARRCCOOSS Concordância é a reunião de duas ou

mais linhas de mesma espécie ou espécies diferentes, de tal forma que não haja ruptura nos pontos de contato das mesmas, ou seja, dizemos que há concordância entre linhas quando uma mudança de direção é feita de forma harmoniosa.

Quando a mudança de direção é feita bruscamente, formando-se vértice, conforme mostrado na figura ao lado, dizemos que não houve concordância entre as linhas, e sim discrepância.

A concordância pode ocorrer entre reta e curva e também entre linhas curvas.

Neste exemplo, temos concordância entre linha reta e curva.

Neste exemplo, temos concordância entre duas linhas curvas, onde todas apresentam mesmo sentido, embora os raios sejam diferentes.

Neste exemplo, temos concordância entre duas linhas curvas com sentidos opostos de crescimento.

11ºº PPRRIINNCCÍÍPPIIOO:: CCOONNCCOORRDDÂÂNNCCIIAA EENNTTRREE SSEEMMII--RREETTAA EE AARRCCOO

Para concordar um arco com uma semi-reta é necessário e suficiente que o raio do arco seja perpendicular à semi-reta concordante.


8

TTRRAAÇÇAADDOO DDEE CCOONNCCOORRDDÂÂNNCCIIAA –– EEXXEEMMPPLLOO 11::

TTRRAACCEE OO AARRCCOO DDEE 22,,00CCMM DDEE RRAAIIOO QQUUEE SSEEJJAA

CCOONNCCOORRDDAANNTTEE AA SSEEMMII--RREETTAA ““AA”” NNAA SSUUAA OORRIIGGEEMM..

1º Passo: No ponto de origem da semi-reta (ponto “A”), traça-se uma reta perpendicular. 2º Passo: Nessa perpendicular, marca-se o raio dado, obtendo o centro do arco (ponto “O1”).

3º Passo: Com o compasso centrado no ponto “O1” e aberto até o ponto “A”, traça-se o arco concordante desejado.

O arco concordante desejado também pode ser construído no sentido anti-horário, é só repetir o mesmo processo, só que marcando o centro do arco (ponto “O2”) no lado oposto.

Atenção: Todo arco construído no sentido horário se desenvolve no sentido

de andamento dos ponteiros do relógio; enquanto que, todo arco construído no sentido anti-horário se desenvolve no sentido contrário ao do andamento dos ponteiros do relógio.


TTRRAACCEE UUMM AARRCCOO QQUUEE SSEEJJAA CCOONNCCOORRDDAANNTTEE AA DDUUAASS RREETTAASS PPAARRAALLEELLAASS..

1º Passo: Traça-se uma reta perpendicular que cortará as retas “A” e “C”, nos pontos “B” e “D”. 2º Passo: Em seguida, divide-se o segmento de reta “BD” ao meio, obtendo assim o ponto “O”, que será o centro do arco. 3º Passo: Com o compasso centrado no ponto “O” e raio “OB”, traça-se o arco que concordará com as duas retas.


9


TTRRAACCEE UUMM AARRCCOO QQUUEE SSEEJJAA CCOONNCCOORRDDAANNTTEE AA DDUUAASS RREETTAASS CCOONNVVEERRGGEENNTTEESS,, DDAASS QQUUAAIISS SSEE CCOONNHHEECCEE OO PPOONNTTOO DDEE IINNTTEERRSSEEÇÇÃÃOO ((OO))..

1º Passo: Em primeiro lugar, prolongam-se as retas “A” e “B”, até encontrar seu ponto de interseção “O”. 2º Passo: Em seguida, traça-se a bissetriz do ângulo assim formado.

3º Passo: Agora com centro no ponto “O” e raio que alcance os dois trechos das retas, no local onde deseja-se iniciar a concordância, descreve-se um arco que cortará as duas retas nos pontos “C” e “D”.

4º Passo: Traça-se pelo ponto “C” ou “D”, uma perpendicular que irá cortar a bissetriz no ponto “P”, que será o centro do arco. 5º Passo: Com o compasso centrado no ponto “P” e raio “PC” ou “PD”, traça-se o arco que concordará com as duas retas.


TTRRAACCEE UUMM AARRCCOO QQUUEE SSEEJJAA CCOONNCCOORRDDAANNTTEE AA DDUUAASS RREETTAASS CCOONNVVEERRGGEENNTTEESS,, DDAASS QQUUAAIISS NNÃÃOO ÉÉ PPOOSSSSÍÍVVEELL DDEETTEERRMMIINNAARR SSEEUU PPOONNTTOO DDEE IINNTTEERRSSEEÇÇÃÃOO..

1º Passo: Constrói-se, primeiramente, um ângulo auxiliar interior, cujos lados são paralelos e eqüidistantes (s=s’) das retas que se quer concordar. 2º Passo: Em seguida, traça-se a bissetriz desse ângulo auxiliar. 3º Passo: Agora, traça-se uma perpendicular pelo ponto em que se deseja iniciar a concordância, por exemplo, o ponto “E” ou o ponto “F”, que irá cortar a bissetriz no ponto “O”, que será o centro do arco. 4º Passo: Com o compasso centrado no ponto “O” e raio “EO” ou “FO”, traça-se o arco que concordará com as duas retas.


10

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 5) Trace o arco de 2,5cm de raio, no sentido horário, concordante com a semi-reta A em sua origem.

6) Trace o arco de 3,0cm de raio, no sentido anti-horário, concordante com a semi-reta B em sua origem.

7) Trace um arco com origem no ponto C e que seja concordante as retas paralelas “A” e “B”.

Aluno(a): Visto:


11

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 8) Trace um arco com origem no ponto C e que seja concordante as retas convergentes “A” e “B”.

9) Trace um arco com origem no ponto C e que seja concordante as retas convergentes “A” e “B”.

Aluno(a): Visto:


12

22ºº PPRRIINNCCÍÍPPIIOO:: CCOONNCCOORRDDÂÂNNCCIIAA EENNTTRREE DDOOIISS AARRCCOOSS

Para concordar dois arcos é necessário e suficiente que o ponto de concordância e o centro dos dois arcos estejam situados sobre a mesma reta (sejam colineares).

Ex: Os centros O1 e O2 e o ponto de concordância “A” são colineares. Da mesma forma, os centros O1 e O3 e o ponto de concordância “B” são colineares.


TTRRAACCEE OOSS DDOOIISS AARRCCOOSS ((UUMM NNOO SSEENNTTIIDDOO HHOORRÁÁRRIIOO EE OO OOUUTTRROO NNOO SSEENNTTIIDDOO AANNTTII--HHOORRÁÁRRIIOO)) CCOOMM 11,,55CCMM DDEE RRAAIIOO

QQUUEE SSEEJJAAMM CCOONNCCOORRDDAANNTTEESS CCOOMM OO AARRCCOO AABB NNOO PPOONNTTOO ““AA””..

1º Passo: Traça-se a reta-suporte da condição de concordância, definida pelos pontos “O1” e “A”. 2º Passo: Nessa reta-suporte, marca-se a partir do ponto “A”, para um dos dois lados, o centro “O2” ou o centro “O3”, com a medida do raio dado.

3º Passo: Com o compasso centrado no ponto “O2” e aberto até o ponto “A”, traça-se o arco concordante no sentido horário.

4º Passo: Com o compasso centrado no ponto “O3” e aberto até o ponto “A”, traça-se o arco concordante no sentido anti-horário.


13


TTRRAACCEE UUMM AARRCCOO ((CCOOMM RRAAIIOO DDEESSCCOONNHHEECCIIDDOO)) QQUUEE SSEEJJAA CCOONNCCOORRDDAANNTTEE AA

SSEEMMII--RREETTAA NNAA EEXXTTRREEMMIIDDAADDEE ““AA”” EE QQUUEE PPAASSSSEE PPEELLOO PPOONNTTOO ““PP””..

1º Passo: Traça-se a perpendicular à semi-reta no ponto “A” (reta da condição de concordância). 2º Passo: Em seguida, traça-se a mediatriz entre “A” e “P”. O ponto onde a mediatriz corta a perpendicular é o centro procurado do arco (ponto “O”). 3º Passo: Com o compasso centrado no ponto “O” e aberto até o ponto “A”, traça-se o arco concordante “AP”.


TTRRAACCEE UUMM AARRCCOO ((CCOOMM RRAAIIOO DDEESSCCOONNHHEECCIIDDOO)) QQUUEE SSEEJJAA CCOONNCCOORRDDAANNTTEE CCOOMM OO AARRCCOO ““AABB”” EEMM SSUUAA EEXXTTRREEMMIIDDAADDEE

““AA”” EE QQUUEE PPAASSSSEE PPEELLOO PPOONNTTOO ““PP””..

1º Passo: Traça-se a reta-suporte da condição de concordância, definida pelos pontos “O1” e “A”. 2º Passo: Em seguida, traça-se a mediatriz entre “A” e “P”. O ponto onde a mediatriz corta a reta-suporte é o centro procurado do arco (ponto “O2”).

3º Passo: Com o compasso centrado no ponto “O2” e aberto até o ponto “A”, traça-se o arco concordante “AP”.


14

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 10) Dado o arco “AB”, trace dois arcos de 2,0cm de raio, no sentido horário, um concordante no ponto “A” e outro concordante no ponto “B”.

11) Dado a semi-reta “AB”e os pontos “P” e “Q”, trace os arcos pedidos: a) Arco “AP” concordante com a semi-reta “AB” no ponto “A”. b) Arco “BQ” concordante com a semi-reta “AB” no ponto “B”.

Aluno(a): Visto:


15

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 12) Dado o arco “AB”, seu centro “O” e os pontos “P” e “Q”, trace os arcos pedidos: a) Arco “AP” concordante com o arco “AB” no ponto “A”. b) Arco “BQ” concordante com o arco “AB” no ponto “B”.

13) Dado o arco “AB”, seu centro “O” e os pontos “C”, “D” e “E”, trace os arcos pedidos: a) Arco “BC” concordante com o arco “AB” no ponto “B”. b) Arco “CD” concordante com o arco “BC” no ponto “C”. b) Arco “DE” concordante com o arco “CD” no ponto “D”.

Aluno(a): Visto:


16

11..44 AARRCCOOSS AARRQQUUIITTEETTÔÔNNIICCOOSS

O termo arco designa um elemento construtivo em curva que é arredondado, que emoldura a parte superior de um vão. Das diversas aplicações que um arco pode ter, observa-se principalmente a sua utilização em portas, janelas, pontes, aquedutos, etc.

Em um arco, podemos definir os seguintes elementos: Flecha: altura situada

perpendicularmente no ponto médio do vão.

Reta de nível: reta perpendicular às semi-retas em suas origens (A e B). As semi-retas são consideradas os pilares de sustentação do arco.

Vão do arco: distância entre as semi-retas (abertura).

O estudo dos arcos é longo e detalhado, veremos aqui apenas como traçar os principais arcos arquitetônicos e de traçado mais simples.

(O estudo mais aprofundado das características desses arcos serão assunto de outras disciplinas.)

CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO DDEE UUMM AARRCCOO PPLLEENNOO OOUU RROOMMAANNOO

Dada a medida do vão do arco = “AB”. 1º Passo: Traça-se a reta de nível com a medida “AB” e determina-se a sua mediatriz, determinando-se o ponto médio “M”, que será o centro do arco a ser traçado. 2º Passo: Com o compasso centrado no ponto “M” e raio “AM” ou “BM”, traça-se o arco romano desejado.

CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO DDEE UUMM AARRCCOO OOGGIIVVAALL EEQQUUIILLÁÁTTEERROO

Dada a medida do vão do arco = “AB”. 1º Passo: Traça-se a reta de nível com a medida “AB”. 2º Passo: Com o compasso centrado no ponto “A” e raio “AB”, traça-se um arco. 3º Passo: Com mesmo raio e centro no ponto “B”, traça-se outro arco. 4º Passo: Na interseção desses dois arcos, obtém-se o vértice da curva, definindo o arco ogival desejado. Atenção: Os arcos traçados não são concordantes entre si no vértice, mas apenas com as semi-retas.


17

CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO DDEE UUMM AARRCCOO OOGGIIVVAALL AAGGUUDDOO

Dada a medida do vão do arco = “AB” e a medida da flecha do arco = “MC”. 1º Passo: Traça-se a reta de nível com a medida “AB” e determina-se a sua mediatriz. 2º Passo: A partir do ponto médio “M”, marca-se a medida da flecha “MC”, obtendo-se o ponto “C”. 3º Passo: Traçam-se os segmentos de reta “AC” e “BC”, determinam-se suas mediatrizes, que definirão na reta de nível os pontos “D” e “E”. 4º Passo: Com o compasso centrado no ponto “D” e, com abertura até o ponto “A” (raio “AD”), traça-se o arco “AC”.

5º Passo: Com o compasso centrado no ponto “E” e, com abertura até o ponto “B” (raio “BE”), traça-se o arco “BC”, definindo o arco ogival desejado.

CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO DDEE UUMM AARRCCOO GGÓÓTTIICCOO

Dada a medida do vão do arco = “AB”.

1º Passo: Traça-se a reta de nível com a medida “AB” e determina-se a sua mediatriz. 2º Passo: A partir do ponto médio “M”, marca-se metade do vão (arco com raio “AM”), obtendo-se o ponto “C”. 3º Passo: Saindo do ponto “A”, traça-se uma reta que passe pelo ponto “C”. Depois, com o compasso centrado no ponto “A” e raio igual ao vão “AB”, traça-se um arco que definirá o ponto “D”, na interseção com a reta traçada por “AC”. 4º Passo: Repetindo o processo para a extremidade “B”, obtendo-se o ponto “E”, na interseção com a reta traçada por “BC”.

5º Passo: Com o compasso centrado no ponto “D” e o mesmo raio “AB”, marca-se o ponto “F” na respectiva reta. 6º Passo: Repetindo o processo para o ponto “E”, marca-se o ponto “G” na outra reta. 7º Passo: Com o compasso centrado no ponto “F” e raio “AB”, traça-se um arco. 8º Passo: Com mesmo raio e centro no ponto “G”, traça-se outro arco. 9º Passo: Na interseção desses dois arcos, obtém-se o ponto “H”, definindo o arco gótico desejado.

Atenção: Nos arcos góticos, aumentando-se o vão, aumenta-se o arco proporcionalmente.


18

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 14) Construa um Arco Romano, sabendo-se que o vão do arco mede 7m.

15) Construa um Arco Ogival Equilátero, sabendo-se que o vão do arco mede 6m.

Aluno(a): Visto:


19

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 16) Construa um Arco Ogival Agudo, sabendo-se que o vão e a flecha do arco medem 5m.

17) Construa um Arco Ogival Agudo, sabendo-se que o vão do arco mede 4m e a flecha do arco medem 5,5m.

Aluno(a): Visto:


20

Atividade Prática – Circunferências e Arcos (Medida de Eficiência) 18) Construa um Arco Gótico, sabendo-se que o vão do arco mede 6m.

Aluno(a): Visto:


21

22 PPRRIINNCCIIPPAAIISS EELLEEMMEENNTTOOSS DDAA GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA

A Geometria Descritiva foi definida como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.

A Geometria Descritiva resolve problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto tridimensional, através de métodos descritivos e também a construção de protótipos (maquetes) do objeto representado.

E atualmente essa ciência é de grande utilidade e necessidade nas mais diversas áreas profissionais, como por exemplo, arquitetura, engenharias, designers.

A Projeção Cilíndrica Ortogonal de objetos tridimensionais efetuada em um único plano fornece uma das vistas de cada objeto.

Só que uma única vista dos objetos pode não ser suficiente para a determinação da forma e da posição do objeto no espaço, acarretando perdas de informações e erros de interpretação.

Na figura acima, há um exemplo do porquê uma única projeção não é suficiente para descrevermos um objeto.

Pois um cubo e um paralelepípedo (que esteja em pé e tenha a área da base igual a área do cubo) possuem a mesma projeção horizontal. Entretanto, são objetos diferentes.

Procurando resolver essas questões, Gaspard Monge (sábio desenhista francês do século XVIII), criou um Método de Representação Gráfica, através da projeção em planos perpendiculares (sistema duplo de projeções).

Na figura ao lado, há um exemplo da Projeção Ortogonal de objetos tridimensionais efetuada em dois planos, fornecendo duas vistas de cada objeto (vista superior e vista lateral).

Observamos que apesar dos dois objetos possuírem Projeções Horizontais iguais, as suas Projeções Verticais são diferentes. Isso permite que eles possam ser melhor definidos.


22

MMÉÉTTOODDOO DDAA DDUUPPLLAA PPRROOJJEEÇÇÃÃOO ((SSIISSTTEEMMAA MMOONNGGEEAANNOO))

Vimos, nas figuras anteriores, que precisamos de pelo menos dois planos (o vertical e o horizontal) para que possamos ter uma idéia mais confiável do objeto. E é a esse Método da Dupla Projeção que chamamos de Sistema Mongeano de Projeções, através do qual qualquer objeto, seja qual for sua forma, posição ou dimensão, pode ser representado no plano bidimensional, por suas projeções ortogonais (vistas).

RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDOOSS PPLLAANNOOSS DDEE PPRROOJJEEÇÇÃÃOO NNOO EESSPPAAÇÇOO

Monge imaginou dois planos cortando-se perpendicularmente e os chamou de Plano Vertical (PV) e Plano Horizontal (PH) de projeção.

Esses planos dividiram o espaço em 4 diedros, que ele enumerou na ordem anti-horária (conforme a figura ao lado).

A intersecção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra (LT).

O Plano Horizontal (PH) foi subdividido em dois semi-planos: o Plano Horizontal Anterior (PHA) e o Plano Horizontal Posterior (PHP).

E o Plano Vertical (PV) foi subdividido também em dois semi-planos: o Plano Vertical Superior (PVS) e o Plano Vertical Inferior (PVI).

Se relacionarmos esses 4 semi-planos aos 4 diedros, temos o seguinte:

1º DIEDRO: região limitada pelo PVS e pelo PHA.

2º DIEDRO: região limitada pelo PVS e pelo PHP.

3º DIEDRO: região limitada pelo PVI e pelo PHP.

4º DIEDRO: região limitada pelo PVI e pelo PHA.

RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDOOSS PPLLAANNOOSS DDEE PPRROOJJEEÇÇÃÃOO EEMM ÉÉPPUURRAA

Só que o método desenvolvido por Monge, consiste em fazer com que, após as operações projetivas (no espaço), um dos planos de projeção gire (rebatimento) em torno da reta comum a ambos (linha de terra), até que as figuras projetadas se situem num mesmo plano (épura).

Desse modo todos os problemas podem ser resolvidos com recursos da Geometria Plana.

Épura é, portanto, a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções, estando o plano horizontal rebatido sobre o plano vertical.

Rebatimento é o giro do plano horizontal sobre o plano vertical (no sentido horário) em torno da linha de terra.


23

Exemplos Ilustrativos de Projeções (vistas) de Elementos Geométricos (ponto, reta, sólido) nos Planos de Projeção (no Espaço) e a respectiva Representação Gráfica dessas Projeções (vistas) num mesmo plano (Épura): (Essas representações serão estudadas com mais detalhes no decorrer da disciplina)

TTEERRCCEEIIRROO PPLLAANNOO DDEE PPRROOJJEEÇÇÃÃOO OOUU PPLLAANNOO LLAATTEERRAALL

Após Monge ter sistematizado a Geometria Descritiva, foi acrescentado por Gino Loria (matemático italiano), um terceiro plano de projeção para melhor localização de objetos tridimensionais no espaço.

Este terceiro plano de projeção, denominado plano Lateral (PL), é perpendicular aos planos Horizontal e Vertical de projeção.

O plano lateral fornecerá uma terceira projeção do objeto.


24

Mas em desenho técnico (como no caso do desenho arquitetônico), como já vimos anteriormente, após as operações projetivas (no espaço), as vistas devem ser mostradas em um único plano (épura).

Para tanto, usamos um

recurso que consiste no rebatimento dos planos de projeção.

Após o rebatimento, teremos os três planos de projeção: vertical, horizontal e lateral, representados num único plano.

As posições relativas das vistas, no 1º diedro, não mudam: a vista frontal que é a vista principal do objeto, determina a posição das demais vistas; a vista superior aparece sempre representada abaixo da vista frontal; a vista lateral esquerda aparece sempre representada à direita da vista frontal.

O rebatimento dos planos de projeção permite representar, com precisão, um modelo de três dimensões (o prisma retangular) numa superfície de duas dimensões.

Além disso, o conjunto das vistas representa o modelo em verdadeira grandeza, possibilitando interpretar suas formas com exatidão.

RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA -- CCOONNVVEENNÇÇÕÕEESS

Traçado de Linhas:

Espessura da Linha Tipo de Linha Emprego Grossa Soluções

Média Linha de terra Linhas não visíveis

Fina Linhas de chamada Linhas auxiliares Eixos de simetria

Principais Notações:

Pontos Letras latinas maiúsculas (A, B, C, ...) Retas Letras latinas minúsculas (a, b, c, ...) Planos Letras gregas minúsculas (, , , ...) Projeções horizontais Índices ímpares (A1, r1, 1, ...) Projeções verticais Índices pares (A2, r2, 2, ...) Projeções no plano lateral (auxiliar) - (A0, r0, 0, ...)


25

Atividade Prática – Principais Elementos da Geometria Descritiva (Medida de Eficiência)

19) Confeccionar volumetricamente os

Planos de Projeção (vistos em sala de

aula), em papel duplex, papel paraná

ou material similar.

Cada Semi-Plano (PHA, PHP, PVS e

PVI) deve conter sua respectiva

identificação (nome do semi-plano

correspondente) e possuir uma medida

de, no mínimo, 15cm.

A interseção entre

os Planos (Linha de

Terra), deve ser

confeccionada de

forma que permita o

rebatimento do Plano

Horizontal sobre o

Plano Vertical.

Essa questão deverá ser desenvolvida em casa e apresentada pelo aluno na

próxima aula.

Aluno(a): Visto:


26

33 GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA:: EESSTTUUDDOO DDEE PPOONNTTOOSS 33..11 OO PPOONNTTOO EE SSUUAASS CCOOOORRDDEENNAADDAASS DDEESSCCRRIITTIIVVAASS

Um ponto P pode ser representado por suas coordenadas descritivas:

P (x, y, z)

Sendo:

x abscissa (medida tomada sobre a Linha de Terra a partir de um ponto zero).

y afastamento (distância de um ponto P no espaço ao Plano Vertical de projeção).

z cota (distância de um ponto P no espaço ao Plano Horizontal de projeção).

33..22 RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDEE UUMM PPOONNTTOO NNOO EESSPPAAÇÇOO EE EEMM ÉÉPPUURRAA

Representação de um Ponto no Espaço Representação de um Ponto em Épura

Para determinar a posição de um ponto P é necessário projetá-lo sobre os dois planos de projeção.

A projeção horizontal designa-se por P1 (representa o afastamento y) e a projeção vertical designa-se por P2 (representa a cota z).


27

33..33 PPOOSSIIÇÇÕÕEESS DDEE UUMM PPOONNTTOO EE SSUUAASS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS

Em relação aos planos de projeção, o Ponto pode ocupar: 4 Posições no Espaço (Diedros)

1ª Posição: O Ponto está no 1º Diedro.

Região limitada pelo PVS e pelo PHA.

Coordenadas:

y (+) afastamento positivo

z (+) cota positiva

Ex: ponto A (3, 4, 1)

Representação em Épura:

Projeção Horizontal (ex:A1) abaixo da LT.

Projeção Vertical (ex:A2) acima da LT.


Região limitada pelo PVS e pelo PHP.

Coordenadas:

y (-) afastamento negativo

z (+) cota positiva

Ex: ponto B (5, -4, 3)


Projeção Horizontal (ex:B1) acima da LT.

Projeção Vertical (ex:B2) acima da LT.


Região limitada pelo PVI e pelo PHP.

Coordenadas:

y (-) afastamento negativo

z (-) cota negativa

Ex: ponto C (1, -6, -4)


Projeção Horizontal (ex:C1) acima da LT.

Projeção Vertical (ex:C2) abaixo da LT.


Região limitada pelo PVI e pelo PHA.

Coordenadas:

y (+) afastamento positivo

z (-) cota negativa

Ex: ponto D (2, 6, -3)


Projeção Horizontal (ex:D1) abaixo da LT.

Projeção Vertical (ex:D2) abaixo da LT.


28

Em relação aos planos de projeção, o Ponto pode ocupar: 4 Posições sobre os Semi-Planos

5ª Posição: O Ponto está situado sobre o Plano Vertical Superior (PVS).

Coordenadas: y (0) afastamento nulo z (+) cota positiva

Ex: ponto E (5, 0, 3)


Projeção Horizontal (ex:E1) sobre a LT.

Projeção Vertical (ex:E2) acima da LT.

O ponto (ex:E) é coincidente a sua projeção vertical (ex:E2).

6ª Posição: O Ponto está situado sobre o Plano Vertical Inferior (PVI).

Coordenadas: y (0) afastamento nulo z (-) cota negativa

Ex: ponto F (2, 0, -3)


Projeção Horizontal (ex:F1) sobre a LT.

Projeção Vertical (ex:F2) abaixo da LT.

O ponto (ex:F) é coincidente a sua projeção vertical (ex:F2).

7ª Posição: O Ponto está situado sobre o Plano Horizontal Anterior (PHA).

Coordenadas: y (+) afastamento positivo z (0) cota nula

Ex: ponto G (3, 4, 0)


Projeção Horizontal (ex:G1) abaixo da LT.

Projeção Vertical (ex:G2) sobre a LT.

O ponto (ex:G) é coincidente a sua projeção horizontal (ex:G1).

8ª Posição: O Ponto está situado sobre o Plano Horizontal Posterior (PHP).

Coordenadas: y (-) afastamento negativo z (0) cota nula

Ex: ponto H (1, -6, 0)


Projeção Horizontal (ex:H1) acima da LT.

Projeção Vertical (ex:H2) sobre a LT.

O ponto (ex:H) é coincidente a sua projeção horizontal (ex:H1).


29

Em relação aos planos de projeção, o Ponto pode ocupar: 1 Posição sobre a Linha de Terra

9ª Posição: O Ponto está situado sobre a Linha de Terra (LT).

Coordenadas: y (0) afastamento nulo z (0) cota nula

Ex: ponto J (1, 0, 0)


Projeção Horizontal (ex:J1) sobre a LT.

Projeção Vertical (ex:J2) sobre a LT.

O ponto (ex:J) é coincidente as suas projeções horizontal e vertical (ex:J1 e J2).


30

Atividade Prática – Estudo de Pontos (Medida de Eficiência) 20) Relembrando as características quanto a Posição Espacial de Pontos, complete as sentenças com: positivo(a), negativo(a) ou nulo(a). a) Todo ponto situado acima do plano horizontal de projeções, tem cota ____________

e os situados abaixo do referido plano, tem cota ____________.

b) Todo ponto situado a frente do plano vertical, tem afastamento ____________ e os

situados atrás do referido plano, tem afastamento ____________.

c) Todo ponto que esteja localizado:

No 1º diedro, tem cota ____________ e afastamento ____________.




No PVS, tem cota ____________ e afastamento ____________.

No PVI, tem cota ____________ e afastamento ____________.

No PHA, tem cota ____________ e afastamento ____________.

No PHP, tem cota ____________ e afastamento ____________.

Na Linha de Terra, tem cota ____________ e afastamento ____________.

21) Analise a Figura apresentada na página seguinte, considerando que os valores da Linha de Terra já estão determinados e que cada marcação feita nos Planos Horizontal e Vertical de Projeções equivale a uma unidade, e: a) Determine as coordenadas dos pontos. A (____,____,____) B (____,____,____) C (____,____,____) D (____,____,____) E (____,____,____) F (____,____,____) G (____,____,____) H (____,____,____) J (___,___,___) K (___,___,___) b) Determine a POSIÇÃO de cada ponto, de acordo com a legenda abaixo:

Primeiro Diedro = 1ºD; Segundo Diedro = 2ºD; Terceiro Diedro = 3ºD; Quarto Diedro = 4ºD; Linha de Terra = LT; Plano Horizontal Anterior = PHA; Plano Horizontal Posterior = PHP; Plano Vertical Superior = PVS; Plano Vertical Inferior = PVI. A (________) B (________) C (________) D (________) E (________) F (________) G (________) H (________) J (________) K (________) Aluno(a): Visto:


31

Atividade Prática – Estudo de Pontos (Medida de Eficiência)

(Continuação da Questão 21) Analise a Figura abaixo

Aluno(a): Visto:


32


(Continuação da Questão 21) c) Represente os pontos dados em uma ÉPURA (na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). Aluno(a): Visto:


33

Atividade Prática – Estudo de Pontos (Medida de Eficiência) 22) Sabendo-se que os pontos representados na épura abaixo são os vértices de uma figura do espaço: a) Determine as coordenadas de cada um desses pontos b) Represente esses pontos no espaço e desenhe a figura espacialmente, unindo os seus vértices. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

Vértice A (____,____,____)

Vértice B (____,____,____)

Vértice C (____,____,____)

Vértice D (____,____,____)

Vértice E (____,____,____)

Vértice F (____,____,____)

Vértice G (____,____,____)

Vértice H (____,____,____)

23) Sabendo-se que os pontos representados na épura abaixo são os vértices de uma figura do espaço: a) Determine as coordenadas de cada um desses pontos b) Represente esses pontos no espaço e desenhe a figura espacialmente, unindo os seus vértices. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

Vértice A (____,____,____)

Vértice B (____,____,____)

Vértice C (____,____,____)

Vértice D (____,____,____)

Vértice E (____,____,____)

Vértice F (____,____,____)

Aluno(a): Visto:


34


Resolução da letra (b) da Questão (22) Aluno(a): Visto:


35


Resolução da letra (b) da Questão (23) Aluno(a): Visto:


36

Atividade Prática – Estudo de Pontos (Medida de Eficiência) 24) Dadas as épuras dos pontos abaixo, determine a POSIÇÃO de cada desses pontos, de acordo com a legenda abaixo: Primeiro Diedro = 1ºD; Segundo Diedro = 2ºD; Terceiro Diedro = 3ºD; Quarto Diedro = 4ºD; Linha de Terra = LT; Plano Horizontal Anterior = PHA; Plano Horizontal Posterior = PHP; Plano Vertical Superior = PVS; Plano Vertical Inferior = PVI.

(A) ___________

(B) ___________

(C) ___________

(D) ___________

(E) ___________

(F) ___________

(G) ___________

(J) ___________

(K) ___________

(L) ___________

(M) ___________

(N) ___________

(P) ___________

(Q) ___________

(S) ___________

(T) ___________ Aluno(a): Visto:


37

Atividade Prática – Estudo de Pontos (Medida de Eficiência) 25) Dados os pontos abaixo, traçar a épura e determinar a sua posição em relação aos planos ortogonais de projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

A (-2; 3; -1)

(A) ___________

B (-3; 0; 2)

(B) ___________

C (-1; -2; -1)

(C) ___________

D (6, -1, 0)

(D) ___________

E (0; -2; -3)

(A) ___________

F (-4; -1; 4)

(B) ___________

G (1; 0; -2)

(C) ___________

H (5, -1, 1)

(D) ___________

I (3; 0; 4)

(A) ___________

J (4; -3; -1)

(B) ___________

K (-5; -2, 0)

(C) ___________

L (2; 0; 0)

(D) ___________

Aluno(a): Visto:


38

44 GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA:: EESSTTUUDDOO DDEE RREETTAASS 44..11 RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDEE RREETTAASS NNOO EESSPPAAÇÇOO EE SSUUAASS PPOOSSIIÇÇÕÕEESS NNOO PPLLAANNOO

Em relação a um plano de projeção, uma reta pode ocupar três posições distintas.

1ª Posição:

PARALELA ao Plano (/ /) Projeção em Verdadeira Grandeza

A projeção possui a mesma medida da reta ou segmento de reta.

(A1B1 = AB)

2ª Posição:

PERPENDICULAR ao Plano ()

Projeção Acumulada As projeções de todos os seus pontos se

confundem com a projeção da própria reta.

(A1B1 = ponto).

3ª Posição:

OBLÍQUA ao Plano ( ) Projeção Reduzida

A projeção possui uma medida menor do que a da reta, onde o seu comprimento sobre o plano irá variar de acordo com a

inclinação da reta sobre o plano.

(A1B1 < AB).

44..22 PPOOSSIIÇÇÕÕEESS DDEE UUMMAA RREETTAA EE SSUUAASS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS

Em relação aos Planos Horizontal e Vertical de Projeção, uma RETA pode ocupar 7 posições distintas, que determinam nomes e características particulares.


39

1ª Posição: RETA FRONTO-HORIZONTAL ou RETA PARALELA A LINHA DE TERRA.

Reta PARALELA ao PH (/ /), com Projeção em Verdadeira Grandeza (A1B1 = AB).

Reta PARALELA ao PV (/ /), com Projeção em Verdadeira Grandeza (A2B2 = AB).

Segmento de Reta AB: A (xa, ya, za) B (xb, yb, zb)

abscissas diferentes (xa xb)

afastamentos iguais (ya = yb)

cotas iguais (za = zb)

Na épura:

Projeção Vertical (A2B2) é paralela a Linha de Terra (pois possui cotas iguais).

Projeção Horizontal (A1B1) é paralela a Linha de Terra (pois possui afastamentos iguais).

2ª Posição: RETA HORIZONTAL ou RETA DE NÍVEL.


Reta OBLÍQUA ao PV ( ), com Projeção Reduzida (A2B2 < AB).



afastamentos diferentes (ya yb)


Na épura:

Projeção Vertical (A2B2) é paralela a Linha de Terra (pois possui cotas iguais).

Projeção Horizontal (A1B1) é oblíqua a Linha de Terra (pois possui afastamentos diferentes).

O ângulo que a Projeção Horizontal (A1B1) faz com a Linha de Terra, apresenta a verdadeira grandeza do ângulo que a reta (AB) faz com o Plano Vertical de projeções.

u


40

3ª Posição: RETA FRONTAL ou RETA DE FRENTE.

Reta OBLÍQUA ao PH ( ), com Projeção Reduzida (A1B1 < AB).





cotas diferentes (za zb)

Na épura: Projeção Vertical (A2B2) é oblíqua a Linha de Terra (pois possui cotas diferentes).

Projeção Horizontal (A1B1) é paralela a Linha de Terra (pois possui afastamentos iguais).

O ângulo que a Projeção Vertical (A2B2) faz com a linha de terra, apresenta a verdadeira grandeza do ângulo que a reta (AB) faz com o Plano Horizontal de projeções.

4ª Posição: RETA DE TOPO.


Reta PERPENDICULAR ao PV (), com Projeção Acumulada (A2B2 = ponto).


abscissas iguais (xa = xb)



Na épura:

Projeção Vertical (A2B2) é um ponto (pois possui abscissas e cotas iguais).

Projeção Horizontal (A1B1) é perpendicular a Linha de Terra (pois possui abscissas iguais e afastamentos diferentes).


41

5ª Posição: RETA VERTICAL.

Reta PERPENDICULAR ao PH (), com Projeção Acumulada (A1B1 = ponto).






Na épura:

Projeção Vertical (A2B2) é perpendicular a Linha de Terra (pois possui abscissas iguais e cotas diferentes).

Projeção Horizontal (A1B1) é um ponto (pois possui abscissas e afastamentos iguais).

6ª Posição: RETA DE PERFIL.

Reta OBLÍQUA ao PH ( ), com Proj. Reduzida (A1B1 < AB).

Reta OBLÍQUA ao PV ( ), com Proj. Reduzida (A2B2 < AB).

Reta PARALELA ao PL (/ /), com Proj. em V.G. (A0B0 = AB).





Na épura:

Projeção Vertical (A2B2) é perpendicular a Linha de Terra (pois possui abscissas iguais e cotas diferentes).

Projeção Horizontal (A1B1) é perpendicular a Linha de Terra (pois possui abscissas iguais e afastamentos diferentes).

Projeção Lateral (A0B0) é oblíqua a Linha de Terra (pois possui afastamentos e cotas diferentes).


42

7ª Posição: RETA QUALQUER, RETA OBLÍQUA ou RETA GENÉRICA.

Reta OBLÍQUA ao PH ( ), com Proj. Reduzida (A1B1 < AB).

Reta OBLÍQUA ao PV ( ), com Proj. Reduzida (A2B2 < AB).

Reta OBLÍQUA ao PL ( ), com Proj. Reduzida (A0B0 < AB).





Na épura:

Projeção Vertical (A2B2) é oblíqua a Linha de Terra (pois possui abscissas e cotas diferentes).

Projeção Horizontal (A1B1) é oblíqua a Linha de Terra (pois possui abscissas e afastamentos diferentes).

A Reta Qualquer é a única reta que não possui projeções em V.G. em nenhum dos três planos (PH, PV e PL), para se encontrar sua V.G. é preciso utilizar um dos métodos descritivos da Geometria.

O método descritivo denominado “Segmentos” é um método utilizado para encontrar a Verdadeira Grandeza de segmentos de reta que não se apresentam em V.G. nos planos de projeção PH e PV.

Para encontrar a V.G. do segmento de reta AB pelo método dos segmentos é necessário construir um triângulo retângulo cuja base é a projeção horizontal (A1B1) e a altura é igual à diferença de cotas (A2-B2). A hipotenusa do triângulo retângulo será a V.G. da reta AB.


43

Assim como no estudo do ponto, a reta também pode estar contida dentro de qualquer um dos semiplanos ou em coincidência com a linha de terra. As retas podem ainda, ocupar qualquer posição particular dentro dos planos de projeção, isto é, com pontos em vários diedros. Porém, estudaremos apenas as retas situadas no 1º Diedro.

Existem ainda outros assuntos pertinentes ao Estudo de Retas na Geometria Descritiva. Porém, esses assuntos não serão abordados nos nossos estudos.

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência)

26) Relembrando as características quanto a Posição Espacial de Retas, complete as sentenças abaixo com: paralela, perpendicular ou oblíqua (ou inclinada): a) Quando a projeção de uma reta está em verdadeira grandeza, a reta encontra-se ____________________ ao plano de projeção. b) Quando a projeção de uma reta está reduzida, a reta encontra-se ____________________ ao plano de projeção. c) Quando a projeção de uma reta está acumulada, sendo representada por um ponto, a reta encontra-se ____________________ ao plano de projeção. d) Quando os pontos que definem um segmento de reta possuem abscissas diferentes, afastamentos e cotas iguais, a reta encontra-se ____________________ ao Plano Vertical (PV) e ____________________ ao Plano Horizontal (PH). e) Quando os pontos que definem um segmento de reta possuem cotas iguais, abscissas e afastamentos diferentes, a reta encontra-se ____________________ ao Plano Vertical (PV) e ____________________ ao Plano Horizontal (PH). f) Quando os pontos que definem um segmento de reta possuem afastamentos iguais, abscissas e cotas diferentes, a reta encontra-se ____________________ ao Plano Vertical (PV) e ____________________ ao Plano Horizontal (PH). g) Quando os pontos que definem um segmento de reta possuem afastamentos diferentes, abscissas e cotas iguais, a reta encontra-se ____________________ ao Plano Vertical (PV) e ____________________ ao Plano Horizontal (PH). h) Quando os pontos que definem um segmento de reta possuem cotas diferentes, abscissas e afastamentos iguais, a reta encontra-se ____________________ ao Plano Vertical (PV) e ____________________ ao Plano Horizontal (PH). i) Quando os pontos que definem um segmento de reta possuem abscissas iguais, cotas e afastamentos diferentes, a reta encontra-se ____________________ ao Plano Vertical (PV), ____________________ ao Plano Horizontal (PH) e ____________________ ao Plano Lateral (PL). j) Quando os pontos que definem um segmento de reta possuem abscissas, afastamentos e cotas diferentes, deve-se encontrar a Verdadeira Grandeza através de um dos métodos descritivos, pois a reta encontra-se ____________________ aos três Planos de Projeção (PH, PV e PL). Aluno(a): Visto:


44

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 27) Dada a Reta Frontal “a” definida pelos pontos A (2; 3; 5) e B (4; 3; 1): a) Represente-a espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

b) Determine a posição da reta (paralela, perpendicular ou oblíqua) em relação aos Planos Horizontal e Vertical de Projeção.

Plano Horizontal de Projeção: _______________________________

Plano Vertical de Projeção: _________________________________ Aluno(a): Visto:


45

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (27) c) Represente-a em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza da Reta “a”, através de medição na Épura

(utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar): ____________unidades

Aluno(a): Visto:


46

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 28) Dada a Reta Horizontal “b” definida pelos pontos C (0; 2; 3) e D (3; 4; 3): a) Represente-a espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).





47

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (28) c) Represente-a em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza da Reta “b”, através de medição na Épura


Aluno(a): Visto:


48

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 29) Dada a Reta Fronto-horizontal “c” definida pelos pontos E (1; 3; 1) e F (5; 3; 1): a) Represente-a espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).





49

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (29) c) Represente-a em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza da Reta “c”, através de medição na Épura


Aluno(a): Visto:


50

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 30) Dada a Reta de Topo “d” definida pelos pontos G (4; 4; 4) e H (4; 1; 4): a) Represente-a espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).





51

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (30) c) Represente-a em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza da Reta “d”, através de medição na Épura


Aluno(a): Visto:


52

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 31) Dada a Reta Vertical “e” definida pelos pontos (3; 1; 5) e L (3; 1; 1): a) Represente-a espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).





53

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (31) c) Represente-a em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza da Reta “e”, através de medição na Épura


Aluno(a): Visto:


54

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 32) Dada a Reta Qualquer “f” definida pelos pontos M (2; 8; 5) e N (6; 3; 2): a) Represente-a espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).





55

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (32) c) Represente-a em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza da Reta “f”, através de medição na Épura


Aluno(a): Visto:


56

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 33) Dada a Reta de Perfil “g” definida pelos pontos O (1; 7; 4) e P (1; 4; 2): a) Represente-a espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).





57

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (33) c) Represente-a em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados). d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza da Reta “g”, através de medição na Épura


Aluno(a): Visto:


58

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) 34) Analise os segmentos de reta AB, AC, AD, BC, BE, CF, DE, DF e EF da Figura apresentada abaixo. (Considere que os valores da Linha de Terra já estão determinados e que cada marcação feita nos Planos Horizontal e Vertical de Projeções equivale a uma unidade):

a) Determine as coordenadas dos pontos que definem os segmentos de reta.

A (____,____,____)

B (____,____,____)

C (____,____,____)

D (____,____,____)

E (____,____,____)

F (____,____,____)

b) Determine a POSIÇÃO (paralela, oblíqua ou perpendicular) de cada segmento de reta, em relação aos Planos Horizontal (PH) e Vertical (PV) de Projeções: AB: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

AC: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

AD: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

BC: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

BE: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

CF: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

DE: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

DF: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

EF: ____________ ___ ao PH e ____ ___________ ao PV.

Aluno(a): Visto:


59

Atividade Prática – Estudo de Retas (Medida de Eficiência) Continuação da questão (34) c) Represente todos os segmentos de reta numa ÉPURA (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza de cada segmento de reta, através de

medição na Épura (utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar):

AB: _________unidades / AC: _________unidades / AD: _________unidades

BC: _________unidades / BE: _________unidades / CF: _________unidades

DE: _________unidades / DF: _________unidades / EF: _________unidades Aluno(a): Visto:


60

55 GGEEOOMMEETTRRIIAA DDEESSCCRRIITTIIVVAA:: EESSTTUUDDOO DDEE RREETTAASS 55..11 RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA DDEE PPLLAANNOOSS

PLANOS LIMITADOS:

O limite do plano é a linha. Os Planos Limitados por linhas retas são chamados de polígonos. Já os planos

limitados por linhas curvas têm denominação própria, como círculo, elipse, etc.

Os Planos Limitados (Figuras Planas), de maneira semelhante às retas, são determinados pelas suas projeções nos planos de projeção (PH, PV e PL).

Exemplo:

Quando a Figura Plana encontra-se Paralela ao Plano ao qual se projeta, sua Projeção está em Verdadeira Grandeza.

Quando a Figura Plana encontra-se Perpendicular ao Plano ao qual se projeta, sua Projeção é Linear, e representada por uma reta.

Quando a Figura Plana encontra-se Oblíqua ao Plano ao qual se projeta, sua Projeção é Reduzida.

PLANOS ILIMITADOS: O Plano ilimitado é imensurável,

não tendo medidas definidas, é representado graficamente até os limites dos Planos de Projeção.

Os Planos ilimitados são representados nos planos de projeção através dos seus traços.

Os traços de um Plano são retas onde o plano intercepta o Plano Horizontal (PH) e o Plano Vertical (PV) de projeções.

Quando o plano intercepta o PH tem traço horizontal (1). Quando o plano intercepta o PV tem traço vertical (2).

Esses Planos podem possuir um ou dois traços.

Exemplo:


61

55..22 PPOOSSIIÇÇÕÕEESS DDEE UUMM PPLLAANNOO EE SSUUAASS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS

Em relação aos Planos Horizontal e Vertical de Projeção, uma RETA pode ocupar 8 posições distintas, que determinam nomes e características particulares.

1º - PLANO HORIZONTAL

POSIÇÕES: Plano é PARALELO ao PH ( / / ).

Plano é PERPENDICULAR ao PV ( ).

CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) NÃO EXISTE.

Traço Vertical (2) é PARALELO a LT.

Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta verticalmente sobre seu Traço Vertical (2) e possuem COTAS (z) IGUAIS. E podem se projetar horizontalmente em qualquer parte do plano PH.

Qualquer FIGURA contida nesse Plano possui Projeção Horizontal em Verdadeira Grandeza. E a Projeção Vertical é linear.


62

2º - PLANO FRONTAL

POSIÇÕES: Plano é PERPENDICULAR ao PH ( ).

Plano é PARALELO ao PV ( / / ).

CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) é PARALELO a LT.

Traço Vertical (2) NÃO EXISTE.

Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta horizontalmente sobre seu Traço Horizontal (1) e possuem AFASTAMENTOS (y) IGUAIS. E podem se projetar verticalmente em qualquer parte do plano PV.

Qualquer FIGURA contida nesse Plano possui Projeção Vertical em Verdadeira Grandeza. E a Projeção Horizontal é linear.


63

3º - PLANO DE TOPO

POSIÇÕES: Plano é OBLÍQUO ao PH ( ).


CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) é PERPENDICULAR a LT.

Traço Vertical (2) é OBLÍQUO a LT, podendo ter qualquer direção diferente de 90º, sendo esta a condição que o caracteriza.

Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta verticalmente sobre seu Traço Vertical (2) e possuem COTAS (z) DIFERENTES, porém são COLINEARES (pertencem a uma mesma reta). E podem se projetar horizontalmente em qualquer parte do plano PH, limitado pelo seu Traço Horizontal (1).

Qualquer FIGURA contida nesse Plano possui Projeção Horizontal Reduzida. E a Projeção Vertical é linear.


64

4º - PLANO VERTICAL


Plano é OBLÍQUO ao PV ( ).

CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) é OBLÍQUO a LT, podendo ter qualquer direção diferente de 90º, sendo esta a condição que o caracteriza.

Traço Vertical (2) é PERPENDICULAR a LT.

Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta horizontalmente sobre seu Traço Horizontal (1) e possuem AFASTAMENTOS (y) DIFERENTES, porém são COLINEARES (pertencem a uma mesma reta). E podem se projetar verticalmente em qualquer parte do plano PV, limitado pelo seu Traço Vertical (2).

Qualquer FIGURA contida nesse Plano possui Projeção Vertical Reduzida. E a Projeção Horizontal é linear.


65

5º - PLANO DE PERFIL



Plano é PARALELO ao PL ( / / ).

CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) é PERPENDICULAR a LT.

Traço Vertical (2) é PERPENDICULAR a LT.

Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta horizontalmente e verticalmente sobre seus Traços (1 e 2) e possuem ABSCISSAS (x) IGUAIS; com AFASTAMENTOS (y) e COTAS (z) DIFERENTES, porém são COLINEARES (pertencem a uma mesma reta).

Qualquer FIGURA contida nesse Plano possui Projeção Lateral em Verdadeira Grandeza. E as Projeções Horizontal e Vertical são lineares.


66

6º - PLANO DE RAMPA OU PARALELO A LINHA DE TERRA

POSIÇÕES: Plano é OBLÍQUO ao PH ( ).

Plano é OBLÍQUO ao PV ( ).

Plano é PARALELO a LT ( / / ).

CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) é PARALELO a LT.

Traço Vertical (2) é PARALELO a LT.

Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta horizontalmente e verticalmente entre seus Traços (1 e 2).

Qualquer FIGURA contida nesse Plano possui Projeções Horizontal e Vertical Reduzidas.


67

7º - PLANO QUALQUER

POSIÇÕES: Plano OBLÍQUO ao PH ( ).

Plano OBLÍQUO ao PV ( ).

CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) é OBLÍQUO a LT.

Traço Vertical (2) é OBLÍQUO a LT.

O Plano Qualquer não possui nenhuma propriedade específica. Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta horizontalmente e verticalmente em qualquer parte dos planos PH e PV, limitados pelos seus Traços (1 e 2).



68

8º - PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

POSIÇÕES: Plano OBLÍQUO ao PH ( ).

Plano OBLÍQUO ao PV ( ).

CARACTERÍSTICAS - ÉPURA: Traço Horizontal (1) é COINCIDENTE com a LT.

Traço Vertical (2) é COINCIDENTE com a LT.

O Plano Que Passa Pela Linha de Terra é o único plano que não pode ser determinado por seus traços, pois são coincidentes com a LT. É necessária, então, outra informação para determinar sua posição (inclinação) no espaço. Normalmente se utiliza um ponto do plano que não pertença à linha de terra. Assim, o plano é definido pela LT e um ponto.

O Plano Que Passa Pela Linha de Terra também não possui nenhuma propriedade específica. Qualquer PONTO contido nesse Plano se projeta horizontalmente e verticalmente em qualquer parte dos planos PH e PV.



69

Atividade Prática – Estudo de Planos (Medida de Eficiência)

35) Sabendo-se que os pontos A(1,7,4); B(7,5,4) e C(6,1,4) são os vértices de uma figura plana (triângulo ABC) representada no espaço: a) Represente o triângulo ABC espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

b) Determine a POSIÇÃO (paralela, oblíqua ou perpendicular) do triângulo ABC, em relação aos Planos Horizontal (PH) e Vertical (PV) de Projeções: ____________ _ ao PH e ___ __________ ao PV.

Aluno(a): Visto:


70

Atividade Prática – Estudo de Planos (Medida de Eficiência) Continuação da questão (35) c) Represente o triângulo ABC em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza de cada segmento de reta e a área real do triângulo ABC, através de medição na Épura (utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar): V.G. de AB: _________ / V.G. de BC: _________ / V.G. de AC: _________

Área do triângulo ABC: _________

Aluno(a): Visto:


71


36) Sabendo-se que os pontos A(3,3,2); B(3,6,2), C(6,6,5) e D(6,3,5) são os vértices de uma figura plana (retângulo ABCD) representada no espaço: a) Represente o retângulo ABCD espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

b) Determine a POSIÇÃO (paralela, oblíqua ou perpendicular) do retângulo ABCD, em relação aos Planos Horizontal (PH) e Vertical (PV) de Projeções: ____________ _ ao PH e ___ __________ ao PV.

Aluno(a): Visto:


72

Atividade Prática – Estudo de Planos (Medida de Eficiência) Continuação da questão (36) c) Represente o retângulo ABCD em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza de cada segmento de reta e a área real do retângulo ABCD, através de medição na Épura (utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar): V.G. de AB: _________ / V.G. de BC: _________

V.G. de CD: _________ / V.G. de AD: _________

Área do retângulo ABCD: _________

Aluno(a): Visto:


73


37) Sabendo-se que os pontos A(-2,5,2); B(4,5,2), C(3,5,6) e D(0,5,6) são os vértices de uma figura plana (trapézio ABCD) representada no espaço: a) Represente o trapézio ABCD espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

b) Determine a POSIÇÃO (paralela, oblíqua ou perpendicular) do trapézio ABCD, em relação aos Planos Horizontal (PH) e Vertical (PV) de Projeções: ____________ _ ao PH e ___ __________ ao PV.

Aluno(a): Visto:


74

Atividade Prática – Estudo de Planos (Medida de Eficiência) Continuação da questão (37) c) Represente o trapézio ABCD em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza de cada segmento de reta e a área real do trapézio ABCD, através de medição na Épura (utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar): V.G. de AB: _________ / V.G. de BC: _________

V.G. de CD: _________ / V.G. de AD: _________

Área do trapézio ABCD: _________

Aluno(a): Visto:


75


38) Sabendo-se que os pontos A(1,1,4); B(1,4,2), C(1,7,4) e D(1,4,6) são os vértices de uma figura plana (losango ABCD) representada no espaço: a) Represente o losango ABCD espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

b) Determine a POSIÇÃO (paralela, oblíqua ou perpendicular) do losango ABCD, em relação aos Planos Horizontal (PH), Vertical (PV) e Lateral (PL) de Projeções: ____________ _ ao PH, ___ __________ ao PV e ___ __________ ao PL.

Aluno(a): Visto:


76

Atividade Prática – Estudo de Planos (Medida de Eficiência) Continuação da questão (38) c) Represente o losango ABCD em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza de cada segmento de reta e a área real do losango ABCD, através de medição na Épura (utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar): V.G. de AB: _________ / V.G. de BC: _________

V.G. de CD: _________ / V.G. de AD: _________

Área do losango ABCD: _________

Aluno(a): Visto:


77


39) Sabendo-se que os pontos A(0,1,1); B(4,5,1), C(5,6,5) e D(1,2,5) são os vértices de uma figura plana (paralelogramo ABCD) representada no espaço: a) Represente o paralelogramo ABCD espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

b) Determine a POSIÇÃO (paralela, oblíqua ou perpendicular) do paralelogramo ABCD, em relação aos Planos Horizontal (PH) e Vertical (PV) de Projeções: ____________ _ ao PH e ___ __________ ao PV.

Aluno(a): Visto:


78

Atividade Prática – Estudo de Planos (Medida de Eficiência) Continuação da questão (39) c) Represente o paralelogramo ABCD em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza de cada segmento de reta e a área real do paralelogramo ABCD, através de medição na Épura (utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar): V.G. de AB: _________ / V.G. de BC: _________

V.G. de CD: _________ / V.G. de AD: _________

Área do losango ABCD: _________

Aluno(a): Visto:


79


40) Sabendo-se que os pontos A(-1,7,3); B(7,7,3), C(6,3,3) e D(3,0,3) são os vértices de uma figura plana (trapezóide ABCD) representada no espaço: a) Represente o trapezóide ABCD espacialmente nos Planos de Projeção. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

b) Determine a POSIÇÃO (paralela, oblíqua ou perpendicular) do trapezóide ABCD, em relação aos Planos Horizontal (PH) e Vertical (PV) de Projeções: ____________ _ ao PH e ___ __________ ao PV.

Aluno(a): Visto:


80

Atividade Prática – Estudo de Planos (Medida de Eficiência) Continuação da questão (40) c) Represente o trapezóide ABCD em Épura. (Desenhar na escala de 1/125 ou 1/100 e utilizando os instrumentos de desenho apropriados).

d) Encontre o valor da Verdadeira Grandeza de cada segmento de reta e a área real do trapezóide ABCD, através de medição na Épura (utilizando o escalímetro, na mesma escala usada para desenhar): V.G. de AB: _________ / V.G. de BC: _________

V.G. de CD: _________ / V.G. de AD: _________

Área do trapezóide ABCD: _________

Aluno(a): Visto:

Documents

APOSTILA-Geometria-1UNIDADE